Apostila Matemática - Engenharia1
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Apostila de Matemática
Professor Antonio Carlos Leal Castro Jr.
Professor Antonio Castro Júnior 1
Apostila de Matemática Professor Antonio Carlos Leal Castro
Jr.
Engenharia
Apostila de Matemática
Professor Antonio Carlos Leal Castro Jr.
Professor Antonio Castro Júnior 2
São Luis
2012
Apostila de Matemática
Professor Antonio Carlos Leal Castro Jr.
Professor Antonio Castro Júnior 3
EMENTA
1. Os números e as operações
1.1 Noções de Conjuntos;
1.2 Expressões numéricas;
1.3 Operações com números Racionais;
1.4 Propriedades da Potência;
2. Cálculo Algébrico
2.1 Operações com monômios e polinômios;
2.2 Produtos notáveis;
2.3 Fatoração;
2.4 Frações Algébricas;
3. Equações e Sistemas
3.1 Equações e Sistemas do 1º grau;
3.2 Equações e Sistemas do 2º grau;
4. Funções
4.1 Funções Reais;
4.2 Domínio e Imagem das Funções;
4.3 Gráficos e Funções do 1º grau e do 2º grau;
4.4 Gráficos e Função Exponencial;
4.5 Gráficos e Função Logarítmica;
5. Trigonometria
5.1 Trigonometria no Triângulo Retângulo;
5.2 Trigonometria na Circunferência;
5.3 Função Seno e Cosseno.
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1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Esta figura representa a classe dos números.
Veja a seguir:
N Naturais
“São todos os números positivos inclusive o zero”
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
“Não há números naturais negativos”
Z Inteiros
“São todos os números positivos e negativos inclusive o
zero”
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
“Não há números inteiros em fração ou decimal”
Q Racionais
“São todas as decimais exatas ou periódicas diferente de
zero”
Q = {..., 4
3,
2
1, ...}
I Irracionais
“São todas as decimais não exatas, não periódicas e não
negativas”
I = {..., 2 , , 7
22, ...}
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R Reais
“É a união de todos os conjuntos numéricos, todo número,
seja N, Z, Q ou I é um número R (real)”
“Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo e o índice par”
AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS DECIMAIS)
1) Adição
“Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é
a soma”
Exemplos:
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
+
429,1
3,2
32,4
parcelas
8,049 soma
4
1 +
3
2 +
5
1 =
60
124015 =
60
67 1,1166
ou
4
1 +
3
2 +
5
1 =
9
8,1625,2 =
9
05,10 1,1166
“Isto significa que qualquer número que for colocado no denominador seguindo o processo,
chegará à mesma resposta. Com o MMC (mínimo múltiplo comum) você facilita seu
trabalho”
Observe que as parcelas são
dispostas de modo que se
tenha vírgula sobre vírgula.
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2) Subtração
“Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a operação a subtração, e o
resultado é o minuendo”
Exemplos: “As regras para a subtração são as mesmas da adição, portanto podemos utilizar
os mesmos exemplos apenas alterando a operação”
3) Multiplicação
“Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a operação multiplicativa, e o
resultado é o produto”
Exemplo:
7,32 * 12,5 = 91,500
produto 500,91
732
1464
3660
fatores 12,5 *
32,7
2
1 *
3
2 *
1
8 =
6
16 =
3
8 2,6
“Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo
(ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo)”
4) Divisão
“Na divisão os números são chamados de dividendo (a parte que está sendo dividida) e
divisor (a quantia de vezes que esta parte está sendo dividida), a operação é a divisão, e o
resultado é o quociente”
Na multiplicação começa-se
operar da esquerda para a
direita.
Quando a multiplicação
envolver números decimais
(como no exemplo ao lado),
soma-se a quantidade de casas
após a vírgula.
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Exemplo:
Existe na divisão, o que pode-se chamar de resto. Isto é, quando uma divisão não é exata irá
sempre sobrar um determinado valore, veja no exemplo a seguir:
843 / 5 = 168
34
43
3 resto (r)
5) Casos particulares da multiplicação e divisão
Multiplicação
N * 1 = N
N * 0 = 0
Divisão
N / 1 = N
N / N = 1
0 / N = 0
N / 0 =
6) Exercícios
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =
b) 4,03 + 200 + 51,2 =
c) 32,4 – 21,3 =
d) 48 – 33,45 =
e) 2,1 * 3,2 =
f) 48,2 * 0,031 =
g) 3,21 * 2,003 =
h) 8,4708 / 3,62 =
i) 682,29 / 0,513 =
j) 2803,5 / 4450 =
k) (FUVEST) 0,22,3
3,0*2,0
=
l) 0,041 * 21,32 * 401,05
m) 0,0281 / 0,432
n) 1,5
4,82 * 31,2
o) 285,0
4,32 * 021,0
Para verificar se o resultado é
verdadeiro basta substituir os valores
na seguinte fórmula:
D = d * q + r
843 = 5 * 168 + 3
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7) Valor absoluto ou Módulo
“É um número desprovido de seu sinal. Suprimindo o sinal de um número relativo, obtemos
um número aritmético, que se denomina valor absoluto ou módulo desse número relativo,
sendo representado pelo símbolo .”
Exemplos:
7 7
0 0
2 2
9 9
8) Soma e subtração algébrica
Sinais iguais: Soma-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum.
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior.
Exemplos:
a) 2 + 4 = 6
b) – 2 – 4 = – 6
c) 5 – 3 = 2
d) – 5 + 3 = – 2
e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2
f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22
9) Multiplicação e divisão algébrica
Sinais iguais resposta positiva
Sinais diferentes resposta negativa
Isto é:
Exemplos:
a) 12 * 3 = 36
)()(*)(
)()(*)(
)()(*)(
)()(*)(
)()(:)(
)()(:)(
)()(:)(
)()(:)(
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Professor Antonio Castro Júnior 9
b) (-12) * (-3) = 36
c) 2 * (-2) = -4
d) (-2) * 3 = -6
e) 2
4= 2
f) )5(
20
= -4
g) )5(
)20(
= 4
h) 5
)20(= -4
10) Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e
divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em
expressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuam-
se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais
interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal
negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.
Exemplo:
a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ]
b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11
c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } +
1
11) Decomposição de um número em um produto de fatores primos
A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do
dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir.
Exemplos:
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Professor Antonio Castro Júnior 10
30
5
3
2
1
5
15
30
30 = 2 * 3 * 5
21
7
3
1
7
21
21 = 3 * 7
OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número 1.
12) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles.
Exemplo:
a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45
720
5
3
3
2
2
2
2
01 \ 01 \ 01
05 \ 01 \ 01
15 \ 01 \ 01
45 \ 01 \ 03
45 \ 02 \ 03
45 \ 04 \ 03
45 \ 08 \ 06
45 \ 12 \ 12
O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720
b) m.m.c. (4; 3) = 12
c) m.m.c. (3; 5; 8) = 120
d) m.m.c. (8; 4) = 8
e) m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 60
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13) Exercícios
a) 2 + 3 – 1 =
b) – 2 – 5 + 8 =
c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =
d) 2 * (-3) =
e) (-2) * (-5) =
f) (-10) * (-1) =
g) (-1) * (-1) * (-2) =
h) 2
4
=
i) 2
8 =
j) 5
20
=
k) 2
)1(*)4(
=
l) 1
7) - (2 * 5) - 3 1(
=
m) 1
3) -5 * 2 - 4 * 3 2(
=
n) 1 } ] 2 ) 3 : 2 * 3 ( 4 - 2 [ 2 - 2 { 2
=
o) } ) 5 - ( 2 )] 58 - ( : ) 3 3 - ( [ 20 - { - 8
=
p) 0,5 * 0,4 : 0,2 =
q) 0,6 : 0,03 * 0,05 =
r) 5 : 10 =
s) 3 : 81 * 0,5 =
t) Calcule o m.m.c. entre:
a. 36 e 60
b. 18, 20 e 30
c. 12, 18 e 32
FRAÇÕES ORDINÁRIAS
Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o
denominador.
“As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um inteiro, e ao dividir formam as
frações”
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2
1=0,5
4
3=0,75
4
1=0,25
8
1=0,125
8
7 = 0,875
A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador: 2
1,
5
3,
210
120, etc.
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível
representa-la por um número misto e reciprocamente.
Exemplos:
a) 7
10 = 1
7
3 pois
7
10 possui resto 3
b) 5
28 = 5
5
3 pois
5
28 possui resto 3
c) 3
11 = 3
3
2
d) 23
1 =
3
7
14) Propriedade
Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero
obtém-se uma fração equivalente à inicial.
Exemplos:
a) 4
2
2 * 2
2 * 1
2
1
b) 20
15
5 * 4
5 * 3
4
3
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c) 3
2
10 : 30
10 : 20
30
20
d) 2
1-
4: 8
4 : 4-
8
4-
15) Soma algébrica de frações
Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.
OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
a) 6
5
6
2 3
6
2
6
3
3
1
2
1
b) 3
2
6
4
6
4 - 5 3
6
4 -
6
5
6
3
3
2 -
6
5
2
1
c) 3
11-
3
4-
12
16-
12
24 - 16 9 - 1
12
24 -
12
16
12
9 -
12
1 2 -
3
4
4
3 -
12
1
d) 12
5-
12
48 - 15 28
12
48 -
12
15
12
28 4 -
4
5
3
7 4 -
4
11
3
12
16) Multiplicação de frações
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.
Exemplos:
a) 10
3
5
3 *
2
1
b) 8
1-
2
1 *
4
1
c) 15
2
5
2 *
3
1
d) 14
3-
7
2 *
4
1 * 3
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e) 5
48
5
44
5
16 *
4
11
5
13 *
4
32
17) Divisão de frações
Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração divisora.
Exemplos:
a) 2
11
2
3
1
3 *
2
1
31
21
b)
3
11-
3
4-
1
2 *
3
2-
21
32
c) 6
1
3
1 *
2
1
3
21
d) 2
17
2
15
2
3 *
1
5
32
5
e) 27
251-
27
52-
9
4 *
3
13
493
13
412
314
18) Exercícios
Transforme em número misto:
a) 2
3 =
b) 5
12 =
c) 3
100 =
Transforme em fração ordinária:
a) 5
11 =
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b) 4
32 =
c) 10
110 =
Simplifique as frações:
a) 4
2 =
b) 27
9 =
c) 48
12 =
Comparar as frações (sugestão: reduzi-las ao menor denominador e comparar os
numeradores).
OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b”
a > b lê-se “a é maior do que b”
a) 2
1,
3
2
b) 3
2,
6
5
c) 7
4,
8
3
Resolva:
a) 10
1
5
1
b) 3
4 -
3
2
c) 6
1
3
1 -
2
1
d) 5 - 2
13
3
22
e) 5
2 *
3
1
f) 5
2 *
3
1 *
7
3
g)
5
2- *
6
1-
h)
3
11- *
5
12
i)
21
31
j)
5
1- :
3
2
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k) 4
1 *
3
2 :
2
1
l) 5
11 :
5
22
m)
2
1 :
4
2
3
1
n)
3
31 1
o)
21
2
21 1
1
p)
313 :
412
521 *
751
-
431 -
852
411
813
Simplifique:
a)
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
b)
1 17
9 :
4
3
3
24
1
3
1
2
1
2. TEORIA DOS CONJUNTOS
Símbolos
: pertence : existe
: não pertence : não existe
: está contido : para todo (ou
qualquer que seja)
: não está
contido : conjunto
vazio
: contém N: conjunto dos
números naturais
: não contém Z : conjunto dos
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números inteiros
/ : tal que Q: conjunto dos
números racionais
: implica que Q'= I: conjunto dos
números irracionais
: se, e
somente se
R: conjunto dos
números reais
Na Matemática, conjunto, elemento e relação de pertinência são aceitos sem definição.
Notação: Um conjunto é indicado por letras maiúsculas A, B, C, ..., colocando-se seus
elementos entre chaves.
Exemplos:
A = {a,e,i,o,u}
B = {2,3,4}
O conjunto pode ser determinado por uma sentença.
Exemplo:
A = { x/x é número par}
Através de diagrama de Venn.
A
a e i
o u
Subconjunto
Um conjunto A é subconjunto de B, se e só se, todo elemento que pertence a A pertence a B.
A B lê-se A está contido em B (relação de inclusão.
A = {1,2,3,4}
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B = {1,2}
A
4
3
1
B 2
Obs: A, A
Conjuntos iguais: Dois conjuntos são iguais A = B, se e só se, A B e B A.
Operações sobre os conjuntos:
a) Intersecção
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao
conjunto A e ao conjunto B.
A B = { x: x A e x B } Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={a,e,b,c} então A B = {a,e}.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos
são disjuntos.
Propriedades:
A =
A A = A
A B = B A
(A B) C = A (B C)
b) União
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A
ou ao conjunto B.
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A B = { x: x A ou x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B = {a,e,i,o,3,4}.
Propriedades:
A = A
A A = A
A B = B A
(A B) C = A (B C)
c) Diferença
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto
representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não
pertencem a B, ou seja:
A - B = {x: x A e x B}
Obs: Se B A, define-se complementar de B em relação a A:
B
AC = A - B = {x/ x A e x B}
Definimos um número racional como um valor x tal que 0, qeZqpq
px .
Admitindo por redução ao absurdo que p 0 e q = 0, podemos representar x da seguinte forma:
0.0
xpp
x , qual o valor que x deve assumir de modo que multiplicado por zero resulta
p ? Como pode-se ver facilmente esta igualdade é uma impossibilidade. Deve-se portanto
admitir que à medida que o denominador fica próximo de zero, tornando-se muito pequeno, x
torna-se excessivamente grande ou infinitamente grande. Assim:
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0
px
Por outro lado se admitirmos que p = 0 e q = 0, tem-se:
0.00
0xx , qual o valor que x deve assumir de modo que multiplicado por zero resulta
zero ? Qualquer valor torna a igualdade 0 = x.0 verdadeira, logo pode-se representar qualquer
número real através da fração 0
0 , então esta fração caracteriza uma indeterminação.
Os racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou infinitos e periódicos.
...333,03
10
4
05,0
2
1
d) Irracionais (I ou Q’ )
São aqueles que não podem ser expressos na forma p/q, com p e q inteiros e q diferente de 0.
São compostos por dízimas infinitas não periódicas.
e = 2,71828 .... (base neperiana)
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais.
Como subconjuntos importantes de IR temos:
IR* = IR-{0}
IR+ = conjunto dos números reais não negativos
Intervalos em IR
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais
compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites
do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo.
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
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REPRESENTAÇÃO
[p;q] = {x IR / p x q}
(p;q) = { x IR / p < x < q}
[p;q) = { x IR / p x < q}
(p;q] = {x IR / p < x q}
[p; ) = {x IR / x p}
(- ; q] = { x IR / x q}
(- ; q) = { x IR / x < q}
(p; ) = { x IR / x > p }
(-,a) (b, +) = { x R / x
a x b}
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto IR) pode ser representado
na forma de intervalo como IR = ( - ; + ).
Exercícios: Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80
trabalham à noite, 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e à noite, 40
trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Quantos operários trabalham só de
manhã ?
ATIVIDADE
1) Represente os seguintes conjuntos enumerando seus elementos:
a) A = {x / x > 3} b) B = {x / x < 8}
c) C = {x / 3 < x < 8} d) D = {x / 4 x < 11}
e) F = {x / x > - 3} f) G = {x / x = 2k e k }
g) H = {x / x = 2k + 1 e k }
2) Em uma escola, cujo total de alunos é 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que
os alunos costumam beber. Os resultados foram: A = 200 , A e B = 20 Nenhum = 100
a) Quantos bebem apenas o refrigerante A ?
b) Quantos bebem apenas o refrigerante B ?
c) Quantos bebem B ?
d) Quantos bebem A ou B ?
Representação geométrica
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3) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de tv favoritos: (E)
esporte, novela (N) e humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses
programas:
Programas Número de telespectadores
E 400
N 1220
H 1080
E e N 220
N e H 800
E e H 180
E,N e H 100
Através desses dados, calcule o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três
programas.
4) Sendo A = [2;5] e B = (3;7) determine graficamente e através da notação de conjuntos:
a) A B b)
c) A - B d)
3. INTERVALOS
O conjunto de números reais é normalmente associado a uma reta. Esse conjunto infinito é
representado pelo símbolo R.
Os números reais podem ser fracionários
Ex.: 2,7893 .
NÚMEROS (REAIS) RACIONAIS
São números que podem ser expressos na forma p/q , onde p e q são inteiros
positivos ou negativos.
Ex.: 0
1 ,
1
1 ,
1
2 ,
2
1 ,
1
3 ,
2
7 ,
21
13 , ... , etc. racionais positivos
BA
AC
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
nos negativos nos positivos
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ou
- 1
2 , -
5
7 , -
2
3 , -
41
17 , ... , etc. racionais negativos
NÚMEROS (REAIS) IRRACIONAIS
São números que não podem ser postos na forma anterior (p/q) e são por
exemplo:
2 , 3 , - 5 , , etc.
VARIÁVEIS E CONSTANTES
Chama-se variável real a um símbolo capaz de representar qualquer número
de um conjunto de números reais. Representação (x, y, z, s, ...)
Por outro lado, um símbolo que represente sempre um mesmo número é
denominado de constante. Ex.: , e, 3 , etc.
Os valores que uma variável pode assumir são representados por intervalos ,
que são definidos a seguir.
Seja a e b números reais, tais que a < b.
1 - O intervalo aberto de a até b, denotado por [a,b], é o conjunto de todos os números
reais x, tais que a < x < b. Os pontos extremos não pertencem ao intervalo.
2 - O intervalo fechado de a até b, representado por [a,b] é o conjunto de números
reais x, tais que a x b. Os extremos a e b pertencem ao intervalo.
3 - Intervalo aberto à direita, de a até b, representado por [a,b[ é o conjunto de
números reais x, tal que a x < b. Neste caso a pertence ao intervalo, mas b
não pertence.
] [ a b
[ ] a b
[ [ a b
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4 - Intervalo aberto à esquerda ]a , b]. b ao intervalo. a ao intervalo.
OUTROS TIPOS DE INTERVALOS
Existem também os intervalos não limitados representados com os símbolos +
e - (infinito).
Os intervalos
1 - De a até + , representado por [a, +[ é o conjunto de todos os números reais x
tal que x > a.
2 - De - até a é ]-, a] é o conjunto dos números reais x tal que x < a.
3 - De a até +, representado por [a, +[ é o conjunto de todos os números reais x,
tais que x a.
4 - De - até a, ]-,a] , x a.
5 - O intervalo ]-, +[ é o conjunto dos números reais R.
Noção de dependência ou funcionalidade.
Em nosso cotidiano, sempre nos deparamos com fatos que relacionam duas
grandezas (variáveis), por exemplo:
1) A área de uma circunferência A = r2 depende de seu raio. A depende do r, que
podemos dizer A é função de r, ou ainda A = f(r).
2) O valor do selo depende do peso da carta, Valor = f(peso).
3) A velocidade de um carro depende da potência de seu motor, ou também V = f(P)
] ] a b
[ a
+
a ao intervalo - a
]
[ a
+
a ao intervalo
-
a
a ao intervalo ]
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Com isso podemos criar um conceito matemático que seja capaz de descrever a relação
entre variáveis, esse conceito é o de função.
4. POTÊNCIAS
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A.
grau.seu o determina que potência, da expoente o én
potência; da base a é A... *A *A *A *A *A A
vezesn
n
Assim:
2³ = 2 * 2 * 2 = 8 2³ = 8
(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 (- 1)
4 = 1
CASOS PARTICULARES:
a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:
A1 = A; 2
1 = 2
b) Toda potência de 1 é igual a 1:
1² = 1; 1³ = 1
c) Toda potência de 0 é igual a 0:
0² = 0; 0³ = 0
d) Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4 = 16; 2
4 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
25 = 32 ; (- 2)
5 = - 32
19) Multiplicação de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.
Realmente: 52 3
vezes5
vezes2 vezes3
2 2 2 * 2 * 2 * 2 * 2 2² * ³2
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Exemplo:
5² * 57 = 5
9 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125
20) Divisão de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.
Realmente: 24 - 6
vezes6
vezes4
4
6
5 5 5 * 5 * 5 * 5
5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5
5
5
Exemplo: 37 : 3
3 = 3
4 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
21) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes)
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Realmente: 2² * 7² = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)²
Exemplo: 3³ * 5³ = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5)³ = 15³ = 3 375
22) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Realmente:
2
2
2
7
2
7
2 *
7
2
7 * 7
2 * 2
7
2
Exemplo: 8³ : 2³ = 4³ = 64
23) Potenciação de potência
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
Realmente: 62 * 32363 3
vezes2
3323 2 2 2ou 2 2 2 * 2 2
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Exemplo: 049 59 3 3 1025
24) Expoente nulo
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a unidade.
Realmente: 1 a 1 a : a
a a a : a 0
44
04 - 444
Exemplo: (- 5)0 = 1
25) Expoente negativo
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo
numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo
expoente com o sinal positivo.
Realmente: 4
4-
4-7 - 3
7
3
443
3
7
3
2
1 2
2 2 2
2
2
1
2 * 2
2
2
2
Exemplo: 25
1
5 * 5
1
5
1 5
2
2
26) Potências de 10
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem
as unidades do expoente.
Exemplos:
a) 10² = 100
b) 107 = 10 000 000
c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10²
d) 4000 = 4 * 10³
e) 300 000 = 3 * 105
f) 3 * 108 = 300 000 000
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27) Números decimais
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como
inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente
quantas são as ordens decimais.
