MatemáticaFarmácia

Profa: Alessandra Stadler Favaro Misiak

Cascavel – 2009

FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG

Potenciação

1. Definição de Potenciação

A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto pode ser indicado na

forma . Assim, o símbolo , sendo a um número inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:

- a é a base;- n é o expoente;- o resultado é a potência.

Por definição temos que:

Exemplos:a)

b)

c)

d)

CUIDADO !! Cuidado com os sinais. Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:

Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo:

Ex. 1:

Se , qual será o valor de “ ”?

Observe: , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.

→ os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não

deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x.

2. Propriedades da Potenciação

Quadro Resumo das Propriedades

A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades:

a)

Ex. 1.:

Ex. 2.:

Ex. 3.: neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes.

Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim: ou

Exemplo:

b)

Ex. 1:

Ex. 2:

Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

ou Exemplo:

c)

Ex. 1:

Ex. 2:

Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

ou Ex.:

d)

Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 3:

Ex. 4:

Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

ou Ex.:

e)

Ex. 1:

Ex. 2:

Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

ou Ex.:

f)

Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 3:

Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

ou Ex.:

g)Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 3:

Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

ou

Ex.:

CUIDADO !!!

EXERCÍCIOS

1) Calcule as potências:

a)b) (-6)2

c) -62

d) (-2)3

e) -23

f) 50

g) (-8)0

h)

i)

O sinal negativo no expoente indica que a base

da potência deve ser invertida e

simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do

expoente.

Primeiro eliminamos o sinal negativo do

expoente invertendo a base.

j)

k) 028

l) 132

m) (-1)20

n) (-1)17

o)

2. O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é:a) 16b) 8c) 6d) 4e) 2

3. Qual é a forma mais simples de escrever:a) (a . b)3 . b . (b . c)2

b)

4. Sendo e , o quociente de a por b é:

a) 252b) 36c) 126

d) 48e) 42

5. Calcule o valor da expressão:

6. Simplificando a expressão , obtemos o número:

a)

b)

c)

d)

e)

7. Quando , qual o valor numérico da expressão ?

8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:

a) 2-3 =b) 10-2 =c) 4-1 =

Exemplos mais complexos:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos parênteses.

(6)

(7)

ou

(8) Simplifique as expressões:

Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos

reduzir todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e .

Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de

mesma base.

ou

EXERCÍCIOS

9. Efetue:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

10. Sabendo que , determine o valor de a.

11. Simplifique as expressões:

a) b) c)

RADICIAÇÃO

1. Definição de Radiciação

A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever:

Ex. 1:

Ex. 2:

Na raiz , temos:- O número n é chamado índice;- O número a é chamado radicando.

CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO

RAÍZES NUMÉRICAS

Exemplos:

a)

b)

ou

ou

Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.

R A Í Z E S L I T E R A I S

a)

Escrever o radical na forma de expoente fracionário não resolve o problema, pois

nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma:9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz.

Resultados possíveis

Devemos fatorar 144

14432

33

2

2

2

2

1

3

9

18

36

72

144

24 Forma fatorada

de 144

2433

33

3

3

3

1

3

9

27

81

243

5 Forma fatorada de

243

Assim teremos:

b) pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).

Outros Exemplos:

a)

b)

Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma

potência.

EXERCÍCIOS

12. Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

13. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

14. Calcule a raiz indicada:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

15. Simplifique os radicais:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3.3 Propriedades dos radicais

a)

Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 3:

Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido

contrário ou seja (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do

radical).

Exemplo : .

b) Ex.:

c) Ex.:

d) Ex.:

e)

Ex.:

f) Ex.:

EXERCÍCIOS

16. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária:

a)

b)

c)

d)e)f)

17. Calcule a raiz indicada:

a)

b) c)

d) 18. Escreva na forma de potência com expoente fracionário:

a)

b)c)

d)

19. Escreva na forma de radical:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

20. De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo?

a)b)

c)d)

e)O P E R A Ç Õ E S C O M R A D I C A I S

Adição e Subtração

Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais.Exemplos:1)

2)

Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma.

3)4)

EXERCÍCIOS

21. Simplifique :

22. Determine as somas algébricas:

a)

b)

c)

d)

23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas:a)b)c)

d)

e)

f)

g)

h)

24. Calcule as somas algébricas:a)b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

25. Considere e determine:

a) a + b + c = b) a –( b + c )= c) a – b + c= d) ( a + b ) – c=

26. Simplifique a expressão .

MULTIPLICAÇÃO

Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um:

1 º CASO : Radicais têm raízes exatas.Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:Exemplo:

2 º CASO : Radicais têm o mesmo índice.Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o resultado obtido.Exemplos: a)

b) pode parar aqui!

Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão:

c)

3 º CASO : Radicais têm índices diferentes.

O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador).

Exemplos: a)

b)

4 º CASO : Utilizando a propriedade distributiva.

Exemplo:

ATENÇÃO:- , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois.

- por que? ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência,

então:

Conservamos a base e somamos os expoentes.

A ordem dos fatores não altera o produto (multiplicação)

Multiplicamos numerador e denominador da fração por 2 e transformamos na fração

equivalente

Divisão

A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles:

1 º CASO : Os radicais têm raízes exatas.

Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados.Exemplo:

2 º CASO : Radicais têm o mesmo índice.

Devemos conservar o índice e dividir os radicandos.

Exemplos:

3 º CASO : Radicais com índices diferentes.O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical .

Exemplo:

5. Racionalização de Denominadores

Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos:

1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:

2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2:

(a) Temos que multiplicar numerador e denominador por , pois 1 + 2 = 3.

(b) Temos que multiplicar numerador e denominador por , pois 2 + 3 = 5.

O sinal deve ser contrário, senão a raiz não será eliminada do denominador.

232

72

373372

73737

Como os índices das raízes são iguais, podemos substituir as

duas raízes por uma só!

3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais:

EXERCÍCIOS

27. Calculea)b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

28. Simplifique os radicais e efetue:

a)

b)

c)

29. Efetue:a)

b)

c)

d)

30. Escreva na forma mais simplificada:

a)b)c)

d)

e)

f)g)

h)

i)

j)

k)

31. Efetue as multiplicações e divisões:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

32. Efetue:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

33. Quando , o valor numérico da expressão é:

a) 0b) 1c) –1

d)

e)

34. Se e :

a) x é o dobro de y;b)c)

d) y é o triplo de x;e)

35. Racionalize as frações:

a)

b)

c)

d)

R E S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S

1ª Questão:a) 36 h) o)

b) 36 i)

c) –36 j)

d) –8 k) 0e) –8 l) 1f) 1 m) 1g) 1 n) -1

2ª Questão:d)

3ª Questão:a) b)

4ª Questão:a)

5ª Questão:

6ª Questão:a)

7ª Questão:

8ª Questão: a) 0,125 b) 0,01 c) 0,25

9ª Questão:a) d) g) j)

b) e) h) k)

c) f) i)

10ª Questão:

11ª Questão:a) E = 3n b) F = 2n –3 c) G = 5 n + 4 . 2

12ª Questão:

a) 5 c) 6 e) 0 g) -5b) 3 d) 1 f) 7 h) –2

i) -1

13ª Questão: a) c) e) g)

b) d) f) h)

14ª Questão:a) 2a d) g) j)

b) e) h) k)

c) f) i)

15ª Questão:a) c) e)

b) d) f)

16ª Questão:a) c) e)

b) d) f)

17ª Questão:a) b) c) d)

18ª Questão:a) c) e)

b) d) f)

19ª Questão:a) c) e) g)

b) d) f) h)

20ª Questão:c)

21ª Questão:

22ª Questão:a) b) c) d)

23ª Questão:a) c) e) g)

b) d) f) h)

24ª Questão:a) c) e) g)

b) d) f) h)

25ª Questão:a) b) c) d)

26ª Questão:

27ª Questão:a) c) e) g)

b) d) f) 24 h) 1i) 5

28ª Questão:a) b) 28 c)

29ª Questão:a) b) c) d)

30ª Questão:a) x d) g) j)

b) e) x h) k) 5b4

c) f) x -7 i)

31ª Questão:a) c) e)

b) d) f)

32ª Questão:a) c) e)

b) d) 2 f)

33ª Questão:a)

34ª Questão:c)

35ª Questão:

a) b) c) d)

NOTAÇÃO CIENTIFICA

O ato de medir faz parte de nosso dia-a-dia. Por comparação com um padrão convenientemente estabelecido, nós medimos, por exemplo, quanto um objeto é comprido, quente, veloz etc.

Grandeza e tudo aquilo que podemos comparar com um padrão, efetuando uma medida.

Ao efetuar a medida de uma determinada grandeza física, podemos obter um número que eventualmente seja extremamente grande ou extremamente pequeno. Como exemplos, citamos a distancia da Terra a Lua, 384.000.000 km, e o diâmetro de um átomo de hidrogênio, da ordem de 0,0000000001 m. Para manipular tais números, utilizamos a notação científica, fazendo uso das potências de 10.

O módulo de qualquer numero (g) pode ser escrito como o produto de um número (a), entre um e dez, por outro, que é uma potência de dez (10n):

|g| = a x 10n

Vejamos alguns exemplos:

· 200 = 2 x 100 = 2 x102

· 5.300.000 = 5,3 x 1.000.000 = 5,3 x 106

· 0,00000024 = 2,4 x 0,0000001 = 2,4 x 10-7

Regra prática

Números maiores do que 1 - deslocamos a virgula para a esquerda, ate atingir o primeiro algarismo do numero. O numero de casas deslocadas para a esquerda corresponde ao expoente positivo da potência de 10.

2.000.000 = 2 x 106 ,

547.800.000 = 5,478 x 108

Números menores do que 1 - deslocamos a virgula para a direita, ate o primeiro algarismo diferente de zero. O número de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potência de 10.

 0,0034 = 3,4 x 10-3 ,

0,0000000000517 = 5,17 x 10-11.

Importante

A notação cientifica exige que o número a que multiplica a potência de 10 esteja compreendido entre 1 e 10, ou melhor, 1 ≤ a < 10.

Assim, o número 25 x 104 deve ser escrito corretamente como 2,5 x 105. O mesmo acontece com o numero 84 x 10-3, que deve ser escrito como 8,4 x 10-2.

 OPERAÇÕES COM POTENCIAS DE 10

Multiplicação a x 10m x b x l0n = ab x 10m + n

Divisão (a x 10m) : (b x 10n) =(a/b)x 10m - n

Potenciação (a x 10n)m = am x 10n. m

Radiciação

Adição e subtração

Inicialmente, colocamos todos os números na mesma potência de 10 (de preferência na maior); em seguida, colocamos a potência de 10 em evidência e, finalmente, somamos ou subtraímos as partes numéricas.

EXERCÍCI0S

1 Efetue as operações colocando a resposta em forma de notação cientifica.

a) 1,2 x 105 x 3,0 x 102

b) 2,4 x 107x 2,5x 10-3

c) 5,0 x 10-2x 2,6 x 10-4

d) (8,4 x 105) : (4,0 x 108)

e) (1,5 x 10-6) : (7,5 x 10-2)

f) (3 x 104)3

g) (-2 x 1O-4)²

h)

i)

j) 2,30 x 103 + 4,12 x 104

k) 5,8 x 10-3 - 45 x 10-4

2. Efetue as operações colocando a resposta em forma de notação cientifica se possível

a. 2,5 x 105 X 3,0 x 10-2

b. 2,5 x 105 X 8,4 x 10-2

c. (2,5 x 105)2

d. ( -1,2 x 10-3)2

e. .

f.

g.h. 8,4 x 102 - 400 x 10-1

i. 8,4 x 102 + 1,6 x 104

j. 625 x 10-5 + 1,375 x 10-2

k.l. (0,1 - 0,01) ¸ (0,2 - 0,02) m. (0,5)² ¸ 5 - 2 x (0,3 x 1,2 - 0,72 ¸ 2,4)

n. 12,441+57,91+2,156 o. 25,3-3,4 p. 2,31 x 3,4 q. 803,407 ¸ 13,1 r. 5,0 ¸ 3,14

s.

t.

u.

 

Respostas:1ª Questãoa) 3,6 x 107 b) 6,0 x 104 c) 1,3 x 10-5 d) 2,1 x 10-3 e) 2,0 x 10-8

f) 2,7 x 1013 g)4,0 x 10-8 h) 2,0 x 103 i)7,0 x 103 j) 4,36 x 104

k) 1,3 x 10-3        

2ª Questão

a)7,5 x 103 b)2,1 x 104 c)6,25 x 1010 d) 1,44 x 10-6 e)2,25 x 105

f)1,2 x 102 (120) g)-2,0 x 109 h)8,0 x 102 (800) i)1,684 x 104 j)2,0 x 10-2 (0,02)k)1,0 x 100,5 l) n) o) p)q) r) s) t) u)v)        

Equações

Equações de primeiro grau

    Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3   (Não é igualdade)

   (não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

  

  

   Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

   A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

   Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

 

               

   Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

 

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. 

 

Resolução de uma equação

       Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar as raízes da equação.

    Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Resolva a equação    .

                            MMC (4, 6) = 12

                               

                                -9x = 10        =>   Multiplicador por (-1)

                                 9x = -10

                               

     .

 

Resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

            Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

 

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 

2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

   

    

    

Equações de 2º grau

Definições

   Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c  IR e

    Exemplo:

x2 - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.

6x2 - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.

7x2 - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.

x2 - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.

    Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;

                                                b    é sempre o coeficiente de x,

                                                c    é o coeficiente ou termo independente.

