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Centro de Educação e Tecnologia – CTEC

Engenharia Mecânica

Engenharia de Produção

Mecânica dos Fluidos

Seção 04

Professor: Porto

São José dos Campos – SP

2010

1. Equação da Energia para Regime Permanente

1. Introdução

Na seção 3 foi introduzida a equação da continuidade. Essa equação conclui que, para que a hipótese de regime permanente seja verdadeira, a massa de fluido que flui por uma seção de um tubo de corrente deve ser idêntica àquela que o abandona por outra seção qualquerse, então, fazer um balanço das massas ou vazões em massa entre seções de de um certo escoamento. Com base no fato de que a energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, é possível construir uma equação que perbalanço das energias, da mesma forma como foi feito para as massas, por meio da equação da continuidade.

A equação que permite tal balanço chamaassociada à equação da continuidade, resolver inúmeros prexemplo: determinação da potência de máquinas hidráulicas, determinação de perdas em escoamento, transformação de energia etc.

Essa equação envolve, em geral, uma série de conceitos novos, e os estudantes de Mecânica dos Fluidos costumam ter certa dificuldade para sua assimilação. Por causa disso, neste capítulo será realizada uma inversão que poderá parecer conceitualmente estranha para o conhecedor do assunto, mas que é didaticamente válida. Tal inversão constará da apresentação inicial de um caso particularíssimo que será estendido, aos poucos, para o caso geral em regime permanente.

Essa operação visa a uma familiarização dos leitores com alguns dos termos que ficarão posteriormente diluídos e, portanto, de difícil compreensão

2. Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido

a) Energia potencial (Ep)

É o estado de energia do sistema devido à sua posição no campo da gravidade em relação a um plano horizontal de referência (PHR).

Essa energia é medida pexemplo, um sistema de peso G = mg, cujo centro de gravidade está a uma cota relação a um PHR (Figura 4.1).

Equação da Energia para Regime Permanente

foi introduzida a equação da continuidade. Essa equação conclui que, para que a hipótese de regime permanente seja verdadeira, a massa de fluido que flui por uma seção de um tubo de corrente deve ser idêntica àquela que o abandona por outra seção qualquerse, então, fazer um balanço das massas ou vazões em massa entre seções de de um certo escoamento. Com base no fato de que a energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, é possível construir uma equação que perbalanço das energias, da mesma forma como foi feito para as massas, por meio da equação da

A equação que permite tal balanço chama-se equação da energia e nos permitirá, associada à equação da continuidade, resolver inúmeros problemas práticos como, por exemplo: determinação da potência de máquinas hidráulicas, determinação de perdas em escoamento, transformação de energia etc.

Essa equação envolve, em geral, uma série de conceitos novos, e os estudantes de costumam ter certa dificuldade para sua assimilação. Por causa disso,

neste capítulo será realizada uma inversão que poderá parecer conceitualmente estranha para o conhecedor do assunto, mas que é didaticamente válida. Tal inversão constará da

inicial de um caso particularíssimo que será estendido, aos poucos, para o caso geral em regime permanente.

Essa operação visa a uma familiarização dos leitores com alguns dos termos que ficarão posteriormente diluídos e, portanto, de difícil compreensão dentro da equação geral.

Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido

Energia potencial (Ep)

É o estado de energia do sistema devido à sua posição no campo da gravidade em relação a um plano horizontal de referência (PHR).

Essa energia é medida pelo potencial de realização de trabalho do sistema. Seja, por exemplo, um sistema de peso G = mg, cujo centro de gravidade está a uma cota relação a um PHR (Figura 4.1).

Figura 4.1

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foi introduzida a equação da continuidade. Essa equação conclui que, para que a hipótese de regime permanente seja verdadeira, a massa de fluido que flui por uma seção de um tubo de corrente deve ser idêntica àquela que o abandona por outra seção qualquer. Pode-se, então, fazer um balanço das massas ou vazões em massa entre seções de entrada ou saída de um certo escoamento. Com base no fato de que a energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, é possível construir uma equação que permitirá fazer o balanço das energias, da mesma forma como foi feito para as massas, por meio da equação da

se equação da energia e nos permitirá, oblemas práticos como, por

exemplo: determinação da potência de máquinas hidráulicas, determinação de perdas em

Essa equação envolve, em geral, uma série de conceitos novos, e os estudantes de costumam ter certa dificuldade para sua assimilação. Por causa disso,

neste capítulo será realizada uma inversão que poderá parecer conceitualmente estranha para o conhecedor do assunto, mas que é didaticamente válida. Tal inversão constará da

inicial de um caso particularíssimo que será estendido, aos poucos, para o caso

Essa operação visa a uma familiarização dos leitores com alguns dos termos que ficarão dentro da equação geral.