Realmente: 4-
410 * 25
10
25
000 10
25 0025,0
Exemplos:
a) 0,001 = 10-3
b) 0,002 = 2 * 10-3
c) 0,00008 = 8 * 10-5
d) 1,255 = 1255 * 10-3
e) 2 * 10-3
= 0,002
28) Exercícios
a) 1³ =
b) 04 =
c) (- 2)³ =
d) (- 4)³ =
e) (- 2)4 =
f) (- 4)4 =
g) 2³ * 25 =
h) 3² * 3 * 35 =
i) 35 : 3
4 =
j) 34 : 3² * 3
5 =
k) 24 * 5
4 =
l) (- 35) * (- 5
5) =
m) 153 : 3
3 =
n) (- 46) : 2
6 =
o) (3³)2 =
p) (2³)5 =
q) 3³2 =
r) [ (3³)² ]² =
s) (2 * 3)³ =
t) (3² * 5 * 2)4 =
u)
5
3
5
=
v)
3
43
2
=
w)
2
3
32
5
3 * 2
=
x) (2 * 3²)0 =
y) 4-2
=
z) 2 * 3-1
=
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aa) 43
2
=
bb) (2-3 * 5
-2)
-4 =
cc) 2x + 1
* 4x =
dd) 32x * 24
x =
ee) 54x
: 252x
=
Exprimir, utilizando potências de 10:
a) 20 000 =
b) 4 800 000 =
c) 0,01 =
d) 0,000045 =
Efetuar, utilizando potência de 10:
a) 80
000 48 * 000 2 =
b) 00002,0
0,000032 * 28 =
RADICAIS
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão
que, elevado à potência n reproduz A.
OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo
radical -
radicando -A
raiz da índice -n
An
Assim:
a) 4 16 porque 4² = 16
b) 2 83 porque 2³ = 8
c) 3 814 porque 34 = 81
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29) Propriedade
É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo
índice do radical.
Exemplos:
a) 3 2 3 * 2 12 2
b) 5 6 5 3 * 2 5 3 * 2 180 22
c) 424 48 2 5 * 3 2 * 5 * 3
d) 24 : 84 8 3 3 3
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo
índice do radical. Assim:
3 33 2 * 3 2 3
30) Adição e subtração de radicais semelhantes
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de
radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.
Exemplos:
a) 2 2- 2 10 - 2 8 2 10 - 2 5 2 3
b) 3333333 2 3 2 6 - 2 9 2 - 2 5 - 2 6 2 3
31) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum.
Exemplo:
a) 6 3 * 2 3 * 2
b) 3 2
6
2
6
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c) 30 2 * 5 * 3 2 * 5 * 3
d) 44
4
4
44
2
15
2
15
2
3 * 5
32) Potenciação de radicais
Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.
Exemplo:
a) 44 334 27 3 3
b) 5 245 222
5 2 3 * 2 3 * 2 3 * 2
33) Radiciação de radicais
Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
Exemplos:
a) 42 * 2 3 3 3
b) 243 4 3 3
34) Expoente fracionário
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a
base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.
Exemplos:
a) q pq
p
a a
b) a a 21
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c) 33 232
4 2 2
d) 43
4 3 6 6
35) Racionalização de denominadores
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio
radical o numerador e o denominador da fração.
Exemplo:
a) 2
2
4
2
2 * 2
2 * 1
2
1
b) 6
3
3 * 2
3
92
3
3 * 32
3 * 1
32
1
c) 3
6
9
6
3 * 3
3 * 2
3
2
d) 15
12
30
122
6 * 5
122
365
122
6 * 65
6 * 22
65
22
2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou
ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador
pela expressão conjugada do denominador.
OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:
(a + b) * (a – b) = a² - b²
Assim:
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
Exemplos:
a)
3
2 - 5
2 - 5
2 - 5
2 - 5
2 - 5
2 - 5 * 2 5
2 - 5 * 1
2 5
1
22
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b)
3 - 2 * 5 1
3 - 2 * 5
3 - 4
3 - 2 * 5
3 - 2
3 - 2 * 5
3 - 2 * 3 2
3 - 2 * 5
3 2
5
22
36) Exercícios
Efetuar:
a) 510 52 - 5
b) 8 - 23 32
c) 729 - 3 33 4
d) 6 * 3
e) 4 - * 2 - 33
f) 2
8
4
4
g) 263
h)
3 * 2
23 2
i) 33 3
j) 23
k) 223
l) 2223 3 3
Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
a) 43
2 =
b) 21
2
=
c) 2
1
21
2
=
d) 61
3 * 2 =
Racionalizar o denominador das frações seguintes:
a) 5
1 =
b) 7
3 =
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c) 22
3 =
d) 2 - 5
2 =
e) 11 - 4
5 =
Simplifique:
a) 2
8 - 50 =
b) 2352 =
c) 1 2
1 -
2 - 1
1
=
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
37) Expressões algébricas
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números.
Exemplos:
a) 5ax – 4b
b) ax² + bx + c
c) 7a²b
OBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou de diferença, temos um
monômio em que 7 é o coeficiente numérico e a²b é a parte literal.
38) Operações com expressões algébricas
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Soma algébrica
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a
mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos
semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.
Exemplo:
3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²
Multiplicação
Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e
reproduzem-se os termos semelhantes.
Exemplo:
(3a²y) * (2ay) = 6a³y²
Divisão
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo
1º coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se
as regras para divisão de potências de mesma base.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo
monômio divisor.
Exemplo:
(42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx²
39) Fatoração
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado.
Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o
máximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é
formada pelas letras comuns com os menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores:
o 1º é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.
Exemplos:
a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
a² 4ax² 2x 2ax 2ax
x³a2
2ax
³x²a8
2ax
²ax42ax x³a2 ³x²a8 ²ax4
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b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².
Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)
40) Exercícios
Fatorar:
a) 15a² - 10ab =
b) 3a²x – 6b²x + 12x =
5. PROPORCIONALIDADE
41) Razão
Seja dois números genéricos a e b. A razão entre a e b é representada por b
a, a/b ou a : b,
sendo b 0.
42) Proporção
Proporção é a igualdade de duas razões.
Seja a proporção: d
c
b
a ou d:cb:a ou .d:c::b:a
Seus elementos se denominam:
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporção o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos.
Considerando as proporções:
d
c
b
a então c*bd*a
a - primeiro termo
b - segundo termo
c - terceiro termo
d - quarto termo
a e b - extremos
b e c - meios
a e c - antecedentes
b e d - conseqüentes
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Professor Antonio Castro Júnior 37
6
8
3
4 então 8*36*4
5
3
2
x então 3*2x*5
A principal aplicação desta propriedade é a determinação de um elemento desconhecido na
proporção. Exemplificando:
Determine x na proporção:
5
20
4
x então 20*4x*5 ou 16x
43) Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais
Duas grandezas x e y são denominadas:
Diretamente proporcionais: quando a razão entre x e y é constante.
ky
x ou kyx
Inversamente proporcionais: quando o produto delas é constante.
ky*x ou y
kx
Sendo k denominada constante de proporcionalidade.
Exemplos:
a) Seja um carro que se desloca com velocidade constante em trajetória retilínea.
A tabela mostra o deslocamento do carro em função do tempo.
Tempo
(s)
Deslocamento
(m)
1 20
2 40
3 60
4 80
5 100
10 200
A pergunta é: tempo e
deslocamento são
grandezas diretamente ou
inversamente
proporcionais?
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Professor Antonio Castro Júnior 38
Chamado de x o deslocamento e t o tempo, observa-se que a razão t
x é constante.
2010
200
5
100
4
80
3
60
2
40
1
20
t
x
Assim x e t são grandezas diretamente proporcionais e a constante de
proporcionalidade vale 20 (que é a velocidade do carro).
b) Um gás é mantido à temperatura constante em um recipiente de volume
variável. Quando se altera o volume do gás a sua pressão também se modifica.
Registraram-se em uma tabela os valores correspondentes da pressão (P) e
volume (V).
Pressão Volume
20 20
40 10
80 5
100 4
200 2
400 1
Note que PV é constante.
4001.4002.2004.1005.8010.4020.20PV Assim: P e V são
grandezas inversamente proporcionais com constante de proporcionalidade igual a
400.
44) Regra de três simples
Utilizamos regra de três simples na solução de problemas que envolvem grandezas
proporcionais.
Exemplos:
a) Um automóvel se desloca com velocidade constante percorrendo 40 km em 1
hora. Qual o tempo gasto para percorrer 100 km?
SOLUÇÃO
As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. Teremos então uma regra
de três simples e direta.
Dispomos os dados do problema colocando frente `frente aqueles que se
correspondem. Marcamos x no local do valor procurado:
P e V são grandezas
diretamente ou
inversamente
proporcionais?
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Professor Antonio Castro Júnior 39
40 km ...............1 h
100 km ................x
Sendo a regra de três simples e direta, tem-se:
x
1
100
40 (as grandezas são dispostas na mesma ordem de correspondência).
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, vem:
horas 2,5x 100*1x*40
b) Dois litros de gás exercem uma pressão de 0,4 atm. Cinco litros do mesmo gás,
à mesma temperatura, exercerão que pressão?
SOLUÇÃO
As grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, teremos uma regra de
três simples e inversa.
Dispondo os dados do problema:
2 litros............... 0,4 atm
5 litros............... x
Sendo a regra de três inversa, as grandezas são dispostas de forma que na proporção
os termos do 2º membro ficam invertidos.
4,0
x
5
2 ou atm 0,16x x*54,0*2
45) Exercícios
Resolva os seguintes exercícios:
a) Uma bomba eleva 272 litros de água em 16 minutos. Quantos litros elevará em
1 hora e 20 minutos?
b) Doze operários levaram 25 dias para executar uma determinada obra. Quantos
dias levarão 10 operários para executar a mesma obra?
c) Num livro de 200 páginas há 30 linhas em cada página. Se houvesse 25 linhas
em cada página, quantas páginas teria o livro?
d) Metade de uma obra foi feita por 10 operários em 13 dias. Quantos tempo
levarão para terminar essa obra com 3 operários a mais?
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Professor Antonio Castro Júnior 40
e) Com uma certa quantidade de cobre fabricam-se 1600 metros de fio com seção
de 12 mm². Se a seção for de 8 mm², quantos metros de fio poderão ser obtidos?
6. Monômios e Polinômios com Algeplan
Objetivos: Trabalhar o conceito e as operações com monômios e polinômios.
Fundamentos Teóricos: Os assuntos monômios e polinômios, geralmente, não são
bem compreendidos pelos alunos devido a uma certa aridez com que o assunto é
tratado. No entanto, podemos utilizar um recurso didático para facilitar a compreensão
das operações algébricas, até duas variáveis, através da manipulação de figuras
geométricas coloridas. Este recurso didático chama-se algeplan.
Material necessário:
Um algeplan é formado por peças do seguinte tipo:
- Quadrados de lado 10 cm; quadrados de lado 4 cm e quadrados de lado 3 cm.