 

Equação completas e Incompletas

    Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0   e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

    Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

x² - 36 = 0(b = 0)

x² - 10x = 0(c = 0)

4x² = 0(b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau

    Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

Resolução de equações incompletas

   Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.    Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

   1ª Propriedade: 

   2ª Propriedade: 

 

   1º Caso: Equação do tipo  .

   Exemplo:

Determine as raízes da equação , sendo .

SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:

                

   Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

                                               

   Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

                                               

   De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e  .

  2º Caso: Equação do tipo 

   Exemplos:

Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

            Solução

                       

  

    De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número

positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

Resolução de equações completas

    Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

    Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:   

   Exemplos:

resolva a equação:

Temos 

                       

 

Discriminante

   Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

    Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

   De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .

        O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

    Exemplo:

Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?

Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter  

        Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo 

            O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

                                   

    Exemplo:

Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. Solução

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

                     

   Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo .

        O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.       

   Exemplo:

Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?

Solução

Para que a equação não tenha raiz real devemos ter

               

   Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo

  Dada a equação ax² + bx + c = 0,  temos:

  Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

  Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

  Para , a equação não tem raízes reais.

EQUAÇÕES LITERAIS

As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.

As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.

Exemplos:

                       ax2+ bx + c = 0                           incógnita: x

                                                                         parâmetro: a, b, c

                      ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0               incógnita: x

                                                                       parâmetro: a

 

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES

 Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.

 Dividindo todos os termos por a , obtemos:

 

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

 RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

 Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

   Logo:    

 

Observe as seguintes relações:

Soma das raízes (S)

         

     

Produto das raízes (P)

                   

 Como ,temos:

       Denominamos essas relações de relações de Girard. 

  Equações literais incompletas

       A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas.

      Observe os exemplos:

Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.

          Solução

                         3x2 - 12m2 = 0

                                     3x2 = 12m2

                                       x2 = 4m2

                                      

                                       x=

Logo, temos:

Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com m 0, sendo y a variável.

          Solução

                        my2 - 2aby = 0

                        y(my - 2ab)=0

Temos, portanto, duas soluções:

                     y=0

                      ou

                    my - 2ab = 0 my = 2ab y=

Assim: 

 

 Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:

              my2 - 2aby= 0

                         my2 =  2aby

                        my = 2ab

                          

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .

O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.

Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.

Equações literais completas

As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:

Exemplo:

       Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a variável.

       Solução

       Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2

                       

                       

                       

                        

Portanto:

                 

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

 

                           

 

 FORMA FATORADA

 Considere a equação ax2 + bx + c = 0.

A forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

 

Exemplos:

Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.

Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

 Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 0

9x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

 

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

 

ax4 + bx2 + c = 0

 

Exemplos:

x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0

3x4 - 27 = 0

 

Cuidado!

      x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0               6x4 + 2x3 - 2x = 0            x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

 

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

      Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.

      Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

 

Seqüência prática

Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.

Resolva a equação ay2 + by + c = 0

Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.

       Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

                   

                     y2 - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

 

                  y'=4     e      y''=9

Como x2= y, temos:

                  

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

 

Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

 

                       y2 + 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

 

                     y'=6   e  y''= -10

Como x2= y, temos:

 

                   

Logo, temos para o conjunto verdade: .

Determine a soma das raízes da equação .

Solução

Utilizamos o seguinte artifício:

Assim:

             y2 - 3y = -2

            y2 - 3y + 2 = 0

           y'=1  e  y''=2

Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:

       

 

Resolução de equações da forma: ax2n  +  bxn  + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.

Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

        ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.

Solução

Fazendo x3=y, temos:

                y2 + 117y - 1.000 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:

              y'= 8  e  y''= - 125

Então:

            

Logo, V= {-5, 2 }.

 

Composição da equação biquadrada

 Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo:

Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

 

Solução

a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0                      b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0

 x2(x2 -49) = 0                                                 (x2-a2) (x2-b2) = 0

 x4 - 49x2 = 0                                                   x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0

 

 PROPRIEDADES  DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA

              Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.

             De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

 1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

                           

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

 2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -

.

 3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.

Ou seja:

     

                             Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

 

 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

         A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.

         Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).

       É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Solução

                 

Logo, V= {58}.

 

Solução

               

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

 

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

 

Solução

         

Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.

ÁreasO conceito de região poligonal

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e, além disso, uma região poligonal pode conter "buracos".

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:

1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma

área.

3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões.

Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.

Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.

Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)

Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.

Área do Retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC. Assim:

A = b × h

Área do quadrado

Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.

A = x²

Área do Paralelogramo

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.

No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.

A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.

A=b×h

Área do losango

O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.

A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais.

Área do trapézio

Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida B2 e uma altura com medida h.

A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura.

Área do Triângulo

A área de um triângulo qualquer é a metade do produto da medida da base pela medida da altura.

Casos especiais: Conhecidos dois lados (a e b) e o ângulo ( ) formado por eles:

Conhecidos três lados (a, b e c):

Área do Triângulo eqüilátero

No triangulo eqüilátero, todos os lados são congruentes, todos os ângulos internos são congruentes (600, 600, 600) e toda altura é também mediana e bissetriz. Assim:

Área do hexágono regular

O hexágono regular é um polígono especial, pois é formado por seis triângulos eqüiláteros. Assim:

Área do circulo regular

Área do círculo é o valor limite da seqüência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

EXERCÍCIOS:1. Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os lados indicados na figura abaixo.

Nessas condições, qual é a área do terreno?

2. Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 20m e 14m, e a altura 11m. Nesse terreno, construiu-se uma piscina retangular de 8m por 5m. No restante do terreno foram colocadas pedras. Qual área foi utilizada para colocar pedra?

3. Um campo de futebol tem 80 m de comprimento e 42 m de largura. Qual é a sua área?

4. O proprietário de uma casa quer transformar um quartinho em uma dispensa e quer azulejar as paredes. As medidas desse cômodo são: 2 paredes de 2 m de comprimento por 2 m de altura e outras 2 paredes de 1,5 m de comprimento por 2 m de altura, menos a medida da porta de entrada que é de 1 m por 2 m de altura. Sabendo que os azulejos medem 20 cm por 20 cm. Quantos azulejos, no mínimo, devem ser comprados.

5. Uma piscina tem 25 m de comprimento por 10 m de largura por 2 m de profundidade. Quantos litros de água são necessários para enchê-la?

6. Um terreno tem forma quadrada, de lado 30,2m. Calcule a área desse terreno.

7. Para ladrilhar totalmente uma parede de 27m2 de área foram usadas peças quadradas de 15cm de lado. Quantas peças foram usadas?

8. A área de um trapézio é 39m2. A base maior mede 17m e a altura é 3m. Qual é a medida da base menor?

9. O perímetro de um triângulo eqüilátero é 30cm. Calcule a área desse triângulo.

10. De uma chapa de alumínio foi recortada uma região retangular eqüilátera de lado 20cm. Qual área dessa região foi recortada?

11. Qual é a área de toda a parte colorida da figura abaixo? E da área não pintada?

12. Calcule a área de uma região triangular limitada pelo triangulo cujos lados medem 4cm, 6cm e 8cm?

13. Calcule a área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas pela figura.

14. Qual a área região triangular limitada pelo triangulo cujas as medidas estão indicadas na figura ao lado?

15. Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas estão indicadas na figura. Calcule a área desse terreno.

16. A área de um triângulo eqüilátero é de cm2. Nessas condições, qual é perímetro do triângulo?

17. Calcule a área da região poligonal de uma cartolina limitada por um hexágono regular de lado 10cm.

18. Um piso de cerâmica tem a forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8cm. Qual é a área desse piso?

19. Um hexágono regular tem 12cm de lado. Determine a área desse hexágono.

20. Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes, de forma circular, por R$ 5,40. Para atender alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer a seus clientes pizzas médias, também de forma circular. Qual deverá ser o preço da pizza média, se os preços das pizzas médias e grandes são proporcionais às suas áreas? ( raio da pizza grande 18cm e da média 12cm)

21. Um disco de cobre tem 20cm de diâmetro. Qual é a área desse disco?22. Qual é a área da figura a seguir?

4m

4m

23. Quatro círculos de raios unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:

24. Na figura, ABCD é uma figura de lado igual a 8. Os arcos que limitam a região sombreada tem raios iguais a 8 e seus centros em A e C. Calcule a área pintada.

25. Determine a área das figuras a seguir:

a) 10cm b) 7cm

10cm

7cm 10cm

c) d)

26. Determine a área das figuras Hachuradas.

a) b)

c)

A B

C D

d)

Poliedros e VolumesPoliedro

Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros Regulares

Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro

Características dos poliedros convexos

Notações para poliedros convexos: V: Número de vértices, F: Número de faces, A: Número de arestas, n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.

Característica dopoliedro convexo

Medida da característica

Relação de Euler V + F = A + 2

Número m de ângulos diedrais m = 2 A

Na tabela a seguir, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos. Estes poliedros são conhecidos como poliedros de Platão.

Poliedro regularconvexo

Cada faceé um

Faces(F)

Vértices(V)

Arestas(A)

Ângulos entreas arestas (m)

Tetraedrotriângulo

equilátero4 4 6 12

Hexaedro quadrado 6 8 12 24

Octaedrotriângulo

equilátero8 6 12 24

Dodecaedropentágono

regular12 20 30 60

Isocaedrotriângulo

equilátero20 12 30 60

Prisma

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo

Bases são regiões poligonais congruentes

A altura é a distância entre as bases

Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas

Faces laterais são paralelogramos

Objeto Prisma reto Prisma oblíquo

Arestas laterais têm a mesma medida têm a mesma medida

Arestas lateraissão perpendiculares

ao plano da basesão oblíquas

ao plano da base

Faces laterais são retangulares não são retangulares

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

Base:Triângulo Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono

Seções de um prisma

Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.

Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.

Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regular

É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

Planificação do prisma

Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

Área da superfície do prisma

Em todo prisma, consideramos:

Área lateral (Al): é formada pela área da superfície lateral;

Área total (At): é formada pela área da superfície lateral e pelas bases;

EXEMPLOS:1. Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3cm e a aresta da face lateral mede

6cm. Calcule:a) área da base;b) área lateral;c) área total.

2. Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas de sabão com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, calcule aproximadamente, quantos m2 de papelão serão necessários.

3. Quantos cm2 de cartolina, aproximadamente, foram usados para montar um cubo de 10cm de aresta?

4. Dispondo de uma folha de cartolina de 50cm de comprimento por 30cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha. Quantos cm2 de material são necessários terá essa caixa?

Volume de um prisma

O volume de um poliedro correspondente à região de espaço limitada pelo poliedro. O volume de um prisma é dado por:

V(prisma) = Abase.h

Volume do paralelepípedo reto retangular:

V = a.b.c

Volume do Hexaedro regular ou cubo:

V = a3

EXEMPLOS:1. Qual o volume de concreto necessário para fazer uma laje de 20cm de espessura em uma

sala de 3m por 4m?

2. Quais são as medidas das arestas dos cubos cujos volumes são:a) 125 dm3 b) 3 cm3

3. Sabendo-se que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa cúbica , calcule o volume da mesma.

4. Qual o volume de areia que cabe em uma caixa de base hexagonal de aresta da base 11cm e de altura 35cm ?

5. Calcule o volume do prisma reto indicado na figura abaixo:

Introdução aos cilindros

O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?

   

A Construção de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.

15cm20cm 12 cm

25 cm

Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

 

Objetos geométricos em um "cilindro"

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:

1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.

2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".

3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".

4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.

5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.

6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.

7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro.

8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Classificação dos cilindros circulares

1. Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.

2. Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.

3. Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Área lateral e área total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por:

Alateral =

onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

Atotal = Alateral + 2. Abase

Atotal =

Atotal =

Volume de um "cilindro"

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = Abase .h

Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:

V =

Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:

Alateral =

Abase =

Atotal = Alateral + 2. Abase =

Volume = Abase .h = =

EXEMPLO

1. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.

2. Qual a capacidade de uma lata de refrigerante que tem a forma cilíndrica, com 7cm de diâmetro e 14 cm de altura?

3. Para fabricar uma caixa de lápis de cor, é preciso saber inicialmente qual é o volume de cada lápis. Calcule então o volume de um lápis (sem apontar) que tem 8mm de diâmetro e 8cm de comprimento e, em seguida, determine o valor aproximado de 20 lápis (use = 3,14).

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.

Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

1. Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.2. Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.

3. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.

6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A área da base do cone é dada por:

Abase =

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

Alateral =

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

Atotal = + = =

O volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V =

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

O volume do cone eqüilátero é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V =

A área lateral pode ser obtida por:

Alateral = = =

E a área total será dada por:

Atotal =

EXEMPLOS1. Um cone tem 10cm de altura e raio da base igual a 4cm. Calcule a:

a) medida da sua geratriz;b) área lateral;c) área total;d) o volume

2. Qual a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo diâmetro é de 6cm e cuja altura é 10cm?

O conceito de esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula.

Aplicação: volumes de líquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência.

A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.

A superfície esférica

A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro.

Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?

Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.

É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.

Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).

Seccionando a esfera com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte ("boca para baixo") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul ("boca para cima") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.

Se seccionarmos a esfera por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ. Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera.

Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.

Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.

Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei "calota esférica" com aspas para o sólido e sem aspas para a superfície.

A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.

De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma "calota esférica" superior e uma "calota esférica" inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.

Consideremos uma "calota esférica" com altura h1 e raio da base r1 e retiremos desta calota uma outra "calota esférica" com altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas.

No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, "calota esférica" para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, Alateral será a área lateral e e Atotal será a área total.

Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricosObjeto Relações e fórmulas

EsferaVolume =

Atotal =

Calota esférica(altura h, raio da base r)

Alateral =Atotal =

V=

Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da "calota esférica" em função da altura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfério Sul e Norte

Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul e Norte com a altura h no intervalo [0,R], dada por:

VC(h) = Pi h²(3R-h)/3

EXEMPLOS:1. Sabendo que a linha do Equador que divide o Planeta Terra em dois hemisfério tem

aproximadamente 80.000 Km de diâmetro, Determine:a)O volume do Planeta terra e a área de sua superfície.b) A área coberta por água (em Km2) em sua superfície.

2. Uma esfera é seccionada por um plano α distante 12cm de seu centro. O raio da secção obtida é 9cm. Calcule o volume da esfera e da calota no hemisfério Norte.

3. Um cone eqüilátero esta inscrito em uma esfera. O raio da base do cone é 2cm. Calcule o volume da esfera.

EXERCÍCIOS

1. Num paralelepípedo, as dimensões da base são 4cm e 7 cm. Sendo a altura do paralelepípedo 5cm, determine o volume. Quanto material será usado para construir está caixa?

2. Quantos litros de água são necessários para encher uma caixa d`água cujas dimensões são: 1,20m por 90cm por 1m? (lembre-se que 1m3 =1000l).

3. Um cubo tem área de 96 m2. Qual é a medida da aresta do cubo? Determine seu volume.

4. As bases de um prisma são triângulos eqüiláteros e a s faces laterais são regiões retangulares. Determine a área total do prisma sendo 6cm a medida da aresta da base e 10cm a medida da aresta lateral. Determine seu volume.

5. Quantos cm2 de papel adesivo são gasto para cobrir a superfície total de uma peça sextavada cuja a forma e medidas estão na figura abaixo? Qual o volume da peça?

6. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 5cm, 8cm e 12cm. Uma cavidade em forma de prisma reto de base triangular de 3cm de lado, estende-se da base inferior à base superior do paralelepípedo. Determine a área total da figura resultante (Contanto a parte de dentro e de fora). Determine o volume do sólido resultante (sem o prima triangular).

7. A área da base de um prisma regular de base hexagonal é de cm2. Calcule a área

lateral, sabendo que a aresta lateral é o dobro da aresta da base.8. É dado um prisma pentagonal regular no qual a aresta da base mede 5cm e a aresta lateral mede 10cm. Qual a área lateral do prisma?

9. Quantos m2 de azulejo são necessários para revestir até o teto a s quatro paredes de uma cozinha com as dimensões da figura ao lado? Sabe-se, também, que cada porta tem 1,60m2 de área e a janela tem uma área de 2m2. Qual o volume dessa cozinha?

10. Qual é o volume em litros de uma caixa-d`água cúbica cuja aresta mede 120cm? Quanto material cm2 de material é necessário para construir essa caixa?

11. Qual é o volume de um cubo de aresta ? E a área total?

12. Quanto mede a aresta de um cubo que tem 1000 dm3 de volume?

13. Qual deve ser a medida da aresta de uma caixa-d’água cúbica para que ela possa conter 8000 l de água?

14. Uma caixa de papelão tem o tipo e o tamanho da figura ao lado. Sua base é uma região limitada por um trapézio isósceles de altura 20cm e de bases 10cm e 40cm. Quantos m2 de papelão são necessários para se fazer uma caixa desse tipo? Determine o volume da caixa.

15. Três cubos de chumbo são com arestas de 6cm, 8cm e 10cm, respectivamente, são fundidas em uma única peça cúbica. Qual é o volume da peça cúbica única? Qual é a medida da aresta? Determine a área total.

16. Calcule o volume de uma peça de metal cuja formas estão na figura abaixo:

17. Uma piscina tem as dimensões: 12m de comprimento, 7m de largura e 2,70m de profundidade. Qual é a quantidade máxima em litros que essa piscina pode conter. Se para ladrilhar a piscina foram usados azulejos quadrados de 20cm de lado. Quantas peças, aproximadamente, foram usadas?

18. O volume de um prisma de base quadrada é 700cm3. O perímetro da base é de 40cm. Calcule a altura o prisma e a área total.

19. Qual é a capacidade de uma lata que tem a forma cilíndrica, com 10cm de diâmetro e 20 cm de altura? Quanto alumínio é gasto para construir esta lata/.

20. Um cilindro circular reto tem 10cm de altura e sua base tem 12cm de diâmetro. Determine a área da base, área lateral, área total e seu volume.

21. Quantos centímetros quadrados de papel são necessários, aproximadamente, para a fabricação de um cigarro, sabendo que o cigarro tem a forma cilíndrica cuja a base tem 8mm de diâmetro e seu comprimento é de 8cm? Qual o volume do cigarro?22. Um tanque cilíndrico tem 3m de profundidade. Sua base superior é aberta e tem 4m de diâmetro. Quantos galões de tinta são necessários para pintar o interior desse tanque, se para cada m2 gasta-se de galão?

c) a área total;d) seu volume.

c) a área total;d) seu volume.

23. Duas latas tem a forma cilíndrica. A lata mais alta tem o dobro da altura da outra, mas seu diâmetro é a metade do diâmetro da lata mais baixa. Em qual das duas latas se utiliza menos material? Em qual a capacidade é maior?

24. Uma caneta esferográfica tem a forma cilíndrica. O raio da base é 6mm e o comprimento da caneta 16cm. Quantos cm2 tem a superfície lateral dessa caneta? Qual é o volume de tinta que cabe no interior dela?

25. Um cilindro reto tem 48π m2 de área total. A altura do cilindro é 5cm. Determine o volume do cilindro. Qual é a sua área total?

26. Uma peça de madeira tem as dimensões e a forma da figura abaixo. Qual é o volume de madeira empregado para fabricar essa peça?

27. Um cone tem 10cm de altura e raio da base igual a 4cm. Determine sua área lateral e seu volume.

28. Um cone tem 24cm de altura e o raio da base é igual a 8cm. Calcule;a) a medida da geratriz;b) a área lateral;

29. A geratriz de um cone circular reto mede 10cm e o raio da base é igual a 4cm. Calcule:a) a medida da altura do cone;b) a área lateral;

30. A área lateral de um cone é 24π cm2 e o raio de sua base é 4cm. Qual a área total do cone? Determine o volume

31. Um tanque cônico tem 4m de profundidade e seu topo circular tem 6m de diâmetro. Qual é o volume máximo, em litros, que esse tanque pode conter de líquido? Determine quantos m2 de material foi utilizado para construir este tanque.

32. Qual é a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo diâmetro é 8cm e cuja a altura é 12cm? ( 1cm3 = 1ml)

33. Determine a área da superfície esférica cujo raio é 6cm. Determine seu volume.

34. Numa esfera o diâmetro é 10cm. Qual é a área da superfície dessa esfera?

35. Uma laranja tem a forma esférica de diâmetro 8cm. Qual é a área da casca da laranja? Qual é seu volume?

36. Quantos de borracha (em cm2) se gasta para fazer a bola cuja medida do diâmetro é 30cm? Qual é o volume de ar que cabe em seu interior?

37. Qual é a medida da superfície do hemisfério norte de uma esfera de 20m de diâmetro? E o seu volume?

38. Sabemos que a bóia serve para orientar os navios na entrada do porto. Essa bóia é formada por um hemisfério de 2m de diâmetro e por um cone de 80cm de altura. Qual é o volume da bóia?

39. Considere uma laranja como uma esfera de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja tem 8cm de diâmetro, qual é o volume de cada gomo?

40. Um reservatório tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro. Qual será o volume, em litros, de um liquido que ocupe totalmente o reservatório?

.a.e .i

.o .u

Conjuntos

Notação e Representação:Listagem dos elementos

Exemplo: {a; e; i; o; u}Por meio de uma propriedade comum somente a seus elementos.

Exemplo: {x/x é vogal}Graficamente pelo uso do diagrama de Euler-Venn.

A

PERTINÊNCIA:Indica quando um elemento (pertence) ou (não pertence) a um determinado conjunto.

Exemplo:A = {a, e, i, o, u}a A e b A

INCLUSÃO

Indica quando um conjunto está contido ( ) ou não está contido ( ) em outro conjunto. Um conjunto estará contido em outro se todos os elementos do primeiro conjunto pertencerem também ao segundo conjunto. O primeiro será chamado de subconjunto do segundo.

EXEMPLO

A = {a, e, i, o, u)B = {a, e, u}C = {a, b, i, u}

B AC Ay xz x

Conjuntos EspeciaisUnitário – um único elemento

Exemplo: A = {x R / 2x = 6} = {3}

Vazio – nenhum elemento

Exemplo: A = {x N / 2x = 5} =

Nota: A, A

Conjuntos das Partes de AConjuntos de todos os subconjuntos do conjunto A, sem esquecer o conjunto vazio e o próprio

conjunto A.n

EXEMPLO

A = {a, e, i}

P(A): {; {a}; {e}; {i}; {a, e}; {a, i}; {e, i}; {a, e, i}}

Igualdade de Conjuntos:A = B e

EXEMPLO

{1, 2} = {2, 2, 1, 1, 2}

Operações entre Conjuntos:UNIÃO

{ A ou }

ExemploA = {1, 2, 3, 4}B = {3, 4, 5, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

INTERSECÇÃO

e

Exemplo:A = {1, 2, 3, 4,}B = {3, 4, 5, 6}A B = {3, 4}

A B

A B

DIFERENÇA

A – B = { e }

ExemploA = {1, 2, 3, 4}B = {3, 4, 5, 6}A – B = {1, 2}B – A = {5, 6}

A – B

B – A

Conjuntos Complementares

Se , temos: = A – B

Exemplo: A B

NÚMEROS DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS

EXEMPLOS

1) Se A = {a, b, c, d, e, f} B = {d, e, f, g, h} então n(A B) é?

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) = 6 + 5 – 3 = 8

2) Sendo A = {0; 1; 2; 3; 4} e B = {2; 4; 8}• A B = {0; 1; 2; 3; 4; 8}• A B = {2; 4}• A – B = {0; 1; 3}• B – A = {8}

3) Sendo A = {1; {2}; 3}, é correto afirmar que:

• 1 A

• {2} A

• 3 A

• {1} A

• {{2}} A

• {3} A

• {1; 3} A

• {1; {2}} A

• {{2}; 3} A

• A

• A A

4) Dado o conjunto A = {0; 1; 3; {3}}, verifique a veracidade das afirmações:( ) 0 A ( ) {0; 1} A( ) 1 A ( ) A( ) {3} A ( ) A( ) {3} A ( ) 3 A

5) Obtenha todos os subconjuntos dos conjuntos de A = {0; 2; 4}

6) Considere o diagrama a seguir e complete:

a) B C =

b) A B =

c) A C =

d) A B C = e) A B =f) A C =g) B C = h) A B C = i) A – B =j) A – C =k) B – C =l) B – A =m) C – A =n) C – B =

7) (FAAP – SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

EXERCÍCIOS

1) Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas:I) {2} {0; 1; 2}II) {5; 6; 7}III) { ; 4}IV) 5 }3; {5; 1}; 4}V) {5; 6} {5; 6; 7}

Nesta ordem, a alternativa correta é:a) F, V, V, F, Fb) V, F, F, V, Fc) F, V, V, F, Vd) V, F, F, V, V

2) Sendo A = {{1}; {2}; {1;2}} pode-se afirmar que:a) {1} Ab) {1} Ac) {1} {2} Ad) 2 Ae) {1} {2} A

3) Se M = {1; 2; 3; 4; 5} e N são conjuntos tais que M N = {1; 2; 3; 4; 5} e M N = {1; 2; 3}, então o conjunto N é:a) Vaziob) Impossível de determinarc) {4; 5}d) {1; 2; 3}e) {1; 2; 3; 4; 5}

4) (FGV – SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é: a) 8b) 256c) 6d) 128e) 100

5) Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de samba nem de rock?a) 800b) 730c) 670d) 560e) 430

6) Sabe-se que os conjuntos A e B têm, respectivamente, 64 e 16 subconjuntos.

Se A B tem 7 elementos, então A B tem:

a) nenhum elementob) três elementosc) dois elementosd) um elementoe) quatro elementos

GABARITO:01) A 04) B02) E 05) E03) D 06) B

Conjuntos Numéricos:NÚMEROS NATURAIS

N = {0, 1, 2, 3, ...}

NÚMEROS INTEIROS

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

NÚMEROS RACIONAIS

Q =

Os inteiros são racionais, pois .

Os decimais exatos são racionais, pois 2,3056 = .

As dízimas periódicas são racionais, pois 1,3232... = 1,32 = .

Os números que não são racionais são denominados irracionais, por exemplo:, , 1, 10, 100, 1000, 1...

NÚMEROS REAIS

R = {x/x é racional ou x é irracional}

Nota: é o conjunto dos números inteiros não negativos, e o conjunto dos números inteiros não positivos.

IntervalosINTERVALO ABERTO

É um subconjunto do conjunto dos números reais x, tais que:a < x < b

ou seja, números que estão entre a e b.(a; b) = ]a; b[ = {x IR | a < x < b}

INTERVALO FECHADO

É um subconjunto do conjunto dos números reais x, tais que:a x b

ou seja, números até b.[a; b] = {x IR/ a x b}

EXEMPLOS

01) Se A = {x IR / 2 < x < 5} eB = {x IR / 3 x 8}, determinar:A B; A B; A – B; B – A

AB A B

AB

A B

AB A – B

AB B – A

02) Usando a notação de conjuntos, escreva os seguintes intervalos que estão representados a seguir.

