Apostila Prof Trofino

EEL7052 - Sistemas Lineares

APOSTILA DA DISCIPLINA

Prof. Alexandre Trofino

Departamento de Automacao e SistemasCentro Tecnologico

Universidade Federal de Santa Catarina

Texto revisado e amplidado por:

Profa. Jacqueline G. RolimMsc. Miguel Moreto

Florianopolis 24 de Maio de 2007

Sistemas Lineares 2

Conteudo

1 Introducao Geral 9

1.1 Definicoes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Sistemas de Malha Aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Sistemas de Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Sinais de Tempo Contınuo e Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Classificacao de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Sistemas lineares e nao-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Sistemas variantes e invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.3 Sistemas estaticos e dinamicos (sem memoria e com memoria) . . 16

1.5.4 Sistemas causais e nao causais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.5 Sistemas Determinısticos e Nao Determinısticos . . . . . . . . . . 17

1.5.6 Sistemas a parametros concentrados ou distribuıdos . . . . . . . . 18

1.5.7 Sistemas inversıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.8 Sistemas estaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Sinais Contınuos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1 Sinal exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.2 Degrau unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.3 Impulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Transformacoes de Variavel Independente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.1 Compressao no tempo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Sistemas Lineares 4

1.7.2 Expansao no tempo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.3 Deslocamento no tempo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.4 Inversao no tempo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8 Solucao de Sistemas Lineares Via Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8.1 Representacao de sinais contınuos em termos de impulsos . . . . . 27

1.8.2 Resposta impulsiva de um sistema LIT e a integral de convolucao 28

1.8.3 Representacao grafica da integral de convolucao . . . . . . . . . . 30

1.8.4 Propriedades da operacao de convolucao . . . . . . . . . . . . . . 33

1.8.5 Resposta ao degrau da um sistema LIT . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Serie de Fourier 37

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1 Sinais periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.2 Resposta de sistema LIT a sinais exponenciais . . . . . . . . . . . 38

2.2 As Series Trigonometricas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1 Simetria das Formas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2 Observacoes Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Propriedades das Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Serie Exponencial de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.1 Serie de Fourier exponencial para sinais simetricos . . . . . . . . . 52

2.5 O Espectro de Frequencias de Sinais Periodicos . . . . . . . . . . . . . . 53

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Transformada de Fourier 61

3.1 Energia de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Calculo de algumas transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.1 Sinal Exponencial Unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.2 Sinal Porta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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3.2.3 Sinal Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.4 Funcoes Constante, Sinal e Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.5 Sinais Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.6 Exponencial Eterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.7 Funcoes Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Propriedades da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.2 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.3 Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.4 Deslocamento em frequencia e Modulacao . . . . . . . . . . . . . 72

3.3.5 Deslocamento no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3.6 Diferenciacao e Integracao no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3.7 Diferenciacao em frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.8 Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4 Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5 Aplicacoes da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.1 Resposta em frequencia de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . 82

3.5.2 Encontrar a saıda de um sistema LIT a um sinal de entrada . . . 83

3.5.3 Determinacao da resposta de sistemas LIT a sinais periodicos . . 85

3.5.4 Determinacao da resposta impulsiva de sistemas LIT . . . . . . . 86

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4 Diagramas de Bode 91

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Plotagem da resposta em frequencia - Diagramas de Bode . . . . . . . . 93

4.3 Diagramas basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3.1 Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Sistemas Lineares 6

4.3.2 Polo na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.3 Zero na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.4 Termos de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3.5 Termos de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4 Sistemas de Fase Mınima e Nao-Mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Transformada de Laplace 111

5.1 Introducao e Nocoes de Funcoes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2 Definicao e Regiao de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.1 Operacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.2 Funcao Transladada em Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.3 Funcoes Porta-deslocada e Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.4 Multiplicacao por exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3.5 Mudanca na Escala de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3.6 Teorema da Diferenciacao Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3.7 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3.8 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3.9 Teorema da Integracao Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.3.10 Teorema da Diferenciacao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.3.11 Integral de Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.4 Transformada Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.4.1 Fracoes parciais para polos distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.4.2 Fracoes Parciais para polos repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.4.3 Fracoes Parciais para casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.5 Relacao entre sinais e alocacao dos polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Sistemas Lineares 7

5.6 Tecnicas de Analise de Circuitos com Transformada de Laplace . . . . . 134

5.7 Sinais com energia limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.8 Resolucao de Equacoes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.9 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.10 Funcao de Transferencia e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.11 Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.12 Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.12.1 Estabilidade de Conexoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.12.2 Sistemas realimentados em presenca de disturbios . . . . . . . . . 150

5.13 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6 Resposta ao Degrau 155

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.2 Analise de Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.3 Analise de Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.3.1 Caso sem amortecimento (ξ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.3.2 Caso Subamortecido (0 < ξ < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.3.3 Caso Criticamente Amortecido (ξ = 1) . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.3.4 Caso sobreamortecido (ξ > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.3.5 Caso instavel (ξ < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.4 Indices de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.5 Servomecanismo para controle de posicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.6 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7 Sistemas Discretos e Amostrados 179

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Sistemas Lineares 8

7.1.1 Conversao A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.1.2 Conversao D/A e Sample-and-Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.2 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.3 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.3.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.3.2 Relacao com a transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 191

7.4 Propriedades da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

7.4.2 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.4.3 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.4.4 Obtencao de F (z) a partir de F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7.4.5 Convolucao Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

7.5 Transformada Z Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.5.1 Metodo da divisao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.5.2 Metodo das fracoes parciais de X(z)/z . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.6 Solucao de Equacoes recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.7 Funcao de Transferencia Discreta e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . 205

7.7.1 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . 205

7.7.2 Resposta ao Pulso e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.8 Sistemas Amostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.9 Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.10 Escolha do Perıodo de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.11 Resposta em Frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.12 Problemas Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Capıtulo 1

Introducao Geral

1.1 Definicoes Gerais

Para se iniciar o estudo de sistemas lineares, primeiramente deve-se definir o que saosinais e o que sao sistemas.

Sinal: E uma funcao ou sequencia de valores que representa informacao. Eles descre-vem grandezas cujos valores se alteram em funcao de uma variavel independente,geralmente o tempo.

Sistema: E um conjunto de dispositivos interconectados que realizam uma tarefa es-pecıfica, estabelecendo uma relacao entre um certo numero de sinais. Um sistemapode representar um equipamento ou fenomeno fısico.

Normalmente, os sinais relacionados ao sistema podem ser classificados como sinais deentrada e sinais de saıda. Os sinais de entrada existem independentemente do sistemae nao sao afetados por ele. Ja os sinais de saıda representam informacoes geradas pelosistema, geralmente em resposta aos sinais de entrada. Os sistemas sao geralmente re-presentados atraves de diagramas de blocos. A forma mais basica de representacao deum sistema e apresentada na Figura 1.1

Figura 1.1: Representacao de um sistema.

Alem das definicoes de sinal e sistema, outros termos que serao utilizados ao longodeste documento precisam ser definidos. Estes termos sao bastante usuais em teoria decontrole.

Planta: Equipamento (ou parte dele) destinado a realizar uma dada operacao. (Objetofısico a ser controlado: caldeira, motor, reator quımico, ...).

Sistemas Lineares 10

Processo: Fenomenos (naturais ou criados artificialmente) que evoluem progressiva-mente segundo dinamicas que lhe sao proprias. (Fenomeno a ser controlado: pro-cessos quımicos, economicos, biologicos,...).

Perturbacao ou Disturbio: Sinal indesejado (interno ou externo).

Controle Realimentado: Operacao que visa corrigir (automaticamente ou manual-mente) certas variaveis (grandezas fısicas) de um sistema. Diminui o efeito defenomenos indesejaveis.

Servomecanismo: E um sistema realimentado para controle automatico de posicao,velocidade ou aceleracao. Muito frequente na industria.

Sistemas Reguladores Automaticos: Sistema de controle cujo principal objetivo emanter constante algumas variaveis do mesmo. (Controle de nıvel constante, posi-cao constante, velocidade, aceleracao, ...). Exemplos: robos, elevadores, estufas,...

A teoria de sistemas e uma ferramenta matematica para seu estudo e projeto. Inicial-mente, a teoria e apresentada de uma forma generica, abstrata, sem vınculo com algumaaplicacao especıfica. Desta forma ela pode ser utilizada em diferentes areas da engenhariaeletrica (bem como de outras engenharias, fısica, economia, etc.).

1.2 Sistemas de Malha Aberta

Sistemas onde a variavel a ser controlada (saıda) nao interfere na acao de controle(variavel de entrada) sao conhecidos como Sistemas de malha aberta.

SISTEMAEntrada

Perturbacoes

Saıda

Figura 1.2: Sistema de malha aberta

A saıda e sensıvel a fenomenos indesejaveis sobre o processo (perturbacoes, variacoesnos parametros,...). Possui desemplenho limitado na pratica quando existem perturbacoes.No entanto, em geral possui custo menor.

1.3 Sistemas de Malha Fechada

Sistemas onde a variavel de controle (Entrada) depende (Direta ou indiretamente) davariavel a ser controlada (Saıda) recebem o nome de sistemas de malha fechada. Nessecaso possıveis distorcoes na variavel controlada provocadas por disturbios no sistema saoautomaticamente corrigidas.


Ref.ObservadaComparador Controlador Atuador SISTEMA

Medidor

ruıdo de medicao

sinal de medicao

perturbacao

Variavel

Figura 1.3: Sistema de controle de malha fechada

Ref.Comparador SISTEMAAtuadorComputador

Medidor

D/AA/D

Controlador

Saıda

Figura 1.4: Sistema realimentado de controle por computador

Ea(t)

e(t)

Vc(t)potenciometro

erro

posicaoda antenac(t)

engrenagem

motor DC

comparador

Vr(t)referencia

potenciometro

amplificadorde potencia

r(t)

Figura 1.5: Servomotor para posicionamento de uma antena


Exemplo 1.1 Considere o servomecanismo para controle de posicao da antena indicadona Figura 1.5. Comparando com o diagrama da figura 1.3 podemos identificar os seguinteselementos:

Sistema: Antena + plataforma + engrenagens

Perturbacoes: Grandezas externas que atuam de forma indesejada no sistema. Porexemplo, ventos que provocam torques de perturbacao na posicao da antena.

Variavel observada: Posicao angular da antena

Variavel medida: Sinal de medicao gerado pelo potenciometro. Note que a variavelmedida pode ser diferente da variavel observada quando existem ruıdos de medicao.

Medidor: Potenciometro

Referencia: Valor desejado da grandeza observada

Comparador: somador de tensoes

Controlador: Nesse exemplo o controlador e um elemento unitario entre o comparadore o amplificador. Em geral, o controlador e um filtro que manipula o sinal de erroantes do amplificador de potencia. Em sistemas mais complexos o controlador podeser um algoritmo implementado num computador.

Atuador: Amplificador de Potencia + motor

1.4 Sinais de Tempo Contınuo e Discreto

Conforme mencionado no inıcio deste texto, os sistemas estabelecem relacoes com umcerto numero de sinais. Estes sinais podem ser classificados em duas categorias:

TEMPO CONTINUO: t e uma variavel contınua. Nesse caso um sinal f(t) sera umsinal analogico, isto e, um sinal de tempo contınuo.

0 t

Ref.

f(t)

Figura 1.6: Variavel de tempo contınuo (sinal analogico)

TEMPO DISCRETO: t e uma variavel discreta que assume valores apenas em instantesdiscretos do tempo. Por exemplo, t = kT onde k e uma variavel k = 0, 1, 2, . . . e T e umaconstante. Nesse caso um sinal f(kT ) sera uma sequencia de pulsos, isto e, um sinal detempo discreto, Figura 1.7.


0

Ref.

t = kT

f(kT)

Figura 1.7: Variavel de tempo discreto (sequencia)

Diminuindo-se o valor da constante T , pode-se chegar a uma aproximacao razoavel dosinal discreto para o sinal contınuo. Isto e feito, por exemplo, nos aparelhos de CD, ondea sequencia de pulsos codificada digitalmente do sinal de tempo discreto e convertida emuma sinal de tensao eletrica discreto que e entao amplificado. Como a sequencia e geradade forma bem rapida (T = 1/44100 seg), o proprio circuito eletronico do amplificador eo ouvido humano acabam filtrando o sinal que chega ao nosso cerebro de forma contınua.

1.5 Classificacao de Sistemas

Os sistemas podem ser classificados de acordo com diversas categorias. Esta classi-ficacao e importante na escolha das tecnicas de analise e projeto de sistemas.

1.5.1 Sistemas lineares e nao-lineares

A propriedade da linearidade e uma das mais importantes que serao consideradas nestecurso. As tecnicas de solucao de sistemas lineares estao bem definidas e consolidadas.Estas tecnicas tambem sao geralmente utilizadas em sistemas nao-lineares fazendo-seaproximacoes em torno de um determinado ponto de operacao.

Um sistema e dito linear se obedecer as regras abaixo, considerando x(t) como um sinalde entrada, y(t) o sinal de saıda e→ representando a transformacao que o sistema aplicaao sinal de entrada.

1. Princıpio da homegeneidade: Se uma entrada e multiplicada por um fator k, a saıdatambem e multiplicada pelo mesmo fator k:

k.x(t)→ k.y(t)

2. Princıpio da aditividade: Se duas entradas sao aplicadas simultaneamente, a res-posta total sera a soma das respostas individuais a cada uma das entradas separa-damente. Assim, se x1(t)→ y1(t) e x2(t)→ y2(t), entao:

x1(t) + x2(t)→ y1(t) + y2(t)

Estes dois princıpios, se combinados, resultam no princıpio da superposicao. Um sis-tema e classificado como linear se e somente se atender a este princıpio, ou seja, se a


entrada do sistema for

x(t) = k1.x1(t) + k2.x2(t)

a saıda devera ser

y(t) = k1.y1(t) + k2.y2(t)

para que o sistema seja considerado linear, considerando qualquer valor das constantesk1 e k2 e qualquer entrada.

A Figura 1.8a apresenta um exemplo de sistema linear, um resistor ohmico. Ja naFigura 1.8b pode ser visto um exemplo de sistema nao-linar, constituıdo da magnetizacaode um transformador.

Figura 1.8: Exemplo de sistema linear (a) e nao-linear (b).

Nota-se que a linearidade nao necessariamente implica que a funcao de tempo da saıdatem a mesma forma da entrada, por exemplo:

Figura 1.9: Formas dos sinais de entrada e saıda de um sistema linear.

Quando se trata de sistemas reais, muitas vezes a linearidade se aplica somente parauma faixa restrita de valores das constantes k1, k2 e das entradas. Por exemplo, a curvade deformacao de um certo material em funcao da tensao mecanica aplicada sobre ocorpo de prova. Neste caso, a medida em que a tensao aplicada aumenta, a deformacaoaumenta proporcionalmente em uma certa faixa de valores de entrada. Para esta faixa devalores, o sistema se comporta como linear. Se a tensao continuar aumentando o sistemaentrara em um regiao de nao-linearidade, podendo ate haver o rompimento do material.Um grafico exemplificando este comportamento pode ser visto na Figura 1.10.

Exercıcio: Um diferenciador e um dispositivo caracterizado pela relacao y = dx/dt. Eeste dispositivo um sistema linear?


Figura 1.10: Deformacao da saıda para valores elevados de entrada.

1.5.2 Sistemas variantes e invariantes no tempo

A variancia/invariancia no tempo e a segunda caracterıstica mais importante dos sis-temas a serem estudados nesta disciplina.

Os sistemas invariantes no tempo podem ser definidos da seguinte forma:

Sistema Invariante no Tempo: Um sistema que responde a um sinal de entrada deslo-cado no tempo com um sinal de saıda deslocado no tempo correspondente e chamadode sistema invariante no tempo.

Descrevendo de outra forma, um sistema variante e aquele onde seus parametros va-riam com o tempo, como por exemplo, um circuito RLC onde se considera o efeito datemperatura. Ja o sistema invariante pode ser tambem descrito como aquele em que osparametros nao variam com o tempo. Exemplo, um circuito RLC onde nao se considerao efeito da temperatura.

A Figura 1.11 apresenta dois sistemas S1 e S2. Nestes dois sistemas e aplicada umaentrada x(t) e a mesma entrada deslocada de t1 unidades de tempo. Pela figura pode-seperceber que o sistema S1 e invariante no tempo, pois a saıda deslocada s1′(t) tem amesma forma da saıda nao deslocada s1(t). Ja para o sistema S2, a mesma afirmativanao e verdadeira, pois a saıda deslocada tem uma forma diferente da original.

Os sistemas invariantes no tempo podem ser modelados por equacoes diferenciais decoeficientes constantes. Por exemplo, um circuito RLC sem considerar as variacoes dosparametros com o tempo:

V (t) = R.i(t) + L.di(t)

dt+

1

C

∫

i(t).dt

Ja o sistema variante e modelado por equacoes diferenciais com coeficientes dependentesdo tempo. Tomando o mesmo exemplo anterior:

V (t) = R(t).i(t) + L.di(t)

dt+

1

C

∫

i(t).dt


Figura 1.11: Sistemas variantes e invariantes no tempo.

Exercıcio: Verificar se os sistemas abaixo sao variantes ou invariantes no tempo.

a) y(t) = sen[x(t)]

b) y(t) = t2.x(t)

1.5.3 Sistemas estaticos e dinamicos (sem memoria e com memoria)

Os sistemas estaticos e dinamicos sao definidos da seguinte forma:

Sistema Estatico: Sistema estatico e aquele no qual a saıda atual depende apenas daentrada atual. Sistemas estaticos sao modelados por equacoes algebricas;

Sistema Dinamico: Sistema dinamico e aquele no qual a saıda atual depende de entra-das anteriores. Isto implica a existencia de condicoes iniciais. Sistemas dinamicosdevem ser modelados por equacoes diferenciais.

Um exemplo de sistema estatico, ou sem memoria e o amplificador ideal. Sendo x(t)a entrada e y(t) a saıda, o modelo de um amplificador ideal com ganho constante K edado por

y(t) = K.x(t)

para todo t. Um outro exemplo e a resistencia ohmica, para a qual v(t) = R.i(t).

Para sistemas dinamicos, um exemplo classico e o amplificador integrador, descrito por

y(t) = K

∫ t

−∞x(τ)dτ

onde a tensao de saıda y(t) depende de todos os valores anteriores da entrada de tensaox(t).


Um outro exemplo de sistemas com memoria e o capacitor. O capacitor pode serconsiderado um sistema com memoria se a corrente for tomada como entrada do sistemae a tensao sua saıda:

v(t) =1

C

∫ t

−∞i(τ)dτ

1.5.4 Sistemas causais e nao causais

Sistema Causal: Sistema causal e aquele em que a saıda em determinado instante tdepende apenas da entrada neste instante e em instantes anteriores, isto e, a saıdaatual do sistema nao depende dos valores futuros da entrada;

Sistema Nao Causal: E o recıproco do sistema causal. Os sistemas nao causais naosao realizaveis na pratica.

Sistemas causais e nao causais tambem podem ser chamados de nao antecipativos eantecipativos, respectivamente. A Figura 1.12 apresenta um exemplo de sistema causal enao causal. Nesta figura, o sistema S1 e causal, pois sua saıda no instante 2.t0 dependeda entrada em t0, que e anterior. Ja para o sistema S2, a saıda em instantes anterioresa t0 depende da entrada em t0. Logo o sistema S2 e antecipativo.

Figura 1.12: Sistemas causais e nao causais.

1.5.5 Sistemas Determinısticos e Nao Determinısticos

A definicao de sistemas determinısticos e nao determinısticos e a seguinte:

Sistemas Determinısticos: Sistemas determinısticos sao aqueles em que todos os pa-rametros do sistema sao conhecidos;

Sistemas Nao Determinısticos: Tambem chamados de probabilısticos, sao os siste-mas em que se usa uma abordagem probabilıstica devido a incerteza em algunsparametros.

Um exemplo de sistema probabilıstico e o planejamento da expansao da geracao. Nesteproblema, existem inumeras incertezas, como o crescimento do mercado, o preco do com-bustıvel (oleo, gas, carvao, etc.), a precipitacao pluvial, etc.


1.5.6 Sistemas a parametros concentrados ou distribuıdos

Um sistema e a parametros concentrados quando seus elementos sao discretos, naose considerando o seu tamanho fısico. Por exemplo, um resistor: R = 2kΩ. Estes sistemassao modelados por equacoes diferenciais ordinarias.

Quando um sistema e a parametros distribuıdos e considerada a distribuicao dosseus parametros do espaco. Sua modelagem e dada por equacoes diferenciais parciaisonde esta presente a variavel espaco.

Um exemplo de sistema a parametros distribuıdos sao as linhas de transmissao, Figura1.13, onde a linha e separada em diversos segmentos, cada qual com seu modelo equiva-lente. Faz se entao o tamanho de cada segmento tender a zero e com isso chega-se a umaequacao diferencial parcial que descreve a linha em funcao da distancia.

Figura 1.13: Sistema a parametros distribuıdos: Linha de transmissao.

OBS.: Nos sistemas a parametros concentrados, a dimensao do elemento e muito pe-quena comparada com o comprimento de onda dos sinais a serem transmitidos. A mode-lagem de um sistema por parametros concentrados ou distribuıdos deve ser escolhida deacordo com a aplicacao. Muitas vezes, uma modelagem detalhada nao se faz necessariopara o tipo de estudo que se deseja realizar.

1.5.7 Sistemas inversıveis

Um dado sistema e inversıvel quando existe um sistema inverso correspondente. Aconexao em serie de um sistema com o seu inverso tem como saıda o mesmo sinal aplicadoa entrada.

Exemplo 1:

Seja o sistema

y(t) = 3.x(t)

O seu sistema inverso e

w(t) =1

3.y(t)

Este exemplo em diagrama de blocos e apresentado na Figura 1.14.

Exemplo 2:


Seja o sistema y(t) = x2(t). Neste caso, diferentes entradas resultam na mesma saıda.Por exemplo, y(t) = 4 e obtido se x(t) = 2 ou x(t) = −2. Portanto, este sistema nao einversıvel.

Figura 1.14: Exemplo de sistema inverso.

Para um sistema ser inversıvel, diferentes entradas devem levar a diferentes saıdas.

1.5.8 Sistemas estaveis

Os sistemas tambem podem ser estaveis ou nao. Existem diversas maneiras de se definira estabilidade de um sistema. Aqui sera apresentada a estabilidade BIBO (Bounded InputBounded Output) que significa Entrada Limitada Saıda Limitada.

Estabilidade BIBO: Um sistema e dito BIBO estavel se para qualquer entrada limitadaa saıda tambem sera limitada.

A entrada do sistema e limitada se existir um numero M tal que

|x(t)| ≤M

para todo t. Da mesma forma, a saıda e limita se existir um numero R tal que a desi-gualdade

|y(t)| ≤ R

seja valida para todo t.

Considere como exemplo o amplificador integrador dado por

y(t) = K.

∫ t

0

x(τ).dτ

Se um sinal limitado for aplicado a sua entrada, por exemplo um degrau unitario, asaıda sera uma rampa (a integral de uma constante e a propria variavel de integracao),y(t) = K.t, a qual e ilimitada pois para t → ∞ a saıda y(t) → ∞. Logo, o integradornao e BIBO estavel.

1.6 Sinais Contınuos Basicos

Nesta secao serao apresentados os os modelos de sinais contınuos mais comuns para oestudo de sistemas.


1.6.1 Sinal exponencial

Um dos sinais que aparecem com mais frequencia na solucao de sistemas lineares e osinal exponencial. Este sinal e muito importante, pois ele aparece nas solucoes de equacoesdiferenciais ordinarias lineares com coeficientes constantes. Estas equacoes diferenciaissao frequentemente utilizadas para modelar sistemas fısicos contınuos. Considere entaoa seguinte equacao diferencial:

dx(t)

dt= s.x(t)

onde s e uma constante.

A solucao desta equacao e a funcao exponencial x(t) = x(0).est para todo t ≥ 0, ondex(0) e uma condicao inicial.

Um exemplo para este sinal e a corrente eletrica em um circuito RL serie, onde:

L.di(t)

dt+ R.i(t) = 0⇒ di(t)

dt= −R

L.i(t)

Para este exemplo, s = R/L. A corrente e dada entao pela solucao da equacao dife-rencial acima, ou seja:

i(t) = i(0).e−RL

.t

Este tipo de sinal exponencial e muito comum em engenharia eletrica e deve ser dadamuita importancia no seu correto entendimento.

No exemplo anterior, a constante s resultante era um numero real. No entanto, podemhaver situacoes onde, para facilitar a solucao dos sistemas, e mais interessante que s sejaum numero complexo do tipo s = σ + jω, onde σ denota a parte real do numero e ω aparte imaginaria. Entao, o sinal exponencial fica:

es0.t = e(σ0+jω0).t = eσ0.t.ejω0.t

Este sinal exponencial sera apresentado agora de acordo com a caracterıstica de s0, ouseja, s0 sendo um numero real puro, imaginario puro e combinado.

• s real puro:

Neste caso, x(t) = eσ0.t. Os graficos para valores positivos e negativos e σ0 sao vistosna Figura 1.15.

• s imaginario puro:

Neste caso, x(t) = ejω0.t. Utilizando-se a relacao de Euler,

ejω0.t = cos ω0.t + j. sin ω0.t

pode-se verificar que o sinal em questao e periodico, pois:


Figura 1.15: Sinal exponencial com s real puro.

x(t) = ejω0.t = ejω0.(t+2.π) = ejω0.(t+2.π/ω0)

O perıodo fundamental e

T0 =2.π

ω0

Este sinal representa um fasor de amplitude unitaria que gira no plano complexo,representando um sinal senoidal, conforme a Figura 1.16.

Figura 1.16: Sinal exponencial com s imaginario puro.

• s real e imaginario:

Quando s possui parte real e imaginaria nao nulas, o sinal torna-se: x(t) = e(σ0+jω0).t

Este sinal comporta-se como o sinal anterior, ou seja, representa um fasor girandono plano complexo. No entanto, neste caso, o modulo nao sera constante. Havera umamortecimento no modulo, dado por σ0. O amortecimento so e verificado se σ0 < 0,caso contrario havera um incremento no modulo. Na figura 1.17 pode-se ver uma repre-sentacao deste sinal (para o caso amortecido) em um grafico tridimensional onde, alemdas componentes real e imaginaria, foi representada a variavel tempo t.


−1−0.5

00.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real

Tempo

Imag

.

Figura 1.17: Sinal exponencial com s complexo.

1.6.2 Degrau unitario

O degrau unitario tambem e um sinal muito utilizado na analise de sistemas. Nor-malmente, o degrau funciona como sinal de excitacao dos sistemas fısicos. Nos sistemasrealimentados, e comum a aplicacao de um degrau na entrada de referencia do sistema.

A notacao utilizada para representar um degrau unitario e u(t), que e definido daseguinte forma:

u(t) =

0, se t < 0

1, se t > 0

Percebe-se que u(t) nao e diferenciavel em t = 0 em funcao da descontinuidade nesteponto. No entanto, pode-se fazer uma aproximacao do sinal u(t) por u∆(t), de acordocom a figura abaixo.

u∆(t) =

0, se t < 0t∆

, se 0 ≤ t ≤ ∆

1, se t > ∆


A partir da definicao u∆(t) acima, fazendo ∆ tender a zero, chega-se a u(t):

u(t) = lim∆→0

u∆(t)

1.6.3 Impulso unitario

Utilizando o mesmo raciocınio anterior, pode-se calcular a derivada de u(t):

δ∆(t) = ddt

u∆(t) =

0, se t < 01∆

, se 0 ≤ t ≤ ∆

0, se t > ∆

Observa-se que δ∆(t) tem area unitaria. Ao se aplicar o limite nesta funcao, chega-sea definicao do impulso unitario:

δ(t) = lim∆→0

δ∆(t) = lim∆→0

du∆(t)dt

= ddt

lim∆→0

u∆(t) (1.1)

δ(t) = ddt

u(t) (1.2)

De forma geral, o sinal impulso unitario e representado da seguinte forma:

Figura 1.18: Representacao do sinal impulso. (a) Unitario; (b) Multiplicado por k; (c)Multiplicado e deslocado no tempo.

Propriedades da funcao impulso

A seguir sao apresentadas algumas propriedades da funcao impulso.

1) x(t).δ(t) = x(0).δ(t) =⇒ Se um sinal x(t) e multiplicado pela funcao impulso,entao o resultado sera uma amostra do sinal x(t) no instante zero, ja que o impulsoe definido neste instante.


2) x(t).δ(t− t0) = x(t0).δ(t− t0) =⇒ Se o impulso estiver deslocado no tempo, entaoa amostra resultante correspondera a uma amostra de x(t) no instante t0.

3) A integral de um impulso e igual ao valor de sua area (1 se for um impulso unitario)multiplicado por uma funcao degrau.

∫ t

−∞k.δ(τ).dτ = k.u(t)

Interpretacao:

t < 0⇒∫ t

−∞ k.δ(τ).dτ = 0 t > 0⇒∫ t

−∞ k.δ(τ).dτ = k

4)∫ ∞

−∞f(t).δ(t− t0).dt = f(t0) (1.3)

Demonstracao: δ(t0) 6= 0 somente em t = t0:

∫ ∞

−∞f(t).δ(t− t0).dt =

∫ ∞

−∞f(t0).δ(t− t0).dt = f(t0).

∫ ∞

−∞δ(t).dt = f(t0)

1.7 Transformacoes de Variavel Independente

Serao consideradas nesta secao, as operacoes de transformacao de variavel independentede sinais temporais. Neste caso, a variavel independente e o tempo t. As operacoes seraoapresentadas atraves de exemplos. Considere o sinal abaixo como exemplo.

f(t) =

0, se t < 1

1, se −1 ≤ t < 0

1− 0, 5.t, se 0 ≤ t < 2

0, se t ≥ 2

1.7.1 Compressao no tempo:

Ocorre quando a variavel independente e multiplicada por um numero maior do que 1.


Exemplo, determine f(2t):

Substituindo t por 2t na definicao de f(t):

f(2t) =

0, se 2t < 1

1, se −1 ≤ 2t < 0

1− 0, 5.(2t), se 0 ≤ 2t < 2

0, se 2t ≥ 2

⇒ f(2t) =

0, se t < 1/2

1, se −1/2 ≤ t < 0

1− t, se 0 ≤ t < 1

0, se t ≥ 1

Figura 1.19: Exemplo de sinal comprimido no tempo.

1.7.2 Expansao no tempo:

Este caso, ocorre quando a variavel independente e multiplicada por um numero entre0 e 1.

Exemplo, f(1/3t):

Susbstituindo t por 1/3t na definicao de f(t), chega-se ao seguinte sinal modificado:

f(1/3t) =

0, se t < −3

1, se −3 ≤ t < 0

1− 1/6t, se 0 ≤ t < 6

0, se t ≥ 6

Figura 1.20: Exemplo de sinal expandido no tempo.

1.7.3 Deslocamento no tempo:

O sinal e deslocado para a direita se um valor negativo e adicionado a variavel inde-pendente. Reciprocamente, o sinal e deslocado para a esquerda se um valor positivo eadicionado.


Exemplo, f(t + 4):

Susbstituindo t por t + 4 na definicao de f(t), chega-se ao seguinte sinal modificado:

f(t + 4) =

0, se t < −5

1, se −5 ≤ t < −4

−1− 1/2t, se −4 ≤ t < −2

0, se t ≥ −2

Figura 1.21: Exemplo de sinal deslocado no tempo.

1.7.4 Inversao no tempo:

Se a variavel independente for multiplicada por um numero negativo, alem da expansao(ou compressao) no tempo, a funcao sofrera inversao.

Exemplo, f(−t):

Susbstituindo t por −t na definicao de f(t), chega-se ao seguinte sinal modificado(Figura 1.22):

f(−t) =

0, se t ≤ −2

1 + 1/2t, se −2 < t ≤ 0

1, se 0 < t ≤ 1

0, se t > 1

Figura 1.22: Exemplo de sinal invertido no tempo.


Exercıcios:

Calcule analiticamente e desenhe os seguintes sinais:

a) f(t− 3);

b) f(−1/2t);

c) f(3− t);

d) f(2t− 3)

1.8 Solucao de Sistemas Lineares Via Convolucao

Para determinar a saıda de um sistema linear para uma dada entrada x(t), pode-se uti-lizar duas tecnicas basicas. A solucao via equacoes diferenciais e a solucao via convolucaoda entrada com a resposta impulsiva do sistema. Esta segunda tecnica sera descrita aseguir, porem, antes de apresenta-la, deve-se responder algumas questoes importantes,como, por exemplo, o que e resposta impulsiva e o que e convolucao.

1.8.1 Representacao de sinais contınuos em termos de impulsos

Um sinal contınuo pode ser representado por uma sequencia de impulsos deslocados emultiplicados por uma constante.

Considere a funcao impulso, conforme definida anteriormente:

δ∆(t) =

0, se t < 01∆

, se 0 ≤ t ≤ ∆

0, se t > ∆

E esta funcao deslocada de k unidades de tempo:


Entao, uma funcao contınua x(t) pode ser aproximada por uma somatorio de impulsosdeslocados e ponderados. Denotando x(t) como o sinal aproximado:

x(t) =∞∑

k=−∞x(k∆).∆.δ∆(t− k∆) (1.4)

A Figura 1.23 exemplifica este somatorio.

Figura 1.23: Aproximacao de uma funcao contınua x(t) por impulsos de largura ∆.

Tomando o limite para ∆ tendendo a zero, pode-se encontrar x(t) a partir de suaaproximacao x(t).

Relembrando, quando ∆→ 0:∑→∫

; k∆→ τ ; ∆→ dτ e δ∆ → δ. Entao, x(t) podeser escrito como:

x(t) =

∫ ∞

−∞x(τ).δ(t− τ).dτ (1.5)

A verificacao da equacao anterior se da atraves da utilizacao da propriedade de mul-tiplicacao de um sinal pelo impulso (segunda propriedade do impulso unitario, da secao1.6.3) e sabendo que a integral do impulso unitario e 1. Entao:

∫ ∞

−∞x(τ).δ(t− τ).dτ =

∫ ∞

−∞x(t).δ(t− τ).dτ = x(t).

∫ ∞

−∞δ(t− τ).dτ = x(t)

1.8.2 Resposta impulsiva de um sistema LIT e a integral deconvolucao

Nesta secao sera apresentada uma maneira de se calcular a saıda y(t) de um sistemalinear e invariante no tempo (LIT) para uma dada entrada x(t) a partir do conhecimentoda resposta impulsiva do sistema. Para isto, serao utilizadas as propriedades da lineari-dade e invariancia no tempo. Portanto, todo o desenvolvimento apresentado sera validoapenas para sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT).


Resposta impulsiva

O que e a resposta impulsiva de um sistema LIT?

Considere a Figura 1.24 abaixo. Dado um sistema LIT onde a entrada aplicada e umimpulso unitario x(t) = δ(t), a saıda para esta entrada sera definida como a respostaimpulsiva do sistema y(t) = h(t). A notacao h(.) sempre representa uma resposta aoimpulso unitario.

Figura 1.24: Resposta impulsiva de um sistema LIT.

Desenvolvimento conceitual da integral de convolucao

A partir do conhecimento da resposta impulsiva do sistema, pode-se determinar suasaıda para qualquer entrada x(t) utilizando para isso a integral de convolucao, que seradesenvolvida na sequencia.

Considere a resposta impulsiva do sistema1:

δ(t)→ h(t)

Como o sistema e, por definicao, invariante no tempo, a resposta ao impulso deslocadode τ unidades de tempo sera a resposta impulsiva deslocada tambem de τ , portanto:

δ(t− τ)→ h(t− τ)

Multiplicando-se este impulso deslocado por um sinal qualquer x(t), obter-se-a umaamostra do sinal x(t) no instante τ , atuando como uma constante x(τ) que multiplicaδ(t − τ). Entao, pela propriedade da linearidade do sistema, a saıda sera a respostaimpulsiva deslocada tambem multiplicada pela mesma constante x(τ):

x(τ).δ(t− τ)→ x(τ).h(t− τ)

Utilizando a propriedade da superposicao, pode-se somar nesta entrada todos os valorespossıveis de τ . Fazendo os intervalos de tempo τ tendendo a zero, o somatorio torna-seuma integral:

∫ ∞

−∞x(τ).δ(t− τ).dτ →

∫ ∞

−∞x(τ).h(t− τ).dτ

1Note que a representacao em blocos do sistema da Figura 1.24 fui substituıda por uma seta apontandopara a direita. Esta notacao sera utilizada de agora em diante para representar o sistema.


Conforme visto na representacao de sinais atraves de impulsos, equacao (1.5), a entradaaplicada ao sistema acima e a representacao atraves impulsos do sinal x(t). Entao:

x(t)→∫ ∞

−∞x(τ).h(t− τ).dτ = y(t)

A saıda deste sistema:

y(t) =

∫ ∞

−∞x(τ).h(t− τ).dτ (1.6)

e conhecida como integral de convolucao. Atraves de uma mudanca de variavel pode-severificar que:

y(t) =

∫ ∞

−∞x(τ).h(t− τ).dτ =

∫ ∞

−∞x(t− τ).h(τ).dτ (1.7)

Este resultado e de fundamental importancia no estudo de sistemas lineares e inva-riantes no tempo. A equacao (1.7) estabelece que a resposta do sistema para qualquerentrada x(t) e expressa como uma integral envolvendo apenas a entrada e sua respostaimpulsiva h(t). E comum expressar que a saıda e igual a entrada convoluıda com a res-posta impulsiva. Tambem e comum denotar a integral de convolucao de uma maneiramais simplificada:

y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)

Conclusao

O calculo da resposta de estado zero (parcela da resposta total do sistema sem conside-rar as condicoes iniciais) de qualquer sistema linear e invariante no tempo a uma entradaqualquer reduz-se a:

1) Determinacao da resposta impulsiva do sistema h(t);

2) Calculo da integral de convolucao:

y(t) =

∫ ∞

−∞x(τ).h(t− τ).dτ =

∫ ∞

t0

x(t− τ).h(τ).dτ

onde t0 e o instante em que a entrada e aplicada.

1.8.3 Representacao grafica da integral de convolucao

A integral de convolucao da equacao (1.7) pode ser resolvida graficamente e por par-tes, conforme a forma do sinal de entrada e da resposta impulsiva do sistema. Esteprocedimento sera apresentado atraves de um exemplo.


Considere um sistema com a resposta impulsiva h(t) que foi submetido a uma entradax(t). Ambos os sinais sao apresentados na Figura 1.25.

Figura 1.25: Sinais do exemplo de convolucao.

O primeiro passo na solucao grafica da integral de convolucao e adequar x(t) e h(t) deacordo com a integral de convolucao da equacao (1.7). Conforme esta mesma equacao,existem duas formas possıveis. Na primeira, integra-se x(τ).h(t − τ). Neste caso, varia-se o parametro de deslocamento t na resposta impulsiva, ou seja, x(t) e mantido fixoenquanto h(t) percorre o espaco de −∞ < t < ∞ sobrepondo-se com x(t). Na segundaforma acontece o inverso, desloca-se x(t) e mantem-se fixo h(t). Neste exemplo, foiescolhida a segunda forma, mas ambas sao sempre possıveis e devem proporcionar amesma resposta.

Entao, como primeiro passo, coloca-se os sinais em funcao da variavel de integracao τ .Em seguida, faz-se x(−τ). Este sinal e que vai ser deslocado em funcao do parametro t.Aplicando-se este deslocamento, chega-se ao sinal x(t − τ) que juntamente com h(τ) eapresentado a seguir, para t > 0.

Figura 1.26: Transformacoes de variaveis do exemplo de convolucao.

Nesta etapa, os sinais ja estao transformados de acordo com a definicao da integral deconvolucao. Entao, comeca-se o processo de deslocamento de x(t − τ) em funcao de t.Avaliam-se todos os intervalos de integracao possıveis e faz-se o somatorio do resultadodas integrais em cada intervalo. A seguir, o processo de solucao e apresentado para cadaum dos intervalos.

Para t ≤ 0:

Para facilitar a visualizacao, os sinais x(t−τ) e h(τ) serao apresentados em um mesmografico. Para este caso, quando t ≤ 0, nao ha area em comum entre x(t − τ) e h(τ),conforme a Figura 1.27, ilustrada para t = 0:

Entao, o resultado da integral de convolucao para t ≤ 0 e nulo.

yt≤0(t) = 0


Figura 1.27: Sinais do exemplo de convolucao para t = 0.

Para 0 < t < 2:

Quando 0 < t < 2, pode-se ver, pela Figura 1.28, que ha uma area em comum comcom os dois termos da integral. Desta forma, o produto entre eles nao e nulo, e a integraldeve ser calculada.

Figura 1.28: Sinais do exemplo de convolucao para 0 < t < 2.

Nesta situacao, a integral nao e nula apenas para 0 < τ < 2. Entao, calculando aintegral neste intervalo chega-se a saıda y0<t<2(t):

y0<t<2(t) =

∫ t

0

(2− τ).dτ =

(

2.τ − τ 2

2

)∣∣∣∣

t

0

= 2.t− t2

2(1.8)

Para t ≥ 2:

Quando t ≥ 2, a area em comum e sempre a mesma conforme t e aumentado. Estasituacao e mostrada na Figura 1.28.

Figura 1.29: Sinais do exemplo de convolucao para t ≥ 2.

Entao, para t ≥ 2 a integral de convolucao so nao e nula para 0 < τ < 2. No entanto,so limites de integracao, neste caso sao independentes de t:

yt≥2(t) =

∫ 2

0

(2− τ).dτ =

(

2.τ − τ 2

2

)∣∣∣∣

2

0

= 2.2− 4

2= 2 (1.9)


O calculo da integral, neste caso, e equivalente ao calculo da area na Figura 1.29.

Solucao final:

A solucao final, ou seja, a saıda do sistema, e o sinal resultante da composicao dassaıdas encontradas em cada intervalo analisado. Fazendo a composicao para este exemplo,chega-se a seguinte saıda para o sistema para a entrada considerada:

Figura 1.30: Resultado do exemplo de convolucao.

