Apostila Prog Linear

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INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL 1 - INTRODUÇÃO Apresentação Esta apostila é derivada de uma compilação de diversas fontes, como: notas de aula do professor Otoniel Marcelino de Medeiros (grande parte), parafrases e citações de trechos de livros (principalmente do Lieberman), e uma contribuição mínima minha. Carlo Ralph De Musis, M.Sc. 1.1 - O QUE É PESQUISA OPERACIONAL A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada cujo objetivo é a melhoria da performance em organizações, ou seja, em sistemas produtivos usuários de recursos materiais, financeiros, humanos e ambientais (os chamados "meios de produção"). Ela trabalha através da formulação de modelos matemáticos a serem resolvidos com o auxílio de computadores, sendo feita em seguida a análise e a implementação das soluções obtidas. Dessa forma, a técnica é precedida pela modelagem e seus resultados são sujeitos à análise de sensibilidade. A modelagem tem muito de arte e exige o desenvolvimento de uma capacidade (em grande parte não lógica) de interação com o problema, seus agentes e seu meio ambiente. O modelo matemático, que é uma simplificação, dificilmente pode levar em conta muitos aspectos não qualificáveis que aparecem no exame do problema e por isso a análise de sensibilidade deve ser realizada para avaliar o seu significado e a sua influência. Enfim, a implementação da decisão reata o contato com a realidade do problema e com o meio no qual ele se encontra inserido. O campo de atuação da PO se estende da produção de matérias-primas e bens de consumo ao setor de serviços e às aplicações de interesse social como as relacionadas à saúde, à educação e à psico-sociologia, no que concerne a modelos organizacionais e descritivos. Esta multiplicidade de aplicações aponta para a necessidade de se evitar a estreiteza da especialização, o que levou a Área a adotar uma orientação metodológica, facultando a seus alunos, tanto como a seus docentes/pesquisadores, uma ampla gama de oportunidades em termos de novos problemas. Esta orientação foi adotada no trabalho didático associado à formação de mestres, resultando daí uma formação bastante eclética que procura abranger os diversos aspectos do mercado de trabalho no que se refere ao instrumental teórico. Segundo Hillier/Lieberman no seu livro Introdução À Pesquisa Operacional, “Em resumo, pesquisa operacional diz respeito `a tomada de decisão ótima em, e modelação de, sistemas determinísticos que se originam na vida real.” 1.2 - ORIGEM DA PESQUISA OPERACIONAL A pesquisa operacional (PO) teve suas origens na II Guerra Mundial, como resultado do trabalho de equipes multidisciplinares na busca de soluções para problemas operacionais e de alocação de recursos escassos. Após o final do conflito, essas técnicas começaram a ser aplicadas a diversos problemas de gerenciamento de atividades produtivas e à análise de situações complexas envolvidas nessas atividades, o que permitiu grande economia no uso dos meios de produção e popularizou o seu uso nesta área de conhecimento. Em vista disso, a engenharia de produção, dentre todas as especialidades tecnico-científicas, é a que mais extenso uso faz da PO. Ao longo dos anos a teoria e as aplicações da PO se diversificaram, fazendo dela, hoje em dia, um campo em franca expansão cujos usos abrangem indústria, comércio, serviços e setores governamentais. 1.3 - O IMPACTO DA PESQUISA OPERACIONAL A Pesquisa Operacional tem tido um grande impacto crescente na administração de empresas nos anos recentes. Tanto o número quanto a variedade de suas aplicações 1

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INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL 1 - INTRODUÇÃO

Apresentação Esta apostila é derivada de uma compilação de diversas fontes, como: notas de aula do professor Otoniel Marcelino de Medeiros (grande parte), parafrases e citações de trechos de livros (principalmente do Lieberman), e uma contribuição mínima minha. Carlo Ralph De Musis, M.Sc. 1.1 - O QUE É PESQUISA OPERACIONAL

A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada cujo objetivo é a melhoria da

performance em organizações, ou seja, em sistemas produtivos usuários de recursos materiais, financeiros, humanos e ambientais (os chamados "meios de produção"). Ela trabalha através da formulação de modelos matemáticos a serem resolvidos com o auxílio de computadores, sendo feita em seguida a análise e a implementação das soluções obtidas. Dessa forma, a técnica é precedida pela modelagem e seus resultados são sujeitos à análise de sensibilidade.

A modelagem tem muito de arte e exige o desenvolvimento de uma capacidade (em grande parte não lógica) de interação com o problema, seus agentes e seu meio ambiente. O modelo matemático, que é uma simplificação, dificilmente pode levar em conta muitos aspectos não qualificáveis que aparecem no exame do problema e por isso a análise de sensibilidade deve ser realizada para avaliar o seu significado e a sua influência. Enfim, a implementação da decisão reata o contato com a realidade do problema e com o meio no qual ele se encontra inserido.

O campo de atuação da PO se estende da produção de matérias-primas e bens de consumo ao setor de serviços e às aplicações de interesse social como as relacionadas à saúde, à educação e à psico-sociologia, no que concerne a modelos organizacionais e descritivos. Esta multiplicidade de aplicações aponta para a necessidade de se evitar a estreiteza da especialização, o que levou a Área a adotar uma orientação metodológica, facultando a seus alunos, tanto como a seus docentes/pesquisadores, uma ampla gama de oportunidades em termos de novos problemas. Esta orientação foi adotada no trabalho didático associado à formação de mestres, resultando daí uma formação bastante eclética que procura abranger os diversos aspectos do mercado de trabalho no que se refere ao instrumental teórico.

Segundo Hillier/Lieberman no seu livro Introdução À Pesquisa Operacional, “Em resumo, pesquisa operacional diz respeito `a tomada de decisão ótima em, e modelação de, sistemas determinísticos que se originam na vida real.”

1.2 - ORIGEM DA PESQUISA OPERACIONAL

A pesquisa operacional (PO) teve suas origens na II Guerra Mundial, como resultado do trabalho de equipes multidisciplinares na busca de soluções para problemas operacionais e de alocação de recursos escassos.

Após o final do conflito, essas técnicas começaram a ser aplicadas a diversos problemas de gerenciamento de atividades produtivas e à análise de situações complexas envolvidas nessas atividades, o que permitiu grande economia no uso dos meios de produção e popularizou o seu uso nesta área de conhecimento. Em vista disso, a engenharia de produção, dentre todas as especialidades tecnico-científicas, é a que mais extenso uso faz da PO. Ao longo dos anos a teoria e as aplicações da PO se diversificaram, fazendo dela, hoje em dia, um campo em franca expansão cujos usos abrangem indústria, comércio, serviços e setores governamentais. 1.3 - O IMPACTO DA PESQUISA OPERACIONAL

A Pesquisa Operacional tem tido um grande impacto crescente na administração de empresas nos anos recentes. Tanto o número quanto a variedade de suas aplicações

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continuam a crescer rapidamente. Algumas de suas técnicas envolvem idéias bastante sofisticada em ciências políticas, matemática, economia, teoria da probabilidade e estatística. Como também sendo usada amplamente em outros tipos de organizações, inclusive negócios e indústria. Segundo Hillier quase todas as doze maiores empresas do mundo, e uma considerável proporção das organizações indutriais pequenas, têm grupos de pesquisa operacional bem estabelecidos. Muitas indústrias, inclusive a de aviação e mísseis, automóveis, comunicações, computadores, energia elétrica, eletrônica, alimentos, metalúrgica, mineração, papel, petróleo e transporte, têm feito uso extensivo da pesquisa operacional. Mesmo instituições financeiras, agências governamentais e hospitais têm aumentado rapidamente o uso que fazem da pesquisa operacional.

Vejamos alguns dos problemas que têm sido resolvidos por técnicas particulares de

pesquisa operacional: - PROGRAMAÇÃO LINEAR: tem sido usada com sucesso na solução de problemas

relativos à alocação de pessoal, mistura de materiais, distribuição, transporte, carteira de investimento.

- PROGRAMAÇÃO DINÂMICA: tem sido aplicada também com sucesso a áreas como planejamento de despesas de publicidade, distribuição do esforço de vendas e programação de produção.

- TEORIA DAS FILAS: tem tido aplicação na solução de problemas relativos a congestionamento de tráfego, máquinas de serviços sujeitas a quebra, determinação do nível de uma força de serviço, programação do tráfego aéreo, projetos de represas, programação de produção e operação de hospitais.

Outras técnicas de pesquisa operacional, tais como teoria de estoque, teoria dos

jogos e simulação, também têm sido aplicadas com sucesso a diversos contextos. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL 2 - APLICAÇÃO 2.1 - UM CASO PRÁTICO

Apresentamos um exemplo que é uma aplicação direta de Teoria das Filas / Simulação, desenvolvido na UFRJ e publicado na INTERNET (www.producao.ufrj.br), uma busca pela otimização lucrativa melhorando a qualidade dos serviços em um posto de gás natural no Rio de Janeiro - RJ.

SIMULAÇÃO COMO FERRAMENTA PARA ANÁLISE DE NÍVEL DE SERVIÇO E CAPACIDADE DE ATENDIMENTO EM UM POSTO DE GÁS NATURAL

TRABALHO DESENVOLVIDO POR: Peter Wanke

Centro de Estudos em Logística - COPPEAD/UFRJ Edifício do COPPEAD, Cidade Universitária - Ilha do Fundão, Rio de Janeiro-RJ.

Cep.21949-000

Leonardo Barros, Milene Cauzin Centro de Estudos em Logística - COPPEAD/UFRJ

Edifício do COPPEAD, Cidade Universitária - Ilha do Fundão, Rio de Janeiro-RJ. Cep.21949-000

2.2 - A problemática do abastecimento Conforme revelado por diversas pesquisas, o Gás Natural de Petróleo (GNP) é o combustível automotor de mais baixo custo por quilômetro rodado. Sua venda foi regulamentada em 1991, atendendo, assim, aos anseios de um grande número de frotistas e de taxistas, possibilitando a conversão de seus veículos ao gás. Com o decorrer do tempo, os poucos postos inaugurados mostraram-se insuficientes para atender à crescente demanda, concorrendo para deterioração dos níveis de serviço (medidos em TEMPO DE ESPERA do taxi na FILA e TAMANHO DE FILA).

