Apostila-Resistência dos Materiais

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IFRN –Campus Mossoró Curso Técnico de Edificações REVISÃO GERAL Múltiplos e submúltiplos Conversão de Unidades Professor: Marcio Varela 1

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REVISO GERAL Mltiplos e submltiplos

Converso de Unidades

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Trigonometria Para o estudo da Mecnica necessitam-se dos conceitos fundamentais da trigonometria. A palavra trigonometria significa medida dos trs ngulos de um tringulo e determina um ramo da matemtica que estuda as relaes entre as medidas dos lados e dos ngulos de um tringulo. Crculo e Funes Trigonomtricas

Tringulo retngulo No tringulo retngulo, os catetos so os lados que formam o ngulo de 90. A hipotenusa o lado oposto ao ngulo de 90 e determinada pela relao: a2 = b2 + c2 . Relaes trigonomtricas

Relao fundamental da trigonometria: sen2 x + cos2 x =1

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Razes Trigonomtricas Especiais

Tringulo qualquer

Introduo Mecnica: Esttica

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Alfabeto Grego Os problemas usuais em engenharia so definidos por formulaes matemticas, as quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. , pois, necessrio, seu conhecimento para as prticas comuns da Engenharia.

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1. Fundamentos da Resistncia dos Materiais1.1 Tenses e Deformaes Esforos internos O objetivo principal deste mdulo estudar os esforos ou efeitos internos de foras que agem sobre um corpo. Os corpos considerados no so supostos perfeitamente rgidos; so corpos deformveis de diferentes formas e submetidos a diferentes carregamentos.

Barra carregada axialmente Considerando-se uma barra prismtica (de eixo reto e seo transversal constante) sob ao de duas foras iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo, a barra tracionada quando as foras so direcionadas para fora da barra. Em caso contrrio, a barra comprimida.

Figura 1.1 Carregamento axial Sob a ao dessas foras externas surgem esforos internos na barra; para o seu estudo, imagina-se a barra cortada ao longo de uma seo transversal qualquer. Removendo-se a parte do corpo situada direita do corte, tem-se a situao onde est apresentada a ao que a parte suprimida exercia sobre o restante.

Figura 1.2 Esforo Interno

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Atravs

deste

artifcio,

os

esforos

externos

na

seo

considerada

transformam-se em internos. Para que no se altere o equilbrio, estes estoros devem ser equivalentes resultante, tambm axial de intensidade P, e devem ser perpendiculares seo transversal considerada. Distribuio dos esforos internos A distribuio dos esforos resistentes ao longo de todos os pontos da seo transversal considerada uniforme embora talvez nunca se verifique na realidade. O valor exato do esforo que atua em cada ponto funo da natureza cristalina do material e da orientao dos cristais no ponto. Tenso normal Quando o esforo interno resistente atuando em cada ponto da seo transversal for perpendicular esta seo, recebe o nome de tenso normal. A tenso normal tem a mesma unidade de presso, ou seja, fora por unidade de rea. No exemplo em questo, a intensidade da tenso normal em qualquer ponto da seo transversal obtida dividindo-se a fora P pela rea A da seo transversal. = P/A Onde: a tenso normal (N/m2, ton/m2, kg/m2; g/cm2); P a fora aplicada na seo transversal (N); A a rea da seo transversal (m2). Se a fora P de trao, a tenso normal de trao. Se a fora P de compresso, a tenso normal de compresso. Corpos de prova Para a anlise de tenses e deformaes, corpos de prova so ensaiados em laboratrio. Os ensaios so padronizados: a forma e as dimenses dos corpos de prova variam conforme o material a ser ensaiado ou o tipo de ensaio a se realizar.

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Deformao linear

Ensaiando-se um corpo de prova trao, com foras axiais gradualmente crescentes e medindo-se os acrscimos sofridos pelo comprimento inicial, pode-se obter a deformao linear.

Figura 1.3 Deformao Linear = L/L Onde: a deformao linear (adimensional); L o acrscimo do comprimento do corpo de prova devido aplicao da carga (m); L o comprimento inicial do corpo de prova (m).

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1.2

Diagrama tenso x deformao Pode-se ento medir os diversos Ls correspondentes aos acrscimos da carga axial aplicada barra e realizar o ensaio at a ruptura do corpo de prova. Chamando de A a rea da seo transversal inicial do corpo de prova, a tenso normal pode ser determinada para qualquer valor de P, com a frmula = P/A. Obtm-se, assim, diversos pares de valores e . A representao grfica da funo que os relaciona recebe o nome de diagrama tenso x deformao. Exemplos de diagrama tenso x deformao:

Figura 1.4 Diagramas tenso x Deformao

O diagrama tenso x deformao varia muito de material para material e, dependendo da temperatura do corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga podem ocorrer resultados diferentes para um mesmo material. Entre os diagramas tenso x deformao de vrios grupos de materiais possvel, no entanto, distinguir algumas caractersticas comuns que nos levam a dividir os materiais em duas importantes categorias: materiais dcteis e materiais frgeis. Materiais dcteis e frgeis Material dctil aquele que apresenta grandes deformaes antes de se romper (ao e alumnio, por exemplo), enquanto que o frgil aquele que se deforma relativamente pouco antes de se romper (ferro fundido e concreto, por exemplo).

