Apostila- Pré-Cálculo

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral

Curso: Engenharias

Profª: Gislaine Vieira

2

Capítulo 1 – Matemática Elementar

1.1) Conjuntos Numéricos

• Conjunto dos números Naturais (IN)

,...}4,3,2,1,0{=IN

• Conjunto dos números Inteitos (Z)

,...}3,2,1,0,1,2,3{..., −−−=Z

Notação: }0{,...}3,2,1,1,2,3{...,* −=−−−= ZZ =conjuntos dos números inteiros não

nulos.

,...}3,2,1{*=+Z = conjuntos dos números inteiros positivos.

}1,2,3{...,*−−−=−Z = conjuntos dos números inteiros negativos.

OBS:Todo número natural é um número inteiro e, portanto, ZIN ⊂

• Conjunto dos números Racionais (Q)

∈∈= */ ZbeZab

aQ

Exemplos: 1

66

1

00

1

44 ==

−=−

Todo número inteiro é racional. Portanto;

Os decimais exatos

Exemplos: 1000

32131131,32

100

12525,1,

100

1515,0 =−==

Os decimais periódicos(dízimas periódicas)

Exemplos: 1) 3

1....333,0 =

3

Chamamos r = 0,333..., e multiplicamos ambos os membros por 10, temos:

10 r =3,333.... Subtraindo membro a membro,as equações, vem:

10 r = 3,333...

r = 0,333...

9 r =3

Portanto: 9 r = 3

3

1

9

3==r

2) 99

31....313131,0 =

Chamamos r = 0,313131..., e multiplicamos ambos os membros por 210 , temos:

100 r =31,313131.... Subtraindo membro a membro,as equações, vem:

100 r = 31,313131...

r = 0,313131...

99 r = 31

Portanto: 9 9 r = 31

99

31=r

• Conjunto dos números Reais (IR)

O conjunto dos números reais (IR) é formado pelos números racionais e pelos

números irracionais. Os números reais podem ser representados por pontos de uma reta.

Assim, por exemplo, podemos determinar o ponto que representa o número

2 do seguinte modo:

O conjunto IR-Q indica o conjunto dos números irracionais, isto é, o conjunto

dos números reais que não são racionais.

Exemplos: 5)25(2 =−+ (racional)

2222 =+ (irracional)

4

1.2)Número Inteiros -Expressões Numéricas

Calcular as seguintes expressões numéricas:

1) =×+ 853

1ºPasso) =×+ 853 3 + 40 Calcula-se a multiplicação

2ºPasso) 3 + 40 = 43 Depois a soma

2) =÷+ 21819

1ºPasso) =÷+ 21819 19 + 9 Calcula-se a divisão

2ºPasso) 19 + 9 = 28 Depois a soma

3) =×++× 23)47(5

1ºPasso) =×++× 23)47(5 6)11(5 +× Calcula-se primeiro os parênteses

2ºPasso) =+× 6)11(5 55 + 6 Depois a multiplicação

3ºPasso) 55 + 6 = 61 e por último a soma

4) =−÷−÷+ )57(43)93(

1ºPasso) )2(43)12()57(43)93( ÷−÷=−÷−÷+ Calcula-se primeiro os

parênteses

2ºPasso) 24)2(43)12( −=÷−÷ Depois a multiplicação

3ºPasso) 4 – 2 = 2 e por último a soma

Regras dos sinais

5) =+×+ )5()2( +10

6) =+×− )3()2( - 6

7) =−×− )3()2( + 6

8) =−×+ )5()2( -10

9) =+÷+ )5()10( +2

10) =−÷+ )4()24( - 6

11) 81333334 =×××=

11) 9)3()3()3( 2 +=−×−=−

12) 8)2(4)2()2()2()2( 3 −=−×+=−×−×−=−

13) 16)16()2222(24 −=−=×××−=−

5

14) 8

1

2

12

33 ==−

15) 9

4

9

41

4

91

2

3

1

2

32

2

=×==

=

−

Fatoração

16) 8864 2 ==

17) 255.5555625 224 ====

18) 33 233 53 4222232 ===

Exemplos:

Calcule o valor numérico das expressões:

1) 52 )1()2()3()45(20 −×−+−÷−− =

Resolução:

272520)1()2(94520)1()2()3()45(20 52 =++=−×−+÷+=−×−+−÷−−

2) =÷−−−−+−− 255)325()1()2( 32

1203

Resolução: =÷−−−+−−=÷−−−−+−− 25125)925(1)8(255)325()1()2( 2

132

1203

= 05418516185)16(18 2

1

=−−+=−−+=−−++

3) =

÷+×

32

3

2

5

2

5

4

4

1

Resolução: 20

27

20

1

40

54

20

1

8

27

5

2

80

4

27

8

5

2

5

4

16

1

3

2

5

2

5

4

4

132

+=+=×+=÷+×=

÷+×

=5

7

20

28=

4) =÷−××−÷ )4,272,02,13,0(25)5,0( 2

Resolução:

07,0100

7

50

6

20

1

50

32

5

1

4

1

240

72

25

925

4

1

24

10

100

72

100

3625

100

25

10

24

100

72

10

12

10

325

10

5)4,272,02,13,0(25)5,0(

22

−=−

=−=

×−×=

−×−÷=

=

×−×−÷=

÷−××−÷

=÷−××−÷

6

Exercícios

Calcule o valor numéricos da expressões:

1) =4 81 2) =3 1000

3) =−+ 2024553 4) =+−5 4 3 9518.16

Tarefa: Lista 1 de exercícios

1.3)Números Fracionários -Expressões Numéricas

Exemplos:

1) 7

9

7

63

7

6

7

3=

+=+

2) 12

17

12

98

12

3.32.4

4

3

3

2=

+=

+=+ (m.m.c(3,4)=12)

3) 15

8

5.3

4.2

5

4.

3

2==

4) 5

6

10

12

2

3.

5

4

3

2

5

4===÷

Racionalização:

5) 2

23

4

23

2.2

2.3

2

3===

6)

6232

62

)3(.)2(

62

)3.2).(3.2(

)3.2(2

3.2

3.2.

3.2

2

32

222

+−=−

−==

−

−=

−+

−=

−

−

+=

+

Tarefa: Lista 2 de exercícios

1.4) Produtos Notáveis

1ºCaso)Produto da soma de dois termos

222 2)( bababa ++=+

2ºCaso)Produto da diferença de dois termos

222 2)( bababa +−=−

7

3ºCaso)Produto da soma pela diferença de dois termos

22)).(( bababa −=−+

4ºCaso)Cubo da soma de dois termos

32233 33)( babbaaba +++=+

5ºCaso)Cubo da diferença de dois termos

32233 33)( babbaaba −+−=−

6ºCaso)Fatoração que envolve Cubos

))(( 2233 babababa +−+=+

))(( 2233 babababa ++−=−

Exercícios:

Simplifique as expressões:

1) =+−−− )1).(1()1( 2 xxx 2) =−+ )32).(32( 22 baba

Simplifique as frações:

1) =+

ca

acac2

2

12

104 2) =+

−+

−

+

1

1

1

1

x

x

x

x

Tarefa: Lista 3 de exercícios

1.5)Equações do 1º Grau

Chamamos de equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser expressa

na forma: bax = , onde a e b são constante,com 0≠a , e chamamos de coeficientes.

O conjunto-solução é S =

a

b.

8

Exemplos:

Resolução em IR (IR=conjuntos dos números reais)

1) 3x-1 = 8 2)5x+7 = 2x+13

3x = 9 5x-2x = 13 -7

x = 3 3x = 6

S = {3} x = 2 S = {2}

3) 33

52

1

1=

−

−+

−

+

x

x

x

x

3

7

073

9123293

)3)(1(3293

3)3)(1(

)1)(52()3)(1(

22

2

−=

=+

+−=+−

−−=+−

=−−

−−+−+

x

x

xxxx

xxxx

xx

xxxx

S = {3

7− }

1.6)Equações do 2º Grau

Chamamos de equação do 2º grau na incógnita x a toda equação que pode ser expressa

na forma: 02 =++ cbxax , onde a , b e c são constante,com 0≠a , e chamamos de

coeficientes.

• Formula resolutiva da Báskara:.

02 =++ cbxax , 0≠a

a

bx

2

∆±−= onde acb 42 −=∆ é chamado discriminante da equação.

Se

)(0

)(0

)(20

21

21

complexassoluçõesexistemmasreaissoluçõesadmitenãoequaçãoA

xxduplaraiztemequaçãoaqueseDiz

xexreaisraizesExistem

⇒<∆

=−⇒=∆

⇒≥∆

• Soma e Produto das Raízes

Sendo 1x e 2x as raízes da equação do 2ºgrau, tem-se:

a

cxxP

a

bxxS

==

−=+=

21

21

.