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As principais motivações deste trabalho são: avaliar o atual nível de serviço de um posto de abastecimento de GNP: determinar métodos para aumentar produtividade e quantificar incrementos no volume de vendas. Dessa forma, são vários os fatores que concorrem para este cenário:(a) escassez de oferta do serviço: somente 5 postos distribuem gás natural no Rio de Janeiro; (b) elevados investimentos necessários para montagem de um posto de serviço, principalmente em compressores, demais equipamentos e obras civis, da ordem de um milhão de dólares; (c) métodos empregados nas operações de abastecimento ainda não estudados cientificamente, bem como os procedimentos de segurança que tornam o atendimento mais demorado, obrigando também cada táxi conter somente um tanque para carga de gás, o que reduz a autonomia. Os fatores acima mencionados evidenciam um sistema complexo, de difícil tratamento analítico, justificando-se, portanto, a aplicação de simulação computacional para estudar o tamanho de filas, bem como o comportamento característico do sistema face à demanda. 2.3 - Modelagem do problema Uma característica da fonte de chegada ou população potencial é seu "tamanho", ou a quantidade potencial de táxis a gás que podem abastecer no posto. Como são poucos os postos de gás natural na cidade do Rio de Janeiro e como os veículos movidos a GNP apresentam menor autonomia, podemos supor uma fonte de chegadas infinitas. Por outro lado, o padrão estatístico dentro do qual os clientes são gerados no tempo foi suposto POISSON. Foi medido, portanto, quantos táxis chegavam em média a cada intervalo duas horas e, aplicando teste de aderência Qui-quadrado, a DISTRIBUIÇÃO DE POISSON foi aceita a 5% de significância. Deve-se ressaltar que para avaliar as taxas de chegada em faixas horárias não levantadas, como por exemplo de madrugada, recorreu-se a experiência do operador do posto, que a estimou em 1 táxis a cada 10 minutos. Para levantar os tempos de abastecimento, fragmentamos este processo em várias atividades principais, desde o momento em que o táxi entra no sistema até o momento em que ele o deixa. Foram identificadas quatro atividades principais, conforme a tabela abaixo:

Atividade Início Fim Inércia e deslocamento ao vagar a bomba táxi parado ao lado da bomba c/

motor desligado Preparação do abastecimento

ausência de movimento

abertura de válvula do dispenser

Abastecimento abertura da válvula observar fim de abastecimento no marcador

Preparação da saída do posto

fim do abastecimento início do deslocamento

Descrição das atividades básicas do posto de gás natural Foram coletadas diversas amostras da duração dessas atividades, ao longo de diversas faixas horárias, estabelecendo-se um tempo médio e seus respectivos desvios-padrão. Evidenciou-se, mediante Anova para três amostras de tamanhos diferentes e uma classificação (10:00 - 11:00 hs, 11:40 - 12:40 hs e 14:50 - 16:50 hs), que os tempos médios de abastecimento diferem significativamente, ao nível de 5%, com a equipe de frentistas,. havendo mudança de turnos de trabalho às 7:00, 15:00 e às 23:00. Finalmente, foi constatado estatisticamente que a emissão da nota fiscal para cooperativas de taxistas aumenta a permanência do táxi no posto. 2.4 - Modelagem computacional Foi adotado como ferramenta de trabalho a simulação digital. A simulação tem como objetivos tornar viável a realização de testes na configuração do posto, sem que se torne necessário nenhuma mudança real na estrutura do mesmo. Basicamente, a

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simulação compreende duas etapas: a modelagem do problema e a simulação computacional. Para modelagem do sistema foi utilizado o pacote de simulação Simul, que é, basicamente, um conjunto de subrotinas que organiza e gerencia um conjunto de atividades que deve começar sob certas condições e terminar após certo período de tempo. No processo de modelagem do problema foi utilizado o conceito do Diagrama do Ciclo de Atividades (DCA), que traz uma informação geral do sistema simulado e é recomendado aos usuários do pacote de simulações em questão. O DCA é uma representação esquemática do modelo de simulação e possui três conceitos básicos: entidade, atividade e fila, conforme a tabela apresentada a seguir :

Entidade Atividade Fila Preserva sua identidade durante todo o período de simulação. Todas as

entidades de uma mesma classe têm

comportamento similar.

Estado ativo durante o qual uma ou mais entidades trabalham

juntas por um certo período de tempo. Durante a execução de

uma atividade as entidades envolvidas ficam indisponíveis

Estado passivo de uma entidade enquanto aguarda condições

favoráveis para participar de uma

atividade. Cada fila comporta apenas uma

classe de entidade.

Descrição dos conceitos básicos de um D.C.A. A figura abaixo representa o D.C.A. do sistema atual do posto e na tabela 4 são apresentadas as atividades relacionadas, as entidades que participam delas e seus atributos, bem como as filas pelas quais as entidades passam.

R u aD e s l o c a m e n t o E s p e r a C h e g a d a

F e c h a d a

O c i o s o

A b a s t e c i m e n t o

B i c oo c i o s o

E s pI n i _ A b

T a x i

B i c o

F r e n t i s t a

P o r t a

Diagrama do Ciclo de Atividades Baseado nos tempos de operação e nas taxas de chegada, foram programados os eventos que simulariam as atividades do posto, utilizando, para tal, o conceito de geração de variáveis aleatórias (normal e exponencial), com médias e desvios padrão calculados à partir dos dados reais. O número de bicos pode ser escolhido pelo usuário do sistema e varia entre 3 e 5. Já o número de frentistas foi estabelecido como de n, onde n é a metade do número de bicos. Na verdade, um frentista opera dois bicos simultaneamente, sem sobrecarga de trabalho. Ou seja, um frentista, quando está participando de uma atividade pode também participar de outra ao mesmo tempo, sem que sua performance seja prejudicada. Além disso, o sistema é capaz de realizar simulações para vários dias consecutivos, sem re-inicialização de variáveis e de coletar os dados estatísticos por faixas horárias, facilitando assim futuras análises. 2.5-Projeto de experimentos Foram simuladas três configurações básicas alternativas (experimentos) ao atual funcionamento do posto. São elas: (a) emissão automática de nota fiscal por dispositivo eletrônico, atualmente, vinte por cento dos táxis que abastecem no posto diariamente exigem nota fiscal; (b) suposição que o tempo médio de abastecimento diário alcançasse

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o nível do melhor tempo médio coletado por amostragem, mediante treinamento das equipes de frentistas; (c) emissão automática de nota fiscal e melhor equipe de frentistas. Vejamos, agora, os ganhos no nível de serviço ao taxista avaliados através de simulações dessas configurações alternativas. 2.6 - Emissão automática de nota fiscal A simulação desta alternativa para 50 dias consecutivos, apresentou reduções consideráveis no tamanho médio de fila e no tempo médio de espera na fila, em especial nas faixas horárias de pico, (15 às 17, de 17 às 19 e de 19 às 21 horas) conforme podemos verificar no gráfico abaixo, comparativamente à configuração atual de operação do posto. Reduções expressivas em faixas horárias de menor movimento (0 às 5, 5 às 7, 7 às 9 e 21 às 24 horas) devem ser analisadas com cautela, já que o tamanho médio de fila por intervalo não é suficientemente grande a ponto de se estabelcer uma diferença significativa. Esta ressalva esta implícita em todas as análises feitas daqui por diante.

0 À 5 5 À 7 7À 9 9 À 11 11 À 13 13 À 15 15 À 17 17 À 19 19 À 21 21 À 24Faixas horárias

0

5

10

15

20

25

30

0 À 5 5 À 7 7À 9 9 À 11 11 À 13 13 À 15 15 À 17 17 À 19 19 À 21 21 À 24Faixas horárias

emissão automáticaposto atual

Tam

anho

méd

io d

e fil

a

Gráfico comparativo de tamanho médio de fila (emissão automática)

2.7 - Melhor equipe de frentistas sem emissão automática de nota fiscal Esta configuração apresenta melhorias de nível de serviço muito mais expressivas, que a anterior para os horários de pico (15 às 17, 17 às 19 e 19 às 21:00). Para a faixa horária de 17 às 19:00 hs, sobretudo, a simulação indicou uma redução dramática de 80% no tamanho médio da fila de espera, conforme o gráfico abaixo que indica uma queda de 25 para 5 táxis em média.

0 À 5 5 À 7 7À 9 9 À 11 11 À 13 13 À 15 15 À 17 17 À 19 19 À 21 21 À 24Faixas horárias

0

5

10

15

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25

30

Tam

anho

méd

io d

e fil

a

0 À 5 5 À 7 7À 9 9 À 11 11 À 13 13 À 15 15 À 17 17 À 19 19 À 21 21 À 24Faixas horárias

melhor equipe defrentistasposto atual

Gráfico comparativo de tamanho médio de fila (frentistas)

2.8 - Melhor equipe de frentistas com emissão automática de nota fiscal

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Page 6: Apostila Prog Linear

Esta última configuração é a que apresenta maiores ganhos para os horários de

pico; em particular, mais uma vez, para o horário de 17 às 19:00 hs, conforme nos mostra o gráfico abaixo.