É o estado de energia do sistema devido à sua posição no campo da gravidade em

o potencial de realização de trabalho do sistema. Seja, por exemplo, um sistema de peso G = mg, cujo centro de gravidade está a uma cota z em

Como: Trabalho = Força

Então: W = Gz = mgz

Mas, pelo que foi dito anteriormente, E

Note-se que, na equação, que será introduzida posteriormente, interessará somente a diferença das energias potenciais de um ponto a outro do fluido, de forma que a posição do PHR não alterará a solução dosa conveniência da solução do problema

b) Energia cinética (E

É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um sistema de massa m e velocidade v; a energia cinética será dad

c) Energia de Pressão (E

Essa energia corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido.

Seja, por exemplo, o tubo de corrente da Figura 4.3.

Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido externo no fluido do tubo de corrente, na interface de área A, será intervalo de tempo produzindo um trabalho:

Força x Deslocamento

Então: W = Gz = mgz

que foi dito anteriormente, Ep = W; logo:

Ep = mgz

se que, na equação, que será introduzida posteriormente, interessará somente a diferença das energias potenciais de um ponto a outro do fluido, de forma que a posição do PHR não alterará a solução dos problemas. Isto é, o PHR é adotado arbitrariamente, conforme a conveniência da solução do problema.

b) Energia cinética (Ec)

É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um sistema de ; a energia cinética será dada por:

�� � �v�2

Figura 4.2

c) Energia de Pressão (Epr)

Essa energia corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido.

Seja, por exemplo, o tubo de corrente da Figura 4.3.

Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido externo no fluido do tubo de corrente, na interface de área A, será intervalo de tempo dt, o fluido irá se deslocar de um ds, sob a ação da força

trabalho:

� � �� � ��� � ��

Figura 4.3

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32

se que, na equação, que será introduzida posteriormente, interessará somente a diferença das energias potenciais de um ponto a outro do fluido, de forma que a posição do

problemas. Isto é, o PHR é adotado arbitrariamente, conforme

É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um sistema de

Essa energia corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no

Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido externo no fluido do tubo de corrente, na interface de área A, será F = pA. No

, sob a ação da força F,

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33

Por definição:

� � ����

e portanto:

���� � ��

ou

��� � � �v�

d) Energia mecânica total do fluido (E)

Excluindo-se energias térmicas e levando em conta apenas efeitos mecânicos, a energia total de um sistema de fluido será:

� � �� + �� + ���

� � ��� +�v�2 + � �v�

3. Equação de Bernoulli

Conforme foi citado na introdução, a equação da energia geral será construída aos poucos, partindo-se de uma equação mais simples, válida somente para uma série de hipóteses simplificadoras.

É óbvio que cada hipótese admitida cria um afastamento entre os resultados obtidos pela equação e os observados na prática. A equação de Bernoulli, devido ao grande número de hipóteses simplificadoras, dificilmente poderá produzir resultados compatíveis com a realidade. No entanto, é de importância fundamental, seja conceitualmente, seja como alicerce da equação geral, que será construída pela eliminação gradual das hipóteses da equação de Bernoulli e pela introdução dos termos necessários, para que a equação represente com exatidão os fenômenos naturais.

As hipóteses simplificadoras são:

a) regime permanente;

b) sem máquina no trecho de escoamento em estudo. Entenda-se por máquina qualquer dispositivo mecânico que forneça ou retire energia do fluido, na forma de trabalho. As que fornecem energia ao fluido serão denominadas 'bombas' e as que extraem energia do fluido, 'turbinas';

c) sem perdas por atrito no escoamento do fluido ou fluido ideal;

d) propriedades uniformes nas seções;

e) fluido incompressível;

f) sem trocas de calor.

Pelas hipóteses (b), (c) e (f) excluifornecida ou retirada energia do fluido.

Seja o tubo de corrente da Figura 4.4, entre as seçòes (1

Deixando passar um intervalo de tempo montante da seção (1) atravessa

Na seção (2), uma massa levando a sua energia:

Como pelas hipóteses (b), (c) e (f) não se fornece nem se retira energia do fluido, para que o regime seja permanenteque implica obrigatoriamente que:

������ +Como � � ���� e portanto

������ +Como o fluido é incompressível,

portanto:

Dividindo a equação por

Pelas hipóteses (b), (c) e (f) exclui-se que no trecho de escoamento em estudo seja cida ou retirada energia do fluido.

