[Apostila] Processamento de Sinais

7/30/2019 [Apostila] Processamento de Sinais

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Introdu c~ao a analise e aoprocessamento de sinais usando o

MATLABR. Sampaio, E. Cataldo, R. Riquelme

Rio de Janeiro, setembro de 1998.


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Indice

1 Introdu c~ao 3

2 Sinais Contnuos no tempo 62.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Analise de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 O espectro complexo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 A transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Existencia da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4 Propriedades da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Convoluc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Sinais discretos no tempo 193.1 Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Operac~oes com sequencias e sequencias basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Operac~oes com sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Sequencias basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Sistemas discretos no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.2 Alguns tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.3 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.4 Propriedades de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo . . . . . . . . . 233.3.5 Equac~oes lineares de diferenca de coecientes constantes . . . . . . . . . 233.3.6 Representac~ao no domnio da frequencia de sinais discretos no tempo . . 243.3.7 Representac~ao de seq. pela transformada de Fourier discreta(TFD) . . . 253.3.8 Propriedades da transformada de Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Amostragem de sinais contnuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.2 Amostragem periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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3.4.3 Representac~ao das amostras no domnio da frequencia . . . . . . . . . . . 32

3.4.4 Teorema da amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.5 Reconstruc~ao de um sinal limitado em faixa a partir de suas amostras . . 393.4.6 Processamento discreto de sinal contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Considerac~oes praticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.2 Pre-ltragem para evitar mascaramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.3 Convers~ao analogica-digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.4 Convers~ao digital-analogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 A Transformada Discreta de Fourier (TDF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6.2 A serie discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6.3 A transformada discreta de Fourier (TDF) . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6.4 A transformada rapida de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7 Analise de sinais usando TDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.7.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.7.2 Janelas - O vazamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.7.3 Consequencia da aplicac~ao de janelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.7.4 Tipos de janelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Duas aplica c~oes 694.1 Multiplexac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.1.2 Tipos de multiplexac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 Translac~ao de frequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Modulac~ao e demodulac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3.1 Tipos de modulac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.2 Modulac~ao em amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4 Demodulac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5 Aplicac~ao a Engenharia Mec anica: processamento de sinais provenientes de acel-

erometros e transdutores de forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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Captulo 1

Introdu c~ao

Este e um curso de analise e processamento de sinais. Trata-se de um curso formativo, essencialpara que se tenha uma compreens~ao mnima dos desenvolvimentos tecnologicos modernos:radio, televis~ao, telefonia, CD, radar, sistemas de controle, sistemas de medida, etc. O cursocomeca com o conceito de sinal, que sera exemplicado mas n~ao denido. A descric~ao de umsinal, sua analise, e feita decompondo-o numa base cujas componentes s~ao sinais elementares,exponenciais do tipo e2j!t . As componentes do sinal na base de exponenciais descreve oespectro do sinal, ou seja, sua composic~ao frequencial. A melhor maneira de iniciar-se noestudo de sinais e vendo e ouvindo sinais, e paralelamente vendo sua composic~ao frequencial.A montagem da gura foi construda com esse m.

Nos veremos no curso varios exemplos de sinais e de como e feita sua analise. As ideiasbasicas s~ao as da Algebra Linear, mas e necessario antes buscar um espaco de representac~aoadequado e, sobretudo, uma base apropriada (no nosso curso ser a sempre formada por ex-ponenciais, mas nas aulas discutiremos as limitac~oes desse ponto de vista). Veremos que aescolha de uma boa base desempenha um papel fundamental e requer familiaridade com sinaise com as aplicac~oes desejadas. Estudaremos sinais de dois pontos de vista independentes, mascomplementares : contnuo e discreto.

Ao lado da analise de um sinal, temos o seu processamento, que e a transforma c~ao de umsinal em outro (diremos que esta transforma c~ao e feita traves de um sistema). Estudaremossistemas especiais, que chamaremos de ltros, que ser~ao as estrelas do curso.

Devido a limitac~oes de espaco, n~ao cobrimos nessas Notas a parte operacional que ser a feitacom o MATLAB. Analise e Processamento de Sinais e um assunto de razoavel complexidade.Mesmo os calculos mais simples s~ao muito trabalhosos para serem feitos a m~ao. Sem uma

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ferramenta como o MATLAB a teoria perde um pouco o sentido e, como cada um ver a por si

mesmo, a graca.Ha varias aplicac~oes de Analise e Processamento de Sinais em diversas areas, tais comoengenharia eletrica, engenharia mec^ anica, processamento de imagens, comunicac~ao, compu-tac~ao graca e outras. Discutiremos a seguir um pouco sobre as aplicac~oes em duas areas :comunicac~oes e engenharia mecanica.

A historia da comunicac~ao nasce quando o homem sente a necessidade de expressar o seupensamento a um semelhante. Isso pode ser feito de varias formas : pela palavra, pela mmica,por desenhos, etc. Porem, quando os homens est~ao distantes, a comunicac~ao torna-se difcil oumesmo impossvel. Soluc~oes tecnicas desse problema surgiram com o invento da telegraa, dacomunicac~ao via radio, da telefonia, e outros. Mais recentemente, da Internet. Para discutirmosa comunicac~ao a dist ancia de modo geral comecaremos discutindo um pouco as caractersticasbasicas de uma ligac~ao telefonica, bem conhecida nossa.

Para entendermos essa comunicac~ao discutiremos os fatores que a inuenciam: o som, avoz, o ouvido, a faixa de frequencias utilizadas, a transforma c~ao de energia acustica em energiaeletrica e vice-versa, a ligac~ao telefonica elementar, entre outros.

O som se produz por vibrac~oes mecanicas, de frequencias perceptveis pelo ouvido humano,num meio elastico.

As cordas vocais do ser humano s~ao capazes de produzir vibrac~oes sonoras dentro de umafaixa de 100 a 10000 Hz. Cada som emitido pode ser pensado como composto de vibrac~oeselementares de diversas frequencias, multiplas de uma frequencia fundamental. Para o homemessa frequencia fundamental e de 125 Hz e para a mulher e de 250 Hz.

A faixa de frequencias audveis pelo ouvido humano vai desde 16 Hz ate 20000 Hz, e o limitesuperior varia de pessoa para pessoa.Diversos estudos foram realizados para determinar qual a faixa de freq uencias mais apro-

priada para as comunicac~oes, sob o ponto de vista econ omico e de qualidade. Para fonia foramlevados em conta os fatores caractersticos da voz e do ouvido humano: inteligibilidade e en-ergia da voz. Dessa forma foi escolhida a faixa de frequencia entre 300 Hz e 3400 Hz paracomunicac~oes telefonicas. Para transmiss~ao de musica, a faixa vai de 50 a 10000 Hz.

A energia acustica produzida pela voz e transformada em energia eletrica por intermediode um microfone. Para a transformac~ao da energia eletrica em energia acustica geralmenteutilizam-se capsulas magneticas e din amicas.

A ligac~ao telefonica elementar, entre duas pessoas, digamos A e B, consiste de dois aparelhos

telefonicos interligados por um par de os em que a dist ancia entre os aparelhos e pequena.Na realidade a ligac~ao e um pouco mais complexa, pois o interlocutor A deveria ter dois

condutores ligando sua capsula transmissora com a receptora de B, e vice-versa.Porem, essa ligac~ao envolve somente a necessidade de comunicac~ao entre duas pessoas. Se

o interlocutor A deseja se comunicar com outras pessoas, o numero de condutores iria crescermuito. Como podemos perceber, a quantidade de condutores para um n umero grande deligac~oes, torna o sistema economicamente inviavel. Dessa forma, para solucionar esse problema,os interlocutores, chamados assinantes, est~ ao ligados a um centro telef onico onde e executadaa interligac~ao entre os assinantes que se desejam comunicar, opera c~ao chamada de comutac~aotelefonica.

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Agora que ja discutimos os conceitos basicos de comunicac~ao telefonica desejamos saber

como, atraves de um mesmo par de os, varias pessoas podem se comunicar. A tecnica a serdiscutida e a multiplexac~ao que pode ser tanto analogica como digital e sera melhor discutidano ultimo captulo, apos termos estudado conceitos basicos de sinais e relac~ao entre o domniodo tempo e da frequencia.

Uma outra utilizac~ao de Analise e Processamento de Sinais esta ligada a vibrac~oes mecani-cas. A analise de vibrac~oes em maquinas e caracterizada por um n umero de areas distintas deaplicac~oes. De modo geral, a analise de vibrac~oes em maquinas visa um dos seguintes objetivos: pesquisa e desenvolvimento de maquinas, controle de produc~ao e de qualidade e manutenc~aoe monitoramento das maquinas em servico.

A implementac~ao da analise de vibrac~oes em maquinas e feita atraves de instrumentos deanalises chamados de Analisadores Din amicos de sinais. As vibrac~oes mecanicas s~ao combi-nac~oes de sinais causados por uma grande variedade de fontes internas de vibra c~ao, como porexemplo, desbalanceamento do rotor de uma m aquina rotativa, ou defeito em rolamentos, entreoutros. Apos a convers~ao do movimento mec anico em sinal eletrico, atraves de um dispositivochamado de transdutor podemos estudar esse sinal, visando, por exemplo, os objetivos: re-duzir os dados de vibrac~ao a uma maneira facil de ser interpretada, prever possveis falhas nofuncionamento da maquina e vericar se ha choque entre componentes da maquina.

No segundo captulo estudaremos sinais contnuos no tempo. Trataremos da Serie e daTransformada de Fourier e mostraremos alguns exemplos. Depois discutimos sobre ltrosanalogicos e suas Func~oes Resposta em Frequencia (FRF). No terceiro captulo tratamos desinais digitais. Estudamos nesses captulo a Transformada de Fourier Discreta, a Serie Discre-

ta de Fourier e a Transformada Discreta de Fourier. Discutimos os problemas de vazamento ,Leakage, mascaramento , Aliasing , e tambem a utilizac~ao de janelas temporais. Finalmente noquarto captulo estudamos um pouco mais a multiplexa c~ao e aplicac~oes a Engenharia Mec anica.

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Captulo 2

Sinais Contnuos no tempo

2.1 Introdu c~aoDe modo geral, um sinal e uma grandeza fsica variavel no tempo, tal como tens~ao, corrente,acelerac~ao de um ponto de um corpo, press~ao num ponto do espaco, pH num ponto de umasoluc~ao, cor num pixel de uma tela de TV,... e que contem algum tipo de informa c~ao, geral-mente sobre o estado ou comportamento de um sistema fsico. Os sinais s~ao representadosmatematicamente por uma fun c~ao de uma ou mais variaveis. Trataremos apenas de func~oesde uma variavel. A variavel considerada pode ser contnua ou discreta, e chamaremos desinais contnuos no tempo quando a variavel for denida para um intervalo contnuo de tempo.

Muitas vezes e importante que analisemos o sinal, n~ao no domnio do tempo mas no domnioda frequencia. Estritamente falando, imaginamos uma fun c~ao temporal como sendo compostade varias componentes de frequencia. Consequentemente, enquanto o sinal existe sicamenteno domnio do tempo, poderemos armar que ele consiste dessas componentes no domnio dafrequencia. A analise dos sinais no domnio da frequencia sera feita por intermedio da analisede Fourier, baseada nas series e transformadas de Fourier.

Este captulo e devotado a uma revis~ao da analise de Fourier e a estudar como um sinal nodomnio do tempo pode ser representado no domnio da frequencia.

