Apostila Matemática Unesp Bauru.

7/25/2019 Apostila Matemtica Unesp Bauru.

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MATEMTICA

Cadernos dos Cursinhos Pr-Universitrios da UNESP

A F M

M G M ME

Volume 2

N A P

O

capa matematica_frente e verso.indd 1 03/02/2016 08:48:42


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MATEMTICANELSONANTONIOPIROLA

O

S P2016

CADERNOSDOSCURSINHOSPR-UNIVERSITRIOSDAUNESP

Volume 2

ANTONIOFRANCISCOMARQUESMARIADAGRAAMELLOMAGNONI

E


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Realizao

Pr-Reitoria de Extenso PROEXRua Quirino de Andrade, 215 10 andarSo Paulo, CEP 01049-010 SPTel (11) 5627-0264

ReitorJulio Cezar Durigan

Vice-reitoraMarilza Vieira Cunha Rudge

Pr-reitora de Extenso UniversitriaMaringela Spotti Lopes Fujita

Pr-reitora de PesquisaMaria Jos Soares Mendes Giannini

Pr-reitor de GraduaoLaurence Duarte Colvara

Pr-reitor de Ps-GraduaoEduardo Kokubun

Pr-reitor de AdministraoCarlos Antonio Gamero

Secretria GeralMaria Dalva Silva Pagotto

Chefe de GabineteRoberval Daiton Vieira

Produo planejada pelo Projeto "Inovao nosprocessos de gesto e pedaggico dos Cursos Pr--Vestibulares da Unesp"

Diagramao e capaEdevaldo Donizeti dos Santos

Reviso ortogrfica e normalizao

lide FeresRony Farto PereiraMaria Luzinete Euclides

Impresso e acabamento: Grfica Unesp - FCL - CAr

Conselho Editorial da PROEX - UnespProfa. Dra. Mrcia Pereira da Silva (FCHS/Franca)Prof. Dr. Cludio Csar de Paiva (FCL/Araraquara)Prof. Dr. Eduardo Galhardo (FCL/Assis)Prof. Dr. Jos Arnaldo Frutuoso Roveda (CE/Sorocaba)Profa. Dra. Rosane Michelli de Castro (FFC/Marlia)Profa. Dra. Maria Cndida Soares Del Masso (FFC/Marlia)

Prof. Dr. Sebastio Souza Lemes (FCL/Araraquara)Coordenao geralProfa. Dra. Maringela Spotti Lopes Fujita

Editores da ColeoProf. Dr. Antonio Francisco MarquesProfa. Dra. Maria da Graa Mello Magnoni

OrganizadorProf. Dr. Nelson Antonio Pirola

ColaboradoresEvandro TortoraFernanda Pizzigatti Marques JasineviciusGabriela Pereira SanderGilmara Aparecida da Silva

Jos Luciano Santinho LimaJuliana Aparecida da Silva dos Santos MoraisMrcio Rogrio FerreiraPatrcia Priscilla Ferraz da Costa Souzaais Regina Ueno Yamada

Revisor de contedoProf Dr Mara Sueli Simo Moraes

M425 Matemtica / Nelson Antonio Pirola, organizador. So

Paulo : Cultura Acadmica, 2016.

158 p. : il. - (Cadernos dos cursinhos pr- universitrios

da Unesp ; v. 2)

ISBN 978-85-7983-733-3 ISBN 978-85-7983-729-6 (Coleo)

1. Matemtica (Ensino mdio) Estudo e ensino. 2.

Estatstica. 3. Geometria. 4. Trigonometria. 5. Matrizes

(Matemtica). 6. Universidades e faculdades - Vestibular. I.

Pirola, Nelson Antonio. II. Srie.

CDD 510.7


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PREFCIO

A ideia de construo dos contedos disciplinares dos 4 cadernos que compem oconjunto do material didtico a ser utilizado pelos Cursinhos Pr-Universitrios1surgiu desdeo incio da gesto, em 2013, durante proveitosas discusses em reunies com os professores eestudantes na condio, respectivamente, de coordenadores e tutores. Havia, naquela ocasio,uma grande preocupao com relao disponibilidade do material didtico de um ano vigentepara um prximo ano, considerando-se a proviso oramentria. Alm disso, havia um desejodos envolvidos por contedos que mais se aproximassem do contexto social e educacional doscursistas provenientes da escola pblica e de famlias de baixa renda, para promover, de modomais abrangente, a incluso em um contexto de aquisio e de construo de conhecimentos

necessrios ao ingresso em cursos de graduao ou no mercado de trabalho, mediante partici-pao em concursos.

O grande desafio da existncia dos Cursinhos Pr-Universitrios da Unesp sempre foia oferta do material didtico com os contedos disciplinares necessrios, de um lado, para faci-litar o processo comunicativo entre professor e cursista na sala de aula e, de outro, para orientara aprendizagem do cursista fora da sala de aula. Portanto, o material didtico o instrumentoque orienta o processo de aquisio e construo do conhecimento dos cursistas dos CursinhosPr-Universitrios, em um curto perodo de tempo, com finalidade definida de ingresso emconcursos e, ainda, a fim de propiciar sua incluso. Nesse sentido, discutiu-se a viabilidade

de a Unesp construir material didtico prprio, dadas as caractersticas nicas de distribuioregional multicampus e da evoluo histrica de seus Cursinhos Pr-Universitrios, atualmenteSubprograma de extenso Cursinhos Pr-Universitrios da Unesp, do programa de extenso"Programa Unesp de cursinhos, divulgao, orientao e informao profissional".

Antes de sua concretizao, essa discusso levou em considerao resultados de ou-tras iniciativas da Pr-Reitoria de Extenso - PROEX - na tentativa de realizar parcerias comeditoras comerciais e de organizaes no governamentais, dedicadas a cursinhos populares ecomunitrios, que, aps negociaes, revelaram impossibilidade de execuo.

A proposta de construo do material didtico, aps debates, foi acolhida por Grupo

de Pesquisa da Faculdade de Cincias do Cmpus de Bauru, com insero e experincia nacoordenao de Cursinho Pr-Universitrio, o qual elaborou o Projeto de produo, manu-teno e atualizao de material didtico-pedaggico.

O Projeto, coordenado pela Pr-Reitoria de Extenso Universitria e elaborado pe-los Professores Doutores Antonio Francisco Marques e Maria da Graa Mello Magnoni, da

1 Atualmente, existem 26 Cursinhos Pr-Universitrios Unesp e 4 Cursinhos em convnios com Prefeituras, em funcionamento,localizados em 22 cidades do interior paulista, junto a Unidades Universitrias da Unesp. O modelo implantado atende a alunosregulares e egressos da rede pblica de ensino e oferece aulas ministradas por graduandos dos diversos cursos da Unesp bolsistase voluntrios , que visam a suprir lacunas de formao de alunos regulares do 3 ano e egressos do ensino mdio, com vistas aoferecer reforo de ensino e preparo para o ingresso e permanncia na universidade. Para isso, a Unesp, por meio da Pr-Reitoriade Extenso Universitria, mantm um Programa Institucional com bolsas de extenso universitria para alunos de seus cursos degraduao atuarem como tutores de ensino.


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Faculdade de Cincias do Campus de Bauru, foi concebido com o objetivo de organizar, ade-quar e disponibilizar cadernos com os contedos curriculares das diversas reas do conheci-mento para as atividades pedaggicas nos cursinhos pr-universitrios da Unesp, nas seguintesreas do conhecimento: Linguagens e cdigos, Matemtica, Cincias Humanas, Cinciasda Natureza e Caderno de Apoio textos e atividades dos Cursinhos Pr- Universitrios da

UNESP.No ano de 2015, foram construdos os contedos das reas de conhecimento que

resultaram na publicao destes 5 cadernos, cujos ttulos so de mesma denominao das reasde conhecimento. Para atualizao dos contedos, est prevista a execuo da 2 etapa do pro-jeto, a qual permitir a incluso, atualizao e reformulao dos contedos para publicao doscadernos, em 2016.

No restam dvidas de que a publicao destes Cadernos representa um passo dadode grande relevncia para o aprimoramento dos Cursinhos Pr-Universitrios mas, tambm,de alta responsabilidade social, porquanto dever influenciar a incluso, conforme preconiza a

Poltica Nacional Extenso e Poltica de Extenso da Unesp.Dessa forma, os cadernos sero o instrumento principal da poltica pedaggica do

Subprograma de Extenso Cursinhos Pr-Universitrios da Unesp, com a proposta de unifi-car a orientao pedaggica dos 26 Cursinhos Pr-Universitrios e, ao mesmo tempo, dar visi-bilidade a essa importante ao de extenso universitria de grande espectro e impacto social,no interior do Estado de So Paulo que, smj, nica no Brasil entre as IES.

Pela atuao dos Professores Antonio Francisco Marques e Maria da Graa M.Magnoni, autores e colaboradores, agradecemos o empenho, esforo e dedicao, ao assumirema responsabilidade de criao dos Cadernos que, decisivamente, eleva o patamar de qualidadeno atendimento das demandas pelos Cursinhos.

Faz-se mister destacar o apoio incondicional da Reitoria da Unesp, nas pessoas doProf. Dr. Julio Cezar Durigan, Reitor, e Prof Dr Marilza Vieira Cunha Rudge, Vice-Reitora,na idealizao e fortalecimento dos Cursinhos Pr-Universitrios, o que facilitou a conduo detodos os trabalhos de organizao da publicao.

Finalmente, preciso salientar a valiosa atuao dos Cursinhos Pr-Universitriosna extenso universitria da Unesp, com resultados de impacto na transformao da realidadesocial da comunidade externa Universidade.

Maringela Spotti Lopes FujitaPr-Reitora de Extenso Universitria da Unesp


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APRESENTAO

MATERIALDIDTICOPEDAGGICODOSCURSOSPR-UNIVERSITRIOSDAUNESPO Projeto Cursinhos Pr-Universitrios da UNESP, organizado e desenvolvido

pela UNESP, desde o ano de 1987, almeja proporcionar oportunidade de educao s classespopulares e aos oriundos do ensino pblico. Os cursos so oferecidos aos interessados com resi-dncia nas cidades onde se localizam os Campus da Universidade e do seu entorno. O objetivoprimeiro colaborar com a incluso desses grupos sociais no ensino superior, que tem uma

tradio elitista, principalmente nas Universidades pblicas.A partir de 2006, a Universidade Estadual Paulista (UNESP) criou um amplo pro-

grama de extenso, aglutinando os cursinhos pr-vestibulares j existentes na instituio e osnovos projetos organizados nas unidades universitrias distribudas pelo Estado de So Paulo.Com o Convnio entre a UNESP e o Governo do Estado (Convnio n 002/2007-SEES), porintermdio da Secretaria de Ensino Superior, houve a ampliao e fortalecimento do ProjetoCurso Pr-Vestibular: uma iniciativa democrtica de alcance social, o qual passou a atender acerca de quatro mil jovens egressos da escola pblica, distribudos em 22 municpios do Estadode So Paulo, em 26 cursinhos da Universidade.