Seja o tubo de corrente da Figura 4.4, entre as seçòes (1) e (2).

Figura 4.4

Deixando passar um intervalo de tempo dt, uma massa infinitesimal da seção (1) atravessa-a e penetra no trecho (l)-(2) acrescentando

��� � ������ + ���v��2 + ����

Na seção (2), uma massa dm2 do fluido que pertencia ao trecho (l)

��� � ������ + ���v��2 + ����

Como pelas hipóteses (b), (c) e (f) não se fornece nem se retira energia do fluido, para que o regime seja permanente é necessário que no trecho (1)(2) não haja variação de energia o que implica obrigatoriamente que:

��� � ���

+ ���v��2 + ���� � ������ + ���v��2 + e portanto �� � ��� , tem-se:

���v��2 + ��� ��� � ������ + ���v��2 + �incompressível, ρ1 = ρ2 e, como o regime é permanente, dm

��� + v��2 + �� � ��� + v��2 + ��

Dividindo a equação por g e lembrando que γ = ρg, tem-se:

�� + v��2� + �� � �� + v��2� + ��

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34

se que no trecho de escoamento em estudo seja

, uma massa infinitesimal dm, de fluido a 2) acrescentando-lhe a energia:

do fluido que pertencia ao trecho (l)-(2) escoa para fora,

Como pelas hipóteses (b), (c) e (f) não se fornece nem se retira energia do fluido, para (2) não haja variação de energia o

����

��� ���

e, como o regime é permanente, dm1 =dm2,

35

35

Esta última equação é a equação de Bemouili, que permite relacionar cotas, velocidades e pressões entre duas seções do escoamento do fluido. A seguir, será indicado o significado dos termos dessa equação.

� � ����� � � ! � energia potencial por unidade de peso ou energia potencial de

uma partícula de peso unitário;

"#�$ � %"#�$% � %"#�& � '(& � energia cinética por unidade de peso ou energia cinética

de uma partícula de peso unitário;

�) � ��)� � ��! � � *! energia de pressão por unidade de peso ou energia de

pressão da partícula de peso unitário

Note-se, então, que a equação de Bernoulli expressa que ao penetrar por (1) uma partícula de peso unitário, à qual estão associadas as energias z�; v�

� 2g e p� γ⁄⁄ , deverá sair por (2) uma partícula de peso unitário à qual estejam associadas as energias z�; v�

� 2g e p� γ⁄⁄ , de forma que a soma delas seja idêntica à soma em (1) para manter a energia constante no volume entre (1) e (2).

Uma observação importante é que, sendo z uma cota, então será medida em unidade de comprimento (por exemplo, em metros); logo, tanto v2/2g como p/γ também serão medidos dessa forma. Não deve o leitor esquecer que, apesar disso, cada uma das parcelas da equação de Bernoulli tem o significado de energia por unidade de peso.

Note-se ainda que anteriormente a carga de pressão foi definida como sendo h = p/γ. Logo, a energia de pressão por unidade de peso é a própria carga de pressão. Por analogia, serão denominadas:

z - carga potencial;

"#�� - carga da velocidade ou carga cinética;

Observe-se que a palavra 'carga' substitui a expressão 'energia por unidade de peso'.

Fazendo:

2 � � + v�

2�+ �

onde: H = energia total por unidade de peso numa seção ou carga total na seção. Com a noção de carga total, a equação de Bernoulli poderá ser escrita simbolicamente:

H1 = H2

Essa equação poderá ser enunciada da seguinte forma: Se, entre duas seções do

escoamento, o fluido for incompressível, sem atritos, e o regime permanente, se não houver

máquina nem trocas de calor, então as cargas totais se manterão constantes em qualquer

seção, não havendo nem ganhos nem perdas de carga.

