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30 SRIE EM
APOSTILA de MATEMTICA BSICA para FSICA
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2
MATEMTICA BSICA
Professor Afonso Oliveira
(www.afonsofisica.wordpress.com)
ALUNO: ___________________________________No:_________
NDICE GERAL
I. Conjuntos numricos;
II. As quatro operaes fundamentais (nmeros decimais);
III. Nmeros relativos;
IV. Fraes ordinrias;
V. Potncias;
VI. Radicais;
VII. Operaes algbricas;
VIII. Equaes do 1 grau;
IX. Equaes do 2 grau;
X. Equaes irracionais;
XI. Inequaes do 1 grau;
XII. Proporcionalidade;
XIII. Relaes Trigonomtricas;
XIV. Plano Cartesiano (seu produto, relaes e funes);
XV. Noes de Geometria Plana e Espacial;
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2
I - CONJUNTOS NUMRICOS
Esta figura representa a classe dos nmeros.
Veja a seguir:
N Naturais
So todos os nmeros positivos inclusive o zero
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
No h nmeros naturais negativos
Z Inteiros
So todos os nmeros positivos e negativos inclusive o
zero
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
No h nmeros inteiros em frao ou decimal
Q Racionais
So todas as decimais exatas ou peridicas diferente de
zero
Q = {..., 4
3,
2
1, ...}
I Irracionais
So todas as decimais no exatas, no peridicas e no
negativas
I = {..., 2 , , 7
22, ...}
R Reais
a unio de todos os conjuntos numricos, todo nmero,
seja N, Z, Q ou I um nmero R (real)
S no so reais as razes em que o radicando seja negativo
e o ndice par
-
3
II - AS QUATRO OPERAES FUNDAMENTAIS
(NMEROS DECIMAIS)
1) Adio
Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a
operao aditiva, e o resultado a soma
2 + 2 = 4
Parcelas Adio Soma
Exemplos:
4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
+
429,1
3,2
32,4
parcelas
8,049 soma
4
1 +
3
2 +
5
1 =
60
124015 =
60
67 1,1166
ou
4
1 +
3
2 +
5
1 =
9
8,1625,2 =
9
05,10 1,1166
Isto significa que qualquer nmero que for colocado no
denominador seguindo o processo, chegar mesma resposta.
Com o MMC (mnimo mltiplo comum) voc facilita seu
trabalho
2) Subtrao
Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a
operao a subtrao, e o resultado o minuendo
Subtrao
3 2 = 1
Minuendo Subtraendo Diferena
Observe que as parcelas
so dispostas de modo que
se tenha vrgula sobre
vrgula.
-
4
Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da
adio, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas
alterando a operao
3) Multiplicao
Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a
operao multiplicativa, e o resultado o produto
22 * 3 = 66
Fatores Multiplicao Produto
Exemplo:
7,32 * 12,5 = 91,500
produto 500,91
732
1464
3660
fatores 12,5 *
32,7
2
1 *
3
2 *
1
8 =
6
16 =
3
8 2,6
Na multiplicao de fraes multiplica-se divisor com divisor,
dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de
cima e o de baixo pelo de baixo)
4) Diviso
Na diviso os nmeros so chamados de dividendo (a parte que
est sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte
est sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o
quociente
Diviso
7 / 4 = 1,75
Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q)
Exemplo:
Existe na diviso, o que pode-se chamar de resto. Isto , quando
uma diviso no exata ir sempre sobrar um determinado
valore, veja no exemplo a seguir:
Na multiplicao comea-se
operar da esquerda para a
direita.
Quando a multiplicao
envolver nmeros decimais
(como no exemplo ao lado),
soma-se a quantidade de casas
aps a vrgula.
-
5
843 / 5 = 168
34
43
3 resto (r)
5) Casos particulares da multiplicao e diviso
Multiplicao
N * 1 = N
N * 0 = 0
Diviso
N / 1 = N
N / N = 1
0 / N = 0
N / 0 =
6) Exerccios
a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =
b) 4,03 + 200 + 51,2 =
c) 32,4 21,3 =
d) 48 33,45 =
e) 2,1 * 3,2 =
f) 48,2 * 0,031 =
g) 3,21 * 2,003 =
h) 8,4708 / 3,62 =
i) 682,29 / 0,513 =
j) 2803,5 / 4450 =
k) (FUVEST) 0,22,3
3,0*2,0
=
l) 0,041 * 21,32 * 401,05
m) 0,0281 / 0,432
n) 1,5
4,82 * 31,2
o) 285,0
4,32 * 021,0
Para verificar se o resultado
verdadeiro basta substituir os valores
na seguinte frmula:
D = d * q + r
843 = 5 * 168 + 3
-
6
III - NMEROS RELATIVOS
Definio: o conjunto dos nmeros positivos, negativos e o
zero, que no possuem sinal.
7) Valor absoluto ou Mdulo
um nmero desprovido de seu sinal. Suprimindo o sinal de
um nmero relativo, obtemos um nmero aritmtico, que se
denomina valor absoluto ou mdulo desse nmero relativo,
sendo representado pelo smbolo .
Exemplos:
7 7
0 0
2 2
9 9
8) Soma e subtrao algbrica
Sinais iguais: Soma-se os valores absolutos e d-se o sinal
comum.
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e d-se o
sinal do maior.
Exemplos:
a) 2 + 4 = 6
b) 2 4 = 6
c) 5 3 = 2
d) 5 + 3 = 2
e) 2 + 3 1 2 = 5 3 = 2
f) 1 3 + 2 4 + 21 5 32 = 23 45 = 22
9) Multiplicao e diviso algbrica
Sinais iguais resposta positiva
Sinais diferentes resposta negativa
Isto :
Exemplos:
)()(*)(
)()(*)(
)()(*)(
)()(*)(
)()(:)(
)()(:)(
)()(:)(
)()(:)(
-
7
a) 12 * 3 = 36
b) (-12) * (-3) = 36
c) 2 * (-2) = -4
d) (-2) * 3 = -6
e) 2
4= 2
f) )5(
20
= -4
g) )5(
)20(
= 4
h) 5
)20(= -4
10) Expresses numricas
Para resolver expresses numricas realizamos primeiro as
operaes de multiplicao e diviso, na ordem em que estas
estiverem indicadas, e depois adies e subtraes. Em
expresses que aparecem sinais de reunio: ( ), parnteses, [ ],
colchetes e { }, chaves, efetuam-se as operaes eliminando-se,
na ordem: parnteses, colchetes e chaves, isto , dos sinais
interiores para os exteriores. Quando frente do sinal da
reunio eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os
sinais dos termos internos.
