Apostila Matricial

8/19/2019 Apostila Matricial

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Introdução.Esta apostila1 tem o objetivo de servir de material de apoio à disciplinade Álgebra Matricial, que começou a ser oferecida a partir de 2007/1 para os novosalunos dos cursos de Licenciatura em Matemática, Licenciatura em Física,Bacharelado em Física Médica, Engenharia da Computação, Engenharia Civil,Engenharia Elétrica, Engenharia de Computação, Engenharia Mecânica, EngenhariaQuímica, Engenharia de Controle e Automação e Engenharia de Produção e Ciênciada Computação. Um dos objetivos da Álgebra Matricial é trabalhar conceitos deÁlgebra Linear em espaços vetoriais de dimensão finita. As aulas são nos laboratóriosde informática da Faculdade de Matemática, e a ferramenta computacional utilizada éo Matlab. O Matlab é um programa utilizado tanto no meio acadêmico, porpesquisadores, professores e alunos, quanto fora da universidade, por profissionais dediversas áreas. Assim sendo, o uso desta apostila se justifica, visto que não há umlivro que seja totalmente adequado aos objetivos da Álgebra Matricial. A apostilaestá dividida em capítulos, de modo que é possível usá-la de acordo com ocronograma de cada turma. No final de cada capítulo, há uma lista de exercícios que

devem ser trabalhados para fixação dos conceitos. No final da apostila, há uma listade referências bibliográficas e alguns links, onde podem ser encontrados textos deapoio ao uso do Matlab, e onde podem ser baixados programas livres que funcionamde modo semelhante ao Matlab.

1 Apostila de apoio elaborada pelo Professor Luiz Eduardo Ourique, versão 2012/1.


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M IO

C 1. I ........................................................................ C 2. ..........................................................................

C 3. ...............................................................................

C 4. C L ......................................................................................................

C 5. E ......................................................................................................

C 6. ..............................

6.1. AN FO MA E LINEA E LANA ..................................................................................

Capítulo 7. Autovalores e autovetores ....................................................................................................... 59

7.1. C LC LO DO A O ALO E E A O E O E ................................................................ 61

7.2 A LICA O: E O DE E IL B IO .........................................................................................

Capítulo 9. Diagonalização de uma matriz ............................................................................................... 71

C 10. .......................................................

Capítulo 11. Fatoração LU ............................................................................................................................ 8

Capítulo 12. Decomposição em valores singulares ............................................................................... 94


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CA LO 1. IN OD O AO E DO DE MA I E

Uma matriz é um conjunto retangular de números, geralmente denotada por uma letramaiúscula. Uma matriz A pode ser representada pela notação A = (aij), onde aij é oelemento ou coeficiente que está na i-ésima linha e j-ésima coluna.

Exemplo 1. A = −

5032

. A é uma matriz 2x2. Temos a11 = 2 , a12 = –3 , a21 = 0 e

a22 = 5.

Exemplo 2. B = −

953401

. B é uma matriz 2x3. Temos b11= 1, b12 = 0, b13 = – 4,

b21= 3, b22= 5 e b23 = 9.

Para definir uma matriz no Matlab, devemos digitar os seus coeficientes e armazenar

a matriz numa variável. Por exemplo, para criar a matriz M =4231

, escrevemos no

Matlab o comando abaixo, pressionamos enter, e o resultado virá a seguir:

>> M = [ 1 3 ; 2 4]

M =

1 3

2 4

Podemos usar a vírgula para separar os elementos em cada linha. Isto é, a matriz Mpode ser obtida assim:

>> M = [ 1,3;2,4]

M =

1 3

2 4Se quisermos ver um elemento Mij em particular da matriz M, basta digitar M(i,j) epressionar enter. Por exemplo:

>> M(1,2)

A resposta do programa será

ans =

3


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5

Se quisermos alterar um elemento ou um conjunto de elementos da matriz M,podemos fazer de várias formas. Por exemplo, se quisermos redefinir o coeficienteM12 como igual a 10, fazemos:

>> M(1,2)=10

M =

1 10

2 4

A seguir, alguns exemplos de comando e a resposta do programa são apresentados.Para executar cada comando,pressione enter no Matlab:

Exemplo. Para calcular o determinante de M, fazemos :

>> det(M)ans =

–16

Obs: O desenvolvimento cálculo do determinante 2x2 é efetuado da seguinte forma:

det(M) =42

101 = 1*4 – 2*10= 4 – 20= –16.

A variável ans é uma variável global do Matlab para armazenar o resultado do último

comando executado. Para multiplicar todos os elementos de M por 4, basta escrever4*M:

>> 4*M

ans =

4 40

8 16

Para calcular a matriz M2, fazemos no Matlab:

>> M^2

ans =

21 50

10 36

Para multiplicar duas matrizes, digamos, M=42

101 e N =

− 3075

, definimos a

matriz N e usamos o comando M*N no Matlab:


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6

>> N = [ 5 7 ; 0 –3] ;

>> M*N

ans =

5 –23

10 2

Desenvolvimento:42

101 *

− 3075

=−++

−++

)3(*47*20*45*2)3(*107*10*105*1

= −

210235

.

Observação : em notação usual, escrevemos MN = −

210235

.

A matriz transposta ( troca de linhas por colunas e vice-versa) de uma matriz M éobtida pelo comando M' :

>> M'

ans =

1 2

10 4

O vetor b = 95

é chamado de vetor-coluna, pois tem 1 coluna e 2 linhas. Pode serdefinido usando o comando abaixo:

>> b=[ 5 ; 9]

b =

5

9

Se quisermos agora que a primeira coluna de M seja substituída pelo vetor b,fazemos:

>> M(:,1) = b

M =

5 10

9 4

Da mesma forma, se quisermos agora que a primeira linha de M seja substituída por

um valor constante, digamos igual a 8, fazemos:


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7

>> M(1,: ) = 8

M =

8 8

9 4Veja que a matriz M foi modificada em relação a definição inicial. A matriz M, comas últimas modificações, é a que “vale”. Para definir uma matriz cujos coeficientessão dados por uma fórmula, podemos usar o comandofor. Para ver como funciona,digitehelp for no Matlab.

Exemplo. Definir a matriz N3x3, cujo coeficiente é Nij = 2i + 5j.

>> for i=1:3

for j=1:3N(i,j)=2*i+5*j;

end

end

Assim, para i =1 e j =1 , o Matlab calcula N(1,1) = 2*1 + 5*1 = 7; para i=1 e j=2, oMatlab calcula M(1,2) = 2*1 + 5*2= 12. Para enxergar o resultado no Matlab, bastaescrever N e pressionar enter:

>> NN =

7 12 17

9 14 19

11 16 21

Por exemplo, o elemento N11 é N11 = 2*1+5*1 = 7; já o elemento N23 é igual a N23 =2*2+5*3 = 19. E assim por diante.

Matriz identidade. A matriz identidade nxn, denotada por Inxn, ou simplesmente In, é

a matriz In = (aij), onde aij =≠

=

jise,0 jise,1

.No Matlab, é obtida com o comando eye(n):

Exemplo. Obter a matriz identidade I3.

>> eye(3)

ans =

1 0 0


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8

0 1 0

0 0 1

Exemplo. Obter no Matlab a matriz 4x4 diagonal C = ( cij) , onde cij =≠

=

jise,0

jise,5 .

>> C = 5*eye(4)

C =

5000050000500005

Matriz Inversa. Dada uma matriz Anxn, a matriz inversa de A é a matriz Bnxn tal queA*B=B*A = In . No Matlab, a matriz inversa é calculada com o comando inv(A) ouA^(–1).

Notação: a matriz inversa de A é denotada por A–1.

Exemplo. Calcular a matriz inversa de A =4332

no Matlab.

>> A = [2,3 ; 3,4]

A =

2 33 4

>> B=inv(A)

B =

– 4.0000 3.0000

3.0000 –2.0000

Verificação: efetuamos as operações A*B e B*A, para verificação das igualdadesAB= I e BA = I.

>> B*A

ans =

1 0

0 1

>> A*B

ans =


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9

1 0

0 1

Assim, A =43

32 e sua matriz inversa é A–1 =

−

−

23

34.

IMPORTANTE: Uma matriz A tem matriz inversa se e só se det(A)≠ 0. Por

exemplo, a matrix M=6432

não tem matriz inversa, pois det(M) = 0.


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10

Exercícios.

1. Defina no Matlab as matrizes A=−

1273

1084951

,B= −−−

4.91.34.5

1286753

, o vetor y=

7

53

e efetue as seguintes operações :

a) 2*A

b) A + B

c) A2

d) det(A)

e) Ay

f) det(A)*det(B)

g) det(A*B) ( compare com o resultado do item f )

h) AB

i) BA ( compare com o resultado do item h )

j) A′ ( a transposta da matriz A )

k) diag(A)

l) A.2

m) substitua a primeira coluna de A pelo vetor y

n) substitua a segunda coluna de B pela terceira coluna de A.

o) inv(A) ( calcula a matriz inversa de A )

2. Defina no matlab a matriz C, tamanho 3x3, com todos os coeficientes iguais a zero.Dica: escreva help zeros no Matlab.

3. Defina no matlab a matriz D, tamanho 3x4, com todos os coeficientes iguais a um.Dica: escreva help ones no Matlab.

4.Defina a matriz F4x4 cujo termo genérico é Fij = 4i2+ 3j. Calcule det(F). Caso exista,calcule a matriz inversa de F.


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5. Definir no Matlab a matriz H4x4, cujo elemento é hij=≠

=−

jise,0 jise,3

.

6. Defina a matriz A5x5, cujo coeficiente é dado por

+=

−=−

=

=

.casosdemaisnos,01 jise,11 jise,1

jise,2

) j,i(A

Para tanto, use o comando for encadeado com o comando if. Para ver como funcionaeste comando no Matlab, digite help if.

7. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno,mediterrâneo e colonial. A quantidade unitária de material empregada em cada tipo decasa é dada pela tabela ( valores fictícios ) :

Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo

Moderno 5 20 16 7 17

Mediterrâneo 7 18 12 9 21

Colonial 6 25 8 5 13

a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial,respectivamente, quantas unidades de cada material serão utilizadas ?

b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolosejam, respectivamente, 15, 8 , 5, 1 e 10 unidades monetárias. Qual é o gasto commaterial de cada tipo de casa?

c) Qual o custo total do material utilizado?

8. Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potênciasdistintas. Estabelecemos que aij = 1 , na matriz abaixo, significa que a estação i podetransmitir diretamente à estação j, aij = 0 significa que a transmissão da estação i nãoalcança diretamente a estação j. Observe que a diagonal principal é nula, ou seja, umaestação não transmite diretamente para si mesma.


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12

=

0100010100010100110111110

A

a) Qual seria o significado da matriz A2 ?

b) Seja A2 = (cij ) . Calcule o elemento c42 , desenvolvendo pela definição demultiplicação de matrizes e interprete o resultado.

c) Seja A2 = (cij ) . Calcule o elemento c13 , desenvolvendo pela definição demultiplicação de matrizes e interprete o resultado.

Respostas dos exercícios:

1a. 2*A = −241462016818102

; 1b. A+B=−

4.211.104.822162202

; 1c.A2= −2411551116411461671088

;

1d. det(A)= –52;1e. A*y=

128

9891

; 1f . det(A)*det(B)= – 842.4;1g. det(A*B) = –842.4;

1h. AB =8.1752.788.97

2181151146.1379.626.75

; 1i. BA = −−−

4.1926.1172.21278178101611044

1j. A ́= −

12109785341

; 1k . diag(A) =1281

; 1l. A.2 =144499100641681251

1m. A(:,1) = y produz A=12771085953

; 1n. B(:,2) = A(:,3) produz B= −−

4.9124.512106

793

1o. inv(A) produz A–1 =−−

−

−−

5385.01538.00000.18846.02885.05000.14231.00577.05000.0

.


