Apostila-teoria Dos Jogos

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Estratégia aplicada – Teoria dos

jogos

Apostila-texto com os conteúdos de aula.

IPESU-2009.2

Professora Ianara Teixeira

Estratégia aplicada – Teoria dos jogos 2009

Ianara Teixeira – www.ianarateixeira.blogspot.com

A Origem dos Jogos

É preciso compreender a importância dos jogos em uma nova dinâmica, não

somente na forma habitual que conhecemos, quando nos reunimos para assistir o nosso time

favorito na televisão ou quando jogamos com nossos amigos, praticando o nosso esporte

preferido. Na nossa infância tivemos contato com algum tipo de jogo: jogos eletrônicos, jogos

de salão, jogos de tabuleiro ou outra modalidade. A grande questão, é que muitos de nós não

consideramos os jogos como algo que possa ser estudado de forma mais profunda.

No dicionário entende-se a palavra jogo como sendo ( Aurélio ):

1) Atividade física ou mental fundada em sistema de regras que

definem a perda ou o ganho.

2) Passatempo.

3) V. jogo de azar.

4) O vício de jogar.

5) Série de coisas que forma um todo, ou coleção.

6) Conjugação harmoniosa de peças mecânicas com o fim de

movimentar um maquinismo.

7) Balanço, oscilação.

Para nós a representação do jogo está na situação de competição ou conflito entre

dois ou mais oponentes. Estes oponentes são usualmente chamados de jogadores (um jogador

pode ser um time composto de mais de uma pessoa, como num jogo de carta de duplas.

Alguns exemplos de jogos são:

• Jogos de salão, como cara-e-coroa, jogo da velha, damas ou

xadrez;

• Competição econômica;

• Conflitos militares ou guerras.

Sabemos que cada jogador tem certo número de escolhas, finito ou infinito,

chamadas de estratégias. Um jogador supostamente escolhe sua tática sem qualquer

conhecimento prévio da estratégia escolhida pelos outros jogadores. A partir das escolhas dos

jogadores, o jogo fornece o resultado, ou saída, definindo quanto cada jogador ganhou ou

perdeu. Cada jogador faz sua escolha de modo a aperfeiçoar o resultado.



Em determinado momento de nossas vidas percebemos que a palavra “jogo”

passa a ter outra dimensão, quando utilizamos em expressões do tipo “o jogo político dos

candidatos”, “jogo das grandes multinacionais” etc., começamos a compreender que a palavra

passa a ter um sentido de estratégia. Percebemos que existe algo em comum entre uma

partida de xadrez e decisões empresarias ou políticas, onde se busca chegar a um resultado

através de uma interação estratégica.

Os primeiros aspectos da teoria dos jogos foram explorados pelo matemático

francês Émile Borel que escreveu várias folhas informativas sobre as hipóteses e teorias do

jogo. No entanto, o conhecido mestre desta teoria é o matemático John Von Neumann que,

entre as décadas de 20 e 30, estabeleceu uma armação matemática para todos os

subseqüentes desenvolvimentos técnicos, ou seja, ele desenvolveu uma teoria matemática

para todos os jogos de estratégias onde pode se sentir a presença do comportamento racional.

Em 1944, Von Neumann, juntamente com Oskar Morgenstern publicaram “The Theory of

Games and Economic Behavior” que fechou definitivamente a questão quanto a descrição da

Teoria matemática dos jogos. Mais recentemente, o matemático John Nash fez um novo

estudo sobre o tema, apresentado no artigo: “Os Jogos”, o que lhe rendeu em 1994 o prêmio

Nobel de economia.

A teoria dos jogos é uma teoria que trata os aspectos gerais de situações

competitivas. Ela, a teoria, dá ênfase especial ao processo de tomada de decisão dos

competidores. Os problemas reais sobre economia ou exércitos em guerra são muito bem

sucedidos quando da aplicação das técnicas dos jogos de estratégia que apontam soluções

analíticas bastante satisfatórias. A teoria dos jogos classifica os jogos em muitas categorias que

determinam que método pode ser usado para resolvê-los. Algumas das categorias mais

comuns são:

• Jogos de Soma nula: são jogos em que a soma total dos benefícios colhidos por todos

os jogadores é sempre igual a zero (ou seja, um jogador só pode ganhar se outro

perder). O Xadrez e o Poker são jogos de soma zero porque cada jogador ganha

precisamente o que o outro perde. A economia e a política, por exemplo, não são

jogos de soma zero porque alguns desfechos podem ser bons (ou maus) para todos os

jogadores ao mesmo tempo;



• Jogos de Soma não-nula: São os que não possuem a propriedade acima, como o

Dilema do Prisioneiro, em que o payoff total é 2 anos de prisão se ambos ficam em

silêncio e 4 anos se os dois prisioneiros confessam.

• Jogos Cooperativos: são jogos em que os jogadores podem comunicar e negociar

entre si;

• Jogos Transparentes (de informação perfeita): são jogos em que todos os jogadores

têm acesso à mesma informação. O Xadrez é um jogo transparente, mas o Poker não

é.

Podemos também categorizar da seguinte maneira:

1. Tipos de saída

a) Determinada - as saídas são precisamente definidas, dadas as estratégias tomadas.

b) Probabilística - as probabilidades das diferentes saídas são conhecidas, dadas as estratégias

tomadas.

c) Indeterminada - as saídas possíveis são conhecidas dadas as estratégias tomadas, mas não

suas probabilidades.

2. Número de jogadores

a) Um jogador - estes jogos são chamados de jogos contra a natureza. Se a estratégia da

natureza é determinada, o jogo é trivial; se a estratégia da natureza é probabilística, estes

jogos são chamados de problemas de decisão; se é indeterminada, pode-se tratar o jogo como

sendo de duas pessoas se for atribuída alguma perversidade à natureza.

b) Dois jogadores.

c) n jogadores (n maior que 2).

3. Natureza dos pagamentos

a) Soma zero - a soma de todos os pagamentos é zero.

b) Soma constante - a soma de todos os pagamentos é constante e diferente de zero.

c) Soma variável - não há nenhuma relação entre os pagamentos dos jogadores.



4. Natureza da informação

a) Informação perfeita - conhecimento total de todos os movimentos anteriores.

b) Informação imperfeita.

A Estratégia da Teoria dos Jogos

Primeiro precisamos entender que estratégia ( Aurélio ):

Vem do grego. strategía, pelo latim. strategia.

1. Arte militar de planejar e executar movimentos e operações de tropas, navios

e/ou aviões, visando a alcançar ou manter posições relativas e potenciais bélicos favoráveis a

futuras ações táticas sobre determinados objetivos.

2. Arte militar de escolher onde, quando e com que travar um combate ou uma

batalha. [Cf., nesta acepç., tática (2).]

3. P. ext. Arte de aplicar os meios disponíveis com vista à consecução de

objetivos específicos.

4. P. ext. Arte de explorar condições favoráveis com o fim de alcançar objetivos

específicos.

5. Fig. Fam. V. estratagema (2).

Estratégia é algo que um jogador faz para alcançar seu objetivo. Um jogador

sempre procura uma estratégia que aumente seus ganhos ou diminua as perdas. Em um jogo

de pôquer um jogador pode baixar suas cartas ao começo de cada rodada, diminuindo suas

perdas dessa forma. Ele não obterá lucros, mas pode evitar ter que explicar como perdeu a

poupança em uma noite.

A grande questão ao se escolher uma estratégia, então, é tentar prever os ganhos

e as perdas potenciais que existem em cada alternativa. Grande parte do problema reside no

fato de prever-se o que os outros participantes irão fazer ou estão fazendo (informações

completas sobre os concorrentes são um luxo de que nem sempre se dispõe em jogos de

estratégia). O jogador “A” não analisa somente a melhor linha de ação que ele deve tomar,

mas também as prováveis linhas de ação do jogador “B”, seu competidor. Isso cria o dilema de

que, se “B” sabe que “A” vai tentar prever suas ações, “B” pode optar por uma linha de ação



alternativa, buscando surpreender seu opositor. Claro que “A” pode prever isso também,

entrando numa seqüência interminável de blefes e previsões sobre a estratégia inimiga.

RESULTADOS

Jogadores sempre recebem pagamentos, representados por um valor. No entanto,

o valor absoluto não é tão importante quanto à proporção entre as opções. Em determinado

jogo, por exemplo, pode-se representar a morte de um jogador por -100, enquanto continuar

vivo pode ser representado por 0.

DILEMA DO PRISIONEIRO

Para analisar um jogo, é comum o uso de gráficos como o seguinte:

Jogador 2

Caro Barato

Jogador 1 Caro 11,15 2,25

Barato 20,4 6,55

O gráfico representa uma situação em que dois jogadores concorrem no mesmo

mercado. Ambos oferecem serviços similares e têm a opção de cobrar caro ou barato.

Existem dois números dentro de cada quadrado: esses são os resultados que cada jogador

recebe por sua estratégia. Tradicionalmente, o primeiro valor é quanto o jogador da esquerda

recebe e o segundo, quanto o de cima recebe.

Esse quadro pode representar, por exemplo, os dois únicos oculistas de uma

pequena cidade do interior e os números multiplicados por R$1.000,00 os lucros ao final do

mês. Há algum tempo, existia somente o jogador 1 na cidade e seus preços eram altos devido

à falta de opções. Então chega o jogador 2 e abre um consultório em frente ao do jogador 1. O

jogador 2 agora deve definir quanto cobrar por seus serviços. Se ele se nivelar ao preço do

concorrente, receberá um retorno de 10; o primeiro, por já estar estabelecido, fica com um

retorno mais alto. O novo dentista também tem a opção de cobrar um preço mais barato que

o primeiro. Isso fará com que grande parte da clientela mude de oculista, e agora o lucro dele

é bastante alto, enquanto o dentista inicial passa a viver com R$2.000,00 reais mensais. Uma

ação dessas não ficará sem reação, e o primeiro oculista pode também baixar seus preços.



Dessa vez, ambos estão ganhando menos, mas para o jogador 1, seis é melhor do que dois. É

fácil ver nesse exemplo a dinâmica de uma guerra de preços. O oculista número dois abaixa

um pouco seus preços, aumentando seu lucro até receber a resposta de seu concorrente.

Poder-se-ia questionar por que o segundo oculista mantém seus preços altos logo de início, ou

por que os dois não entram em acordo e levantam seus preços juntos. Mas os dois são

concorrentes e a motivação para qualquer um deles reduzir o preço é muito alta. O primeiro

oculista pode resolver abaixar seus preços, atraído pela perspectiva de ter seus lucros quase

dobrados, enquanto seu competidor fica com mil reais por mês. O que ocorre nesse jogo é

uma dinâmica conhecida por “dilema do prisioneiro”. O exemplo clássico consiste em dois

prisioneiros em face de entregar o outro ou alegar inocência. Se ambos negarem o crime, os

dois saem livres, se um apontar o outro, o acusado recebe uma pena pesada e o delator uma

leve, e se ambos acusarem um ao outro, os dois pegam penas pesadas. Infelizmente os

prisioneiros estão fadados a ficarem presos na pior opção possível, pena máxima para ambos,

pois os incentivos para trair o outro são muito altos. Como os participantes nesses jogos

sabem que as chances de serem traídos pelo outro lado são muito altas, podem acabar traindo

por antecipação como forma de proteção.

O mercado da aviação é um exemplo do dilema do prisioneiro na área empresarial.

Como todo serviço, o problema com a passagem aérea é que, uma vez que o avião levanta

vôo, cada assento não vendido é uma perda. Não é possível estocar a vaga para vendê-la

depois. Além de deixar de ganhar com mais uma venda, as empresas aéreas ainda têm de

arcar com o prejuízo de colocar o avião no ar, que não muda muito pela lotação. Portanto, a

motivação para uma empresa baixar seus preços, principalmente em vôos difíceis de vender, é

muito alta. Como a maioria das pessoas não faz distinção de companhias aéreas, desde que

chegue a seu destino, a empresa com preços mais baixos tende a voar com a maior lotação

possível, enquanto as concorrentes agonizam com os prejuízos. Essa dinâmica pode chegar ao

extremo de empresas competindo por clientes enquanto sabidamente têm prejuízo em alguns

vôos, simplesmente por ser pior para elas voarem vazias do que com um prejuízo diminuído.

