Apostila Princípios de Conversão de Energia

8/15/2019 Apostila Princípios de Conversão de Energia

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO ESPÍRITO SANTO

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA

Prof. Msc. Flávio Barcelos Braz da Silva

Serra2014



1. INTRODUÇÃO

A Conversão Eletromecânica de Energia corresponde a processos os quais transformam

energia elétrica em mecânica, e vice-versa, através de dispositivos que apresentam um campode acoplamento o qual é de origem elétrica ou mecânica. Um transdutor é definido como um

equipamento responsável por converter uma forma de energia em outra. Um exemplo clássico

de transdutor é o microfone o qual converte energia mecânica do som em energia elétrica. Um

dispositivo conversor eletromagnético de energia é um transdutor, convertendo energia

elétrica em mecânica e vice-versa. Nessa situação se enquadra as máquinas elétricas rotativas,

responsáveis pela maior parte dessa conversão (Fitzgerald, 2006). Os transformadores não são

dispositivos conversores eletromecânicos, porém exercem um papel fundamental para ofuncionamento das máquinas elétricas e seu estudo forma a base para compreensão destas.

Na Figura 1 está ilustrado de forma genérica um sistema de conversão eletromecânico de

energia. Note as variáveis de controle em cada parte do sistema, sendo tensão e corrente na

parte elétrica, e torque e velocidade na parte mecânica. O que interliga as duas partes são os

campos elétricos e magnéticos regidos pelas Leis Eletromagnéticas. Define-se Ação Motora

do sistema quando o fluxo de energia está no sentido Sistema Elétrico para o Mecânico; e

Ação Geradora quando o fluxo de energia está no sentido Sistema Mecânico para o Elétrico.

Figura 1 – Sistema de conversão eletromecânico de energia

FONTE: Produção do próprio autor.



A Conversão Eletromecânica de Energia está presente no cotidiano da vida moderna, sendo a

peça fundamental para o bom desempenho de toda a infraestrutura de fornecimento de energia

elétrica. Desde a transformação da energia mecânica presente nas quedas d’água por

geradores síncronos até o acionamento de um motor fracionário em um liquidificador, a

Conversão Eletromecânica de Energia está presente tornando viável e eficiente o uso da

energia elétrica. As vantagens deste sistema de conversão de energia sobre outros tipos de

sistemas são (Silva, 2014):

1) Alta eficiência na geração: apresentam baixas perdas, sendo característica destes

sistemas terem elevado rendimento;

2)

Facilidade de transmissão: apresentam baixas perdas na transmissão e custosaceitáveis;

3) Facilidade de processamento: o processo de conversão é simples e reversível.

Os princípios físicos por trás da conversão eletromecânica de energia são descritos pelas leis

do Eletromagnetismo: as leis Ampère e de Faraday, além da Mecânica Clássica descrita pelas

Leis de Newton. Os dispositivos usados para a conversão eletromecânica começaram a ser

desenvolvidos no século XVIII e, com o avanço da tecnologia dos materiais e processos defabricação, tornaram-se confiáveis e eficientes, podendo ter suas características adaptadas

para o fim as quais se destinam.

O estudo de sistemas de conversão eletromecânica de energia visa desenvolver modelos

matemáticos que os representem, a fim de analisar suas características, bem como descrever

os seus comportamentos ao se conectarem em sistemas elétricos (Guedes, 2001).



2. CIRCUITOS MAGNÉTICOS

Nos dispositivos conversores eletromecânicos se usam materiais magnéticos a fim de confinar

e direcionar o campo magnético o qual age como um meio no processo de conversão (Sen,1997). A grande vantagem em usar materiais magnéticos está no fato de se obter, através

deles, uma alta densidade de fluxo magnético. Isso possibilita alcançar um alto torque e,

consequentemente, um maior rendimento da máquina por unidade de volume por ela ocupada.

Ou seja, o tamanho da máquina é reduzido ao se usar materiais magnéticos.

Para se estudar campos magnéticos se faz necessário solucionar as equações de Maxwell em

conjunto com relações constitutivas as quais descrevem as propriedades dos materiais em

questão. Porém, isso requer soluções numéricas cujo resultado não é muito distante de outras

obtidas através de simplificações, as quais são cabíveis dentro do estudo de dispositivos

conversores eletromagnéticos. No caso, a frequência e as dimensões dos dispositivos

envolvidos são tais que o termo da corrente de deslocamento das equações de Maxwell pode

ser desconsiderado. Esse termo está relacionado à irradiação eletromagnética, sendo

responsável por modelar os campos magnéticos produzidos por campos elétricos variáveis no

tempo. Assim, chega-se a seguinte forma das equações de Maxwell:

∮

∫

(2.1)

∮

(2.2)

A Equação 1.1 afirma que a origem do campo magnético é a densidade de corrente J, sendo

que a integral de linha da componente tangencial à H ao longo de um caminho fechado é igual

a corrente total que passa dentro de uma superfície delimitada por este caminho. A Equação

1.2 afirma não haver monopólo magnético. Associando essas equações ao fato de se usarmateriais de alta permeabilidade magnética, o que garante um fluxo confinado dentro da

estrutura do dispositivo (ou seja, um caminho fechado definido), obtêm-se uma situação em

semelhança aos circuitos elétricos onde a corrente é confinada aos condutores. Assim, chega-

se ao Circuito Magnético o qual fornece as ferramentas básicas para a análise de campos

magnéticos dentro de dispositivos conversores eletromecânicos, ou em qualquer outro sistema

cujas características se encaixem dentro das considerações anteriormente citadas.



2.1

Magnetismo

Magnetismo é a propriedade associada aos materiais os quais exercem uma força atrativa ou

repulsiva sobre outros materiais, particularmente o ferro e as ligas de ferro, como também

sobre condutores de corrente elétrica. Sua descoberta remete à Grécia antiga onde há relatos

de uma pedra que tinha “alma” divina. Após uma era de muito misticismo por trás do

Magnetismo, Gilbert, em 1600, publicou o primeiro tratado – “De Magnete”. Ele é

considerado o pai do magnetismo, sendo o primeiro declarar que a Terra é um grande

magneto. De lá para cá foram muitas descobertas e, para um detalhamento maior sobre a

história do magnetismo, aconselha-se ler o artigo Introdução ao Eletromagnetismo, de Miguel

A. Novak 1.

2.1.1 Campo magnético

O físico dinamarquês Hans Christian Oersted, em 1820, estabeleceu o modelo o qual

relaciona definitivamente campos elétricos e magnéticos. No caso, ele constatou que o

movimento contínuo e constante de cargas elétricas gera um campo magnético estático. Na

verdade, existem duas formas básicas de se gerar um campo magnético: por ímãs permanentes

ou por cargas elétricas em movimento.

A Lei de Faraday estabelece a relação entre o campo magnético e o campo elétrico. Faraday

também possibilitou visualizar as linhas de força do campo magnético, sendo seu experimento

e resultados citados por Maxwell em seu artigo publicado em 1873 (Tort e Cunha, 2004). Tal

campo está ilustrado na Figura 2, sendo definido que a linha de campo magnético “sai” do

pólo norte e “entra” no pólo sul. Quanto mais próximas as linhas forem umas das outras, mais

intenso será o campo magnético.

Experimentalmente, verifica-se que um campo magnético age de tal forma a influenciar o

movimento de cargas elétricas ou ímãs permanentes. Segundo Sadiku (2004), existem pelo

menos três maneiras de se manifestar uma força devido a campos magnéticos:

I. Movimento de partículas carregadas em um campo magnético B;

II. Presença de um elemento de corrente em um campo externo B;

III. À interação entre dois elementos de corrente.

1 Nas referências bibliográficas se encontra o link para acessar o artigo.



Figura 2 - Campo magnético e momento dipolo magnético de um ímã

FONTE: Extraído de http://campos-

magneticos.webnode.com/a29-6-uma-bobina-percorrida-por-

corrente-como-um-dipolo-magnetico/

Analisando a opção II, chega-se a Equação 2.3.

∮

∮

(2.3)

Ou seja, define-se Campo Magnético como a força por elemento de corrente unitário. A

Equação 2.3 é conhecida como a Equação de Força de Lorentz.

2.1.2 Momento de dipolo magnético

Considere a espira retangular apresentada na Figura 3. Definindo-se o torque sobre a espira

como sendo o produto vetorial entre a força F e o braço de alavanca r, obtem-se:

(2.4)

Da Equação 2.3, considerando o campo B constante, segue-se que:

|| (2.5)



Figura 3 - Espira retangular imersa em campo magnético

FONTE: Retirado de

http://rabfis15.uco.es/proyecto/Fund_teoricos/pares%20de%20fuerzas%2

0sobre%20espiras%20e%20imanes.htm

Daí,

|| (2.6)

Onde S é a área interna da espira. A partir daí, define-se momento de dipolo magnético:

(2.7)

Ou seja, o momento de dipolo magnético é o produto entre a corrente e a área da espira, tendo

a direção perpendicular à espira.