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13

2.C=zeros(3) produz C =000000000

; 3. D=ones(3,4) produz111111111111

4. A seqüência abaixo no Matlab produz a matriz F:for i = 1: 4

for j=1:4

F(i,j)= 4*i^2+3*j;

end

end

F =

7673706748454239282522191613107

Não existe matriz inversa de F, pois det(F) = 0. No Matlab, ao tentar calcular a inversade F com o comando inv(F), o programa apresenta um resultado, seguido de umamensagem ( ‘warning’ ) . Neste exemplo, o cálculo do determinante mostra que amatriz inversa de F não existe.

5. H =

−

−

−

−

3000030000300003

6. A =

−

−

−

−

2100012100

012100012100012

7. a) As quantidades unitárias de Ferro, Madeira, Vidro, Tinta e Tijolo são,respectivamente, 146 , 526, 260, 158 e 388.

b) Na forma vetorial, a resposta é465528492

c) 11736 unidades monetárias.


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CA LO 2. E OL O DE I EMA LINEA E

Um sistema de equações pode ser resolvido diretamente no Matlab. Para tanto,usamos a representação matricial de um sistema na formaAx = b, onde devemosarmazenar os coeficientes do sistema na variávelA e os valores do lado direito dasequações na variávelb. A matrizA é a matriz dos coeficientes do sistema eb é ovetor independente. Feito isto, o comandoA\b resolve diretamente o sistema. Comoexemplo, resolvemos o sistema abaixo:

Exemplo 1.

=+

=+

4.9x8x55x3x2

21

21 Neste caso A = [ 2,3 ;5,8] e b = [5;9.4]

Solução: no Matlab, basta executar x=A\b . A resposta é x =− 2.6

8.11.

Interpretação: A solução do sistema é x1 = 11.8 e x2 = – 6.2.

Verificação: 2*11.8 + 3*(–6.2) = 23.6 – 18.6 = 5

5*11.8 + 8*(–6.2) = 59 – 49.6 = 9.4

Notação usual: a solução é x =− 2.68.11

.

Exemplo 2.

−=−+

=+−

=+

5.39x6x2.4x872.102x2.7x2x3

4.25x2x

321

321

31

. Neste caso, A=[1,0,2;3,–2,7.2;8,4.2,–6] e b =− 5.39

72.1024.25

Executamos o comando x = A \ b ( ‘A contra-barra b’ ) :

>> x=A\bx =

6.2000

–7.5000

9.6000

Temos x1= 6.2 , x2= –7.5 e x3= 9.6.

Verificação: 6.2 + 2*9.6 = 6.2 + 19.2 = 25.4


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15

3*6.2 – 2*(–7.5) +7.2*9.6 = 18.6 + 15 + 69.12 = 102.72

8*6.2 +4.2*(–7.5)–6*9.6 = 49.6 – 31.5 –57.6 = – 39.5

A verificação mostra que esta é a solução do sistema. Em notação usual, a solução é x

= −6.9

5.72.6 .

Exemplo 3.

=+

=−

=+

=−

55x7x91x5x727x3x5

5xx3

21

21

21

21

. Neste caso, A =−

−

7957

3513

e b =

551275

.

O comando x = A \ b calcula a solução: x1= 3 e x2 = 4. A verificação fica por contado leitor.Matriz ampliada de um sistema. Um sistema Ax = b pode ser representado atravésda notação de matriz ampliada, que consiste da matriz de coeficientes e o vetor b.

Exemplo. A matriz ampliada do sistema=+

=+

4.9x8x55x3x2

21

21 é a matriz4.985

532.

Exemplo. A matriz ampliada do sistema−=−+

=+−

=+

39.56x4.2x8x

102.727.2x2x3x25.42xx

321

321

31

é

−−

−

5.3962.4872.1022.7234.25201

.

Exercícios. Calcular a solução dos sistemas de equações lineares no Matlab:

1.

=++

−=++

=++

11x4x3x5

5x2x3x16x7xx2

321

321

321

2.

=++

=++

=++

11x9x8x7

5x6x5x41x3x2x

321

321

321

3.

=−+++++

−=+−−−+−

=++++++−

=−+−+−+

=+−+−+−

=++−+++−

−=−+++−

94.1377x36x5x24x53x22x71x8048.67x86x35x54x73x92x21x655.1437x76x85x34x113x42x51x591.537x46x45x4x83x102x81x4808.927x56x55x4x33x2x91x24.267x36x65x124x93x82x31x9108.07x6x45x94x63x91x3


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16

4.

=+=−++

=−+

=−+

=−

87x4x239xx4x2

47xx4x210xx4x250xx4

54

543

432

321

21

5.−=+−

=−+

14.74x2.9x5x4.38.50x5x3x2

321

321

PROBLEMAS. Para cada problema, escreva o sistema de equações correspondente ecalcule a sua solução:

6. Uma dieta requer 7 unidades de gordura, 9 unidades de proteínas e 16 unidades decarboidratos para a refeição principal e uma certa pessoa dispõe de três alimentos comos quais pode montar sua dieta:

Alimento 1: cada medida contém 2 unidades de gordura, 2 unidades de proteína e 4unidades de carboidratos.Alimento 2: cada medida contém 3 unidades de gordura, 1 unidade de proteína e 2unidades de carboidratos.

Alimento 3: cada medida contém 1 unidade de gordura, 3 unidades de proteína e 5unidades de carboidratos.

Sejam x,y e z o número de medidas que a pessoa consome dos alimentos 1,2 e 3,respectivamente, em sua refeição principal. Encontre um sistema linear em x,y e zcuja solução diz quantas medidas de cada alimento deve ser consumida pela pessoa

para atender à dieta.7. Encontre três números reais cuja soma é igual a 12, tais que a soma do dobro doprimeiro com o segundo e o dobro do terceiro é 5 e tais que o terceiro número é um amais do que o primeiro. Encontre um sistema linear cujas equações descrevem esteproblema e resolva-o.

8. Faça o balanceamento das reações:

a) N2O5 → NO2 + O2

b) HF + SiO2 → SiF4 + H2O

c) (NH4)2CO3 → NH3 + H2O + CO2

Respostas dos exercícios e problemas:

1. x1= 3 ; x2= – 4 ; x3= 2

2. A solução não existe ( sistema impossível) .


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3. x1= –2.8352; x2= 13.2316; x3= 2.1099; x4=27.1104; x5=6.1382;

x6= – 44.3192;x7=13.2430.

4. x1=12.4299; x2= –0.2803; x3=13.7386; x4=7.3939 ; x5=18.0530.

5. Este sistema tem infinitas soluções: x1 = – 0.1287x3 + 1.5633e x2 = 1.75x3 + 15.89 , onde x3 é um número real qualquer.

6. Somando as quantidades de gordura nos alimentos 1, 2 e 3, resulta 2x +3y + z = 7 ;somando as quantidades de proteína nos alimentos 1,2 e 3, resulta 2x + y + 3z = 9 ;somando as quantidades de carboidrato, resulta 4x + 2y + 5z = 16. Assim, devemosresolver o sistema :

2x + 3y + z = 7

2x + y + 3z = 94x + 2y + 5z = 16

cuja solução é x = 1 ; y = 1 ; z = 2. Assim, a dieta deve conter 1 unidade doalimento 1, 1 unidade do alimento 2 e 2 unidades do alimento 3.

7. O sistema a ser resolvido é

x + y + z = 12

2x + y + 2z = 5

–x + z = 1

cuja solução é x = – 4, y = 19 e z = –3.

8. a) 2N2O5 → 4NO2 + O2

b) 4HF + SiO2 → SiF4 + 2H2O

c) (NH4)2CO3 → 2NH3 + H2O + CO2


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CA LO 3. EO IA DO I EMA LINEA E

Quanto à existência de soluções, um sistema de equações lineares pode ser1) possível e determinado: quando só existe uma única solução

2) possível e indeterminado: quando existem infinitas soluções

3) impossível : quando não existe solução.

Resumo da classificação dos sistemas lineares:

Sistemas :

)soluçãotemnão(possíveisIm

)SoluçõesInfinitas(adominerdetIn )ÚnicaSolução(adominDeter)soluçãotem(

Possíveis

Classificação de sistemas com n equações e n incógnitas. De acordo com o teorema deCramer, a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógintas

Ax = b, onde x = [xi]i , i = 1,2,...,n, é dada pela fórmula:xi =∆

∆ ix , onde ∆ = det(A) e

∆ xi é o determinante da matriz obtida pela substituição da i-ésima coluna de A, pelosvalores do vetor-coluna b, para cada i =1,...,n. Assim, se∆ ≠ 0, a solução do sistema é

única, dada pela fórmula xi =∆

∆ ix , para i=1,2,...,n. Se∆ = 0 , então o sistema é

indeterminado ou impossível. Para diferenciar um caso do outro, podemos usar oteorema de Cramer: se∆ = 0 e se todos os determinantes∆ xi forem nulos, então osistema é indeterminado. Se∆ = 0 e se ∆ xi ≠ 0, para algum i , i=1,...,n, então osistema é impossível. Assim, podemos resumir que um sistema de equações lineares

nxn é:1) possível e determinado, isto é, tem solução única, quando∆ ≠ 0.

2) possível e indeterminado, isto é, tem infinitas soluções, se∆ = 0 e ∆ xi = 0, paratodo i=1,...,n.

3) impossível, isto é, não tem solução, se∆ = 0 e ∆ xi ≠ 0, para algum i , i=1,...,n.

3.1 Sistemas homogêneo de equações

Um sistema de equações é homogêneo se o vetor b é o vetor nulo, isto é, é um sistemana forma Ax = 0. De acordo com o teorema de Cramer, um sistema homogêneo nxntem somente a solução trivial se e somente se o determinante da matriz dos


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coeficientes for diferente de zero. Dito de outra forma, um sistema homogêneo com nequações e n incógnitas tem solução diferente da trivial se e somente se a matriz doscoeficientes tiver determinante igual a zero.

Exemplo 1. =+=+

9.48x5x53x2x

21

21

1º ) ∆ = 8532 = 16 – 15 =1 ≠ 0. sistema possível e determinado ( solução única )

2º ) ∆x1 = 84,935

= 40 – 28,2 = 11,8

∆x2 = 4,95

52 = 18,8 – 25 = – 6,2

3º ) x1 =∆

∆ 1x =1

11.8 = 11,8 e x2 =∆

∆ 2x =16.2- = – 6,2

A solução é x1 = 11,8 e x2 = – 6,2.

Verificação : 2*11,8 +3*(–6,2) = 23,6– 18,6=5

5*11,8 +8*(–6,2) = 59 – 49,6 = 9,4

Exemplo 2 =++

=−+

=+−

12xxx-4x32xx1x3x2x

321

321

321

1º ) ∆ = 211321

132

−

−

−

= 14 . Portanto, este sistema tem solução única.

Cálculo do determinante pela regra de Sarrus:

Obs:∆ =112132

211321

132

−

−

−

−

−

= 8 – 9 + 1 – ( – 2 – 6 – 6 ) = 0 – ( – 14 ) = 14.

2º ) ∆x1 =

211

324131

−

− = 42


20/100

20

∆x2 =211341

112

−

− = 28 e ∆x3 =111421132

−

−

= 14

3º ) x1 =∆

∆ 1x =1442 = 3 ; x2 =

∆

∆ 2x =1428 = 2; x3 =

∆

∆ 3x =1414 = 1

A solução é : x1 = 3; x2 = 2 ; x3 = 1. O desenvolvimento de cada determinante acima ea verificação da solução ficam a cargo leitor

Exemplo 3.

=++

=++

=++

119x8x7x

56x5x4x13x2xx

321

321

321

∆ = 987654321

= 0. O sistema é impossível ou indeterminado.

∆x1 =9811655321

= –6 Conclusão: como∆xi ≠ 0 para i =1 e ∆= 0 , concluímos

que o sistema é impossível, isto é, não admite solução.