Assim como os oculistas ou os prisioneiros, as empresas aéreas poderiam entrar num acordo,

mas os benefícios de trapacear o concorrente são muito altos. O dilema do prisioneiro sugere

que se tome muito cuidado quando os concorrentes começam a baixar os preços. Sem um

diferencial, corre-se o risco de ser forçado a uma guerra de preços. Pode-se observar o mesmo

fenômeno em uma dinâmica inversa, como por exemplo, quando dois competidores passam a



oferecer cada vez mais vantagens facilmente copiáveis aos clientes. Para usar o mercado de

aviação, pode-se observar esse efeito com os programas de milhagem e serviços adicionais.

Antecipando os movimentos

Nos jogos de estratégia em geral, prever como os competidores reagirão aos

movimentos e antecipar-se às suas próximas ações constitui uma enorme vantagem. É sob

esta ótica que a Teoria dos Jogos adquire especial importância, uma vez que seu meio analítico

visa a permitir a identificação dos movimentos mais adequados a se realizar, de acordo com a

movimentação da concorrência.

Segundo BRANDENBURGER e NALEBUFF (1995), o jogo dos negócios deve ser

jogado utilizando-se da observação e da análise dos movimentos passados do jogo, para

determinar qual é a ação que, se tomada hoje, poderá conduzir a organização a uma

determinada posição no futuro.

Ou seja: "olhar para a frente, repensando o passado".

Nesse sentido, MAITAL (1991) complementa afirmando que "olhar para a frente,

repensando o passado" implica que se deva inicialmente escolher a situação final que nos

pareça a mais interessante para, depois, traçar o caminho de volta identificando qual é a

estratégia capaz de nos conduzir à situação desejada.

A Teoria dos Jogos e Michael Porter

Entre todas as ciências que avaliam comportamento, a microeconomia é a mais

próxima ao estudo da competição e do comportamento competitivo entre as firmas

(Hirshleifer, 1980). Infelizmente o conceito de competição ainda é bastante diverso dentro da

microeconomia, já que diferentes escolas usam estes conceitos de formas substancialmente

diferentes e por caminhos independentes (Barney,1986).

Três grandes escolas de pesquisa em microeconomia são as mais influentes na pesquisa de

estratégia. São elas:

- Industrial Organization Economics (Bain, 1956; Mason, 1939)

- Chamberlinian Economics (Chamberlin, 1933)

- Schumpeterian Economics (Schumpeter, 1934, 1950; Nelson & Winter, 1982)



Provavelmente o conceito de competição apresentado pela Economia de

Organizações Industriais (Industria Organization - IO) foi o mais incorporado ao estudo de

estratégia. Isso aconteceu devido ao extenso e reconhecido trabalho de Michael Porter; que é

baseado nos conceitos de IO.

Porter, de certa forma, percebeu que o desenvolvimento de seu trabalho

caminhava consistentemente no sentido de "olhar para dentro das empresas", ao invés de

manter o foco voltado para o conjunto das empresas que compõem o setor industrial. A partir

desse momento, sua obra trilhou um caminho dissonante daquele pelo qual enveredou a IO, já

que ele não optou pelo uso da Teoria dos Jogos para fornecer os insights que necessitava.

Segundo FOSS (1996), o fato de a evolução do pensamento de Porter estar baseada em um

referencial eclético resultou em várias adaptações em seu trabalho. Recentemente, seu

pensamento vem sofrendo influência de novas abordagens, que tem sido uma importante

fonte de complementaridade para a sua tipologia.

A influência da IO Economics e da New IO

Michael Porter apresenta sua tese de doutorado – Consumer Behavior, Retail Power, and

Manufacturer Strategy in Consumer Goods Industry –, marco inicial de seus estudos que

relacionam a Estratégia Empresarial com a Economia Industrial. Diversos conceitos

incorporados por Porter, por exemplo o conceito de barreira de entrada, foram desenvolvidos

na IO Economics (YIP, 1982).

Sete anos mais tarde, esse autor publica seu livro Competitive Strategy, que se tornaria um

clássico, revolucionando os estudos de Estratégia de Negócios. Em PORTER (1985), o próprio

autor relata, com clareza, a essência de seu primeiro livro:

"Meu livro anterior, ‘Estratégia Competitiva’, apresentou uma metodologia para a análise de

indústrias e da concorrência. Ele também descreveu três estratégias genéricas para se alcançar

uma vantagem competitiva: liderança de custo, diferenciação e enfoque". Esta obra foi muito

influenciada pela IO Economics – que foi desenvolvida anteriormente por diversos autores,

como Joe Bain e Edward Mason.

FOSS (1996) recorre a um trecho do livro Industrial Organization (1959), de Bain, para mostrar

que o foco de estudos da IO naquela época exerceu forte influência sobre o primeiro livro de

Porter:



“Estou preocupado com o ambiente no qual as empresas operam e como elas se comportam

dentro desse contexto como produtoras, vendedoras ou compradoras. Em contraste, eu não

opto por uma abordagem interna, mais apropriada para o campo da administração de

empresas (...) minha unidade primária de análise é a indústria na qual um grupo de firmas

compete, ao invés de analisar uma firma individualmente ou o agregado de empresas

presentes na economia.”

A IO de Bain e Mason era empírica por natureza; contudo, a partir do final da

década de setenta, a IO foi revolucionada pela introdução da Teoria dos Jogos e de seu

poderoso ferramental analítico, passando a ser chamada de New IO. GHEMAWAT (1997)

constatou que, a partir de 1980, mais de 60% de todos os artigos sobre IO publicados nos

principais periódicos econômicos mundiais trataram do desenvolvimento e teste de modelos

criados à luz da teoria dos jogos.

A New IO, em contraposição à antiga, é fundamentalmente teórica. Encontrou nos

trabalhos The Theory of Industrial Organization (1988), de Jean Tirole, e no Handbook of

Industrial Organization (1989), organizado por Richard Schmalensee e Robert Willig, a direção

que tem guiado os estudos desse campo até os dias de hoje.

Apesar de ter sido escrito no período de transição da Old IO para a New IO, conforme faz notar

FOSS (1996), a Competitive Strategy de Michael Porter já incorpora algumas das contribuições

da Teoria dos Jogos, como: sinalização de mercado, barreiras de saída e comprometimento por

meio de investimentos de caráter irreversível.

Aplicação da Teoria dos Jogos na New IO

GHEMAWAT (1997) ressalta que a New IO poderia aproximar ainda mais a

Economia Industrial da Estratégia de Negócios, já que a Old IO possui algumas diferenças com

o Campo Estratégico que poderiam ser reduzidas graças à aplicação da Teoria dos Jogos. São

elas:

I. Bem-estar público versus lucros privados – o desenvolvimento de estratégias de

maximização de lucros para jogos de soma não zero aproximou a IO da análise da

lucratividade privada, em detrimento do antigo foco em bem-estar público;

II. Lucros médios versus lucros diferenciados – a Old IO tinha a lucratividade como a

principal forma de mensurar a performance, concentrando-se na rentabilidade média do

setor industrial. Já a New IO se detém na análise dos aspectos estruturais e estratégicos

que permitem que algumas empresas do setor industrial tenham lucros diferenciados



das suas competidoras; iii) Similaridades versus diferenças entre as indústrias – ao

contrário da Old IO, que valorizava as semelhanças estruturais de cada setor, de modo

que caminhasse na direção de uma generalização, a New IO é sensitiva às idiossincrasias

de cada indústria;

III. Determinismo estrutural versus endogenidade – a New IO se opõe ao determinismo

estrutural aceito pela Old IO, reconhecendo que os diversos elementos componentes da

estrutura da indústria não podem ser tratados como exógenos, e, graças à Teoria dos

Jogos, consegue torná-los endógenos;

IV. Análise estática versus análise dinâmica – a Teoria dos Jogos conseguiu introduzir algum

dinamismo na IO, reduzindo o caráter estático da Old IO.

Face ao exposto até agora, seria razoável esperar que a Teoria dos Jogos também

provocasse um furor nos estudos de Estratégia de Negócios, uma vez que parecia estreitar

ainda mais os laços entre esses dois campos de estudo. Contudo, para a surpresa de muitos,

tal tendência não se verificou por uma série de motivos.

Críticas à aplicação da Teoria dos Jogos na Administração Estratégica

Em seu artigo Towards a Dynamic Theory of Strategy, PORTER (1991) diz que os

modelos da Teoria dos Jogos falham em representar as escolhas simultâneas relacionadas com

um conjunto maior de variáveis. Esses modelos se concentram apenas em um pequeno

número de variáveis, tratando-as de forma seqüencial e forçando, assim, uma homogeneidade

de estratégias. Para ele, as distintas posições competitivas só podem ser definidas a partir dos

trade-offs, das interações e da representação das muitas variáveis que compõem a cadeia de

valor.

Por fim, PORTER (1991) alerta que os modelos da Teoria dos Jogos mantêm fixas

várias variáveis que, sabidamente, mudam, o que, segundo ele, é uma ironia, já que esses

modelos exploram a dinâmica de um mundo quase que estático. Ou seja, o "jogo das

empresas" é muito complexo para que os modelos aplicados da Teoria dos Jogos –

homogêneos, seqüenciais, simplificados e lentos – possam produzir resultados válidos.

Mesmo as abordagens mais completas, opostas às simplificações do fato, seriam ineficientes.

Esta também é a posição de GRUCA e SUDHARSHAN (1995), que, mesmo

considerando a aplicação da Teoria dos Jogos apenas ao entry deterrence, julgam que esta seja

limitada. Eles citam especificamente as seguintes deficiências: mercado normalmente reduzido



a um duopólio, dificuldade de modelar a assimetria de informações e racionalidade

questionável.

A Escolha Racional

A racionalidade na teoria dos jogos procura perceber como os jogadores (sejam

eles indivíduos, empresas, organizações, países etc.) tomam suas decisões em situações de

interação estratégica. A teoria dos jogos visa a elucidar como esses jogadores fazem as suas

escolhas. Analisando como os jogadores tomam as suas decisões, temos de considerar as

prioridades desses jogadores, pois essas preferências é que irão orientar as escolhas dos

jogadores. Utilizaremos a teoria da escolha racional, ou seja, a teoria que parte das prioridades

dos jogadores para entender suas escolhas, assumindo como um princípio básico a idéia de

que os jogadores são racionais.

A teoria da escolha racional tem de se iniciar por uma diferenciação das

preferências dos jogadores e do que entendemos exatamente por racionalidade.

Primeiramente temos que encontrar uma maneira de expressar às prioridades que norteiam

as escolhas dos jogadores.

Para expressar essas preferências, precisamos do conceito de relação (Binária).

O estudo das relações binárias é a base para a compreensão do estudo de funções. Sejam dois

conjuntos A e B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B é dita Relação Binária de A

em B. Se n(A) = m e n(B) = p, então, o número de relações binárias possíveis é dado por 2m.p.

Escrevemos, R: A → Β para representar uma relação binária de A em B e neste caso, A é dito

conjunto de partida e B o conjunto de chegada. Os elementos do conjunto A, que participarem

de uma relação R, formam o domínio desta relação, D(R), e os elementos do conjunto B que

estão nesta mesma relação, formam a imagem de R, Im(R).

Assim, suponha um conjunto que chamaremos de Capitais:

Capitais = {Brasilia, Quito, Buenos Aíres}

E suponha um outro conjunto que chamaremos de Países :

Paíse da America do Sul = {Argentina, Brasil, Equador}

A idéia de relação está associada à presença de um vínculo entre os elementos

analisados, ou de uma relação de pertinência. Assim, poderíamos estabelecer a relação R1

entre os elementos do conjunto Capitais e os elementos do conjunto Países da America do Sul:



R1 = {(Buenos Aires, Argentina), (Brasilia, Brasil),(Quito, Eguador)}

Se chamarmos o primeiro elemento da relação de x e o segundo elemento de y o

conjunto R1 expressa a relação “x é a capital de y”.

Como um outro exemplo, suponha um conjunto S = {3,4}. Poderíamos definir a relação xR2y =

“x maior ou igual a y” e que poderia ser representada por x ≥ y, sendo tanto x como y

elementos do conjunto S, com o que obteríamos:

R2= {(3, 3), (4, 3), (4, 4)}

Neste caso, em que temos uma relação entre os membros de um mesmo conjunto

(o conjunto S), diz-se que a relação xRy define uma relação sobre S.