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1.3

Lei de Hooke Para os materiais dcteis, observa-se que a funo tenso x deformao, no trecho OP, linear. Esta relao linear entre os deslocamentos e as cargas axiais foi apresentada por Robert Hooke em 1678 e conhecida como Lei de Hooke. Logo, o trecho OP do diagrama representado por: =E. Onde: a tenso normal (N/m2); E o mdulo de elasticidade do material (N/m2) e representa a tangente do ngulo que a reta OP forma com o eixo ; a deformao linear (adimensional).

Figura 1.5 Diagrama tenso x Deformao

Mdulo de elasticidade A constante E representa o mdulo de elasticidade do material sob trao e tambm pode ser chamada de Mdulo de Young. Tabelas com os mdulos de elasticidade de diferentes materiais podem ser obtidas em manuais ou livros de engenharia. Propriedades mecnicas A anlise dos diagramas tenso x deformao permite caracterizar diversas propriedades do material:

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Limite de proporcionalidade: A tenso correspondente ao ponto P recebe o nome de limite de proporcionalidade e representa o valor mximo da tenso abaixo da qual o material obedece a Lei de Hooke. Para um material frgil, no existe limite de proporcionalidade (o diagrama no apresenta parte reta). Limite de elasticidade: Muito prximo a P, existe um ponto na curva tenso x deformao ao qual corresponde o limite de elasticidade; representa a tenso mxima que pode ser aplicada barra sem que apaream deformaes residuais ou permanentes aps a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade so praticamente iguais, sendo usados como sinnimos. Regio elstica: O trecho da curva compreendido entre a origem e o limite de proporcionalidade recebe o nome de regio elstica. Regio plstica: O trecho da curva entre o limite de proporcionalidade e o ponto de ruptura do material; chamado de regio plstica.

P

Figura 1.6 Regies Plsticas e Elsticas

Limite de escoamento: A tenso correspondente ao ponto Y tem o nome de limite de escoamento. A partir deste ponto, aumentam as deformaes sem que se altere praticamente o valor da tenso. Quando se atinge o limite de escoamento, dizse que o material passa a escoar-se.

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Limite de resistncia: (ou resistncia trao): A tenso correspondente ao ponto U recebe o nome de limite de resistncia. Limite de ruptura: A tenso correspondente ao ponto R recebe o nome de limite de ruptura (ocorre a ruptura do corpo de prova).

Figura 1.7 Limites de Escoamento, Resistncia e Ruptura

Tenso admissvel: Obtm-se a tenso admissvel dividindo-se a tenso correspondente ao limite de resistncia ou a tenso correspondente ao limite de escoamento por um nmero, maior do que a unidade (1), denominado coeficiente de segurana. A fixao do coeficiente de segurana feita nas normas de clculo ou, s vezes, pelo prprio calculista, baseado em experincia prpria. adm = res/S ou adm = esc/S Limite de escoamento de materiais frgeis: Denomina-se agora o limite de escoamento como a tenso que corresponde a uma deformao permanente, prfixada, depois do descarregamento do corpo de prova. Fixa-se 1, traa-se a reta tangente curva partindo da origem, traa-se uma reta paralela tangente passando por O; sua interseo com a curva determina o ponto Y que corresponde ao limite de escoamento procurado.

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Figura 1.8 Tenso Deformao de Materiais Frgeis

Coeficiente de Poisson: a relao entre a deformao transversal e a longitudinal verificada em barras tracionadas recebe o nome de coeficiente de Poisson ( ). Para diversos metais, o coeficiente de Poisson varia entre 0,25 e 0,35. = |deformao especfica transversal / deformao especfica longitudinal| = |y / x| ou = |z / x|

Exerccios

1) Uma barra de 3 metros de comprimento tem seo transversal retangular de 3 cm x 1 cm. Determinar o alongamento produzido pela carga axial de 60N. O mdulo de elasticidade do material de 200 KN/mm2.

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2) Uma barra de 30 cm de comprimento e dimetro de 1 cm sofre um alongamento produzido por uma carga de 5 toneladas. O mdulo de elasticidade do material de 150 KN/mm2. Determinar o alongamento da barra.

3) Uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm de dimetro tracionada por uma carga axial de 12 kN. O seu comprimento aumenta em 0,3 mm e o seu dimetro se reduz em 0,0024 mm. Determinar o mdulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material.

