Apostila Sistema Lineares_20130505213745

SISTEMA LINEARES

HISTÓRICO

Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C. Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).

São objetivos deste capitulo:a) Interpretação geométrica da solução de sistema (como compreensão de forma visual, não sendo

primordial para a resolução de sistemas).b) Operações elementares na matriz aumentada do sistema e sistemas equivalentes;c) Algoritmo de eliminação de Gauss (forma escalonada) e Gauss Jordan (forma totalmente escalonada).d) Novas interpretações do produto matriz vetor implicando novas interpretações de um sistema linear.e) Solução simultânea de sistemas lineares com mesma matriz de coeficientes.

Termos técnicos: Matriz aumentada, de coeficientes e lado direito de sistema linear. Matriz diagonal, triangular superior (e inferior). Sistemas equivalentes, operações elementares, pivôs, forma escalonada e totalmente escalonada. Sistema com solução única, infinitas soluções e nenhuma solução. Solução trivial, particular e geral (conjunto solução) de uma sistema linear, sistema homogêneo.

EQUAÇÕES LINEARES

Uma equação linear nas incógnitas x1, x2, ..., xn é uma equação que pode ser posta na forma padrão:

a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn=b

na qual:x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;a1, a2, a3, ...an são números reais chamados coeficientes das incógnitas;b é o temo independente.

As incógnitas x1, x2, x3, .. geralmente aparecem como x, y , z...

Então, dizemos que: 3x+2y=7 é uma equação linear nas incógnitas x e y; 3 e 2 são os coeficientes das incógnitas e 7 o

termo independente. 2x+3y-2z=10 uma equação linear nas incógnitas x , y e z x-5y+z-4t=0 é uma equação linear nas incógnitas x, y , z e t.

Não são equações lineares: xy=10

Geometria Analítica e Álgebra Linear – Sistemas Lineares

x²+y=6

x²-xy-yz+z²=1

EQUAÇÕES LINEARES COM UMA INCÓGNITA (NA RETA)

É o sistema mais simples que existe 1x1 (uma variável , uma equação)

Considere a equação linear ax=b.I. Se a≠0, então x=b/a é a solução única de ax=b.

II. Se a =0, mas b≠0, ax=b não tem solução.

III. Se a =0 e b=0, qualquer escalar k é solução de ax=b.

Exemplos

Resolva:

a) 4x-1=x+6

b) 2x-5-x=x+3

c) 4+x-3=2x+1-x

EQUAÇÕES LINEARES DEGENERADAS

Diz-se que uma equação é degenerada se tem a forma

0x1+0x2+0x3+...+0xn=b

Isto é, se todos os coeficientes são iguais a zero. A solução de tal equação é:

I. Se a constante b≠0, a equação não tem solução.

II. Se b=0, qualquer que seja (k1, k2, k3, ..., kn) é solução, ou seja ela admite infinitas soluções.

Exemplo:

Resolva a equação 4y-x-3y+3=2+x-2y+1.

EQUAÇÕES LINEARES COM DUAS INCÓGNITAS


De maneira geral uma equação com duas incógnitas podem ser postas na forma padrão

ax+by=c onde a, b, e c são números reais.(supondo que a equação não-degenerada, isto é, a e b não simultaneamente nulos).

Cada solução da equação é um par de números reais (k1, k2) que determinam um ponto no plano cartesiano RxR, ou seja R². Como a e b não são simultaneamente nulos, todas essas soluções correspondem precisamente aos pontos de uma reta (de onde vem o nome “equação linear”).

Exemplo:

x+y=4

SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS (R X R – R²)

Resolver uma equação linear significar descobrir o seu conjunto solução S, formado por todas as soluções do sistema.

A resolução dos sistemas lineares em R² já foi visto por meio de alguns métodos como adição, substituição, comparação e outros.

Numa lanchonete os pastéis têm preço único e os refrigerantes também. Nesse lugar, paguei R$ 5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante, e meu amigo pagou R$ 3,60 para 3 pastéis e 2 copos de refrigerante. Qual o preço do pastel e do refrigerante?