Uma relação de preferência é, então, uma relação particular, representada por

(lê-se “ao menos tão bom quanto”).

Vamos ilustrar esse tipo de relação com um exemplo. Suponha um conjunto

qualquer L das opções de lazer de fim de semana para um indivíduo. Se, dados dois elementos

quaisquer a, b ∈ L (por exemplo, praia e futebol com os amigos), for verdade que a b, isso

significa que para esse indivíduo a opção a (praia) é pelo menos tão boa quanto a opção b

(futebol com os amigos).

Percebemos que a relação de preferência não nos permite dizer com exatidão

se a supera b nas preferências de um agente, ou se há indiferença entre as duas opções, sendo

uma opção tão boa quanto a outra. Na verdade, podemos derivar duas relações binárias a

partir de , a relação de preferência estrita > e a relação de indiferença ~ .

Define-se a relação de preferência estrita como sendo:

x > y � x y mas não y x

O símbolo (�) acima é lido como “se, e somente se”. Utilizamos esse símbolo

lógico quando duas proposições ocorrerem sempre juntas. Assim, a �� b significa que a é

verdade somente se b for verdade, e que b é verdade somente se a for verdade, ao mesmo

tempo.



O que a expressão anterior nos informa é que x é “estritamente preferível” ( > ) a y

se, e somente se, x for tão bom quanto y, mas y não for tão bom quanto x. Então, obtemos a

relação de preferência estrita se eliminarmos da relação de preferência a possibilidade de que

um elemento seja tão bom quanto o outro.

Define-se a relação de indiferença como sendo:

x ~ y � x y e y x

O que a expressão acima nos informa é que x é “indiferente” ( ~ ) a y se, e somente

se, x for tão bom quanto y e y for tão bom quanto x. Como a relação de preferência estrita

exclui justamente a possibilidade de que x seja tão bom quanto y e y seja tão bom quanto x,

segue-se então que o que há entre x e y é indiferença.

Não podemos confundir a relação binária (“ao menos tão bom quanto”) com a

relação binária ≥ (“maior ou igual”). As duas relações dizem respeito a comparações de

natureza distinta. A relação ≥ diz respeito à comparação de uma mesma dimensão entre

elementos (peso, altura, somas monetárias etc.). Não faz sentido algum, portanto dizer que

uma temperatura de 300C é maior ou igual a 8kg. Já a relação , ao representar preferências,

pode obviamente admitir que sejam comparados elementos de dimensões totalmente

distintas. Pode ser que para alguém 3 horas de cinema sejam ao menos tão boas quanto uma

pizza de Mussarela.

Existe também o fato de que a relação ≥ obedece à condição:

Se a ≥ b e b ≥ a então a = b

Já a relação obedece à condição:

Se a b e b a então a ~ b

Na relação de indiferença não exige que a e b sejam iguais, mas apenas que haja

indiferença na escolha entre eles: pode acontecer uma situação em que alguém considere

igualmente bons uma pizza calabresa e uma pizza quatro queijos.

Vimos que os jogadores são supostamente racionais, ao menos para grande parte

dos modelos de teoria dos jogos. Agora estamos em condições de especificar com maior



precisão o que significa afirmar que os jogadores são racionais. Afirmar que os jogadores são

racionais em teoria dos jogos significa afirmar que as suas preferências são racionais.

Conforme a formulação de Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston e Jerry R.

Green, no livro Microeconomic Theory (Nova York, Oxford University Press, 1995 afirmar que

uma relação de preferência é racional significa que a relação binária de preferência

apresenta as seguintes propriedades:

a) A relação de preferência sobre um conjunto de escolhas possíveis A é completa: para

qualquer x, y ∈ A, temos que x y, y x, ou ambos. Essa propriedade implica que,

entre duas escolhas possíveis, sempre é aceitável dizer se a primeira é ao menos tão boa

quanto à segunda, se a segunda é ao menos tão boa quanto à primeira, ou se as duas coisas

ocorrem ao mesmo tempo, o que significa dizer que há indiferença entre as duas. Em

outros termos, os agentes são capazes de definir suas preferências em relação a qualquer

escolha possível.

b) A relação de preferência sobre um conjunto de escolhas possíveis A é transitiva: para

quaisquer x, y, z ∈ A, temos que se x y e y z, então x z. Essa propriedade

significa que há integração nas escolhas: caso praia seja tão bom quanto futebol e futebol

seja tão bom quanto cinema, praia tem de ser tão bom quanto ir ao cinema.

A hipótese de que a relação de preferência é completa nos permite afirmar

que os jogadores são sempre aptos em expressar uma preferência estrita entre quaisquer duas

possibilidades (uma é efetivamente melhor para o jogador do que a outra) ou, ao menos, são

indiferentes entre as duas possibilidades. Em outras palavras, nenhum dos jogadores ficaria

paralisado no momento de fazer sua escolha por não saber como avaliar as possibilidades.

A hipótese de que a relação de preferência é transitiva impede que o jogador

esteja sujeito a um comportamento irracional, o qual permitira que esse jogador fosse

explorado por outro jogador. Para entender como isso se daria, imagine um jogador que

prefira A a B, B a C, mas prefira C a A, ou seja, que suas preferências não fossem transitivas.

Vamos chamá-lo de jogador 1. Imagine agora algum outro jogador — vamos chamá-lo de

jogador 2 , que saiba que as preferências do jogador 1 não são transitivas e decida explorá-lo:

o que ele faria?



Suponha que o jogador 1 possua C, que ele menos prefere. O jogador 2 poderia

oferecer a troca de C por B , depois propor a 1 trocar B por A. Como o jogador 1 prefere C a A,

ele aceitará trocar A, mais uma pequena soma de dinheiro, por C, com o jogador 2. E então o

jogador 1 terminaria com C ( com que começou o jogo), menos uma pequena quantidade de

dinheiro.

Se o jogador 2 for bastante paciente para repetir o mesmo ciclo tantas vezes

quantas forem necessárias, o jogador 1 acabará sem nenhum dinheiro. Daí o apelido que este

tipo de situação ganhou na literatura: “bomba de dinheiro” (em inglês, money pump), por

relação a uma bomba d’água.

Preferências completas e transitivas são chamadas de preferências ordinais, uma

vez que elas ordenam as preferências de um jogador com relação a determinados resultados. É

por intermédio desse tipo de preferências que iremos caracterizar, daqui por diante, o fato de

que os jogadores são racionais.

Como Aplicar a Teoria na Prática

Saber a importância da aplicação da Teoria dos Jogos na realidade do cotidiano

das empresas vai ajudar a identificar os pontos fortes da teoria para a vida real.

Uma montadora do seguimento automotivo ao decidir se reduz o preço do

modelo de seu carro com menos vendas, num mercado que existem poucas montadoras e

cada qual tem uma participação significativa no mercado, a tomada de sua decisão terá

conseqüências sobre as vendas das empresas que produzem modelos concorrentes do seu.

Deve-se considerar, pois ao decidir reduzir o preço do modelo poderá levar as empresas

competidoras a também reduzirem seus preços. Por outro aspecto, as outras empresas

devem considerar, ao definirem os preços de seus modelos, a possibilidade de a empresa em

questão reduzir o preço de seu modelo cujas vendas não vão bem.

Observamos um jogo de interesse entre as montadoras , quando a montadora de

automóveis que está decidindo se reduz ou não o preço do modelo com vendas insatisfatórias,

tem que analisar as possíveis respostas de seus concorrentes sem dúvida alguma há uma

interação entre as decisões da montadora e as de suas concorrentes.

Além disso, a montadora em questão tentará se comportar de

forma racional, empregando os meios de que dispõe para tomar sua decisão da melhor forma



possível, dado seu objetivo, que é maximizar os lucros, tentará antecipar quais serão as

possíveis reações de suas concorrentes no momento de tomar sua decisão.

A Guerra pelo pioneirismo em automóveis “verdes” determinara os vencedores da indústria

automotiva mundial,( Revista Exame, edição 906, pagina 142 )

A Toyota hoje colhe os lucros pelo pioneirismo na venda de automóveis verdes com 77% do

mercado de veículos híbridos, seguida pela Honda, com 16%. Enquanto as concorrentes

americanas vêm tendo perdas sucessivas no faturamento, os lucros da Toyota vêm

crescendo. Muitos especialistas afirmam que as indústrias irão seguir a Japonesa. Até o final

de 2009, estima-se 17 fabricantes vão oferecer 72 modelos com motor híbrido.

Um país-membro da Opep (a associação mundial dos produtores de petróleo)

avalia se vale a pena restringir sua produção de petróleo para sustentar o preço do produto.

Os líderes da Opep, por sua vez, consideram a possibilidade de os países-membros

desrespeitarem suas cotas no momento de reduzir a produção.

Neste caso, a interação se dá entre a Opep e os próprios países-membros. Se a

organização decidir reduzir excessivamente a produção total dos países-membros, visando a

obter um preço muito elevado para o petróleo, é provável que as cotas de produção assim

fixadas sejam desrespeitadas por vários países produtores, que teriam a ganhar produzindo

mais com o preço elevado.

Por outro lado, cada país-membro tem de considerar os custos e os benefícios

antes de decidir se obedeceram as cotas definidas pela Opep. Se decidir obedecer, corre o

risco de sacrificar sua receita da venda de petróleo, ao passo que os países que eventualmente

desesperarem a cota podem se beneficiar do preço mais alto, ao mesmo tempo em que

vendem mais. Contudo, se todos os países-membros raciocinarem da mesma forma, ninguém

cumpre as cotas e a tentativa de aumentar o preço fracassa. Obviamente, um problema de

interação estratégica.

Opep promete abastecimento "suficiente e confiável" de petróleo ( Portal UOL )

A Organização de Países Exportadores de Petróleo (Opep) comprometeu-se neste

domingo ( 18/11/07) a abastecer os mercados de forma "suficiente e confiável", segundo

comunicado da cúpula de Riad: "Decidimos continuar assegurando o abastecimento do



mercado de petróleo de modo a responder às necessidades mundiais." A organização

também destacou a importância da paz mundial para manter a estabilidade dos mercados.

O comunicado assinala que a Opep entende trabalhar com todas as partes "para

assegurar o equilíbrio mundial com preços convenientes para garantir melhor qualidade de

vida no planeta".Os preços do petróleo vêm registrando fortes altas nos últimos meses. No

início do mês, o barril negociado em Nova York atingiu o valor recorde de US$ 98,62. A

desvalorização do dólar, a chegada do inverno no hemisfério norte e principalmente as

tensões geopolíticas em regiões produtoras, como o Irã e a Turquia, têm exercido forte

influência sobre o preço do combustível.

"Reconhecemos o papel primordial da Opep para satisfazer as necessidades

mundiais de energia, aí compreendidos os países em desenvolvimento, e para assegurar o

fornecimento de energia aos consumidores de maneira econômica e contínua, preservando o

direito dos produtores a rendimentos aceitáveis, estáveis e justos, assim como aos

investidores", diz também o texto.

Os países membros da Opep possuem 77% das reservas de petróleo verificadas

no planeta e o cartel fornece quase 40% do ouro negro mundial. Com a chegada do Equador,

que se tornou o menor membro da Opep na conferência de Riad, a organização volta a ter

dois membros latino-americanos.

As situações apresentadas demonstram que existe uma interação estratégica,

podemos estudá-las com o auxílio da teoria dos jogos. A vantagem de analisar cada uma

dessas situações como um jogo é que os fatores determinantes das decisões dos agentes

podem ser bem mais compreendidos do que seriam se apenas nos limitássemos a estudar

caso a caso e, assim, a lógica por trás de cada decisão pode ser entendida e comparada com

caso semelhantes. Estaremos assim, mais capacitados para entender o que existe de geral e de

específico em cada caso de interação estratégica no mundo empresarial e na economia como

um todo.

Vimos que situações de interação estratégica entre indivíduos e organizações

podem ser tratadas como um jogo e assim analisadas. Falta analisarmos, no que diz respeito à

modelagem de um jogo, a questão dos objetivos do jogador, e de como ele busca esses

objetivos. Essa é uma questão muito importante e que tem dado origem a um grande número



de confusões, pois se trata de definir qual será o comportamento dos jogadores, um elemento

essencial para determinar o resultado de um jogo. Para isso precisamos saber algo acerca dos

objetivos desses jogadores.