Exemplo:
a) 2 + [ 2 ( 3 + 2 ) 1 ] = 2 + [ 2 5 1 ] = 2 + [ 2 6 ]
b) 2 + { 3 [ 1 + ( 2 5 + 4 ) ] + 8 } = 11
c) { 2 [ 3 * 4 : 2 2 ( 3 1 ) ] } + 1 = { 2 [ 12 : 2 2 * 2
] } + 1 = { 2 [ 6 4] } + 1
11) Decomposio de um nmero em um produto de fatores
primos
A decomposio de um nmero em um produto de fatores primos
feita por meio do dispositivo prtico que ser mostrado nos
exemplos a seguir.
Exemplos:
-
8
30
5
3
2
1
5
15
30
30 = 2 * 3 * 5
21
7
3
1
7
21
21 = 3 * 7
OBS: Nmero primo aquele divisvel somente por ele mesmo e
pelo nmero 1.
12) Mnimo mltiplo comum (m.m.c.)
O mnimo mltiplo comum a vrios nmeros o menor nmero
divisvel por todos eles.
Exemplo:
a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45
720
5
3
3
2
2
2
2
01 \ 01 \ 01
05 \ 01 \ 01
15 \ 01 \ 01
45 \ 01 \ 03
45 \ 02 \ 03
45 \ 04 \ 03
45 \ 08 \ 06
45 \ 12 \ 12
O m.m.c. entre 12, 16 e 45 720
b) m.m.c. (4; 3) = 12
c) m.m.c. (3; 5; 8) = 120
d) m.m.c. (8; 4) = 8
e) m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 60
13) Exerccios
a) 2 + 3 1 =
b) 2 5 + 8 =
c) 1 3 8 + 2 5 =
d) 2 * (-3) =
e) (-2) * (-5) =
f) (-10) * (-1) =
-
9
g) (-1) * (-1) * (-2) =
h) 2
4
=
i) 2
8 =
j) 5
20
=
k) 2
)1(*)4(
=
l) 1
7) - (2 * 5) - 3 1(
=
m) 1
3) -5 * 2 - 4 * 3 2(
=
n) 1 } ] 2 ) 3 : 2 * 3 ( 4 - 2 [ 2 - 2 { 2 =
o) } ) 5 - ( 2 )] 58 - ( : ) 3 3 - ( [ 20 - { - 8 =
p) 0,5 * 0,4 : 0,2 =
q) 0,6 : 0,03 * 0,05 =
r) 5 : 10 =
s) 3 : 81 * 0,5 =
t) Calcule o m.m.c. entre:
a. 36 e 60
b. 18, 20 e 30
c. 12, 18 e 32
IV - FRAES ORDINRIAS
Definio: Frao um quociente indicado onde o dividendo o
numerador e o divisor o denominador.
As fraes que sero apresentadas a seguir, partem de um
inteiro, e ao dividir formam as fraes
-
10
2
1=0,5
4
3=0,75
4
1=0,25
8
1=0,125
8
7 = 0,875
A frao prpria quando o numerador menor do que o
denominador: 2
1,
5
3,
210
120, etc.
A frao e imprpria quando o numerador maior que o
denominador, sendo possvel representa-la por um nmero misto
e reciprocamente.
Exemplos:
a) 7
10 = 1
7
3 pois
7
10 possui resto 3
b) 5
28 = 5
5
3 pois
5
28 possui resto 3
c) 3
11 = 3
3
2
d) 23
1 =
3
7
e) -14
1 = -
4
5
14) Propriedade
Multiplicando ou dividindo os termos de uma frao por um
nmero diferente de zero obtm-se uma frao equivalente
inicial.
Exemplos:
a) 4
2
2 * 2
2 * 1
2
1
b) 20
15
5 * 4
5 * 3
4
3
c) 3
2
10 : 30
10 : 20
30
20
-
11
d) 2
1-
4: 8
4 : 4-
8
4-
15) Soma algbrica de fraes
Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se
algebricamente os numeradores.
OBS: O menor denominador comum o m.m.c. dos
denominadores.
Exemplos:
a) 6
5
6
2 3
6
2
6
3
3
1
2
1
b) 3
2
6
4
6
4 - 5 3
6
4 -
6
5
6
3
3
2 -
6
5
2
1
c) 3
11-
3
4-
12
16-
12
24 - 16 9 - 1
12
24 -
12
16
12
9 -
12
1 2 -
3
4
4
3 -
12
1
d) 12
5-
12
48 - 15 28
12
48 -
12
15
12
28 4 -
4
5
3
7 4 -
4
11
3
12
16) Multiplicao de fraes
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se
faz com os denominadores.
Exemplos:
a) 10
3
5
3 *
2
1
b) 8
1-
2
1 *
4
1
c) 15
2
5
2 *
3
1
d) 14
3-
7
2 *
4
1 * 3
e) 5
48
5
44
5
16 *
4
11
5
13 *
4
32
17) Diviso de fraes
Multiplica-se a frao dividendo pelo inverso da frao
divisora.
Exemplos:
-
12
a) 2
11
2
3
1
3 *
2
1
31
21
b)
3
11-
3
4-
1
2 *
3
2-
21
32
c) 6
1
3
1 *
2
1
3
21
d) 2
17
2
15
2
3 *
1
5
32
5
e) 27
251-
27
52-
9
4 *
3
13
493
13
412
314
18) Exerccios
Transforme em nmero misto:
a) 2
3 =
b) 5
12 =
c) 3
100 =
Transforme em frao ordinria:
a) 5
11 =
b) 4
32 =
c) 10
110 =
Simplifique as fraes:
a) 4
2 =
b) 27
9 =
c) 48
12 =
-
13
Comparar as fraes (sugesto: reduzi-las ao menor
denominador e comparar os numeradores).