2.1.3 Magnetização em materiais

Já foi dito anteriormente que, pela Equação 2.2, comprova-se a não existência de um

monopólo magnético. Na verdade, o conceito de monopólo magnético (ou pólo magnético) é

muito útil em cálculos de campos internos a amostras. Os dipolos magnéticos, por sua vez,

são reais e paralelos ao momento magnético. Como já visto, os materiais magnéticos exercem

influencia em outros materiais ao seu redor, havendo, portanto, a existência de um campo

magnético. Toda matéria, em quaisquer dos estados (líquido, sólido ou gasoso), apresenta

alguma característica magnética, o que torna o magnetismo uma propriedade intrínseca da

matéria. O cientista Pierre Curie, ganhador do prêmio Nobel de Física em 1903, verificou a

influência da temperatura nas propriedades magnéticas dos materiais, descobrindo que ao



esquentar um material acima de uma determinada temperatura, este perderia suas

características magnéticas. Este ponto ficou conhecido como Temperatura de Curie.

Analisando a estrutura interna de um material, considere que o modelo atômico seja de um

elétron orbitando uma carga positiva. O movimento do elétron em torno de seu eixo e em

torno da carga positiva gera um campo magnético interno, similar ao que é gerado por uma

corrente circulando em uma espira. Em outras palavras, cada átomo apresenta um momento

de dipolo magnético dentro do material. Sabe-se que qualquer material é formado por uma

infinidade de átomos, havendo em seu interior, portanto, uma infinidade de momentos de

dipolo magnéticos. Quando não há um campo magnético externo próximo ao material, a soma

dos momentos magnéticos é nula devida sua orientação randômica. Todavia, ao haver a presença de um campo magnético externo, os momentos magnéticos se alinham ao campo, de

tal forma que sua soma já não é nula. Com isso, define-se Magnetização M (em A/m) de um

material como o momento de dipolo magnético por unidade de volume. A Figura 4 ilustra os

momentos magnéticos internos de um material e sua magnetização. Perceba que M tem a

mesma unidade que H, sendo análogos. No caso, M está relacionado com a densidade de

corrente de magnetização em um material e H está relacionado com a densidade de corrente

de condução.

Figura 4 - Magnetização em materiais

FONTE: Extraído de http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAT_AAD/materiais-magneticos.

Da teoria do Eletromagnetismo, chega-se à Equação 2.8, válida para materiais lineares e nãolineares.



(2.8)

Especialmente para materiais lineares, M se relaciona linearmente de H, pela Equação 2.9.

(2.9)

Onde é denominada susceptibilidade magnética do meio, sendo adimensional.

Substituindo a Equação 2.9 na Equação 2.8, obtém-se:

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Onde μ é a permeabilidade magnética do meio, medida em henrys por metro (H/m). Já é a

permeabilidade relativa de um material. No caso do ar livre, é igual a unidade. Perceba queas Equações 2.9 a 2.12 são válidas somente para materiais lineares e isotrópicos. Em materiais

não lineares, B, H e M não podem mais ser considerados paralelos. Além disso, torna-se

dependente de B.

É importante ressaltar a diferença entre o vetor intensidade de campo magnético H e o vetor

densidade de fluxo magnético B. No caso, H está relacionado com a corrente elétrica que

produz o campo magnético conforme a Lei de Amperè. Já B, depende tanto da correntequanto do meio em que o campo magnético se encontra, relacionando-se diretamente com H

pela permeabilidade magnética do meio.

2.1.4 Classificação de materiais magnéticos

Na seção 2.1.3, definiu-se , a susceptibilidade magnética do meio e , a permeabilidade

magnética do meio. Ambas são grandezas que refletem o comportamento estrutura física do

material ao campo magnético. No caso, a susceptibilidade magnética mensura o quãosusceptível é um material a um campo magnético. A permeabilidade magnética relaciona a

intensidade de campo magnético H com a densidade de fluxo magnético B. Através dessas

grandezas é possível classificar os materiais em magnéticos e não magnéticos, conforme

ilustrado na

Tabela 1.

Um material não magnético apresenta efeitos magnéticos ou responde a campos magnéticos

externos de forma quase imperceptível. Nessa classificação se encontra o espaço livre e o ar.



Já os materiais magnéticos respondem de certa forma à campos magnéticos externos e podem

ser classificados como: diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos. Existem outras

classificações, porém foge o escopo do curso contemplá-las2.

Tabela 1 - Classificação dos materiais quanto à magnetização

Material Exemplos

Não Magnético Ar, espaço livre

Magnético

Diamagnético Cobre, zinco, estanho

Paramagnético Platina, tungstênio

Ferromagnético Ferro, níquel, cobalto

FONTE: Produzido pelo próprio autor

Em materiais diamagnéticos, os momentos magnéticos são tais que se cancelam mutuamente.

Ao serem expostos a um campo magnético externo reagem de tal modo a se oporem ao

campo, ou seja, sua magnetização se opõe ao campo magnético externo (expresso por seu

valor de susceptibilidade negativo) e desaparece quando o campo é retirado. Em outras

palavras, ao serem expostos a um campo magnético, os materiais diamagnéticos respondem

de tal modo a expulsar as linhas de campo magnético de seu interior. Pode-se concluir que os

materiais diamagnéticos não apresentam um momento magnético permanente. De uma forma

geral, todos os materiais apresentam o efeito do diamagnetismo, sendo mascarado por efeitos

mais proeminentes em cada material. O diamagnetismo pode ser bem observado em materiais

supercondutores, sendo considerado até o que chamam de “diamagnetismo perfeito”. Em

1908, o cientista holandês Heike Karmelingh Onnes descobriu que ao resfriar o mercúrio a

uma temperatura perto do zero absoluto, sua resistência elétrica caia a zero, sendo aí a

primeira evidência dos materiais supercondutores. Em 1933, Meissner e Ochsenfeld,

descobriram que quando um material atingia o estado supercondutor o campo magnético era

completamente expelido de seu interior, o que ficou conhecido como Efeito Meissner. Em

termos práticos, em um material no estado supercondutor: .

Os materiais paramagnéticos apresentam momento magnético não nulo, tendendo a se

alinharem paralelamente a um campo magnético externo. Quando o campo é retirado,

contudo, o alinhamento é desfeito. A sua susceptibilidade magnética, portanto, é positiva,

2 Para um estudo mais aprofundado no assunto, aconselha-se literatura da área de Estrutura da Matéria e/ouCiência dos Materiais. Uma boa introdução está nas notas de aula do Prof Cláudio Graça, cujo link estádisponível nas Referências Bibliográficas.



porém pequena comparada aos materiais ferromagnéticos. Vale citar que, segundo a Lei de

Curier, os materiais paramagnéticos tendem a se tornar cada vez mais magnéticos enquanto o

campo magnético externo aumentar em intensidade, e cada vez menos magnéticos enquanto a

temperatura aumentar. Assim, o efeito paramagnético é dependente da temperatura do

material.

Os materiais ferromagnéticos são os de maior interesse quanto à aplicação em conversão

eletromecânica de energia, uma vez que é possível obter uma alta densidade de fluxo

magnético a partir de um nível baixo de intensidade de campo. Em geral, esses materiais são

usados para direcionar e delimitar os campos magnéticos por caminhos bem definidos, o que

possibilita, em transformadores, serem usados para maximizar o acoplamento entre osenrolamentos e diminuir a corrente de excitação necessária para operar o transformador. Em

máquinas elétricas, eles são usados para direcionar o campo magnético a fim de se obter o

conjugado desejado e as características elétricas específicas para aquela máquina.

Ao analisar a estrutura interna dos materiais ferromagnéticos, percebe-se que eles apresentam

um momento magnético permanente relativamente grande, mantendo-se alinhados mesmo

quando o campo magnético externo é retirado. No caso, nesses materiais existe uma forteinteração entre os momentos magnéticos vizinhos, o que cria dentro do material os chamados

domínios magnéticos3, ou seja, regiões onde a magnetização do material é uniforme. Sem a

influência de um campo magnético, esses domínios apresentam orientações aleatórias,

tornando a magnetização total do material nula. Ao surgir de um campo magnético externo, os

domínios se alinham originando um campo magnético interno muito forte. Na verdade, a

partir de um campo magnético relativamente reduzido é possível obter campos magnéticos

resultantes intensos e irreversíveis. A magnetização desses materiais somente é desfeita seaplicando um campo magnético com polarização contrária à magnetização do material e/ou o

aquecendo até se atingir a temperatura de Curie, na qual o material se torna paramagnético.

3 Esses domínios são conhecidos como Domínios de Weiss, em homenagem ao seu descobridor Ernest Weiss(1865-1940).



2.1.5 Saturação e histerese magnética

Considera-se um material ferromagnético com magnetização total nula posicionada dentro de

uma bobina pela qual é possível passar uma corrente elétrica. Aumentando-se gradativamentea corrente na bobina, os domínios magnéticos do material começam a se alinhar

proporcionalmente com o campo magnético gerado. Num determinado momento, uma

pequena parte dos domínios ainda não estará alinhada com o campo, sendo necessário um

aumento significativo da corrente para que os domínios restantes se alinhem, alcançando-se aí

o estado de saturação do material. Ou seja, quando os domínios magnéticos não podem mais

contribuir com o aumento da densidade de fluxo magnético, diz-se que o material está

saturado.

A curva que descreve o comportamento entre a densidade de fluxo magnético B e a

intensidade de campo H é chamada de Curva de Magnetização4, e está ilustrada na Figura 5.

Ela revela o comportamento não linear entre B e H, ou seja, a permeabilidade magnética

relativa não é constante. Ela é dependente do valor de B, sendo medida pela razão entre B

e H na curva. A variação de com H é ilustrada na Figura 6.

