Apostila- Pr-Clculo Disciplina: Clculo Diferencial e Integral Curso: Engenharias Prof: Gislaine Vieira 2 Captulo 1 Matemtica Elementar1.1) Conjuntos Numricos Conjunto dos nmeros Naturais (IN) ,...} 4 , 3 , 2 , 1 , 0 { = INConjunto dos nmeros Inteitos (Z) ,...} 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 {..., = ZNotao:} 0 { ,...} 3 , 2 , 1 , 1 , 2 , 3 {...,* = = Z Z =conjuntos dos nmeros inteiros no nulos. ,...} 3 , 2 , 1 {*=+Z = conjuntos dos nmeros inteiros positivos. } 1 , 2 , 3 {...,* =Z = conjuntos dos nmeros inteiros negativos. OBS:Todo nmero natural um nmero inteiro e, portanto,Z IN Conjunto dos nmeros Racionais (Q) )` =*/ Z b e Z abaQExemplos: 166100144 = == Todo nmero inteiro racional. Portanto; Os decimais exatos Exemplos:100032131131 , 3210012525 , 1 ,1001515 , 0 = = = Os decimais peridicos(dzimas peridicas) Exemplos: 1) 31.... 333 , 0 =3 Chamamos r = 0,333..., e multiplicamos ambos os membros por 10, temos: 10 r =3,333.... Subtraindo membro a membro,as equaes, vem: 10 r = 3,333... r = 0,333... 9 r =3 Portanto: 9 r = 3

3193= = r 2) 9931.... 313131 , 0 =Chamamos r = 0,313131..., e multiplicamos ambos os membros por 210 , temos: 100 r =31,313131.... Subtraindo membro a membro,as equaes, vem: 100 r = 31,313131... r = 0,313131... 99 r = 31 Portanto: 9 9 r = 31

9931= r Conjunto dos nmeros Reais (IR) Oconjuntodosnmerosreais(IR)formadopelosnmerosracionaisepelos nmeros irracionais. Os nmeros reais podem ser representados por pontos de uma reta. Assim,porexemplo,podemosdeterminaropontoquerepresentaonmero 2 do seguinte modo: OconjuntoIR-Qindicaoconjuntodosnmerosirracionais,isto,oconjunto dos nmeros reais que no so racionais. Exemplos:5 ) 2 5 ( 2 = + (racional) 2 2 2 2 = +(irracional) 4 1.2)Nmero Inteiros -Expresses Numricas Calcular as seguintes expresses numricas: 1)= + 8 5 3 1Passo) = + 8 5 3 3 + 40Calcula-se a multiplicao 2Passo) 3 + 40 =43Depois a soma2) = + 2 18 191Passo) = + 2 18 19 19 + 9Calcula-se a diviso 2Passo) 19 + 9 = 28Depois a soma 3)= + + 2 3 ) 4 7 ( 51Passo)= + + 2 3 ) 4 7 ( 5 6 ) 11 ( 5 + Calcula-se primeiro os parnteses 2Passo)= + 6 ) 11 ( 555 + 6Depois a multiplicao3Passo) 55 + 6 = 61e por ltimo a soma 4) = + ) 5 7 ( 4 3 ) 9 3 ( 1Passo) ) 2 ( 4 3 ) 12 ( ) 5 7 ( 4 3 ) 9 3 ( = + Calcula-seprimeiroos parnteses 2Passo)2 4 ) 2 ( 4 3 ) 12 ( = Depois a multiplicao3Passo) 4 2 = 2e por ltimo a soma Regras dos sinais 5)= + + ) 5 ( ) 2 (+10 6)= + ) 3 ( ) 2 (- 6 7)= ) 3 ( ) 2 (+ 6 8)= + ) 5 ( ) 2 (-10 9)= + + ) 5 ( ) 10 (+2 10)= + ) 4 ( ) 24 (- 6 11)81 3 3 3 3 34= =11)9 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 (2+ = = 12)8 ) 2 ( 4 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (3 = + = = 13)16 ) 16 ( ) 2 2 2 2 ( 24 = = = 5 14) 8121233= = 15) 949414912312322= = =||