-1

EXERCÍCIOS

01) Seja IR o conjunto dos números reais, IN, o conjunto dos números naturais e Q o conjunto dos números racionais. Qual a afirmativa falsa?a) Q IN IRb) Q IN IRc) Q IN = IRd) Q IR = Qe) Q R

02) Sejam os intervalos A = (- ; 1],B = (0; 2] e C = [-1; 1]. O intervalo C (A B) é:a) (– 1; 1]b) [-1; 1]c) [ 0; 1]d) (0; 1]e) (– ; – 1]

03) Se designarmos por [3; 4] o intervalo fechado, em IR, de extremidades 3 e 4, é correto escrever:a) {3; 4} = [3; 4]b) {3; 4} [3; 4]c) {3; 4} [3; 4]d) {3; 4} [3; 4]e) n. d. a.

04) Dados os conjuntos:A = {x IN / 2 x 5}B = {x IN / x é ímpar e 1 x < 7}C = {x IN / 0 < x 3}

O conjunto-solução de (A – B) (B – C) é:

a) {1; 2}b) {2; 4; 5}c) {0; 1; 3; 5; 7}d) {1; 2; 3; 4; 5}e) {0; 4; 5}

05) Dados os intervalos A = (-2; 1] e B = [0; 2], então A B e A B, são respectivamente:a) (0; 1) e (– 2; 2)b) [0; 1] e (– 2; 2]c) [0; 1) e [– 2; 2]d) (0; 1] e (– 2; 2]e) [0; 1) e [– 2; 2)

06) Dado A = {x IR | |x| = 2}, tem-se:a) A INb) A IR+

c) A Z+ = Z+

d) A Z – = Ae) A IN = {2}

07) Sejam A e B os seguintes subconjuntos de IR:A = {x IR / 2 x 5}B = {x IR / x < 4}Então podemos afirmar que:a) A – B Bb) A – B Ac) B – A Ad) A – B = {x IR / 2 < x <4}e) B – A + {x IR / x 5}

08) São dados os conjuntosA = {x IN / x é par}B = {x Z / -1 x < 6}C = {x IN / x 4}

O conjunto X, tal que X B e B – X = A C:a) {0; 3; 5}b) {1; 3; 5}c) {0; 1; 3; 5}d) {-1; 1; 3; 5}e) {-1; 1; 3; 5; 6}

09) Dados os conjuntosA = {x/x é número par}B = {x/x é número inteiro}C = {x/x é número ímpar}

A afirmativa falsa é:a) (B C) A = Bb) (A B) C = B

c) (B C) A = B d) (A C) B = Be) (A B) C = B

10) Se A = {x IN / x = 4n} com n IN, então o número de elementos de A B é:a) 3b) 2c) 1d) 0e) Impossível de determinar

GABARITO:01) C 06) E02) B 07) B03) C 08) D04) B 09) A05) B 10) B

EXERCÍCIOS –Conjuntos numéricos e Intervalos

1. Represente no eixo real cada um dos intervalos:

2. Dados os intervalos e , determine:

3. Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos:

4. Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmações:

5. Dados e , determine:

6. Considere os conjuntos e . Quantos elementos tem o conjunto ?

Sistemas de Medidas

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

* Definição

O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro.

O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição.

Desde os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios métodos de medição.

Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informações entre os povos era confusa.

* As primeiras medições

No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porém nem sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos?

Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à necessidade de contar. Quando o homem começou a construir suas habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivência e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços, então houve ai a necessidade de se medir espaços.

Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada.

Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o “cúbito”, que é a distância do cotovelo a ponta do dedo médio.

Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais de medidas.

Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu adotar uma outra forma de medir o “cúbito”, passaram então ao invés de usar seu próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem então o “cúbito padrão”.

Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio então começou a usar cordas, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, poderia medir “x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-se o que chamamos hoje de “trena”.

Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas respectivas grandezas.

Então no ano de 1971, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca de informações entre os povos. Foi desenvolvido o sistema métrico decimal.

* O metro

O termo “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”. Estabeleceu-se no princípio que a medida do “metro” seria a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo em um determinado período de tempo.

* Múltiplos e submúltiplos do Metro

Como o metro é a unidade fundamental do comprimento, existem evidentemente os seus respectivos múltiplos e submúltiplos.

Os nomes pré-fixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo, hecto, deca, centi e mili.

Veja o quadro:

Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em pequenas distâncias.

No caso de haver necessidade de fazer medições milimétricas, onde a precisão é fundamental, podem-se utilizar as seguintes medições:

No caso de haver necessidade de fazer medições astronômicas, pode-se utilizar a seguinte medição:

Ano-Luz é a distância percorrida pela luz em um ano.

* Nomes e funções de algumas medidas

* Leitura das Medidas de comprimento

Podemos efetuar a leitura corretas das medidas de comprimento com auxilio de um quadro chamado “quadro de unidades”.

Exemplo: Leia 16,072 m

 

Após ter colocado os respectivos valores dentro das unidades equivalentes, lê-se a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal com a unidade de medida o último algarismo.

Veja outros exemplos de leitura:

8,05 km = Lê-se assim: “Oito quilômetros e cinco decâmetros”

72,207 dam = Lê-se assim: “Setenta e dois decâmetros e duzentos e sete centímetros”

0,004 m = Lê-se assim: “quatro milímetros”

* Transformar unidades

Observe a tabela abaixo:

Agora observe os exemplos de transformações

1) Transforme 17,475hm em m

Para transformar hm (hectômetro) em m (metro) - observe que são duas casas à direita - multiplicamos por 100, ou seja, (10 x 10).

17,475 x 100 = 1747,50

Ou seja

17,475 hm é = 1747,50m

2) Transforme 2,462 dam em cm

Para transformar dam (Decâmetro) em cm (Centímetro) – observe que são três casas à direita – multiplicamos por 1000, ou seja, (10 x 10 x 10).

2,462 x 1000 = 2462

Ou seja

2,462dam é = 2462cm

3) Transforme 186,8m em dam.

Para transformar m (metro) em dam (decâmetro) – observe que é uma casa à esquerda – dividimos por 10.

186,8 ÷ 10 = 18,68

Ou seja

186,8m é = 18,68dam

4) Transforme 864m em km.

Para transformar m (metro) em km (Kilômetro) – observe que são três casas à esquerda – dividimos por 1000.

864 ÷ 1000 = 0,864

Ou seja

864m é = 0,864km

Conversão de medidasMedidas de COMPRIMENTO

Unidade Símbolo Equivalênciametro (SIU) m = 1 mpolegada pol(") = 2,54 x 10-2 m

pé pé(') = 12 pol = 0,3048 mjarda jd = 3 pés = 0,9144 mmilha mi = 1760 jd = 1609,344 m

ano-luz a.l. ~ 9,460 730 472 580 8 x 1015 msegundo-luz s.l. = 2,997 924 58 x 108 m

Medidas de ÁREA

Unidade Símbolo Equivalênciametro quadrado m² um quadrado com 1 metro de lado

acre acre aprox. 4046,856 m² (aprox. 0,4047 ha)are a 100 m²

hectare ha 104 m²alqueire paulista 2,42 haalqueire goiano 4,84 haalqueire baiano 9,68 ha

alqueire do norte 2,72 ha

Medidas de VOLUME

Unidade Símbolo Equivalênciametro cúbico m3 = 1 m3

litro l, L = dm3 = 10-3 m3

galão (US) US-gal = 3,78541 dm3

galão (UK) B-gal = 4,546 09 dm3

Medidas de MASSA

Unidade Símbolo Equivalênciaquilograma kg = 1 kg

tonelada (métrica) t = 103 kglibra (avoirdupois) lb = 0,453 592 37 kgonça (avoirdupois) oz ~ 28,3495 g

onça (troy) oz (troy) ~ 31,1035 ggrão gr = 64,798 91 mg

Medidas de TEMPO

Unidade Símbolo Equivalênciasegundo s 1 sminuto min = 60 shora h = 3600 sdia d = 86400 s (convencionado)

semana h = 7 diasmês h = 30 dias (convencionado)ano a ~ 31 556 952 s

Algarismos significativosO resultado de uma medição expressa o valor de uma grandeza física. É muito importante saber distinguir o valor efetivamente obtido no processo de medição, daqueles decorrentes de cálculo ou arredondamento numérico. Assim, dado o resultado de uma medição, os algarismos significativos são todos aqueles contados, da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero. Exemplos:45,30cm > tem quatro algarismos significativos;0,0595m > tem três algarismos significativos; e 0,0450kg > tem três algarismos significativos. Algarismo correto e algarismo duvidoso:Vamos supor que você está efetuando a medição de um segmento de reta, utilizando para isso uma régua graduada em centímetros.Você observa que o segmento de reta tem um pouco mais de vinte e sete centímetros e menos que vinte e oito centímetros.Então, você estima o valor desse "pouco" que ultrapassa vinte e sete centímetros, expressando o resultado da medição assim: 27,6 centímetros.Ou seja, você tem dois algarismos corretos (2 e 7) e um duvidoso (6), porque este último foi estimado por você - um outro observador poderia fazer uma estimativa diferente. Significados do zero, à esquerda e à direita Zeros à esquerda do primeiro algarismo correto, antes ou depois da vírgula, não são significativos. Refletem apenas a utilização da unidade, ou seus múltiplos e submúltiplos. Note que se você preferisse expressar o resultado 0,0595m em centímetros, ao invés de metros, você escreveria 5,95cm . Nada se altera, você continua com os mesmos três algarismos significativos.Zeros colocados à direita do resultado da medição, são significativos.

O resultado 0,0450kg é diferente de 0,045kg , pois o primeiro tem três algarismos significativos enquanto o segundo só tem dois. No primeiro caso, o zero é o algarismo duvidoso, enquanto no segundo caso o algarismo duvidoso é o cinco. Isso significa que houve maior exatidão de medição no processo para se obter o resultado 0,0450kg. Influência dos cálculos Vamos supor que você fez três medições de massa de um mesmo corpo em uma balança de leitura digital que apresenta o resultado em gramas, obtendo os seguintes valores: 5202g; 5202g e 5203g. Você obteve resultados com quatro algarismos significativos.Para apresentar o resultado da medição, você resolveu fazer a média entre as três leituras obtidas, utilizando três casas decimais para o cálculo:5202g + 5202g + 5203g = 15607g : 3 = 5202,333gOra, se você apresentar como resultado da medição o valor 5202,333g , sem qualquer informação adicional, você o estará falseando, pois este exibe sete algarismos significativos. Nesse caso, o resultado apresentado não é resultante apenas do processo de medição, mas foi influenciado pelo cálculo com três casas decimais. Você passará a informação de que a medição foi realizada com exatidão muito superior ao que de fato ocorreu no processo de medição. O correto é dar o resultado com a mesma quantidade de significativos da medição realizada: 5202g (quatro significativos).O contrário também pode ocorrer. Pegando o mesmo exemplo, digamos que você tenha decidido apresentar o resultado da medição em quilogramas, ou seja, 5,202kg. Aí você resolve arredondar o valor obtido para 5,2kg. Esse resultado apresenta apenas dois algarismos significativos e expressa uma exatidão inferior àquela obtida pelo processo de medição. Assim, a maneira correta de apresentar esse resultado é 5,202kg, portanto com os mesmos 4 significativos originais.

Arredondamento de Dados Nos resultado final dos cálculos, se o último dígito está acima de 5 arredondamos para cima e se o

último dígito está abaixo de 5 ou é 5 ,basta suprimi-lo. O procedimento correto é arredondar somente no final dos cálculos e levar todos os dígitos na memória da calculadora até o último estágio.

adição resultado arredondamento

0,19 + 0,13 = 0,32 0,3

0,19 + 0,17 = 0,36 0,4

0,19 + 0,26 = 0,45 0,4

Como arredondar as dízimas?Dízima: 1,50494847...Dízima periódica: 1,505050... =

De acordo com o número de casas após a vírgula podemos classificar os números em:a) Decimais: uma casa após a vírgula – 0,1; 0,3; 3,2; 5,4.b) Centesimais: duas casas após a vírgula – 0,12; 2,14; 5,23; 7,89; 15,24.c) Milesimais: três casas após a vírgula – 45,123; 56,789; 1,002.

Regras para arredondamento de dados:Se o Algarismo a ser suprimido for:

a) Menor que 5 : Basta suprimí-lo. Ex: 5,052 (Para um número centesimal) – 5,05 Ex: 24,994 (Para um número centesimal): Ex: 103,701 (Para um número decimal):

b) Maior que 5 ou igual a 5 : Basta suprimi-lo, acrescentando uma unidade ao algarismo que o precede.Ex: 5,057 (Para um número centesimal) – 5,06

Ex: 24,791 (Para um número centesimal): Ex: 103,998 (Para um número decimal):

Nas Operações:

Adição e subtração Quando adicionamos ou subtraímos, o número de lugares decimais no resultado deveria ser o mesmo do menor número de decimais nos dados que dispomos.

Multiplicação e divisão Quando multiplicamos ou dividimos, o número de algarismos significativos no resultado deveria ser o mesmo do menor número de algarismos significativos nos dados que dispomos.

