RODOLFO MOREIRA DE CASTRO JUNIOR

TOPOGRAFIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO Centro Tecnológico

Laboratório de Topografia e Cartografia – LTC - CTUFES

Recolhido, Montado e Adaptado por Prof. Rodolfo Moreira de Castro Junior

VITÓRIA 1998

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SUMÁRIO Pg.

1-) INTRODUÇÃO...................................................................... 04

2-) OBJETIVO GERAL............................................................... 05

3-) OBJETIVO ESPECÍFICO...................................................... 05

4-) CONCEITOS BÁSICOS EM TOPOGRAFIA...................... 05

5-) MÉTODOS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO...... 11

6-) MÉTODOS DE LEVANTAMENTO ALTIMÉTRICO........ 64

7-) AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS.............................. 95

8-) A PROJEÇÃO UTM (COORDENADAS PLANAS)........... 96

9-) CONCLUSÃO........................................................................ 99

10-) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................. 100

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1-) INTRODUÇÃO Segundo [ESPARTEL69] "a Topografia tem por

finalidade determinar o contorno, a dimensão e a posição relativa de uma

porção limitada da superfície terrestre". Esta determinação se dá a partir do

levantamento de pontos planimétricos e altimétricos, através de medidas

angulares e lineares, com o uso de equipamentos apropriados. O conjunto

de pontos devidamente calculados e corrigidos, dão origem, via de regra,

ao desenho topográfico, que se denomina Planta Topográfica, que é a

própria representação da "porção da superfície terrestre", que fora objeto de

levantamento. Os métodos de cálculos e a forma de tratamento e

transformação dos pontos planimétricos e altimétricos, formam as técnicas

que objetivamente serão apresentadas neste trabalho.

As técnicas topográficas para cálculos de levantamentos

planimétricos e altimétricos, bem como os cálculos geodésicos de

transformação de coordenadas, possuem conceitos e métodos consagrados

no mundo científico, e fazem uso, muito, e principalmente, dos conceitos

básicos da geometria clássica.

Neste Estudo Dirigido, serão apresentadas e discutidas

as principais definições e os métodos mais relevantes para os cálculos

planimétricos e hipsométricos de levantamentos topográficos clássicos,

além da apresentação da metodologia de transformação de coordenadas

geográficas em coordenadas planas, e vice-versa, com a oportuna

conceituação dos termos apresentados.

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2-) OBJETIVO GERAL

O objetivo desta apostila é dar subsídios conceituais e

metodológicos de Topografia e Geodésia, para a aplicação nas aulas

teóricas de práticas da disciplina de Topografia do Curso de Engenharia

Civil da Universidade Federal do Espírito Santo.

3-) OBJETIVO ESPECÍFICO

Conceituar e apresentar os métodos topográficos

(planimétricos e altimétricos) e conceitos básicos geodésicos a serem

ministrados na disciplina de Topografia para facilitar o acompanhamento

do aluno nas discussões de sala e servir de material de estudo para as

avaliações a serem efetuadas.

4-) CONCEITOS BÁSICOS EM TOPOGRAFIA

Planimetria ⇒ Operação que tem por finalidade a

determinação, no terreno, dos dados necessários à representação em plano

horizontal, da forma e da posição relativas de todos os acidentes que nele

se encontram, comportando, assim, a medida de ângulos e de distâncias

referidas àquele plano.

Altimetria ⇒ Operação no terreno, que nos fornece os

dados necessários à representação, em um plano horizontal do relevo da

superfície terrestre objeto de levantamento.

Plano Meridiano⇒ é todo e qualquer plano que contém

a linha que passa pelos pólos Norte e Sul da Terra.

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Linha Norte-Sul ou Meridiana ⇒ é a intersecção do

plano meridiano com o plano do horizonte.

Ponto de Estação⇒ ponto de onde se realizam as visadas

de Ré e de Vante.

Ré⇒ visada no sentido contrário ao do caminhamento.

Vante⇒ visada no sentido do caminhamento.

Meridiano Verdadeiro⇒ Plano do Meridiano geográfico

determinado por observações astronômicas. Para qualquer ponto da terra,

sua direção será sempre a mesma, permanecendo invariável, independente

do tempo.

Meridiano Magnético⇒ A Terra tem propriedades de

um grande corpo magnético, portanto, funciona como tal, tendo as

extremidades da agulha de uma bússola atraídas pôr duas forças atuando

em dois pontos diametralmente opostos, que são os pólos magnéticos da

Terra. O meridiano magnético não é paralelo ao verdadeiro e sua direção

não é constante, ainda assim, ele é empregado como uma linha de

referência constante em um levantamento topográfico

Norte Magnético⇒ Direção Norte de um Meridiano

Magnético, assinalada pela agulha de uma bússola imantada.