Figura 5 - Curva de magnetização típica

FONTE: Simonetti, 2014.

4 Também conhecida como Curva de Magnetização CC.



Figura 6 - Comportamento da permeabilidade relativa com o campo magnético em um material

ferromagnético


Agora, considere o material ferromagnético completamente magnetizado. Ao reduzir a

corrente a zero, anulando-se o campo magnético, a densidade de fluxo magnético dentro do

material também reduz, porém não se anula, pois nem todos os domínios magnéticos

retornam à posição original, permanecendo um magnetismo residual, . Em outras palavras,

ao reduzir H, a densidade defluxo magnético B não segue a curva de magnetização, mas se

atrasa em relação à H. Esse efeito de atraso de B em relação à H é chamado de histerese5.

Pela Figura 7 se observa a Curva de Histerese (ou Laço de Histerese) na qual se ilustra o

efeito da histerese magnética. Invertendo-se a corrente na bobina, um campo magnético

contrário ao original é gerado, impondo uma magnetização contrária ao material. Isso força os

domínios magnéticos a se inverterem, até o momento em que a magnetização do material se

torna nula. O valor de H pelo qual a magnetização do material se anula se chama intensidade

de campo coercitiva,

. Continuando a aumentar a corrente na bobina no sentido contrário, o

magnetização do material iria se inverter até chegar em um ponto máximo. Reduzindo-se

novamente a corrente e tornando a invertê-la no sentido original, a magnetização do material

volta a anular-se e então a crescer até um ponto próximo à magnetização máxima. Numa

primeira magnetização, o laço de histerese não fecha. Após alguns ciclos, os pontos máximos

estão próximos o suficiente para considerar um laço fechado, conhecido como Laço de

Histerese.

5 Histerese significa “atraso” em grego.



Os valores de e dependem do valor máximo da intensidade de campo magnético,

podendo-se obter vários laços de histerese conforme o valor máximo de H, conforme

ilustrado em Figura 8. O formato da curva de histerese também varia de um material para

outro. Materiais com um laço de histerese largo são considerados magneticamente duros,

enquanto os que apresentam um laço de histerese estreito são considerados magneticamente

moles, conforme ilustrado na Figura 9.

Figura 7 - Curva de histerese típica

FONTE: Notas de aula do Prof Felipe Nascimento Martins, IFES –

Serra/ES.

Figura 8 - Laço de histerese para vários níveis de intensidade de campo magnético

FONTE: Retirado de Simonetti (2014).



Figura 9 - Laços de histerese para materiais magneticamente moles e duros


2.2

Circuitos magnéticos

Nos dispositivos conversores eletromecânicos de energia e em transformadores, os circuitos

magnéticos são formados por materiais ferromagnéticos em conjunto com o ar. O objetivo,

como já foi dito, é fazer com que o fluxo fique confinado aos caminhos delimitados pelaestrutura, permitindo assim fazer considerações necessárias para resolver o cálculo dos

campos magnéticos nos dispositivos utilizando a teoria de circuitos magnéticos. A menos das

máquinas de ímã permanente, o campo magnético é gerado pela passagem de corrente elétrica

nas bobinas, as quais envolvem o material magnético. A relação entre corrente elétrica e

campo magnético foi descrito por André Marie Amperè (1755-1836), através da Equação 2.1.

Esta é a famosa Lei de Amperè, a qual é a base da análise de circuitos magnéticos aplicados à

conversão eletromecânica de energia.

2.2.1 Elementos de circuitos magnéticos

Considere o circuito magnético apresentado na Figura 10. Considere que o núcleo seja

formado por material ferromagnético com permeabilidade muito superior ao do ar e apresente

uma seção reta uniforme. Isso irá garantir que o campo magnético fique confinado ao núcleo,

formando um caminho bem definido nele. Como a seção do núcleo é uniforme, a densidade

de fluxo magnético será constante em toda sua extensão. Qualquer linha de campo magnético

gerado pela corrente na bobina a qual esteja fora do caminho magnético no núcleo é chamado

de fluxo de dispersão.



Figura 10 - Exemplo de circuito magnético

FONTE: Fitzgerald, 2006.

Quando uma corrente elétrica atravessa a bobina de N espiras, um campo magnético é gerado

conforme a Lei de Amperè. No caso, a intensidade de campo magnético no circuito será:

∮ (2.13)

(2.14)

[ ⁄ ] (2.15)

Pela Equação 2.16 se define a Força Magnetomotriz (fmm), com a unidade sendo ampères-

espira.

(2.16)

Da Equação 2.15 e 2.11:

(2.17)

Considerando que não há fluxo disperso no circuito magnético, define-se fluxo magnético ϕ,

como:

∫ (2.18)

(2.19)

No caso, é a densidade de fluxo no núcleo e é a área da seção reta do núcleo. Perceba

que a densidade de fluxo magnético corresponde ao caminho médio do núcleo. Assim, pode-

se substituir a Equação 2.17 na Equação 2.19:



⁄

(2.20)

(2.21)

Onde,

⁄ (2.22)

é chamada de relutância do caminho magnético e Ρ é chamada de permeância do caminho

magnético. Das Equações 2.20 e 2.21, pode-se concluir que a força magnetomotriz F produzum fluxo magnético ϕ contra a relutância magnética . Perceba que a Equação 2.21 apresenta

a mesma forma que a Lei de Ohm para circuitos elétricos. Portanto, pode-se realizar uma

analogia entre os circuitos elétricos e os circuitos magnéticos, conforme ilustrado na Figura

11 e na Tabela 2.

Figura 11 - Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos




Tabela 2 - Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos

Circuito Elétrico Circuito Magnético

Força geradora Fem (V) Fmm (F)

Produz Corrente (i=V/R) Fluxo magnético (ϕ=F/)Limitado por Resistência (R=l/σA) Relutância (=l/μA)

Vale ressaltar que a analogia entre circuito elétrico e magnético tem seu limite no que diz

respeito à relação entre R e i, e e ϕ. No caso, enquanto a resistência elétrica é constante e

independente da corrente, em materiais ferromagnéticos, a relutância do material magnético

é dependente da densidade de fluxo magnético. Isso se observa na curva de magnetização,

conforme ilustrado na Figura 5 e na Figura 6. Perceba que o valor da permeabilidade relativase altera com a variação da densidade de fluxo magnético, alterando, portanto, o valor da

relutância. No caso, ela é baixa conforme B for baixo, e alta conforme B for alto. Por isso,

conclui-se que os circuitos magnéticos, dependendo do ponto de operação na curva de

magnetização, não podem ser considerados lineares.

2.2.2 Entreferro

Chama-se Entreferro ao espaço ocupado por outro material não magnético entre doismateriais magnéticos, conforme ilustrado pela Figura 12. Em máquinas elétricas, o rotor se

encontra isolado fisicamente do rotor pelo entreferro de ar.

Figura 12 - Circuito magnético com entreferro




Considerando a Figura 12, pode-se dizer que praticamente o mesmo fluxo circula pelo

material magnético e o entreferro. Veja que a permeabilidade magnética do ar é linear e

constante em relação à variação da densidade de fluxo magnético, tornando a relutância do ar

muito maior comparada à relutância do núcleo. Assim, será necessário uma Fmm muito maior

para manter a mesma densidade de fluxo magnético no material e no entreferro. Na verdade,

observa-se a tendência da Fmm se concentrar no entreferro, já que é necessário uma força

muito maior no entreferro para se ter a mesma densidade de fluxo magnético que o núcleo.

Assim, dependendo da estrutura, pode-se desconsiderar a relutância relativa ao material

magnético (alta permeabilidade) e aplicar a Fmm diretamente às regiões do entreferro (baixa

permeabilidade).

O circuito magnético referente à estrutura da Figura 12 está representado pela Figura 13. No

caso, o núcleo e o entreferro são representados pelas suas respectivas relutâncias.

Figura 13 - Circuito magnético equivalente referente à Figura 12


(2.23)

(2.24)



(2.25)

(2.26)

Onde e são os comprimentos dos caminhos percorridos pelo fluxo magnético no núcleo e

no entreferro, respectivamente. Perceba que:

(2.27)

⇒ ⇒ ̃ ⁄

Assim, respeitada as relações, pode-se considerar a Fmm aplicada diretamente ao entreferro.

Em um dispositivo que contenha um entreferro pode haver um efeito conhecido como

Frangeamento ou Espalhamento. Esse efeito aumenta a seção reta do entreferro, o que

consequentemente diminui a densidade de fluxo magnético. A Figura 14 ilustra esse efeito.

Figura 14 - Efeito de frangeamento ou espalhamento no entreferro


Se o comprimento g do entreferro for bem menor que as dimensões da seção reta do núcleo,

pode-se desconsiderar o fluxo disperso, obtendo um mesmo valor de densidade de fluxo

magnético no núcleo e no entreferro.

(2.28)

(2.29)



Considere agora o dispositivo da Figura 12. Caso ele seja formado por material magnético de

permeabilidade constante ou contenha um entreferro dominante, a relação entre ϕ e a corrente

será linear. Com isso, podemos representar o dispositivo por um elemento ideal de circuito

chamado Indutância, definida como o fluxo concatenado pela bobina por amperè de corrente

que a atravessa.