EXEMPLO:

Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes (1) é 20 cm2, enquanto a da garganta (2) é 1mercúrio (yHg,, = 136.000 N/mmostrado rui figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo

Solução:

Note-se que as hipóteses impostas pelo problema o enquadram perfeitamente no uso da equação de Bernoulli. Logo:

Os centros geométricos das seções (1) e (2) têm adotado. Dessa forma pode

O segundo membro dessa expressão pode ser determinado pelo manómetro diferencial instalado, mas antes disso éA2 < A1,, tem-se v2 > v1,e como a energia cinética apressão deverá diminuir para que a soma seja constante. Essa observação explica o manómetro estar desnivelado da esquerda para a direita, já que pgeométrico da seçào (1) e desprezando os trechos comuns aos dois ramos do manómetro, a equação manométrica ficará:

Logo:

� 3 �

ou, adotando g = 10 m/s2,

Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes

, enquanto a da garganta (2) é 10 cm2. Um manómetro cujo fluido manométrico é ,, = 136.000 N/m3) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível

se a vazão da água que escoa pelo Venturi. (γH2O

hipóteses impostas pelo problema o enquadram perfeitamente no uso da ernoulli. Logo:

p�γ + v��2g + z� � p�

γ+v��2g + z�

Os centros geométricos das seções (1) e (2) têm a mesma cota z qualquer que adotado. Dessa forma pode-se escrever:

v�� 3 v��2g � p� 3 p�γ

O segundo membro dessa expressão pode ser determinado pelo manómetro diferencial disso é interessante notar que, pela equação da continuidade, sendo

,e como a energia cinética aumenta de (1) para (2), a energia de nuir para que a soma seja constante. Essa observação explica

o manómetro estar desnivelado da esquerda para a direita, já que p1 > pe desprezando os trechos comuns aos dois ramos do manómetro, a

equação manométrica ficará:

� � �4#56 3 �476 � �

� 3 � � 8�4� 3 �4#596

� :136.000 3 10.000@ A 0,1 � 12.600 C⁄v�� 3 v��2g � 12.600γ � 12.60010.000 � 1,26m

v�� 3 v�� � 25,20 �� ��⁄

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36

Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área

. Um manómetro cujo fluido manométrico é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível

H2O = 10.000 N/m3).

hipóteses impostas pelo problema o enquadram perfeitamente no uso da

a mesma cota z qualquer que seja o PHR

O segundo membro dessa expressão pode ser determinado pelo manómetro diferencial interessante notar que, pela equação da continuidade, sendo

de (1) para (2), a energia de nuir para que a soma seja constante. Essa observação explica o por quê de

> p2. Partindo do centro e desprezando os trechos comuns aos dois ramos do manómetro, a

��⁄

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37

Como a equação da energia conduz a uma equação com duas incógnitas, haverá necessidade de outra equação que relacione as velocidades, que é a equação da continuidade. Pela equação da continuidade:

F� � F�

v�A� � v�A� ∴ v� � v� A�A� � v�2

Logo:

v�� 3 v��4 � 25,20

v� � J4 A 25,203 � 5,8 �/�

Logo:

F � v��� � 5,8 A 10 A 10MN � 5,8 + 10MO�O �⁄

F � 5,8 P �⁄

4. Equação da Energia e Presença de uma Máquina

Como foi explicado na introdução desta seção, a equação da energia será completada gradualmente, eliminando as hipóteses impostas para se chegar à equação geral. Em outras palavras, neste item e nos próximos, serão retiradas aos poucos as hipóteses impostas que restringem o uso da equação.

Neste item serão mantidas todas as hipóteses do item anterior, mas raciocina-se com a presença de uma máquina atuando entre as seções (1) e (2) do tubo de corrente.

Máquina, para efeito deste estudo, será qualquer dispositivo introduzido no escoamento, o qual forneça ou retire energia dele, na forma de trabalho. A maneira de funcionamento da máquina não interessará por enquanto, importando somente como sua presença afeta as equações anteriores.

Como, por enquanto, subsiste a hipótese de fluido incompressível, para facilidade de linguagem, será denominada 'bomba' qualquer máquina que forneça energia ao fluido e 'turbina', qualquer máquina que retire energia dele.

Vejamos a alteração na equação anterior ao introduzir uma máquina entre as seções (1) e (2) (Figura 4.5).

Se não houvesse máquina, Equação 4.7

isto é, a energia por unidade de peso do fluido em (1) é igual à energia por unidade de peso em (2) ou a carga total em (1) é igual à carga total em (2).

Se a máquina for uma bomb

Para restabelecer a igualdade, deverá ser somada ao primeiro membro a energia recebiunidade de peso do fluido na máquina.

Logo:

A parcela HB é chamada 'carga ou altura manométrica da bomba' e representa a energia fornecida à unidade de peso do fluido que passa pela bomba.

Se a máquina for uma turbina, Hfluido. Para restabelecer a igualda

onde HT = 'carga ou altura manométrica da turbina' ou energia retirada da unidade de do fluido pela turbina.