- Retângulos com as seguintes medidas: 10 x 4 cm, 10 x 3 cm e 4 x 3 cm.
- São necessárias 10 (dez) peças de cada tipo. Pode-se utilizar papel cartão ou qualquer
outro material que apresente a cor da frente diferente da cor do verso.
- Utilizar uma cor (na frente) para cada tipo de peça. O verso de todas as peças deve ser
da mesma cor.
- Como “pré-requisito” o aluno deve conhecer o conceito de área de figuras planas.
- Regra: A frente das peças serão consideradas positivas e o verso de cada uma delas
negativos . Positivo e negativo se anulam.
Procedimentos para Adição e Subtração de Monômios
1.Utilizando o algeplan, mostre que as igualdades abaixo são verdadeiras:
a) 3xy – 2xy + xy = 2xy
b) 3x + 2x2 – x
2 – 2x = x
2 + x
c) 2y + 1 – 3y – x2 + 3x
2 = 2x
2 – y + 1
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2. Utilizando o algeplan, efetue as seguintes operações:
a) – 3xy – 2y2 – y
2 – 2xy + 1 + x
2 =
b) x2 – 4xy + xy – 2x
2 =
c) – 5x2 + 3xy + 2x
2 – 2xy + 3x
2 – xy =
3) Descubra uma regra prática que nos permita chegar ao resultado sem a utilização do
algeplan.
4) Utilizando a regra prática, efetue :
a) 3x + 2xy – x2 + 4x
2 – 3xy =
b) y2 – 10y
2 + 5xy – 4 + xy =
c) 5a2
+ 23b3y – 7a
2 + 4 b
3y =
Procedimentos para Multiplicação de Monômios
Utilizando as peças do algeplan faça o que se pede:
1. Construa um retângulo de lados 2x e 3x.
a) Determine a sua área.
b) Complete: 2x . 3x =
2) Construa um retângulo de lados 3 e 2x.
c) Determine a sua área.
d) Complete: 3 . 2x =
3) Construa um retângulo de área 8xy
- Complete: 8xy =
4) Construa um retângulo de área 6y2
- Complete: 6y2 =
5) Utilizando as peças do algeplan, efetue:
a) y . 2x =
b) 4x . 2x =
c) 2x . 3x =
6) Descubra uma regra prática que nos permita multiplicar monômios sem a utilização
do algeplan.
7) Utilizando uma regra prática efetue:
a) 2x5 . 3x
4 =
b) 5xy3 . 2xy
4 =
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Procedimentos para Divisão de Monômios
1) Sabemos que 2.5 = 10. Então 10 : 2 = 5 ou 10 : 5 = 2.
a) Utilizando o algeplan, construa um retângulo cuja área seja 6x2
b) Aplicando o mesmo raciocínio acima podemos concluir que 2x . 3x = 6x2. Então
OBS.: Construímos inicialmente um retângulo com uma determinada ares. O valor desta
área representa o dividendo e a medida de sua base e de sua altura representam,
respectivamente, o divisor e o quociente (ou vice-versa) na operação de divisão de
monômios.
2) Utilizando o algeplan, construa agora um retângulo cuja área seja 6xy.
Desenvolvendo um raciocínio análogo ao do item anterior obtenha o resultado de 6xy :
2x =
3) Aplicando o mesmo raciocínio podemos concluir que:
Se 2x3
. 5x6
=10x9, então: 10x
9 : 5x
6 = 2x
3 ou 10x
9 : 2x
3 = 5x
6.
4) Observe as divisões de monômios realizadas anteriormente e descubra uma regra
prática para dividir monômios.
5) Aplicando a regra prática efetue as seguintes divisões de monômios:
a) 15x4 y
3 : 3x
2y =
b) (-20bx5) : (-2bx
3) =
Procedimentos para Adição e Subtração de Polinômios
Neste momento seria conveniente lembrar novamente ao aluno a seguinte regra:
- A frente das peças serão consideradas positivas e o verso de cada uma delas
negativos . Positivo e negativo se anulam. Podemos enunciar, ainda, a seguinte regra:
- O sinal negativo na frente dos parênteses indica o oposto. No algeplan a peça deverá
ser colocada na posição contrária a que está indicada no interior dos parênteses.
1) Utilizando o algeplan, efetue as seguintes operações com polinômios e faça um
esboço para mostrar o seu raciocínio.
x
x
x
x x
6x2 : 3x = 2x
6x2 área do
retângulo 3x base do retângulo
2x altura do retângulo
6x2 : 2x = 3x
6x2 área do
retângulo 2x altura do retângulo
3x base do retângulo
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a) ( 2x2 – xy – y ) + (– 3x
2 + 2xy) – (x
2 – 3y) =
b) (y2 – 3) – (3x – 1) + (3x – 2y
2 + xy) =
2) É possível obter um processo prático que nos permita chegar ao resultado sem a
utilização do algeplan?
OBS.: Através de perguntas como esta, poderíamos levar os alunos a concluírem que,
para se chegar ao resultado são necessários os seguintes procedimentos:
- Eliminamos os parênteses, considerando que o sinal de negativo antes deles
indica o oposto
- Efetuamos os coeficientes dos termos semelhantes, mantendo a parte literal.
3) Aplicando a regra prática, efetue as seguintes operações com polinômios:
a) ( 2x2 – xy – y ) + (- 3x
2 + 2xy) – (x
2 – 3y) =
b) (y2 – 3) – (3x - 1) + (3x – 2y
2 + xy) =
Procedimentos para Multiplicação de Polinômios
Antes de iniciarmos esta operação convém reforçarmos os seguintes aspectos:
- podemos determinar a área de um retângulo conhecendo-se seus lados.
- Regra: só podemos encostar duas peças do algeplan quando o lado comum tiver
a mesma medida.
1) Construa com o algeplan um retângulo de lados 2x e (x + 1).
a) Qual é a área do retângulo que você construiu?
b) Complete: 2x . (x + 1) =
2) Construa com o algeplan um retângulo de lados 3y e (x + 2). Faça um esboço.
a) Qual é a área do retângulo que você construiu?
b) Complete: 3y . (x + 2) =
3) Construa com o algeplan um retângulo de lados x e (x - 2). Faça um esboço.
c) Qual é a área do retângulo que você construiu?
d) Complete: x . (x - 2) =
4) Observe o ultimo item das três atividades desenvolvidas anteriormente:
a) 2x .(x + 1) = 2x2 + 2x
b) 3y. (x + 2) = 3xy + 6y
c) x . (x - 2) = x2 – 2x
Em cada uma delas seria possível obter o produto sem a utilização do algeplan? Como
você faria isto?
OBS.: Através de perguntas como estas poderíamos levar os alunos a concluírem que
para se chegar ao resultado são necessários os seguintes procedimentos:
- aplicar a propriedade distributiva;
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- aplicar as operações com monômios;
5) Construa com o algeplan um retângulo de lados (2y + 1) e (x + 2). Faça um esboço.
a) Qual é a área do retângulo que você construiu?
b) Complete: (2y + 1) . (x + 2)
6) No caso anterior é possível obter a resposta sem a utilização do algeplan? Como você
faria isso?
Procedimentos para a divisão de polinômios;
1) Sabemos que 3 . 4 = 12. Então: 12 : 3 = 4 ou 12 : 4 = 3
a) Utilizando o algeplan construa um retângulo cuja área seja x2 + 3x +2.
b) Aplicando o mesmo raciocínio podemos concluir que (x + 1) . (x + 2) = x2 + 3x
+2.Então:
(x2 + 3x +2) : (x + 2) = (x + 1)
ou
área do retan
(x2 + 3x +2) : (x + 1) = (x + 2)
OBS: Construímos inicialmente um retângulo com uma determinada área. O valor desta área
representa o dividendo e a medida de sua base e sua altura representam respectivamente divisor
e quociente (ou vice e versa) na operação de divisão de polinômios.
2) Utilizando o algeplan construa agora um retângulo cuja área seja 2y2 + 2xy + x + y .
Desenvolvendo um raciocínio análogo àquele do item anterior,obtenha o resultado de: (2y2 +
2xy + x + y ) : (2y + 1) =
3)Aplicando o mesmo raciocínio podemos concluir que:
Se (2y + 1) . (x + y) = (2y2 + 2xy + x + y ) , então : (2y
2 + 2xy + x + y ) : (2y + 1) =
(x + y), ou (2y
2 + 2xy + x + y ) : (x + y) = (2x + 1).
4) Observe as divisões de polinômios realizadas anteriormente e descubra uma regra prática
para dividir polinômios.
5) Aplicando a regra prática efetue as seguintes divisões de polinômios:
a) (x2 + 7x + 10) : (2x + 10) =
1
x
x 1 1
Área do retângulo Base do retângulo Altura do retângulo
Área do retângulo Altura do retângulo Base do retângulo
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b) (3x2 + 4x + 1) : (x
2 + x) =
7. Produtos notáveis
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde
logo. Vejamos alguns deles:
I. Quadrado da soma de dois termos:
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o
produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”
Exemplo:
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²
II. Quadrado da diferença de dois termos:
“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o
produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”
Exemplo:
(x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
III. Produto da soma de dois termos por sua diferença:
“O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o
quadrado do segundo.”
Exemplo:
(1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b) * (a – b) = a - b
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8. EQUAÇÕES DO 1º GRAU
UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO
As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França, Henrique IV, o francês
François Viète, nascido em 1540. Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que
era mensagens escritas com a substituição de letras por numerais. Desta forma Viète teve uma
idéia simples mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para representar os números nas
equações.
O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde (matemático inglês) que
escreveu em um de seus livros que para ele não existiam duas coisas mais parecidas que
duas retas paralelas. Um outro matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu
colega e começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades são iguais:
Exemplo:
_________
400 cm _________ 4 m
Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas equações de Viète.
Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram expressas em palavras e eram
resolvidas com muita dificuldade. A notação de Viète significou o passo mais decisivo e
fundamental para construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações. Por isso, Fraçois
Viète é conhecido como o Pai da Álgebra.
46) Equação
Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras
(que se denominam incógnitas).
Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um problema; aquilo que é
desconhecido e se procura saber; enigma; mistério. (Dicionário Silveira Bueno – Editora
LISA)
Exemplo:
a) membro 2ºmembro 1º
5 2 - x só é verdade para x = 7
b) 3x + y = 7 só é verdade para alguns valores de x e y, como por exemplo x = 2 e y
= 1 ou x = 1 e y = 4.
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Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-se
raízes da equação.
Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoente dessa incógnita for 1
então a equação é dita equação do 1º grau a uma incógnita.
47) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita
Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma equação do 1º grau a uma
incógnita, consegue-se resolve-la isolando-se a incógnita no 1º membro, transferindo-se
para o 2º membro os termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação
inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação
e radiciação).