Exemplo 4. =+=+

126x4x63x2x

21

21

∆ = 6432

= 12 – 12 = 0 ;

∆x1 = 61236

= 36 – 36 = 0 ;

∆x2 = 12462

= 24 – 24 = 0.

Conclusão: como todos os∆’s são nulos, o sistema é indeterminado, isto é, admiteinfinitas soluções. Neste caso, a solução é x1 = – 3x2 /2 + 3. Assim, se x2 = 0, então


21/100

21

x1= 3; se x2 = 2, então x1 = 0, se x2 = 6, então x1 = –6, e assim por diante. Comoexistem infinitas escolhas para x1, existem infinitas soluções deste sistema. Podemosescrever que algumas destas soluções são os pares: ( 3 , 0) , ( 0, 2 ) , ( –6, 6) .

Observação: para obter a solução acima, usar o comando solve no Matlab.

>>[ x1, x2 ] = solve )'122x*61x*4','62x*31x*2(' =+=+

x1 =-3/2*x2+3

x2 =x2

Interpretação: a solução expressa a incógnita x1 em função de x2, que é uma variável

livre. Assim, se x2=2, então x1=0; se 0, então x1=3. Como x2 pode ser escolhidoarbitrariamente, isto comprova que este sistema tem infinitas soluções.

Observação sobre o método de eliminação de Gauss:Podemos concluir que umsistema só tem uma solução, ou tem infinitas ou é impossível mediante a aplicação dométodo de eliminação de Gauss. O método de Gauss é o mais eficiente dos métodosusados na resolução de sistemas de equações lineares, por exigir um menor número deoperações aritméticas na sua implementação, em comparação com outros métodosdiretos, como o Método de Cramer, e com métodos iterativos, como o método deGauss-Seidel. Em geral, para resolver um sistema nxn pelo método de Gauss, aquantidade de operações elementares ( multiplicações, divisões, adições e subtrações )é proporcional a n3.

Exemplos. O sistema=−

=+

0xx2xx

21

21 admite solução única, pois somando as duas

linhas, chegamos ao sistema=

=+

2x22xx

1

21 . Logo, x1 = 1 e x2 = 1. Já o sistema

=+

=+

1xx

2xx21

21

claramente é impossível, pois 1≠

2. Já o sistema =+=+

4x2x2

2xx21

21

admite infinitas soluções. De fato, multiplicando a primeira linha por 2 e subtraindo

da segunda linha, resulta :=

=+

002xx 21 . Logo, x2 = 2 – x1. Assim, se x1= 0, x2 = 2; se

x1= 1, então x2 = 1, e assim por diante. A mesma lógica aplica-se a sistemas com mequações e n incógnitas. Após a eliminação e o escalonamento do sistema, a análisedas equações restante permite classificar o sistema quanto ao número de soluções.Vejamos um exemplo 3x3:


22/100

22

=−+

=+−

=−+

8x6xx44x4x3x22x5x2x

321

321

321

A matriz aumentada do sistema é−

−−

861444322521

Multiplicando a primeira linha por 2 subtraindo da segunda linha; multiplicando aprimeira linha por 4 e subtraindo da terceira linha, resulta:

−

−

−

01470014702521

.

Subtraindo as duas últimas linhas, resulta:

−

−

0000014702521

Dividindo por –7 a segunda linha, resulta :

−

−

000002102521

Conclusão: o sistema resultante é x1 + 2x2 – 5x3 = 2

x2 – 2x3 = 0

Logo , a solução é x2 = 2x3 , x1 = 2 + x3 . Como x3 é um número real qualquer,podemos escrever que a solução é :

x1= 2 + k

x2 = 2k ou3

2

1

xxx

=002

+ k121

x3 = k


23/100

23

Portanto, o sistema=−+

=+−

=−+

8x6xx44x4x3x22x5x2x

321

321

321

é indeterminado, isto é, admite uma

infinidade de soluções. Por exemplo, se k = 0, uma solução é3

2

1

xxx

=002

. Se k=1,

outra solução é3

2

1

xxx

=002

+121

=123

, e assim por diante.

Por outro lado, o sistema

=−+

=+−

=−+

0x6xx4

4x4x3x22x5x2x

321

321

321

é impossível, pois as mesmas

operações com linhas levariam a :

−

−

100002102521

A última equação é 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1, que é impossível.

Exercícios. Resolva os sistemas abaixo, conforme solicitado em cada item:

1. Classificar e resolver o sistema=++

−=++

=++

119x4x3x52x3xx

167xx2x

321

321

321

.

2. Escrever na forma usual o sistema de equações dado na forma matricial Ax = b,

onde A4x4 = +==+

casosdemais0,

1 jise,i jise2j,i

2 e b4x1 = [ 2i 1 ] i=1:4 .

3. Escrever na forma usual o sistema de equações dado na forma matricial Ax = b,

onde Ax = b, onde A5x5 = −==+

casosdemais0,1 jise4j, jise j),1/(i

e b5x1 = [ 3i2 3 ] i=1:5 .

4. Calcular a equação da reta que passa pelos pontos (–1,1) e (2,5), usando sistemaslineares.


24/100

24

5. Seja y = ax2 + bx +c. Calcule os valores de a, b e c , sabendo que esta curva passapelos pontos (–2; –5,36) , ( 1,2 ; 1,68) e (3,2; 8,68), usando sistemas lineares e ocálculo da solução pelo método de Gauss.

6. Um sistema de equações lineares Ax = b é dito homogêneo se o vetor independente

b é igual ao vetor nulo. Todo sistema homogêneo tem uma solução, a saber, a soluçãotrivial (x = 0) . Calcule os valores de k tais que o sistema homogêneo

=+

=++

=+−

0kzx20zyx

0z2y5x2 tenha uma solução diferente da trivial.

7. Calcule o valor de m para que a matriz A =m1

43 tenha matriz inversa. Calcule

A–1, se m = 2.

8. Calcule a primeira coluna da matriz inversa de A =−

−

415252

031 .


1. A=943231712

; b = −11

516

;

∆ =943231712

= 0;

∆ x =9411235 7116− = 0; ∆ x2 =

9113251 7162 − = 0; ∆ x3 =

1143531 1612 − = 0.

Conclusão:=++

−=++

=++

119x4x3x52x3xx

167xx2x

321

321

321

é um sistema indeterminado.

A solução é x1=–3

67x3

192 − , x2 ∈ R e x3 =

3

26x3

52 + .


25/100

25

2. A=

121600099000640003

; b =

7531

. Notação usual:

=+

=+

=+

=

7x12x165x9x9

3x6x41x3

43

32

21

1

∆ =

121600099000640003

= 1944

∆ x =

121607099500630001

=648 ; ∆ x2 =

121670095000340013

= 540

∆ x3 =

12700059003640103

=540 ; ∆ x4 =

71600599030641003

= 414

Usando a fórmula xi = ∆∆ ix

, para i=1,2,3 e 4, concluímos que a solução do sistema éx1=0.3333, x2=0.2778, x3= 0.2778, x4= 0.2130. Em forma vetorial, a solução é

x=

2130.02778.02778.03333.0

3. A =

1.0000020125.00000161667.000001225.00

00085.0

; b =

7245249

0

.


26/100

26

A solução éx = 10^9 * −

−

000000720.0000114840.0

011024784.0529189596.0

467033536.8

=−

−

720114840

11024784529189596

8467033536

.

4. y =3

7x4 +

5. y = 0,25x2 +2,4x –1,56

6. O sistema terá solução diferente da trivial se e somente se∆ = 0, onde∆ é odeterminante da matriz dos coeficientes do sistema. Logo, se k = 2, o sistema terásolução diferente da trivial.

7. Se m ≠ 4/3 , a matriz A tem matriz inversa. Para m = 2, temos A =2143 e a

matriz inversa de A é A–1=−

−

5,15,021

.

8. A primeira coluna de A–1 é o vetor−

75,05,05,0

.


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27

CA LO 4. COMBINA O LINEA

Neste capítulo, são estudados os conceitos de vetor, combinações lineares entrevetores, conjuntos linearmente independentes e linearmente dependentes de vetores. Éfeita uma aplicação destes conceitos na definição de conjuntos ortogonais, basesortogonais e ortonormais.

Definição. Consideremos o plano cartesiano que consiste de um sistema decoordenadas dado por um par de retas ortogonais, com orientação. Fixada umaunidade de comprimento, um ponto P do plano pode ser identificado com o par (a,b)de números reais, as coordenadas do ponto P. Dados dois pontos P e Q do plano,

podemos considerar o segmento→

PQ, com ponto inicial P e ponto final Q. Seja O o

ponto de coordenadas (0,0), a origem. A partir daí, vamos associar a cada ponto (a,b)do plano o vetorv=

→

OP , isto é, a cada ponto (a,b) do plano um único vetor com pontoinicial na origem e ponto final em P. Isto estabelece uma correspondência entre ospontos e os vetores do plano. O vetorv=(2,3) é o vetor com ponto inicial em (0,0) eponto final em (2,3). Uma definição análoga vale para os vetores do espaço R3.

Os conjuntos R2 e R3 são exemplos de espaços vetoriais. Cada elemento destesconjuntos é um vetor. Representamos geometricamente estes vetores por uma flechaorientada, com ponto inicial na origem do espaço e com ponto final extremidade noponto correspondente às coordenadas do vetor, como nas figuras abaixo.

Exemplos:

1. v = ( 2, 3) é um vetor do R2.

Figura 1. Um vetor do R2.

2. u = ( 2, 3, 4 ) é um vetor do R3.

2

3


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28

Figura 2. Um vetor do R3.

Adição de Vetores

Seu = ( x1 , y1 ) ev = ( x2 , y2 ), então u + v = ( x1 + x2, y1 + y2 ).

Multiplicação por escalar

Seu = ( x1 , y1 ) e a é um escalar, então au = (ax1 , ay1 ) .

+

4

3

2


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29

Igualdade de Vetores

Dadosu = ( x1,y1 ) ev = ( x2,y2) , a igualdadeu = v ocorre se e somente se x1 = x2 ey1 = y2. Analogamente, definimos a soma de vetores, a multiplicação por escalar e aigualdade no R3.

Exemplos.

3. u = ( 2 , 3) ev = (4 , 1 )

u + v = ( 2 + 4, 3 + 1 ) = ( 6 , 4 ) e 5u= ( 5*2, 5*3) = ( 10 , 15)

4. u = ( 2 , 5, 0 ) ev = ( 1 , 0 , 3 )

u – v = ( 2 – 1, 5 – 0 , 0 – 3 ) = ( 1 , 5 , – 3) e

4u + 5v = 4*(2,5,0) + 5*(1,0,3) = (8,20,0)+(5,0,15)=(13,20,15).

5. u = ( 2 , 5 ) ev = ( x + 1, y + 7)

Se u = v , então : x + 1 = 2 e y + 7 = 5 , logo x = 1 e y = – 2.

Combinação Linear de Vetores

Dado um conjunto de n vetores, {u1 , u2 , ... , un } , dizemos que um vetorv écombinação linear dos vetores dados se existem números reais a1, a2, ..,an tais que

v = a1u1 + a2u2 + ... + anun.

Exemplos.6. Dados { ( 1, 0) , (0,1 ) } ev = (3,4) entãov é combinação linear dos vetoresdados, pois (3,4) = 3(1,0) + 4(0,1). Isto é, seu1 = (1,0) eu2 = (0,1), entãov =3u1+4u2.

7. Se B={u1=(1,0,0),u2 = (0,1,0),u3 = (0,0,1)} ev = (2,7,–4) , entãov= 2u1+ 7u2–4u3.Logo,v é uma combinação linear dos vetoresu1, u2 e u3.

8. O vetorv = ( 8,–2 ) é combinação linear dos vetoresu1 = (1,1 ) eu2= ( 1,–1) ?

Se for, então: ( 8, –2) = a(1,1) + b(1,–1) = (a,a)+(b, –b)= ( a + b , a – b )


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30

Igualando as coordenadas correspondentes, resulta o sistema:

−=−

=+

2ba8ba

cuja solução é a = 3 e b = 5 . Conclusão: O vetor ( 8,–2) é combinação linear dosvetoresu1 = (1,1) eu2=(1,–1), pois (8, –2) = 3(1,1) + 5(1,–1) . Simbolicamente,escrevemos v = 3u1 + 5u2.