Números inteiros e exatos Quando multiplicamos ou dividimos por um número inteiro ou exato, a incerteza do resultado é determinada pelo valor medido. Alguns fatores de conversão das unidades são definidos exatamente, menos se não são números inteiros. Por exemplo, 1 polegada é definida exatamente como 2,54 cm e 273,15 na conversão entre as temperaturas celsius e kelvin também é exata, então 100,000C se converte exatamente em 373,150 K. O valor numérico e Notação Científica de uma grandeza

Obviamente, é preciso poder expressar as unidades em múltiplos e submúltiplos, pois a apresentação a medida da distância de São Carlos à São Paulo (235.000 m) ou o tamanho médio de uma ameba gigante 0,0001 m apresentadas assim, não são práticas operacionalmente. Costumamos representar as medidas em notação científica. Assim como 1.000 m = 1 quilômetro, podemos escrever a distância São Carlos - São Paulo como 235.000 m = 235 103 m = 235 km, e o tamanho dessa ameba como 104 m. Apresentamos na tabela a seguir os prefixos de potências de 10 usados em notação científica.

Se um valor numérico é igual a 105, isso significa que o número é igual a 0,00001, ou seja

10-5 = 0,00001 (4 zeros depois da vírgula seguidos do algarismo 1), da mesma forma,

10-8 = 0,00000001 (7 zeros depois da vírgula seguidos do algarismo 1), e de uma forma geral, um submúltiplo é escrito como:

10-n = 0,0.....0000001 (n-1 zeros depois da vírgula seguidos do algarismo 1).

Para um múltiplo, escrevemos:

101 = 10 (um zero depois do algarismo 1) 102 = 10 10 = 100 (dois zeros depois do algarismo 1) 103 = 10 10 10 = 1000 104 = 10 10 10 10 = 10000 10n = 10 ... ... 10 10 10 = (n zeros depois do algarismo 1)

Para um submúltiplo, escrevemos:

101 = 0,1 (uma casa depois da vírgula) 102 = 0,1 0,1 = 0,01 (duas casas depois da vírgula) 103 = 0,001 (três casas depois da vírgula) 104 = 0,0001 (quatro casas depois da vírgula) 10n = 0,00000....1 (0 seguido de n casas depois da vírgula)

Na notação científica, um número é escrito como N 10n. Aqui N é um número decimal com um dígito diferente de zero e menor que nove, na frente do ponto decimal e n é um número inteiro. Por exemplo, 456 é escrito como 4,56 102.

Números entre 0 e 1 são expressos da mesma forma, mas com uma potência negativa de 10; eles tem

a forma N 10n, com 101 = = 0,1, e assim por diante. Então 0,0456 na notação decimal é 4,56 102.

Exercícios

01) Faça o arredondamento dos números abaixo, de acordo com o que se pede:

Milesimal Centesimal Decimal

a) 57,8755

b) 24,0540

c) 130,056

d) 92,445

e) 113,372

f) 89,1750

g) 19,935

h) 5,789

i) 202,49876

j) 11,25465

l) 794,20951

m) 701,09954

n)201,95456

o) 3,39999...

p) 3,14151...

q) 16,909987

r) 1,0092014

2) Escreva os números em notação cientifica:a) 570.000b) 12.500c) 50.000.000d) 0,0000012e) 0,032f) 0,72g) 56,7h) 86.700i) 0,00567

j) 10,1 10-6

k) 0,00236 10-6

l) 82 103

m) 640 105

n) 9.150 10-3

o) 200 10-5

p) 0,05 103

q) 0,0025 10-4

3) Converta na forma decimal os seguintes números escritos em notação científica.a) 5,67 101

b) 7,2 105

c) 1,23 10-4

d) 8,67 1022

e) 9,1 10-12

f) 1,02 10-1

4) Efetue as operações colocando a resposta em notação científica:a) 5 103 1,5 102

b) 3,2 105 2 10-3

c) 4,5 10-3 1,2 10-5

d) 5 10-8 3 105

e) (7,5 104) ( 3 104)f) (2,5 10-3) (5 103)g) 5,6 + 15,2 10-1 + 250 10-2

h) 7,8 10-4 – 52,4 10-5

5) Dê suas respostas a seguir em notação científica:a) Converta 75 centímetros em quilômetros.b) Converta 135 quilômetros em centímetros.

c) Converta 950 quilogramas em miligramas.d) Converta 83,5 miligramas em quilogramas.

e) Converta 432 segundos em microsegundos

6. Que unidade de comprimento você usaria para medir:a) a largura de seu caderno?b) a distância entre Brasília e Salvador?c) a altura de um prédio?d) a espessura de um vidro?

e) a extensão de um rolo de barbante?f) ingredientes de receita culináriag) pequenos animais ou pessoash) safra agrícola

12. Efetue as seguintes transformações:

a) 3,10 h em horas e minutosb) 5,15h em horas e minutosc) 7,20 h em horas e minutosd) 1,25 h em horas e minutose)4,21666... em horas e minutosf) 2 h e 20 min em horasg) 5 h e 35 min em horash) 10 h e 40 min em horasi) 5,555... h em horas, minutos e segundos.j) 2 h,l3 min e 7s em segundos

Razão, Proporção, Regra de Três e Porcentagem

Razões - Introdução

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

  (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m

do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b.

A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

1. Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

  (de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

2. Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

  (de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4 1:4 ou ou 0,25.

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre   é .

Termos de uma razão

Observe a razão:

    (lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou, o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente.

Veja o exemplo:

3:5   = 

Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

Razões inversas

Considere as razões .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.

Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

Observações:

1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

Exemplo: O inverso de .

Exemplos:

1) Calcular a razão entre a altura de dois pés de milho, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:

 2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete:

3) Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão?    Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").

Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

4) Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?Solução:

Razão =

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.

5) O estado do Paraná no censo de 2005 teve uma população avaliada em 10.261.856 habitantes . Sua área é de 199.709 km². Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão?Solução:

Razão =

Razão = 51 hab/km2 (lê-se "51 habitantes por quilômetro quadrado").

Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 51 habitantes.

6) Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm  =  1cm3

Razão =

Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").

  Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

Proporção

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade

é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números A, B, C e D são denominados termos Os números A e B são os dois primeiros termos Os números C e D são os dois últimos termos Os números A e C são os antecedentes Os números B e D são os conseqüentes A e D são os extremos B e C são os meios

Exemplo:

(3 está para 4 assim como 27 está para 36) Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.

Propriedades das proporções

1ª Propriedade

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Produto dos meios = 4.30 = 120Produto dos extremos = 3.40 = 120

Exemplo:

1. Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5.x = 8.15

x   =  24

Logo, o valor de x é 24.

2. Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:

A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.

Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.

1.2 = 0,04x 0,04x=2

x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

2ª PropriedadeA soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a

soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

3ª PropriedadeA soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a

soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:

4ª PropriedadeA soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos conseqüentes,

assim como cada antecedente está para o seu conseqüente, isto é:

Grandezas Diretamente ProporcionaisDuas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra

também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

Exemplos:Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é medida

a altura do nível de água.

15 minutos50 cm

30 minutos100 cm

45 minutos150 cm

Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:Tempo (min) Altura (cm)15 5030 10045 150

Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.

Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

(a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:

(b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais:

Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

Grandezas Inversamente ProporcionaisDuas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra

diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

X · Y = K

Exemplos:A professora de um colégio tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos,

dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.O melhor aluno receberá 24 livros2 melhores alunos, cada um terá 12 livros3 melhores alunos, cada um terá 8 livros4 melhores alunos, cada um terá 6 livros6 melhores alunos, cada um terá 4 livros

Alunos escolhidos

Livros para cada aluno

1 242 123 84 66 4

De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.

Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.

Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.

Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.

Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

Exercícios

1. Dois homens pintam um muro em 18 horas de serviço. Se em vez disso houver 3 homens, ou 4

homens, o que ocorrerá? Essas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais?

2. Identifique, nas grandezas a seguir, se a variação é diretamente ou inversamente proporcional:

a) Número de carros e número de rodas;b) Número de teares iguais e metros de panos produzidos;c) Litros de leite e preço pago pela conta;d) Homens trabalhando e horas a serem trabalhadas;e) Velocidade e tempo;f) Número de pessoas e quantidade de alimentos.g) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poderá

consumirh) A área de um retângulo e o seu comprimento, sendo a largura constante.i) Número de erros em uma prova e a nota obtida.j) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa.k) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago.

3.Um homem consegue estender 400m de fio de arame em 10 horas de serviço diário. As

grandezas metros de fio estendido e tempo de trabalho são diretamente proporcionais?

4. Considere as grandezas: medida do lado de uns quadrados e área dos quadrados. Preencha a

tabela abaixo:

Medida do lado do quadrado 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm

Área do quadrado

As grandezas medida do lado e área são proporcionais?

5. Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e responda: 

Número de acertadores Prêmio3 R$ 200.000,004 R$ 150.000,00

 a) Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 para o prêmio de R$150.000,00? b) Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores? c) O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

6. Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x e y. 

7. Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos números 180, 120, 200 e 480, determine os números a, b e c. 

Regra de Três

Elementos históricos

Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

Regra de Três Simples É um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais

conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

É importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza

devem ser expressas na mesma unidade de medida. (Km/h, m/s, Kg, l).

Veja.

Ex1: Comprei 6m de tecido e paguei R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?

Tecido R$

6 15

8 ?

Se aumentar a quantidade de tecido, aumenta o valor? Sim.

Então as grandezas são diretamente proporcionais.

Para expressar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais usamos

“setas”. Sempre colocamos primeiro a seta na coluna que contém x, com a seta voltada para ele, e

a outra vai depender da proporção ser direta ou inversa.

No nosso exemplo é direta, então; as setas ficam voltadas para o mesmo lado.

6 15 e montamos a proporção da maneira que está.

8 x

Ex2: Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma

obra, com a mesma carga horária?

Operários dias

6 10

20 x

Aumentam-se os operários, aumentam os dias? Não. Então é inversamente proporcional.

Como é inversamente proporcional:

6 10

20 x

para resolvermos devemos deixar as duas setas no mesmo sentido, então, invertemos os valores

da coluna de número de operários:

20 10

6 x

Agora, resolvemos como no anterior:

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2 m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5 m2, qual será a energia produzida?

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Regra de Três Composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, diretas ou inversamente proporcionais.

Consideremos a seguinte situação:

Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse

mesmo tipos serão produzidas por 7 operários, trabalhando durante 9 dias?

Resolução:

Vamos organizar os dados no seguinte quadro, indicando o número de peças pedido pela

letra x:

Número de operários Número de dias Número de peças

5 6 400

7 9 x

A B C

Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C:

Se dobramos o número de dias, o número de peças também dobrará, logo, as grandezas B e

C são diretamente proporcionais.

Fixando a grandeza B vamos relacionar as grandezas A e C:

Se dobrarmos o número de operários, o número de peças também dobrará; logo, as grandezas

A e C são diretamente proporcionais.

Então a grandeza C é diretamente proporcional às grandezas A e B logo, seus valores

serão diretamente proporcionais aos produtos dos valores das grandezas A e B, ou seja:

Resposta: Produzirão 840 peças.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Exercícios1) Na extremidade de uma mola colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de

10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola?

2) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso?

3) Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

4) Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia?

5) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?

6) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

7) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

8) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?

9) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?

GABARITO1 2 3 4 5 6 7 8 9

81 18 9 4 6 35 15 10 2025

PorcentagemPorcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo símbolo % que significa por

cento.

Exemplo

1) = 5%

2) = 21%

3) = 15%

A forma de representação (5%, 21%, 15%) chama-se taxa percentual.

ObservaçãoOs problemas de porcentagem são resolvidos pelo mesmo processo de regra de três simples, onde as

grandezas são diretamente proporcionais.

Exemplos1) Em uma pesquisa sobre futebol, foram entrevistadas 840 pessoas. Destas, 25% torcem pelo time x.

quantas pessoas, entre as entrevistadas, torcem pelo time x?

2) Em uma escola com 1810 alunos, 1086 são meninas. Qual a taxa percentual de meninas?

3) Um objeto foi comprado por R$ 3.100,00 e revendido por R$ 3.472,00. Determine a taxa percentual acrescida.

4) Uma conta de R$1.250,00 foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3,5%. Calcule o valor pago.

Lista de Exercícios

1 – Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?

2 – Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam empregados para

fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200Km por dia?

3 – Um muro deverá ter 40m de comprimento. Em 3 dias foram construídos 12m do muro. Supondo que o

trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?

4 – Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água, em 20 minutos. Quantas horas levará para

despejar 600 litros?

5 – Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m2. Quantos litros são necessários para pintar

uma parede de 15 m2?

6 – Um caminhão gasta 10 litros de combustível para percorrer 70 km. Quantos km percorrerá com 43 litros

de combustível?

7 – Uma máquina trabalhando durante 40 min, produz 100 peças. Quantas iguais a essas, serão produzidas

pela máquina em duas horas e trinta minutos?

8 – Se 1 cl. de álcool pesa 8g, quantos litros equivalem 32,4 kg de álcool?

9 – Num estádio de futebol, 120.000 torcedores acabaram de assistir a um jogo. Por cada uma das 6 saídas

disponíveis podem passar 1.000 pessoas por minuto. Calcule o tempo mínimo necessário para que todos os

torcedores saiam do estádio.

10 – Num acampamento há 48 pessoas e alimento suficiente para 1 mês. Retirando-se 16 pessoas, para

quantos dias dará a quantidade de alimentos?

11 – Quatro operários produzem em 10 dias, 320 peças de certo produto. Quantas peças desse mesmo

produto serão produzidas por operários em 16 dias?

