Apostila-Mecanica-Aplicada

Mecânica Aplicada

_______________________________________ 1 de 49 Curso Técnico em Desenhos e Projetos Mecânicos

SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL – SENAI MG

MECÂNICA APLICADA

Mecânica Aplicada


Presidente da FIEMG Olavo Machado Júnior Gestor do SENAI Petrônio Machado Zica Diretor Regional do SENAI e Superintendente de Conhecimento e Tecnologia Lúcio José de Figueiredo Sampaio Gerente de Educação Profissional Edmar Fernando de Alcântara Unidade Operacional Centro Integrado de Desenvolvimento do Trabalhador “Luiz Adelar Scheuer” Revisão Centro Integrado de Desenvolvimento do Trabalhador “Luiz Adelar Scheuer”

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SSuummáárr iioo

Apresentação....................................... .................................................................. 5

1 Física e seu método .............................. ............................................................. 6

1.1 Sistema Internacional de Unidades (15º CGPM/1975) .................................. 8

1.2 Outras Unidades............................................................................................ 9

1.3 Prescrições Gerais ........................................................................................ 9

Tabela I – Prefixos SI ........................................................................................ 12

Tabela II – Outras Unidades do SI admitidas temporariamente ........................ 12

1.4 Precisão e Arredondamento dos Números .................................................. 15

1.5 Relações Métricas Lineares......................................................................... 16

Alfabeto Grego................................................................................................... 17

Exercícios (Sistemas de Unidades) ................................................................... 18

2 Cinemática Escalar ............................... ........................................................... 24

Estudo dos movimentos..................................................................................... 24

Ponto material e corpo extenso ......................................................................... 24

Repouso, movimento e referencial .................................................................... 24

Trajetória............................................................................................................ 24

Posição escalar ................................................................................................. 25

Deslocamento e caminho percorrido ................................................................. 26

Velocidade escalar média.................................................................................. 26

Velocidade escalar instantânea ......................................................................... 27

Exercícios (Cinemática Escalar) ........................................................................ 28

3 Movimento Uniforme............................... ......................................................... 29

Definição............................................................................................................ 29

Função Horária do MU ...................................................................................... 29

Exercícios (Movimento Uniforme)...................................................................... 30

4 Movimento Uniformemente Variado .................. ............................................. 32

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Aceleração escalar média.................................................................................. 32

Aceleração escalar instantânea......................................................................... 32

Movimento acelerado e retardado ..................................................................... 33

Definição............................................................................................................ 34

Funções horárias do M.U.V. .............................................................................. 34

Equação de Torricelli ......................................................................................... 35

Exercícios (Movimento Uniformemente Variado)............................................... 36

5 Movimento Vertical no Vácuo ...................... ................................................... 37

Introdução.......................................................................................................... 37

Descrição Matemática ....................................................................................... 37

Exercícios (Movimento Vertical no Vácuo) ........................................................ 37

6 Cinemática Vetorial .............................. ............................................................ 38

Grandezas escalares e grandezas vetoriais ...................................................... 38

Vetor .................................................................................................................. 38

Operações com vetores..................................................................................... 39

Projeções de um vetor....................................................................................... 40

Exercícios (Vetores) .......................................................................................... 40

7 Dinâmica ......................................... .................................................................. 41

Princípio da Inércia (1ª Lei de Newton).............................................................. 41

Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª Lei de Newton).................................... 41

Princípio da Ação-e-Reação (3ª Lei de Newton) ............................................... 42

Exercícios (Dinâmica) ........................................................................................ 42

8 Forças de Atrito................................. ............................................................... 45

Atrito Dinâmico .................................................................................................. 45

Exercícios (Atrito Dinâmico)............................................................................... 46

Atrito Estático..................................................................................................... 47

Exercícios (Atrito Estático)................................................................................. 48

Referências ........................................ .................................................................. 49

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Apresentação

“Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade do conhecimento.”

Peter Drucker O ingresso na sociedade da informação exige mudanças profundas em todos os perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produção, coleta, disseminação e uso da informação. O SENAI, maior rede privada de educação profissional do país, sabe disso, e, consciente do seu papel formativo, educa o trabalhador sob a égide do conceito da competência: “formar o profissional com responsabilidade no pr ocesso produtivo, com iniciativa na resolução de problemas , com conhecimentos técnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade , empreendedorismo e consciência da necessidade de educação continuada.” Vivemos numa sociedade da informação. O conhecimento, na sua área tecnológica, amplia-se e se multiplica a cada dia. Uma constante atualização se faz necessária. Para o SENAI, cuidar do seu acervo bibliográfico, da sua infovia, da conexão de suas escolas à rede mundial de informações – internet- é tão importante quanto zelar pela produção de material didático. Isto porque, nos embates diários, instrutores e alunos, nas diversas oficinas e laboratórios do SENAI, fazem com que as informações, contidas nos materiais didáticos, tomem sentido e se concretizem em múltiplos conhecimentos. O SENAI deseja, por meio dos diversos materiais didáticos, aguçar a sua curiosidade, responder às suas demandas de informações e construir links entre os diversos conhecimentos, tão importantes para sua formação continuada !

Gerência de Educação Profissional

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1 Física e seu método

Os sábios da antiga Grécia investigaram os fenômenos da natureza, como o movimento dos corpos terrestres e celestes, baseando-se na intuição e nas argumentações filosóficas, pois, não conheciam métodos experimentais que pudessem explicar os fatos corretamente. Desde esse tempo até o início do século XIX, a Física, que em grego significa natureza, fazia parte de um ramo de conhecimento mais amplo chamado Filosofia Natural.

Valendo-se somente do raciocínio (sem efetuar experiências) ditado pela intuição, verifique o seguinte: “Dois corpos de mesmo material, sendo um de 1 Kg e outro de 2kg, quando abandonados simultaneamente da mesma altura e no mesmo local, o mais pesado cai com mais rapidez duas vezes maior que o outro e, portanto, para atingir o solo, gastará metade do tempo do mais leve”. Esta afirmação é falsa ou verdadeira?

Agora, para dirimir as dúvidas, faça experiências abandonando, ao mesmo tempo, dois corpos de massas diferentes; por exemplo, dois gizes, sendo o tamanho de um deles o dobro do outro. Qual a sua conclusão? Eles chegam ao solo quase juntos, independentes da sua massa? A sua intuição estava certa errada? Você pode confiar nela?

A partir do século XVII, sábios notáveis como Galileu (1564-1624) e Isaac

Newton (1642-1727) deram grande impulso à Física através da introdução, por Galileu, de métodos experimentais na ciência, considerados uma das conquistas mais importantes do pensamento humano.

Com respeito à queda dos corpos, dependendo do seu grau de interesse, poderia dar um passo na sua indagação formulando as seguintes perguntas: “Será que a presença do ar influi no tempo de queda? Como seria o resultado se repetíssemos a experiência no vácuo?”

No momento, muito mais do que a exatidão da sua resposta, é importante que se desenvolva em você o hábito de observar, indagar, analisar e interpretar os fatos.

Tente dar um empurrão num corpo apoiado sobre um plano horizontal. Por

que após percorrer certa distância ele pára? Se polirmos a superfície cada vez mais, o corpo irá cada vez mais longe? Qual a sua conclusão? Sim ou não?

Valendo-se do raciocínio, você consegue generalizar (ou estender) a sua

conclusão para uma situação ideal (aquilo que é impossível na prática), afirmando que o corpo, uma vez colocado em movimento sobre uma superfície horizontal, plana e lisa, nunca irá parar se nada dificultar o seu deslocamento.

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As teorias científicas são freqüentemente estabelecidas com base nas condições ideais onde, por exemplo, se imagina uma superfície 100% lisa ou um ambiente totalmente vazio (100% vácuo). E, a partir destas idealizações, partem para situações mais complexas.

A partir do século XVII até o fim do século passado, gerações de cientistas dedicaram suas atenções ao estabelecimento das teorias de movimentos dos corpos, calor, som,. Luz, eletricidade e magnetismo.