Tam

anho

méd

io d

e fil

a

0 À 5 5 À 7 7À 9 9 À 11 11 À 13 13 À 15 15 À 17 17 À 19 19 À 21 21 À 24Faixas Horárias

0

5

10

15

20

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0 À 5 5 À 7 7À 9 9 À 11 11 À 13 13 À 15 15 À 17 17 À 19 19 À 21 21 À 24Faixas Horárias

melhor equipe defrentistas e emissãoautomáticaposto atual

Gráfico comparativo de tamanho médio de fila (dois parâmetros) 2.9 - Quantificação do aumento do volume anual de vendas Apresentaremos os ganhos decorrentes da implantação das configurações descritas acima. Os pressupostos básicos para que tal potencial de vendas se converta em aumento de receita são: (a) a demanda aumentará até que o nível de serviço da nova configuração se iguale ao nível da configuração antiga (em termos de tempo de espera), estabilizando-se a partir daí; (b) população (número potencial de táxis) infinita. Desta forma podemos estimar o aumento da demanda em número de táxis/dia em

função do tamanho de fila desejado (nível de serviço) para a faixa horária mais crítica. 2.10 - Emissão automática de nota fiscal É fácil perceber que, para o tamanho médio de fila voltar a 25 táxis, é necessário

um aumento na demanda da ordem de 3%. Isto significa apenas mais treze carros no sistema ao longo do dia e um aumento no volume anual de vendas da ordem de trinta mil reais. O parágrafo acima traduz uma informação de grande relevância: o posto estava

em seu ponto crítico de saturação, onde o impacto dos experimentos testados se traduziu em consideráveis aumentos de produtividade. Entretanto, um pequeno aumento no volume de carros atendidos diariamente trouxe de volta o sistema ao seu estado de saturação 2.11 - Melhor equipe de frentistas sem emissão automática de nota fiscal Este experimento apresentou maiores ganhos de produtividade que o anterior. Em

outras palavras, numa situação de operação próxima a saturação, o posto é mais sensível ao treinamento de seus recursos humanos, em termos de aumentos de produtividade, que a implementação da emissão automática de nota fiscal.. É fácil perceber que, para o tamanho médio de fila voltar a 25 táxis, é necessário

um aumento na demanda da ordem de 16%. Isto significa mais setenta e oito carros no sistema ao longo do dia e um aumento no volume anual de vendas da ordem de cento e sessenta mil reais. 2.12 -Melhor equipe de frentistas com emissão automática de nota fiscal Conforme esperado, esta configuração apresenta como característica principal um

aumento de produtividade que não é equivalente a soma dos aumentos de produtividade dos outros experimentos anteriores. Se com a emissão automática de nota fiscal o tamanho médio de fila para a pior

faixa horária caiu de 25 para 15 carros, e com a melhor equipe o tamanho médio cai de 25 para 5 carros, a execução dois experimentos simultaneamente não significa necessariamente que a fila vá cair a zero carro. Há interferências entre os experimentos, e um estudo mais detalhado foge do escopo de nosso trabalho.

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É fácil perceber que para o tamanho médio de fila voltar a 25 táxis, é necessário um aumento na demanda da ordem de 18%. Isto significa mais oitenta e oito carros no sistema ao longo do dia e um aumento no volume anual de vendas da ordem de cento e oitenta mil reais.

611

587

562

538

513

490

Volumediário

(carros)Aumentodemanda

0%

5%

10%

15%

20%

25%Somente emissãoautomática Somente melhorequipeMelhor equipe e emis. automática

Tamanho médio de fila

Aum

ento

do

volu

me

anua

l de

vend

as(R

$100

0)

0

40

80

120

160

200

240

0 5 10 15 20 25 30 35

Somente emissãoautomáticaSomente melhor equipeMelhor equipe, emissãoautomática

Gráfico comparativo dos três experimentos

Conclusão

Este trabalho, através do uso de simulação computacional, avaliou soluções alternativas para aumentar a produtividade num sistema saturado, sem perspectivas imediatas de aumento na capacidade de atendimento. Procurou-se avaliar o impacto destas configurações alternativas em termos de nível de serviço ao taxista (tamanho de fila e tempo de espera), bem como estimar um provável aumento no volume anual de vendas. Bibliografia * Costa Neto, Pedro Luiz de Oliveira, “Estatística”, Editora Edgard Blücher, São Paulo, 1977. * Hillier, Frederick S., “Operations Research”, Holden-Day, San Francisco, 1974 * Saliby, Eduardo; Pimentel, Milton, Relatório COPPEAD nº 255 - Simul: Um Sistema Computacional para a Simulação a Eventos Discretos em Turbo Pascal, Rio de Janeiro, 1991.

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3.1) PROGRAMAÇÃO LINEAR Programação Linear é uma técnica de otimização bastante utilizada na resolução

de problemas que tenham seus modelos representado por expressões lineares. Pela sua simplicidade e a possibilidade de aplicação em uma considerável diversidade de problemas, tornou-se um recurso bastante difundido.

Podemos assim resumir a técnica de Programação Linear: - Conjunto de restrições

Problema RESOLUÇÃO - Função Objetivo

Chamamos de conjunto de restrições, as expressões contornais do problema, ou

seja, todas as disponibilidades e limitações levantadas do problema, numa linguagem matemática comparativa: desigualdades ou igualdades (<, = ou >). A função objetivo, é obtida com as mesmas variáveis das restrições, com o objetivo de ser maximizada ou minimizada, com a resolução do sistema restritivo. Quanto a resolução, pode ser: a) Problema com duas variáveis - Gráfica - Análise matemática - Algoritmo (Método Simplex). b) Problema com um número qualquer de variáveis - Análise matemática - Algoritmo (Método Simplex)

Por questão prática sempre procuramos uma resolução dos problemas com o uso de aplicativos computacionais. Pela Internet se consegue bons aplicativos, por exemplo, o aplicativo, Linear programming, por ser obtido pela Internet, no seguinte endereço:

http://www.producao.ufrj.br

Inicialmente mostraremos um problema dentro de uma visão geral, ou seja, partindo

do enunciado, montamos as restrições, a função objetivo e em seguida processamos a resolução gráfica (apenas com duas variáveis). 3.1.2) APLICAÇÃO 1: RESOLUÇÃO GRÁFICA

Um fazendeiro deseja otimizar as plantações de arroz e milho na sua fazenda. O fazendeiro quer saber as áreas de arroz (x1) e milho (x2) que devem ser plantadas para que o seu lucro nas plantações sejam o máximo. O seu lucro por unidade de área plantada de arroz é 5 u.m., e por unidade de área plantada de milho é 2 u.m.

As áreas plantadas de arroz e milho não devem ser maiores que 3 e 4 respectivamente. Cada unidade de área plantada de arroz consome 1 homem-hora. Cada unidade de área plantada de milho consome 2 homens-hora. O consumo total de homens-hora nas duas plantações não deve ser maior que 9. SOLUÇÃO: Chamemos de x1 a área a ser plantada de arroz e x2 a de milho. Do enunciado concluímos as restrições:

x1 ≤ 3 (I) x2 ≤ 4 (II) sendo a função objetivo: Zmáx = 5x1 + 2x2

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x1 + 2x2 ≤ 9 (III) Como o problema tem apenas duas variáveis (x1 e x2), podemos resolve-lo graficamente, conforme a Fig. 1.

A Fig. 1 é o resultado do lançamento gráfico das retas (I), (II) e (III); Conseqüentemente determinamos os pontos vértices A(00), B(3,0), C(3,3), D(1,4) e E(0,4). Como a função objetivo é Z = 5x1 + 2x2, que aplicada em cada vértice do polígono restritivo nos fornece os seguintes valores:

ZA(0,0) = 0

ZB (3,0) = 15 ZC(3,3) = 21 Verifica-se que o ponto “C” é o que fornece o maior ZD(1,4) = 13 valor para a função objetivo (Zmáx = 21). ZE(0,4) = 8

Concluímos que o lucro máximo do fazendeiro de 21 unidades monetárias, desde que plante 3 unidades de área de arroz e 3 unidades de área de milho. 3.1.3) APLICAÇÃO 2: MÉTODO SIMPLEX (APLICATIVO COMPUTACIONAL)

Procuraremos examinar apenas um dos aspectos deste problema complexo, a saber, o do corte econômico de laminado em séries de peças de várias configurações.

Dadas as variantes de corte tecnologicamente aceitáveis (a escolha destas sendo um problema técnico à parte) a otimização propriamente dita estabelece a freqüência de emprego de cada uma das variantes de corte que minimiza o refugo global.

Suponhamos que se tenha, no intuito de obter 360 unidades da peça A e 1800 unidades da peça, proposto as variantes de corte I a V (figura abaixo) do laminado disponível 4x12.

É fácil constatar que para cada uma destas variantes de corte de uma placa de

laminado o número de peças e o volume de refugo (em unidades de área) se darão pelo quadro:

VARIANTES DE CORTE

PEÇA I II III IV V “A” 4 3 1 0 2 “B” 0 4 9 12 7

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REFUGO 12 5 3 0 2 Se x1, x2, x3 e x4 (que corresponde ao número de variantes de corte) denotarem o

número de placas de laminado cortadas de acordo com as variantes I, II, III, IV e V, respectivamente, as condições do problema fornece as restrições:

4x1 + 3x2 + x3 + 2x5 = 360 (1) 4x2 + 9x3 + 12x4 + 7x5 = 1800 (2) Ë lógico que xi será o número de chapas cortadas para cada alternativa, que

obedece a uma matriz de corte. O melhor plano de corte é o que minimiza o refugo total, que de acordo com o

quadro das alternativas de corte, podemos montar a função objetivo: Zmín = 12x1 + 5x2 + 3x3 + 2x5 (3) Com as restrições (1), (2) e a função objetivo (3), podemos resolver o problema

usando o método SIMPLEX. No nosso caso usamos um aplicativo computacional, que é exatamente o método Simplex e encontramos a solução deste problema de programação linear, sendo:

x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0 x4 = 45 (Solução) x5 = 180 Zmín = 360

O sentido prático da solução é que a alternativa IV será usada 45 vezes, ou seja 45

chapas serão cortadas conforme a matriz IV, e a alternativa V, 180 vezes. Com isto temos a segurança técnica, ou seja a otimização deste plano de produção que no final teremos um desperdício menor possível, ou seja, 360 unidades de área.

3.1.4 ) CONCLUSÃO

Na realidade usamos um modelo de programação linear, para otimização de cortes de chapas. Vê-se que é necessário traduzir o problema prático numa linguagem matemática, ou seja, num conjunto restritivo do primeiro grau, e uma função objetivo. Resolver o problema é encontrar as variáveis do problema de tal forma que a função objetivo seja satisfeita, no nosso caso, uma minimização.

A solução do sistema de restrições satisfazendo a função objetivo (maximização ou

minimização) é com o Algoritmo Simplex, para maior facilidade, na forma de aplicativo computacional. O aplicativo usado foi o QBS (The Quantitative Business Systems).