Um fazendeiro dividirá uma área de 28 hectares em duas partes: numa plantará soja e na outra milho. Que área poderá destinar a cada uma destas plantações?SoluçãoDenotando por x a quantidade de hectares de soja, e por y a quantidade de hectares de milho, temos a relação x + y = 28. Esta equação admite infinitas soluções reais. No entanto, para o nosso sitiante interessam somente aquelas em que 0 ·≤ x; y ≤· 28. Note que atribuindo a x qualquer valor entre 0 e 28, podemos imediatamente determinar o valor correspondente para y, através da relação y = 28 - x. Sendo assim, também neste caso teremos infinitas possibilidades de resposta. X

Por outro lado, se modificarmos um pouco o exemplo anterior, poderemos ter a sua solução profundamente modificada:


Exemplo Um fazendeiro dividirá uma área de 28 hectares em duas partes: numa plantará soja e na outra, milho. Ele espera vender a produção de cada hectare de soja por R$400 e a de milho, por R$300. Por precaução, o fazendeiro deseja que os valores das vendas totais da soja e do milho sejam iguais entre si. Que área deverá destinar a cada uma destas plantações ?

SoluçãoMantendo as mesmas notações do exemplo anterior, podemos representar a situação do problema do seguinte modo:

x + y = 28400x = 300y

Existem vários métodos para resolver estas equações, mas todas elas nos darão como única solução os valores de x = 12 e y = 16 (resta observar que estes valores de fato são possíveis, pois não podemos esquecer da condição extra 0< x; y< · 28

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM SISTEMA EM R²

Dados os sistemas:

a){x+ y=4 ¿ ¿¿¿

b){x+ y=4 ¿ ¿¿¿


c){x+ y=4 ¿ ¿¿¿

Exercícios:

1-Identifique com a letra A as equações lineares e com a letra B as equações não lineares:a) 5x-2y=6 f) 3xy=10b) X+4y-z=0 g)2x-y+xy=8c) X+y-z-t=0 h)x²+y²=13d) X²+y=10 i)2x+y+5z=15e) X+y=z-2 j) 3x1+4x2-x3=0

2- Identifique nas equações lineares do exercício 1 quais são as incógnitas, os coeficientes e o termo independente3-Verifique se o par ordenado:

a) (6,2) é uma solução da equação linear 4x-3y=18.b) (3,-5) é uma solução da equação linear 2x+3y=21

4-Verifique se o terno ordenado:a) (1,3,2) é uma solução da equação linear 2x+y+5z=15b) (0,0,0) é uma solução da equação linear 2x+7y-3z=0

5- Calcule o valor de k para que o par ordenado (3,k) seja uma solução linear 3x-2y=5.6- O terno ordenado (K,2,k+1) é uma das soluções da equação linear 4x+5y-3z=10. Determine k.7- Dada equação 2x-y=-1, fazendo x=α, com αR, escreva a solução geral dessa equação.8- Classifique os sistemas lineares:

a){x+ y=6 ¿ ¿¿¿

b) {x+2 y=4 ¿ ¿¿¿

c) {x+ y=10 ¿ ¿¿¿

d) {4 x−6 y=2 ¿ ¿¿¿

e) {2 x+3 y=6 ¿¿¿¿

f) {x+ y=10 ¿ ¿¿¿

SISTEMAS LINEARES EQUIVALENTES

Uma técnica utilizada de resolução para sistemas lineares em geral. Sua maior aplicação para sistemas “grandes”, constituem em substituir convenientemente o sistema original por sistemas cada vez mais simples, sempre “equivalentes” a ele.

Dois sistemas que admitem o mesmo conjunto solução são ditos sistemas equivalentes. Por exemplo, os sistemas:

{x−2 y=−3 ¿ ¿¿¿ e

{3 x−4 y=−5 ¿ ¿¿¿ são equivalentes, .pois ambos têm conjunto solução S=(1,2).

Observe que esses sistemas são equivalentes, embora as equações que os formam não o sejam.


Propriedade 1

Quando multiplicamos por K, KR*, os membros de uma equação qualquer de um sistema linear S, obtemos um novo sistema S’ equivalente a S.

Exemplo:Calcular m e n , de modo que os sistemas sejam equivalentes

{x− y=1¿ ¿¿¿ e

{mx−ny=−1¿ ¿¿¿Exercícios1-Considere a equação 4x-2y+z=8.

a) Verifique se o termo ordenado (0,-3,2) é uma solução dessa equação.b) Obtenha uma solução dessa equação em que o valor de z seja zero.