Exemplos:
a) x + 2 = 7 x + 2 – 2 = 7 – 2 x = 5
b) x – 3 = 0 x – 3 + 3 = 0 + 3 x = 3
c) 4 x 2
8
2
2x 8 x2
d) 15 x 5 * 3 3
x* 3 5
3
x
Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém, utilizar as operações dos sinais
4 x 2-
8-
2-
2x- 8- x2
Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou subtração, o primeiro
passo será eliminar os denominadores, o que se faz mediante a aplicação da seguinte regra:
Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir:
5
6 -4x
3
1 3x -
2
2 -3x
Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c.
encontrado por cada um dos denominadores e multiplicam-
se os resultados pelos respectivos numeradores.
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1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver:
m.m.c. (2; 3; 5) = 30
Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6)
2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações indicadas:
45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36
3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º membro, e os
independentes (os que não contém a incógnita) para o 2º, efetuando as operações
necessárias:
45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10
4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:
-9x = 4
5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está sendo multiplicado, desta
maneira isola-se a incógnita:
9-
4
9
x9
6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a ser negativa também:
9
4- x
VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL”
Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada. Os valores
numéricos devem ser iguais
48) Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas
A forma genérica de um sistema é:
pnymx
cbyax onde a, b, c, m, n, p (Reais)
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a. Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas incógnitas admite infinitas
soluções. Por exemplo, a equação 2x – y = 4 é verificada para um número
ilimitado de pares de valores de x e y; entre estes pares estariam:
(x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc.
b. Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um sistema de suas equações
a duas incógnitas é determinar os valores de x e y que satisfaçam
simultaneamente às duas equações. Por exemplo o sistema:
1y
3x para solução tem
3y3x2
16yx5
Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às
duas igualdades. (Verifique!)
Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um sistema, são eles: Substituição,
comparação e adição.
SUBSTITUIÇÃO
1º) Seja o sistema:
2 equação 1y2x5
1 equação 8y3x2
2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo, o valor de x na equação
1:
3 equação 2
y38x
y38x2
8y3x2
3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3):
4 equação 1y22
3y-8*5
4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y:
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2y
38y19
2y4y1540
2y4y38*5
5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está isolado) e determina-se x:
1 x
2
68x
2
2*38x
6º) A solução do sistema é:
x = 1 e y = 2
COMPARAÇÃO
1º) Seja o sistema:
7y2x5
33y3x7
2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:
7
y333x
e
5
y27x
3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x = x):
5
y27
7
3y-33
4º) Resolve-se a equação e determina-se y:
4 y
16y29
y1449y15165
y27*7y333*5
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5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está isolado e determina-se o
valor de x:
3 x
7
21
7
1233
7
4*333
7
3y-33x
6º) A solução do sistema é:
x = 3 e y = 4
ADIÇÃO
Este método consiste em somar, membro a membro, as duas equações com o objetivo de,
nesta operação, eliminar uma das incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de
uma das incógnitas serem simétricos.
Exemplos:
a)
2 equação 0yx
1 equação 4yx
Somando, membro a membro, vem:
2 x 4x2
Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a critério do aluno), vem:
2y 4y2
b)
62y-10x
72y3x
(2)* 3yx5
7y2x3
Somando, membro a membro, vem:
1 x 13x13
Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério do aluno), vem:
2y 42y 72y3 72y1*3
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49) Exercícios
Resolver as seguintes equações:
a) 8x4
b) 10x5
c) 8x7
d) 7x23
e) 12x4x416
f) x527x13x78
g) 4
3
3
x2
h) 10
x3
4
1
i) 3x45x42x9
j) 5x410x27*5x2*3
k) 14
36x5
2
x12
3
2x
l) 6
x59
2
31
2
x
3
x43
8
3x5
Resolver os seguintes sistemas de equações:
a)
24yx3
12yx
b)
1y2x7
19y6x5
c)
2y4x3
12y5x
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d)
22
3y
3
1x2
25
y
4
x
Considere o problema:
A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade do pai era o triplo da
idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho?
9. EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo:
onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a 0).
A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x apresentar o maior
expoente igual a 2.
Se tivermos b 0 e c 0 teremos uma equação completa.
Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.
50) Resolvendo Equações de 2º Grau
Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante simples, veja:
1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:
Exemplo:
3 x² = 0 x² = 0 x = 0 S = {0}
2º caso: c = 0 e b 0; temos então:
Exemplo:
a . x² + b . x + c = 0
a . x² = 0
a . x² + b . x = 0
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3 x² - 12 x = 0 x . (3 x – 12) = 0 x = 0 ou 3 x – 12 = 0 3 x = 12 x =
4 S = {0; 4}
3º caso: b = 0 e c 0; temos então:
Exemplo:
x² - 4 = 0 x² = 4 x = 4 x’ = 2 e x’’ = -2 S = {-2; 2}
A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma fórmula que foi
demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido em 1 114; por meio dela sabemos
que o valor da incógnita satisfaz a igualdade:
A fórmula apresentada é uma simplificação de duas fo’rmulas; veja:
> 0 têm-se duas raízes reais e diferentes
= 0 têm-se duas raízes reais e iguais
< 0 têm-se duas raízes imaginárias
e
OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a equação de segundo grau visto
que o x² seria anulado.
51) Exercícios
Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas:
a . x² + c = 0
Fórmula de Bhaskara a.2
c.a.4²bbx
c*a*4b2
a*2
bx
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a) 06x7x2
b) 028x3x2
c) 02x5x3 2
d) 03x16x16 2
e) 016x4 2
f) 018x2 2
g) x5x3 2
h) 0x8x2 2
i) 223x43x2
Prever a natureza das raízes das equações:
a) 01x3x2 2
b) 03xx2
c) 02x4x2 2
Determinar mentalmente as raízes das equações:
a) 05x6x2
b) 015x2x2
c) 012x4x2
d) 021x10x2
e) 050x5x2
Resolver as seguintes equações:
a) bax 2
b) 181x2x1xx
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10. FUNÇÕES
Introdução
Definição: Dados dois conjuntos A e B e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma função
ou aplicação se, e somente se, para todo elemento x de A existe, em correspondência, um único
elemento y de B tal que o par (x,y) pertença a relação f. Uma função geralmente é dada por uma
expressão que estabelece a correspondência entre os conjuntos A e B.
Qualquer função possui sempre os seguintes três elementos básicos:
a) Um conjunto de "saída"chamado Domínio
b) Um conjunto de "chegada"chamado Contradomíno
c)) Uma lei ou regra que permite associar os elementos do Domínio com o s elementos do
contradomínio.
Notação: Se A é o domíno, B o contradomínio e f é uma função de A
em B, denotamos
f : A → B
x → f (x)
Domínio: O Domínio da função é o conjunto dos pontos para os quais faz sentido a aplicação da
regra de correspondência entre os conjuntos A e B. Nesse estudo inicial de funções usaremos
sempre como domínio um subconjunto A ⊂ R e o contradomínio será sempre B = R. Notação: O
domínio de uma funação f será denotado por Dom(f ).
Imagem: A imagem de uma função f : A → R, A ⊂ R, é definida como sendo o conjunto dos
pontos y ∈ R tais que existe x ∈ A tal que f (x) = y. Observe que a imagem de uma função f está
contida no contradmínio da função f. Denotamos o conjunto imagem da função f por Im(f ).
Gráfico: O gráfico de uma função é um subconjunto do produto cartesiano R × R. Definimos o
gráfico de uma função, denotado por Graf(f), o seguinte conjunto Graf (f) = {(x, y) ∈ R ×R Á y
= f (x)} . O gráfico de uma função f pode ser visualizado geometricamente usando-se o sistema
cartesiano ortogonal onde podem ser vistos o conjunto de pontos da forma (x, f (x)).
Função Crescente e Decrescente: Uma função é chamada de função crescente se x1 < x2 ⇒ f
(x1) ≤ f (x2). Uma função é chamada de função decrescente se x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).
Exemplo: Considere a função f cuja regra é dada por f (x) = √x − 1.
Neste caso a expressão √x − 1 só tem sentido para x ≥ 1, portando o domínio da
função, denotado por D(f ), é D(f) = {x ∈ R/ x ≥ 1} . Logo podemos escrever f : [1,+∞) → R
x → f (x) = √x − 1.
Como x ≥ 1 ⇒ f (x) = √x − 1 ≥ 0 ⇒ Im(f) = R+.
Como x1 < x2 ⇒ x1 − 1 < x2 − 1 =⇒ √x1 − 1 < √x2 − 1 (Note que isto
vale porque x1 − 1 ≥ 0 e x2 − 1 ≥ 0) portanto f (x1) < f(x2).
Logo f é uma função crescente.
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10.1 PLANO CARTESIANO (SEU PRODUTO, RELAÇÕES E
FUNÇÕES)
52) Os eixos cartesianos
Dois eixos graduados, perpendiculares entre si, com origens coincidentes, são denominados
eixos cartesianos.
x
y
54321-1-2-3-4
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5
0(eixo das abscissas)
(eixo das ordenadas)
origem
53) Um ponto no plano cartesiano
Um ponto situado em um plano cartesiano tem sua posição definida por um par de números
(coordenadas do ponto).
0 2,- P
1- 0, P
2- 1, P
2 3, P
4
3
2
1
x
y
54321-1-2-3-4
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5
P1
P2
P3
P4
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O primeiro valor numérico representa a abscissa do ponto e o segundo a ordenada do ponto.
54) Uma reta no plano cartesiano
Um conjunto de pontos representados em um plano cartesiano pode resultar em uma reta.
Tal fato acontece quando atribuímos os mais diversos valores a x em uma equação
característica (a seguir representada) e obtemos os valores de y correspondentes.
Esta equação é denominada equação reduzida da reta, sendo que a e b necessariamente são
valores constantes.
A sua representação gráfica nos mostra que:
x
y
0
b
55) Casos particulares
a) Reta que passa pela origem
O coeficiente linear (b) é igual a zero.
x
y
0
b) Reta paralela ao eixo x
O coeficiente angular (a) é igual a zero.
x
y
0
y = a * x + b
a = tg (coeficiente angular).
b = valor de y onde a reta
intercepta o eixo das ordenadas
(coeficiente linear).
A equação fica:
y = a * x
A equação fica
y = b
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c) Reta paralela ao eixo y
O valor de x é constante.
x
y
0
Exemplos:
a) Representar graficamente a equação x*3y .
Solução: O coeficiente angular é 3 . Como tg 60º = 3 , o ângulo que a reta
forma com o eixo x é 60º. Ainda, a reta não apresenta coeficiente linear, isto é, a
reta passa pela origem. Representando-a:
x
y
0
60º
b) Representar graficamente y = 20.
Solução: Como y é constante a reta deve ser perpendicular ao eixo y.
x
y
0
20
56) Exercícios
a) Situe os pontos A, B, C e D no plano cartesiano a seguir.