EXERCÍCIO - 4.1.5 1) Resolver graficamente (para todas as questões x1 e x2 ≥ 0): 1.1 ) Max Z = x1 + 2x2, sendo:

-x1 + 2x2 ≤ 12 x2 ≤ 8 x1 + 3x2 ≤ 33 x1 + x2 ≤ 19 x1 ≤ 15

1.2) Max Z = 3x1 + 7x2, para:

-3x1 + x2 ≤ 9 x2 ≤ 12 3x1 + 7x2 ≤ 105 x1 + x2 ≤ 23 x1 ≤ 18

1.3) Max Z = 3x1 + 2x2

-2x1 + 3x2 ≤ 8 -x1 + 3x2 ≤ 13 x2 ≤ 8

1.4) Max Z = x1 + 2x2

-3x1 + x2 ≤ 6 -3x1 + 2x2 ≤ 15 -2x1 + 3x2 ≤ 30

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Page 11: Apostila Prog Linear

1.5) Max Z = -x1 + 2x2

x1 - x2 ≥ -1 -0,5x1 + x2 ≤ 2

1.7) Max Z = x1 + x2

x1 - x2 ≥ 0 3x1 - x2 ≤ -3

1.9) Min Z = 2x1 - 3x2

-x1 + x2 ≤ 6 x1 + 3x2 ≤ 42 -2x1 + 9x2 ≥ 36 x1 + x2 ≥ 15

1.11) Min Z = x1 + x2

x1 ≤ 3 x2 ≤ 4 x1 + 3x2 ≤ 9

-x1 + 3x2 ≥ 3 x1 + 3x2 ≥ 6

1.6) Max Z = 3x1 - 2x2

x1 + x2 ≤ 1 2x1 + 2x2 ≥ 4

1.8) Max Z = 2x1 + x2

-x1 + x2 ≤ 6 x1 + 3x2 ≤ 42 -2x1 + 9x2 ≥ 36 x1 + x2 ≥ 15

1.10) Max Z = 5x1 + 2x2

x1 ≤ 3 x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≤ 9 -x1 + 3x2 ≥ 3 x1 + 3x2 ≥ 4 x1 + 3x2 ≥ 6

2. Uma companhia fabrica um produto a partir de dois ingredientes, A e B. Cada quilo de A contém 5 unidades do produto P1, 4 unidades do produto P2, 2 unidades do produto P3 e custa 100 u.m. Cada quilo de B contém 3 unidades de produto P1, 5 unidades de produto P2, 10 unidades de produto P3 e custa 150 u.m. A mistura deve conter pelo menos 20 unidades de P1, 18 unidades de P2 e 30 unidades de P3. Formule este problema como um problema de programação linear para que o custo do produto seja o menor possível. 3. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores. 4.Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.

Produto Recurso R1 por unidade

Recurso R2 por unidade

Recurso R3 por unidade

P1 2 3 5 P2 4 2 3

Disponibilidade de recursos por mês 100 90 120

Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro da empresa.

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Page 12: Apostila Prog Linear

02) A fabricação de álcool envolve a destilação de uma massa fermentada, resultando daí um líquido residual ou "destilado” que após secagem e outros tratamentos torna-se um valioso alimento. Uma determinada empresa tem comercializado uma mistura alimentar com base neste produto destilado enriquecida com constituintes vitamínicos.

As especificações, fatores de produção e condições mercadológicas estão no

quadro abaixo: Destilado

(seco) Aditivos

Comprados Total

Custo (u.m./Kg) 0,2 2 Quantidade normal de unidade de vitamina por quilograma de mistura alimentar

A B C

1 2 6

15 10 50

Unidades mínimas de vitamina que devem estar em uma carga de mistura

A B C

600 800

3000Capacidade produtiva do destilado (Kg/mes)

1800

Suprimento de constituintes vitamínicos disponíveis no mercado (Kg/mes)

2400

Número de Cargas de mistura produzidas por mês 30

Determinar as quantidades de aditivo e destilado seco por carga de mistura para se ter o custo mínimo. Resolver o problema graficamente. 03) A indústria Latal produz dois tipos de peças para o carro Ferrugem. A peça “A”

demanda duas horas de torno e mais quatro horas na furadeira. A peça tipo “B” demanda somente três horas no torno, não passando pela furadeira. São disponíveis 200 horas no torno, na furadeira a 150 horas no torno, sendo as demais horas utilizadas na manutenção, limpeza e preparação. O gerente desta indústria de autopeças está interessado em saber quantas peças de cada tipo devem ser produzidas; sabe ele que cada peça do tipo “A” fornece um lucro de 40 u.m. e do tipo “B” um lucro de 30 u.m.

04) Uma fábrica tem 3 tipos de máquinas, M1, M2 e M3, a serem utilizadas na fabricação

dos produtos P1 e P2. O quadro abaixo descreve como a fábrica opera, diariamente:

Produtos Máquinas

P1

P2

Disponibilidade Diária

M1 3 2 20h M2 4 0 12h M3 2 5 18h

Formule o problema como um modelo de programação linear para planejar a

produção diária a fim de que o lucro seja o máximo possível, sabendo que o produto P1 dá lucro de 200 u.m. e P2, um lucro de 50 u.m. . Resolva graficamente. 05) Um companhia fabrica um produto a partir de dois ingredientes, A e B. Cada

quilograma de A contém 5 unidades de produto P1, 4 unidades de produtos P2, 2 unidades de produtos P3 e custa 100 u.m., Cada quilograma de B contém 3 unidades de produto P1, 5 unidades de P2, 10 unidades de produto P3 e custa 150 u.m.. A mistura deve conter pelo menos 20 unidades de P1, 18 unidades de P2 e 30 unidades de P3. Formule este problema como um problema de programação linear para que o custo do produto seja o menor possível.

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Page 13: Apostila Prog Linear

06) A Indústria SIDENOX S.A. produz chapas finas (bobinadas) de aço inoxidável com 68 u.c. de largura. Os clientes da SIDENOX encomendam bobinas de largura menor com valores padrão de 22, 20 e 12 u.c., com demandas diárias, respectivamente, iguais a 110, 120 e 80 unidades. Estas bobinas são cortadas da bobina padrão de 68 u.c.. A empresa deseja cortar as bobinas de forma a minimizar os desperdícios. Elaborar um plano de corte otimizado.

07) Uma empresa fabrica 5 produtos: P1, P2, P3, P4 e P5. Cada um deles requer 3 tipos

de matérias-primas M1, M2 e M3. As quantidades utilizadas por cada produto, as disponibilidades das matérias primas e o lucro líquido de cada produto são dados na tabela abaixo:

Produtos

Matéria Primas P1 P2 P3 P4 P5 Disponibilidade de

matérias-primas M1 2 5 3 2 1 100 unidades M2 3 1 4 7 2 80 unidades M3 6 2 3 1 4 150 unidades

Lucro líquido unitário 2000 100 60 50 150 unidades monetárias

Supondo que o lucro é proporcional à quantidade produzida (vendida), formule o problema como um modelo programação linear para determinar a quantidade de cada produto que deve ser fabricada para que o lucro seja o máximo possível. 08) Um fabricante de ligas metálicas deseja maximizar seu lucro. As ligas são vendidas

aos preços de 30 u.m. e 50 u.m., respectivamente, a unidade. Os metais básicos utilizados para a fabricação das ligas são sobre, zinco e chumbo, sendo as disponibilidades limitadas aos máximos de 16, 11 e 15 toneladas. Determine a quantidade (em t) que deve ser fabricada da cada liga, de acordo com o quadro:

COMPOSIÇÃO DAS LIGAS (proporção)

Metais Básicos Liga “A” Liga “B” Cobre 2 t 1 t Zinco 1 t 2 t

Chumbo 1 t 3 t Observação: - Lucro é diretamente proporcional ao preço de venda. - Resolver o problema graficamente. 09) Uma determinada companhia produz quatro artigos numerados de 1 a 4. As

exigências de matéria-prima, espaço para estocagem, taxa de produção assim como lucros por artigos estão no quadro abaixo:

1 2 3 4 Matéria-prima (Kg/artigos) 2 2 1,5 4 Espaço (m3/artigo) 2 2,5 2 1,5 Taxa de produção (artigos/h) 15 30 10 15 Lucro (u.m. / artigo) 5 6,5 5 3,5

A quantidade total de matéria-prima disponível por dia para todos os quatro artigos é de 180 kg, e o espaço disponível é de 230 m3 e empregam-se 7h e 30 min por dia de produção.

Quantas unidades de cada artigo devem ser produzidas por dia para se maximizar o lucro? (Elaborar apenas as restrições e a função objetivo). 10): A Própolis Utilidades Elétricas fabrica dois modelos simples de secador para cabelo, que designa pó HX20 e HX30. Dois dos departamentos que participam da produção dos secadores, o Departamento A e o Departamento B, têm restrições quanto ao total de horas semanais disponíveis para aqueles produtos. O Departamento A possui um máximo de 100 homens hora, contra 80 homens hora do Departamento B. Embora a demanda pelos secadores esteja muito acima da capacidade produtiva da Própolis, e, portanto possa ser considerada ilimitada, as restrições correm por conta dos departamentos A e B. O secador HX20 requer 0,4 homens hora por unidade do departamento A e 0,2 homem hora no Departamento B; para o secador HX30 as necessidades são de 0,2 e 0,4

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Page 14: Apostila Prog Linear

respectivamente para os Departamentos A e B. O lucro unitário derivado da venda dos secadores é de $1500,00 e de $2000,00 respectivamente para os secadores HX20 e HX30. Formular o problema como um modelo de Programação Linear e determinar graficamente as quantidades ótimas dos secadores HX20 e HX30 a produzir. 11) A Wyndor Glass Co. produz vidros de alta qualidade, incluindo janelas e portas de vidro. Ela tem três fábricas. Na Fábrica 1 são feitas as esquadrias e ferragens de alumínio; as esquadrias de madeira são feitas na Fábrica 2 e a Fábrica 3 é usada para produzir o vidro e montar os produtos. Por causa do declínio da receita, a alta gerência decidiu reformular a linha de produtos. Diversos produtos não-lucrativos estão sendo tirados de linha e isso irá liberar a capacidade de produção para se encarregar de um ou dos dois novos produtos potenciais que têm estado em demanda. Um destes produtos propostos (produto 1) é uma porta de vidro de 2,40 m, com esquadria de alumínio. O outro produto (produto 2) é uma grande janela (1,20 x 1,80m) de duas folhas esquadria de madeira. O Departamento de Marketing concluiu que a companhia poderia vender tantos destes dois produtos quantos pudessem ser produzidos pela capacidade disponível. Entretanto, como ambos os produtos estariam competindo com a mesma capacidade de produção na Fábrica 3, não fica claro qual combinação entre os dois produtos seria mais lucrativa. Por isso a gerência pediu ao Departamento de Pesquisa Operacional que estudasse a questão. Depois de alguma investigação, o Departamento de PO determinou (1) a percentagem de capacidade de produção de cada fábrica que estaria disponível para estes produtos, (2) as percentagens requeridas por produto para cada unidade produzida por minuto e (3) o lucro unitário de cada produto. Estas informações estão resumidas na Tabela a seguir. Como toda capacidade que for usada por um produto na Fábrica 3 torna-se não-disponível para o outro, tratando-se de um problema de programação linear do tipo clássico de “composto de produto”, encontre a sua formulação e solução.