1.8.4 Propriedades da operacao de convolucao

A integral de convolucao da equacao (1.6) possui tres propriedades importantes queserao descritas a seguir:

1. Propriedade Comutativa: Conforme a equacao (1.7), a integral de convolucao esimetrica com respeito a x(t) e h(t):

x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)

2. Propriedade Associativa: O resultado da convolucao de tres ou mais funcoes eindependente da ordem em que cada convolucao e realizada:

[x(t) ∗ h1(t)] ∗ h2(t) = x(t) ∗ [h1(t) ∗ h2(t)] = x(t) ∗ [h2(t) ∗ h1(t)]

Em representacao de blocos:

3. Propriedade Distributiva: Pela propriedade distributiva, a soma de duas convolucoese equivalente a convolucao das somas da funcoes:

x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2(t) = x(t) ∗ [h1(t) + h2(t)]

Na representacao por diagrama de blocos:


1.8.5 Resposta ao degrau da um sistema LIT

Sera derivada agora uma expressao geral para a saıda de um sistema com respostaimpulsiva h(t) quando uma entrada degrau unitario e aplicada em sua entrada. Denota-se s(t) como a saıda do sistema quando x(t) = u(t).

Adequando o sinal de entrada assim como foi feito no exemplo da secao 1.8.3, chega-sea seguinte expressao para a integral de convolucao:

s(t) =

∫ ∞

−∞h(τ).u(t− τ).dτ

Atraves Figura 1.31 que mostra a entrada deslocada u(t− τ) utilizada na convolucao,percebe-se que a saıda de um sistema para esta entrada pode ser descrita como a integralde −∞ ate t da propria resposta impulsiva do sistema. Ou seja:

s(t) =

∫ t

−∞1.h(τ).dτ

Figura 1.31: u(t− τ).

Bibliografia

PHILLIPS, C. L.Signals, Systems, and Transforms, Prentice-Hall Inc.:New Jersey, USA,1995, 707p.

GIROD, B.; RABENSTEIN, R.; STENGER, A. Sinais e Sistemas, LTC Editora:Rio deJaneiro, RJ, 2003, 340p.

Capıtulo 2

Serie de Fourier

2.1 Introducao

Uma tecnica de analise comum em engenharia e a particao de problemas complexosem problemas mais simples. Os problemas mais simples sao entao resolvidos e a solucaototal se torna a soma das solucoes mais simples. Um exemplo desta tecnica de analise ea expansao de um sinal em serie de Taylor. Neste caso, uma funcao f(t) e expressa comoa soma de uma constante, uma funcao rampa, uma funcao parabola e assim por diante,conforme a equacao abaixo.

f(t) = f(0) + f ′(0)t + f ′′(0).t2

2!+ . . .

Assim, o problema envolvendo f(t) e resolvido considerando uma constante, depois afuncao rampa e assim por diante.

Para que a analise de problemas complexos possa ser resolvida atraves de subproble-mas mais simples, tres requisitos devem ser atendidos: 1) Deve ser possıvel expressar oproblema como um numero de problemas mais simples; 2) O problema deve ser linear,caso contrario, a soma das solucoes mais simples nao sera igual a solucao do problemacomo um todo; 3) As contribuicoes das funcoes mais simples devem ser negligenciaveisapos se considerar alguns termos, caso contrario o ganho com a simplificacao da solucaodos problemas mais simples pode ser perdido.

Esta tecnica pode ser aplicada na solucao de sistemas lineares. Considere um sistemalinear onde a entrada aplicada e um sinal complexo de tal forma o calculo da saıda edificultado. Se o sinal puder ser expresso com uma serie de Taylor, por exemplo, pode-secalcular a saıda do sistema para cada termo separadamente. A solucao total sera entaoa soma destas solucoes.

As series de Fourier a serem estudadas neste capıtulo tem essa finalidade. Sao tecnicasde analise que buscam decompor um sinal periodico qualquer em um somatorio de sinaisperiodicos senoidais, mais simples. Com isso, pode-se determinar a saıda de um sistema


linear para uma entrada complexa somando-se as saıdas para entradas mais simples, oque e computacionalmente mais atraente.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) foi um matematico e fısico frances que es-tudou extensivamente a conducao do calor. Ele desenvolveu o que agora e chamado deAnalise de Series de Fourier, para aplicar a solucao de equacoes diferenciais parciais quesurgiram nos seu estudos de conducao de calor. A princıpio ele nao foi capaz de provarde uma forma geral que sua infinita serie de senos e cossenos realmente convergia para afuncao que deveria representar. Esta prova so foi obtida aproximadamente 100 anos maistarde.

Antes de se apresentar a serie de Fourier propriamente dita, deve-se definir o que saofuncoes periodicas e a resposta de sistemas LIT a funcoes exponenciais, uma vez que agrande maioria dos sinais utilizados neste capıtulo se enquadram nestas categorias.

2.1.1 Sinais periodicos

Uma funcao x(t) e dita periodica se para um perıodo T a relecao x(t) = x(t + T ) esatisfeita para todo t. Por exemplo, a funcao cosω.t e periodica (ω = 2πf = 2π/T ) pois:

cos ω(t + T ) = cos(ωt + ωT ) = cos(ωt + 2π) = cos ωt

As funcoes periodicas tem as seguintes propriedades:

1) Funcoes periodicas sao validas para todo tempo, ou seja, na equacao x(t) = x(t+T )nao ha limite imposto em t;

2) A funcao periodica com perıodo T e tambem periodica com perıodo nT , onde n eum inteiro. Entao, para uma funcao periodica:

x(t) = x(t + T ) = x(t + nT )

3) O perıodo fundamental T0 e o mınimo valor do perıodo T > 0 que satisfaz x(t) =x(t + T ). A frequencia fundamental e definida como ω0 = 2πf0 = 2π/T0.

2.1.2 Resposta de sistema LIT a sinais exponenciais

A resposta de um sistema para uma entrada exponencial do tipo est, onde s e umparametro constante e independente do tempo t, pode ser determinada utilizando-se aintegral de convolucao. Assim, para o sistema

x(t) = est → y(t)

a saıda e dada por:

y(t) =

∫ ∞

−∞h(τ).x(t− τ).dτ =

∫ ∞

−∞h(τ).es(t−τ).dτ


y(t) = est

∫ ∞

−∞h(τ).e−sτ .dτ = H(s).est

Entao, a resposta de um sistema LIT a excitacao exponencial e a mesma exponencialda entrada, modificada pelo numero complexo H(s).

2.2 As Series Trigonometricas de Fourier

Nesta secao sera apresentada a serie de Fourier em sua forma trigonometrica. Emuma secao posterior esta tambem sera apresentada na forma exponencial que tambem ebastante utilizada para a representacao de sinais periodicos.

Considera-se, entao, uma funcao f(t) periodica, conforme foi definida anteriormente:

f(t) = f(t + T ) (2.1)

onde T e o perıodo.

O teorema de Fourier mostra que uma funcao periodica f(t) pode ser representada porum somatorio ponderado de senos e cossenos. Para isso, f(t) deve satisfazer algumaspropriedades, que sao condicoes suficientes para atestar a existencia de uma serie deFourier. Estas condicoes, tambem chamadas de Condicoes de Dirichlet, sao descritas aseguir. Qualquer sinal que apareca em um sistema fısico ira satisfazer estas condicoes.

1) Existe um unico valor de f(t) para qualquer t;

2) A integral∫ t0+T

t0

|f(t)| .dt

existe, ou seja, nao e indefinida, para qualquer valor de t0;

3) f(t) possui um numero finito de descontinuidades em qualquer perıodo;

4) f(t) tem um numero finito de maximos e mınimos em qualquer perıodo.

A serie de Fourier propriamente dita, possui infinitos termos e tem a seguinte forma:

f(t) = a0 + a1. cos ω0t + a2. cos 2ω0t + . . . + b1. sin ω0t + b2. sin +2ω0t + . . . (2.2)

Escrevendo e equacao (2.2) de uma forma mais compacta:


f(t) = a0 +∞∑

k=1

(ak. cos(k.ω0t) + bk. sin(k.ω0t)) (2.3)

A frequencia fundamental ω0 e relacionada ao perıodo T atraves de

ω0 =2.π

T

e a0, ak e bk sao constantes que dependem de k e f(t). O ındice k, que e um numero inteiro,indica quantas vezes a frequencia da componente ak ou bk e maior do que a frequenciafundamental. Cada componente ak e bk da serie forma um componente harmonico dosinal.

O processo de determinacao dos valores de a0, ak e bk e chamado de analise de Fourier.Nesta analise, estes coeficientes sao dados pelas seguintes equacoes:

a0 =1

T

∫ t0+T

t0

f(t).dt (2.4)

ak =2

T

∫ t0+T

t0

f(t). cos(k.ω0t).dt (2.5)

bk =2

T

∫ t0+T

t0

f(t). sin(k.ω0t).dt (2.6)

Percebe-se que o termo a0 representa o valor medio da funcao f(t) no perıodo, ou seja,o termo com frequencia nula.

A Figura 2.1 apresenta um exemplo de um sinal periodico quadrado decomposto emserie de Fourier. Sao apresentadas quatro curvas, representando o sinal formado por umaserie de uma, tres, cinco e infinitas componentes.

Exemplo 2.1 Determine a serie de Fourier do sinal da Figura 2.2.

O perıodo deste sinal e T = 2.π. A frequencia angular e ω0 = 2.π/T = 1 rad/s

Calculo dos termos da serie de Fourier:

a0 =1

2π

∫ 2π

0

f(t).dt = 0

ak =2

2π

[∫ π

0

1. cos kt.dt +

∫ 2π

π

−1. cos kt.dt

]

= 0

bk =2

2π

[∫ π

0

1. sin kt.dt +

∫ 2π

π

−1. sin kt.dt

]

=

4

πk, se k e ımpar

0, se k e par


0 1 2 3 4 5 6 7

-1.3

-0.9

-0.5

-0.1

0.3

0.7

1.1

1.5

k = 1

k = 5k = 3

t

f(t)

Figura 2.1: Aproximacao de sinais pela serie trigonometrica de Fourier.

Figura 2.2: Sinal do exemplo 1.

A expressao para a serie de Fourier deste sinal e entao dada pela equacao abaixo, ondeo termo (2k − 1) e utilizado para anular a expressao quando k e par.

f(t) =4

π.

∞∑

k=1

sin(2k − 1)t

(2k − 1)

Expandindo em serie:

f(t) =4

π. sin t +

4

3π. sin 3t +

4

5π. sin 5t + . . .

2.2.1 Simetria das Formas de Onda

As funcoes periodicas a serem utilizadas nos sistemas lineares frequentemente apresen-tam uma forma de onda simetrica em relacao a um dos eixos coordenados. Estas funcoespodem ser classificadas de duas formas: Funcoes pares e funcoes ımpares. A partir desta


classificacao, o calculo da serie de Fourier para cada uma pode ser simplificado em funcaode sua simetria.

Funcoes Pares: Funcao par e aquela em que f(t) = f(−t). Esta funcao e simetrica emrelacao ao eixo vertical. Considere o sinal exemplo da figura abaixo:

Figura 2.3: Exemplo de funcao par.

As areas indicadas na figura entre a e −a sao dadas pelas integrais∫ a

0

f(t).dt e

∫ a

0

f(t).dt

que sao iguais, portanto:

∫ a

−a

f(t).dt = 2

∫ a

0

f(t).dt

Outros exemplos de funcoes pares sao: |t|, t2 − 5 e cos βt

Funcoes Impares: Funcao ımpar e aquela em que f(t) = −f(−t). Ou seja, ha umasimetria em relacao a origem, conforme o exemplo da figura abaixo.

Figura 2.4: Exemplo de funcao ımpar.

Percebe-se que para este caso, a soma das areas indicadas e nula, ou seja:∫ a

−a

f(t).dt = 0

Como exemplos de funcoes ımpares, pode-se citar: t, t3 + 6.t e sin βt

Algumas observacoes interessantes podem ser feitas a respeito de operacoes com funcoespares e ımpares.


1. O produto de duas funcoes ımpares resulta em uma funcao par:

f(t) = f1(t).f2(t) = [−f1(−t)].[−f2(−t)]

⇓f(t) = f1(−t).f2(−t) = f(−t)

2. O produto de duas funcoes pares resulta em uma funcao par. A demonstracao eanaloga a anterior;

3. O produto de uma funcao ımpar com uma par resulta em uma funcao ımpar;

4. A soma de duas funcoes ımpares e uma funcao ımpar;

5. A soma de duas funcoes pares e uma funcao par;

6. A soma de uma funcao ımpar com uma funcao par resulta em uma funcao que naoe nem par, nem ımpar.

Uma outra propriedade interessante e que qualquer sinal pode ser expresso como umasoma de uma parcela par com uma parcela ımpar, conforme o desenvolvimento apresen-tado em seguida.

x(t) = xi(t) + xp(t)

onde os ındices i e p representam as parcelas ımpar e par respectivamente. Substituindot por −t na equacao acima:

x(−t) = xi(−t) + xp(−t) = xp(t)− xi(t)

Somando as duas equacoes anteriores:

xp(t) =1

2[x(t) + x(−t)]

Consequentemente:

xi(t) =1

2[x(t)− x(−t)]

A partir destas propriedades pode-se perceber que o calculo dos coeficientes da seriede Fourier para sinais com simetria pode ser simplificado fazendo as integrais com limitesde −T/2 a T/2 ao inves de 0 a T . Desta forma:

a0 = 1T

∫ T/2

−T/2f(t).dt (2.7)

ak = 2T

∫ T/2

−T/2f(t). cos(k.ω0t).dt para k 6= 0 (2.8)

bk = 2T

∫ T/2

−T/2f(t). sin(k.ω0t).dt para k 6= 0 (2.9)

Utilizando estes novos limites de integracao pode-se verificar que dependendo da funcaof(t) ser par ou ımpar alguns termos da serie de Fourier nao precisam ser calculados, poisja sabe-se de antemao que sao nulos.


Considere que f(t) e par. Com isso, f(t). cos k.ω0t e tambem par, pois conforme vistoanteriormente, o produto de duas funcoes pares e tambem uma funcao par. Da mesmaforma, o produto f(t). sin k.ω0t e ımpar. Entao as equacoes (2.7), (2.8) e (2.9) tornam-se:

a0 = 2.1

T

∫ T/2

0

f(t).dt (2.10)

ak = 2.2

T

∫ T/2

0

f(t). cos(k.ω0t).dt para k 6= 0 (2.11)

bk = 0 para k 6= 0 (2.12)

Da mesma forma, se f(t) for ımpar:

a0 = ak = 0 (2.13)

bk = 2.2

T

∫ T/2

0

f(t). sin(k.ω0t).dt para k 6= 0 (2.14)

Estes resultados sao coerentes com o raciocınio intuitivo: Se senos sao funcoes ımpares,estes nao devem estar presentes na representacao em serie de Fourier de funcoes pares.Caso isto acontecesse, a serie de Fourier seria um somatorio de funcoes pares e ımpares,o que resultaria em uma funcao nem par nem ımpar. Por isso, necessariamente os termosbk tem que ser nulos para a representacao em serie de Fourier de funcoes pares. O mesmoraciocınio e valido para representacao de funcoes ımpares, onde os termos pares (ak) e otermo constante sao nulos. Alem disso, quando se representa funcoes simetricas atravesde series de Fourier, os termos nao nulos podem ser obtidos atraves da integracao sobremeio perıodo do sinal. Multiplicando-se as integrais por 2 para corresponderem ao perıodototal T .

Em alguns casos e interessante deslocar provisoriamente o eixo vertical ou horizontalda uma funcao, ou mesmo ambos, de modo a criar uma funcao par ou ımpar e com issotirar proveito das simplificacoes possıveis para funcoes simetricas. A serie de Fourierencontrada para esta funcao modificada e ao final deslocada novamente para se obter arepresentacao correta da funcao original. O exemplo a seguir ilustrara este procedimento.


Exemplo 2.2 Encotre as series de Fourier para f1(t) e f2(t), dadas pelas Figuras 2.5 e2.6. Utilize as simplificacoes para funcoes simetricas.

Figura 2.5: f1(t) do exemplo 2.2.


a) Por inspecao, a componente DC de f1(t) e:

a0 =1

2

e a frequencia angular e

ω0 =2π

T=

2π

2π= 1 rad/s

Ja que f1(t) e uma funcao par:

bk = 0

e

ak = 2.

(1

π

∫ π

0

t

π. cos kt.dt

)

Resolvendo a integral, chega-se a:

ak =2

π.

(cos kπ

πk2− 1

πk2

)

=

−4

π2k2 , se k e ımpar

0, se k e par

A serie expandida fica entao:

f1(t) =1

2+

4

π2.

(

cos t +1

9. cos 3t +

1

15. cos 5t + . . .

)


Caso nao fossem utilizadas as simplificacoes da simetria, as seguintes expressoes deve-riam ser calculadas:

ak =1

π

[∫ π

0

t

π. cos kt.dt +

∫ 2π

π

(

2− t

π

)

cos kt.dt

]

bk =1

π

[∫ π

0

t

π. sin kt.dt +

∫ 2π

π

(

2− t

π

)

sin kt.dt

]

Este calculo levaria ao mesmo resultado, porem, com maior esforco.

b) Apesar de nao ser difıcil encontrar a serie de Fourier diretamente para f2(t), pode-setentar realocar os eixos de forma a utilizar as relacoes de simetria. Embora f2(t) naoseja, nem par nem ımpar, subtraindo-se a constante 1/2 tem-se como resultado uma novafuncao f3(t) que e ımpar. Esta funcao modificada, pode ser vista na Figura 2.7.


Como f3(t) e ımpar:a0 = ak = 0

bk = 2.1

π

∫ π

0

1

2. sin kt.dt =

−1

k.π. (cos k.π − 1) =

2

kπ, se k e ımpar

0, se k e par

Expandindo a serie para f3(t):

f3(t) =2

π.

(

sin t +1

3. sin 3t +

1

5. sin 5t + . . .

)

Somando a constante 1/2, chega-se a funcao f2(t):

f2(t) =1

2+

2

π.

(

sin t +1

3. sin 3t +

1

5. sin 5t + . . .

)

Alternativamente, o eixo vertical poderia ter sido deslocado para criar uma funcao par,f4(t), vista na Figura 2.8.



Como a funcao e par:bk = 0

Por inspecao,

a0 =1

2

Os termos ak sao dados pela seguinte integral:

ak = 2.1

π

∫ π/2

0

1. cos kt.dt =

2

kπ, se k e ımpar

−2kπ

, se k e par

ak =2

kπ.(−1)

(k−1)2

Expandindo em serie:

f4(t) =1

2+

2

π.

(

cos t− 1

3. cos 3t +

1

5. cos 5t + . . .

)

Inserindo um atraso correspondente ao movimento do eixo π/2 unidades de tempochega-se a funcao f2(t) novamente:

f2(t) =1

2+

2

π.

[

cos(

t− π

2

)

− 1

3. cos

(

3t− 3π

2

)

+ . . .

]

Utilizando a relacao trigonometrica cos(x+y) = cos x. cos y− sin x. sin y obtem-se umaexpressao final simplificada para f2(t):

f2(t) =1

2+

2

π.

(

sin t +1

3. sin 3t +

1

5. sin 5t + . . .

)

2.2.2 Observacoes Adicionais

Quando na representacao de uma funcao por serie de Fourier

f(t) = a0 +∞∑

k=1

(ak. cos(k.ω0t) + bk. sin(k.ω0t))


tanto os termos seno quanto cosseno estao presentes, algumas vezes e preferida a utilizacaodo tipo:

f(t) = a0 +∞∑

k=1

Ak. cos(k.ω0t + φk)

onde:

Ak =√

a2k + b2

k

e

φk = − tan−1 bk

ak

pois desta forma se mostra claramente a amplitude Ak e o angulo de fase da kesima

harmonica.

2.3 Propriedades das Series de Fourier

A seguir serao apresentadas as propriedades das series de Fourier. Estas propriedadessao bastante uteis em suas aplicacoes.

1) As series de Fourier convergem para o valor de x(t) em cada ponto de continuidadeonde x(t) tem derivadas tanto pelo lado direito quanto pelo lado esquerdo, sendoestas derivadas iguais ou diferentes;

2) Se x(t) tem uma descontinuidade em um ponto, as series de Fourier convergempara a media dos limites aproximados de x(t) pela direita e pela esquerda, ou seja,a cada ponto ta:

a0 +∞∑

k=1

(ak. cos(k.ω0t) + bk. sin(k.ω0t)) =x(t−a ) + x(t+a )

2

onde x(t−a ) e o valor limite de x(t) quando t se aproxima de ta pela esquerda e x(t+a )e o valor limite pela direita. Percebe-se que a equacao acima tambem e satisfeitapara ta como ponto de continuidade;

3) Quase toda funcao contınua x(t) de perıodo T0 pode ser uniformemente aproximadapor uma serie truncada de Fourier com qualquer grau pre-definido de exatidao. Oerro desta aproximacao e dado por:

e(t) = x(t)− a0 −N∑

k=1

(ak. cos(k.ω0t) + bk. sin(k.ω0t))

Esta propriedade diz que este erro pode ser limitado por qualquer valor nao nulocom a escolha de N suficientemente grande;

4) O erro medio quadratico (EMQ) e definido como:

EMQ =1

T0

∫ t0+T

t0

e2(t).dt

Nenhuma outra escolha de coeficientes das series produzira um EMQ menor;


5) Uma soma de funcoes trigonometricas de ω0t que e periodica e sua propria serie deFourier;

6) Os coeficientes do kesimo harmonico de x(t) sempre decai em magnitude por nomınimo 1/k. Se x(t) tem uma ou mais descontinuidades no perıodo, os coeficientesnao decaem mais rapidamente do que isto;

7) As series de Fourier de uma soma de funcoes periodicas e a soma da serie de Fourierde cada funcao. Esta propriedade so e valida se a soma das funcoes periodicasresultar tambem em uma funcao periodica.

A terceira propriedade e bastante importante pois diz que quase qualquer funcaocontınua pode ser aproximada por uma serie de Fourier truncada, com qualquer graude exatidao. Considere agora a aproximacao de uma funcao nao contınua, como um sinalperiodico quadrado. A Figura 2.9 ilustra esta aproximacao. Em (a), esta o primeiroharmonico, em (b) a soma do primeiro e terceiro harmonico e em (c) o somatorio ate onono harmonico. Conforme e aumentado o numero de componentes na serie de Fourier,o erro de aproximacao e evidentemente diminuıdo.

1

−1

π4

2π4

3π4

π−π4

−2π4

−3π4

−π

k=

1k

=3

k=

5k

=7

Figura 2.9: Aproximacao de uma funcao nao contınua e o fenomeno de Gibbs.

A Figura 2.9 tambem ilustra o chamado fenomeno de Gibbs. Neste fenomeno, os ripplesna forma de onda da serie se tornam mais suaves conforme o numero de componentesaumenta. Entretanto, a amplitude do ripple mais proximo da descontinuidade nao seaproxima de zero, apenas se aproxima de 9% da amplitude da descontinuidade.

2.4 Serie Exponencial de Fourier

Nesta secao, sera derivada uma outra forma da serie de Fourier, que e reescrita naomais como um somatorio de senos e cossenos, mas sim como um somatorio de termos


exponenciais da forma ejωt. Apesar de ambas as formas apresentarem o mesmo resultado,a forma exponencial tem certas vantagens e proporciona uma base para o subsequentedesenvolvimento das transformadas de Fourier e Laplace.

A forma trigonometrica da serie de Fourier para uma funcao periodica e real e reescritaabaixo.

f(t) = a0 +∞∑

k=1

ak. cos(k.ω0t) +∞∑

k=1

bk. sin(k.ω0t) (2.15)

Para determinar a forma exponencial (ou complexa) da serie de Fourier sao utilizadasas seguintes relacoes:

cos θ =ejθ + e−jθ

2(2.16)

sin θ =ejθ − e−jθ

j2(2.17)

e±jθ = cos θ ± j sin θ (2.18)

Substituindo as relacoes acima na equacao (2.15):

f(t) = a0 +∞∑

k=1

(ak

2+

bk

j2

)

.ejkω0t +∞∑

k=1

(ak

2− bk

j2

)

.e−jkω0t

Eliminado j dos denominadores:

f(t) = a0 +∞∑

k=1

1

2(ak − jbk) .ejkω0t +

∞∑

k=1

1

2(ak + jbk) .e−jkω0t (2.19)

Fazendo

Fk =1

2.(ak − jbk) (2.20)

F−k =1

2.(ak + jbk) (2.21)

e verificando que Fk = F ∗−k, pode-se reescrever a equacao (2.19) como:

f(t) =∞∑

k=−∞Fk.e

jkω0t (2.22)

Para se chegar a expressao geral dos coeficientes da serie exponencial de Fourier, usan-se as equacoes dos termos ak e bk, dados pelas equacoes (2.5) e (2.6), substituindo-as na


equacao (2.20). Com isso,

Fk =1

T

∫ t0+T

t0

[f(t).(cos(k.ω0.t)− j sin(k.ω0.t))] .dt

entao:

Fk =1

T

∫ t0+T

t0

f(t).e−jkω0t.dt (2.23)

Ao contrario da serie trigonometrica, os coeficientes da serie exponencial de Fouriersao numeros complexos, ou seja, possuem modulo e fase:

Fk =ak − jbk

2=

√

a2k + b2

k

2∠− tan−1

(bk

ak

)

Fk =Ak

2∠θk

Assim, os coeficientes Fk possuem um significado fısico. O modulo de Fk correspondea um meio da amplitude da harmonica de ordem k o seu angulo e o angulo de defasagemda harmonica k com respeito a um sinal cosseno.

As equacoes abaixo apresentam estas ralacoes de modulo e fase tambem para F−k:

Fk = |Fk|∠θk ; F−k = |F−k|∠θ−k (2.24)

|Fk| = |F−k| =1

2.√

a2k + b2

k (2.25)

θk = − arctanbk

ak

(2.26)

θk = −θ−k (2.27)

A serie exponencial de Fourier nao e uma serie diferente da trigonometrica, mas sim,ambas sao formas diferentes de se expressar a mesma serie. Com isso, os coeficientes deuma podem ser obtidos da outra. Em parte, isto pode ser ser verificado nas equacoes(2.20) e (2.21) onde os coeficientes da serie exponencial sao determinados atraves doscoeficientes da serie trigonometrica. Ja a relacao inversa, ou seja, a determinacao doscoeficientes da serie trigonometrica em funcao daqueles da serie exponencial e dada pelasequacoes a seguir.

a0 = F0 (2.28)

ak = Fk + F−k (2.29)

bk = j(Fk − F−k) (2.30)


2.4.1 Serie de Fourier exponencial para sinais simetricos

Da mesma forma que na serie trigonometrica de Fourier, o calculo dos coeficientes daserie exponencial tambem pode ser simplificado para funcoes pares ou ımpares, pois nemtodos os coeficientes precisam ser calculados. Alem disso, se o sinal e simetrico, pode-seintegrar sobre meio perıodo e multiplicar o resultado por dois.

Para uma funcao par, os coeficientes sao reais, dados pela equacao abaixo (integrandoem meio perıodo).

F0 =2

T

∫ T/2

0

f(t).dt (2.31)

Fk =2

T

∫ T/2

0

f(t). cos(k.ω0.t).dt (2.32)

Ja para uma funcao ımpar:

Fk = −j2

T

∫ T/2

0

f(t). sin(k.ω0.t).dt (2.33)

A mudanca de eixos feita para tornar o sinal par ou ımpar tambem pode ser feita paraa serie exponencial, da mesma forma do que na serie trigonometrica.

Problema 2.1 Deduza as equacoes expostas acima dos coeficientes da serie exponencialde Fourier para sinais simetricos.

Exemplo 2.3 Encontre a serie de Fourier exponencial da funcao f3(t) do exemplo 2.2,reapresentada na Figura 2.10 abaixo, com ω0 = 1 rad/seg.


A expressao geral dos coeficientes da serie, a partir da equacao (2.23), fica:


Fk =1

2.π

[∫ 0

−π

(

−1

2

)

.e−jkt.dt +

∫ π

0

1

2.e−jkt.dt

]

Como a funcao e ımpar, F0 = 0 e Fk = 0 quando k for par. Entao, pela equacao(2.33), para k ımpar chega-se a seguinte expressao:

Fk = −j.1

π

∫ π

0

1

2. sin(k.t).dt

Resolvendo a integral:

Fk = − j

k.π=

1

k.π∠− 90

Entao, a serie exponencial de Fourier para esta funcao e escrita abaixo, apresentandoapenas os termos para −5 ≤ k ≤ 5.

f3(t) = − j

π.ejt − j

3.π.ej3t − j

5.π.ej5t − · · ·+ j

π.e−jt +

j

3.π.e−j3t +

j

5.π.e−j5t − · · ·

Para relacionar este resultado com aquele obtido com a serie trigonometrica do exemplo2.2, combinam-se os termos exponenciais da equacao anterior para que a relacao de Eulerpossa ser utilizada. Com isso, o resultado em termos de seno e cosseno fica:

f3(t) =2

π.

(

sin t +1

3. sin 3t +

1

5. sin 5t + . . .

)

Nota-se que este resultado, conforme esperado, e identico ao resultado obtido no exem-plo 2.2.

2.5 O Espectro de Frequencias de Sinais Periodicos

Verificou-se que a expansao de uma funcao periodica em serie de Fourier resulta emuma outra forma de representacao desta mesma funcao em termos de suas componentesde varias frequencias. Estas componentes sao representadas pelos termos da serie deFourier. Assim, uma funcao periodica com perıodo T tem componentes de frequenciasangulares ω0, 2.ω0, 3.ω0, . . . , n.ω0, onde ω0 = 2.π/T . Isto permite que a mesma funcaoseja representada de dois modos diferentes, um em funcao do tempo e outro em funcaoda frequencia. Esta representacao em funcao da frequencia e chamada de espectro defrequencias que e formado pelas componentes de frequencia da funcao periodica. Deve-sesalientar que o espectro de frequencias nao e uma funcao contınua, mas sim discreta, umavez que este so existe em ω = ω0, 2.ω0, 3.ω0, . . ., etc.

O espectro de frequencia e normalmente apresentado como um grafico com uma serie delinhas verticais, igualmente espacadas e com alturas proporcionais ao coeficiente da com-ponente de frequencia correspondente. Nos casos em que os coeficientes sao numeros com-plexos, sao necessarios dois espectros de frequencias: O espectro de amplitude (modulo


dos coeficientes de serie) e o espectro de fase (fase dos coeficientes). Na maioria dos casosos coeficientes sao reais, sendo apenas necessario o espectro de amplitude das componen-tes de frequencia.

Exemplo 2.4 Faca a expansao em serie exponencial de Fourier da funcao porta periodicamostrada na Figura 2.11. Plote o espectro de frequencia.

Figura 2.11: Funcao porta do exemplo 2.4.

Conforme indicado na figura, a funcao tem largura δ e se repete a cada T segundos.Pode-se entao descreve-la analiticamente:

f(t) =

A se −δ/2 < t < δ/2

0 se δ/2 < t < T − δ/2

Os limtes de integracao serao escolhidos de −δ/2 ate (T −δ/2) por conveniencia. Comisso, os coeficientes da serie exponencial sao calculados atraves da equacao (2.23):

Fk =1

T

∫ T−δ/2

−δ/2

f(t).e−jkω0t.dt

=

∫ δ/2

−δ/2

A.e−jkω0t.dt

=−A

jkω0T.e−jkω0t

∣∣∣∣

δ/2

−δ/2

=2.A

kω0T.(ejkω0δ/2 − e−jkω0δ/2)

2j

=A.δ

T.

[sin(kω0δ/2)

kω0δ/2

]

(2.34)

A funcao entre colchetes e do tipo sin(x)x

. Esta funcao e conhecida como a funcao deamostragem, a qual e bastante importante na teoria de comunicacao. Normalmente ela eabreviada por Sa(x):

Sa(x) =sin(x)

x


O Grafico de Sa(x) e apresentado na Figura 2.12. Esta funcao oscila com perıodo 2π,com amplitude decrescente em ambas direcoes de x e tem zeros em x = ±π, ±2π, . . . ,etc.

π 2π 3π 4π 5π 6π−π−2π−3π−4π−5π−6π

x

Sa(x)

Figura 2.12: Grafico da funcao amostragem: Sa(x) = sin(x)x

.

Feita a definicao da funcao amostragem, pode-se voltar ao exemplo. Pode-se escreverequacao (2.34) em termos de Sa(x). Assim:

Fk =A.δ

T.Sa(kω0δ/2)

Como

ω0 =2.π

Te

k.ω0δ

2=

k.π.δ

T

pode-se reescrever a equacao dos coeficientes da serie de Fourier como:

Fk =A.δ

T.Sa

(k.π.δ

T

)

Finalmente, a funcao f(t) representada no domınio da frequencia e obtida a partir daequacao 2.22:

f(t) =A.δ

T

∞∑

k=−∞Sa

(k.π.δ

T

)

.ejkω0t

Para o tracado do espectro de frequencias, algumas observacoes devem ser feitas. Pri-meiramente, o valor dos coeficientes Fk e real, e com isso apenas o espectro de amplitudeprecisa ser tracado. Tambem nota-se que a funcao Sa(x) e par. Com isso, o espectro defrequencias dado por Fk tambem sera par, ja que Fk = F−k. A frequencia fundamental eω0 = 2.π/T . Assim, conforme mencionado anteriormente, o espectro de frequencia e umafuncao discreta e ja que e par, existe apenas em ω0 = 0, ±2.π/T, ±4.π/T, ±6.π/T, . . . ,


etc., com amplitude A.δ/T, (A.δ/T ).Sa(π.δ/T ), (A.δ/T ).Sa(2.π.δ/T ), . . . , etc., respec-tivamente.

O grafico do espectro de frequencia sera tracado para uma largura do pulso δ de 1/20segundo. O perıodo T sera tomado como 1/4, 1/2 e 1 segundo sucessivamente.

Para δ = 1/20 e T = 1/4 a frequencia fundamental e ω0 = 8.π e o espectro de frequenciae dado por:

Fk =A

5.Sa

(k.π

5

)

Nota-se que como ω0 = 8.π, o espectro existe em ω = 0, ±8.π, ±16.π ± 24.π, . . . ,etc., conforme pode ser visto na Figura 2.13(a).

Para δ = 1/20 e T = 1/2 a frequencia fundamental e ω0 = 4.π e o espectro de frequenciae dado por:

Fk =A

10.Sa

(k.π

10

)

Este espectro existe apenas em ω = 0, ±4.π, ±8.π ± 12.π, . . . , etc. e pode ser vistona Figura 2.13(b).

Finalmente, para T = 1 a frequencia fundamental e ω0 = 2.π e o espectro existe apenasem ω = 0, ±2.π, ±4.π ± 6.π, . . . , etc. dado pela equacao abaixo e visto na Figura2.13(c).


20π 40π 60π 80π 100π 120π−20π−40π−60π−80π−100π−120π

b

b

b bb

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

bb b

b

b

δ = 120

, δT

= 15, T = 1

4

ω

A5

(a)

20π 40π 60π 80π 100π 120π−20π−40π−60π−80π−100π−120π

b b b b b b b b b bb

bb

b b b b bb

bb

b

b

b

b

b

b

bb

b b bb

b

b

b

b

b

b

b

bb

bb b b b b

bb

bb b b b b b b b b b

δ = 120

, δT

= 110

, T = 12

ω

A10

(b)

20π 40π 60π 80π 100π 120π−20π−40π−60π−80π−100π−120π

b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

b b bb b

b bb b

b bb b

b bb b

b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

b b b bb b b b

b b b b b b b b b b b b b b b b b b

δ = 120

, δT

= 120

, T = 1

ω

A20

(c)

Figura 2.13: Espectros de frequencia para o exemplo 2.4.

Bibliografia

PHILLIPS, C. L. Signals, Systems, and Transforms, Prentice-Hall Inc.:New Jersey,USA, 1995, 707p.

CLOSE, C. M. The Analysis of Linear Circuits, Harcourt, Brace & World, Inc.:NewYork, USA, 1966, 716p.

LATHI, B. P. Sistemas de Comunicacao, Editora Guanabara, S. A.:Rio de Janeiro, RJ,1979, 401p.

Capıtulo 3

Transformada de Fourier

Neste capıtulo estudaremos a transformada de Fourier e como essa transformada podenos auxiliar na analise de sinais e suas propriedades. A transformada de Fourier trans-forma um sinal f(t) numa funcao complexa F (ω), conhecida como espectro do sinal f(t).As equacoes que definem a transformacao de variaveis (f(t) para F (ω) e vice-versa) saodadas em (3.1). Estas operacoes, conhecidas como transformada de Fourier e sua inversasao ilustradas na figura 3.1.

f(t) F (ω)

F [f(t)]

F−1[F (ω)]

Figura 3.1: Operador Transformada de Fourier e seu inverso

f(t) = F−1[F (ω)] = 12π

∫∞−∞ F (ω)ejωtdω

F (ω) = F [f(t)] =∫∞−∞ f(t)e−jωtdt

(3.1)

Existem sinais f(t) para os quais nao e possıvel se calcular a Transformada de Fourier.Uma condicao suficiente para a existencia da Transformada de Fourier e indicada aseguir:

|F (ω)| = |∫ ∞

−∞f(t)e−jωt dt| ≤

∫ ∞

−∞|f(t)e−jωt| dt =

∫ ∞

−∞|f(t)| dt < ∞

Logo, se o sinal f(t) e integravel em modulo a sua transformada vai seguramente existir.No entanto o contrario nao e verdade em geral, pois sinais como seno, cosseno, e degraunao sao integraveis em modulo mas suas transformadas existem como casos limites epodem ser expressas com o auxılio de funcoes impulsos.


3.1 Energia de sinais

Veremos a seguir que o modulo da Transformada de Fourier esta associado a energiado sinal.

Neste capıtulo vamos definir energia de um sinal f(t) como sendo:

E =

∫ ∞

−∞f(t)2dt (3.2)

Por exemplo, se f(t) representa a tensao ou corrente num resistor unitario, a energia dosinal f(t) e dada pela integral acima. Os sinais que possuem energia limitada (E < ∞)sao portanto de grande interesse pratico.

Veremos a seguir que a energia de um sinal esta ligada ao modulo da Transformada deFourier do sinal em questao. Antes porem, devemos relembrar algumas propriedades dafuncao F (ω) dadas no exemplo 3.1.

Exemplo 3.1 Mostre que |F (ω)| e uma funcao par de ω e ∠F (ω) e uma funcao ımparde ω.

Solucao: Seja F (ω) = M(ω)ejφ(ω) onde M(ω) e φ(ω) denotam respectivamente omodulo e a fase de F (ω). Note que f(t) e um sinal real logo f(t) e seu conjugadocomplexo f(t) sao iguais, isto e f(t) = f(t). Entao a conjugacao complexa de F (ω)resulta:

F (ω) =

∫ ∞

−∞f(t)e−jωt dt =

∫ ∞

−∞f(t)e−jωt dt =

∫ ∞

−∞f(t)ejωt dt = F (−ω)

Portanto F (−ω) = F (ω) = M(ω)e−jφ(ω) que nos leva as conclusoes desejadas:

|F (ω)| = |F (−ω)| = M(ω) (funcao par)

∠F (ω) = −∠F (−ω) (funcao ımpar)

Podemos agora mostrar que a energia de um sinal esta ligada ao modulo da Transfor-mada de Fourier do sinal em questao. Com f(t) de (3.1) obtemos:

E =

∫ ∞

−∞f(t)2dt =

∫ ∞

−∞f(t) f(t) dt =

∫ ∞

−∞f(t)

1

2π

∫ ∞

−∞F (ω)ejωt dω dt

=1

2π

∫ ∞

−∞F (ω)

∫ ∞

−∞f(t)e−jωtdt dω =

1

2π

∫ ∞

−∞F (ω)F (ω)dω

Como F (ω)F (ω) = |F (ω)|2 ficamos com:

E =1

2π

∫ ∞

−∞|F (ω)|2dω (3.3)


A formula acima e conhecida como teorema de Parseval. Note ainda que como |F (ω)| euma funcao par temos:

E =1

π

∫ ∞

0

|F (ω)|2dω (3.4)

A quantidade |F (ω)|2π

e as vezes chamada de densidade espectral de energia.

Exemplo 3.2 Encontre o intervalo de frequencia [−ω0, ω0] que contem metade da energiado sinal f(t) = e−t, t ≥ 0.

Solucao: Seja ET a energia total do sinal dada por

ET =

∫ ∞

−∞f(t)2dt =

∫ ∞

0

e−2tdt =1

2

Como F (ω) = F [f(t)] = 11+jω

temos que a energia no intervalo [−ω0, ω0] e dada por:

Eω0 =1

2π

∫ ω0

−ω0

|F (ω)|2dω =1

π

∫ ω0

0

1

1 + ω2dω =

1

πtan−1(ω0)

Queremos metade da energia total, ou seja, 1/4, logo:

1

πtan−1(ω0) =

1

4⇒ ω0 = 1rad/s

Logo metade da energia do sinal esta no intervalo de frequencia entre [−1, 1].

3.2 Calculo de algumas transformadas

3.2.1 Sinal Exponencial Unilateral

O sinal exponencial unilateral e o dado por uma funcao exponencial quando t ≥ 0.

Seja:

f(t) = e−atu(t), a > 0

Entao:

F (ω) = F [f(t)] =

∫ ∞

−∞e−atu(t)e−jωtdt =

∫ ∞

0

e−(a+jω)tdt =1

a + jω

Se a < 0 a Transformada de Fourier nao mais existe.


Gτ (t)

t

1

τ2

− τ2

Figura 3.2: Sinal Porta de largura τ

3.2.2 Sinal Porta

Usaremos a notacao Gτ (t) para definir o sinal porta (gate) de largura τ como indicadoa seguir.

Gτ (t) =

1, |t| < τ/20, |t| > τ/2

A transformada do sinal porta e calculada da seguinte forma.

F (ω) = F [Gτ (t)] =

∫ τ/2

−τ/2

e−jωtdt =1

jω(ejωτ/2 − e−jωτ/2)

= τsen(ωτ/2)

(ωτ/2)= τSa[

ωτ

2]

A funcao Sa(x) = sen(x)x

e conhecida como funcao amostragem (sampling) e esta indicadana figura 3.3.

Gτ (t)←→ τSa(ωτ

2) (3.5)

Note que F (ω) nesse caso e real pois f(t) e par. Se f(t) for ımpar entao F (ω) eimaginario puro.