2.2 Analise de Fourier

2.2.1 Serie de FourierConsideremos f : IR ! IR uma func~ao que satisfaz as seguintes condic~oes:

(i) f e periodica de perodo T;

(ii) f e de classe C 2 por partes em ( t0; t0 + T ).

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Em todo ponto de continuidade de f , podemos escrever:

f (t) =ao2

+1

Xn =1 [an cos( 2ntT ) + bn sen ( 2ntT )] (2.1)onde

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

ao =2T Z to + T t o f (t)dt ;

an =2T Z t o + T to f (t)cos( 2ntT )dt e

bn =2T Z t o + T t o f (t)sen ( 2ntT )dt:

(2.2)

Num ponto de descontinuidade o lado esquerdo de 2.1 e substitudo por :

lim" ! o+

12

[f (t + ") + f (t ")]: (2.3)

A serie 2.1 com coecientes dados por 2.2 e chamada de serie de Fourier de f na formatrigonometrica .

As condic~oes (i) e (ii) s~ao muitas vezes chamadas condic~oes de Dirichlet e s~ao sucientes(mas n~ao necessarias) para a convergencia da serie de Fourier.Em notac~ao exponencial (ou complexa) a serie de Fourier de f pode ser escrita como

f (t) =+ 1

Xn = 1 F n e j2 nt

T (2.4)

onde

F n =1

T Z t o + T

t o

f (t)e j2 nt

T dt: (2.5)

Fazendo ! o =2T

, temos

F n =1T Z t o + T t o f (t)e jn! o t dt: (2.6)

Observamos que, conhecido f , os coecientes de 2.4 podem ser calculados e, reciprocamente,conhecidos os coecientes f F n gn 2 ZZ , f pode ser sintetizada por 2.4. Dessa forma, f e f F n gn 2 ZZfornecem a mesma informac~ao. Muda so o ponto de vista : um temporal, outro frequencial.

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Figura 2.1: Exemplo de uma func~ao periodica.

Exemplo

Consideremos a func~ao f : IR ! IR , periodica de perodo 2, dada por

f (t) = t ; 0 t < 2: (2.7)

O graco dessa func~ao e mostrado na gura 2.1.

Serie de Fourier de f na forma trigonometrica

Calculo dos coecientes

ao =2T Z

2

0 f (t)dt = Z 2

0 tdt = 2 :

an =2T Z 20 f (t)cos( 2ntT )dt = Z 20 tcos( 2ntT )dt = Z 20 tcos(nt)dt = 0 :

bn =2T Z 20 f (t)sen ( 2ntT )dt = Z 20 tsen ( 2ntT )dt = Z 20 tsen (nt)dt = 2n:

Assim,

f (t) = 1 ++ 1

Xn =1 2nsen (nt):Serie de Fourier de f na forma exponencial

Calculo dos coecientes

F n =1T Z 20 f (t)e j 2 ntT dt = 12Z 20 te jnt dt = 1n j ; n 6= 0

e

F o =1T Z 20 f (t)dt = 12Z 20 tdt = 1 :

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Assim,

F n = (1 ; n = 01n j ; n 6= 0 :Temos,

f (t) = 1 ++ 1

Xn = 1 1n je jnt ; n 6= 0 :2.2.2 O espectro complexo de Fourier

A expans~ao em serie de Fourier de uma func~ao periodica e a decomposic~ao da func~ao emtermos das suas componentes de varias frequencias. Uma func~ao periodica de perodo T temcomponentes de frequencias dadas por n , onde = 1T e n 2 ZZ . Em termos das frequenciasangulares (ou pulsac~oes), as componentes s~ao dadas por n! o onde ! o = 2T = 2 e n 2 ZZ .

Chamamos de espectro da func~ao f o conjunto de todos os coecientes de Fourier F n ; n 2ZZ : Se especicarmos f podemos encontrar seu espectro. Reciprocamente, se o espectro forconhecido podemos encontrar a func~ao f correspondente.

Portanto, podemos especicar f de duas formas: a representac~ao no domnio do tempo,onde f e expressa como func~ao do tempo e a representac~ao no domnio da frequencia, onde oespectro e especicado.

Observamos que o espectro de uma func~ao periodica n~ao e uma curva contnua, mas existeapenas para valores discretos de ! , multiplos de uma frequencia basica ! o = 2T ( ! = n! o; n 2ZZ ). Os coecientes F n s~ao complexos e, s~ao descritos por uma magnitude e uma fase.

Consideremos a func~ao dada por 2.7. Temos que

F n = (1 ; n = 01n

j ; n 6= 0 :

Assim,

j F n j= 8>>:

0 ; n = 02 ; n positivo 2

; n negativo :

Fazendo ! = n! 0 = n2T

= n, temos :

j F n j= 8>>:

0 ; ! = 02

; ! positivo 2

; ! negativo :

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Figura 2.2: Amplitude e fase dos coecientes da serie de Fourier.

Figura 2.3: Func~ao porta periodica.

Construmos os gracos de j F n j e \ F n , em termos da frequencia ! , apresentando-os nagura 2.2.

Consideremos, agora, a func~ao f : IR ! IR , periodica de perodo T , dada por :

f (t) = 1; 2 t 20; 2 < t < T 2 : (2.8)Essa func~ao e conhecida como porta (gate) periodica. Mostramos o seu graco na gura 2.3.Os coecientes F n da serie de Fourier na forma exponencial s~ao dados por:

F n =1T Z T =2 =2 f (t)e j 2 ntT dt = 1T Z =2 =2 e jn! o t dt

= T

[sen (n! o=2)

n! o=2] ; n 6= 0 ;

(2.9)

e

F o =1T Z T

2

2

f (t)dt =1T Z

2

2

dt = T

: (2.10)

Dessa forma,

F n = 8>:

T

; n = 0 T sen (n! 0=2)n! 0=2 ; n 6= 0 : (2.11)

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Figura 2.4: Representac~ao do espectro da func~ao porta periodica.

Denindo a func~ao Sa , conhecida como func~ao de amostragem, por

Sa : IR ! IR

t ! (1 ; t = 0sentt

; t 6= 0(2.12)

e fazendo ! =2T

, temos,

F n =

T S a(

n

T ): (2.13)

A frequencia fundamental e ! o =2T

. Se ! = n! o, ent~ao

F n = T

Sa (! 2

): (2.14)

Mostramos o graco de F n em termos da frequencia ! na gura 2.4.Podemos observar que a medida que T aumenta, a frequencia fundamental 2T se torna

menor e o espectro torna-se, ent~ao, mais denso. Intuitivamente, somos levados a pensar quequando T tende ao innito temos, no domnio do tempo, um unico pulso retangular de largura e no domnio da frequencia um espectro contnuo com componentes em todas as frequencias.

Isso pode ser provador rigorosamente.

2.3 Transformada de Fourier

2.3.1 Introdu c~aoQuando o sinal com o qual estamos trabalhando for n~ao-periodico ele pode ser expresso comouma soma contnua (integral) de sinais exponenciais, em contraste com sinais peri odicos, quepodem ser representados por uma soma discreta de sinais exponenciais (serie de Fourier - como ja visto). Vejamos uma motivac~ao para essa armac~ao.

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2.3.2 A transformada de Fourier

Consideremos uma func~ao f como mostra a gura 2.5 .

Figura 2.5: Graco de uma func~ao f .

Construmos uma nova func~ao, periodica, f T com perodo T, de acordo com a gura 2.6.

Figura 2.6: Construc~ao de uma func~ao periodica a partir de uma func~ao f dada.

Tornamos o perodo T grande o suciente para que n~ao haja superposic~ao entre os pulsosda forma de f . Essa nova func~ao f T e uma func~ao periodica e pode ser representada por umaserie exponencial de Fourier.

Numa topologia adequada, quando T ! 1 , f T ! f . Desse modo, a serie de Fourier querepresenta f T tambem representar a f .

A serie de Fourier de f T e dada por

f T (t) =+ 1

Xn = 1 F n e jn! o t (2.15)onde ! o =

2T e

F n =1T Z T=2 T=2 f T (t)e jn! o t dt: (2.16)

Facamos n! o = ! n . Assim, F n = F n (! n ).Consideremos TF n (! n ) = F (! n ), que e obviamente limitado (por constru c~ao). Temos,

f T (t) =1T

+ 1

Xn = 1 F (! n )e j! n t : (2.17)12


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Substituindo T =2!

o

em 2.17 temos

f T (t) =1

2

+ 1

Xn = 1 F (! n )e j! n t ! o: (2.18)Quando T ! 1 , f T ! f e obtemos :

f (t) =1

2Z + 11 F (! )e j!t d! (2.19)e

F (! ) = Z + 1

1f (t)e j!t dt: (2.20)

O espectro de f sera contnuo e representado pela func~ao F .A equac~ao 2.20 e conhecida como transformada (direta) de Fourier de f e a equac~ao 2.19

como transformada inversa de Fourier de F .Simbolicamente podemos escrever

F (! ) = F [f (t)] (2.21)

e

f (t) = F 1[F (! )]: (2.22)

Fazendo ! = 2 em 2.19 e 2.20 chegamos a uma formulac~ao simetrica, o fator 2 n~ao aparece.

f (t) = Z + 11 F( )e j 2t d (2.23)e

F( ) = Z + 11 f (t)e j 2t dt: (2.24)2.3.3 Existencia da transformada de FourierO espaco L1(R)

O espaco L1(R) e o espaco de todas as func~oes f : IR ! C tais que

Z R kf kdt < 1 : (2.25)

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O espaco L2(R)

O espaco L2(R) e o espaco de todas as func~oes f : IR ! C , tais que

Z R kf k2dt < 1 : (2.26)Teorema:

Se a func~ao f pertence ao espaco L1(R) ent~ao a transformada de f existe.

Teorema:

Se a func~ao f pertence ao espaco L2(R) ent~ao a transformada F, de f , existe e F 2 L2(R).

Exemplos

1. Consideremos a func~ao G (conhecida como func~ao porta) denida por

G (t) = 1; j t j 20; j t j> 2 : (2.27)

Figura 2.7: func~ao porta.

Calculando a transformada de Fourier dessa fun c~ao, temos :

F (! ) = Ff G (t)g =

Z =2

=2e j!t dt =

Sen( ! 2 )!

2

; ! 6= 0 : (2.28)

Para ! = 0 temos :

Ff G (t)g j! =0 = Z =2 =2 dt = :Logo,

Ff G (t)g = Sa (! 2

):

A gura 2.8 mostra a representac~ao do espectro da func~ao porta. Neste caso F e umafunc~ao real.

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16/80

Figura 2.8: Representac~ao do espectro da func~ao porta.

2. Consideremos a func~ao f : IR ! IR denida por

f (t) = ej t j:

Calculando sua transformada de Fourier, obtemos :

Ff ej t jg = Z + 11 ej t je j!t dt = 11 + ! 2 :3. Consideremos a func~ao f : IR ! IR denida por

f (t) = e t ; t > 00; t 0:A sua transformada de Fourier e dada por:

Ff f (t)g = Z + 1

0e t e j!t dt = 1

1 + j!:

4. Consideremos a func~ao G : IR ! IR denida por

G (! ) = 1; j ! j =20; j ! j> =2:Desejamos calcular sua tranformada de Fourier inversa. Assim,

F 1f G (! )g =1

2Z =2 =2 e j!t d! = 2Sen ( t 2 )t 2 ; t 6= 0 :Para t = 0 temos :

F 1f G (! )g jt=0 =1

2Z =2 =2 d! = 12:Assim,

F 1f G (! )g =

2Sa (

t2

):

Logo, a transformada de f (t) = Sa ( t 2 ) e igual a2 G (! ). Em particular,

Ff Sa (t)g = G2(! ):

15


17/80

2.3.4 Propriedades da transformada de Fourier

As propriedades da transformada de Fourier est~ ao apresentadas na seguinte tabela 2.1.