2-Determine m para que (-1,1,-2) seja solução da equação mx+y -2z=6.3-Verifique se os sistemas a seguir são equivalentes.

{2 x− y=5 ¿ ¿¿¿ e

{−x+5 y=11 ¿ ¿¿¿4-Invente um sistema de equações equivalentes ao sistema:

{x− y=6 ¿¿¿¿5-Determine a e b, de modo que sejam equivalentes os sistemas:

{x− y=0 ¿¿¿¿ e

{ax+by=1 ¿ ¿¿¿6-Resolva:

(1 4 72 3 65 1 −1 ).( xyz )=(228)

SISTEMAS NA FORMA MATRICIAL

Podemos associar um sistema linear duas matrizes cujos elementos são coeficientes das equações que

formam o sistema.

Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto do tipo:


Propriedade 2

Quando substituímos uma equação de um sistema linear S pela soma, membro a membro, dela com outra, obtemos um novo sistema S’ equivalente a S.

{a11 x1 +a12 x2 +.. . +a1 n xn ¿ b1

a21 x1 +a22 x2 +.. . +a2 n xn ¿b2

.

...

am1 x1 +am2 x2 +. .. . +amn ¿bn

Um a solução do sistema é uma n-upla de números (x1, x2, x3, ...xn) que

satisfaçam simultaneamente as m equações.

Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de qualquer um dos

sistemas também é solução do outro.

Podemos escrever um sistema na forma matricial

(a11 a12 .. . a1 n

a21 a22 .. . a2 n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 .. . amn).

(x1

x2

.

.

.

xn)=

(b1

b2

.

.

.

bm)

ou A.X=b onde

A=

(a11 a12 .. . a1 n

a21 a22 .. . a2 n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 .. . amn)

é matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema.


{a11 x1 +a12 x2 +.. . +a1n xn ¿b1

a21 x1 +a22 x2 +.. . +a2n xn ¿b2

.

...

am1 x1 +am2 x2 +. .. . +amn . xn ¿bn

X=

(x1

x2

.

.

.

xn)

é a matriz incógnitas b=

(b1

b2

.

.

.

bm)

é a matriz dos termos independentes.

Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é denominada matriz aumentada ou ampliada do

sistema.

Exemplo:

Dado os sistemas:

{x+2 y+z=7¿ {2 x+7 y+z=21¿ ¿¿¿a) Encontre a matriz dos coeficientes, a matriz das incógnitas e dos termos independentes.

b) Encontre a matriz aumentada.

Exercícios1-Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares.

a){3 x1 −2x2 ¿−14 x1 +5 x2 ¿37 x1 +3 x2 ¿2

b){2x1 +2x3 ¿13 x1 −x2 +4 x3 ¿76 x1 +x2 −x3 ¿0

c){x1 +2x2 −x4 +x5 ¿1

3x2 + x3 −x5 ¿2x3 +7 x4 ¿1

d) {x1 ¿1

x2 ¿2x3 ¿3

2- Encontre o sistema de equações lineares correspondendo à matriz aumentada.


{3 x+2 y+z+t=9 ¿ {x+7 y+4 z+2t=2¿ ¿¿¿

(a11 a12 .. . a1 n

a21 a22 .. . a2 n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 .. . amn

b1

b2

.

.

.

.bm

)

a)[2 0 03 −4 00 1 1 ]

b) [3 0 −2 57 1 4 −30 −2 1 7 ]

c) [7 2 1 −3 51 2 4 0 1 ] d)

[1 0 0 0 70 1 0 0 −20 0 1 0 30 0 0 1 4 ]


SISTEMA ESCALONADO

O método de escalonamento é utilizado para classificar resolver e discutir sistemas lineares de quaisquer ordens, além de resolvermos sistema, determinamos se os vetores são linearmente dependentes, determinamos coordenadas de vetores, mudamos de base, invertemos matriz, calculamos determinantes, encontramos autovetores, calculamos solução de mínimos quadrados, calculamos projeção ortogonal.

Para considerar um sistema genérico mxn escalonado (ou escada) devemos verificar se:

1. Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não nulo é 1.

[1 0 0 0 20 1 0 0 40 0 1 0 −20 0 0 0 0 ]

2. Se existirem linhas constituídas só de zeros, estas devem estar agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz, ou seja, ocorrem abaixo das linhas não nulas.