9

Exercícios:

Resolver em IR:

1) 0532 =+− xx

2) 0242 2 =+− xx

3) 0872 2 =+− xx

4) 022 =− xx

5) 092 =−x

6) 022)22(2 =++− xx

Tarefa: Lista 4 de exercícios

10

1.7) Inequações em IR

Resolução em IR:

1) 3x > 12

x > 4

S={ 4/ >∈ xIRx } lê-se: {x pertence aos reais tal que x é maior do que 4}

2) 6x – 1 <11

6x < 10

3

56

10

<

<

x

x

S={3

5/ <∈ xIRx } lê-se: {x pertence aos reais tal que x é maior do que 5/3}

3) 02 ≤− x

0≥x

S={ 0/ ≥∈ xIRx } lê-se: {x pertence aos reais tal que x é maior ou igual a 0}

Tarefa: Lista 5 de exercícios

Exercícios:

Resolver:

1) 037 ≥+x 2) 039 ≤+− x

3) 32

1−≤

−x

x 4)

4

1

2

1

3>

−−

xx

5) 64312 ≥−≥ x 6) 9553 −≥−−> x

11

Capítulo 2 – Funções

2.1) O Plano Cartesiano

O Ponto A é identificado por: x = 2, y = 4. par ordenado(2,4)

O Ponto B é identificado por: x = 4, y = 2. par ordenado(4,2)

O Ponto A tem abscissa 2 e ordenada 4.

O Ponto B tem abscissa 4 e ordenada 2.

2.2) Função y = f(x)

Sempre que duas grandezas, x e y, estão relacionadas entre si, de modo que:

1. x pode assumir qualquer valor em um conjunto A;

2. a cada valor de x corresponde um único valor de y em um conjunto B;

dizemos que a grandeza que assume valores y é uma função da grandeza que assume

valores x, isto é, que y é uma função de x.

Exemplo: Para construir um galinheiro retangular um carpinteiro dispõe de 12m de tela.

Em um dos lados vai aproveitar uma parede já existente. Veja os desenhos abaixo.

Obter uma expressão que relaciona a área do galinheiro com a medida de um dos lados.

Resolução:

A

B

x

y

12

São dados: y(m²): área do galinheiro e x(m): medida de um lado do retângulo.

Assim, se dois lados medem x, o outro mede 12 – 2x. Logo,

y = x .(12 - 2x) ou y = 12x - 2x²

Desse modo descobrimos uma expressão que relaciona y com x.

A partir dessa lei, podemos construir uma tabela de valores,um diagrama de flechas e

um gráfico cartesiano.

Tabela:

x(m) 0 1 2 3 4 5 6

y(m²) 0 10 16 18 16 10 0

Diagrama de flechas:

Gráfico Cartesiano

0

1

2

3

4

5

0

10

16

18

16

10

Lado x(m) Área y(m²)

13

O domínio da função é o conjunto dos valores de x para os quais a situação é

possível. No exemplo, o domínio é formado pelos valores reais de x que são positivos e

menores do que 6, isto é, ]0,6[.

O conjunto imagem da função é formado pelos valores correspondentes aos

valores do domínio. No exemplo, o conjunto imagem é formado pelos valores de y que

são positivos e menores ou iguais a18, isto é, ]0,18].

Nova notação para função:

Quando y é uma função de x, escrevemos y = f(x) (lê-se: y é igual a f de x)

Indica-se por: BAf →: uma função em que x assume valores no conjunto A e y

assume os valores no conjunto B.

Exemplo: Considere a função IRf →]2,1[: definida por 2)( xxf =

Temos que: x assume valores no conjunto [1,2] e y assumi valores no conjunto IR.

2.3) Função Constante

IRIRf →:

f(x) = b onde b é um número real.

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto

(0,b).

Exemplo: f(x)= 4

O domínio da função é o conjunto D=IR e a

imagem é o conjunto Im={4}

2.4)Função do 1º Grau ou Função Afim

IRIRf →:

f(x) = ax +b onde a e b são constante e 0≠a .

O gráfico de uma função afim é um conjunto de pontos sobre uma reta.

14

y = 2*x+3

O coeficiente a é chamado de coeficiente angular ou declividade da reta. O coeficiente

angular é a tangente da inclinação da reta, isto é, é a tangente do ângulo que a reta

forma com o eixo x.

αtga =

Sendo ),(),( BBAA yxBeyxA dois pontos distintos da reta, então:

AB

AB

xx

yyaetga

−

−== α

O coeficiente b é chamado de coeficiente linear da reta. Para obtê-lo, basta fazer x = 0

em y = ax + b. Daí, y = b. Isso significa que o coeficiente linear é dado pelo ponto

(0,b), intersecção da reta com o eixo y.

