Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03PLANO DE ESTUDOS INTERDISCIPLINARESPROF. WILLIAM JOS GONALVESwilliamboatematica@gmail.comMATEMTICAALUNO: _______________________________________________2 semestre de 2011Senhores AcadmicosO Plano de Estudos Interdisciplinares PEI, institudo no ano de 2010 pelos colegiados de cursos,objetivam propiciar meiosparaqueoacadmicopossadesenvolver, entreoutrashabilidades, acapacidadedesecomunicar e interpretardeformaeficaz, deraciocinardeformacrticae analtica bem como Incentivar a auto-aprendizagem, produzir novos conhecimentos coma integrao de informaes didtico-pedaggicas e estimular a autonomia e o aprimoramento do pensamento crtico.AsatividadesdoPlanodeEstudosInterdisciplinares contemplam atividades extra-curriculares como estudos dirigido, realizao de pesquisas, jogos de empresas, desenvolvimento de ferramentas computacionais, dentre outras atividades.O contedo programtico das atividades do PEI, bem como a metodologia a ser utilizada definido semestralmente pela equipe multidisciplinar. No primeiro e segundo semestres de cada curso,todo o trabalho ser voltado para as reas de LnguaPortuguesaeMatemticaseguindoadecisodos colegiados de cada curso. Prof. William Jos 1Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03Esta apostila ser utilizada neste semestre e seu contedo versa sobre conceitos bsicos de matemtica. Para a resoluo das atividades, ser necessrio que o acadmico consulte os livros da biblioteca da Instituio, conforme referncias bibliogrficas em anexo.Todas as atividades sero avaliadas e devero respeitar o prazo de entrega, o qual ser estipulado anteriormente. As atividades devero ser entregues para a Meire ou Roni. Ao longo do semestre, haver trs sbados letivos, nos quais estaremos a disposio dos acadmicos para explicar o contedo, sanando as dvidas dos trabalhos que devero ser entregues nas datas marcadas conforme tabela abaixo. Estes encontros acontecero das 13:00 s 17:00. Apresentao do trabalhoAula Entrega do trabalho22 a 26/08/11 17/09/11 30/09/1126 a 30/09/11 08/10/11 28/10/1124 a 28/10/11 05/11/11 25/11/11NDICE GERALI. Conjuntos numricos;II. As quatro operaes fundamentais (nmeros decimais);III. Nmeros relativos;IV. Fraes ordinrias;V. Potncias;VI. Radicais;VII. Proporcionalidade;VIII. PorcentagemIX. Diviso Proporcional Prof. William Jos 2Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03I - CONJUNTOS NUMRICOSEsta figura representa a classe dos nmeros.Veja a seguir:N NaturaisSo todos os nmeros positivos inclusive o zeroN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}No h nmeros naturais negativosZ InteirosSo todos os nmeros positivos e negativos inclusive o zeroZ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}No h nmeros inteiros em frao ou decimalQ RacionaisSo todas as decimais exatas ou peridicas diferente de zeroQ = {..., 43 , 21, ...}I IrracionaisSo todas as decimais no exatas, no peridicas e no negativasI = {...,2 ,3,...