3.2.3 Sinal Impulso

A notacao para a funcao impulso unitario que ocorre no instante zero e δ(t). Comoδ(t) = 0 para t 6= 0 temos:

∫ ∞

−∞δ(t)f(t)dt =

∫ ∞

−∞δ(t)f(0)dt = f(0)

∫ ∞

−∞δ(t) dt = f(0)

Logo:

F (ω) = F [δ(t)] =

∫ ∞

−∞δ(t)e−jωtdt = ej0 = 1

δ(t)←→ 1


-16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

1

Sa(x)

x

Figura 3.3: Funcao Sa(x) = sen(x)x

O seguinte resultado sera util na prova de alguns teoremas.

Seja f(t) a funcao definida a seguir.

f(t) =K

πSa(Kt)

Podemos mostrar que a area dessa funcao e unitaria para qualquer valor do parametroK, isto e,

∫ ∞

−∞

K

πSa(Kt) dt = 1, ∀K

Com esse resultado podemos ainda mostrar que quando K tende a infinito a funcao f(t)tende a funcao impulso.

δ(t) = limK→∞

K

πSa(Kt) (3.6)

3.2.4 Funcoes Constante, Sinal e Degrau

A transformada do degrau nao pode ser facilmente obtida pela aplicacao da definicao.A seguir veremos como obte-la com o auxılio das transformadas das funcoes sinal econstante.

A funcao constante unitaria pode ser vista como o caso limite da funcao porta, isto e


limτ→∞ Gτ (t) = 1. Logo com (3.5),(3.6) temos que

F [1] = F [ limτ→∞

Gτ (t)] = limτ→∞F [Gτ (t)]

= limτ→∞

τSa(ωτ/2)

= 2π limτ→∞

τ

2πSa(ωτ/2)

= 2πδ(ω) (3.7)

A funcao sinal e definida como sendo:

sgn(t) =

1, t > 0−1, t < 0

1

-10 t

sgn(t)

Figura 3.4: Funcao Sinal

A funcao sinal pode ser expressa atraves do seguinte limite:

sgn(t) = lima→0

(e−atu(t)− eatu(−t))

e portanto podemos calcular sua transformada da seguinte forma:

F [sgn(t)] = F [ lima→0

(e−atu(t)− eatu(−t))]

= lima→0F [e−atu(t)− eatu(−t)]

= lima→0

−2jω

a2 + ω2=

2

jω(3.8)

O resultado acima nos permite calcular agora a Transformada do degrau. Como u(t) =12(1 + sgn(t)) temos:

F [u(t)] =1

2F [1] +

1

2F [sgn(t)] = πδ(ω) +

1

jω

Resumindo:

1←→ 2πδ(ω)

sgn(t)←→ 2

jω(3.9)

u(t)←→ πδ(ω) +1

jω


3.2.5 Sinais Senoidais

Nos ocuparemos agora das transformadas das funcoes senoidais. Pela definicao temos

F [cos(ω0t)] =

∫ ∞

−∞cos(ω0t)e

−jωtdt = limT→∞

∫ T/2

−T/2

cos(ω0t)e−jωtdt

como cos(ω0t) = ejω0t+e−jω0t

2temos:

F [cos(ω0t)] = limT→∞

T

2Sa[T

(ω − ω0)

2] + Sa[T

(ω + ω0)

2]

com (3.6) temos:F [cos(ω0t)] = π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] (3.10)

Da mesma forma obtem-se:

F [sen(ω0t)] = jπ[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)] (3.11)

Note que a Transformada de Fourier do sen(ω0t) e cos(ω0t) so nao e nula nas frequen-cias ±ω0. Isto mostra que esses sinais possuem energia concentrada nessas frequencias.Isso nao ocorreria se as funcoes fossem sen(ω0t)u(t) ou cos(ω0t)u(t). Nesse caso ob-terıamos:

F [cos(ω0t)u(t)] =π

2[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] +

jω

ω20 − ω2

F [sen(ω0t)u(t)] =π

2j[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)] +

ω0

ω20 − ω2

3.2.6 Exponencial Eterna

A exponencial eterna e dada pela seguinte funcao:

ejω0t

Como ejω0t = cos(ω0t) + jsen(ω0t) temos com os resultados anteriores:

F [ejω0t] = 2.π.δ(ω − ω0) (3.12)

3.2.7 Funcoes Periodicas

A transformada de funcoes periodicas se faz com o auxılio da decomposicao dessasfuncoes atraves da serie exponencial de Fourier.

Seja f(t) uma funcao periodica de perıodo T . Entao f(t) pode ser expressa em termosda Serie exponencial de de Fourier indicada abaixo.

f(t) =∞∑

k=−∞Fk.e

jωkt , t0 < t < t0 + T (3.13)


onde ω0 = 2πT

e conhecido como frequencia fundamental do sinal e ωk = k.ω0 , k =1, 2, 3, ... sao as frequencias harmonicas do sinal. A primeira harmonica e a propriafrequencia fundamental. O coeficiente F0 e o valor medio do sinal no perıodo e Fk , k =±1,±2,±3, ... sao os coeficientes harmonicos. As expressoes para obtencao dos coeficien-tes da serie exponencial de Fourier sao dadas abaixo.

F0 =1

T

∫ t0+T

t0

f(t)dt (3.14)

Fn =1

T

∫ t0+T

t0

f(t)e−jωntdt (3.15)

Sabendo que a Transformada de Fourier de ejω0t e:

F [ejω0t] = 2.π.δ(ω − ω0)

e fazendo a transformada de ambos os lados de (3.13) chega-se a Transformada de Fourierde um sinal periodico:

F [f(t)] =∞∑

k=−∞FkF [ejkω0t] = 2π

∞∑

k=−∞Fk.δ(ω − k.ω0) (3.16)

A expressao acima mostra que a transformada de Fourier de um sinal periodico nao enula apenas nas frequencias harmonicas do sinal. Logo a energia de sinais periodicos estaconcentrada nas frequencias harmonicas do sinal.

Problema 3.1 Pela definicao acima mostre que Fn e F−n sao complexos conjugados.Sugestao: use a formula de Euler ejx = cos(x) + jsen(x).

Problema 3.2 Mostre que se f(t) e uma funcao par, isto e f(t) = f(−t), entao Fn

e F [f(t)] sao ambos reais e se f(t) e ımpar, isto e f(t) = −f(−t), Fn e F [f(t)] saopuramente imaginarios. Sugestao: use a formula de Euler ejx = cos(x) + jsen(x).

Exemplo 3.3 Calcule a transformada de Fourier da funcao periodica da figura 3.5.

Solucao: Podemos verificar pela figura que o valor medio de f(t) no perıodo e nulo,isto e F0 = 0. A frequencia fundamental do sinal e ω0 = 2π

T= 1.

Como f(t) e ımpar temos:


t

f(t)

1

-1

T

0

π 2π

Figura 3.5: Funcao onda quadrada de perıodo 2π.

Fk =1

T

∫ t0+T

t0

f(t) e−jωktdt =1

2π

∫ 2π

0

f(t)[cos(ωkt)− jsen(ωkt)]dt

=−j

2π

∫ 2π

0

f(t)sen(ωkt)dt =−j

2π

[∫ π

0

sen(kω0t)dt +

∫ 2π

π

−sen(kω0t) dt

]

=−j

2π

(

−cos(kω0t)

kω0

∣∣∣∣

π

0

+cos(kω0t)

kω0

∣∣∣∣

2π

π

)

=−j

2kπ(−cos(kπ) + 1 + cos(k2π)− cos(kπ))

=−j

2kπ(2− 2cos(kπ))

Ou seja:

Fk =

−2j

k.π, se k e ımpar

0 , se k e par(3.17)

Logo para k ımpar temos:

F [f(t)] = 2π∞∑

k=−∞

−2j

kπδ(ω − k) =

∞∑

k=−∞

−4j

kδ(ω − k)

O resultado demonstra que a Transformada de Fourier de um sinal periodico existeapenas nas frequencias das harmonicas que o compoem. Isto pode ser visto no grafico domodulo da transformada do sinal, dado pela Figura 3.6.

Exemplo 3.4 Calcule a Transformada de Fourier da funcao trem de impulsos indicadana figura 3.7.

Solucao: A funcao trem de impulsos e uma funcao periodica. Denotando seu perıodo


1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

44

43

43

45

45

· · ·· · ·

|F (jω)|

ω[rad/s]

Figura 3.6: Modulo da transformada de Fourier do exemplo 3.3.

por T pode-se escreve-la da seguinte forma:

δT (t) =∞∑

k=−∞δ(t− kT )

Como δT (t) e periodica de perıodo T temos:

F [δT (t)] = 2π∞∑

k=−∞Fk.k.δ(ω − kω0)

onde Fk , k = ±1,±2,±3, ... sao os coeficiente harmonicos do sinal que sao dados por:

Fk =1

T

∫ T/2

−T/2

δT (t)e−jkω0tdt =1

T

∫ T/2

−T/2

δ(t)ejkω0tdt =1

Te−jkω00 =

1

T

Logo

F [δT (t)] =2π

T

∞∑

k=−∞δ(ω − kω0) = ω0δω0(ω)

δT (t)

Tt

... ...

F [δT (t)]

ω0

ω

ω0 δ(ω − nω0)

... ...

δ(t − nT )

Figura 3.7: Trem de impulsos e sua transformada

δT (t)←→ ω0δω0(ω)

3.3 Propriedades da transformada

Em primeiro lugar, vale a pena salientar que para funcoes integraveis em modulo po-demos obter a transformada de Fourier diretamente da transformada de Laplace com


a mudanca de variavel s = jω. Portanto, para funcoes integraveis em modulo todasas propriedades da transformada de Laplace continuam validas para a transformada deFourier.

A seguir apresentaremos algumas das propriedades mais importantes.

3.3.1 Linearidade

Se F [f1(t)] = F1(ω) e F [f2(t)] = F2(ω) entao:

F [α1f1 + α2f2] = α1F1(ω) + α2F2(ω)

3.3.2 Simetria

Se F [f(t)] = F (ω) entao F [F (t)] = 2π f(−ω).

Veja como aplicar essa propriedade para descobrir a transformada de Fourier da funcaosampling. Sabemos de (3.5) que F [Gτ (t)] = τSa(ωτ

2). Por comparacao com a notacao

acima temos f(t) = Gτ (t) e F (ω) = τSa(ωτ2

). Logo, pela propriedade de simetriaF [F (t)] = 2π f(−ω) deduzimos

F [τSa(tτ

2)] = 2π Gτ (−ω)

Com a mudanca de variavel τ2

= Ω e lembrando que Gτ (−ω) = Gτ (ω) pois a funcao portae par ficamos com o resultado desejado:

F [Sa(Ωt)] =π

ΩG2Ω(ω) (3.18)

3.3.3 Escalonamento

Se F [f(t)] = F (ω) entao:

F [f(at)] =1

|a|F (ω

a)

Exemplo 3.5 Calcule F [G2γ(t)].

Solucao: Como ja sabemos que F [Gτ (t)] = τ Sa(ωτ2

) com a mudanca de variavel τ = 2γtemos que F [G2γ(t)] = 2γ Sa(ωγ). Esta mudanca de variavel corresponde a aplicacao dapropriedade de escalonamento acima com o fator de escala a = 0.5, isto e com a mudancade escala t = 0.5 t′.


3.3.4 Deslocamento em frequencia e Modulacao


F [f(t)ejω0t] = F (ω − ω0)

Note que multiplicar f(t) pela exponencial complexa ejω0t corresponde a deslocar todoo espectro de f(t) centrando-o na frequencia ω0.

Na pratica ao inves de utilizar exponenciais complexas para deslocar o espectro dosinal utiliza-se funcoes do tipo cos(ω0t). Veja oque acontece com o espectro do sinal aposa multiplicacao de f(t) pelo cosseno.

F [f(t) cos(ω0t)] = F [f(t) (ejω0t + e−jω0t

2)]

=F [f(t) ejω0t] + F [f(t) e−jω0t]

2

=F (ω + ω0) + F (ω − ω0)

2

Ao multiplicar um sinal f(t) pelo cos(ω0t) estamos atenuando pela metade e deslocandotodo o espectro do sinal f(t) para as frequencias ±ω0. Este artifıcio e conhecido comomodulacao em amplitude pois o sinal f(t), conhecido como sinal modulado, e a amplitudedo cosseno. A funcao cos(ω0t) recebe o nome de portadora de frequencia ω0. A figura3.8 mostra a transformada de Fourier do sinal porta de largura unitaria G1(t). A figura3.9 ilustra a o espectro do sinal modulado cos(100t)G1(t).

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

F [G1(t)]

ω

Figura 3.8: Transformada de Fourier do sinal porta de largura unitaria G1(t).


-200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5F [cos(100t)G1(t)]

ω

Figura 3.9: Transformada de Fourier do sinal cos(100t)G1(t).

A modulacao de sinais e utilizada em comunicacoes de radio transmissao AM. Emcontrole de sistemas, a modulacao e utilizada para deslocar a energia do sinal de controlepara a faixa de frequencia onde o sistema funciona.

A recuperacao de um sinal modulado (demodulacao) pode ser feita de varias formas.Uma delas consiste em modular novamente o sinal e em seguida filtrar as frequenciasindesejadas.

MOD MODFILTROIDEAL

f(t) f(t)

cos(ω0t) cos(ω0t)

f(t)cos(ω0t) f(t)cos2(ω0t)

Figura 3.10: Demodulacao de um sinal

3.3.5 Deslocamento no Tempo


F [f(t− t0)] = F (ω)e−jωt0

Note que deslocar em atraso uma funcao no tempo de t0 segundos significa atrasar afase do seu espectro de ωt0 rad para cada valor da frequencia ω.


3.3.6 Diferenciacao e Integracao no Tempo

De maneira similar a transformada de Laplace podemos relacionar as transformadasde Fourier de uma funcao e de sua derivada (ou integral).


F [df(t)

dt] = jωF (ω)

e

F [

∫ t

−∞f(τ)dτ ] =

1

jωF (ω) , se F (ω) = 0 para ω = 0

A restricao F (ω) = 0 para ω = 0 implica que o valor medio do sinal deve ser nulo, istoe∫∞−∞ f(t)dt = 0. Essa restricao pode ser eliminada mas a expressao acima se torna mais

complicada.

Exemplo 3.6 Obtenha a Transformada de Fourier do sinal f(t) da figura 3.11.

0 t

A

−b −a ba

f(t)

Figura 3.11: Sinal linear por trechos

Solucao: Ao inves de calcular F [f(t)] diretamente vamos utilizar o fato que F [df(t)dt

] =jωF (ω) onde F (ω) e a funcao que estamos procurando. A figura 3.12 mostra a derivadada funcao na figura 3.11.

0 t−b −a

a b

Ab−a

− Ab−a

df(t)dt

Figura 3.12: Derivada do sinal linear por trechos

Aplicando novamente a propriedade de derivacao temos: F [ ddt

[df(t)dt

]] = jωF [dfdt

] =(jω)2F (ω). A figura 3.13 mostra a derivada segunda da funcao na figura 3.11.

Pela figura 3.13 podemos entao escrever:

d2f

dt2=

A

b− a[δ(t + b)− δ(t + a)− δ(t− a) + δ(t− b)]


0 t−b

a−a

b

Ab−a

δ(t − b)

Ab−a

δ(t − a)

d2 f(t)

dt2

Ab−a

δ(t + a)

Ab−a

δ(t + b)

Figura 3.13: Derivada segunda do sinal linear por trechos

como F [δ(t− t0)] = e−jωt0 temos:

F [d2f

dt2] =

A

b− a[ejωb − ejωa − e−jωa + e−jωb] =

2A

b− a(cos(ωb)− cos(ωa))

como F [d2fdt2

] = (jω)2F (ω) temos o resultado desejado:

F (ω) =2A

b− a

cos(ωa)− cos(ωb)

ω2

3.3.7 Diferenciacao em frequencia


F [tf(t)] = jdF (ω)

dω

3.3.8 Convolucao

Usaremos a seguinte notacao para a Integral de Convolucao entre dois sinais:

f1(t) ∗ f2(t) =

∫ ∞

−∞f1(τ)f2(t− τ)dτ

Analogamente a transformada de Laplace podemos transformar a integral de con-volucao em produto no domınio da frequencia. Seja F [f1(t)] = F1(ω) e F [f2(t)] = F2(ω)entao:

F [f1(t) ∗ f2(t)] = F1(ω)F2(ω)

A prova desse resultado e bastante simples.

F [f1(t) ∗ f2(t)] =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f1(τ)f2(t− τ)dτ e−jωtdt

=

∫ ∞

−∞f1(τ)

∫ ∞

−∞f2(t− τ)e−jωtdt dτ


como∫∞−∞ f2(t− τ)e−jωtdt = F2(ω)e−jωτ temos o resultado desejado:

F [f1(t) ∗ f2(t)] = F1(ω)F2(ω)

E importante nao confundir a notacao para integral de convolucao, aqui representadapelo sımbolo (*) com a notacao de produto usual de sinais. Veja a diferenca:

F [f1(t) ∗ f2(t)] = F1(ω)F2(ω)

F [f1(t)f2(t)] =1

2πF1(ω) ∗ F2(ω) (3.19)

3.4 Amostragem

Em sistemas modernos frequentemente e necessario que se converta valores instantaneosde sinais contınuos em uma sequencia de valroes discretos para conversao em sinais digi-tais (codigos binarios) que possam ser processados por computadores e/ou transmitidos.O problema que estudaremos a seguir consiste na determinacao de condicoes para seamostrar um sinal sem perda de informacao. Na transmissao de sinais digitais e impor-tante que o sinal original possa ser reconstruıdo, a partir do digital transmitido, conformea Figura 3.14.

A/D D/A..... sinal recebidosinal a ser

transmitido

amostragem e

codificacao

decodificacao e

reconstrucao

transmissao

Figura 3.14: Transmissao e recuperacao de sinais

O processo ideal de amostragem pode ser representado pelo produto do sinal f(t) a seramostrado por um trem de impulsos ocorrendo nos instantes de amostragem.

fs(t) = f(t)δTa(t)

onde fs(t) e o sinal amostrado e δTa(t) e o trem de impulsos cujo perıodo e o proprioperıodo de amostragem. Uma ilustracao deste processo pode ser vista na Figura 3.15,onde em (a) tem-se o sinal a ser amostrado; em (b) a funcao trem de impulsos e em (c)o sinal amostrado. Nesta ultima, a linha tracejada foi inserida apenas para facilitar avisualizacao, pois o sinal amostrado e constituıdo apenas de impulsos.

O processo de amostragem assim representado e ideal porque a coleta de uma amostraleva um tempo infinitesimal, que e o tempo de duracao de um impulso. O valor daamostra coletada e a area do impulso e corresponde ao valor exato do sinal no instanteonde ocorre o impulso. Na pratica nao e possıvel a implementacao de tal processo deamostragem. Porem boas aproximacoes podem ser obtidas substituindo-se os impulsospor pulsos de largura bem pequena e amplitude unitaria.


f(t)

t

(a) Sinal contınuo

Ta

δTa(t)

t

(b) Funcao trem de impulsos

fs(t) = f(t).δTa(t)

t

(c) Sinal amostrado

Figura 3.15: Amostragem de um sinal.

Sabe-se que a transformada de Fourier do amostrador ideal δTa(t) e dada por:

F [δTa(t)] =2.π

Ta

∞∑

k=−∞δ(ω − k.ωa) = ωa.δωa(ω)

onde ωa = 2π/Ta e a frequencia fundamental do trem de impulsos que corresponde afrequencia de amostragem

A Transformada de Fourier do sinal amostrado e entao:

Fs(ω) = F [fs(t)] = F [f(t).δTa(t)] =1

2.πF [f(t)] ∗ F [δTa(t)]

Logo, para F (ω) = F [f(t)] temos:

Fs(ω) =1

2πF (ω) ∗ [ωaδωa ] =

1

Ta

F (ω) ∗[ ∞∑

k=−∞δ(ω − k.ωa)

]

=1

Ta

∞∑

k=−∞F (ω) ∗ δ(ω − k.ωa) =

1

Ta

∞∑

k=−∞F (ω − k.ωa)


A

F (ω)

ω−ωB ωB

Figura 3.16: Espectro de um sinal a ser amostrado.

Isto significa que se F (ω) for:

O espectro do sinal amostrado, Fs(ω) sera:

A/Ta

F (ω)

ω−ωB ωB ωa − ωB ωa + ωBωa

· · · · · ·

Figura 3.17: Espectro do sinal amostrado.

Supondo que f(t) e um sinal limitado em frequencia, isto e, existe ω tal que F (ω) = 0para ω ≥ ω, existem duas possibilidades:

Caso ωa > 2ω ou seja Ta < πω

segundos

0

... ...

F (ω)

AATa

ω

Fs(ω)

−ω 0ωω −ωa ωa

ω−ω ωa − ω

Figura 3.18: Espectro do sinal antes e apos amostragem: Caso ωa > 2ω

A figura 3.18 mostra o espectro F (ω) de um sinal fictıcio f(t) e o espectro Fs(ω) dessesinal amostrado com frequencia de amostragem ωa sob a hipotese de que ωa > 2ω. Noteque o espectro do sinal amostrado Fs(ω) contem o espectro do sinal original F (ω) semdistorcao, como pode ser visto entre as frequencias −ω e ω. Assim, para recuperar o sinaloriginal a partir do sinal amostrado basta eliminar todas as componentes de frequencia dosinal Fs(ω) fora do intervalo [−ω, ω]. Esta operacao de filtragem esta indicada na figura3.19. Note que o filtro ideal anula todas as componentes de frequencia fora do intervalo[−ω, ω] como indicado a seguir.


−ω

TaFs(ω)

G(ω)

ω

ω

F (ω)G(ω)

filtro ideal

Figura 3.19: Filtro ideal para recuperacao do sinal: Caso ωa > 2ω

Fs(ω)G(ω) = F (ω)

No domınio do tempo a filtragem acima e dada pela convolucao:

f(t) = fs(t) ∗ g(t)

onde g(t) = F−1[G(ω)] = Sa(ωt). Este resultado pode ser obtido facilmente com (3.18) eTa = π/ω. Assim, ficamos com

f(t) =

[ ∞∑

k=−∞f(k.Ta)δ(t− k.Ta)

]

∗ Sa(ωt)

=∞∑

k=−∞f(k.Ta)δ(t− k.Ta) ∗ Sa(ωt)

=∞∑

k=−∞f(k.Ta)Sa(ω(t− k.Ta))

A expressao acima mostra como se reconstroi exatamente o sinal f(t) a partir das amos-tras f(k.Ta) coletadas no processo de amostragem. As amostras formam um conjunto deamplitudes de funcoes sampling que quando somadas resultam no sinal original.

Note que a reconstrucao exata requer um filtro ideal o que nao pode ser implementadona pratica. Apesar disso podemos obter boas aproximacoes do sinal a ser reconstruıdosubstituindo-se o filtro ideal por um real que tenha uma funcao de transferencia cujoespectro seja parecido com G(ω).

Vejamos agora o que acontece quando ωa = 2πTa

< 2ω.

Caso ωa < 2ω ou seja Ta > πω

segundos

Nesse caso o espectro do sinal antes e apos amostragem estao ambos ilustrados nafigura 3.20.

Note agora que o espectro do sinal amostrado Fs(ω) contem o espectro do sinal originalF (ω) porem distorcido com as superposicoes dos espectros deslocados. Essa distorcaoprovocada pela superposicao dos espectros inviabiliza a reconstrucao do sinal e portantona escolha da frequencia de amostragem deve-se evitar o caso ωa < 2ω.


0

...

ωω−ω 0

Fs(ω)

F (ω)

A

...

−ωa ωa

ATa

−ωωa − ω

ω

ω

Figura 3.20: Espectro do sinal antes e apos amostragem: Caso ωa < 2ω

Assim sendo, a frequencia de amostragem deve sempre satisfazer o Teorema da Amos-tragem de Shanon, que determina que:

ωa > 2.ω

O teorema da amostragem e um resultado muito importante no tratamento de sinaise no controle de sistemas atraves de microprocessadores. E importante salientar que oteorema enunciado pressupoe a utilizacao de um amostrador ideal (trem de impulsos) e deum filtro ideal para reconstrucao do sinal (filtro com espectro do tipo porta). Na praticanao podemos implementar nem o amostrador nem o filtro ideal. No entanto, podemosimplementar dispositivos de amostragem e filtros que se aproximam bastante do casoideal. Logo, nao teremos reconstrucao perfeita na pratica mas sim uma reconstrucao quesera tao melhor quanto mais o amostrador e o filtro se aproximarem do ideal.

O teorema da amostragem parte da hipotese de que o sinal a ser amostrado e limitadoem frequencia, isto e seu espectro e nulo a partir de uma certa frequencia (ω). Na praticao espectro dos sinais nao sao nulos a partir de uma certa frequencia mas sim muitopequenos a partir de uma certa frequencia. Logo o erro de aproximacao de um sinalpratico por um sinal limitado em frequencia pode ser feito bastante pequeno. Para issodevemos escolher adequadamente a frequencia (ω) a partir da qual iremos considerar nulo(truncar) o espectro do sinal. Em geral, quanto maior essa frequencia de truncamentomenor o erro cometido. Entretanto, quanto maior a frequencia de truncamento maisrapido deve ser o processo de amostragem (ωa > 2ω) o que torna o dispositivo mais caro.

Exemplo 3.7 Utilize o teorema da amostragem para determinar a frequencia de discre-tizacao do sinal f(t) = cos(100πt) + sen(10πt).

Solucao: Com a transformada de Fourier podemos calcular o espectro do sinal. Eleesta ilustrado na figura 3.21.

F [cos100πt] = π[δ(ω − 100π) + δ(ω + 100π)]

F [sen10πt] = jπ[δ(ω + 10π)− δ(ω − 10π)]

como F (ω) = 0 para ω > 100π temos ω = 100π. Logo:

ωa > 2ω = 200π


F (ω)

ω

jπ δ(ω − 10π)

jπ δ(ω + 10π) π δ(ω − 100π)π δ(ω + 100π)

Figura 3.21: Espectro do sinal f(t) = cos(100πt) + sen(10πt).

Exemplo 3.8 Com o auxılio do teorema da amostragem determine a resposta y(t) dosistema indicado na figura 3.22 para o seguinte sinal de entrada x(t) = Sa(50πt).

F (ω)y(t)

Ta = 180

F (ω)

ω

1x(t) R(ω) Rs(ω)

−70π 70π

Ta F (ω)

Figura 3.22: Sistema de amostragem e recuperacao de sinais

Solucao: O espectro do sinal de entrada esta indicado na figura 3.23(a) e pode sercalculado com (3.18) da seguinte forma.

X(ω) = F [Sa(50πt)] =π

50πG100π(ω) =

1

50G100π(ω)

O sinal na saıda do primeiro filtro e dado por R(ω) = X(ω)F (ω) de onde concluımos

X(ω)

ω

−50π 50π

150

(a)

ω

−70π 70π−50π 50π

X(ω)

F (ω)

R(ω) = X(ω)F (ω) = X(ω)

(b)

1

Figura 3.23: Espectro dos sinais x(t), r(t)

que R(ω) = X(ω). Veja figura 3.23. O espectro Rs(ω) do sinal amostrado Rs(t) estaindicado na figura 3.24 e e dado por

Rs(ω) =1

Ta

∞∑

k=−∞R(ω − k.ωa) =

1

Ta

∞∑

k=−∞X(ω − k.ωa)

onde ωa = 2πTa

= 160π e a frequencia de amostragem.


O espectro do sinal apos o segundo filtro e dado por

Y (ω) = TaF (ω)Rs(ω) =∞∑

k=−∞TaF (ω)

1

Ta

X(ω − k.ωa) = X(ω)

O produto TaF (ω)Rs(ω) pode ser facilmente obtido atraves da figura 3.24. Logo con-cluımos que y(t) = x(t).

1Ta

X(ω + 2ωa)

ω

−50π

0

−70π

2ωaωa−ωa

Rs(ω)

−2ωa

TaF (ω)

50π 70π

1Ta

X(ω + ωa) 1Ta

X(ω) 1Ta

X(ω − ωa)1

TaX(ω − 2ωa)

. . . . . .

Figura 3.24: Espectro do sinal amostrado

3.5 Aplicacoes da Transformada de Fourier

3.5.1 Resposta em frequencia de sistemas lineares

A Transformada de Fourier transforma equacoes diferenciais em equacoes algebricaspara analisar sistemas descritos por equacoes diferenciais. Para verificar isso, considere oexemplo a seguir, constituıdo de um circuito RL dado pela Figura 3.25.

Figura 3.25: Sistema exemplo para resposta em frequencia.

Para este circuito, as equacoes das tensoes de entrada e saıda sao, respectivamente:

V1(t) = R.i(t) + V2(t)


V2(t) = L.di(t)

dt

Tomando a transformada de Fourier das variaveis e utilizando sua propriedade dediferenciacao chega-se ao equacionamento do circuito no domınio da frequencia.

V1(ω) = R.I(ω) + V2(ω)

V2(ω) = LjωI(ω)⇒ I(ω) =V2(ω)

jωL

Manipulando algebricamente estas duas equacoes pode-se chegar a relacao entrada-saıda do sistema:

H(ω) =V2(ω)

V1(ω)=

jωL

R + jωL

A funcao H(ω) e tambem chamada de funcao resposta em frequencia do sistema, poisinforma a relacao da saıda com a entrada em funcao da frequencia.

A resposta em frequencia pode ser levantada tambem experimentalmente. Sabendoque a resposta em frequencia e um numero complexo:

H(ω) = |H(ω)|6 φ(ω)

pode-se aplicar um sinal senoidal ou cossenoidal com frequencia variavel na entrada dosistema, medindo o modulo e a defasagem angular do sinal de saıda, conforme a Figura3.26.

cos(ωx.t)

H(ω)A. cos(ωx.t + φ)

Figura 3.26: Determinacao experimental da resposta em frequencia.

Onde:A = |H(ω)||ω=ωx

φ = ^ H(ω)|ω=ωx

3.5.2 Encontrar a saıda de um sistema LIT a um sinal de en-trada

A transformada de Fourier tambem pode ser utilizada para se determinar a saıda deum sistema LIT a um sinal de entrada.

Conforme visto no capıtulo inicial desta apostila, a resposta temporal de um sistemaLIT pode ser obtida atraves da integral de convolucao, utilizando a resposta impulsivado sistema, conforma a figura abaixo.


x(t)

h(t)h(t) = x(t) ∗ h(t)

Este mesmo raciocınio pode ser aplicado no domınio frequencia:

Y (ω) = X(ω).H(ω)

onde H(ω) = F [h(t)].

Comvem ressaltar que a resposta calculada desta forma e a resposta de estado zero, ouseja, sem as condicoes iniciais.

Exemplo 3.9 Considere o sistema linear descrito pela seguinte equacao diferencial:

dy(t)

dt+

1

τ.y(t) =

x(t)

τ

A saıda deste sistema pode ser encontrada fazendo-se a transformada de Fourier daequacao diferencial, transformando-a desta forma em um equacao algebrica. Posterior-mente, com Y (jω) determinado, faz-se a transformada inversa de Fourier para determi-nar a saıda em funcao do tempo. Este procedimento sera apresentado neste exemplo.

Fazendo a Transformada de Fourier de ambos os lados da equacao anterior:

jω.Y (ω) +1

τ.Y (ω) =

X(ω)

τ

Y (ω)

[1

τ+ jω

]

=X(ω)

τ

H(ω) =Y (ω)

X(ω)=

1

1 + jω.τ

Se x(t) = u(t) entao:

X(ω) = π.δ(ω) +1

jω

Logo:

Y (ω) =

[1

jω+ π.δ(ω)

]

.

[1

1 + jω.τ

]

Manipulando algebricamente e utilizando fracoes parciais, pode-se escrever a equacaoanterior como:

Y (ω) =τ

jω.( 1τ

+ jω)+ π.δ(ω) =

K1

jω+

K2

1τ

+ jω+ π.δ(ω)


Onde:

K1 =jω. 1

τ

jω.( 1τ

+ jω)

∣∣∣∣jω=0

= 1

K1 =(1 + jω.τ). 1

τ

jω.( 1τ

+ jω)

∣∣∣∣jω=− 1

τ

= −1

Assim,

Y (ω) =1

jω+ π.δ(ω)− 1

1τ

+ jω

Fazendo a transformada inversa de Fourier:

y(t) = u(t)− e−t/τ .u(t) = u(t).[1− e−t/τ ]

3.5.3 Determinacao da resposta de sistemas LIT a sinais perio-dicos

Uma outra aplicacao da transformada de Fourier e a determinacao da saıda de sistemaslineares para sinais de entrada periodicos.

Se um sinal de entrada x(t) e periodico, entao este pode ser expressado em uma seriede Fourier, ou seja:

x(t) =∞∑

k=−∞Fk.e

jkω0t

Fazendo a Transformada de Fourier deste sinal:

X(ω) = F[ ∞∑

k=−∞Fk.e

jkω0t

]

=∞∑

k=−∞Fk.[F[ejkω0t

]]

Sabendo que F [ejω0t] = 2.π.δ(ω − ω0) chega-se a seguinte expressao para X(ω):

X(ω) = 2π∞∑

k=−∞Fk.δ(ω − k.ω0)

Utilizando a resposta em frequencia do sistema, H(ω), pode-se determinar sua saıda:

Y (ω) = H(ω).X(ω) = H(ω).2π∞∑

k=−∞Fk.δ(ω − k.ω0)

A expressao acima pode tambem ser escrita da seguinte forma:

Y (ω) =∞∑

k=−∞H(k.ω0).Fk.2π.δ(ω − k.ω0)


Como F−1[2.π.δ(ω− k.ω0)] = ejkω0t, a saıda do sistema em funcao do tempo para umaentrada periodica fica:

y(t) =∞∑

k=−∞H(k.ω0).Fk.e

jkω0t

Com isso, conclui-se que o sinal de saıda e tambem periodico, com mesmo perıodoT = 2π

ω0do sinal de entrada e os coeficientes da serie de Fourier do sinal de saıda sao

iguais aos da entrada, multiplicados pela resposta em frequencia do sistema na frequenciaconsiderada.

3.5.4 Determinacao da resposta impulsiva de sistemas LIT

Quando um sistema e descrito por uma equacao diferencial, sua resposta impulsivatambem pode ser determinada com o uso da Transformada de Fourier . Considere oseguinte sistema de primeira ordem:

a1.dy(t)

dt+ a0.y(t) = b1.

dx(t)

dt+ b0.x(t)

A Transformada de Fourier pode ser utilizada para a determinacao da resposta impul-siva deste sistema aplicando-a na equacao diferencial acima. Desta forma:

(a1.jω + a0).Y (ω) = (b1.jω + b0).X(ω)

Y (ω)

X(ω)= H(ω) =

b1.jω + b0

a1.jω + a0

Calculando-se a transformada inversa da resposta em frequencia H(ω), chega-se aresposta impulsiva do sistema:

h(t) = F−1[H(ω)] = F−1

[b1.jω + b0

a1.jω + a0

]

= F−1

b1

a1

+b0 − b1.

a0

a1

a1.(

jω + a0

a1

)

h(t) =b1

a1

.δ(t) +

(b0

b1

− b1.a0

a21

)

.e−a0/a1t.u(t)

Exemplo 3.10 Calcule a resposta impulsiva do circuito da Figura 3.27.

A equacao diferencial que representa este circuito e:

Vi(t) = VL(t) + Vo(t) = L.di(t)

dt+ Vo(t)


Figura 3.27: Sistema exemplo para determinacao da resposta impulsiva.

Sabendo que i(t) = Vo

R, a equacao diferencial fica:

Vi(t) =L

R.dVo(t)

dt+ Vo(t)

Fazendo a Transformada de Fourier :

Vi(ω) =L

R.jω.Vo(ω) + Vo(ω) =

(

jω.L

R+ 1

)

.Vo(ω)

Vo(ω)

Vi(ω)= H(ω) =

R/LRL

+ jω

Pela transformada inversa chega-se a resposta impulsiva:

h(t) =R

L.e−(R/L)t.u(t)

Bibliografia

PHILLIPS, C. L. Signals, Systems, and Transforms, Prentice-Hall Inc.:New Jersey,USA, 1995, 707p.

CLOSE, C. M. The Analysis of Linear Circuits, Harcourt, Brace & World, Inc.:NewYork, USA, 1966, 716p.

LATHI, B. P. Sistemas de Comunicacao, Editora Guanabara, S. A.:Rio de Janeiro, RJ,1979, 401p.

Capıtulo 4

Diagramas de Bode

Neste capıtulo sera apresentado o tipo de grafico mais utilizado para a representacao deuma funcao complexa do tipo H(jω) sao os diagramas de Bode. Estes graficos se consa-graram com os trabalhos de Bode sobre amplificadores realimentados na decada de 1940 ehoje sao muito utilizados na analise de sinais e sistemas. Nesses diagramas representa-seo modulo em decibel e a fase em graus, ambos em funcao da frequencia (tipicamente emHertz) numa escala logarıtmica. Assim, os diagramas de Bode apresentam a resposta emfrequencia de um determinado sistema.

4.1 Introducao

Considere o sistema LIT abaixo representado no domınio da frequencia:

A funcao H(ω) e a resposta impulsiva do sistema no domınio da frequencia, assim comoX(ω) e Y (ω) sao a entrada e saıda, respectivamente, neste mesmo domınio. A respostaimpulsiva do sistema pode ser escrita, de uma forma geral, conforme a equacao a seguir:

H(ω) =K · (jω + z1) · (jω + z2) · . . . · (jω + zn)

(jω + p1) · (jω + p2) · . . . · (jω + pn)(4.1)

onde os termos zn sao os chamdados zeros, que sao os valores que anulam o numeradorda equacao. Ja os termos pn sao os polos, termos que anulam o denominador.

Deseja-se estudar a resposta deste sistema a sinais senoidais. Considere entao entradassenoidais do tipo

x(t) = A. cos(ω0t)

Aplicando a transformada de Fourier, chega-se a uma expressao para X(ω):

X(ω) = A.π. [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]


A resposta em frequencia e entao dada por:

Y (ω) = A.H(ω).π.δ(ω − ω0) + H(ω).π.δ(ω + ω0)]

Y (ω) = A.H(ω0).π. [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]

Aplicando a transformada inversa de Fourier chega-se a resposta temporal:

y(t) = F−1 [Y (ω)] = A.H(ω0). cos(ω0t)

Como H(ω0) e um numero complexo, este possui modulo |H(ω0)| e fase φ. Assim,pode-se reescrever y(t) da seguinte forma:

y(t) = |H(ω|ω=ω0)|. cos(ω0t + φ) (4.2)

A equacao (4.2) mostra que para uma entrada do tipo senoidal, a saıda em regimepermanente de um sistema LIT tambem e senoidal, com uma amplitude que depende domodulo da funcao resposta em frequencia e com um angulo de fase igual ao angulo deH(ω)|ω=ω0 .

Exemplo 4.1 Suponha um sistema com a funcao de resposta em frequencia dada abaixo:

H(ω) =1

1 + τjω

O modulo e a fase da funcao resposta em frequencia sao:

|H(ω)| = 1√1 + τ 2ω2

e φ(ω) = − tan−1 τω

Plotando o modulo e a fase em funcao da frequencia ω, encontra-se a resposta emfrequencia deste sistema, conforme a Figura 4.1.

Normalmente utiliza-se uma escala logarıtmica para representar |H(ω0)|. Ou seja,tracam-se graficos de log |H(ω0)| ou 20 log |H(ω0)| utilizando-se a unidade Decibel, abre-viada por dB.

A vantagem em se utilizar uma escala logarıtmica e que tanto o modulo quanto a fase doproduto (ou divisao) de numeros complexos sao transformados em soma (ou subtracao)dos modulos em dB e fases individuais de cada numero multiplicado (dividido). Assim,pode-se analisar separadamente a contribuicao de cada um dos termos. Isso facilitabastante a construcao manual dos graficos de modulo e fase.

Como exemplo desta propriedade, considere a seguinte funcao resposta em frequencia:

H(ω) =1

jω.(1 + τjω)⇒ |H(ω)| = 1

ω√

1 + τ 2ω2

A representacao de seu modulo em dB e:

20 log |H(ω)|dB = − log ω − 1

2. log(1 + τ 2ω2)


Figura 4.1: Exemplo de diagrama de resposta em frequencia.

4.2 Plotagem da resposta em frequencia - Diagramas

de Bode

Os diagramas de Bode sao um metodo para representar a variacao da funcao respostaem frequencia (tambem chamada de funcao de transferencia) com a frequencia angularde entrada. As principais caracterısticas dos diagramas de Bode sao:

• Escala de frequencia logarıtmica, que acomoda uma ampla faixa de frequencias(eixo das abcissas);

• Um grafico para |H(ω)| (eixo das ordenadas);

• Um grafico para a fase de |H(ω)| (eixo das ordenadas);

E comum nos diagramas de Bode se contar intervalos de frequencia por decada ouoitava.

Decada: Intervalo de frequencia ∆ω = ωf − ω0 onde ωf = 10ω0.

Oitava: Intervalo de frequencia ∆ω = ωf − ω0 onde ωf = 2ω0.

Para tracar o diagrama de Bode, faz-se inicialmente o calculo do modulo em dB dafuncao de transferencia. Considere a equacao (4.1) da funcao de transferencia, reescritade forma compacta:

H(ω) = K

∏mi=1(jω − zi)

∏ni=1(jω − pi)

(4.3)


Utilizando as propriedades do logaritmo, o modulo em dB da equacao anterior fica:

|H(ω)|dB = 20

log |K|+m∑

i=1

log |jω − zi| −n∑

i=1

log |jω − pi|

(4.4)

A fase de H(ω) fica:

∠H(ω) = φ(ω) =[1− sgn(K)]

2.π +

m∑

i=1

θi −n∑

i=1

φi (4.5)

Onde θi e o angulo dos termos no numerador e φi o angulo dos termos do denominador.

Assim, tanto o diagrama de magnitude quanto o de fase podem ser constituıdos a partirda soma das contribuicoes individuais dos polos (raızes do denominador) e zeros (raızesdo numerador). As contribuicoes dos polos e zeros no diagrama de bode serao vistas nasecao seguinte.