Utilizando métodos de investigação cada vez mais aprimorados e convenientes para a sua finalidade, a partir do início deste século, os conhecimentos adquiridos no passado têm sido unificados e refinados, servindo de base para as incessantes descobertas científicas e para o estabelecimento de novas teorias, principalmente no domínio da estrutura da matéria.

Manipulando complexos instrumentos de medição e análise, muitas vezes acoplados a um sistema de computadores, muitos físicos trabalham nas universidades, institutos de pesquisa mantidos pelos governos, centros de pesquisa das indústrias e outras organizações, todas elas realizando pesquisas nos diversos ramos em que a Física se subdividiu, tais como a física nuclear, física o estado sólido, física dos reatores, física espacial, astrofísica, biofísica, geofísica, oceanografia física, física das partículas elementares e física dos plasmas.

• Notação Científica

1º Caso : Quando a vírgula é deslocada para a esquerda, o expoente de 10 é positivo e igual ao número de casas deslocadas. Ex.: 327 000 000 000 = 3,27 x 1011 2º Caso: Quando a vírgula é deslocada para a direita, o expoente de 10 é negativo e igual ao número de casas deslocadas. Ex.: 0,000 000 048 = 4,8 x 10-8

Operações: SOMA E SUBTRAÇAO: é necessário que os expoentes sejam o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. Exemplos:

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MULTIPLICAÇÃO Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. Exemplos:

DIVISÃO Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. Exemplos:

EXPONENCIAÇÃO A mantissa é elevada ao expoente externo e o congruente da base dez é multiplicado pelo expoente externo.

RADICIAÇÃO Antes de fazer a radiciação é preciso transformar um expoente para um valor múltiplo do índice. Após feito isso, o resultado é a radiciação da mantissa multiplicada por dez elevado à razão entre o expoente e o índice do radical.

1.1 Sistema Internacional de Unidades (15º CGPM/197 5)

a) Unidades de Base

Unidade Símbolo Grandeza Metro m Comprimento Quilograma kg Massa Segundo s Tempo Ampère A Corrente

Kelvin K Temperatura termodinâmica

Mol mol Quantidade de matéria Candela cd Intensidade luminosa

b) Unidades Suplementares

Unidade Símbolo Grandeza

Radiano rad Ângulo plano Esterradiano sr Ângulo sólido

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c) Unidades derivadas, deduzidas, direta ou indiretamente das unidades de base e suplementares.

d) Os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades acima que são

formadas pelo emprego dos prefixos SI da tabela I. 1.2 Outras Unidades

As unidades fora do SI admitidas no QGU são de duas espécies: a) Unidades aceitas para uso SI, isoladamente ou combinadas entre si e ou

com unidades SI, sem restrição de prazo (tabela II). b) Unidades admitidas temporariamente (tabela II).

É abolido o emprego das unidades do CGS, exceção feita ás que estão compreendidas no SI e as mencionadas na tabela II. 1.3 Prescrições Gerais • Grafia dos nomes de unidades Quando escritos por extenso, os nomes de unidades devem ser iniciados com letra minúscula, mesmo quando representem um nome ilustre de ciência.

Ex.: newton, watt, ampère, joule, ... exceto o grau Celsius.

Na expressão do valor numérico de uma grandeza, a respectiva unidade pode ser escrita por extenso, ou representada pelo sei símbolo. (Ex. newton por metro ou N/m), não sendo admitidas partes escritas por extenso misturadas com partes escritas por símbolo. • Plural dos Nomes de Unidades

Unidades escritas por extenso, obedecem às seguintes regras básicas: a) Os prefixos SI são invariáveis b) Os nomes de unidades recebem a letra “S” no seu final, exceto nos casos

de alínea C. 1- As palavras simples são escritas no plural da seguinte forma:

Ex.: quilogramas, volts, joules, ampères, newtons, farads. 2- Quando as palavras são compostas, e o elemento complementar de um

nome de unidade não é ligado por hífen. Ex.: metros quadrados, decímetros cúbicos, milhas marítimas.

3- Quando o termo é resultante de um produto de unidades. Ex.: newtons-metro, watts-hora, ohms-metro, ... Observação: Segundo esta regra, e a menos que o nome da unidade entre no uso

vulgar, o plural não desfigura o nome que a unidade tem no singular. Ex.:

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decibels, henrys, mols... . Não são aplicadas às unidades algumas regras usuais na formação do plural de palavras.

c) Os nomes ou partes dos nomes de unidades não recebem “S” no final.

1- Quando terminam em S, X ou Z. Ex.: siemens, lux, hertz, etc.

2- Quando correspondam ao denominador de palavras compostas por divisão, por exemplo: quilômetros por hora, metros por segundo, etc.

3- Quando, em palavras compostas, são elementos complementares de nomes de unidades e ligados a estes por hífen ou preposição. Ex.: anos-luz, quilogramas-força, etc.

• Grafia dos Símbolos de Unidades A grafia dos símbolos de unidade obedece às seguintes regras básicas:

a) Os símbolos são invariáveis, não sendo permitido colocar ponto significando abreviatura, ou acrescentar “S” no plural, por exemplo, o joule é J e não J. ou Js (no plural).

b) Os prefixos do SI jamais poderão aparecer justapostos num mesmo símbolo, ex.: GWh (giga watt-hora) e nunca MkWh (mega quilowatt-hora).

c) Os prefixos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou divisão, por exemplo: kN.mm, kW.mA, MW.cm, etc.

d) O símbolo deverá estar alinhado com o número a que se refere, não como expoente ou índice; constituem exceção ângulos e o símbolo do grau Celsius.

e) O símbolo de uma unidade composta por multiplicação pode ser representado pela justaposição dos símbolos componentes e que não cause ambigüidade [VA, kWh, etc], ou mediante a colocação de um ponto entre os símbolos componentes, na base da linha ou a meia altura [kgf. m ou kgf. m].

f) O símbolo de uma unidade de uma relação pode ser representado das três maneiras exemplificadas a seguir, não devendo ser empregada a última forma quando símbolo, escrito em duas linhas diferentes, causar confusão.

W/ [cm² ºC], W.cm -2. ºC -1 Ccm

w

²º

Quando um símbolo com prefixo tem expoente, deve-se entender que esse

expoente afeta o conjunto prefixo-unidade, como se o conjunto estivesse entre parênteses.

Exemplos: ml = 10-3 ℓ mm² = 10 -6 m²

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• Grafia dos Números

As preposições desta secção são inaplicáveis aos números que não estejam representando quantidade. Exemplos: telefones, datas, nº.de identificação.

Para separar a parte inteira da decimal de um número, é empregada sempre

uma vírgula; quando o valor absoluto do número for menor que 1, coloca-se zero à esquerda da vírgula.

Os números que representam quantias em dinheiro, ou quantidades de mercadorias, bens ou serviços em documentos fiscais, jurídicos e ou comerciais, devem ser escritos com os algarismos separados em grupos de três, a contar da vírgula para a esquerda e para a direita, com os pontos separando esses grupos entre si.

Nos demais casos, é recomendado que os algarismos de parte inteira e os de parte decimal dos números sejam separados em grupos de três, a contar da vírgula para a esquerda e para a direita, com pequenos espaços entre esses grupos (exemplo, em trabalhos técnico-científicos); mas é também admitido que os algarismos da parte inteira e os da parte decimal sejam escritos seguidamente, isto é, sem separação em grupos.

Para exprimir números sem escrever ou pronunciar todos os seus algarismos:

a) Para os números que representam dinheiro, mercadorias ou bens de serviço são empregadas as palavras; mil = 10³ = 1000 milhão = 10 6 = 1000 000 bilhão = 10 9 = 1000 000 000 trilhão = 10 12 = 1000 000 000 000 b) Em trabalhos técnicos ou científicos, recomenda-se a utilização da

tabela I.

Espaçamento entre um número e o símbolo da unidade correspondente deve atender à conveniência de cada caso.

Exemplos:

a) Frase de textos correntes, normalmente utiliza-se meia letra, para que não haja possibilidade de fraude.

b) Em colunas de tabelas, é facultado utilizar espaçamentos diversos entre os números e os símbolos das unidades correspondentes.