}R Reais a unio de todos os conjuntos numricos,todo nmero, seja N, Z, Q ou I um nmero R (real)S no so reais as razes em que o radicando seja negativo e o ndice par Prof. William Jos 3Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03II - AS QUATRO OPERAES FUNDAMENTAIS (NMEROS DECIMAIS)1) AdioNa adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operao aditiva, e o resultado a soma2 + 2 = 4Parcelas Adio SomaExemplos: 4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049+429 , 13 , 232 , 4) parcelas8,049 } soma41 + 32 + 51 = 6012 40 15 + + = 60671,1166ou41 + 32 + 51 = 98 , 1 6 25 , 2 + + = 905 , 101,1166Istosignificaquequalquernmeroquefor colocadono denominador seguindo o processo, chegar mesma resposta. ComoMMC(mnimomltiplocomum) voc facilita seu trabalho2) SubtraoNa subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a operao a subtrao, e o resultado o minuendo Subtrao3 2 = 1 Minuendo SubtraendoDiferena Prof. William Jos 4Observe que as parcelas so dispostas de modo que se tenha vrgula sobre vrgula.Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio, portantopodemosutilizar osmesmosexemplos apenas alterando a operao3) MultiplicaoNamultiplicaoosnmerosso chamadosdefatores, sendo a operao multiplicativa, e o resultado o produto22 * 3 = 66FatoresMultiplicao ProdutoExemplo:7,32 * 12,5 = 91,500} produto500 , 9173214643660fatores12,5 *32 , 7++)21 * 32 * 18 = 616 = 382,6Na multiplicao de fraes multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo)4) DivisoNa diviso os nmeros so chamados de dividendo (a parte que est sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte est sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quocienteDiviso7 / 4 = 1,75Dividendo (D) Divisor (d)Quociente (q)Exemplo:Existe na diviso, o que pode-se chamar de resto. Isto , quandoumadivisonoexatairsempresobrar um determinado valore, veja no exemplo a seguir: Prof. William Jos 5Na multiplicao comea-se operar da esquerda para a direita.Quando a multiplicao envolver nmeros decimais (como no exemplo ao lado),soma-se a quantidade de casas aps a vrgula.Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03843 / 5 = 16834433 resto (r)5) Casos particulares da multiplicao e divisoMultiplicao N * 1 = NN * 0 = 0DivisoN / 1 = NN / N = 10 / N = 0N / 0 =6) Exercciosa) 2,31 + 4,08 + 3,2 = b) 4,03 + 200 + 51,2 = c) 32,4 21,3 = d) 48 33,45 = e) 2,1 * 3,2 = f) 48,2 * 0,031 = g) 3,21 * 2,003 = h) 8,4708 / 3,62 = i) 682,29 / 0,513 = j) 2803,5 / 4450 = k) (FUVEST) 0 , 2 2 , 33 , 0 * 2 , 0 = l) 0,041 * 21,32 * 401,05m) 0,0281 / 0,432n)1 , 54,82 * 31 , 2o)285 , 04,32 * 021 , 0III - NMEROS RELATIVOSDefinio: o conjunto dos nmeros positivos, negativos e o zero, que no possuem sinal.7) Valor absoluto ou Mdulo Prof. William Jos 6Para verificar se o resultado verdadeiro basta substituir os valores na seguinte frmula:D = d * q + r843 = 5 * 168 + 3Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03 um nmero desprovido de seu sinal. Suprimindo o sinaldeumnmerorelativo, obtemosumnmeroaritmtico,que se denomina valor absoluto ou mdulo desse nmero relativo, sendo representado pelo smbolo