\|= ||

\| Fatorao 16)8 8 642= =17)25 5 . 5 5 5 5 6252 2 4= = = =18) 3 3 2 3 3 5 34 2 2 2 2 32 = = =Exemplos: Calcule o valor numrico das expresses: 1) 5 2) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 45 ( 20 + = Resoluo: 27 2 5 20 ) 1 ( ) 2 ( 9 45 20 ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 45 ( 205 2= + + = + + = + 2)= + 25 5 ) 3 25 ( ) 1 ( ) 2 (3212 0 3 Resoluo:= + = + 25 125 ) 9 25 ( 1 ) 8 ( 25 5 ) 3 25 ( ) 1 ( ) 2 (213212 0 3 = 0 5 4 1 8 5 16 1 8 5 ) 16 ( 1 821= + = + = + +3)= ||

\| + ||

\|3 232525441 Resoluo: 20272014054201827528042785254161325254413 2+ = + = + = + = ||

\| + ||

\| =572028= 4)= ) 4 , 2 72 , 0 2 , 1 3 , 0 ( 2 5 ) 5 , 0 (2 Resoluo: 07 , 0100750620150325141240722592 541241010072100362 51002510241007210121032 5105) 4 , 2 72 , 0 2 , 1 3 , 0 ( 2 5 ) 5 , 0 (22 == = ||