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3- 2,- D
3 1, C
0 ,4 B
2- ,0 A
x
y
54321-1-2-3-4
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5
b) Dê as coordenadas dos pontos P, Q, R e S da figura a seguir.
x
y
54321-1-2-3-4
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5
P
Q
R
S
10.2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Definição: Uma função é chamada de função do 1º grau (ou função afim) se sua sentença
for dada por f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais com a 0. x é a variável independente.
y = f(x) é a variável que dependente de x.
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Função Afim: f(x) = ax + b
a > 0 f(x) = ax + b
a < 0 f(x) = - ax + b
y = 2x + 1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4
x
y
- A função é crescente, pois a > 0; - A constante a é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a um aumento do valor de x; - A constante b é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, o ponto de intersecção da reta com o eixo y; - Zero da função é o valor de x para qual a função se anula.
f(x) = 0 x = a
b ;
- Estudo do sinal:
f(x) = 0
f(x) < 0 f(x) > 0
x
f(x) < 0 imagem negativa
f(x) = 0 imagem nula
f(x) > 0 imagem positiva
y = -x + 2
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2 3 4x
y
- A função é decrescente, pois a < 0; - Coeficiente angular é a = -1; - Coeficiente linear é b = 2; - Zero da função é 2, pois –x + 2 = 0 -x = - 2 .(-1) x = 2 S = {2} - Estudo do sinal:
f(x) < 0 {x R | x > 2}
f(x) = 0 {x R | x = 2}
f(x) > 0 {x R | x < 2}
- - - - - - -
+++++++
2
x
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Função Linear: f(x) = ax
a > 0
a < 0
y = 3x
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 0 1 2 3 4 x
y
- A função é crescente, pois a > 0; - Coeficiente angular é a = 3; - Coeficiente linear é b = 0 (neste caso); - Zero da função é 0; - Estudo do sinal:
f(x) < 0 {x R | x < 0}
f(x) = 0 {x R | x = 0}
f(x) > 0 {x R | x > 0}
y = -3x
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2 3 4
x
y
- A função é decrescente, pois a < 0; - Coeficiente angular é a = - 3; - Coeficiente linear é b = 0; - Zero da função é 0; - Estudo do sinal:
f(x) < 0 {x R | x > 0}
f(x) = 0 {x R | x = 0}
f(x) > 0 {x R | x < 0}
- - - - -
+++++++
0
x
- - - - - - -
+++++++
0
x
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Função Constante f(x) = b
y = 4
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3 4
x
y
- A função é constante, pois a = 0, com isso, não a inclinação;
- Coeficiente angular é 0, pois a = 0;
- Coeficiente linear é b = 4; - Não temos Zero da função: - Não temos Estudo do sinal.
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Gráficos de funções afins:
Podemos perceber que as funções f, g
e h possuem o mesmo coeficiente angular:
f(x) = 2x + 3 a = 2
g(x) = 2x a = 2
h(x) = 2x - 3 a = 2 Então, as funções têm como gráfico
retas paralelas. Definição:
Se f: IR IR é tal que f(x) = ax + b e
g: IR IR é tal que g(x) = a’x + b’, segue
a = a’ e b b’ as retas serão paralelas.
Podemos perceber que as funções f e
g possuem o mesmo coeficiente angular e mesmo coeficiente linear:
f(x) = x - 3 a = 1 e b = 3
g(x) = x - 3 a = 1 e b = 3 Então, as funções têm como gráfico
retas coincidentes. Definição:
Se f: IR IR é tal que f(x) = ax + b e g:
IR IR é tal que g(x) = a’x + b’, segue
a = a’ e b = b’ as retas serão coincidentes.
Funções com o mesmo coeficiente
angular
f(x) = 2x + 3
g(x) = 2x
h(x) = 2x - 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
Funções de mesmo coeficiente angular e
mesmo coeficiente linear
f(x) = x - 3
g(x) = x - 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
y
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Podemos perceber que as funções f e
g possuem o coeficiente angular diferente:
f(x) = 2x - 6 a = 2
g(x) = x - 3 a = 1 Então, as funções têm como gráfico
retas concorrentes, ou seja, possuem um só ponto em comum P(3, 0).
Definição:
Se f: IR IR é tal que f(x) = ax + b e g:
IR IR é tal que g(x) = a’x + b’, segue
a a’ as retas serão concorrentes.
Exemplos a serem resolvidos na sala de aula:
1) Obter uma função a partir dos pontos A(1, 2) e B(2, 7), ou seja, f(1) = 2 e f(2) = 7. 2) Determinar o ponto de intersecção das funções f(x) = 4x e g(x) = 50 + 2x. 3) Seja f a função afim definida por f(x) = 3x – 2 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja reta correspondente passa por (-1, 2) e é paralela à reta r.
Exercícios – Função polinomial do 1º grau
1) Identifique as funções f: IR IR abaixo em afim, linear, identidade e constante:
a) f(x) = 5x + 2 e) f(x) = -x + 3
b) e) f(x) = 3
1
2
x f) f(x) = x
7
1
c) f(x) = 7 g) f(x) = x d) f(x) = 3x h) f(x) = 2 – 4x
2) Dada a função f(x) = -2x + 3, determine f(1). 3) dada a função f(x) = 4x + 5, determine f(x) = 7. 4) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que:
a) f(1) = 5 e f(-3) = - 7 b) f(-1) = 7 e f(2) = 1 c) f(1) = 5 e f(-2) = - 4
Funções de mesmo coeficiente angular
diferentes
f(x) = 2x - 6
y = x - 3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
y
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5) Estude a variação de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes funções do 1º grau: a) f(x) = x + 5 e) f(x) = - 5x b) f(x) = -3x + 9 f) f(x) = 4x c) f(x) = 2 – 3x d) f(x) = -2x + 10
6) Considere a função f: IR IR definida por f(x) = 5x – 3 determine: a) verifique se a função é crescente ou decrescente b) o zero da função; c) o ponto onde a função intersecta o eixo y; d) o gráfico da função; e) faça o estudo do sinal;
7) A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (-2, -63) e (5, 0). Determine essa
função e calcule f(16). 8) Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) e verifique:
a) Se a função é crescente ou decrescente; b) A raiz da função; c) o gráfico da função; d) Calcule f(-1).
9) Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção
dessas retas: a) f(x) = -2x + 5 e g(x) = 2x + 5 b) f(x) = 5x e g(x) = 2x – 6 c) f(x) = 4x e g(x) = -x + 3
10) Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por $ 5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda:
a) Qual a lei dessa função f; b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso? c) Para que valores de x haverá um lucro de $ 315,00? d) Para que valores de x o lucro será maior que $ 280,00?
11) Encontre o zero da função das seguintes equações de 1º Grau:
a) 13(2x – 3) – 5(2 – x) = 5(-3 + 6x)
b) 5
2
5
3
3
1
2
xx
12) Dada a função afim f(x) = - 2x + 3, determine: a) f(1) = b) f(0) =
3
1) fc
2
1) fd
13) Dada a função afim f(x) = 2x + 3, determine os valores de x para que:
a) f(x) = 1 b) f(x) = 0
c) f(x) = 3
1
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14) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças. b) calcule o custo para 100 peças. 15) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto (1, 6). 16) Seja f a função afim definida por f(x) = - 4x + 1 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja reta correspondente passa por (1, - 1) e é paralela à reta r. Respostas: 1) afim, afim, constante, linear, afim, linear, identidade, afim. 2) 1 3) ½ 4) a. f(x) = 3x + 2 b. f(x) = - 2x + 5 c. f(x) = 3x + 2
5) a. ]-5, [, x = -5, ]- , -5[ b. ]- , 3[, x = 3, ]3, [ c. ]- , 3
2 [, x = 3
2 , ] 3
2 , [ d. ]- , 5[, x = 5, ]5, [
e. ]- , 0[, x = 0, ]0, [ f. ]0, [, x = 0, ]- , 0[
6) a. crescente b. x = 3/5 c. b = - 3 e. ] 5
3 , [, x = 5
3 , ]- , 5
3 [
7) f(x) = 9x – 45, f(16) = 99
8) f(x) = 42
x a. crescente b. x = - 8 d. f(-1) =
2
7
10) a. f(x) = 5x – 230 b. para x < 46 c. para x = 109 d. para x > 102
11) a. {34} b.
3
22
12) a.1 b. 3 c. 3
7 d. 4
13) a. -1 b. 2
3 c.
3
4
14) a. C(x) = 8 + 0,5x b. R$ 58,00 15) a = 2 e b = 5 16) g(x) = -4x + 3
-8
4
x
y
0
f(x) = 42
x
8. c. -3
0,6 x
y
0
f(x) = 5x - 3
6. d.
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10.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR
dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x2 + 3x - 5, onde a = 2, b = 3 e c = -5
4. f(x) = - x2 + 8x, onde a =-1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva
chamada parábola.
3
(0,6; 2,4)
x
y
0 9. c.
3
f(x) = 4x
f(x) =- x + 3
3
(-2, -10)
x
y
0
9. b.
-6
f(x) = 5x
-2,5
(0, 5)
x
y
0
f(x) = 2x + 5
9. a.
f(x) = -2x + 5
2,5
f(x) = 2x - 6
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Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: domínio { -3, -2, -1, -1/2, 0, 1, 2}
Primeiro atribuímos a x alguns valores xv=-b/2a, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; Ponto de mínimo
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Ponto de máximo
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os
números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax
2 +
bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
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Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o
radicando , chamado discriminante, a saber:
quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando é zero, há só uma raiz real;
quando é negativo, não há raiz real.
Exemplo: na função y=x²-4x+3, as raízes da função serão x=1 e x`=3.
Vejamos o gráfico:
Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?
Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção
anterior.
Exemplo: determine a raiz da função y=x²-4x+3
Fazendo y=f(x)=0, temos x²-4x+3=0
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Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.
x²-4x+3=0 = (-4)2-4.(1)(3) => = 4
2
24
2
24
2
24
)1.(2
4)4(
oux Acharemos que x = 1 e x` = 3.(vide gráfico
acima)
Concavidade da parábola
OU
y = f(x) = -x² + 4
a = -1 < 0
y = f(x) = x² - 4
a = 1 >0
a>0 a<0
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Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor
mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.
Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A
coordenada y será igual a zero.
Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1 x²+2x+1=0
x=x`=-b/2a=-1
As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)
Gráfico:
Quando o discrimintante é maior que zero
Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.
(São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).
Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3
x²-4x+3=0
x=1, x`=3
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Gráfico:
Quando o discriminante é menor que zero
Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há
raízes ou zeros da função.