9. O vetorv = ( 1, 4 , 10 ) é combinação linear dos vetoresu1 = (1,2,3 ) eu2= ( 4,5,6)e u3 =(7,8,9) ?

Se for, então : (1,4,10) = a ( 1,2,3) + b(4,5,6) + c( 7,8,9)

(1,4,10) = ( a,2a,3a) + (4b,5b,6b) + ( 7c,8c,9c)

(1,4,10) = ( a + 4b +7c, 2a + 5b + 8c, 3a + 6b +9c )Igualando as coordenadas, resulta o sistema de equações:

=++

=++

=++

10c9b6a34c8b5a2

1c7b4a

Analisando os determinantes, vemos que∆ = 0 , e∆x1 = – 9. Portanto, pelo teoremade Cramer, o sistema acima não tem solução. Conclusão: o vetorv = ( 1, 4 , 10) não écombinação linear dos vetoresu1 = (1,2,3 ) eu2= ( 4,5,6) eu3=(7,8,9).

10. O vetorv = (48,57, 66) é combinação linear dos vetoresu1=(1,2,3 ) eu2= ( 4,5,6)e u3=(7,8,9) ? Se for, então :

(48 ,57 ,66) = a(1,2,3) + b(4,5,6) + c(7,8,9)

(48 ,57 ,66) = (a,2a,3a) + (4b,5b,6b) + (7c,8c,9c)

(48 ,57 ,66) =( a + 4b+7c , 2a + 5b + 8c , 3a + 6b + 9c )

Igualando as coordenadas, resulta o sistema:=++

=++

=++

669c6b3a578c5b2a

487c4ba

Para eliminar a incógnita a da segunda equação, multiplicando a primeira equação por2 e subtraímos da segunda equação. Ao mesmo tempo, multiplicamos a primeiraequação por 3 e subtraímos da terceira equação, resultando o sistema

−=−−

−=−−

=++

78c12b639c6b348c7b4a


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31

A segunda e a terceira equações são iguais. Logo: b = 13 – 2c. Substituindo esteresultado na primeira equação, resulta a = 48 – 4b – 7c = 48 – 4(13–2c) – 7c = c – 4.

A solução é a = c – 4, b = –2c +13, e c é um número real qualquer. Escolhendo c = 1,resulta: a = – 3, b = 11 e c = 1. Assim,v = –3u1 + 11u2 + u3 , ou seja, o vetorv é

uma combinação linear dos vetoresu1, u2 e u3.11. O vetorv=( 10, 15 , 8 , 3) é uma combinação linear dos vetoresu1=(2,5, 0, 1) eu2=(1, 0, 2, 0 ) ?

Se for, existem números a e b tais quev = au1 + bu2. Isto é:

( 10, 15 , 8 , 3) = a(2,5, 0, 1) + b(1, 0, 2, 0 ) ;

(10, 15 , 8, 3 ) = (2a, 5a , 0 , a ) + ( b, 0 , 2b, 0)

(10, 15 , 8, 3 ) = (2a + b , 5a , 2b , a )

Igualando as coordenadas correspondentes, resulta:

=

=

=

=+

3a8b2

15a510ba2

A solução é a = 3 e b = 4. Logo, a combinação linear é:

( 10, 15 , 8 , 3) = 4(2,5, 0, 1) + 3(1, 0, 2, 0 ), ouv = 4u1 + 3u2.

Vetores Linearmente Dependentes ( LD ) e Linearmente Independentes ( LI )Um conjunto de vetores dados {u1 , u2 , ... , un } é Linearmente Dependente, ousimplesmente LD, se existir um deles que é combinação linear dos demais. Caso istonão ocorra, o conjunto de vetores é chamado de Linearmente Independente ( LI ). Istoimplica dizer que {u1 , u2 , ... , un } é um conjunto linearmente independente se esomente se a combinação linear a1u1 + a2u2 + ... + anun = 0 tem com única soluçãotodos os coeficientes ai iguais a zero. Equivale a dizer que se a combinação lineara1u1 + a2u2 + ... + anun = 0 admitir alguma solução não-trivial, então o conjunto devetores {u1 , u2 , ... , un } é LD.

Exemplos.11. O conjunto { ( 1,2 ) , (2,4) } é LD, pois ( 2,4) = 2*(1,2) . Equivale a escrever

2(1,2) – 1(2,4) = (0,0). Ou seja, seu1=(1,2) ,u2=(2,4) e0=(0,0), temos a solução a1=2e a2=–1, de modo que a1u1 + a2u2 = 0.


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32

12. O conjunto { ( 1,0) , (0,1) } é LI, pois ( 1,0)≠ k*(0,1) , para qualquer valor de k.A única solução da combinação a1(1,0) + a2(0,1) = (0,0) é a solução trivial, isto é,a1=0 e a2=0.

13. O conjunto { (0,0) , ( 3,4) } é LD, pois (0,0) = 0*(3,4). Neste caso, temos acombinação a1(0,0) + 0(3,4) = (0,0), para qualquer a1 ≠ 0.

14. O conjunto { (1,0,0) , (0,1,0), (3,4,0) } é LD, pois (3,4,0) = 3*(1,0,0) + 4*(0,1,0).

Observação: a multiplicação 3*(1,0,0) será escrita daqui por diante como 3(1,0,0), porsimplicidade.

Critério prático: para determinar se um conjunto de n vetores {u1,u2,...,un} do Rn éLI ou LD, usamos o determinante D = det(u1,u2,...,un). Se D ≠ 0 , então o conjunto éLI; do contrário , é LD, isto é, um deles é combinação linear dos demais. No casoparticular de dois vetores, um conjunto {u1, u2 } é LD se e somente se existe umaconstante k tal que u1 = ku2. Porém, para um conjunto de m vetores do Rn, com mdiferente de n, este critério prático não funciona, e devemos usar a definição.

Exemplos.

15. { ( 1,1) , (–1,1) } é LI ou LD ?

Solução:1111 −

= 2 , logo, o conjunto {(1,1), (–1,1)} é LI. Isto significa que os

dois vetores não são colineares. Nenhum dos dois vetores é múltiplo do outro.

16. { (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)} é LI ou LD ?


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33

Solução:963852741

= 0 , logo, o conjunto { (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9) } é LD. Neste caso,

isto significa que os três vetores são coplanares. Existe um vetor que é combinaçãolinear dos demais, por exemplo, (7,8,9) = 2(4,5,6) – (1,2,3).17. { (1,2,3,4), (5,6,7,8), (9,10,11,12)} é LI ou LD ?

Solução: são três vetores do R4. Usamos a definição:

a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8) + c(9,10,11,12) = (0,0,0,0)

(a,2a,3a,4a) + (5b,6b,7b,8b) + (9c,10c,11c,12c) = ( 0,0,0,0 )

( a + 5b + 9c, 2a + 6b + 10c, 3a + 7b + 11c, 4a + 8b + 12c ) = ( 0, 0, 0, 0)

Igualando as coordenadas correspondentes, resulta o sistema:

=++

=++

=++

=++

0c12b8a40c11b7a30c10b6a2

0c9b5a

Multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo da segunda equação, a segundaequação fica : – 4b – 8c =0. Logo, b = – 2c. Substituindo na primeira equação, resultaa = c. Assim, uma solução possível é c = 1, b = – 2, e a = 1. Logo:

1*(1,2,3,4) + (–2)*(5,6,7,8)+1*(9,10,11,12) = (0,0,0,0).

Conclusão: o conjunto de vetores { (1,2,3,4), (5,6,7,8), (9,10,11,12)} é LD (Linearmente Dependente ) . Uma combinação linear entre os vetores é a seguinte :

1*(1,2,3,4) + 1*(9,10,11,12) = 2*(5,6,7,8) .


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34

Exercícios. Nos exercícios de 1 até 8, verifique se os conjuntos são LI ou LD. Caso oconjunto seja LD, tente identificar uma combinação linear entre os vetores, como noexemplo 16.

1. { ( 1, 1 ) , ( 5,5 ) }

2. { ( 2, 3 ) , (–1, 4) }

3. { ( 0,0 ) , ( 2, 5) }

4. { ( 1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) }

5. { (1,1,4,6) , (5,6,8,9) , (–18, –22 , –24 , – 24)}

6. { (3,1,–1),(1,–2,1),(11,–7,–1) }

7. { ( 1,2,5, 10) , ( 0,0,0,0)}

8. {( 1,1) , (–2,–2) }

9. Determinar o valor de m para que o conjunto de vetores {(1,2), ( 3, m)} seja LI.

10. Determinar o valor de m para que o conjunto de vetores {(1,2,4),(3,4,5),(1,0,m)}seja LI.

11. Dados os vetoresu=(1,2) ev=(4,2), represente graficamente os vetoresu+v e u–v.


1. { ( 1, 1 ) , ( 5,5 ) } é LD, pois (5,5) = 5(1,1).

2. { ( 2, 3 ) , (–1, 4) } é LI, pois se fizermos a(2,3) + b(–1,4)=(0,0), resulta

(2a, 3a) +( –b,4b)=(0,0) , ou seja , ( 2a –b, 3a +4b) =(0,0). Temos o sistema

=+

=−

0b4a30ba2

, cuja solução única é a= 0 e b=0, pois 04312

≠−

. Logo, o

conjunto { ( 2, 3 ) , (–1, 4) } é LI( Linearmente Independente ).3. { (0,0) , (2,5) } é LD , pois (0,0) = 0(2,5).

4. { ( 1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) } é LI, pois001011111

= – 1. Analogamente ao exercício

2, se fizermos a combinação linear

a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) = (0, 0 , 0 ), resulta

(a,a,a ) + (b,b,0) + (c,0,0) = (0 , 0, 0) , isto é :


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35

(a + b + c, a + b , a) = ( 0,0,0) , ou seja , o sistema

=

=+

=++

0a0ba

0cba .

A terceira equação implica a = 0; substituindo na segunda equação, vem b = 0; daprimeira equação, já que a = 0 e b = 0, resulta c = 0. Portanto, como a únicasolução deste sistema é a solução trivial, o conjunto { ( 1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) } éLI. De fato, tal conclusão segue da regra prática, uma vez que o determinante do

sistema de equações é001011111

= – 1. Lembremos que, pela regra de Cramer, se o

determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero, o sistema tem soluçãoúnica.

5. Suponhamos uma combinação linear igual ao vetor nulo do R4:

a(1,1,4,6) + b(5,6,8,9) + c(–18,–22, –24 , –24) = ( 0,0,0,0)

( a,a,4a,6a ) + ( 5b,6b,8b,9b) + ( –18c, – 22c, – 24c, –24c) = ( 0, 0, 0, 0 )

( a + 5b–18c , a + 6b–22c, 4a+8b–24c, 6a +9b –24c) = ( 0, 0 , 0 , 0 )

Igualando as coordenadas, resulta o sistema homogêneo:

=−+

=−+

=−+=−+

0c24b9a60c24b8a40c22b6a0c18b5a

Subtraindo as duas últimas equações, resulta –2a – b = 0, ou seja, b = – 2a.Substituindo na 1ª equação, resulta: a + 5(–2a) – 18c = 0, o que implica a = – 2c, e c∈ R. Portanto, escolhendo c = 1, resulta a = – 2, e b = 4. Portanto, o conjunto devetores dados {(1,1,4,6),(5,6,8,9),(–18, –22,–24, –24)} é linearmente dependente. Defato, a igualdade –2 (1,1,4,6) + 4 (5,6,8,9) + 1(–18, –22 , –24 , – 24) = (0,0,0,0)significa que podemos escrever um dos vetores como combinação linear dos demais.Por exemplo: (–8,–22,–24, –24) = 2(1,1,4,6) – 4(5,6,8,9).