Com o objetivo de avaliar as atividades dos cursinhos, a Pr-Reitoria de ExtensoUniversitria (PROEX) mantm constante acompanhamento do Projeto, por meio de con-sultas, questionrios, contatos via telefone e por e-mail, alm da organizao de seminrios eencontros de coordenadores e professores-bolsistas.

Durante o desenvolvimento do projeto, a oferta de vagas foi sendo paulatinamenteampliada, bem como o envolvimento de bolsistas e voluntrios; ademais, algumas Unidadesda UNESP estabeleceram parcerias com Prefeituras, visando ao incremento de oferta de vagas,como So Jos dos Campos, Bauru e Ilha Solteira.

A Universidade tem destinado recursos para bolsas dos monitores das aulas (alunos

da graduao), para o material didtico de apoio aos alunos e de custeio das atividades de or-ganizao e execuo dos cursos.

Em 2015, a Pr-Reitoria de Extenso fez proposta de elaborao do material didticopela prpria Universidade, com a finalidade de organizar, adequar e disponibilizar cadernoscom os contedos curriculares das diversas reas do conhecimento para as atividades pedag-gicas nos cursinhos pr-universitrios da UNESP. Os cadernos foram produzidos a partir daestrutura curricular definida pelos documentos oficiais Diretrizes Curriculares Nacionais Geraispara a Educao Bsica, Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio, Currculo doEnsino Mdio do Estado de So Paulo e Orientaes Curriculares para o Ensino Mdio. Nesta pri-

meira edio, o guia de orientao dos temas para a equipe de autores foi a Matriz de Referncia



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do ENEM (Exame Nacional do Ensino Mdio). Os cinco (5) cadernos contemplam objetos deconhecimento associados s Matrizes de Referncia das seguintes reas do conhecimento:

Caderno 1: Linguagens e Cdigos - Lngua portuguesa e Lngua inglesa

Caderno 2: Matemtica Matemtica

Caderno 3: Cincias da Natureza Biologia, Fsica e Qumica

Caderno 4: Cincias Humanas Filosofia, Histria, Geografia e Sociologia

Caderno 5: Caderno de Apoio

O Caderno de Apoio textos e atividades dos Cursinhos Pr- Universitrios daUNESP disponibiliza acervo composto por textos, testes, vdeos, imagens, temas e sites refe-rentes aos conceitos e contedos das diferentes reas do conhecimento abordados no EnsinoMdio com o objetivo de complementar os temas desenvolvidos nos Cadernos da Coleo:Caderno 1 Linguagens e Cdigos, Caderno 2 Matemtica, Caderno 3 - Cincias daNatureza, Caderno 4 Cincias Humanas.

O material produzido possui as suas limitaes, no contemplando todos os conte-dos das reas de estudo. Entretanto, deve-se considerar, em primeiro lugar, que os alunos quese encontram na sala dos cursos pr-universitrios j trazem uma bagagem, limitada para algunse mais ampla para outros, dos contedos do ensino mdio, ou mesmo fundamental, cursadosnos cursos regulares desses nveis de ensino. Em segundo lugar, o tempo disponvel para o estu-do, por esses alunos, de dez a doze meses, de modo que as apostilas em uso acabavam sendosubutilizadas. Em terceiro lugar, o material o ponto de partida de um projeto o qual poder

e dever ser ampliado e aperfeioado, nos prximos anos, tanto do ponto de vista quantitativocomo qualitativo, com base nas avaliaes dos prprios usurios e dos autores que tiverem inte-resse de dar continuidade produo do material. Do ponto de vista qualitativo, por exemplo,ser uma oportunidade para se buscar uma abordagem mais interdisciplinar para os contedosapresentados. E, por ltimo, uma considerao relevante a ser feita que o material produzidopassa a ser de propriedade da Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho, que,alm de reproduzi-lo impresso, ir coloc-lo disponvel onlinepara acesso a quem possa inte-ressar, seja na rea de influncia da UNESP, seja no resto do pas, para todos os interessados noENEM e nos vestibulares que esto se moldando s Diretrizes Curriculares Nacionais.

A Universidade no desconsidera as mudanas necessrias ao ensino em todos osnveis, para que possam proporcionar s crianas, jovens e adultos a formao para compre-ender a realidade social, econmica, poltica, cultural e do mundo do trabalho, a fim de nelainserir-se e atuar de forma tica e competente, tcnica e politicamente, visando a contribuirpara a transformao da sociedade, em funo dos interesses sociais e coletivos. Nesse contexto,o Cursinho Pr-Vestibulares tem a inteno de cooperar com os jovens e adultos que sofreramas consequncias da excluso de uma escola bsica de qualidade social, no sentido de propiciarcontedos e metodologias que lhes permitam no s ter a possibilidade de participao nosvestibulares das universidades pblicas e outras, como o acesso a muitos dos conhecimentosque possivelmente lhes tenham sido negligenciados ou aligeirados, de sorte a ter uma pers-

pectiva mais crtica e participativa como cidados. Os cursinhos pr-universitrios constituem



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situaes emergenciais enquanto o Estado e a sociedade brasileira no forem capazes de garantiruma educao bsica de qualidade para todos.

Tendo em vista a realidade concreta do Ensino Mdio e os desafios que representa aospoderes pblicos, a Universidade Estadual Paulista organiza aes em prol do fortalecimentodo Cursinho Pr-Universitrio, na inteno de cumprir com coerncia as suas responsabilida-des pblicas expressas atravs dos objetivos de permanente criao e transmisso do saber e dacultura, devendo criar, preservar, organizar e transmitir o saber e a cultura por meio do ensino,da pesquisa e da extenso, privilegiar e estimular a atividade intelectual e a reflexo continu-ada sobre a sociedade brasileira, defendendo e promovendo a cidadania, os direitos humanose a justia social e promover atividades de extenso e de articulao com a comunidade(Estatuto da UNESP, CAP. I, Art. 2)1. Isto se faz de modo concreto, quando se favorece oingresso equitativo nos seus cursos, a todos os grupos sociais.

Os ltimos dados apresentados na Sntese de Indicadores Sociais (SIS), pelo InstitutoBrasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE), apontam que, nos ltimos dez anos (2004 a 2014),

houve uma reduo do percentual dos 20% mais ricos da populao nas instituies de ensinosuperior pblico, de 54%, em 2004, para 36% dos alunos, e um aumento de 1,2% para 7,6%dos alunos oriundos dos 20% da populao mais pobre2. A defasagem, ainda, entre um grupoe outro, de quase cinco vezes, com o agravante de que os mais pobres acabam tendo acessoapenas aos cursos menos concorridos. Enfim, criar mecanismos como este (os cursinhos) eoutros, como as cotas, de incluso dos alunos das escolas bsicas pblicas na Universidade vemcolaborar, por um lado, para a construo de uma sociedade equitativa, menos excludente,elitista, desigual e injusta. E, por outro, garante a legitimidade da prpria universidade pblica,no contexto da sociedade paulista e brasileira.

Antonio Francisco MarquesMaria da Graa Mello Magnoni

1UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA. Estatuto da UNESP.So Paulo, 2015. Disponvel em: . Acesso em: 4 dez. 2015.

2INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATSTICA. Sntese de indicadores sociais:uma anlise das condies de

vida da populao brasileira. Rio de Janeiro, 2014. Disponvel em: .Acesso em: 4 dez. 2015.


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Pr-Reitoria de Extenso PROEX



SUMRIO

Introduo ................................................................................................ 11

1 Nmeros ................................................................................................ 12

2 Funes .................................................................................................. 30

3 Estatstica Descritiva e Probabilidade ...................................................... 53

4 Geometria Plana ..................................................................................... 87

5 Geometria Espacial ................................................................................ 103

6 Trigonometria......................................................................................... 111

7 Matrizes, determinantes e Sistemas Lineares ........................................... 125

8 Polinmios e Equaes Polinomiais ........................................................ 136

9 Nmeros Complexos .............................................................................. 142

10 Geometria Analtica ............................................................................. 150



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Matemtica 11


INTRODUO

Prezado(a) aluno(a):

Este o material de Matemtica que voc utilizar no Curso. Nele, encontrar umareviso dos principais contedos que so requeridos nos vestibulares e, principalmente, noENEM. Em cada captulo, apresentamos uma reviso e alguns problemas resolvidos. Voc en-contrar ainda problemas que poder resolver, aplicando os conceitos revisados. importanteque voc faa todos os problemas e tire as dvidas com o seu professor. Esperamos que vocaproveite bastante este material e que tenha sucesso nos vestibulares e no ENEM que venha a

prestar.

Nelson Antonio PirolaAutor


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1 NMEROS

CONJUNTOSNUMRICOSDesde a antiguidade, o homem precisou aprender a contar. Dessa forma, nasce-

ram os nmeros, em suas mais diversas representaes. Os conjuntos numricos estudados noensino mdio so: naturais, inteiros, racionais, reais e complexos (este ltimo veremos numcaptulo parte).

CONJUNTODOSNMEROSNATURAIS(IN)O conjunto dos naturais :

IN = {0; 1; 2; 3; 4....}

Pode-se representar os naturais no-nulos, colocando um asterisco em sua represen-tao (isso ocorrer em todos os conjuntos estudados). Sendo assim:

IN*= {1; 2; 3; 4....}

CONJUNTODOSNMEROSINTEIROS(Z)Na Matemtica, os nmeros negativos ocupam papel importantssimo em suas mais

variadas reas. O conjunto dos nmeros inteiros compreende os naturais e seus opostos. Oconjunto dos inteiros :

Z = {.......-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4....}

Adicionando os sinais de adio ou subtrao aos conjuntos, obtemos o conjunto dosno-negativos e no-positivos, respectivamente. Nos inteiros, isso tambm ocorre:

Z+= {0; 1; 2; 3; 4....} = IN

Z-= {0; -1; -2; -3; -4....}

Dentro desse conjunto, destacam-se os nmeros primos, de suma importncia naMatemtica e nas Cincias, como, por exemplo, na criptografia em Computao. So nmerosinteiros que possuem exatamente 4 divisores inteiros. Os primos positivos so: 2; 3; 5; 7; 11;13; 17; 19.... A lista interminvel e no apresenta um padro ou lei de formao, o que intrigamatemticos ao redor do mundo.

Pelo Teorema Fundamental da Aritmtica, todo nmero inteiro pode ser decompos-to em um produto de fatores primos, sendo nico, exceto pela permutao desses fatores. Umdos processos prticos de decomposio em fatores primos ilustrado no exemplo abaixo:


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Ex.:Decomponha 60 em fatores primos.