.Exemplos: 7 70 02 29 9 8) Soma e subtrao algbricaSinaisiguais:Soma-seosvaloresabsolutosed-seo sinal comum.Sinaisdiferentes:Subtraem-seosvaloresabsolutose d-se o sinal do maior.Exemplos:a) 2 + 4 = 6b) 2 4= 6 c) 5 3 = 2d) 5 + 3 = 2e) 2 + 3 1 2 = 5 3 = 2f) 1 3 + 2 4 + 21 5 32 = 23 45 = 22 9) Multiplicao e diviso algbricaSinais iguais resposta positivaSinais diferentes resposta negativaIsto : Exemplos:a) 12 * 3 = 36b) (-12) * (-3) = 36c) 2 * (-2) = -4d) (-2) * 3 = -6e)24= 2f)) 5 (20 = -4 Prof. William Jos 7) ( ) ( * ) () ( ) ( * ) () ( ) ( * ) () ( ) ( * ) ( + ++ + + +) ( ) ( : ) () ( ) ( : ) () ( ) ( : ) () ( ) ( : ) ( + ++ + + +Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03g)) 5 () 20 ( = 4h)5) 20 (= -410) Expresses numricasPararesolver expresses numricas realizamosprimeiro as operaes de multiplicao e diviso, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adies e subtraes.Emexpresses que aparecemsinais de reunio: ( ),parnteses, [ ], colchetese{ }, chaves, efetuam-seas operaes eliminando-se, na ordem: parnteses,colchetesechaves, isto, dossinaisinterioresparaos exteriores. Quando frente do sinal da reunio eliminado estiver osinal negativo, trocam-setodosossinaisdos termos internos.Exemplos:A) 2 + [ 2 ( 3 + 2 ) 1 ] = 2 + [ 2 5 1 ] = 2 + [ 2 6 ]B) 2 + { 3 [ 1 + ( 2 5 + 4 ) ] + 8 } = 11C) { 2 [ 3 * 4 : 2 2 ( 3 1 ) ] } + 1 = { 2 [ 12 : 2 2 * 2 ] } + 1 = { 2 [ 6 4] } + 111)Decomposio de um nmero em um produto de fatores primosA decomposio de um nmero em um produto de fatores primosfeitapor meiododispositivoprticoqueser mostrado nos exemplos a seguir.Exemplos:3 0532151 53 0 30 = 2 * 3 * 5 Prof. William Jos 8Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/032 173172 1 21 = 3 * 7OBS: Nmeroprimoaqueledivisvel somentepor ele mesmo e pelo nmero 1.12) Mnimo mltiplo comum (m.m.c.)Omnimomltiplocomumavriosnmerosomenornmero divisvel por todos eles.Exemplo:a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45720533222201\ 01\ 0105\ 01\ 0115\ 01\ 0145\ 01\ 0345\ 02\ 0345\ 04\ 0345\ 08\ 0645\ 12\ 12 O m.m.c. entre 12, 16 e 45 720b) m.m.c. (4; 3) = 12c) m.m.c. (3; 5; 8) = 120d) m.m.c. (8; 4) = 8e) m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 6013) Exercciosa) 2 + 3 1 = b) 2 5 + 8 = c) 1 3 8 + 2 5 = d) 2 * (-3) = e) (-2) * (-5) = f) (-10) * (-1) = Prof. William Jos 9Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03g) (-1) * (-1) * (-2) = h)24 = i)28 = j)520 =k)2) 1 ( * ) 4 ( = l)17) - (2 * 5) - 3 1 (+ = m)13) - 5 * 2 - 4 * 3 2 (+ = n) 1 } ] 2 ) 3 : 2 * 3 ( 4 - 2 [ 2 - 2 { 2 + += o) } ) 5 - ( 2 )] 58 - ( : ) 3 3 - ( [ 20 - { - 8 + += p) 0,5 * 0,4 : 0,2 = q) 0,6 : 0,03 * 0,05 = r) 5 : 10 = s) 3 : 81 * 0,5 = t) Calcule o m.m.c. entre:a. 36 e 60b. 18, 20 e 30c. 12, 18 e 32IV - FRAES ORDINRIASDefinio:Frao um quociente indicado onde o dividendo o numerador e o divisor o denominador. As fraes que sero apresentadas a seguir, partem de um inteiro, e ao dividir formam as fraes21=0,543=0,75 41=0,2581=0,125 87 = 0,875Prof. William Jos 10Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03A frao prpria quando o numerador menor do que o denominador: 21, 53, 210120, etc.A frao e imprpria quando o numerador maior que o denominador, sendo possvel representa-la por um nmero misto e reciprocamente.Exemplos:a)710 = 173pois710 possui resto 3b)528 = 553pois 528possui resto 3c)311 = 332d) 231 = 37e) -141 = -4514) PropriedadeMultiplicandooudividindoostermosdeumafraoporum nmero diferente de zero obtm-se uma frao equivalente inicial.Exemplos:a)42 2 * 22 * 1 21 b)2015 5 * 45 * 3 43 c)32 10 : 3010 : 20 3020 d)21-4 : 84 : 4-84- 15) Soma algbrica de fraesReduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.OBS: Omenor denominador comum o m.m.c. dos denominadores.Exemplos: Prof. William Jos 11Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03a)65 62 3 62 63 31 21+ + +b)32 64 64 - 5 3 64-65 63 32-65 21 + + +c)311 -34-1216-1224 - 16 9 - 1 1224-1216 129-1212 -34 43-121 + + +d)125-1248 - 15 28 1248-1215 12284 -45 374 -411312 + + + +16) Multiplicao de fraesMultiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira sefaz com os denominadores.Exemplos:a)103 53*21b)81-21*41 ,_