Capacidade usada por taxa de produção unitária Produto

Fábrica (1) (2)

Capacidade disponível

(1) Esq. e ferr. de alumínio. 1 1 8 (2) Esq. de madeira. 1 2 12 (3) Prod. vidro e montar os produtos. 3 2 18 Lucro por unidade $ 3,00 $ 5,00 12. Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, II, III e IV. Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam, respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para montagem e de 2, 1, 5, 3 e 3 horas para decoração. Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7,6 e 9 dólares. O fabricante dispõe de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40 horas por semana) e de 20.000 horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas semanais). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades produzidas possam ser vendidas.

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Page 15: Apostila Prog Linear

3.1.5 - MÉTODO SIMPLEX - CONDIÇÕES DE PREPARAÇÃO I) - Todos bis devem ser maiores ou iguais a zero x1 + 3x2 ≥ - 7 bi negativo - x1 - 3x2 ≤ 7 bi positivo II) - Todas restrições devem ser transformadas em igualdade (necessário uma base

óbvia):

a) Se a restrição é do tipo MENOR OU IGUAL (≤ ), com bi positivo, introduz-se variável de folga: 3x1 + x2 ≤ 5 desigualdade 3x1 + x2 + x3 = 5 igualdade sempre x1, x2 e x3 ≥ 0

b) Se a restrição é do tipo MAIOR OU IGUAL ( ≥ ), com bi positivo, introduzem-se uma variável de folga (com sinal negativo) e uma variável artificial: x1 + 3x2 ≥ 5 desigualdade x1 + 3x2 - x3 + x4 = 5 igualdade variável de artificial variável de folga Da mesma forma, x1, x2, x3 e x4 ≥ 0

c) Se a restrição é do tipo IGUAL ( = ), com bi positivo, introduz-se uma variável artificial: 2x1 + 7x2 = 10 2x1 + 7x2 + x3 = 10 igualdade com variável artificial Sendo, x1, x2 e x3 ≥ 0 III) - Toda minimização poderá ser transformada em maximização. Minimizar uma função

Z é equivalente a maximizar o simétrico dessa função: Min Z = 2x1 - 3x2, equivale a Max (-Z) = -2x1 + 3x2 OBSERVAÇÕES ADICIONAIS: a) A informação de varáveis artificiais sempre implica no surgimento da função objetivo

artificial, sendo o problema resolvido em duas fases. b) Por questão de ordenação, deve-se primeiro introduzir todas variáveis de folga em

todas restrições, para depois introduzir as variáveis artificiais. c) O quadro estruturado mostra explicitamente uma solução básica inicial. As variáveis

básicas formam, com seus coeficientes, uma matriz identidade. 3.1.6 - MÉTODO SIMPLEX: CONDIÇÃO BÁSICA PARA APLICAÇÃO

Para aplicação do Algoritmo Simplex é necessário a estruturação do quadro (tableau), obedecendo as condições:

- bis não negativos. - Restrições transformadas em igualdades, pela introdução de

variáveis de folga e/ou artificiais. - Função objetivo sujeita `a maximização (não obrigatório).

O quadro genérico explicito tem a forma: Base x1 x2 . . . xn xn+1 xn+2 . . . xn+m bi

xn+1 a11 a12 . . . a1n 1 0 . . . 0 b1xn+2 a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0 b2

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Page 16: Apostila Prog Linear

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn+m am1 am2 . . . amn 0 0 . . . 1 bm

Z c1 c2 . . . cn 0 0 . . . 0 0 PASSOS DO ALGORITMO SIMPLEX PASSO 1 - Verificar se os coeficientes Cjs da função objetivo Z são maiores ou iguais a

zero, caso afirmativo, pare, a solução é ótima. Caso contrário, escolha a variável que tem o menor coeficiente Cj (Cs) para entrar na base.

Cs = min (Cjs) Xs = variável que entra na base PASSO 2 - Verificar os coeficientes ais da variável xs que vai entrar na base. Se todos ais

forem menores ou iguais a zero, pare, Z = infinito. Caso contrário, divida cada bi pelo respectivo ais > 0. O menor quociente bi/ais, ais > 0, indica a variável de índice r que sai da base.

PASSO 3 - Calcular os novos coeficientes do quadro (operação pivotal) para que a troca

de variáveis na base se processe. Os novos coeficientes serão: ars = pivot nova linha r = (linha r anterior)/arsnova linha i i = r = (linha anterior) - (nova linha r) . ais PASSO 4 - Voltar ao PASSO 1.

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Page 17: Apostila Prog Linear

3.1.7 - ALGORÍTMO SIMPLEX COMPLETO INCLUINDO DUAS FASES Problema Preparado

com 2 fases 2 FASES Problema 1 FASE com 1 fase ou 2 fases? Existem Existem NÃO djs < 0 Cjs < 0 NÃO SIM W = 0 SOLUÇÃO Encontrar o menor ? ÓTIMA dj(ds). “Xs” é a variável que entra na base Não Existe Solução Encntrar Cj(Cs). “Xs” é a variável que entra na base Existem Solução com ais > 0 ? Z = ∞ Calcular bi/ais para ais > 0; o menor quociente indica a variável de índice r que sai da base Calcular os novos coeficientes do quadro com as variáveis trocadas na base O problema se encontra na fase 1 OBSERVAÇÕES: a) Os djs são os coeficientes das variáveis na função objetivo artificial. b) Na fase 1 se operam com todos os coeficientes, inclusive os da linha Z, na

operação pivotal. c) Quando W = 0 e djs ≥ 0, pode-se abandonar a linha W e as colunas das

variáveis artificiais. 3.1.8) CASOS DE DIFICULDADES NA APLICAÇÃO DO MÉTODO SIMPLEX I) Empate na variável que entra na base, isto é, mais de uma variável não básica com o

mesmo valor para seus respectivos Cjs. - A escolha da variável que entra na base é aleatória.

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Page 18: Apostila Prog Linear

II) Empate na variável que sai da base, isto é, dois ou mais quocientes bi /ais com mesmo valor.

- Neste caso caracteriza-se a presença de uma solução degenerada, isto é, uma variável

básica com valor igual a zero. - A escolha da variável que sai da base é aleatória. III) Variáveis sem restrição de sinal, sem a condição de não negatividade. - A solução alternativa para a questão específica: as variáveis sem restrição de sinal são

substituídas pela diferença entre duas novas variáveis maiores ou iguais a zero. IV) Ausência de soluções: - A dificuldade caracteriza-se por não se conseguir zerar o valor de W ( função objetivo artificial) e por conseguinte as variáveis artificiais. V) Ausência de soluções: - A dificuldade caracteriza-se quando o problema atinge o ótimo (todos Cjs ≥ 0) e o coeficiente Cj de uma das variáveis não básicas, na função objetivo é zero. - Para se encontrar o outro extremo, introduz-se na base a variável não básica que tem Cj igual a zero; calcula-se o novo quadro e verifica-se que o valor de Z não se altera, indicando um novo ponto ótimo. Como solução geral, temos a combinação convexa dos dois extremos. VI) Problema com minização, neste caso, temos: Min Z = Máx (-Z) VII) Problema com solução Z = infinito: - Este problema caracteriza-se quando existe uma variável xs em condições de entrar na base de forma a provocar um aumento no valor de Z e todos seus coeficientes ais são menores ou iguais a zero. Não permitindo, assim, encontrar a variável que sairia da base. 3.1.9 - ILUSTRAÇÃO 1: PROBLEMA COM UMA FASE Máx Z = 5x1 +2x2 (Função objetivo), para as seguintes restrições:

x1 ≤ 3 x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≤ 9

Problema já resolvido graficamente na página 6. Sempre em qualquer problema, temos como solução x1 e x2 ≥ 0

Inicialmente transformemos o sistema de restrições em igualdades com introdução das variáveis de folga, ficando o sistema com a seguinte disposição:

x1 + x3 = 3 x2 + x4 = 4 x1 + 2x2+ x5 = 9 Sendo as variáveis x3, s4 e x5, as variáveis de folga. Antes de aplicarmos o algoritmo simplex, façamos a resolução do problema por

análise matemática, ou seja uma solução algébrica. Então quebremos a indeterminação do sistema fazendo x1 = 0 e x2 = 0, também, já que o sistema possui sete incógnitas e apenas cinco equações, temos:

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Page 19: Apostila Prog Linear

x1= 0 Consideremos as linhas de x1 e x2 a formação da base x2= 0 x3= 3 Essas demais linhas forma a “não base”, resolver o sistema é processar uma x4= 4 Seqüência de troca de variáveis básicas por não básicas, de uma forma

otimizada x5= 9 até a maximização da função objetivo.

Quando abordamos uma seqüência de troca de variáveis otimizada, significa pelo caminho menor possível. E esta seqüência corresponde a passagem de um vértice para outro, no polígono restritivo, até chegar ao vértice solução. Posteriormente, é exatamente o que algoritmo irá fazer.

Pela função objetivo percebe-se que a variável x1 é a que deve inicialmente sair da

base, ou seja, adquirir um valor maior do que zero, pelo fato de ter o maior coeficiente, o que implica num crescimento mais rápido para Z.