FUNC ~AO TRANSFORMADAf (t) F (w)

Simetria F (t) 2f ( w)Linearidade a1f 1(t) + f 2(t) a1F 1(w) + a2F 2(w)

Mudanca de escala f (at )1

j a jF wa f (t)e jw 0 t F (w w0)

Translac~ao em frequencia f (t) cos(w0t)12

[F (w + w0) + F (w w0)]

f (t)sen( w0t) j2[F (w + w0) F (w w0)]

Translac~ao no tempo f (t t0) e jwt 0 F (w)Dualidade F (t) f (w)Conjugac~ao f (t) F ( w)

Diferenciac~ao no tempodn f dtn

( jw)n F (w)

Integrac~ao no tempo Z t1 f ( )d 1 jw F (w)Diferenciac~ao na frequencia ( jt )n f (t)

dn f dwn

f (t) real F (w) = F ( w)f (t) real Rf F (w)g =R f F ( w)gf (t) real If F (w)g = If F ( w)g

Simetria f (t) real jF (w)j = jF ( w)jf (t) real \ F (w) = \ F ( w)

f (t) real, par em t F (w) real, par em wf (t) real, impar em t F (w) imaginaria, impar em w

Tabela 2.1: Propriedades da transformada de Fourier

2.4 Convolu c~ao

2.4.1 Introdu c~aoDadas duas func~oes f 1 e f 2 formamos a integral

f (t) = Z + 11 f 1( )f 2(t )d: (2.29)16


18/80

Essa integral dene a convoluc~ao das func~oes f 1 e f 2. Simbolicamente escrevemos

f = f 1 f 2:

Veremos que convoluc~ao esta intimamente associado a produto.

2.4.2 PropriedadesComutatividade

f 1 f 2 = f 2 f 1: (2.30)

Distributividade

f 1 [f 2 + f 3] = f 1 f 2 + f 1 f 3: (2.31)

Associatividade

f 1 [f 2 f 3] = [f 1 f 2] f 3: (2.32)

Teorema da convolu c~ao no tempo

Se f 1(t) $ F 1(! ) e f 2(t) $ F 2(! ) ent~ao

f 1 f 2 $ F 1F 2: (2.33)

Se f 1(t) $ F1( ) e f 2(t) $ F2( ) ent~ao

f 1 f 2 $ F1F2: (2.34)

Teorema da convolu c~ao na frequencia

Se f 1(t) $ F 1(! ) e f 2(t) $ F 2(! ) ent~ao

f 1f 2 $1

2[F 1 F 2]: (2.35)

Se f 1(t) $ F1( ) e f 2(t) $ F2( ) ent~ao

f 1f 2 $ F1 F2: (2.36)

Apresentamos na tabela 2.2 algumas transformadas que envolvem o impulso unit ario (Deltade Dirac) denotado por .

Mostramos, na tabela 2.3 as ordens de grandeza de alguns sinais.

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FUNC ~AO TRANSFORMADAf (t) F (w)A 2A

e j! 0 t 2 (! ! 0)cos(! 0t) [ (! ! 0) + (! + ! 0)]

f (t) = sen (! 0t) j[ (! ! 0) (! + ! 0)]

Tabela 2.2: Algumas tranformadas que envolvem o impulso unit ario.

TIPO DE SINAL BANDA EM Hzcorrente domestica 60quartzo de relogio 105

onda de radar 10 10

vibrac~ao de um atomo de Cesio 10 14

ONDAS HERTZIANAS:muito longas (telegrafo) 1 ; 5 104 a 6 104

longas (radio) 6 104 a 3 105

medias (radio) 3 105 a 3 106

curtas (radio) 3 106 a 3 107

metricas (televis~ao) 3 107 a 3 108centimetricas (radar) 3 108 a 1011

luz visvel 3; 7 1014 a 7; 5 1014

Tabela 2.3: Ordens de grandeza de sinais.

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Captulo 3

Sinais discretos no tempo

3.1 SequenciasSinais discretos no tempo s~ao representados matematicamente como sequencias de numeros, x,cujo n-esimo numero e x[n], e notamos por x = f x[n]g ; n 2 ZZ . Pode ser que uma sequenciadeste tipo originou-se da amostragem de um sinal contnuo. Se o sinal contnuo for xa (t)podemos dizer que x[n] = xa (nT ) ; n 2 ZZ . T e chamado de perodo de amostragem e 1T e afrequencia de amostragem. Usaremos, as vezes, a nota c~ao x[n] para nos referir a sequencia.

3.2 Opera c~oes com sequencias e sequencias b asicas

3.2.1 Opera c~oes com sequenciasO produto e a soma de duas sequencias x[n] e y[n] s~ao denidos como o produto e a soma decada elemento de x[n] por cada elemento de y[n]. A multiplicac~ao de uma sequencia x[n] porum numero e denida como a multiplicac~ao de cada elemento de x[n] por .

3.2.2 Sequencias b asicasImpulso unit ario

A sequencia impulso unitario e denida por

[n] = 0 ; n 6= 01 ; n = 0 : (3.1)Qualquer sequencia pode ser expressa por

x[n] =+ 1

Xk= 1 x[k] [n k]: (3.2)

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Degrau Unit ario

A sequencia degrau unitario e denida por

u[n] = 1; n 00; n < 0: (3.3)Podemos escrever

u[n] =n

Xk= 1 [k] (3.4)ou

u[n] =1

Xk=0 [n k]: (3.5)Sequencia Exponencial

Denimos a sequencia exponencial por

x[n] = An : (3.6)

onde A e s~ao constantes.

Sequencia SenoidalUma sequencia senoidal tem a forma

x[n] = Acos(! on + ) ; (3.7)

onde A, ! o e s~ao constantes.

Sequencia Peri odica

Uma sequencia periodica e aquela na qual

x[n] = x[n + N ] ; para t odo n e N 2 ZZ : (3.8)

Devemos observar que sequencias senoidais e exponenciais n~ao s~ao necessariamente perio-dicas.

Observamos, por exemplo, que a condic~ao de periodicidade para um sinal senoidal e obtidada seguinte forma :

Acos(! on + ) = Acos(! on + ! oN + ): (3.9)

Requerendo que,

! oN = 2k ; k2 ZZ : (3.10)

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22/80

Analogamente, as sequencias exponenciais complexas da forma Ce j! o n ser~ao periodicas se

e j! o (n + N )

= e j! o n

. Isto so e verdade se ! oN = 2k. Consequentemente, exponenciais com-plexas e sequencias senoidais n~ao s~ao necessariamente periodicas, dependendo do valor de ! o .Por exemplo, para ! o = 34 , o menor valor de N que satisfaz 3.10, com k inteiro, e N = 8 ( corres-pondendo a k = 3) . Para ! o = 1, n~ao existem valores inteiros de N ou k que satisfacam 3.10.Do que foi visto, para sinais discretos, a interpreta c~ao do que sejam altas e baixas frequenciase distinta do que foi visto quando tratamos de sinais senoidais e exponenciais complexas parasinais contnuos. Para um sinal senoidal contnuo x(t) = Acos( ot + ), a medida que ocresce, x(t) oscila mais rapidamente. Para um sinal senoidal discreto x[n] = Acos(! on + ),a medida que ! o varia de ! o = 0 ate ! o = , x[n] oscila mais rapido. Mas, a medida que ! ovaria de ! o = ate ! o = 2 as oscilac~oes tornam-se mais lentas. Dessa forma, valores de ! o navizinhanca de ! o = 2 k, para k 2 ZZ , s~ao ditas baixas frequencias e valores de ! o na vizinhancade ! o = (2 k + 1) para k 2 ZZ s~ao ditas altas frequencias.

3.3 Sistemas discretos no tempo

3.3.1 Introdu c~aoUm sistema discreto no tempo e denido matematicamente por um operador que transformauma sequencia de entrada numa sequencia de sada.

Se x e a sequencia de entrada e y a de sada e T o operador que representa o sistema, temos

y = T f xg: (3.11)Como exemplo consideremos o conhecido sistema ideal de atraso denido pela equa c~ao

y[n] = x[n nd] ; n 2 ZZ (3.12)

onde nd e um inteiro xo chamado de atraso do sistema.

3.3.2 Alguns tipos de sistemasSistemas sem mem oria

Um sistema e dito sem memoria se a sada y[n] depende somente da entrada x[n] para o mesmovalor de n.

Sistemas Lineares

Se y1 e y2 s~ao as respostas de um sistema quando x1 e x2 s~ao as respectivas entradas ent~ao osistema e dito linear se e so se

T f a1x1 + a2x2g = a1T f x1g + a2T f x2g: (3.13)

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Sistemas invariantes no tempo

Um sistema e dito invariante no tempo se um deslocamento no tempo na seq uencia de entradacausa um igual deslocamento no tempo na sequencia de sada ; isto e, se para todo no a sequenciade entrada x1[n] = x[n no] produz uma sequencia de sada y1[n] = y[n no].

Estabilidade

Um sistema e dito estavel se e somente se toda sequencia de entrada limitada produz umasequencia de sada tambem limitada.

A entrada x e limitada se existir um valor positivo nito M tal que

j x[n] j M para todo n: (3.14)

Estabilidade requer que para toda entrada limitada exista um valor positivo nito N xotal que

j y[n] j N paratodo n: (3.15)

3.3.3 Sistemas Lineares Invariantes no TempoUma classe importante de sistemas consiste daqueles que s~ao lineares e invariantes no tempo.

Considere que hk[n] e a resposta do sistema cuja entrada e [n k].Consideremos , agora, a entrada x. Assim, a sada y sera dada por

y[n] = T f+ 1

Xk= 1 x[k] [n k]g: (3.16)Da condic~ao de linearidade, temos

y[n] =+ 1

Xk= 1 x[k]T f [n k]g =+ 1

Xk= 1 x[k]hk [n]: (3.17)A propriedade de invari ancia no tempo implica que se h[n](resposta ao impulso) e a resposta

para [n] ent~ao a resposta para [n k] e h[n k]. Assim,

y[n] =+ 1

Xk= 1 x[k]h[n k] =+ 1

Xk= 1 x[n k]h[n]: (3.18)Portanto, um sistema linear invariante no tempo (abreviado como LIT) e completamente

caracterizado por sua resposta ao impulso.A equac~ao 3.18 e chamada de convoluc~ao entre x e h e representamos na forma

y = x h: (3.19)

22


24/80

3.3.4 Propriedades de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Como todos os sistemas lineares invariantes no tempo s~ao descritos pela operac~ao de convoluc~ao,as propriedades dessa classe de sistemas s~ao denidas pelas propriedades da convoluc~ao discretano tempo.