Com efeito, podemos ter resultados muito distintos ao modelar um processo de

interação estratégica dependendo dos objetivos que tenhamos atribuído aos jogadores.

Apenas para ilustrar, considere o caso, onde a equipe Ferrari no campeonato de 2007 foi

precisa em sua estratégia. Na volta 50º, na parada de box, Raikkonen assumiu a liderança da

prova que, até então, pertencia tranquilamente ao brasileiro Felipe Massa, o pole position.

Invertidas as posições coube a Massa o papel de ser o escudeiro de Raikkonen e conduzi-lo até

a vitória na prova e o campeonato. Se Massa falhasse nessa delicada missão, Fernando Alonso

chegaria em 2º e seria tricampeão mundial. Para Massa o principal objetivo era ser campeão

no Brasil entretanto isso tiraria da Ferrari a possibilidade de ter uma piloto campeão na

temporada.

Observamos neste caso também a estratégia aplicada pela concorrente McLaren

no decorrer do ano, avalizou todas as estratégias onde tinha os melhores resultados, porém

sofreu depois de uma vexatória condenação por espionagem industrial. A duas corridas do

final, depois do GP do Japão, a McLaren tinha como praticamente definida a disputa entre

Lewis Hamilton e Fernando Alonso, em favor do inglês. De Raikkonen nem se falava. Depois da

prova da China, Ron Dennis deixou escapar uma frase perigosa: que o adversário a ser batido

era Alonso (rompido com a escuderia) e não Raikkonen. Ron Dennis, então, estava errado. Era

Raikkonen que deveria ser batido e não foi. O resultado final foi o que se viu em Interlagos.

Kimi Raikkonen chegar na frente e superar os dois pilotos da McLaren por um ponto.

O que não podemos deixar de considerar é a questão da racionalidade quando um

piloto como Felipe Massa entrega uma corrida ganha e um experiente estrategista como Ron

Dennis não consegue analisar fatos a mais.

Ocorre que isso nada tem haver com racionalidade. Na verdade, a racionalidade

não esta relacionada aos objetivos dos jogadores, sejam eles egoístas ou altruístas. Um

indivíduo altruísta pode ser tão racional (ou irracional) quanto um indivíduo egoísta – e vice-

versa – dados os seus objetivos. Isso porque a racionalidade aqui será entendida como a

coerência entre o meio e os fins dos agentes.



EQUILÍBRIO DE NASH

No equilíbrio de Nash, nenhum jogador se arrepende de sua estratégia, dadas as

posições de todos os outros. Ou seja, um jogador não está necessariamente feliz com as táticas

dos outros jogadores, apenas está feliz com a tática que escolheu em face das escolhas dos

outros. No filme “Uma Mente Brilhante” sobre a vida de John Nash popularizou-se o termo e

levou ao conhecimento do público a Teoria dos Jogos, mas infelizmente, como o economista

James Miller coloca, a única indicação sobre o assunto no filme está errada.

No filme, cinco garotas, dentre elas uma especialmente atraente entram em um

bar, e Nash tem a idéia de, junto com três amigos, ir conversar com as quatro garotas e evitar

tanto a competição pela mais bonita quanto o ciúme das outras garotas. No filme está

subentendido que essa seria a base do equilíbrio de Nash. O problema é que o equilíbrio de

Nash ocorre quando não há arrependimento, e vendo a mulher mais bonita do bar sair

sozinha, alguém poderia se arrepender de não ter ido conversar com ela em primeiro lugar. O

equilíbrio de Nash se daria se um dentre os quatro fosse conversar com a mais bonita e os

outros evitassem a competição partindo cada um para uma garota diferente.

O que percebemos é que a genialidade do equilíbrio de Nash vem da sua

constância sem os jogadores estarem cooperando. Por exemplo, seja uma estrada de cem

quilômetros, de movimento igual nas duas direções, representada por uma linha graduada de

0 a 100. Coloquem-se nessa estrada dois empreendedores procurando um local para abrir

cada qual um posto de gasolina. Pode-se assumir que cada motorista irá abastecer no posto

mais próximo de si. Se “A” coloca seu posto no quilometro 40, e “B” exatamente no meio, “B”

ficará com mais clientes que “A”. O jogo ainda não está em equilíbrio, pois “B” pode se

arrepender de não estar mais perto de “A”, roubando mais clientes. O equilíbrio de Nash será

“A”=X+1 e “B”=X-1. Se um posto estiver um pouco fora do centro, seu competidor vai ganhar

mais da metade dos consumidores, colocando-se ao seu lado, mais próximo ao centro.

A Teoria dos Jogos consegue explicar por que, nos grandes centros urbanos,

farmácias, locadoras e outros competidores da mesma indústria tendem a ficar próximos uns

aos outros. Sempre que um jogador se encontra em uma situação em que até poderia estar

melhor, mas está fazendo o melhor possível dada a posição de seus competidores, existirá um

equilíbrio de Nash.



Em 1964, o cineasta Stanley Kubrick Lançava “Dr. Strangelove”. Nele, um oficial

americano ordena um bombardeio nuclear à União Soviética, cometendo suicídio em seguida

e levando consigo o código para cancelá-lo. O presidente americano busca o governo soviético

na esperança de convencê-lo de que o evento é um acidente e por isso não deve haver

retaliação. É então informado de que os soviéticos programaram uma arma de fim do mundo

(uma rede de bombas nucleares subterrâneas), que funciona automaticamente quando o país

é atacado ou quando alguém tenta desarmá-la. O Dr. Strangelove, estrategista do presidente,

aponta uma falha: se os Soviéticos dispunham de tal arma, por que a guardavam em segredo?

Por que não contar ao mundo? A resposta do inimigo: a máquina seria anunciada na reunião

do partido na próxima segunda-feira.

Podemos analisar a situação criada no filme sob a ótica da Teoria dos Jogos: uma

bomba nuclear é lançada pelo país A ao país B. A política de B consiste em rebater com todo

seu arsenal, capaz de destruir a vida no planeta, se atacado. O raciocínio que levou B a tomar

essa decisão é bastante simples: até o país mais fraco do mundo está seguro se criar uma

“máquina de destruição do mundo”, ou seja, ao ter sua sobrevivência seriamente ameaçada, o

país destrói o mundo inteiro (ou, em seu modo menos drástico, apenas os invasores). Ao

elevar os custos para o país invasor, o possuidor dessa arma garante sua segurança. O

problema é que de nada adianta um país possuir tal arma em segredo. Seus inimigos devem

saber de sua existência e acreditar na sua disposição de usá-la. O poder da máquina do fim do

mundo está mais na intimidação do que em seu uso.

Atualmente nos temos o caso do Irã (TEERÃ (AFP) — O ministro iraniano da Defesa, Mostafá Mohamad Najar, anunciou nesta terça-feira( 22/11/07) que seu país construiu um novo míssil balístico com um alcance de 2.000 quilômetros, denominado "Ashura", em um clima de forte tensão com os países ocidentais devido às ambições nucleares de Teerã. O novo míssil, batizado com o nome da maior cerimônia de luto e penitência dos mulçumanos xiitas, tem em teoria o alcance suficiente para atingir as bases americanas da região e Israel, a cerca de 1.000 quilômetros do país.

O conflito nuclear fornece um exemplo de uma das conclusões mais

surpreendentes dentro da Teoria dos Jogos. O economista Thomas Schelling percebeu que,

apesar do sucesso geralmente ser atribuído a uma maior inteligência, planejamento,

racionalidade dentre outras características que retratam o vencedor como superior ao

vencido, o que ocorre muitas vezes é justamente o oposto. Até mesmo o poder de um jogador,

considerado no senso comum como uma vantagem, pode atuar contra seu detentor. Schelling



criou o termo “brinksmanship” (de brink, extremo) à estratégia de deliberadamente levar uma

situação às suas conseqüências extremas.

Um exemplo usado por Schelling é bem conhecido: “O jogo do frango”, que

consiste em dois indivíduos acelerarem seus carros na direção um do outro em rota de colisão;

o primeiro a virar o volante e sair da pista, é o perdedor.

Pode-se ver na tabela a seguir os resultados desse jogo:

MOTORISTA 2

RETO DESVIA

MOTORISTA 1 RETO -100, -100 1,-1

DESVIA -1,1 0,0

Se ambos forem reto, os dois jogadores pagam o preço mais alto com sua vida. No

caso de os dois desviarem, o jogo termina em empate. Se um desviar e o outro for reto, o

primeiro será o “frango” e o segundo, o vencedor. Schelling propôs que um participante desse

jogo deve retirar o volante de seu carro e atirá-lo para fora, fazendo questão de mostrá-lo a

todas as pessoas presentes. Ao outro jogador caberia a decisão de desistir ou causar uma

catástrofe. Um jogador racional optaria pela opção que lhe causasse menos perdas, sempre

perdendo o jogo. O mesmo ocorre ao decidir invadir um país sem medo de usar armas

nucleares. É possível ver no dumping entre concorrentes uma aplicação direta da “máquina do

fim do mundo”. Uma empresa pode decidir vender com prejuízo caso seu concorrente

ultrapasse determinados limites.

O exemplo de Schelling fornece ainda uma instância em que, ao se retirar o

volante, e, portanto, o poder de decidir, o jogador tem suas chances de ganhar aumentadas.

Em situações de negociação é comum se abrir mão do poder e ainda assim sair ganhando.

Muitas vezes advogados dizem que estão autorizados por seus clientes a ir

somente até um valor, enquanto vendedores atribuem aos gerentes a decisão de não fornecer

desconto. Se a outra parte acredita na limitação desses profissionais, o limite de preço imposto

ganha credibilidade.



Eliminar opções pode ser útil em situações como, por exemplo, negociar um

aumento. Por que deveria um superior conceder um aumento caso acredite que seu

empregado não possui outra opção melhor? Se o empregado ameaçar ir embora caso não

receba um aumento, pode-se simplesmente dizer não, pois a ameaça não é confiável.

Uma forma de o empregado tornar a ameaça digna de crédito seria espalhar a notícia de que,

caso não receba um aumento, sairá da firma, a todos que trabalham na empresa. O objetivo

do empregado é tornar a sua estada na firma sem um aumento totalmente humilhante,

obrigando-o a pedir demissão. Agora sua ameaça faz efeito, e o chefe será obrigado a

conceder um aumento ou procurar outro para o serviço. Ao arriscar sua própria credibilidade

com os colegas, o empregado aumenta as chances de um resultado favorável.

Limitar as opções pode significar simplesmente cortar as comunicações. Durante

as negociações, para convencer um vendedor a aceitar um preço, um comprador pode fazer

uma oferta e em seguida tornar-se propositalmente indisponível. Ao não aceitar ligações, estar

sempre em reuniões ou em viagens, o comprador aumenta a credibilidade de sua ameaça.

Uma ligação atendida sinaliza interesse e pode fazer com que a ameaça seja ignorada.

Quando pensaram em utilizar os jogos de estratégia para analisar o mundo social,

Von Neumann e Morgenstein retornaram a uma prática milenar para entender e estudar o

mundo. Ao fazer isso, criaram uma ciência com uma grande capacidade de generalização e

precisão matemática. A Teoria dos Jogos promete tornar-se um prisma cada vez mais

poderoso sob o qual as relações humanas podem ser analisadas. Praticantes e acadêmicos de

administração, rodeados rotineiramente pelos conflitos e complexidade da sociedade somente

tem a ganhar com essa visão. Ou, como disse certa vez o fundador da Atari, Alan Bushnell: “A

área de negócios é um bom jogo – muita competição e um mínimo de regras”.

Necessitamos de um conceito mais geral de solução de jogos simultâneos, que permita tratar

tanto de jogos que possuem estratégias estritamente dominadas e que, portanto, podem ser

resolvidos pela eliminação iterativa de estratégias c~tritamente dominadas, corno tarnbern de

jogos nos quais não é possível identificar stratégias dominadas. Esse conceito é o chamado

equilíbrio de Nash:

[‘T~J Diz -se que uma combinação de estratégias constitui um equilíbrio de Nash quando cada estratégia é a melhor resposta possível às estratégias dos demais jogadores, e isso é verdade para todos os jogadores.