OBS.: a < b l-se a menor do que b
a > b l-se a maior do que b
a) 2
1,
3
2
b) 3
2,
6
5
c) 7
4,
8
3
Resolva:
a) 10
1
5
1
b) 3
4 -
3
2
c) 6
1
3
1 -
2
1
d) 5 - 2
13
3
22
e) 5
2 *
3
1
f) 5
2 *
3
1 *
7
3
g)
5
2- *
6
1-
h)
3
11- *
5
12
i)
21
31
j)
5
1- :
3
2
k) 4
1 *
3
2 :
2
1
l) 5
11 :
5
22
m)
2
1 :
4
2
3
1
n)
3
31 1
-
14
o)
21
2
21 1
1
p)
313 :
412
521 *
751
-
431 -
852
411
813
Simplifique:
a)
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
b)
1 17
9 :
4
3
3
24
1
3
1
2
1
-
15
V - POTNCIAS
Definio: Potncia de grau n de um nmero A o produto de n
fatores iguais a A.
grau.seu o determina que potncia, da expoente o n
potncia; da base a A... *A *A *A *A *A A
vezesn
n
Assim:
2 = 2 * 2 * 2 = 8 2 = 8
(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 (- 1)4 = 1
CASOS PARTICULARES:
a) A potncia de expoente 1 (1 grau) igual base:
A1 = A; 2
1 = 2
b) Toda potncia de 1 igual a 1:
1 = 1; 1 = 1
c) Toda potncia de 0 igual a 0:
0 = 0; 0 = 0
d) Toda potncia de expoente par positiva:
(- 2)4 = 16; 2
4 = 16; (- 3) = 9; 3 = 9
e) Toda potncia de expoente mpar tem o sinal da base:
3 = 27 ; (- 3) = - 27
25 = 32 ; (- 2)
5 = - 32
19) Multiplicao de potncias de mesma base
Mantm-se a base comum e soma-se os expoentes.
Realmente: 52 3
vezes5
vezes2 vezes3
2 2 2 * 2 * 2 * 2 * 2 2 * 2
Exemplo:
5 * 57 = 5
9 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125
20) Diviso de potncias de mesma base
Mantm-se a base comum e diminuem-se os expoentes.
Realmente: 24 - 6
vezes6
vezes4
4
6
5 5 5 * 5 * 5 * 5
5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5
5
5
-
16
Exemplo: 37 : 3
3 = 3
4 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
21) Multiplicao de potncias de mesmo grau (semelhantes)
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Realmente: 2 * 7 = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)
Exemplo: 3 * 5 = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5) = 15 = 3 375
22) Diviso de potncias de mesmo grau (semelhantes)
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Realmente:
2
2
2
7
2
7
2 *
7
2
7 * 7
2 * 2
7
2
Exemplo: 8 : 2 = 4 = 64
23) Potenciao de potncia
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.
Realmente: 62 * 32363 3 vezes2
3323 2 2 2ou 2 2 2 * 2 2
Exemplo: 049 59 3 3 1025
24) Expoente nulo
Toda potncia de base diferente de zero e expoente zero igual
a unidade.
Realmente: 1 a 1 a : a
a a a : a 044
04 - 444
Exemplo: (- 5)0 = 1
25) Expoente negativo
Qualquer nmero diferente de zero, elevado a expoente negativo
igual a uma frao cujo numerador a unidade e cujo
denominador a mesma base da potncia elevada ao mesmo
expoente com o sinal positivo.
-
17
Realmente: 4
4-
4-7 - 3
7
3
443
3
7
3
2
1 2
2 2 2
2
2
1
2 * 2
2
2
2
Exemplo: 25
1
5 * 5
1
5
1 5
2
2
26) Potncias de 10
Efetuam-se as potncias de 10 escrevendo direita da unidade
tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
Exemplos:
a) 10 = 100
b) 107 = 10 000 000
c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10
d) 4000 = 4 * 10
e) 300 000 = 3 * 105
f) 3 * 108 = 300 000 000
27) Nmeros decimais
Todo nmero decimal equivalente a um produto do qual um
fator o nmero escrito como inteiro, e outro uma potncia de
dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente
quantas so as ordens decimais.
Realmente: 4-4
10 * 25 10
25
000 10
25 0025,0
Exemplos:
a) 0,001 = 10-3
b) 0,002 = 2 * 10-3
c) 0,00008 = 8 * 10-5
d) 1,255 = 1255 * 10-3
e) 2 * 10-3 = 0,002
28) Exerccios
a) 1 =
b) 04 =
c) (- 2) =
d) (- 4) =
-
18
e) (- 2)4 =
f) (- 4)4 =
g) 2 * 25 =
h) 3 * 3 * 35 =
i) 35 : 34 =
j) 34 : 3 * 35 =
k) 24 * 54 =
l) (- 35) * (- 55) =
m) 153 : 33 =
n) (- 46) : 26 =
o) (3)2 =
p) (2)5 =
q) 32 =
r) [ (3) ] =
s) (2 * 3) =
t) (3 * 5 * 2)4 =
u) 5
3
5
=
v)
3
43
2
=
w)
2
3
32
5
3 * 2
=
x) (2 * 3)0 =
y) 4-2 =
z) 2 * 3-1 =
aa) 43
2
=
bb) (2-3 * 5-2)-4 =
cc) 2x + 1 * 4x =
dd) 32x * 24x =
ee) 54x : 252x =
Exprimir, utilizando potncias de 10:
a) 20 000 =
b) 4 800 000 =
c) 0,01 =
d) 0,000045 =
Efetuar, utilizando potncia de 10:
-
19
a) 80
000 48 * 000 2 =
b) 00002,0
0,000032 * 28 =
VI RADICAIS
Definio: Denomina-se raiz de ndice n (ou raiz n-sima) de A,
ao nmero ou expresso que, elevado potncia n reproduz A.
OBS: Representa-se a raiz pelo smbolo
radical -
radicando -A
raiz da ndice -n
An
Assim:
a) 4 16 porque 4 = 16
b) 2 83 porque 2 = 8
c) 3 814 porque 34 = 81
29) Propriedade
possvel retirar um fator do radical, bastante que se divida o
expoente do radicando pelo ndice do radical.
Exemplos:
a) 3 2 3 * 2 12 2
b) 5 6 5 3 * 2 5 3 * 2 180 22
c) 424 48 2 5 * 3 2 * 5 * 3
d) 24 : 84 8 3 3 3
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-
se o expoente do fator pelo ndice do radical. Assim:
3 33 2 * 3 2 3
30) Adio e subtrao de radicais semelhantes
Radicais de mesmo ndice e mesmo radicando so semelhantes.
Na adio e subtrao de radicais semelhantes, operam-se os
coeficientes e conserva-se o radical.
-
20
Exemplos:
a) 2 2- 2 10 - 2 8 2 10 - 2 5 2 3
b) 3333333 2 3 2 6 - 2 9 2 - 2 5 - 2 6 2 3
31) Multiplicao e diviso de radicais de mesmo ndice
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e d-se ao produto
(quociente) o ndice comum.
Exemplo:
a) 6 3 * 2 3 * 2
b) 3 2
6
2
6
c) 30 2 * 5 * 3 2 * 5 * 3
d) 44
4
4
44
2
15
2
15
2
3 * 5
32) Potenciao de radicais
Eleva-se o radicando potncia indicada e conserva-se o ndice.