c)152 52*31 ,_

,_

d)( )143-72*41* 3 ,_

,_

e)548544 516*411 513 *432 17) Diviso de fraesMultiplica-seafraodividendopeloinversodafrao divisora.Exemplos:a)21123 13*21 3121 b)( )311 -34-12*32-2132 ,_

c)61 31*21 321 d)217215 23*15 325 Prof. William Jos 12Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03e)( ) ( )27251 -2752-94*313 49313 412314 ,_

18) ExercciosTransforme em nmero misto:a)23 =b)512 =c)3100 =Transforme em frao ordinria:a)511=b)432=c)10110 =Simplifique as fraes:a)42 =b)279 =c)4812 =Comparar as fraes (sugesto: reduzi-las ao menor denominador e comparar os numeradores).OBS.:a < b l-se a menor do que ba > b l-se a maior do que ba)21, 32b)32, 65c)74, 83Resolva:a) +101 51 Prof. William Jos 13Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03b) 34-32c) +61 31-21d) + 5 -213322e) 52*31f) 52*31*73g) ,_

,_

52- *61-h) ,_

311 - *512i)2131j) ,_

51- :32k) 41*32:21l) 511 :522m) ,_

+21:42 31n)+ 3311o)++ 2122111p)+ 313 :412521 *751-431 -852411813Simplifique:a)+++++ 1 111111 111b) ,_

+++ +1179:43 3241 31 21V - POTNCIAS Prof. William Jos 14Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03Definio:Potncia de graunde umnmeroA o produto de n fatores iguais a A.'grau. seuo determina que potncia, da expoente o n potncia; da base a A... * A* A* A* A* AA vezes nn Assim:2 = 2 * 2 * 2 = 8 2 = 8(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 (- 1)4 = 1CASOS PARTICULARES:a) A potncia de expoente 1 (1 grau) igual base:A1 = A; 21 = 2b) Toda potncia de 1 igual a 1:1 = 1; 1 = 1c) Toda potncia de 0 igual a 0:0 = 0; 0 = 0d) Toda potncia de expoente par positiva:(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3) = 9; 3 = 9e) Todapotnciadeexpoentempar temosinal da base:3 = 27 ; (- 3) = - 2725 = 32 ; (- 2)5 = - 3219) Multiplicao de potncias de mesma baseMantm-se a base comum e soma-se os expoentes.Realmente: 5 2 3 vezes 5 vezes 2 vezes 32 2 2 * 2 * 2 * 2 * 2 2 * 2 + Exemplo:5 * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 12520) Diviso de potncias de mesma baseMantm-se a base comum e diminuem-se os expoentes.Realmente: 2 4 - 6 vezes 6 vezes 4465 55 * 5 * 5 * 55 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 55 Prof. William Jos 15Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03Exemplo:37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 8121)Multiplicao de potncias de mesmo grau (semelhantes)Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.Realmente:2 * 7 = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)Exemplo:3 * 5 = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5) = 15 = 3 37522)Diviso de potncias de mesmo grau (semelhantes)Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum.Realmente: 22272 72*72 7 * 72 * 2 72

,_

Exemplo:8 : 2 = 4 = 6423) Potenciao de potnciaEleva-se a base ao produto dos expoentes.Realmente: ( ) ( )6 2 * 323 6 3 3 vezes 23 3232 2 2 ou 2 2 2 * 2 2 + Exemplo:( ) 049 59 3 31025 24) Expoente nuloToda potncia de base diferente de zero e expoente zero igual a unidade.Realmente: 1 a 1 a : aa a a : a04 40 4 - 4 4 4' Exemplo:(- 5)0 = 125) Expoente negativoQualquer nmerodiferentede zero,elevado aexpoente negativo igual a uma frao cujo numerador a unidade Prof. William Jos 16Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03e cujo denominador a mesma base da potncia elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.Realmente:44 -4 - 7 - 3734 4 33732122 22221 2 * 22 22' Exemplo:251 5 * 51 51522 26) Potncias de 10Efetuam-seaspotnciasde10escrevendodireitada unidade tantos zeros quantas foremas unidades do expoente.Exemplos:a) 10 = 100b) 107 = 10 000 000c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10d) 4000 = 4 * 10e) 300 000 = 3 * 105f) 3 * 108 = 300 000 00027) Nmeros decimaisTodo nmero decimalequivalente a um produto do qualum fator o nmero escrito como inteiro, e outro uma potncia de dez comexpoente negativo, comtantas unidades no expoente quantas so as ordens decimais.Realmente:4 -410 * 251025 000 10250025 , 0 Exemplos:a) 0,001 = 10-3b) 0,002 = 2 * 10-3c) 0,00008 = 8 * 10-5d) 1,255 = 1255 * 10-3e) 2 * 10-3 = 0,00228) Exerccios Prof. William Jos 17Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03a) 1 = b) 04 = c) (- 2) =d) (- 4) =e) (- 2)4 =f) (- 4)4 =g) 2 * 25 =h) 3 * 3 * 35 =i) 35 : 34 =j) 34 : 3 * 35 =k) 24 * 54 =l) (- 35) * (- 55) =m) 153 : 33 =n) (- 46) : 26 =o) (3)2 =p) (2)5 =q) 32 =r) [ (3) ] =s) (2 * 3) =t) (3 * 5 * 2)4 =u)535