(2.34)

Podemos definir a indutância tanto em termos das dimensões físicas do dispositivo, quanto

em termos da relutância do material magnético:

⁄

⁄

(2.35)

A indutância é medida em Henrys ou Wb/A. Vale ressaltar que a relação descrita nas

equações 2.34 e 2.35 são válidas somente quando houver uma relação linear entre o fluxo

magnético e a Fmm no dispositivo. Porém, nos dispositivos conversores eletromecânicos de

energia, a relutância é dominada pelo entreferro, no qual tem um comportamento linear entre

fluxo magnético e Fmm, podendo-se ignorar os efeitos não lineares do material magnético e

obter um valor aceitável para a indutância do dispositivo.

No caso de haver mais de uma bobina gerando uma Fmm em um circuito magnético, a

indutância resultante será a superposição dos efeitos causados pelas bobinas no circuito. Por

exemplo, considere a Figura 15. Desconsiderando o efeito de espalhamento e a relutância do

núcleo, o equacionamento do circuito será:

(2.36)

(2.37)

(2.38)

(2.39)

Os sentidos das correntes foram escolhidos de tal forma a gerarem um fluxos magnéticos num

mesmo sentido, sendo a Fmm total do circuito a soma das Fmm de cada bobina. O fluxo

magnético, na Equação 2.37, define o ponto de operação na curva de magnetização do

material e, portanto, a indutância do circuito. Na Equação 2.38, calcula-se o fluxo

concatenado na bobina 1, obtendo-se dois termos:



∫

∫

Como i = λ/L:

∫

(2.42)

Fazendo-se ser zero na Equação 2.42, obtêm-se a energia magnética total armazenada no

dispositivo:

(2.43)

Veja que:

(2.44)

⇒ (2.45)

A Equação 2.45 fornece o incremento de energia se conhecendo a relação λ-i. Porém, caso

seja a relação ϕ-F conhecida:

(2.46)

Se, por sua vez, seja conhecida a característica B-H, pela Lei de Amperè e sabendo que

ϕ=BA: (2.47)

A Equação 2.47 revela que a energia armazenada depende do volume do material, de acordo

com o termo (lcAc). HdB representa a densidade de energia magnética no núcleo.

2.2.5 Excitação CA

Nos sistemas de potência, a forma da onda da tensão é senoidal. Uma fonte senoidal

alimentando um transformador irá gerar um fluxo senoidal e, da mesma forma, nas máquinaselétricas as tensões e fluxos são senoidais. A excitação em tensão e corrente alternada tem

suas peculiaridades a serem descritas a seguir.

Assuma que o fluxo magnético do circuito da Figura 10 varie senoidalmente com o tempo.

Assim, o fluxo será dado por:

(2.48)



Onde é a máxima amplitude do fluxo no núcleo e é a frequência angular,

sendo f a frequência de alimentação da fonte. Aplicando a Lei de Faraday será possível

calcular a tensão na bobina:

(2.49)

Ou seja, se o fluxo varia senoidalmente, a tensão irá variar cossenoidalmente. Calculando-se a

tensão rms na bobina, obtêm-se:

√

√ (2.50)

A Equação 2.50 é clássica na teoria de máquinas elétricas.

Ao conectar a bobina em uma fonte de tensão, uma corrente circulará na bobina a fim de gerar

o fluxo magnético. Essa corrente é chamada de corrente de excitação. Como a relação B-H de

um material ferromagnético é não linear, a corrente de excitação não será senoidal. Na

verdade, tanto o efeito da saturação quanto a histerese influenciam no comportamento da

corrente de excitação.

i. Corrente de excitação para um caso sem histerese:

A Figura 16 ilustra o comportamento da corrente de excitação para um sistema sem

histerese. A curva B-H foi modificada para a curva ϕ-i de forma direta pela relação ϕ=BA e

i=Hl/N. Perceba que, apesar da corrente não ser senoidal, ela está em fase com o fluxo e é

simétrica. Além disso, a componente principal da corrente de excitação está atrasada de

90° da tensão da fonte indicando um circuito puramente indutivo. Em outras palavras, não há

perda de potência no processo, com toda energia fornecida pela fonte retornando a ela. A

bobina de excitação do circuito magnético pode, portanto, ser representada simplesmente por

uma indutância.

ii. Corrente de excitação para um caso com histerese:

Na Figura 17 ilustra o comportamento da corrente de excitação para um sistema com

histerese. Neste caso, a corrente é não senoidal e não simétrica. Ela é composta por duas

componentes: , a qual está em fase com a tensão da fonte; , a qual está em fase com ϕ e

90° atrasada em relação à tensão da fonte. O fato de

está em fase com a tensão induz

considerar um comportamento resistivo e que, de fato, representa as perdas no núcleo

magnético devido ao efeito da histerese. Já é a mesma corrente que para o caso anterior



no qual se desconsiderou a histerese e é conhecida como corrente de magnetização. Portanto,

a bobina de excitação de um dispositivo magnético pode ser representada por uma indutância

e uma resistência em paralelo, conforme a Figura 17. No diagrama fasorial, apenas a

componente fundamental da corrente de magnetização é considerada.

Figura 16 - Corrente de excitação para um sistema sem histerese. a) curva ϕ-i e corrente de excitação; b)

circuito equivalente do sistema; c) diagrama fasorial

FONTE: Sen, 1997.

Figura 17 - Corrente de excitação para um sistema com histerese. a) curva ϕ-i e corrente de excitação; b)

diagrama fasorial; c) circuito equivalente do sistema

FONTE: Sen, 1997.



Ao se energizar um circuito magnético, enquanto a corrente varia em um ciclo, num intervalo

de tempo se estabelece um fluxo de energia entre fonte e o circuito, e num outro intervalo de

tempo a energia flui do circuito para a fonte. Considerando o sistema ideal, ou seja, linear e

sem perdas, toda a energia que fluiu da fonte para o circuito iria voltar a ela. Porém, não é isso

que ocorre. No caso, a potência que flui da fonte para o circuito se divide em:

Potência ativa: é a potência útil, ou seja, realiza trabalho;

Potência reativa: relacionada à potência armazenada no campo magnético no núcleo.

Em outras palavras, é a energia necessária para manter o fluxo magnético no núcleo;

Perdas: há dissipação de energia por efeito joule no cobre dos enrolamentos e também

por correntes induzidas no núcleo (correntes de Foucault), por histerese magnética e

por ventilação. A soma destas perdas resulta na chamada Perda no Núcleo Magnético.

É importante analisar de forma mais profunda as perdas por histerese e por corrente de

Foucault.

i. Perdas devido à histerese:

Durante um ciclo de magnetização, representado na Figura 7, num primeiro momento ocorreum fluxo de energia para o núcleo magnético. No momento seguinte, quando a intensidade de

campo magnético decai, o fluxo de energia retorna à fonte. Contudo, o montante de energia

que retorna à fonte é menor do que a que fluiu para o núcleo. No caso, uma parte da energia

flui para a estrutura do núcleo magnético, aquecendo-o. Esse montante de energia é

mensurado pela área interna do laço de histerese, conforme ilustrado na Figura 18. Essa

afirmação parte da Equação 2.47. Integrando-se de ambos os lados obtém-se:

∮ (2.51)

Onde Vc é o volume do núcleo e Wh é densidade de energia magnética no núcleo a qual é

mensurada pela área da curva B-H. A perda devido à histerese é dado por:

(2.52)

Onde f é a frequência da corrente de excitação. Mensurar essa área analiticamente é algo

difícil devido a não linearidade entre B e H. Contudo, um trabalho do engenheiro Charles

Steinmetz, da General Eletric Company, encontrou uma expressão para medir a área do laço

de histerese dos materiais magnéticos comumente usados em máquinas elétricas, apresentada

na Equação 2.53.



(2.53)

Onde Bmax é a máxima densidade de fluxo magnético no núcleo, n varia entre 1.5 e 2.5, e K

é uma constante, sendo K e n determinadas empiricamente. Logo, a Equação 2.52 se torna:

(2.54)

Onde Kh depende do material ferromagnético usado e do volume do núcleo.

Figura 18 - Perdas por histerese em um núcleo magnético

FONTE: Notas de aula do Prof Felipe Nascimento Martins, IFES – Serra/ES.

ii. Perdas devido as correntes de Foucault:

A Lei de Faraday afirma que a variação de um campo magnético no tempo gera um campo

elétrico. Isso ocorre no núcleo magnético e, sendo formado por material ferromagnético,

forma-se um caminho fechado por onde circula as chamadas correntes parasitas, ou correntes

de Foucault, de tal modo a criarem um campo magnético que se opõe ao campo magnético

original. Além disso, as correntes de Foucault dissipam energia sobre a resistência elétrica do

núcleo, aquecendo o núcleo.

Existem duas formas de reduzir as perdas por correntes de Foucault:



1. Utilizar um material de alta resistividade no núcleo, a fim de diminuir a intensidade

das correntes parasitas;

2. Utilizar um núcleo laminado ao invés de um núcleo em peça única. Fazendo a

laminação ao longo do plano do fluxo magnético e isolando as laminas umas das

outras, interrompe-se os caminhos de circulação das correntes parasitas reduzindo-se o

efeito consideravelmente.