Como x2 continua na base, logicamente com o valor nulo, é necessário procurarmos

a variável de folga que primeiro se anula, para substituir x1 na base, o que podemos concluir:

x3 = 3 - x1 (x3 se anula primeiro) x4 = 4x5 = 9 - x1 Então, x3 é exatamente a variável que irá entrar na base. O que concluimos: x2 = 0 x3 = 0 x1 = 3 x4 = 4 x5 = 6, ficando a função objetivo: Z = 15 + 2x2 - 5x3, o que é possível o seu

crescimento com a saída de x2 da base. Procuremos verificar qual a variável que entra na base: x4 = 4 - x2

x5 = 6 - 2x2 (x5 se anula mais rápido, par x2 = 3) Ficamos com a seguinte disposição: x1 = 3 x2 = 3 x3 = 0 x4 = 1 x5 = 0, ficando a função objetivo: Z = 21 - 5x3 - x5 Como a função objetivo não tem mais possibilidade de crescimento, o seu valor

máximo é Zmáx = 21, para: x1 = 3 x2 = 3 Agora apliquemos o algoritmo SIMPLEX ao mesmo problema. Considerando o

sistema já com a inclusão das variáveis de folga, temos: x1 + x3 = 3 x2 + x4 = 4 x1 + 2x2 + x5 = 9, sendo a função objetivo na forma, Z - 5x1 - 2x2 = 0

Q1 x1 x2 x3 x4 x5 b x3 1 0 1 0 0 3 3/1 = 3 Menor quociente, indicação da variável que sai

da base (x3) x4 0 1 0 1 0 4 - x5 1 2 0 0 1 9 9/1 = 9 Z -5 -2 0 0 0 0

O elemento a11 = 1 é exatamente o PIVOT Coeficiente menor, indica a variável que entra na base (x1)

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Page 20: Apostila Prog Linear

O Novo quadro tem a seguinte disposição:

Obtenção das linhas do quadro Q2: a11 = 1/1 = 1 a21 = 0 - 1x0 = 0 a31 = 1 - 1x1 = 0 c1 = -5 - 1(-5) = 0 a12 = 0/1 = 0 a22 = 1 - 0x0 = 1 a32 = 2 - 0x1 = 2 c2 = -2 - 0(-5) = -2 a13 = 1/1 = 1 a23 = 0 - 1x0 = 0 a33 = 0 - 1x1 = -1 c3 = 0 - 1(-5) = 5 a14 = 0/1 = 0 a24 = 1 - 0x0 = 1 a34 = 0 - 0x1 = 0 c4 = 0 - 0(-5) = 0 a15 = 0/1 = 0 a25 = 0 - 0x0 = 0 a35 = 1 - 0x1 = 1 c5 = 0 - 0(-5) = 0 a16 = 3/1 = 3 a26 = 4 - 3x0 = 4 a36 = 9 - 3x1 = 6 c6 = 0 - 3(-5) = 15

Q2 x1 x2 x3 x4 x5 b x1 1 0 1 0 0 3 - Primeira linha obtida x4 0 1 0 1 0 4 4/1 = 4 x5 0 2 -1 0 1 6 6/2 = 3 O menor quociente indica a variável que sai da

base: x5Z 0 -2 5 0 0 1

5

Pivot = a32 = 2 O menor coeficiente na linha Z indica a varíavel x2 que entra na base No quadro temos: x1 = 3 x2 = 0, por não aparecer na base Com esses valores na função objetivo temos Z = 15, que é exatamente o valor de Z obtido do quadro Q2. Q3 x1 x2 x3 x4 x5 b x1 1 0 1 0 0 3 x4 0 0 ½ 1 -1/2 1 x2 0 1 -1/2 0 ½ 3 Primeira linha obtida Z 2 0 7 0 0 21 SOLUÇÃO ÓTIMA: todos Cjs ≥ 0

O quadro Q3 é solução ótima porque todos os coeficientes da linha Z ou são nulos ou positivos (Cjs ≥ 0). Temos: x1 = 3 e x2 = 3. Como Zmáx = 5x1 + 2x2, concluímos que o maior valor para Z é 21.

Solução:

x1 = 3 x2 = 3

Zmáx = 21

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Page 21: Apostila Prog Linear

3.2 PROBLEMAS DE TRANSPORTES 3.2.1-APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA ORIGEM DESTINO

MÁQ 1 X11 POSTO 1 Xij=Quantidade transportada da origem i para o destino j.

Cij=Custo relativo ao transporte no caminho ij.

ai=Quantidade disponível na origem.bj=Quantidade absorvida no destino

j

C11MÁQ 2 POSTO 2 . . . . . X1n . MÁQ m C1n POSTO n

3.2.2-FORMULAÇÃO GERAL DO PROBLEMA DE TRANSPORTE

A função objetivo é dada pela expressão: Zmín = C11X11 + ...+ C1n + C21X21 +...+ C2nX2n + ...+ Cm1Xm1 +...+ CmnXmn O algorítmo determina, portanto, Zmín. Como já foi visto, de houver necessidade da

determinação de Zmáx, teremos: máx(Z) = mín(-Z). De acordo com o modelo apresentado, temos o seguinte conjunto de restrições:

X11 + X12

+ ... + X1n = a1 Xij ≥ 0 X21 + X22 + ... + X2n = a2 i = 1, 2, ... , m ........................................ j = 1, 2, ... , n Xm1 + Xm2

+ ... + Xmn = am X11 + X21 + ... + Xm1 = b1X12 + X22 + ... + Xm2 = b2 ........................................ X1n + X2n + ... + Xmn = bn

3.2.3-PREPARAÇÃO DO QUADRO (TABLEAU) PARA UM PRBLEMA DE TRANSPORTE

Para aplicação do algorítmo de TRANSPORTE usaremos quadros coma a disposição

de acordo com o quadro genérico abaixo. Levando em consideração que . a bi j∑ ∑= Então o problema consiste em fornecer uma matriz de custos de tranportes, o

pontencial de origem (cada ai), os correspondentes valores de destino (cada bj), para se determinar com esses dados as quantidades que devem ser transportadas (Xij)¸ para que o custo total de transporte seja o mínimo possível.

21

Page 22: Apostila Prog Linear

Quadro genérico do Algorítmo de Transporte

3.2.4-EXEMPLO BÁSICO DE UM PROBLEMA DE TRANSPORTE

Neste exemplo consideremos o seguinte potencial de origem:

a1 = 150 a2 = 40 a3 = 80

O potencial de destino, com o mesmo valor de origem, tem a seguinte distribuição: b1 = 90 b2 = 70 b3 = 50 b4 = 60

O custo de tranporte é dada pela matriz:

Com esses dados fornecidos estruturamos o QUADRO 1 e a partir daí aplicamos o agorítmo de TRANSPORTE. Usamos o algorítmo de busca da solução ótima - Método de Distribuuição Modificado (MODI).

P1 P2 P3 P4

M1 27 23 31 69 M2 10 45 40 32 M3 30 54 35 57

Então, os quadros obtidos seguem a seguinte sequência: 1 . Estrutura-se o quadro com solução inicial obtida, pelo canto noroeste, que tem a

seguinte seqüência: a) Começar pela célula superior esquerda. b) Alocar nessa célula a maior quantidade permitida pela oferta e demanda

correspondentes, considerando os valores já alocados. c) Seguir para célula da direita se houver alguma oferta restante evoltar ao passo ii. Caso

contrário seguir para a célula inferior e voltar ao passo ii. Observação: O processo estará concluído quando a célula inferior direita for alcançada.

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Page 23: Apostila Prog Linear

2. Calculam-se todos os Uijs e Vijs. Os C’ijs das variáveis básicas são iguais a zero. Arbritra-se U1 = 0 e calcula-se os demais C’ijs. Se todos os C’ijs forem ≥ 0 PARE, solução ótima. Caso contrário , escolha a variável de menor C’ij paara entrar na base. Para o cálculo de C’ temos a seguinte expressão:

C’ij = Cij - Ui - Vj

- Não esquecer que a expressão Cij - Ui - Vj deve ser igualada a zero nas variáveis

básicas. - Nas células com Xij ≥ 0 o novo coeficiente na função objetivo será igual a zero,

correspondem as variáveis básicas. - Nas demais células, variáveis não-básicas, os coeficientes serão dados por: Cij - Ui - Vj.

3. A partir da célula que contém a variável que entra na base, forme uma linha poligonal

fechada cujos vértices sejam células de varáveis básicas e cujos ângulos internos sejam retos; na célula inicial põe-se um sinal de adição e alternam-sem a partir daí sinais de menos e mais nos vértices-células da linha poligonal fechada. A célula com sinal de menos, que contiver o menor valor, indicará a variável que sairá da base.

4. A cada vértice-célula que tiver sinal mais, adiciona-se o valor da variável que sairá da base e a cada vértice-célula com sinal menos, subtrai-se. Voltar ao passo 2.

Este exemplo apresentado está resolvido nesta seqüência de cinco quadro, seguindo o algorítmo descrito acima. O Quadro 5 é solução ótima pelo fato de todos os C’ serem ≥ 0. Multiplicando cada ai pelo Ui correspondente, no Quadro cinco temos a seuinte soma: S1 = 0 + (-880) + 240 = - 660. Da mesma forma, multiplicando cada bj por cada Vj

correspondente é obtida a soma S2 = 2430 + 1610 + 1550 = 8830. O cuto total mínimo (Zmín), passa a ser: Zmín = -660 + 8830 = 8190. Este valor é exatamente o somatório de cada Xij (cada quantidade transportada) pelo respectivo custo de transporte. Custo total = Zmín = X cij ij∑

Neste Quadro 4 temos um custo total igual a 8290. Este valor é obtido da seguinte forma: Z = 40(-17) + 80.8 + 90.27 + 70.23 + 50.27 + 60.49 = 8290.

23

Page 24: Apostila Prog Linear

No Quadro 4 temos Z = 8240, valor este que além da forma anterior também pode ser obtido: Z = 80.27 + 70.23 + 40.32 + 10.30 + 50.35 + 20.57, ou seja, Z = . X cij ij∑ Obeserve que cada quadro obtido, o custo total é menor do que o anterior.

Quadro 5, é SOLUÇÃO ÓTIMA, pois apresenta todos os C’ ≥ 0, consequentemente um custo total menor possível de 8190 unidades monetárias. Para que isto aconteça temos a seguinte disposição de transporte:

P1 P2 P3 P4M1 30 70 50 0 M2 0 0 0 40 M3 60 0 0 20

EXERCÍCIO

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Page 25: Apostila Prog Linear

1) Uma determinada empresa de transportes terrestres compra ovos nas granjas A, B, C, para vendê-los nas cidades 1, 2 e 3. São dados:

a) Preço da dúzia de ovos (em u.m.): Granja A: 40 e cidade 1:80 Granja B: 50 e cidade 2:100 Granja C: 60 e cidade 3:120 b) Disponibilidade de ovos (dúzia): Granja A: 40 Granja B: 30 Granja C: 20 c) Consumo nas cidades (dúzias): Cidade 1: 30 Cidade 2: 40 Cidade 3: 20

Custo de transporte: (u.m./dúzia)

1 2 3

A 10 8 9 B 12 6 5 C 2 X 4

Não existe estrada ligando a granja C à cidade 2. Quanto a empresa deve transportar p/ cada cidade, p/ lucro máximo? Qual o lucro?