,_

=v)3432

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=w)233 253 * 2

,_

=x) (2 * 3)0 =y) 4-2 =z) 2 * 3-1 =aa)432 = bb) (2-3 * 5-2)-4 =cc) 2x + 1 * 4x =dd) 32x * 24x =ee) 54x : 252x =Exprimir, utilizando potncias de 10:a) 20 000 =b) 4 800 000 =c) 0,01 = Prof. William Jos 18Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03d) 0,000045 =Efetuar, utilizando potncia de 10:a)80000 48 * 000 2 =b)00002 , 00,000032 * 28 =VI RADICAISDefinio: Denomina-se raiz de ndice n (ou raiz n-sima)de A, ao nmero ou expresso que, elevado potncia n reproduz A.OBS: Representa-se a raiz pelo smbolo'radical -radicando - A raiz da ndice - n AnAssim:a) 4 16 porque4 = 16b) 2 83porque2 = 8c) 3 814 porque34 = 8129) Propriedadepossvel retirar umfator doradical, bastantequese divida o expoente do radicando pelo ndice do radical.Exemplos:a)3 2 3 * 2 122 b)5 6 5 3 * 2 5 3 * 2 1802 2 c)4 2 4 4 82 5 * 3 2 * 5 * 3 d)2 4 : 8 4 83 3 3 Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-seoexpoentedofator pelondicedoradical. Assim:3 3 32 * 3 2 3 Prof. William Jos 19Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/0330) Adio e subtrao de radicais semelhantesRadicais de mesmo ndice e mesmo radicando so semelhantes. Na adio e subtrao de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.Exemplos:a) 2 2 - 2 10 - 2 8 2 10 - 2 5 2 3 +b)3 3 3 3 3 3 32 3 2 6 - 2 9 2 - 2 5 - 2 6 2 3 +31)Multiplicao e diviso de radicais de mesmo ndiceMultiplicam-se (dividem-se) os radicandos e d-se ao produto (quociente) o ndice comum.Exemplo:a) 6 3 * 2 3 * 2 b) 326 26 c) 30 2 * 5 * 3 2 * 5 * 3 d)44444 4215 215 23 * 5 32) Potenciao de radicaisEleva-se o radicando potncia indicada e conserva-se o ndice.Exemplo:a)( )44 33427 3 3 b) ( )5 2 4 52225 23 * 2 3 * 2 3 * 2

,_

33) Radiciao de radicaisMultiplicam-se os ndices e conserva-se o radicando.Exemplos:a)4 2 * 23 3 3 b)24 3 43 3 Prof. William Jos 20Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/0334) Expoente fracionrioUma potncia com expoente fracionrio pode serconvertida numa raiz, cujo radicando a base, o ndice o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.Exemplos: ( possvel demonstrar a propriedade abaixo.)a)qp qpa a b)a a21c) 33 2324 2 2 d) 434 36 6 35)Racionalizao de denominadores1 Caso:O denominador um radicaldo 2 grau. Neste casomultiplica-sepeloprprioradical onumerador eo denominador da frao.Exemplo:a)22 42 2 * 22 * 1 21 b)63 3 * 23 9 23 3 * 3 23 * 1 3 21 c)36 96 3 * 33 * 2 32 d)1512 3012 2 6 * 512 2 36 512 2 6 * 6 56 * 2 2 6 52 2 2 Caso: O denominador uma soma ou diferena de dois termos em que umdeles,ou ambos,so radicais do2grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expresso conjugada do denominador.OBS: A expresso conjugada de a + b a b.Na racionalizao aparecer no denominador um produto do tipo:(a + b) * (a b) = a - bAssim: (5 + 3) * (5 3) = 5 - 3 = 25 9 = 16 Prof. William Jos 21Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03Exemplos:a)( )( ) ( )( ) ( )32 - 5 2 - 52 - 5 2 - 52 - 5 2 - 5 * 2 52 - 5 * 1 2 512 2 ++b)( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 3 - 2 * 513 - 2 * 5 3 - 43 - 2 * 5 3 - 23 - 2 * 5 3 - 2 * 3 23 - 2 * 5 3 2522 ++36) ExercciosEfetuar:a) + 5 10 5 2 - 5b) + 8 - 2 3 32c) + 729 - 3 3 34d) 6 * 3e) ( ) ( ) 4 - * 2 -3 3f) 2844g)( ) 263h)