Cabe ressaltar que o ganho em dB |H(ω)|dB e positivo quando |H(ω)| > 1 e negativoquando |H(ω)| < 1. Quando o modulo da funcao de transferencia e 1, 10, 100 e 1000, oganho em dB correspondente sera 0, 20, 40 e 60, respectivamente.

4.3 Diagramas basicos

Serao vistos agora os diagramas de Bode de funcoes de transferencia elementares. Estesresultados serao uteis no tracado manual dos diagramas, pois diagramas de funcoes maiscomplexas podem ser tracados como uma soma destas funcoes.

4.3.1 Constante

Neste primeiro caso, a funcao de transferencia e uma constante:

H(ω) = K

Utilizando a equacao (4.4) verifica-se que o modulo em dB e dado por |H(ω)|db =20 log |K| enquanto que pela equacao (4.5) a fase e θ(ω) = 0 se K for positivo e θ(ω) =π = 180, se K for negativo.

Como a constante K e invariante com a frequencia, o diagrama e uma linha retahorizontal, conforme a Figura 4.2. A constante desloca para cima (K > 1) ou para baixo(K < 1) o diagrama completo da funcao de transferencia.


Figura 4.2: Diagrama de Bode para uma constante.

4.3.2 Polo na origem

Quando a funcao de transferencia possui somente um polo na origem, ela tem a seguinteforma:

H(ω) =K

jω

Seu modulo em dB fica:

|H(ω)|db = 20 log

∣∣∣∣

K

jω

∣∣∣∣= 20 log K − 20 log ω

Para K = 1, o grafico de |H(ω)|db tracado em escala logarıtmica de ω e uma linhareta com inclinacao negativa de 6 dB/oitava ou 20 dB/decada, cruzando o eixo ω em 1,conforme a Figura 4.3.

Figura 4.3: Diagrama de Bode para um polo na origem com K = 1.

Para outros valores de K, a curva e tambem uma linha reta com a mesma inclinacao,mas deslocada pela constante K, conforme a Figura 4.4.

A fase e constante θ(ω) = −90 se K for positivo ou ∠H(ω) = 180 − 90 = 90 se Kfor negativo.

Se o polo na origem for multiplo, entao

H(ω) =K

jωn


Figura 4.4: Diagrama de Bode para um polo na origem.

O ganho em dB e |H(ω)|db = 20 log K − 20n log ω e a fase θ(ω) = −n.90 se K > 0.Ou seja, um polo multiplo altera a inclinacao da curva e o valor da fase no diagrama deBode.

4.3.3 Zero na origem

Dado um zero na origem, a funcao de transferencia sera do tipo:

H(ω) = K.jω

O modulo em dB e dado por:

|H(ω)|db = 20 log K + 20 log ω

Esta curva e uma reta com inclinacao positiva de 6 dB/oitava ou 20 dB/decada deslo-cada pela constante K, conforme a Figura 4.5. A fase e θ(ω) = 90 se K > 0.

Figura 4.5: Diagrama de Bode para um zero na origem.

Se o zero na origem for multiplo, H(ω) = (jω)n. O modulo neste caso fica |H(ω)|db =20 log K + 20n log ω e a fase θ(ω) = n.90 se K > 0. Da mesma forma que no casoanterior, a multiplicidade do zero altera a inclinacao da reta e o valor da fase.


4.3.4 Termos de primeira ordem

Os termos de primeira ordem ocorrem quando ha um polo fora da origem na funcaode transferencia, conforme a equacao abaixo:

H(ω) =1

1 + jωτ

Esta funcao de transferencia possui um polo com frequencia de corte de 1/τ . As curvasde ganho em dB e da fase de H(ω) sao dados pelas seguintes expressoes, calculadas apartir das equacoes (4.4) e (4.5):

GdB = |H(ω)| = −20 log√

1 + ω2τ 2

θ = − tan−1 ωτ

Percebe-se que tanto o modulo quanto a fase nao sao mais segmentos de retas como noscasos anteriores. Para facilitar o tracado manual do diagrama de Bode pode-se tracardiagramas assintoticos avaliando as equacoes acima para valores de frequencia muitoabaixo e muito acima da frequencia de corte do polo.

Diagramas Assintoticos

As assıntotas sao retas que aproximam o comportamento do grafico real nas altas ebaixas frequencias. Nas medias frequencias as assıntotas se distanciam do grafico realmas podemos calcular o maior erro cometido. Esse erro ocorre na frequencia de corte quee definida como o ponto de encontro das duas retas assintoticas de alta e baixa frequencia.Essa frequencia pode ser facilmente calculada. Para um termo de primeira ordem do tipo1/(Ts + 1) a frequencia de corte e ω = 1/T . Conforme visto anteriormente, os termos dotipo K, s, 1/s nao possuem frequencia de quebra pois os graficos desses termos sao retasde inclinacao zero, 20 dB/decada e -20 dB/decada respectivamente.

Assim, pode-se dizer que:

• Em baixas frequencias, limω→01

jωτ+1= 1 (GdB = 0). Logo nas baixas frequencias o

termo se comporta como um fator constante unitario.

• Em altas frequencias, limω→∞1

jωτ+1= 1

jωτ(ω →∞) (GdB = −20 log ωτ). Logo nas

altas frequencias o termo se comporta como um fator do tipo 1jωτ

que possui fase

−90 e modulo decrescendo na razao de -20 dB/decada.

• Nas medias frequencias a frequencia de corte ω = 1/τ tem-se que 1jωτ+1

= 1j+1

que

possui modulo −20 log(√

2) = −3 dB e fase −tan−1(1) = −45 graus.

Percebe-se pela Figura 4.6 que as assıntotas (linhas pontilhadas) possuem, no modulo,inclinacoes de zero e -20 dB/decada para baixas e altas frequencias respectivamente. Afase vale zero graus nas baixas frequencias, -90 graus nas altas frequencias e nas mediasfrequencias pode ser aproximada por uma assıntota de inclinacao -45 graus/decada. Aqui


-30

-20

-10

0 db

Hz

Magnitude

0.1T

1T

10T

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0 degrees

Hz

Phase

0.1T

1T

10T

Figura 4.6: Diagrama de Bode do termo 1Ts+1

e assıntotas

consideram-se medias frequencias o intervalo entre uma decada abaixo e uma decadaacima da frequencia de quebra.

Para as variantes da funcao de transferencia de primeira ordem tem-se as seguintesmudancas do diagrama de bode em comparacao com o termo da Figura 4.6:

• Para H(ω) = 11−jωτ

, muda apenas a fase, que passa a ser positiva;

• Para H(ω) = 1 + jωτ , a reta para ω > 1/τ e positiva com 20dB/decada e a fase epositiva;

• Para H(ω) = 1− jωτ , a reta tem inclinacao de 20dB/decada e a fase e negativa.

Exemplo 4.2 Desenhe os diagramas de Bode para o circuito da Figura 4.7.

Figura 4.7: Circuito RC do exemplo 4.2.

A funcao de transferencia e calculada da seguinte forma:

H(ω) =Vo(ω)

V1(ω)=

1/jωC

R + 1jωC

=1

1 + jωRC


A frequencia de corte neste caso e dada por ωc = 1RC

. O diagrama de Bode para esteexemplo esta tracado na Figura 4.8.

Figura 4.8: Diagramas de Bode para o exemplo 4.2.

A aproximacao das assıntotas e valida para ω >> ωc e ω << ωc. O erro em tornoda frequencia de corte pode ser determinado calculando o valor exato de |H(ω)|dB e θ(ω)para ω = ωc, ω = ωc/2 e ω = 2ωc:

Para ω = ωc/2:∣∣∣∣H

(1

2RC

)∣∣∣∣dB

= 20 log

∣∣∣∣

1

1 + j 12RC

RC

∣∣∣∣= 20 log

∣∣∣∣

1

1 + j/2

∣∣∣∣∼= −1dB

θ

(1

2RC

)

= −26, 6

Para ω = ωc:∣∣∣∣H

(1

RC

)∣∣∣∣dB

= 20 log

∣∣∣∣

1

1 + j 1RC

RC

∣∣∣∣= 20 log

∣∣∣∣

1

1 + j

∣∣∣∣∼= −3dB

θ

(1

RC

)

= −45

Para ω = 2ωc:∣∣∣∣H

(2

RC

)∣∣∣∣dB

= 20 log

∣∣∣∣

1

1 + j 2RC

RC

∣∣∣∣= 20 log

∣∣∣∣

1

1 + 2j

∣∣∣∣∼= −7dB

θ

(2

RC

)

= −63, 4

4.3.5 Termos de segunda ordem

A forma padrao para termos de 2a ordem e dada por:

H(ω) =ω2

n

(jω)2 + 2ξωnjω + ω2n

=1

1 + 2ξ jωωn

+(

jωωn

)2 (4.6)


onde ξ e a taxa de amortecimento e ωn e a frequencia natural do sistema. Estes valoresdependem dos parametros do sistema a ser analisado e serao mais explorados no capıtulode resposta ao degrau, a ser apresentado mais adiante.

GdB = |H(ω)| = −20 log

√(

1− ω2

ω2n

)2

+ 4ξ2ω2

ω2n

θ = − tan−1 2ξω/ωn

1− ω2/ω2n

Diagramas Assintoticos

Usando o mesmo raciocınio do caso de primeira ordem, pode-se analisar as assıntotaspara valores extremos de frequencia. Assim, verifica-se que:

• Em baixas frequencias, limω→0ω2

n

(jω)2+2ξωn(jω)+ω2n

= 1, ou seja, GdB = 0. Logo nasbaixas frequencias o termo se comporta como um fator constante unitario.

• Em altas frequencias, limω→∞ω2

n

(jω)2+2ξωn(jω)+ω2n

= ω2n

(jω)2(ω → ∞), ou seja, GdB =

−40 log ω/ωn. Logo nas altas frequencias o termo se comporta como um fator

do tipo ω2n

(jω)2que possui fase -180 graus e modulo decrescendo na razao de -40

dB/decada.

• Em medias frequencias, na frequencia de corte ω = ωn temos

ω2n

(jω)2 + 2ξωn(jω) + ω2n

=1

j2ξ

que possui modulo −20 log(2ξ) dB e fase −tan−1(∞) = −90 graus.

Pela Figura 4.9 verifica-se que as assıntotas (linhas pontilhadas) possuem, no modulo,inclinacoes de zero e -40 dB/decada para baixas e altas frequencias respectivamente. Afase vale zero graus nas baixas frequencias, -180 graus nas altas frequencias e nas mediasfrequencias pode ser aproximada por uma assıntota de inclinacao -90 graus/decada. Aquiconsideramos medias frequencias o intervalo entre uma decada abaixo e uma decada acimada frequencia de quebra.

A frequencia e o pico de ressonancia sao calculados da seguinte forma:

d

dω|G(jω)| = 0⇒ d

dω

1√[

1− ( ωωn

)2]2

+[

2ξ ωωn

]2

= 0

Resolvendo a expressao acima encontra-se a frequencia de ressonancia:

ωr = ωn

√

1− 2ξ2 , 0 ≤ ξ ≤√

2

2(4.7)


0.1 ωn

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20 db

Hz

Magnitude

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0 degrees

Hz

Phase

ξ = 0.1

ξ = 5

0.1 ωn

ωn

ωn

ξ = 5

ξ = 0.1

assıntotas

assıntotas

10 ωn

10 ωn

Figura 4.9: Diagrama de Bode do termo ω2n

(jω)2+2ξωnjω+ω2n

e assıntotas

Se ξ >√

2/2 nao havera pico de ressonancia e o modulo decai monotonicamente de 1a zero.

Quando 0 ≤ ξ ≤√

2/2 o pico de ressonancia e:

Mr = |G(jω)|ω=ωr =1

2ξ√

1− ξ2(4.8)

Nota-se que neste caso, o erro na frequencia de corte nao e constante como no casoanterior de primeira ordem e sim varia conforme os parametros do sistema.

O termo ξ e a chamada taxa de amortecimento do sistema. A Figura 4.10 apresentauma serie de diagramas de bode para um sistema de segunda ordem na forma padraocom diversos valores de amortecimento.


Figura 4.10: Diagramas de Bode para um sistema de segunda ordem padrao.


Exemplo 4.3 Encontre os valores ξ e ωn da forma padrao para o sistema de segundaordem da figura 4.11.

+

-

R L

Cx(t) I(t)

+

-

SISTEMAEntrada

y(t)

Saıda

Figura 4.11: Sistema de segunda ordem padrao

Solucao: O primeiro passo para se resolver o problema e obter a funcao de transferenciado sistema que e indicada a seguir.

X(jω) = (RCjω + LC(jω)2 + 1)Y (jω) → Y (jω) = F (jω)X(jω)

F (jω) =1

LC(jω)2 + RCjω + 1

Por comparacao com (4.6) temos:

F (jω) =1

LC(jω)2 + RCjω + 1=

ω2n

(jω)2 + 2ξωnjω + ω2n

Logo:

ω2n =

1

LC; 2ξωn =

R

L⇒ ξ =

R

2

√

C

L

Note que a taxa de amortecimento ξ depende linearmente da resistencia do circuito eesta e responsavel pela dissipacao de energia. Ja a frequencia natural ωn depende dosvalores da capacitancia e indutancia que sao os elementos responsaveis pelas oscilacoesda resposta. Num sistema sem amortecimento, isto e R = 0 e portanto ξ = 0, a respostaoscila com a frequencia natural do sistema.

Exemplo 4.4 Construa os diagramas de Bode para:

G(jω) =10(jω + 10)

jω(jω + 1)(jω2 + 100jω + 104)

Solucao: Quando se dispoe do auxılio de um computador e um software adequado odiagrama se constroi bastante facilmente (veja figura 4.14). Quando se deseja apenas


um esboco manual do diagrama podemos construı-lo da seguinte forma. O primeiro passoconsiste em fatorar G(jω) numa forma onde se conhece os diagramas assintoticos de cadaum dos fatores individualmente. Os fatores que sao polinomios de primeira e segundaordem devem ter o termo independente unitario como indicado a seguir.

G(jω) =10−2(0, 1jω + 1)

jω(jω + 1)(10−4jω2 + 10−2jω + 1)

Em seguida construa os diagramas assintoticos de dois fatores quaisquer e some as duascurvas de modulo e de fase. Construa o diagrama assintotico de um terceiro fator esome as curvas obtidas com o resultado anterior. Repita esse procedimento ate que osdiagramas assintoticos de todos os fatores tenham sido levados em consideracao. Paraconstruir um esboco dos diagramas de Bode a partir dos diagramas assintoticos obtidosuse o fato que nas frequencias de quebra de fatores lineares a distancia entre a curva reale as assıntotas de de ±3 dB e nos fatores quadraticos e ±20 log(2ξ). As figuras 4.12,4.13e 4.14 ilustram esses passos. As curvas pontilhadas sao as assıntotas e curvas cheiassao graficos reais. O intervalo de frequencia pode ser escolhido como sendo uma decadaabaixo da menor frequencia de quebra e uma decada acima da maior.

-1

100

101

102

103

10

-60

-50

-40

-30

-20

-10 dbMagnitude

-1

100

101

102

103

10

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0 degreesPhase

rad/s

rad/s

Figura 4.12: Diagrama de Bode do termo G1(jω) = 0.01(0.1jω+1)jω

e assıntotas


-1

100

101

102

103

10

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20 dbMagnitude

-1

100

101

102

103

10

-150

-140

-130

-120

-110

-100

-90 degreesPhase

rad/s

rad/s

Figura 4.13: Diagrama de Bode do termo G2(jω) = G1(jω) 1jω+1

e assıntotas

-1

100

101

102

103

10

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20 db

rad/s

Magnitude

-1

100

101

102

103

10

-270

-250

-230

-210

-190

-170

-150

-130

-110

-90 degrees

rad/s

Phase

Figura 4.14: Diagrama de Bode do termo G(jω) = G2(jω) 110−4jω2+10−2jω+1

e assıntotas


4.4 Sistemas de Fase Mınima e Nao-Mınima

Nesta secao serao estudadas algumas propriedades associadas aos zeros da funcao detransferencia.

Definicao 4.1 Um sistema e dito ser de Fase Mınima se todos os zeros da funcao detransferencia desse sistema estao no semi-plano complexo esquerdo. Caso contrario, istoe se existir algum zero no semi-plano direito ou sobre o eixo imaginario, o sistema e ditoser de Fase Nao-mınima.

Para que um sistema de controle tenha algum interesse pratico ele deve ser estavel,isto e todos os zeros da sua funcao de transferencia devem ter parte real estritamentenegativa. No entanto alguns sistemas fısicos estaveis podem possuir zeros no semi-planodireito.

Exemplo 4.5 O circuito da figura 4.15 possui x(t) como tensao de entrada e y(t) comotensao de saıda.

r2 r1

C

C r2

r1

x

+

-

y-

+

Figura 4.15: Circuito de fase nao mınima (r2 > r1)

A equacao diferencial que rege o comportamento do circuito e y + rCy = x− r0x onder = r1 + r2 e r0 = r2 − r1. A funcao de transferencia desse circuito e entao

G(jω) =1− r0Cjω

1 + rCjω(4.9)

Note que G(s) possui um polo em s = − 1rC

e um zero em s = 1r0C

. Portanto o sistemae estavel de fase nao mınima se escolhemos r2 > r1, pois nesse caso o zero de G(s) estano semi-plano direito. Se escolhemos r2 < r1 o sistema e estavel de fase mınima poisagora o zero de G(s) esta no semi-plano esquerdo. O diagrama de Bode desse sistema eindicado na figura 4.16 para caso (a): r1 = 10KΩ, r2 = 20KΩ, C = 1µF e na figura4.17 para caso (b): r2 = 10KΩ, r1 = 20KΩ, C = 1µF . Veja que o diagrama de moduloe igual para os dois casos mas o diagrama de fase e diferente.


-1

100

101

102

103

10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 db

Hz

Magnitude

-1

100

101

102

103

10

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0 degrees

Hz

Phase

Figura 4.16: Caso (a): Sistema de fase nao mınima (r2 > r1)

-1

100

101

102

103

10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 db

Hz

Magnitude

-1

100

101

102

103

10

-30

-26

-22

-18

-14

-10

-6

-2

2 degrees

Hz

Phase

Figura 4.17: Caso (b): Sistema de fase mınima (r2 < r1)


Sistemas de fase mınima possuem propriedades bastante interessantes. Sao mais sim-ples de serem controlados e os seus diagramas de Bode (modulo e fase) sao assintoticosnas altas e baixas frequencias e alem disso podemos relacionar a assıntota de modulo coma de fase atraves do grau relativo do sistema. Grau relativo de um sistema e a diferencade grau entre o denominador e o numerador da funcao de transferencia do mesmo.

Veja o que ocorre se for considerado um sistema que possui uma funcao de transferenciado tipo:

G(s) =K(am(jω)m + · · ·+ a1jω + 1)

bn(jω)n + · · ·+ b1jω + 1(4.10)

com an, bn, K reais positivos.

O grau relativo desse sistema e n−m. Note que para todo sistema de interesse praticoo grau relativo e sempre positivo, ou seja, n−m ≥ 0.

Nas baixas frequencias tem-se que:

limω→0

G(jω) = K

Logo o diagrama de modulo nas baixas frequencias e uma assıntota de inclinacao zeroe valor dado por 20 log(K). O diagrama de fase nas baixas frequencias tambem e umaassıntota de inclinacao zero e valor zero pois K > 0.

Para as altas frequencias:

limω→∞

G(jω) = limω→∞

Kam

bn

(jω)m−n

O diagrama de modulo nas altas frequencias e uma assıntota de inclinacao 20(m− n)dB por decada e o valor onde esta assıntota cruza o eixo das frequencias e dado por

ω = (K am

bn)

1n−m . O diagrama de fase nas altas frequencias tambem e uma assıntota de

inclinacao zero e valor 90(m − n) graus. Assim note que num sistema de fase mınimatemos que se o modulo decai assintoticamente com 20(m− n) dB por decada a fase vale90(m − n) graus. Verifique este resultado no exemplo 4.5. Nesse exemplo n = m = 1(grau relativo zero) e portanto no caso (b) quando r2 < r1 (sistema de fase mınima) omodulo tende a uma assıntota de inclinacao zero e a fase tende a zero graus nas altasfrequencias. Isto nao ocorre no caso (a) quando r2 > r1 (sistema de fase nao mınima).

Bibliografia

CLOSE, C. M., The Analysis of Linear Circuits, Harcourt, Brace & World, Inc.:NewYork, USA, 1966, 716p.

D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H., Analise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares,Editora Guanabara:Rio de Janeiro, RJ, 1984, 660p.

Capıtulo 5

Transformada de Laplace

5.1 Introducao e Nocoes de Funcoes Complexas

O comportamento da maioria dos sistemas fısicos pode ser representado atraves deequacoes diferenciais. Neste curso vamos nos restringir a sistemas que podem ser re-presentados por equacoes diferenciais ordinarias, lineares, a parametros invariantes notempo.

+

-

+

-

V(t) Vc(t)

R L

C

Figura 5.1: Circuito RLC serie

Exemplo 5.1 Condidere o circuito da figura 5.1. A relacao de causa-efeito da tensaov(t) (Entrada) sobre a tensao vC(t) (Saıda) no capacitor e um sistema descrito pelaequacao diferencial seguinte:

v(t) = RCvC(t) + LCvC(t) + vC(t),dv(t)

dt= v(t)

• Equacao diferencial ordinaria linear

• Parametros invariantes no tempo

Sistemas mais complicados sao muitas vezes modelados por equacoes diferenciais naolineares e muito frequentemente os parametros variam com o tempo. No entanto, ocomportamento desses sistemas pode ser aproximado por equacoes diferenciais linearesinvariantes no tempo, nas vizinhancas de um ponto de operacao. As tecnicas para a


obtencao desses modelos lineares invariantes no tempo consistem em expandir os termosnao lineares pela Serie de Taylor e aproxima-los pela parte linear da serie. Por exemplo,para a funcao y(t) = sen(t) obterıamos uma aproximacao linear nas vizinhancas daorigem que e dada por ylin(t) = t e e facil de verificar que a funcao y(t) = sen(t) secomporta aproximadamente como ylin(t) = t para pequenos valores da variavel t.

A Transformada de Laplace e uma tecnica extremamente util na solucao de equacoesdiferenciais lineares invariantes no tempo. E atraves da Transformada de Laplace quese obtem a nocao de “Funcao de Transferencia ” de um sistema.

A Transformada de Laplace transforma um funcao da variavel tempo, digamos f(t),numa outra funcao F (s) onde s = σ + jω e uma variavel complexa. Em determina-das condicoes, as funcoes f(t) e sua transformada F (s) estao relacionadas de formabi-unıvoca:

f(t) LAPLACE F(s)

Transf. Direta

Transf. Inversa

Figura 5.2: Transformada direta e inversa de Laplace

PROPRIEDADES DE FUNCOES COMPLEXAS:

Neste curso vamos nos restringir, com poucas excessoes, a funcoes complexas racionais.

Definicao 5.1 (Funcao Racional) Uma funcao G(s) da variavel complexa s = σ+jω eracional se G(s) pode ser expressa como a divisao de dois polinomios da variavel complexas.

A figura abaixo ilustra uma funcao complexa G(s) em termos de suas coordenadasretangular e polar. onde |G(s)| =

√G2

x + G2y e ∠G(s) = tan−1Gy/Gx.

Re[G(s)]

Im[G(s)]

Gy

Gx

G(s) = Gx + jGy = |G(s)| ej∠G(s)

Figura 5.3: Representacao grafica de uma funcao complexa

• Complexo conjugado: A conjugacao complexa e uma operacao que consiste em trocaro sinal da parte imaginaria, se o numero estiver representado nas coordenadas retangu-lares, ou de forma equivalente, trocar o sinal da fase, se o numero estiver representado


nas coordenadas polares. Representaremos o complexo conjugado do numero complexoG(s), indicado na figura 5.3, por G(s) = Gx − jGy = |G(s)|e−j∠G(s).

Duas propriedades importantes da conjugacao complexa sao indicadas a seguir. SeA,B sao dois numeros complexos entao AB = A B e A + B = A + B.

Definicao 5.2 (Polos e Zeros) Seja G(s) = N(s)D(s)

onde N(s) e D(s) sao dois polinomios

com coeficientes reais. Define-se polos e zeros de G(s) como sendo os valores de s taisque:

- Zeros de G(s): s tal que N(s) = 0

- Polos de G(s): s tal que D(s) = 0

Exemplo 5.2 A transformada de Laplace da funcao g(t) = −0, 5 + 1, 5e2t, t ≥ 0 e afuncao complexa G(s) = s+1

s(s−2)que possui os seguintes polos e zeros:

- Zeros de G(s): s = −1

- Polos de G(s): s = 0, s = 2

Note que cada polo da funcao G(s) esta associado a uma exponencial da funcao g(t).Na realidade os polos sao os expoentes das exponenciais.

• O numero complexo:

ejθ = cosθ + jsenθ

possui modulo unitario e fase θ, como indicado a seguir.

|ejθ| =√

cos2θ + sen2θ = 1

∠ejθ = tan−1 senθ

cosθ= θ

Definicao 5.3 (Funcao Analıtica) Uma funcao G(s) e analıtica numa regiao se G(s)e todas as suas derivadas existem nessa regiao.

Exemplo 5.3 A funcao G(s) = 1s+1

e analıtica fora do ponto s = −1 (Polo de G(s)).

As operacoes de derivada e integral envolvendo funcoes complexas analıticas se fazemde maneira habitual, isto e, as regras usuais de derivada e integral se aplicam diretamente.


5.2 Definicao e Regiao de Convergencia

Para uma funcao f(t) com t ≥ 0, define-se Transformada de Laplace de f(t) comosendo a funcao complexa F (s) obtida atraves da integral:

F (s) = L[f(t)] =

∫ ∞

0−f(t)e−stdt (5.1)

onde s = σ + jω e a variavel complexa introduzida pela transformada. Sob certascondicoes (que veremos a seguir) podemos tambem definir a Transformada Inversa deLaplace da seguinte forma:

f(t) = L−1[F (s)] =1

2πj

∫ c+j∞

c−j∞F (s)estds (5.2)

onde t ≥ 0 e c e um numero real associado a regiao do plano s = σ + jω onde a funcaoF (s) esta definida. Esta regiao e chamada regiao de convergencia da Transformada deLaplace . Dentro dessa regiao as funcoes f(t) para t ≥ 0 e F (s) estao ligadas de maneirabiunıvoca, como ilustra a figura a seguir.

Trans. Direta

Tranf. Inversa

t ≥ 0 Re[s] > cf(t) F (s)

Figura 5.4: Relacao entre f(t) e sua transformada de Laplace

Exemplo 5.4 Seja f(t) = e2t, para t ≥ 0.

F (s) = L[f(t)] =

∫ ∞

0−e2te−stdt =

−1

s− 2e−(s−2)t|∞0−

=−1

s− 2[ limt→∞

e−(s−2)t − limt→0−

e−(s−2)t] =1

s− 2− 1

s− 2limt→∞

e−(s−2)t

Note que s = σ + jω e

|e−jωt| = |cosωt + jsenωt| = 1.

Assim,

limt→∞

e−(s−2)t =

±∞ para Re[s] = σ < 2indefinido para Re[s] = σ = 20 para Re[s] = σ > 2.


Logo, a Transformada de Laplace da funcao e2t, t ≥ 0 so esta definida na regiao doplano complexo definida por Re[s] > 2 e nessa regiao obtemos:

F (s) = L[e2t] =1

s− 2

A regiao do plano complexo onde a Integral de Laplace esta definida e e finita re-cebe o nome de regiao de convergencia da Transformada de Laplace . Mostra-se que aoescolhermos um contorno para a integral:

1

2πj

∫ c+j∞

c−j∞F (s)estds

de tal forma que c > 2 (contorno dentro da regiao de convergencia) entao o resultado daintegral acima e e2t para t ≥ 0.

Existem funcoes, como por exemplo et2 , t ≥ 0, para as quais a Transformada de Laplacenao existe, isto e, nao existe regiao de convergencia da Integral de Laplace. No entanto,todos os sinais de interesse pratico sao transformaveis por Laplace.

A regiao de convergencia da Transformada de Laplace e um formalismo matematicoque normalmente e omitido no calculo da transformada. No entanto e importante lembrarque qualquer que seja a regiao de convergencia, as funcoes f(t) para t ≥ 0 e F (s) paraRe[s] > c estao relacionados de maneira biunıvoca. Os casos em que f(t) 6= 0 para t < 0sao de interesse marginal no calculo da Transformada de Laplace e nao serao consideradosnesse curso. Uma vez obtida a transformada de Laplace F (s) podemos deduzir sua regiaode convergencia. Ela e dada pela regiao do plano complexo a direita do polo mais a direitada funcao F (s).

Exemplo 5.5 (Exponencial real) f(t) = eat, t ≥ 0

F (s) = L[eat] =

∫ ∞

0

eate−stdt =−1

s− ae−(s−a)t|∞0 =

1

s− a

Exemplo 5.6 (Degrau Unitario) Funcao Degrau Unitario u(t) =

0, t < 01, t ≥ 0

L[u(t)] =

∫ ∞

0

1e−stdt =−1

se−st|∞0 =

1

s.

(Regiao de Convergencia Re[s] > 0)

Exemplo 5.7 (Rampa) Funcao Rampa f(t) =

0, t < 0At, t ≥ 0, A constante

L[f(t)] = A

∫ ∞

0

te−stdt = Ate−st

−s|∞0 −

∫ ∞

0

Ae−st

−sdt =

A

s

∫ ∞

0

e−stdt =A

s2.

(∫

udv = uv −∫

vdu)


Exemplo 5.8 (Senoide) Funcao Senoidal f(t) =

0, t < 0sen(ω0t), t ≥ 0, ω0 cte

L[f(t)] =

∫ ∞

0

sen(ω0t)e−stdt =

∫ ∞

0

ejω0t − e−jω0t

2je−stdt

=1

2j

[1

s− jω0

− 1

s + jω0

]

=ω0

s2 + ω20

RESUMO

u(t)↔ 1s: Polo simples na origem. Funcao Constante no tempo.

tu(t)↔ 1s2 : Polo duplo na origem. Funcao cresce linearmente no tempo.

e−αtu(t)↔ 1s+α

: Polo em s = −α. Cresce exponencialmente no tempo se polo for positivo(α < 0). Decresce exponecialmente no tempo se polo for negativo (α > 0). Valorconstante no tempo se o polo for na origem.

sen(ω0t)u(t)↔ ω0

s2+ω20: Polos complexos conjugados sobre o eixo imaginario (s = ±jω0).

Funcao oscila no tempo sem amortecimento.

5.3 Propriedades

A Transformada de Laplace possui varias propriedades que, em geral, simplificam ocalculo da transformada se comparado com a aplicacao direta da definicao (5.1). Todas aspropriedades apresentadas nessa secao estao provadas em Ogata (1993). Por convenienciarepetiremos algumas das provas a tıtulo de exercıcio.

5.3.1 Operacao Linear

Sejam f1(t) e f2(t) duas funcoes e α1 e α2 duas constantes. Entao:

L[α1f1(t) + α2f2(t)] = α1L[f1(t)] + α2L[f2(t)]

Prova: Utilizando a definicao (5.1) temos:

L[α1f1(t) + α2f2(t)] =

∫ ∞

0

(α1f1(t) + α2f2(t))e−stdt

= α1

∫ ∞

0

f1(t)e−stdt + α2

∫ ∞

0

f2(t)e−stdt

= α1L[f1(t)] + α2L[f2(t)]


5.3.2 Funcao Transladada em Atraso

Seja f(t) uma funcao, u(t) o degrau unitario e α uma constante. Entao:

L[f(t− α)u(t− α)] = e−αsL[f(t)]

t0

t0 α

f(t) f(t− α)u(t− α)

Figura 5.5: Funcao deslocada em atraso

Prova: Aplicando a definicao temos:

L[f(t− α)u(t− α)] =

∫ ∞

0

f(t− α)u(t− α)e−stdt

Definindo τ = t− α podemos rescrever a integral acima como

L[f(t− α)u(t− α)] =

∫ ∞

−α

f(τ)u(τ)e−s(τ+α)dτ

= e−sα

∫ ∞

−α

f(τ)u(τ)e−sτdτ

como f(τ)u(τ) = 0 para −α ≤ τ < 0 temos:

= e−sα

∫ ∞

0

f(τ)u(τ)e−sτdτ

= e−sα

∫ ∞

0

f(τ)e−sτdτ

= e−sαL[f(t)]

5.3.3 Funcoes Porta-deslocada e Impulso

As funcoes Porta-deslocada e Impulso possuem propriedades importantes no contextoda Transformada de Laplace .

Funcao Porta-deslocada: Usaremos a notacao fp(t) para representar a funcao porta-deslocada de area unitaria.

fp(t) =

1t0

, 0 < t < t00, 0 > t > t0 sendo tO uma constante


0

t0

fp(t)

t

1t0

Figura 5.6: Funcao Porta de area unitaria

Note que fp(t) = 1t0

u(t)− 1t0

u(t− t0).

Utilizando as propriedades de Linearidade e Translacao obtemos:

L[fp(t)] = L[

1

t0u(t)− 1

t0u(t− t0)

]

=1

t0L[u(t)]− 1

t0L[u(t− t0)]

=1

t0

1

s− 1

t0

e−t0s

s

=1

t0s(1− e−t0s)

Funcao Impulso: A Funcao Impulso Unitario que ocorre no instante t = t0 e repre-sentada por δ(t− t0) e satisfaz as seguintes condicoes:

δ(t− t0) =

0, ∀t 6= t0∞, t = t0

e

∫ ∞

−∞δ(t− t0)dt = 1

A Funcao Impulso e uma abstracao matematica e nao existe na pratica. Porem, va-riacoes bruscas de energia podem ser aproximadas pela funcao impulso. Alem disso, oconceito da funcao impulso e bastante util na diferenciacao de funcoes descontınuas, comoveremos na sequencia.

Para calcular a transformada da funcao impulso devemos notar que o impulso na origeme o caso limite da funcao porta quando t0 → 0, isto e:

δ(t) = limt0→0

1

t0[u(t)− u(t− t0)]


Assim temos:

L[δ(t)] = L[

limt0→0

1

t0(u(t)− u(t− t0))

]

= limt0→0L[

1

t0(u(t)− u(t− t0))

]

= limt0→0

1

t0s(1− e−t0s)

=d

dt0(1− e−t0s)

ddt0

(t0s)

= 1

A Transformada do Impulso e uma funcao constante numericamente igual a area doimpulso (Energia Instantanea). O exemplo a seguir mostra como podemos utilizar afuncao impulso para representar a derivada de funcoes descontınuas.

Exemplo 5.9 Seja a funcao f(t) = A para 0 < t < t0 (t0) dado) e nula fora desseintervalo. A derivada sessa funcao esta definida em todos os pontos exceto em t = 0 et = t0. Nesses pontos existem descontinuidades. A variacao da funcao no entorno deuma descontinuidade pode ser representada por um impulso de area igual ao tamanho dadescontinuidade. A derivada de f(t) esta indicada na figura 5.7.

0

f(t)

tt0

t

f(t)

−A δ(t − t0)

A δ(t)

0

t0

A

Figura 5.7: Derivada de funcoes descontınuas.

5.3.4 Multiplicacao por exponencial

Se L[f(t)] = F (s) entao, para a multiplicacao de f(t) por e−αt:

L[e−αtf(t)] =

∫ ∞

0

f(t)e−αte−stdt = F (s + α)

Exemplo 5.10 Ja vimos que:

L[sen(ω0t)u(t)] =ω0

s2 + ω20

= F (s)


Logo:

L[e−αtsen(ω0t)u(t)] =ω0

(s + α)2 + ω20

= F (s + α)

Note que os polos de F (s + α) sao p1,2 = −α ± jω0, onde Re[polo] = −α define odecaimento exponencial do sinal f(t) e Im[polo] = ±ω0 define a frequencia de oscilacaodo sinal f(t).

5.3.5 Mudanca na Escala de Tempo

Se L[f(t)] = F (s) entao:L[f(t/α)] = αF (αs)

Este resultado e util quando se deseja analisar sinais numa escala de tempo diferentedaquela em que ele ocorre na pratica. Pode ser o caso por exemplo de sinais muito lentosou muito rapidos.

Exemplo 5.11 Dado que L[e−tu(t)] = 1s+1

tem-se que L[e−0,2tu(t)] = 55s+1

.

5.3.6 Teorema da Diferenciacao Real

De agora em diante usaremos as seguintes notacoes para representar derivada temporalde uma funcao f(t):

df(t)

dtdef= ∂f(t) ou de forma equivalente

df(t)

dtdef= f(t) (5.3)

A notacao que emprega o operador ∂def= d

dte util no caso de derivadas de ordem ≥ 3

como a derivada de ordem 5: ∂5f(t). Ja a notacao f(t) e f(t) sao comuns em livros decontrole para expressar derivadas de ordem 1 e 2.

Com a notacao acima temos o seguinte resultado:

L[

f(t)]

= sF (s)− f(0)

onde L[f(t)] = F (s) e f(0) = f(t)|t=0.

Problema 5.1 Prove que L[

f(t)]

= sF (s) − f(0). Dica: use a integral por partes∫∞0

udv = uv|∞0 −∫∞0

vdu .

Quando uma funcao possui descontinuidade na origem, a sua derivada temporal irapossuir um impulso na origem. Nesses casos precisamos tomar cuidado com o limiteinferior da transformada da derivada. Vamos entao definir:


L+[f(t)] =

∫ ∞

0+

f(t)e−stdt

L−[f(t)] =

∫ ∞

0−f(t)e−stdt

Note que se f(t) envolve um impulso na origem entao L+[f(t)] 6= L−[f(t)]. Quandof(t) nao possui impulso na origem teremos L+[f(t)] = L−[f(t)] = L[f(t)].

Para o caso em que f(t) possui impulso na origem (f(t) possui descontinuidade naorigem) ficamos com:

L+

[

f(t)]

= sF (s)− f(0+)

L−

[

f(t)]

= sF (s)− f(0−)

Note que na definicao L+ o tempo comeca em t = 0+ e portanto o impulso na origemfica fora do intervalo considerado, oque nao nos interessa. Assim apenas a definicao L−,por comecar a contagem dos tempos em t = 0−, nos sera util para tratar impulsos naorigem.

Exemplo 5.12 Seja f(t) = e−αt, para t ≥ 0. Calcule L[f(t)].

Solucao:f(t) = δ(t)− αe−αt, t ≥ 0

L[f(t)] = 1− α

s + α=

s

s + α

Pelo teorema da diferenciacao real obtemos o mesmo resultado acima:

L−[f(t)] = sF (s)− f(0−) =s

s + α− 0 =

s

s + α

Para uma derivada de ordem n temos:

L [∂nf(t)] = snF (s)− sn−1f(0)− sn−2∂f(t)|t=0 − · · · − s∂n−2f(t)|t=0 − ∂n−1f(t)|t=0

OBSERVACOES:

• Se a distincao entre L+ e L− for necessaria basta substituir t = 0 por t = 0+ out = 0− respectivamente.

• Para que L[∂nf(t)] exista e preciso que todas as derivadas de f(t) de ordem inferiora n existam e sejam transformaveis por Laplace.

• Quando todas as condicoes iniciais forem nulas entao:

L [∂nf(t)] = snF (s)


Exemplo 5.13 Sabendo que L[sen(ω0t)u(t)] = ω0

s2+ω20

podemos obter:

L[cos(ω0t)u(t)] = L[

d

dt

sen(ω0t)

ω0

u(t)

]

=1

ω0

L[

d

dt(sen(ω0t)u(t))

]

=1

ω0

(sF (s)− f(0))

=1

ω0

(s ω0

s2 + ω20

− 0)

=s

s2 + ω20

5.3.7 Teorema do Valor Final

Quando uma funcao f(t) tende a um valor constante em regime estacionario, isto equando t→∞, este valor constante pode ser diretamente obtido atraves do limite:

limt→∞

f(t) = lims→0

sF (s)

onde L[f(t)] = F (s). Note que quando f(t) tende a um valor constante em regime entaof(t) tende a zero em regime. Como toda funcao que tende a zero em regime deve possuirtransformada com todos os polos no semi-plano esquerdo concluımos que todos os polosde L[f(t)] = sF (s) devem estar no semi-plano esquerdo para que o limite acima possa teralgum sentido. Caso contrario, se algum polo de sF (s) tem parte real nula ou positiva afuncao f(t) nao tende a um valor constante em regime e portanto a igualdade acima naomais se verifica.

Exemplo 5.14 Qual e o valor de regime (se ele existe) da funcao f(t) cuja transformadae F (s) = 1

s(s+1)?

Solucao: Como os polos de sF (s) nao possuem parte real nula nem positiva (os polossao s = −1) entao f(t) tende a um valor constante em regime. E esse valor e dado por:

limt→∞

f(t) = lims→0

sF (s) = 1

Para conferir o resultado note que L[(1− e−t)u(t)] = 1s(s+1)

.

Problema 5.2 Calcule o valor de regime da funcao no tempo cuja transformada e F (s) =1

(s−2). Diga se o teorema do valor final pode ser aplicado e qual e a funcao no tempo.

5.3.8 Teorema do Valor Inicial

Usando este teorema somos capazes de achar o valor de f(t) em t = 0+ conhecendoapenas a transformada de f(t). Se f(t) e f(t) sao ambas transformaveis por Laplace e se


lims→∞ sF (s) existir entao:f(0+) = lim

s→∞sF (s)

Quando f(t) nao possui descontinuidade na origem f(0+) = f(0).

Problema 5.3 Encontre o valor inicial de f(t) dado que L[f(t)] = 2s+1s2+s+1

.

5.3.9 Teorema da Integracao Real

Se a funcao que resulta da integral∫

f(t)dt e transformavel por Laplace entao suatransformada e dada por:

L[∫

f(t)dt

]

=F (s)

s+

∫f(t)dt

s|t=0 (5.4)

OBSERVACOES:

• Se o valor inicial da integral for zero entao:

L[∫

f(t)dt

]

=F (s)

s

Assim, integrar no domınio do tempo e dividir por s no domınio da frequencia.Lembre que derivar no tempo e multiplicar por s na frequencia.

• Quando a integral for definida note que:∫ t

0

f(t)dt =

∫

f(t)dt−∫

f(t)dt|t=0.