12 – Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia, fazem determinado serviço em 12 dias. Em quantos dias,

12 operários que trabalham 9 horas por dia farão serviço idêntico?

13 – Quatro máquinas produzem 32 peças de madeira em 8 dias. Quantas peças iguais as primeiras serão

produzidas por 10 máquinas em 6 dias?

14 – Seis datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias em quantos dias, 8 datilógrafos, de mesma

capacidade dos primeiros prepararão 800 páginas?

15 – A alimentação de 12 animais, durante 8 dias custa R$ 16,00. Qual será o custo da alimentação de 15

animais durante 5 dias?

16 – Uma secretária datilografa 40 folhas de 60 linhas por página durante 6 horas. Quantas folhas baterá

tendo 40 linhas por página durante 10 horas?

17 – Duas máquinas empacotam 1000 litros de leite por dia. Quantas máquinas são necessárias para

empacotar 2000 litros de leite em meio dia?

18 – Um motoqueiro percorre 720 km, em 2 dias, rodando 4 horas por dia. Quanto percorrerá rodando 6

horas por dia, em 5 dias?

19 – Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2

piscinas?

20 – Em cada passo que dou, sempre ando 40cm. Como tenho que percorrer 800m, quantos passos devo

dar?

21 – Se 16 operários levam 3 dias para completar uma certa obra, quantos operários seriam necessários para

completar essa mesma obra em 2 dias?

22 – Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas diárias de trabalho, foram contratados 100 operários.

Como se deseja terminar a obra em 40 dias de 10 horas diárias de trabalho, determine quantos operários a

mais devem ser contratados?

23– Para remoção das vítimas da enchente de uma cidade foram necessários 480 homens trabalhando

durante 8 dias. Quantos homens seriam necessários para se fazer o mesmo trabalho em 144 horas?

24 – Trabalhando 8 horas por dia, certo operário ganha em 15 dias a importância de R$ 120,00. Se

trabalhasse 9 horas por dia qual remuneração teria em 21 dias?

25 – Para fazer um muro de 52m de comprimento, 30 operários gastam 15 dias de 8h. Quantos dias de 9

horas gastarão 25 operários para fazer 39 m de um muro igual?

26 – Dois litros de um gás exercem uma pressão de 0,4 atm. Cinco litros do mesmo gás, à mesma

temperatura, exercerão que pressão?

27 – Se de uma obra foram avaliados em R$ 268,40; qual é o valor de da mesma obra?

GABARITO1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1463 9 7 4 6 301 375 40,5 20 45 768 14 60 1515 16 17 18 19 20 21 21 23 24 25 26 27

12,5 100 8 2700 6 2000 24 150 640 189 12 1 152,5

Aplicações de proporções em farmacologia

Considerando os seguintes padrões que são utilizados no cálculo de medicamentos:

1ml contém 20 gotas

1 gota equivale a 3 microgotas, então 20 gotas equivalem a 60microgotas.

Podemos obter uma relação entre mililitros e microgotas:

Portanto, 1ml contém 60 microgotas.

1ml contém 20 gotas

1 gota equivale a 3 microgotas

1ml contém 60 microgotas

Aplicando estas idéias ao cálculo de medicamentos:

Exemplo1: Foi prescrito a um paciente um frasco de 500ml de Soro Fisiológico a 0,9% (S.F. 0,9%).

Nosso objetivo é fazer o cálculo de gotejamento, ou seja, de acordo com o número de gotas que caem a cada minuto do frasco, saber o tempo em que o paciente ficará no soro, para continuar com os procedimentos necessários.

Então inicialmente precisamos saber quantas gotas há no frasco, transformando sua quantidade total de

ml para gotas. desta forma obtemos que a quantidade total de gotas é 500x20=10000

gotas.

Neste mesmo exemplo, se quisermos calcular a quantidade de soluto, neste caso, cloreto de sódio que o paciente está recebendo em 500 ml desta solução:

S.F.0,9% significa que há 0,9 g de cloreto de sódio a cada 100ml.

O frasco tem 500 ml, então de forma equivalente, 100x = 0,9x500, logo a quantidade de

cloreto de sódio neste frasco é de 4,5g.

Se precisássemos trabalhar com microgotas no lugar de gotas, quantas microgotas equivalem as 10000 gotas que há neste frasco com 500ml?

Neste caso, podemos utilizar as gotas para obter as microgotas, como também, utilizar o volume do frasco.

1º) Primeiramente utilizando a quantidade total de gotas já calculadas

x = 3x10000, assim facilmente encontramos que no frasco temos 30mil microgotas.

2º) Utilizando o volume do frasco para obter a quantidade de microgotas:

logo x = 60x500, portanto, 30mil microgotas.

Exemplo 2: Foi prescrito 1g de Cloranfenicol V.O. Quantos comprimidos de cloranfenicol de 250 mg devo tomar?

Inicialmente percebemos que foi prescrito 1g e temos cp de 250 mg. As unidades não são as mesmas e não podemos trabalhar com diferentes unidades sem transformá-las. Podemos transformar gramas em miligramas ou vice-versa, é questão de escolha.

Transformando então gramas em miligramas: 1g equivale a 1000mg. Assim, a prescrição foi então de 1000 mg. Desta forma:

desta forma temos que , sendo necessários 4 comprimidos de 250 mg.

Exemplo 3: Prescritos 100 mg de Aminofilina. Tenho ampolas de 250 mg/10ml. Quanto devo administrar?

Montando uma proporção para obter a quantidade necessária em ml:

Pela propriedade fundamental das proporções: 250x = 1000, portanto, =4ml.

Exemplo 4: Se for prescrito 12 gotas de Dipirona de 6/6 horas, quantos ml o paciente irá tomar em 24 horas?

Uma forma possível de proceder é calcular a quantidade total de gotas administradas em 24h:

1º) de 6/6 horas, significa de 6 em 6 horas. Em 24 horas, significa que o paciente receberá o

medicamento 4 vezes ao dia .

2º) Em 24h serão administradas , x = 4x12gotas, ou seja, 48 gotas.

3º) Transformando as gotas em ml: , que pela propriedade fundamental nos dá

, o que resulta em 2,4 ml em 24h.

Exemplo 5: Se em 1,25L de uma solução há 0,4g de soluto, em 750 ml desta solução teremos quantos miligramas de soluto?

Obs: O sistema métrico decimal é muito importante para o cálculo e preparo de drogas e soluções. Ao preparar a medicação, é necessário confirmar a unidade de medida. Caso as unidades sejam diferentes, devemos transformá-las numa mesma unidade antes do cálculo de dosagem para o preparo.

Considere algumas equivalências para transformação de unidades:

1g = 1000 mg = 1 000 000 mcg

1mg = 1000 mcg

1L = 1000 ml

Transformando as unidades:

1,25L = 1,25x1000ml = 1250 ml

0,4g = 0,4x1000mg = 400 mg

Além dos equivalentes no sistema métrico decimal temos também outras padronizações referentes a medidas caseiras e que podem variar segundo a bibliografia utilizada:

1 colher(café) = 3 ml

1 colher(chá) = 4 ml

1 colher(sobremesa) = 10 ml

1 colher(sopa) = 15 ml

1 xícara (chá) = 180 ml

1 copo(americano) = 250 ml

Porém, não devemos confundir essas medidas com as colheres de café, de chá, de sobremesa e de sopa que são utilizadas no ambiente doméstico. As colheres caseiras são de tamanhos diversos e não devem ser utilizadas como medidas de medicamentos quando o erro de tal administração for significativa para o paciente. Neste caso, o que ocorre, é o fornecimento de tal medida junto com o medicamento, muito freqüente por exemplo, em medicamentos pediátricos.

Obs: Alguns medicamentos são prescritos em proporções, como o permanganato de potássio (KMnO4). O permanganato de potássio é um sal solúvel em água e fotossensível, que se cristaliza em contato com material metálico oxidável. É muito utilizado como desinfetante, devido sua ação oxidante, como também desodorizante e adstringente. Apresenta cor roxa escura, é inodoro e tem sabor levemente ácido. A apresentação é em forma líquida ou sólida, em tabletes de 100mg, comprimidos de 0,25g ou pó com 0,10 g .

Exemplo 6: Foi prescrito o preparo de 1L de KMnO4 a 1:40 000,estando disponíveis no setor em tabletes de 100mg.

a) Quantos mg deste soluto há no volume prescrito?

Primeiro, devemos rever o significado da proporção apresentada: 1:40000. Há 1 g de soluto, ou seja 1 g de permanganato de potássio em 40 000ml.

, podemos simplificar a segunda razão e teremos, equivalentemente,

pela propriedade fundamental da proporções, 40x=1000, então teremos 25 mg deste soluto em 1L.

b) Como devo proceder para obter a proporção desejada?

Preciso de 25 mg de permanganato e o tenho disponível em tabletes de 100mg. O procedimento será

de diluir os 100mg em 4 ml de água destilada e considerar a proporção: , ou de forma

direta, obtemos 1ml. Portanto aspiramos 1 ml e diluímos em 999ml para obter a proporção desejada.

Cálculo de Gotejamento

Normalmente, os soros são prescritos em tempos que variam de poucos minutos até 24 h. A infusão é contínua e controlada através do gotejamento. Para o cálculo do gotejamento é necessário conhecer o volume e o tempo. Na prática, o controle de gotejamento será feito em gotas/min ou microgotas/min.

Exemplo 7: Foi prescrito a um paciente 350 ml de S.F.0,9% para correr à velocidade de 25 gotas por minuto. Quanto tempo este paciente ficará no soro?

Inicialmente, podemos utilizando proporções transformar o volume do frasco em gotas, já que a velocidade está sendo apresentada nesta unidade.

350 x 20 gt = 7000 gotas em 350 ml

Sabendo que 20 gotas levam 1 minuto para correr, as 7000 gotas do frasco levarão quanto tempo?

Podemos recorrer a uma regra de três para orientar com mais clareza o problema:

1 minuto................25 gotas

X minutos..............7000 gotas, como mais uma vez temos uma regra de três direta, pois ao aumentarmos a quantidade de gotas para correr, mais tempo será necessário, tem-se que 25X=7000, ou seja, são necessários 280 minutos. Transformando 280 minutos em horas e minutos, teremos quase 5 h faltando 20 minutos, ou seja, 4 horas e 40 minutos.

Outra forma de resolver:

Como sabemos, 1 hora equivale a 60 minutos, portanto: 280 minutos/60=4,66666...h, ou seja, 4 horas e mais 0,66666... de hora, utilizando a relação acima entre hora e minuto, temos que 0,66666....h=0,666666....x60 aproximadamente 40 minutos.

Resolvemos nosso problema, o paciente ficará no soro por 4 horas e 40 minutos.

É importante observar que esta atividade teve-se a intenção de aplicar a Matemática ao cálculo de medicamentos. As medidas aqui apresentadas visam aplicação de cálculos matemáticos que nem sempre são condizentes à realidade e muito menos as prescrições aqui apresentadas.

O CONCEITO DE UMA FUNÇÃOExemplo 1

Considere uma caixa d' água cúbica com base de 4 m2 de área. Uma torneira aberta despeja água a uma "velocidade" de 0.5 m3/h . A que altura estará o nível de água 1h depois? E depois de 2 horas? E depois de 3 horas?

Em primeiro lugar, note que o volume, assim como a altura do nível da água, varia com o tempo. Sabemos também que o volume de água na caixa d' água em qualquer instante de tempo é igual a área da base da caixa vezes a altura do nível da água. Assim, denotando-se por V(t) e h(t) o volume e a altura do nível da água, respectivamente, num certo instante de tempo t teremos:

V(t) = 4h(t)

Por outro lado, o volume de água que entrou até o instante t é igual à velocidade vezes o tempo percorrido (no nosso caso t horas), isto é:

V(t) = t/2

Igualando as identidades acima obteremos:

h(t) = t/8

Esta equação fornece a altura do nível da água em cada instante de tempo t. Portanto, para determinarmos a altura do nível da água para t =1 h, t =2 h, t =3 h, ..., basta substituirmos t , na equação acima pelo valor desejado. Dizemos que a altura do nível da água depende ou é uma função do tempo. Essa dependência pode ser expressa em notação funcional pela expressão h(t)=t/8 que é chamada de representação analítica da função.

Uma função matemática é, essencialmente, uma forma especial de se fazer uma correspondência entre elementos de dois conjuntos.

Sejam D e I dois conjuntos quaisquer. Uma função f definida em D é uma regra ou lei de correspondência que associa a cada elemento do conjunto D um único elemento do conjunto I .

Em particular, se os conjuntos D e I forem conjuntos de números reais, a cada número real x de D , deve corresponder, pela f, um único número real y em I .

O conjunto D dos valores permitidos para x chama-se domínio da função e o conjunto dos valores correspondentes de y chama-se imagem da função. O conjunto imagem, portanto, é um subconjunto de I . O conjunto I é denominado contradomínio de f .

Costuma-se chamar x de variável independente, porque ela é livre para assumir qualquer valor do domínio e chamar y de variável dependente, porque o seu valor depende da escolha de x .

Representações de funções

Uma função pode ser representada no mínimo de três formas: tabelas, gráficos ou equações.

Funções Crescente e Decrescente

Definição:Função crescente é aquela cujo o valor aumenta quando aumenta o valor da variável, ou seja:

Função decrescente é aquela cujo o valor diminui quando aumenta o valor da variável, ou seja:

Tipos particulares de funções

FUNÇÃO CONSTANTE

Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x .Exemplos:a) f(x) = 5b) f(x) = -3

Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .

Veja o gráfico a seguir:

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a 0 .Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).

Propriedades da função do 1º grau :

1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .

2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b 0 f é dita função afim .Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) - excepcional matemático suíço - 1701/1783).3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a .4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 6) se a > 0 , então f é crescente .7) se a < 0 , então f é decrescente .8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

Exemplos:

1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

SOLUÇÃO:Podemos escrever:

5 = 2.a + b-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b) a = - 1515 = - a

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica: b = 35.5 = 2.(- 15) + b Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

Exercício:1. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:*a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a 0 .Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )

Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .

Propriedades do gráfico de  y = ax2 + bx + c :

1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: xv = - b/2a yv = - /4a , onde = b2 - 4ac4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 .5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.7) ymax = - / 4a ( a> 0 )8) ymin = - /4a ( a < 0 )9) Im(f) = { y R ; y > - /4a } ( a > 0 )10) Im(f) = { y R ; y < - /4a} ( a < 0)11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :y = a(x - x1).(x - x2)

Exemplos

1 - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:a) o seu valor máximo é 1,25 b) o seu valor mínimo é 1,25 c) o seu valor máximo é 0,25 d) o seu valor mínimo é 12,5 *e) o seu valor máximo é 12,5.

SOLUÇÃO:Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.

Portanto, poderemos escrever:y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)y = a(x + 2)(x - 3)

Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)8 = a(1)(-4) = - 4.aDaí vem: a = - 2

A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)y = -2x2 + 6x - 4x + 12y = -2x2 + 2x + 12

Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.Isto já elimina as alternativas B e D.

Vamos então, calcular o valor máximo da função. = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5Logo, a alternativa correta é a letra E.

2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?*a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) -1/2

SOLUÇÃO:Seja x o número procurado.O quadrado de x é x2 .O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 .

Podemos escrever:y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função).

Assim,xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2Logo, a alternativa correta é a letra A .

Exercícios:

2. A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser:a) 16 b) 8 c) -8 *d) -4e) -16

3. A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é:a) 16 b) 8 c) -8 d) -4 *e) -16

Funções Logarítmica e Exponencial

Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham

substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta aplicação na matemática e na ciência.

A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Uma função da forma f (x) = , onde b > 0 e b 1, é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos são 

f (x) = ,         f (x) = ,      f (x) =  

Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim as funções tais como f (x) = e  f

(x) = não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante.

Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 1. A figura 2 mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas.

      

 

OBSERVAÇÃO. Se b = 1, então a função é constante, uma vez que = = 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais.

LOGARITMOS

Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b 1, então para valores positivos de x o logaritmo na base b de x é denotado por    

e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado para produzir x. Por exemplo,

Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para

tais logaritmos, é usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não . Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os quais tem uma base natural denotada pela letra e em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais, é

e 2, 718282

A função exponencial f (x) = é chamada de função exponencial natural. Para simplificar a tipografia, esta função é,

algumas vezes, escrita como exp x. Assim, por exemplo, você pode ver a relação expressa como

exp( + ) = exp( ) exp( )

Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função com alguma variação do comando EXP.

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

A figura 1 que se encontram no item família de funções exponenciais  sugere que se b > 0 e  b 1, então o gráfico de y =

satisfaz o teste da reta horizontal, e isso implica que a função f (x) =  tem uma inversa. Para encontrar uma fórmula

para esta inversa (com x como variável independente), podemos resolver a equação x = para y com uma função de x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados desta equação. Isto dá lugar a 

    = ( )

Porém, se pensarmos ( )  como expoente ao qual b se deve ser elevado para produzir , então fica evidente que

( ). Assim, pode ser reescrito como

y =

de onde concluímos que a inversa de f (x) = é (x) =  x. Isto implica que o gráfico de x = e o de y =    são reflexões um do outro, em relação relação à reta  y = x. 

Chamaremos  de função logarítmica na base b.

Em particular, se tomarmos f (x) =  e   (x) =   , e se tivermos em mente que o domínio de  é o mesmo que a imagem de f, então obtemos          

logb(bx)=x para todos os valores reais de xblog x=x para x>0

Em outras palavras, a equação nos diz que as funções logb(bx) e blog x cancelam o efeito de outra quando compostas em qualquer ordem; por exemplo 

     

 

GráficosAcompanhe os exemplos seguintes:

1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x -2 -1 0 1 2y 1/4 1/2 1 2 4

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x -2 -1 0 1 2y 4 2 1 1/2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que

a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:x2>x1 Þ y2>y1 (as desigualdades têm mesmo

sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:x2>x1 Þ y2<y1 (as desigualdades têm sentidos

diferentes)

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Temos 2 casos a considerar:è quando a>1;è quando 0<a<1.

Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso:

3) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x 1/4 1/2 1 2 4y -2 -1 0 1 2

4) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x 1/4 1/2 1 2 4y 2 1 0 -1 -2

Nos dois exemplos, podemos observar qued) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1;f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR.Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IRPara quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2>x1 Þ y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IRPara quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2>x1 Þ y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)

EXERCÍCIOS

5.Resolva em as equações:

6. Determinar o domínio das funções:

7. Classifique como crescente ou decrescente cada uma das funções:

8. O número N de decibéis e a potência I de um som medida em watts por centímetro quadrado estão relacionados pela

fórmula . Qual é o número de decibéis correspondente ao som provocado por tráfico pesado de veículos, cuja

potência é estimada em watts por centímetro quadrado?

Respostas:

5.a) S={10}b) S={-6/5}

c)S={2,8}

6.a)

b)

c)

d)

e)

7. a) crescenteb) decrescente

8.80 decibéis

Exercícios

1. Seja a função dada por: e seja a função dada por , com .

Nessas condições, é igual a :

a) h b) x c) 2x d) 2x + h e) x + h

2. Se , então é igual a:

    (A) 1    (B) 2

    (C) 3     (D) 4    (E) 5

3. Se a função é tal que então é

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

4. Na equação fizemos , então o valor de é

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

5. Montar a função que representa:

a) a quantidade de material (área) usada numa caixa sem tampa, de base quadrada, com 2l de volume.

b) a área do “stand ” retangular que conseguimos cercar com uma parede e uma corda de 13m.

c) o volume da caixa sem tampa, que se consegue a partir de uma chapa quadrada, com 2m x 2m , recortando os quatro cantos quadrado e dobrando as bordas.

6. . Uma papelaria cobra R$ 0,10 por cópia em sua máquina de fotocópia, até 100 cópias. De 100 até 250 o valor por cópia cai para R$ 0,08 e para um número de cópias superior a 250 é cobrado R$ 0,05 por cópia. Nesta situação podemos perceber que para cada faixa de quantidade de cópias tiradas tem-se um valor diferente a pagar pela cópia.

Para facilitar a cobrança, o proprietário quer montar uma tabela para saber direto quanto vai receber de em cliente pelas cópias. Monte a função que representa a situação.

7. .Determinar o domínio das seguintes funções:a) [-2,2]

b) [-3,7]

c) (-oo,-1) U [0,+oo)

d) [-5,2]

8. O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa P é composta por duas partes: uma parte fixa, denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número d de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20.

a) Expresse o preço P em função da distância d percorrida.b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km?c) Sabendo que a corrida custou R$ 20,00, calcule a distância percorrida pelo táxi.

9. Uma piscina de 30 mil litros, totalmente cheia, precisa ser esvaziada para limpeza e para isso uma bomba que retira água à razão de 100 litros por minuto foi acionada. Baseado nessas informações, pede-se:

a) a expressão que fornece o volume (V) de água na piscina em função do tempo (t) que a bomba fica ligada.b) a expressão que fornece o volume de água que sai da piscina (VS) em função do tempo (t) que a bomba fica ligada.c) o tempo necessário para que a piscina seja esvaziada.d) quanto de água ainda terá na piscina após 3 horas de funcionamento da bomba?e) o esboço do gráfico que representa o volume de água na piscina em função do tempo em que a bomba fica ligada.

10. Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.

a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em função do número (u) de unidades vendidas.b) Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 700,00 ?c) Determine o domínio e a imagem desta função.

11. Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é consumido, por dia, 0,5 kg de gás:a) Expresse a massa (m) de gás no botijão, em função do número (t) de dias de consumo.b) Esboce o gráfico desta função.c) Depois de quantos dias o botijão estará vazio ?

12. A água congela a 0° C e a 32° F; ferve a 100° C e 212° F. A temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linearmente com a temperatura em graus Celsius (C).

a) Expresse a temperatura em F em função de C e faça o gráfico desta função.b) A temperatura do corpo humano não febril é de 37° C. Qual é esta temperatura em grausFahrenheit?c) A que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20° F.

13. .Dois táxis têm preços dados por:Táxi A: bandeirada a R$ 4,00, mais R$ 0,75 por quilômetro rodado;Táxi B: bandeirada a R$ 3,00, mais R$ 0,90 por quilômetro rodado.

a) Obtenha a expressão que fornece o preço de cada táxi (PA e PB) em função da distância percorrida.b) Para que distâncias é vantajoso tomar cada táxi ?

14. O custo total de produção de um determinado produto consiste em um custo fixo de R$ 500,00 somados ao custo de

produção que é de R$ 6, 00 por unidade.

a) Determine a função custo total a partir do número de unidade produzida?

b) Faça o gráfico da função custo total.

c) Qual será o custo se forem produzidas 50 unidades do produto?

d) Quantas unidades foram produzidas se o custo total de determinado mês for de R$ 2 300,00?

e) Escreva qual o valor do coeficiente angular e do coeficiente linear desta função?

15. Certa agência locadora de automóveis cobra R$ 30,00 por dia mais R$ 0,20 por quilometro percorrido.

a)Escreva o custo diário de locação de um automóvel desta agência, em função do número de quilômetros percorridos e

construa o gráfico correspondente.

b) Quanto custa o aluguel diário de um automóvel, sabendo que se pretende realizar uma viagem de 80

Km?

c) Quantos quilômetros foram percorridos se o custo diário do aluguel for de R$ 110,00?

16. Uma pulga, ao saltar, teve sua posição no espaço descrita em função do tempo, pela expressão: , onde h é a altura atingida, em metros.

a) Faça um esboço do gráfico da função h(t)

b) Para quais valores de t, h(t) tem uma interpretação prática nesse contexto?

c) Em que instantes a pulga atinge a altura máxima do solo em cm?

17. Os biólogos determinaram que, sob condições ideais, um número de baterias em uma cultura cresce exponencialmente. Suponha que 2 000 bactérias estejam presentes em uma certa cultura, e que 6 000 estejam presentes 20 minutos depois. Quantas bactérias estarão presentes ao fim de 1 hora?

18. Projeta-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de milhões.a) Qual é a população atual?

b) Qual será a população daqui a 30 anos?

19. A quantidade de uma amostra de uma substancia radiativa remanescente após t anos é dada por uma função da forma . Ao fim de 5 000 anos, restaram 2 000 gramas da substancia. Quantas gramas havia inicialmente?

20. O pH de uma solução é definido por pH = é a concentração de hidrogêneo em íons-gramas por litro da

solução. Determinar pH de uma solução, tal que H+ = 1,0X10 – 8.

21. Suponha que durante um programa nacional para imunizar a população contra uma forma de influenza, os inspetores de

saúde pública descobriram que o custo de inocular x% da população era de aproximadamente milhões em

u.m.a) Qual o domínio da função?

b) Para quais valores de x f(x) tem uma interpretação prática nesse contexto?

c) Qual foi o custo de inocular os primeiros 50% da população?

d) Qual foi o custo de inocular a segunda metade da população?

e) Qual o percentual de população que foi inoculada no momento em que 37,5 milhões de u. m. tinha sido

gastos?

22. . Uma questão importante na medicina pediátrica é a predição da estatura final de um indivíduo a partir de sua estatura quando criança. Em decorrência de vários estudos realizados, foram propostas as seguintes equações (Tanner et al., 1956):

meninos: h = 1,27x + 54,9meninas: h = 1,29x + 42,3

Em que x é a altura, em cm, da criança aos 3 anos de idade e h é a sua altura estimada, em cm, na fase adulta. Com base nessas informações e considerando que a altura de uma criança de 3 anos de idade, tanto para meninos quanto para meninas, varia no intervalo de 85 cm a 105 cm, Julgue os itens abaixo, colocando “V” nos itens verdadeiros e “F”, nos itens falsos:

1.( )

A altura máxima prevista para um indivíduo adulto é superior a 1,92 m.

2.( ) A altura h prevista para uma pessoa adulta do sexo feminino é superior a 150 cm e inferior a 180 cm.

3.( ) Mesmo que, aos 3 anos de idade, um menino tenha estatura 10 cm menor que uma menina de mesma idade, para a fase adulta, a altura estimada do menino será maior que a altura estimada da menina.

4.( ) Considere que duas pessoas de sexos opostos tenham a mesma altura na idade adulta. Se a pessoa do sexo feminino possuía, aos 3 anos de idade, altura igual a 97 cm, então a do sexo masculino, aos 3 anos de idade, tinha altura

superior a 90 cm.

23. . Uma micro-empresa do Distrito Federal produz artigos manufaturados de grande consumo. O custo de produção de um destes artigos é regido pela função: C(u) = 7u + 320, onde C é o custo, em reais, da produção de u unidades dos artigos. De acordo com tal função, analise e julgue os itens abaixo, colocando “V” nos itens verdadeiros e “F”, nos itens falsos:

1.( )

O custo da produção de 10 artigos nessa micro-empresa é de R$ 390,00.