,_

3 * 223 2i) 33 3j) 23k) 2 23l) 2 2 23 3 3Dar a resposta sob forma de radical, das expresses seguintes:a)432 =b)212 =c)21212

,_

=d)( )613 * 2 =Racionalizar o denominador das fraes seguintes: Prof. William Jos 22Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03a)51 =b)73 =c)2 23 =d)2 - 52 =e)11 - 45 =VII PROPORCIONALIDADE37) RazoSeja dois nmeros genricos a e b. A razo entre a e b representada por ba, a/b ou a : b, sendo b 0.38) ProporoProporo a igualdade de duas razes.Seja a proporo:dcbaoud : c b : a ou. d : c :: b : aSeus elementos se denominam:PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos.Considerando as propores:dcba ento c * b d * a 6834 ento 8 * 3 6 * 4 532x ento 3 * 2 x * 5 Prof. William Jos 23a - primeiro termob - segundo termoc - terceiro termod - quarto termoa e b - extremosb e c - meiosa e c - antecedentesb e d - conseqentesFaculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03A principal aplicao desta propriedade a determinao de um elemento desconhecido na proporo. Exemplificando:Determine x na proporo:5204xento20 * 4 x * 5 ou16 x 39)Grandezas diretamente ou inversamente proporcionaisDuas grandezas x e y so denominadas: Diretamente proporcionais: quando a razo entre x e y constante.kyx ou ky x Inversamente proporcionais: quando o produto delas constante.k y * x ou ykx Sendokdenominada constante de proporcionalidade.Exemplos:a) Sejaum carroquese deslocacom velocidade constante em trajetria retilnea. A tabela mostra o deslocamento do carro em funo do tempo.Tempo(s)Deslocamento(m)1 202 403 604 805 10010 200Chamado dexo deslocamento eto tempo, observa-se que a razo tx constante.20102005100480360240120tx Assimxetso grandezas diretamente proporcionaiseaconstantedeproporcionalidade vale 20 (que a velocidade do carro).b) Um gs mantido temperatura constante em umrecipientedevolumevarivel. Quandose Prof. William Jos 24A pergunta : tempo e deslocamento so grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03altera o volume do gs a sua presso tambm se modifica. Registraram-se em uma tabela os valores correspondentes da presso (P) e volume (V).PressoVolume20 2040 1080 5100 4200 2400 1Note que PV constante.400 1 . 400 2 . 200 4 . 100 5 . 80 10 . 40 20 . 20 PV Assim:PeVso grandezas inversamente proporcionaiscomconstantedeproporcionalidade igual a 400.40) Regra de trs simplesUtilizamos regra de trs simples na soluo de problemas que envolvem grandezas proporcionais.Exemplos:a) Um automvel se desloca com velocidade constante percorrendo 40 km em 1 hora. Qual o tempo gasto para percorrer 100 km?SOLUOAs grandezas envolvidas sodiretamente proporcionais. Teremosentoumaregradetrs simples e direta.Dispomos os dados do problema colocando frente a frente aqueles que se correspondem. Marcamos x no local do valor procurado:40 km ...............1 h100 km ................xSendo a regra de trs simples e direta, tem-se:x110040 (asgrandezassodispostasnamesma ordem de correspondncia).Aplicando a propriedade fundamental das propores, vem:horas 2,5 x 100 * 1 x * 40 Prof. William Jos 25P e V so grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03b) Dois litros de gs exercem uma presso de 0,4 atm. Cinco litros do mesmo gs, mesma temperatura, exercero que presso?SOLUOAs grandezas soinversamente proporcionais. Assim sendo, teremos uma regra de trs simples e inversa.Dispondo os dados do problema:2 litros ............... 0,4 atm5 litros ............... x Sendoaregradetrsinversa, asgrandezasso dispostas de forma que na proporo os termos do 2 membro ficam invertidos.4 , 0x52ouatm 0,16 x x * 5 4 , 0 * 2 41) ExercciosResolva os seguintes exerccios:a) Umabombaeleva272litrosdeguaem16 minutos. Quantos litros elevar em 1 hora e 20 minutos?b) Dozeoperrioslevaram25diasparaexecutar uma determinada obra. Quantos dias levaro 10 operrios para executar a mesma obra?c) Num livro de 200 pginas h 30 linhas em cada pgina. Se houvesse 25 linhas em cada pgina, quantas pginas teria o livro?d) Metadedeumaobrafoi feitapor10operrios em 13 dias. Quantos tempo levaro para terminar essa obra com 3 operrios a mais?e) Com uma certa quantidade de cobre fabricam-se 1600 metros de fio com seo de 12 mm. Se a seo for de 8 mm, quantos metros de fio podero ser obtidos?VIII - PORCENTAGEM frequente o uso de expresses que refletem acrscimos oureduesempreos, nmerosouquantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: Prof. William Jos 26Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03 A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acrscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grmio, 90% so craques.Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grmio, 90 so craques.