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2. Introduo a Esttica2.1 Foras no plano A Fora representa a ao de um corpo sobre o outro e caracterizada pelo seu ponto de aplicao, sua intensidade, direo e sentido. A intensidade de uma fora expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direo de uma fora definida por sua linha de ao, ou seja, a reta ao longo da qual a fora atua, sendo caracterizada pelo ngulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 4 abaixo.

Figura 2.1 Vetor Fora O sentido da fora indicado por uma seta (vetor). Denomina-se Grupo de foras, o conjunto de foras aplicadas em um nico ponto de um corpo. Sistema de foras o conjunto de foras aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo. 2.2 Equilbrio de um ponto material Ponto material uma pequena poro de matria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espao. Quando a resultante de todas as foras que atuam sobre um ponto material nula, este ponto est em equilbrio. Este princpio conseqncia da primeira lei de Newton: se a fora resultante que atua sobre um ponto material zero, este ponto permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com velocidade constante (se originalmente estava em movimento). Para exprimir algebricamente as condies de equilbrio de um ponto material, escreve-se: F = R = 0

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onde: F = fora R = resultante das foras A representao grfica de todas as foras que atuam em um ponto material pode ser representada por um diagrama de corpo livre, como indica a figura ao lado.

Figura 2.2 Foras Atuantes em um Ponto Material

Exerccio: Verificao do equilbrio do ponto A Para que o ponto A esteja em equilbrio necessrio que a somatria de todas as foras que agem no ponto A sejam nulas, ou seja:

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Exerccios:

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2.3 Momento de uma fora Define-se Momento como a tendncia de uma fora F fazer girar um corpo rgido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do mdulo de F e da distncia d de F em relao ao eixo fixo. Considere-se uma fora F que atua em um corpo rgido fixo no ponto 0, como indicado na figura. A fora F representada por um vetor que define seu mdulo, direo e sentido. O vetor d a distncia perpendicular de 0 linha de ao de F.

Figura 2.3 Momento de uma Fora Define-se o momento escalar do vetor F em relao a 0, como sendo, M=Fd0 onde: M0= momento escalar do vetor F em relao ao ponto 0 0 = plo ou centro de momento d= distncia perpendicular de 0 linha de ao de F, tambm chamada de brao de alavanca O momento M0 sempre perpendicular ao plano que contm o ponto 0. O sentido de M0 definido pelo sentido de rotao imposto pelo vetor F. Convenciona-se momento positivo se a fora F tender a girar o corpo no sentido antihorrio e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horrio.

Figura 2.4 Conveno dos Sentidos do Momentos

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No SI, onde a fora expressa em newtons (N) e a distncia em metros (m). Portanto, o momento expresso em newtons metros (N m). 2.4 Momento de um binrio Duas foras F e F que tenham o mesmo mdulo, linhas de ao paralelas e sentidos opostos formam um binrio. A soma das componentes das duas foras em qualquer direo zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas foras em relao a um dado ponto no zero. Apesar de as duas foras no transladarem o corpo no qual atuam, tendem a faz-lo girar.

Figura 2.5 Momento Binrio Exerccios: 1) Determinar: a) O momento em A devido ao binrio de foras ilustrado na figura abaixo: b) Substituir o binrio da figura por uma fora F vertical aplicada no ponto B.

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2) Substituir o binrio e a fora F ilustrados na figura por uma nica fora P = 400 N, aplicada no ponto C da alavanca. Determinar a distncia do eixo ao ponto de aplicao desta fora.

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3. Estruturas Isosttica Planas3.1 Estrutura Conceito: A estrutura a parte da construo responsvel pela resistncia s aes externas e o objeto de estudo da resistncia dos materiais. 3.2 Tipos de estrutura As estruturas podem ser classificadas de duas formas: - quanto s dimenses - quanto vinculao

Quanto s dimenses: - Reticulares: uma dimenso predomina sobre as outras duas (ex.: vigas, trelias, prticos planos, pilares, etc.)

1. Cargas Atuantes nas Estruturas

Figura 3.1 Exemplos de estruturas reticuladas

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- Laminares: duas dimenses predominam sobre a terceira (ex.: cortinas, lajes, etc.)

Figura 3.2 Exemplos de estruturas laminares - Tridimensionais: as trs dimenses tm a mesma ordem de grandeza (ex.: barragens)

Figura 3.3 Exemplo de estrutura tridimensional

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4. Cargas Atuantes nas Estruturas 4.1 Cargas ExternasUma estrutura pode estar sujeita ao de diferentes tipos de carga, tais como presso do vento, reao de um pilar ou viga, as rodas de um veculo, o peso de mercadorias, etc. Estas cargas podem ser classificadas quanto ocorrncia em relao ao tempo e quanto s leis de distribuio. Quanto ocorrncia em relao ao tempo: Cargas Permanentes: Atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo e so devidas ao seu peso prprio e dos revestimentos e materiais que a estrutura suporta. Tratam-se de cargas com posio e valor conhecidos e invariveis.