Pronúncia dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidades. Na forma oral, são pronunciadas por extenso. Exemplos:

ml – mililitro µ - micrometro (não confundir com micrômetro instrumento)

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Tabela I – Prefixos SI Nome Símbolo Fator de Multiplicação exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 tera T 1012 = 1 000 000 000 000 giga G 109 = 1 000 000 000 mega M 106 = 1 000 000 quilo k 10³ = 1 000 hecto h 10² = 100 deca da 10 deci d 10-1 = 0,1 centi c 10-2 = 0,01 mili m 10-3 = 0,001 micro µ 10-6 = 0,000 001 nano n 10-9 = 0,000 000 001 pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

Tabela II – Outras Unidades do SI admitidas tempora riamente Nome da Unidade Símbolo Valor do SI angstrom A 10-10 m atmosfera atm 101325 Pa bar bar 105 Pa barn b 10-28 m² *caloria cal 4,1868 J *cavalo-vapor cv 735,5 W curie ci 3,7x1010 Bq gal Gal 0,01 m/s² *gauss Gs 10-4 T hectare ha 104 m² *quilograma-força kgf 9,80665 N *milímetro de Hg mmHg 133,322 Pa (aproximado) milha marítima 1852 m nó 1852/3600m/s milha marítima por hora *quilate 200 mg não confundir com ligas de ouro rad 0,01 Gy

As unidades com asterisco deverão ser gradativamente substituídas pelas unidades do SI.

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Unidades Fundamentais e Derivadas

As unidades fundamentais foram definidas arbitrariamente e constituem-se em: L – comprimento L – comprimento M – Massa ou F – força T – Tempo T – tempo As unidades derivadas são obtidas em função das fundamentais.

Sistema CGS É um sistema do tipo LMT sendo constituído pelas seguintes unidades

fundamentais: L – [cm] M – [g] T – [s] Exemplos de unidades derivadas no CGS: velocidade (MRU)

[v] = t

S

∆∆

= ][

][

s

cm = [cm/s]

aceleração [ α] aceleração normal da gravidade

[α] = ][

][

t

v

∆∆

= ]/

[s

scm = ]

²[

s

cm g = 980,665 cm/s²

Sistema MKS (Giorgi) Sistema Internacional (SI)

É também um sistema do tipo LMT, sendo suas unidades fundamentais: L – [m] M – [kg] T – [s] Exemplo de unidades derivadas: velocidade (MRU) força

[V] = ][

][

t

s

∆∆

= ]/

[s

sm = [m/s²] [F] = [m] . [a] = [kgm/s²] = [N]

aceleração (MUV) aceleração normal da gravidade

[α] = ][

][

t

v

∆∆

= ]/

[s

sm = [m/s²] g = 9,80665 m/s²

Este sistema é recomendado pelo decreto nº81621 de 03/05/78, gradativamente, substituirá o sistema técnico.

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Sistema MKS (Sistema Técnico)

É um sistema do tipo LFT. Suas unidades fundamentais são: L – [m] F- [kgf ou kp] T – [s] O sistema MKS* (técnico) aos poucos será substituído na engenharia pelo SI (Sistema Internacional MKS Giorgi) kp ou kgf = 1kg . 9,80665 m/s² kp ou kgf = 9,80665 N Na prática, ainda são utilizadas unidades como: gf = 10-3 kgf = 10-3 kp tf = 10³ kfg = 10³ kp

Sistemas de Unidades Inglesas Sistema FPS é um sistema do tipo LFT, ou seja; L – Comprimento (foot) – [pé] F – Força (power) – [ l b] t – Tempo (second) – [s] Unidade de massa neste sistema é o slug.

m = )(

)²).((

pé

segundolibra =

pé

sb ².l = (slug)

Para facilitar a escrita, abrevia-se pé através de um traço superior acima da medida.

Exemplo: 18 pé = 18’

Relação da unidade de medida pé com o sistema métrico pé = 30,48 cm = 304,8 mm

Nas escritas inglesas ou americanas, é comum encontra-se o símbolo ft (foot). A unidade de força no FPS é a libra )( bl ou mais apropriadamente conhecida como libra=força, podendo ser encontrada na sua escrita simbólica como:

l b ou l bf ou ainda l b*. A simbologia mais adequada é l b.

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))²(

(segundo

polegada

Sistema IPS é um sistema do tipo LFT, ou seja: L – comprimento – (inch) - [pol] F- força – (power) - [ l b] T – Tempo – (second) - [s] Unidade de massa no sistema

m =a

F=

)( polegadalibra −

m = )(

)²)((

polegada

segundoforçalibra −

m ]².

[pol

sbl denomina-se libra massa.

Como é massa sistema do LFT, predomina a unidade de força, que simbolicamente será representada por l b como foi exposto anteriormente.

Relações importantes do sistema com os sistemas técnico, e Giorgi (MKS) Pol = 25,4 mm l b = 0,4536kgf ≈ 4,4483 N Na escrita simbólica da polegada, ingleses, americanos e demais países que utilizam este sistema usam as representações: pol; in ou ainda (”) pol – símbolo adaptado por “abreviação” da língua portuguesa. in – (inch) polegada em inglês. (”) – simbologia simplificada para facilitar a escrita. Exemplo:

4

1 pol =

4

1 in =

4

"1

1.4 Precisão e Arredondamento dos Números Quando a precisão de um número é necessária, deve-se aprender a aplicar as regras de arredondamento. E muito importante saber que precisão desnecessária desperdiça tempo e dinheiro. Por exemplo: Ao se apressar o número de rolamentos 6208 existentes no almoxarifado de uma determinada indústria, a resposta será expressa somente por um número

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inteiro, pois em nenhuma hipótese existirá no almoxarifado 10,4 ou 9,7 rolamentos, e isto sim 10 rolamentos. Quando pesamos uma caixa encontramos como resposta 100 N, (3 algarismos significativos), nunca se deve se dar como resposta 100,000 N, se a precisão não exigir (sejam algarismos significativos), pois isto significa ler a escala em 0,001 N (milésimos de Newton) o que é absolutamente inadequado para o caso. As regras principais de arredondamento são: 1 - Manter inalterado o dígito anterior se o dígito subseqüente for menos que “5” (<5). Exemplo: Suponha-se o número 365,122 Arredondando o número acima tem-se: 365,12 – para 5 algarismos significativos 365,1 – para 4 algarismos significativos 2 - Acrescentar uma unidade ao último dígito a ser mantido quando o posterior for “≥5” (maior ou igual a 5). Exemplo : Suponha-se o número 26,666 Arredonda-se o número para: 26,67 – para 4 algarismos significativos 26,7 – para 3 algarismos significativos 27 – para 2 algarismos significativos 3 – Manter inalterado o último dígito se o primeiro dígito a ser desprezado for “5” seguido de “zeros”. Exemplo: Seja o número 34,650 Arredonda-se para: 34,6 – para 3 algarismos significativos. 4 – Aumentar o último dígito em uma unidade se o número for ímpar e se o último dígito for “5” seguido de “zeros”. Exemplo: sejam os números 235,5 e 343,50 arredonda-se o número 235,5 para 236 – 3 algarismos significativos. arredonda-se o número 343,50 para 344 – 3 algarismos significativos. 1.5 Relações Métricas Lineares m = 10 dm m = 10³ mm m = 10² cm m = 39,37 pol m = 3,28 pé milha marítima = 1852 m milha terrestre = 1609 m jarda ≈ 91,44 cm ano-luz = 9,46 x 1015 m braça = 1,83 m