\| = ||

\| == ||

\| = ||

\| ||

\|= 6 Exerccios Calcule o valor numricos da expresses: 1)=481 2)=31000 3)= + 20 2 45 5 3 4)= + 5 4 39 5 18 . 16 Tarefa: Lista 1 de exerccios 1.3)Nmeros Fracionrios -Expresses Numricas Exemplos: 1) 7976 37673=+= +2) 1217129 8123 . 3 2 . 44332=+=+= + (m.m.c(3,4)=12) 3) 1585 . 34 . 254.32= =4) 56101223.543254= = = Racionalizao: 5) 22 342 32 . 22 . 323= = =6) 6 23 26 2) 3 (. ) 2 (6 2) 3 . 2 ).( 3 . 2 () 3 . 2 ( 23 . 23 . 2.3 . 223 222 2+ ==== +=+=+Tarefa: Lista 2 de exerccios 1.4) Produtos Notveis 1Caso)Produto da soma de dois termos 2 2 22 ) ( b ab a b a + + = +2Caso)Produto da diferena de dois termos 2 2 22 ) ( b ab a b a + = 7 3Caso)Produto da soma pela diferena de dois termos 2 2) ).( ( b a b a b a = +4Caso)Cubo da soma de dois termos 3 2 2 3 33 3 ) ( b ab b a a b a + + + = +5Caso)Cubo da diferena de dois termos 3 2 2 3 33 3 ) ( b ab b a a b a + = 6Caso)Fatorao que envolve Cubos ) )( (2 2 3 3b ab a b a b a + + = +) )( (2 2 3 3b ab a b a b a + + = Exerccios: Simplifique as expresses: 1)= + ) 1 ).( 1 ( ) 1 (2x x x 2)= + ) 3 2 ).( 3 2 (2 2b a b a Simplifique as fraes: 1)=+c aac ac221210 42)=+++1111xxxx Tarefa: Lista 3 de exerccios 1.5)Equaes do 1 Grau Chamamos de equao do 1 grau na incgnita x atoda equao que pode ser expressana forma: b ax = , onde a e b so constante,com0 a , e chamamos de coeficientes. O conjunto-soluo S =)`ab. 8 Exemplos: Resoluo em IR (IR=conjuntos dos nmeros reais) 1) 3x-1 = 8 2)5x+7 = 2x+13 3x = 95x-2x = 13 -7 x = 3 3x = 6 S = {3} x = 2S = {2} 3)335 211=++xxxx 370 7 39 12 3 2 9 3) 3 )( 1 ( 3 2 9 33) 3 )( 1 () 1 )( 5 2 ( ) 3 )( 1 (2 22 == ++ = + = + = + +xxx x x xx x x xx xx x x x S = {37 } 1.6)Equaes do2 Grau Chamamos de equao do 2 grau na incgnita x atoda equao que pode ser expressana forma: 02= + + c bx ax , onde a , b e c so constante,com0 a , e chamamos de coeficientes. Formula resolutiva da Bskara:.02= + + c bx ax,0 aabx2 =ondeac b 42 = chamado discriminante da equao. Se ) ( 0) ( 0) ( 2 02 12 1complexas solues existem mas reais solues admite no equao Ax x dupla raiz tem equao a que se Dizx e x reais raizes Existem < = = Soma e Produto das Razes Sendo 1xe 2x as razes da equao do 2grau, tem-se: acx x Pabx x S= = = + =2 12 1. 9 Exerccios: Resolver em IR: 1)0 5 32= + x x2)0 2 4 22= + x x3)0 8 7 22= + x x4)0 22= x x5)0 92= x6) 0 2 2 ) 2 2 (2= + + x x Tarefa: Lista 4 de exerccios 10 1.7) Inequaes em IR Resoluo em IR: 1) 3x > 12 x > 4 S={ 4 / > x IR x } l-se: {x pertence aos reais tal que x maior do que 4} 2) 6x 1 x x 5)6 4 3 12 x 6)9 5 5 3 > x 11 Captulo 2 Funes 2.1) O Plano Cartesiano O Ponto A identificado por: x = 2, y = 4. par ordenado(2,4) O Ponto B identificado por: x = 4, y = 2.par ordenado(4,2) O Ponto A tem abscissa 2 e ordenada 4. O Ponto B tem abscissa 4 e ordenada 2. 