Exemplo:
a) 44 334 27 3 3
b) 5 245 222
5 2 3 * 2 3 * 2 3 * 2
33) Radiciao de radicais
Multiplicam-se os ndices e conserva-se o radicando.
Exemplos:
a) 42 * 2 3 3 3
b) 243 4 3 3
34) Expoente fracionrio
Uma potncia com expoente fracionrio pode ser convertida
numa raiz, cujo radicando a base, o ndice o denominador do
expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.
Exemplos:
-
21
a) q pq
p
a a
b) a a 21
c) 33 23
24 2 2
d) 43
4 3 6 6
35) Racionalizao de denominadores
1 Caso: O denominador um radical do 2 grau. Neste caso
multiplica-se pelo prprio radical o numerador e o denominador
da frao.
Exemplo:
a) 2
2
4
2
2 * 2
2 * 1
2
1
b) 6
3
3 * 2
3
92
3
3 * 32
3 * 1
32
1
c) 3
6
9
6
3 * 3
3 * 2
3
2
d) 15
12
30
122
6 * 5
122
365
122
6 * 65
6 * 22
65
22
2 Caso: O denominador uma soma ou diferena de dois
termos em que um deles, ou ambos, so radicais do 2 grau.
Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela
expresso conjugada do denominador.
OBS: A expresso conjugada de a + b a b.
Na racionalizao aparecer no denominador um produto do
tipo:
(a + b) * (a b) = a - b
Assim:
(5 + 3) * (5 3) = 5 - 3 = 25 9 = 16
Exemplos:
a)
32 - 5
2 - 5
2 - 5
2 - 5
2 - 5
2 - 5 * 2 5
2 - 5 * 1
2 5
1
22
b)
3 - 2 * 5 1
3 - 2 * 5
3 - 4
3 - 2 * 5
3 - 2
3 - 2 * 5
3 - 2 * 3 2
3 - 2 * 5
3 2
5
22
-
22
36) Exerccios
Efetuar:
a) 510 52 - 5
b) 8 - 23 32
c) 729 - 3 33 4
d) 6 * 3
e) 4 - * 2 - 33
f) 2
8
4
4
g) 2 63
h)
3 * 2
23 2
i) 33 3
j) 23
k) 223
l) 2223 3 3
Dar a resposta sob forma de radical, das expresses seguintes:
a) 43
2 =
b) 21
2
=
c) 2
1
21
2
=
d) 61
3 * 2 =
Racionalizar o denominador das fraes seguintes:
a) 5
1 =
b) 7
3 =
c) 22
3 =
d) 2 - 5
2 =
-
23
e) 11 - 4
5 =
Simplifique:
a) 2
8 - 50 =
b) 2352 =
c) 1 2
1 -
2 - 1
1
=
VII OPERAES ALGBRICAS
37) Expresses algbricas
So indicaes de operaes envolvendo letras ou letras e
nmeros.
Exemplos:
a) 5ax 4b
b) ax + bx + c
c) 7ab
OBS: No exemplo 3, onde no aparece indicao de soma ou de
diferena, temos um monmio em que 7 o coeficiente
numrico e ab a parte literal.
-
24
38) Operaes com expresses algbricas
I. Soma algbrica
Somente possvel somar ou subtrair termos semelhantes
(monmios que possuem a mesma parte literal). Para somar
ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos
semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os
coeficientes.
Exemplo:
3xy 4xy + 7xy + 5xy = 8xy + 3xy
II. Multiplicao
Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os
termos do segundo fator e reproduzem-se os termos
semelhantes.
Exemplo:
(3ay) * (2ay) = 6ay
III. Diviso
1 Caso: Diviso de monmios: Divide-se o coeficiente
numrico do dividendo pelo 1 coeficiente do divisor, e a
parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as
regras para diviso de potncias de mesma base.
2 Caso: Diviso de polinmio por monmio: Divide-se
cada termo do dividendo pelo monmio divisor.
Exemplo:
(42abx4) : (7ax) = 6abx
39) Produtos notveis
H certos produtos de polinmios, que, por sua importncia,
devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles:
I. Quadrado da soma de dois termos:
O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do
primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais
o quadrado do segundo.
Exemplo:
(2 + x) = 2 + 2 * 2x + x = 4 + 4x + x
(a + b) = a + 2ab + b
-
25
II. Quadrado da diferena de dois termos:
O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do
primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais
o quadrado do segundo.
Exemplo:
(x 3) = x + 2 * x * (- 3) + (- 3) = x - 6x + 9
III. Produto da soma de dois termos por sua diferena:
O produto da soma de dois termos por sua diferena igual ao
quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
Exemplo:
(1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1 - ( 3 ) = 1 3 = - 2
40) Fatorao
Fatorar um polinmio escreve-lo sob a forma de um produto
indicado.
Fator comum dos termos de um polinmio o monmio cujo
coeficiente numrico o mximo divisor comum dos
coeficientes dos termos do polinmio e cuja parte literal
formada pelas letras comuns com os menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinmio pode ser escrito
como o produto de dois fatores: o 1 o fator comum e o 2
obtido dividindo-se o polinmio original pelo fator comum.
Exemplos:
a) Fatorando o polinmio 4ax + 8ax + 2ax tem-se:
a 4ax 2x 2ax 2ax
xa2
2ax
xa8
2ax
ax42ax xa2 xa8 ax4
b) Fatorar: 5xy + x4y + 2x. O fator comum x.
Assim: 5xy + x4y + 2x = x (5y + xy + 2)
41) Exerccios
(a - b) = a - 2ab + b
(a + b) * (a b) = a - b
-
26
Efetuar:
a) 2222 4b - 3ab 5a - 4b 7ab - a3 =
b) 223322 3xy y8x - 2y - 3y y7x - xy3 = c) xy * y8x - * xy7 22 = d) b - a * c b a =
e) y - x * x y3x - x 223 = f) 2x : 2x - 2x 4x - x6 2452 = g) abc : abc cb3a bc2a 2332 = h) 22 3 -3x 2 x =
i) 228a xy3 = j) 3c ab5 * 3c ab5 =
Fatorar:
a) 15a - 10ab =
b) 3ax 6bx + 12x =
VIII EQUAES DO 1 GRAU
UM BREVE RELATO DA HISTRIA DA EQUAO
As equaes foram introduzidas pelo conselheiro do rei da
Frana, Henrique IV, o francs Franois Vite, nascido em 1540.
Atravs da matemtica Vite decifrava cdigos secretos que era
mensagens escritas com a substituio de letras por numerais. Desta
-
27
forma Vite teve uma idia simples mas genial: fez o contrrio, ou
seja, usou letras para representar os nmeros nas equaes.