3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o líder(ou pivôr) da linha inferior ocorre mais a direita que o líder da linha superior.

4. Cada coluna que tem um líder tem zeros nas demais posições.

Se a matriz satisfizer apenas as condições 2 e 3 a matriz estará na forma escalonada. Se ela satisfizer as quatro condições a matriz estará na forma escalonada reduzida por linhas.

O procedimento utilizado para deixar uma matriz escalonada chama-se eliminação gaussiana. O procedimento para deixá-la na forma escalonada reduzida por linhas é denominado eliminação de Gauss-Jordan. (Assim, uma matriz em forma escalonada reduzida necessariamente está em forma escalonada, mas não reciprocamente).

Observação: Toda matriz tem uma única forma escalonada reduzida por linhas, ou seja, sempre chegamos à mesma forma escalonada reduzida por linhas para uma dada matriz, não importa como variamos as operações sobre as linhas. Por outro lado, uma forma escalonada de uma matriz não é única; diferentes seqüências de operações sobre linhas podem produzir formas escalonadas diferentes.

São exemplos de sistemas escalonados:

[1 0 0 10 1 0 20 0 1 3 ] {z+3 y ¿4

0 x+ y ¿1 { x +2 y − z ¿20 x +5 y +z ¿10 x +0 y − z ¿7

{2x − y +5 z +2w=40 x +3 y +8 z −2w=10 x +0 y −z −3w=00 x +0 y +0 z +4w=−8

{4 x + y +3 z=55 y −2 z=4

3 z=9 {x −3 y +2 z ¿1y −4 z ¿2 ⎣ [1 1 1

0 −1 20 0 5 ] (1 3 −1 5

0 0 −5 150 0 0 0 )

Exercícios


Este número em particular é chamado de líder ou pivôr.

Linha constituída só de zeros

1-Identifique os sistemas que encontram na forma escalonada.

a

)[1 −1 0 −1 20 1 0 3 50 0 0 1 70 0 0 0 1 ]

b) [0 2 11 0 −30 0 0 ]

c) [1 0 0 00 1 −1 00 0 1 0 ]

d) [0 1 −3 0 10 0 0 0 00 0 0 −1 2 ]

2-Diga, justificando, quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada e as que estão na forma

escalonada reduzida por linha

A=

[1 4 0 00 2 −4 00 0 0 1 ]

B= C=

[1 0 80 1 −20 0 1 ]

D=

(0 1 00 0 1 )

E= F=

[0 1 01 0 00 0 0 ]

G=

[1 −7 5 50 1 3 2 ]

H=

[1 3 0 2 01 0 2 2 00 0 0 0 10 0 0 0 0 ]

I=

[1 −2 3 −12 −1 2 −2 ]

J=

[0 1 32 1 −42 3 2 ]

L=

[ 1 −1 0−2 2 00 1 0 ]

RESOLUÇÃO E DISCUSSÃO DE UM SISTEMA ESCALONADO

Existem apenas dois tipos de sistema linear escalonado: 1º tipo: com o número de equações igual ao número de incógnitas; 2º tipo: com o número de equações menor que o número de incógnitas.

Exemplos:

1º Tipo

{4 x + y +3 z=55 y −2 z=4

3 z=9{x + 2

3y +z=1

y −25z=1

5z=2 [ 1 0 . .. 0 ¿

0 1 . .. 0 ¿.. . .. . . .. . .. . ¿0 0 0 1 ¿

]Geometria Analítica e Álgebra Linear – Sistemas Lineares

Sistema com uma

[1 4 0 00 1 −2 00 0 0 1 ]

(1 00 10 0 )

Sistemas escalonados com três equações e três incógnitas.

2º Tipo

{x −3 y +2 z ¿1y −4 z ¿2 {x +2 y −3 z ¿1

y +5 z ¿3 [1 −3 0 5 0 40 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2 ]

Trata-se de um sistema escalonado do 2º tipo, pois tem o número de equações menor que o número de incógnitas.Todo sistema linear escalonado desse tipo admite pelo menos uma variável que pode assumir qualquer valor real e, por isso, é chamada de variável livre a última variável de qualquer equação do sistema, nesse caso, a variável z. Para entender

Denomina-se grau de indeterminação, nº de parâmetros ou grau de liberdade de um sistema escalonado do 2º tipo o número de variáveis livres do sistema. Esse número é a diferença entre o número de variáveis e o número de equações, nessa ordem. Por exemplo, o sistema anterior tem uma única variável livre:

3 - 2 = 1

Importante:Veja o sistema

{9 x −2 y +3 z −w ¿1y −2 z +4w ¿6

5 z +2w ¿30w ¿9 [ ¿ ¿ . .. ¿ ¿

.. . .. . . .. . .. ¿¿ ¿ ¿ . .. ¿0 0 0 0 1 ]


PropriedadeTodo sistema linear escalonado do 1º tipo é possível e determinado (SPD).