2.2) Funo y = f(x) Sempre que duas grandezas, x e y, esto relacionadas entre si, de modo que: 1.x pode assumir qualquer valor em um conjunto A; 2.a cada valor de x corresponde um nico valor de y em um conjunto B;dizemosqueagrandezaqueassumevaloresyumafunodagrandezaqueassume valores x, isto , que y uma funo de x. Exemplo: Para construir um galinheiro retangular um carpinteiro dispe de 12m de tela. Emumdosladosvaiaproveitarumaparedejexistente.Vejaosdesenhosabaixo. Obter uma expresso que relaciona a rea do galinheiro com a medida de um dos lados. Resoluo: A B x y 12 So dados:y(m): rea do galinheiro e x(m): medida de um lado do retngulo. Assim, se dois lados medem x, o outro mede 12 2x. Logo, y = x .(12 - 2x) ouy = 12x - 2x Desse modo descobrimos uma expresso que relaciona y com x. Apartirdessalei,podemosconstruirumatabeladevalores,umdiagramadeflechase um grfico cartesiano. Tabela: x(m)0123456 y(m)010161816100 Diagrama de flechas: Grfico Cartesiano 0 1 2 3 4 5 0 1016 18 16 10 Lado x(m)rea y(m) 13 Odomniodafunooconjuntodosvaloresdexparaosquaisasituao possvel. No exemplo, o domnio formado pelos valores reais de x que so positivos e menores do que 6, isto , ]0,6[. Oconjuntoimagemdafunoformadopelosvalorescorrespondentesaos valores do domnio. No exemplo, o conjunto imagem formado pelos valores de y que so positivos e menores ou iguais a18, isto , ]0,18]. Nova notao para funo: Quando y uma funo de x, escrevemos y = f(x)(l-se: y igual a f de x) Indica-sepor:B A f : umafunoemquexassumevaloresnoconjuntoAey assume os valores no conjunto B. Exemplo: Considere a funoIR f ] 2 , 1 [ :definida por 2) ( x x f =Temos que: x assume valores no conjunto [1,2] e y assumi valores no conjunto IR. 2.3) Funo Constante IR IR f : f(x) = bondeb um nmero real. O grfico de uma funo constante uma reta paralela ao eixo x, passando peloponto (0,b). Exemplo: f(x)= 4 OdomniodafunooconjuntoD=IRea imagem o conjunto Im={4} 2.4)Funo do 1 Grau ou Funo Afim IR IR f : f(x) = ax +bonde a e b so constante e0 a . O grfico de uma funo afim um conjunto de pontos sobre uma reta. 14 y = 2*x+3O coeficiente a chamado de coeficiente angular ou declividade da reta. Ocoeficiente angularatangentedainclinaodareta,isto,atangentedonguloqueareta forma com o eixo x. tg a =Sendo) , ( ) , (B B A Ay x B e y x Adois pontos distintos da reta, ento: A BA Bx xy ya e tg a= = O coeficiente b chamado de coeficiente linear da reta.Para obt-lo, basta fazer x = 0 emy=ax+b.Da,y=b.Issosignificaqueocoeficientelineardadopeloponto (0,b), interseco da reta com o eixo y. Observao: Se b = 0 tem-se f(x) = ax e a funo chamada funo linear. Neste caso a reta passa pela origem do sistema cartesiano. Exemplo: Construir o grfico de f(x)= 2x+3 Paradeterminararetasuficienteobterdoispontosdistintosdessareta.Paraisso, simplesmente atribumos dois valores distintos varivel x e construmos a tabela: Xy = f(x) 03 15 15 Para obter a interseco da reta com o eixo x, devemos resolver a equao f(x) = 0: 2x+3 = 02x = -323 = xPortanto a reta intercepta o eixo x no ponto||