Figura 4.1 Exemplo de carga permanente Cargas Acidentais: So aquelas que podem ou no ocorrer na estrutura e so provocadas por ventos, empuxo de terra ou gua, impactos laterais, frenagem ou acelerao de veculos, sobrecargas em edifcios, peso de materiais que preenchero a estrutura no caso de reservatrios de gua e silos, efeitos de terremotos, peso de neve acumulada (regies frias), etc.

Figura 4.2 Exemplo de carga acidental

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4.2 Quanto s leis de distribuio:Cargas concentradas: So cargas distribudas aplicadas a uma parcela reduzida da estrutura, podendo-se afirmar que so reas to pequenas em presena da dimenso da estrutura que podem ser consideradas pontualmente (ex.: a carga em cima de uma viga, a roda de um automvel, etc.). Cargas distribudas: Podem ser classificadas em uniformemente distribudas e uniformemente variveis. Uniformemente distribudas: So cargas constantes ao longo ou em trechos da estrutura (ex.: peso prprio, peso de uma parede sobre uma viga, presso do vento em uma mesma altura da edificao, etc.).

Figura 4.3 Exemplo de carga uniformemente distribuda Uniformemente variveis: So cargas triangulares (ex.: carga em paredes de reservatrio de lquido, carga de gros a granel, empuxo de terra ou gua, vento ao longo da altura da edificao, etc.).

Figura 4.4 Exemplo de uniformemente varivel

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5. Aparelhos de ApoiosA funo bsica dos vnculos ou apoios de restringir o grau de liberdade das estruturas por meio de reaes nas direes dos movimentos impedidos, ou seja, restringir as tendncias de movimento de uma estrutura. Os vnculos tm a funo fsica de ligar elementos que compem a estrutura, alm da funo esttica de transmitir as cargas ou foras. Os vnculos ou apoios so classificados em funo de nmero de movimentos impedidos. Para estruturas planas existem trs tipos de vnculos:

5.1

Vnculos de Primeira Ordem (apoio simples):

So aqueles que impedem deslocamento somente em uma direo, produzindo reaes equivalentes a uma fora com linha de ao conhecida. Apenas uma reao ser a incgnita.

Figura 5.1 Aparelho de Apoio do 1 Gnero O deslocamento na posio y impedido, logo, nesta direo, tem-se uma reao de apoio V.

5.2

Vnculos de Segunda Ordem (articulao plana):

So aqueles que restringem a translao de um corpo livre em todas as direes, mas no podem restringir a rotao em torno da conexo. Portanto, a reao produzida equivale a uma fora com direo conhecida, envolvendo duas incgnitas, geralmente representadas pelas componentes x e y da reao.

Figura 5.2 Aparelho de Apoio do 2 Gnero

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5.3

Vnculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio fixo):

So aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, imobilizando-o completamente.

Figura 5.3 Aparelho de Apoio do 3 Gnero Observao: Os vnculos podem ser chamados de 1, 2 e 3 ordem ou classe ou gnero ou tipo.

5.4

Classificao da estrutura quanto vinculao:

Isosttica: tem o nmero necessrio de vnculos para impedir o deslocamento. Bastam as equaes fundamentais da esttica para determinar as suas reaes de apoio. Hiposttica: tem menos vnculos do que o necessrio. Hipersttica: tem nmero de vnculos maior que o necessrio. O nmero de reaes de apoio excede o das equaes fundamentais da esttica.

5.5

Equaes de equilbrio esttico

Condies de equilbrio Para um corpo, submetido a diferentes foras, estar em equilbrio, necessrio que as foras no provoquem tendncia rotao e translao. Translao depende das foras resultantes: F = 0 Rotao depende dos momentos resultantes: M = 0 Logo, tem-se as seis equaes fundamentais da esttica: Fx = 0; Fy = 0; Fz = 0 Mx = 0; My = 0; Mz = 0

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Exerccios - Reaes de apoio Determinar as reaes de apoio para as estruturas dadas abaixo. Exerccios a serem resolvidos em sala de aula. 1. Viga biapoiada com carga concentrada:

2. Viga biapoiada com carga concentrada:

3. Viga biapoiada com carga concentrada:

4. Viga engastada com carga concentrada:

5. Viga biapoiada com momento aplicado:Professor: Marcio Varela

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6. Viga biapoiada com cargas concentradas na direo horizontal:

7. Viga biapoiada com carga uniformemente distribuda:

8. Viga engastada com carga uniformemente varivel e uniformemente distribuda:

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6. Esforos internosViu-se, anteriormente, os esforos que atuam numa estrutura em equilbrio. Veremos agora os esforos que atuam numa seo qualquer da estrutura, provocados por foras ativas e reativas. Numa seo qualquer, para manter o equilbrio, as foras da esquerda devem ser iguais s da direita.