25

Page 26: Apostila Prog Linear

3.3. PROBLEMAS DE DESIGNAÇÃO 3.3.1 - INTRODUÇÃO O problema de DESIGNAÇÃO é um caso particular de TRANSPORTE e consequentemente de programação linear. O problema de designação se caracteriza quando se tem de distribuir uma determinada quantidade de itens (homens, máquinas, equipamentos, recursos financeiros) em uma quantidade igual de localizações ou tarefas. Seja a matriz abaixo:

MATRIZ EFICIÊNCIA

As células indicam (podem indicar) o tempo que cada homem gasta na execução de cada uma das tarefas. Os valores poderiam também indicar custos, grau de desempenho, outros. O modelo de designação encontra a rebi-unívoca homens-tarefa, isto é, minimiza o volume de mão-de-obra.

OPERÁRIOS

I II III IV

A 5 24 13 7 B 10 25 3 23 C 28 9 8 5 D 10 17 15 3

3.3.2 - ALGORITMO DA DESIGNAÇÃO PASSO 1 - Escolher para cada linha “i” o menor elemento da linha. Subtrair de todos os

elementos da linha, o menor. PASSO 2 - Escolher para cada coluna “j” o menor elemento da coluna “j” o menor

elemento da coluna. Subtrair de todos os elementos da coluna, o menor. PASSO 3 - Traçar linhas verticais e (ou) horizontais, o mínimo possível, de forma que

todos os zeros fiquem cortados: PROCEDIMENTO: - Traça-se a 1a linha, na linha ou coluna que tiver o maior números de zeros. Procede-se, seguidamente, para as linhas e (ou) colunas levando-se em conta sempre o maior número de zeros (zeros já cortados não contam para o corte seguinte); Se o número mínimo de linhas for igual à ordem da matriz eficiência, pare, solução ótima, caso contrário siga para o PASSO 4. PASSO 4 - Escolha o menor dentre as células não cortadas, subtraia das células não

cortadas, o menor, adicione as células intercessão de linhas, o menor, siga para o PASSO 3.

OBSERVAÇÃO: a) Ao atingir o ótimo, a designação ocorrerá nas células que contém zeros. Procura-se a linha e (ou) coluna que tenha o menor números de zeros; atribui-se a célula que contém o zero a indicação “X”. Eliminam-se a linha e a coluna atribuídas. Repete-se o procedimento.

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Page 27: Apostila Prog Linear

b) Para maximização, antes de tudo, determina-se o complemento da matriz em relação à célula de maior valor. 3.3-ILUSTRAÇÃO 1: MINIMIZAÇÃO Q1 A B C D E F II 8 7 6 9 5 6 II 10 4 7 8 8 7 III 11 6 9 8 9 8 IV 9 8 10 13 8 11 V 7 9 8 7 9 7 VI 8 9 10 11 13 12

PASSO 1 - Subtrai-se o menor de cada linha, da mesma.

Q2 A B C D E F I 3 2 1 4 0 1 II 6 0 3 4 4 3 III 5 0 3 2 3 2 IV 1 0 2 5 0 3 V 0 2 1 0 2 0 VI 0 1 2 3 5 4

PASSO 2 - Subtrai-se o menor de cada coluna, da mesma.

5 linhas traçadas (cortes) Q3 A B C D E F I 3 2 0 4 0 1 II 6 0 2 4 4 3 III 5 0 2 2 3 2 IV 1 0 1 5 0 3 V 0 2 0 0 2 0 VI 0 1 1 3 5 4 5 linhas traçadas (cortes) Q4 A B C D E F I 3 5 0 4 1 1 II 5 0 1 3 4 2 III 4 0 1 1 3 1 IV 0 0 0 4 0 2 V 0 3 0 0 3 0 VI 0 2 1 3 6 4

Menor dos não cortados = 1. Subtraem-se dos não cortados o valor 1 e adiciona-se o mesmo às células intercessão.

.Como o número de linhas traçadas (cinco) é menor do que a ordem da matriz (6 por 6), continuamos em busca da solução ótima.

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Page 28: Apostila Prog Linear

Q5 A B C D E F II 2 3 0 3 0 0 II 4 0 1 2 3 1 III 3 0 1 0 2 0 IV 0 1 1 4 0 2 V 0 4 1 0 3 0 VI 0 3 2 3 6 4 PROCESSO DE DESIGNAÇÃO: Escolher linha e (ou) coluna com menor número de zeros.

LINHA 2 (um zero) POSIÇÃO ATRIBUÍDA: X22- Eliminadas linha 2 e coluna 2 LINHA 4 (um zero) POSIÇÃO ATRIBUÍDA: X45- Eliminadas linha 4 e coluna 5 LINHA 6 (um zero) POSIÇÃO ATRIBUÍDA: X61- Eliminadas linha 6 e coluna 1 LINHAS 3 e 5 COLUNAS 4 e 6 Com dois zeros permitem 2 alternativas ATRIBUIR X34 e X56ou ATRIBUIR X54 e X36

QUADRO SOLUÇÕES POSSÍVEIS: S1 A B C D E F

II X II X III X IV X V X VI X

Zmín = 8 + 4 + 6 + 8 + 7 Zmín = 41 (ver custos iniciais)

Número de linhas traçadas (cortes) é igual a 6, SOLUÇÃO ÓTIMA.

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Page 29: Apostila Prog Linear

OU

S2 A B C D E F II X II X III X IV X V X VI X

Zmín = 8 + 4 + 6 + 7 + 8 Zmín = 41 (ver custos iniciais)

OBSERVAÇÃO: Como o algorítimo de designação fornece Zmín, caso se queira calcular

Zmáx, incialmente determina-se o complemento da matriz, ou seja, do maior elemento matricial, subtrai-se todos, então: máxZ =mín(-Z).

EXERCÍCIO

01) Resolva os seguintes problemas de DESIGNAÇÃO tanto para Zmáx como para Zmín: a)

1 2 3 4 5 A 12 8 7 15 6 B 7 9 17 14 10 C 9 6 12 6 7 D 7 6 14 6 10 E 9 6 12 10 4

b)

1 2 3 4 5 A 9 15 6 14 18 B 7 5 10 4 13 C 11 14 13 10 14 D 19 22 15 26 24 E 12 8 10 9 13

c) Zmín e Zmáx:

1 2 3 4 A 25 20 15 10 B 50 40 30 5 C 40 35 20 15 D 40 50 15 10

02) O diretor de uma escola deseja inscrever quatro alunos num concurso de matemática

que engloba os seguintes assuntos: Álgebra, Análise, Lógica e Geometria. Somente

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Page 30: Apostila Prog Linear

um aluno pode ser inscrito em cada assunto e nenhum aluno pode ser inscrito em mais de um assunto porque as provas do concurso ocorrerão simultaneamente. Para isso ele seleciona seus quatro melhores alunos, A, B, C, D, e lhes aplica os mesmos exames cobrindo as quatro áreas do concurso. O quadro abaixo indica o número de pontos que foi deduzido da nota de cada aluno em cada uma das áreas:

Álgebra Análise Lógica Geometria A 7 10 6 3 B 8 7 8 1 C 4 9 3 5 D 5 4 6 9

Qual aluno deve ser selecionado para cada um dos assuntos do concurso? 3) Uma empresa vende produtos em quatro regiões e possui quatro vendedores para serem

destacados, um para cada região. As regiões não são igualmente ricas e apresentam o seguinte potencial de vendas:

Região I 60.000,00 u.m. Região II 50.000,00 u.m. Região III 40.000,00 u.m. Região IV 30.000,00 u.m.

Os vendedores, por outro lado, não são igualmente hábeis e as suas eficiências, que refletem a capacidade de atingir o mercado potencial da região, são dadas pelo quadro que se segue:

I II III IV A 0,7 0,7 0,7 1,0 B 0,8 0,8 0,8 1,0 C 0,5 0,5 0,5 1,0 D 1,0 0,4 1,0 0,4

30

Page 31: Apostila Prog Linear

4 - TEORIA DAS FILAS

4.1 - INTRODUÇÃO

A teoria das filas envolve o estudo matemático das filas ou linhas de espera. A formação de filas excede a capacidade de fornecer aquele serviço. Os modelos matemáticos se tornam complexos porque normalmente utilizam ferramentas que envolvem um tratamento estatístico ou estocástico. Fornecer uma capacidade excessiva de atendimento gera ociosidade, fornecer um atendimento deficitário gera insatisfação, perda de clientes, perda de produção; tudo isto leva a uma relação muito forte entre as condições de um sistema de filas e a minização dos custos no atendimento do mesmo.

O estudo de sistemas de filas tem larga utilidade: a) No planejamento e controle da produção. b) No dimensionamento de sistemas de armazenamento. c) Nos sistemas de transportes. d) Nos sistemas de tráfego (rodo-porto-aéreo-ferroviário). e) Na manutenção de máquinas. f) em qualquer sistemas em que seja provável a formação de filas para determinado

atendimento. g) Nos sistemas de saúde. h) Sistemas comerciais.

SISTEMA DE FILAS

MECANISMO Potencial clientes CLIENTES de F I L A DE clientes chegando ATENDIDOS ATENDIMENTO Observações: a) Potencial de clientes pode ser finito ou infinito; b) Os clientes podem chegar um de cada vez ou em blocos; c) A fila pode ter capacidade finita ou infinita; d) O mecanismo de atendimento pode ter um posto ou vários, paralelos; e) O sistema engloba os clientes da fila e os clientes em atendimento. TERMINOLOGIA E NOTAÇÃO

L = número médio de clientes no sistema; LQ = número médio de clientes na fila; W = número médio de permanência de um cliente no sistema; WQ = número médio de permanência de um cliente na fila; Pn = probabilidade de ter exatamente “n” clientes no sistema ou porcentagem do tempo em

que o sistema fica com “n” clientes;

31

Page 32: Apostila Prog Linear

P(w>t) = probabilidade do tempo de espera no sistema ser maior que o tempo “t”. PROCESSO DE CHEGADA DOS CLIENTES NA FILA E PROCESSO DE ATENDIMENTO

- As funções que definem os processos de chegada e atendimento são variáveis aleatórias. A maioria dos problemas práticos têm seus processos de chegadas regidos por uma distribuição semelhante a de POISSON e os processos de atendimento, semelhante a uma distribuição EXPONENCIAL. 4.2 - A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Uma variável aleatória tem uma distribuição de Poisson se sua função de probabilidade for dada por:

P ne

k

k k

( )!

=−λ λ

send k = 0, 1, 2, 3, 4,...