As perdas por corrente de Foucault podem ser calculadas pela Equação 2.55. Perceba que as

perdas variam com o quadrado da frequência e com o quadrado da amplitude máxima da

densidade de fluxo magnético. Ke é uma constante que depende do material e da espessura da

lâmina6. (2.55)

Uma questão importante é a influência das correntes parasitas sobre a curva de histerese. Com

a variação do fluxo magnético no núcleo, surge a circulação das correntes parasitas as quais

circulam num sentido tal a criar um campo magnético oposto ao campo que as originou. Isso

faz com que seja necessária uma maior Fmm para manter o mesmo nível de fluxo magnético

no núcleo. Ou seja, ocorre um alargamento da curva de histerese, conforme ilustrado na

Figura 19. Esse efeito se torna mais pronunciado conforme se aumenta a frequência devariação do fluxo magnético. Para os casos em que o fluxo varia lentamente sua intensidade, a

curva B-H é chamada de curva de histerese estático. Já para os casos em que o fluxo

magnético apresenta uma variação rápida de intensidade, a curva B-H é chamada de curva

de histerese dinâmica.

Figura 19 - Curva de histerese estática e dinâmica

FONTE: Sen, 1997.

6 Em máquinas elétricas, a espessura de laminação varia entre 0,5 a 5mm. Em dispositivos usados em circuitoseletrônicos de alta frequência, a espessura das lâminas variam entre 0,01 a 0,5mm.



Como já foi dito, a soma das perdas por histerese e por correntes de Foucault resulta nas

perdas no núcleo magnético. Com o uso de um wattímetro, facilmente se mensura as perdas

no núcleo em um dispositivo, porém não é possível discernir qual é o montante equivalente às

perdas por histerese e por correntes de Foucault.

2.2.6 Ímãs permanentes

Os ímãs permanentes são caracterizados por apresentarem um alto valor de magnetização

residual, bem como um alto valor de coercitividade, ou seja, é necessário um campo

magnético reverso alto para desmagnetizar ímã. Essas características os diferem dos materiais

ferromagnéticos os quais apresentam um valor de coercitividade baixo. A Figura 20 compara

as curvas B-H do material Alnico 5 (alumínio – níquel – cobalto) com o aço M5. Perceba que

o campo coercitivo Hc para o Alnico 5 é cerca de 10000 vezes maior comparado ao campo

coercitivo do aço M5. A família de ligas Alnico tem sido usada desde 1930. Em 1950 foi

desenvolvido os ímãs permanentes de ferrite e, em 1960, a classe dos ímãs permanentes à

base de terras raras foi desenvolvido. Recentemente surgiram os ímãs permanentes à base de

neodímio os quais apresentam um campo coercitivo da ordem de 900 kA/m e um magnetismo

residual de 1.3T.

Figura 20 - Comparação entre os materiais Alnico 5 (a) e aço M5 (b)

FONTE: Fitzgerald, 2006. Modificado pelo autor.



A vantagem de se ter um alto valor de campo magnético coercitivo é o fato de se conseguir

um mesmo nível de densidade de fluxo magnético com um menor volume de ímã. Considere

o circuito magnético da Figura 21.

Figura 21 - Circuito magnético com íma permanente (a) e sua curva B-H (b), explicitando a curva de

operação

FONTE: Sen, 1997.

Para determinar o fluxo magnético no circuito desconsidere o efeito de espalhamento e arelutância do material magnético mole. Da Lei de Amperè:

⇒ (2.56)

Como o fluxo é o mesmo no material e no entreferro:

(2.57)

E:

(2.58)

Daí se obtém que:

(2.59)

A Equação 2.59 representa a reta que intercepta a curva B-H do ímã e passa pela origem. O

ponto de intersecção determina os valores operacionais de B e H do circuito. Caso o

entreferro seja desfeito colocando-se um material idêntico ao do núcleo, o ponto de operação

irá mover-se de acordo com a linha bc. Ou seja, o ponto de operação de um circuito com ímã

permanente e entreferro é determinado pela curva B-H de desmagnetização e pelas dimensões



do ímã e do entreferro. Vale a pena calcular o volume do ímã necessário para se obter o fluxo

magnético calculado acima:

(2.60)

Onde é o volume do entreferro. Logo, para se obter uma densidade de fluxo

magnético Bg num entreferro de volume Vg, será necessário um volume mínimo de ímã caso

o ponto de operação esteja localizado onde o produto seja máximo, conhecido como

produto energético máximo. Esse ponto está representado na Figura 20.



3. TRANSFORMADORES

3.1 Introdução

Fundamentalmente, o primeiro transformador foi construído por Michel Faraday, o qualcontinha uma bobina chamada de indução, em forma de um anel e se encontrava disposta

sobre o anel de ferro, sendo alimentada por uma corrente contínua que era interrompida

periodicamente.

Figura 22 - Primeiro transformador


Toda vez que ocorria o fechamento ou a abertura da chave “A”, o galvanômetro acusava

deflexão do ponteiro e logo voltava à situação normal. Faraday concluiu que se o

galvanômetro deflexionava, então necessariamente circulava corrente através do enrolamento

secundário. Essa corrente do secundário variava de acordo com a variação da corrente do

primário (abertura e fechamento da chave “A”). Essa variação passava de zero a um

determinado valor ou vice-versa. As relações eletromagnéticas de corrente e fluxo,

obviamente, obedeciam à Lei de Lenz.

Supomos que a corrente circule no primário no sentido conforme indicado pela Figura 23. O

sentido do fluxo ϕ1 está indicado e varia de zero a um valor máximo relativo à máximacorrente do primário (fechando e abrindo a chave), induzindo corrente no secundário. Esta

corrente induzida no secundário terá o sentido de circulação tal que induz um fluxo ϕ 2, em

sentido contrário à ϕ 1. Após uma fração de tempo “t”, subsequente ao fechamento da chave

“A”, o fluxo mútuo atinge seu ponto de equilíbrio e em consequência, a corrente no

secundário cai a zero. O fenômeno da indução da corrente I2 se repete quando é aberta a

chave “A”, circulando agora em sentido contrário.



Figura 23 - Corrente induzida no secundário


Faraday descobriu que a variação de um fluxo magnético no interior de uma bobina induz

uma corrente em um sentido tal a produzir um fluxo contrário ao do primeiro. Com isto estava

fundamentado o princípio eletromagnético do transformador.

3.2

Generalidades

Os transformadores são máquinas estáticas de indução cuja função consiste em transformar os

valores de tensão e corrente, mantendo a potência constante. Perceba, portanto, que otransformador não é um dispositivo eletromecânico de energia. Porém, apresenta um papel

indispensável no processo de conversão eletromecânica, envolvendo os princípios básicos de

funcionamento das máquinas rotativas, além de adequar os níveis de tensão para o devido

funcionamento destas.

Distinguem-se três tipos de transformadores:

1)

Transformadores de Potência ou Força: São transformadores destinados afornecer grande quantidade de energia elétrica, normalmente empregados nas

estações ou subestações de energia e sua capacidade é de centenas e até milhares

de kVA´s.

2) Transformadores de Sinal: São transformadores de pequena capacidade

utilizados em circuitos eletrônicos, com finalidade de filtragem, casamentos de

impedância, dentre outras.

3) Transformadores de Medição (TP, TC): Destinados a adaptar sinais de alta

tensão ou alta corrente e níveis (valores) mais facilmente utilizados pelos

equipamentos de medição, proteção e controle.



3.3

Princípio de funcionamento

Para iniciar o estudo do princípio de funcionamento de um transformador ou trafo, considere

um núcleo de material magnético ideal (μ=∞) e dois enrolamentos (bobinas) distintos

compartilhando o mesmo fluxo magnético. O primeiro enrolamento, chamado de primário,

possui índice 1 e contém N1 espiras. O segundo enrolamento, chamado de secundário, com

índice 2, possui N2 espiras. O fluxo magnético produzido por um dos enrolamentos atravessa

o outro, como ilustrado na Figura 24, a qual também ilustra uma representação elétrica do

sistema através de indutores mutuamente acoplados. O sinal de polaridade (ponto) indica o

sentido da tensão induzida em cada indutor.

Figura 24 – Representação fundamental do transformador ideal


O princípio de funcionamento é baseado na lei de Faraday-Lenz, onde uma tensão elementar

“e” é induzida em cada uma das espiras de uma bobina su bmetida a uma variação de fluxo de

tal forma que possa produzir uma corrente que crie um fluxo se opondo a esta variação:

(3.1)

Em uma bobina com “n” espiras teremos um fluxo concatenado λ=n.Ф e , portanto, uma

tensão total E entre seus terminais:

(3.2)

O circuito da Figura 25 apresenta as principais grandezas em um trafo ideal (sem perdas).

Algumas definições básicas com relação à nomenclatura:

Enrolamento Primário: Onde é aplicada a tensão da rede, onde a energia é recebida.

Enrolamento Secundário: Onde a energia é entregue à carga.

Enrolamento de Alta Tensão: Enrolamento no qual será aplicada a tensão mais alta. Enrolamento de Baixa Tensão: Enrolamento no qual está aplicada a tensão mais baixa.



Transformador Redutor: Quando o primário é o lado de A.T.

Transformador Elevador: Quando o primário é o lado de B.T.