\| 0 ,23. O coeficiente linear nos dizque a interseco da reta com o eixo y o ponto (0,3). O conjunto domnio IR e o conjunto imagem tambm IR. Exerccios: Esboar o grfico e dar o domnio e a imagem. 1) f(x) = -1 2) f(x) = 2x 6 3) f(x) = -x+3 4) f(x) = 5 Escreva a funo do 1 grau representada pela reta: 5)6) Tarefa: Lista 9 2.5)Funo do 2 Grau ou Funo Quadrtica IR IR f : c bx ax x f + + =2) ( onde a,b e c so constantes e0 a . 16 O grfico de uma funo quadrtica uma parbola que tem concavidade para cima, se a > 0ou concavidade para baixo de a < 0. Osinaldodiscriminanteac b 42 = determinaaposiodaparbolaemrelaoao eixo x. Se > 0 aparbolainterceptaoeixoxnospontosdeabscissas 2 1x e xeque soas razes da equao02= + + c bx ax . Se = 0 aparbolatangenciaoeixoxnospontosdeabscissas 2 1x x = que soas razes da equao02= + + c bx axSe < 0 a parbola no intercepta o eixo x O Ponto vrtice da parbola obtido por:||

\| =a abV4,2. Para o valorabx2 =a funo ay4 =assume: Valor mximo, se a < 0 ou Valor mnimo, se a > 0. Exemplo:8 62+ = x x yResoluo: Para esboar o grfico da funo, observamos o valor de a e o de. Comoa=1>0entoaparbolatemconcavidadeparacimaecomo 4 32 36 8 . 1 . 4 ) 6 (2= = = > 0 a parbola intercepta o eixo x em dois pontos. Para descobrir o conjunto imagem, dependemos do vrtice da parbola. Lembrando que: 31 . 262= = =abxV e11 . 444 = = =ayV

17 y = 3^xO conjunto domnio D = IR, e o conjunto imagem Im = } 1 / { y IR y . Exerccios: Esboar o grfico, dar o domnio e o conjunto imagem de cada funo. 1)1 22+ + = x x y 2)42+ = x y 3)32+ = x y4)x x y =2

2.6)Funo Exponencial *:+IR IR f xa x f = ) ( onde a um nmero real positivo e1 a . Sobre a funo exponencial xa x f = ) (podemos afirmar que: Seu grfico intercepta o eixo y no ponto P(0,1); O conjunto-imagem } 0 / { > y IR y ; f uma funo crescente se, e somente se, a >1; f uma funo decrescente se, e somente se, 0< a 0.OconjuntodomnioIR D = eoconjunto imagem Im = + = > *} 0 / { IR y IR yxf(x) 01 13 -1 31 18 Exemplo:xx f ||

\|=21) ( A funo decrescente, pois1210 < = < a . O conjunto domnio IR D =e o conjunto imagem Im = + = > *} 0 / { IR y IR y Exerccios: Construa uma tabela para os seguintes valores de x: -2, -1, 0, -1 e 2, a seguir, desenhe o grfico da funo exponencial e d o seu domnio e seu conjunto imagem. 1) xx f ||