O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde
(matemtico ingls) que escreveu em um de seus livros que para ele
no existiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas.
Um outro matemtico ingls, Thomas Harriot, gostou da idia de seu
colega e comeou a desenhar duas retas para representar que duas
quantidades so iguais:
Exemplo:
_________
400 cm _________ 4 m
Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a us-lo
nas equaes de Vite.
At o surgimento deste sistema de notao as equaes eram
expressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade.
A notao de Vite significou o passo mais decisivo e
fundamental para construo do verdadeiro idioma da lgebra:
as equaes. Por isso, Fraois Vite conhecido como o Pai da
lgebra.
42) Equao
Equao uma igualdade que s se verifica para determinados
valores atribudos s letras (que se denominam incgnitas).
Incgnita: Quantidade desconhecida de uma equao ou de um
problema; aquilo que desconhecido e se procura saber; enigma;
mistrio. (Dicionrio Silveira Bueno Editora LISA)
Exemplo:
a) membro 2membro 1
5 2 - x s verdade para x = 7
b) 3x + y = 7 s verdade para alguns valores de x e y,
como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4.
Os valores atribudos s incgnitas que tornam verdadeiras as
igualdades denominam-se razes da equao.
Se a equao contiver apenas uma incgnita e se o maior
expoente dessa incgnita for 1 ento a equao dita equao do
1 grau a uma incgnita.
43) Resoluo de uma equao do 1 grau a uma incgnita
-
28
Resolver uma equao determinar sua raiz. No caso de uma
equao do 1 grau a uma incgnita, consegue-se resolve-la
isolando-se a incgnita no 1 membro, transferindo-se para o 2
membro os termos que no contenham a incgnita efetuando-se
a operao inversa (as operaes inversas so: adio e
subtrao; multiplicao e diviso; potenciao e radiciao).
Exemplos:
a) x + 2 = 7 x + 2 2 = 7 2 x = 5
b) x 3 = 0 x 3 + 3 = 0 + 3 x = 3
c) 4 x 2
8
2
2x 8 x2
d) 15 x 5 * 3 3
x* 3 5
3
x
Se o coeficiente da incgnita for negativo, convm, utilizar as
operaes dos sinais (captulo III Nmeros relativos):
4 x 2-
8-
2-
2x- 8- x2
Se a equao envolver simultaneamente denominadores e adio
ou subtrao, o primeiro passo ser eliminar os denominadores,
o que se faz mediante a aplicao da seguinte regra:
Os passos seguintes so descritos no exemplo a seguir:
5
6 -4x
3
1 3x -
2
2 -3x
1 Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver:
m.m.c. (2; 3; 5) = 30
Logo: 15 * (3x 2) 10 * (3x + 1) = 6 * (4x 6)
2 Passo: Eliminam-se os parnteses, efetuando as
multiplicaes indicadas:
45x 30 30x 10 = 24x 36
Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c.
encontrado por cada um dos denominadores e multiplicam-
se os resultados pelos respectivos numeradores.
-
29
3 Passo: Transpem-se os termos que contm a incgnita para o
1 membro, e os independentes (os que no contm a incgnita)
para o 2, efetuando as operaes necessrias:
45x 30x 24x = - 36 + 30 + 10
4 Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:
-9x = 4
5 Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x est
sendo multiplicado, desta maneira isola-se a incgnita:
9-
4
9
x9
6 Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a frao
passa a ser negativa tambm:
9
4- x
VERIFICAO OU PROVA REAL
Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da
equao dada. Os valores numricos devem ser iguais
44) Sistema de equao do 1 grau com duas incgnitas
A forma genrica de um sistema :
pnymx
cbyax onde a, b, c, m, n, p (Reais)
a. Equao a duas incgnitas: Uma equao a duas
incgnitas admite infinitas solues. Por exemplo, a
equao 2x y = 4 verificada para um nmero
ilimitado de pares de valores de x e y; entre estes pares
estariam:
(x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc.
b. Sistema de duas equaes a duas incgnitas: resolver um
sistema de suas equaes a duas incgnitas
determinar os valores de x e y que satisfaam
simultaneamente s duas equaes. Por exemplo o
sistema:
1y
3x para soluo tem
3y3x2
16yx5
Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente s
duas igualdades. (Verifique!)
-
30
Estudar-se- nesta apostila trs mtodos de soluo para um
sistema, so eles: Substituio, comparao e adio.
SUBSTITUIO
1) Seja o sistema:
2 equao 1y2x5
1 equao 8y3x2
2) Isola-se uma das incgnitas em uma das equaes, por
exemplo, o valor de x na equao 1:
3 equao 2
y38x
y38x2
8y3x2
3) Substitui-se x da equao 2 pelo seu valor (equao 3):
4 equao 1y22
3y-8*5
4) Resolve-se a equao 4 determinando-se o valor de y:
2y
38y19
2y4y1540
2y4y38*5
5) O valor obtido para y levado equao 3 (em que j est
isolado) e determina-se x:
1 x
2
68x
2
2*38x
6) A soluo do sistema :
x = 1 e y = 2
COMPARAO
1) Seja o sistema:
7y2x5
33y3x7
2) Isola-se a mesma incgnita nas duas equaes:
-
31
7
y333x
e
5
y27x
3) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros so
iguais (x = x):
5
y27
7
3y-33
4) Resolve-se a equao e determina-se y:
4 y
16y29
y1449y15165
y27*7y333*5
5) O valor de y levado a qualquer das equaes em que x est
isolado e determina-se o valor de x:
3 x
7
21
7
1233
7
4*333
7
3y-33x
6) A soluo do sistema :
x = 3 e y = 4
ADIO
Este mtodo consiste em somar, membro a membro, as duas
equaes com o objetivo de, nesta operao, eliminar uma das
incgnitas e s vantajoso no caso de os coeficientes de uma
das incgnitas serem simtricos.
Exemplos:
a)
2 equao 0yx
1 equao 4yx
Somando, membro a membro, vem:
2 x 4x2
Substituindo o valor de x na equao 1 (ou na equao 2, fica
a critrio do aluno), vem:
2y 4y2
b)
62y-10x
72y3x
(2)* 3yx5
7y2x3
Somando, membro a membro, vem:
1 x 13x13
-
32
Substituindo o valor de x na 1 equao (ou na 2, fica a
critrio do aluno), vem:
2y 42y 72y3 72y1*3
45) Exerccios
Resolver as seguintes equaes:
a) 8x4
b) 10x5
c) 8x7
d) 7x23
e) 12x4x416
f) x527x13x78
g) 4
3
3
x2
h) 10
x3
4
1
i) 3x45x42x9
j) 5x410x27*5x2*3
k) 14
36x5
2
x12
3
2x
l) 6
x59
2
31
2
x
3
x43
8
3x5
Resolver os seguintes sistemas de equaes:
a)
24yx3
12yx
b)
1y2x7
19y6x5
c)
2y4x3
12y5x
d)
22
3y
3
1x2
25
y
4
x
Considere o problema:
-
33
A idade do pai o dobro da idade do filho. H 10 anos atrs, a
idade do pai era o triplo da idade do filho. Qual a idade do pai
e do filho?