Em seu artigo “An EconomicAnalysis of Aspects of Petroleum and Military Security

in the Persian Gulf” (Contemporary Economic Polky, vol. 19, n~ 4, October 2001, p. 37 1-381), Duane Chapman e Neha Khanna propõem explicar a estabilidade do preço internacional do petróléo entre 1986 e 1999, quando este se situou de forma estável entre US$15 e US$20.

Os autores afirmam que o custo de produção do petróleo nos países produtores de baixo custo (Arábia Saudita e lraque, principalmente) muito provavelmente se situa em torno de US$5. Assim, se o mercado internacional de petróleo fosse um mercado competitivo no período por eles analisado, o preço se situaria em torno desse valor.

Por outro lado, pelos cálculos de Chapman e Khanna, se o mercado fosse um mercado monopolizado, o preço internacional do petróleo se situaria em tomo de US$30. No entanto, o preço se manteve por todo aquele período em um valor intermediário entre o preço competitivo e o preço de monopólio.

Chapman e Khanna apresentam uma explicação para essa estabilidade. Segundo eles, essa faixa de preço que se manteve estável entre US$15 e US$20 corresponderia, no período que vai de 1986 a 1999, a um equilíbrio de Nash: uma situação em

que nenhuma parte conseguiria melhorar sua situação alterando sua estratégia. De acordo

com Chapman e Khanna, esse equilíbrio de Nash era a melhor resposta possível tanto para os

países desenvolvidos quanto para os países produtores do Oriente Médio.

Para os países desenvolvidos, a faixa de preço entre US$15 e US$20 representava um preço suficientemente alto para evitar que a produção nos Estados Unidos e no Mar do Norte fosse abandonada, sem ser tão elevado a ponto de gerar uma inflação indesejável Segundo Chapman e Khanna, o custo da produção de Petróleo nos Estados Unidos e no Mar do Norte é pelo menos três vezes maior do que em um produtor do Golfo Pérsico de baixo custo, e um preço do petróleo muito baixo ínviabilizaria a prodüção nessas áreas, além de aumentar o consumo e com isso a dependência desses países.

Já para os países produtores, um preço do petróleo entre US$1 Se US$20 seria sufi-cientemente alto para financiar seus gastos militares, dada a instabilidade da região. Um preço mais elevado enfrentaria resistência dos países desenvolvidos, e um preço mais baixo não permitira a esses países investirem o necessário em sua segurança.

Equilíbrio de Nash e Ótimo de Pareto

Quando a situação de pelo menos um agente melhora, sem que a situação de

nenhum dos outros agentes piore, diz-se que houve uma melhoria paretiana, ou uma melhoria

no sentido de Paretoi Da mesma forma, se em uma dada situação não é mais possível

melhorar a situação de um agente sem piorar a de outro, diz-se que essa situação é um ótimo

de Pareto, o que significa que, dadas as circunstâncias, ganhos de eficiência não são mais

possíveis. O conceito de melhoria paretiana é muito importante para a teoria econômica, uma

vez que permite identificar possibilidades de aumento de eficiência que não teriam, em

princípio, razão para enfrentar nenhum tipo de oposição: se, em virtude de alguma mudança,

alguém melhora sem que ninguém piore, por que alguém haveria de se opor a essa mudança

que produz maior eficiência?



País A

País B

Tarifa Alta Tarifa Baixa

Tarifa Alta 800, 800 2.300, (700)

Tarifa Baixa (700),2.300 1.700, 1.700

Figura 3.5 O jogo do Comércio Internacional

O conceito de equilíbrio de Nash exige que cada jogador individualmente adote a

melhor resposta às estratégias dos demais, mas isso não implica que a situação resultante das

decisões conjuntas dos jogadores será a melhor possível. Por meio de uma rápida inspeção no

jogo da Figura 3.5, podemos observar que as recompensas do equilíbrio de Nash (800, 800) são

inferiores às recompensas que resultam da combinação de estratégias (Tarifa Baixa, Tarifa

Baixa), em que os jogadores obtêm as recompensas (1.700, 1.700). Se os dois jogadores

concordassem em reduzir suas tarifas simultaneamente, ambos sairiam ganhando.

O problema é que o equilíbrio de Nash nada tem a ver com a noção de ótimo de

Pareto: o fato de que os jogadores estão adotando as melhores respostas às escolhas dos

demais não significa, necessariamente, que suas decisões, quando tomadas em conjunto,

resultam na melhor situação possível.

Com efeito, uma escolha que, do ponto de vista de um agente isoladamente pode

ser ótima, caso seja adotada pelos outros agentes pode se revelar um problema. Impor uma

tarifa elevada sobre as importações que chegam de outro país pode parecer uma boa idéia

para um país isoladamente, mas se todos os países tomam a mesma decisão, o comércio

internacional se reduz e todos saem prejudicados.

É isso que o jogo do comércio internacional da Figura 3.5 ilustra: como o conceito

de equilíbrio de Nash exige apenas que cada jogador adote a melhor resposta em relação aos

demais, sem investigar a natureza da interação resultante — não há por que esperar que o

resultado seja um ótimo de Pareto: tudo ira depender da natureza da interação entre os

jogadores.

O Conceito de Ponto Focal

Considere novamente o jogo de coordenação do padrão tecnológico da Figura 3.6.

Obviamente, na medida em que determinados resultados sejam melhores para todos os



agentes, abre-se espaço para a possibilidade de cooperação entre eles, no sentido preciso de

coordenar suas ações de forma a garantir o melhor resultado possível para todos.

Será justamente na análise da possibilidade de coordenação de agentes como

forma de obter soluções cooperativas, que será definido o conceito de ponto focal:

Um ponto focal é um elemento que se destaca de um contexto, e que permite

aos jogadores coordenarem suas decisões em um dentre vários equilíbrios de Nash

possíveis.

Como exemplo de ponto focal, considere o seguinte: imagine dois pára-quedistas

que, encarregados de uma missão de sabotagem, tenham saltado em determinada região, sem

que um saiba onde o outro se localiza, sem equipamentos de comunicação (transmissões de

rádio podem estar sendo rastreadas) e sem que tenham acordado antecipadamente onde

iriam se encontrar. Apenas sabem que ambos têm a mesma missão e o mesmo mapa

(conhecimento da região).

Ainda assim, é razoável supor que os dois pára-quedistas terminariam se

encontrando, desde que houvesse um elemento do ambiente em que os dois se encontram

que se diferenciasse ou se destacasse dos demais, pois, para facilitar o encontro, sendo

racionais, os pára-quedistas escolheriam um referencial único e nao ambíguo na região.

Imagine então que os dois pára-quedistas devem executar sua missão de

sabotagem em uma pequena cidade, próxima de onde saltaram. Se a cidade tiver várias casas

mais ou menos parecidas, duas escolas também semelhantes e apenas uma igreja, a escolha

mais natural é que ambos se encaminhem para a igreja que, por ser única, se destaca do

contexto.

Mas note que isso só é possível se os pára-quedistas conhecem a cidade e isso é

de conhecimento comum, ou seja, é do conhecimento de ambos. Isso significa que algum

elemento tornou as características da região de conhecimento comum entre os jogadores.

Possivelmente, um regime de instrução e treinamento não apenas orientou os pára-quedistas

a interpretarem o mapa da cidade da mesma forma, como tornou isso de conhecimento de

ambos. Em outros termos, a efetividade do ponto focal como referência para a coordenação

dos agentes exige o compartilhamento de experiências. Sem que as experiências tenham sido

compartilhadas entre os agentes, não há razão para se supor que os diferentes elementos que



compõem um dado contexto terão sua proeminência avaliada da mesma forma e que os

pontos focais escolhidos serão os mesmos. Dessa forma, conclui-se que o conceito de ponto

focal como elemento de coordenação espontánea dos agentes se restringe essencialmente a

pequenos grupos, dada a necessidade da familiaridade na interpretação do meio em que inte-

ragem. E essa familiaridade somente pode ser obtida por meio de experiências comuns. Não é

por acaso que a idéia de ponto focal tem sido aplicada, com algum sucesso, á interação de

pequenos grupos, como o de empresas em setores concentrados na formação de um cartel.

SysOp

AntiVírus

Atualiza Não Atualizar

Desenvolver 2, 1 -1, -2

Não Desenvolver 0, -1 1, 2

Figura 1. O jogo de Coordenação do Padrão Tecnológico.

Um exemplo de ponto focal, nesse caso, poderia ser um colunista especializado

em uma revista internacional de novidades em tecnologia de informação, que fosse famoso o

suficiente para ser lido por funcionários de ambas as empresas em seus países.

Ao divulgar informações a respeito, por exemplo, do desenvolvimento de novas

ferramentas, poderia induzir a coordenação das duas empresas na combinação de estratégias

em que a SysOp desenvolveria sua ferramenta e a AntiVírus atualizaria seu programa antivírus.

Sendo nosso hipotético colunista internacionalmente famoso, ele se tornaria um ponto focal

para as empresas coordenarem suas decisões.

UM CASO DE MAIS DO QUE UM EQUILÍBRIO DE.NASH

É possível que haja mais do que um equilíbrio de Nash (ou até mesmo que não haja um equilíbrio de Nash). Se os jogadores não alternam suas estratégias aleatoriamente,

pode muito bem acontecer que não haja um equilíbrio de Nash.

Vejamos um exemplo de cada um desses casos, começando pelo caso em que há mais de um equilíbrio de Nash. Considere o jogo a seguir:

SysOp

AntiVírus


Desenvolver 2, 1 -1, -2



Não Desenvolver 0, -1 1, 2

Figura 1. O jogo de Coordenação do Padrão Tecnológico.

O jogo da Figura 1 representa uma situação de interação estratégica em que um

fabricante de sistemas operacionais (SysOp) tem de decidir se desenvolve ou não uma nova

ferramenta em seu sistema operacional, e uma empresa que produz software antivírus

(AntiVírus) tem de decidir, simultaneamente, se atualiza seu software para a nova ferramenta

a ser introduzida no sistema operacional.

Nesse jogo, embora as empresas não mantenham contato para coordenar suas

decisões, ambas têm interesse em uma solução conjunta: decisões divergentes (se a SysOp

desenvolve a nova ferramenta e a Anti Vírus não atualiza seu programa, ou se a SysOp não

desenvolve a nova ferramenta enquanto a AntiVírus atualiza seu programa) trazem prejuízos

para ambas (representados simbolicamente pelas recompensas com sinal negativo).

A presença de mais de um equilíbrio de Nash é o que ocorre no jogo de coor-

denação do padrão tecnológico da Figura 1. Assim como temos um equilíbrio de Nash na

combinação de estratégias (Desenvolver, Atualizar), temos outro equilíbrio de Nash na

combinação (Não Desenvolver, Não Atualizar) (o leitor deve investigar por que essa

combinação também é um equilíbrio de Nash).

Em qualquer dos dois casos, as estratégias são as melhores respostas umas as

outras. Contudo, é óbvio que as duas coisas não podem ocorrer ao mesmo tempo: ou bem a

SysOp desenvolve sua ferramenta e a Anti Vírus atualiza seu software, ou bem nem a SysOp

desenvolve sua ferramenta, nem a Anti Vírus atualiza seu software. Será que isso significa que

o equilíbrio de Nash não é útil?

O conceito do equilíbrio de Nash permanece útil para a compreensão e análise de

jogos simultâneos, ainda que não produza um único resultado. De fato, sabemos que em uma

série de situações concretas existem várias possibilidades de equilíbrio, no sentido preciso de

situações em que os agentes não possuem qualquer estímulo para mudar suas decisões.

Por sinal, é exatamente isso que o conceito de equilíbrio de Nash procura captar:

situações em que os agentes não teriam estímulos para mudar suas decisões. E muitas vezes

há mais de uma situação em que os agentes podem se “acomodar”, sem que necessariamente

seja a melhor situação possível para aiguns deles.



Outro exemplo pode ilustrar a importância de analisar previamente situações

indesejadas. Considere o jogo a seguir:

Refrescos SA

Bebidas SA

Adota Campanha Agressiva Não Adota Campanha

Agressiva

Adota Campanha Agressiva -20, -20 10, -10

Não Adota Campanha

Agressiva -10,10 0, 0

Figura 2. O jogo da Campanha Publicitária.