60 230 215 35 5

1Resposta: 60 = 22.3.5

Os livros didticos trazem o processo de decomposio com os fatores primos dis-postos em ordem crescente, o que no necessrio. Na verdade, o mesmo processo poderia seresboado como segue:

60 320 210 5

2 21

Quanto maior for o primeiro fator primo colocado, menos complexos sero os clcu-los seguintes. Um nmero que elucida bem esse ponto o 350. Na figura abaixo, esboamos esquerda o mtodo tradicional e, direita, a decomposio iniciando-se com o fator 7.

350 2 350 7175 5 50 235 5 25 57 7 5 5

1 1

As duas decomposies resultam em um mesmo produto, mas os clculos do proces-so direita se mostram mais simples.

Outro conceito importante no mbito desse conjunto o de divisores de um nme-ro inteiro. O processo uma continuao da decomposio em fatores primos e, dessa vez, afatorao crescente mais vantajosa, muito embora no seja obrigatria. Inicia-se o algoritmocomo j demonstrado, mas se adiciona uma segunda barra vertical, iniciada pelo nmero 1,divisor universal. Em seguida, deve-se realizar uma distributiva entre os fatores primos e os

divisores que vo surgindo. Vejamos o exemplo.Ex.:Determine os divisores inteiros de 60.

160 2 230 2 415 3 3;6;125 5 5;10;20;15;30;601

Resposta: D(60) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}


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E se desejarmos, porm, apenas o nmero de divisores, sem a necessidade de especifi-c-los um a um? Nesse caso, basta decomp-lo, somar uma unidade a cada expoente dos fatoresprimos e multiplicar cada resultado. Esse valor expressa o total de divisores positivos.

Ex.:Quantos so os divisores inteiros de 60?

Como vimos, 60 = 22.31.51. Tomando os expoentes e somando um a cada um deles,temos:

(2 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 12 divisores positivosResposta: 24 divisores inteiros.

Para auxiliar nesses processos, faz-se necessrio estudar alguns critrios de divisibili-dade, descritos a seguir:

Por 2: O algarismo das unidades deve ser par (0; 2; 4; 6 ou 8).

Por 3: A soma dos algarismos deve ser mltipla de 3.

Por 4: Os dois ltimos algarismos devem formar um mltiplo de 4.

Por 5: O algarismo das unidades deve ser 5 ou 0.

Por 6: Deve ser divisvel por 2 e 3, simultaneamente.

Por 9: A soma dos algarismos deve ser mltipla de 9.

Por 10: O algarismo das unidades deve ser 0.

Por 11: Some os algarismos em posio mpar e tambm os algarismos em posio par. Sea diferena entre esses dois valores resultarem em um mltiplo de 11, o nmero original mltiplo de 11.

Para ficar mais claro, estudemos a divisibilidade do nmero 35667180 por todos osexemplos anteriores:

Por 2: Sim, pois o algarismo das unidades par.

Por 3: Sim. A soma dos algarismos mltipla de 3 (3 + 5 + 6 + 6 + 7 + 1 + 8 + 0 = 36).

Por 4: Sim. Os dois ltimos algarismos formam o nmero 80, que mltiplo de 4.Por 5: Sim, pois o algarismo das unidades 0.

Por 6: Sim, pois divisvel por 2 e 3 simultaneamente.

Por 9: Sim, pois a soma dos algarismos 36, que mltiplo de 9.

Por 10: Sim, pois o algarismo das unidades 0.

Por 11: No. A soma dos algarismos em posio mpar 3 + 6 + 7 + 8 = 24, e os de posiopar 5 + 6 + 1 + 0 = 12. Sua diferena 24 12 = 12, que no mltiplo de 11.


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Um conceito importante em teoria dos nmeros o de mximo divisor comum(mdc). Existem vrios procedimentos para obt-lo, mas utilizaremos o mtodo da decomposi-o em fatores primos.

Ex.:Determine o mdc entre 60 e 72.

60 2 72 230 2 36 215 3 18 25 5 9 31 3 3

1

Em negrito, destacam-se os fatores comuns; o mdc entre esses nmeros o seu pro-duto, ou seja, 22.3 = 12.

Resposta: mdc(60,72) = 12

Quando se estudam os nmeros naturais, tambm introduzido o conceito da ta-buada, que nada mais do que a sequncia infinita de mltiplos de um determinado nmerointeiro. No entanto, possvel determinar o menor mltiplo comum (mmc) entre dois ou maisnmeros inteiros por vrios processos. Empregaremos o algoritmo de fatorao simultnea,como segue no exemplo.

Ex.: Determine o mmc entre 60 e 72.

60, 72 230, 36 215, 18 215, 9 35, 3 35, 1 5

1, 123.32.5 = 360

Resposta: mmc(60,72) = 360

Cabe destacar que os fatores primos no precisam ser dispostos em ordem crescente,como j estudamos na decomposio em fatores primos. No vestibular da UNICAMP-2015,encontramos uma questo que exigia a utilizao desse conceito:

Exemplo:(UNICAMP-2015) A tabela abaixo informa alguns valores nutricionais para a mes-

ma quantidade de dois alimentos, A e B.


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a ) 4 b ) 6 c ) 8 d ) 10

Resoluo:Para igualar o valor energtico dos dois alimentos, necessrio determinar o mmcentre 60 e 80. Para tal, no obrigatrio usar fatores primos. permitido utilizar um nmerocomposto, desde que seja divisor de ambos os nmeros.

60, 80 20

3, 4 23, 2 23, 1 31, 1

20.2.2.3 = 240

Como o mmc 240 kcal, devemos multiplicar os valores nutricionais do alimento Apor 4 (pois 240/60 = 4) e os de B por 3 (240/80 = 3). A massa de protena em A ser de 6.4 =24 g, e a de B, 1.3 = 3g. A razo entre 24g e 3g resulta em 8.

Resposta: Alternativa C

CONJUNTODOSNMEROSRACIONAIS(Q)

Esse conjunto contm todos os nmeros que podem ser formados pela razo , sen-do a Z e b Z. Sendo assim, alm de abranger os dois conjuntos anteriores, compreendetambm as fraes irredutveis e as dzimas peridicas.

Quanto a essas ltimas, apresentamos um processo prtico para obter sua frao ge-

ratriz. Basta colocar o algarismo 9 no denominador, se o perodo for simples, 99, se for duplo,e assim por diante.

Ex.: a ) 0,77777.... =

b ) 0,25252525252 =

c ) 0,451451451...=

Considere duas pores isocal-ricas (de mesmo valor energti-co) dos alimentos A e B. A razoentre a quantidade de protenaem A e a quantidade de protena

em B igual a


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Matemtica 17


Se houver n zeros antes do perodo, acrescentam-se n zeros nos ltimos n algarismosdo denominador.

Ex.:0,0001313131313....=

Existem dzimas em que se pode distinguir a parte peridica e a no-peridica. Paraobter sua frao geratriz, basta separ-las, como no exemplo:

1,377777.... = 1,3 + 0,077... =

CONJUNTODOSNMEROSREAIS(IR)

O conjunto dos nmeros reais engloba todos os anteriores e ainda os nmeros cuja

representao decimal no peridica. Por exemplo, no possvel representar como umarazo entre dois nmeros inteiros. Assim tambm ocorre com a constante p, a constante deEuler e e mais infinitos nmeros, que so chamados de irracionais. Dessa forma, conclui-seque o conjunto dos reais formado pelos nmeros racionais e os irracionais.

A figura abaixo auxilia na visualizao dos quatro conjuntos numricos estudadosneste captulo:

Exemplo:

IR

Q

Z

IN

0

1

2

4

3

-1

-2

-4-3

RAZESEPROPORESNuma viagem, quando aceleramos o carro, ou seja, aumentamos sua velocidade, diminu-

mos o tempo de percurso. Esse um princpio bsico da Cinemtica, envolvendo trs grandezas:espao, tempo e velocidade. No exemplo, o espao se mantm constante, enquanto a velocidadeaumenta. Em decorrncia desse incremento, o tempo de percurso diminui. Dizemos, ento, quevelocidade e tempo so grandezas inversamente proporcionais. Ao contrrio, se a velocidade fossemantida, quanto mais tempo fosse decorrido, mais espao seria percorrido. Dessa monta, observa-

se que espao e tempo so grandezas diretamente proporcionais. Ainda uma terceira situao pode


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ser estudada: numa determinada quantidade fixa de tempo, se aumentarmos a velocidade do carro,percorreremos mais espao, ou seja, espao e velocidade so diretamente proporcionais.

Matematicamente, se (a; b; c) diretamente proporcionala (d; e; f ), ento:

Em contrapartida, se forem inversamente proporcionais, tem-se que:

a.d = b.e = c.f

Pode-se relacionar diversas grandezas entre si, desde que seja explicitada a relao deproporcionalidade entre elas.

a ) S = b ) S = c ) S =

d ) S = e ) S =

Resoluo:Sendo S diretamente proporcional a b e a d2, isolando-se S direita da equao,deve-se dispor essas grandezas no numerador, devidamente multiplicadas pela constante deproporcionalidade. O quadrado da distncia entre os suportes da viga, representado por x2, inversamente proporcional a S, e deve ser colocado no denominador.

Resposta: Alternativa A

Muitas vezes, so introduzidas questes em vestibulares ou no ENEM, envolvendoproporo entre duas ou mais grandezas como essas. Na mesma prova do Exame Nacional, foi

apresentada outra questo sobre o assunto:

Exemplo: (ENEM-2012) A resis-tncia mecnica S de uma viga demadeira, em forma de um parale-leppedo retngulo, diretamenteproporcional sua largura (b) e aoquadrado de sua altura (d) e inversa-mente proporcional ao quadrado dadistncia entre os suportes da viga,que coincide com o seu comprimen-

to (x), conforme ilustra a figura. Aconstante de proporcionalidade k chamada de resistncia da viga. Aexpresso que traduz a resistncia Sdessa viga de madeira


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Exemplo:(ENEM-2013) Para se construir um contrapiso, comum, na constituio do con-creto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporo: 1 parte de cimento, 4 partes deareia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora enco-mendou um caminho betoneira com 14 m3 de concreto. Qual o volume de cimento, em m3,na carga de concreto trazido pela betoneira?

a ) 1,75 b ) 2,00 c ) 2,33 d ) 4,00 e ) 8,00

Resoluo:Uma resoluo clssica observada em livros didticos consiste em atribuir umadenominao a cada uma das quantidades de cada grandeza (c para cimento, a para areia e bpara brita), e sistematizar suas relaes, como j visto:

Basta agora calcular o valor de c.No entanto, parece mais simples assumir valores proporcionais de cada grandeza de

forma mais direta a cada um dos numerais apresentados e a uma constante de proporcionali-dade x, a saber:

cimento: xareia: 4xbrita: 2x

Assim, deduz-se que

x + 4x + 2x = 14 x = 2

Resposta: Alternativa B

Discorrer sobre proporcionalidade implica mencionar um dos procedimentos maisusuais de clculo, no s na Matemtica, mas sobretudo, no mundo real, no cotidiano das maisdiversas profisses. Trata-se da regra de trs, princpio diretamente ligado s razes e propor-es, como ilustrado no exemplo a seguir, ainda contido na mesma edio do Exame Nacional.