Figura 6.1 Esforos Internos Uma seo S de uma estrutura em equilbrio est submetida a um par de foras R e R e um par de momentos M e M aplicados no seu centro de gravidade, resultantes das foras atuantes direita e esquerda da seo.

Figura 6.2 Esforos Internos - Foras e Momentos Decompondo a fora resultante e o momento em duas componentes, uma perpendicular e a outra paralela seo, teremos:

Figura 6.3 Esforos Internos Deomposio dos EsforosProfessor: Marcio Varela

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Assim, tm-se os seguintes esforos solicitantes: N = fora normal (fora perpendicular seo S); Q = esforo cortante (fora pertencente seo S); T = momento toror (momento perpendicular seo S); M = momento fletor (momento pertencente seo S).

6.1

Esforo Normal (N)

a soma algbrica de todas as componentes, na direo normal seo, de todas as foras atuantes de um dos lados da seo. Por conveno, o esforo normal positivo quando determina trao e negativo quando determina compresso.

Figura 6.4 Esforo Normal 6.2 Esforo Cortante (Q) a soma vetorial das componentes sobre o plano da seo das foras situadas de um mesmo lado da seo. Por conveno, as projees que se orientarem no sentido dos eixos sero positivas e nos sentidos opostos, negativas.

Figura 6.5 Esforo Cortante

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6.3

Momento Fletor (M)

a soma vetorial das componentes dos momentos atuantes sobre a seo, situados de um mesmo lado da seo em relao ao seu centro de gravidade.

Figura 6.6 Momento Fletor sees No caso de momento fletor, o sinal positivo ou negativo irrelevante, importante determinar o seu mdulo e verificar onde ocorre compresso e trao.

Figura 6.7 Momento Fletor trao e compresso

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6.4

Mtodo das sees

Imagine-se uma estrutura qualquer com foras aplicadas; considerando que as partes do corpo tm de estar em equilbrio quando o corpo o est, e fazendo-se um corte imaginrio perpendicular ao eixo da viga, qualquer parte da viga poder ser considerada como um corpo livre. Cada um dos segmentos da viga est em equilbrio, cujas condies exigem a existncia de um sistema de foras na seo de corte da viga. Em geral, na seo de uma viga, so necessrios uma fora vertical, uma horizontal e um momento para manter a parte da viga em equilbrio. A representao grfica dos esforos internos em qualquer ponto da viga, representados em funo de uma distncia x a partir de uma das extremidades da mesma, se d atravs dos chamados diagramas de estado ou diagramas de esforos internos. Por meio desses diagramas possvel a determinao dos valores mximos absolutos do esforo cortante, do momento fletor e do esforo normal.

6.5

Vigas Biapoiadas e Diagramas de Esforos Internos

a. Viga Biapoiada com Carga Concentrada:

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Exerccios: A - Determine as reaes de apoios e os diagramas de esforos das estruturas abaixo.

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B - Determine as reaes de apoios, os diagramas de esforos das estruturas abaixo e os esforos nas sees indicadas.

1)

2)

b. Viga Biapoiada com Carga Uniformemente Distribuida:

c. Viga Biapoiada com Carga Uniformemente Varivel:

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d. Viga Engastada com Carga Uniformemente Distribuida:

Exerccios:

1) Considere a viga sendo 20x30, e lembre que o (peso especfico) doconcreto 2500 kg/m3. Faa o modelo de clculo da viga abaixo, calcule os diagramas de esforos solicitantes na seo S.S 1.25

2) Calcule os diagramas de esforos solicitantes na seo S das vigas abaixo.a)

b)

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c)

d)

e)

f)

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g)

i)

j)

k)

l)

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m)

7. Prticos Planos Isostticos:Prtico o conjunto de elementos estruturais formado por vigas e pilares, as vigas dos prticos esto sujeitos aos mesmos esforos solicitantes das vigas contnuas, ou seja, momentos fletores e esforos cortantes e em alguns casos aos esforos axiais e momentos torores. Os pilares podem estar sujeitos aos mesmos esforos, sendo que o mais solicitante, geralmente, o esforo axial, Pois atravs dele que as cargas aplicadas na estrutura chegam aos aparelhos de apoio (fundaes).

Figura 4.7 Prtico isosttico

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Exerccios:4 KN/m

3.00 m

4.00 m

10.0 KN

4.0 m

3.0 m

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10.0 KN

10.0 KN

4.00 m

3.00 m

2 KN

4 KN/m

3.00 m

2.00 m 4.00 m

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8. Properidades Geomtricas das Figuras PlanasO dimensionamento e a verificao da capacidade resistente de barras, como de qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tenses, as quais se distribuem ao longo das sees transversais de um corpo. Da vem a necessidade de se conhecer claramente as caractersticas ou propriedades das figuras geomtricas que formam essas sees transversais. A Figura 8.1 abaixo ilustra uma barra reta de seo transversal constante, chamada barra prismtica. O lado da barra que contm o comprimento (L) e a altura (h) chamado de seo longitudinal e o que contm a largura (b) e a altura (h) chamado de seo transversal.