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Relações métricas do quadrado Dado o quadrado de lado igual a 1m, determinar as seguintes relações:

a) m² e dm² b) m² e cm² c) m² e mm² d) m² e pol² e) m² e pé²

a) m² e dm² m = 10 dm m² = (10 dm)² m² = 100 dm²

b) m² e cm² m = 100 cm m² = (100 cm)² m² = 10 000 cm²

c) m² e mm² m = 10³ mm m² = (10³ mm)² m² = 106 mm²

d) m² e pol² m = 39,37 pol m² = (39,37 pol)² m² = 1550 pol² m² = 1,55 x 10³ pol²

e) m² e pé² m = 3,28 pé m² = (3,28 pé)² m² = 10,76 pé²

Portanto: m² = 100 dm² = 10 000 cm² = 106 mm² = 1550 pol² = 10,76 pé² Relações métricas do cubo m³ = 10³ dm³ = 106 cm³ = 109 mm³ = 6,1023 x 104 pol³ = 35,3 pé³ obs.: ℓ = dm³ (litro) Alfabeto Grego

Α α Alfa Ι ι Iota Ρ ρ Rô Β β Beta Κ κ Kappa Σ σ Sigma Γ γ Gama Λ λ Lambda Τ τ Tau ∆ δ Delta Μ µ Mi Υ υ Upsilon Ε ε Épsilon Ν ν Ni Φ ϕ,φ Fi Ζ ζ Dzeta Ξ ξ Ksi Χ χ Khi Η η Eta Ο ο Ômicron Ψ ψ Psi Θ θ Théta Π π Pi Ω ω Ômega

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Exercícios (Sistemas de Unidades) Ex. 1 – Dadas as medidas em milésimos de polegada (”), pede-se expressa-las

em [mm].

a) 0,393” b) 0,750”

c) 0,325” d) 0,875”

e) 0,600” f) 0,120”

Ex. 2 – Dadas as medidas em polegada fracionária (”), pede-se expressá-las em

[mm].

a) 8

"5 b) 2

4

"1 c)

16

"3 d)

64

"19

Ex. 3 – Dadas as medidas em “mm”, expresse-as em milésimos de polegada.

a) 15,24 mm b) 21,59 mm

c) 30,48 mm d) 8,255 mm

e) 11,430 mm f) 4,445 mm

Ex. 4 – Dadas as medidas em “mm”, expresse-as em “polegada fracionária”.

a) 10,31875 mm b) 17,4625 mm

c) 14,2875 mm d) 3,96875 mm

e) 5,55625 mm f) 3,571875 mm

Ex. 5 – Dadas as medidas em pé expresse-as em “mm”.

a) 15’ b) 12’ c) 7,5’ d) 18’

Ex. 6 – Um pé equivale a quantas polegadas?

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Ex. 7 – Sabemos que por definição cv = 75 kgfm/s e que kgf.m = 9,80665 J.

Expressar cvh em joules.

Ex. 8 – Sabendo-se que: pé = 30,48 cm e pol = 2,54 cm. Determinar as relações

entre:

a) pé² e m²; b) pol² e m²;

c) pé³ e m³ d) pol³ e m³

Ex. 9 – Em uma prova automobilística, o piloto A foi o vencedor, com seu carro

perfazendo o percurso, com ν m = 180 km/h. Expressar ν m em:

a) km/min

b) km/s

c) m/s

Ex. 10 – No dimensionamento de circuitos automáticos e em outras aplicações na

engenharia, é utilizada a unidade de pressão bar = 105 N/m² (pascal). Expressar

bar em:

a) kgf/m²

b) kgf/cm²

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c) kgf/mm²

d) l b/ pol² (psi)

Ex. 11 – Unidade de pressão utilizada na indústria, o psi significa libra/polegada

quadrada. Sabe-se que:

Kgf = 1 / 0,4536 ℓb = 9,80665 N

pol = 2,54 cm cm = 1 / 2,54 pol

a) kgf/cm² equivale a quantos psi

b) N/cm² equivale a quantos psi

Ex. 12 – Para calibrar os pneus do Chevette, deve-se observar as seguintes

recomendações da Chevrolet.

Para Calibragem de Pneus a Frio

Quando o automóvel estiver carregado com no máximo 03 pessoas, as pressões

indicadas são:

DIANT - 1,2 kgf/cm² TRAS - 1,5 kgf/cm²

12.1.2 Quando o automóvel estiver carregado com 5 pessoas, as pressões

indicadas são:

DIANT - 1,4 kdf/cm ² TRAS - 1,7 kgf/cm²

Para Calibragem de Pneus a Quente

Para percursos com velocidades acima de 100 km/h por mais de uma hora ou

quando os pneus forem calibrados a quente, adicionar 0,14 kgf/cm².

Mecânica Aplicada


Expressar as pressões indicadas em psi (l b/pol²)

- Pressões expressas em psi para veículo carregado com até 03 pessoas.

DIANT

TRAS

- Pressões em psi para veículo com 05 pessoas.

DIANT

TRAS

- Para pneus calibrados a quente é recomendado adicionar 0,14 kgf/cm²

Ex. 13 – A aceleração normal da gravidade é gn = 9,80665 m/s². Expressar gn em

[km/h].

Ex. 14 – A tabela a seguir representa o

módulo de elasticidade de alguns

materiais, dados em [kgf/cm²]. Expressar

esses valores em [kgf/mm²]; [N/cm²];

[N/mm²].

Ex. 15 – A área da secção transversal da viga I, representada na figura, possui as

seguintes características geométricas:

Jx = 920 cm4 (momento de inércia relativo ao eixo x)

Wx = 120 cm³ (módulo de resistência relativo a x)

ix = 6,24 cm (raio de giração relativo ao eixo x)

Expressar as características das em:

a) m4; m³; m

Material Módulo de elasticidade E

[kgf/cm²]

aço 2,1 x 106

alumínio 0,7 x 106

fofo nodular 1,4 x 106

cobre 1,12 x 106

estanho 0,42 x 106

Mecânica Aplicada


b) mm4; mm³; mm

Ex. 16 – A produção de petróleo no Brasil, em 1984, foi de 500.000 barris/dia.

Essa produção equivale a:

a) Quantos litros de petróleo/dia

b) Quantos metros cúbicos de petróleo/dia

barril de petróleo ≅ 159 l

Ex. 17 – Unidade de tensão utilizada no SI (Sistema Internacional), o Mpa

(megapascal) corresponde a 106 Pa ou 106 N/m². Determinar as relações entre:

a) MPa e N/cm² b) MPa e N/mm²

c) MPa e kgf/cm d) MPa e kgf/mm²

Ex. 18 – No dimensionamento de redes hidráulicas, utiliza-se a unidade de

pressão mH2O (metro coluna d’água), que corresponde a 9806,65 N/m².

Determinar as relações entre:

a) mH2O e kPa; b) mH2O e kgf/cm²; c) mH2O e bar.

Dados

N = 80665,9

1 e bar = 105 N/m²

Mecânica Aplicada


Ex. 19 – Por definição, tem-se que: cv = 735,5W (cavalo-vapor) e hp = 745,7W

(horse-vapor). Determinar a relação entre cv e hp. Obs.: Na prática, normalmente

utiliza-se hp = cv.

Ex. 20 – Sabe-se que, por definição, W = J/s, cal = 4,186 J e kgfm = 9,80665 J.

Pede-se determinar as relações entre:

a) kWh e J; b) kWh e kgfm; c) kWh e kcal.

Ex. 21 – Nos projetos de sistemas de ar condicionado, utiliza-se unidade de

caloria BTU, que significa a quantidade de calor necessária para se elevar 1 libra

de H2O à temperatura de 1°F. Determinar as relações ent re:

Sabe-se que, BTU = 1,0546 x 10³ J (a 60°F aproxima damente 15,5 °C).

a) BTU e kWh; b) BTU e cvh.

Ex. 22 – Por definição, tem-se que: kgf.m = 9,80665 J, kW = 10³ W e hp = 745,7W.

Determinar as relações entre:

a) kW e kgf /s; b) hp e kgfm/s.

Ex. 23 – A vazão do fluido, com escoamento em um regime permanente, no tubo

de uma rede de distribuição, corresponde ao volume do fluido escoado na unidade

de tempo. Determinar as relações entre as unidades de vazão que seguem:

a) m³/s e l /s; b) m³/ h e l /s.