Na Figura 2, temos a representação de uma situasão de interação estratégica em

que duas empresas, a Refrescos S.A. e a Bebidas S.A., têm de decidir se adotam, ou evitam,

campanhas publicitárias agressivas. A pior situação para as duas é quando ambas decidem

adotar campanhas publicitárias agressivas: os gastos são elevados e não há alteração

significativa na parcela de mercado atendida por cada empresa, de tal forma que as empresas

acabam arcando com um prejuízo de 20 milhões de reais cada uma.

Se uma das empresas adota a estratégia da campanha agressiva, enquanto a outra

evita o confronto, a empresa que adotou a campanha agressiva tem lucros substanciais (10

milhões de reais), enquanto a empresa que evitou o confronto sofre perda de 10 milhões de

reais. Finalmente, se nenhuma das duas adota campanhas agressivas, tudo fica inalterado, e as

empresas não têm lucros ou perdas.

Analisando essa situação a partir do conceito de equilíbrio de Nash chegamos a um

resultado muito interessante. Temos novamente dois equilíbrios de Nash: (Adota Campanha

Agressiva, Não Adota Campanha Agressiva) e (Não Adota Campanha Agressiva, Adota

Campanha Agressiva).

Isso porque a melhor resposta a uma campanha agressiva é não responder a ela,

sob pena de aumentar suas perdas (tanto quanto as do seu competidor). E a melhor résposta a

um competidor que não adpta uma campanha agressiva é, justamente, adotar uma campanha

agréssiia, que irá aumentar seus ganhos até o máximo de 10 milhões de reais.

O problema aqui é que não sabemos qual das empresas irá ceder a iniciativa da

campanha publicitária agressiva para outra. Sem um mecanismo que influencie as decisões, de



forma a evitar o resultado indesejável, dados os ganhos envolvidos, corre-se o risco de que as

duas empresas decidam adotar campanhas agressivas maximizando seus prejuízos.

Não cabe, portanto, exigir do conceito de equilíbrio de Nash a determinação a

respeito de em que situação específica os agentes irão se “acomodar”, uma vez que isso

provavelmente será determinado por fatores circunstanciais. Por outro lado, esses fatores

circunstanciais vêm cada vez mais atraindo a atenção dos teóricos de jogos.

Isso se deu especialmente a partir dos trabalhos de Thomas C. Schelling, um dos

ganhadores do Prêmio Nobel de Economia de 2005. Foi Schelling quem primeiro desenvolveu

uma das ferramentas mais importantes para estudar como pode se dar o processo de seleção

entre múltiplos equilíbrios de Nash na prática, quando os agentés têm interesse em coordenar

suas decisões, como no caso do jogo de coordenação do padrão tecnológico da Figura 1: o

conceito de ponto focal, que passamos a discutir brevemente agora.

Um Caso em que Não Há Equilíbrio de Nash

Vejamos agora um caso em que não há equilíbrio de Nash. Como exemplo de um

jogo em que não há equilíbrio de Nash, considere o jogo conhecido como jogo de combinar

moedas (matching pennies). Nesse jogo, dois jogadores exibem, ao mesmo tempo, a moeda

que cada um esconde em sua mão. Se ambas as moedas apresentam cara ou coroa, o segundo

jogador dá a sua moeda para o primeiro. Se uma das moedas apresenta cara, enquanto a outra

apresenta coroa, é a vez do primeiro jogador dar a sua moeda para o segundo. Esse jogo está

representado a seguir:

Jogador 1

Jogador 2


Cara 1, -1 -1, 1

Coroa -1, 1 1, -1

Figura 1. O jogo de Combinar Moedas.

Não é difícil perceber que no jogo de combinar moedas não há combinação de

estratégias que atenda aos requisitos do equilíbrio de Nash. Apenas para citar um exemplo,

embora jogar Cara seja a melhor resposta para o Jogador 1 no caso de o Jogador 2 jogar Cara,



jogar Cara não é a melhor resposta para o Jogador 2 se o Jogador 1 jogar Cara. A mesma

situação se repete em todas as outras combinações de estratégias.

O que isso significa?

Podemos entender esse tipo de jogo, no qual não se verifica um equilíbrio de Nash

de forma imediata, como representando aquelas situações em que não há possibilidade de os

jogadores se conformarem com uma dada combinação de estratégias. Assim, não haveria

possibilidade de os jogadores terminarem acomodados com algum tipo de solução, ainda que

intermediária: esse é um jogo de conflito permanente e não há como, diretamente,

determinar estratégias que sejam reciprocamente as melhores respostas para cada jogador.

Nem sempre esse tipo de jogo, conhecido como jogo estritamente competitivo ou

jogo de soma zero, deixa de apresentar um equilíbrio de Nash. Contudo, o método de

determinação do equilíbrio de Nash em jogos estritamente competitivos é diferente e exige

outros métodos.

Representação dos Jogos

Os jogos estudados pela teoria dos jogos são objetos matemáticos bem

definidos. Um jogo consiste de jogadores, um conjunto de movimentos (ou táticas)

disponíveis para estes jogadores, e uma definição de pagamento para cada combinação

de estratégia. Existem duas formas de representação de jogos que são comuns na

literatura.

Jogador 2 escolhe esquerda Jogador 2 escolhe direita

Jogador 1 escolhe

para cima 4, 3 -1, -1

Jogador 1 escolhe

para baixo 0, 0 3, 4

Um jogo na forma normal



Forma normal

O jogo (ou modo estratégia) normal é uma matriz a qual mostra os

jogadores, estratégias, e pagamentos (veja o exemplo acima ). Onde existem dois

jogadores, um escolherá as linhas e o outro escolherá as colunas. Os pagamentos são

registrados no seu interior. O primeiro número é o pagamento recebido pelo jogador da

linha (Jogador 1 em nosso exemplo); e o segundo é o pagamento para o jogador da

coluna (Jogador 2 em nosso exemplo). Suponha que o Jogador 1 obteve para cima e

que o Jogador 2 obteve esquerda, então o Jogador 1 ganha 4, e o Jogador 2 ganha 3.

Na verdade, sempre que empregamos o valor monetário para expressar

diretamente as prioridades dos jogadores quanto ao resultado de um processo de interação,

ou seja, de um jogo, estamos fazendo a hipótese subentendida de que os jogadores preferem

mais dinheiro a menos.

É importante destacar dois aspectos da interação que estamos modelando por

meio da forma estratégica. O primeiro deles diz respeito ao fato de que cada jogador ignora a

decisão do outro no momento em que toma sua decisão: um jogador não sabe o que o outro

jogador está decidindo quanto ao seu valor.

O segundo aspecto é o fato de que nada indica que os dois jogadores estão

considerando possíveis desdobramentos no tempo de suas decisões: parecem considerar

apenas as conseqüências imediatas.

Esses dois aspectos bastam para diferenciar o jogo que apresentamos na tabela

como um jogo simultâneo.

Jogos Simultâneos: são aqueles em que cada jogador ignora as decisões dos demais no

momento em que toma a sua própria decisão, e os jogadores não se preocupam com

as conseqüências futuras de suas escolhas.



A forma estratégica nos fornece, assim, todas as combinações possíveis de ações

dos jogadores, assim como os seus resultados: ela nos avisa quem fez o quê e quanto

conseguiu, em função de suas escolhas e das dos outros jogadores. Para o caso de um jogo

simultâneo com apenas dois jogadores, é a forma mais conveniente de modelagem.

Mas jogos simultâneos possuem uma evidente limitação: não são adequados para

descrever um processo de interação que se desenrola em etapas sucessivas - nesse tipo de

interação estratégica, supor que cada jogador ignora as disposições dos demais podendo não

ser a forma mais conveniente de se analisar o que realmente está ocorrendo.

Quando um jogo é apresentado na forma normal, presume-se que cada jogador

atue ao mesmo tempo ou, ao menos, sem conhecer a ação dos outros. Se os jogadores têm

algum conhecimento acerca das escolhas dos outros jogadores, o jogo é freqüentemente

apresentado na forma extensiva.

Forma extensiva

A forma extensiva de um jogo tenta capturar jogos onde a ordem é

importante. Os jogos aqui são apresentados como árvores (como apresentado na figura

acima ). Onde cada vértice (ou nodo) representa um ponto de decisão para um jogador.

O jogador é especificado por um número listado no vértice. Os pagamentos são

especificados na parte inferior da árvore.

No jogo mostrado aqui, existem dois jogadores, Jogador 1 move primeiro

escolhendo entre F ou U. O Jogador 2 vê o movimento do Jogador 1 e então escolhe

entre A ou R. Suponha que o Jogador 1 escolha U e então o Jogador 2 escolha A, então

o Jogador 1 obterá 8 e o Jogador 2 obterá 2.



A forma extensiva também pode capturar jogos que se movem ao mesmo

tempo. Isto pode ser representado com uma linha tracejada ou um circulo que é

desenhado contornando dos diferentes vértices (isto e, os jogadores não sabem a qual

ponto eles estão).

Jogos simultâneos não nos fornecem informações sobre eventuais

desdobramentos futuros das escolhas dos jogadores. Contudo, muitas vezes, o processo

de interação estratégica se desenvolve em etapas contínuas.

Desse modo, muitas vezes os jogadores fazem escolhas a partir do que os outros

jogadores decidiram no passado e, portanto, nem sempre as decisões são tomadas

desconhecendo as decisões dos demais jogadores. Da mesma forma, nesse tipo de interação,

as escolhas presentes exigem considerar as conseqüências futuras, uma vez que os demais

jogadores poderão retaliar em etapas posteriores do jogo.

Modelar um jogo em forma estendida é mais complexo do que em forma

estratégica. Isso não deve surpreender, uma vez que o jogo na forma estendida nos oferece

mais informações do que o jogo na forma estratégica ( Normal ), já que o primeiro nos informa

como a interação se processa sucessivamente.

A modelagem de uma situação de interação estratégica em forma estendida por

intermédio de uma árvore de jogos, desse modo, possui algumas regras, essenciais para que

sejam preservadas a coerência e a inteligibilidade do modelo, assim como para permitir que o

jogo seja analisado de forma inequívoca, e que passamos a considerar agora.

As Regras da Arvore

(a)Todo nó deve ser precedido por, no máximo, um outro nó apenas; nenhuma

trajetória pode ligar um nó a ele mesmo;

(b)Todo nó na árvore de jogos deve ser sucessor de um único e mesmo nó inicial.

Jogos Simultâneos

Precisamos começar a entender como os agentes envolvidos em situações de

interação estratégica avaliam à situação e tomam suas decisões, para descobrirmos as

melhores respostas em um jogo.



Veremos como os jogadores tomam suas decisões em situações de interação

estratégica, isto é, como se deve jogar um jogo. Para isso, precisamos determinar quais serão

os resultados mais aceitáveis do jogo caso os jogadores ajam racionalmente. Nesse momento

analisaremos um jogo e, nessa análise, a hipótese de que os jogadores escolhem a estratégia

que produz os melhores resultados, dados os seus objetivos, possui essencial importância.

Os jogos simultâneos representam uma forma de interação estratégica bastante

simples, pode ajustar resultados bastante interessantes não apenas para explicar como muitas

vezes se deve proceder em situação de interação estratégica, mas também para nos ajudar a

entender algumas situações aparentemente absurdas que encontramos ao estudarmos a

economia, estratégias empresariais e muitas outras situações de interação social.

Uma informação do jogo é dita de conhecimento comum quando todos os jogadores

conhecem a informação, todos os jogadores sabem que todos os jogadores conhecem a

informação, todos os jogadores sabem que todos os jogadores sabem que todos os

jogadores conhecem a informação e assim por diante, até o infinito.

Existe uma razão simples para o que descrevemos acima: sempre que temos um

processo de interação estratégica, em que a escolha de um jogador depende das escolhas de

outro jogador, é natural que, antes de tomar suas decisões, um jogador idealize o que o outro

jogador imagina que o jogador está imaginando que o outro jogador imagina... E assim por

diante, tantas vezes quanto for o processo de interação entre eles. A obrigação de que essa

cadeia se estenda até o infinito é apenas para dar conta de qualquer processo de interação,

por mais longo que seja.