Sendo∫

f(t)dt|t=0 uma constante temos com (5.4) que:

L[∫ t

0

f(t)dt

]

=F (s)

s

Se f(t) possui impulso na origem entao deve-se especificar que a integral comecaem t = 0−.

5.3.10 Teorema da Diferenciacao Complexa

Se f(t) e transformavel por Laplace, entao, exceto nos polos de F (s) vale a seguinterelacao:

L[tf(t)] = − d

dsF (s).

No caso geral:

L[tnf(t)] = (−1)n dn

dsnF (s), n = 1, 2, . . . .


5.3.11 Integral de Convolucao

Sejam f1(t) e f2(t) duas funcoes nulas para t < 0. A Convolucao dessas duas funcoesf1(t) e f2(t) sera representada pela notacao f1(t) ∗ f2(t) e e definida pela integral:

f1(t) ∗ f2(t) =

∫ t

0

f1(t− τ)f2(τ)dτ

Propriedades:

• f1(t) ∗ f2(t) = f2(t) ∗ f1(t)

• f1(t) ∗ (f2(t) + f3(t)) = f1(t) ∗ f2(t) + f1(t) ∗ f3(t)

• L[f1(t) ∗ f2(t)] = L[f1(t)]L[f2(t)]

A ultima propriedade e muito importante e mostra que fazer a convolucao no tempo efazer o produto das transformadas na frequencia.

Prova:

L[f1(t) ∗ f2(t)] =

∫ ∞

0

(∫ t

0

f1(t− τ)f2(τ)dτ

)

e−stdt

como f1(t− τ) = 0 para τ > t podemos extender o limite de integracao de t para infinito.Como t e τ sao variaveis independentes podemos trocar a ordem de integracao.

=

∫ ∞

0

∫ ∞

0

f1(t− τ)e−s(t−τ)dtf2(τ)e−sτdτ

Note que a integral interna e simplesmente a transformada de f1(t) com a mudanca devariavel ξ = t− τ :

∫ ∞

0

f1(t− τ)e−s(t−τ)dt =

∫ ∞

−τ

f1(ξ)e−sξdξ =

∫ ∞

0

f1(ξ)e−sξdξ = L[f1(t)]

Note ainda que L[f1(t)] e uma funcao complexa da variavel s e nao depende de τ . Logoobtemos:

L[f1(t) ∗ f2(t)] =

∫ ∞

0

L[f1(t)]f2(τ)e−sτdτ

= L[f1(t)]

∫ ∞

0

f2(τ)e−sτdτ

= L[f1(t)]L[f2(t)]

Veremos mais adiante que o comportamento de todo sistema linear invariante no tempopode ser representado por uma integral de convolucao, ou equivalentemente, pelo produtode duas transformadas.


f(t)

t...

a

0 1 2

f(t)

ta0

...

−aδ(t − 1)

−aδ(t − 2)

Figura 5.8: Funcao dente de serra e sua derivada

Exemplo 5.15 Calcule a transformada de Laplace da funcao f(t) da figura 5.8.

Solucao: Como a derivada de f(t) e uma funcao mais simples que f(t), veja figura 5.8,iremos calcular a transformada da derivada e utilizar a relacao L[f(t)] = sF (s) − f(0).Tem-se entao:

f(t) = au(t)−∞∑

n=1

aδ(t− n)

L[f(t)] = sF (s)− f(0) = aL[u(t)]− a∞∑

n=1

L[δ(t− n)]

⇒ sF (s) = a1

s− a

∞∑

n=1

e−nsL[δ(t)]

⇒ F (s) =a

s2− a

∞∑

n=1

e−ns

s

t

f(t)

0 a 2a

1

a2

1

a2-

Figura 5.9: Funcao onda quadrada

Exemplo 5.16 Calcule a transformada de Laplace da funcao f(t) da figura 5.9.

Solucao: Como a funcao e uma soma de degraus deslocados, temos:

f(t) =1

a2u(t)− 2

a2u(t− a) +

1

a2u(t− 2a)

L[f(t)] =1

a2L[u(t)]− 2

a2L[u(t− a)] +

1

a2L[u(t− 2a)]

=1

a2

1

s− 2

a2e−as 1

s+

1

a2e−2as 1

s

=1

a2s(1− 2e−as + e−2as)


Exemplo 5.17 Calcule a transformada de Laplace da funcao x(t) que resolve a seguinte

equacao diferencial ax + bx + cx = 0, onde x = dx(t)dt

e x(0) = k1, x(0) = k2.

Solucao: Seja X(s) = L[x(t)]. Tomando a transformada dos dois lados da equacaotemos:

L[ax + bx + cx] = L[0] = 0

aL[x] + bL[x] + cL[x] = 0

L[x] = X(s)

L[x] = sX(s)− x(0)

L[x] = s2X(s)− sx(0)− x(0)

a[s2X(s)− sk1 − k2] + b[sX(s)− k1] + cX(s) = 0

X(s)(as2 + bs + c) = ak1s + bk1 + ak2

X(s) =ak1s + bk1 + ak2

as2 + bs + c

Exemplo 5.18 Calcule a transformada de Laplace do sinal f(t) = sen(ω0t+θ)u(t), ondeθ e ω0 sao constantes.

Solucao: Existem varias formas de se resolver o problema. A seguir apresenta-se umaforma que explora as propriedades de funcoes senoidais e da funcao impulso.

f(t) = sen(ω0t + θ)u(t)

f(t) = cos(ω0t + θ)ω0u(t) + sen(ω0t + θ)δ(t)= cos(ω0t + θ)ω0u(t) + sen(θ)δ(t)

f(t) = −sen(ω0t + θ)ω20u(t) + cos(ω0t + θ)ω0δ(t) + δ(t)sen(θ)

= −sen(ω0t + θ)ω20u(t) + cos(θ)ω0δ(t) + δ(t)sen(θ)

Alem disso sabemos que

L[f(t)] = s2F (s)− sf(0−)− f(0−) = s2F (s)

e das duas expressoes acima tiramos o seguinte resultado

L[f(t)] = s2F (s)

= L[−sen(ω0t + θ)ω20u(t) + cos(θ)ω0δ(t) + δ(t)sen(θ)]

⇒ F (s) =s sen(θ) + ω0cos(θ)

s2 + ω20

Problema 5.4 Refazer o exemplo 5.18 utilizando a relacao trigonometrica sen(ωt+θ) =sen(ωt)cos(θ) + cos(ωt)sen(θ)


5.4 Transformada Inversa

Ja foi mencionado anteriormente que a transformada de Laplace e sua respectiva funcaono tempo estao relacionadas de forma biunıvoca, como ilustra a figura 5.10. A transfor-mada inversa de Laplace nos permite encontrar a funcao no tempo a partir do conheci-mento da sua Transformada de Laplace .

Trans. Direta

Tranf. Inversa

t ≥ 0 Re[s] > cf(t) F (s)

Figura 5.10: Relacao entre f(t) e sua transformada F (s)

Existem tabelas que sao bastante uteis na obtencao da tranformada inversa. No entantoessas tabelas sao limitadas e no caso mais geral a maneira mais simples de se calculara transformada inversa e utilizar o metodo de expansao por fracoes parciais pois osfatores que resultam da expansao sao bem mais simples de serem convertidos ao domıniodo tempo. Este metodo possui variacoes para polos distintos, polos multiplos, poloscomplexos e vamos supor que a funcao a ser expandida por fracoes parciais e racional.

5.4.1 Fracoes parciais para polos distintos

Seja F (s) uma transformada na forma fatorada, isto e:

F (s) =k(s + z1)(s + z2) . . . (s + zm)

(s + p1)(s + p2) . . . (s + pn), n > m

onde −zi, (i = 1, 2, . . . ,m), sao os zeros e −pi, (i = 1, 2, . . . , n) sao os polos da funcaoF (s). A restricao n > m pode ser feita sem perda de generalidade como veremos numexemplo a seguir.

Quando todos os polos sao distintos temos:

F (s) =a1

s + p1

+a2

s + p2

+ · · ·+ an

s + pn

(5.5)

onde ai sao constantes conhecidas como resıduos dos polos pi, respectivamente, e saocalculados da seguinte forma:

ai = (s + pi)F (s)|s=−pi(5.6)

Isto pode ser facilmente verificado. Veja no caso do resıduo do polo s = −p1. Multipli-cando (5.5) por s + p1 temos:

(s + p1)F (s) = a1 +a2

s + p2

(s + p1) + · · ·+ an

s + pn

(s + p1)


Logo para s = −p1 encontramos (5.6) com i = 1. O procedimento e identico para osdemais polos.

O interesse da expansao por fracoes parciais e que cada termo da expansao (5.5) podeser facilmente transformado para o domınio do tempo com a relacao L[aie

−pitu(t)] = ai

s+pi,

logo:

f(t) = L−1[F (s)] = L−1

[a1

s + p1

]

+ L−1

[a2

s + p2

]

+ · · ·+ L−1

[an

s + pn

]

= a1e−p1t + a2e

−p2t + · · ·+ ane−pnt, t ≥ 0.

Note que a expansao por fracoes parciais (5.5) e valida para polos reais e complexos naorepetidos. Para polos reais os resıduos (5.6) sao reais e para polos complexos os resıduossao complexos.

Exemplo 5.19 (Polos Reais) Calcule a funcao no tempo cuja transformada e

F (s) =s + 3

(s + 1)(s + 2)

Solucao: Com (5.5) e (5.6) se obtem:

F (s) =a1

s + 1+

a2

s + 2a1 = F (s)(s + 1)|s=−1 = 2

a2 = F (s)(s + 2)|s=−2 = −1

Assim,

f(t) = L−1[F (s)] = 2e−t − e−2t, t ≥ 0

Exemplo 5.20 (Nao Causal) Calcule a transformada inversa da funcao

G(s) =s3 + 5s2 + 9s + 7

(s + 1)(s + 2)

Solucao: Como o grau do numerador e maior que o grau do denominador devemosdividir um pelo outro ate que o resto da divisao seja uma funcao com grau do numeradormenor que o grau do denominador, como indicado a seguir.

G(s) = s + 2 +s + 3

(s + 1)(s + 2)

= s + 2 +2

s + 1− 1

s + 2


Logo:

g(t) = L−1[G(s)] = L−1[s] + L−1[2] + L−1

[2

s + 1

]

+ L−1

[ −1

s + 2

]

=d

dtδ(t) + 2δ(t) + 2e−t − e−2t, t ≥ 0−

Exemplo 5.21 (Polos Complexos) Calcule a transformada inversa da funcao

F (s) =2s + 12

s2 + 2s + 5

Solucao: Note que os polos sao complexos pois s2 + 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1− j2).Nesses casos a funcao temporal sempre envolve o produto de uma exponencial e um senoou cosseno como indicado a seguir:

L[eαtsenω0t] =ω0

(s− α)2 + ω20

L[eαtcosω0t] =s− α

(s− α)2 + ω20

Nas transformadas acima α e a parte real dos polos e ω0 e a parte imaginaria dos polos.Verifique que os polos sao α ± jω0. Para o exemplo em questao temos s2 + 2s + 5 =(s + 1)2 + 22 e com algumas manipulacoes algebricas obtem-se:

F (s) =2s + 12

(s + 1)2 + 22= A

ω0

(s− α)2 + ω20

+ Bs− α

(s− α)2 + ω20

Logo 2s+12 = Aω0+B(s−α). Como ω0 = 2 e α = −1 temos por igualdade polinomialB = 2 e A = 5 o que resulta:

L−1[F (s)] = 5L−1

[2

(s + 1)2 + 22

]

+ 2L−1

[s + 1

(s + 1)2 + 22

]

= 5e−tsen2t + 2e−tcos2t, t ≥ 0.

Problema 5.5 Refaca o exemplo 5.21 utilizando o metodo de expansao por fracoes par-ciais indicado em (5.5). Obtenha a mesma expressao para f(t).

5.4.2 Fracoes Parciais para polos repetidos

Os metodos da secao anterior sao validos para polos distintos. Nesta secao estudaremoso caso de polos repetidos baseado num exemplo que pode ser facilmente generalizado.


Exemplo 5.22 Calcule a transformada inversa da funcao

F (s) =s2 + 2s + 3

(s + 1)3

Solucao: Como o polo tem multiplicidade tres a expansao por fracoes parciais envolvetres termos:

F (s) =b3

(s + 1)3+

b2

(s + 1)2+

b1

(s + 1)

onde os coeficientes bi, (i = 1, 2, 3), sao os resıduos a serem determinados.

Para determina-los multiplique os dois lados por (s + 1)3 para obter:

(s + 1)3F (s) = b3 + b2(s + 1) + b1(s + 1)2

Com a igualdade polinomial acima utilize um dos dois metodos abaixo:

Metodo 1 Derivadas sucessivas de (s + 1)3F (s)

⇒ b3 = (s + 1)3F (s)|s=−1

d

ds[(s + 1)3F (s)] = b2 + 2b1(s + 1)

⇒ b2 =d

ds[(s + 1)3F (s)]s=−1

d2

ds2[(s + 1)3F (s)] = 2b1

⇒ 1

2!

d2

ds2[(s + 1)3F (s)]s=−1

Metodo 2 Atribuindo-se valores para s na igualdade

s = 0 ⇒ 3 = b3 + b2 + b1

s = −1 ⇒ 2 = b3

s = 1 ⇒ 6 = b3 + 2b2 + 4b1

Os dois metodos acima levam aos mesmos valores dos resıduos: b3 = 2, b2 = 0, b1 = 1e portanto:

L−1[F (s)] = L−1

[2

(s + 1)3

]

+ L−1

[0

(s + 1)2

]

+ L−1

[1

s + 1

]

= t2e−t + 0 + e−t, t ≥ 0.


5.4.3 Fracoes Parciais para casos especiais

Quando a transformada envolve polos distintos e repetidos ou polos reais e complexospodemos combinar os resultados das secoes anteriores como ilustram os exemplos a seguir.

Exemplo 5.23 (Polos distintos e repetidos) Calcule a transformada inversa da funcao

F (s) =s2 + 2s + 3

(s + 1)2(s + 2)

Solucao: A funcao possui um polo s = −2 com multiplicidade um e um polo s = −1com multiplicidade dois. Nesse caso a expansao se faz como nas secoes anteriores, istoe, o polo com multiplicidade dois tera dois resıduos e o polo com multiplicidade um teraum resıduo.

F (s) =b2

(s + 1)2+

b1

(s + 1)+

b0

(s + 2)

onde os coeficientes bi, (i = 0, 1, 2), sao os resıduos a serem determinados pelos metodosda secao anterior.

Exemplo 5.24 (Polos reais e complexos) Calcule a transformada inversa da funcao

F (s) =2s + 12

(s2 + 2s + 5)(s + 1)

Solucao: A funcao possui dois polos complexos e um real. Para utilizarmos os resul-tados das secoes anteriores devemos primeiro separar os polos complexos dos reais daseguinte forma:

F (s) =b1s + b0

(s2 + 2s + 5)+

b2

(s + 1)

onde b2 e determinado com (5.6) e b0, b1 sao determinados por igualdade polinomialatribuindo-se valores para s. Com os valores de b0, b1, b2 podemos utilizar os exemplos5.21 e 5.19 para encontrar a funcao no domınio do tempo.


5.5 Relacao entre sinais e alocacao dos polos

De forma a facilitar o entendimento do significado dos polos de um sinal no tempo,apresenta-se na Tabela 5.1, alguns sinais mais usuais, juntamente com suas transforma-das de Laplace e a alocacao dos polos de F (s). Nota-se a relacao entre os polos e osinal no tempo. Polos multiplos sobre o eixo imaginario ou polos no semi-plano direitorepresentam sinais que crescem indefinidamente quanto t tende ao infinito. A distanciados polos em relacao ao eixo imaginario e dada pela constante de tempo de f(t) (noscasos da Tabela 5.1, o termo a). Ja a distancia de um par de polos complexos conjugadosao eixo real e dada pela frequencia angular de oscilacao de f(t).

Conforme sera visto mais adiante, sistemas com polos multiplos sobre o eixo imaginarioou polos no semi-plano direito tendem a ser instaveis quando uma entrada e aplicada.

Tabela 5.1: Relacao entre sinais no tempo e a alocacao dos polos no plano complexo.

Funcao f(t) Transformada F (s) Polos de F (s)

f(t) = u(t)

F (s) =1

s

f(t) = t.u(t)

F (s) =1

s2

f(t) = e−at.u(t)

F (s) =1

s + a

f(t) = sin ω0t.u(t)

F (s) =ω0

s2 + ω20


Funcao f(t) Transformada F (s) Polos de F (s)

f(t) = cos ω0t.u(t)

F (s) =s

s2 + ω20

f(t) = a−at. sin ω0t.u(t)

F (s) =ω0

(s + a)2 + ω20

f(t) = a−at. cos ω0t.u(t)

F (s) =s + a

(s + a)2 + ω20


5.6 Tecnicas de Analise de Circuitos com Transfor-

mada de Laplace

Com a utilizacao da transformada de Laplace, pode-se analisar a resposta temporal decircuitos eletricos de uma maneira simplificada. A Tabela 5.6 apresenta os modelos nodomınio da frequencia complexa s dos elementos basicos de circuitos juntamente com suasequacoes basicas. Com isso, resolve-se o circuito no domınio s, encontrando uma equacaopara a saıda. Em seguida, faz-se a transformada inversa de Laplace para a determinacaoda resposta temporal.

Tabela 5.2: Modelos de elementos de circuitos.

Elem. Domınio t Domınio s

Res

isto

r

v(t) = R.i(t) V (s) = R.I(s)

Cap

acit

or

v(t) = 1C

∫ t

0i(t).dt + v(0) V (s) = 1

s.C.I(s) + 1

s.v(0)

i(t) = C.dv(t)dt

I(s) = s.C.V (s)− C.v(0)

Induto

r

i(t) = 1L

∫ t

0v(t).dt + i(0) I(s) = 1

s.L.V (s) + 1

s.i(0)

v(t) = L.di(t)dt

V (s) = s.L.I(s)− L.i(0)


Exemplo 5.25 Considere o circuito da Figura 5.11, onde if (t) = 3.e−t.u(t) mA, R =10kΩ e C = 25µF . Determine o circuito no domınio s e a resposta temporal.

Figura 5.11: Circuito do exemplo 5.25.

Utilizando os modelos apresentados anteriormente, chega-se ao circuito no domınio s,dado pela Figura 5.12.

Figura 5.12: Circuito do exemplo 5.25.

Neste circuito, If (s) e obtido pela transformada de Laplace de if (t):

If (s) =3

s + 1

A tensao de saıda Vs(s) e obtida da seguinte forma:

Vs(s) =

[

R//1

s.C

]

If (s) =

[ 1C

s + 1RC

]

.If (s)

Substituındo os valores de If (s), R e C:

Vs(s) =

(40000

s + 4

)

.

(0, 003

s + 1

)

=120

(s + 4).(s + 1)

Aplicando fracoes parciais:

Vs(s) =40

s + 1− 40

s + 4

Fazendo a transformada inversa, chega-se ao valor da resposta temporal:

vs(t) = 40.[e−t − e−4t

].u(t) V


Problema 5.6 Determine o circuito no domınio s e a resposta temporal vs(t) do circuitoabaixo.

Figura 5.13: Circuito do problema.


5.7 Sinais com energia limitada

Vamos definir energia de um sinal f(t) como sendo:

E =

∫ ∞

−∞f(t)2dt (5.7)

Esta definicao de energia e uma generalizacao do conceito de energia dissipada em re-sistores. Por exemplo, se f(t) representa a tensao ou corrente num resistor unitario, aenergia dissipada no resistor e dada pela integral acima. Os sinais que possuem energialimitada (E <∞) sao portanto de grande interesse pratico.

Veremos a seguir que um sinal cuja transformada de Laplace e uma funcao racionalque possui todos os polos no semi-plano esquerdo estrito, isto e, polos com parte realestritamente negativa, e um sinal de energia limitada. Para esses sinais a integral acimaexiste e e finita. Seja o seguinte sinal:

x(t) = α1 + α2e−2t + α3e

−t + k1e−tsenω0t + k2e

−tcosω0t, t ≥ 0

A transformada de x(t) e:

X(s) = L[x(t)] =α1

s+

α2

s + 2+

α3

s + 1+

k1ω0

(s + 1)2 + ω20

+k2(s + 1)

(s + 1)2 + ω20

Note que todos os polos possuem parte real negativa, exceto o polo na origem. Assim, ospolos reais de X(s) tornam-se expoentes de funcoes exponenciais decrescentes no tempo.Os polos complexos estao associados a sinais que causam oscilacoes amortecidas. Oamortecimento dessas oscilacoes e definido pela parte real dos polos (Re[polos] = −1 nocaso) e a frequencia de oscilacao e definida pela parte imaginaria do polo (Im[polo] =ω0). O efeito temporal dos polos com parte real negativa diminui exponencialmente edesaparece completamente em regime permanente, isto e, quando t→∞.

Um sinal x(t) cuja transformada seja analıtica no semi-plano direito 1 mas tenha umpolo simples na origem vai ter um nıvel DC igual ao resıduo desse polo (α1 no caso acima).O valor do sinal x(t) acima em regime permanente (t→∞) e constante e igual a α. Noteque nesse caso o sinal nao tem energia limitada pois a integral acima vai divergir dadoque o sinal nao converge para zero em regime.

Assim, um sinal qualquer x(t) vai ter um valor zero em regime (converge para zeroquando t → ∞) apenas quando todos os polos da transformada possuem parte realnegativa. Se a transformada possui um polo na origem ( e os demais no semi-planoesquerdo estrito) o sinal sera constante com um nıvel DC nao nulo em regime. Emqualquer outra situacao o sinal e divergente, isto e, nao tera um valor de regime finito.A energia do sinal sera limitada apenas no primeiro caso, isto e, quando o sinal convergepara zero quando t→∞.

1Lembre-se que uma funcao e analıtica numa dada regiao quando ela nao possui polos nessa regiao


5.8 Resolucao de Equacoes Diferenciais

Atraves das leis da fısica podemos obter um modelo de comportamento para todos ossistemas. Para sistemas dinamicos esse modelo e uma equacao diferencial. Este e o casopor exemplo de motores, circuitos, turbinas e todos os outros dispositivos estudados naengenharia. Saber como o sistema se comporta para dadas condicoes iniciais e uma dadaexcitacao e equivalente a saber resolver a equacao diferencial.

A Transformada de Laplace pode ser utilizada para resolver equacoes diferenciaislineares invariantes no tempo. Para isso basta transformar por Laplace cada um dostermos da equacao dif. obtendo assim a transformada da funcao que resolve a equacao.Em seguinda, utiliza-se a transformada inversa para encontrar a solucao no domınio dotempo.

Exemplo 5.26 Resolva a seguinte equacao diferencial x+2x+5x = g(t), onde x(0) = a,x(0) = b sao constantes dadas e g(t)=0.

Solucao: Note que

L[x] = X(s)

L[x] = sX(s)− x(0)

L[x] = s2X(s)− sx(0)− x(0)

Tomando-se a transformada dos dois lados da equacao se obtem:

[s2X(s)− sx(0)− x(0)] + 2[sX(s)− x(o)] + 5X(s) = 0

⇒ X(s) =s + 2

s2 + 2s + 5x(0) +

1

s2 + 2s + 5x(o)

De forma similar ao exemplo 5.21 temos:

X(s) =s + 1

s2 + 2s + 5x(0) +

1

s2 + 2s + 5x(0) +

1

s2 + 2s + 5x(o)

e consequentemente

x(t) = L−1[X(s)] = [e−tcos(2t) + 0.5e−tsen(2t)]x(0) + 0.5e−tsen(2t)x(0)

que e a solucao da eq. diferencial.

Exemplo 5.27 Um determinado sistema e regido pela seguinte equacao diferencial x +2x+5x = g(t), onde as condicoes iniciais sao nulas, isto e, x(0) = 0, x(0) = 0. Encontrea resposta desse sistema quando o mesmo e excitado por um degrau de amplitude 3, istoe, g(t) = 3u(t).

Solucao: Note que

L[3u(t)] =3

sL[x] = X(s)

L[x] = sX(s)− x(0) = sX(s)

L[x] = s2X(s)− sx(0)− x(0) = s2X(s)


Logo:

s2X(s) + 2sX(s) + 5X(s) =3

s

X(s) =3

s(s2 + 2s + 5)=

3

5s− 3

5

s + 2

s2 + 2s + 5

Note que s2 +2s+5 = (s−σ)2 +ω2 onde σ, ω sao as partes real e imaginaria dos polos(raızes de s2 + 2s + 5). Para o caso em questao temos σ = −1, ω = 2 e portanto:

X(s) =3

5s− 3

5

1

(s + 1)2 + 22− 3

5

s + 1

(s + 1)2 + 22

Logo:

L−1[X(s)] = x(t) = L−1

[3

5s

]

− L−1

[3

5

1

(s + 1)2 + 22

]

− L−1

[3

5

s + 1

(s + 1)2 + 22

]

=3

5− 3

10e−tsen2t− 3

5e−tcos2t, t ≥ 0.

A figura 5.14 ilustra o diagrama de simulacao analogica da equacao diferencial x+2x+5x = g(t). A figura 5.15 mostra a resposta x(t) da equacao para quatro situacoes: (a)g(t) = 0, x(0) = 1, x(0) = 0 ; (b) g(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 ; (c) g(t) = 3u(t), x(0) =0, x(0) = 0 ; (d) g(t) = 3u(t), x(0) = 1, x(0) = 1

- -

+g(t) x

5

2

x x

x(0) x(0)

1s

1s

Figura 5.14: Diagrama de simulacao analogica

5.9 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero

A resposta de todo sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em duasparcelas: uma que depende do sistema e do sinal de entrada e outra que depende dosistema e das condicoes iniciais. A primeira parcela chamaremos de Resposta de EstadoZero ja que esta parcela indica como um sistema, inicialmente em repouso (condicoesiniciais nulas), responde a um dado sinal de entrada. A segunda parcela chamaremos deResposta de Entrada Zero pois ela indica como um sistema se comporta quando e deixadopara responder livremente as suas condicoes inicias (sem excitacao externa). .


0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70.91.11.31.5

+

0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70.91.11.31.5

+

0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70.91.11.31.5

+

0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70.91.11.31.5

+

(a)

(b)

(c)

(d)

x(t)

x(t)

x(t)

x(t)

Figura 5.15: Respostas x(t) do diagrama de simulacao analogica


As respostas de Estado Zero e Entrada Zero de um sistema descrito por (5.11) podemser determinadas atraves da Transformada de Laplace .

Exemplo 5.28 Encontre as respostas de Estado Zero e Entrada Zero do circuito RLCserie da figura 5.17.

Solucao: Do exemplo 5.29 temos que o comportamento dinamico entrada/saıda docircuito e dado por (5.12). Tomando a transformada dos dois lados da equacao temos:

L[a2y + a1y + a0y] = L[b0x] (5.8)

Pela linearidade temos:

a2L[y] + a1L[y] + a0L[y] = b0L[x]

Sendo Y (s) = L[y] e X(s) = L[x], pela propriedade de derivacao no tempo:

a2[s2Y (s)− sy(0)− y(0)] + a1[sY (s)− y(0)] + a0Y (s) = b0X(s)

⇒ (a2s2 + a1s + a0)Y (s) = b0X(s) + (a2s + a1)y(0) + a2y(0)

Portanto:

Y (s) =b0

a2s2 + a1s + a0

X(s) +a2s + a1

a2s2 + a1s + a0

y(0) +a2

a2s2 + a1s + a0

y(0)

Y (s) = F (s)X(s) + F0(s)y(0) + F1(s)y(0) (5.9)

onde

F (s) =b0

a2s2 + a1s + a0

, F0(s) =a2s + a1

a2s2 + a1s + a0

, F1(s) =a2

a2s2 + a1s + a0

Considerando f(t) = L−1[F (s)], f0(t) = L−1[F0(s)] e f1(t) = L−1[F1(s)] podemos entaoreescrever a expressao acima com o auxılio da anti-transformada na forma:

y(t) = L−1[Y (s)] = L−1[F (s)X(s)] + y(0)L−1[F0(s)] + y(0)L−1[F1(s)]

= f(t) ∗ x(t) + y(0)f0(t) + y(0)f1(t) (5.10)

F (s)x(t)

y(0) y(0)

y(t)

y(t)

F (s)

F0(s)

F1(s)

x(t)

y(0)

y(0)

Figura 5.16: Respostas de Estado Zero e Entrada Zero


Note que f(t), f0(t) e f1(t) dependem apenas dos parametros fısicos e da estruturaentrada/saıda do sistema. Nao dependem nem da entrada x(t) nem da saıda y(t) nemdas condicoes iniciais do sistema.

A respota de Estado Zero do circuito e a parcela de (5.10) que depende da entrada:Yesz(s) = F (s)X(s) no domınio da frequencia ou de forma equivalente yesz(t) = f(t)∗x(t)no domınio do tempo.

A resposta de Entrada Zero e a parcela de (5.10) que depende das condicoes inici-ais: Yenz(s) = F0(s)y(0) + F1(s)y(0) no domınio da frequencia ou de forma equivalentey(0)f0(t) + y(0)f1(t) no domınio do tempo.

Podemos agora generalizar os resultados acima para sistemas de ordem mais elevada.Considere um sistema descrito pela seguinte equacao diferencial:

an∂ny(t) + · · ·+ a1∂y(t) + a0y(t) = bm∂mx(t) + · · ·+ b1∂x(t) + b0x(t)

∂ny(t)|t=0 = cn, . . . , ∂y(t)|t=0 = c1, y(t)|t=0 = c0

(5.11)

onde ∂def= d

dte o operador derivada temporal, ai (i = 0, . . . , n) e bi (i = 0, . . . ,m) sao

coeficientes constantes que dependem dos parametros fısicos do sistema, ci (i = 0, . . . , n)sao constantes que definem as condicoes iniciais do sistema, x(t) e o sinal de entrada ey(t) e o sinal de saıda.

+

-

+

-

V(t) Vc(t)

R L

C

Figura 5.17: Circuito RLC serie

Exemplo 5.29 Considere o circuito RLC serie descrito na figura 5.17. A entrada dosistema e a tensao V (t) e a saıda e a tensao no capacitor Vc(t). Em termos da notacaoacima temos x(t) = V (t) e y(t) = Vc(t) e o comportamento dinamico entrada/saıda eregido pela seguinte equacao diferencial:

a2y + a1y + a0y = b0x (5.12)

com a0 = 1, a1 = RC, a2 = LC e b0 = 1. As condicoes iniciais sao a tensao no capacitorno instante inicial x(0) = Vc(0) e a derivada da tensao no instante inicial x(0) = Vc(0).

Se ao inves do sistema de segunda ordem do exemplo acima, considerarmos um sistemade ordem generica como em (5.11) obterıamos:

y(t) = f(t) ∗ x(t) +n−1∑

i=0

fi(t)ci (5.13)


onde ci = diy(t)dti|t=0 sao as condicoes iniciais.

Da expressao acima podemos extrair informacoes muito importantes:

1. A saıda de um sistema depende dos seus parametros fısicos e da sua estruturaentrada/saıda. Isto e representado em (5.13) pelas funcoes f(t), f0(t), . . . , fn−1(t).

2. A saıda de um sistema depende da entrada x(t) que lhe e aplicada. Esta dependenciae dada pela convolucao f(t) ∗ x(t) que recebe o nome de resposta de estado zero dosistema. Esta e a resposta do sistema quando as condicoes iniciais sao nulas.

yesz(t) = f(t) ∗ x(t) , Yesz(s) = F (s)X(s) (5.14)

3. A saıda de um sistema depende das condicoes iniciais do mesmo. Este fato pode serverificado em (5.13) pela presenca das constantes ci que sao as condicoes iniciais.Esta parcela da resposta recebe o nome de resposta de entrada zero do sistema.Esta e a resposta do sistema quando a entrada e nula.

yenz(t) =n−1∑

i=0

fi(t)ci , Yenz(s) =n−1∑

i=0

Fi(s)ci (5.15)

4. A resposta de Entrada Zero e linear em relacao ao conjunto de condicoes iniciais ea resposta de estado zero e linear em relacao a entrada.

Problema 5.7 Considere o circuito RLC serie da figura 5.17. Calcule as respostas deEntrada Zero e de Estado Zero supondo R = 1Ω, L = 1H,C = 1F , condicoes iniciaisVc(0) = 1V, Vc(0) = 1V/seg e sinal de entrada degrau unitario.

Problema 5.8 A resposta de um sistema linear invariante ao degrau unitario e dadascondicoes iniciais e y1(t) = 2− 2e−2t + e−3t , t ≥ 0. Para um degrau de amplitude 3 e odobro das condicoes iniciais anteriores a resposta e y2(t) = 6− 10e−2t + 6e−3t. Pede-se:

a) A resposta de Estado Zero para um degrau unitario.

b) A resposta de Estado Zero ao impulso.

c) A resposta de Entrada Zero associada a y1(t).

d) As condicoes iniciais associadas a resposta y1(t).

5.10 Funcao de Transferencia e Estabilidade

Veremos a seguir que a resposta de Estado Zero de um sistema esta associada a duasnocoes muito importantes: funcao de transferencia e estabilidade.


Definicao 5.4 (Funcao de Transferencia) Funcao de transferencia e uma funcao com-plexa que representa a relacao saıda/entrada do sistema para condicoes iniciais nulas.

Pela definicao acima nota-se que a nocao de funcao de transferencia esta relacionadacom a resposta de Estado Zero do sistema. A relacao complexa saıda/entrada de umsistema com condicoes iniciais nulas pode ser obtida diretamente da resposta de EstadoZero (5.14): Y (s)/X(s) = F (s). Assim, um sistema que possua a resposta de EstadoZero (5.14) tera F (s) como funcao de transferencia. Quando se conhece a funcao detransferencia F (s) de um sistema e a transformada do sinal de entrada X(s) se conhecetambem a resposta de Estado Zero do mesmo que e dada por (5.14). E importantenotar que a funcao de transferencia depende apenas dos parametros fısicos do sistema eda estrutura entrada/saıda do mesmo. Veja o exemplo 5.28. A entrada e as condicoesinicias nao afetam a funcao de transferencia.

Quando as condicoes iniciais sao nulas resposta total do sistema e a propria respostade Estado Zero do mesmo, como pode ser visto nas equacoes (5.9) e (5.10).

Domınio do Tempo: y(t) = yesz(t) = f(t) ∗ x(t)

Domınio da Frequencia: Y (s) = Yesz(s) = F (s)X(s)

A funcao f(t) = L−1[F (s)] recebe o nome de Resposta Impulsional pois f(t) e a res-posta do sistema quando as condicoes iniciais sao nulas e a entrada x(t) e um impulso noinstante t = 0 (X(s) = 1).

Definicao 5.5 (Sistemas Causais ou Nao-Antecipativos) Um sistema dinamico edito ser Causal ou Nao-Antecipativo se sua Resposta Impulsional e nula para t < 0.

Pela definicao acima nota-se que a resposta y(t) de um sistema causal excitado com umsinal x(t), apresenta a seguinte propriedade: o valor de y(t)|t=tf so depende da entradax(t) e da resposta impulsional f(t) para valores de tempo t ≤ tf . Em outras palavras,a dinamica de um sistema causal em qualquer instante de tempo t = tf depende (naodepende) da entrada e da resposta impulsional para valores de tempo menores (maiores)que tf . Essa propriedade e mostrada a seguir.

y(t) = f(t) ∗ x(t) =

∫ ∞

0

f(t− τ)x(τ)dτ

para t = tf temos f(tf − τ) = 0 para τ > tf . Logo f(tf − τ)x(τ) = 0 para τ > tf eportanto:

y(tf ) =

∫ tf

0

f(tf − τ)x(τ)fτ

so depende de f(t) e x(t) para t < tf .

Outra nocao muito importante e a de estabilidade de sistemas.


Definicao 5.6 (Estabilidade de Sistemas) Um sistema e dito ser estavel se todos ospolos da sua funcao de transferencia estao localizados no semi-plano esquerdo estrito,isto e, Re[polos] < 0. Caso contrario o sistema e dito ser instavel.

Pela definicao acima nota-se que a estabilidade e uma propriedade intrınseca do sistema.Ela so depende da sua funcao de transferencia e portanto dos seus parametros fısicos eda estrutura entrada/saıda.

Exemplo 5.30 Mostre que num sistema estavel, a resposta de Estado Zero sera um sinalde energia finita para todo sinal de entrada de energia finita.

Solucao: A resposta de Estado Zero de um sistema e dada por (5.14). Se o sistemae estavel entao todos os polos de F (s) possuem parte real estritamente negativa. Alemdisso, se o sinal de entrada possui energia finita, sua transformada possui todos os polostambem com parte real estritamente negativa (veja secao 5.7). Como a transformada dosinal de saıda Y (s) e dada por Y (s) = F (s)X(s) podemos verificar que todos os polosde Y (s) tambem estao no semi-plano esquerdo estrito. Portanto o sinal de saıda possuienergia limitada sempre que o sistema for estavel e o sinal de entrada possuir energialimitada.

Problema 5.9 Para o circuito RLC serie do problema 5.7 pede-se:

a) Verifique se o sistema e estavel.

b) Calcule a resposta impulsional.

c) No exemplo 5.30 analisa-se a energia da reposta de Estado Zero. Verifique que nocircuito em questao, sinais de entrada de energia limitada produzem respostas totais comenergia limitada tambem. Isto e, a resposta de Entrada Zero do circuito tambem possuienergia limitada.

5.11 Diagrama de Blocos

O diagrama de blocos e utilizado para representar esquematicamente como funcionao sistema. Cada elemento do sistema e representado por um bloco que contem suaFuncao de Transferencia . Esses blocos sao entao interligados o que permite representara interdependencia desses elementos. Os diagramas sao normalmente utilizados pararepresentar a resposta de Estado Zero. Quando se deseja a resposta de Entrada Zerotambem, as condicoes iniciais devem ser fornecidas. Quando elas nao sao fornecidasassume-se serem nulas.

Um diagrama de blocos pode ser visto como uma forma esquematica de representarvariaveis se relacionam num conjunto de equacoes. Veja o que seria um diagrama deblocos para um caso ja bastante conhecido que e o circuito RLC serie.


+

-

R L

Cx(t) I(t)

+

-

SISTEMAEntrada

y(t)

Saıda

Figura 5.18: Diagrama entrada/saıda de um circuito

Exemplo 5.31 Represente as interdependencias das variaveis x(t), I(t), y(t) no circuitoda figura 5.18 atraves de um diagrama de blocos.

Solucao: O primeiro passo para a obtencao do diagrama e a obtencao das equacoesque regem o comportamento do sistema. Nessas equacoes as variaveis de interesse devemaparecer explicitamente. As demais variaveis devem ser eliminadas. Isto se consegueescrevendo-as em funcao das variaveis de interesse. Veja como proceder no caso docircuito em questao.

Inicialmente vamos obter um diagrama onde apenas os sinais de entrada x(t) e saıday(t) sao de interesse, isto e a corrente nao aparece nas equacoes. Obtendo as equacoesdo circuito e eliminando a corrente ficamos com equacao diferencial em x(t) e y(t).

x(t) = RI(t) + LI(t) + y(t)y(t) = 1

CI(t)

⇒ RCy + LCy + y = x

Sendo X(s) = L[x(t)] e Y (s) = L[y(t)] temos para condicoes inciais nulas:

RCsY (s) + LCs2Y (s) + Y (s) = X(s)

Logo:

Y (s) =1

LCs2 + RCs + 1X(s) (5.16)

Portanto:

F (s) =1

LCs2 + RCs + 1

X(s) Y(s)F(s)

Figura 5.19: Diagrama de blocos simplificado

A funcao F (s) e a transferencia da tensao de entrada X(s) para a tensao de saıda Y (s)e para condicoes iniciais nulas temos que a resposta do circuito para qualquer sinal de


entrada x(t) e dada por y(t) = x(t) ∗ f(t) onde f(t) = L−1[F (s)] e a resposta impulsionaldo circuito.

Note que no diagrama de blocos acima foram eliminadas as informacoes sobre todas asoutras variaveis do circuito (corrente, etc). A Funcao de Transferencia da informacaoapenas sobre a relacao de causa-efeito entre as variaveis de entrada e de saıda.

E possıvel, no entanto, explicitar a dependencia de outras variaveis no diagrama deblocos atraves de simples manipulacao de equacoes. Por exemplo, para fazer aparecer avariavel corrente no diagrama de blocos do circuito temos:

X(s) = RI(s) + LsI(s) + Y (s)CsY (s) = I(s)

X(s)− Y (s) = (R + Ls)I(s)→ I(s) = 1

R+Ls(X(s)− Y (s))

Y (s) = 1Cs

I(s)

Agora essas equacoes podem ser transformadas em diagramas como mostra a figura5.20.

+-

X(s) Y(s)I(s)

Y(s)

11

R+Ls Cs

Figura 5.20: Diagrama de blocos detalhado

Note que os diagramas das figuras 5.19 e 5.20 sao equivalentes e os sinais X(s), Y (s)sao os mesmos nas duas configuracoes. Para se verificar isto basta manipular as equacoescomo anteriormente, eliminando-se assim a variavel corrente.

5.12 Sistemas Realimentados

A presenca de uma malha fechada num diagrama de blocos caracteriza o que se chamade sistema realimentado. De uma maneira geral um sistema realimentado pode ser ca-racterizado pelo diagrama da figura 5.21 onde

X(s) e a transformada do sinal de entrada.

Y (s) e a transformada do sinal de saıda.

G(s) funcao de transferencia do sistema a ser controlado, incluindo acionadores, medi-dores e controladores (Filtros para fins de controle).


X(s) Y(s)E(s)G(s)

H(s)

+-

Figura 5.21: Sistema realimentado

H(s) funcao de transferencia de realimentacao que inclui transdutores e eventuais con-troladores adicionais.

A Funcao de Transferencia entre X(s) e Y (s) no diagrama acima e conhecida comoF.T. de malha fechada e pode ser obtida atraves das equacoes inicadas no diagrama.