Comutatividade

x h = h x: (3.20)

Distributividade

x (h1 + h2) = x h1 + x h2: (3.21)

3.3.5 Equa c~oes lineares de diferen ca de coecientes constantesUma subclasse de sistemas lineares invariantes no tempo consiste de sistemas nos quais aentrada e a sada satisfazem uma equa c~ao de diferenca linear de n-esima ordem de coecientesconstantes da forma

N

Xk=0

aky[n k] =M

Xl=0

blx[n l]: (3.22)

Como exemplo consideremos o sistema conhecido como acumulador, no qual a sada no instanten e igual a soma da entrada no instante n e do valor da sada no instante anterior n 1.

Figura 3.1: Diagrama de bloco de uma equac~ao de diferenca recursiva representando um acu-mulador.

A equac~ao de diferenca que representa esse sistema e dada por

y[n] = y[n 1] + x[n]: (3.23)

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3.3.6 Representa c~ao no domnio da freq uencia de sinais discretos no

tempoSequencias exponenciais complexas tem um lugar de destaque na representa c~ao de sinais discre-tos no tempo. Isto deve-se ao fato de que exponenciais complexas s~ao autofunc~oes de sistemaslineares invariantes no tempo. Esta propriedade permite que sinais discretos possam ser repre-sentados em termos de exponenciais complexas.

Para demonstrar a propriedade de autofun c~ao de exponenciais complexas para sistemasdiscretos considere uma entrada x[n] = e j!n ; n 2 ZZ . A sada correspondente de um sistemalinear invariante no tempo com resposta ao impulso h[n] e

y[n] =+ 1

Xk= 1h[k]e j! (n k) = e j!n (

+ 1

Xk= 1h[k]e j!k ): (3.24)

Denindo

H (e j! ) =+ 1

Xk= 1 h[k]e j!k ; (3.25)podemos escrever

y[n] = H (e j! )e j!n : (3.26)

Consequentemente, e j!n e uma autofunc~ao do sistema e o autovalor associado e H (e j! ).A func~ao w 7! H (e j! ) e chamada de func~ao resposta em frequencia (FRF) do sistema linearinvariante no tempo. O conceito de func~ao de resposta em frequencia e praticamente o mesmoseja o sistemas contnuo ou discreto no tempo. Porem, para sistemas discretos lineares invari-antes no tempo, a func~ao resposta em frequencia e sempre uma func~ao periodica da frequenciacom perodo 2. Com efeito,

H (e j (! +2 )) =1

Xn = 1 h[n]e j (! +2 )n :Mas,

e j 2n = 1 para n 2 ZZ :

Assim,

e j (! +2 )n = e j!n e j 2n = e j!n :

Logo,

H (e j (! +2 ) ) = H (e j! ):

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Figura 3.2: Resposta em frequencia do ltro ideal passa-baixa.

De modo geral,

H (e j (! +2 r)) = H (e j! ) ; r 2 ZZ ;

isto e, H (e j! ) e periodica com perodo 2.Como H (e j! ) e periodica com perodo 2, so precisamos especicar H (e j! ) num intervalo de

comprimento 2 . Normalmente especicamos H (e j! ) no intervalo < ! . Com relac~ao aesse intervalo, as baixas frequencias s~ao as frequencias proximas de zero e as altas frequenciass~ao as frequencias proximas de ou .

Chamaremos os sistemas lineares invariantes no tempo de ltros .Uma classe importante de sistemas lineares invariantes no tempo s~ ao aqueles cuja resposta

em frequencia vale 1 numa determinada faixa de frequencias e zero fora dessa faixa. Esses s~aoos chamados ltros seletivos ideais .

Consideremos, como exemplo, a resposta em frequencia de um ltro ideal passa-baixa.Devido a periodicidade da resposta em frequencia parece que o ltro funciona como um

ltro multifaixa. Porem, o ltro rejeita altas freq uencias e so permite a passagem de baixasfrequencias. Como a resposta em frequencia e completamente especicada no intervalo

As amplitudes das respostas em frequencia para ltros ideais passa-alta e passa-faixa s~ aomostrados na gura 3.3. Mostramos somente um perodo da resposta em freq uencia.

3.3.7 Representa c~ao de sequencias pela transformada de FourierDiscreta(TFD)

Denimos a transformada de Fourier discreta de uma seq uencia x por

X (e j! ) =+ 1

Xn = 1 x[n]e j!n (3.27)e a transformada inversa de X (e j! ) por

x[n] =1

2Z X (e j! )e j!n d!: (3.28)25


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Figura 3.3: Respostas em frequencia para ltros ideais. (a)Filtro ideal passa-alta (b)Filtro ideal

passa-faixa.

Poderamos ter escolhido qualquer intervalo de comprimento 2 .De modo geral X (e j! ) e complexo e podemos escreve-lo na forma

X (e j! ) = j X (e j! ) j e j \ X (ej! ) (3.29)

onde j X (e j! ) j e \ X (e j! ) s~ao , respectivamente, a magnitude e a fase de X (e j! ).Observando as equac~oes 3.25, 3.27 e 3.28 podemos ver que a resposta em frequencia de um

sistema linear invariante no tempo e a transformada de Fourier discreta da resposta ao impulsoe a resposta ao impulso pode ser obtida calculando a transformada inversa de Fourier da fun c~aoresposta em frequencia; isto e,

h[n] =1

2Z

H (e j! )e j!n d!: (3.30)

Podemos observar que a equac~ao 3.27 e uma serie de Fourier complexa para uma func~aoperiodica de variavel contnua e que 3.28 fornece os coecientes na serie de Fourier.

Desejamos, agora, estudar a convergencia da serie1

X1 x[n]e j!nisto e, desejamos encontrar as condic~oes tais que

j X (e j! ) j< 1 para todo !:Uma condic~ao suciente para a convergencia e encontrada da seguinte forma :

j X (e j! ) j = j+ 1

Xn = 1 x[n]e j!n j

+ 1

Xn = 1 j x[n] jj e j!n j

+ 1

Xn = 1 j x[n] j< 1 :26


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Assim, se x[n] for absolutamente somavel, ent~ao X (e j! ) existe. Neste caso podemos mostrar

que a serie converge para uma func~ao contnua de ! .Como uma sequencia estavel e, por denic~ao, absolutamente somavel, todas as sequenciasestaveis possuem transformada de Fourier. E, tambem, qualquer sistema est avel tera respostaem frequencia nita e contnua.

A somabilidade absoluta e uma condic~ao suciente para a existencia da transformada deFourier e tambem garante a convergencia uniforme; isto e,se

X (e j! ) =+ 1

X1 x[n]e j!ne

X M (e j! ) =M

Xn = M x[n]e j!nent~ao

limM ! + 1 Z + j X (e j! ) X M (e j! ) j d! = 0 :

Algumas sequencias, porem, n~ao s~ao absolutamente somaveis, mas s~ao quadrado somaveis,

isto e,+ 1

Xn = 1 j x[n]2 j< 1 :Tais sequencias podem ser representadas por uma transformada de Fourier discreta se n os

`relaxamos' a condic~ao de convergencia uniforme. Temos, assim, o caso de convergencia media-quadratica; isto e, se

X (e j! ) =+ 1

Xn = 1

x[n]e j!n

e

X M (e j! ) =M

Xn = M x[n]e j!nent~ao

limM ! + 1 Z + j X (e j! ) X M (e j! ) j2 d! = 0 :

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Como exemplo calculemos a resposta ao impulso do ltro ideal passa-baixa cuja resposta

em frequencia e

H (e j! ) = 1; j ! j ! c0; ! c < j ! j (3.31)com periodicidade 2 .

Assim,

h[n] =1

2Z ! c ! c e j!n d! = sen (! cn)n ; n 6= 0 :Para n = 0 temos

h[0] = 12Z

! c

! cd! = ! c

:

Denindo, Sa [n] =sen (n)

n, temos

h[n] =! c

Sa (! cn):

Observamos que como h[n] e n~ao nula para n < 0. Observamos tambem que h[n] n~ao eabsolutamente somavel. Isto ocorre pois H (e j! ) e descontnua em ! = ! c. Como h[n] n~ao eabsolutamente somavel,

+ 1

Xn = 1 ! cSa (! cn)e j!nn~ao converge uniformemente para todos os valores de ! .

Podemos dar uma noc~ao intuitiva para este fato considerando

H M (e j! ) =M

Xn = M ! c Sa (! cn)e j!n :A func~ao H M (e

j!

) e mostrada na gura 3.4 para varios valores de M e wc = =2. Note quea medida que M aumenta, o comportamento oscilat orio em ! = ! c (chamado de fen omeno deGibbs) e mais acentuado. Podemos mostrar que quando M ! 1 a amplitude maxima dasoscilac~oes n~ao vai a zero. A soma innita n~ao converge uniformemente para H (e j! ), porem h[n]e quadrado somavel e H M (e j! ) converge no sentido medio-quadratico para H (e j! ); isto e,

limM ! + 1 Z + 11 j H (e j! ) H M (e j! ) j2 d! = 0 :

Embora a diferenca entre limM !1

H M (e j! ) e H (e j! ) n~ao pareca importante, ela deve ser con-siderado na construc~ao de ltros.

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Figura 3.4: Gracos de H M (e j! ).

3.3.8 Propriedades da transformada de Fourier discretaTeorema de Parseval

E =+ 1

Xn = 1 j x[n] j2 = 12Z + 1

1j X (e j! ) j2d!: (3.32)

A func~ao j X (e j! ) j2 e chamada de espectro de densidade de energia e so e denida para sinaisde energia nita.

PROPRIEDADE DOM INIO DO TEMPO DOM INIO DA FREQ UENCIALinearidade a1x1[n] + a2x2[n] a1X 1(e j! ) + a2X 2(e j! )Deslocamento no tempo x[n nd] $ e j!n X (e j! ) e j! d n x[n] $ X (e j (! ! d ))e na frequencia

Diferenciac~ao na frequencia nx [n] jdX d!

(e j! )

Tabela 3.1: Propriedades da transformada de Fourier Discreta.

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Teorema da Convolu c~ao

Se

x[n] $ X (e j! ) ; h[n] $ H (e j! ) ;

y[n] =+ 1

Xk= 1 x[k]h[n k] = x[n] h[n] $ Y (e j! )ent~ao

Y (e j! ) = X (e j! )H (e j! ): (3.33)

Periodicidade

A transformada de Fourier X (e j! ) e periodica em ! , com perodo 2. Pois,

X (e j (! +2 )) =+ 1

Xn = 1 x[n]e j (! +2 )n=

+ 1

Xn = 1 x[n]e j!n e j 2n=

+ 1

Xn = 1

x[n]e j!n

= X (e j! ):

Dessa forma so precisamos especicar os valores de X (e j! ) em um periodo.

Simetria

Para x[n] real,

X (e j! ) = X (e j! )

onde * signica conjugado complexo.Assim, para tracarmos os gracos representativos de X (e j! ) so precisamos considerar metade

de seu perodo. Geralmente, escolhemos ! 2 [0; ].Se x[n] for de durac~ao nita, ent~ao podemos fazer um programa para calcular X (e j! )

numericamente para qualquer frequencia ! . Vamos supor que x[n] tenha N amostras entren1 n nN .