6. { (3,1,–1),(1,–2,1),(11,–7,–1) } é LI, pois111721

1113

−−

−− = 24.

7. { ( 1,2,5, 10) , ( 0,0,0,0)} é LD, pois (0,0,0,0)= 0*(1,2,5,0)

8. {( 1,1) , (–2,–2) } é LD, pois (–2,–2) = –2*(1,1).


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37

CA LO 5. E A O E O IAI

Neste capítulo, é dada uma noção intuitiva de espaço vetorial, sem a formalizaçãousual. São vistos exemplos de subespaços vetoriais do R2 e do R3, que são maissimples e podem ser representados geometricamente. O conceito de base éintroduzido, com exemplos de representação com o uso da base canônica e de outrasbases do R2 e R3.

Espaços gerados. Suponhamos que V seja um espaço vetorial e B = {v1, v2 ,...,vn }⊂ V é um conjunto de vetores linearmente independentes, então o conjunto de todasas combinações lineares dos vetores de B é um subespaço vetorial de V, gerado por B.Isto é, o espaço gerado por B é o conjunto {a1v1+ a2v2 + ... + anvn / ai ∈ R}. Esteconjunto é um subespaço vetorial de V, com dimensão igual a n.

Exemplo 1. Sejam V = R2 e B = { ( 1,2 ) }.

O conjunto de todos os vetores múltiplos ou combinações lineares do vetor (1,2) é areta que passa pela origem com equação y = 2x. Esta reta é um subespaço vetorial doR2, de dimensão 1.

Figura 3. A reta y = 2x é um subespaço vetorial do R2 de dimensão 1.

Exemplo 2. V = R3

B = { (1,0,0) , (0,1,0) }


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O conjunto de todos os vetores que são combinações lineares dos vetores (1,0,0) e(0,1,0) é um plano contido no R3, em que cada vetor tem a terceira coordenada nula.Este plano é um subespaço vetorial do R3, de dimensão 2.

Figura 4. O plano xOy é um subespaço vetorial do R3 de dimensão 2.

Base. Um conjunto B={v1,v2,...,vn} de vetores de um espaço vetorial V é chamado debase de V se é Linearmente Independente e se gera V. Isto é, todo vetor de V é umacombinação linear do conjunto de vetoresv1,v2,...,vn e os vetores são LI.

Exemplo 3. V = R2.

B = { (1,0), (0,1) } é a base canônica do R2

De fato: B = { (1,0), (0,1) } é LI , pois1001

= 1≠ 0 e B gera o R2, pois qualquer

vetor (x,y) é combinação linear dos vetores (1,0) e (0,1): (x,y) = x(1,0) + y(0,1).

Em particular: (3, 4) = 3(1,0) + 4(0,1)

Exemplo 4. V = R2.

B = { (1,1), (–1,1) } é uma base do R2


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De fato, B= { (1,1), (–1,1) } é LI , pois1111 −

= 2 e todo vetor (x,y) é combinação

linear dos vetores de B. Por exemplo, expressar o vetoru=(1,5) nesta base.

Solução: (1,5) = a(1,1) + b( –1,1)

(1,5) = (a–b, a + b)

Resulta o sistema :=+

=−

5ba1ba

. Somando as duas linhas do sistema, resulta: 2a = 6 ,

logo a = 3 . Da segunda equação, vem : b = 5 – 3 = 2.

Conclusão: (1,5) = 3(1,1) + 2(–1,1) . Logo, as coordenadas do vetor (1,5) na baseB={(1,1),(–1,1)} são 3 e 2. Resumindo: na base canônica {(1,0),(0,1)}, temosu =(1,5). Na base B={(1,1), (–1,1)}, temosu=(3, 2) .

Figura 5. Uma combinação linear no R2.

Analogia: na base 10, o número doze é escrito como 12 ( 1 dezena mais duas unidades); na base 2, o número 12 é representado pelos símbolos 1100.

Base 10 : 12= 1*10 + 2*100

Base 2 : 11002 = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 = 12

Exemplo 5. V = R3

B = { (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) } é a base canônica do R3

=3 1+2

2 3 1


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De fato, B é um conjunto LI, pois100010001

= 1 e todo vetor (x,y,z) do R3 é uma

combinação linear dos vetores do conjunto B: (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)

Em particular: (3,4,5) = 3(1,0,0) + 4(0,1,0) + 5(0,0,1)

Exemplo 6. V = R3

B = { (0,2,0), (3,0,3),(– 4,0,4)} é base do R3.

De fato, B é um conjunto LI, pois430002430 −

= – 48. Todo vetor do R3 é uma

combinação linear destes três vetores.

Exercício. Determinar as coordenadas do vetorv=(3,4,5) na base B do exemplo 6.

Solução : (3,4,5) = a(0,2,0) + b(3,0,3) + c(–4,0,4)

(3,4,5) = (0,2a,0) + (3b,0,3b) + (–4c,0,4c)

(3,4,5) = (3b–4c, 2a , 3b+4c)

Equivale ao sistema :=+

=

=−

5c4b34a2

3c4b3

Logo: a = 2 , b = 4/3 e c= ¼

Isto é, na base B, as coordenadas do vetorv são (2, 4/3, 1/4) ,isto é,

(3,4,5) = 2(0,2,0) +34 (3,0,3) +

41 (– 4, 0 , 4) .

Produto Escalar. O produto escalar de dois vetores (do Rn) u= (u1,u2,..,un) e

v=(v1,v2,...vn) é vu ⋅ = ∑=n

1iiivu = u1v1 + u2v2 +...+ unvn.

No Matlab, o produto escalar é calculado deu e v é calculado pelo comando dot(u,v).Uma aplicação do produto escalar é a detecção de erros em código de barras,conforme artigo publicado na revista Revista do Professor de Matemática, número 68.

Exemplo 7. Calcular o produto escalar dos vetoresu =(1,2) ev = (3,5).

Solução: vu ⋅ = 31⋅ + 52 ⋅ = 3 + 10 = 13.

Exemplo 8. Calcular o produto escalar dos vetoresu =(1,2, –1) ev = (0,3,5).

Solução: vu ⋅ = 01⋅ + 32 ⋅ + 5)1( ⋅− = 0 + 6 – 5 = 1.


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41

Vetores Ortogonais. Dois vetoresu e v são ortogonais se vu ⋅ = 0.

Exemplo 9. Os vetoresu = (1,1) ev = (–1,1) são ortogonais, pois vu ⋅ = )1(1 −⋅ +11⋅ = –1 + 1 = 0. Os vetores do exemplo 8 não são ortogonais. Geometricamente, dois

vetores do R2 ( ou do R3 ) são ortogonais se o ângulo entre eles for igual a 90o.

Exemplo 10. Os vetoresu = (1, 2 , 3) ev = ( 1,1,0) não são ortogonais, poisvu ⋅ =1*1 + 2*1 + 3*0 = 3 . Como o produto escalar entreu e v não é igual a zero, osvetores não são ortogonais.

Conjunto Ortogonal. Um conjunto M={v1,v2,...,vn} de um espaço vetorial V éortogonal se 0vv ji =⋅ , para cada par i , j, com i≠ j. Por exemplo, o conjuntoM={(1,–1,0), (2,2,4), (4,4,–4) } é ortogonal. A verificação fica a cargo do leitor.

Base Ortogonal. Uma base B={v1,v2,...,vn} de um espaço vetorial V é ortogonal se0vv ji =⋅ , para cada par i , j, com i≠ j.

Exemplo 11. As bases canônicas do R2 e do R3 são ortogonais.

Exemplo 12. A base B = { (1,1), (–1,1) } é uma base ortogonal do R2.

Normalização de um vetor.Dado um vetoru = (u1,u2,...un) do Rn, o módulo deu édado por |u | = 2n2221 u...uu +++ . Se | u | = 1, entãou é um vetor unitário. Todo

vetoru com módulo não-nulo pode ser normalizado, fazendo-sev =|u|

u . No Matlab,

o módulo deu é calculado através de norm(u).

Exemplo 12.u = (3,4)

Módulo deu : |u | = 22 43 + = 25 = 5.

| u | = 5.

Versor deu : v =|u|

u =5

)4,3( (3/5 , 4/5 ) . Observe que |v | = 1.

O vetorv = ( 3/5, 4/5), chamado de versor deu, é um vetor unitário que tem a mesmadireção deu.

Base Ortonormal. É uma base ortogonal formada por vetores unitários.

Exemplo 13. B = { (1,1) , (–1,1) } é uma base ortogonal, mas não é ortonormal, poiscada vetor da base B tem módulo igual a2 ; a base B’ = { ( 1/ 2 , 1/ 2 ) , ( –1/ 2 , 1/ 2 ) } é uma base ortonormal do R2. No Matlab, obtemos | (1,1) | = | (–1,1) |= 1.4142. Logo, a base ortonormal é B’ = { (0.7071, 0.7071) , (–0.7071, 0.7071)} .

Exemplo 14. O conjunto {(–1,2,3), (2,–2,2)} é LI. Acrescentar um terceiro vetor a

este conjunto para que ele se transforme numa base ortogonal do R3

. Obter uma baseortonormal do R3.


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42

Solução: procuramos um vetor v = (a,b,c) do R3 tal que

0)3,2,1()c,b,a( =−⋅

0)2,2,2()c,b,a( =−⋅

Equivale ao sistema : –a + 2b + 3c = 0

2a – 2b + 2c = 0

Somando as duas equações , resulta:

a + 5c = 0, logo, a = –5c.

Substituindo na primeira equação, resulta: b = – 4c. Se c = 1, então a = –5 e b = –4.Ovetor é v = (–5,– 4,1).

Verificação: =−⋅−− )3,2,1()1,4,5( 5 + (–8) + 3 = 0=−⋅−− )2,2,2()1,4,5( –10 + 8 + 2 = 0

Assim, uma base ortogonal do R3 é o conjunto

B = {(-1,2,3), (2,-2,2), (–5,–4,1)}.

Para obter uma base ortonormal do R3, basta dividir cada vetor de B pelo seu módulo.Assim, uma base ortonormal do R3 é o conjunto

B’={(-0.2673,0.5345,0.8018),(0.5774,–0.5774,0.5774),(–0.7715,–0.6172,0.1543)}

Cada vetor do conjunto B’ é unitário e os vetores são ortogonais dois a dois. Na partefinal deste capítulo, vamos mostrar duas aplicações do produto escalar.


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u.w = 7*1 + 8*3 + 9*1 + 7*3 + 4*1 + 2*3 + 4*1 + 0*3 + 0*1 + 9*3 + 1*1 + 1*3 + x=

u.w = 7 + 24 + 9 + 21 + 4 + 6 + 4 + 0 + 0 + 27 + 1 + 3 + x = 106 + x

Logo, devemos ter x = 4, pois 110 é múltiplo de 10.

Aplicação 2. O código ISBN ( International Standard Book Number )Os livros editados recentemente são identificados por um código, chamado ISBN, queque tem dez dígitos, representados por a1a2...a9a10. Os primeiros nove dígitosidentificam o país de origem, a editora, e outras informações sobre o livro. O décimodígito, chamado de dígito de verificação é calculado usando também o produtoescalar, análogo ao do código de barras, da seguinte forma:

Suponhamos que o ISBN de um livro seja a sequencia a1a2...a9a10. Definimoso vetor u=(a1 , a2 , ... , a9). O vetor de pesos do sistema ISBN é o vetorw =(1,2,3,4,5,6,7,8,9). Fazemos o produto escalar do vetoru pelo vetorw. Resulta:

u.w = a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6 + 7a7 + 8a8 + 9a9

Agora, divide-se este resultado pelo número 11. O resto da divisão é o décimodígito. Caso o resto seja igual a dez, o dígito é x.

Exemplo 3. O livro ANTON, H. Álgebra Linear Contemporânea tem ISBN 85 3630615 7. Verificar se está correto.