Mecânica Aplicada


2 Cinemática Escalar Estudo dos movimentos Ponto material e corpo extenso

Consideremos um veículo fazendo uma viagem de Cataguases ao Rio de Janeiro. Como suas dimensões são desprezíveis quando comparados com a distância por ele percorrida, dizemos que o veículo é um ponto material , uma partícula ou um móvel.

Ponto material é todo corpo cujas dimensões não interferem no estudo de um determinado fenômeno. Observamos que o ponto material tem massa; o que é desprezível é o seu tamanho.

Suponhamos, agora o mesmo veículo no interior de uma garagem. Neste caso, suas dimensões não podem ser desprezadas, quando comparadas com a largura e o comprimento da garagem; então o carro é denominado um corpo extenso. Corpo extenso é todo corpo cujas dimensões interferem no estudo de um determinado fenômeno. Repouso, movimento e referencial

Consideremos uma pessoa A dentro de um trem que anda para a direita, e uma outra pessoa C em pé, na estação. Tomando a pessoa C como referência, verificamos que a distância entre ela e A varia com o tempo. Neste caso, dizemos que A está em movimento em relação a C.

Supondo, agora, que outra pessoa B esteja junto com A no trem, e tomando novamente B como referência, verificamos que a distância entre elas não varia com o tempo. Neste caso, dizemos que A está em repouso em relação a B.

O corpo B e C, que tomamos como referência nos dois exemplos, é denominado referencial .

O referencial é indispensável para determinar a posição de um objeto e também necessário para verificar se um objeto se movimenta ou está em repouso.

Qualquer corpo está em repouso em relação a determinados referenciais e em movimento em relação a outros referenciais. Trajetória

A faixa que um avião da esquadrilha da fumaça deixa no céu, e que representa o caminho percorrido pelo avião em relação a uma pessoa parada no solo, é denominada trajetória.

A trajetória depende do referencial adotado. Por exemplo, suponha um avião voando com velocidade constante. Se num certo instante ele abandonar uma bomba, ela cairá segundo uma trajetória vertical em relação às pessoas do

Mecânica Aplicada


avião. Porém, para um observador parado no solo, vendo de lado o avIão, a trajetória da bomba será parabólica. De acordo com a trajetória, os movimentos recebem os seguintes nomes: movimento retilíneo : a trajetória é uma reta. movimento curvilíneo : a trajetória é uma curva.

Num outro exemplo, suponha a trajetória de

um ponto marcado na extremidade da hélice de um avião em movimento.

No referencial do avião, a trajetória será circular, mas no referencial da Terra a trajetória será helicoidal (tipo espiral de caderno) Posição escalar

Quando sabemos a forma da trajetória de um corpo, podemos determinar sua posição no decorrer do tempo através de um único número chamado abscissa do corpo. Exemplo: Consideremos um corpo movimentando-se sobre a trajetória da figura

Para localizarmos esse corpo num determinado instante, adotamos arbitrariamente um ponto O sobre a trajetória, ao qual chamaremos origem das posições, e orientamos a trajetória positivamente, por exemplo, para a direita a partir de O.

Para conhecer a posição do corpo, isto é,

sua abscissa, num certo instante, precisamos conhecer sua distância em relação ao ponto O.

Costumamos representar a posição de um corpo num instante dado pela letra s. Essa posição será positiva se o corpo estiver à direita da origem e negativa se estiver à esquerda. Na trajetória a seguir temos: a posição do corpo no instante t = 1 h é s = -4 km a posição do corpo no instante t = 2 h é s = 3 km a posição do corpo na origem é s = O

Posição escalar de um corpo é a medida da distância do corpo até a origem das posições, num determinado instante

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Deslocamento e caminho percorrido

Consideremos uma pessoa que sai do ponto A e passa pelos pontos B, C e D, onde pára, seguindo a trajetória Indicada na figura.

Podemos calcular o caminho percorrido pela pessoa efetuando a soma dos segmentos: Caminho percorrido = AB + BC + CD Caminho percorrido = 100 + 400 + 400 = 900 m

Já o deslocamento é a medida do

segmento que representa a distância entre a posição inicial e a posição final da pessoa. Utilizando o teorema de Pitágoras,teremos: d² = 400² + 300² d² = 160 000 + 90 000 d = 500 m

Se a trajetória é curva, o deslocamento não coincide com o caminho

percorrido pelo corpo.

Na figura, o deslocamento do corpo ao passar do ponto A para o ponto B é

a medida do segmento AB, e o caminho percorrido é a medida do arco AB. Quando a trajetória é uma reta e o corpo se movimenta sempre no mesmo

sentido, o deslocamento e o caminho percorrido coincidem. Se houver inversão de sentido, eles não serão iguais.

Velocidade escalar média Consideremos um carro percorrendo a trajetória indicada na figura.

Suponhamos que, para percorrer a variação de espaço 12 sss −=∆ ,o carro

leve o tempo 12 ttt −=∆ .

Mecânica Aplicada


Define-se como velocidade escalar média do carro, entre os instantes t1 e t2, a grandeza vm dada por:

A unidade de velocidade no Sistema Internacional é o metro por segundo e se indica por m/s. Podemos, também, utilizar o quilômetro por hora, que se indica km/h. Observações: 1) Se o carro se movimentar no sentido positivo da trajetória, teremos:

0012 >∴>∆⇒> mvsss 2) Se o carro se movimentar no sentido contrário ao positivo da trajetória, teremos:

0012 <∴<∆⇒< mvsss 3) Quando dizemos que a velocidade média de um corpo durante um certo intervalo de tempo é de 70 km/h, isto não quer dizer que durante todo esse intervalo de tempo o corpo teve sempre esta velocidade. Velocidade escalar instantânea

Consideremos que você esteja dirigindo um carro numa estrada. Suponhamos também que você anote a velocidade do carro no decorrer do tempo, obtendo a tabela abaixo.

O valor da velocidade do carro num

determinado instante denomina-se velocidade escalar instantânea.

Exemplo: Às 7h o velocímetro estava marcando 60 km/h. Isto significa que no instante

t = 7h a velocidade do carro era 60 km/h, isto é, o carro percorreria 60 km em uma hora se mantivesse a velocidade assinalada naquele instante.

instante velocidade em km/h 7h 60 7hl5min 80 7h40min 50 8h 20

12

12

tt

ss

t

svm −

−=∆∆=

Mecânica Aplicada


Como o velocímetro do automóvel não indica se ele está se movimentando no mesmo sentido ou em sentido contrário ao positivo da trajetória, estabelecemos a convenção: sentido sinal

mesmo da trajetória

v > 0 (positivo)

movimento progressivo Velocidade

escalar instantânea contrário da

trajetória

v < 0 (negativo)

movimento retrógrado

Se a velocidade escalar instantânea de um móvel num dado instante for v =

-6 m/s, isto significa que, no instante dado, o móvel caminha em sentido contrário ao positivo da trajetória. Exercícios (Cinemática Escalar) 1) Um ônibus percorre uma distância de 180 km em 2h 30 min. Calcular a velocidade escalar média do ônibus em m/s, durante esse percurso. 2) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea AB, onde M é o ponto médio, sempre no mesmo sentido e com velocidade constante em cada um dos trechos AM e MB. A velocidade da partícula no trecho AM é de 6 m/s e no trecho MB é de 3 m/s. Calcular a velocidade média da partícula entre os pontos AB.

Mecânica Aplicada


3 Movimento Uniforme Definição

Se um ponto material em movimento (geralmente denominado “móvel”) apresenta uma velocidade constante no decorrer do tempo, diremos que ele executa um movimento uniforme (MU).