Declinação Magnética⇒ Ângulo formado entre o Norte

Magnético e o Norte geográfico. Como já vimos o Norte Magnético é

variável, logo o ângulo de declinação também varia.

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Ângulo Horizontal ou Azimutal⇒ Ângulo formado

entre as projeções horizontais de duas linhas que passam através desses

dois pontos e convergem a um terceiro ponto.

Ângulo Vertical ou Zenital⇒ Ângulo de elevação ou

depressão em relação ao horizonte. Medido a partir de algum plano de

referência, o ângulo é positivo, se o ponto estiver acima do horizonte do

observador. Negativo, se o ponto estiver abaixo do horizonte do

observador.

Zênite⇒ Ponto da esfera celeste, imediatamente acima do

observador, perpendicular ao horizonte do mesmo.

Rumos⇒ é o menor ângulo que o alinhamento faz com o

meridiano ( direção Norte-Sul ). Os rumos são contados a partir do Norte

Oeste Leste

α: Ângulo vertical

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ou do Sul, no sentido horário ou anti-horário, conforme os quadrantes em

que se encontram, e variam de 0º a 90º.

Exemplo:

Onde: R1 = 30º NE

R2 = 80º SE

R3 = 30º SW

R4 = 45ºNW

Casos Especiais:

Azimutes ⇒ Ângulo contado a partir da ponta Norte do

meridiano, no sentido horário, variando de 0º a 360º, entre o meridiano e o

alinhamento. Podem ser: Verdadeiros, Magnéticos ou Assumidos,

conforme o meridiano adotado como referência.

Exemplo:

8

Onde : Az 1 = 45 º

Az 2 =130º

Az 3 = 220º

Az 4 = 310º

Deflexão⇒ é o ângulo formado pelo prolongamento do

alinhamento anterior do caminhamento e o novo alinhamento. Esses

ângulos podem ter sentido a direita ou a esquerda, conforme a direção do

novo alinhamento. Se o novo alinhamento for a direita do prolongamento

anterior, o ângulo será chamado de deflexão à direita, caso contrário será

chamado deflexão à esquerda. Varia, portanto, entre 0º e 180º.

Baliza⇒ Haste reta usada para demarcar ou balizar um

alinhamento no terreno.

Mira ⇒ Régua graduada de 4m de comprimento, dividida

centimetricamente. Pode ser para leituras diretas ou invertidas.É usada

Prolongamento do Alinhamento 1 - 2

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juntamente com o teodolito para obtenção dos parâmetros para cálculos de

distâncias horizontais e verticais.

Círculo ou Limbo Horizontal ⇒ É um círculo graduado

de 0º a 360º em ambos os sentidos, horário e anti-horário. Apenas um

trecho do círculo graduado é que aparece por uma fenda ou janela de leitura

nos teodolitos..

Círculo ou Limbo Vertical ⇒ É semelhante ao

horizontal. Os ângulos verticais são utilizados, principalmente, para os

cálculos de Distância Horizontal e Diferenças de Nível entre alinhamentos.

Estadimetria⇒ basicamente é a medida de distâncias

(tanto horizontal como vertical ) obtida por cálculos, depois de se obter a

medida do ângulo de inclinação da luneta em relação ao plano horizontal e

as leituras na mira (com auxílio do teodolito ).

Teodolitos⇒ Aparelhos que medem ângulos e distâncias.

Retículos⇒ Marcação colocada no plano focal da ocular

de um instrumento óptico, (no caso, o teodolito) e que serve como

referência para uma visada. Em topografia, eles são:

• Retículo Superior

• Retículo Médio

• Retículo Inferior

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Seu conceito é importante para a leitura na mira., pois

através deles lê-se na mira 3 (três) valores, cada um em um retículo

(Superior, Médio e Inferior). Esses valores são utilizados para calcular as

distâncias horizontais e verticais.

Memorial Descritivo⇒ Descrição pormenorizada,

realizada ao final do levantamento, onde são descritos os dados pertinentes

a área levantada, tais como: proprietários, localização, confrontantes, área,

perímetro entre outros.

5-) MÉTODOS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO

• Método por Irradiação :

Este processo é utilizado para levantamento de pequenas áreas ou,

principalmente como método auxiliar à Poligonção, e consiste em escolher

um ponto conveniente para instalar o aparelho, podendo este ponto estar

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dentro ou fora do perímetro, tomando nota dos azimutes e distâncias entre a

estação do teodolito e cada ponto visado.

Além de ser simples , rápido e fácil , ele tem a vantagem de poder ser

associado a outros métodos (como o do caminhamento, por exemplo) como

auxiliar na complementação do levantamento, dependendo somente dos

cuidados do operador, já que não há controle dos erros que possam ter

ocorrido.