Figura 8.1 Momento Fletor As principais propriedades geomtricas de figuras planas so: rea (A) Momento esttico (M) Centro de gravidade (CG) Momento de Inrcia (I) Mdulo de resistncia (W) Raio de girao (i)

8.1 rea (A)A rea de uma figura plana a superfcie limitada pelo seu contorno. Para contornos complexos, a rea pode ser obtida aproximando-se a forma real pela justaposio de formas geomtricas de rea conhecida (retngulos, tringulos, etc). A unidade de rea [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado). A rea utilizada para a determinao das tenses normais (trao e compresso) e das tenses de transversais ou de corte.

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8.2

Momento Esttico (M)

Momento esttico de um elemento de uma superfcie plana em relao a um eixo o produto da rea do elemento pela sua distncia ao eixo considerado. Logo: O momento esttico do elemento em relao ao eixo x ser: Mx = y dA O momento esttico do elemento em relao ao eixo y ser: My = x dA

Figura 8.2 Momento Esttico (M) Momento esttico de uma superfcie plana em relao a um eixo a soma dos momentos estticos, em relao ao mesmo eixo, dos elementos que formam a superfcie total. Logo: O momento esttico da superfcie em relao ao eixo x ser: Mx = y dA O momento esttico da superfcie em relao ao eixo y ser: My = x dA Momento esttico uma grandeza escalar com dimenso M = [L]3, podendo ser positivo, negativo ou nulo. utilizado para a determinao das tenses transversais que ocorrem em uma pea submetida flexo. O Momento Esttico de uma superfcie composta por vrias figuras conhecidas a somatria dos Momentos Estticos de cada figura.

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Exemplo: determinar o Momento Esttico das figuras abaixo

M1,x = ycg1 . A1 M2,x = ycg2 . A2 M3,x = ycg3 . A3 ........... Mx = M1,x + M2,x+ M3,x

Elemento Vazado

Mx = M1,x - M2,x

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8.3

Centro de Gravidade ou Baricentro (CG)

Se um corpo for dividido em partculas mnimas, estas ficam sujeitas ao da gravidade, isto , em todas estas partculas est aplicada uma fora vertical atuando de cima para baixo. A resultante de todas estas foras verticais e paralelas entre si, constitui o peso do corpo. Mesmo mudando a posio do corpo aplicando-lhe uma rotao, ele permanecer sempre sujeito ao da gravidade. Isto significa que as foras verticais giraro em relao ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as resultantes dessas foras paralelas, qualquer que seja a posio do corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG).

Figura 8.3 Centro de Gravidade ou Baricentro (CG) Portanto, atrao exercida pela Terra sobre um corpo rgido pode ser representada por uma nica fora P. Esta fora, chamada peso do corpo, aplicada no seu baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade pode localizarse dentro ou fora da superfcie. Sendo CG o centro de gravidade de uma superfcie plana de rea A definido pelo par ordenado (x,y) tem-se as seguintes expresses: Mx = ycg . A e My = xcg . A

que exprimem o chamado teorema dos momentos estticos e possibilitam determinar o centro de gravidade da superfcie plana, ou seja: ycg = Mx/AProfessor: Marcio Varela

e

xcg = My . A

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onde: xcg = distncia do CG da figura at o eixo y escolhido arbitrariamente; ycg = distncia do CG da figura at o eixo x escolhido arbitrariamente; Mx = momento esttico da figura em relao ao eixo x; My = momento esttico da figura em relao ao eixo y; A = rea da Figura. Propriedades do centro de gravidade 1 2 O momento esttico de uma superfcie em relao a qualquer eixo baricntrico (que passe pelo CG) nulo. Se existe um eixo de simetria na pea, ento o CG est contido neste eixo.

8.4

Centro de gravidade de rea composta

Qualquer polgono pode ser decomposto em retngulos ou tringulos, cujos CGs podem ser facilmente determinados.