Nessas condições a velocidade em qualquer instante apresenta o mesmo valor que a velocidade média, ou seja:

vm = v ↔ MOVIMENTO UNIFORME (M.U.) Função Horária do MU

Considere um móvel em movimento uniforme na trajetória esquematizada a seguir:

No instante inicial t0 = 0, a posição inicial é s0. No instante final t, a posição final é s. A velocidade média nesse intervalo de tempo será:

tvsstss

vt

ssts

V mm .0 0

00 =−⇒−=⇒

−−=

∆∆=

(função horária do MU) onde s0 e v são constantes (v ≠ 0) e s e t são variáveis, isto é, a cada valor de t existe um correspondente valor de s. EXEMPLOS 1) Um móvel realiza um movimento que obedece à função: s = -20 + 5.t a) Qual é a posição inicial (s0) e a velocidade (v) do móvel? s = s0 + v.t s0 = -20 m s = -20 + 5.t v = 5 m/s b) Qual é a posição do móvel nos instantes 0, 2s, 4s e 5s? t = 0 s= -20 + 5.0 = -20 + 0 = -20 m t = 2s s = -20 + 5.2 = -20 + 10 = -10 m t = 4s s = -20 + 5.4 = -20 + 20 = 0 m t = 5s s = -20 + 5.5 = -20 + 25 = + 5 m

tvss .0 +=

Mecânica Aplicada


2) Um móvel em movimento uniforme parte da posição 100m e 3s depois passa pela posição 70m. Pedem-se: a) a velocidade do móvel: t = 0 s0 =100m t = 3s s = 70m

smvtss

vv m /10330

03100700 −=⇒

−=−−=−==

b) a função horária das posições. s0 = 100 v = - 10 m/s s = s0 + v.t s = 100 -10 t c) o movimento é progressivo ou retrógrado? O movimento é retrógrado, pois a velocidade é negativa (v = -10 m/s). Exercícios (Movimento Uniforme) 1) É dada a função horária s = 20 – 4t (para t em horas e s em km), que descreve o movimento de um ponto material num determinado referencial. Os espaços s são medidos numa trajetória a partir de um marco zero. Os instantes t são lidos num cronômetro. Determine: a) o espaço inicial e a velocidade escalar; b) o tipo do movimento e se o mesmo é progressivo ou retrógrado; c) o espaço do móvel quando t = 2h; d) o instante quando o móvel está na posição cujo espaço é igual a 8 km; e) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.

Mecânica Aplicada


2) Duas estações A e B estão separadas por 200 km, medidos ao longo da trajetória. Pela estação A passa um trem P, no sentido de A para B, e simultaneamente passa por B um trem Q, no sentido de B para A. Os trens P e Q têm movimentos uniformes com velocidades de valores absolutos 70 km/h e 30 km/h, respectivamente. Determine o instante e a posição do encontro. 3) Determine o intervalo de tempo para a luz vir do Sol à Terra. No vácuo, a velocidade da luz é constante e aproximadamente igual a 3,0 x 105 km/s. A distância entre o Sol e a Terra é de 1,49 x 108 km. Considere o movimento de propagação da luz como retilíneo e uniforme. 4) Um atirador aponta para um alvo e dispara um projétil, que sai da arma com velocidade de 300 m/s. O impacto do projétil no alvo é ouvido pelo atirador 3,2 s após o disparo. Sendo de 340 m/s a velocidade de propagação do som no ar, calcule a distância do atirador ao alvo. 5) Dois trens, P e Q, percorrem trajetórias retilíneas e paralelas. O trem P possui 30m de comprimento e velocidade de 30 km/h e trem Q possui 50m e velocidade de 10 km/h; seus movimentos são uniformes. Determine o intervalo de tempo da ultrapassagem e a distância percorrida por P durante a ultrapassagem.

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4 Movimento Uniformemente Variado Aceleração escalar média

Quando a velocidade de uma partícula em movimento varia no decorrer do tempo, dizemos que ele apresenta aceleração. Suponha a situação indicada na trajetória abaixo. No instante inicial t1, a velocidade inicial é V1. No instante final t2, a velocidade final é V2. No intervalo de tempo ∆t = t2 - t1, ocorre uma variação de velocidade ∆V=V2 - V1.

A aceleração média (am) é o quociente entre a variação de velocidade (∆V) e o correspondente intervalo de tempo (∆t).

As unidades de medida de aceleração são as unidades de velocidade (m/s, km/h, cm/s) divididas pelas unidades de tempo (segundo, hora, minuto, etc.). No SI a unidade de aceleração será ou m /s² (metros por segundo ao quadrado). Exemplo: A velocidade de um corpo varia de 5 m/s para 20m/s em 3s. Calcular sua aceleração escalar média. Resolução: Dados Resposta : 5 m/² Aceleração escalar instantânea

A aceleração instantânea é a grandeza que mede a rapidez com que a velocidade varia num dado instante, isto é, a aceleração instantânea é a aceleração medida num determinado instante e não num intervalo de tempo.

12

12

tt

VV

t

Vam −

−=∆∆=

=∆==

st

smv

smv

3

/20

/5

2

1212 /

3

15

3

520sm

t

vv

t

vam =−=

∆−=

∆∆=

Mecânica Aplicada


Movimento acelerado e retardado

Um movimento é acelerado quando a velocidade instantânea aumenta em valor absoluto no decorrer do tempo. Um movimento é retardado quando a velocidade instantânea diminui em valor absoluto no decorrer do tempo.

Como tanto a velocidade quanto a aceleração podem ser positivas ou negativas, é necessário o máximo cuidado ao se caracterizar um movimento como acelerado ou retardado. A maneira mais prática é verificar o sinal (ou o sentido) tanto da velocidade quanto da aceleração. movimento acelerado aceleração e velocidade têm o mesmo sinal (mesmo sentido) movimento retardado aceleração e velocidade têm sinais contrários (sentidos contrários)

Mecânica Aplicada


Observe que aceleração pode ser negativa e o movimento ser acelerado. Definição

Se um móvel apresenta aceleração constante no decorrer do tempo, diremos que ele executa um movimento uniformemente variado (MUV). Nessas condições a aceleração em qualquer instante apresenta o mesmo valor que a aceleração média, ou seja:

am = a ↔ MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.U.V.) Funções horárias do M.U.V. Considere um móvel em MUV na trajetória esquematizada a seguir.

No instante inicial t0, a velocidade inicial é V0. No instante t, a velocidade é V. A aceleração média nesse intervalo de tempo será:

tvvvtavva

tvv

tvv

at

vvtv

a mm ..0 00

000 +=⇒=−⇒=−⇒

−=⇒−−=

∆∆=

(função horária das velocidades do MUV)

onde v0 e “a” são constantes (a≠0) e v e t são variáveis, isto é, para cada valor de t existe um correspondente valor de v.

tavv .0 +=

Mecânica Aplicada


Pode se demonstrar que no MUV a posição varia no decorrer do tempo de acordo com a função: (função horária das posições do MUV) onde s0 (posição inicial), v0 (velocidade inicial) e a (aceleração) são constantes (a≠0). Note que a função horária das posições do MUV é do 2° grau. EXEMPLOS 1) Dadas a função horária das posições de um móvel em MUV no Sistema Internacional de Unidades, determine s0, v0 e a e escreva a função horária da velocidade correspondente. a) s = -10 + 5.t + 3.t2 s = -10 + 5.t + 3.t2 s0 = -10 m

200 .

2. t

atvss ++=

v0 = 5m/s a/2 = 3 a = 6m/s2 v = v0+ a.t v = 5 + 6t Equação de Torricelli Pode se eliminar a variável t das funções horárias e das posições das velocidades do MUV e deduzir a equação a seguir:

(equação de Torricelli) onde: v0 é a velocidade inicial; v é a velocidade final; a é aceleração (cte) e ∆S é a variação de posição. EXEMPLOS 1) Uma moto está desenvolvendo uma velocidade de 72 km/h. Repentinamente, aparece um obstáculo à frente da moto e o motoqueiro aciona os freios, provocando uma aceleração contrária ao movimento de 5 m/s2, constante. Qual foi o espaço até parar? v0 = 72 km/h = 20 m/s a = -5 m/s2 (aceleração contrária ao movimento) v = 0 (parou) 02 = 202 +2.(-5) .∆s 0 = 400 –10. ∆s 10. ∆s = 400 ∆s = 40 m

200 .