Exemplo:(ENEM-2013) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras oexcesso de carga transportada pelos caminhes. Dimensionado para o trfego dentro dos limi-tes legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhes. Almdisso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensodo veculo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na expe-rincia adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminho pode carregar, nomximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Considerando esse caminho carregado com 900 telhas,quantos tijolos, no mximo, podem ser acrescentados carga, de modo a no ultrapassar acarga mxima do caminho?

a ) 300 tijolos b ) 360 tijolos c ) 400 tijolos d ) 480 tijolos e ) 600 tijolos


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Resoluo:De acordo com o enunciado, 1500 telhas equivalem a 1200 tijolos, que a ca-pacidade mxima do caminho. Como o veculo j foi carregado com 900 telhas, ainda seriapossvel colocar 1500 900 = 600 telhas. Basta agora determinar quantos tijolos equivalem aessa quantidade, lanando mo de uma regra de trs simples:

telhas Tijolos1.500 1200600 X

1500.x = 600.1200 x = 480 tijolosResposta: Alternativa D

PROGRESSESARITMTICAS(PA)Uma progresso aritmtica uma sequncia numrica, na qual a diferena entre um

termo e o anterior constante e se denomina razo (r). Se a razo for positiva, diz-se que a PA crescente, se for negativa, decrescente, e constante, se a razo for nula.

Exemplo: a ) (3; 7; 11; 15; ....) r = 4 Crescente

b ) (10; 8; 6; 4....) r = -2 Decrescente

c ) (7; 7; 7; 7;.....) r = 0 Constante

Seja a1 o primeiro termo e ano ensimo da PA de razo r, pode-se definir a frmulado termo geral como:

an= a1+ (n 1).r

Exemplo: a20= a1+ 19.r

possvel relacionar dois termos quaisquer da PA; basta que o mdulo da diferenaentre seus ndices seja igual ao coeficiente de r.

Exemplo:a15= a3+ 12.r

Pode-se constatar que qualquer termo da PA a mdia de seus termos adjacentes, ouseja, dada a PA (a, b, c), ento:

Tambm se nota a propriedade dos termos equidistantes, em que a soma de doistermos com soma de ndices igual a x equivalente soma de outros dois termos, cuja soma dendices tambm seja x. Ou seja, se m + n = p + s, tem-se que:

am+ an= ap+ as


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A soma dos n primeiros termos da PA decorre dessa propriedade, e pode ser calculadapela expresso:

Uma questo cobrada pela banca da FUVEST-2012, na prova da 2afase, englobavaesse conceito, alm da propriedade do termo mdio.

Exemplo:Considere uma progresso aritmtica cujos trs primeiros termos so dados por:

a1= 1 + x, a2= 6x e a3= 2x2+ 4,

em que x um nmero real.

a ) Determine os possveis valores de x.

b ) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progresso aritmtica correspondente ao me-nor valor de x encontrado no item a).

Resoluo:a ) Utilizando a propriedade do termo do meio, tem-se que:

1 + x + 2x2+ 4 = 12x2x2 11x + 5 = 0

Utilizando a frmula de Bhskara:

= b2

4.a.c = (-11)2

4.2.5 = 81

b ) O menor valor de x encontrado em a) 1/2. O primeiro termo da PA 1 + x = 1 + 0,5 =1,5. Seu segundo termo 6x = 6.0,5 = 3. Sendo assim, a razo r = 3 1,5 = 1,5. Para calculara soma dos 100 primeiros termos da PA (S100), necessitamos calcular seu centsimo termo:

a100= a1+ 99.r = 1,5 + 99.1,5 = 150

S100=

Resposta: a ) 5 ou 1/2 b ) 7.575

PROGRESSESGEOMTRICAS(PG)A progresso geomtrica, assim como a PA, uma sequncia numrica, cuja razo

entre um termo e o anterior constante e se denomina como razo q. Classifica-se como cres-cente, decrescente, constante (q = 1), alternante (q < 0) e singular (a1= 0 ou q = 0).

Exemplo: a ) (2; 6; 18; 54....) q = 3 Crescente

b ) (8; 4; 2; 1....) q = 1/2 Decrescente


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c ) (7; 7; 7; 7; ....) q = 1 Constante d ) (-2; 6; -18; 54...) q = -3 Alternante e ) (9; 0; 0; 0; .....) q = 0 Singular

Para determinar o ensimo termo anda PG de razo q e primeiro termo a1, basta

utilizar a expresso: an= a1.q

n - 1

Exemplo a20= a1.q19

Dois termos quaisquer podem ser relacionados entre si, de forma semelhante PA.

Exemplo:a15= a3.q12

O termo do meio da PG formada pelos termos (a, b, c) dado por:

b2= a.c

Verifica-se tambm a propriedade dos termos equidistantes, novamente de formasemelhante PA. Se m + n = p + s, ento:

am. an= ap. as

Dessa expresso, pode-se deduzir o produto Pndos n primeiros termos da PG, expli-

citado por:

Para calcular a soma dos n primeiros termos da PG, utiliza-se a expresso:

Tambm possvel calcular a soma dos infinitos termos S(( de uma PG convergente,

ou seja, com -1 < q < 1:

Vejamos um exemplo cobrado no vestibular da FUVEST:

Exemplo: (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razo negati-va, 1/2. Alm disso, a diferena entre o stimo termo e o segundo termo da PG igual a 3.Nessas condies, determine:a ) A razo da PG.b ) A soma dos trs primeiros termos da PG.


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Resoluo:a ) Dados: S5= 1/2, q < 0 e a7 a2= 3. Ento:

S5= 2.a1.(q5 1) = q 1 (I)

a7 a2= 3 a1.q6 a1.q = 3 a1.q.(q

5 1) = 3 (II)

Dividindo-se (I) por (II), obtm-se:

q2 q 6 = 0

Empregando a frmula de Bhskara:= b2 4.a.c = (-1)2 4.1.(-6) = 25

Como q < 0, ento q = -2.b ) Como q = -2 e a1.q.(q

5 1) = 3, ento:

a1.(-2).[(-2)5 1] = 3 a1= 1/22

S3= 1/22 + (-2).1/22 + (-2)2. 1/22 = 3/22

Resposta: a ) -2 b ) 3/22

PORCENTAGEMA definio de porcentagem muito simples: trata-se de uma frao cujo denomina-

dor igual a 100. Dessa forma, pode-se representar uma porcentagem com o smbolo %, emforma de frao ou de nmero decimal.

Exemplo: a ) 47% = = 0,47

b ) 10% = = 0,1

c ) 1% = = 0,01

Via de regra, a porcentagem calculada lanando-se mo de uma regra de trs, o queno obrigatoriamente o caminho mais imediato. Vejamos dois exemplos de sua aplicao eclculo direto:

Exemplos: a ) Calcule 30% de 75.Resoluo: Em porcentagem, a preposio de pode ser substituda pela multiplicao.Ento:

30% de 75 = 0,3.75 = 22,5Resposta: 22,5


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b ) Qual porcentagem 28 equivale, num total de 80?

Resoluo: Lembrando que porcentagem equivale a uma frao, podemos entender que 28 em

80 a frao = 0,35 = 35%.

Resposta: 35%

Exemplo:(ENEM-2014) Uma organizao no governamental divulgou um levantamento dedados realizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento bsico. Os resultados indicamque somente 36% do esgoto gerado nessas cidades tratado, o que mostra que 8 bilhes delitros de esgoto sem nenhum tratamento so lanados todos os dias nas guas. Uma campanhapara melhorar o saneamento bsico nessas cidades tem como meta a reduo da quantidade deesgoto lanado nas guas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhes de litros nos prximosmeses. Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concre-tizar, o percentual de esgoto tratado passar a ser

a ) 72% b ) 68% c ) 64% d ) 54% e ) 18%

Resoluo:Se 36% do volume total dirio de esgoto tratado, 64% so tratados, o que equi-vale a 8 bilhes de litros. Se x o volume total, ento:

0,64.x = 8 x = 12,5 bilhes de litros

Se 4 bilhes de litros de esgoto passaro a no ser tratados, 12,5 4 = 8,5 bilhes delitros de esgoto sero tratados, o que representa 8,5 / 12,5 = 0,68 = 68% do total.

Resposta: Alternativa B

AUMENTOEDESCONTOPara compreender melhor o conceito de aumento e desconto percentual, premente

entender o coeficiente de multiplicao. Para tal, introduziremos alguns exemplos.

Ex.:Se o valor inicial de uma mercadoria x, e sobre esse valor incide um aumento de 27%,restar quanto do valor inicial? Vejamos:

x + 0,27.x = 1,27.x

O fator multiplicativo 1,27 e calculado pela soma 1 + 0,27 (27%). Se o aumentofor de p%, o fator multiplicativo ser:

1 +Assim tambm ocorre com os descontos, mas se subtrai a porcentagem do valor

inicial.

Exemplo:Se o valor inicial de uma mercadoria x, e sobre esse valor incide um desconto de27%, restar quanto do valor inicial?Resoluo:Vejamos:

x - 0,27.x = 0,73.x


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plausvel que sobre 73% do valor original, j que se descontam 27% de 100%.Resposta: 0,73.x

Exemplo: (ENEM-2013) Para aumentar as vendas no incio do ano, uma loja de departamen-tos remarcou os preos de seus produtos 20% abaixo do preo original. Quando chegam ao

caixa, os clientes que possuem o carto fidelidade da loja tm direito a um desconto adicionalde 10% sobre o valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que cus-tava R$ 50,00 antes da remarcao de preos. Ele no possui o carto fidelidade da loja. Casoesse cliente possusse o carto fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar acompra, em reais, seria dea ) 15,00. b ) 14,00. c ) 10,00. d ) 5,00. e ) 4,00.

Resoluo: Como o produto custava R$ 50,00 e houve remarcao, gerando desconto de20%, seu preo passou a ser 0,8.50 = R$ 40,00, valor pago pelo cliente. Se possusse o cartofidelidade da loja, receberia 10% de desconto sobre esse valor, ou seja, 0,1.40 = R$ 4,00.Resposta: Alternativa E

JUROSSIMPLESA partir de um capital inicial C, pode-se incidir um percentual de aumento sobre esse

valor, durante um perodo de tempo n. Isso configura uma progresso aritmtica, cuja razonada mais do que o produto desse capital pela taxa de juros i. Aps esse perodo, pode-seresgatar ou quitar a importncia final, denominada montante M. O rendimento (ou juros) jde um emprstimo ou aplicao financeira a diferena entre o montante e o capital inicial.

j = C.i.nM = C + j

Exemplo:Determine o rendimento recebido pela aplicao de R$ 2.000,00, a uma taxa dejuros simples de 12% ao ano, por um perodo de 3 anos.Resoluo:

Ano Montante (R$) Juros (R$)

0 2000,00 0,12.2000,00 = 240,001 2000,00 + 240,00 = 2240,00 0,12.2000,00 = 240,00

2 2240,00 + 240,00 = 2480,00 0,12.2000,00 = 240,003 2480,00 + 240,00 = 2720,00 Total: 720,00

Resposta: 720,00

possvel realizar os mesmos clculos empregando a frmula estudada:

j = C.i.n = 2000 x 0,12 x 3 = 720


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JUROSCOMPOSTOSNo regime de juros compostos, a taxa de juros incide sempre sobre o capital vigente

no perodo de tempo correspondente, ou seja, ms a ms, ano a ano, sempre sobre o montantenaquele momento. o que se denomina juros sobre juros, que se configura em uma progressogeomtrica.