Como se deseja estabelecer uma equação geral, a carga manométrica da máquina será indicada por HM e as equações

Sendo: HM = HB se a máquina for uma bomba;

HM = HT se a máquina for uma turbina.

A Equação acima é a que considera a presença de uma máquina no escoamento entre as seções (1) e (2) em estudo. Lembrandassim:

Figura 4.5

Se não houvesse máquina, sabe-se que, válidas as hipóteses do item 4.3, valeria a

2� � 2�

a energia por unidade de peso do fluido em (1) é igual à energia por unidade de peso (2) ou a carga total em (1) é igual à carga total em (2).

Se a máquina for uma bomba, o fluido receberá um acréscimo de energia tal que H

restabelecer a igualdade, deverá ser somada ao primeiro membro a energia recebiunidade de peso do fluido na máquina.

2� + 2Q � 2�

é chamada 'carga ou altura manométrica da bomba' e representa a energia unidade de peso do fluido que passa pela bomba.

Se a máquina for uma turbina, H1 > H2, pois, por definição, a turbina retira energia do . Para restabelecer a igualdade, tem-se:

2� 3 2R � 2�

'carga ou altura manométrica da turbina' ou energia retirada da unidade de

Como se deseja estabelecer uma equação geral, a carga manométrica da máquina será e as equações acima poderão ser escritas de forma única como

2� + 2S � 2�

se a máquina for uma bomba;

se a máquina for uma turbina.

é a que considera a presença de uma máquina no escoamento entre as (1) e (2) em estudo. Lembrando os significados de H1 e H2, essa equação é escrita

�� + �� + v��2� + 2S � �� + �� + v��2�

38

38

se que, válidas as hipóteses do item 4.3, valeria a

a energia por unidade de peso do fluido em (1) é igual à energia por unidade de peso

a, o fluido receberá um acréscimo de energia tal que H2 > H1.

restabelecer a igualdade, deverá ser somada ao primeiro membro a energia recebida

é chamada 'carga ou altura manométrica da bomba' e representa a energia

, pois, por definição, a turbina retira energia do

'carga ou altura manométrica da turbina' ou energia retirada da unidade de peso

Como se deseja estabelecer uma equação geral, a carga manométrica da máquina será poderão ser escritas de forma única como:

é a que considera a presença de uma máquina no escoamento entre as , essa equação é escrita

39

39

2S � � 3 �� + :�� 3 ��@ + v�� 3 v��2�

ou

A equação acima mostra que a presença de uma máquina pode acarretar variações da carga de pressão, da carga potencial e da carga cinética.

5. Potência da máquina e noção de rendimento

Antes de definir a potência da máquina, será definida a 'potência do fluido'.

Note-se que potência, por definição, é o trabalho por unidade de tempo.

Como o trabalho é uma energia mecânica, podemos generalizar definindo potencia como sendo qualquer energia mecânica por unidade de tempo e, daqui para a frente, será representado pelo símbolo N.

Dessa forma:

C � �TUV�WX YUZâTWZX\U� ]

Ou equivalentemente:

C � �TUV�WX YUZâTWZX U�] A U�]\U� ]

A energia por unidade de peso já foi definida anteriormente e foi denominada 'carga', e o peso por unidade de tempo é a vazão em peso.

Dessa forma:

C � ZXV�X A F! � ZXV�X A �F

Por esta equação, observa-se que, para calcular a potência referente ao fluido, deve-se multiplicar o peso específico pela razão em volume e pela sua energia por unidade de peso ou carga.

Logo:

C � �F2

EXEMPLO:

Calcular a potência do jato de um

Dados: vj = velocidade do jato; A

Solução:

A carga ou a energia do jato por unidade de peso é dada por:

Passando o PHR no centro do boatmosférica, sua pressão efe

Logo:

o que significa que o jato

Então a poténcia é :

Logo:

No caso da presença de uma máquina, verificoufluido por unidade de peso, é indicada por Hpotência referente ao fluido será dada por:

Ou, no caso de uma bomba

E no caso de uma turbina:

Calcular a potência do jato de um fluido descarregado no ambiente por um bocal.

= velocidade do jato; Aj = área do jato e γ = peso específico do fluido.

A carga ou a energia do jato por unidade de peso é dada por:

2 � ^� + v_�2� + �

Passando o PHR no centro do bocal, zj = 0. Como o jato é descarregado à pressão atmosférica, sua pressão efetiva será nula, isto é, pj = 0.