IX EQUAES DO 2 GRAU
Equao do 2 grau na incgnita x, toda igualdade do tipo:
onde a, b, c so nmeros reais e a no nulo (a 0).
A equao chamada de 2 grau ou quadrtica devido
incgnita x apresentar o maior expoente igual a 2.
Se tivermos b 0 e c 0 teremos uma equao completa.
Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equao incompleta.
46) Resolvendo Equaes de 2 Grau
Quando a equao de 2 grau for incompleta sua resoluo
bastante simples, veja:
1 caso: b = 0 e c = 0; temos ento:
Exemplo:
3 x = 0 x = 0 x = 0 S = {0}
2 caso: c = 0 e b 0; temos ento:
Exemplo:
3 x - 12 x = 0 x . (3 x 12) = 0 x = 0 ou 3 x 12
= 0 3 x = 12 x = 4 S = {0; 4}
3 caso: b = 0 e c 0; temos ento:
Exemplo:
x - 4 = 0 x = 4 x = 4 x = 2 e x = -2
S = {-2; 2}
A resoluo da equao completa de 2 grau obtida atravs de
uma frmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemtico
a . x + b . x + c = 0
a . x = 0
a . x + b . x = 0
a . x + c = 0
-
34
hindu nascido em 1 114; por meio dela sabemos que o valor da
incgnita satisfaz a igualdade:
A frmula apresentada uma simplificao de duas formulas;
veja:
> 0 tm-se duas razes reais e diferentes
= 0 tm-se duas razes reais e iguais
< 0 tm-se duas razes imaginrias
e
OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, no existir a
equao de segundo grau visto que o x seria anulado.
47) Exerccios
Determinar as razes das seguintes equaes quadrticas:
a) 06x7x2
b) 028x3x2
c) 02x5x3 2
d) 03x16x16 2
e) 016x4 2
f) 018x2 2
g) x5x3 2
h) 0x8x2 2
i) 22 3x43x2
Prever a natureza das razes das equaes:
a) 01x3x2 2
b) 03xx2
Frmula de Bhaskara a.2
c.a.4bbx
c*a*4b2
a*2
bx
-
35
c) 02x4x2 2
Determinar mentalmente as razes das equaes:
a) 05x6x2
b) 015x2x2
c) 012x4x2
d) 021x10x2
e) 050x5x2
Resolver as seguintes equaes:
a) bax2
b) 181x2x1xx
X EQUAES IRRACIONAIS
Definio: Uma equao denominada irracional quando
apresenta incgnita sob radical ou incgnita com expoente
fracionrio.
48) Resoluo de uma equao irracional
Durante o processo de soluo de uma equao irracional com
ndice do radical igual a 2 (ou outro qualquer) necessrio
elevar ao quadrado (ou em caso de expoente diferente de 2,
eleva-se ao que se fizer necessrio) ambos os membros da
equao e esta operao pode provocar o aparecimento de
razes estranhas, isto , valores que realmente no verificam a
-
36
equao original. Este fato obriga que toda raiz obtida deve ser
verificada na equao original e verificando a igualdade.
Exemplos:
a) Determinar as razes da equao: 045x
Isola-se o radical em um dos membros:
45x
Elevam-se ambos os membros ao quadrado, para
eliminar a raiz:
22 45x 165x
Determina-se x e verifica-se na equao original.
21x
Verificao:
00
0416
04521
b) Determinar as razes da equao: x24x
Isolando o radical no 1 membro:
2x4x
Elevando-se ambos os membros ao quadrado:
0x3x
4x4x4x
2x4x
2
2
22
As razes da equao do 2 grau so:
-3 x 0x
03 xe 03xx
21
Verificando as razes na equao irracional:
Para x1=0
00
022
0240
x24x
Para x2=-3
31
321
3243
-
37
Observe que apenas x=0 verifica a igualdade, assim a raiz
da equao original 0.
49) Exerccios
a) 04x
b) 02x
c) 021x
d) 15x2x
e) x247x2
f) 9x24x1x
g) 12x2x
h) 3x9x 2
-
38
XI INEQUAES DO 1 GRAU
50) Smbolos de desigualdades
So smbolos que permitem uma comparao entre duas
grandezas.
Exemplos:
a) 7 > 5 (7 maior do que 5).
b) 3 < 6 (3 menor do que 6).
c) x 1 (x menor ou igual a 1).
d) y4 (y maior ou igual a 4).
e) 1 < x 4 (x maior do que 1 e menor ou igual
a 4).
51) Inequao do 1 grau
Inequao do 1 grau uma desigualdade condicionada em
que a incgnita de 1 grau.
Exemplo:
2x > 4
A veracidade da desigualdade est condicionada ao valor de x.
Observa-se que o 1 membro ser maior do que o 2 membro
quando se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto :
x > 2
x > 2 indica um conjunto de valores denominado soluo da
inequao. Para determinar-se o conjunto-soluo de uma
inequao do 1 grau isola-se x no 1 membro de forma
soluo de uma equao do 1 grau, e sempre que se multiplicar
ou dividir a inequao por um nmero negativo, inverte-se o
sinal da desigualdade.
Exemplos:
a)
2x
2x
42x
2x4
a > b (a maior do que b)
a < b (a menor do que b)
a b (a maior ou igual a b)
a b (a menor ou igual a b)
-
39
b)
0x
0x2
11x2
11x2
52) Exerccios
Resolver as seguintes inequaes:
a) 11x2
b) 2xx3
c) 16x5x
d) x75x31x2
e) 15
x4
2
1x
5
2
f) 3
2x7
3
x7
g) 47
x29
4
x3
XII PROPORCIONALIDADE
53) Razo
Seja dois nmeros genricos a e b. A razo entre a e b
representada por b
a, a/b ou a : b, sendo b 0.
54) Proporo
Proporo a igualdade de duas razes.