PropriedadeTodo sistema linear escalonado do 2º tipo é possível e indeterminado (SPI)

Sistema sem solução

Nº de variáveis Nº de equações Nº de variáveis livres

Variável livre e variável (in)dependente – Após o escalonamento total de um sistema obteremos uma matriz n+1 colunas (correspondendo ao total de n variáveis) e p linhas (correspondendo ao número de pivôs ou de equações após o escalonamento). Chamamos de variável livre ou independente aquela associada a coluna sem pivô. Como são n variáveis no total e p equações são n-p variáveis livres. A cada variável livre é atribuído um parâmetro variável (usualmente denotado por r, s, t, ...) que pode assumir qualquer valor. Chamamos de variável independente as que não são livres pois seu valor depende de parâmetros. Em resumo temos que:

N= nº total de variáveis;

P=nº de equações = nº de linhas= nº de pivôs= nº de variáveis dependentes.

N -p = nº de variáveis livres = nº de parâmetros

Possível ou compatível ou consistenteQuando admite solução

Determinado (SPD)Admite uma única solução

INDeterminado (SPI)Admite infinitas soluções

IMPossível ou INcompatível ou inconsistente (SI)Uma das primeiras locomotivas a vapor(Reprodução)Quando não admite solução

Sistema Linear

CLASSIFICAÇÃO

ESCALONAMENTO DE SISTEMAS

Teoremas1. Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema linear S por um número k≠0, o

novo sistema S’ obtido será equivalente a S.2. Se substituirmos uma equação de um sistema linear S pela soma, membro a membro, dela com uma

outra, o novo sistema obtido, S’, será equivalente a S.

Exemplos:

1-{ x+ y=23x+3 y=6

2- {x+2 y=32x+ y=1

PASSOS PARA O ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA

O escalonamento é um algoritmo que nos permite obter um sistema de equações equivalente(isto é, com o mesmo conjunto de soluções) ao original, mas simplificado de tal forma que seja possível e fácil fazer observações e discutir o sistema.

1. Colocamos como 1ª equação aquela em que o coeficiente da 1ª incógnita seja diferente de zero.2. Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita de todas as equações (com exceção da 1ª linha), substituindo

a i-ésima equação (i≥2) pela soma da mesma com a 1ª multiplicada por um número conveniente.3. Deixamos de lado a 1ª equação e aplicamos 1º e 2º passos nas equações restantes.4. Deixamos de lado a 1ª e 2ª equações e aplicamos o 1º e 2º passos nas equações restantes, e assim

por diante, até o sistema ficar escalonado.


As operações possíveis: permutações de duas linhas: (li lj); multiplicação de uma linha por um escalar real não nulo: (li kli); substituição de uma linha por ela somada com uma outra linha multiplicada por um

número real não nulo: (li li + klj).Estas alterações, na forma matricial, geram operações com linhas nas matrizes, chamadas operações elementares com linhas.

Exemplo:1-Escalone o sistema

I) número de equações é igual ao número de incógnitas

{ x +2 y +z ¿92x + y −z ¿33x − y −2 z ¿−4 {−3 x −5 y +z ¿−8

2x +7 y +z ¿1x +2 y +z ¿7 { x +2 y +z ¿7

2x +7 y +z ¿21−3 x −5 y +2 z ¿−8

{2x +3 y +z ¿13x −3 y +z ¿8

2 y +z ¿0

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas

{ x + y + z−t ¿62x + y −2 z+t ¿−1x −2 y +z+2t ¿−3 { x −2 y +4 z ¿7

3x −5 y +9 z ¿25 { x + y −z ¿22x +3 y +2 z ¿5

Observações:

Quando, durante o escalonamento, encontramos duas equações com coeficientes ordenadamente iguais ou proporcionais, podemos retirar uma delas do sistema.