Observação: Se b = 0 tem-se f(x) = ax e a função é chamada função linear. Neste caso

a reta passa pela origem do sistema cartesiano.

Exemplo: Construir o gráfico de f(x)= 2x+3

Para determinar a reta é suficiente obter dois pontos distintos dessa reta. Para isso,

simplesmente atribuímos dois valores distintos à variável x e construímos a tabela:

X y = f(x)

0 3

1 5

α

15

Para obter a intersecção da reta com o eixo x, devemos resolver a equação f(x) = 0:

2x+3 = 0 2x = -3 2

3−=x Portanto a reta intercepta o eixo x no ponto

−0,

2

3.

O coeficiente linear nos diz que a intersecção da reta com o eixo y é o ponto (0,3).

O conjunto domínio é IR e o conjunto imagem também é IR.

Exercícios:

Esboçar o gráfico e dar o domínio e a imagem.

1) f(x) = -1 2) f(x) = 2x – 6

3) f(x) = -x+3 4) f(x) = 5

Escreva a função do 1º grau representada pela reta:

5) 6)

Tarefa: Lista 9

2.5)Função do 2º Grau ou Função Quadrática

IRIRf →:

cbxaxxf ++= 2)( onde a,b e c são constantes e 0≠a .

16

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola que tem concavidade para cima, se

a > 0 ou concavidade para baixo de a < 0.

O sinal do discriminante acb 42 −=∆ determina a posição da parábola em relação ao

eixo x.

• Se ⇒>∆ 0 a parábola intercepta o eixo x nos pontos de abscissas

21 xex e que são as raízes da equação 02 =++ cbxax .

• Se ⇒=∆ 0 a parábola tangencia o eixo x nos pontos de abscissas

21 xx = que são as raízes da equação 02 =++ cbxax

• Se ⇒<∆ 0 a parábola não intercepta o eixo x

O Ponto vértice da parábola é obtido por:

∆−−=

aa

bV

4,

2.

Para o valor a

bx

2−= a função

ay

4

∆−= assume:

• Valor máximo, se a < 0 ou

• Valor mínimo, se a > 0.

Exemplo: 862 +−= xxy

Resolução: Para esboçar o gráfico da função, observamos o valor de a e o de .∆

Como a = 1 > 0 então a parábola tem concavidade para cima e como

432368.1.4)6( 2 =−=−−=∆ > 0 a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.

Para descobrir o conjunto imagem, dependemos do vértice da parábola. Lembrando que:

31.2

6

2=

−−=−=

a

bxV e 1

1.4

4

4−=−=

∆−=

ayV

17

y = 3^x

O conjunto domínio é D = IR, e o conjunto imagem é Im = }1/{ −≥∈ yIRy .

Exercícios:

Esboçar o gráfico, dar o domínio e o conjunto imagem de cada função.

1) 122 ++= xxy 2) 42 +−= xy

3) 32 += xy 4) xxy −−= 2

2.6)Função Exponencial *: +→ IRIRf

xaxf =)( onde a é um número real positivo e 1≠a .

Sobre a função exponencial xaxf =)( podemos afirmar que:

• Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto P(0,1);

• O conjunto-imagem é }0/{ >∈ yIRy ;

• f é uma função crescente se, e somente se, a >1;

• f é uma função decrescente se, e somente se, 0< a <1;

OBS: Uma função é crescente se : 2121

xxaaxx <⇔<

Uma função é decrescente se : 2121

xxaaxx >⇔<

Exemplo: xxf 3)( =

A função é crescente, pois a =3 >0. O conjunto domínio é IRD = e o conjunto

imagem é Im = +=>∈ *}0/{ IRyIRy

x f(x)

0 1

1 3

-1

3

1

18

Exemplo: x

xf

=

2

1)(

A função é decrescente, pois 12

10 <=< a . O conjunto domínio é IRD = e o conjunto

imagem é Im = +=>∈ *}0/{ IRyIRy

Exercícios:

Construa uma tabela para os seguintes valores de x: -2, -1, 0, -1 e 2, a seguir, desenhe o

gráfico da função exponencial e dê o seu domínio e seu conjunto imagem.

1) x

xf

=

3

1)( 2) xxf 2)( =

Tarefa: Lista 8 de exercícios

x f(x)

0 1

1

2

1

-1 2

19

2.7) Logaritmo

Definição: Dados os números reais positivos a e b com 1≠b , chamamos de logaritmo

de a na base b, que indicamos por ablog , ao número x tal que ab x = .