Exemplo:Determine o rendimento recebido pela aplicao de R$ 2.000,00, a uma taxa dejuros compostos de 12% ao ano, por um perodo de 3 anos.Resoluo:

Ano Montante (R$) Juros (R$)

0 2000,00 0,12.2000,00 = 240,001 2000,00 + 240,00 = 2240,00 0,12.2240,00 = 268,802 2240,00 + 268,80 = 2508,80 0,12.2508,80 = 301,063 2508,80+ 301,06 = 2809,86 Total: 809,86

Resposta: R$ 809,96

Na verdade, pode-se efetuar o clculo de forma mais simples:

2000,00 1,123.2000 = 2809,86. Os juros so 2809,86 2000,00 = 809,86.

Portanto, possvel calcular o montante, multiplicando-se o capital inicial pelo coe-ficiente de multiplicao elevado ao perodo de tempo.

ANLISECOMBINATRIAA anlise combinatria a parte da Matemtica que abrange a contagem de elemen-

tos de um conjunto agrupado sob especificidades particulares.

PRINCPIOFUNDAMENTALDACONTAGEM(PFC)Princpio bsico de contagem, o PFC se configura numa ferramenta essencial em

diversas reas, utilizando a multiplicao como artifcio principal. Um exemplo: se temos 10camisas e 20 calas, de quantas maneiras distintas podemos escolher uma pea de cada tipo?Para resolver a questo, basta imaginar que, para cada camisa escolhida, h 20 calas possveispara compor o par. Sendo assim, 10.20 = 200 maneiras distintas de escolha. Tambm possvelrepresentar a situao atravs de uma rvore de possibilidades, o que no muito prtico, nessecaso. Verifiquemos um exemplo mais sofisticado apresentado pela banca da FUVEST:

Exemplo:(FUVEST-2015-ADAPTADA) Um alfabeto minimalista constitudo por apenasdois smbolos, representados por * e #. Uma palavra de comprimento n, n 1, formada por nescolhas sucessivas de um desses dois smbolos. Por exemplo, # uma palavra de comprimento1 e #**# uma palavra de comprimento 4. Usando esse alfabeto minimalista, quantas palavrasde comprimento menor do que 6 podem ser formadas?

Resoluo: Comprimento 1: 2


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Comprimento 2: 2.2 = 4 Comprimento 3: 2.2.2 = 8 Comprimento 4: 2.2.2.2 = 16 Comprimento 5: 2.2.2.2.2 = 32

Comprimento 6: 2.2.2.2.2.2 = 642 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Resposta: 126

ARRANJOSExistem situaes em que necessrio escolher k elementos de um conjunto com

n elementos, e disp-los em ordem. Para tal situao, utiliza-se o conceito de arranjo (An,k),expressado pela frmula:

An,k=

Exemplo: (UNICAMP-2013) Para acomodar a crescente quantidade de veculos, estuda-semudar as placas, atualmente com trs letras e quatro algarismos numricos, para quatro letras etrs algarismos numricos, como est ilustrado na figura. Considere o alfabeto com 26 letras eos algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modificao em relao ao nmero mximode placas em vigor seria:

a ) inferior ao dobro.b ) superior ao dobro e inferior ao triplo.

c ) superior ao triplo e inferior ao qudruplo.

d ) mais que o qudruplo.

Resoluo:Na primeira situao, tm-se 3 letras e 4 algarismos, e o total de possibilidades

26.26.26.10.10.10.10. Na segunda, com 4 letras e 3 algarismos, so 26.26.26.26.10.10.10. Arazo entre os dois valores :

=

O aumento representaria 2,6 1 = 1,6.

Resposta: Alternativa A

ABC 1234 ABCD 123


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PERMUTAESSIMPLESO conceito de permutao advm do prprio nome: trata-se do clculo de todas as

trocas de posies entre n elementos, levando-se em conta sua disposio e ordem. Calcula-seempregando-se a expresso:

Pn= n!

Exemplo:Qual o total de anagramas da palavra PERMUTA?

Resoluo: P7= 7! = 5040Resposta: 5040

PERMUTAESCOMREPETIOQuando h repetio de elementos, deve-se usar a expresso:

a,b,c,....Pn=

sendo n o total de elementos, a a quantidade de repeties de um dos elementos,b de outro, e assim sucessivamente.

Exemplo:Qual o total de anagramas da palavra BANANA?Resoluo:

So 6 letras, sendo 3 A e 2 N:

3,2P6= =60

Resposta: 60

COMBINAOSIMPLESUtiliza-se a combinao simples, quando no importa a ordem dos k elementos es-

colhidos num total de n elementos. Sua expresso dada por:

Ex.:(UNESP-2013) Quantos so os nmeros naturais que podem ser decompostos em umproduto de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejammenores que 30?


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Resoluo:So 10 os nmeros primos menores que 30: 2;3;5;7;11;13;17;19, 23, 29. Deve-seformar nmeros naturais que podem ser decompostos pelo produto de 4 deles, cuja ordem noimporta. Sendo assim, empregaremos o princpio de combinao:

C10,4= = 210

Resposta: 210 nmeros naturais.


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2 FUNES

Iniciaremos o estudo das funes, contedo importante no apenas aos interessesda Matemtica, mas utilizado em outras cincias, como a Fsica, a Qumica, a Biologia, entreoutras. Para iniciarmos esse estudo, pensemos na seguinte situao:

Situao problema:Uma empresa de telefonia mvel oferece um plano por R$ 60,00 por ms,no qual o cliente ter direito a 50 minutos em ligaes locais. Aps os 50 minutos, cobradauma tarifa de R$ 1,50/minuto excedido. Sendo assim:

a) Um cliente que fizer adeso a esse plano pagaria quanto, se utilizasse 40 minutos em liga-es locais?

b) E se utilizasse 56 minutos, qual seria o valor pago?c) O valor pago depende do tempo das ligaes efetuadas?

d) H uma forma de representar o valor pago pelo cliente em relao aos minutos utilizadosmensalmente? Como seria?

Essa situao nos d um exemplo de uma funo matemtica: h uma dependnciaentre o valor pago pelo cliente e o tempo empregado nas ligaes.

O termofunopassou por vrias evolues, no decorrer da Histria da Matemtica.Esse termo foi utilizado pela primeira vez por volta de 1694, por Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646-1716), para expressar quantidades associadas a uma curva. Atualmente, a definio maisadotada para funo a do grupo Bourboki, proposto em 1939.

So desenvolvidas e usadas frmulas matemticas para associar padres, realizar pre-vises em diversas reas, e no somente na Matemtica.

Para definir funes, vamos definir anteriormente outros conceitos.

Produto Cartesiano:Dados os conjuntosA e B , no vazios, o produto cartesiano de A em B , denotado por BAx , o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) em que Ax

e By

.AxB={(x,y) x A e y B}

Exemplo: Sejam os conjuntos 3}.-2,-{-1,Be{1,2}A == O produto cartesiano deA em B o conjunto 3)}-(2,2),-(2,1),-(2,3),-(1,2),-(1,1),-{(1,x =BA .


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Relao: A relao )(R deA em B qualquer subconjunto do produto cartesiano de A em B .

Exemplo: Consideremos dois conjuntosA e B ,descritos no exemplo anterior. Seja R arelao de A em B definida por .xy =

Assim, )}2,2(),1,1{(}/),{( xyAxByxR

Funo:A relao fdeA em B denominada funo, quando, para todo elemento xdoconjunto A estiver associado um nico elemento y do conjunto B .

BA: f

O conjuntoA chamado domnio da funo deA em B e denotado por )(fD ouD . O conjuntoB denominado contradomnio de f deA emB e denotado por CD(f ).

Definimos conjunto imagem e denotamos por )Im(f ao conjunto de todos os va-lores deyque so imagem dex.

H vrias formas de representar uma funo. Pode ser atravs de uma frmula, dodiagrama de flechas, de uma tabela, de um grfico.

Exemplos: Sejam os conjuntos A = {0, 1, 4} e B = {-1, 0, 1, 2, 5}e as relaes deAem B:R = {(x, y) AxB y = x + 1}


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S = {(x, y) AxB y = 2x }

T = {(x, y) AxB y2= x}

A relao R = {(x, y) AxB y = x + 1} representa uma funofdeAem B, pois,para todo elemento dex, h um elemento correspondente emye nico.

R funo de A em B

A relao S = {(x, y) AxB y = 2x } no representa uma funo de A em B ,pois h elemento no conjunto A que no possui elemento correspondente em B .

S no representa uma funo de A em B .


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A relao T = {(x, y) AxB y2= x} tambm no representa uma funo de A emB , porque existe elemento em A que possui mais que um correspondente em B .

T no representa uma funo de A em B .

A frmula y = x2 - 5x + 6representa uma funo deyem relao ax. O valor num-rico dey parax= 0 6, pois, substituindoxpor 0, temos: y = 02-5.0 + 6 = 6 .

ESTUDODODOMNIODEUMAFUNO

Uma funo definida porf: A B tem o conjunto domnio (D=A) , contradom-nio(CD = B)e o conjunto Imagem (Im).

O conjunto A , domnio da funo, pode estar evidente em alguns casos, como, porexemplo:

IRDZIRf = ;:

INDININf = ;:

No entanto, s vezes, o domnio no est evidente e, portanto, devemos defini-lo.

Exemplo:1. Na funo

xxf

2

7)( = , o domnio pode ser todos os nmeros reais exceto o zero,

pois, por tratar-se de um quociente, o denominador deve ser diferente de zero. Assim, 2x 0 x 0. Nesse caso, { }0/* == xIRxIRD .

2. Na funo 42x)( xf , o domnio pode ser qualquer nmero real maior ou iguala -2, porque, por tratar-se de uma raiz quadrada, sua condio de existncia que o radi-cal seja positivo ou zero. Assim, 2042 + xx . Temos, { }2/ = xIRxD

3. Na funo 5 3)( += xxf , o domnio so todos os nmeros reais, pois no h restrio

para uma raiz quntupla.