Seja a proporo: d
c
b
a ou d:cb:a ou .d:c::b:a
Seus elementos se denominam:
a - primeiro termo
b - segundo termo
c - terceiro termo
d - quarto termo
a e b - extremos
b e c - meios
a e c - antecedentes
b e d - conseqentes
-
40
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporo o
produto dos meios igual ao produto dos extremos.
Considerando as propores:
d
c
b
a ento c*bd*a
6
8
3
4 ento 8*36*4
5
3
2
x ento 3*2x*5
A principal aplicao desta propriedade a determinao de um
elemento desconhecido na proporo. Exemplificando:
Determine x na proporo:
5
20
4
x ento 20*4x*5 ou 16x
55) Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais
Duas grandezas x e y so denominadas:
Diretamente proporcionais: quando a razo entre x e y
constante.
ky
x ou kyx
Inversamente proporcionais: quando o produto delas
constante.
ky*x ou y
kx
Sendo k denominada constante de proporcionalidade.
Exemplos:
a) Seja um carro que se desloca com velocidade
constante em trajetria retilnea. A tabela mostra o
deslocamento do carro em funo do tempo.
Tempo
(s)
Deslocamento
(m)
1 20
2 40
3 60
4 80
A pergunta : tempo e
deslocamento so
grandezas diretamente ou
inversamente
proporcionais?
-
41
5 100
10 200
Chamado de x o deslocamento e t o tempo, observa-se
que a razo t
x constante.
2010
200
5
100
4
80
3
60
2
40
1
20
t
x
Assim x e t so grandezas diretamente proporcionais e a
constante de proporcionalidade vale 20 (que a
velocidade do carro).
b) Um gs mantido temperatura constante em um
recipiente de volume varivel. Quando se altera o
volume do gs a sua presso tambm se modifica.
Registraram-se em uma tabela os valores
correspondentes da presso (P) e volume (V).
Presso Volume
20 20
40 10
80 5
100 4
200 2
400 1
Note que PV constante.
4001.4002.2004.1005.8010.4020.20PV Assim: P e V so grandezas inversamente proporcionais
com constante de proporcionalidade igual a 400.
56) Regra de trs simples
Utilizamos regra de trs simples na soluo de problemas que
envolvem grandezas proporcionais.
Exemplos:
a) Um automvel se desloca com velocidade constante
percorrendo 40 km em 1 hora. Qual o tempo gasto
para percorrer 100 km?
SOLUO
As grandezas envolvidas so diretamente proporcionais.
Teremos ento uma regra de trs simples e direta.
Dispomos os dados do problema colocando frente `frente
aqueles que se correspondem. Marcamos x no local do
valor procurado:
40 km ...............1 h
100 km ................x
P e V so grandezas
diretamente ou
inversamente
proporcionais?
-
42
Sendo a regra de trs simples e direta, tem-se:
x
1
100
40 (as grandezas so dispostas na mesma ordem de
correspondncia).
Aplicando a propriedade fundamental das propores,
vem:
horas 2,5x 100*1x*40
b) Dois litros de gs exercem uma presso de 0,4 atm.
Cinco litros do mesmo gs, mesma temperatura,
exercero que presso?
SOLUO
As grandezas so inversamente proporcionais. Assim
sendo, teremos uma regra de trs simples e inversa.
Dispondo os dados do problema:
2 litros ............... 0,4 atm
5 litros ............... x
Sendo a regra de trs inversa, as grandezas so dispostas
de forma que na proporo os termos do 2 membro
ficam invertidos.
4,0
x
5
2 ou atm 0,16x x*54,0*2
57) Exerccios
Resolva os seguintes exerccios:
a) Uma bomba eleva 272 litros de gua em 16 minutos.
Quantos litros elevar em 1 hora e 20 minutos?
b) Doze operrios levaram 25 dias para executar uma
determinada obra. Quantos dias levaro 10 operrios
para executar a mesma obra?
c) Num livro de 200 pginas h 30 linhas em cada
pgina. Se houvesse 25 linhas em cada pgina,
quantas pginas teria o livro?
d) Metade de uma obra foi feita por 10 operrios em 13
dias. Quantos tempo levaro para terminar essa obra
com 3 operrios a mais?
-
43
e) Com uma certa quantidade de cobre fabricam-se 1600
metros de fio com seo de 12 mm. Se a seo for de
8 mm, quantos metros de fio podero ser obtidos?
XIII RELAES TRIGONOMTRICAS
58) Tringulo retngulo
Um tringulo retngulo aquele que tem um ngulo reto (90).
A
B Ca
bc
X
Y
Z
x
y
z
R
S
Tr
s
t
Em um tringulo retngulo temos:
a) Hipotenusa: o lado oposto ao ngulo reto. Nas
figuras acima so hipotenusas: a, x e r.
b) Catetos: so os outros dois lados do tringulo.
Nas figuras so catetos: b, c; y, z e s, t.
59) Relaes trigonomtricas no tringulo retngulo
A
B
C
a
b
c
No tringulo retngulo ao lado consideremos o ngulo C
formado pelo lado b e a hipotenusa a.
O lado b denomina-se cateto adjacente ao ngulo C. ( o cateto
que faz parte da constituio do ngulo).
O lado c denomina-se cateto oposto ao ngulo C.
Os lados do tringulo e um dos ngulos (no o reto), podem ser
relacionados por:
a
c
hipotenusa
oposto catetoC sen
a
b
hipotenusa
adjacente catetoC cos
b
c
adjacente cateto
oposto cateto
C cos
Csen C tg
-
44
Existem tabelas que fornecem os diversos valores de senos, co-
senos e tangentes dos mais diversos ngulos. Assim, conhecido
um ngulo de um tringulo retngulo e um dos lados, pode-se
determinar os demais lados. A seguir temos uma tabela com os
valores das funes trigonomtricas para os ngulos de 30, 45 e
60.
30 graus 45 graus 60 graus
Seno 2
1
2
2
2
3
Co-seno 2
3
2
2
2
1
Tangente 3
3
1 3
Exemplos:
a) Em um tringulo retngulo a hipotenusa vale 4 m
e dos ngulos agudos vale 60. Determine os dois
catetos do tringulo.
m 22
1*4b
60 cos ab a
b60 cos
m 322
3*4c
60sen ac a
c60 sen
A
B
C
a
b
c
60
b) Em um tringulo retngulo a hipotenusa mede 5
m e um dos catetos 2,5 m. Determinar o ngulo
formado pela hipotenusa e por esse cateto.
Determine o outro cateto.
m 32,5b
2
3*5 60sen *5sen ab )2
60 tabela da
2
1
5
5,2
a
c cos )1
A
B Ca = 5 m
bc = 2,5 m
-
45
c) Em um tringulo retngulo os lados valem 3 m, 4
m e 5 m. Determine o seno, o co-seno e a
tangente do ngulo formado entre o lado de 3 m e
o de 5 m.