Solução: u = (8, 5, 3, 6, 3, 0, 6, 1, 5 )

w =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) é o vetor de pesosu.w = 8*1 + 5*2 + 3*3 + 6*4 + 3*5 + 0*6 + 6*7 + 1*8 + 5*9 = 161.

Dividindo 161 por 11, obtemos 14 e resto 7. Portanto, o último dígito é 7, oISBN está correto.

Exemplo 4. O livro STEWART,Cálculo, Volume 1, tem ISBN igual a 852 110484 0.Verificar se está correto.

Solução: u = (8, 5, 2, 1, 1, 0, 4, 8, 4 )

w =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) é o vetor de pesosu.w = 8*1 + 5*2 + 2*3 + 1*4 + 1*5 + 0*6 + 4*7 + 8*8 + 4*9 = 165

Como 165 é um múltiplo de 11, o último dígito é igual a 0. Portanto, o ISBN dadoestá correto.

Exemplo 5. Calcular o dígito de verificação do ISBN do livro KREYSZIG, Matemática Superior , Vol. 3, sabendo que os primeiros nove dígitos são 85 216 0355.

Solução: u = (8, 5, 2, 1, 6, 0, 3, 5, 5 )

w = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) é o vetor de pesos


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u.w = 8*1 + 5*2 + 2*3 + 1*4 + 6*5 + 0*6 + 3*7 + 5*8 + 5*9 = 164

Divide-se 164 por 11. O resultado é igual a 14, com resto igual a 10. Logo, odígito de verificação é X.

Exercícios.1.Calcular as coordenadas do vetorv=( 3, 5) na base B={(1,2),(–2,1)}.

2. Dado o vetorvB = (2, –2, –1) na base B={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} expressar estevetor na base canônica do R3 .

3. Verificar se o conjunto B={(1,1,3),(2,3,6),(3,4,9)} é ou não base do R3.

4. Verificar se o conjunto B = {(1,1,1,3),(0,0,1,–4),(1,0,5,9),(1,0,9,4)} é ou não basedo R4. Calcular as coordenadas do vetor (6, 2, 33, 31) na base B.

5. Verificar se o conjunto B = {(0,0,1,–4),(1,0,5,9),(1,0,9,4)} é LI ou LD.6 . O conjunto B={(1,1,1),(–1,1,0)} é LI. Adicionar um terceiro vetor não-nulo a esteconjunto de modo que o conjunto resultante seja ortogonal.

7. Normalizar o conjunto B ={(1,2),(–2,1)}.

8. Calcular as coordenadas do vetorv=(7,7,7) na base B={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}.

9. Calcular as coordenadas do vetorv=(2,6) na base B={(1,1),(–1,1)} . Representargraficamente.

:1. Suponhamos (3,5) = (1,2) + ( 2,1)

(3,5) = ( , 2 ) + ( 2 , ) =

(3,5) = ( 2 , 2 + )

Igualando as coordenadas, resulta o sistema :

2 =3

2 + = 5Cuja solução é a = 2.6 e b = – 0.2 . Assim, as coordenadas do vetorv= (3,5) na B={(1,2) , (–2,1)} são (2.6 , – 0.2). NotaçãovB = ( 2.6 , –0.2 )

. = 2(1,1,1) 2(1,1,0) 1(1,0,0) = ( 2,2,2) (2,2,0) (1,0,0) = ( 1,0,2)

. O conjunto B não é base do R3, pois é um conjunto Linearmente Dependente, jáque o determinante formado pelos vetores é igual a zero. Observe que = 1 + .

. Primeiro, devemos mostrar que o conjunto é Linearmente Independente. A

M formada pelos vetores tem det(M) = 11. Logo, o conjunto é LI. Como a dimensão


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do espaço vetorial 4 é igual a 4, este conjunto é uma base. As coordenadas do vetorv na base B são = ( 2 , 1, 1 , 3) .

. Se o conjunto for LD, então deve haver uma combinação linear entre os vetores,por, exemplo : (0,0,1, 4) = (1,0,5,9) + (1,0,9,4)

(0,0,1, 4) = ( ,0 ,5 , 9 ) + ( ,0 , 9 ,4 )

(0,0,1, 4) = ( + , 0, 5 +9 , 9 +4 )

Igualando as coordenadas correspondentes, resulta o sistema :

+ = 0 5 +9 =1 9 +4 = 4

Como este sistema não tem solução, significa que o conjunto de vetores é LI(Linearmente Independente).

. Suponhamos que o terceiro vetor seja o vetor ( a, b, c ) . Para que o conjunto sejaortogonal, o produto escalar deve ser igual a zero, entre cada par de vetores diferentes.Assim: (1,1,1)(a,b,c) = 0 e (–1,1,0)(a,b,c) = 0. Desenvolvendo o produto escalar,resulta: a + b + c = 0 e –a + b = 0 . O sistema acima tem a solução b = a , c = – 2a,onde a ∈ . Escolhendo a = 1, resulta b = 1 e c = –2. Assim, o conjunto resultante é B= {(1,1,1),(–1,1,0),(1,1,–2)}.

. B . O B = (0.4472, 0, ( 0.8944, 0.4472) .

. Devemos supor (7 , –7 , 7 ) = a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0)}, e resolver o sistemacorrespondente.Montando e resolvendo o sistema, resulta a = 7, b = – 14, c =14. Assim, ascoordenadas de na base B são =(7, 14, 14.).

. Analogamente ao exercício 8, chegamos a = ( 4,2) .

2

4 1


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CA LO 6. AN FO MA E LINEA E EE E EN A O MA ICIAL

Sejam V e W espaços vetoriais; T: V→ W é uma transformação linear se T satisfazas duas seguintes propriedades:

i) T (u + v ) = T(u) + T(v) , para quaisqueru e v ∈ V

ii) T(au) = aT(u) , para qualquer a∈ R eu ∈ V.

Exemplo de uma transformação linear T : R→ R , onde T(x) = 2x .

Neste exemplo, estamos considerando o conjunto dos números reais como umespaço vetorial. A transformação é definida por T(x)=2x. Assim, T(x+y)=2(x+y) = 2x + 2y = T(x) + T(y) e T(ax)=2(ax)=a(2x)=aT(x). Logo, T é uma

transformação linear.Exemplo de uma transformação não-linear. T: R→ R, onde T(x) = 2x + 3.

Para mostrar que esta transformação não é linear, basta mostrar um par devetores de R para os quais T(x+y)≠ T(x)+T(y).Por exemplo, x = 2 e y = 4;T(2 + 4) = T(6) = 15 e T(2)+T(4) = 7+11= 18.

Assim, T(2+4)≠ T(2) + T(4). Logo, esta transformação não é linear.

Propriedade de uma transformação linear. Se T: V → W é uma transformaçãolinear do espaço vetorial V no espaço vetorial W, então T(0) = 0. Assim, no exemplo2, como T(0) = 3, T não é uma transformação linear, de acordo com a definiçãoacima.

Representação matricial de uma transformação linear

Uma transformação linear T: Rn → Rm pode ser representada na base canônica poruma matriz Amxn. Neste texto, sempre serão consideradas as bases canônicas do Rn.

Notação: A ou [T].

Assim, se A é a matriz que representa a transformação linear T, o cálculo de T no

vetorv equivale a multiplicação matricial de A porv, ou seja, : T(v)=Av.Exemplo 1. T: R2 → R3 definida por T(x,y)=(x+y, x–y, 2x); calculando a imagemdos vetores da base canônica, obtemos T(1,0)=(1,1,2) e T(0,1)=(1,–1,0), logo a matriz

de T é a matriz A =

2x30211

11− . Nesta notação, a transformação T(v) é interpretada

como a multiplicação de A pelo vetorv=

yx :


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49

T(x,y)=T(x(1,0) + y(0,1))=xT(1,0)+yT(0,1)=x(2,5)+y(–4,1)

T(x,y)=( 2x – 4y, 5x+y)

A matriz de T é a matriz A = −

15

42. Observe que as colunas da matriz A são as

imagens dos vetores da base canônica. Esta propriedade vale em geral.

Exemplo 6.Dada a transformação T do exemplo 2, calcular a lei da transformaçãolinear L: R2 → R2 , dada por L(x,y)= T10(x,y).

Solução: A matriz de T é A =2431

.

Calculando A10, resulta A10=55807965579772

41848294185853. Logo, a lei da transformação é

L(x,y)=(4185853x+4184829y, 5579772x+5580796y) .

Exemplo 7. A transformação T que efetua uma rotação do plano por um ângulo θ ( em

radianos2 ) é representada pela matriz T= −

)cos()sin()sin()cos(

θ θ

θ θ . Por exemplo, a

rotação do plano de um ângulo de 45º é dada pela matriz −

cos(pi/4)sin(pi/4)sin(pi/4)cos(pi/4)

. Se

u=(1,0), então a imagem de u é o vetor v=T*u == +−

0)4 / sin(0)4 / cos(

π

π

= 2 / 22 / 2

.,

representados graficamente na figura abaixo.

2 π 1800 . , =180xπ .

θ


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50

6.1. AN FO MA E LINEA E LANA

É apresentado um estudo das principais transformações lineares planas, e suarepresentação matricial na base canônica. A imagem de algumas figuras geométricas éobtida, e os cálculos são realizados no Matlab.

1. Simetria em relação ao eixo x T(x,y) = (x,–y ). A matriz é T=− 1001

.

Para visualizar a simetria no plano, fazemos no Matlab o polígono com vértices nospontos (0,1), (2,1), (2,2), (1,2) , (1,4), (0,4) e (0,1). Cada vértice corresponde a umvetor do plano. Para tanto, são criados dois vetores: o vetor x contando as abscissas eo vetor y contendo a ordenada de cada ponto. Os pontos (0,0) e (4,0) são tambémesboçados na figura para deslocar a origem do sistema. Para aplicar a transformação Tno polígono, definimos a matriz T, criamos a matriz M=[x;y], calculamos o produto

N=T*M, que equivale a calcular a transformação em cada vetor. Após, é selecionadaa primeira linha de N, que define x1, e a segunda linha de N, que define y1. Asposições correspondentes de x1 e y1 são os vértices do polígono resultante datransformação linear.

>> x=[0,2,2,1,1,0,0];

>> y=[1,1,2,2,4,4,1];

>>x2=[0,4];y2=[0,0];

>> plot(x,y,x2,y2)

>> T=[1 0 ; 0 -1];

>> M=[x;y];

>>N=T*M

>>x1=N(1,:);y1=N(2,:);

>> plot(x,y,x1,y1,x2,y2)


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51

Para visualizar somente o polígono transformado, executar o comando >>plot(x1,y1).

2. Expansão ( oucontração ) uniforme T(x,y) = (ax, ay).

Por exemplo, com a = 2, T(x,y) = (2x, 2y). A matriz é T =2002

.

Neste exemplo, vamos calcular a imagem do quadrado unitario por esta transformaçãolinear, com a seguinte sequencia de comandos no Matlab:

>> x=[0,1,1,0,0];

>> y=[0,0,1,1,0];

>> T=[2 0; 0 2];

>> M=[x;y]

>>N=T*M

>>x1=N(1,:);y1=N(2,:);

>> x2=[0,2];y2=[0,0];

>> plot(x,y,x1,y1,x2,y2)


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52

3.

Reflexão na origem T(x,y) = ( –x, –y ). A matriz é T= −−

10

01

.

A sequencia de comandos para visualizar o efeito no quadrado unitario é :

>>x=[0,1,1,0,0];

>> y=[0,0,1,1,0];

>> T=[–1 0; 0 –1];

>> M=[x;y]

>>N=T*M

>> x1=N(1,:);y1=N(2,:);

>> plot(x,y,x1,y1)

4. Rotação de um ânguloθ ( no sentido antihorario )


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53

T(x,y) = (xcosθ – ysenθ , xsenθ ysenθ )

A matriz de T é T= ( ) ( )

( ) ( ) −

θcosθsinθsinθcos

.