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GRFICODEUMAFUNOVoltando situao inicial do plano de telefonia mvel, podemos representar a fun-

o atravs de um grfico. Sendo )(xfy= o valor pago e xos minutos gastos em ligaeslocais, teramos

y (preo pago em reais)

60

x (minutos em ligao)

50

O domnio dessa funo { }0/ = xIRxD , porque no h sentidox ser umnmero negativo, visto que no h quantidade de minutos negativos.

Alm disso, essa situao seria descrita por duas sentenas:

Observando o grfico num plano cartesiano, podemos dizer se o grfico representa

uma funo de A em B ou no. Se definir uma funo de A em B , podemos definir odomnio e o conjunto imagem atravs do seu grfico.

Exemplos:

a) )(xf define uma funo de A em B , pois, para cada elemento de A , existe um cor-respondente em B e esse valor nico.

D = A = IR; CD = B; Im={y IR / y - 4}

x (minutos em ligao)


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Matemtica 35


Fonte: . Acesso em: 20 jun. 2015.

b) fno representa uma funo de A em B , porque existe elemento em A que possuimais de um elemento relacionado em B .

Fonte: . Acesso em: 20jun. 2015.

ZERODEUMAFUNOPara todo valor de x D(f) tal que 0)( =xf denominamos zero da funo.

Exemplo: 65)( += xxxf , temos 2=x e 3=x como sendo os zeros dessa funo,

pois, fazendo 0)( =xf , temos 3e206521 ===+ xxxx .

No exemplo (c) do grfico de funo, podemos observar o grfico de determinar os

zeros da funo. No caso, tem 0)( =xf para 4;0 == xx e 6=x , que so as interseces

do grfico com o eixo )0( =yx .

Funo par:Denominamos funo par se para todo )(fDx , temos )()( xfxf = .


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36 Matemtica


Exemplo:2)( xxf =

1)1( =f 1)1( =f

Observando o grfico, percebemos uma caracterstica das funes pares. O grfico dequalquer funo par simtrico em relao ao eixo y.

Funo mpar:Denominamos funo mpar, se para todoxD(f) temosf(x) = - f(-x).

Exemplo:3)( xxg =

1)1( =f 1)1( =

f

Observando o grfico da funo )(xg ,percebemos que a caracterstica da funompar sua simetria em relao origem do sistema.

H funes que no so classificadas como par e nem como mpar:

Exemplo: 1)( +=xxg


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Matemtica 37


mparfunonemeparfunono3)1(

2)1(

=

=

f

f

FUNOCRESCENTE, DECRESCENTEECONSTANTEDado um intervalo contido no domnio de uma funo f , se, para todo

1x e

2x

pertencentes a esse intervalo, com21 xx < , temos que:

Se f (x1)f (x2),f (x) decrescente, nesse intervalo.

A funof (x) ser funo constante, se para qualquerxdo intervalo,f (x)= k, kR.

Exemplo:

para )(;2 xfx < decrescente

para )(;22 xfx


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38 Matemtica


Funo injetora:Dada uma funo ,: BAf f injetora se, e somente se, para todo1

x

e2

x pertencentes a A (domnio da funo), temos )()( 2121 xfxfxx .Exemplo:

f injetora g no injetora

Funo sobrejetora:Dada uma funo ,: BAf f sobrejetora se, e somente se, para

todo By , existe tal que yxf =)( , ou seja Im ( f )= CD ( f ).Exemplo:

f sobrejetora g no sobrejetora

Funo bijetora: Dada uma funof : A B, f , bijetora, se for injetora e sobrejetora, ou

seja, )()()( 2121 xfxffDxx e Im (f) - CD (f ) .

f bijetora


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Matemtica 39


Funo inversa:Dada a funo bijetora :f AB , a funo g :B A a funo in-versa de f ,quando se tem baf =)( e abg =)( , para qualquer Aa e Bb . Denotamos

a funo inversa de )(por)(1 xfxf . Temos: )(),()(),(

1 xfxyxfyx .

)(xf )(1 xf

Exemplo:

As funes xxf 2)( = e2

)( x

xg = so funes inversas. Temos, por exemplo, que

2)1( =f e 1)2( =g . O par ordenado )()2,1( xf e o par ordenado ).()1,2(1 xfg =

As funes f e1f so simtricas em relao funo identidade xy= .

Funo composta:Sejam as funes BAf : e CBg : , de tal forma que CD(f )=

D(g) . Denominamos a funo CAh : como funo composta de g e f que relacionaessas duas funes.


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40 Matemtica


f g

h

)(( xfg

)())(()( xgofxfgxh ==

FUNOAFIMOUFUNODO1OGRAUImaginemos um plano de telefonia celular, no qual o cliente paga um valor fixo de

R$ 10,00 mensais mais uma tarifa de R$ 0,75 por minuto de ligao. Considerando P(x) opreo pago mensalmente pelo cliente desse plano exos minutos utilizados em ligaes no ms,

teramos a funoP(x) = 10+0,75x , para 0x , para representar o valor pago mensalmentepelo cliente. Esse tipo de funo denominada funo afim ou funo do 1 grau.

Funo afim: toda funof : IR IR, definida por y =f (x) = ax + b , com a eb reais, em

que ao coeficiente angular ou declividade e b o coeficiente linear.Quando b =0, temosf(x) = ax e, ento, denominada funo linear.

Exemplo: xxf 2)( =

Grfico da funo xxf 2)( =

g(f(x))

g(f(x))


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Matemtica 41


Se xxf =)( , temos a funo identidade.

Grfico da funo identidade xxf =)(

Para toda funof (x) =ax +b, se:

0>a , temos uma funo crescente 0


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42 Matemtica


ESTUDODOSINALDAFUNOAFIM


Exemplo: Estudar o sinal da funo 82)( += xxf .

0)( >xf : 4


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Matemtica 43


INEQUAESDO1 GRAUVoltando situao do plano de telefonia celular em que temos a funo P(x) = 10

+ 0,75x, para x 0, para representar o valor pago mensalmente pelo cliente. Imaginemos asituao na qual o cliente pretende gastar, no mximo, R$ 100,00 com esse plano de celular.Quantos minutos, no mximo, ele poderia falar?

Para resolver essa situao, teramos que resolver uma inequao do 1 grau, ou seja,10 + 0,75x < 100.

Inequaes do 1 grau: Sejaf: IR IRuma funo afim definida porf(x) =ax +b, chamamosinequao do 1 grau toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das seguintes formas:

0)( >xf ; 0)( xx .Inicialmente, devemos realizar o estudo do sinal de cada uma das funes.

xxf 34)( = 72)( = xxg

Zero:

3

4=x

Zero:

2

7=x


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44 Matemtica


Agora, realizaremos o sinal do produto gf. :

Assim, a soluo da inequao 0)72).(34( > xx :


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Matemtica 45


O grfico dessa funo uma curva denominada parbola, que uma curva simtri-

ca, e o eixo de simetria passa no ponto

aa

bV

4;

2denominado vrtice da parbola.


Zeros (ou razes) da Funo Quadrtica: Os zeros da funo quadrtica so os valores dexpara

os quais 0)( =xf . Dessa forma, para resolver , temosa

bx

2

= ,

em que acb 42 = .

Dependendo do valor de , podemos ter:

>0, a funo tem dois zeros reais e distintos; =0, a funo tem dois zeros reais e iguais;


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46 Matemtica


ESTUDODOSINALDAFUNOQUADRTICA


Exemplo:Considerando a funo xxxf 2)( 2 = , temos que:

0)( >xf : 0x

0)( =xf : 0=x ou 2=x

0)(


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Matemtica 47


Inequaes do 2 grau: Toda expresso da forma 0)( >xf ; 0)( xf : 31

x

0)(


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48 Matemtica


FUNOMODULARMdulo: Definimos mdulo x de um nmero real x ao prprio nmero x, se ele for positivo

ou nulo, e o seu oposto, se ele for negativo. Desta forma, temos: .

Exemplo: 44-;33 ==

Funo Modular: toda funo IRIRf : tal que xxf =)( , definida por

.

Equao modular: So as equaes nas quais as incgnitas aparecem nos mdulos.

Exemplo: Resolver, em IR, a equao modular 213 =x

==

===

3

1213

1213

213xx

xxx

= 1,

3

1S


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Matemtica 49


Inequao modular: So as inequaes nas quais as incgnitas aparecem nos mdulos.

Seja kIR+, ento:

>

== aaxxaa xx


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Matemtica 51


Consequncias da definio:

01log =a

1log =aa

nana =log

cbcb aa == loglog

ba ba =log

Propriedades Operatrias:Sendo*

e, +IRcba , 1a e IRn , temos:

cbcb aaa loglog).(log +=

cb

c

baaa logloglog =

bnb a

n

a log.log =

Mudana de base:a

bb

c

ca

log

loglog =

Funo Logartmica: toda funo IRIRf +*

: definida por xxf alog)( = , com

1e0 > aa

O grfico dessa funo uma curva denominada curva logartmica.

Fonte: . Acesso

IR IR

IR IR


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52 Matemtica


em: 12 jun. 2015.

Equao Logartmica: toda equao cuja incgnita est no logaritmando, na base ou emambos.

Exemplo: Resolva, em IR, a equao )73(log)3(log 22 += xx .

{ }1=S

Inequao Logartmica: toda inequao cuja incgnita est no logaritmando, na base ou emambos.

Se2121 loglog:1 xxxxa aa >>>

Se 2121 loglog:10 xxxxa aa


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Matemtica 53


3 ESTATSTICADESCRITIVAEPROBABILIDADE

INTRODUO- CONCEITOSBSICOS

Em nosso dia a dia, estamos rodeados de informaes obtidas por meio de estudosestatsticos. Por exemplo, para decidirmos em quem votar, nas eleies, podemos observar osresultados de pesquisas eleitorais sempre divulgadas; para decidir pelo lanamento de um novoproduto, industriais costumam verificar, entre os consumidores, a aprovao dessa mercadoria entre outras situaes. Mas como se d este processo?

A princpio, h a necessidade de uma formalizao da situao a ser estudada. Aps, opesquisador precisa verificar se ele ter acesso populao envolvida em sua pesquisa. Lembre-se de que, em um estudo estatstico,populao o conjunto completo dos elementos que com-

pem o sistema em estudo.Caso no tenha acesso a toda a populao, precisar selecionar elementos desta que a

representem, para compor uma amostra.Amostra, ento, um subconjunto da populao a serestudada. Para a seleo dessa amostra, existem algumas tcnicas de amostragemque objetivamcompor a amostra com elementos que melhor representem a populao foco, procurando sele-cionar (em menor quantidade e de maneira proporcional, se possvel) os que possuam as prin-cipais caractersticas da populao estudada. Essas tcnicas limitam-se de acordo com o tempodisponvel para a pesquisa, recursos financeiros, disponibilidade dos elementos que constituema populao e at pela acessibilidade a esses elementos.