2 � v�2�

significa que o jato só tem carga cinética.

C � �F^2 � �v �^ v�2�

C � ��^vO2� � ��^vO2

aso da presença de uma máquina, verificou-se que a energia fornecida ou retirada do unidade de peso, é indicada por HM (carga manométrica). Logo, nesse caso, a

ao fluido será dada por:

C � �F2S

caso de uma bomba

C � �F2Q

C � �F2R

40

40

fluido descarregado no ambiente por um bocal.

= peso específico do fluido.

= 0. Como o jato é descarregado à pressão

se que a energia fornecida ou retirada do (carga manométrica). Logo, nesse caso, a

Note-se que, no caso da transmissão de potência, sempre evistem perdas e, portanto, a potência recebida ou cedida pelo fluido não coincide com a potência da máquina, que é definida como sendo a potência no seu eixo.

A potência de uma bomba será indicada por NFigura 4.6.

A potência NB, no caso do desenho, coincidiria com a potência do motor, mas nem sempre o motor é ligado diretamente no eixo, podendo exisque provoque perdas.

Pelo que foi dito anteriormente, N < Nao fluido, que se devem principalmente

Define-se rendimentfluido e a fornecida pelo eixo.

Logo:

O caso da turbina é ilustrado pela Figura 4.7.

se que, no caso da transmissão de potência, sempre evistem perdas e, portanto, a potência recebida ou cedida pelo fluido não coincide com a potência da máquina, que é

ndo a potência no seu eixo.

A potência de uma bomba será indicada por NB e é ilustrada esquemáticamente na

, no caso do desenho, coincidiria com a potência do motor, mas nem sempre o motor é ligado diretamente no eixo, podendo existir algum elemento de transmissão

Figura 4.6

Pelo que foi dito anteriormente, N < NB devido às perdas na transmissão da potência fluido, que se devem principalmente a atritos, mas que aqui não serão analisadas.

se rendimento de uma bomba (η) como a relação entre a potência recebida pelo fluido e a fornecida pelo eixo.

`Q � CCQ

CQ � CQ � �F2Q`Q

O caso da turbina é ilustrado pela Figura 4.7.

Figura 4.7

41

41

se que, no caso da transmissão de potência, sempre evistem perdas e, portanto, a potência recebida ou cedida pelo fluido não coincide com a potência da máquina, que é

e é ilustrada esquemáticamente na

, no caso do desenho, coincidiria com a potência do motor, mas nem tir algum elemento de transmissão

devido às perdas na transmissão da potência a atritos, mas que aqui não serão analisadas.

) como a relação entre a potência recebida pelo

Observe-se que, nesse caso, o fluxo de energia é do fNT < N.

Define-se rendimento de uma turbina (a potência cedida pelo fluido:

Logo:

As unidades de potência são dadas por unidades de tra

SI: N.m/s = J/s = W (Watt)

EXEMPLO:

O reservatório de grandes dimensões da figura fornece água para o tenque indicado com uma vazão de 10 L/s. Verificar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência, se o rendimento é 75%. Supor fluido ideal.

Dados: γH2O=104 N/m3; Atubos

Solução:

Como o fluido é considerado ideal, podee (2), lembrando que entre as duas existe a máquina esquerda não seja a nível coseguinte consideração: o reservatório, sendo de grandes dimensões, levará muito tempo para que seu nível seja alterado sensivelmente pela água desc

Logo, dentro de um certo intervalo de tempo, podemantendo dessa forma a hipótese de regime permanente. Lembre o leitor que, todas as vezes que se mencionar 'reservatório de grandes dimensõespode-se considerar a velocidade do fluido essas considerações,pode-se

se que, nesse caso, o fluxo de energia é do fluido para a turbina e, portanto,

se rendimento de uma turbina (ηT) como a relação entre a potência da turbina e a potência cedida pelo fluido:

`R � CRC

CR � C`R � �F2R`R

As unidades de potência são dadas por unidades de trabalho por unidade de tempo.

N.m/s = J/s = W (Watt).

O reservatório de grandes dimensões da figura fornece água para o tenque indicado com uma vazão de 10 L/s. Verificar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua

rendimento é 75%. Supor fluido ideal.

tubos=10 cm2; g = 10 m/s2.

Como o fluido é considerado ideal, pode-se aplicar a equação de Bernoulli entre as seções e (2), lembrando que entre as duas existe a máquina M. Mesmo qesquerda não seja a nível constante, será adotada a hipótese de regime permanente com a seguinte consideração: o reservatório, sendo de grandes dimensões, levará muito tempo para que seu nível seja alterado sensivelmente pela água descarregada por (2).