Figura 25 - Transformador ideal de dois enrolamentos

+

_

V1

I1

+

_

V2

I2

N1

N2

+

_

+

_

E1 E

2


3.4

Principais relações

Segundo o princípio de funcionamento, a tensão induzida no enrolamento primário N1 vale:

(3.3)

E o enrolamento secundário vale:

(3.4)

Como em um trafo ideal E1=V1 e E2=V2, e o fluxo Ф é comum aos dois enrolamentos:

(3.5)

A relação acima é chamada de relação de espiras ou relação de transformação e normalmenteé representada pela letra a ou α. Como este trafo ideal não possui perdas, a potência de

entrada é igual a potência de saída, então V1.I1=V2.I2.

(3.6)

(3.7)

A impedância equivalente vista do primário e do secundário é dada pela lei de ohm, conforme

Equação 3.8 e 3.9:



(3.8)

(3.9)

Logo, a relação de impedâncias será:

⇒ (3.10)

É sabido que, para que haja tensão induzida no lado secundário, o fluxo deverá variar no

tempo. Portanto a corrente que o produz também deverá ser variante no tempo. Assim, uma

corrente senoidal i(t)=Im.sen(ω.t) aplicada ao primário provoca um fluxo senoidal

ф(t)=Фm.sen(ω.t) no interior do circuito magnético. A tensão induzida E1 será:

(3.11)

Onde

Da mesma forma que:

(3.12)

Onde

Assim o valor eficaz da tensão será:

√

√ (3.13)

E,

√ √ (3.14)

O valor eficaz máximo que pode ser aplicado a um trafo depende da frequência, pois para

evitar que o núcleo sature, deve-se limitar o fluxo magnético máximo a . Dessa

forma, a razão E1/f deve ser mantida constante:

(3.15)

(3.16)



3.5

Diagrama fasorial do transformador ideal a vazio

Com o trafo a vazio, a única função da corrente de entrada é produzir a magnetização do

núcleo. Uma vez que a corrente de entrada I1 gera o fluxo magnético Ф através das relações

entre Fmm (F) e relutância ():

(3.17)

Portanto o fluxo e a corrente de magnetização são proporcionais e estão em fase. Se

i(t)=Im.sen(ω.t), então o fluxo no interior do núcleo será ф(t)=Фm.sen(ω.t). E como,

(3.18)

Isto significa que a tensão está 90° adiantada em relação ao fluxo e a corrente demagnetização. A Figura 26 mostra o diagrama fasorial do trafo ideal a vazio.

Figura 26 - Diagrama fasorial do transformador a vazio


3.6 Perdas e circuito equivalente de um transformador ideal

O transformador é uma máquina elétrica de alto rendimento, tipicamente maior que 0,9,

devido ao fato de não realizar movimento e, portanto, não possuir perdas mecânicas. O

modelo de um transformador real deve incorporar as perdas que inevitavelmente ocorrem eque são basicamente de dois tipos:



Perdas no Núcleo: Histerese e correntes de Foucault. Relacionadas com a tensão

aplicada (V1) e com a Fem;

Perdas no Cobre (R.I²): Dissipação de calor nos condutores dos enrolamentos. Estão

relacionadas com a corrente e com a Fmm.

Quando são considerados os efeitos das perdas em um trafo de potência, o circuito

equivalente fica como mostrado na Figura 27. Ao modelo ideal, do lado primário, é

acrescentado um resistor (R1) em série, o qual corresponde à resistência dos fios deste

enrolamento, e um indutor (X1) o qual incorpora o efeito indutivo do fluxo disperso pelo

enrolamento primário. No ramo paralelo é inserido um resistor Rc, o qual representa as perdas

no núcleo, e um indutor Xm que representa a indutância responsável pela geração da Fmm no

núcleo. No secundário há a resistência dos fios (R2) e a indutância de dispersão (X2) deste

enrolamento. Observe que não existe o ramo paralelo no lado secundário, pois todo o efeito da

magnetização do núcleo está concentrado no ramo paralelo do primário.

Figura 27 – Modelo equivalente de trafo ideal (a) e de um trafo real (b)


Com o objetivo de aplicar os conceitos da análise tradicional de circuitos, convém representar

todos os parâmetros elétricos do modelo equivalente de um trafo do mesmo lado (primário ou



secundário) bastando para isso utilizar a relação de impedâncias e refletir todos os elementos

para um mesmo lado. Na Figura 28 (a) é mostrado o circuito equivalente do transformador

referido ao primário. Pode-se observar que a resistência dos fios (R2) e a indutância de

dispersão (X2) valem agora a²R2 e a²X2 respectivamente, ainda que, em um trafo real, E1≠V1

e E2≠V2. O circuito mostrado na Figura 28 (a) é chamado de circuito equivalente completo.

Com o acréscimo de um pequeno erro no resultado final, uma importante simplificação pode

ser utilizada neste circuito: o ramo paralelo é deslocado para a esquerda de R1 e X1 fazendo

com que a tensão V1 de entrada esteja agora aplicada ao ramo de magnetização. Esta

simplificação somente pode ocorrer sem perda de precisão nos resultados se Zm= Rc // Xm

for muito maior que R1 + jX1. Assim sendo, pode-se somar as resistências dos enrolamentos

primário e secundário referido obtendo-se o equivalente Re1 (resistência equivalente dosenrolamentos refletida ao primário). O mesmo ocorre com as indutâncias de dispersão. O

indutor Xe1 representa o equivalente das indutâncias de dispersão do primário e secundário

somadas e refletidas ao primário. O circuito mostrado na Figura 28 (b) é chamado de circuito

equivalente aproximado.

Figura 28 - Circuito equivalente completo (a) e aproximado (b) referido ao primário




Definindo como fasor de referência a tensão de saída (a.V2) e considerando uma impedância

de carga com ângulo φ, a corrente estará portanto atrasada de φ graus e provocará uma queda

de tensão Re1.I2/a em fase que se soma fasorialmente a tensão de saída. A corrente I2/a

também provoca uma queda de tensão, desta vez adiantada de 90°, ao passar pela indutância

de dispersão Xe1. A soma fasorial total das tensões é igualada pelo fasor da tensão de entrada

V1 de acordo com a lei de Kirchhoff de tensões (LKT). No caso das correntes, Ic estará em

fase com a tensão V1, e Im estará 90° atrasada em relação a esta tensão. A soma fasorial de Ic

e Im resulta em IΦ, e esta somada a I2/a resulta na corrente total de entrada I1. Este diagrama

fasorial de tensões e correntes é mostrado na Figura 29.

Figura 29 - Diagrama fasorial do trafo real sem carga

a.V2

V1

V1

R e1.I2/aI

2/a

Io

I1

Ic

Im

fluxo


É importante destacar que as perdas no núcleo estão associadas à tensão aplicada, e as perdas

nos enrolamentos estão associadas à corrente.

3.7

Regulação e rendimento

3.7.1 Regulação

Devido às quedas de tensão nos parâmetros série do circuito de um trafo, a tensão aplicada

aos terminais da carga (refletida ao primário) será diferente da tensão de entrada V1. Esta

diferença entre a tensão de saída com carga e sem carga é denominada regulação de tensão do

transformador. A regulação de tensão em um transformador é dada por:

|| |||| (3.19)



Ou percentualmente:

|| |||| (3.20)

EXEMPLO: Uma fonte DC de 48 V tem resistência interna igual a 0,5Ω. Calcule a regulação

quando esta fonte alimenta uma resistência de carga de 4 Ω.

A tensão da fonte sem carga (a vazio) é 48V. Alimentando a carga, a tensão na carga será:

Portanto a regulação será:

Ou 12,5% de regulação de tensão.

3.7.2 Rendimento

O rendimento de uma máquina qualquer é a relação entre a potência de saída e a potência de

entrada. No caso do transformador é a razão entre a potência fornecida à carga e a potência

recebida da rede elétrica.

∑ ∑ (3.21)

3.8

Ensaios para a obtenção dos parâmetros equivalentes do transformador

Para a determinação dos valores dos elementos do circuito equivalente de um transformador

são realizados dois ensaios:

1. Ensaio a vazio;

2. Ensaio de curto-circuito.

Para executar os ensaios será necessário conhecer o lado de alta tensão (AT) e baixa tensão

(BT) do trafo.

3.8.1 Ensaio a vazio

Visa obter os valores de Rc e Xm, e consequentemente, as perdas magnéticas e a corrente a

vazio (IΦ). Para se proceder no ensaio, deve-se montar o circuito conforme esquematizado na



Figura 30. Com o circuito pronto, aplica-se a tensão de operação (nominal) no lado BT,

mantendo o lado de AT em aberto.

Figura 30 - Ensaio a vazio de um transformador


A partir das leituras dos instrumentos tem-se Ivazio, Vvazio e Pvazio. Daí, calcula-se Rc e

Xm da seguinte forma:

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Observe que os valores de Rc e Xm serão sempre obtidos referidos ao lado de baixa tensão.

Isso é consequência da posição dos equipamentos durante o ensaio a vazio. Assim, caso o

ensaio seja em um trafo elevador, os parâmetros estão referidos ao primário. Em um trafo

abaixador, estes estarão referidos ao secundário.

3.8.2 Ensaio de curto circuito

Visa encontrar os parâmetros série Re e Xe. Para isto, faz-se um curto no lado BT, e aumenta-

se gradualmente a tensão no lado AT até circular a corrente nominal deste enrolamento. O

esquemático do ensaio está ilustrado na Figura 31.