Suponha, agora, que voc queira conhecer o desempenho geral de sua sala de aulana disciplina de Matemtica e, tambm, quem possui melhor desempenho, se as meninas ouos meninos da sala. Para isso, vai em busca das notas obtidas por seus colegas e seu sexo. Asinformaes coletadas esto apresentadas abaixo:

Sexo Nota Sexo Nota Sexo Nota

Feminino 3,5 Feminino 7,0 Masculino 4,0

Masculino 5,0 Feminino 4,0 Feminino 5,0

Masculino 4,0 Masculino 5,0 Masculino 1,5Masculino 2,0 Masculino 7,0 Feminino 7,0

Feminino 7,5 Masculino 1,5 Masculino 9,0

Masculino 2,0 Feminino 5,0 Masculino 5,0


Feminino 4,0 Masculino 3,5 Feminino 2,0


Masculino 5,0 Masculino 4,0 Masculino 4,0


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54 Matemtica


Estas informaes, na Estatstica, so chamadas de dados, e aquilo a que esses dadosse referem consiste nas variveis. Em nossa situao, temos duas variveis: sexo e nota. Os sexosso classificados em duas categorias: feminino e masculino. J a nota um valor numrico quevaria dentro do conjunto dos nmeros reais. Ou seja, as variveis com que estamos trabalhandopossuem caractersticas diferentes!

De maneira geral, as variveis podem ser classificadas em:

variveis qualitativas: aquelas que apresentam como resposta uma qualidade ou umapreferncia, sempre organizadas em categorias. So classificadas em:

o nominais, onde as categorias no podem ser organizadas em ordem, como, por exem-plo, sexo, cor de cabelo, cor de olhos, etnia, religio etc.;

o ordinais, que podem ser organizadas em ordem crescente ou decrescente, como, porexemplo, grau de instruo, colocao no campeonato etc.

variveis quantitativas: aquelas que apresentam como resposta um nmero real. Estas so

obtidas por meio de contagens ou mensuraes e classificadas em:o discretas, que assumem somente valores inteiros, como, por exemplo, idade em anos,

nmero de alunos por sala de aula, nmero elementos na famlia etc.;o contnuas, que assumem valores dentro de um intervalo dos nmeros reais contnuo,

como, por exemplo, altura, peso, distncia etc.

Seguindo com o exemplo, o sexo , ento, uma varivel qualitativa nominal e a nota(medida como apresentada), uma varivel quantitativa contnua.

Veremos, a seguir, maneiras de organizar esses dados e de represent-los.

REPRESENTAODOSDADOSAo querer conhecer o desempenho geral de sua sala de aula, na disciplina de

Matemtica, voc coletou alguns dados:

Sexo Nota Sexo Nota Sexo Nota




Masculino 2,0 Masculino 7,0 Feminino 7,0

Feminino 7,5 Masculino 1,5 Masculino 9,0

Masculino 2,0 Feminino 5,0 Masculino 5,0


Feminino 4,0 Masculino 3,5 Feminino 2,0




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Matemtica 55


Precisamos, agora, organizar esses dados de maneira que possamos estud-los.

Uma primeira forma de organizao a tabela de frequncias, tambm conhecidacomo distribuio de frequncias. Essa tabela formada por duas colunas: a primeira, compostapelos dados apresentados em ordem crescente, e a segunda, formada pela frequncia do dado aque se refere, ou seja, o nmero de vezes que este aparece. Essa frequncia dos dados tambmchamada defrequncia absoluta.

Considerando o sexo de seus colegas, temos a seguinte tabela de frequncias:

Sexo Frequncia

Feminino 13

Masculino 17

Total 30

J a tabela de frequncias da varivel notas dos alunos:

Notas dos alunos Frequncia

1,5 2

2,0 3

3,0 2

3,5 4

4,0 6

5,0 77,0 3

7,5 2

9,0 1

Total 30

Os dados quantitativos, por poderem assumir valores dentro de um intervalo, soainda organizados em classes, ou seja, intervalos contnuos de mesmos tamanhos (amplitudes).

Sendo Lio limitante inferior da classe e Lso seu limitante superior, em geral, representamosesta por:

Li|--L

s,

ou seja, esse intervalo fechado em Lie aberto em L

s.

Em cada classe, contabilizamos o nmero de elementos que nela esto inseridos, isto, verificamos a frequncia de cada classe. Por exemplo, podemos construir as seguintes classesde notas com amplitude de 2,0 pontos:


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56 Matemtica


Classes de notas

0,0 |-- 2,0

2,0 |-- 4,0

4,0 |-- 6,0

6,0 |-- 8,0

8,0 |-- 10,0

A primeira classe possui limitante inferior 0,0 e limitante superior 2,0. Pela constru-o do intervalo, podemos inserir dados de 0,0 (inclusive) at o mais prximo possvel de 2,0,porm, esse valor no aceito. Das notas coletadas dos seus colegas, somente as duas notas 1,5esto inseridas nesse intervalo.

J a segunda classe limitada inferiormente por 2,0 e superiormente por 4,0, ou

seja, nessa classe, sero inseridos os dados de 2,0 (inclusive) at o mais prximo possvel de 4,0,contudo, 4,0 no aceito nesse intervalo. Sendo assim, os dados:

Notas dos alunos Frequncia

2,0 3

3,0 2

3,5 4

esto na segunda classe, totalizando 9 dados.

Seguindo esse raciocnio, construmos a seguinte tabela de classes:

Classes de notas Frequncia ( if )

0,0 |-- 2,0 2

2,0 |-- 4,0 9

4,0 |-- 6,0 13

6,0 |-- 8,0 5

8,0 |-- 10,0 1

Total 30

Conseguimos, nessa tabela, ter uma viso geral das quantidades absolutas (frequn-

cia) de elementos em cada intervalo (classe), representada por if , sendo i o ndice que repre-

senta a classe. Quer dizer,1f a frequncia da primeira classe, 2f a frequncia da segunda


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Matemtica 57


classe, e assim por diante. Todavia, para a anlise da varivel em estudo, muitas vezes mais in-teressante ter uma medida que leve em considerao o total de dados coletados para a amostra.Essa medida afrequncia relativa, definida como a razo entre a frequncia absoluta da classe

( if ) e o nmero total de dados coletados para a amostra, que representaremos por n . Assim, a

frequncia relativa da classe i ser calculada por:

n

ffr ii = .

Observe que, como a frequncia da classe ( if ) sempre menor ou igual ao total dedados da amostra ( n ), a frequncia relativa est sempre entre 0 e 1. Sendo assim, costumamosrepresentar essa medida em porcentagem.

Completando nossa tabela de classes de notas com a frequncia relativa das classes,temos:

Classes denotas

Frequncia

( if )Frequncia

relativa ( ifr)

0,0 |-- 2,0 2 %707,030

2

2,0 |-- 4,0 9 %3030,030

9

4,0 |-- 6,0 13 %4343,030

13

6,0 |-- 8,0 5 %1717,030

5

8,0 |-- 10,0 1 %303,030

1

Total 30

Tambm podemos calcular a frequncia relativa das categorias de variveis qualitati-vas. Voltando ao dado sexo, temos:

Sexo Frequncia Frequnciarelativa

Feminino 13 %4343,030

13

Masculino 17 %5757,030

17

Total 30

fri


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58 Matemtica


Alm da tabela, outra forma de representarmos os dados por grficos, como, porexemplo, o setograma e o grfico de barras (utilizados para variveis qualitativas) e tambm ohistograma (usado para variveis quantitativas). Veremos a construo desses grficos a seguir.

Comeando pelogrfico de barras: esse grfico construdo sobre os eixos coordena-

dos xOy , onde sobre o eixo das abscissas (eixox), representamos as categorias da varivel a ser represen-

tada; e

sobre o eixo das ordenadas (eixoy), representamos a frequncia absoluta ou a frequnciarelativa (apresentada na forma percentual ou no).

Para cada categoria, subimos uma coluna de altura tal que represente sua frequn-cia (absoluta ou relativa). A tabela de frequncias da varivel sexo nos fornece o grfico de barrasa seguir.

J o setogramaougrfico de setores um grfico circular, no qual cada setor representauma categoria e possui tamanho proporcional a esta. Para isso, calculamos o ngulo do setorcircular da categoria ipor

oi

oi frnf 360360 == ,

ondefi a frequncia da categoria i, n o nmero de elementos da amostra em estudo efr

i a

frequncia relativa classe i. Representando a varivel sexo por um setograma, temos:


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Matemtica 59


Atendo-nos agora representao grfica das variveis quantitativas, temos o histo-

grama: um grfico tambm construdo sobre os eixos coordenados xOy , onde

sobre o eixox, representamos as classes da varivel a ser representada; e

sobre o eixoy, representamos a frequncia absoluta ou relativa (apresentada na formapercentual ou no) da referida classe.

Para cada classe, construmos uma coluna de base limitada pelos limitantes da classee altura tal que represente sua frequncia (absoluta ou relativa). A tabela de frequncias da va-

rivel notanos apresenta o histograma que segue.

Outro grfico exposto sobre os eixos coordenados ogrfico de linhas, onde, no eixox, representamos a varivel (qualitativa ou quantitativa) trabalhada, e no eixoy, representamossuas quantidades (frequncias), como podemos observar no exerccio que resolveremos a seguir.


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60 Matemtica


(ENEM 2009) Dados da Associao Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU)mostram que o nmero de passageiros transportados mensalmente nas principais regies me-tropolitanas do pas vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhes de passageiros em1995, e esse nmero caiu para 321,9 milhes em abril de 2001. Nesse perodo, o tamanho dafrota de veculos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que

tinha em 2001.O grfico a seguir mostra um ndice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que a razo entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veculos.

Supondo que as frotas totais de veculos naquelas regies metropolitanas em abril de 2001 e emoutubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do grfico permitem inferir que o total depassageiros transportados no ms de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a

a) 355 milhes.

b) 400 milhes.

c) 426 milhes.

d) 441 milhes.e) 477 milhes.

Ao ler o texto do exerccio, coletamos as seguintes informaes:

em 1995, eram 476,7 milhes de passageiros

em abril de 2001, esse nmero caiu para 321,9 milhes.


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Matemtica 61


Tambm calculamos o ndice de produtividade(IP) usado pelas empresas do setor detransportes por:

,

sendo PTo total de passageiros transportados por dia e NVo tamanho da frota de veculos.

Considerando que o nmero de veculos utilizados nas frotas da empresa, em abril de2001 e em outubro de 2008, eram do mesmo tamanho, pergunta-se sobre o total de passageirostransportados no ms de outubro de 2008.

Ora, para continuarmos essa resoluo, precisamos fazer uma leitura do grfico, pro-curando informaes que nos auxiliem. Como os dados passados no texto foram referentes aosperodos de abril de 2001 e outubro de 2008, verificamos no grfico que:

o ndice de produtividade em abril/2001 era igual a 400 passageiros transportados porveculo;

o ndice de produtividade em outubro/2008 era igual a 441 passageiros transportadospor veculo.