2.( ) O custo da produção por artigo é igual a R$ 327,00.

3.( ) Em um lote de 5000 artigos produzidos pela micro-empresa, o preço de custo unitário é menor do que R$ 6,89.

4.( ) O custo unitário de produção decresce à medida que se produzem mais unidades dos artigos.

24. Observe o gráfico, em que o segmento é paralelo ao eixo das abscissas.

Este gráfico representa a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia , e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia. Julgue os itens a seguir: a) ( ) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante .

b) ( ) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia e igual à absorção resultante da ingestão de 20 mg/dia.

c) ( )Para ingestão acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido.

d) ( ) Para ingestão de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida.

25. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico

 

 

a. f(x)= -x+2 b. f(x) = -x/2 + 1 c. f(x)= -x/2 + 2 d. f(x)=4x

e. f(x)= -x

26. . O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:

 

 

a. a = 0 ; b = 0 b. a > 0 ; b > 0 c. a < 0 ; b > 0 d. a > 0 ; b = 0 e. a > 0 ; b < 0

 27. ( UFMA ) A representação da função y = -3 é uma reta :

a. paralela aos eixo das ordenadas b. perpendicular ao eixo das ordenadas c. perpendicular ao eixo das abcissas d. que intercepta os dois eixos e. nda

 

28. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :

 

 

a. a < 2 b. a < 0 c. a = 0 d. a > 0 e. a = 2

 

29. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ?

 

 

a. y = 2x - 3 b. y = - 2x + 3 c. y = 1,5 x + 3 d. 3y = - 2x e. y = - 1,5x + 3

30. (UFCE) - Considere a IR, definida por f(x) = xfunção f: IR 2 - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:

a. vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4); b. f possui dois zeros reais e distintos; c. f atinge um máximo para x = 1; d. gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas. e. nda

31. ( UFPE ) Seja y = ax + b onde a e b são números reais tal que a< 0 e b > 0 . Assinale a alternativa que indica a representação desta função:

 

 

32. Suponha que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia , contas de luz

entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função . Se o

número de funcionários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, qual a porcentagem de moradores que a receberam?

O dispositivo de Briot-Ruffini

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2).

Resolução:

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.

Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:

1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da

“cerquinha”.

2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.

3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º

coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com

o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.

5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à

esquerda deste serão os coeficientes do quociente.

Limites

Noção intuitiva de limite

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x y = 2x + 1

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y = 2x + 1

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.

Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1).

Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.

De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b).

Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

Se g: IR IR e g(x) = x + 2, = = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas

têm o mesmo limite.

Exemplos:

1) Analise da equação

Ilustração Gráfica

antes de 2 depois de 2X F(x) X F(x)

1,9 1,20333333 2,1 1,470000001,99 1,32003333 2,01 1,346700001,999 1,33200033 2,001 1,334667001,9999 1,33320000 2,0001 1,333466671,99999 1,33332000 2,00001 1,333346671,999999 1,33333200 2,000001 1,33333467

Quanto mais próximo de 2 está x, mais próximo de 1,3333, ou seja, está f(x).

Fatorando f(x) teremos . Se x2 temos a equação y = , sendo o gráfico uma parábola com ponto

omitido em .

Então:

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Então:Notação Significação intuitiva Interpretação gráfica

Podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, escolhendo x

suficientemente próximo de a e xa

Exercícios:

Ache o limite:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

1ª LISTA DE EXERCÍCIO – LIMITE

Use os teoremas sobre limites para determinar o limite quando existir

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

Repostas dos exercícios

1. 15

2.

3. -24. 35. 86. 7

7.

8.

9. 8110.-16 80711. 012. 113. -1314.36

15. 5

16. 15017. -3,1416

18.

19. -2320. -121. 7522. -174

23.

24.

25. -3

26.

27. -7

28.

29. NE30. NE

31.

32. 8

33.

34. 435. 436. 19

37.

38. -439. 32

40.

41. 1242. 3

43. NE44.NE45. 1446. -1047. -648. NE

49.

50. 1

51.

52.

53.

54. 355. -1

56.

57.

58. -1559. 260. 64

61.

62.

63. -2

64.

65. -266. 0

67.

68.

71. -81072. 8

DerivadasDefinição:Seja uma função f definida em um intervalo aberto I contendo a, então a derivada de f em a, é dada por:

Desde que o limite exista. Se f’(a) existe, diz-se que f é diferenciável ( ou derivável) em a Se f é diferenciável em a, então pela definição de coeficiente angular ma da tangente do

gráfico de f no ponto P(a, f(a)), f’(a) é o próprio coeficiente angular.

TeoremaSe uma função f é diferenciável em a, então é contínua em a.OBS: A recíproca do teorema acima não é verdadeira, ou seja, nem toda função contínua é diferenciável.

1ª Lista de Exercícios - Derivadas

1. Ache a derivada usando a definição:a)

b) c) d)

Regras de DerivaçãoFormulário de Derivadas:

Seja u, v, w funções de uma variável x.Seja a, k, m, n constantes.As derivadas de u, v, w em relação a x serão: 1. D(u v w) = Du Dv Dw 2. D(k) = 0 3. D(x) = 1 4. D(kx) = k 5. D(k.xn) = n.k.xn-1 6. D(k.u) = k.Du 7. D(u.v) = u.Dv + v.Du 8. D(u.v.w) = v.w.Du + u.w.Dv + u.v.Dw

9. D

10. D

11. D

12. D(um) = m.um-1.Du

13. D

14. D(au) = au.ln a. Du 15. D(eu) = eu. Du 16. D(vu) = vu. ln v. Du + u.vu-1. Dv (exponencial geral)

17. D(logau) =

18. D(ln u) =

19. (Regra da Cadeia)

20. (Derivada da Função Inversa)

21. D(sen u) = (cos u). Du 22. D(cos u) = ( – sen u). Du 23. D(tg u) = (sec2 u). Du 24. D(cotg u) = ( – cossec2 u). Du25. D(sec u) = (sec u . tg u). Du 26. D(cossec u) = ( – cossec u . cotg u). Du

Exemplos:1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

9.

10.

11.

Outros exemplos:

Exercícios

Encontre a derivada:

Regra da Cadeia:

12. D(um) = m.um-1.Duou

f(x)= um

f’(x)=m.um-1.u’Exemplos:

2ª LISTA DE EXERCÍCIO – Derivada

1. Calcule a Derivada usando as regras de derivação :a) g(t) =

b) h(z) =

c) f(x) =

d) f(s) = 15 –s + 4s2 – 5s4

e) f(t) = 12 – 3t4 + 4t6

f) f(x) = 3x2 +

g) g(x) = x4 -

h) g (x) = (x3 – 7).(2x2 + 3)

i) k(x) = (2x2 – 4x + 1). (6x – 5)

j) f(x) = x1/2.(x2 + x -4)

k) h(r) = r2( 3r4 -7r + 2)

l) k(v) = v3.(-2v3 + v – 3)

m) g(x) = (8x2 -5x).(13x2 + 4)

n) f(x) =

o) h(z) =

p) g(v) =

q) f(x) =

r) h(x) =

s) k(x) = (3x)-4

t) h(x) = (5x – 4)2

u) M(x) =

v) Y = -3x-8 +2

w) Y = x-3 +

Resposta dos exercícios da questão 1.

a) 10t2/3 b) 12 z1/2

c) d) -20s3 + 8s -1

e) -12t3 + 24t5 f)

g) h) 10x4 + 9x2 -28x

i) 36x2 -68x + 26 j)

k) 18r5 – 21r2 + 4r l) -12v5 + 4v3 – 9v2

m) 416x3 -195x2 + 64x -20

n) o)

p) q)

r) s)

t) -10(5x – 4) u)

v) 24x-9+( )

w) -3x-4 – 7x-8

2) Calcule a Derivada da equação e calcule Dxy = 0a) Y = 2x3 – 3x2 – 36x + 4 R: -2,3

b) R: 0,4

3) Calcule a Derivada da segunda das seguintes funções:a) Y = 7x3 -5x2 + x R: 42x – 10

b) Y =12x2 – 2x + 3 R: 24

c) Y = R: 2/x3

d) Y = (5x2 - 3).(7x3 + x) R:700x3–96x

4) Use a regra da cadeia para achar e expresse a resposta em termos de x.

a) y = u2; u = x3 –

4

b) y = ; u = x2 +

5x

c) y = u =

d) y = tg 3u; u = x2

e) y =

f) y = u3 u =x2 + 2x

RESPOSTAS

a) 6x2 (x3-4)

b)

c)

d) 6x sec2(3x2)

e)

f) (6x+6)(x2+2x)2

5) Sabendo a derivada de uma função composta , ache as derivadas das seguintes

funções.

a) f(x) = (x - 1)4

b) f(x) = (5x2 – 2x + 1 )2

c) f(x) = (x2 – 3x + 8)3

d) g(x) = (8x – 7)-5

e) g(x) =

f) f(x) = (x + 1)2 + x3

g) h(x) = x2.(x2 + 1)2

h) f(x) = (8x3 – 2x2 + x -7)5

i) f(v) = (17v – 5)1000

j) n(x) = (6x – 7)3(8x2+9)2

k) f(x) =

l) k(x) =

m) f(v) =

n) h(x) =

Respostas exercício 5

a) 4.(x-1)3

b) 2.(5x2 - 2x + 1).(10x - 2)

c) 3.(x2 -3x +8)2.(2x-3)

d) -40(8x – 7)-6

e)

f) 3x2 +2x +2

g) 2x.(x2 + 1).(3x2 +1)

h) 5.(8x3 – 2x2 + x – 7)4.(24x2

– 4x + 1)

i) 17000(17v -5)999

j) 2.(6x – 7)2.(8x2 + 9).

(168x2 – 112x +81)

k)

l)

m)

n)

6) Determine a derivada da terceira de

f(x) = 2x4 – 5x3 – 8x2 +10x – 1

Resposta

48x – 30

7) Calcular a derivada da quarta da função f(x) = x6 – 4x2 + 2x

Resposta 360x2

8) Seja a função f(x)= 4x3 + 2x2 – 5x +2. Calcule f

’ (0) + f ”(0) + f ”’(0).

9) Seja a função f(t) = 4t3 – 6t2 + 3t + 2.

Determine f ’(1).

10) Se f(x) = x2 – 7x + 12, calcule f ’(x) no ponto x

= 4.

11) Determine f ’(x) sabendo que:

f(x) = x2.(x3 + 1) + x.(x4 – 2x)

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

8) 23

9) 3

10) 1

11) 10x4 – 2x

IntegraisDefinição:

Uma função F é uma antiderivada de f em um intervalo I, se F’(x)= para todo x em I.O processo de determinação de antiderivada é chamado de antidiferenciação.

Exemplo: F(x)= é uma antiderivada de f(x)=2xMas há muitas antiderivadas de 2x, como:

Pois

Assim há uma família de antiderivadas de 2x da forma , onde C é uma constante arbitrária.Exemplosf(x) antiderivadas de f(x)

A notação

onde F’(x)= f(x) e C é uma constante arbitrária, denota a família de todas as antiderivadas de f(x) em um intervalo I.O símbolo usado na definição é o sinal de integral, chamamos a Integral indefinida de f(x).

O processo de determinação de F(x)+C, quando é dada, é designado como integração indefinida ou integral f(x)

FORMULÁRIO INTEGRAIS IMEDIATAS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18. ou =

19.

20.

21. ou =

22. 23.

ou =

24.

25. Integração por partes

Exemplos:

Teorema:

Exemplos:

1.

2.

3.

4.

Exercícios:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

Respostas:

Integração por substituição

Este método de substituição pode ser motivado examinando-se a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação (integral).

Ou seja:

Seja expressão

Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) vem:

,

admitindo que se conhece .

O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.

Exemplo:

Calcule

Regras na Integração por substituição:

Passo 1: Faz-se uma escolha para u, digamos u = g(x)

Passo 2:Calcule

Passo 3: Faça a substituição u=g(x), du=g’(x)dx

Nesse ponto toda integral deve estar em termos de u, nenhum x deve continuar. Se isso acontecer deve-se tentar uma nova escolha para u.

Passo 4: Calcula-se a integral resultante

Passo 5: Substituir u por g(x), assim, a resposta final estará em termos de x.

Exemplos:

Integrais Definidas

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde: a é o limite inferior de integração;

← b é o limite superior de integração;

← f(x) é o integrando.

Teorema Fundamental do Cálculo

Exemplos:

Integrais definidas pelo método da substituição

Exemplo:

1º) Integra por substituição, usando uma integral indefinida

2º) Volta para a integral definida:

Exercícios

1. Calcule as integrais:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

2. Calcule a integral pelo método da substituição,:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

3. Calcule as integrais definidas:

a)

b)

c)

d)

4. Calcule as integrais definidas por substituição:a

a) b) c)

Respostas dos Exercícios

Exercício nº 1

a) 4x+x3 + cb)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Exercício nº 2

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Exercício nº 3

a)42b)4/3

c)3,75d)10

Exercício nº 4a)0b)182/9c)1/2 ln3d)0

APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

1. Considerando que, depois de t horas, uma população de bactérias está crescendo a uma taxa de et + 2 milhões de bactérias por hora, qual o crescimento total da população de bactérias durante a primeira hora?

R: e + 1 milhões de bactérias

2. O custo marginal da produção de q unidades de certo produto é de

Se o custo das duas primeiras unidades foi de R$ 649,86, qual será o custo total das próximas sete unidades?

R: R$ 2554,10