Figura 31 - Ensaio de curto-circuito de um transformador


Uma vez obtidos Icurto, Vcurto e Pcurto através dos instrumentos de medida mostrados na

Figura 31, pode-se calcular Re e Xe da seguinte forma:

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

Uma última observação. Na grande maioria das vezes a obtenção dos parâmetros equivalentes

Re e Xe (que representam, respectivamente, a soma das resistências e reatâncias série do

primário e secundário) são suficientemente esclarecedoras. Quando se faz necessário conhecer

separadamente os valores da resistência do enrolamento primário (R1) e do enrolamento

secundário (R2) basta aplicar uma corrente contínua a um dos enrolamentos, deixando o outro

aberto, e medir os valores de corrente e tensão DC aplicados. Em seguida basta dividir a

tensão pela corrente.

(3.30)

(3.31)

No caso das reatâncias de dispersão, pode-se supor que X1 = a²X2. Isto indica que o trafo foi

bem projetado.



3.9

Autotransformadores e transformadores de múltiplos enrolamentos

Teoricamente um autotransformador, ou autotrafo, é definido como um transformador que

tem um só enrolamento, o que resulta em um elemento abaixador ou elevador sem isolação

elétrica. Observa-se que o circuito magnético formado pelo núcleo é idêntico ao do trafo

convencional. Contudo, os enrolamentos primário (1°) e secundário (2°) estão eletricamente

conectados conforme mostra a Figura 32. Na y são mostrados os esquemas elétricos

correspondentes a um autotrafo abaixador e elevador.

Figura 32 - Autotransformador


Figura 33 - Esquemas elétricos de um autotrafo abaixador (a) e elevador (b)

z

+

-

V1

+

-

V2

z+

-V

1

+

-

V2

(b) V2>V1(a) V2<V1 FONTE: Produção do próprio autor.

As vantagens do autotrafo em relação ao trafo convencional são:

1. Menor custo por kVA;

2. Menor peso e volume, para a mesma potência;

3. Maior potência para o mesmo volume;

4. Maior rendimento.

A desvantagem, no entanto, está no fato de não haver isolação elétrica entre o primário e o

secundário.



Transformadores convencionais podem ser ligados como autotrafos. Um exemplo desta

ligação é mostrado na Figura 34. O autotrafo resultante desta ligação possui uma potência

nominal maior do que a potência nominal do trafo original porque a potência transformada

(transferida magneticamente pelo núcleo) agora é acrescentada de uma segunda parcela de

potência que é transferida ao secundário diretamente por condução elétrica. Desta forma:

(3.32)

Figura 34 - (A) Trafo convencional, (B) Ligado como autotrafo e (C) outra configuração do autotrafo

H1

X2H2

X1

Zcarga

+

_ 240V

+

_ 120V

I1

I2

H1

X2

H2

X1

Zcarga

+

_ 240V

+

_ 360V

+

_ 120V

H1

X2

H2

X1

+

_ 120V

240V+

_

Zcarga

_ 360V

+

I1

I2

IEntrada

I2

I1

I2

ISaída

I1

ISaída

IEntrada

(b)

(a)

(c) FONTE: Produção do próprio autor.



Exemplo: Considere o trafo abaixador mostrado na Figura 34(a) com especificações nominais

10kVA , 240V / 120V. Este transformador é ligado como autotrafo conforme esquema

mostrado na Figura 34( b) e (c). Determine as novas especificações e calcule o aumento de

potência resultante da ligação como autotrafo.

Resposta: As correntes nominais do trafo original são I1=41,67A e I2=83,33A . Após a

ligação como autotrafo, as correntes em cada enrolamento se mantêm nos valores nominais,

porém, a tensão de saída na carga será maior: 120V+240V = 360V. A corrente de entrada

também aumenta, pois uma parte da corrente de entrada ainda passa pelo enrolamento

primário e a outra vai diretamente para a carga: (3.33)

Logo, tem-se que:

(3.34)

(3.35)

Com um aumento percentual de:

(3.36)

Conclusão: Com a ligação proposta, obteve-se um autotrafo elevador de 240V/360V com

potência nominal = 30kVA.

3.10

Transformadores trifásicos

Os sistemas de geração e transmissão de energia elétrica são trifásicos e necessitam de

transformadores trifásicos para elevar e abaixar níveis de tensão nos vários estágios do

sistema de transmissão de energia. Um trafo 3ϕ pode ser obtido a partir de 3 trafos

monofásicos idênticos. Os 3 enrolamentos que serão alimentados pela linha 3ϕ primária

estarão ligados em estrela ou triângulo. Outras formas de ligação de trafos 3ϕ (zigue-zague,

delta aberto) não serão abordadas neste texto. Dos três enrolamentos de saída em Y ou Δ irá

sair a linha 3ϕ secundária, conforme mostra a Figura 35.

Figura 35 - Ligações mais comuns empregadas em transformadores: (a) estrela, (b) triângulo




Enquanto a carga alimentada for simétrica e equilibrada, o trafo 3ϕ pode ser estudado

observando apenas uma das fases do mesmo, qualquer que seja o esquema de ligações do

primário ou secundário. Os tipos mais comuns de ligações são:

a) Y-Y: A presença do neutro aterrado é opcional neste tipo de transformador, a corrente

de linha é igual a corrente de fase e a sua tensão entre linhas é 3 vezes maior que a

tensão de fase. A presença do neutro neste transformador é muito útil, pois o retorno

da corrente ocorre pelo neutro. Caso a carga no secundário seja monofásica, não

haverá circulação de corrente em todos os terminais do primário do transformador. A

diferença entre a tensão de fase e de linha justifica sua ampla aplicação em atividades

envolvendo alta tensão.

b) Δ-Y: Empregado em transformadores elevadores de usinas hidroelétricas, devido a

circulação da 3a harmônica das correntes magnetizantes, assegurando a forma senoidal

dos fluxos e das tensões.

c)

Y-Δ: Quando as fases do secundário estão conectadas em Δ e ocorre o desequilíbrio deuma das fases, há circulação de correntes por todas as fases. Uma carga monofásica

gera uma tensão idêntica e simétrica nas fases e ocorrem elevadas perdas ôhmicas e

dispersões magnéticas.

d) Δ-Δ: As tensões secundárias, desconsiderando-se os defasamentos, são iguais e

simétricas, qualquer que seja a carga. São amplamente utilizados para alimentação de

cargas fortemente desequilibradas. Outra característica é que a eliminação de um dos

lados do triângulo não impede o surgimento das 3 fases no secundário. Esta



propriedade é interessante, pois permite a utilização de dois trafos monofásicos em um

sistema 3ϕ.

Os transformadores 3ϕ tais como qualquer sistema 3ϕ de potência é especificado pela

potência aparente nominal e pela tensões nominais, podendo-se a partir destas obter os valores

nominais de corrente e impedância. Um ponto importante a se notar é que, em se tratando de

trafos 3ϕ, a relação de espiras N1/N2 pode ser diferente da relação de tensões de linha

VL1/VL2 devido às diferentes formas em que os enrolamentos podem ser ligados, podendo

estar submetidos à tensões de linha (ligação Δ), ou à tensões de fase que é √ vezes menor.

Exemplo: Três trafos monofásicos elevadores com relação de espiras N1/N2 = 0,1 serão

interconectados formando um trafo trifásico. Determine a relação de transformação VL1/VL2

caso a ligação dos enrolamentos seja:

a) Primário em Y e secundário em Y;

b) Primário em Y e secundário em Δ;

c) Primário em Δ e secundário em Y;

d) Primário em Δ e secundário em Δ.

Respostas:

a) Como ambos (primário e secundário) estão ligados em Y, a tensão em cada

enrolamento corresponde a tensão de fase. O enrolamento primário está submetido a

uma tensão3

11

L

F

V V e no enrolamento secundário será induzida uma tensão

3.10 1

2 L

F

V V . Sabendo que

11 3. L F

V V e22 3.

L F V V 1,0

2

1

L

L

V

V .

b) Como as ligações do primário e do secundário não são iguais, o primário em Y tem

3

1

1

L

F

V V e irá induzir em cada fase do secundário

3.10 1

2

L

F

V V . Se o secundário está

ligado em Δ, a tensão de linha é igual a tensão de fase. Assim:

11 3. L F

V V e22 L F

V V 3.1,02

1

L

L

V

V



c) Agora é o primário quem apresenta a tensão de fase igual à de linha11 L F

V V , a qual

induz em cada enrolamento do secundário12 .10

L F V V . Devido à ligação Y, a tensão

de linha do secundário é: 3.22 F L V V 3

1,0

2

1

L

L

V

V

.

d) Novamente ambos os enrolamentos tem a mesma forma de ligação, resultando em

uma relação de transformação igual à relação de espiras.

3.11

Sistema PU

3.11.1 Introdução

Em geral, todas as formulações, cálculos e notações de uma grandeza tem como base o valor

um. Quando se deseja utilizar como base de referência um valor diferente do unitário, todos

os outros valores ficam medidos em relação a esta nova base. Esta alteração tem como

finalidade produzir simplificações as quais serão mostradas adiante.