\|=31) (2) xx f 2 ) ( = Tarefa: Lista 8 de exerccios xf(x) 01 1 21 -12 19 2.7) Logaritmo Definio: Dados os nmeros reais positivos a e b com1 b , chamamos de logaritmo de a na base b, que indicamos por ablog, ao nmero x tal que a bx=. Em smbolo:a b x axb= = log Nomenclatura: I.) Sendoa xblog =temos: x: logaritmo a : logaritmando ou antilogaritmo b: base do logaritmo II)a10log chamado de logaritmo decimal de a e convencionou-se, neste caso, escrever simplesmentea logIII)aelog chamado de logaritmo neperiano (logaritmo natural) de a e convencionou-se, neste caso, escrevera ln . O nmero e um irracional cujas primeiras casa decimais so 2,71828... IV) Chama-se co-logaritmo de a na base b ao oposto do logaritmo de a na base b,isto : a a cob blog log =

Conseqncias da definio I)0 1 log =b II)1 log = bb III)K bKb= logIV)a bab=log Exemplos: 1)3 8 log2= pois8 23=2) 215 log5= pois5 521=3)3 53 log5= 20 Exerccios: Calcule os seguintes logaritmos: 1)= 32 log22)= 8 log21 3)= 01 , 0 log 4)= 25 log5co

5) Para que valores de x existe) 5 ( log xx ?

6) Calcule o logaritmo de 4 na base 0,25. Propriedades dos Logaritmos Satisfeitas as condies de existncia dos logaritmos, tem-se: 1)N M N Mb b blog log ) . ( log + =2)N MNMb b blog log log = ||

\| 3)M k MbKblog . ) ( log = 4) baaccblogloglog =(Mudana de base) Exerccios: 1)Dado que30 , 0 2 log e 47 , 0 3 log , obtenha: a)= 6 log b)= 8 log c)= 5 log d)= 3 log2 e)= 45 log21 2.8)Circunferncia oconjuntodetodosospontosdoplanoeqidistantesdeumpontofixodesseplano, chamado centro Todos os pontos dessa circunferncia distam r (raio)do ponto O. Equao Reduzida da circunferncia de centro (a,b) e raio r:2 2 2 2 2) ( ) ( r b y a x = + Equao Geral:0 2 22 2 2 2 2= + + + r b a by ax y x Exerccios: Encontre uma equao para as circunferncias abaixo: 1) 2) Diga se as equaes abaixo, representam circunferncias. Em caso positivo, determine o raio e o centro. 3)252 2= + y x4)25 ) 4 ( ) 3 (2 2= + y x 5)36 8 62 2 = + y x y x 6)15122= + ||

\|+ y x.O 22 Tarefa: Lista 10 de exercicios 2.9)Elipse Elipse o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distncias a dois pontos fixos constantes. Os pontos fixos so chamados de focos. Equao Reduzida da elipse decentro (h,k) : 1) ( ) (2222=+bk yah x Equao Geral:02 2= + + + + F Ey Dx Cy Ax Exerccios: Encontre uma equao para as elipses abaixo: 1) 2) 3) O a b 23 Diga se as equaes abaixo, representam elipses. Em caso positivo, determine o centro. 3)100 4 252 2= + y x4)0 5 2 8 42 2= + + + y x y x 5)0 1119 128 150 16 252 2= + + y x y x 2.10) Hiprboles Umahiprboleoconjuntodepontosnoplano,cujovalorabsolutodadiferenadas distanciasadoispontosfixosumaconstante.Osdoispontosfixossodenominados de focos. Equao Reduzida da hiprbolecentro (h,k) : 1) ( ) (2222=bk yah x Equao Geral:02 2= + + + + + F Ey Dx Cy Bxy AxExemplo:12 22222= y x Exerccios: Esboce as hiprboles: 1)116 92 2= y x2)116 92 2= x y 24 Captulo 3 Trigonometria 3.1) Trigonometria no Tringulo Retngulo Considere o tringulo retngulo abaixo. Definimos: Seno de um ngulo agudo como: HCOHipotenusato CatetoOpos= = ) sen(Co-seno de um ngulo agudo, como: HCAHipotenusacente CatetoAdja= = ) cos(Tangente de um ngulo agudo, CACOcente CatetoAdjato CatetoOpostg = = ) (Cotangente de umngulo agudo,como: COCAto CatetoOposcente CatetoAdjag = = ) ( cot Secante de umngulo agudo, como: CAHcente CatetoAdjaHipotenusa= = ) sec(Co-secante de umngulo agudo, como : COHto CatetoOposHipotenusa= = ) sec( cos