Um caso particular é a rotação deπ /4 rad, no sentido antihorario.>>x=[0,1,1,0,0];

>> y=[0,0,1,1,0];

>> T=[cos(pi/4) –sin(pi/4); sin(pi/4) cos(pi/4)];

>> M=[x;y]

>>N=T*M

>> x1=N(1,:);y1=N(2,:);>> plot(x,y,x1,y1)

5. Cisalhamento horizontal de fatorα : T(x,y) = ( x+α y , y)

Por exemplo, comα =2, T(x,y) = ( x + 2y , y ). A matriz é T=1021

.

>>x=[0,1,1,0,0];

>> y=[0,0,1,1,0];

>> T=[1 2;0 1];


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54

>> N=T*M

N = 0 1 3 2 0

0 0 1 1 0

>> x1=N(1,:);y1=N(2,:);

>> plot(x,y,x1,y1)

6. Composição: Rotação antihoraria deπ /4 seguida de uma dilatação de fator 2.Temos:

T1= ( ) ( )

( ) ( ) −

pi/4cospi/4sinpi/4sinpi/4cos

matriz da rotação deπ /4

T2= 2002

matriz da dilatação de fator 2

T= T2T1 = 2002 ( ) ( )

( ) ( ) −


=( ) ( )

( ) ( ) −



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55

.

1. Seja T: R2 → R2 a transformação linear T(x,y)= (2x+2y,–x+5y). Calcule T(0,0),T(1,1) , T(T(2,4)). Deduza uma regra prática para calcular T(T(x,y)).

2. Seja T: R2 → R2 a transformação linear T(x,y)= (2x+2y,–x+5y). Calcule osvetoresv=(x,y) tais que T(x,y)=(0,0).

3. Sejam T1: R2 → R2 , T1(x,y)= (2x+2y,–x+5y) e T2: R2 → R2 , T2(x,y)= (x+y,x–2y). Calcule T1(T2(3,4)) ; calcule T2(T2(3,4)); calcule T2(T2(T2(T2(3,4)))). Qual amaneira mais rápida de efetuar este cálculo ?

4. Seja T: R2 → R2 dada por T(x,y) = (x+2y, y) . Calcule T(0,0),T(1,0), T(1,1) eT(0,1).

5. A transformação que efetua uma rotação de um ânguloθ ( no Matlab, deve ser dado

em radianos3 ) no R2 é representada pela matriz A =θθ

θ−θ

)cos()sin()sin()cos(

. Calcule a

imagem do vetoru=(3/5, 4/5) por uma rotação de 600 do plano. Representageometricamente. Compara o módulo deu com o módulo de T(u).

3 π 1800 . , =180xπ

.


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56

.A matriz A = θθθ−θ

1000)cos()sin(0)sin()cos(

é uma transformação linear do R3 no R3 que

representa uma rotação em torno do eixo z por um ânguloθ .

a) Se u = ( 2, 0, 4) , qual a imagem deu por uma rotação de 900 em torno do eixo z ?Calcule no Matlab e represente graficamente no R3. Calcule o módulo de T(u) ecompare com o módulo deu.

b) Seu = ( 1, 0 , 1) , qual a imagem deu por uma rotação de 450 em torno do eixo z ?Calcule no Matlab e represente graficamente no R3. Calcule o módulo de T(u) ecompare com o módulo deu.

7. Seja T: R3 → R3 dada pela matriz A=−

−

7 / 37 / 67 / 27 / 27 / 37 / 67 / 67 / 27 / 3

. Calculew=T(1,2,3)

e compare | (1,2,3) | e | T(1,2,3) |. O que observa ?

8. Seja T: R3 → R3 , uma transformação linear tal que T(1,0,0)=(2,3,4), T(0,1,0)=(1,–1,2) e T(0,0,1)=(–1,2,0). Calcule a matriz de T e T(3,4,5).

Exercícios sobre transformações planas. Nos exercícios 1 até 3 abaixo, determinar amatriz da transformação plana que satisfaz as propriedades dadas em cada item. Fazero gráfico da imagem do quadrado unitário para cada Transformação Linear:

1. T(1,0) = (–2,0) e T(0,1) = ( 0,–1).2. T(1,0) = (1,1) e T(0,1) = (0,1)

3. T(1,0) = (–2 2 ; 2 ) e T(0,1) = ( – 2 ; –2 2 )

Nos exercícios 4 até 6, a transformação linear é descrita através de suas propriedades.Determine a matriz da transformação.

4. T é uma contração de fator 1/2 seguido de um cisalhamento de horizontal defator 3.

5. T é uma dilatação de fator 3, seguido de uma rotação deπ /2 radianos, seguidade um cisalhamento horizontal de fator 1.

6. T é uma transformação em que o vetor (1,0) é um autovetor com autovalorλ =3 e o vetor (0,1) é um autovetor com autovalorλ =1.

Nos exercícios 7 até 10, aplique a transformação no polígono dado e represente aimagem graficamente.

7. Polígono com vértices nos pontos (1,0), (1,4), (3,4), (3,5), (–3,5) , (–3,4),(–1,4), (–1,0) e (1,0). Obtenha a imagem deste polígono pela aplicação de umcisalhamento de fatorα =1.


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8. Polígono com vértices nos pontos (0,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,3),(0,3),(0,0).Obtenha a imagem deste polígono pela aplicação de uma rotação antihorariade 60o.

9. Polígono com vértices nos pontos (0,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,3),(0,3),(0,0).

Obtenha a imagem deste polígono pela aplicação de uma rotação antihorariade 60o, seguida de um contração de fator 1/2.

10. Polígono com vértices nos pontos (0,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,3),(0,3),(0,0).Obtenha a imagem deste polígono pela aplicação de uma rotação antihorariade 60o, seguida de um contração de fator 1/2, seguida de um cisalhamento defatorα =3.

Respostas dos exercícios ( Transformações Lineares ):

1.T(0,0) = (0,0) ; T(1,1)=(4,4) ; T(T(2,4))=(60,78)

2. O único vetor cuja imagem é o vetor nulo é o vetor nulo.

3. T1(T2(3,4))=( 4, –32) ; T2(T2(3,4)) =(2, 17); T24(3,4)=(–13,83) Se A é a matriz deT, basta fazer A4 multiplicado poru=(3,4).

4. T(0,0)=(0,0) , T(1,0) = (1,0) , T(1,1)=(3,1) e T(0,1)=(2,1).

5. A matriz de T é a matriz −

)3 / cos()3 / sin()3 / sin()3 / cos(

π π

π π ;

u = ( 0.6 , 0.8). T(u)=(–0.3928 , 0.9196); |u | = 1 e | T(u) | = 1.

6. a)u = (2,0,4) ;v=T(u)= (0,2,4) , |u | = |v | = 4.4721

b) u = (1,0,1) ;v = T(u) = (0.7071 , 0.7071, 1). |u | = |v | = 1.4142.

( 0.39 , 0.9)(0.6 , 0.8)

x


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58

Solução do item a. Solução do item b.

7. . Seja T: R3 → R3 dada pela matriz A=−

−

7 / 37 / 67 / 27 / 27 / 37 / 67 / 67 / 27 / 3

. Calcule

w=T(1,2,3) = ( 3.5714 , 0.8571 ; 0.7143 ) . Vemos que |u | = 3.74 e | T(u) | = 3.74.

8. A matriz de T é a matriz [T]= −−

024213112

e T(3,4,5)=( 5 , 15 , 20).

(0.7, 0.7, 1)(1,0,1)

(0,2,4)(2,0,4)


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CAPÍTULO 7. AUTOVALORES E AUTOVETORES

Definição de autovalor e autovetor. Seja T: Rn

→ Rn

uma transformação linear. Seexiste um vetor não-nulov tal que T(v)=λ v, para algum escalarλ , entãoλ é dito umautovalor da transformação linear e cada vetor não-nulov tal que T(v)= λ v é dito umautovetor da transformação linear, associado aλ . Como a cada Transformação LinearT: Rn → Rn corresponde uma matriz Anxn que a representa, os valores deλ e v dadefinição acima são chamados também de autovalor ( valor próprio ) e autovetor (vetor próprio ) da matriz A, respectivamente.

Exemplo 1. Verificar que o vetorv=(1,1) é um autovetor da transformação T: R2 → R2 dada por T(x,y)=(2x+2y,–x+5y), associado ao autovalorλ =4.

Solução: a matriz de T é A =− 51

22 . Multiplicando porv = 11 , obtemos:

− 5122

11

=

+−

+

5122

=

44

= 4

11

.

Resumindo: T(v) = 4v, onde v=(1,1), ou equivalentemente, Av = 4v.

Figura 6. O vetorv=(1,1) . Figura 7. O vetor T(v) = 4v.

Exemplo 2. Verificar que o vetorv=(4,2) é um autovetor da transformaçãoT:R2→ R2 dada por T(x,y)=(2x+2y,–x+5y), associado ao autovalorλ =3.

Solução: a matriz de T é A =− 51

22 . Multiplicando porv=

24

, obtemos:

− 5122

24 =

+−+

10448 =

612 = 3

24 .

( )=4


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60

Resumindo: T(v) = 3v, ondev=(4,2), ou equivalentemente, Av=3v.

Exemplo 3. A rotação de 45o no plano xy não tem nenhum autovetor.

y y

( )


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7.1. C LC LO DO A O ALO E E A O E O E

Para o cálculo dos autovalores e autovetores de uma transformação linear T: Rn → Rnrepresentada pela matriz A, devemos resolver a equação Av= λ v, ou seja, Av = λ Iv,onde I é a matriz identidade nxn. A última igualdade equivale a equação vetorial (A–λ I)v = 0. Isto é, devemos procurar soluções não-triviais do sistema homogêneo deequações e n incógnitas (A–λ I ) v = 0 .

Para que tal ocorra, a matriz A –λ I deve ser singular ( det(A–λ I )=0 ), isto é, osautovalores da matriz A são as raízes da equação det(A- λΙ ) =0, chamada de equaçãocaracterística de A. Os autovetores associados ao autovalorλ formam o espaço-solução ou auto-espaço de A associado aλ .

Resumindo: para calcular os autovalores de uma Transformação Linear T: Rn → Rnrepresentada pela matriz A, calculamos as raízes da equação característica det(A- λ I)=0 , que é uma equação de grau n. Depois, para cada autovalor calculado, o autovetor édeterminado pela solução não-trivial do sistema (A–λ I ) v = 0 .

Exemplo 4. Calcular os autovalores da transformação linear T: R2 → R2 dada porT(x,y)=( 2x+2y,– x+5y ). Determinar os autoespaços associados.

Solução: neste caso n = 2, logo I =1001

; A=− 51

22. A equação característica é

det(A–λ I) = 0, ou seja,λ

λ −−

−51

22 = 0. Resulta: (2– λ )(5–λ )+2=0, ou seja,

λ 2–7λ + 12 = 0, donde, os autovalores sãoλ = 3 ouλ = 4.

No Matlab: para obter o polinômio característico da transformação, basta definir amatriz T e usar o comando poly(T). Os autovalores são obtidos pelo comandoroots(poly(T)).

Resultados do Matlab para o exemplo acima: T =−

51

22

poly(T) = 1 – 7 12

roots(poly(T)) = 4 3

Traduzindo: o polinômio característico de T é p(λ ) = λ 2 7λ + 12 e a equaçãocaracterística de T éλ 2 7λ + 12 = 0 ; os autovalores de T são λ = 4 λ = 3.Paraobter os autovetores, devemos calcular para cada autovalor diferente.