E(s) = X(s)−H(s)Y (s)Y (s) = G(s)E(s)

Para se obter a funcao de transferencia entre X(s) e Y (s) deve-se eliminar todas asvariaveis intermediarias, E(s) no caso acima. Com isso temos a seguinte relacao:

Y (s) =G(s)

1 + G(s)H(s)X(s) (5.17)

X(s) Y(s)G(s)

1+G(s)H(s)

F.T.M.F.

Figura 5.22: Sistema realimentado simplificado

que pode ser representada num diagrama simplificado como indicado na figura 5.22. Noteque os diagramas das figuras 5.21 e 5.22 sao equivalentes. Eles expressam a mesma relacaoentrada/saıda, isto e, se a entrada e a mesma nos dois diagramas a saıda tambem o e.

X(s) Y(s)+-

(R+Ls)(Cs)

1

Figura 5.23: Diagrama de blocos de um circuito RLC-serie

Exemplo 5.32 Vimos que a F.T. entre X(s) e Y (s) no circuito da figura 5.19 e F (s) =1/(LCs2 + RCs + 1). Vimos tambem que ao fazer aparecer a corrente no diagrama


de blocos do circuito, o diagrama resultante (Figura 5.20) fica na forma de um sistemarealimentado do tipo da Figura 5.21. Para encontrar os valores de G(s) e H(s) vamossimplificar o diagrama da figura 5.20 como indicado na figura 5.23 de onde podemos maisfacilmente obter por comparacao:

G(s) =1

(R + Ls)Cse H(s) = 1

Agora podemos facilmente verificar que ao utilizarmos a equacao (5.17) com os valoresde G(s), H(s) acima obtemos a funcao de transferencia do circuito indicada em (5.16).

F (s) =G(s)

1 + G(s)=

1

LCs2 + RCs + 1

5.12.1 Estabilidade de Conexoes

Vimos que um sistema e estavel se todos os polos da sua funcao de transferenciapossuem parte real negativa. Veremos a seguir que a conexao de dois sistemas estaveispode resultar num sistema instavel, dependendo de como ela e feita. Logo a conexao desistemas deve ser feita com cuidado.

Sejam G1(s) = N1(s)D1(s)

e G2(s) = N2(s)D2(s)

duas F.T. estaveis, isto e, as raızes de D1(s) e

D2(s) possuem parte real negativa.

O que poderıamos dizer das conexoes abaixo?

+

+

X(s) Y(s)

G1(s)

G2(s)

Figura 5.24: Conexao de dois sistemas em paralelo

-+

X(s) Y(s)G1(s)

G2(s)

Figura 5.25: Conexao de dois sistemas em realimentacao

A funcao de transferencia de X(s) para Y (s) na conexao da Figura 5.24 e dada por:

Y (s) = (G1(s) + G2(s))X(s)

= (N1(s)D2(s) + N2(s)D1(s)

D1(s)D2(s))X(s)


Como as raızes de D1(s) e de D2(s) possuem parte real negativa entao as raızes deD1(s)D2(s) possuem as mesma caracterısticas. Logo a funcao de transferencia de X(s)para Y (s) na coneccao da Figura 5.24 e estavel.

Ja no caso da conexao da Figura 5.25 temos:

Y (s) =G1(s)

1 + G1(s)G2(s)X(s)

=

N1(s)D1(s)

1 + N1(s)D1(s)

N2(s)D2(s)

=N1(s)D2(s)

D1(s)D2(s) + N1(s)N2(s)X(s)

Agora as raızes do polinomio D1(s)D2(s) + N1(s)N2(s) podem ter parte real positivamesmo se as raızes de D1(s) e D2(s) possuem parte real negativa. Esse e o caso, porexemplo, se N1(s) = 2, N2(s) = −1 e D1(s) = D2(s) = s + 1.

5.12.2 Sistemas realimentados em presenca de disturbios

R(s) C(s)

+-

++

H(s)

G1(s) G2(s)

Referencia D(s) Disturbio

Figura 5.26: Sistema realimentado perturbado

No esquema acima, a saıda C(s) e afetada tanto pela referencia R(s) quanto pelaperturbacao D(s). Quando as duas entradas R(s) e D(s) sao independentes entre sientao o efeito dessas entradas sobre a saıda C(s) pode ser obtido de maneira tambemindependente atraves do princıpio da superposicao dos efeitos (Linearidade).

Ctotal(s) = CR(s) + CD(s)→

CR(s) = C(s) para D(s) = 0CD(s) = C(s) para R(s)=0

Quando R(s) = 0 obtem-se o diagrama da figura 5.27, e utilizando (5.17) temos:

CD(s) =G2(s)

1 + G2(s)H(s)G1(s)D(s)

Quando D(s) = 0 tem-se o diagrama da figura 5.28 e novamente com (5.17) temos:

CR(s) =G1(s)G2(s)

1 + G1(s)G2(s)H(s)R(s)


-

++

H(s)

D(s)

G1(s) G2(s)CD(s)

Figura 5.27: Diagrama para referencia nula

R(s)

+-

+

H(s)

G1(s) G2(s)CR(s)

Referencia

Figura 5.28: Diagrama para disturbio nulo

Logo:

Ctotal(s) = CD(s) + CR(s) =G2(s)

1 + G2(s)H(s)G1(s)D(s) +

G1(s)G2(s)

1 + G1(s)G2(s)H(s)R(s)

Sistemas realimentados, quando bem projetados, sao menos sensıveis a perturbacoesque sistemas sem realimentacao (Malha Aberta). Isto se consegue projetando-se contro-ladores (filtros de controle) que forcam a parcela CR(s) devido ao sinal de referencia serdominante em relacao a parcela CD(s) devido ao disturbio.

5.13 Problemas complementares

Problema 5.10 Calcule a transformada de Laplace das funcoes:

a) f(t) = exp(−10t) , t ≥ 0

b) f(t) = cos(10t + π/3) , t ≥ 0

Problema 5.11 O comportamento de um determinado sistema e regido pela equacaodiferencial x+2x = f . Calcule a resposta desse sistema quando o mesmo e excitado comum degrau unitario e condicoes iniciais x(0) = 1. Identifique a funcao de transferencia,a resposta de Entrada Zero e a resposta de Estado Zero e verifique se o sistema e estavel.


Problema 5.12 Sabendo que a resposta impulsional do sistema da figura 5.29(a) e w(t) =2exp(−t) , t ≥ 0 verifique se o sistema realimentado da figura 5.29(b) e estavel. Justi-fique sua resposta.

u ωG(s)

(a)

- -

+ e u 1s

10

G(s)5yr ω

(b)

Figura 5.29: Sistema para controle de posicao

Bibliografia

OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 2.ed., Prentice Hall do Brasil:Rio deJaneiro, RJ, 1993, 781p.

PHILLIPS, C. L. Signals, Systems, and Transforms. Prentice-Hall Inc.:New Jersey,USA, 1995, 707p.

CLOSE, C. M., The Analysis of Linear Circuits, Harcourt, Brace & World, Inc.:NewYork, USA, 1966, 716p.

Capıtulo 6

Resposta ao Degrau

6.1 Introducao

Um grande numero de problemas de controle consiste em se manter constante a variavelde saıda. Veja por exemplo o problema de controle de posicionamento de uma antenaindicado na figura 1.5.A entrada do sistema, que representa o valor desejado da variavelcontrolada (saıda) e neste caso um degrau com amplitude igual ao valor desejado paraa saıda. Quando se quer mudar a posicao da antena de uma posicao inicial, digamosposicao zero, para uma nova posicao, digamos posicao um, o sinal de entrada deve serum degrau unitario. Ao se aplicar um degrau na entrada desse sistema de controle, aposicao da antena vai evoluir da posicao zero para a posicao um segundo uma curvaque depende de como o sistema de controle foi projetado. Curvas tıpicas dessa evolucaopodem ser encontradas na figura 6.1. Normalmente deseja-se um transitorio rapido, compoucas oscilacoes e que a variavel controlada, posicao da antena no caso, va para o valordesejado sem erro significativo de posicao em regime, isto e, erro de regime despresıvel.Para atender todos esses requisitos de performance, quando isso e possıvel, o engenheirodeve saber projetar adequadamente os filtros de controle do sistema. O primeiro passo,no entanto, e saber especificar matematicamente os ındices de performance desejadospara a resposta. Veja na figura 6.1 que a resposta (a) e mais oscilatoria que as demais. Aresposta (c) atinge o valor de regime mais rapido que as demais e todas as tres possuemerro de regime nulo (valor final da resposta e exatamente o valor desejado).

Neste capıtulo estudaremos alguns ındices de performance da resposta ao degrau quenos permitira quantificar matematicamente o tamanho das oscilacoes da resposta, a ra-pidez da resposta e o erro de regime cometido.

Outros sinais de entrada como impulso e funcao rampa (x(t) = t) tambem sao deinteresse. No entanto, para condicoes iniciais nulas, a resposta de um sistema (linearinvariante) ao impulso, degrau, e rampa estao ligadas entre si. Para ilustrar este fato,seja F (s) a F.T. de um sistema linear invariante indicado na figura 6.2.

f(t) = L−1[F (s)]

• Resposta Impulsional: X(s) = 1⇒ Y (s) = F (s)⇒ y(t) = f(t)


0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 300.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

+

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 300.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

+

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 300.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

+

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 300.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

+

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 6.1: Curvas tıpicas da resposta ao degrau

X(s) Y(s)F(s)

Figura 6.2: Diagrama de bloco entrada/saıda


• Resposta ao Degrau: X(s) = 1s⇒ Y (s) = 1

sF (s)⇒ y(t) =

∫ t

0f(t)dt

• Resposta a Rampa: X(s) = 1s2 ⇒ Y (s) = 1

s2 ⇒ y(t) =∫ t

0

∫ t

0f(t)dtdt

Note que, para condicoes iniciais nulas, a resposta ao impulso e a resposta a rampa saorespectivamente a derivada e a integral da resposta ao degrau. Por esse motivo vamosnos concentrar na resposta ao degrau de agora em diante.

6.2 Analise de Sistemas de Primeira Ordem

Sistemas cuja funcao de transferencia possui apenas um polo sao conhecidos comosistemas de primeira ordem.

Exemplo 6.1 Verifique que o circuito da figura 6.3 e um sistema de primeira ordem.

Solucao: Para mostrar que o sistema e de primeira ordem precisamos encontrar afuncao de transferencia do mesmo e para isso se supoe que o circuito possui condicoesiniciais nulas. As equacoes que regem o comportamento desse sistema sao indicadasabaixo.

−x + RI + y = 0I = Cy

, condicao inicial nula (y(0) = 0)

Aplicando Laplace temos:

R

C

+

-

+

-

x(t) y(t)I

Figura 6.3: Circuito RC

−x + RCy + y = 0⇒ Y (s)

X(s)=

1

RCs + 1=

1

Ts + 1

onde T = RC. Como a funcao de transferencia possui apenas um polo o sistema e

X(s) Y(s)1Ts+1

Figura 6.4: Sistema de primeira ordem padrao

realmente de primeira ordem.


Exemplo 6.2 Podemos expressar a velocidade (ω) do eixo de um motor DC em funcaoda tensao de entrada (V ) atraves de uma equacao diferencial do tipo Jω + fω = bV ondeb, J, f sao constantes fısicas do motor. Mostre que esse sistema e de ordem 1.

Solucao: Devemos mostrar que a funcao de transferencia possui apenas um polo. To-mando a transformada de Laplace encontramos ω = b

Js+fV que mostra o resultado dese-

jado.

A resposta ao degrau de um sistema cuja funcao de transferencia e do tipo F (s) = 1Ts+1

e obtida da seguinte forma:

Y (s) =1

Ts + 1X(s) =

1

Ts + 1

1

s

com condicoes iniciais nulas e L[X(s)] = 1s.

Expandindo por fracoes parciais e anti-transformando temos:

Y (s) =1

s− T

Ts + 1⇒ y(t) = 1− e−t/T , t ≥ 0

A resposta indicada acima possui propriedades interessantes:

0 t

y(t)

x(t) entrada

saıda

Figura 6.5: Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem padrao

1) dydt|t=0 = 1

T

2) Para t = T ⇒ y(T ) = 1 − e−1 = 0, 632, isto e, decorridos T segundos a respostaatinge 63, 2% do seu valor final de regime permanente.

t = 2T ⇒ y(2T ) = 1− e−2 = 0, 865

t = 3T ⇒ y(3T ) = 1− e−3 = 0, 950

t = 4T ⇒ y(4T ) = 1− e−4 = 0, 982

t = 5T ⇒ y(5T ) = 1− e−5 = 0, 993

As duas propriedades acima podem ser utilizadas para se encontrar o valor da constantede tempo T quando a resposta ao degrau for obtida experimentalmente. Certifique-se no experimento de que as condicoes iniciais sao realmente nulas e que a funcao detransferencia e do tipo 1

Ts+1.


6.3 Analise de Sistemas de Segunda Ordem

Sistemas de segunda ordem sao aqueles cuja funcao de transferencia possui dois polos.Nesta secao vamos estudar um tipo especial de sistemas de segundo ordem conhecido naliteratura de controle como sistema de segunda ordem padrao:

F (s) =ω2

n

s2 + 2ξωns + ω2n

(6.1)

onde ξ e ωn recebem o nome de taxa de amortecimento e frequencia natural do sistema res-pectivamente. Os valores desses parametros dependem dos parametros fısicos do sistemaestudado, como ilustra o exemplo a seguir.

Exemplo 6.3 Encontre os valores ξ e ωn da forma padrao para o sistema de segundaordem da figura 6.6.

+

-

R L

Cx(t) I(t)

+

-

SISTEMAEntrada

y(t)

Saıda

Figura 6.6: Sistema de segunda ordem padrao

Solucao: O primeiro passo para se resolver o problema e obter a funcao de transferenciado sistema, o que ja foi determinado no exemplo 5.30, e e indicada a seguir.

X(s) = (RCs + LCs2 + 1)Y (s) → Y (s) = F (s)X(s)

F (s) =1

LCs2 + RCs + 1

Por comparacao com (6.1) temos:

F (s) =1

LCs2 + RCs + 1=

ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

Logo:

ω2n =

1

LC; 2ξωn =

R

L⇒ ξ =

R

2

√

C

L


Note que a taxa de amortecimento ξ depende linearmente da resistencia do circuito eesta e responsavel pela dissipacao de energia. Ja a frequencia natural ωn depende dosvalores da capacitancia e indutancia que sao os elementos responaveis pelas oscilacoes daresposta. Num sistema sem amortecimento, isto e R = 0 e portanto ξ = 0, a respostaoscila com a frequencia natural do sistema. Este e o caso da resposta da figura 6.1(a).Mas quando existe amortecimento duas situacoes podem ocorrer: i) o amortecimentoe pequeno causando resposta oscilatoria e nesse caso a frequencia de oscilacao e menorque a frequencia natural do sistema. Essa situacao esta indicada na figura 6.1(b) e (c); ii) o amortecimento e grande e nesse caso a resposta nao e mais oscilatoria, comoilustra a figura 6.1(d). Na literatura o caso com pouco amortecimento e conhecido comosubamortecido e o caso com muito amortecimento recebe o nome de superamortecido.

6.3.1 Caso sem amortecimento (ξ = 0)

Se a resistencia do circuito e nula, o circuito e um oscilador ideal e nao existe dissipacaode energia. Isso indica que a resposta ao degrau do sistema e oscilatoria nao amortecida.Sistemas que nao dissipam energia possuem coeficiente de amortecimento ξ nulo. Veja oque acontece no exemplo 6.3.

A resposta ao degrau (X(s) = 1/s) quando ξ = 0 e :

Y (s) =ω2

n

(s2 + ω2n)s

e pela transformada inversa encontramos

y(t) = 1− cos(ωn t)

que corresponde a curva da figura 6.1(a) para ωn = 2.

Note que nesse caso (ξ = 0) os polos da funcao de transferencia estao sobre o eixoimaginario o que confirma o fato de que o amortecimento da resposta e definido pelaparte real dos polos. Como a parte real e nula nesse caso, o amortecimento tambem oe. Note ainda que o valor da parte imaginaria dos polos define a frequencia com que aresposta oscila.

6.3.2 Caso Subamortecido (0 < ξ < 1)

Quando 0 < ξ < 1 os polos da funcao de transferencia indicada em (6.1) sao complexose do lado esquerdo do eixo imaginario. Isto pode ser verificado da seguinte forma. Ospolos sao dados pela equacao:

p1,2 =−2ξωn ±

√

4ξ2ω2n − 4ω2

n

2= −ξωn ± ωn

√

ξ2 − 1

que podemos escrever como:p1,2 = σ ± jωd


onde σ = −ξωn e a parte real dos polos e ωd = ωn

√

1− ξ2 e a parte imaginaria, tambemchamada de frequencia natural amortecida. A frequencia natural do sistema ωn e o modulodos polos ωn =

√

σ2 + ω2d.

A resposta ao degrau unitario e dada por Y (s) = F (s)R(s) com R(s) = 1/s. Logo:

Y (s) =ω2

n

(s2 + 2ξωns + ω2n)s

com o auxılio da tabela de anti-transformada temos:

y(t) = L−1[Y (s)] = 1− eσt

√

1− ξ2sen(ωdt + φ), φ = tan−1

√

1− ξ2

ξ(6.2)

Na figura 6.1(b) se encontra a resposta y(t) para ξ = 0, 1 e ωn = 2 e no caso 6.1(c) paraξ = 0, 6 e ωn = 2.

Problema 6.1 Calcule o valor de regime permanente da resposta ao degrau de um sis-tema na forma padrao (6.1). Qual e a diferenca entre os valores da entrada e da saıdaem regime permanente ? Dica: Utilize o teorema do valor final.

6.3.3 Caso Criticamente Amortecido (ξ = 1)

Se ξ = 1 os polos da funcao de transferencia (6.1) sao reais iguais e negativos, ou seja,sao polos multiplos. A saıda para uma entrada degrau unitario e neste caso:

Y (s) =ω2

n

s2 + 2ωns + ω2n

com polos p1,2 = −ωn. Assim, a equacao acima torna-se:

Y (s) =ω2

n

s(s + ωn)2

Com o uso de tabelas de transformadas inversas chega-se a resposta temporal:

y(t) = 1− e−ωnt(1 + ωnt)

6.3.4 Caso sobreamortecido (ξ > 1)

Se ξ > 1 os polos da funcao de transferencia (6.1) sao reais, negativos e distintos.Considere a saıda para uma entrada degrau unitario:

Y (s) =ω2

n

(s− p1)(s− p2)s

Bart

Cross-Out

Bart

Replacement Text

F

Bart

Cross-Out

Bart

Replacement Text

saída para uma entrada degrau unitário

Bart

Cross-Out

Bart

Replacement Text

FT


Os polos desta equacao sao p1,2 = −(ξ ±√

ξ2 − 1)ωn. Com o uso de tabelas detransformadas inversas obtem-se:

y(t) = 1 +

(

−ep1t

p1

+ep2t

p2

)ωn

2√

ξ2 − 1

Esta resposta pode ser vista na figura 6.1(d) para ξ = 2 e ωn = 2. Note que se ξ >> 1entao, para o mesmo valor de ωn, temos |p1| >> |p2| e portanto o efeito do polo p1 sobrea resposta desaparece bem mais rapido que o efeito do polo p2 que esta mais proximo doeixo imaginario. Sendo assim para valores de ξ >> 1 o sistema se torna extremamentelento. Um sistema de primeira ordem com um polo p2 teria uma resposta muito parecida.

6.3.5 Caso instavel (ξ < 0)

Para valores negativos de ξ um dos polos da funcao de transferencia (6.1) e positivo eportanto a saıda diverge exponencialmente (instabilidade).

Note que no caso do circuito do exemplo 6.3 a taxa de amortecimento sera semprepositiva (ou nula quando R = 0) devido a dissipacao de energia no resistor.

Problema 6.2 Mostre que quando ξ < 0 um dos polos de F (s) em (6.1) sera semprepositivo e devido a isso a resposta ao impulso cresce exponencialmente com uma taxa quedepende do polo positivo.

6.4 Indices de desempenho

Nesta secao estudaremos formas de classificar quao boas sao as respostas da figura6.1. Como a resposta transitoria a um degrau normalmente apresenta oscilacoes antesde atingir o regime permanente, torna-se imperativo a criacao de ındices de desempenhoque permitam quantificar tamanho de oscilacoes, tempo de duracao do transitorio, etc.Sao comuns os seguintes ındices:

tp (instante de pico) E o tempo necessario para a resposta atingir o seu valor maximo.

Mp (sobressinal maximo) E o valor relativo da diferenca entre o valor maximo dasaıda (ao longo do tempo) e o valor da saıda em regime.

Mp =y(tp)− y(∞)

y(∞)

ts (tempo de acomodacao) Tempo necessario para confinar a resposta numa faixaem torno do seu valor de regime. Esta faixa caracteriza a tolerancia de erro, quetipicamente vale 2 ou 5% do valor de regime).


0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

+

faixa de erro toleravel em regime

tstp

Mp

Figura 6.7: Indices de desempenho para resposta ao degrau

A figura 6.7 ilustra os ındices de desempenho descritos acima. Existem outros ındices deperformance que nao foram indicados acima e podem ser encontrados em qualquer livrode controle de sistemas, por exemplo Ogata (1993).

Em geral nao e possıvel se determinar expressoes analıcas para os ındices de desempe-nho da resposta ao degrau indicados acima. No entanto, para sistemas de segunda ordemdo tipo (6.1) subamortecidos (1 > ξ > 0) isto e possıvel e essas expressoes sao obtidas aseguir.

Instante de Pico (tp): O instante de pico pode ser caracterizado como sendoo primeiro instante de tempo (exceto a origem) para o qual a derivada temporal daresposta e nula. Tomando a derivada temporal da resposta y(t) em (6.2) e igualando azero encontramos:

tp =π

ωd

=π

ωn

√

1− ξ2(6.3)

Sobressinal Maximo (Mp): Note que num sistema do tipo (6.1) o valor de regime daresposta ao degrau unitario e um. Como y(∞) = 1 vamos utilizar (6.2) para obter:

Mp =y(tp)− y(∞)

y(∞)= y(tp)− 1 = e

σωd

π= e

− π ξ√1−ξ2 (6.4)

Note que Mp depende somente de ξ e quando ξ ≥ 1 nao existe oscilacao e Mp nao temmais sentido.

Tempo de Acomodacao (ts): Diferentemente do Sobressinal e do intante de pico,nao existe uma expressao analıtica exata para o tempo de acomodacao ts. Existemabacos que permitem a determinacao exata de ts. Veja por exemplo Ogata (1993). Aseguir apresentamos duas possibilidades para se obter uma aproximacao de ts.


A resposta ao degrau do sistema (6.1) e:

y(t) = 1− eσt

√

1− ξ2sen(ωdt + φ) , φ = tan−1

√

1− ξ2

ξ

Impondo que a amplitude do seno esteja dentro da faixa de tolerancia que caracterizao tempo de acomodacao temos uma condicao suficiente para garantir que o tempo deacomodacao foi atingido com a dada tolerancia. Note que o valor de regime da respostae y(∞) = 1 e a amplitude do seno tende a zero quando t → ∞. Seja δ a tolerancia deerro que define o tempo de acomodacao. Impondo que a amplitude do seno esteja dentrodessa tolerancia temos:

∣∣∣∣

y(ts)− y(∞)

y(∞)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣

eσts

√

1− ξ2sen(ωd + φ)

∣∣∣∣∣≤ δ ⇒ ts =

ln(δ√

1− ξ2)

σ(6.5)

onde σ = −ξωn e a parte real dos polos.

Uma outra aproximacao muito comum para ts pode ser obtida por analogia com siste-mas de primeira ordem. Num sistema de primeira ordem o valor de regime da resposta eatingido apos 4 constantes de tempo com 2% de erro e apos 3 constantes de tempo com5% de erro. Para um sistema de segunda ordem podemos aproximar ts definindo comoconstante de tempo T = −1/σ e assim temos:

ts = 4T para 2% de erro ; ts = 3T para 5% de erro (6.6)

Exemplo 6.4 Obtenha os ındices de desempenho da resposta ao degrau unitario para oseguinte sistema:

C(s)

R(s)=

25

s2 + 6s + 25

Solucao: O primeiro passo e obter os valores da frequencia natural e da taxa de amor-tecimento do sistema. Comparando o sistema acima com (6.1) temos:

25 = ω2n → ωn = 5 e a frequencia natural.

6 = 2ξωn → ξ = 6/10 = 0, 6 e a taxa de amortecimento.

ωd = ωn

√

1− ξ2 = 4 e a parte imaginaria dos polos.

σ = −ξωn = −3 e a parte real dos polos.

Agora podemos calcular os ındices e verifica-los na figura 6.8.

tp = πωd

= 0, 785seg e o instante de pico.

Mp = eπ σ/ωd = 0, 095, Mp(%) = 9, 5% e o sobressinal.

ts(2%) =ln(0,02

√1−ξ2)

−3= 1, 38seg e o tempo de acomodacao com 2% de erro.

ts(5%) =ln(0,05

√1−ξ2)

−3= 1, 07seg e o tempo de acomodacao com 5% de erro.


0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.0

0.00

0.12

0.24

0.36

0.48

0.60

0.72

0.84

0.96

1.08

1.20

+

Figura 6.8: Resposta ao degrau do sistema

6.5 Servomecanismo para controle de posicao

A seguir estudaremos um problema muito comum na industria que consiste em secontrolar a posicao de um determinado objeto atraves de um motor DC. Um esquemasimplificado desse tipo de sistema de controle, conhecido como servomotor ou servome-canismo para controle de posicao, e indicado na figura 1.5.

Os elementos desse sistema de controle sao: 1 comparador de tensao, 2 potenciometrosidenticos, um amplificador de potencia, uma antena com haste movel e base, 1 sistema deengrenagens para reducao de velocidade, 1 motor DC. O diagrama da figura 6.9 ilustra ofuncionamento do sistema.

motor

torque do eixo do motor

potenciometro posicao da antena

potenciometro

-+

engrenagensamplificador de potencia

posicao medida

antena

torque do eixo da antena

tensao do motor Ea

referenciar(t)

tensao de erro e(t)

Figura 6.9: Diagrama funcional do sistema de posicionamento


Para construir o diagrama de blocos a partir do diagrama funcional da figura 6.9precisamos obter a funcao de transferencia de cada dispositivo do sistema. Isso e o quefaremos a seguir.

Comparador: Esse dispositivo e um somador de tensoes que tem como entrada duastensoes: Vc(t) que vem do potenciometro de medicao da posicao da antena e Vr(t) quevem do potenciometro de referencia. A saıda do comparador e entao um sinal de erroentre o valor desejado e o valor obtido da posicao da antena: e(t) = Vr(t)− Vc(t).

Potenciometro: Esse dispositivo transforma deslocamento angular em uma tensaoque lhe e proporcional. A constante de proporcao, que definiremos por k0, e o ganho dopotenciometro. Assim, se denotarmos por c(t) a posicao da antena e r(t) o valor desejadopara ela podemos construir o diagrama de blocos da figura 6.10.

k0k0

e(t)

+ -

r(t) c(t)

Figura 6.10: Diagrama de blocos do comparador e potenciometro

Amplificador de potencia: Esse dispositivo tem como funcao suprir com energiao sistema de controle. Note que o sinal de entrada do amplificador e(t) e um sinal deerro oriundo de medidores e portanto nao possui energia suficiente para acionar o motor.Vamos considerar que o amplificador e ideal e possui um ganho de tensao k1. Assim o sinalde saıda do amplificador Ea(t) e dado por Ea(t) = k1e(t). Incorporando o amplificadorno diagrama de blocos 6.10 obtemos um novo diagrama indicado na figura 6.11.

k0k0+ -

r(t) c(t)

e(t)

Ea(t)

k1

Figura 6.11: Diagrama de blocos com adicao do amplificador

Motor DC: A funcao do motor DC e acionar a antena para que ela esteja sempreapontada para a direcao desejada. Sao comums as palavras acionador e servomotor paradesignar a funcao do motor nesse tipo de sistema de controle.

O servomotor pode ser operado de dois modos. Num modo a corrente de campo(estator) e mantida constante e uma tensao ajustavel e aplicada a armadura (rotor) eno outro modo se faz o contrario. Esses modos de operacao possuem caracterısticasdiferentes e apenas o primeiro sera considerado aqui.


Quando a corrente de campo e constante, o fluxo produzido pela bobina de campotambem e constante e nesse caso o conjugado (Tm) desenvolvido pelo motor e proporcionala corrente de armadura (Ia)

Tm = k2Ia (6.7)

onde k2 e uma constante que depende do meio magnetico e do valor da corrente de campo.

Com a rotacao da armadura do motor no campo magnetico constante produzido pelabobina de campo, aparece uma tensao induzida na bobina de armadura (Vfcem) que eproporcional a velocidade do motor (ωm).

Vfcem = k3 ωm (6.8)

onde k3 e uma constante que depende do meio magnetico e da corrente de campo. Atensao induzida Vfcem possui a polaridade contraria da tensao aplicada na armadura, poisela surge como uma oposicao ao movimento do rotor. Por esse motivo essa tensao recebeo nome de forca contra-eletromotriz. O controle da velocidade do motor e obtido por meio

+

-

Ra La

+

Vfcem

-

ω

Vcc

circuito de campo

circuito de armaduraEa(t) Ia

Tm

Figura 6.12: Motor DC controlado pela armadura (rotor)

de uma tensao aplicada a armadura (Ea). A polaridade da tensao aplicada determinao sentido do torque obtido (Tm) e este determina o movimento do rotor. A figura 6.12mostra o diagrama de funcionamento de um motor dc controlado pela armadura. Nessafigura Ra e La indicam a resistencia e indutancia de armadura respectivamente e Ia e acorrente que circula no circuito de armadura devido a aplicacao da tensao Ea. A equacaode tensoes para o circuito de armadura e:

LaIa + RaIa + Vfcem = Ea (6.9)

e com as expressoes (6.7) e (6.8) temos:

La

k2

Tm +Ra

k2

Tm + k3ωm = Ea (6.10)

Podemos agora incluir o motor no diagrama de blocos da figura 6.11 para obter o diagramada figura 6.13.

Engrenagens: O sistema de engrenagens tem como funcao adequar a velocidade derotacao do eixo da antena ao eixo do rotor. Um sistema de engrenagens possui funcaoanaloga do transformador em sistemas eletricos. Nos dois casos, a potencia do primariodeve ser igual a do secundario: no caso do transformador a potencia e o produto da tensaopela corrente V1I1 = V2I2 e no caso da engrenagem a potencia e o produto do torque


k0k0

e(t)

+ -

Ea(t)

k1

Tm , ωm

La

k2Tm + Ra

k2Tm + k3ωm = Ea

c(t)r(t)

Figura 6.13: Diagrama de blocos com adicao do motor DC

pela velocidade T1ω1 = T2ω2. A relacao entre as grandezas do primario e secundario edefinida pela constante de relacao entre o numero de espiras do primario e secundariodo transformador e entre o numero de sulcros das engrenagens primaria e secundaria.Definiremos a constante de relacao das engrenagens pela letra n, isto e, ω2 = ω1 n eportanto T2 = T1/n. Incorporando a engrenagem no digrama de blocos anterior obtemoso diagrama da figura 6.14.

n

k0k0

e(t)

+ -

Ea(t)

k1

Tc , ωcTm , ωm

La

k2Tm + Ra

k2Tm + k3ωm = Ea

r(t) c(t)

Figura 6.14: Diagrama de blocos com adicao da engrenagem

Plataforma da antena: A plataforma e a antena formam um sistema mecanico quepossui momento de inecia (Jc) e um coeficiente de atrito viscoso (bc) nos mancais daplataforma. A figura 6.15 ilustra as grandezas presentes no movimento rotacional daantena. Fazendo a somatoria dos torques no eixo da antena temos:

bcωcTc

momento de inercia(referido ao eixo da antena)

coeficiente de atrito viscoso

(referido ao eixo da antena)

Jc

Figura 6.15: Sistema mecanico da plataforma e antena


∑

Torques = 0 ⇒ Tc = Jcωc + bcωc (6.11)

e com a expressao acima podemos incluir a antena no diagrama 6.14 para obter o diagramada figura 6.16. Note que as variaveis ωm, Tm do eixo do motor e as variaveis ωc, Tc do eixo

n

k0 k0

e(t)

+

Ea(t)

Tm, ωm

La

k2Tm + Ra

k2Tm + k3ωm = Ea

Tc, ωc

ωc

k1

c(t)

∫dt

Tc = Jcωc + bcωc

r(t) -

Figura 6.16: Diagrama completo do sistema de posicionamento

da carga (antena) estao ligadas entre si atraves da engrenagem. Alem disso, a variavelde interesse e a posicao angular do eixo da antena, que no diagrama 6.16 e representadapela letra c(t), isto e, c(t) = ωc(t).

Uma vez que todos os dispositivos fısicos foram modelizados, podemos comecar a sim-plificar o diagrama, ja que apenas os sinais r(t) de referencia e c(t) de posicao da antenasao de interesse no problema. Todos os outros sinais intermediarios podem ser eliminados.

Devido as caracterısticas do motor DC, na faixa normal de funcionamento a tensao noindutor e muito pequena em relacao as tensoes no resistor e de efeito contra-eletromotriz.Podemos entao desprezar o efeito indutivo da armadura, isto e, podemos simplificar aexpressao (6.10) fazendo La = 0. Daı concluımos que

Tm =k2

Ra

Ea −k2k3

Ra

ωm

Considerando agora a engrenagem temos Tm = Tc n e ωm = ωc/n e juntamente com aexpressao acima podemos rescrever (6.11) na forma:

Jcωc + (bc +k2k3

n2Ra

)ωc =k2

nRa

Ea (6.12)

e como ωc = c(t) temos

Jcc(t) + (bc +k2k3

n2Ra

)c(t) =k2

nRa

Ea (6.13)

Tomando a transformada de Laplace da equacao acima podemos encontrar a funcao detransferencia da tensao Ea(t) para a posicao c(t).

C(s)

Ea(s)=

k2

n Ra

Jcs2 + (bc + k2k3

n2Ra) s

(6.14)


r(t)

e(t)

+ -

k0

k1

Ea(t)

c(t)

k2n Ra

Jcs2+(bc+k2k3n2Ra

) s

Figura 6.17: Diagrama simplificado de posicionamento da antena

Com isto o diagrama 6.16 pode ser simplificado como indicado no diagrama 6.17. Porconveniencia de notacao iremos definir a funcao G(s) indicada a seguir.

G(s) = KJ s2+B s

K = K0K1K2

n Ra, B = bc + K2K3

n2Ra, J = Jc

(6.15)

Com G(s) acima o diagrama 6.17 pode ser rescrito como indicado na figura 6.18 que euma forma mais conveniente para nossos propositos. Agora a Funcao de Transferencia

r(t)

+

c(t)

-

KJs2+B s

Figura 6.18: Diagrama de posicionamento na forma padrao

de malha fechada e:C(s)

R(s)=

G(s)

1 + G(s)=

K

J s2 + B s + K

Comparando a equacao acima com a forma padrao (6.1) encontramos os valores dafrequencia natural ωn e taxa de amortecimento ξ do sistema de controle:

ω2n =

K

J, 2ξωn =

B

J(6.16)

Pelas expressoes acima podemos verificar a performance do sistema de controle.

Quando os valores numericos de J,K,B sao fornecidos podemos facilmente deduzir osvalores de ξ, ωn correspondentes e portanto saber se o sistema de controle vai fazer oposicionamento da antena com oscilacoes (se 0 < ξ ≤ 1) e quanto tempo o sistema decontrole leva para deixar a antena imovel na posicao desejada (tempo de acomodacaots). Se com os valores dados o sistema de controle nao possui performance satisfatoria


podemos entao corrigı-lo ajustando os parametros fısicos do sistema, tais como o ganhodo amplificador k1, ou o ganho do potenciometro k0. Esse ajuste deve ser tal que o novovalor da taxa de amortecimento ξ seja compatıvel com as oscilacoes admissıveis para osistema. Lembre que quanto menor o valor de ξ maior as oscilacoes da resposta ao degrau.

Exemplo 6.5 Suponha que o sistema de controle da figura 6.18 tenha um momento deinercia J = 1 e um coeficiente de atrito viscoso B = 1. Determine o valor do ganho Kde tal forma que o sobressinal Mp na resposta ao degrau seja de 20% . Verifique o tempode acomodacao obtido.

Solucao: Com os valores dados a funcao de transferencia de malha fechada e:

C(s)

R(s)=

G(s)

1 + G(s)=

K

s2 + s + K

Comparando com (6.1) obtemos os valores de ξ, ωn seguintes:

ω2n = K , 2ξωn = 1

Para que o sobressinal seja de 20% devemos ter a seguinte igualdade satisfeita:

Mp = 0, 2 ⇒ −π ξ√

1− ξ2= ln(0, 2) ⇒ ξ = 0, 456

de onde tiramos ωn = 1.096 e portanto K = 1, 2. Com esses valores de ξ, ωn o tempo deacomodacao resultante dado por (6.5) e ts(5%) = 6, 23 segundos. A resposta ao degraudo sistema de controle obtido se encontra na figura 6.19.

No exemplo acima ajustamos o valor do ganho K para que a resposta ao degrau dosistema de controle apresentasse um sobressinal de 20%. Com o valor de k ajustadodessa forma o tempo de acomodacao resultante foi ts(5%) = 6, 23 segundos. Em geralnao e possıvel se ajustar o sobressinal e o tempo de acomodacao simultaneamente tendok como o unico parametro de ajuste. Nesses casos a solucao e introduzir no sistemade controle outro dispositivo fısico que possua um parametro que possa ser ajustadofacilmente. Por exemplo, introduzir um medidor de velocidade e um artifıcio comum napratica.

Realimentacao de Posicao e Velocidade: A realimentacao de velocidade e feitaatraves de um tacometro acoplado no eixo da carga. O sinal de saıda do desse medidore uma tensao vT (t) que e proporcional a velocidade de rotacao do eixo ωc(t).

vT (t) = K4 ωc(t)

onde k4 e a constante de proporcionalidade do tacometro.

Incluindo uma realimentacao de velocidade no servomecanismo da figura 6.16 obtemosum novo sistema de controle indicado na figura 6.20.

Definindo Q = k4/k0 e usando as mudancas de variaveis (6.15) podemos simplificar odiagrama 6.20 da mesma forma como foi feito na passagem da figura 6.17 para a figura


0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

+

Figura 6.19: Resposta ao degrau do sistema de controle

n

k0k0

+

Ea(t)

Tm, ωm

La

k2Tm + Ra

k2Tm + k3ωm = Ea

Tc, ωc

ωc

k1

c(t)

∫dt

Tc = Jcωc + bcωc

r(t) -

-

k4

tacometro

vT (t)

e(t)

Figura 6.20: Diagrama funcional para realimentacao de velocidade

R(s) 1s+

-

ωc(s) C(s)

Q

-

KJ s+B

Figura 6.21: Sistema de controle com realimentacao de velocidade


6.18. Isto nos leva ao diagrama da figura 6.21. Agora, com os parametros K e Q paraserem ajustados temos mais graus de liberdade para ajustarmos o sobressinal e o tempode acomodacao simultaneamente. Para ver como fazer isso vamos deduzir da figura 6.21a nova Funcao de Transferencia do sistema de controle indicada a seguir.

C(s)

R(s)=

K

J s2 + (B + KQ)s + K

Comparando a funcao de transferencia acima com a forma padrao da equacao (6.1) po-demos encontrar os novos valores da taxa de amortecimeto ξ e da frequencia natural ωn

do novo sistema de controle.

2ξωn =B + KQ

J, ω2

n =K

J(6.17)

Com a escolha adequada dos ganhos K e Q podemos ajustar o sobressinal (Mp) e otempo de acomodacao (ts) do novo sistema de controle. Para isso basta verificar quaissao os valores de ξ e ωn que levam o sistema de controle a ter a resposta ao degraudesejada. Uma vez encontrado esses valores de ξ e ωn desejados, usa-se a equacao (6.17)para encontrar os valores dos ganhos K e Q.

Exemplo 6.6 Suponha que no sistema da figura 6.21 o coeficiente de atrito viscoso sejaB = 1 e o momento de inecia do sistema seja J = 1. Determine os valores de K e Q detal forma que a resposta ao degrau do sistema de controle tenha sobre-sinal maximo de20% e tempo de acomodacao ts(5%) = 2 segundos.

Solucao: Do exemplo 6.5 ja vimos que sem a realimentacao de velocidade nao e possıvelajustar o sobressinal e o tempo de acomodacao simultaneamente. Agora, com a insercaoda realimentacao de velocidade podemos faze-lo da seguinte forma. Para que o sobressinalseja de 20% devemos ter a seguinte igualdade satisfeita:

Mp = 0, 2 ⇒ − π ξ√

1− ξ2= ln(0, 2) ⇒ ξ = 0, 456

Com o valor de ξ = 0, 456 podemos agora encontrar o valor de ωn impondo que o tempode acomodacao dado por (6.5) seja de 20% :

ts(5%) =ln(0, 05

√

1− ξ2)

−ξωn

= 2⇒ ωn = 3, 41

Finalmente, com os valores de ξ = 0, 456 e ωn = 3, 41 podemos encontrar os valores dosganhos de realimentacao K,Q com a expressao (6.17).

ω2n = K ⇒ K = (3, 41)2 = 11, 63

2ξωn = 1 + KQ ⇒ Q = 2 ξ ωn −1K

= 0, 1814

A resposta ao degrau do sistema de controle obtido com esses valores de K e Q estaindicada na figura 6.22.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

+

Figura 6.22: Resposta ao degrau do sistema de controle

6.6 Problemas complementares

Problema 6.3 Encontre os valores de kp e kv para que o sistema em malha fechada dafigura 6.23 apresente os ındices de performance indicados a seguir. O sistema de malhaaberta e regido pela equacao diferencial 2ω + ω = ea.

a) Dois polos em s = −1.

b) Sobressinal de 10% em 2 segundos.

c) Determine, considerando o caso (a) ou (b), o erro de regime permanente para umdegrau de amplitude 2.

d) Calcule a resposta θ(t) do caso (a) para um degrau unitario.

r(t)kp 10

kp

kv

ω

- -

sistema

ea(t) θ(t)1s

Figura 6.23: Sistema com realimentacao de velocidade e posicao

Problema 6.4 Considere o sistema de controle de velocidade da figura 6.24. A resposta


ao degrau unitario desse sistema e indicada na figura 6.25. Encontre os valores de k1 ek2 sabendo que o motor e regido pela equacao diferencial ω + 10ω = Va.