Razo centesimal Todaarazoquetemparaconsequenteonmero100 denomina-se razo centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razo centesimal de outras formas:

Asexpresses7%, 16%e125%sochamadastaxas centesimais ou taxas percentuais.Considere o seguinte problema:Joo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.Portanto, chegamos a seguinte definio:Porcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.Exemplos: Prof. William Jos 27Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03 Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg o valor correspondente porcentagem procurada. EXERCCIOS RESOLVIDOS: 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou75faltas, transformandoemgols8%dessasfaltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.2) Se eu comprei uma ao de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equao, onde somando os R$250,00 iniciais coma porcentagemque aumentou emrelao a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00.Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAO. Se, por exemplo, h umacrscimode 10%a um determinadovalor, podemoscalcular onovovalor apenas multiplicando esse valor por1,10, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:Acrscimo ou LucroFator de Multiplicao10% 1,1015% 1,1520% 1,20 Prof. William Jos 28Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/0347% 1,4767% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)Veja a tabela abaixo:DescontoFator de Multiplicao10% 0,9025% 0,7534% 0,6660% 0,4090% 0,10 Exemplo:Descontando10%novalorde R$10,00temos: 10 * 0,90 = R$ 9,0042) Exerccios 1.Em um supermercado havia uma embalagem com os seguintes dizeres: embalagem econmica leve mais por menos, cerveja c/ 18 latas R$ 24,90. Embalagem com 12 latas R$ 15,24. Com base no enunciado indique qual opo mais vivel paracompra.Casohajadiferenadevalores entreas apresentaes indique o percentual da diferena.2. Isaac teveumdescontoemseusalriodeR$122,48. Rosana esta fechando a folha de pagamento e precisa colocar o percentual desse desconto. Qual esse percentual, sabendo que o salrio bruto de R$ 1640,00.3. Seu Jos um comprador que admira descontos sucessivos e crescentes. Ana Paula tem um produto X com primeirovalor deR$32,00evalor final R$28,80. Conhecendo seu cliente ela teve que fazer alguns descontos consecutivos para satisfazer a vontade de seu cliente (3 descontos crescentes). Invente 3 descontos que esteja dentro das exigncias de seu Jos.4. Combase no exerccio 3 qual seria o percentual de desconto(1descontoapenas) queAnadeveriadar parao seu Jos caso ele no tivesse o hbito dosdescontos. Prof. William Jos 29Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/035. Na compra de um produto paguei R$ 23,40 com desconto de 25%. Qual o valor do produto sem o desconto?6. Jaqueline vende seu produto com uma margem de lucro de 45%. Ao comprar o produto paguei o valor de R$ 98,20. Qual o custo desse produto para Jaqueline?7. Considere um valor qualquer acrescente 15% e posteriormente desconte 15% do valor obtido. O valor inicial igual ao valor final?8. Emuma apresentao de umvendedor ele disse as seguintes palavras: O primeiro desconto de 7% e mais outro desconto de 9%, totalizando um desconto total de 16%. Esta correta a fala do vendedor?IX DIVISO PROPORCIONAL43) Diviso em Partes Diretamente ProporcionaisDividir um nmero em partes diretamente a dois ou mais nmeros reparti-lo em parcelas que sejam diretamente proporcionais aos nmeros dados. Vejamos alguns exemplos: Exemplo - Dividir 65 em partes proporcionais a 5 e 8.Chamando de x e y as parcelas do nmero 65, podemos escrever a igualdade de razes :