Exemplos: Sabemos que sen(36) = 0.58,cos(36) = 0.80 e tg(36) = 0.72 , Calcular o valor de x em cada figura: Resoluo: 25 a) cm xx x8 , 51058 , 010) 36 sen( = = = b) m xx x4580 , 05) 36 cos( = = = c) Km xx xtg 4 , 142072 , 020) 36 ( = = = Teorema de Pitgoras: Em todo triangulo retngulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Isto : 2 2 2a c b = + Exemplo:Sabendo que um ngulo agudo e que 135) cos( = , calcular) ( tge ) ( cot g . Resoluo: Existe um triangulo retngulo com ngulo agudo tal que o cateto adjacente a mede 5 e a hipotenusa mede 13.Chamamos x o valor do cateto oposto ao ngulo agudo. Pelo teorema de Pitgoras temos : 2 2 213 5 = + x1214425 16922== =xxx Logo, 512) ( = =cente CatetoAdjato CatetoOpostge 125) ( cot = =COCAgExerccio:Sabendo que um ngulo agudo e que 53) sen( = , calcular) ( tge ) ( cot g . 26 Tabela dos ngulos Notveis 304560 Sen 21 22 23 Cs 23 22 21 Tg 33 1 3 Por conveno: ) sen( sen)) (cos( ) ( cos)) (sen( ) ( sen k kn nn n=== Exemplos: Calcular o valor das expresses: 1)) 45 ( ) 30 ( sen) 30 ( cos ) 60 cos(5 32tgE++= Resoluo: 910894518143211212321) 45 ( ) 30 (sen) 30 (cos215325 32= =++=+ ||

\||||

\|+=++=tgE 2)xx xE2 cos4 cos 2 sen2+= para x=15 Resoluo: 34431232121) 30 (cos) 60 cos( ) 30 sen() 15 . 2 (cos) 15 . 4 cos( ) 15 . 2 sen(2 2 2= =|||

\|+=+=+= E 27 3)Determinar o valor de x na figura: Resoluo: Como o triangulo BCD issceles , pois possui dois ngulos de mesma medida; logo, CD=BD=20m. Assim, do triangulo ABD, temos que: 3 1020 2320 60 sen=== =xxxBDx Logo,3 10 = x m 4) Sabendo que3 , 2 = = tg tg , calcular o valor de x na figura Resoluo: Vamos introduzir uma varivel auxiliar, fazendo DA=y. Assim do triangulo ABC temos: yxyxtg+= +=52528 Do triangulo ABD temos: yxyxtg = = 3 Devemos ento resolver o sistema: = =+=) (33) (52IIxyyxIyx Substituindo (II) em (I), temos: 30352 = += xxx Logo, 30 = x cm Exerccios Determine a medida x nos tringulos retngulos abaixo: 1)2) 3 Um avio levanta vo sob ngulo de 30 em relao linha do horizonte.Quando tiver percorrido 900m, sua distncia em relao ao solo ser: a)410m b)420m c)430m d)440m e)450m 6 x 30 7 x 45 29 4)Em uma rua plana, uma torre AT vista por dois observadores X e Y sob ngulos de 30 e 60 com a horizontal, como mostra a figura abaixo. Se a distancia entre os observadores de 40m, qual aproximadamente a altura da torre?(Se necessrio, utilize 4 , 1 2=e7 , 1 3 = ). 5)Obter o valor x na figura. 30 60 AB C 100 x 30 3.2) Medidas de arcos e arcos trigonomtricos Medida de Arco Paramedirumarcomenorqueumasemicircunferncia,usaremosongulo centralcorrespondente.Amedidadearcoamedidadongulocentral.Nafigura, temos AB=m(AB). A medida de uma semicircunferncia 180. A medida de uma circunferncia ou de um arco de uma volta 360. A medida de um arco maior igual a 360 menos a medida do arco menor correspondente. Radiano Umradianooarcocujocomprimentoigualaoraiodacircunfernciaqueo contm. Smbolo: rad. Dessemodo,umngulocentralmede1radse,esomentese,determinana circunferncia um arco correspondente de 1 rad. ParadeterminarmosamedidadeumarcoABemradianos,podemosdividiro comprimento de AB pelo comprimento do raio r. Assim, sendo l o comprimento do arco AB: 31 radrlAB med = ) (Pelageometria,sabemosqueocomprimentodacircunfernciar C 2 = . Sendo assim, a medida, em radianos, do arco de volta inteira : radrrC med 22) ( = =Como14 , 3 , temos: rad C med 28 , 6 ) ( Nocomprimentodacircunfernciacabem,aproximadamente,6,28vezeso comprimento do raio. Converso de unidades Lembrandoqueoarcodevoltainteiramede360,ourad 2 ,podemosestabelecera seguinte regra-de-trs: y xrad_ __________2 _________ 360