- -

r θVa ωmotor

k1 k2

1s

Figura 6.24: Sistema de controle de velocidade

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

+

Figura 6.25: Resposta ao degrau unitario

Problema 6.5 Um passo importante no estudo de sistemas de controle e a obtencao demodelos matematicos que descrevem o comportamento do sistema a ser controlado. Nocaso de circuitos podemos utilizar a as leis de Kirchhhoff e as leis de Newton servem paramodelizar sistemas mecanicos. Existem sistemas que sao mais facilmente modelizadoscom a utilizacao da equacao de Lagrange, como e o caso de um microfone capacitivo.Estude a modelizacao do microfone capacitivo apresentada em Dazzo (1984), paginas 59a 62, e verifique a utilizacao da equacao de Lagrange e a linearizacao ali apresentadapara que o microfone possa ser modelizado como um sistema de segunda ordem do tipo(6.1).

Bibliografia

D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H., Analise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares,Editora Guanabara:Rio de Janeiro, RJ, 1984, 660p.

K. OGATA, Engenharia de Controle Moderno, Prentice Hall 1993.

K. OGATA, Discrete Time Control Systems, Prentice Hall, 1995.

Capıtulo 7

Sistemas Discretos e Amostrados

7.1 Introducao

Os termos tempo contınuo e analogico sao identicos quando empregados para caracte-rizar sinais e sistemas. Sinais analogicos sao funcoes de uma variavel de tempo contınuoe sistemas analogicos sao aqueles que manipulam sinais analogicos. De maneira analoga,os termos tempo discreto e digital sao tambem identicos. Um sinal de tempo discretoexiste apenas em instantes especıficos de tempo. Sistemas de tempo discreto sao aquelesque manipulam sinais digitais.

Microcomputadores e microprocessadores digitais sao largamente utilizados na industriaatual, seja para fins de supervisao ou de controle dos processos. No entanto, um grandenumero de sistemas industriais sao de natureza analogica. Sempre que um microcompu-tador faz parte de um sistema analogico a presenca de conversores A/D e D/A se faznecessaria.

Cada sinal analogico que sera processado por um computador digital deve primeiro serconvertido de analogico para digital por um conversor A/D. Paralelamente, cada valordigital que ira influenciar o sistema analogico devera primeiro ser convertido de digitalpara analogico por um conversor D/A. Como a saıda do computador digital nao muda ateque os proximos calculos e conversoes D/A sejam completados, o sinal analogico geradopor alguns conversores D/A sao mantidos constantes durante cada ciclo. Isto e feitopor um dispositivo chamado sample-and-hold (S/H). Veremos mais tarde que conversoresA/D tambem utilizam disposivos S/H.

7.1.1 Conversao A/D

A grande vantagem de se manipular variaveis discretas e que elas podem ser armaze-nadas e processadas em computadores digitais. Para isso basta transformar os valoresdiscretos em codigo binario.

A conversao para codigo binario nao e exata em geral. Sempre existe um erro entre o


valor discreto a ser codificado e codigo binario que representa o valor em questao. Porexemplo, um sinal de tensao entre 0 e 10V pode ser representado em codigo binario de 4bits de acordo com a tabela 7.1 e a figura 7.1.

tensao representacaoanalogica binaria

0 a 0.625 0000

0.625 a 1.25 0001

1.25 a 1.875 0010

1.875 a 2.5 0011

2.5 a 3.75 0101

3.75 a 4.375 0110

4.375 a 5 0111

5 a 5.625 1000

5.625 a 6.25 1001

6.25 a 6.875 1010

6.875 a 7.5 1011

7.5 a 8.125 1100

8.125 a 8.75 1101

8.75 a 9.375 1110

9.375 a 10 1111

Tabela 7.1: Representacao de um sinal de tensao analogico nao negativo em codigo binariode 4 bits

Cada incremento do codigo binario representa um salto de 2−4 = 6.25% em relacao aovalor maximo do sinal analogico, isto e 6.25% de 10 volts no caso acima. Assim cadacodigo binario representa um intervalo de tensao analogica e portanto existe um erro dequantizacao associado a conversao. Num conversor de 4 bits o erro e de 6.25% ou seja,uma relacao sinal/ruıdo de 20log(24)dB. Para um conversor de 16 bits terıamos um errode 0.0015% que corresponde a uma relacao sinal/ruıdo de 20log(216) = 96.3dB. Bonsdispositivos de audio possuem relacao sinal/ruıdo entre 60 e 70 dB. Esta faixa e atingidacom conversores de 12 bits ou mais.

7.1.2 Conversao D/A e Sample-and-Hold

O dispositivo sample-and-hold (S/H) e normalmente utilizado na entrada de converso-res A/D e na saıda conversores D/A. A sua funcao basica e coletar amostras (sample) emante-la constante (hold) durante todo o intervalo de amostragem.

A figura 7.2 mostra o diagrama de blocos e um esquema eletronico simplificado dodispositivo S/H. A chave logica s e controlada por um relogio. Com a chave na posicao 1o dispositivo funciona como um circuito RC cuja funcao de transferencia e Vout

Vin= 1

RCs+1.

A saıda se torna praticamente igual a entrada pois a frequencia de quebra do circuitoωq = 1

RCe escolhida grande em relacao a maxima frequencia de quebra do espectro do

sinal de entrada. Valores tıpicos sao R = 1000 ohms e C = 30 10−12 farads oque implicanuma frequencia de quebra de fq = 1

2πRC= 5.3 MHz. Com a chave na posicao 1 a


00000

10001001101010111100110111101111

codigo binario

10

--

------------

---

01010100001100100001

01110110

5 tensao analogica

Figura 7.1: Representacao de um sinal de tensao analogico nao negativo em codigo binariode 4 bits

saıda do dispositivo segue a entrada com um atraso despresıvel (etapa de rastreamentoisto e acompanhamento do sinal de entrada). Quando uma amostra deve ser tomada noinstante t = kT a chave e comutada para a posicao 2 e o capacitor mantem constante ovalor da saıda do dispositivo pelo tempo necessario para se efetuar a conversao binaria.Quando a conversao e completada o numero digital pode ser processado pelo computador(nao representado na figura). Nesse instante a chave volta a posicao 1, o computadore desligado da saıda do S/H e comeca a processar a informacao recem disponibilizadae paralelamente a saıda do dispositivo S/H recomeca a seguir o sinal de entrada. Porexemplo, o tempo de conversao do conversor BurrBrown ADC803 de 12 bits e de 1.5microsegundos. O capacitor deve manter constante a saıda apenas durante esse pequenointervalo de tempo.

R

R

C

s2

1

Vin Vout

S/H

Vin

Vout

sinal de controle

da chave

Figura 7.2: Esquema simplificado de um circuito sample-and-hold e seu diagrama deblocos

A seguir veremos de forma simplificada o funcionamento desse dispositivo quando aco-plado a conversores A/D e D/A.

Quando um sinal analogico vai ser codificado, o primeiro passo e coletar as amostras


do sinal e depois utilizar o processo de conversao A/D discutido anteriormente. Cadaamostra coletada deve ser disponibilizada, isto e mantida constante na entrada do con-versor, durante todo o processo de conversao A/D de cada amostra. Esta operacao demanter constante o sinal pode ser feita por um dispositivo S/H.

t

saıda analogica do S/H

h(t)

v(t)

T

A/DS/H

sinal digital de saıda

v(t)

v(t) v(t)

w(t)

w(t)

w(t)

w(t)

HT HT HT

(a)

(b)

v(t)

h(t): sinal de controle do S/H

w(t): entrada analogica

Figura 7.3: (a) Diagrama de blocos de um conversor A/D com sample-and-hold e (b)funcionamento do sistema

A figura 7.3(b) mostra os sinais de entrada e saıda nas duas fases de funcionamentodo dispositivo. Chave na posicao 1 corresponde a fase segurar o sinal representada porH (do ingles hold) e chave na posicao 2 a fase de rastreamento T (do ingles tracking).

Cada amostra coletada do sinal de entrada e mantida constante no conversor durantetodo o intervalo de amostragem. O conjunto de amostras e atualizado apenas com achegada de uma nova amostra depois de cada intervalo de amostragem. Assim, o dispo-sitivo S/H juntamente com o conversor A/D (codificador) possuem a funcao de amostrare segurar a amostra (ja codificada) durante todo o intervalo de amostragem.

Durante o processo de conversao D/A a saıda do conversor pode flutuar muito. Paraevitar esse inconveniente utiliza-se um dispositivo S/H na saıda do conversor. O S/Hmantem constante o valor da amostra precedente ate que uma nova amostra esteja dis-ponıvel (decodificada). O funcionamento desse dispositivo esta indicado na figura 7.4. Osinal temporizador de controle indica as duas fases de funcionamento: manter o sinal deentrada (H) e rastrear o sinal de entrada (T).

Note que o S/H executa duas operacoes: amostrar (sample) e segurar (hold). Afim deobter um modelo matematico de funcionamento do S/H, estudaremos a seguir essas duas


entrada digital

D/A S/Hy(t): sinal analogico de

saıda constante por trechos

t

v(t): saıda analogica do conversor

h(t)

v(t)

y(t)

v(t)

v(t)

v(t)

y(t)

y(t)

y(t)

H T H T H T H

h(t): sinal de controle do S/H

(a)

(b)

Figura 7.4: (a) Conversor D/A com S/H e (b) Sinais de entrada e saıda

operacoes separadamente.

A partir de agora assumiremos que a operacao amostrar do S/H pode ser representadapor um amostrador ideal, isto e ela pode ser representada pela multiplicacao do sinal aser amostrado por um trem de impulsos como ilustra a figura 7.5. A amostra do sinalr(t) coletada no instante t = kT corresponde a area do impulso que ocorre no instantet = kT , isto e r(kT )δ(t− kT ).

r(t) r∗(t) =∑

∞

k=−∞r(t)δ(t − kT )

perıodo de chaveamento: T

Figura 7.5: Amostrador ideal: produto por um trem de impulsos

A operacao segurar do S/H consiste em manter o valor de uma amostra r∗(t) =r(kT )δ(t − kT ) (obtida com um amostrador ideal) constante durante todo o perıodode amostragem T. Veja figura 7.6. O bloco ZOH recebe o nome de segurador de ordemzero (Zero Order Holder) devido ao fato da saıda ser uma interpolacao de ordem zero dasamostras de entrada. Matematicamente podemos escrever:

rh(t) = r(kT ) para kT ≤ t < kT + T (7.1)

O bloco ZOH representa um sistema cuja funcao de transferencia pode ser obtida. Paraisso basta calcular a resposta impulsional desse sistema que chamaremos de zoh(t), isto


kT

r(kT )δ(t − kT )

t tkT kT+T

r(kT )

ZOHr∗(t) rh(t)

sinal amostrado (entrada) sinal constante por trechos (saıda)

Figura 7.6: Segurador de ordem zero: a saıda e constante por trechos

e o valor especıfico do sinal rh(t) obtido com r∗(t) = δ(t). Pela figura 7.6 deduzimos quea resposta impulsional vale

rh(t) = zoh(t) = 1 para 0 ≤ t < T (7.2)

que pode ser rescrita de uma forma mais conveniente com o auxılio da funcao degrauunitario u(t) na forma

zoh(t) = u(t)− u(t− T ) (7.3)

A funcao de transferencia ZOH(s) do bloco ZOH pode entao ser calculada com o auxılioda transformada de Laplace

ZOH(s) = L[zoh(t)] =1

s− e−sT

s(7.4)

Assim concluımos que o dispositivo S/H pode ser representado por um amostrador idealem cascata com um segurador de ordem zero como ilustra a figura 7.7.

S/H ≡ ZOH

T

r(t)rh(t) rh(t)r∗(t)r(t)

Figura 7.7: Sample-and-Hold visto como um amostrador ideal em cascata com um segu-rador de ordem zero

E importante notar que o amostrador ideal nao pode ser implementado na praticadevido a presenca de impulsos no sinal amostrado. No entanto a representacao do dis-positivo S/H indicada na figura 7.7 possui duas propriedades interessantes: (i) existemdispositivos S/H cujos comportamentos entrada/saıda sao similares ao acima descritoe (ii) o segurador de ordem zero pode ser tratado de maneira muito conveniente pelaTransformada Z, como veremos mais tarde.

Um outro ponto importante a ser notado e que no controle de sistemas normalmente seassume a priori, por razoes de simplicidade, que o erro de conversao binaria e despresıvel.Isso implica que o conversor A/D pode ser representado por um amostrador ideal e oconversor D/A por um segurador de ordem zero. Essas hipoteses sao comuns em todos oslivros classicos de controle e tambem serao assumidas nesse capıtulo sempre que houverconversores A/D e D/A presentes na malha de controle.


7.2 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto

Diferentemente dos sinais analogicos, que podem ser representados por funcoes do tipox(t) onde t e a variavel tempo contınuo , um sinal discreto e uma sequencia de valoresorganizados no tempo e pode ser representado por funcao do tipo x(kT ) onde k e avariavel tempo discreto (k = 0,±1,±2, ...) e T denota o intervalo de tempo entre doisvalores consecutivos de x(kT ). Neste capıtulo usaremos indistintamente os termos sinaldiscreto ou sequencia.

Exemplo 7.1 A dinamica da variavel corrente no circuito da figura 7.8 e descrita poruma equacao diferencial pois I(t) e uma variavel analogica (tempo contınio).

C R

I(t)

Figura 7.8: Circuito RC: resposta livre

vC(t) + RI(t) = 0

com vC(0) = v0.CI(t) + RI(t) = 0

com I(0) = v0/R. Logo:I(t) = I(0)e−t/RC , t ≥ 0.

Suponha agora que estamos interessados em saber os valores da corrente I(t) apenasnos instantes t = kT , onde k = 0, 1, 2, . . . e T e um intervalo de tempo dado. Os valoresda corrente nesses instantes sao representados agora por uma sequencia I(kT ) e nao maispor um sinal analogico como mostra a figura 7.9.

0 T 2T t = kT

I(kT ) = I(0)e−kT/RC

...

Figura 7.9: Valor da corrente no capacitor nos instantes t = kT

Alem disso a relacao entre os valores de I(kT ) ja nao e mais representada por umaequacao diferencial mas sim por uma equacao recursiva que define uma progressao geometricacom razao a = e−T/RC.

I(kT + T ) = a I(kT ), a = e−T/RC (7.5)


Sistemas contınuos sao aqueles que manipulam sinais analogicos e sao representados porequacoes diferenciais, como e o caso do sistema na figura 7.8. Sistemas discretos saoaqueles que manipulam sequencias e sao representados por equacoes recursivas, como eo caso do sistema representado pela equacao recursiva 7.5. Note que o sistema discretonao e equivalente ao sistema contınuo que lhe deu origem pois apesar dos dois sistemasrepresentarem o comportamento exato da corrente no circuito nos instantes t = kT ,apenas o sistema contınuo pode fornecer o valor exato da corrente para todo instante detempo t ≥ 0. Alem disso, o sistema discreto descrito pela equacao recursiva 7.5 pode serinterpretado como um algorıtmo cuja evolucao define a dinamica da corrente do circuitoRC nos instantes t = kT .

Exemplo 7.2 Obtenha a equacao recursiva que rege o comportamento dinamico do cir-cuito da figura 7.10 nos instantes t = kT sendo T um intervalo de tempo dado, k =0, 1, 2, . . . uma variavel discreta e e(t) constante por trechos, isto e, e(t) = e(kT ) parakT ≤ t < kT + T .

R

C

+

-

+

-

e(t) x(t)

Figura 7.10: Circuito RC com entrada constante por trechos

Solucao: Para kT ≤ t < kT + T a dinamica do circuito e dada por:

RCx + x = e(kT ), x(t0) = x(kT )

Como e(kT ) e constante no intervalo temos:

RC[sX(s)− x(kT )] + X(s) =e(kT )

s

Logo:

X(s) =

(e(kT )

s+ RCx(kT )

)1

RCs + 1=

e(kT ) + sRCx(kT )

s(RCs + 1)

=e(kT )

s+

x(kT )− e(kT )

s + 1/RC

Usando a Transformada Inversa e lembrando que o lado direito da equacao acimapossui instante inicial t0 = kT temos:

x(t) = e(kT ) + (x(kT )− e(kT ))e−t−kTRC , kT ≤ t < kT + T

Como x(t) e uma funcao contınua temos pela expressao acima que o valor de x(kT +T )e dado por:

x(kT + T ) = limt→kT+T

x(t) = e(kT ) + (x(kT )− e(kT ))e−T/RC


Logo o valor da tensao x(t) no instante t = kT + T pode ser obtido recursivamenteatraves da expressao:

x(kT + T ) = a x(kT ) + b e(kT ), k = 0, 1, 2, . . .

onde a e b sao duas constantes dadas por:

a = e−T/RC b = 1− e−T/RC

O sistema discreto dado pela equacao recursiva acima define o comportamento da correnteI(t) (saıda) em funcao da tensao e(t) (entrada) nos instantes t = kT como indicado nafigura 7.11. Mais tarde iremos calcular a funcao de transferencia discreta desse sistemacom o auxılio da transformada Z.

e(kT ) x(kT )circuito

Figura 7.11: Representacao de um sistema discreto

Equacoes recursivas sao fundamentais quando se utiliza o computador digital paraprocessar sinais e controlar sistemas.

No esquema de controle da figura 7.12, um determinado sistema e controlado com oauxılio de um computador. O computador executa um algorıtmo de controle que deveser devidamente projetado e e representado por uma equacao recursiva envolvendo assequencias e(kT ) e u(kT ).

Problema 7.1 O funcionamento de um certo sistema digital de leitura, manipulacao eregistro de dados composto por um conversor A/D, um computador e um conversor D/Ae representado por uma equacao recursiva cujo codigo FORTRAN esta indicado abaixo.Encontre a equacao recursiva executada pelo algorıtmo.

100 format(F16.8)110 Y0=0.120 Y1=0.130 R1=0.140 R0=0.150 read(1,100)R2160 Y2=3.*Y1 - 2.*Y0+2.*R2+5.*R0170 Y0=Y1180 Y1=Y2190 R0=R1200 R1=R2210 write(2,100)Y2220 go to 150


D/A

Controlador

Medidores

-+

u(t) sistemar(t) y(t)e(t)A/D

e(kT)Computador

u(kT)

controlado

a ser

Figura 7.12: Sistema controlado por computador

r(t) Sinal de Referencia

y(t) Sinal a ser controlado

e(t) Sinal de Erro (Analogico)

e(kT ) Sinal de Erro (Digital)

u(kT ) Sinal de Controle (Digital)

u(t) Sinal de Controle (Analogico)

230 stop240 end

O conversor A/D e tomado como periferico 1 com formato de leitura F16.8 e o pe-riferico 2 e o conversor D/A com formato de escrita F16.8. E assumido que o processadorespera no passo 150 ate que a variavel R2 esteja disponıvel para leitura, da mesma formacomo ele esperaria caso a entrada de dados fosse via teclado. Tambem se assume que operiferico 2 possui um buffer que armazena cada amostra da saıda ate que a conversaoD/A seja efetuada. Identifique as condicoes iniciais, o sinal de entrada e o sinal de saıda.

7.3 Transformada Z

Assim como a Transformada de Laplace nos permite resolver equacoes diferenciais edefinir a nocao de Funcao de Transferencia , a Transformada Z , que passaremos a estudarem seguida, e a ferramenta que vai nos permitir resolver equacoes recursivas e definir anocao de Funcao de Transferencia para sistemas a tempo discreto.


7.3.1 Definicao e exemplos

A transformada Z de uma sequencia x(kT ) que satisfaz x(kT ) = 0 para k < 0, edefinida pela expressao:

X(z) = Z[x(kT )] =∞∑

k=0

x(kT )z−k ; x(kT ) = 0, ∀ k < 0 (7.6)

onde z = α+jβ e uma variavel complexa similar a variavel s da transformada de Laplace.Assim, a transformada Z transforma uma sequencia x(kT ) numa funcao X(z) da variavelcomplexa z. Veremos mais tarde que podemos relacionar a funcao X(z) com a funcaoX(s) da transformada de Laplace do sinal x(t) amostrado nos instantes t = kT .

Note que a transformada Z e definida como sendo a soma dos termos de uma serie navariavel complexa z, pois pela definicao temos

X(z) = x(0) + x(T )z−1 + x(2T )z−2 + . . .

Alem disso, os coeficientes dessa serie sao os valores que o sinal assume nos diversosinstantes discreto de tempo. O valor do sinal x(t) no instante t = kT aparece na seriecomo o coeficiente do termo z−k.

Em alguns casos, quando a serie e geometrica e de razao r conhecida, podemos calcularo resultado da soma atraves da formula

x(z) = x(0) + x(T )z−1 + x(2T )z−2 + · · · = x(0)

1− r(7.7)

Para que o resultado da soma da serie seja dado pela formula acima e preciso que a serieseja convergente, isto e a razao da serie deve possuir modulo menor que a unidade |r| < 1.Veja o exemplo a seguir.

Exemplo 7.3 Calcule a transformada Z da sequencia degrau unitario (u(kT )) definidacomo u(kT ) = 1 para k ≥ 0 e u(kT ) = 0 para k < 0.

Solucao: Pela definicao temos:

Z[u(kT )] =∞∑

k=0

u(kT )z−k =∞∑

k=0

z−k = 1 + z−1 + z−2 + . . .

A serie acima possui razao r = z−1 e a soma dos termos dessa serie e dada por 7.7desde que a variavel complexa z esteja na regiao onde |r| = |z−1| < 1. Nessas condicoestemos:

U(z) = Z[u(t)] =1

1− z−1=

z

z − 1

Analogamente a Transformada de Laplace e Fourier, a Transformada Z tambem possuiuma regiao de convergencia. Uma serie e convergente se em modulo a razao e menor que


Plano s

Re[s]

transformada de Laplacetransformada Z

U(z) = zz−1

U(s) = 1s

Plano z

Re[z]

Im[z] Im[s]

cırculo unitario1

0

Figura 7.13: Regiao de convergencia das transformadas do degrau unitario

a unidade. Para o caso do degrau unitario a regiao de convergencia e |z−1| < 1 que noplano z define a regiao externa ao cırculo unitario como ilustra a figura 7.13. Dentro daregiao de convergencia a sequencia u(kT ) e sua Transformada Z estao relacionadas demaneira biunıvoca como ilustra a figura 7.14.

Z[x(kT )]

(k ≥ 0)

Z−1[X(z)]

z ∈ Rconv

x(kT ) X(z)

Figura 7.14: Relacao biunıvoca entre a sequencia x(kT ) e sua transformada Z

A existencia de uma regiao de convergencia para a Transformada, seja Laplace, Fourierou Z, e um dado importante, pois caso contrario a Transformada em questao deixa de tersentido. No entanto, calcular essa regiao de convergencia e algo irrelevante, pois se existeuma regiao de convergencia, existe uma funcao X(s), X(jω) ou X(z) conforme o caso.Dentro da regiao de convergencia a Transformada e a respectiva funcao temporal estaodiretamente relacionadas. Fora da regiao de convergencia, a Transformada pode ser vistacomo uma funcao auxiliar que contem informacoes relevantes sobre a funcao no domıniodo tempo, mesmo nao estando diretamente relacionadas.


7.3.2 Relacao com a transformada de Laplace

Podemos facilmente relacionar a variavel complexa z da transformada Z com a variavels da transformada de Laplace.

Vamos supor que x(t) seja um sinal analogico dado e que

x∗(t) =∞∑

k=0

x(kT )δ(t− kT )

seja a representacao do sinal x(t) amostrado com amostrador ideal (veja figura 7.5). Noteque a representacao do sinal amostrado x∗(t) e diferente da representacao da sequenciax(kT ) obtida com os valores de x(t) nos instantes t = kT . Enquanto x∗(t) e um sinalanalogico com impulsos, a sequencia x(kT ) e um sinal discreto.

Tomemos agora a Transformada de Laplace da expressao acima:

L[x∗(t)] = X∗(s) =∞∑

k=0

x(kT )e−kTs, x(t) = 0, t < 0

Considerando a mudanca de variavel

z = eTs (7.8)

podemos reescrever X∗(s) em termos da variavel z como indicado a seguir.

X∗(s)|s=

ln(z)T

= Z[x∗(t)] =∞∑

k=0

x(kT )z−k ; x(kT ) = 0, ∀ k < 0 (7.9)

Comparando (7.9) com (7.6) concluımos que a mudanca de variavel (7.8) define a relacaoentre a variavel s da transformada de Laplace do sinal amostrado x∗(t) e a variavel z datransformada Z da sequencia x(kT ).

Veja por exemplo a relacao que existe entre os polos da transformada Z e Laplace dodegrau unitario indicadas na figura 7.13. O polo da transformada de Laplace esta naorigem s = 0. O polo da transformada Z esta em z = 1. Este mapeamento de s = 0 emLaplace para z = 1 no plano Z e dado pela equacao (7.8).

Exemplo 7.4 (Funcao Potencia) Calcule a transformada Z da funcao potencia ak

onde a e uma constante e k ≥ 0 e uma variavel discreta.

Solucao: Com (7.7) temos:

Z[aku(k)] =∞∑

k=0

akz−k =1

1− a z−1=

z

z − a

Como curiosidade, a regiao de convergencia da transformada e Rconv = z : |a z−1| <1 . Note ainda que com o resultado acima podemos facilmente obter a transformada Zda funcao exponencial f(k) = ebk onde b e uma constante e k ≥ 0 e uma variavel discreta(verifique !).


Exemplo 7.5 (Funcao Senoidal) Calcule a transformada Z da funcao senoidal sen(ω0kT )onde ω0 e T sao constantes e k ≥ 0 e uma variavel discreta.

Solucao: Aplicando a definicao e formula de Euler temos:

Z[sen(ω0kT )u(kT )] =∞∑

k=0

sen(ω0kT )z−k =∞∑

k=0

ejω0kT − e−jω0kT

2jz−k

=1

2j

∞∑

k=0

[ejω0kT z−k − e−jω0kT z−k

]

=1

2j

[z

z − ejω0T− z

z − e−jω0T

]

=z sen(ω0T )

z2 − 2 z cos(ω0T ) + 1

Exemplo 7.6 (Pulso Unitario) Calcule a transformada Z da funcao Pulso Unitario:δ(k) definida como δ(k) = 1 para k = 0 e nula para k 6= 0.

Solucao: Aplicando a definicao encontramos

Z[δ(k)] =∞∑

k=0

δ(k)z−k = 1

Para a funcao pulso deslocada no instante k = m, definida como δ(k −m) = 1 parak = m e nula para k 6= m encontramos

Z[δ(k −m)] =∞∑

k=0

δ(k −m)z−k = z−m

As figuras 7.15, 7.16 e 7.17 ilustram a relacao entre a localizacao dos polos da trans-formada Z do sinal e o seu comportamento temporal.

7.4 Propriedades da Transformada Z

7.4.1 Linearidade

A Transformada Z e uma operacao linear, isto e,

Z[α1x(k) + α2y(k)] = α1Z[x(k)] + α2Z[y(k)]

para todo α1, α2 ∈ C.

Problema 7.2 Prove que a transformada Z e uma operacao linear


X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.99

1.00

1.01

+ + + + + + + + + + +

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0 +

+

+

+

+

++

++ + +

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

cırculo unitario

X

cırculo unitario

X

X

cırculo unitario

polos de F (z) Evolucao temporal de f(k)

u(k)

f(k) = (0.7)k

f(k) = (−0.7)k

polo z = 1

polo z = 0.7

polo z = −0.7

Figura 7.15: Relacao entre localizacao polos e evolucao temporal


-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

cırculo unitario

cırculo unitario


f(k) = (−1)k

X

f(k) = (−1.2)k

X

f(k) = (1.2)k

cırculo unitario

X

polo z = −1

polo z = −1.2

polo z = 1.2



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

+

+

+

++

+

+

+

+

+ +

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

+

+

++

+

+

+

+

+ ++

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

+

+

+

++

+

+

+

+

+

+

cırculo unitario

X

X


f(k) = sen(0.5 k)

f(k) = 0.8k sen(0.5 k)

cırculo unitario

X

X

cırculo unitario

X

X

f(k) = 1.2k sen(0.5 k)

polos z = 0.8e±j 0.5

polos z = e±j 0.5

polos z = 1.2e±j 0.5



7.4.2 Teorema do Valor Inicial

Se Z[x(k)] = X(z) e limz→∞ X(z) existe entao:

x(0) = limz→∞

X(z).

Prova: Note que Z[x(k)] =∑∞

k=0 x(k)z−k = x(0) + x(1)z−1 + . . .

Logo, quando z →∞ obtem-se o resultado desejado.

7.4.3 Teorema do Valor Final

Se Z[x(k)] = X(z) e se a funcao (z−1)X(z) e analıtica sobre e fora do cırculo unitario,entao:

limk→∞

x(k) = limz→1

(z − 1)X(z)

Prova: Note que

Z[x(k)] = X(z) =∞∑

k=0

x(k)z−k

Z[x(k + 1)] = zX(z)− zx(0) =∞∑

k=0

x(k + 1)z−k

Tomando a diferenca entre as duas expressoes acima:

∞∑

k=0

[x(k + 1)− x(k)]z−k = zX(z)− zx(0)−X(z) = (z − 1)X(z)− zx(0)

Supondo que a sequencia x(k) converge para um valor finito em regime, temos que X(z)pode ter no maximo um polo sobre o cırculo unitario e nenhum polo fora dele (veja figuras7.15-7.17). Isso implica que a funcao auxiliar (z − 1)X(z) nao pode ter polos sobre nemfora do cırculo unitario, ou seja devem estar dentro do cırculo unitario. Logo para z → 1temos o seguinte resultado:

limz→1

∞∑

k=0

[x(k + 1)− x(k)]z−k = limz→1

[(z − 1)X(z)− zx(0)]

de onde se conclui que no limite ficamos com

∞∑

k=0

x(k + 1)− x(k) = limz→1

[(z − 1)X(z)]− x(0)

x(∞)− x(0) = limz→1

(z − 1)X(z)− x(0)

⇒ x(∞) = limz→1

(z − 1)X(z)

que e o resultado desejado.


7.4.4 Obtencao de F (z) a partir de F (s)

Vimos anteriormente que existe uma relacao entre a transformada de Laplace de umsinal x∗(t) amostrado nos instantes t = kT e a transformada Z da sequencia x(kT ).Dessa relacao podemos montar tabelas que relacionam X(s) (a transformada de Laplacedo sinal x(t)) e a respectiva transformada Z da sequencia x(kT ). A figura 7.18 ilustraessa relacao.

f(t) f∗(kT )

T

Tabelas ou Teorema dos Resıduos

F (s)

L−1[F (s)]

amostrador ideal

L[f∗(kT )]

F (z)

Z[F (s)]

f(kT )

s = ln(z)T

Z[f(kT )]

sinal discreto

sinal amostrado

Figura 7.18: Obtencao de F (z) a partir de F (s)

As funcoes mais usuais ja se encontram tabeladas em termos de suas TransformadasZ, Laplace e Fourier. Logo o uso de tabelas associado ao metodo de expansao em fracoesparciais pode ser util na determinacao de F (z) a partir de F (s).

No entanto o uso de tabelas pode apresentar limitacoes em alguns casos. A seguirapresenta-se um procedimento analıtico alternativo bastante simples conhecido comometodo dos resıduos.

Sejam P1, . . . , Pn o conjunto de polos distintos de F (s). Caso F (s) possua polos repe-tidos inclua o polo apenas uma vez no conjunto.

Entao, com F (s) e P1, . . . , Pn podemos calcular F (z) da seguinte forma:

F (z) =n∑

i=1

R(Pi)

sendo R(Pi) o resıduo do polo Pi (i = 1...n) dados por:

• Polo simples (multiplicidade 1)

R(Pi) =

[

(s− Pi)F (s)z

z − esT

]

s=Pi


• Polo multiplo (multiplicidade m)

R(Pi) =1

(m− 1)!

dm−1

dsm−1

[

(s− Pi)mF (s)

z

z − esT

]

s=Pi

O resultado acima e apresentado como exercıcio resolvido no livro do Ogata (edicao1982) ou ainda em varios outros livros sobre controle de sistemas a tempo discreto.

Exemplo 7.7 Obtenha F (z) = Z[F (s)] dado F (s) = 1(s+a)(s+b)

.

Solucao: Como F (s) possui dois polos distintos temos:

F (z) = R(P1) + R(P2)

sendo:

R(P1) =[(s + a)F (s) z

z−esT

]

s=−a= 1

b−az

z−e−aT

R(P2) =[(s + b)F (s) z

z−esT

]

s=−b= 1

a−bz

z−e−bT

Logo:

F (z) =1

b− a

[z

z − e−aT− z

z − e−bT

]

O resultado pode ser conferido com o auxılio de tabelas (verifique!).

7.4.5 Convolucao Discreta

De forma analoga a integral de convolucao para sistemas de tempo contınuo, podemosdefinir convolucao para sistemas de tempo discreto atraves de um somatorio.

Tempo contınuo:

x1(t) ∗ x2(t) =

∫ ∞

−∞x1(τ)x2(t− τ)dτ =

∫ ∞

−∞x2(τ)x1(t− τ)dτ

Tempo discreto:

x1(kT ) ∗ x2(kT ) =∞∑

n=−∞x1(nT )x2(kT − nT ) =

∞∑

n=−∞x2(nT )x1(kT − nT )

Normalmente temos x1(t) = 0 e x2(t) = 0 para t < 0 e nesses casos podemos tomart0 = 0 como limite inferior, tanto na integral como no somatorio.

Com a Transformada de Laplace vimos que convolucao no domınio do tempo se trans-forma em produto no domınio da frequencia. Mostraremos a seguir que isto tambem everdade em relacao a convolucao discreta e a Transformada Z .

L[x1(t) ∗ x2(t)] = X1(s)X2(s) (Transf. Laplace - Tempo Contınuo)


Z[x1(kT ) ∗ x2(kT )] = X1(z)X2(z) (Transf. Z - Tempo Discreto)

Prova: Seja y(kT ) o resultado da convolucao discreta.

y(kT ) = x1(kT ) ∗ x2(kT )

Pela definicao da Transformada Z temos:

Z[y(kT )] =∞∑

k=0

y(kT )z−k =∞∑

k=0

( ∞∑

n=0

x1(nT )x2(kT − nT )

)

z−k

Fazendo a mudanca de variavel m = k − n encontramos:

Z[y(kT )] =∞∑

m=0

∞∑

n=0

x1(nT )x2(mT )z−(m+n)

=∞∑

m=0

x2(mT )z−m

∞∑

n=0

x1(nT )z−n

= X1(z)X2(z)


Note que a convolucao de uma sequencia qualquer x1(kT ) com um pulso unitario δ(kT )resulta na propria sequencia x1(kT ) pois, como ja vimos Z[δ(kT )] = 1.

δ(kT ) =

1 k = 00 k 6= 0

Pulso Unitario na Origem

Z[δ(kT )] =∞∑

k=0

δ(kT )z−k = 1

Logo:Z[f(kT ) ∗ δ(kT )] = Z[f(kT )]Z[δ(kT )] = Z[f(kT )]

⇒ f(kT ) ∗ δ(kT ) = f(kT )

A funcao pulso unitario δ(kT ) tem (em relacao a Transformada Z ) as mesmas pro-priedades que a funcao impulso unitario δ(t) tem em relacao a Transformada de Laplace.

7.5 Transformada Z Inversa

Existem basicamente tres metodos para a determinacao da Transformada Z Inversa.Cada um possui caracterısticas diferentes, vantagens e desvantagens. A seguir apresen-taremos os dois mais utilizados.


7.5.1 Metodo da divisao polinomial

Este metodo e uma consequencia direta da propria definicao de Transformada Z :

X(z) =∞∑

k=0

x(kT )z−k = x(0) + x(T )z−1 + x(2T )z−2 + . . .

Como normalmente X(z) e expressa em termos de uma fracao polinomial, isto e X(z) =N(z)D(z)

sendo N(z) e D(z) dois polinomios, temos:

N(z)

D(z)= x(0) + x(T )z−1 + x(2T )z−2 + . . .

Para obter a igualdade acima atraves das regras usuais de divisao polinomial seguimoso seguinte procedimento: Suponha que o grau de N(z) nao e superior ao grau de D(z) edefina n=grau(D(z)). Construa dois polinomios auxiliares

N(z−1) = z−nN(z) , D(z−1) = z−nD(z)

Faca agora a divisao de N(z−1) por D(z−1) para encontrar os valores de x(0), x(T ),x(2T ), . . . .

N(z)

D(z)=

N(z−1)

D(z−1)= x(0) + x(T )z−1 + x(2T )z−2 + . . . (7.10)

Exemplo 7.8 Determine o valor numerico de x(4T ) dado que X(z) = 10z(z−1)(z−2)

.

Solucao:

X(z) =N(z)

D(z)=

10z

z2 − 3z + 2

D(z−1) = z−2D(z) = 1− 3z−1 + 2z−2

N(z−1) = z−2N(z) = 10z−1

Por divisao polinomial se obtem:

N(z−1)

D(z−1)= 10z−1 + 30z−2 + 70z−3 + 150z−4 + . . .

Logo, por igualdade polinomial com (7.10) concluımos que: x(0) = 0, x(T ) = 10, x(2T ) =30, x(3T ) = 70, x(4T ) = 150.

Quando se deseja obter uma forma analıtica para x(kT ) este metodo nao e adequadoe o metodo seguinte pode ser utilizado.


ComparacaoTempo contınuo Transformada de Laplace

x(t) L[x(t)] = sX(s)− x(0)Tempo discreto Transformada Z

x(kT + T ) Z[x(kT + T )] = zX(z)− zx(0)

Tabela 7.2: Comparacao entre L[x(t)] e Z[x(kT + T )]

7.5.2 Metodo das fracoes parciais de X(z)/z

Este metodo e o analogo da expansao por fracoes parciais da utilizado na obtencao datransformada inversa de Laplace. Note apenas que ao inves de expandir F (z) por fracoesparciais devemos expandir X(z)/z. Veja o exemplo que segue.

Exemplo 7.9 Calcule a sequencia x(k) cuja transformada Z e X(z) = 10z(z−1)(z−2)

.

Solucao:Expandindo X(z)/z for fracoes parciais temos

X(z)

z=

10

(z − 1)(z − 2)=

A

z − 1+

B

z − 2

onde A = 10z−2|z=1 = −10 e B = 10

z−1|z=2 = 10.

Logo:

X(z) = −10z

z − 1+ 10

z

z − 2

Lembrando que Z[ak] = zz−a

temos:

x(k) = −10(1)k + 10(2)k, k = 0, 1, 2, . . .

7.6 Solucao de Equacoes recursivas

Veremos a seguir como calcular Transformada Z de uma sequencia deslocada e autilizacao desse resultado na solucao de equacoes recursivas.

Seja X(kT ) um sequencia e x(kT + T ) a sequencia deslocada de T segundos (k =0, 1, 2, . . . ).

Assim como a Transformada de Laplace nos permite resolver equacoes diferenciais, aTransformada Z nos permite resolver equacoes recursivas. Veja a comparacao na tabela7.2.

Quando as condicoes iniciais sao nulas podemos concluir que derivar um sinal de tempocontınuo corresponde a multiplicar sua transformada de Laplace por s, isto e sX(s).Analogamente, deslocar (um passo a frente) um sinal de tempo discreto corresponde a


multiplicar sua transformada Z por z, isto e zX(z). A variavel complexa s correspondeao operador derivada no domınio do tempo contınuo e a variavel complexa z correspondeao operador deslocamento um passo a frente no domınio do tempo discreto.

Para provar essa propriedade da Transformada Z note que:

Z[x(kT )] =∞∑

k=0

x(kT )z−k, x(t) = 0 t < 0

Z[x(kT + T )] =∞∑

k=0

x(kT + T )z−k =∞∑

n=1

x(nT )z−(n−1) (n = k + 1)

Somando e subtraindo o termo zx(0) obtemos:

Z[x(kT + T )] = z∞∑

n=1

x(nT )z−n + zx(0)− zx(0)

= z

∞∑

n=0

x(nT )z−n − zx(0)

= zZ[x(nT )]− zx(0)

que prova a propriedade desejada. Analogamente temos:

Z[x(kT + 2T )] = zZ[x(kT + T )]− zx(T )

= z[zZ[x(kT )]− zx(0)]− x(T )

= z2X(z)− z2x(0)− zx(T )

Podemos enfim generalizar a propriedade do deslocamento no tempo aplicando suces-sivamente os resultados acima e obtemos apos m sucessivos deslocamentos:

Z[x(k + m)] = zmX(z)− zmx(0)− zm−1x(1)− · · · − zx(m− 1) (7.11)

Como z corresponde ao operador deslocamento um passo a frente no tempo a variavel z−1

corresponde ao operador deslocamento um passo a traz no tempo. Utilizando o mesmoprocedimento acima encontramos

Z[x(k −m)] = z−mX(z) (7.12)

Exemplo 7.10 Resolva a seguinte equacao recursiva:

x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = 0, x(0) = 0, x(1) = 1

Solucao: Tomando a Transformada dos dois lados e usando a linearidade temos:

Z[x(k + 2)] + 3Z[x(k + 1)] + 2Z[x(k)] = 0


com a propriedade de deslocamento encontramos:

z2X(z)− z2x(0)− zx(1) + 3[zX(z)− zx(0)] + 2X(z) = 0

⇒ X(z) =z

z2 + 3z + 2=

z

(z + 2)(z + 1)=

z

z + 1− z

z + 2

Como Z[ak] = zz−a

obtemos:

x(k) = (−1)k − (−2)k, k = 0, 1, 2, . . .

Note que os polos da Transformada X(z) se tornam a base das exponenciais no tempo.Logo uma sequencia x(kT ) e convergente, x(k) tende assintoticamente a zero quandok →∞, se todos os polos da sua transformada X(z) sao em modulo inferiores a unidade.Confirme esse resultado na figuras 7.15-7.17.