Desejamos calcular X (e j! ) para ! k = M k ; k = 0 ; 1; : : : ; M que s~ao (M+1) frequenciasigualmente espacadas entre [0 ; ]. Dessa forma, podemos escrever

X (e j! k ) =N

Xl=1 e j (=M )kn l x(n l) ; k = 0 ; 1; : : : ; M:30


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Quando x[n l] e X (e j! k ) s~ao colocadas como vetores coluna x e X , respectivamente. Temos,

X = Wx

onde W e uma matriz ( M + 1) N dada por

W = f e j (=M )kn l ; n1 n nN ; k = 0 ; 1; : : : ; M g:

Se escrevemos f kg e f n lg como vetores linha k e n , temos

W = [exp( jM

kT n)]:

Dessa forma, temos

X T = xT [exp( jM

n T k)]: (3.34)

A formula 3.34 pode ser implementada no MATLAB.Como exemplo, consideremos a sequencia x[n] = (0:9)exp( j=3))n , 0 n 10. Vamos

calcular X (e j! ) e investigar sua periodicidade. Para investigarmos a periodicidade, vamos cal-cular e mostrar os gracos representativos de X (e j! ) em 401 frequencias no intervalo [ 3;3].Os gracos de magnitude , fase, parte real e parte imagin aria de X (e j! ) est~ao mostrados nagura 3.5.

3.4 Amostragem de sinais contnuos

3.4.1 Introdu c~aoNormalmente o processamento de sinais contnuos e implementado atraves de um processo deamostragem do sinal, seguido do processamento do sinal discreto obtido; isto e, sua transfor-mac~ao em um outro sinal discreto que depois e transformado por sua vez num sinal contnuo.

3.4.2 Amostragem peri odica

O metodo usual de obtermos um sinal discreto a partir de um sinal contnuo e atraves daamostragem periodica ( digamos de perodo T ) do sinal contnuo obtendo, assim, uma sequenciade amostras x[n] a partir do sinal contnuo xc(t) atraves da relac~ao

x[n] = xc[nT ] ; n 2 ZZ : (3.35)

T e o perodo de amostragem e f s = 1T e a frequencia de amostragem.Nos referimos ao sistema que implementa a operac~ao dada pela equac~ao 3.35 como um

conversor ideal contnuo-discreto(C/D) e a representa c~ao em diagrama de blocos e dada nagura 3.6. Na pratica, a operac~ao de amostragem e implementada por um conversor anal ogico-digital (A/D) que sera estudado mais tarde.

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Figura 3.5: (a)Magnitude;(b)Fase;(c)Parte real;(d)Parte Imagin aria.

A operac~ao de amostragem, geralmente, n~ao e inversvel; isto e, dada a sada x[n] n~ao epossvel, de modo geral, reconstruir xc(t).

O diagrama de blocos da operac~ao que representa a obtenc~ao de x[n] a partir de xc(t) edada na gura 3.7

O processo de amostragem e feito em dois estagios. No primeiro estagio o sinal xc(t) emultiplicado por um trem de impulsos s(t) e no segundo estagio o trem de impulsos obtido,xs (t), e convertido para uma sequencia x[n].

Esquematicamente temos a representa c~ao na gura 3.8.

3.4.3 Representa c~ao das amostras no domnio da freq uenciaPara obtermos a relac~ao no domnio da frequencia entre a entrada e a sada de um conversorC/D, vamos considerar a convers~ao de xc(t) para xs (t).

Seja s(t) um trem de impulsos periodicos. Assim,

s(t) =+ 1

Xn = 1 (t nT ) (3.36)32


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Figura 3.6: Diagrama de bloco de representac~ao de um conversor ideal contnuo-discreto (C/D)

Figura 3.7: Diagrama de blocos representando a opera c~ao de amostragem.

onde e o impulso unitario.Da,

xs (t) = xc(t)s(t) = xc(t)+ 1

Xn = 1 (t nT ) (3.37)ouxs (t) =

+ 1

Xn = 1 xc(nT ) (t nT ): (3.38)Desejamos obter a transformada de Fourier de xs (t). Podemos mostrar que

s(t) $ S ( j ) =2T

+ 1

Xk= 1

( k s ); (3.39)

onde s =2T

e a frequencia de amostragem em rad/s.Mas

X s ( j ) =1

2X c( j ) S ( j ): (3.40)

Logo

X s ( j ) =1T

+ 1

Xk= 1 X c( j kj s ): (3.41)33


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Figura 3.8: Representac~ao esquematica da amostragem.

Observamos que X s ( j ) consiste de copias repetidas da transformada de Fourier de xc(t).A gura 3.9 mostra o processo de amostragem no domnio da frequencia.Observamos que quando

S N N ou S 2 N (3.42)

as replicas de X c( j! ) n~ao se sobrep~oem. Assim, xc(t) pode ser recuperado, a partir de xs (t),usando um ltro ideal passa-baixa conveniente,com frequencia de corte c, N < c < s N :

A gura 3.10 mostra o esquema de recuperac~ao de xc(t).Porem, se

S < 2 N (3.43)

ent~ao as copias de X c( j ) se sobrep~oem (observado na gura 3.9) e X c( j ) n~ao e recuperavelpor um ltro passa-baixa. A distorc~ao ocorrida no sinal de sada, neste caso, denomina-semascaramento (ou aliasing ) pois um sinal e substitudo por outro. A discuss~ao acima e a basepara um teorema conhecido como Teorema da Amostragem .

3.4.4 Teorema da amostragemTeorema :

Um sinal limitado em faixa, i.e., que n~ao tem nenhuma componente espectral acima da frequencia N rad=s , e determinado univocamente por suas amostras , x[n] = xcf nT g ; n = 0 ; 1; : : :tomadas a intervalos uniformes menores do que N segundos . Isto e, o perodo de amostragemdeve satisfazer T < N . A frequencia de amostragem =

2T deve, ent~ao, satisfazer > 2 N .

Chamamos o numero 2 N de frequencia de Nyquist.Esse teorema e conhecido como Teorema da Amostragem Uniforme.Discutiremos um pouco mais sobre o Teorema da Amostragem e o problema de mascaramento .

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Figura 3.9: (a) Transformada de Fourier limitada com freq. m ax. N (b) Trem de impulsosperiodicos S ( j! ) (c) Graco de X S ( j! ) com s > 2 N (d) Graco de X S ( j ) com s < 2 N

Consideremos um sinal dado por

xc(t) = cos( ot):

A transformada de Fourier desse sinal e mostrada na gura 3.11.Fazemos a amostragem do sinal, obtendo :

xs (t) =

+ 1

Xn = 1 xc(nT ) (t nT ):

Primeiro, usamos uma frequencia de amostragem s > 2 o; isto e, usamos T < o . Atransformada de Fourier de xs (t) para esse caso e mostrada na gura 3.12.

Agora, usamos uma frequencia de amostragem s < 2 o; isto e, usamos T > o . Atransformada de Fourier de xs (t) para esse caso e mostrada na gura 3.13.

A gura 3.14 (a) mostra a transformada de Fourier ap os a passagem pelo ltro passa-baixa,para o caso em que o < s=2; isto e, sem ocorrencia de mascaramento . A frequencia de cortedo ltro e c = s=2.

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Figura 3.10: (a) Diagrama de blocos da recupera c~ao do sinal; (b),(c),(d) e (e) reconstruc~ao dexc(t).

A gura 3.14 (b) mostra a transformada de Fourier ap os a passagem pelo ltro passa-baixa,para o caso em que o > s=2; isto e, com ocorrencia de mascaramento . A frequencia de cortedo ltro e a mesma do caso anterior.

Sem a presenca de mascaramento , a sada recontruda xr (t) e

xr (t) = cos( ot)

e com a presenca de mascaramento , a sada recontruda sera

xr (t) = cos( s o)t:

Observamos que o sinal cos( ot) trocou de identidade ( alias ) e foi mascarado pelo sinal defrequencia mais baixa cos( s o)t.

Desejamos, agora, encontrar uma rela c~ao entre X (e j! ), a transformada de Fourier discretade x[n] e as transformadas de Fourier X s ( j ) e X c( j ) de xs (t) e xc(t), respectivamente.

Sabemos que

xs (t) =+ 1

Xn = 1 xc(nT ) (t nT ):36


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Figura 3.11: Transformada de Fourier de xc(t).

Figura 3.12: Transformada de Fourier de xs (t), com T < o .

Aplicando a transformada de Fourier a essa equa c~ao, temos

X s ( j ) =

1

Xn = 1 xc(nT )e

j Tn

:

Como x[n] = xc(nT ) e

X (e j! ) =+ 1

Xn = 1 x[n]e j!ntemos,

X s ( j ) = X (e j! ) j! = T = X (e j T ):

Por outro lado, sabemos que

X s ( j ) =1T

+ 1

Xk= 1 X c( j kj s ):Assim,

X (e j T ) = X (e j! ) =1T

+ 1

Xk= 1 X c( j !T j 2kT ): (3.44)37


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Figura 3.13: Transformada de Fourier de xs (t), com T > o .

Figura 3.14: (a) Sem ocorrencia de mascaramento .(b) Com ocorrencia de mascaramento .

Observamos que X (e j! ) e uma vers~ao de X c( j! ), transladada e com uma mudan ca de escalatanto em amplitude como em frequencia.

Para entendermos o que foi dito ate aqui, consideremos o sinal

xc(t) = e 1000 jtj:

Usando a aproximac~ao e 5 ' 0, notamos que xc(t) pode ser aproximado por um sinal dedurac~ao nita no intervalo 0:005 t 0:005. Mostramos esse sinal na gura 3.15 (a).

Desejamos analisar esse sinal no domnio da frequencia.Sua transformada de Fourier pode ser calculada da seguinte forma :

X c( j ) = Z + 11 xc(t)e j t dt=

Z 0

1e1000 t e j t dt +

Z + 1

0e 1000 t e j t dt

=0:002

1 + (

1000)2

:

Usando tambem a aproximac~ao e 5 ' 0,temos que X c( j ) ' 0 para 2(2000). Ograco de X c( j ) (nesse caso sera real), e mostrado na gura 3.15 (b).

Amostremos, ent~ao, xc(t) com frequencia de amostragem de s = 5000Hz , obtendo asequencia x1[n]. O graco de x1[n] assim como o graco de sua transformada de Fourierdiscreta X 1(e j! ) s~ao mostrados na gura 3.16. Mostramos mais de um perodo de X 1(e j! ).Com essa frequencia de amostragem n~ao observamos a presenca de mascaramento .

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Figura 3.15: (a)Graco de xc(t).(b)Graco de X c( j ).

Amostramos, agora, xc(t) com frequencia de amostragem s = 1000Hz e obtemos x2[n].Mostramos o graco de x2[n] assim como de sua transformada X 2(e j! ) na gura 3.17.

Observamos, assim, a presenca de mascaramento . Como era de se esperar pois a frequenciade 1000 Hz e menor que a frequencia de Nyquist ( no nosso caso 4000 Hz).

3.4.5 Reconstru c~ao de um sinal limitado em faixa a partir de suasamostras

Vimos que se as condic~oes do teorema da amostragem s~ao satisfeitas e se o trem de impulsos

(xs (t)) e ltrado por um ltro passa-baixa apropriado ent~ ao a transformada de Fourier da sadado ltro sera identica a transformada de Fourier do sinal original xc(t). Se uma sequencia deamostras x[n] for conhecida, podemos formar um trem de impulsos xs (t) descrito matematica-mente por

xs (t) =+ 1

Xn = 1 x[n] (t nT ) (3.45)onde T e o perodo de amostragem associado a x[n].A representac~ao do processo de reconstruc~ao e mostrada na gura 3.18.

3.4.6 Processamento discreto de sinal contnuoUma das aplicac~oes de sistemas discretos e no processamento de sinais contnuos. Este pro-cessamento e realizado por um sistema cuja forma geral e dado na gura 3.19. Nesse esquemaconsideramos o mesmo perodo de amostragem para os conversores C/D e D/C, mas isso n~ aoe essencial.