Ou ainda:y xrad_ ___________________ 180 Disso segue que:1 equivalente(~)1801rad e 1 rad equivalente a 180

Exemplos:a)Ache a medida equivalente em radianos de 162 b)Ache a medida equivalente em graus de 125 rad Resoluo: a)162 ~162.180 rad 32 162~ 109rad b) 180.125~125rad 75 ~125rad Tarefa: Lista 6 Arcos Trigonomtricos Consideremos,noplanocartesianoXOY,umacircunfernciadecentroO(0,0)eraio igual a 1. Sobre essa circunferncia so marcados os arcos trigonomtricos que: Tem origem no ponto A(1,0). Tem medidas algbricas positivas, se percorridos no sentido anti-horrio. Tem medidas algbricas negativas,se percorridos no sentido horrio. Essacircunfernciachamadacircunfernciatrigonomtricaouciclo trigonomtrico. Convenes I) O sistema de coordenadas XOY divide a circunferncia trigonomtrica em quatro partes iguais, denominadas quadrantes. Assim: 1 Quadrante: 0 a 90ou( 0 rad a 2rad) 2 Quadrante: 90 a 180ou ( 2rada ) 33 3 Quadrante: 180 a 270ou ( rada 23rad) 4 Quadrante: 270 a 360ou ( 23rada 2 ) Exemplo: 30 est no 1 quadrante , pois0 < 30 < 90 II) Ser omitido o smbolo rad nos arcos trigonomtricos em radianos. Simetrias Se 0 < x < 90, temos: Se 20< < x ,temos: Essesarcostrigonomtricossochamadosarcostrigonomtricos correspondentes. 34 3.3)Seno e Cosseno de um arco trigonomtrico Considere no plano cartesiano XOY uma circunferncia de centro O(0,0) e raio igual a 1, e sejax a medida de um arco trigonomtrico com extremidade em M Ento: I) Seno do arco de medida x a ordenada do ponto Msen x = OD II) Cosseno do arco de medida x a abscissa do ponto Mcos x = OC E, ainda: O eixo OY o eixo dos senos. O eixo OX o eixo dos co-senos. Exemplo: Sabendo quee 87 , 023 30 cos 5 , 021 30 sen = = = , achar um valor aproximado de: a) sen 150 ecos 150 b)sen 210ecos210 35 Soluo: a) = = 150 AP Ento: == =87 , 0 30 cos 150 cos5 , 0 30 sen 150 sen b) = = 210 AP 36 Ento: = = =87 , 0 30 cos 210 cos5 , 0 30 sen 210 sen Oexemploanteriormostraquehumarelaoentreoquadranteeovalordesenoecosseno. Sendo a medida de um arco e P a suaextremidade, notamos que: P no primeiro quadrante: ; 0 cos 0 sen > > eP no 2 quadrante: 0 cos 0 sen < > e ; P no 3 quadrante: 0 cos 0 sen < < eP no 4 quadrante: 0 cos 0 sen > < e Sendoa medida de um arco com extremidade no 1 quadrante: cos ) 180 cos( sen ) 180 ( sen = = e cos ) 180 cos( sen ) 180 sen( = + = + e cos ) 360 cos( sen ) 360 sen( = = e 3.4)Tangente de um arco trigonomtrico- Outras relaes trigonomtricas Considereno plano cartesiano XOY uma circunferncia de centro O(0,0) e raio iguala1,esejaxamedidadeumarcotrigonomtricocomextremidadeemM,no coincidente com B nem com B. 37 Ento: Tangente de um arco de medida x a ordenada do ponto T. tg x = AT Nota:Oeixoparaleloaoeixodasordenadas,orientadocomoesteequepassapelo ponto A, chamado eixo das tangentes. Relao entre tangente, seno e co-seno Seja x a medida de um arco trigonomtrico com extremidade no ponto M. Da figura, os tringulos OAT e COM so semelhantes. Logo: xx sen x tgOCCMOAATcos 1= =Assim: 0 cos ,cos = xxx senx tg . 38 Outras relaes trigonomtrica Alm de seno, co-seno e tangente de um arco, existem mais trs relaes que, satisfeitas as condies de existncia, so inversas das trs primeiras. I) Co-tangente 0 ,coscot = x senx senxx gII) Secante 0 cos ,cos1sec = xxx III) Co-secante 0 ,1cos = x senx senx ecConseqncias a) x tgx g1cot = b)x tg x2 21 sec + =c)x g x ec2 2cot 1 cos + =d)1 ) sec ).(cos (sen = e)1 ) ).(sec (cos = f)1 ) ).(cot ( = g tg Tarefa: Lista 7 3.5)Funes Trigonomtricas A) Funo Seno Chama-se funo seno funo que associa a todo nmero real,x, a ordenada do ponto M, imagem de x na circunferncia trigonomtrica. Ento, podemos definir a funo seno como sendo: x sen x fIR f= ) (] 1 , 1 [ : 39 Assim: I) DomnioD = IR II) Conjunto-imagemIM = [-1,1] III) Grfico Colocandoaopares(x,senx)emumsistemadecoordenadascartesianaseunindo esses pontos, temos uma parte do grfico da funo seno, ou, ainda, uma parte de uma curva chamada senide. IV) Perodo Observe que, de 2em 2 , as imagens se repetem, isto : IR x x x sen x sen + = , ) 2 ( Assim,dizemos que a funo seno peridica; o seu perodo vale 2 .O perodo o menor intervalo no qual a funo passa por um ciclo completo de sua variao. 40 V) Paridade A funo seno uma funo mpar, pois:IR x x x sen x sen = , ) ( ) ( B) Funo Co-seno Chama-se funo co-seno funo que associa a todo nmero real, x, a abcissa do ponto M, imagem de x na circunferncia trigonomtrica. Ento, podemos definir a funo seno como sendo: x x fIR fcos ) (] 1 , 1 [ := Assim: I) DomnioD = IR II) Conjunto-imagemIM = [-1,1] III) Grfico 41 IV) Perodo Observe que, de 2em 2 , as imagens se repetem, isto : IR x x x x + = , ) 2 ( cos cos Assim,dizemos que a funo co-seno peridica; o seu perodo vale 2 . V) Paridade A funo co-seno uma funo par, pois:IR x x x x = , ) ( cos ) ( cos C) Funo Tangente Definimos a tangente de um nmero real como sendo a razo do seno para o co-seno desse real. Assim:0 cos ,cos = xxx senx tg . Observe que cos x = 0 verifica-se paraZ h h x + = ,2. Assim, para todo real x, Z h h x + ,2, a tangente existe , e nica. Potanto, podemos definir a funo tangente como sendo:} + IR Z h h x IR x f ,2/ : e f(x) = tg x 42 A funo tangente associa a todo nmero real x ,Z h h x + ,2, a ordenada do ponto T, no eixo das tangentes. Assim: I)Domnio } + = Z h h x IR x D ,2/ II) Conjunto-imagem IM = IR III)Grfico IV)Perodo Observe que, deem , as imagens se repetem, isto : Z h x x x tg x tg + + = ,2, ) ( Assim,dizemos que a funo tangente peridica; e o seu perodo vale . 43 V) Paridade A funo tangente uma funo mpar, pois:Z h h x x x tg x tg + = ,2, ) ( ) (

Exemplo:Useaperiodicidadedasenoecossenoparadeterminarovalorexatoda funo a) ||

\|417sen b)||

\|37cos c)||

\|32cos Resoluo: 44 a) ||

\|417sen=224sen 2 . 24sen 44sen4164sen416sen = ||

\|= ||

\|+ = ||

\|+ = ||

\|+ = ||

\| + b) ||

\|37cos=213cos 23cos36cos = ||

\|= ||

\|+ = ||

\| + c) ||

\|32cos=2134cos 234cos36 4cos = ||

\|= ||

\| = ||

\|