2. t

atvss ++=

savv ∆+= ..220

2

savv ∆+= ..220

2

Mecânica Aplicada


Exercícios (Movimento Uniformemente Variado) 1) Um automóvel está parado diante de um sinal fechado. No instante em que o farol fica verde, passa por ele uma motocicleta que mantém uma velocidade constante de 15 m/s. Supondo que, nesse mesmo instante, o automóvel comece a se mover com aceleração constante igual a 2 m/s², determine: a) após quanto tempo o automóvel alcança a moto; b) que distância o automóvel percorre até alcançar a moto; c) a velocidade do automóvel no instante que alcança a moto. 2) Um trem de comprimento 100m atravessa um túnel reto de comprimento 200m, com M.U.V. Quando o trem começa a entrar no túnel, sua velocidade escalar é de 10 m/s e, quando acaba de sair do túnel, sua velocidade escalar é de 20 m/s. Qual é o intervalo de tempo decorrido do início ao fim da travessia? 3) (ITA-SP) De uma estação parte um trem A com velocidade constante vA= 80 km/h. Depois de certo tempo, parte dessa mesma estação um outro trem B, com velocidade constante vB= 100 km/h. Depois de um tempo de percurso, o maquinista de B verifica que seu trem se encontra a 3 km de A; a partir desse instante ele aciona os freios indefinidamente, comunicando ao trem uma aceleração α = - 50 km/h². O trem A continua no seu movimento anterior. Nessas condições: a) não houve encontro dos trens. b) depois de duas horas o trem B pára e a distância que o separa de A é de 64 km c) não houve encontro dos trens depois de 12 min. d) houve encontro dos trens depois de 36 min. e) não houve encontro dos trens; continuam caminhando e a distância que os separa agora é de 2 km.

Mecânica Aplicada


5 Movimento Vertical no Vácuo Introdução O movimento vertical de um corpo próximo ao solo é chamado de queda livre quando o corpo é abandonado no vácuo ou se considera desprezível a ação do ar. A aceleração do movimento vertical de um corpo no vácuo é denominada aceleração da gravidade indicada por g. A queda livre é um M.U.V. O valor normal da aceleração da gravidade é tomado ao nível do mar, a uma latitude de 45°.

g = 9,80665 m/s² 10 m/s² (arredondamento para efeito de cálculo)

Descrição Matemática Na queda, o módulo da velocidade escalar do corpo aumenta: o movimento é acelerado . Lançado verticalmente para cima , o módulo da velocidade escalar diminui na subida: o movimento é retardado. À medida que o corpo lançado verticalmente para cima sobe, sua velocidade escalar decresce em módulo até se anular na altura máxima. Nesse instante ocorre mudança no sentido do movimento e o móvel passa a descer em movimento acelerado. As funções do MUV descrevem o lançamento na vertical e a queda livre:

Exercícios (Movimento Vertical no Vácuo) 1) Um móvel é atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 50 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g=10 m/s². Determine: a) as funções horárias do movimento; b) o tempo de subida, isto é, o tempo para atingir a altura máxima; c) a altura máxima; d) o instante e a velocidade escalar quando o móvel atinge o solo.

200 .

2. t

atvss ++= tavv .0 += savv ∆+= ..22

02 g±=α

Mecânica Aplicada


2) Dois móveis A e B são lançados verticalmente para cima, com a mesma velocidade inicial de 15 m/s, do mesmo ponto. O móvel A é lançado no instante t=0 s e o móvel B é lançado 2 s depois. Determine, a contar do ponto de lançamento, a posição e o instante do encontro dos móveis. Adote g=10 m/s² e despreze a resistência do ar.

6 Cinemática Vetorial Grandezas escalares e grandezas vetoriais Muitas grandezas ficam perfeitamente definidas quando conhecemos seu valor numérico e a correspondente unidade. Tais grandezas são denominadas grandezas escalares. É o caso, por exemplo, da massa e do volume de um corpo. Quando dizemos que a massa de um corpo é igual a 20 kg e que seu volume é de 10 litros, nada mais precisamos acrescentar para definir essas grandezas. Existem, porém, grandezas que, além do valor numérico e da unidade, necessitam de direção e sentido para que fiquem definidas. Por exemplo, a distância em linha reta de São Paulo a Belo Horizonte é de aproximadamente 510 km. Para chegarmos a Belo Horizonte partindo de São Paulo, devemos percorrer 510 km aproximadamente na direção sudoeste-nordeste, no sentido de sudoeste para nordeste. Grandezas que necessitam, além do valor numérico e unidade, de direção e sentido para serem definidas são chamadas grandezas vetoriais, sendo representadas matematicamente por vetores. Vetor

É o símbolo matemático utilizado para representar o módulo, a direção e o sentido de uma grandeza física vetorial.

Representamos um vetor por meio de uma seta. P(extremidade) v

r

origem O Indicamos : OPv =r

Mecânica Aplicada


Todo vetor tem três características:

• Módulo ;3uvv ==r

• Direção da reta r; • Sentido de O para P. O módulo de um vetor é a medida da seta que o representa. Na representação anterior o módulo do vetor v

r é igual a três unidades de medida.

Operações com vetores

Adição de 2 vetores concorrentes

Dados os vetores ar

e br

vamos obter o vetor soma Rr

, tal que baRrrr

+= .

Tracemos pela extremidade de cada vetor uma paralela ao outro vetor.

O vetor soma ou resultante Rr

tem origem no ponto O e extremidade no ponto de cruzamento das duas paralelas traçadas. Este método é chamado de método do paralelogramo.

O vetor soma Rr

tem a seguintes características:

Módulo ⇒ αcos.222 abbaR ++=

Direção ⇒ da reta OP

Sentido ⇒ de O para P

A expressão do módulo do vetor Rr

pode ser demonstrada a partir da lei dos cossenos no triângulo OBP.

Mecânica Aplicada


Se os vetores ar

e br

forem perpendiculares, para achar o módulo do vetor soma basta aplicar o teorema de Pitágoras.

Projeções de um vetor

Exercícios (Vetores) 1) Um barco está com o motor funcionando em regime constante; sua velocidade em relação à água tem módulo igual a 5m/s. A correnteza do rio movimenta-se em relação às margens com 2 m/s, constante. Determine o módulo da velocidade do barco em relação às margens em quatro situações distintas: a) o barco navega paralelo à correnteza e no seu próprio sentido (rio abaixo); b) o barco navega paralelo à correnteza e em sentido contrário (rio acima); c) o barco movimenta-se mantendo seu eixo numa direção perpendicular à margem; d) o barco movimenta-se indo de um ponto a outro situado exatamente em frente, na margem oposta.

i : versor do eixo x

j : versor do eixo y

x = αcos|v|

x = projeção do vetor v sobre o eixo x.

y = αsenv ||

y = projeção do vetor v sobre o eixo y. x e y são denominadas de projeções algébricas

α e β são os chamados ângulos diretores de v

Mecânica Aplicada


2) Num dia sem vento, a chuva cai verticalmente em relação ao solo com velocidade de 10 m/s. Um carro se desloca horizontalmente com 20 m/s em relação ao solo. Determine o módulo da velocidade da chuva em relação ao carro.

7 Dinâmica

A Dinâmica é a parte da Mecânica que estuda os movimentos e as causas que os produzem ou os modificam.

Massa é a grandeza que atribuímos a cada corpo obtida pela comparação do corpo com um padrão.

Em Dinâmica, além da noção de massa, há também a noção de força . A primeira noção de força está associada ao esforço muscular. Quando empurramos um objeto, exercemos força sobre ele.

A força é uma grandeza vetorial, sendo, portanto, caracterizada pelos elementos: módulo (ou intensidade), direção e sentido. Princípio da Inércia (1ª Lei de Newton) Um ponto material é chamado isolado quando não existem forças atuando nele ou quando as forças aplicadas ao ponto têm soma vetorial nula. Um ponto material isolado está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª Lei de Newton ) Newton estabeleceu uma lei básica para a análise geral das causas dos movimentos, relacionando as forças aplicadas a um ponto material de massa m constante e as acelerações que provocam. Sendo rF

r a soma vetorial (resultante)

das forças aplicadas e ar

a aceleração adquirida, a segunda lei de Newton estabelece: A resultante das forças aplicadas a um ponto material é igual ao produto de sua massa pela aceleração adquirida:

amrFrr

=

Mecânica Aplicada


Significa que a força resultante rFr

produz uma aceleração ar

com mesma direção e mesmo sentido da força resultante e suas intensidades são proporcionais.