Um sinal contnuo xc(t) entra no conversor C/D gerando uma sequencia x[n]. Essa sequenciae a entrada para um sistema discreto cuja sada, ap os a transformac~ao imposta pelo sistemadiscreto e y[n]. A sequencia y[n] e ent~ao convertida em um sinal analogico yr (t).

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Figura 3.16: Gracos de x1[n] e de X 1(e j! ).

Se o sistema discreto for linear e invariante no tempo,ent~ ao

Y (e j! ) = H (e j! )X (e j! ) (3.46)

sendo H (e j! ) a resposta em frequencia do sistema, X (e j! ) e Y (e j! ) s~ao as transformadas deFourier de x[n] e y[n].

Apos certos calculos podemos obter

Y r ( j ) = H ef f ( j! )X c( j ) onde =!T

(3.47)

e

H eff ( j ) = H (e j T ); j j< =T 0; j j =T (3.48)e a chamada resposta em frequencia efetiva; isto e, o sistema total e equivalente a um sistema

linear invariante no tempo com resposta em frequencia H ef f ( j ).

3.5 Considera c~oes praticas

3.5.1 Introdu c~aoNa pratica sinais contnuos n~ao s~ao limitados em faixa, ltros ideais n~ao s~ao realizaveis econversores ideais C/D e D/C n~ao existem. O diagrama de blocos da gura 3.20 mostra ummodelo mais realista para processamento digital de sinais contnuos (anal ogicos).

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Figura 3.17: Gracos de x2[n] e de X 2(e j! ).

3.5.2 Pre-ltragem para evitar mascaramentoSe a entrada n~ao for limitada em faixa ou se a frequencia de Nyquist da entrada for muitoalta, a pre-ltragem e frequentemente usada. Isso pode ser obtido pela ltragem, atraves deum ltro passa-baixa, do sinal contnuo antes de entrar no conversor C/D. O ltro passa-baixaque precede o conversor C/D e chamado de ltro anti-mascaramento . Idealmente, a respostaem frequencia do ltro anti-mascaramento deve ser

H aa ( j ) = 1; j j c < =T 0; j j> c: (3.49)Na pratica H aa ( j ) deve ser pequeno para j j> T .

3.5.3 Convers~ao anal ogica-digitalUm conversor ideal C/D converte um sinal contnuo num sinal discreto em matem atica real;isto e, cada amostra e conhecida com precis~ao innita. Na pratica isto n~ao e possvel e assimo sistema da gura 3.21 converte um sinal anal ogico xa (t) num sinal digital xB [n] ; isto e,uma sequencia de precis~ao nita de amostras quantizadas. Quantiza c~ao aparece sempre que setrabalha com matematica nita.

O conversor A/D e um dispositivo que converte amplitude de tens~ ao ou corrente da suaentrada num codigo binario representativo do valor de amplitude quantizada mais pr oximada amplitude de entrada. Sob o controle de um rel ogio externo, o conversor A/D comeca ecompleta uma convers~ao A/D a cada T segundos. Porem, a convers~ ao n~ao e instant anea e poressa raz~ao inclui-se o bloco com o ttulo `Amostra e Segura '.

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Figura 3.18: Diagrama de blocos representativo da reconstru c~ao.

Figura 3.19: Processamento discreto de sinal contnuo.

O sistema ideal `Amostra e Segura ' e o sistema cuja sada e

xo(t) =+ 1

Xn = 1 x[n]ho(t nT ) (3.50)onde x[n] = xa (nT ) s~ao as amostras de xa (t) e ho(t) e a resposta ao impulso do sistema; isto e,

ho(t) = 1; 0 < t < T 0; caso contrario : (3.51)Especicamente a sada desse sistema e uma onda com a forma de escada onde os valores

de amostragem s~ao mantidos constantes durante o perodo de amostragem de T segundos,conforme mostra a gura 3.23.

A representac~ao por diagrama de blocos, do conversor A/D, numa forma mais completa edada na gura 3.24

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Figura 3.20: Modelo mais realista de processamento digital de sinal anal ogico

Figura 3.21: Congurac~ao do conversor analogico-digital

O quantizador e um sistema n~ao-linear cujo objetivo e transformar a sequencia de entradax[n] num conjunto nito de valores prescritos. Representamos esta opera c~ao como

x[n] = Q(x[n]) (3.52)

e chamamos x[n] de amostra quantizada. Apos a quantizac~ao, os nveis ser~ao rotulados porum codigo que de modo geral e um codigo binario ( 2B +1 nveis podem ser codicados com umcodigo binario de (B+1) bits ).

As amostras quantizadas ^x[n] s~ao, em geral, diferentes das verdadeiras x[n]. A diferencaentre elas e chamada de erro de quantizac~ao, denida por

e[n] = x[n] x[n]: (3.53)

Geralmente e[n] n~ao e conhecido e um modelo estatstico deve ser usado.A representac~ao estatstica de erros de quantiza c~ao e baseada nas seguintes considerac~oes :

(i) A sequencia e[n] e uma sequencia de amostras de um processo aleatorio estacionario.(ii ) A sequencia de erro e[n] n~ao e correlata com a sequencia x[n] .(iii ) As variaveis aleatorias do processo de erro n~ao s~ao correlatas; isto e, o erro e um processode rudo branco.(iv) A distribuic~ao de probabilidade do processo de erro e uniforme.

3.5.4 Convers~ao digital-anal ogicaO sistema que toma a sequencia y[n] como entrada e produz yr (t) como sada e chamadoconversor ideal D/C. Um dispositivo sicamente realiz avel proximo do conversor ideal D/C eum conversor digital-analogico (D/A) acompanhado por um ltro passa-baixa.

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Figura 3.22: Representac~ao de uma sistema 'Amostra e Segura' ideal.

Figura 3.23: Sinais tpicos de entrada e sada para o sistema 'Amostra e Segura'.

Um conversor D/A toma uma sequencia de palavras codigo binarias yB [n] como entrada eproduz uma sada contnua da forma

yDA (t) =+ 1

Xn = 1 Y m yB [n]ho(t nT ) =+ 1

Xn = 1 y[n]ho(t nT ) (3.54)onde Y m e um par ametro relacionado com o quantizador, ^ yB [n] e a sequencia de palavras codigo,y[n] e a sequencia quantizada representativa do sinal digital e ho(t) e a resposta ao impulso deum sistema `Amostra e Segura '. O diagrama de blocos de um conversor D/A e mostrado nagura 3.25.

Se usarmos o modelo de rudo aditivo para representar os efeitos de quantiza c~ao podemos

escrever

yDA (t) =+ 1

Xn = 1 y[n]ho(t nT ) ++ 1

Xn = 1 e[n]ho(t nT ): (3.55)Denindo

yo(t) =+ 1

Xn = 1 y[n]ho(t nT ) (3.56)

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Figura 3.24: Representac~ao matematica do conversor A/D.

Figura 3.25: Diagrama de blocos de um conversor D/A

e

eo(t) =+ 1

Xn = 1 e[n]ho(t nT ) ; (3.57)temos,

yDA (t) = yo(t) + eo(t): (3.58)

A componente yo(t) esta relacionada com o sinal desejado ya (t) e o rudo eo(t) depende daquantizac~ao.

Podemos mostrar, apos alguns calculos, que denindo um ltro com resposta em frequencia

~Hr ( j ) = ( T=2sen ( T=2) e j T=2; j j< =T 0; j j> =T (3.59)podemos obter a sada ya(t) se a entrada do ltro for yo(t).

Porem, a entrada do ltro e yDA (t) = yo(t) + eo(t) e a sada serayr (t) = ya (t) + ea (t) (3.60)

onde ea(t) sera um rudo branco limitado em faixa.De modo geral teremos

Y a ( j ) = ~Hr ( j )H o( j )H (e j T )H aa ( j )X c( j ) (3.61)

onde H aa ( j ) ; H o( j ) e ~Hr ( j ) s~ao as respostas em frequencia do ltro anti-mascaramento ,`amostra e segura' e do ltro passa-baixa de reconstru c~ao, respectivamente. H (e j T ) e a re-sposta em frequencia do sistema discreto.

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3.6 A Transformada Discreta de Fourier (TDF)

3.6.1 Introdu c~aoNos ja discutimos a representac~ao de sequencias e sistemas lineares invariantes no tempo emtermos da transformada de Fourier. Para seq uencias de durac~ao nita e possvel desenvolveruma representac~ao de Fourier alternativa, referida como Transformada Discreta de Fourier (TDF). A TDF e uma sequencia e n~ao uma func~ao de variavel contnua e corresponde asamostras, igualmente espacadas em frequencia, da transformada de Fourier do sinal. A TDFtem um papel importante na implementa c~ao de algoritmos de processamento de sinais digitais.

3.6.2 A serie discreta de FourierConsidere uma sequencia ~x[n] periodica de perodo N tal que ~x[n] = ~x[n + rN ] para qualquerinteiro r. Como no caso de sinais contnuos, tal sequencia pode ser representada por uma somade sequencias exponenciais complexas harmonicamente relacionadas. A representa c~ao em seriede Fourier de ~x[n] tem a forma

~x[n] =1N

N 1

Xo ~X[k]e j (2 =N )kn (3.62)onde

~X[k] =

N 1

Xn =0 ~x[n]e j (2=N )kn

: (3.63)

Note que ~X[k] e periodica de perodo N.Normalmente denimos W N = e j (2=N ) e escrevemos 3.62 e 3.63 como

~x[n] =1N

N 1

Xk=0 ~X[k]W knN (3.64)e

~X[k] =N 1

Xn =0

~x[n]W knN : (3.65)

Consideremos, como exemplo, que a sequencia ~x[n] e dada pela gura 3.26.Assim,

~X[k] =9

Xn =0 ~x[n]e j (2 10 )kn =

=4

Xn =0 e j (2=10)kn = e j (4 k=10) sen (k=2)sen (k=10) : (3.66)46


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Figura 3.26: Sequencia periodica com perodo N=10

Figura 3.27: Magnitude de ~X[k].

O graco da magnitude de ~X[k] e dado na gura 3.27 .A sequencia periodica na equac~ao 3.66 pode ser interpretada como amostras igualmente

espacadas da transformada de Fourier discreta de um perodo de ~ x[n].

Consideremos

x[n] = ~x[n]; 0 n N 10; caso contrario: (3.67)Assim,

X (e j! ) =N 1

Xn =0 x[n]e j!n =N 1

Xn =0 ~x[n]e j!n : (3.68)Comparando 3.63 com 3.68 observamos que

~X[k] = X (e j! ) para ! = 2k=N (3.69)

que corresponde a transformada de Fourier discreta para N freq uencias igualmente espacadasentre ! = 0 e ! = 2 com o espaco entre frequencias de 2=N .

Vendo que a sequencia dada pela gura 3.26 e periodica, tomemos apenas um perodo.Assim,

x[n] = 1; 0 n 40; 5 n 9: (3.70)47


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A transformada de Fourier discreta de x[n] e

X (e j! ) =4

X0 e j!n = e j 2! sen (5!= 2)sen (!= 2) : (3.71)O graco da magnitude de X (e j! ) e dado pela gura 3.28 .

Figura 3.28: Magnitude de X (e j! ):

Unindo as guras 3.27 e 3.28 num unico graco observamos o graco da gura 3.29.