Isso não significa que casos de interação estratégica em que as informações

importantes não são de conhecimento comum não podem ser analisados, existem métodos

específicos para lidar com esse tipo de situação.

Um jogo é dito de informação completa quando as recompensas dos jogadores são de

conhecimento comum.

Por que temos de definir que as recompensas dos jogadores sejam de

conhecimento comum? Como estamos supondo que os jogadores são racionais, ou seja, que

adotarão as estratégias para elevar ao máximo suas recompensas, afirmar que as recompensas

dos jogadores são de ciência comum significa dizer que nenhum dos jogadores possui dúvidas



sobre o resultado que os demais estão buscando obter. Assim, cada jogador sabe exatamente

com quem está jogando, pois sabem quais são os objetivos dos outros jogadores.

No estudo dos jogos simultâneos, buscaremos determinar que combinação de

estratégias os jogadores poderão adotar, isto é, quais serão suas ações e que conseqüências

essas ações terão para os jogadores, desde que eles hajam racionalmente.

ESTRATÉGIAS ESTRITAMENTE DOMINADAS

Algumas vezes, os jogadores têm uma ou mais opções de estratégia que

proporcionam resultados melhores do que alguma outra estratégia, não importando o que os

demais jogadores façam. Nesse caso, a análise do jogo fica bastante facilitada. Iremos analisar

um exemplo, de interação estratégica do livro Teoria dos Jogos (Fiani): a empresa de sabão em

pó Limpo tem de decidir se lança, ou não, uma marca biodegradável para competir com o

produto biodegradável de sua concorrente, empresa Bonito. Esta última, por sua vez, tem de

decidir se aumenta, ou não gastos de propaganda com o seu produto. Os lucros de cada

empresa são sentados na forma estratégica na tabela a seguir, em milhões de reais.

Limpo

Bonito

Aumentar os Gastos com

Publicidade

Não aumentar os Gastos com

Publicidade

Lançar o Produto

Biodegradável 5,5 7,3

Não lançar o Produto


Vamos analisar inicialmente os lucros da empresa Limpo. Caso a empresa

concorrente Bonito decida aumentar seus gastos em publicidade, lançar o produto

biodegradável proporcionará lucros no valor de 5 milhões de reais, enquanto a decisão de não

lançar o produto biodegradável produzirá lucros menores, no valor de 2 milhões de reais.

Da mesma forma, caso a empresa Bonito decida não aumentar seus gastos em

publicidade, lançar o produto biodegradável produzirá lucros maiores (7 milhões) do que não

lançar (2 milhões). O que você faria se fosse o presidente da empresa Limpo e tivesse que

tomar uma decisão sobre o lançamento do produto biodegradável?



Percebemos que não importa o que a empresa Bonito decida, é sempre melhor

para a empresa Limpo lançar seu produto biodegradável. Utilizando os termos empregados

pela teoria dos jogos, a estratégia {Lançar o Produto Biodegradável} domina a estratégia {Não

Lançar o Produto Biodegradável} no caso do jogador Limpo. Também podemos dizer que o

jogador Limpo possui uma estratégia dominante {Lançar o Produto Biodegradável}.

Alternativamente, poderíamos afirmar que a estratégia {Não Lançar o Produto Biodegradável}

é dominada pela estratégia {Lançar o Produto Biodegradável}.

Note que todas as recompensas da estratégia {Lançar o Produto Biodegradável}

são estritamente maiores do que as recompensas da estratégia {Não Lançar produto

Biodegradável}. Nesse caso, diz-se que a estratégia {Lançar o Produto biodegradável} é

estritamente dominante em relação à estratégia {Não Lançar produto Biodegradável}.

Representa-se isso, algebricamente, da seguinte forma: seja um dado jogar i, cujas

estratégias são representadas como si. As estratégias dos demais jodores são representadas

como s-i,onde o subíndice -i significa que estamos tratando das estratégias de todos os

jogadores que não o jogador i.

Seja πi a função de recompensa do jogador i, que especifica uma recompensa para

o jogador i de acordo com a estratégia que ele e os demais jogadores adotaram. Se uma dada

estratégia do jogador i, denominada si*, é estritamente dominante em relação a uma outra

estratégia s**i, para este jogador, temos que:

πi (si*, s-i) > πi (s**i, s-i ), para todos s-i

A desigualdade anterior representa o fato de que a recompensa proporcionada

por si ao jogador i é estritamente superior às recompensas proporcionadas pela estratégia s**i,

que o jogador i pode adotar, quaisquer que sejam as estratégias adotadas pelos demais

jogadores.

Além de estratégias estritamente dominantes, também podemos ter casos em que

uma estratégia é melhor do que outra em pelo menos uma situação, sendo no restante das

vezes apenas tão boa quanto esta outra. Veja o mesmo exemplo anterior, ligeiramente

reformulado:



No nosso exemplo reformulado, caso a empresa Bonito decida aumentar seus

gastos com publicidade, {Lançar o Produto Biodegradável} produz resultados tão bons quanto

{Não Lançar o Produto Biodegradável}. Contudo, se a empresa Bonito decidir não aumentar

seus gastos com publicidade, a empresa Limpo terá lucros maiores caso decida lançar seu

detergente biodegradável.]

Nesse caso, em que a estratégia {Lançar o Produto Biodegradável} produz

recompensas (lucros) superiores em uma situação, e recompensas tão boas como as

recompensas da estratégia {Não Lançar o Produto Biodegradável} restante das vezes, diz-se

que a estratégia {Lançar o Produto Biodegradável} é fracamente dominante em relação à

estratégia {Não Lançar o Produto Biodegradável}, para a empresa Limpo.

Da mesma forma, diz-se que a estratégia {Não Lançar o Produto Biodegradável} é

fracamente dominada pela estratégia {Lançar o Produto Biodegradável}.

Para representar algebricamente a dominância fraca, considere novamente um

dado jogador i, cujas estratégias são representadas como si. As estratégias dos demais

jogadores são, como sempre, representadas como s-i sendo πi a função de recompensa do

jogador i. Se uma dada “estratégia do jogador i, denominada si”, é fracamente dominante em

relação a uma outra estratégia s’i para este mesmo jogador, temos que:

πi (si”, s-i) ≥ πi (s’i, s-i ), para todo s-i e

πi (si”, s-i) > πi (s’i, s-i ), para algum s-i

Essa desigualdade representa o fato de que a recompensa proporcionada por si”

ao jogador i é maior ou igual às recompensas proporcionadas pela estratégia s’i ,quaisquer que

sejam as estratégias adotadas pelos demais jogadores e, para pelo menos uma das estratégias

Limpo

Bonito

Aumentar os Gastos com

Publicidade

Não aumentar os Gastos com

Publicidade

Lançar o Produto


Não lançar o Produto




que os demais jogadores possam adotar, a estratégia fracamente dominante si” produz

recompensas melhores do que s’i .

Jogos Seqüenciais

Existem situações, onde os jogadores efetivamente tomam suas decisões conhecendo

antecipadamente as escolhas dos demais jogadores. Pense, por exemplo, em uma partida de

xadrez. Ao chegar sua vez de jogar, cada jogador conhece as decisões de seu adversário. Desse

modo, ao tomarem suas decisões, os jogadores possuem maior informação do que aquela que

é suposta ao modelarmos uma situação de interação estratégica como um jogo simultâneo.

Considerando sempre que os jogadores são racionais, não nos permite supor que os

jogadores tomem suas decisões ignorando o que os demais jogadores decidiram nas etapas

anteriores do jogo, uma vez que seja possível ter o acesso a essa informação. Isso seria o

equivalente a imaginar um jogador de xadrez que toma suas decisões sem considerar os

movimentos feitos pelo seu adversário até ali. Um jogador de xadrez que agisse assim,

desconsiderando os movimentos de seu adversário, seria considerado irracional caso seu

objetivo fosse ganhar o jogo. Da mesma maneira, em teoria dos jogos, um jogador que

ignorasse a história do jogo até o momento em que tem de realizar sua escolha estando essa

história disponível para ele, seria tido como irracional pela teoria, uma vez que ele não estaria

empregando de forma eficiente um dos meios de que dispõe (a informação sobre a história do

jogo até ali) para alcançar seus objetivos.

Desse modo, a informação de que um jogador dispõe acerca das decisões dos

demais jogadores pode alterar de forma bastante significativa as opções do jogador que tem

de tomar suas decisões em uma dada etapa do jogo. O jogo seqüencial, ou seja, um jogo em

que, em alguma etapa, algum dos jogadores tenha a possibilidade de decidir conhecendo a

decisão do jogador que o antecedeu.

OS LIMITES DO EQUILÍBRIO DE NASH EM UM JOGO SEQUENCIAL

Vamos entender utilizando um exemplo onde existem duas empresas - uma que

deseja ingressar em um mercado (Desafiante) e outra que já se encontra nesse mercado

(Dominante) se interagem em um jogo estratégico.



A Desafiante possui duas ações possíveis: entrar no mercado (a ação {Entra}) ou

não entrar no mercado (a ação {Não Entra}). Uma vez que a Desafiante tenha decidido entrar,

é a vez da empresa Dominante de decidir entre duas ações possíveis: {Luta} ou {Acomoda}.

No jargão dos estudos de organização industrial, significa adotar reduções de

preços, campanhas publicitárias agressivas etc., na tentativa de manter sua participação no

mercado inalterada. Objetivo dessa opção estratégica, por parte de uma empresa já

estabelecida no mercado, é tentar manter sua produção inalterada, impedindo que a empresa

que entra no mercado consiga uma participação suficiente para garantir o retorno dos seus

investimentos no setor.

A possibilidade de que a empresa Dominante decida lutar representa uma ameaça

significativa para a Desafiante, pois usualmente as novas empresas em um setor realizam

grandes investimentos em capacidade produtiva, rede de distribuição etc., e, desse modo,

necessitam obter, mais depressa possível, uma participação no mercado que assegure um

retorno adequado dos investimentos, sob pena de desagradar seus sócios ou acionista.

Portanto, sempre que nos referimos à opção por parte da empresa já estabelecida

no mercado — no nosso exemplo, a empresa Dominante —, estaremos nós referindo à

decisão estratégica de manter sua produção inalterada diante da entrada de uma nova

empresa no setor. Mas manter a produção inalterada diante de uma nova entrada no mercado

não caracteriza completamente a opção da empresa estabelecida (Dominante) de lutar. É

preciso também definir que nível de produção a empresa Dominante irá manter inalterado se

optar por lutar.

A razão disso é que não basta, se a opção for lutar, manter o nível de produção

inalterado caso uma outra empresa ingresse no setor: se o nível de produção fixado for muito

pequeno, uma nova empresa não terá qualquer dificuldade para ingressar no mercado e

ocupar a demanda a insatisfeita!

Com efeito, se o nível de produção fixado pela empresa estabelecida for muito

pequeno, o preço no mercado estará, provavelmente, muito elevado, pois haverá pouca oferta

para atender a demanda. Conseqüentemente, uma nova empresa conseguiria vender a sua

produção e, apesar de com sua oferta provocar uma queda no preço do mercado (pois sua

oferta agora irá se somar à oferta da empresa estabelecida), ainda assim obter muito

provavelmente, um lucro significativo.



Desse modo, fixar a quantidade produzida não é suficiente, do ponto de vista da

empresa estabelecida (Dominante), para desestimular a entrada de novos competidores. É

preciso também que a produção da empresa Dominante seja suficientemente elevada para

que, caso uma nova empresa entre no setor e ofereça seu produto, isso provoque uma

redução no preço de mercado abaixo do nível que seria necessário para que a nova empresa

obtenha uma lucratividade minimamente adequada.

Mas a opção de lutar envolve custos significativos para todos, que vêem sua

margem de lucro diminuir pela redução de preço, que é provocada pela maior produção fixada

pela Dominante como um desestímulo á entrada de uma nova empresa; ou pelo aumento de

custos que resultam de mais despesas com publicidade e comercialização. A alternativa da

Dominante é acomodar a entrada de uma nova empresa reduzindo sua própria produção.

Embora restringir a própria produção possa reduzir os lucros pela diminuição na

quantidade vendida, essa redução muitas vezes tende a ser menor do que a que seria

provocada pela opção de lutar. Nesse último caso, em geral, a tentativa da empresa

Dominante de manter sua participação no mercado envolve redução significativa de preços, o

que reduz sua receita, e gastos expressivos com publicidade e comercialização, o que aumenta

seus custos.