Para λ = 4 , o autovetorv = (x,y) ≠ (0,0) deve satisfazer T(x,y) = 4(x,y), ou seja(2x+2y,–x+5y) = ( 4x, 4y ) . Igualando as coordenadas correspondentes, resulta:

2 + 2 = 4


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62

+ 5 = 4

A solução deste sistema é 2x = 2y , isto é, x = y. Assim, todo vetor em que aprimeira coordenada é igual a segunda é um autovetor associado a λ = 4 . Porexemplo, sev = ( 2 , 2 ) , então T(v) = T(2,2) = ( 2*2+ 2*2, – 2+ 5*2) =(8,8) = 4(2,2).Portanto, o autovetor associado ao autovalorλ =4 é o autovetorv = x(1,1) , x≠ 0, ousimplesmente,v = ( 1 , 1). Se tomarmos o conjunto de todos os múltiplos do vetor(1,1) , teremos a reta y = x, que passa pela origem do R2 e é um subespaço vetorial doR2, chamado de autoespaço associado ao autovetorv = (1,1) . Um autovetornormalizado év = (

21 ,

21 ) .

Para λ = 3 , o autovetorv = (x,y) ≠ (0,0) deve satisfazer T(x,y) = 3(x,y) , ou seja,(2x+2y,–x+5y) = ( 3x, 3y ) . Igualando as coordenadas correspondentes, resulta :

2x + 2y = 3x

–x + 5y = 3y

A solução deste sistema é x = 2y. Logo,v = x (2,1) , x≠ 0 , é o autovetor associadoao autovalorλ = 3. Por exemplo, sev = ( 4,2 ) , então T(v) = T(4,2) = (2*4 + 2*2, –4+ 5*2) = ( 12, 6 ) = 3( 4,2) , isto é, T(v)=3v. O autoespaço associado é a reta que passapela origem e tem a direção do vetorv = ( 4,2) .

CÁLCULO NO MATLAB

No Matlab, os autovalores e autovetores de uma matriz T são obtidos com o comando

[ P, D ] = eig( T ) . Os autovetores são dados na forma normalizada. No exemploacima, se T = [ 2 2; –1 5] , o comando [P,D] = eig(T) resulta :

P =

–0.8944 –0.7071

–0.4472 –0.7071

D =

3 0

0 4

Interpretação: temos o autovalorλ = 3 associado ao autovetorv1 = (– 0.8944 , –0.4472 ) e o autovalorλ = 4 associado ao autovetorv2 = (– 0.7071 , – 0.7071 ).

Esta é a forma normalizada, usada pelo Matlab, onde os autovetores são unitários.

Tradução. A forma mais usual é escrever:

autovalorλ = 3 associado ao autovetorv1 = (2 , 1 )

autovalorλ = 4 associado ao autovetorv2 = (1 , 1 )


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Exemplo 5. Diagonalização

No exemplo 4, vimos que− 51

22 tem autovalorλ = 3 associado ao autovetor

v1=(–0.8944,–0.4472) e autovalorλ =4 associado ao autovetorv2=(–0.7071,–0.7071).Defina a matriz P cujas colunas são os autovetores: e calcule P–1*T*P. Oresultado é chamado de diagonalização da transformação. Significa que se tomarmoscomo base do R2 o conjunto B={v1,v2} a transformação é representada pela matriz

diagonal D=4003

. No Matlab, a matriz P é obtida diretamente com o comando

[P,D]=eig(A).

Exercícios.1. Calcule TEORICAMENTE e no Matlab os autovalores e autovetores da

transformação linear T : R2 → R2 dada por T(x,y) = ( –14x + 12y, –20x + 17y) .Calcule o polinômio característico de T, os autovetores na forma normalizada,associados a cada autovalor. Depois, escreva identificando a proporção entre ascoordenadas, como na tradução ( exemplo acima ).

2. CalcularTEORICAMENTE e no Matlab os autovalores da transformação linear T: R2 → R2 dada por T(x,y) = ( x + 3y, 4x + 2y) . Calcule o polinômiocaracterístico de T, os autovetores na forma normalizada, associados a cadaautovalor.

3. Considere a transformação linear T: R2 → R2, dada por T(x,y) =(x,x+2y) . Escrevao polinômio característico de T. Calcule os autovalores e autovetores de T.Diagonalize T, como no exemplo 5.

4. Verifica se v =

−

0101

é autovetor da matriz A=−

1000021001010200

. Em caso

afirmativo, identifica o autovalorλ correspondente.

5. Calcule no Matlab o polinômio característico, os autovalores e autovetores da

matriz M=−

−

102012104

. Escreva os autovetores na forma normalizada, e na forma

usual, associados a cada autovalor.


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64

6. Calcule o polinômio característico, os autovalores e autovetores da transformação

linear representada pela matriz −

9520097540

005310104200001

.


1. O polinômio característico de T é p(λ ) = λ 2 – 3λ + 2. Os autovalores sãoλ 1 = 1associado ao autovetorv1 = ( –0.6247 , –0.7809) , eλ 2 = 2, associado ao autovetorv2= ( –0.6 , – 0.8 ) . Na forma usual, temos :

λ 1 = 1 associado ao autovetorv1 = ( 1 , 1.25) e

λ 1 = 2 associado ao autovetorv2 = ( 3 , 4 ).

2. Equação característica : λ 2 – 3λ – 10 =0,resultante de det( A –λ I)=0. Temos: autovaloresλ 1 = – 2 e λ 2 = 5 ,associados aos autovetores v1 = ( –1, 1 ) e v2=(3,4) , respectivamente. Os autovetores na forma normalizada podem ser obtidos no Matlab.

3. A matriz de T é T =2101

. O polinômio característico de T é p(λ ) = λ 2 – 3λ + 2.

Os autovalores sãoλ 1 = 1 associado ao autovetorv1 = ( 0 , 1 ) , eλ 2 = 2, associadoao autovetorv

2= ( 0.7071 , – 0.7071 ) . Na forma usual, temos :

λ 1 = 2 associado ao autovetorv1 = ( 0 , 1) e

λ 1 = 1 associado ao autovetorv2 = ( 1 , –1 ).

4. O vetorv é uma autovetor da matriz A, pois Av = – 2v. Neste caso, o autovalorassociado éλ = 2.

5. O polinômio característico de M é p(λ ) = λ 3 – 6λ 2 +11λ +6. Os autovalores sãoλ 1=1, associado ao autovetorv1=(0,1,0),λ 2 = 3 associado ao autovetorv2=(0.5774,–0.5774,– 0.5774) eλ 3 = 2, associado ao autovetorv3=(–0.3333, 0.6667, 0.6667 ) . Naforma usual, temos: autovalorλ 1 = 1, associado ao autovetorv1=(0,1,0) ,

autovalorλ 2 = 3, associado ao autovetorv2=(1,–1,–1) e

autovalorλ 3 = 2, associado ao autovetorv3 =(–1, 2 , 2 ).

6. O polinômio característico de A é p(λ ) =λ 5 –26λ 4 + 211λ 3 – 709λ 2 + 982λ – 459.Autovalores e autovetores associados abaixo.

Autovalor Autovetor

λ 1 = 14.5219 v1= (0 , –0.07, –0.02 , 0.74 , 0.66)


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65

λ 2 = 1.6248 v2= (0 , –0.32, 0.29 , –0.77 , 0.44)

λ 3 = 4.0498 v3= (0 , 0.28, –0.88 , –0.01 , 0.37)

λ 4 = 4.8035 = (0 , 0.05, 0.87 , 0.04 , 0.47)

λ 5 = 1 = (0.40 , 0.008, 0.09 , 0.78 , 0.46)

7.2 A LICA O: E O DE E IL B IO

Em alguns casos, a aplicação sucessiva de uma transformação linear gera umaseqüência de vetores que converge a um vetor fixo, chamado de vetor de equilíbrio.Isto pode ocorrer em algumas aplicações ( por exemplo, em Cadeias de Markov ) ,onde se procura o estado de equilíbrio de uma distribuição de fatias de mercado, vejaem Ben Noble. Para ilustrar esta aplicação, calculamos as iteradas de umatransformação linear num dado vetoru0, e analisamos o limite )(uTlim 0n∞→n . Estudandoos autovalores e autovetores da transformação ( ou da matriz que a representa ) ,podemos justificar o que acontece em cada caso.

Exemplo 1. Um bairro de uma cidade tem duas padarias, A e B. Num determinadomomento, dos clientes da padaria A, 20 % permanecem como clientes de A, enquanto80% passam a ser clientes de B. Dos clientes de B, 40 % permanecem como clientesde B, enquanto os demais passam a ser clientes de A. Supondo que estes percentuaissão fixos no tempo, e que inicialmente cada padaria tem metade da clientela,determinar a distribuição do mercado no futuro.

Solução. A matriz que representa o “comportamento” dos clientes é: T =4.08.06.02.0

.

De fato, a11=0.2, pois 20% dos clientes de A são fiéis a padaria A, enquanto os demais80% migram para B, o que justifica a21=0.8. O vetor que representa a distribuição

inicial éu0 =

5.05.0

. Assim, a solução deste problema consiste em verificar se existe

ou não um vetor de equilíbrio nas iteradas da transformação T.

Dado o vetoru0 =

5.05.0

, calculamos as iteradas da transformação representada pela

matriz T =4.08.06.02.0

, aplicando sucessivamente esta transformação.

Solução : calculando as cinco primeiras iteradas, obtemos:

u1 = T*u0 = 4.08.06.02.0

*

5.05.0

=

6.04.0


66/100

66

u2 = T*u1 = 4.08.06.02.0

*

6.04.0

=

56.044.0

u3 = T*u2 =6.08.0

4.02.0*

56.0

44.0=

576.0

424.0

u4 = T*u3 = 6.08.04.02.0

*

576.0424.0

==

5696.04304.0

u5 = T*u4 = 6.08.04.02.0

*

5696.04304.0

=

5722.04278.0

Tais resultados podem ser obtidos diretamente no Matlab com o seguinte laço, usandoo for ( os resultados vão ser omitidos aqui no texto ):

>> u0=[0.5;0.5] ;

>> T=[0.2,0.6;0.8,0.4] ;

>> for i=1:5

T^i*u0

end

Resumindo, vemos que o as iteradas tendem ao vetor de equilíbrio

5714.0

4286.0. Para

justificar tal resultado, calculamos os autovalores e autovetores da transformação T noMatlab:

>>T=[0.2,0.6;0.8,0.4];

>>[m,n]=eig(T)

m =

–0.7071 –0.6000

0.7071 –0.8000

n =

–0.4000 0

0 1.0000

Temos : autovalorλ = – 0.2 associado ao autovetorv1=(–0.7071, 0.7071), e oautovalorλ 2 = 1 , associado ao autovetorv2 = ( –0.6 , –0.8)


67/100

67

Tomando a base B ={ (–0.7071, 0.7071) , (–0.6,–0.8) } como base do R2, o vetorinicial u0= ( 0.5 ; 0.5 ) pode ser escrito como a seguinte combinação linear dosvetores de B: (0.5 ; 0.5 ) = – 0.1010(–0.7071, 0.7071) – 0.7143(–0.6 , –0.8).

Assim, aplicando sucessivamente a transformação linear T no vetoru0, o autovetorv1

é multiplicado sucessivamente pelo autovalorλ 1= – 0.4, tendendo ao vetor nulo; poroutro lado, o autovetorv2= (–0.6 , –0.8) é multiplicado sucessivamente peloautovalorλ 2=1 . Devido a combinação linear do vetor inicialu0= –0.1010v1 –0.7143v2, a tendência, após um número bastante grande, é a seqüência das iteradasconvergir para o vetor de equilíbrio –0.7143v2 = ( 0.4286 ;0.5714), como verificadono Matlab.

Exemplo2. Três leiterias X,Y e Z disputam o mercado numa certa cidade.Suponhamos que inicialmente, 20% do mercado é cliente de X, 30% é cliente de Y e50% cliente de Z. Num dado momento, dos clientes de X, 80% são fiéis a X, enquanto10 % tendem a migrar para Y e os demais 10 % para Z. Dos clientes de Y, 70% sãofiéis a Y, enquanto 20% tendem a migrar para X, e os demais para Z. Dos clientes deZ, 60% são fiéis a Z, enquanto 10% tendem a migrar para X, e os demais para Y.Determinar a distribuição de equilíbrio, caso exista e explicar o porquê.

Solução. T

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