Logo, dentro de um certo intervalo de tempo, pode-se considerar que o seu nível é constante, forma a hipótese de regime permanente. Lembre o leitor que, todas as vezes

ervatório de grandes dimensões', essa hipótese é válida e, mais que isso, se considerar a velocidade do fluido no nível do reservatório praticamente nula. Com

se escrever.

42

42

luido para a turbina e, portanto,

) como a relação entre a potência da turbina e

balho por unidade de tempo.

O reservatório de grandes dimensões da figura fornece água para o tenque indicado com uma vazão de 10 L/s. Verificar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua

se aplicar a equação de Bernoulli entre as seções (1) que o reservatório da

a hipótese de regime permanente com a seguinte consideração: o reservatório, sendo de grandes dimensões, levará muito tempo para

arregada por (2).

se considerar que o seu nível é constante, forma a hipótese de regime permanente. Lembre o leitor que, todas as vezes

válida e, mais que isso, do reservatório praticamente nula. Com

43

43

2� + 2S � 2�

2� � �� + v��2� + ��

2� � �� + v��2� + ��

Adotando o PHR na base do reservatório (1), tem-se:

�� � 20� U �� � 5�

A pressão tanto na seção (1) como na seção (2), é igual à pressão atmosférica; logo, p1 = 0 e p2 = 0 na escala efetiva.

A velocidade na seção (1) é nula pelas considerações feitas ou v1 = 0.

Resta determinar v2.

Mas

v� � QA� � 10 A 10MO

10 A 10MN � 10 m/s 2� � 0 + 0 + 20 � 20 �

2� � 0 + 10�2 A 10 + 5 � 10 �

2S � 2� 3 2� � 10 3 20 � 310�

Logo:

Como no sentido do escoamento HM é negativo, conclui-se que a máquina é uma turbina, e como HM = -HT, então HT = 10 m.

Potência fornecida pelo fluido a turbina:

C � �F2R � 10N A 10 A 10MO A 10 A 11000 � 1 c

Potência da turbina com a noção de rendimento:

`R � CRC d]�]: CR � C. `R � 1 A 0,75 � 0,75 c

Observe que, pela equação de Bernoulli, calcula-se a potência posta posta em jogo pelo fluido. A potência realmente aproveitada pela turbina é menor, como se pode verificar pelo resultado.

6. Equação da energia para fluido real

Neste item será retirada a hipótese de fluido ideal; logo, serão considerados os atritos internos no escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de regime permanente, fluido incompressível, propriedades uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta última significa que não existe uma troca de calor provocada propositalmente; no entanto, ao se considerar os atritos no escoamento do fluido, devecalor do fluido para o ambiente causada pelos próprios atritos. Como será visto a seguir, a construção da equação da energia pode ser realizada sem se falar, explicitamente,de calor. Da equação de Bernoulli sabe(Figura 4.8).

Se, no entanto, houver atritos no transporte do fluido, entre as seções (1) e (2) haverá uma dissipação de energia, de forma que H

Querendo restabelecer a igualdade, será necessário somar no segundo membro a energia dissipada no transporte.

Hp1,2 = energia perdida entre (1) e (2) por unidade de peso do fluido.

ComoHp1,2 =H1 - H'perda de carga'.

Se for considerada também a presença de uma máquina entre (1) e (2), a equação dal energia ficará:

v��2g

Da equação acima seções onde não existe máquina, a energia é sempre decrescente no sentido do escoamento, isto é, a carga total a montante é sempre maior que a de jusante, desde que não haja máquina entre as duas.

Equação da energia para fluido real

Neste item será retirada a hipótese de fluido ideal; logo, serão considerados os atritos to do fluido. São mantidas as hipóteses de regime permanente, fluido

, propriedades uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta última não existe uma troca de calor provocada propositalmente; no entanto, ao se atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginar que haverá uma perda de

para o ambiente causada pelos próprios atritos. Como será visto a seguir, a da energia pode ser realizada sem se falar, explicitamente,

de calor. Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido fosse perfeito, H

Figura 4.8

Se, no entanto, houver atritos no transporte do fluido, entre as seções (1) e (2) haverá uma dissipação de energia, de forma que H1 > H2.

Querendo restabelecer a igualdade, será necessário somar no segundo membro a energia dissipada no transporte.

2� � 2� + 2��,�

= energia perdida entre (1) e (2) por unidade de peso do fluido.