A combinação de redução de receitas e aumento de custos costuma provocar uma

redução de lucros muito mais expressiva do que simplesmente acomodar a entrada de uma

nova empresa no mercado, reduzindo sua produção.

Teoria dos Jogos Repetidos

Os processos de interação estratégica nos quais os jogadores decidem sem conhecer as

decisões dos demais podem ser tratados como jogos simultâneos. Já os processos de interação

estratégica em que os jogadores decidem em uma ordem predeterminada e conhecem o que

foi decidido na etapa anterior, podem ser analisados como jogos seqüenciais. Vamos tratar

agora de um outro tipo de processo de interação estratégica, que também demanda um

modelo de jogo peculiar. Vamos tratar dos processos de interação estratégica que possuem

uma história.

Existem processos de interação estratégica que se desenvolvem no tempo e, desse

modo, possuem uma história que é de conhecimento comum dos jogadores. Pense, por



exemplo, em uma relação comercial entre duas empresas, em que uma das empresas apanha

um insumo específico da outra empresa, ou seja, uma matéria-prima que tem de ser entregue

com determinadas características físicas e em um dado prazo, para não atrasar o processo

produtivo da empresa compradora.

Ao mesmo tempo, para oferecer esse insumo, a empresa produtora tem de

realizar certos investimentos em volume significativo, os quais somente atendem às

necessidades da empresa compradora, e que deixa de certa forma a empresa produtora na

dependência de que sua cliente cumpra as condições contratuais do fornecimento do insumo,

realizando os pagamentos acertados contratualmente, para que a empresa produtora não

tenha prejuízos.

Ainda que a empresa compradora não possa ter certeza acerca do comportamento

da empresa fornecedora do insumo na etapa atual da transação, ela pode observar a história

da relação comercial com a empresa fornecedora, no momento de encomendar umaa nova

entrega do insumo específico.

O mesmo pode ser feito pela empresa produtora quanto ao comportamento de

sua cliente ao honrar os compromissos anteriores. Por sinal, essa é uma prática bastante

comum no mundo dos negócios: observa-se a história do comportamento dos parceiros, ao se

ponderar a conveniência de prosseguir com a relação.

Também entre políticos, especialmente entre congressistas que devem realizar,

com freqüência, acordos para que suas plataformas políticas se transformem efetivamente em

leis, a consideração da história dos acordos que são fechados e da forma com que esses

acordos são ou não respeitados, serve como indicador claro acerca de quais congressistas são

“confiáveis” na hora de se fechar um acordo, e quais não são.

Um ponto importante é que esses processos envolvem etapas que se repetem,

sendo que, muitas vezes, essas etapas podem ser de tal natureza que se justifique sua

modelagem como jogos simultâneos. Por exemplo, na relação comercial entre as duas

empresas que mencionamos no início, embora haja um histórico de relação entre elas, cada

vez que a empresa compradora do insumo específico adquire o produto, ela não sabe se a

fornecedora decidiu produzir o insumo com a qualidade e rapidez necessárias.



Da mesma forma, a empresa que fornece o insumo tem de tomar sua decisão

quanto a acordar uma nova entrega e realizar os investimentos específicos necessários sem

saber se sua cliente, também dessa vez, terá escolhido honrar seus compromissos ou não.

Desse modo, pode acontecer que, embora os jogadores conheçam as decisões que

foram tomadas em etapas anteriores, a cada nova etapa em que são chamados a decidir, eles

o façam sem saber o que os demais jogadores estão decidindo naquela etapa.

Quando estamos nos defrontando com esse tipo de situação, um tipo particular de

modelagem em jogos, conhecido como modelos de jogos repetidos, pode ser útil para analisar

esse gênero de interação estratégica. Esse tipo de jogo possui grande interesse sempre que se

discute como induzir à cooperação, quando os jogadores possuem ganhos significativos ao agir

de forma não-cooperativa em cada etapa do processo de interação estratégica.

Esse tipo de discussão é relevante nos casos em que não há uma instituição com

poder coercitivo — tal como as cortes de justiça e a polícia — que obrigue os jogadores a se

comportarem cooperativamente. Em alguns exemplos mais dramáticos, pode ser até que a

cooperação dos jogadores seja proibida legalmente, como é o caso dos cartéis.

Apesar de serem proibidos legalmente, infelizmente, cartéis existem. E existem, de

forma ainda mais surpreendente, apesar dos ganhos de curto prazo por se descumprir o cartel

serem significativos.

O modelo de Cournot

O modelo de Cournot deriva do nome do matemático, filósofo e economista

francês Antoine Augustin Cournot (1801-1877), que publicou em 1838 uma análise do

comportamento de duas empresas que decidiam simultaneamente que quantidade produzir.

Alguns autores consideram sua análise um primeiro ensaio do método que seria depois

elaborado e refinado na forma da teoria dos jogos.

O que é certo, contudo, é que esse modelo é um dos modelos clássicos de análise

de mercados com poucas empresas, ou oligopólios, e por isso merece ser estudado com

atenção.

O MODELO DE BERTRAND



Um outro modelo de jogo simultâneo clássico na análise de mercados é o modelo

conhecido como modelo de Bertrand —, que resultou do nome do matemático francês Joseph

Louis François Bertrand (1822-1900) —,também conhecido como modelo de determinação

simultânea de preços (para contrastar com o modelo de determinação simultânea de

quantidades — o modelo de Cournot).

O Jogo do Apadrinhamento

Vamos analisar agora um outro jogo estritamente competitivo, para ilustrar

algumas aplicações desse tipo de jogo a situações de interação estratégica, assim como a

forma de analisar esse tipo de jogo. Estudaremos o “jogo do apadrinhamento”, que é uma

aplicação interessante de jogos estritamente competitivos à analise política.

Vamos, portanto, analisar o seguinte jogo (Baseado no Livro de Fiani): dois

candidatos a um cargo majoritário (como, por exemplo, um governo federal) estão decidindo

se comprometem ou não a apadrinhar seus cabos eleitorais, oferecendo a eles empregos

públicos caso vençam as eleições.

Se os candidatos prometem a seus cabos eleitorais empregos públicos, isso faz

com que eles trabalhem com muito mais empenho na eleição, o que contribui pira aumentar

as chances dos candidatos de serem eleitos. Por outro lado, uma parcela do eleitorado não

aprova esse tipo de promessa, pois esses eleitores zelam pela eficiência e qualidade do serviço

público.

Suponha que, uma vez que o candidato tenha prometido empregos públicos a seus

cabos eleitorais, ele não tem como deixar de cumprir a promessa (podemos supor que há um

efeito de reputação muito negativo, e o candidato que não honra sua promessa pode ter

dificuldades na próxima eleição para conseguir cabos eleitorais dispostos a trabalhar em sua

campanha).

Um dos candidatos é de oposição, o que significa que ele precisa de um apoio

significativo dos cabos eleitorais para ser conhecido pela população. O candidato da situação

não precisa tanto desse apoio, pois tem a seu favor as obras executadas pelo governo de seu

partido. Esse jogo se encontra descrito na forma estratégica a seguir, na qual apresentamos

apenas as recompensas do candidato de oposição, expressas como porcentual de chance de

vitória em função das suas escolhas e do candidato da situação:



Gráfico 1

Candidato da

Oposição

Candidato da Situação

Promete Não Promete

Promete 50% 60%

Não Promete 20% 40%

Podemos perceber por que os jogos estritamente competitivos são chamados de

jogos de soma zero. Basta considerar, inicialmente, que a soma dos porcentuais de votos dos

dois candidatos necessariamente soma 100%. Assim, se o candidato da oposição e o candidato

da situação prometem empregos públicos, cada um terá 50% de chances de ganhar a eleição.

Dado esse valor constante das somas das recompensas, se tivéssemos colocado as

recompensas dos dois candidatos, teríamos:

Gráfico 2

Agora, ao subtrairmos das recompensas do segundo jogador o valor constante da

soma das recompensas, isto é, 100%, obtemos :

Gráfico 3

Candidato da

Oposição



Promete 50%, 50% 60%, 40%

Não Promete 20%, 80% 40%, 60%

Candidato da

Oposição



Promete 50%, -50% 60%, -60%



No Gráfico 3 a soma das recompensas dos jogadores , para qualquer combinação

de estratégias, é sempre zero. Desse modo, mais uma vez percebemos que é possível

apresentar um jogo estritamente competitivo como um jogo de soma zero, subtraindo das

recompensas de um jogador (preferencialmente o segundo) o valor constante da soma das

recompensas. Contudo, também vamos optar aqui pela representação mais simples do Gráfico

1, deixando implícita a recompensa do segundo jogador.

Vejamos como interpretar a forma estratégica do Gráfico 1. Nela vemos que se o

candidato da oposição não promete empregos públicos a seus cabos eleitorais enquanto o

candidato da situação promete, na célula inferior esquerda as chances do candidato de

oposição ganhar a eleição são de 20%. Por que não apresentamos as chances do candidato da

situação?

Simplesmente porque se naquela situação as chances do candidato de oposição

são de apenas 20%, isso significa que as chances do candidato da situação são de 100% - 20%=

80%, uma vez que ambos os candidatos concorrem ao mesmo cargo e apenas um será eleito.

Não precisamos, assim, apresentar as recompensas dos dois candidatos: basta apresentar as

recompensas do jogador que está nas linhas (o candidato da oposição) e não esquecer que

enquanto o jogador que está nas linhas busca maximizar essas recompensas, o jogador que

está nas colunas busca minimizá-las.

Vejamos agora como resolver esse jogo. Cada candidato sabe que o outro busca

minimizar sua recompensa. Isso significa que o jogador que se encontra nas linhas (o candidato

da oposição) sabe que o jogador que está nas colunas (o candidato da situação) busca as

estratégias que, dada a estratégia escolhida do candidato da oposição, minimizam a

recompensa deste último.

O candidato da situação sabe, por outro lado, que dada uma escolha sua, o

jogador que está nas linhas (o candidato da oposição) buscará aquela estratégia que, dada a

escolha do candidato da situação por uma estratégia, ou seja, por uma coluna, maximiza a

recompensa do seu adversário, isto é, a recompensa do candidato da oposição. Esses valores

estão identificados no Gráfico abaixo:

Não Promete 20%, -20% 40%, -40%



Gráfico 4

Assim, assinalamos com um asterisco no Gráfico 5 os valores mínimos em cada

linha do candidato da oposição, que ele identifica como sendo os objetivos que norteariam as

escolhas do candidato da situação para minimizar as chances do candidato da oposição de ser

eleito, de acordo com as escolhas deste último:

Gráfico 5

Como os jogadores devem agir nessa situação?

Como o candidato da situação sabe que, para cada estratégia que escolher nas

colunas, o candidato da oposição irá escolher a linha que maximize suas recompensas, ele

deve selecionar aquela coluna que, quando o candidato da oposição escolher a linha que

maximiza suas recompensas dada a coluna escolhida, proporcione ao candidato da situação as

maiores chances de vitória. Em outras palavras, o candidato da situação deve escolher a

coluna que apresenta o menor valor dentre os valores máximos, ou seja, o minimax.

De forma inversa, como o candidato da oposição sabe que, para cada estratégia

que escolher nas linhas, o candidato da situação tentará escolher a coluna que minimize suas

recompensas, ele prudentemente deve selecionar aquela linha que, quando o candidato da

situação escolher a coluna que minimiza as suas recompensas dada a linha escolhida,

proporcione ao candidato da oposição as maiores chances de sucesso. Dessa forma, o

candidato de oposição deve escolher a linha que apresenta o maior valor dentre os valores

mínimos que ele pode obter, ou seja, o seu maximin.

É fácil perceber que o equilíbrio nesse jogo estritamente competitivo que,

conforme vimos, é dado quando maximin = minimax, são encontrados quando os dois

Candidato da

Oposição



Promete 50% 60%

Não Promete 20% 40%



jogadores decidem prometer apadrinhar os seus cabos eleitorais, que corresponde à célula

localizada na primeira linha e na primeira coluna da forma estratégica do Gráfico 6:

Gráfico 6

Candidato da

Oposição



Promete 50%* 60%

Não Promete 20%* 40%

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