3,13
4 tg
6,05
3 cos
8,05
4 sen
3 m
4 m
5 m
Todo tringulo de lado 3, 4 e 5, ou mltiplos destes
valores, denominado Tringulo Pitagrico.
60) Exerccios
a) Dado o tringulo retngulo abaixo, calcular:
52
52
4
2
i. sen
ii. cos
iii. tg
b) Um ngulo de um tringulo mede 30 e o cateto
que se ope a este ngulo vale 5 cm. Calcular a
hipotenusa e o outro cateto.
c) Num tringulo retngulo a hipotenusa mede 3 cm
e um dos ngulos agudos vale 45. Calcular a
medida comum dos catetos.
d) Num tringulo retngulo, as medidas dos dois
catetos so iguais. Calcular a medida comum dos
ngulos agudos.
e) Calcular os ngulos formados pelos catetos com a
hipotenusa de um tringulo retngulo sabendo que
um dos catetos a metade da hipotenusa.
f) Calcular x e y na figura a seguir:
-
46
x
y
6 m
6 0
XIV PLANO CARTESIANO (SEU PRODUTO, RELAES
E FUNES)
61) Os eixos cartesianos
Dois eixos graduados, perpendiculares entre si, com origens
coincidentes, so denominados eixos cartesianos.
x
y
54321-1-2-3-4
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5
0(eixo das abscissas)
(eixo das ordenadas)
origem
62) Um ponto no plano cartesiano
Um ponto situado em um plano cartesiano tem sua posio
definida por um par de nmeros (coordenadas do ponto).
0 2,- P
1- 0, P
2- 1, P
2 3, P
4
3
2
1
x
y
54321-1-2-3-4
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5
P1
P2
P3P4
O primeiro valor numrico representa a abscissa do ponto e o
segundo a ordenada do ponto.
63) Uma reta no plano cartesiano
Um conjunto de pontos representados em um plano cartesiano
pode resultar em uma reta. Tal fato acontece quando atribumos
os mais diversos valores a x em uma equao caracterstica (a
seguir representada) e obtemos os valores de y correspondentes.
-
47
Esta equao denominada equao reduzida da reta, sendo que
a e b necessariamente so valores constantes.
A sua representao grfica nos mostra que:
x
y
0
b
64) Casos particulares
a) Reta que passa pela origem
O coeficiente linear (b) igual a zero.
x
y
0
b) Reta paralela ao eixo x
O coeficiente angular (a) igual a zero.
x
y
0
c) Reta paralela ao eixo y
O valor de x constante.
x
y
0
Exemplos:
a) Representar graficamente a equao x*3y .
Soluo: O coeficiente angular 3 . Como tg 60 =
3 , o ngulo que a reta forma com o eixo x 60.
y = a * x + b
a = tg (coeficiente angular). b = valor de y onde a reta
intercepta o eixo das ordenadas
(coeficiente linear).
A equao fica:
y = a * x
A equao fica
y = b
-
48
Ainda, a reta no apresenta coeficiente linear, isto , a
reta passa pela origem. Representando-a:
x
y
0
60
b) Representar graficamente y = 20.
Soluo: Como y constante a reta deve ser
perpendicular ao eixo y.
x
y
0
20
65) Exerccios
a) Situe os pontos A, B, C e D no plano cartesiano a seguir.
3- 2,- D
3 1, C
0 ,4 B
2- ,0 A
x
y
54321-1-2-3-4
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5
b) D as coordenadas dos pontos P, Q, R e S da figura a
seguir.
x
y
54321-1-2-3-4
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-5
P
Q
R
S
-
49
c) Qual a representao grfica da reta de equao
2x 3y
a.
x
y
0
60
b.
x
y
-2
30
c.
x
y
0
60
2
d.
x
y
0
60
-2
e.
x
y
0
30
2
d) O grfico da reta y = 5 :
a.
x
y
05
b.
x
y
0
5
5 45
c. x
y
0
5
-
50
d.
x
y
0 5
e. x
y
0
5
45
XVI NOES DE GEOMETRIA PLANA E
ESPACIAL
GEOMETRIA PLANA
66) Definio e apresentao da Geometria Plana
Geometria Plana possui como sua principal caracterstica
pertencer ao R2, isto , possui duas dimenses sendo estas x e y
como em um plano cartesiano, tambm conhecidas como base
(b) e altura (h).
OBS: o b da base e o h da altura provem do ingls onde base =
base e altura = height.
Na Geometria Plana podemos encontrar a rea (A) e o
permetro (P) das figuras, onde:
rea o regio do plano
limitado pelo permetro
Permetros pode-se
definir como sendo o
comprimento do
contorno de uma
figura.
-
51
Toda figura plana possui uma frmula para encontrar o valor de
seu permetro e sua rea, veja:
67) Apresentao das figuras planas e suas frmulas
Quadrado
Retngulo
Losango
Paralelogramo
Trapzio
A = b * h mas como
b = l e h = l
A = l * l logo A = l
P = l + l + l + l
P = 4 * l
A = b * h
P = 2 * a + 2 * b
2
d*DA
P = 4 * l
h*bA
P = 2 * a + 2 * b
2
h*b*BA
P = a + b + c + d
-
52
Tringulo Qualquer
Tringulo Eqiltero
Crculo
Circunferncia
GEOMETRIA ESPACIAL
68) Definio e apresentao da Geometria Espacial
2
h*bA
P = a + b + c
4
3lA
2
P = 3 * l
2r*A
R**2A
-
53
Geometria Espacial possui como sua principal caracterstica
pertencer ao R, isto , possui trs dimenses sendo estas x, y e z
como no espao, tambm conhecidos como base (b) e altura (h)
e espessura (e).
Na Geometria Espacial podemos encontrar o volume (V) e a
rea lateral (S), onde:
69) Apresentao das figuras espaciais e suas frmulas
Cubo
Pirmide
Cilindro circular reto
r
Cone circular reto
V = b * h * e
S = 6 * l
h*B*3
1V
B a rea da base da
pirmide
V = * r * h
h*r**2S
h*r**3
1V 2
22 hr*r*S
-
54
Esfera
CURIOSIDADE
O ALFABETO GREGO
alfa
beta
gama
delta
epsilon
zeta
eta
teta
iota
K kapa
lambda
mi
v ni
csi
micron
pi
ro
sigma
tau
ipsilon
fi
qui
psi
omega
3r**3
4V
2r**4S
-
55