Quando, durante o escalonamento, encontramos duas equações incompatíveis entre si ou uma sentença falsa, já podemos concluir que se trata de um sistema impossível.

{ x − y +z ¿4−4 x +2 y −z ¿0x − y +z ¿2

2-Resolva a equação matricial


Não apresenta nenhuma solução, pois a primeira e a terceira não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo.

3- Uma loja vende certo componente eletrônico, que é fabricado por três marcas diferentes: A, B e C. Um levantamento sobre as vendas desse componente, realizado durante três dias consecutivos, revelou que: no primeiro dia, foram vendidos dois componentes da marca A, um da marca B e um da marca C, resultando num total de vendas igual a R$150; 00; no segundo dia, foram vendidos quatro componentes da marca A, três da marca B e nenhum da marca C, num total de R$240; 00; no último dia, não houve vendas da marca A, mas foram vendidos cinco da marca B e três da marca C, totalizando R$350; 00.Qual é o preço do componente fabricado por A? E por B? E por C?

Exercícios:1- Escalone e reduza a forma reduzida por linhas, classifique e resolva os sistemas lineares:

a){ x +2 y +4 z=02x +3 y −z=0x −14 z=0

b)

{2 x+3 y+z=1 ¿ {3 x−3 y+z=8 ¿¿¿ ¿

c)[1 −2 3 −12 −1 2 33 1 2 3 ]

d)[0 2 21 1 33 −4 22 −3 1 ]

d)[0 1 3 −22 1 −4 32 3 2 −1 ]

2-Classifique e dê o conjunto solução de cada um dos seguintes sistemas:

a){x1 +3 x2 −2x3=−1

4 x2 +5x3=192x3=6

b) {x1 −5 x2 +3 x3=2

x2 +3 x3=1

c) {2x1 −x2 +4 x3=1

3 x3=6

3-Para quais valores da constante k o sistema

{ x − y=32x −2 y=k

Não tem solução? Exatamente uma solução? Infinitas soluções? Explique seu raciocínio.

4- Discutir, em função de m o sistema {3 x+my=2¿ ¿¿¿

SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

{4 x − y=05 x +3 y=0 { 2 x − y −z=0

−4 x +7 y +z=0x + y +9 z=0 {3x −7 y +5 z ¿0

2 y +z ¿0O termo independente (coeficiente independente) de cada uma das equações é igual a zero, esse tipo de sistema recebe a denominação de sistema homogêneo , pois tem como uma das soluções a tripla(ou terno) ordenada (0,0,0), essa solução é chamada de nula, trivial ou imprópria.


SPD : só possui a solução nula, trivial ou imprópria.

SPI : além da solução nula, há outras soluções chamadas próprias ou não triviais.Sistema LinearHomogêneo

Um sistema homogêneo sempre é possível, pois a solução nula sempre satisfaz cada uma de suas equações.Segue, daí, a classificação de um sistema homogêneo.

Exemplo:

Escalone o sistema { x + y −z=02x +3 y +z=05x +7 y +z=0

Exercícios

1- Classifique e resolva os seguintes sistemas homogêneos

a){2 x+3 y=0 ¿¿¿¿

b) { x +2 y −3 z=03x + y −4 z=02x − y −z=0 c)

{ x − y +2 z=06 x −5 y +5 z=0

−4 x −3 y +z=0 d) {2 x+ y+3 z=0¿ ¿¿¿


Exercícios

1-Dado os sistemas

{5 x +3 y −11 z ¿134 x −5 y +4 z ¿189 x −2 y −7 z ¿25

{2 x+ y=5 ¿¿¿¿

{2a+b+c=−1 ¿ {a+c=0 ¿ ¿¿¿a) Escreva suas matrizes incompleta e completa ou ampliada;b) Dê sua forma matricial.

2-Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida:

A=[1 0 0 0 30 0 1 0 −40 0 0 1 2 ]

B=[0 1 0 0 −40 0 1 0 50 0 0 −1 2 ]

C=[1 0 0 0 30 0 1 0 −40 0 0 1 2 ]

D=[0 0 0 0 00 0 1 2 −40 0 0 1 0 ]

3-Escreva e resolva os sistemas cujas formas matriciais são:

a)

[1 1 12 3 14 1 −1 ]

.[ xyz ]=

[ 6113 ]

b)

[1 4 72 3 65 1 −1 ]

.