Onde λ é uma constante maior do que zero.

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON MÉDIA λ

VARIÂNCIA λ

4.3 - EXERCÍCIO

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

1) Numa rua passam em média 2 carros por minuto. Calcular a probabilidade de que em 2

minutos, passem a) exatamente 4 carros b) mais de 4 carros 2) Uma máquina produz tela de arame em rolos de 1m de largura. Cada 10 m corridos de

tela apresentam em média 5 defeitos. Pensa-se reformar essa máquina para permitir que ela produza rolos de 1,20m de largura. Qual a probabilidade de uma amostra de 7,5 m de comprimento da nova produção apresentar:

a) 9 defeitos b) 10 ou mais defeitos 3) Os números de defeitos de solda e acabamento de uma certa peça são variáveis de

Poisson independentes, de médias respectivamente 1,2 e 0,8. Calcular a probabilidade de que uma peça qualquer, não seja perfeita.

4) X é uma variável com distribuição de POISSON de média igual a 10. Calcule: a) P (k > 6) b) P(2 ≤ k ≤ 4) c) P(k ≤ 8 ) d) P(6 ≤ k ≤ 12)

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Page 33: Apostila Prog Linear

5) O número de componentes defeituosos por aparelho de televisão montado tem sido observado como uma distribuição de Poisson com média α = 2. Se 5 aparelhos são testados, qual é a probabilidade de que o número de componentes defeituosos ultrapasse 10?

6) Numa fábrica determinado produto tem uma demanda que segue uma distribuição de

Poisson com média diária α = 25 unidades. Qual deve ser a quantidade mantida em estoque para que não haja falta em 95% dos casos?

7) Um sinal luminoso de tráfego tem período de 1 minuto. Uma fase do ciclo de operação

consiste em parar o tráfego de veículos a travessia de pedestres tendo em vista que os pedestres chegam aleatoriamente a razão de 150 por hora. Deseja-se decidir se a fase deve ser automática ou manual. Qual a probabilidade de durante 1 minuto não haver pedestres para ultrapassar?

4.4- DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL Diz-se que uma variável aleatória tem uma distribuição EXPONENCIAL quanto:

e k−λ se k ≥ 0

P n( ) = 0 se k < 0

DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL MÉDIA 1/λ

VARIÂNCIA 1/λ2

4.5-EXERCÍCIO

DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL

1) Um determinado componente mecânico tem sua vida útil ajustada a uma distribuição exponencial com média igual a 1000 dias. Calcule a probabilidade de uma peça durar mais de 1000 dias.

2) Certo tipo de parafuso tem uma vida útil que segue uma distribuição exponencial com

vida média de 100 horas, cada parafuso tem um custo de 10 U.M. e, s e durar menos de 200 horas, existe um custo adicional de 8 U.M..

a) Qual a probabilidade de um parafuso durar mais de 150 horas? b) Foi proposta a compra de uma outra marca que tem uma vida média de 200 horas e

custo de 15 U.M.. Considerando também a incidência do custo adicional, deve ser feita a troca das marcas?

3) A duração de certo tipo de condensador tem distribuição exponencial com média de 200

horas. Qual a proporção de condensadores que duram. a) menos de 100 horas?

33

Page 34: Apostila Prog Linear

b) mais de 500 horas? c) Entre 200 e 400 horas? 4) Uma companhia fabrica lâmpadas com uma produção média de 100 horas e distribuição

exponencial. a) Qual deve ser a garantia do fabricante para repor apenas 5% da produção? b) Qual a probabilidade de uma lâmpada durar de 163 a 185 horas? 5) Um mecânico supervisiona uma máquina cujo intervalo de tempo entre enguiços segue

uma distribuição exponencial com taxa de um enguiço a cada 20 horas. Por quanto tempo o mecânico não enguiça enquanto ele se ausenta?

6) A vida da lâmpada de um projetor de cinema é completamente aleatória com média de

100 horas. Os fabricantes desejam oferecer uma garantia por estas lâmpadas. Por quantas horas as lâmpadas podem ser garantidas, de modo a se ter uma probabilidade de 0,95 de que elas funcionem pelo menos o número de horas garantido?

7) O papel fabricado por um máquina rasga-se durante o processo de fabricação,

aleatoriamente, a uma razão média de um ruptura a cada 40 minutos. Se foi observado que o papel não rasgou nos últimos 20 minutos, qual a probabilidade de que ele venha a se rasgar nos próximos 20 minutos?

8) Uma firma especializada em reparos de prensas atende a serviços de emergência. Cada

trabalho demora 4 horas para ser concluído e o tempo entre a chegada de ordens sucessivas e distribuído exponencialmente com média de 5 dias. Por causa das condições de emergência, os fregueses devem ser atendidos imediatamente. Calcule as probabilidades de que:

a) Não haja demanda de serviços enquanto um determinado reparo estiver em execução. b) Depois de concluída uma tarefa se passem no mínimo seis dias seguidos sem trabalho. 9) Considere uma loja na qual os clientes cheguem ao acaso numa média de 30 por hora.

Que percentagem de intervalos de tempo entre chegadas sucessivas será: a) maior do que 2 minutos? b) menor do que 4 minutos? c) entre 1 e 3 minutos? 4.6 - SISTEMAS I) Modelo P / E / 1 / ∞ capacidade de fila ilimitada um servidor processo de atendimento EXPONENCIAL processo de chegada POISSON FORMULÁRIO

34

Page 35: Apostila Prog Linear

1) Número médio de clientes no sistema

L =−λ

µ λ

2) Número médio de clientes na fila

LQ =−λ

µ µ λ

2

( )

3) Tempo médio de permanência de um cliente no sistema

W =−1

µ λ

4) Tempo médio de permanência de um cliente na fila

QQ =−λ

µ µ λ( )

5) Probabilidade de ter “n” clientes no sistema

P n Pn( ) ( )=λµ 0

P0 1= −λµ

W WQ= +1µ

L =λW LQ = λWQ

6) Probabilidade do tempo de espera na fila ser maior do que o tempo t (tempo qualquer) P w t e t( ) ( )> = −λ µ

II) Modelo P / E / S / ∞

capacidade de fila ilimitada número de servidores qualquer processo de atendimento EXPONENCIAL

35

Page 36: Apostila Prog Linear

processo de chegada POISSON FORMULÁRIO 1) Probabilidade de ter zero clientes na fila

P

n SS

n S

n

S

0

0

1

1

1

=

+−=

∑( )

!

( )

!( )

λµ

λµ

λµ

2) Probabilidade de n clientes na fila

Pn

Pn

n

=( )

!.

λµ

0 se 0 ≤ n ≤ S

PS S

Pn

n

n S= −

( )

!

λµ

0 se n ≥ S

3) Número médio de clientes na fila

LP

S

SS

Q

S

=−

0

21

( ) ( )

!( )

λµ

λµλµ

4) Número médio de clientes no sistema

L LQ= +λµ

5) Tempo médio de permanência de um cliente na fila

WL

QQ=λ

6) Tempo médio de permanência de um cliente no sistema

36

Page 37: Apostila Prog Linear

W WQ= +1µ

Probabilidade de n ≥ S

P nP

S

SS

S

( )( )

!( )=

0

1

λµ

λµ

P W t eP e

SS

S

t

S t S

( ) [( ) ( )

!( )( )]

( )

> = +−

− − −

− − −

µ

µλµλ

µλµ

λµ

11

1 1

0

1

4.7 - APLICAÇÃO (Dimensionamento de uma equipe de trabalho)

Numa fábrica o número de quebra observados é de 3 unidades/hora segundo uma

distribuição de POISSON. A empresa dispõe de 2 técnicos especializados que cuidam desses defeitos. O tempo de atendimento segue uma distribuição EXPONENCIAL com taxa média de 30 minutos/unidade. As máquinas normlmente operam 8 hora/dia. O custo médio por conserto é de 2000 u.m./hora e o lucro perdido por máquina parada é de 2500 u.m./hora, determinar o número ótimo de técnicos.

Do enunciado concluímos que λ = 3 unidades/hora e µ = 2 unidades/hora O CUSTO MÉDIO DIÁRIO (CMD) = (8)(L)(2500) +(8)(S)(2000) Com esses dados podemos elaborar o quadro:

S S=2 S=3 S=4 P0 0,143 0,210526 0,2040816 LQ 1,93 0,236842 0,047093 L 3,43 1,7236842 1,547093

CMD 100.541,43 82.473,68 94.941,86

Verifica-se que o ideal é que o número de técnicos seja de TRÊS (S=3), que tem um CMD menor do que S=2 voltando a aumentar para S ≥ 4 técnicos.

BIBLIOGRAFIA [01] OPERATIONS RESEARCH Frederick Hillier / Geral Lieberman Editora: Holden Day, INC [02] PESQUISA OPERACIONAL Albert Von Ellenrider Editora: Almeida Neves Ltda

37

Page 38: Apostila Prog Linear

[03] PESQUISA OPERACIONAL Pierre Jaccques Ehrlich Editora: Atlas S.A. [04] PESQUISA OPERACIONAL Abelardo de Lima Puccini Editora: LTC S.A. [05] LINEAR PROGRAMMING G. Hadley Editora: Addison - Voesley Co. [06] PESQUISA OPERACIONAL E TRANSPORTES Antônio Galvão Novaes Editora: EDUSP / McGraw-Hill do Brasil S.A. [07] ADMINISTRAÇÃO DE ESTOQUES Paulo Sérgio Gonçalves / Enrique Schwember Editora: INTERFERÊNCIA [08] PROGRAMAÇÃO LINEAR Luzia Kazuko Yoshida Editora: Atual Editora [09] APLICAÇÕES DE PESQUISA OPERACIONAL (Vol. I e II) Victor Mirshawaka Editora: Novel [10] PESQUISA OPERACIONAL EM ENGENHARIA, ECONOMIA E ADMINISTRAÇÃO Tamio Shimizu Editora: Guanabara Dois [11] PROGRAMAÇÃO LINEAR A. Barsov, A. Okhlopkova Editora: Mir Moscou [12] APOSTILA

INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL Prof. Dr. Domingos Fernandes Campos - DEPT/UFRN Módulo I

[13] INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL

Hillier/Lieberman 1a Edição em Português Editora Campus Ltda Editora da Universidade de São Paulo

[14] PEQUISA OPERACIONAL Russell Ackoff / Maurice W. Sassienei Coleção Universitária de Administração

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