Exemplo: y = f(x) = x²-x+2
x²-x+2=0
Gráfico:
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Resumindo
Esboçando o gráfico
Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função y=-x²-4x-3
1ª etapa: Raízes ou zeros da função
-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3
2ª etapa: Coordenadas do vértice
Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2
Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1
Portanto, V=(-2,1)
3ª etapa: Concavidade da parábola
y=-x²-4x-3
Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo
a<0 a<0 a<0
a>0 a>0 a>0
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Feito isso, vamos esboçar o gráfico:
Ponto de Intersecção entre função de 1grau e 2 grau a) graficamente usando excel
x y=-x2+4x-3 y=x-3
0 -3 -3
1 0 -2
2 1 -1
3 0 0
4 -3 1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 2 4 6y=-x2+4x-3
y=x-3
algebricamente temos y1 = y2 => -x2+4x-3 = x-3 => -x2+4x-3-x+3=0 => -
x2+3x=0
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resolvendo essa equação,obtemos que x’ = 0 e x”=3 para obter o valor de y ,
substituímos os valores de x= 0 e x=3 na função y=x-3 obtendo os valores de y
= -3 (x=0) e y=0(x=3)
Exercícios
1. Obtenha o ponto de interseção entre as funções
a) y1 = x2+2x e y2 = x+2 b) y1 = -x+4 e x2-4x+4 c) y1=x2+2x-2 e
y2= x-4 d) y=x2 e y = -x+2
2. Esboçar o gráficos das funções:
a) y= -2x2+5x-2 b) y= x(2x-3)-x+1 c) y=30x2-120x+300 d) y= -x2-x-3
GRÁFICO DE UMA OUTRA FUNÇÃO
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano xy,
onde x pertence ao domínio de f e y é a imagem de f.
Exemplo: Esboce o gráfico da função f definida pela equação y = 2x2 , com a
restrição x 0.
Uma função, pela sua definição, a cada valor de x corresponde um único valor de y.
Assim, o gráfico a seguir não representa uma função.
Y =2x2 , x
0
(1,2)
+ y (ordenada)
(4,32)
1 2 3 4 + x (abcissa)
O
X Y
0 0
1 2
2 8
3 18
4 32
5 50
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Para ser uma função, dois pontos distintos (em y) de um gráfico não podem
possuir a mesma abcissa (x).
Domínio via gráfico
O domínio de uma função é o conjunto de todas as abcissas dos pontos do
gráfico.
Imagem
A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do
gráfico.
Exemplo: Dada a função y = x 1 ,queremos estudar o seu comportamento. Faça o
gráfico de f e determine o seu domínio e imagem (nesse intervalo).
y P
Q
O
mesma abcissa
x
y
f
O
domínio de f
x abcissas
ordenadas
y
Imagem de f f
O y
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Solução:
Como y = f(x) = x 1 , a condição de existência da função é que x - 1 0
para que a raiz exista no campo dos números reais.
Assim, x - 1 0 x 1 ou D: [1 , ). Para se fazer o gráfico da
função construi-se a tabela, respeitando este dominio.
Q
Quando uma função f é definida por uma equação y = f(x) e nenhuma
restrição é dada, o domínio de f consiste em todos os valores de x para os quais a
função existe.
Exemplo: Dada a função
y = 3x + 1
x pode assumir qualquer valor, então o domínio de f é R dos números reais.
Exemplo: Dada a função
y = 4 x (Condição de existência 4 - x 0)
já que 4 x é definido somente para 4 - x 0, isto é, x 4, o domínio de f é o
intervalo (-, 4] e a sua imagem é o intervalo [0 , ).
Domínio de f , D : [1,} e I : [ 0, }
y
x
Imagem
de f
Gráfico de
f
1
0,
5
x y
1,00 0,00
1,25 0,50
1,50 0,71
1,75 0,87
2,00 1,00 2
Domínio = R
Imagem = R
y
y = 3x + 1
1
x
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A raiz quadrada tem dois sinais, , mas para que y seja uma função toma-se
só um sinal, e a preferência é para o sinal positivo. Então y 0.
x y
-2 6 = 2,45 ...
-1 5 = 2,24 ...
0 2
1 3 = 1,73
2 2 = 1,41
4 0
O domínio de f é o próprio domínio de x, isto é, o intervalo onde x existe.
Neste exemplo x existe de (- a 4].
A imagem de f é o intervalo onde y existe, no caso y 0 então [0, ).
Exemplo: Achar o domínio e a imagem da função
y = f(x) = 1
1 x
Domínio da função: (- 4] é o domínio de x - < x 4.
Imagem da função: [0, ) pois
y 0.
xy 4 y
2
O 4
x
X Y
-3 1 / 4 =
0,25
-2 1 / 3 =
0,33
-1 1 / 2 =
0,50
0 1
1 2 –1
3 –1/2 = -
0,50
4 –1/3 = -
0,33
5 –1/4 = -
0,25
y
1
-3 -2 -1
1 2 3 4 5
x
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Exercício proposto
1) Achar o domínio e imagem da função y = 1
x (hipérbole)
Condição de existência x 0
VALOR ABSOLUTO
Se x é um número real, então o valor absoluto de x, representado por x, é
definido por
x se x 0
x =
-x se x < 0
Exemplo:
7 = 7 pois 7 > 0, -3 = - (-3) = 3 pois -3 < 0
O valor absoluto de um número real é sempre positivo.
PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO
(Todas as propriedades abaixo valem para os sinais >, , < e )
Suponha que X e Y são números reais ou funções.
1) X + Y X + Y desigualdade triangular, EX.: X=2 e Y=3
(igual) e X = -2, Y = 1 (maior)
2) X = Y se e somente se X = Y ( ou X = Y e X = - Y )
y
x
D : (-, 0) (0, )
I : ( -, 0) (0, ) x = 0 (singularidade)
A condição de existência é 1-x 0, que fornece os dois intervalos para o domínio e a imagem :
Domínio: (-, 1) e (1, )
Imagem : (-, 0) e ( 0, )
x = 1 (singularidade )
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3) X < Y se e somente se -Y < X< Y (ou X < Y e X > -Y )
4) X Y se e somente se X Y ou X -Y
Exemplo1: Achar o domínio (solução) da expressão
3x + 2 5
Solução: Usando a propriedade 4, do valor absoluto, onde X=3x+2, e Y=5 tem-se
3x + 2 5 e 3x + 2 -5
Isolando x 3x 5 - 2 Isolando x, 3x -5 - 2
3x 3 3x -7
x 1 x - 7
3
solução existe no domínio (-, -7/3] e [1, )
Exemplo 2 : Achar o conjunto solução da expressão 2x + 3 < 3
Solução: Pela propriedade 3 , monta-se as duas equações
2x +3 > -3 e 2x + 3 <3
2x>-6 ou 2x < 0 ou
x >-3 x < 0
Exemplo 3: Achar x que satisfaz à expressão x -2 = 5
-7/3 1
x x
x
-3 0
Neste caso, os valores de X estão internos aos de Y -Y Y
X
Neste caso, os valores de X estão externos aos de Y -Y Y
X
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Solução: Pela propriedade 2 , tem-se x-2 = 5 e x-2 = -5 , cujas soluções são x =
7 e x = -3 satisfazem a equação dada.
Exemplo 4: Estudar a função y = x
A variável independente x pode assumir qualquer valor, portanto o domínio é o
conjunto dos números reais R.
DESIGUALDADES (do 2o grau)
As desigualdades também apresentam soluções dentro de um intervalo do
conjunto dos reais. A teoria vale para os sinais (>, ,< e ) . Exemplo, dada a
desigualdade
a x2 + b x + c > 0 , as soluções x1 e x2 são obtidas com se fosse uma equação
do 2o grau ,ou x1 = (- b + acb 42 )/2a e x2 = (- b - acb 42 )/2a
mas o conjunto de soluções é
D : (- , x1 ) e (x2 , ) , (o conjunto é extra-raizes)
Se a desigualdade for negativa, ou seja,
a x2 + b x + c < 0 ( O conjunto é intra-raizes)
Exemplo 1: Achar o domínio da função y = 42 x
Solução: x2 – 4 0 , logo D : (- , -2] e [2 , )
y = x
y
D : (-,)
I : [0 , )
x
x x
X1 X2
x
X1 X2
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TIPOS DE FUNÇÃO
As funções mais usuais são: as pares, as ímpares, as polinomiais, as racionais, as
algébricas, exponenciais e as trigonométricas.
Funções Pares e Ímpares
a) Uma função f é par, para todo x de seu domínio se f(-x) = f(x), ou seja, -x
pertence ao domínio de f.
b) Uma função f é ímpar, para todo x de seu domínio se f(-x) = -f(x). Isto é, -x
pertence também ao domínio de f.
Exemplos:
a) Pares
g(x) = x2 f(x) = x
4 + 2
pois g(-x) = (-x)2 = x
2 = g(x) f(-x) = (-x)
4 + 2 = x
4 + 2 = f(x)
b) Ímpares
g(x) = x3 f(x) = 2x
g(-x) = (-x)3 = -x
3 = -g(x) f(-x) = 2(-x) = -2x = -f(x)
Funções Polinomiais
São funções da forma
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxx n > 0 e ai , reais
Exemplo:
f(x) = 2x2 - x + 1 , a0 = 1, a1 = -1, a2 = 2
Funções Racionais (razão)
São funções definidas por
f(x) = p x
q x
( )
( )
onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q 0.
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Exemplo:
f(x) = 3 1
4 1
2
5 3
x x
x x
é uma função racional
Funções Algébricas
São resultantes de operações algébricas comuns.
Exemplo:
f(x) = x + 1 , g(x) = x
x 2 5 etc.
Exercícios
Classificar as funções abaixo:
1) f(x) = x4 + x
Resp. Não é par nem ímpar - é polinomial
2) g(t) = 2t2 + 3t
Resp. g(-t) = 2(-t)2 + 3-t = 2t
2 + 3t = g(t) par
3) f(x) = x
x
2 4
2
(função racional, que pode ser simplificada para f(x) = x+2)
RESUMO DOS TIPOS DE FUNÇÕES
Tipo de Função Exemplo
Par f(-x) = f(x) y=x4 y = (-x)
4 = x
4
Ímpar f(-x) = - f(x) y = x3 y = (-x)
3 = -x
3
Polinomiais f(x)=a0 +a1x+a2x2+..+anx
n y = 3 +5x-7x
2 e outros.
Racionais f(x) = P(x)/Q(x) y =(2x3+ 4x) / (x
2+2x)
Algébricas Todas as anteriores.
Trigonométricas y = senx , cosx , etc.
Logarítmicas y =lnx , ou y = lgax
Exponenciais y = ef(x)
ou y = af(x)
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11. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Função exponencial é toda função , definida por
com e .
Neste tipo de função como podemos observar em , a variável
independente x está no expoente, daí a razão da sua denominação. É importante
também observar que a base a é um valor real constante, isto é, um número real.
Note que temos algumas restrições, visto que temos e .
Se teríamos uma função constante e não exponencial, pois 1 elevado a
qualquer x real sempre resultaria em 1. Neste caso equivaleria
a que é uma função constante.
E para , por que tal restrição?
Ao estudarmos a potenciação vimos que 00 é indeterminado, então
seria indeterminado quando .
No caso de não devemos nos esquecer de que não existe a raiz real de
um radicando negativo e índice par, portanto se tivermos, por
exemplo, e o valor de não será um número real, pois
teremos:
E como sabemos .