Em símbolo: abxa x

b =⇔=log

Nomenclatura:

I.) Sendo ax blog= temos:

x: logaritmo

a : logaritmando ou antilogaritmo

b: base do logaritmo

II) a10log é chamado de logaritmo decimal de a e convencionou-se, neste caso, escrever

simplesmente alog

III) aelog é chamado de logaritmo neperiano (logaritmo natural) de a e convencionou-

se, neste caso, escrever aln .

O número e é um irracional cujas primeiras casa decimais são 2,71828...

IV) Chama-se co-logaritmo de a na base b ao oposto do logaritmo de a na base b,isto é:

aaco bb loglog −=

Conseqüências da definição

I) 01log =b

II) 1log =bb

III) Kb K

b =log

IV) abab =log

Exemplos:

1) 38log2 = pois 823 =

2) 2

15log5 = pois 55 2

1

=

3) 35 3log5 =

20

Exercícios:

Calcule os seguintes logaritmos:

1) =32log2 2) =8log2

1

3) =01,0log 4) =25log5co

5) Para que valores de x existe )5(log xx − ?

6) Calcule o logaritmo de 4 na base 0,25.

Propriedades dos Logaritmos

Satisfeitas as condições de existência dos logaritmos, tem-se:

1) NMNM bbb loglog).(log +=

2) NMN

Mbbb logloglog −=

3) MkM b

K

b log.)(log =

4) b

aa

c

c

b log

loglog = (Mudança de base)

Exercícios:

1)Dado que 30,02log ≈ e 47,03log ≈ , obtenha:

a) =6log b) =8log

c) =5log d) =3log2

e) =45log

21

2.8)Circunferência

É o conjunto de todos os pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo desse plano,

chamado centro Todos os pontos dessa circunferência distam r (raio)do ponto O.

Equação Reduzida da circunferência de centro (a,b) e raio r: 22222 )()( rbyax =−+−

Equação Geral: 022 22222 =−++−−+ rbabyaxyx

Exercícios:

Encontre uma equação para as circunferências abaixo:

1) 2)

Diga se as equações abaixo, representam circunferências. Em caso positivo, determine o

raio e o centro.

3) 2522 =+ yx 4) 25)4()3( 22 =−+− yx

5) 368622 −=−−+ yxyx 6) 15

1 22

=+

+ yx

.O

22

Tarefa: Lista 10 de exercicios

2.9)Elipse

Elipse é o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos

é constantes. Os pontos fixos são chamados de focos.

Equação Reduzida da elipse de centro (h,k) : 1)()(

2

2

2

2

=−

+−

b

ky

a

hx

Equação Geral: 022 =++++ FEyDxCyAx

Exercícios:

Encontre uma equação para as elipses abaixo:

1) 2)

3)

O

a

b

23

Diga se as equações abaixo, representam elipses. Em caso positivo, determine o centro.

3) 100425 22 =+ yx 4) 05284 22 =++−+ yxyx

5) 011191281501625 22 =−−++ yxyx

2.10) Hipérboles

Uma hipérbole é o conjunto de pontos no plano, cujo valor absoluto da diferença das

distancias a dois pontos fixos é uma constante. Os dois pontos fixos são denominados

de focos.

Equação Reduzida da hipérbole centro (h,k) : 1)()(

2

2

2

2

=−

−−

b

ky

a

hx

Equação Geral: 022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

Exemplo: 122 2

2

2

2

=−yx

Exercícios:

Esboce as hipérboles:

1) 1169

22

=−yx

2) 1169

22

=−xy

24

Capítulo 3 – Trigonometria

3.1) Trigonometria no Triângulo Retângulo

Considere o triângulo retângulo abaixo. Definimos:

Seno de um ângulo α agudo como: H

CO

Hipotenusa

toCatetoOpos==)sen(α

Co-seno de um ângulo α agudo, como: H

CA

Hipotenusa

centeCatetoAdja==)cos(α

Tangente de um ânguloα agudo, CA

CO

centeCatetoAdja

toCatetoOpostg ==)(α

Cotangente de um ângulo α agudo,como: CO

CA

toCatetoOpos

centeCatetoAdjag ==)(cot α

Secante de um ângulo α agudo, como: CA

H

centeCatetoAdja

Hipotenusa==)sec(α

Co-secante de um ângulo agudo, como : CO

H

toCatetoOpos

Hipotenusa==)sec(cos α

Exemplos:

Sabemos que sen(36º) = 0.58, cos(36º) = 0.80 e tg(36º) = 0.72 , Calcular o valor de x

em cada figura:

Resolução:

25

a) cmxxx

8,510

58,010

)36sen( =⇒=⇒=°

b) mxxx

45

80,05

)36cos( =⇒=⇒=°

c) Kmxxx

tg 4,1420

72,020

)36( =⇒=⇒=°

Teorema de Pitágoras:

Em todo triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao

quadrado da medida da hipotenusa. Isto é:

222 acb =+

Exemplo: Sabendo que α é um ângulo agudo e que 13

5)cos( =α , calcular )(αtg e

)(cot αg .