[ xyz ]=

[228]c)

d)

4-Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados

a){2 x− y+3 z=0 ¿ {0x−2 y−z=1¿ ¿¿¿

b){5x −2 y +z=3

4 y −z=50 z=8 c)

{3 x1−2 x2+x3 ¿2x2− x3 ¿0 d)

{x − y + z −w=0y + z +w=5

−z −2w=1−w=2

e) {2 x− y+3 z=0 ¿ { 2 y−z=1¿ ¿¿¿

f) {3 x−2 y+ z=2¿ ¿¿¿

g) {a+2b−c+d=2 ¿ ¿¿¿

5) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares , usando o método de Gauss-Jordan, ou seja, escalonada reduzida, abaixo:

a)

{2 x+3 y+z=1 ¿ {3 x−3 y+z=8 ¿¿¿ ¿ b)

{x1+x2+2x3=8 ¿ {−x1−2 x2+3 x 3 =1¿ ¿¿¿ c)

{x+ y−z=2 ¿ ¿¿¿


d

) {x+ y+z=3 ¿¿¿¿

e)

{2 x1+2 x2+2 x3=0 ¿ {−2 x1−5 x2+2 x 3 =1 ¿ ¿ ¿¿

f)

{2 x+3 y+z=11 ¿ {x+ y+z=6 ¿ ¿¿¿g)

{−2x2+3 x3=1¿ {3 x1+6 x2+3 x 3 =−2 ¿¿¿¿

6) Seja o sistema .a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.b)Verifique se (0,0,0) é solução de S.

7) Seja o sistema:

Calcule k para que o sistema seja homogêneo.

8) Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:

9) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:

a) b)

10) Discuta os sistemas:

a) b)

11) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.

a) b) c)

12) Determine a e b para que o sistema seja indeterminado.


13) Calcule os valores de a para que o sistema seja compatível e determinado.

14)A solução do sistema

{x+ y+z=6 ¿ {4 x+2 y−z=5 ¿ ¿¿¿ é:

a)(-2, 7, 1) b) (4, -3, 5) c) (0, 1, 5) d) (2, 3, 1) e) (1, 2, 3)

15) Um revendedor tem em sua loja cem automóveis de três tipos: simples de luxo e executivo. A soma do número de carros de luxo com o dobro do número de carros executivos é 40; o triplo do número de carros executivos dá 30. Quantos carros há de cada tipo?

16) Maria resolve organizar uma festa de aniversário para seu filho e encomenda: 107 refrigerantes, 95 sanduíches e 151 doces. Servirá a cada homem 3 refrigerantes, 3 sanduíches e 3 doces; a cada mulher 2 refrigerantes, 2 sanduíches e 4 doces e a cada criança 2 refrigerantes, 1 sanduíches e 4 doces. Qual o número de pessoas convidadas, sabendo que não sobrou nem faltou nada?

17) Suponha que você vá fazer um lanche, constando de iogurte, pastel e chocolate e que disponha de R$1; 80. Segundo os nutricionistas, um lanche deve conter 1350 calorias e 66 gramas de proteínas. Para cada 100g dos alimentos acima temos: 100 g calorias

100g Calorias Proteínas(g)

Custo (R$)

Iogurte 50 4 0,20Chocolate

600 24 0,60

Pastel 200 28 0,80

Quais as quantidades de cada alimento satisfazem exatamente as condições acima?

18) Na feira, uma das barracas de frutas estava vendendo embalagens com 10 peras, 5 maçãs e 4 mangas por 11 reais; outra barraca vendia um pacote contendo 8 peras, 6 maçãs e 4 mangas por 10 reais e uma terceira vendia 6 peras e 12 maçãs por 9 reais. Na verdade, só havia mudança na quantidade de cada pacote porque o preço de cada espécie de fruta era o mesmo nas três barracas. Qual o preço a se pagar por 3 peras, 2 maçãs e 2 mangas em qualquer dessas barracas?

19) Uma fábrica de refrigerante possui 270 litros de um xarope x e 180 litros de um xarope y. Cada unidade de um refrigerante A contém 500 ml de x e 200 ml de y e cada unidade de um refrigerante B contém 300 ml de x e 300 ml de y. Quantas unidades de A e B podem ser produzidas se for usado todo o estoque dos xaropes x e y?