É bastante comum encontrarmos sistemas elétricos de potência representados em uma notação

denominada “Sistema Por Unidade” ou simplesmente Sistema PU. Esta medida visa facilitar a

interpretação de dados e informações onde operam muitas máquinas com especificações

diferentes. Assim, os cálculos relativos às máquinas rotativas, transformadores e sistemas de

geração, transmissão e distribuição de energia elétrica são efetuados na forma por unidade,

isto é, com todas as quantidades envolvidas expressas como frações decimais de valores de

base convenientemente escolhidos. Todo o cálculo é efetuado nestes valores por unidade em

lugar dos usuais volts, ampères, ohms e etc. Isso facilita a interpretação do real estado do

sistema, uma vez que fornece o quão próximo do nominal está cada uma das grandezas. Por

exemplo, dizer que a tensão na barra de um gerador é 13,8kV não garante se está abaixo ou

acima do nominal, sendo necessário conhecer os seus dados de placa. Agora, se a tensão na

barra do gerador for 1,5 pu, sabe-se que a tensão está 50% acima da nominal. Esta última

informação, em nível de gerenciamento do sistema, é de maior valor do que àquela.

O procedimento de cálculo é extremamente simplificado com tal notação. A aplicação do

sistema por unidade depende da determinação de um conjunto de unidades específicas

chamadas valores de base do sistema, pelas quais outras grandezas semelhantes podem ser

expressas. Por exemplo, todas as quedas de tensão no circuito de baixa tensão de um



transformador podem ser expressas como uma relação da tensão nominal do lado de baixa.

Onde esta ultima grandeza “tensão nominal” é identificada como a tensão de base ou de

referencia. Pode-se adotar a seguinte definição: P.U. é a relação entre o valor da grandeza e

um valor escolhido como referência (de base) desta mesma grandeza.

(3.36)

3.11.2 Aplicação em Engenharia Elétrica

Especificamente no caso da Engenharia Elétrica, o valor real se refere ao valor em volts,

ampères, ohms, etc. Até certo ponto os valores de base podem ser escolhidos arbitrariamente,mas devem ser observadas certas relações entre eles para que as leis da eletricidade continuem

sendo obedecidas mesmo no sistema por unidade.

Como regra geral, pode-se adotar os valores nominais de um dispositivo como sendo os

valores de base, sempre que os cálculos por unidade (pu) forem efetuados. Destes valores,

normalmente são escolhidos S base e V base, isto é a potência aparente nominal e a tensão

nominal como base.

Então dados S base e V base, para um sistema monofásico, pode-se obter, a partir da lei de Ohm:

(3.37)

(3.38)

O valor de S base deve ser o mesmo para o transformador, mas os valores de V base são

diferentes para cada lado e devem estar na mesma relação que o número de espiras do

transformador. Usualmente, escolhem-se as tensões nominais dos respectivos lados.

Uma característica importante da notação por unidade é que ela torna desnecessária a

referência das grandezas aos lados de alta ou de baixa tensão dos transformadores. O valor

por unidade de um elemento de circuito, tal como a resistência de enrolamento primário, é o

mesmo para ambos os lados quando reapresentado em pu.



3.11.3 Sistemas trifásicos em PU

Os sistemas trifásicos envolvem cargas, fontes e transformadores ligados em Δ e Y. Todas as

cargas são consideradas equilibradas e por isso a representação de um sistema 3ϕ em pu éfeito numa única fase do sistema Y equivalente. A Figura 36 mostra uma representação 3ϕ

típica:

Figura 36 - Circuito equivalente com valores de base indicados


Identicamente ao caso 1ϕ, as bases são obtidas a partir de S base e V base, com a diferença de que

no caso 3ϕ:

(3.39)

(3.40)

E as relações conhecidas para circuitos elétricos 3ϕ, devem ser respeitadas:

√ (3.41)

√ (3.42)

(3.43)

Derivando diretamente das relações acima, temos finalmente a base trifásica completa:

√ (3.44)



(3.45)

3.11.4 Vantagens dos cálculos em por unidade (PU)

As vantagens são:

1. Os fabricantes usualmente especificam a impedância de parte de um dispositivo em

percentagem ou valor por unidade, tendo como base os valores nominais;

2. Torna-se desnecessária a referência das grandezas aos lados de alta ou de baixa tensão

dos transformadores. O valor por unidade de um elemento do circuito, tal como a

resistência do enrolamento do primário é o mesmo para ambos os lados;

3. Mostra informações importantes sobre o projeto e o desempenho do equipamento ao

qual é aplicado.

3.11.5 Mudança de base

Frequentemente, os fabricantes de transformadores e máquinas elétricas fornecem seus

parâmetros em PU, sendo a base os seus valores nominais. Porém, nem sempre a base dosequipamentos coincide com a base adotada para o sistema elétrico em análise, o que gera

conflito. Assim, torna-se necessário alterar o valor em PU dos parâmetros para a base adotada

para o sistema. A ideia é simples e consiste em multiplicar o valor em PU de uma grandeza

dado pelo fabricante pela base original e, a seguir, dividir o valor obtido pela base do sistema.

As Equações 3.46 a 3.49 explicitam essa ideia.

(

) (3.46)

( ) (3.47)

()

(3.48)

(3.49)



A impedância equivalente referida ao lado BT é:

Comparando os resultados, perceba que . Isto não é coincidência e

ocorrerá sempre, devido ao fato de que os valores em pu são os mesmos referidos a qualquer

lado.

2) Um transformador de 10KVA, 220/110 volts tem uma resistência equivalente do lado

de alta tensão de 0,1Ω e uma reatância de dispersão equivalente do lado de alta tensão

de 0,16Ω. Calcule:

a) O valor por unidade (pu) da resistência equivalente (Re) do lado AT;

b) O percentual da tensão nominal absorvida pela resistência do enrolamento equivalente

(R%).

Solução:

a) Os valores de base são:

Calculando a corrente de base no lado AT:

b) A queda de tensão na resistência equivalente é de:

O percentual da tensão nominal absorvida pela resistência é:



3) Suponha que para um transformador de 10kVA, 2400/240 volts foram feitos o ensaio

a vazio e de curto circuito, obtendo-se os seguintes valores:

Teste a vazio (no lado BT): 240V, 0,8A, 80W;

Teste de curto-circuito (no lado AT): 80V, 5,1A, 220W

Converta todos os dados dos testes para valores em p.u. e encontre uma resistência

série equivalente em pu. Suponha P base=10kW, VATbase=2400V, VBTbase=240V.

Solução:

Os dados do circuito em vazio em pu são:

Os dados do ensaio de curto-circuito em p.u. são:

A impedância equivalente e o fator de potência são:

4) As três partes de um sistema monofásico são designadas por A, B, C e estão

interligadas por meio de transformadores, como mostra Figura 37. As características

dos transformadores são:A – B: 10.000 kVA : 13,8 - 138 KV, reatância de dispersão de 10%



B – C: 10.000 kVA : 69 - 138 KV, reatância de dispersão de 8%

Figura 37 - Figura referente ao Exercício 4


Se as bases no circuito B forem 10000 kVA, 138 kV, determine a impedância por unidade da

carga resistiva de 300Ω, localizada no circuito C, referida aos circuitos C, B e A. Faça o

diagrama de impedâncias desprezando a corrente de magnetização, resistência dos

transformadores e impedância de linha. Determine a regulação de tensão e a corrente de carga

em p.u. se a tensão na carga for 66k V, supondo que a tensão de entrada do circuito “A”

permaneça constante.

Solução:

- Potência base para o circuito A, B, C:

- Tensão base para o circuito A:

- Tensão base para o circuito B:

- Tensão base para o circuito C:

Corrente base para o circuito A:

Corrente base para o circuito B:

Corrente base para o circuito C:

Impedância base do circuito A:



Impedância base do circuito B:

Impedância base do circuito C:

Impedância em pu da carga no circuito C:

Impedância da carga referida ao circuito B:

Impedância em pu da carga no circuito B:

Impedância da carga referida para o circuito A:

Impedância em pu da carga no circuito A:

Nota-se que a carga em pu em qualquer circuito tem o mesmo valor!

Para o cálculo da regulação:



4. BILIOGRAFIA

FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY, Charles; UMANS, Stephen D. Máquinas elétricas: com

introdução à eletrônica de potência. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.

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http://www.cpdee.ufmg.br/~selenios/Conversao/conversao.html . Acessado em 21/09/21014.

GUEDES, Manuel Vaz. Sistemas Electromecânicos de Conversão de Energia.

Universidade do Porto, 2001. Disponível em: http://paginas.fe.up.pt/maquel/AD/SECE.pdf .

Acessado em 21/09/2014.

SEN, P. C. Principles of electric machines and power electronics. 2nd ed. New York: J.

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NOVAK, Miguel A. Introdução ao magnetismo. Universidade Federal do Rio de Janeiro.

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SADIKU, Matthew N. O. Elementos de eletromagnetismo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman,

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TORT, Alexandre C., Cunha, Alexander .M.; Assis, A. K. T. Uma tradução comentada de

um texto de Maxwell sobre ação a distância. Revista Brasileira de Ensino de Física, n 26,

273 (2004).

GRAÇA, Cláudio. Materiais magnéticos: Aula 9-1. Universidade Federal de Santa Maria.

Disponível em http://coral.ufsm.br/cograca/graca9_1.pdf. Acessado em 25/09/2014.

SIMONETTI, Domingos Sávio Lyrio. Notas de aula da disciplina Conversão Eletromecânica

de Energia. Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Espírito Santo,

Apostila Princípios de Conversão de Energia

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