Resolução:

Existe um triangulo retângulo com ângulo agudo α tal que o cateto adjacente a α

mede 5 e a hipotenusa mede 13.Chamamos x o valor do cateto oposto ao ângulo agudo.

Pelo teorema de Pitágoras temos :

222 135 =+x

12

144

251692

2

=

=

−=

x

x

x

Logo, 5

12)( ==

centeCatetoAdja

toCatetoOpostg α e

12

5)(cot ==

CO

CAg α

Exercício: Sabendo que α é um ângulo agudo e que 5

3)sen( =α , calcular )(αtg e

)(cot αg .

26

Tabela dos Ângulos Notáveis

30º 45º 60º

Sen

2

1

2

2

2

3

Cós

2

3

2

2

2

1

Tg

3

3

1 3

Por convenção:

)sen(sen

))(cos()(cos

))(sen()(sen

αα

αα

αα

kk

nn

nn

=

=

=

Exemplos:

Calcular o valor das expressões:

1))º45()º30(sen

)º30(cos)º60cos(53

2

tgE

+

+=

Resolução:

9

10

8

94

5

18

14

3

2

1

12

1

2

3

2

1

)º45()º30(sen

)º30(cos2

1

53

2

53

2

==

+

+=

+

+

=+

+=

tgE

2)x

xxE

2cos

4cos2sen2

+= para x=15º

Resolução:

3

4

4

31

2

3

2

1

2

1

)º30(cos

)º60cos()º30sen(

)º15.2(cos

)º15.4cos()º15.2sen(222

==

+=

+=

+=E

27

3)Determinar o valor de x na figura:

Resolução:

Como o triangulo BCD é isósceles , pois possui dois ângulos de mesma medida; logo,

CD=BD=20m.

Assim, do triangulo ABD, temos que:

310

202

3

20º60sen

=

=

==

x

x

x

BD

x

Logo, 310=x m

4) Sabendo que 3,2 == βα tgtg , calcular o valor de x na figura

Resolução:

Vamos introduzir uma variável auxiliar, fazendo DA=y.

Assim do triangulo ABC temos:

y

x

y

xtg

+=⇒

+=

52

5α

28

Do triangulo ABD temos:

y

x

y

xtg =⇒= 3β

Devemos então resolver o sistema:

=⇒=

+=

)(3

3

)(5

2

IIx

yy

x

Iy

x

Substituindo (II) em (I), temos:

30

35

2 =⇒

+

= xx

x

Logo, 30=x cm

Exercícios

Determine a medida x nos triângulos retângulos abaixo:

1) 2)

3 Um avião levanta vôo sob ângulo de 30º em relação à linha do horizonte.Quando tiver

percorrido 900m, sua distância em relação ao solo será:

a)410m

b)420m

c)430m

d)440m

e)450m

6

x

30º 7

x

45º

29

4)Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores X e Y sob ângulos de

30º e 60º com a horizontal, como mostra a figura abaixo.

Se a distancia entre os observadores é de 40m, qual é aproximadamente a altura da

torre?(Se necessário, utilize 4,12 = e 7,13 = ).

5)Obter o valor x na figura.

30º 60º

A B

C

100

x

30

3.2) Medidas de arcos e arcos trigonométricos

Medida de Arco

Para medir um arco menor que uma semicircunferência, usaremos o ângulo

central correspondente. A medida de arco é a medida do ângulo central. Na figura,

temos AÔB=m(AB).

• A medida de uma semicircunferência é 180º.

• A medida de uma circunferência ou de um arco de uma volta é 360º.

• A medida de um arco maior é igual a 360º menos a medida do arco menor

correspondente.

Radiano

Um radiano é o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o

contém. Símbolo: rad.

Desse modo, um ângulo central mede 1 rad se, e somente se, determina na

circunferência um arco correspondente de 1 rad.

Para determinarmos a medida de um arco AB em radianos, podemos dividir o

comprimento de AB pelo comprimento do raio r. Assim, sendo l o comprimento do arco

AB:

31

radr

lABmed =)(

Pela geometria, sabemos que o comprimento da circunferência é rC π2= .