25 5 * 55 15 x xx 40 5 * 88 15 y yyE assim: x = 25 e y = 40Exemplo - Repartir uma herana de R$ 44.100,00, em partes diretamente proporcionais s idades de trs irmos que possuem, respectivamente, 25, 20 e 18 anos de idade. Chamando de x, y e z as parcelas de cada um dos irmos, podemos escrever a igualdade de razes: *Para obter os valores abaixo vide exemplo anterior Prof. William Jos 30Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03E assim: x = R$ 17.500,00 ; y = R$ 14.000,00 e z = R$ 12.600,00 44) Diviso em Partes Inversamente Proporcionais Dividir um nmero em partes inversamente a dois ou mais nmeros reparti-lo em parcelas que sejam inversamente proporcionais aos nmeros dados. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1 - Dividir 52 em partes inversamente proporcionais a 4 e 9.Chamando de x e y as parcelas do nmero 52, podemos escrever a igualdade de multiplicaes: E assim: x = 36 e y = 16Exemplo 6 - Repartir 84 balas, em partes inversamente proporcionais s idades de trs irmos que possuem, respectivamente, 6, 5 e 3 anos de idade. Chamando de x, y e z as parcelas de cada um dos irmos, podemos escrever a igualdade de razes: Sendo o mmc 6,5,3 = 30 temos (ver mmc item 12 pgina 8) ; 3021843010306305 + +z y xPelo item 17 da pgina 12, conclumos:2184 * 301030630530 z y x 6x = 5y = 3z = 1206x = 120 x = 205y = 120 y = 243z = 120 z = 40Assim: A criana de 6 anos receber 20 balas, a de 5 anos receber 24 e a mais nova, de 3 anos, receber 40 balas, a maior parte das balas.O termo dividir em partes proporcionais quer dizer dividir em partes diretamente proporcionais. Se o enunciado no deixar claroseadivisodiretaouinversamenteproporcional a faamos como diviso em partes diretamente proporcional.45) Exerccios Prof. William Jos 31Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/031) Dividir 78 em partes diretamente proporcionais a 5 e 8.2) Divida o nmero 153 em trs parcelas que sejam diretamente proporcionais a 3, 5 e 9.3) Dividir 121 em partes diretamente proporcionais a 1, 1/2 e 1/3.4) Repartir 3300 em partes proporcionais a uma dezena, um cento e um milheiro.5) Separe em partes proporcionais a 0,2 ; 2 e 2/3 a quantia de R$ 129,00.6)DividirR$ 450,00entreosamigosCsareFelipedetal modo as partes sejam, respectivamente, proporcionais a 2 e 7.7) Encontre o nmero que ao ser dividido em partes diretamenteproporcionaisa4, 7e10determina25paraa maior das partes.8) Encontre o nmero que ao ser dividido em partes diretamenteproporcionais a2, 5e8encontra42paraa diferena entre a maior e menor das partes.9) Dividir 135 metros de tecido empartes inversamente proporcionais a 7 e8.10) Dividir 380 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 4.11) Divida 6500 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4.12) Dividir R$ 270,00 entre trs amigos Suzana, Marli e Cristina de tal modo as partes sejam, respectivamente, inversamente proporcionais a 0,5 ; 2 e 5. 13) (U. Mogi SP) Numa sociedade, houve um lucro de R$ 800,00. OscapitaisdossciosAeB, respectivamente, R$ 1.500,00 e R$ 900,00. Os scios A e B recebero em reais lucros, respectivamente, de:a) R$ 550,00 e R$ 250,00b) R$ 600,00 e R$ 200,00c) R$ 500,00 e R$ 300,00d) R$ 520,00 e R$ 280,0014) (PUCSP) Doisamigosjogaramnaloteriaesportiva, sendo que o primeiro entrou com R$ 140,00 e o segundo com R$ 220,00. Ganharam umprmiode R$ 162.000,00. Como deve ser rateado o prmio? a) R$63.000,00eR$99.000,00b) R$70.000,00eR$ 92.000,00c) R$ 50.000,00 e R$ 112.000,00 d) R$54.000,00 e R$ 108.000,00 Prof. William Jos 32Faculdades Integradas do Vale do IvaMantida pela Instituio Cultural e Educacional de Ivaipor ICEICredenciada pela Portaria MEC n. 3.511 de 26/11/03 D.O.U. 27/11/03Ref. Bibliogrficas;- SILVA, Sebastio Medeiros da, 1938 Matemtica: para os cursos de economia, administrao, cincias contbeis / Sebastio Medeiros da Silva, Elio Medeiros da Silva, Ermes Medeiros da Silva. 6 ed. So Paulo: Atlas, 2010.- DANTE, Luiz Roberto Matemtica, volume nico 1. edio so Paulo: tica, 2005- BARRETO FILHO, Benigno Matemtica aula por aula So Paulo: FTD, 2000O que aprendemos uma gota. O que deixamos de aprender um oceanoPaulo Freire Prof. William Jos 33