3.6.3 A transformada discreta de Fourier (TDF)Observamos anteriormente que dada uma sequencia periodica ~x[n], os coecientes da seriediscreta de Fourier de ~x[n] s~ao as amostras da transformada de Fourier discreta de um perodode ~x[n]. Dada uma sequencia de comprimento nito x[n] nos podemos formar uma sequenciaperiodica ~x[n] dada por

~x[n] = x[n] + 1

Xr = 1 (n + rN ) =+ 1

Xr = 1 x[n + rN ] (3.72)

Figura 3.29: Uni~ao dos gracos de j ~X[k] j e j X (e j! ) j.

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que pode ser representada por uma serie de Fourier. Alternativamente, dada a seq uencia de

coecientes de Fourier~X[k], podemos achar ~x[n] e usar a relac~ao

x[n] = ~x[n]; 0 n N 10; caso contrario (3.73)para obter x[n].

Podemos ent~ao usar a serie discreta de Fourier para representar seq uencias de comprimentonito e chamamos de Transformada Discreta de Fourier (TDF).

Consideremos uma sequencia x[n] de comprimento N (nito) tal que x[n] = 0 fora dointervalo 0 n N 1. Associemos uma sequencia periodica ~x[n] dada por

~x[n] =+ 1

Xr = 1 x[n + rN ]: (3.74)A sequencia x[n] pode ser recuperada de ~x[n] por

x[n] = ~x[n]; 0 n N 10; caso contrario: (3.75)Os coecientes da serie discreta de Fourier ~X[k] da sequencia periodica ~x[n] e uma sequencia

periodica de perodo N. Escolhemos uma sequencia formada por elementos compreendidos emum perodo de ~X[k]. Esta sequencia de durac~ao nita, X [k], e referida como a transformadadiscreta de Fourier (TDF) de x[n]. Assim, se x[n] e uma sequencia de comprimento nito e suatransformada discreta de Fourier e X [k] ent~ao

X [k] =N 1

Xn =0 x[n]W knN (3.76)e

x[n] =1N

N 1

Xk=0

X [k]W knN : (3.77)

Como exemplo, consideremos a sequencia de durac~ao nita x[n] mostrada na gura 3.30 (a),com N=10. Construmos a sequencia periodica ~x[n] a partir de x[n], mostrada na gura 3.30(b). Os coecientes da serie discreta de Fourier s~ao mostrados na gura 3.30 (c), assim como amagnitude da Transformada de Fourier discreta, j X (e j! ) j , de x[n]. Claramente, ~X[k] e umasequencia de amostras de X (e j! ) nas frequencias ! k = 2 k=N . A TDF de 10 pontos de x[n]corresponde a sequencia de comprimento nito obtida ao extrairmos um perodo de ~X[k]. Amagnitude da TDF de 10 pontos de x[n] e mostrada na gura 3.30 (d).

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Figura 3.30: Exemplo de TDF.

3.6.4 A transformada rapida de FourierA TDF e a unica transformada que e discreta no tempo e na frequencia e e denida parasequencias de durac~ao nita. Embora ela possa ser calculada numericamente, a implementa c~aodireta da equac~ao 3.76 e ineciente, especialmente quando o comprimento N da sequencia forgrande. Varios algoritmos ecientes foram desenvolvidos e esses algoritmos s~ao conhecidoscoletivamente como transformada r apida de Fourier (FFT) .

Considere uma sequencia de N pontos x[n]. Sua TDF de N pontos e dada pela equac~ao 3.76e reproduzida a seguir

X [k] =N 1

Xn =0 x[n]W knN ; 0 k N 1 (3.78)50


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onde W N = e j 2=N . Para obtermos uma amostra de X [k] nos precisamos de N multipli-

cac~oes complexas e (N 1) adic~oes complexas. Da, para obtermos um conjunto completo doscoecientes da TDF, nos precisamos de N 2 multiplicac~oes complexas e N (N 1) N 2 adic~oescomplexas. Claramente, o numero de calculos para achar a TDF de uma sequencia de N pontosdepende quadraticamente de N, que ser a denotado por

C N = o(N 2):

Para N grande, o(N 2) e inaceitavel na pratica. Geralmente, o tempo de processamentopara uma adic~ao e muito menor que para uma multiplicac~ao. Por isso, a partir de agoranos concentraremos apenas no numero de multiplicac~oes complexas, onde cada multiplicac~ao

requer quatro multiplicac~oes reais e duas adic~oes reais. A dependencia quadratica pode serreduzida se observarmos que muitos calculos podems ser eliminados usando as propriedades deperiodicidade

W knN = W k(n + N )N = W

(k+ N )nN

e de simetria

W kn + N=2N = W knN

do fator f W knN g.Comecaremos com um exemplo para ilustrar as vantagens das propriedades de simetria e

periodicidade para reduzir o numero de calculos.O MATLAB possui uma func~ao chamada t para calcular a TDF de um vetor x. A sintaxe

e X = ff t (x; N ) que calcula a TDF de N pontos. Se o comprimento de x e menor que N,ent~ao x e completado com zeros. Se o argumento N e omitido ent~ao o comprimento da TDF e ocomprimento de x. Se N for uma potencia de 2 ent~ao um algoritmo FFT de raio 2 e utilizado.Se N n~ao for uma potencia de 2, ent~ao N e decomposto em fatores primos e um algoritmoFFT de raio misto e utilizado. Finalmente, se N for primo, ent~ ao a func~ao t calcula a TDFdiretamente pela formula. A TDF inversa e calculada usando a fun c~ao it, que tem as mesmas

caractersticas da t.Apresentamos, na gura 3.31, um resumo das relac~oes entre o domnio do tempo e da

frequencia atraves da transformada de Fourier, anal ogica e digital.Mostramos na gura 3.32 um resumo mostrando a dualidade entre os diferentes tipos de

transformadas.

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. .

Figura 3.31: Resumo das relac~oes entre os domnios do tempo e da frequencia, atraves dastransformadas de Fourier.

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. .

Figura 3.32: Dualidade entre os diferentes tipos de transformadas.

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Figura 3.33: Gracos de (a) xc e de X c( j ).(b) x[n] e de j X [k] j.

3.6.5 Exemplos1- Consideremos o sinal contnuo xc dado por

xc(t) = 1 ; 0 t 7:

Tomemos oito amostras desse sinal nesse intervalo, construindo a seq uencia

x[n] = f 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1g:

Mostramos os gracos de xc e de j X c( j ) j na gura 3.33 (a).Na gura 3.33 (b) mostramos os gracos de x[n] e da amplitude da FFT de x[n]; isto e,

j X [k] j, para 0 k 7.Consideremos, agora, o sinal xc dado por :

xc(t) = 1; 0 t 70; 7 < t 15:Tomemos 16 amostras desse sinal, construindo a sequencia

x[n] = f 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0g:

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Figura 3.34: Gracos de (a) xc e de X c( j ) (b) de x[n] e de j X j X [k] j.

Mostramos os gracos de xc e de j X c( j ) j na gura 3.34 (a). Na gura 3.34 (b) mostramosos gracos de x[n] e da amplitude da TDF de x[n]; isto e, j X [k] j para 0 k 15.

Observamos que j X [k] j, na gura 3.33 (b) n~ao representa signicativamente j X c( j ) j.Porem, na gura 3.34 a representac~ao e signicativa. Esse problema sera discutido mais adiante.

Lembramos que a TDF de uma sequencia x[n] de N termos representa amostras igualmenteespacadas de X c( j ) para ! = 2kN com 0 k N 1. Mostramos nas guras 3.33 e 3.34, osgracos da amplitude da TDF colocando no eixo horizontal os valores de n. Se desej assemosmostrar, no eixo horizontal, os valores da frequencia , basta que facamos uma mudanca deescala. Teramos assim os gracos mostrados na gura 3.35.

2-Consideremos o sinal contnuo xc dado por

xc(t) = sen (2t) ; 0 t 1:

Desejamos obter 64 amostras, igualmente espa cadas, desse sinal. Dessa forma, formamos asequencia :

x[n] = sen (2N 64

) para N = 0 ; 1; : : : ;63:

Mostramos a representac~ao graca dessa sequencia na gura 3.36.

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Figura 3.35: Gracos de j X [k] j.

Figura 3.36: Representac~ao graca de uma sequencia.

Calculamos a TDF dessa sequencia, usando o MATLAB e mostramos o graco de suaamplitude na gura 3.37.

O graco mostrado na gura 3.37 e formado por amostras igualmente espa cadas de umperodo da transformada de Fourier Discreta, X (e j! ), de x[n]. Devemos interpreta-lo daseguinte forma : os termos da sequencia correspondentes aos valores de N entre 0 e 31 corre-spondem as amostras de X (e j! ) entre 0 e e para os valores de N entre 32 e 63 correspondemas amostras de X (e j! ) entre e 0.

Consideremos o sinal xc dado por

xc(t) = sen (2t); 0 t 10; 1 < t 2Tomemos 128 amostras desse sinal. Calculamos a TDF e mostramos os gr acos da sequencia

obtida em 3.38 (a) e da magnitude da TDF em 3.38 (b).Observamos diferencas entre os gracos das amplitudes da TDF , da mesma forma que no

exemplo 1.

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Figura 3.37: Magnitude da TDF de x[n].

3- Consideremos o sinal xc dado por

xc(t) = t; 0 t 11; 1 < t 2:Tomemos 16 amostras desse sinal e calculemos a TDF. Mostramos os gr acos da sequencia

obtida assim como da magnitude da TDF na gura 3.39.Desta vez n~ao observamos quase a totalidade das amostras, em j X [k] j , nulas como nos

casos anteriores e n~ao precisamos acrescentar zeros no nal da sequencia.

A aparencia das TDFs obtidas nas guras 3.33 e 3.37 e uma ilus~ao resultante da amostragemespectral. A raz~ao disto e que a transformada discreta de Fourier e exatamente zero nasfrequencias que s~ao amostradas, exceto para alguns poucos valores de k. Dessa forma, e re-comendavel que acrescentemos zeros no nal da sequencia de forma a obtermos uma amostragemmais renada do espectro.

3.7 Analise de sinais usando TDF

3.7.1 Introdu c~aoUma das aplicac~oes de TDF e na analise em frequencia de sinais contnuos. Os passos basicospara a aplicac~ao da TDF a sinais contnuos s~ao indicados na gura 3.40.

O ltro anti-mascaramento e usado para eliminar ou minimizar o mascaramento . A neces-sidade da multiplicac~ao de x[n] por uma sequencia nita chamada w[n] (tambem chamada de janela) e uma consequencia da necessidade da sequencia ser de comprimento nito para quepossamos aplicar a TDF.

Nos desenvolvemos a transformada discreta de Fourier (TDF) como uma representa c~ao desinais de comprimento nito. Discutimos, tambem, uma forma de calcul a-la numericamenteusando os algoritmos chamados conjuntamente de TDF. Para sinais de comprimento nito, aTDF consiste de amostras no domnio da frequencia igualmente espacadas da transformada deFourier discreta (TFD) e as implica c~oes dessa amostragem devem ser claramente entendidas.

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Figura 3.38: Gracos de x[n] e de j X [k] j.