Sendo assim, a medida, em radianos, do arco de volta inteira é:

radr

rCmed π

π2

2)( ==

Como 14,3≈π , temos:

radCmed 28,6)( ≈

No comprimento da circunferência “cabem”, aproximadamente, 6,28 vezes o

comprimento do raio.

Conversão de unidades

Lembrando que o arco de volta inteira mede 360º, ou radπ2 , podemos estabelecer a

seguinte regra-de-três:

yx

rad

___________

2_________º360 π

Ou ainda:

yx

rad

___________

_________º180 π

Disso segue que: 1° é equivalente(~) π180

1rad e 1 rad é equivalente a

π

°180

Exemplos: a)Ache a medida equivalente em radianos de 162°

b)Ache a medida equivalente em graus de 12

5π rad

Resolução:

a) 162° ~162.180

π rad

32

162° ~ 10

9π rad

b)π

ππ °180.

12

5~

12

5rad

°75~12

5rad

π

Tarefa: Lista 6

Arcos Trigonométricos

Consideremos, no plano cartesiano XOY,uma circunferência de centro O(0,0) e raio

igual a 1. Sobre essa circunferência são marcados os arcos trigonométricos que:

• Tem origem no ponto A(1,0).

• Tem medidas algébricas positivas, se percorridos no sentido anti-horário.

• Tem medidas algébricas negativas,se percorridos no sentido horário.

Essa circunferência é chamada circunferência trigonométrica ou ciclo

trigonométrico.

Convenções

I) O sistema de coordenadas XOY divide a circunferência trigonométrica em quatro

partes iguais, denominadas quadrantes.

Assim:

• 1° Quadrante: 0° a 90° ou ( 0 rad a 2

πrad)

• 2° Quadrante: 90° a 180° ou ( 2

πrad a π )

33

• 3° Quadrante: 180° a 270° ou ( π rad a 2

3πrad)

• 4° Quadrante: 270° a 360° ou ( 2

3πrad a π2 )

Exemplo: 30º está no 1º quadrante , pois 0º < 30 º < 90º

II) Será omitido o símbolo rad nos arcos trigonométricos em radianos.

Simetrias

Se 0º < x < 90º, temos:

Se 2

0π

<< x ,temos:

Esses arcos trigonométricos são chamados arcos trigonométricos

correspondentes.

34

3.3)Seno e Cosseno de um arco trigonométrico

Considere no plano cartesiano XOY uma circunferência de centro O(0,0) e raio

igual a 1, e seja x a medida de um arco trigonométrico com extremidade em M

Então:

I) Seno do arco de medida x é a ordenada do ponto M

sen x = OD

II) Cosseno do arco de medida x é a abscissa do ponto M

cos x = OC

E, ainda:

• O eixo OY é o eixo dos senos.

• O eixo OX é o eixo dos co-senos.

Exemplo: Sabendo que e 87,02

3º30cos5,0

2

1º30sen ≅=== , achar um valor

aproximado de:

a) sen 150º e cos 150º

b)sen 210º e cos 210º

35

Solução:

a) θ== º150AP

Então:

−≅−=

==

87,0º30cosº150cos

5,0º30senº150sen

b) θ== º210AP

36

Então:

−≅−=

−=−=

87,0º30cosº210cos

5,0º30senº210sen

O exemplo anterior mostra que há uma relação entre o quadrante e o valor de seno e

cosseno. Sendo θ a medida de um arco e P a sua extremidade, notamos que:

• P no primeiro quadrante: ;0cos0sen >> θθ e

• P no 2º quadrante: 0cos0sen <> θθ e ;

• P no 3º quadrante: 0cos0sen << θθ e

• P no 4º quadrante: 0cos0sen >< θθ e

Sendoθ a medida de um arco com extremidade no 1º quadrante:

• θθθθ cos)º180cos(sen)º180(sen −=−=− e

• θθθθ cos)º180cos(sen)º180sen( −=+−=+ e

• θθθθ cos)º360cos(sen)º360sen( =−−=− e

3.4)Tangente de um arco trigonométrico- Outras relações

trigonométricas

Considere no plano cartesiano XOY uma circunferência de centro O(0,0) e raio

igual a 1, e seja x a medida de um arco trigonométrico com extremidade em M,não

coincidente com B nem com B’.

37

Então:

Tangente de um arco de medida x é a ordenada do ponto T.

tg x = AT

Nota: O eixo paralelo ao eixo das ordenadas, orientado como este e que passa pelo

ponto A, é chamado eixo das tangentes.

Relação entre tangente, seno e co-seno

Seja x a medida de um arco trigonométrico com extremidade no ponto M.