Devido a esses erros é aconselhável ao operador não abandonar

imediatamente o ponto de origem, para verificar se todos os dados

necessários foram levantados. A conferência pode ser feita através da soma

dos ângulos em torno do ponto de origem que deverá dar 360º , como já

sabemos.

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É importante lembrar que se houver lados curvos ao longo da

poligonal, haverá a necessidade de se fazer um maior número de

irradiações, de forma que estas permitam um bom delineamento das curvas.

• Método por Intersecção :

Chamado assim por fazer a intersecção entre as medidas de dois

pontos (duas estações). Este método se resume em visar da estação A (que

chamaremos base) os vértices do polígono, e ler os azimutes de cada um.

Logo depois transporta-se o teodolito para uma segunda estação B, da qual

lê-se pontos já visados por A, lendo-se as deflexões.

Para maior exatidão escolhe-se uma base que pode ser dos lados do

polígono, ou então, um ponto no interior do mesmo. A exatidão do

processo depende essencialmente da escolha da base. Este é o único

processo que se emprega quando alguns vértices do polígono são

inacessíveis. Apresenta também a vantagem da rapidez das operações, mas

exige que o polígono seja livre de obstáculos.

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Ele pode ser empregado como um levantamento único para uma área

ou como auxiliar no caminhamento, desde que as áreas sejam relativamente

pequenas. Como o método de irradiação não há possibilidade ou controle

do erro.

• Método por Caminhamento :

Este processo consiste, na medida dos lados sucessivos de uma

poligonal e na determinação dos ângulos que esses lados formam entre si,

percorrendo a poligonal , isto é, caminhando sobre ela.

Método trabalhoso, porém de grande precisão, o Caminhamento

adapta-se a qualquer tipo e extensão de área, sendo largamente utilizado em

áreas relativamente grandes e acidentadas. Associam-se ao caminhamento,

os métodos de irradiação e intersecção como auxiliares. Ele ainda se divide

em:

Aberto ou Tenso : quando constituído de uma linha poligonal

apoiada sobre dois pontos distintos e denominados – um o ponto de

origem e o outro, o ponto de fechamento.

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Fechado : quando constituído de um polígono que se apoia sobre um

único ponto, o ponto de origem, com o qual se confunde o ponto de

fechamento.

No levantamento por caminhamento as distâncias

normalmente são obtidas indiretamente, isto é, por estadimetria, a não ser

quando são pequenas, ocasiões em que se utiliza a trena para obtê-las. Já os

ângulos horizontais podem ser obtidos por dois processos : pelas deflexões,

as quais permitem calcular os azimutes, que é o caso mais comum, ou pelos

ângulos internos dos vértices do polígono.

Com as medições prontas no campo, pode-se determinar os erros

acidentais durante o levantamento tanto nos ângulos como nas distâncias,

os quais serão comparados com os chamados limites de tolerância, isto é,

com os erros máximos permissíveis para os ângulos e para as distâncias.

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• MEDIDA DE DISTÂNCIA:

Ao se definir a operação Planimetria mostrou-se a necessidade da

medida das distâncias entre os pontos que se pretende representar em um

plano horizontal, ou seja, em um desenho.

Quando são medidas distâncias inclinadas, elas são utilizadas

reduzindo-as à projeção horizontal equivalente, que satisfaz às principais

ou mesmo todas as necessidades para execução do projeto. Essa projeção é

suficiente para qualquer fim, visto que as construções se apoiam sobre

projeções horizontais e a grande maioria das plantas úteis cresce na direção

vertical.

As distâncias podem ser avaliadas diretamente ou indiretamente. É

chamada medição direta quando se aplica diretamente sobre o terreno um

instrumento que permita marcar distâncias (trena, fita de aço e corrente ou

Cadeia de Agrimensor) e medição indireta ou estadimétrica, quando se

calcula com o auxílio da trigonometria, a distância desejada.

• Distância Horizontal:

A distância horizontal pode ser obtida através da trena (método

direto) ou por estadimetria, que como já vimos na parte conceitual, utiliza

mira e teodolito (método indireto). Depois de obtidos os dados de campo,

encontraremos a distância horizontal através da fórmula:

Nos instrumentos analáticos, em que C =0, ter-se-á :

CHDH +××= α2cos100

α2cos100 ××= HDH

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Onde : DH – distância horizontal

H – retículo superior – retículo inferior

α - ângulo da inclinação da luneta

Mas como a luneta pode se encontrar na posição horizontal ou

inclinada esta fórmula pode ter pequenas modificações, que citaremos a

seguir :

a) Visada Horizontal :