H2 e como H1 e H2 são chamados cargas totais, H

Se for considerada também a presença de uma máquina entre (1) e (2), a equação dal

2� + 2S � 2� + 2��,�

��g + �� + �� + 2S � v��2g + �� + �� + 2��,�

deve-se notar que, no escoamento de um fluido real entre duas onde não existe máquina, a energia é sempre decrescente no sentido do escoamento,

isto é, a carga total a montante é sempre maior que a de jusante, desde que não haja máquina

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Neste item será retirada a hipótese de fluido ideal; logo, serão considerados os atritos to do fluido. São mantidas as hipóteses de regime permanente, fluido

, propriedades uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta última não existe uma troca de calor provocada propositalmente; no entanto, ao se

se imaginar que haverá uma perda de para o ambiente causada pelos próprios atritos. Como será visto a seguir, a

da energia pode ser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perda se que, se o fluido fosse perfeito, H1 = H2

Se, no entanto, houver atritos no transporte do fluido, entre as seções (1) e (2) haverá

Querendo restabelecer a igualdade, será necessário somar no segundo membro a

são chamados cargas totais, Hp1,2 é denominado

Se for considerada também a presença de uma máquina entre (1) e (2), a equação dal

e notar que, no escoamento de um fluido real entre duas onde não existe máquina, a energia é sempre decrescente no sentido do escoamento,

isto é, a carga total a montante é sempre maior que a de jusante, desde que não haja máquina

A potência dissipada pelos atritos é facilmente calcumaneira que para o cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou perdida por atrito poderá ser calculada por:

EXEMPLO

1) Na instalação da figura, determinar sua potência, sabendo que o seu rendimento é 75%. Sabeindicada por um manômetro instalado na seção (2) é 0,16 Mpa, a vazão é 10 L/s, a área da seção dos tubos é 10 cm2 e a persentido do escoamento. γH2O

otência dissipada pelos atritos é facilmente calculável raciocinando da mesma maneira que para o cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou perdida por atrito

C�ghh � �F2��,�

Na instalação da figura, verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar sua potência, sabendo que o seu rendimento é 75%. Sabeindicada por um manômetro instalado na seção (2) é 0,16 Mpa, a vazão é 10 L/s, a área da

e a perda de carag entre as seções (1) e (4) é 2 m. Não é dado o H2O = 104 N/m3; g = 10 m/s2.

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ável raciocinando da mesma maneira que para o cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou perdida por atrito

verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar sua potência, sabendo que o seu rendimento é 75%. Sabe-se que a pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 0,16 Mpa, a vazão é 10 L/s, a área da

de carag entre as seções (1) e (4) é 2 m. Não é dado o

Exercícios;

1) Determinar a velocidade do jato do líquido no orifício do tanque de grandes dimensões da figura. Considerar fluido

Determinar a velocidade do jato do líquido no orifício do tanque de grandes dimensões da figura. Considerar fluido ideal.

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Determinar a velocidade do jato do líquido no orifício do tanque de grandes dimensões

Resposta: v � i2gh

2) A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 25 kPa (abs). Desprezando as perdas, determinar:

a) a velocidade do fluido;

b) a máxima altura do ponto S em relação ao ponto (A);

Patm = 100 kPa; γ = 10

3) Sabendo qua a potência da bomba á 3kW, seu rendimento 75% e que o ecoamento é de (1) para (2), determinar:

a) a vazão; b) a carga manométrica da bomba; c) a pressão do gás. Dados:

Hp1,2 = Hp5,6 = 1,5 m;Hp3,4 = 0,7 m; Hp4,5 = 0; 3A5 = A4 = 100 cm2

γ = 104 N/m3.

A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 25 kPa (abs). Desprezando as perdas, determinar:

a velocidade do fluido;

a máxima altura do ponto S em relação ao ponto (A);

= 104 N/m3

Resposta: a) 4,9 m/s; b) z = 6,3 m.

Sabendo qua a potência da bomba á 3kW, seu rendimento 75% e que o ecoamento é de (1) para (2), determinar:

b) a carga manométrica da bomba;

= 1,5 m;

2;

Resposta: 47 L/s; b) 4,8 m;

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A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 25 kPa (abs).

Resposta: a) 4,9 m/s; b) z = 6,3 m.

Sabendo qua a potência da bomba á 3kW, seu rendimento 75% e que o ecoamento é

Resposta: 47 L/s; b) 4,8 m; -49 kPa.