20) Observe a tabelaUm avicultor que preparar ração com os alimentos A, B e C de tal forma que o preço da unidade de ração seja R$14; 00; que a quantidade de proteínas da unidade de ração seja 4; 1 kg e que a quantidade de vitaminas seja 20 kg. Calcular a quantidade de alimentos A, B e C que o avicultor deve preparar.


Alimento

Preço/Kg Proteína/Kg Unid. Vitamina/ Kg

A 2 0,5 1B 3 0,6 2C 1 0,4 3


Respostas:

1)

a) [5 3 −114 −5 49 −2 −7 ] [5 3 −11 13

4 −5 4 189 −2 −7 25 ]

[2 11 −3 ] [2 1 5

1 −3 0 ]

[ 2 1 11 0 1

−3 5 −1 ] [ 2 1 1 −11 0 1 0

−3 5 −1 2 ]b)

[5 3 −114 −5 49 −2 −7 ]

.[ xyz ]=

[2 11 −3 ]

.[ xy ]=

[50 ]

[ 2 1 11 0 1

−3 5 −1 ].[abc ]=

[−102 ]

2) A e C

3

)

a)

{ x + y +z=62 x +3 y +z=114 x + y −z=3

(x=1, y=2, z=3)

b)

{ x +4 y +7 z=22x +3 y +6 z=25x + y −z=8

(x=1, y=2 e z=-1)

c)

{2x + y=9x −3 y=−13

(x=2 , y=5)


d)

{2x −5 y=−43x + y=7 (x=31

17, y=26

17 )

4) a) SPD , (x=4, y=-1 e z=-3) b) SI c) SPI, (x1=

2+x3

3 ,x2=x3 , x3 )

d) SPD, ( x=−1 , y=4 , z=3 ,w=−2 ) e) SPD , (x=4, y=-1 e z=-3)

f) SPI , (a=2−2b , c=d )

5) a) SPD , ( x=1 , y=−1 , z=2 )

b)SPD, ( x=3 , y=1 , z=2 )

c)SPI, ( x=5 z+1 , y=1−4 z )

d)SPI, ( x=9−2 z , y=z−6 )

e)SPD, (x=−14, y=0 , z=1

4 )f)SPD, (x=1, y=2, z=3)

g)SPD, (x=73, y=17

9, z=−61

9 )6) a) é b) não é

7) k = -3

8) m = 0 e n = 1

9) a) {(1,2,3)} b) {(6,4,1)}

10) a) se m=-1 o sistema será SIb) se k=1, o sistema será SI, qualquer valor diferente de 1 o sistema será SPD.

11) a) SPI, (x=((4 y)/(3)), y∈ℝ) b) SPI, (x=-y, y∈ℝ, z=0) c) SPD, ( x=0 , y=0 , z=0 )

12) a=6 e b=8

13)a≠−6

14) e

15) Simples= 70; Luxo= 20; Executivo= 10

16) 21 homens, 10 mulheres e 12 crianças, num total de 43 convidados


17) {50x +600 y +200 z ¿1350

4 x +24 y +28 z ¿660 ,20x +0 ,60 y +0 ,80 z ¿1,80 , donde resultam 100g de iorgute, 200g de chocolate e 50g de pastel.

18) O preço será de R$3; 90

19) {5 A +3B ¿27002 A +3B ¿1800 donde resultam, refrigerante A=300 unidades, refrigerante B=400 unidades

20) A = 3; B = 1; C = 5


2) Se o sistema linear é impossível, entãoa) a = 0 b) a = -14/3 c) a = 3/4 d) a = 1 e) a = 28

11) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.

a) Resp: {(1,2)} b) Resp: {(3,2)}

18) Dê os valores de a para que o sistema seja compatível e determinado.

19) Dê o valor de a para que o sistema seja impossível.

20) Determine o valor de k para que o sistema seja indeterminado.

21) Ache m para que o sistema tenha soluções próprias.

22) Qual o valor de p para que o sistema admita uma solução única?

23) (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear é compatível e determinado?18. {a Є IR/ a diferente de -4 e a diferente de 1}19. a = -4 ou a = 120. k = 521. m = 3/1322. {p Є IR/ p diferente de -1}23. {k Є IR/ k diferente de 1/4}


Apostila Sistema Lineares_20130505213745

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