Comeando por abril de 2001, temos

IP= 400 passageiros/veculo e PT= 321,9 milhes = 321.900.000 passageiros, deonde calculamos um nmero total de

veculos.

Como foi explicitado que o nmero de veculos empregados nesses perodos foi omesmo, o total de passageiros transportados no ms de outubro de 2008 foi de

,

ou seja, aproximadamente 355 milhes de passageiros. Conclumos, assim, que a alternativa a a correta.

A seguir, disponibilizamos alguns exerccios para voc exercitar este contedo. Bomtrabalho!


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62 Matemtica


MEDIDASDETENDNCIACENTRAL

MDIAARITMTICAVoc j observou que, para ser aprovado em uma disciplina, suas notas nas avaliaes

do semestre so representadas por apenas uma medida? Essa medida, em geral, a mdia arit-

mtica das notas que voc obteve no semestre. Assim, se houve duas avaliaes 1Pe 2P no seusemestre, calculamos a mdia das suas notas por:

2

21 PPM +

= .

Essa medida busca um equilbrio entre suas duas notas. Suponha que, em um semes-

tre, haja cinco avaliaes (1P, 2P , 3P , 4P , 5P) para uma dada disciplina. Para verificar sua

aprovao, calculamos:

5

54321 PPPPPM ++++

= .

Raciocinando dessa maneira, calculamos a mdia de ndados: nxxxx ,,,, 321 peloquociente:

n

xxxxx n

++++=

321

e, por estarmos representando esses dados por ix , ento x representa sua mdia. Utilizando

recursos matemticos, podemos denotar a soma nxxxx ++++ 321 por =

n

i

ix1

, sendo n a

quantidade de dados apresentados de maneira isolada que estamos estudando. Dessa forma, o

clculo da mdia x de dados apresentados de forma isolada pode ser representada por:

n

x

x

n

i

i== 1 .

Suponha, agora, que voc queira conhecer o desempenho geral de sua sala de aulana disciplina de Matemtica e, para isso, vai em busca da mdia obtida pela sala. Dentre as 30notas coletadas por voc anteriormente, temos:

3,5 2,0 5,0 7,0 7,0 3,0 4,0 7,0 3,5 5,0

5,0 7,5 4,0 4,0 1,5 3,5 5,0 9,0 2,0 4,0

4,0 2,0 3,5 5,0 5,0 7,5 1,5 5,0 3,0 4,0


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Matemtica 63


Nesse sentido, se voc tem n= 30 dados e deseja calcular sua mdia, precisa som-lose dividir esse resultado pela quantidade de dados coletadas. Isto ,

.

E se esses dados forem apresentados em uma tabela de frequncia? Ou seja, na forma:

Notas dos alunosNmeros de alunos

(frequncia)

1,5 22,0 33,0 23,5 44,0 65,0 77,0 37,5 29,0 1

Total 30

Nesse caso, continuamos com o mesmo nmero de elementos (n= 30) e, para calcu-larmos sua mdia, precisamos somar todas as medidas e dividir esse resultado pelo total (comofeito anteriormente). Para facilitar nossos clculos, podemos ir em busca das somas parciaisdesses dados, como mostrado abaixo:

Notas dos alunosNmeros de alunos(frequncia)

somas parciais

1,5 2 1,5 + 1,5 = 3,0

2,0 3 2,0 + 2,0 + 2,0 = 6,0

3,0 2 3,0 + 3,0 = 6,03,5 4 3,5 + 3,5 + 3,5 + 3,5 =14,0

4,0 6 4,0 + 4,0 + ... + 4,0 = 24,0

5,0 7 5,0 + 5,0 + ... + 5,0 = 35,0

7,0 3 7,0 + 7,0 + 7,0 = 21,0

7,5 2 7,5 + 7,5 = 15,0

9,0 1 9,0

Total 30 133,0


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64 Matemtica


E, como j visto, a mdia ser

.

Note que o clculo das somas parciais nada mais que somar o dado ix quanti-dade de vezes que ele se repete ou, em outras palavras, somar o dado ix , if vezes:

Notas dos alunos

( ix )

Nmeros de alunos

(frequncia if )

somas parciais

( iifx )

1,5 2 1,5 X 2 = 3,0

2,0 3 2,0 X 3 = 6,0

3,0 2 3,0 X 2 = 6,0

3,5 4 3,5 X 4 = 14,0

4,0 6 4,0 X 6 = 24,0

5,0 7 5,0 X 7 = 35,0

7,0 3 7,0 X 3 = 21,0

7,5 2 7,5 X 2 = 15,0

9,0 1 9,0 X 1 = 9,0

Total 30 133,0

Sendo assim, podemos representar o clculo da mdia aritmtica para dados agrupa-dos na forma:

onde N o nmero de dados diferentes coletados. Apresentando novamente o clculo da mdiapara a tabela de frequncia:

.


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Matemtica 65


Podemos usar a expresso acima tambm no caso em que os dados se dispem emuma tabela de classe de frequncia. Observe a tabela:

Classes de notasFrequncia

( if )

0,0 |-- 2,0 2

2,0 |-- 4,0 9

4,0 |-- 6,0 13

6,0 |-- 8,0 5

8,0 |-- 10,0 1

Total 30

Pela leitura dessa tabela, sabemos que existem dois dados na primeira classe, isto ,

dois dados que esto no intervalo de 0,0 (inclusive) at 2,0. No entanto, no sabemos quaisdados so esses. Existem igualmente nove dados inseridos na segunda classe, mas tambm noos conhecemos por essa tabela. De maneira geral, sabemos que essa amostra contm 30 dados,porm, no os conhecemos quando apresentados nessa configurao. Como faremos, ento,para calcular a mdia dessa amostra?

Precisamos, nesse caso, de um representante para os elementos de cada classe. Esterepresentante chamado deponto mdioda classe e calculado por:

2

si LL + ,

sendo Lio limitante inferior da classe e L

so seu limitante superior. Sendo assim,

Como o ponto mdio da classe iser o representante dos dados da classe i, represen-

tamos este por ix . Calculamos, assim, a mdia das notas em estudo por:

if

0,12

0,20,0

0,32

0,40,2

0,52

0,60,4

0,72

0,80,6

0,92

0,100,8


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66 Matemtica


Classes de notasFrequncia

( if )

Ponto Mdio

( ix ) iifx

0,0 |-- 2,0 2 1,0 1,0 X 2 = 2,0

2,0 |-- 4,0 9 3,0 3,0 X 9 = 27,0

4,0 |-- 6,0 13 5,0 5,0 X 13 = 65,0

6,0 |-- 8,0 5 7,0 7,0 X 5 = 35,0

8,0 |-- 10,0 1 9,0 9,0 X 1 = 9,0

Total 30 138,0

Portanto, a nota mdia ser:

.

Observe que, embora trabalhando com a mesma amostra, obtivemos resultados dife-rentes: 4,43, quando calculada a mdia a partir dos dados isolados ou a partir dos dados orga-nizados numa tabela de frequncia, e 4,60, quando calculada a mdia a partir dos dados agru-pados em uma tabela contendo classes de frequncia. Essa diferena ocorre, pois, no segundo

caso, no usamos no clculo os dados em estudo (porque no os conhecemos) e sim represen-tantes para esses dados. Fique tranquilo! Nos estudos estatsticos, essa diferena prevista e osestudos so realizados sempre com um certo nvel de certeza de que os resultados esto corretos.

Em todos os casos, a mdia aritmtica de um conjunto de medidas uma medidaque representa o centro da distribuio de dados em estudo e, por isso, essa medida chamadade medida de tendncia central. Contudo, a mdia no a nica medida de tendncia central.Existem tambm a medianae a moda.

MEDIANAVamos comear pela mediana! Organizando os dados coletados (em ordem crescente

ou decrescente), a mediana o valor que ocupa a posio central desses dados e a representamospor me.

Assim, para encontrarmos a mediana de

3,5 2,0 5,0 7,0 7,0 3,0 4,0 7,0 3,5


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Matemtica 67


precisamos primeiro organizar estes dados:

2,0 3,0 3,5 3,5 4,0 5,0 7,0 7,0 7,0

Dos nove dados, somente um est na posio central: 4,0 e, portanto, me= 4,0. Essa

posio a quinta.Agora, trabalhando com a amostra:

3,5 2,0 5,0 7,0 7,0 3,0 4,0 7,0 3,5 5,0

e organizando-a:

2,0 3,0 3,5 3,5 4,0 5,0 5,0 7,0 7,0 7,0

Verificamos que existem dois elementos centrais: 4,0 e 5,0, que ocupam a quinta e a

sexta posies. Nesse caso, a mediana a mdia aritmtica dos dois dados centrais:

5,4

2

0,50,4=

+=

.

Desses exemplos, notamos que, quando a amostra contm uma quantidade nmparde elementos, existe apenas um dado central que ocupa a posio

2

1+n

,

que j a mediana me. Agora, quando a amostra contm uma quantidade npar de elementos,existem dois elementos centrais que ocupam as posies

2

n e 1

2+

n

e a mediana me a mdia aritmtica desses dois dados.

MODA

Vamos ver, a seguir, a ltima medida de tendncia central que vamos estudar: a moda.Representada por mo, a moda ser o elemento da amostra que possuir maior frequncia. Porexemplo, a moda da amostra:

3,5 2,0 5,0 7,0 7,0 3,0 4,0 7,0 3,5 5,0 o dado 7,0, pois possui a maior frequncia entre esses elementos: 3. Assim, me= 7,0 .

me


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Neste outro exemplo:

7,0 3,5 5,0 9,0 2,0 4,0 5,0 3,0 4,0existem dois dados que possuem frequncia igual a 2, enquanto todos os outros ocorrem so-mente uma vez. Nesse caso, a amostra possui duas modas: 4,0 e 5,0. Esse conjunto chamado

de bimodal.Vamos ver como esse contedo se apresenta, nos exerccios? Considere o seguinte

enunciado:

(ENEM 2010)O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no ltimocampeonato. A coluna da esquerda mostra o nmero de gols marcados e a coluna da direitainforma em quantos jogos o time marcou aquele nmero de gols.

Gols marcados Quantidade de partidas0 5

1 3

2 4

3 3

4 2

5 2

7 1

Se X, Y e Z so, respectivamente, a mdia, a mediana e a moda dessa distribuio,ento

a) X = Y < Z.

b) Z < X = Y.

c) Y < Z < X.

d) Z < X < Y.

e) Z < Y < X.

Para resolver esse exerccio, podemos comear calculando a mdia dos dados. Observeque ocorreram 5 partidas nas quais nenhum gol foi marcado; 3 partidas das quais somente umgol foi marcado; 4 partidas com dois gols; e assim por diante; totalizando 20 partidas. Sendoassim, para calcularmos a mdia de 20 dados, precisamos somar esses 20 dados e dividir por20. Como esses dados esto agrupados em uma tabela de frequncias, podemos tr

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