Na equação fundamental da Dinâmica (Fr = ma), Fr é a soma vetorial das forças que atuam no corpo, m é a massa (grandeza escalar) e a é a aceleração adquirida. Princípio da Ação-e-Reação (3ª Lei de Newton) Sempre que dois corpos quaisquer A e B interagem, as forças exercidas são mútuas. Tanto A exerce força em B, como B exerce força em A. Exercícios (Dinâmica) 1) Dois blocos A e B, de massa respectivamente iguais a 2 kg e 3 kg, estão apoiados nua superfície horizontal perfeitamente lisa. Uma força horizontal F, de intensidade constante F = 10 N, é aplicada no bloco A. Determine: a) a aceleração adquirida pelo conjunto; b) a intensidade da força que A aplica em B.

Mecânica Aplicada


2) Três corpos A, B e C de massas mA= 1kg, mB= 3kg e mC= 6kg estão apoiados numa superfície horizontal perfeitamente lisa. A força horizontal F, de intensidade constante F=5N, é aplicada ao primeiro bloco A. Determine: a) a aceleração adquirida pelo conjunto; b) a intensidade da força que A exerce em B; c) a intensidade da força que B exerce em C. 3) Dois corpos A e B de massas iguais a mA= 2kg e mB= 4 kg estão apoiados numa superfície horizontal perfeitamente lisa. O fio que liga A a B é ideal, isto é, de massa desprezível e inextensível. A força horizontal F tem intensidade igual a 12 N, constante. Determine: a) a aceleração do sistema; b) a intensidade da força de tração do fio.

4) Os corpos A e B da figura têm massas respectivamente iguais a mA= 6kg e mB= 2kg. O plano de apoio é perfeitamente liso e o fio inextensível e de peso desprezível. Não há atrito entre o fio e a polia, considerada sem inércia. Adote g=10 m/s². Determine a aceleração do conjunto e a tração do fio.

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5) No arranjo experimental da figura, os corpos A, B e C têm, respectivamente, massas iguais a 5, 2 e 3 kg. A aceleração da gravidade é 10 m/s². Os fios são inextensíveis e de inércia desprezível; não há atrito entre os fios e as polias; o plano horizontal é perfeitamente liso. Determine: a) a aceleração do sistema de corpos; b) as trações nos fios.

6) No arranjo experimental da figura, os corpos A e B têm, respectivamente, massas iguais a 6 e 2 kg. Os fios e as polias têm massas desprezíveis. Não há atrito entre o fio e a polia. Adote g=10 m/s². Determine: (considere que o sistema partiu do repouso) a) a aceleração do conjunto; b) as trações nos fios. 7) No arranjo experimental da figura, os corpos A e B têm massas iguais a 10 kg.

O plano inclinado é perfeitamente liso. O fio é inextensível e passa sem atrito pela polia de massa desprezível. Determine: a) a aceleração do sistema de corpos; b) a tração no fio (sen 30° = 0,5).

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8 Forças de Atrito Comecemos analisando a força de atrito de escorregamento entre sólidos. O atrito é denominado dinâmico quando há movimento relativo entre os corpos em contato. Quando não há movimento, o atrito é denominado estático . Atrito Dinâmico Considere um livro apoiado sobre uma mesa. Pela aplicação de uma força ele atinge, após certo tempo, uma velocidade. Quando cessa a força, a velocidade diminui até o livro parar. Interpretamos esse fato considerando uma força de resistência oposta ao movimento relativo dos corpos, chamada força de atrito dinâmico. A força de atrito é devido às rugosidades das superfícies em contato e às forças de adesão entre as moléculas das duas superfícies. As rugosidades se interpenetram e as forças de adesão entre os pontos de contato formam “microssoldas”, dificultando o movimento de um corpo em relação ao outro. Quando há movimento, a experiência mostra que a intensidade da força de atrito, dentro de uma boa aproximação, é proporcional à intensidade da força normal FN:

Nessa fórmula, dµ (adimensional) é uma constante de proporcionalidade chamada coeficiente de atrito dinâmico. A força normal entre as superfícies de contato tem intensidade igual ao próprio peso ou sua componente.

Ndat Ff ⋅= µ

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Exercícios (Atrito Dinâmico) 1) Um bloco de massa 10 kg movimenta-se numa mesa horizontal sob ação de uma força horizontal de intensidade 30 N. O coeficiente de atrito dinâmico entre o

bloco e a mesa é dµ = 0,20. Sendo g=10m/s², determine a aceleração do bloco. 2) Um bloco é lançado sobre um plano horizontal com velocidade de 30 m/s e percorre 90 m até parar. Considere g=10m/s² e calcule o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o plano. 3) Dois corpos A e B de massas mA=1kg e mB=2kg estão ligados por uma corda de peso desprezível, que passa sem atrito pela polia C. Entre A e o apoio existe atrito de coeficiente

dµ =0,5. Adote g=10m/s². Determine: a) a aceleração dos corpos; b) a tração do fio.

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Atrito Estático Considere um corpo em repouso sobre uma superfície horizontal. Vamos aplicar no corpo uma força F

r que tende a deslocá-lo na direção horizontal.

Enquanto o corpo estiver em repouso, à medida que a intensidade da força solicitadora F

raumenta, a intensidade da força de atrito também aumenta, de

modo que Fr

e atfr

se equilibram. Se, por exemplo, a força solicitadora tiver intensidade F igual a 1 N (a) e o corpo não se mover, a força de atrito no corpo terá também intensidade igual a 1 N, pela condição de equilíbrio (resultante nula). Se F cresce para 2 N e o corpo continua em repouso, decorre que atf

r = 2 N (b).

Assim, a força de atrito atfr

tem intensidade

igual à da força solicitadora Fr

enquanto não houver movimento. Se F continuar crescendo, atf

r

também crescerá até atingir um valor máximo e o corpo ficará na iminência de movimento. A máxima intensidade da força de atrito estático, e que corresponde à iminência de movimento: A partir desse momento, se F crescer, o corpo entra em movimento e a força de atrito

passa a ser a força de atrito dinâmico, conforme a figura c. Verifica-se experimentalmente que a intensidade da força de atrito dinâmico é menor do que a intensidade da força de atrito estático máxima.

Nemáxat Ff ⋅= µ.

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Quando o corpo está na iminência de escorregar, a força de atrito atinge seu valor máximo: Estando o corpo em equilíbrio, decorre que máxatf .

r e Psen θ devem ser iguais:

Exercícios (Atrito Estático) 1) O coeficiente de atrito estático entre o corpo de massa m=10kg e superfície plana horizontal de apoio é eµ = 0,2. Em que intervalo pode variar a intensidade da

força horizontal Fr

para que o corpo permaneça em repouso? É dado g=10m/s².

2) O bloco A de massa m=3kg está apoiado num plano inclinado que forma um ângulo θ em relação à horizontal. O bloco A está na iminência de escorregar para baixo. Determine, nessas condições, o peso PB do bloco B. O coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o plano é eµ = 0,50. Dados: sen θ=0,60; cós θ=0,80; g=10m/s². Considere o fio e a polia ideais.

θµµ cos. PFf eNemáxat ==

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Referências Apostila SENAI MG. Mecânica Aplicada. Sabará, 2005. Apostila SENAI MG. Mecânica Aplicada. Cataguases, 2002. MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 15 e. d. São Paulo: Érica, 2003. MELCONIAN, S. Elementos de Máquinas. 4 e. d. São Paulo: Érica, 2005. NICOLAU, G. F; RAMALHO, F. J; TOLEDO, P. A. S; Os fundamentos da Física – Mecânica. 8 e. d. São Paulo: Moderna, 2003.

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