Da figura, os triângulos OAT e COM são semelhantes. Logo:

x

xsenxtg

OC

CM

OA

AT

cos1=∴=

Assim:

0cos,cos

≠= xx

xsenxtg .

38

Outras relações trigonométrica

Além de seno, co-seno e tangente de um arco, existem mais três relações que, satisfeitas

as condições de existência, são inversas das três primeiras.

I) Co-tangente

0,cos

cot ≠= xsenxsen

xxg

II) Secante

0cos,cos

1sec ≠= x

xx

III) Co-secante

0,1

cos ≠= xsenxsen

xec

Conseqüências

a) xtg

xg1

cot =

b) xtgx 22 1sec +=

c) xgxec 22 cot1cos +=

d) 1)sec).(cos(sen =αα

e) 1)).(sec(cos =αα

f) 1)).(cot( =αα gtg

Tarefa: Lista 7

3.5)Funções Trigonométricas

A) Função Seno

Chama-se função seno à função que associa a todo número real, x, a ordenada

do ponto M, imagem de x na circunferência trigonométrica.

Então, podemos definir a função seno como sendo:

xsenxf

IRf

=

−→

)(

]1,1[:

39

Assim:

I) Domínio D = IR

II) Conjunto-imagem IM = [-1,1]

III) Gráfico

Colocando ao pares (x, sen x ) em um sistema de coordenadas cartesianas e unindo

esses pontos, temos uma parte do gráfico da função seno, ou, ainda, uma parte de uma

curva chamada senóide.

IV) Período

Observe que, de π2 em π2 , as imagens se repetem, isto é:

IRxxxsenxsen ∈∀+= ,)2( π

Assim,dizemos que a função seno é periódica; o seu período vale π2 .O período

é o menor intervalo no qual a função passa por um ciclo completo de sua variação.

40

V) Paridade

A função seno é uma função ímpar, pois: IRxxxsenxsen ∈∀−=− ,)()(

B) Função Co-seno

Chama-se função co-seno à função que associa a todo número real, x, a abcissa

do ponto M, imagem de x na circunferência trigonométrica.

Então, podemos definir a função seno como sendo:

xxf

IRf

cos)(

]1,1[:

=

−→

Assim:

I) Domínio D = IR

II) Conjunto-imagem IM = [-1,1]

III) Gráfico

41

IV) Período

Observe que, de π2 em π2 , as imagens se repetem, isto é:

IRxxxx ∈∀+= ,)2(coscos π

Assim,dizemos que a função co-seno é periódica; o seu período vale π2 .

V) Paridade

A função co-seno é uma função par, pois: IRxxxx ∈∀=− ,)(cos)(cos

C) Função Tangente

Definimos a tangente de um número real como sendo a razão do seno para o co-

seno desse real. Assim: 0cos,cos

≠= xx

xsenxtg .

Observe que cos x = 0 verifica-se para Zhhx ∈+= ,2

ππ

. Assim, para todo real

x, Zhhx ∈+≠ ,2

ππ

, a tangente existe , e é única. Potanto, podemos definir a função

tangente como sendo: }

→∈+≠∈ IRZhhxIRxf ,2

/: ππ

e f(x) = tg x

42

A função tangente associa a todo número real x , Zhhx ∈+≠ ,2

ππ

, a ordenada

do ponto T, no eixo das tangentes.

Assim:

I)Domínio }

∈+≠∈= ZhhxIRxD ,2

/ ππ

II) Conjunto-imagem IM = IR

III)Gráfico

IV)Período

Observe que, de π em π , as imagens se repetem, isto é:

Zhxxxtgxtg ∈+≠∀+= ,2

,)( ππ

π

Assim,dizemos que a função tangente é periódica; e o seu período vale π .

43

V) Paridade

A função tangente é uma função ímpar, pois: Zhhxxxtgxtg ∈+≠∀−=− ,2

,)()( ππ

Exemplo: Use a periodicidade da seno e cosseno para determinar o valor exato da

função

a)

4

17sen

π

b)

3

7cos

π

c)

−

3

2cos

π

Resolução:

44

a)

4

17sen

π=

2

2

4sen2.2

4sen4

4sen

4

16

4sen

4

16sen =

=

+=

+=

+=

+ ππ

ππ

πππππ

b)

3

7cos

π=

2

1

3cos2

3cos

3

6cos =

=

+=

+ ππ

πππ

c)

−

3

2cos

π=

2

1

3

4cos2

3

4cos

3

64cos −=

=

−=

− ππ

πππ