Figura 8.4 Centro de Gravidade de rea composta (CG) O centro de gravidade de uma superfcie composta por vrias figuras, expresso por:

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Exemplos: 1 - Determinar o centro de gravidade da figura abaixo:

2 - Determinar o centro de gravidade da figura hachurada:

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3 - Determinar o centro de gravidade da figura hachurada:

4 - Determinar as coordenadas do CG das figuras abaixo:

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Centro de gravidade de algumas figuras planas

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8.5

Momento de Inrcia (I)

Momento de inrcia de um elementoO momento de inrcia de um elemento de uma superfcie plana em relao a um eixo qualquer o produto da rea do elemento pelo quadrado de sua distncia ao eixo considerado. O momento de inrcia do elemento em relao ao eixo x ser:

Ix = y2 . dAO momento de inrcia do elemento em relao ao eixo y ser:

Iy = x2 . dAPor analogia, o momento de inrcia de um elemento em relao ao ponto o (origem do sistema de eixos) ser: Io = r2 dA Como r2 = x2 + y2, tem-se:

Io = (x2 + y2) dA = x2 dA + y2 dA = Ix + IyO produto de inrcia de um elemento em relao a um par de eixos o produto da rea do elemento pelos eixos considerados.

Ixy = x y dAMomento de inrcia de uma superfcie O momento de inrcia de uma superfcie plana em relao a um eixo a soma dos momentos de inrcia dos elementos que a constituem, em relao ao mesmo eixo. O momento de inrcia da superfcie em relao ao eixo x ser:

Ix = y2 . dAO momento de inrcia do elemento em relao ao eixo y ser:

Iy = x2 . dAA unidade do momento de inrcia [L]2[L]2=[L]4. O momento de inrcia uma caracterstica geomtrica importantssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numricos, a resistncia da pea. Quanto maior for o momento de inrcia da seo transversal de uma pea, maior a sua resistncia.

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Propriedade: O momento de inrcia total de uma superfcie a somatria dos momentos de inrcia das figuras que a compe.

Ix = I1,x + I2,x + I3,x

Figura 8.5 Centro de Gravidade de rea composta (CG)

Exemplo: Determinar o momento de inrcia da superfcie hachurada em relao ao eixo x que passa pelo CG.

8.6

Translao de eixos ou Teorema de Steiner

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O momento de inrcia de uma superfcie em relao a um eixo qualquer igual ao momento de inrcia em relao ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto da rea (A) pelo quadrado da distncia que separa os dois eixos.

Ix = Ixcg + A . y2cg Iy = Iycg + A . x2cg

Figura 8.6 Translao de Eixos (CG) Onde: Ix = momento de inrcia da figura em relao ao eixo x. Iy= momento de inrcia da figura em relao ao eixo y. Icgx = momento de inrcia da figura em relao ao eixo CG x que passa pelo CG da figura. Icgy = momento de inrcia da figura em relao ao eixo CG y que passa pelo CG da figura. xcg = distncia do eixo y at o eixo CG y . ycg = distncia do eixo x at o eixo CG x . Exemplo: Determinar o momento de inrcia do retngulo em relao aos seguintes eixos: a) x, passando pela base inferior. b) xcg, passando pelo CG. a) Utilizando a formulao de mudana de eixos:

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b) Momento de inrcia do retngulo em relao ao seu CG:

8.7

Mdulo de Resistncia (W)

Define-se mdulo resistente de uma superfcie plana em relao aos eixos que contm o CG como sendo a razo entre o momento de inrcia relativo ao eixo que passa pelo CG da figura e a distncia mxima entre o eixo e a extremidade da seo estudada.

Figura 5.7 Mdulo Resistncia (W) onde: Icg = momento de inrcia da pea em relao ao CG da figura x, y = distncia entre o eixo do CG da figura e a extremidade da pea. A unidade do mdulo resistente : [L]3 O mdulo resistente utilizado para o dimensionamento de peas submetidas flexo. Exemplo: Para o retngulo, tem-se:

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8.8

Raio de Girao (r)

Define-se raio de girao como sendo a raiz quadrada da relao entre o momento de inrcia e a rea da superfcie. A unidade do raio de girao o comprimento. O raio de girao utilizado para o estudo da flambagem. Para o raio de girao em relao ao eixo x temos:

Ix = r2x . A, logo:r2x = Ix/ A Para o raio de girao em relao ao eixo y temos:

Ix = r2x . A, logo:r2y = Iy/ A Exemplo: A figura representa a seo transversal de uma viga T. Para a figura, determinar: a) o centro de gravidade; b) o momento de inrcia em relao ao eixo x; c) os mdulos Resistentes superior e inferior; d) o raio de girao.

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Caractersticas Geomtricas de algumas figuras conhecidas

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Exerccios: Determinar as caractersticas geomtricas das figuras abaixo: a) rea; b) centro de gravidade (xcg , ycg); c) momento de inrcia em relao ao eixo x; c) momento de inrcia em relao ao eixo y; d) mdulo resistente superior e inferior; e) raio de girao.