Comecamos com um sinal contnuo xc(t) que apos a passagem pelo ltro anti-mascaramento ,se transforma no sinal x(t). O sinal x(t) e ent~ao convertido em uma sequencia x[n]. No domnioda frequencia, a convers~ao de x(t) para a sequencia x[n] e representada por replicas periodicasda tranformada de Fourier de x(t)(X ( j )) e normalizac~ao da frequencia; isto e,

X (e j! ) =1T

+ 1

Xk= 1 X c( j !T j 2kT ):Lembramos que na pratica o ltro anti-mascaramento n~ao tem atenuac~ao innita na banda

de passagem e assim alguma presenca de mascaramento pode ocorrer, porem o erro cometidosera muito pequeno. Tambem, se x[n] for um sinal digital, um erro de quantizac~ao pode serintroduzido .

A sequencia x[n] e ent~ao multiplicada por uma sequencia de comprimento nito w[n] (janela)pois a entrada da DFT deve ser de dura c~ao nita. Se w[n] for constante para todos os valoresde n considerados, chamamos de janela retangular temporal. Porem, existem outros tipos de janelas que ser~ao discutidos mais tarde. A operac~ao nal e a TDF da sequencia v[n] e e dadapor

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Figura 3.39: Gracos de x[n] e de j X [k] j.

V [k] =N 1

Xn =0 v[n]e j (2=N )kn ; k = 0 ; 1; : : : ; N 1:V [k] corresponde a amostras igulamente espacadas da transformada de Fourier discreta de

v[n]; isto e,

V [k] = V (e j! ) j! =2 k=N :

Conhecemos a relac~ao ! = T e assim as frequencias obtidas na TDF correspondem asfrequencias k dadas por :

k =2kNT

:

Muitos analisadores de espectro comerciais s~ao baseados no que foi discutido aqui. Porem,devemos estar cientes que muitos fatores afetam a interpreta c~ao da transformada de Fourier daentrada em termos da TDF de uma sequencia formada das amostras do sinal. Desejamos estudarposteriormente as consequencias da multiplicac~ao da sequencia por uma janela e das amostrasno domnio da frequencia e para isso consideramos desprezveis os problemas de mascaramentoe o erro de quantizac~ao introduzido na convers~ao A/D.

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Figura 3.40: Diagrama de blocos dos passos basicos para a aplicac~ao da TDF.

3.7.2 Janelas - O vazamentoIntrodu c~ao

Em muitas aplicac~oes os sinais n~ao tem comprimento nito. Desejando analisar apenas deter-minado intervalo de tempo, truncamos o sinal em um determinado intervalo. Essa opera c~aoequivale a multiplicar o sinal por uma janela retangular temporal. Porem, essa multiplica c~aopode levar a resultados indesejaveis que podem ser observados no domnio da frequencia. Ob-servamos assim o fenomeno conhecido como vazamento , ou leakage, que sera estudado adiante.

Considere o sinal senoidal dado por

f (t) = cos(! 0t):

Sabemos que a transformada de Fourier desse sinal e dada por

F (! ) =12

[ (! ! 0) + (! ! 0)]

ou seja, dois impulsos localizados em + ! 0 e ! 0.Consideremos, agora, a multiplicac~ao de f (t) por uma janela retangular temporal dada por

T (t) = 1; T t T 0; caso contrario:Obtemos, assim, uma nova func~ao

g(t) = cos(! 0t) T (t)

cuja transformada de Fourier e dada por

G(! ) =sen (! ! 0)T

! ! 0+

sen (! + ! 0)T ! + ! 0

:

G(! ) esta representada na gura 3.41 .Devido a truncagem do sinal ocorreu um "espalhamento" para freq uencias diferentes de ! 0.

O espalhamento e maior se T for menor.

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Figura 3.41: Graco de G(! ):

3.7.3 Consequencia da aplica c~ao de janelasConsideremos um sinal contnuo consistindo da soma de duas componentes senoidais; isto e,

xc(t) = Aocos( ot + o) + A1cos( 1t + 1) ; 1 < t < 1 : (3.79)

Considerando amostragem ideal sem a presenca de mascaramento e nenhum erro de quan-

tizac~ao, obtemos o sinal discreto

x[n] = Aocos(! on + o) + A1cos(! 1n + 1) ; 1 < n < + 1 : (3.80)

onde ! o = oT e ! 1 = 1T . Apos a aplicac~ao da janela w[n] em x[n] obtemos

v[n] = Aow[n]cos(! on + o) + A1w[n]cos(! 1n + 1): (3.81)

A transformada de Fourier discreta de v[n] sera

V (e j! ) =Ao2

e jo W (e j (! ! o ) ) +Ao2

e jo W (e j (! ! o ))

+A12

e j1 W (e j (! ! 1 ) ) +A12

e j1 W (e j (! + ! 1 )) ; (3.82)

onde W (e j! ) e a transformada de Fourier discreta de w[n]. Assim, a transformada de Fourierdiscreta de v[n] consiste de replicas da transformada de Fourier de w[n] com diferente escalade amplitude.

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Exemplo

Consideremos o sinal dado por 3.79 e obtemos a sequencia dada por 3.80 com frequencia deamostragem de 1 =T = 10kHz . Consideremos uma janela retangular w[n] de comprimento iguala 64. Consideremos, ainda, Ao = 1, A1 = 0 :75 e por conveniencia o = 1 = 0 : CalculemosV (e j! ) para varios valores de o e 1. Mostraremos apenas os gracos relativos as magnitudesda transformada de Fourier discreta .

Na gura 3.42 (a) mostramos o graco de j W (e j! ) j e nas guras 3.42 (b) , 3.43 (a),(b)e 3.44 mostramos o graco de j V (e j! ) j para varios valores de o e 1 ou equivalentemente ! oe ! 1.

Figura 3.42: (a) j W (e j! ) j.(b) j V (e j! ) j para ! o = (2 )=6 e ! 1 = (2 =3).

A equac~ao 3.82 mostra que se n~ao houver superposic~ao entre as replicas de W (e j! ) em ! o e! 1, havera um pico de amplitude 32 Ao em ! o e um pico de amplitude 32 A1 em ! 1, pois W (e j! )tem um pico de amplitude 64. Na gura 3.42 (b) os dois picos est~ao, aproximadamente, em! o = 2 =6 e ! 1 = 2=3 e as amplitudes dos picos est~ao aproximadamente na raz~ao 10:75 .Nagura 3.43 (a) ha superposic~ao entre as replicas de W (e j! ) em ! o e ! 1. Observamos dois picosdistintos, porem a amplitude do espectro em ! o e afetado pela amplitude do sinal senoidal nafrequencia ! 1 e vice-versa. Esta interac~ao e chamada de vazamento : a componente em umafrequencia "vaza" na vizinhanca de outra componente devido ao "espalhamento" espectralintroduzido pela janela. A gura 3.43 (b) mostra o caso onde o vazamento e maior. Observecomo as amplitudes dos picos s~ao reduzidas. Na gura 3.44 a superposic~ao entre as replicas

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Figura 3.43: (a) j V (e j! ) j para ! o = (2 =14) e ! 1 = (4 =15).(b) j V (e j! ) j para ! o = (2 =14)e ! 1 = (2 =12).

de W (e j! ) e t~ao signicante que n~ao s~ao mais visveis dois picos mas apenas um. Em outraspalavras, com esta janela as duas frequencias correspondentes n~ao s~ao diferenciadas no espectro.

Resoluc~ao reduzida e vazamento s~ao dois efeitos que ocorrem como resultado da aplicac~aode janelas ao sinal. A resoluc~ao e inuenciada pelo largura do lobo principal (dist^ ancia entre asduas primeiras frequencias simetricas) de W (e j! ), enquanto o grau de vazamento depende doquociente entre a amplitude maxima do lobo principal e a amplitude maxima do primeiro lobosecundario de W (e j! ) . Chamaremos esse valor de As . Geralmente este valor e dado em dB(decibel), isto e, calculamos 20 log j As j. A largura do lobo principal depende do comprimentoda janela (quanto maior o comprimento da janela, menor a largura do lobo principal) e a am-

plitude relativa do lobo principal e dos lobos secundarios depende do formato da janela (quantomais "bruscamente" a janela vai de um a zero ou de zero a um, maior o valor de As ).Ha varias janelas conhecidas e elas est~ao disponveis no MATLAB (toolbox "signal processing"). S~ ao elas: janela retangular, janela de Bartlett, janela de Hanning, janela de Hamming, janela de Black-man e janela de Kaiser. Os nomes foram dados em homenagem a seus autores. Discutiremosum pouco sobre cada uma delas.

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Figura 3.44: j V (e j! ) j para ! o = (2 =14) e ! 1 = (4 =25).

3.7.4 Tipos de janelasJanela retangular

A janela retangular e denida por

w[n] = 1; 0 n M 10; caso contrarioA largura do lobo principal para esta janela e igual a 4M . O valor de As e igual a 13 dB.

Para um comprimento dado, esta janela possui a menor largura de lobo principal, mas o maiorvalor de As comparando com as outras janela conhecidas.Mostramos os gracos de w[n] e de j W (e j! ) j (em dB), na gura 3.45, para M=45.

Figura 3.45: Janela retangular:M=45

Janela de Bartlett

Bartlett sugeriu uma janela que possui uma transi c~ao mais gradual do que a janela retangular(transic~ao entre 1 e 0). Essa janela e denida por

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w[n] = 8


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Figura 3.47: Janela de Hanning: M=45

Figura 3.48: Janela de Hamming: M=45.

Janela de Blackman

Esta janela e denida por

w[n] = 0:42 0:5cos( 2nM 1 ) + 0 :08cos( 4nM 1 ); 0 n M 10; caso contrario: (3.86)Neste caso, o comprimento do lobo principal e aproximadamente igual a

8

M e As = 57 dB .Mostramos os gracos de w[n] e de j W (e j! ) j na gura 3.47.

Janela de Kaiser

Esta janela e denida por

w[n] = ( I o [ (1 [(n )=]2 )1 =2I o ( ) ; 0 n M 0; caso contrario (3.87)66


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Figura 3.49: Janela de Blackman: M=45.

onde = M 2 e I o representa a func~ao de Bessel modicada de ordem zero de primeiro tipo.A janela de Kaiser tem dois par ametros: o comprimento (M+1) e um par^ ametro de forma ( ).Mostramos na gura 3.50 os gracos de w[n] e de j W (e j! ) para o caso em que M = 45 e = 5 :658. Nesse caso, o comprimento do lobo principal e igual a 7:8M e As = 42 dB .

Figura 3.50: Janela de Kaiser: M=45; = 5 :658

Devemos ressaltar que cada uma dessas janelas tem uma determinada aplica c~ao.

ExemploConsideremos a sequencia do exemplo anterior, tomando as frequencia wo = 2 =14 e w1 = 2=8.Faremos uma comparac~ao entre os gracos de j V (e j! ) j utilizando as janelas retangular, deBlackman e de Hanning.

Utilizamos a sequencia,

v[n] = w[n]cos(214

n) + w[n]0:75cos(28

n)

para n entre 0 e 63.

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Mostramos na gura 3.51 (a) o graco de j V (e j! ) j utilizando a janela retangular, na

gura 3.51 (b), utilizando a janela de Hanning e na gura 3.51 (c), utilizando a janela deBlackman.Observamos que o quociente entre os dois picos de amplitude deveria ser igual a 10:75 = 1 :333.

Com a janela retangular obtivemos 1.3097 , com a janela de Hanning obtivemos 1.3348 ecom a janela de Blackman obtivemos 1.32211. Assim, as janelas de Blackman e de Hanningreduziram o problema de Leakage, como era esperado. Com janela de Hanning obtive

[Apostila] Processamento de Sinais

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