Representação da Função Exponencial no Plano Cartesiano
Para representarmos graficamente uma função exponencial, podemos fazê-lo da
mesma forma que fizemos com afunção quadrática, ou seja, arbitrarmos alguns
valores para x, montarmos uma tabela com os respectivos valores de f(x),
localizarmos os pontos no plano cartesiano e traçarmos a curva do gráfico.
Para a representação gráfica da função arbitraremos os seguinte
valores para x:
-6, -3, -1, 0, 1 e 2.
Montando a tabela temos:
x y = 1,8x
-6 y = 1,8-6 = 0.03
-3 y = 1,8-3 = 0.17
-1 y = 1,8-1 = 0.56
0 y = 1,80 = 1
1 y = 1,81 = 1.8
2 y = 1,82 = 3.24
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Ao lado temos o gráfico desta função exponencial, onde localizamos cada um dos
pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função:
Função Crescente e Decrescente
Assim como no caso das funções afim, as funções exponenciais também podem
ser classificadas como função crescente ou função decrescente.
Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se que
segundo a definição da função exponencial , definida por ,
temos que e .
Função Exponencial Crescente
Se temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor
real de x.
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta,
também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função
é crescente.
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Função Exponencial Decrescente
Se temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio
da função.
Neste outro gráfico podemos observar que à medida quex aumenta, y diminui.
Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.
Note também que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o
gráfico da função sempre cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, 1), além de
nunca cruzar o eixo das abscissas.
12. FUNÇÃO LOGARÍTMICA Se x = by , então y é chamado de logaritmo de x na base b e escreve-se logaritmo de x como logx ou lgx ou lgbx . y = lgb x b = 10 é a base decimal
f(x)= lgbx
se y = 0
x = b0 = 1
Sabemos que 102 = 100 , 10
3
=1000, e 23 = 8 , 2
4 = 16 , etc.
mas e se tivéssemos um
número fracionário do tipo
100,30103
= N , quanto seria N ?
Neste caso, y=0,30103 é o
log10 N. Os logaritmos se
aplicam para resolver equações
do tipo:7x = 3, achar x.
Solução: Aplica a propriedade
lgAx =x.lgA , ou na
equação dada ,
x. 3lg7lg 1010 ,
x = 7lg/3lg 1010 ,
x= 0,477121255/0,845098040
x = 0,5645750344
(Os lg10 toma-se na
calculadora)
y
1 b
Propridades dos logarítmos(naturais ou
outros):
NgMgNMg bbb ).()1
NgMgNMg bbb )/()2
NgpNg b
p
b .)()3
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Quando b = e 2,7182818 ..., esta base é chamada de natural e representa-se por y = ln x ou LN(x) . Quando o logarítmo , lg = “ln” a base é sempre "e" , isto é , ln x = lgex ou logarítimo de x na base "e" .
A inversa da função logarítmica é a função exponencial, ou vice versa.
y=exp(x) y y = lnx 1 0 1 x (A inversa de y = ex , é obtida aplicando lg=ln , ou lny=lnex =xlne=x, e trocando x por y ,resultando y =lnx)
13. TRIGONOMETRIA
Triângulo Retângulo
Propriedade: se dois ângulos complementares, o seno de um deles é igual ao cosseno de outro, e a
tangente de um é igual ao inverso da tangente do outro.
Direta : y= exp(x)=ex
D : (- , )
I : (0, )
Inversa : y = lnx
D : (0 , )
I : (- , )
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Seno = cateto oposto / hipotenusa
Cosseno = cateto adjacente / hipotenusa
Tangente = cateto oposto / cateto adjacente
Ângulos 30° 45° 60°
Seno 1/2 /2 /2
Cosseno /2 /2
1/2
Tangente /3
1
Relação Fundamental da Trigonometria
Exemplo: Se for dado que sen x = 0,3 , com 0 º < x < 90 º, é fácil obter o valor de cos x:
Sen2 x + Cos
2 x = 1
(0,3)2
+ Cos2
x = 1
Cos2 x = 0,91
Cos x = 0,95
Segunda Relação fundamental da Trigonometria;
Segunda Relação fundamental da Trigonometria
tg x = senx /cosx
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Ciclo Trigonométrico
È uma circunferência de raio 1 que, juntamente a um eixo cartesiano é capaz de indicar todos os
arcos (ângulos) possíveis, bem como as relações de periodicidade entre eles.
· Quadrantes:
Ex: p/4 está no 1º quadrante e 4p/3 esta no 3
º quadrante.
- Arcos congruentes: são arcos da mesma extremidade. (diferem por 360º ou 2p)
Ex: -30º e 330
º , p/4 e 9p/4
· Expressão Geral de um arco:
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Medidas do Arco
As unidades mais usadas são o grau e o radiano.
Grau: é quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, sendo cada uma
dessas partes um arco de um grau (1o).
Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da
circunferência que o contém.
Exemplo: Quantos radianos são 540º?
Resolução: 180º/p rad = 540º / x
x = 3p rad
Resposta: 540º = 3p rad
14. Função Seno
· A função é impar: sen(-x) = - senx
· Crescente no 1o e 4
o quadrante
· Decrescente no 2o e 3
o quadrante.
·
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Sinais da função
1Q: seno positivo
2Q: seno positivo
3Q: seno negativo
4Q: seno negativo
· Redução ao primeiro quadrante
· Gráficos
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Mudança de Arco para o Cálculo do Seno.
y = sen (2x)
15. Função Cosseno
· Domínio: R
· Im(f) = [-1;1]
· A função é par: cosx = cos(-x)
· Crescente: 3o e 4
o quadrante
· Decrescente: 1o e 2
o quadrante
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Sinais da função
1Q: cosseno positivo
2Q: cosseno negativo
3Q: cosseno negativo
4Q: cosseno positivo
· Redução ao 1o quadrante
2º Quadrante: Cos ( 180
O – x ) = - cosx
Ex: Cos 150º
Cos ( 180O – 150
º ) = - cos30º
3º Quadrante: Cos ( 180
º + x ) = - cosx
Ex: Cos –150º
Cos ( 180O + - 150
º ) = - cos30º
4º Quadrante: Cos ( 360
º – x ) = cos ( -x ) = cosx
Ex: Cos –30º = Cos 30
º
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Gráfico
Muito similar ao da função seno
As variações portam-se de maneira idêntica ao gráfico do sen x
Funções Cossecante, secante e cotangente;
Funções Cossecante, secante e cotangente
Não são funções muito importante
· Função Cossecante
f(x) = 1/senx , para senx 0
D(f) = {x E R / x Kp, com K E Z}
Im(f) = {y E R / y £ -1 ou y ³1}
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· Função Secante:
f(x) = 1/cosx , para cosx 0
D(f) = {x E R/ x p/2 + Kp, com K E Z}
Im(f) = { y E R/ y £ -1 ou y ³1}
· Função Cotangente
f(x) = cosx/senx = 1/tgx , para tgx ¹0
D(f) = {x E R/ x Kp, com K E Z}
Im(f) = R
Relações Trigonométricas
1) sen2x + cos2x = 1
2) tgx = senx / cosx , para cosx 0
3) cotgx = cosx / senx, para senx 0
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4) secx = 1 / cosx, para cosx 0
5) cossecx = 1 / senx, para senx 0
6) cotgx = 1 / tgx , para tgx 0
7) sec2x = 1 + tg2x
8) cossec2x = 1 + cotg2x
Exemplos:
1) Dado cotg x = ½ e sendo x um ângulo do terceiro quadrante, calcular o valor de sen x.
Resolução:
Cossec2 x = 1 + cotg
2x
Cossec2 x = 1 + ¼
Cossec2 x = 5/4
Cossec x = ±5/2
Como x Î ]p, 3p/2], temos : cossec = -5/2
Portanto,
Cossec x = 1/senx
-5/2 = 1/senx
sen x = -25/2
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Resposta: -25/2
2)Se cotg x = 2/2, calcular tgx:
Resolução:
Se cotg x = 1/ tg x e cotg x =2/2, temos:
1/tgx = 2/2
tg x = 2/2 = Ö 2
Resposta: tg x = 2
Equações Trigonométricas
· 1° Caso: sena= senb
sena= senb : a = b +2Kp
a = p-b +2Kp
· 2° Caso:
cosa= cosb : a = b +2Kp
a = -b +2Kp
Obs.: a = 2p - b = -b
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· 3° Caso:
tg a= tgb : a = b +Kp
Exemplo:
1) Resolva sen x = sen p/5, sendo o conjunto universo o conjunto dos reais
Resolução:
x = p/5 + 2kp, kЄZ, ou
x = p -p/5 + 2kp = 4p/5 + 2kp, k ЄZ
Resposta: S = { x Є R | x = p/5 + 2kp ou x = 4p/5 + 2kp, k Є Z }
2) Resolva cos x = cos -p/3, sendo o conjunto universo o conjunto dos reais
Resolução:
x =±(-p/3) + 2kp, k Є Z
Resposta: S = { x Є R | x =±(-p/3) + 2kp, k Є Z}
3) Resolva tg x = tg p/4, sendo o conjunto universo o conjunto dos reais
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Resolução:
x =p/4 + kp, k Є Z
Resposta: S = { xЄR | x =p/4 + kp, k ЄZ }
LEI DOS COSSENOS
a2 = b
2 + c
2 – 2bc . cosA
b2 = a
2 + c
2 – 2ac . cos B
c2 = a
2 + b
2 – 2ab . cos C
“Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros
dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao
primeiro lado.”
Exemplo: Quanto vale a?
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Resolução:
a2 = 5
2 + 8
2 – 2 . 5 . 8 . cos 60
º
a2 = 25 + 64 – 80 . ½
a2 = 89 – 40 = 49a = 7
Resposta: a = 7
LEI DOS SENOS
a/senA = b/senB = c/senC
“Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais aos senos dos lados opostos”
Exemplo: No triângulo da figura, calcular a e b :
Resolução:
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Resolução:
A = 180º - 30
º - 45
º = 105
º
Pelo arco soma: sen 105º = (6 + 2)/4
Assim:
6/sen 30º = a/sen 45
º = b/ sen 105
º
Daí:
a = 62 e b = 3 (6 + 2)
Resposta: a = 62 e b = 3 (6 + 2)
Área de um triângulo
S = a . b . senC / 2
S = a . c . senB/2
S = b . c . senA/2
S = p.r (P = Semiperímetro , r = Raio da circunferência inscrita);
S = a.b.c / 4R (R = Raio da circunferência circunscrita);
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Exemplo :
1) Qual a área de um triangulo de lados 5, 6 e 7?
Resolução:
2p = 5 + 6 + 7 = 18
p = 9
p – a = 9 –5 = 4
p – b = 9 – 6 = 3
p – c = 9 – 7 = 2
Assim:
S =(9 . 4 . 3 . 2)
S = 66
2) Qual a área do triângulo abaixo
Resolução:
S = ½.5.8.sen 30º
S = ½.40. ½= 10