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Soluo do exemplo da Viga T Para facilitar a determinao das propriedades geomtricas de figuras compostas, convm montar a seguinte tabela:

Centro de gravidade (CG)

Como o eixo de referncia passa pela base da figura, ento yinf = 4,65cm e ysup = 2,35cm. Na coluna Icgi (cm4) foi determinado o momento de inrcia de cada figura, passando pelo respectivo centro de gravidade. Por se tratar de retngulos, utilizou-se a expresso Ix = bh3/12. Em seguida, deve-se proceder translao destes momentos de inrcia para eixo x de referncia para determinar a sua somatria. A translao de eixos feita por meio da expresso: Ix = Icg + y2. A Obtido o momento de inrcia total em relao ao eixo x, deve-se agora proceder translao para o eixo x que passa pelo centro de gravidade da figura, por meio da seguinte expresso:

O momento de inrcia da figura em relao ao seu centro de gravidade Icg = 101,55cm4. Em seguida, calculam-se os momentos resistentes:

Finalmente, determina-se o raio de girao.

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9. Flambagem de colunasNeste ltimo mdulo da disciplina (aleluia!) estuda-se a estabilidade da estrutura, ou seja, sua capacidade para suportar uma dada carga sem sofrer uma mudana brusca em sua configurao. O estudo ser voltado para colunas suportando cargas axiais. Vejamos as seguintes imagens:

Figura 9.1 Flambagem de Coluna Uma coluna qualquer de comprimento L que vai suportar uma carga qualquer P estar bem dimensionada se a rea A da seo transversal for escolhida de modo que a tenso normal em qualquer ponto da seo transversal fique abaixo da tenso admissvel trao ou compresso do material usado; e se a deformao se mantiver dentro de especificaes recomendadas. No entanto, pode ocorrer o fenmeno da flambagem quando a carga P aplicada; em vez de permanecer com seu eixo retilneo, a coluna se torna encurvada. A coluna que flamba sob o carregamento especificado no clculo no est dimensionada corretamente. Se a condio de equilbrio perturbada, o sistema retornar sua posio original de equilbrio desde que a carga P no exceda a um certo valor P cr, denominado carga crtica. Se P < Pcr ento o sistema estvel.

9.1

Carga Crtica

A carga crtica determinada atravs da Frmula de Euler (Leonhard Euler, matemtico suo, 1707-1783), dada abaixo: Pcr = carga crtica; E = mdulo de elasticidade; I = momento de inrcia; Lf = comprimento de flambagem.

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No caso de colunas com seo transversal quadrada ou circular, o momento de inrcia da seo transversal em relao a qualquer eixo baricntrico o mesmo, de modo que a coluna pode flambar em qualquer plano. Para sees transversais de outras formas, a carga crtica deve ser calculada para I = Imin. Se a flambagem ocorrer, ela acontecer em um plano perpendicular ao eixo principal de inrcia correspondente.

9.2

Tenso Crtica

A tenso crtica dada por:

Do estudo de propriedades geomtricas de superfcies planas, temos que I = r2 . A, onde r o raio de girao e A, a rea da seo transversal. Logo:

Esta equao pode ser reescrita na forma:

A parcela Lf/r chamada de ndice de esbeltez e representada pela letra . Assim, teremos:

Observaes:

1. o raio de girao deve ser aquele correspondente ao momento de inrciamnimo.

2. O indice de esbeltes ( ) deve ser inferior a 200.

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9.3

Comprimento de Flambagem

O comprimento de flambagem dado pela seguinte frmula: Lf = k . L Onde: Lf = comprimento de flambagem; k = coeficiente que depende dos tipos de vnculo da coluna; L = comprimento real da coluna. O coeficiente k dado abaixo para quatro diferentes situaes:

Figura 6.2 Coeficientes de Flambagem de Coluna

9.4

Carga Admissvel

Para garantir que no ocorra flambagem, adota-se um coeficiente de segurana e calcula-se a carga admissvel, da seguinte forma:

onde: Padm = carga admissvel; Pcr = carga crtica; s = coeficiente de segurana. Este depende do tipo de material que est sendo utilizado.

Exerccios:Professor: Marcio Varela

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1. Determinar a carga crtica de flambagem de um pilar de 2 m com extremidades articuladas sabendo-se que o mdulo de elasticidade do material de 200.000 kgf/cm. A seo transversal mede 10 x 15 cm.

2. Supondo-se que a tenso crtica para o pilar da questo anterior de 500 kgf/cm, verifique se a pea est sujeita flambagem.

3. Determine a carga crtica de flambagem para um pilar engastado com 2 m de altura. O mdulo de elasticidade de 200.000 kgf/cm.

4. Supondo-se que a tenso crtica para o pilar da questo anterior de 500 kgf/cm, verifique se a pea est sujeita flambagem.

5. Determine a carga crtica de flambagem para o pilar de seo transversal tipo T dado abaixo. O mdulo de elasticidade de 250.000 kgf/cm.Professor: Marcio Varela

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6. Determine a carga admissvel para o pilar da questo anterior adotando coeficiente de segurana igual a 2.

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