PLANO z

Re[z]

Im[z]

sequencias nao amortecidas: |polos| = 1

sequencias convergentes: |polos| < 1

sequencias divergentes: |polos| > 1X

X

X

Figura 7.19: Sequencias convergentes e a localizacao dos polos no plano z

Note que no caso da sequencia x(kT ) = sen(ω0kT )u(kT ) sua transformada:

X(z) =1

2j

[z

z − ejω0T− z

z − e−jω0T

]

possui dois polos (z = e−jω0T e z = ejω0T ) que sao complexos conjugados (z = cos(ω0T )±jsen(ω0T )) e possuem modulo unitario indicando que a serie e oscilatoria sem amorteci-mento.

Exemplo 7.11 Determine a resposta do sistema descrito pela seguinte equacao recur-siva:

x(k + 2)− 3x(k + 1) + 2x(k) = u(k)

onde u(k) e o pulso unitario e x(k) = 0 para k ≤ 0.

Solucao: Para resolver a equacao acima precisamos das condicoes iniciais x(0) e x(1).O valor de x(0) = 0 e dado e o valor de x(1) = 0 se obtem da propria equacao recursivacom k = −1. Alem disso, com a Transformada Z encontraremos:

z2X(z)− 3zX(z) + 2X(z) = U(z)


A transformada do pulso unitario ja calculamos anteriormente e vale U(z) = Z[u(k)] = 1.Logo:

X(z) =1

z2 − 3z + 2=−1

z − 1+

1

z − 2

Como Z[x(k + 1)] = zX(z)− zx(0) e x(0) = 0 temos:

Z[x(k + 1)] = zX(z) =−z

z − 1+

z

z − 2


obtemos finalmente:

x(k + 1) = −(1)k + (2)k, k = 0, 1, 2, . . .

Exemplo 7.12 Ja vimos no exemplo 7.2 que no circuito RC da figura 7.10 onde e(t) econstante por trechos (e(t) = e(kT ), kT ≤ t ≤ kT + T ) os sinais de entrada e saıda nosinstantes t = kT sao dados pela equacao recursiva:

x(KT + T )− a x(kT ) = b e(kT )

a = e−T/RC , b = 1− e−T/RC

Obtenha a sequencia de saıda x(kT ) para um degrau unitario aplicado na entrada.Suponha os dados e−T/RC = 0.5 e x(0) = 0.

Solucao: Com a Transformada Z temos:

Z[x(kT + T )]− aZ[x(kT )] = bZ[e(kT )]

zX(z)− zx(0)− aX(z) = bE(z)

Como E(z) = zz−1

temos:

X(z) =z0.5

(z − 0.5)(z − 1)=−z

z − 0.5+

z

z − 1


encontramos:

x(kT ) = −(0.5)k + (1)k, k = 0, 1, 2, . . .

Note que a tensao em regime permanente se obtem pelo limite:

limk→∞

x(kT ) = 1, (Sistema Estavel)

Analogamente a tensao inicial se obtem:

limk→0

x(kT ) = 0


7.7 Funcao de Transferencia Discreta e Estabilidade

Todo sistema discreto pode ser representado por um diagrama similar ao da figura 7.20onde x(k) representa a sequencia de entrada dada, y(k) a sequencia de saıda obtida, CI ascondicoes iniciais (que sao os n− 1 valores iniciais da variavel de saıda) e o bloco sistemarepresenta um sistema que sera descrito por uma equacao recursiva linear e invariante notempo (coeficientes constantes) do tipo

any(k + n) + · · ·+ a1y(k + 1) + a0y(k) = bmx(k + m) + · · ·+ b1x(k + 1) + b0x(k) (7.13)

Por conveniencia de notacao estamos utilizando x(k), y(k) ao inves de x(kT ) e y(kT ).Isto nao significa que estamos assumindo o intervalo T = 1 (tempo entre dois valoresconsecutivos da sequencia). Esta notacao , muito utilizada em livros de controle, signi-fica que estamos representando a sequencia numa escala de tempo normalizado k = t/T .Note entretanto que os coeficientes da equacao recursiva dependem de T e nao pode-mos eliminar essa dependencia. Veja no caso do exemplo 7.12: poderıamos rescrever aequacao recursiva na forma x(k + 1) − a x(k) = b e(k) mas os coeficientes a, b seriam osmesmos anteriores que dependem de T e dos parametros fısicos do sistema (capacitanciae resistencia nesse exemplo particular).

x(k) y(k)

C.I.

SISTEMA

Figura 7.20: Sistema discreto generico

7.7.1 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero

A resposta de todo sistema linear invariante no tempo pode ser decomposta em duasparcelas: uma que depende do sistema e do sinal de entrada e outra que depende dosistema e das condicoes iniciais. A primeira parcela chamaremos de Resposta de estadozero ja que esta parcela indica como um sistema, inicialmente em repouso (condicoesiniciais nulas), responde a um dado sinal de entrada. A segunda parcela chamaremos deResposta de Entrada Nula pois ela indica como um sistema se comporta quando e deixadopara responder livremente as suas condicoes inicias (sem excitacao externa).

As respostas de Estado Zero e Entrada Zero de um sistema descrito por (7.13) podeser determinada atraves da Transformada Z .

Exemplo 7.13 Considere o circuito descrito no exemplo 7.12. Calcule a resposta deEntrada Zero, para uma dada condicao inicial x(0) = x0 e a resposta de Estado Zeropara uma entrada generica e(k).


Solucao: Tomando a Transformada Z da equacao recursiva temos:

zX(z)− zx(0)− aX(z) = bE(z)

⇒ X(z) = F (z)E(z) + F0(z)x(0)

onde F (z) = bz−a

e F0(z) = zz−a

.

Sejam f(k) = Z−1[F (z)] e f0(k) = Z−1[F0(z)]. Podemos entao reescrever a expressaoacima da seguinte forma:

x(k) = Z−1[X(z)] = Z−1[F (z)E(z)] + Z−1[F0(z)]x(0)

= f(k) ∗ e(k) + f0(k)x(0)

Note que f(k) e f0(k) dependem apenas dos coeficientes constantes da equacao recur-siva. Nao dependem nem da entrada, nem da saıda nem das condicoes iniciais.

A parcela f(k) ∗ e(k), que e uma convolucao discreta e nao depende das condicoesiniciais, e a resposta de Estado Zero e a parcela f0(k)x(0), que nao depende da entrada,e a resposta de Entrada Zero.

Problema 7.3 Calcule as sequencias f(k) e f0(k) do exemplo acima.

Se ao inves do circuito RC (de primeira Ordem) acima tomarmos a equacao recursivade um sistema generico (7.13) obterıamos:

y(k) = f(k) ∗ x(k) +n−1∑

i=0

fi(k)ci (7.14)

onde ci = y(i) sao as condicoes iniciais do sistema, f(k) e fi(k) sao sequencias quedependem apenas dos coeficientes da equacao recursiva (7.13), x(k) e a sequencia deentrada e y(k) a de saıda.

Da expressao acima observe que:

1. A saıda de um sistema discreto depende dos parametros fısicos e do perıodo deamostragem que determinam os coeficientes da equacao recursiva e que por sua vezdeterminam as funcoes f(k) e fi(k) em (7.14).

2. A saıda de um sistema discreto depende da entrada que lhe e aplicada e essa de-pendencia se expressa atraves da convolucao discreta y(kT ) = f(kT ) ∗ x(kT ). Estaparcela da resposta recebe o nome de resposta de Estado Zero.

yesz(kT ) = f(kT ) ∗ x(kT ).

3. A saıda de um sistema depende das condicoes iniciais ci = y(iT ) (i = 0, . . . , n−1).Esta parcela da resposta recebe o nome de resposta de Entrada Zero.

yenz(kT ) =n−1∑

i=0

fi(kT )ci


4. A resposta de Entrada Zero e linear (afim) em relacao as condicoes iniciais e aresposta de Estado Zero e linear em relacao a entrada.

5. Os polos de F (z) definem a estabilidade da resposta. Se F (z) possuir algum polocom modulo maior que a unidade entao a resposta tera uma parcela que diverge. Afuncao F (z) e conhecida como Funcao de Transferencia Discreta (ou pulsada) dosistema.

7.7.2 Resposta ao Pulso e Estabilidade

Quando as condicoes iniciais sao nulas a saıda de um sistema discreto linear invarianteso depende da entrada e da Funcao de Transferencia Discreta, como pode ser visto em(7.14).

Domınio do Tempo: y(k) = f(k) ∗ x(k).

Domınio da Frequencia: Y (z) = F (z)X(z).

A funcao f(k) = Z−1[F (z)] recebe o nome de resposta ao pulso unitario pois f(k) e aresposta do sistema quando as condicoes inciais sao nulas e a entrada e um pulso unitariono instante k = 0. (X(z) = 1).

Definicao 7.1 (Sistemas Causais ou Nao-Antecipativos) Um sistema discreto e ditoser Causal (ou Nao-Antecipativo) se a resposta de Estado Zero para um pulso unitario enula para k < 0.

Num sistema causal o valor da resposta num dado instante de tempo y(kT ) nao dependedo sinal de entrada x(nT ) para valores de n > k. Caso contrario o valor da resposta noinstante t = kT passa a depender de valores futuros do sinal da entrada (x(t) para t > kT )e que portanto ainda nao estao disponıveis no instante t = kT .

Mostraremos a seguir que um sistema e causal quando o polinomio do numerador daFuncao de Transferencia F (z) possui grau ≤ ao do denominador.

Com (7.13) temos que:

any(k + n) + · · ·+ a0y(k) = bmx(k + m) + · · ·+ b0x(k)

Observe que y(k + n) depende de x(k + m) e portanto se m > n a saıda no instantek + n depende de valores da entrada em instantes de tempo futuros pois k + m > k + npara todo k. Logo para que um sistema discreto seja causal devemos ter m ≤ n.

Definicao 7.2 (Estabilidade) Um sistema discreto linear invariante no tempo e expo-nencialmente estavel se todos os polos da sua Funcao de Transferencia Pulsada possuemmodulo inferior a unidade. Caso contrario e dito ser instavel.


Pela definicao acima, note que a estabilidade e uma propriedade intrınseca do sistema.Ela so depende dos parametros fısicos do mesmo. Nao depende da entrada nem dascondicoes iniciais. O nome exponencialmente estavel apenas enfatiza que os polos daFuncao de Transferencia serao a base de exponenciais no domınio do tempo e portantoa resposta ao pulso converge exponencialmente para zero.

Exemplo 7.14 Verifique a estabilidade do sistema cuja funcao de transferencia e

F (z) =z

(z − 1)(z + 2)

Solucao: Os polos de F (z) sao z = 1 e z = −2 e pela definicao acima o sistema einstavel pois F (z) possui polos fora do cırculo unitario (ou sobre o cırculo). Para ver oefeito desses polos na resposta ao pulso unitario temos:

F (z) =1

3

z

z − 1− 1

3

z

z + 2

e como Z[ak] = zz−a

temos:

Z−1 = f(k) =1

3(1)k − 1

3(−2)k

Assim, se algum polo da Funcao de Transferencia F (z) possuir modulo ≥ 1 a respostaao pulso nao tende a zero. Sera crescente, oscilatoria ou converge para um valor naonulo, caracterizando assim a instabilidade do sistema.

OBS: FIM DA MATERIA DA PROVA 2 DE 2006/1

.

7.8 Sistemas Amostrados

Vimos que a transformada de Laplace e adequada ao tratamento de sinais e sistemasde tempo contınuo. De forma analoga a transformada Z nos possibilita o tratamento desinais e sistemas de tempo discreto. No entanto, a maioria dos sistemas a serem con-trolados sao de natureza contınua e sao controlados por computadores digitais (naturezadiscreta). Essa mistura de sistemas contınuos e discretos tornam o problema de analisede estabilidade mais complicado pois tanto a transformada de Laplace como a trans-formada Z ja nao fornecem resultados satisfatorios se aplicadas diretamente. A seguirveremos como transformar sistemas amostrados em sistemas discretos equivalentes. Comessa transformacao todos os sinais do sistema passam a ser discretos e a transformada Zpode ser usada sem maiores problemas na analise do sistema.

A figura 7.21(a) mostra um sistema contınuo G(s) cuja entrada x∗(t) e um sinal amos-trado com amostrador ideal (trem de impulsos de perıodo T ). A saıda y(t) desse sistema


sera discretizada para posterior tramento num computador digital, isto e apenas os va-lores y(kT ) serao considerados. Precisamos entao saber qual seria o sistema discretoequivalente que tem as sequencias x(kT ) como entrada e y(kT ) como saıda, como indicaa figura 7.21(b). O sistema discreto que procuramos possui as mesmas informacoes dosistema amostrado e alem disso a transformada Z pode ser aplicada diretamente.

(a)

G(z)y(kT )x(kT )

T

x(t) x∗(t)G(s)

y(t)|t=kT

(b)

Figura 7.21: Sistema amostrado e seu discreto equivalente

Note que a entrada do bloco analogico G(s) na figura 7.21(a) e um sinal amostradoonde os impulsos possuem areas de valores x(kT ) e a entrada do bloco discreto G(z) nafigura 7.21(b) e uma sequencia de valores x(kT ). A saıda y(t) figura 7.21(a) e analogicamas apenas os valores y(kT ) medidos nos instantes t = kT sao de interesse. Ja a saıdana figura 7.21(b) e a propria sequencia y(kT ).

A seguir apresentamos um procedimento para, dado o sistema analogico G(s), encontraro bloco discreto equivalente G(z). E equivalencia a qual nos referimos e no sentido deque os valores do sinal de entrada x(kT ) e saıda y(kT ) do sistema discreto sao os mesmosdo sistema contınuo x(t), y(t) nos instantes t = kT .

Seja entao g(t) = L−1[G(s)] a resposta impulsional do sistema representado por G(s).Daı, a resposta y(t) e dada pela convolucao contınua da entrada com a resposta impul-sional.

ENTRADA: x∗(t) =∑∞

k=0 x(kT )δ(t− kT ), x(t) = 0 para t < 0.

SAIDA: y(t) =[∑k

n=0 x(nT )δ(t− nT )]

∗ [g(t)], 0 ≤ t ≤ kT .

Sem perda de generalidade representamos y(t) no intervalo 0 ≤ t ≤ kT para algumvalor de k ≥ 0. Note que estamos supondo que G(s) representa um sistema causal eportanto g(t) = 0 para t < 0.


Desenvolvendo a expressao acima encontramos:

y(t) =k∑

n=0

x(nT )[δ(t− nT ) ∗ g(t)], 0 ≤ t ≤ kT

=k∑

n=0

x(nT ) g(t− nT )

Os valores de y(t) nos instantes t = kT sao dados por:

y(t)|t=kT = y(kT ) =k∑

n=0

x(nT )g(kT − nT ) (7.15)

que e a convolucao discreta da sequencia de entrada x(kT ) com a sequencia de saıday(kT ). Pela propriedade de convolucao da Transformada Z temos tambem que:

Z[y(kT )] = Z[x(kT )]Z[g(kT )] ; Y (z) = X(z)G(z) (7.16)

As equacoes (7.15) e (7.16) definem a relacao entre as sequencias x(kT ) e y(kT ) nafigura 7.21(b) que e o resultado desejado. Assim, para se obter o sistema discreto G(z)equivalente a um sistema contınuo G(s), calcule g(t) = L−1[G(s)] com a transformadainversa de Laplace. Em seguida calcule a sequencia g(kT ) fazendo t = kT na funcao g(t)obtida e finalmente calcule a funcao de transferencia do sistema discreto equivalente G(z)aplicando a transformada Z na sequencia g(kT ) obtida. Um procedimento mais simplespara a passar de G(s) para G(z) esta indicado na secao 7.4.4. A figura 7.22 mostra umresumo dos principais resultados de conversao de Laplace para Z. .

Exemplo 7.15 Considere o sistema amostrado da figura 7.21(a) com G(s) = α(s+a)(s+b)

.

Calcule a funcao de transferencia discreta G(z) entre a sequencia x(kT ) de entrada ey(kT ) de saıda indicada na figura 7.21(b).

Solucao: Podemos resolver esse problema de duas formas:

(1) Utilizando o Teorema do Resıduo apresentado na secao 7.4.4. Nesse caso temos

G(z) = R(P1) + R(P2)

R(P1) =

[

(s + a)G(s)z

z − esT

]

s=−a

=α

b− a

z

z − e−aT

R(P2) =

[

(s + b)G(s)z

z − esT

]

s=−b

=α

a− b

z

z − e−bT

⇒ G(z) =α

b− a

[z

z − e−aT− z

z − e−bT

]

que e a funcao de transferencia discreta desejada. Alem disso, com a notacao Y (z) =Z[y(kT )] e X(z) = Z[x(kT )] podemos escrever a relacao de entrada/saıda do sistemaY (z) = G(z)X(z).


Y (z) = Z[Y ∗(s)] = Z[G(s)X(s)]

Y ∗(s)G(s)

Y (s)X(s)

Y ∗(s)

X∗1 (s)

X∗2 (s)

X1(s)

X2(s)

Y (s) Y ∗(s)

X2(s)

X1(s)

Y ∗(s) = X∗1 (s) + X∗

2 (s)

ou de forma equivalente

Y (z) = Z[Y ∗(s)] = Z[X∗1 (s)] + Z[X∗

2 (s)]

Y (z) = X1(z) + X2(z)

X∗(s)X(s)G(s)

Y (s) Y ∗(s)

Y (z) = Z[Y ∗(s)] = Z[G(s)X∗(s)]

= Z[G(s)]Z[X∗(s)]

= Z[G(s)] X(z)

Figura 7.22: Resumo dos resultados de conversao de Laplace para Z


(2) Utilizando as expressoes (7.15) e (7.16). Nesse caso temos

g(t) = L−1[G(s)] = L−1

[α

b− a

(1

s + a− 1

s + b

)]

=α

b− a(e−at − e−bt)

Discretizando a resposta impulsional g(t) obtemos:

g(t)|t=kT = g(kT ) =α

b− a(e−akT − e−bkT )

tomando a Transformada Z da sequencia g(kT ) obtemos:

G(z) = Z[g(kT )] =α

b− a

(z

z − e−aT− z

z − e−bT

)

e finalmente temos:

Y (z) = G(z)X(z) Frequencia

y(kT ) = g(kT ) ∗ x(kT ) Tempo

A maioria dos sistemas amostrados possuem algum dispositivo sample-and-hold no seuinterior. A figura 7.23 mostra um sistema desse tipo. A funcao ZOH(s) e a funcao detransferencia do segurador de ordem zero como indicado em (7.4).

T

x∗(t)

Segurador

de Ordem

Zero

Sistemaa ser

Controlado

Amostrador

Conversor D/A com S/H

ZOH(s)x(kT )

Ideal

G(s)y(t)|t=kT

Figura 7.23: Sistema amostrado com conversor D/A e S/H

Da figura 7.23 vamos definir a funcao auxiliar H(s) = ZOH(s)G(s). O problema agorae encontrar a funcao de transferencia discreta H(z) que corresponde a funcao H(s). Paraisso vamos utilizar a notacao H(z) = Z[H(s)]. Lembrando que esT = z temos com (7.4)

H(z) = Z[ZOH(s)G(s)] = Z[1− e−Ts

sG(s)] = (1− z−1)Z

[G(s)

s

]

(7.17)

Exemplo 7.16 Considere o sistema da figura 7.23 onde G(s) = 1s(s+1)

. Calcule a funcao

de transferencia Pulsada entre a sequencia x(kT ) e a saıda y(t) nos instantes t = kTcom T = 1seg.

Solucao: Pelo resultado acima temos:

H(z) = Z[1− e−Ts

s

1

s(s + 1)

]

= (1− z−1)Z[

1

s2(s + 1)

]


Definindo F (s) = 1s2(s+1)

podemos calcular F (z) atraves do teorema dos resıduos.

F (z) = R(P1) + R(P2)

onde:

R(P1) =

[

(s + 1)F (s)z

z − eTs

]

s=−1

=z

z − e−1

e

R(P2) =

[d

ds

(

s2F (s)z

z − esT

)]

s=0

=

[d

ds

(1

s + 1

z

z − esT

)]

s=0

=

[ −1

(s + 1)2

z

z − esT+

1

s + 1

−z

(z − esT )2(−TesT )

]

s=0

= − z

z − 1+

Tz

(z − 1)2

Logo:

F (z) =z

z − e−1+

z

(z − 1)2− z

z − 1

e portanto:

H(z) = (1− z−1)F (z) =z − 1

z − e−1+

1

z − 1− 1

que e a funcao de transferencia desejada.

Exemplo 7.17 Considere o circuito RC do exemplo 7.2 onde o sinal de entrada e cons-tante por trechos. Represente o sinal constante por trechos como sendo a saıda de umsegurador de ordem zero como indicado na figura 7.24. Calcule a equacao recursiva querege o comportamento do sistema nos instantes t = kT . Calcule tambem a resposta docircuito para um degrau unitario.

T

e∗(t)

Segurador

de Ordem

ZeroIdeal

ZOH(s)e(kT ) e(t)

Circuito RC

G(s)

Amostrador

y(t)|t=kT

Figura 7.24: Circuito com entrada constante por trechos

Solucao: A funcao de transferencia Pulsada entre a sequencia de tensao de entradae(kT ) e a de saıda y(kT ) pode ser obtida com:

H(z) = Z[1− e−Ts

s

1

RCs + 1

]

= (1− z−1)Z

1

s(RCs + 1)︸︷︷︸

F (s)

= (1− z−1)Z[F (s)] = (1− z−1)[R(P1) + R(P2)]


R(P1) =[sF (s) z

z−esT

]

s=0= z

z−1

R(P2) =[(s + 1/RC)F (s) z

z−esT

]

s=−1/RC= −z

z−e−T/RC

⇒ H(z) = (1− z−1)

[z

z − 1− z

z − e−T/RC

]

=1− e−T/RC

z − e−T/RC

Como Y (z) = H(z)E(z) temos a = e−T/RC e b = 1− e−T/RC

Y (z)z − aY (z) = bE(z)

e pela propriedade de deslocamento obtemos:

y(kT + T )− ay(kT ) = be(kT )

que e a equacao recursiva desejada.

Para calcular a resposta ao degrau unitario temos E(z) = zz−1

e portanto Y (z) =H(z) z

z−1e por fracoes parciais obtemos a resposta ao degrau:

y(kT ) = Z−1[Y (z)] = Z−1[z

z − 1

b

z − a]

= 1− e−kT/RC , k = 0, 1, 2, . . .

Exemplo 7.18 Calcule a funcao de transferencia discreta dos sistemas indicados nafigura 7.25.

T

x(t) 1s+a

x∗(t) 1s+b

y(t)|t=kT

(a)

(b)

TT

x(t) 1s+a

x∗(t) y1(t) y∗

1(t) 1s+b

y2(t)|t=kT

Figura 7.25: (a) Dois sistemas amostrados em cascata; (b) Dois sistemas contınuos emcascata

Solucao: No caso da figura 7.25(a), a relacao entre as sequencias de entrada x(kT ) ea de saıda y1(kT ) e:

Z[y1(kT )] = Z[1

s + a]Z[x(kT )] ⇔ Y1(z) = Z[

1

s + a] X(z)


A relacao entre as sequencias de entrada y1(kT ) e a de saıda y2(kT ) e:

Z[y2(kT )] = Z[1

s + b]Z[y1(kT )] ⇔ Y2(z) = Z[

1

s + b] Y1(z)

Combinando as duas expressoes acima temos que a funcao de transferencia Pulsadaentre as sequencias x(kT ) e y2(kT ) e:

Y2(z) = Z[1

s + a]Z[

1

s + b] X(z)

Note que Z[ 1s+a

] = zz−e−aT e Z[ 1

s+b] = z

z−e−bT .

No caso da figura 7.25(b), a relacao entre as sequencias de entrada x(kT ) e a de saıday(kT ) e:

Y (z) = Z[

1

(s + a)(s + b)

]

X(z)

Assim concluımos que

Z[

1

(s + a)(s + b)

]

=1

b− a

(z

z − e−aT− z

z − e−bT

)

e portanto

Z[

1

(s + a)

]

Z[

1

(s + b)

]

6= Z[

1

(s + a)(s + b)

]

ou seja, os sistemas amostrados das figuras 7.25(a) e (b) sao diferentes pois suas respec-tivas funcoes de transferencia sao diferentes. Este resultado pode ser generalizado. Emgeral, para quaisquer funcoes G1(s) e G2(s)

Z[G1(s) G2(s)] 6= Z[G1(s)]Z[G2(s)]

Exemplo 7.19 Prove o resultado da equacao (7.17).

Solucao: Definindo H(s) como sendo a transferencia da sequencia x(kT ) para a saıday(t) temos:

H(s) =1− e−Ts

sG(s) =

G(s)

s− e−Ts G(s)

s

Definindo h0(t) = L−1[

G(s)s

]

e lembrando que L−1[e−TsG(s)/s] = h0(t − T ) a resposta

impulsional e: h(t) = L−1[H(s)] = h0(t)− h0(t− T )

Os valores de h(t) nos instantes t = kT formam a seguinte sequencia (resposta ao pulsounitario).

h(kT ) = h0(kT )− h0(kT − T )

Tomando a Transformada Z de h(kT ) vem

H(z) = Z[h(kT )] = Z[h0(kT )]−Z[h0(kT − T )]


Note que G(s) e um sistema fısico e portanto causal. Logo G(s)/s tambem e causal eportanto h0(t) = 0 para t < 0. Assim:

Z[h0(kT − T )] =∞∑

k=0

h0(kT − T )z−k = h0(−T ) + h0(0)z−1 + h0(T )z−2 + . . .

como h0(−T ) = 0 temos:

Z[h0(kT − T )] = z−1[h0(0) + h0(T )z−1 + h0(2T )z−2 + . . .

= z−1[∞∑

k=0

h0(kT )z−k] = z−1Z[h0(kT )]

e portanto obtemos o seguinte resultado:

para H(s) =1− e−Ts

sG(s)

temos H(z) = (1− z−1)Z[h0(kT )] = (1− z−1)Z[G(s)

s]

logo:Z[x(kT )]︸︷︷︸

X(z)

= H(z)Z[y(kT )]︸︷︷︸

Y (z)


7.9 Sistemas Realimentados

A ideia de sistemas discretos realimentados e analoga a de sistemas realimentadoscontınuos. Uma estrutura comum de controle de sistemas amostrados esta indicada nafigura 7.26(a). A figura 7.26(b) mostra uma reinterpretacao do sistema em (a) enfatizandoas funcoes executadas pelo computador e medidor digital. A figura 7.26(c) mostra osistema discreto correspondente aos casos (a),(b). Nos instantes t = kT o modelo discretopossui as mesmas entradas e saıdas do sistema contınuo indicado nos casos (a) e (b) ealem disso possui a vantagem de poder ser tratado diretamente pela transformada Z. Omodelo discreto depende, entre outros fatores, da localizacao dos conversores A/D e D/A.Para verificar essa afirmacao considere os sistemas da figura 7.27 e suponha que estamosinteressados nas funcoes de transferencia Pulsadas entre as sequencias r(kT ) e c(kT ) noscasos (a) e (b).

Vamos primeiro considerar o sistema da figura 7.27(a). Para encontrar a funcao detransferencia entre as sequencias e(kT ) e c(kT ) temos

C(z) = G(z)E(z) onde G(z) = Z[ZOH(s)G(s)]

e a funcao de transferencia entre e(kT ) e v(kT ) e:

V (z) = GH(z)E(z) onde GH(z) = Z[ZOH(s)G(s)H(s)]


G2(s)ZOH(s)

sinal de

r(t) -

+e(t)referencia e(kT )

modelo do

computador

programa doconversor

A/D

y(t)

com S/H

conversor D/A

modelo domodelo do

G1(z)

controlada

variavel

u(t)u(kT )

modelo do

controladosistema a ser

G2(s)ZOH(s)

(a)

sinal de

r(kT ) -

+referenciaG1(z)

y(kT )e(kT )G3(z)

(c)

u(kT )

(b)

sinal de

r(kT ) -

+referencia

com S/H

conversor D/A

modelo do

G1(z)u(t)u(kT )

modelo do

controladosistema a sercomputador

e(kT )

algorıtmo

modelo do

conversor A/Dmedidor com

y(kT )

variavelcontrolada

modelo discreto do conjuntoconversor D/A, sistema,medidor e conversor A/D

G3(z) = Z[ZOH(s) G2(s)]controladavariavelalgorıtmo

(eq. recursiva)

(eq. recursiva)

Figura 7.26: Sistema de controle digital e seu modelo discreto


G(s)

T

referencia

r(t)+

-

v(t)

ZOH(s)e∗(t)

T

e(t)

S/H

c∗(t)

ZOH(s)

variavel controlada

H(s)

medidor digitalsistema, controlador e

S/H

filtros auxiliares

medidor analogico

G(s)

H(s)

c∗(t)

variavel controladaT

referencia

r(t)+

-

v(t)

filtros auxiliares

sistema, controlador e

(b)

(a)ZOH(s)e∗(t)

T

e(t)

S/H

Figura 7.27: Sistema de controle digital com medidor analogico (a) e digital (b)

Como E(z) = R(z)− V (z) temos:

R(z) = E(z) + GH(z)E(z) = (1 + GH(z))C(z)

G(z)

e portanto:

C(z) =G(z)

1 + GH(z)R(z)

que expressa a relacao entre a sequencia r(kT ) e c(kT ) no sistema da figura 7.27(a).

Passemos agora ao sistema da figura 7.27(b). Para encontrar a funcao de transferenciaentre as sequencias e(kT ) e c(kT ) temos

C(z) = G(z)E(z) onde G(z) = Z[ZOH(s)G(s)]

e a funcao de transferencia entre c(kT ) e v(kT ) e:

V (z) = H(z)C(z) onde H(z) = Z[ZOH(s)H(s)]

Como E(z) = R(z)− V (z) temos:

R(z) =C(z)

G(z)+ H(z)C(z) = (1 + G(z)H(z))

C(z)

G(z)


e portanto:

C(z) =G(z)

1 + G(z)H(z)R(z)

que expressa a relacao entre a sequencia r(kT ) e c(kT ) no sistema da figura 7.27(b).

r(t) e(t)

T=1seg+

-

c∗(t)

T=1seg

1s(s+1)

e∗(t) Va(t)ZOH(s)

Va(t) Tensao de armadura do motor DCc(t) Posicao angular da carga acionada

r(t) Sinal de referencia

Figura 7.28: Controle digital de posicao angular atraves de um motor DC

Exemplo 7.20 Obtenha a resposta ao degrau unitario c(kT ) para o sistema de controlede posicao acionado por um Motor DC, como indicado na figura 7.28.

Solucao: De um exemplo anterior ja vimos que:

G(z) = Z[G(s)] =e−1z + 1− 2e−1

z2 − (1 + e−1)z + e−1=

0, 368z + 0, 264

z2 − 1, 368z + 0, 368

Logo:C(z)

R(z)=

0, 368z + 0, 264

z2 − z + 0, 632

Para uma entrada degrau unitario R(z) = zz−1

temos:

C(z) =0, 368z + 0, 264

z2 − z + 0, 632

z

z − 1

Por divisao polinomial obtem-se:

C(z) = 0, 368z−1 + z−2 + 1, 4z−3 + 1, 4z−4 + 1, 147z−5 + 0, 895z−6 + 0, 802z−7 + . . .

Problema 7.4 Com o auxılio de uma tabela de transformadas e da transformada inversaencontre a expressao analıtica para c(kT ) no exemplo 7.20.

Problema 7.5 E importante notar que o metodo da Transformada Z fornece os valoresda saıda c(t) apenas nos instantes de amostragem t = kT . O valor de c(t) entre instantesde amostragens consecutivos nao pode ser obtido pela Transformada Z . Com o auxılio deum programa de simulacao verifique que os resultados analıticos obtidos coincidem como resultado da simulacao do sistema de controle indicado no exemplo 7.20.


7.10 Escolha do Perıodo de Amostragem

A melhor escolha do perıodo de amostragem em sistemas de controle e um compromissoentre varios fatores normalmente contraditorios. Normalmente a performance de umcontrolador digital melhora com o aumento da frequencia de amostragem mas o custodo dispositivo tambem. Diminuicao da frequencia de amostragem significa mais tempodisponıvel para o calculo do sinal de controle em tempo real, o que possibilita a utilizacaode computadores mais lentos e portanto mais baratos. Para sistemas com conversoresA/D, menor frequencia de amostragem significa que menor velocidade de conversao enecessaria, o que tambem diminui o custo do dispositivo. Alem disso, normalmente umagrande frequencia de amostragem requer uma grande precisao na representacao binaria(numero de bits elevado), o que tambem aumenta o custo.

Varios fatores afetam a performance de controladores digitais e para que o sistema apre-sente uma performance mınima aceitavel se faz necessario uma frequencia de amostragemmınima muito superior aquela fornecida pelo Teorema da Amostragem.

Para o sistema de controle digital da figura 7.26 vamos definir ωb a frequencia de bandapassante desejada do sistema em malha fechada e ωa = 2π

Ta frequencia de amostragem

que precisamos utilizar para que a performance do sistema nao se deteriore demais emrelacao a do sistema desejado. A banda passante desejada do sistema deve ser escolhidaem funcao dos requisitos de rapidez de resposta desejados em malha fechada. Entao osseguintes fatores impoem um limite mınimo para que ωa que em muitas aplicacoes e dadopor ωa > 20ωb.

1. Seguir sinais de referencia com energia dentro da banda passante do sistema.

2. Tempo de acomodacao pequeno e pouca oscilacao.

3. Erros devido a perturbacoes e ruıdos que incidem sobre o sistema a ser controladodificultando o controle adequado.

4. Degradacao da estabilidade que aumenta com a diminuicao da frequencia de amos-tragem devido a sensibilidade a erros nos parametros do modelo. Isto e acentuadoainda mais em conversores com palavra de tamanho pequeno.

5. Introducao de prefiltros (analogicos) de amostragem para atenuar ruıdos de medidamas que tambem podem introduzir defasagens na variavel medida dificultando oprojeto do controlador em alguns casos.

Para maiores detalhes veja por exemplo (FRANKLIN, 1990),(OGATA, 1995).

7.11 Resposta em Frequencia

Como vimos anteriormente a Transformada Z de um sinal amostrado pode ser definidaa partir da Transformada de Laplace do sinal amostrado com a mudanca de variavel


z = eTs. Esta relacao mostra como os polos do plano s de Laplace sao mapeados para oplano z.

Exemplo 7.21 O sinal y(t) = e−atcos(bt), t ≥ 0 com aT = 0, 3567 e bT = π/4 resultana seguinte sequencia para T = 1seg.

y(kT ) = (e−3567)kcos(πk/4), k = 0, 1, 2, . . .

= 0, 7kcos(πk/4)

Calcule a relacao entre os polos de Y (s) e Y (z).

Solucao: Com o auxılio das transformadas de Laplace e Z podemos montar a seguintetabela:

Polos de Y (s) Polos de Y (z)s1 = −a− jb z1 = e−aT e−jbT = es1T

s2 = −a + jb z2 = e−aT ejbT = es2T

Pelo exemplo acima confirmamos que se uma transformada Y (s) possui todos os polosno semiplano negativo (estavel) entao Y (z) tera todos os polos dentro do cırculo unitario(estavel). Se algum polo de Y (s) esta sobre o eixo imaginario ele sera mapeado em Y (z)sobre o cırculo unitario e finalmente um polo de Y (s) no semiplano direito (instavel) seramapeado em Y (z) na regiao fora do cırculo unitario (instavel). Veja figuras 7.15-7.17.

Vimos tambem que a resposta senoidal em regime permanente de um sistema linearinvariante em Laplace e completamente determinada pela Funcao de Transferencia dosistema com s = jω0, como indicado na Figura 6.1. Em outras palavras, a reposta fre-quencial de um sistema contınuo se obtem fazendo s percorrer todo o eixo imaginario(s = jω). Como todos os pontos sobre o eixo imaginario sao mapeados sobre o cırculounitario da Transformada Z podemos concluımos que a resposta frequencial de um sis-tema discreto se obtem fazendo z percorrer todo o cırculo unitario, isto e, z = ejωT .

A seguir mostraremos que resultados analogos aos da figura 6.1 sao validos para siste-mas discretos.

Seja o sitema discreto abaixo:

F(z)X(z) Y(z)

Figura 7.29: Sistema discreto estavel

onde F (z) e estavel e a entrada e uma sequencia senoidal x(k) = cos(ω0kT ), k ≥0. A resposta em regime tambem sera uma cossenoide de mesma frequencia poremcom amplitude e fase que dependem de F (z) para z = ejω0T . Para mostrar isso vamosrepresentar F (ejω0T ) em termos de sua coordenada polar:

|F (ejω0T )| = M∠F (ejω0T ) = φ

⇒ F (ejω0T ) = Mejφ


Como X(z) = Z[x(k)] = 12

[z

z−ejω0T + zz−e−jω0T

]

temos:

Y (z) =1

2

[z

z − ejω0T+

z

z − e−jω0T

]

F (z)

Supondo F (z) estavel, isto e, que todos os seus polos estejam dentro do cırculo unitario,a resposta em regime permanente e dada pelos termos da expansao por fracoes parciaisde Y (z) correspondentes aos polos sobre o cırculo unitario, pois todos os outros termosirao desaparecer quando k →∞. Dessa forma, expandindo Y (z)/z por fracoes parciais edesprezando os termos associados aos polos dentro do cırculo unitario ficamos com:

Yss(z) =1

2

[z

z − ejω0TF (ejω0T ) +

z

z − e−jω0TF (e−jω0T )

]

Como F (ejω0T ) = Mejφ e uma constante e Z−1[

zz−a

]= ak vem:

yss(kT ) =1

2

[(ejω0kT )Mejφ + (e−jω0kT )Me−jφ

]

= Mcos(ω0Tk + φ)

onde M = |F (ejω0T )| e φ = ∠F (ejω0T ).

Assim de forma analoga a resposta frequencial de sistemas contınuos temos: onde

x(k) = cos(ω0kT )F(z)

yss(k) = Mcos(ω0kT + φ)

Figura 7.30: Resposta frequencial de um sistema discreto

M = |F (ejω0T )| e φ = ∠F (ejω0T ) (em regime).

Um resultado analogo pode ser obtido para entradas senoidais.

7.12 Problemas Complementares

Problema 7.6 O sinal de entrada do circuito na figura 7.31 e constante por trechos, istoe v(t) = v(kT ) para kT ≤ t < kT + T . Sendo T = 1 segundo pede-se: (i) a equacaorecursiva que define o comportamento entrada/saıda nos instantes t = KT ; (ii) a funcaode transferencia discreta; (iii) a resposta de estado zero ao degrau de 10 volts; (iv) aresposta de entrada zero para vc(0) = 1V, vc(T ) = 0V ; (v) a resposta total para umaentrada degrau unitario e condicoes iniciais vc(0) = 3V, vc(T ) = 0V .

Problema 7.7 O sistema da figura 7.32 mostra um esquema de controle de veloci-dade de um motor DC controlado pela armadura. O perıodo de amostragem e de T =


+

-

+

-

v(t) vc(t)

L = 1HR = 3Ω

C = 1F

Figura 7.31: Circuito RLC com entrada constante por trechos

1seg e o computador executa um algorıtmo de controle descrito pela equacao recursivau(kT )−0, 5u(kT −T ) = e(kT ). A indutancia de armadura do motor pode ser desprezadae portanto a dinamica da velocidade do motor em funcao da tensao de armadura podeser representada pela equacao diferencial w(t) + 2w(t) = va(t). Pede-se: (i) a funcaode transferencia discreta de malha fechada; (ii) verifique se o sistema e estavel e justi-fique sua resposta; (iii) a velocidade de regime permanente do motor quando o sinal dereferencia e um degrau unitario.

w(t)va(t)e(kT)r(t)

T

computador motor

-+

u(kT)S/H

Figura 7.32: Sistema de controle de velocidade

Problema 7.8 A resposta de um sistema linear invariante ao degrau de amplitude doise certas condicoes iniciais e y1(k) = 2 + 1, 4616(0, 0729)k − 2, 4616(0, 682)k onde k ≥ 0.Para um degrau unitario e o dobro das condicoes iniciais a resposta e y2(k) = 1 +2, 4102(0, 0729)k − 1, 4102(0, 682)k. Pede-se (no domınio do tempo):

(i) A equacao recursiva do sistema.

(ii) A resposta ao pulso unitario.

(iii) A resposta de estado zero na situacao 1.

(iv) A resposta de entrada zero na situacao 1.

(v) As condicoes iniciais da situacao 1.

Problema 7.9 Verifique se os sistemas da figura 7.33 sao estaveis. Justifique sua res-posta.

Problema 7.10 Seja x(k) uma sequencia onde x(k) = 0, ∀k < 0. Mostre que :

(a) Z[x(k + 1)] = Z[x(k)]z − x(0)z


(a)

x1 = x2

x2 = −x1 − x2 + e(b)

x1(k + 1) = x2(k)x2(k + 1) = −x1(k)− x2(k) + e(k)

ex1

sistema

Figura 7.33: Caracterizacao entrada/saıda dos sistemas

(b) Z[x(k − 1)] = Z[x(k)]z−1

Problema 7.11 Considere o sistema da figura 7.34. Seja x(t) um sinal de tensao cons-tante por trechos, isto e, x(t) = x(kT ) para kT ≤ t < kT + T . Pede-se:

(a) A funcao de transferencia pulsada entre x(kT ) e v(kT ).

(b) A equacao recursiva que descreve o comportamento dinamico entre x(kT ) e v(kT ).

(c) A resposta de entrada zero para v(0) = 1V .

(d) A resposta de estado zero para x(kT ) = e−2kT , x(k) = 0, ∀k < 0.

C

-

+R

x(t)v(t)

+

-

Figura 7.34: Entrada: tensao x(t) ; saıda: tensao v(t) ; R=1 Ω, C=1 F

Problema 7.12 Calcule a resposta y(kT ) de regime permanente no sistema da figura7.35.

a) para x(k) um degrau unitario.

b) para x(k) = sen(10k)

+

- T=1seg

1s+1

1s+2

x(t)y(t)

ZOH(s)

T=1seg

Figura 7.35: Sistema de controle

Bibliografia

K. OGATA, Engenharia de Controle Moderno, Prentice Hall 1993.

K. OGATA, Discrete Time Control Systems, Prentice Hall, 1995.

G.F.Franklin, J.D.Powell, M.L.Workman, Digital control of Dinamic Systems,Addison-Wesley, 1990.

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