Seja na figura :

Onde:

ab = h = a'b' ⇒ distância que separa os dois retículos extremos

(estadimétricos), no anel do retículo.

f ⇒ distância focal da objetiva

F ⇒ foco exterior da objetiva

c ⇒ distância que vai do centro ótico do instrumento à objetiva

C ⇒ c + f (constante)

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d ⇒ distância que vai do foco à mira

AB = H ⇒ diferença entre as leituras dos retículos extremos, na mira

M ⇒ leitura na mira

DH = d + C (distância horizontal que se deseja obter, e que se

para o ponto de estacionamento do aparelho do ponto sobre o qual

está a mira)

Nos triângulos a'b'F e ABF, semelhantes, e nos quais f e d são

as suas respectivas alturas, tem-se :

H

d

h

f=

Hh

fd ×=

CdDH +=

CHh

fDH +×=

O fator h

f , constante para cada instrumento, é na maioria deles

igual a 100, por construção. Nestes, teremos :

CHDH +=100

Esta equação permite obter a distância horizontal nos

instrumentos aláticos, que apresentam um valor para a constante C.

Nos instrumentos analáticos, mais modernos, nos quais C = 0,

tem-se :

18

HDH 100=

OBS.: Como a grande maioria dos instrumentos apresenta a relação

100=h

f , nas deduções seguintes será utilizado sempre este valor.

b) Visada Vertical :

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Neste caso têm-se os mesmos valores do anterior (visada

horizontal), com a introdução de um fator novo, que é o ângulo α, de

inclinação da luneta em relação à horizontal, o qual é determinado

com o auxílio do círculo vertical do instrumento.

Os raios visuais aqui incidem obliquamente sobre a mira

atingindo-a nos pontos A, M e B. Traçando-se o segmento A’B’,

perpendicular a OM no ponto m, de tal forma que A’ se situe sobre o

prolongamento de FA e B’ sobre o segmento FB, ficam construídos

os triângulos AA’M e BB’M. Nesses dois triângulos, os ângulos que

têm como vértice o ponto M são iguais a α, pois têm lados

perpendiculares àquele.

Podem-se considerar, sem erro prejudicial, como retos os

ângulos em A’ e B’, visto serem muito pequenas as distâncias MA’ e

MB’ ao pé da perpendicular OM, em relação às distâncias OA’ e

oB’. Assim sendo, tendo os lados MB’ e MA’ como sendo catetos, e

MB e MA como hipotenusas, dos triângulos BB’M e AA’M,

respectivamente, como se vê no detalhe acima.

Nos triângulos AA’M e BB’M, temos :

MA’ = MA x Cos α

MB’ = MB x Cos α

MA’ + MB’ = (MA + MB) Cos α

MA’ + MB’ = A’B’

MA + MB = H

A’B’ = Hx Cos α

Reportando-se à figura (visada inclinada), vê-se que no

triângulo OMR, retângulo em R, tem-se :

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OR = OM x cos α

OM = 100 A’B’ + C (equação da distância horizontal,

com visada horizontal ).

OM = 100H x Cos α + C

OR = (100 H x cos α + C) cos α

OR = DH

DH = 100H cos2 α + C x cos α

Como o ângulo α é geralmente muito pequeno, e portanto o

valor do seu cosseno é quase sempre muito próximo da unidade, sem

erro apreciável pode-se desprezar o fator cos α na 2ª parcela, e então:

CHDH += α2cos100

Nos instrumentos analáticos, em que C = 0, ter-se-á :

α2cos100HDH =

•• Distância Vertical ou Diferença de Nível:

Aqui as distâncias são obtidas da mesma forma que as horizontais

através de fórmulas, só que estas fórmulas são diferentes para visadas

ascendentes e visadas descendentes, e os valores positivos ou negativos

indicarão o aclive ou declive, existente no terreno. A fórmula utilizada é :

imHDN −⊕××=2

2sen100

α

21

Onde : DN – diferença de nível

H – retículo superior – retículo inferior

α - ângulo de inclinação da luneta

m – retículo médio

i – altura do instrumento

a) Visada Ascendente :

Na figura tem-se :

i = altura do instrumento = RS

m = leitura do retículo médio = MQ

OR = distância horizontal

QS = diferença de nível

QS = RS + RM -

MQ

22

Do triângulo ORM tiramos o valor de RM :

RM = OR x tg α

RM = DH x tg α

RM = (100H x cos2 α + C x cos α )αα

cos

sen

RM = 100H x sen α x cos α + C x sen α

Como o ângulo α é geralmente muito pequeno, seu valor e

quase sempre muito próximo de zero e sem erro apreciável pode-se

desprezar a segunda parcela C x sen α

2

2sencossen

ααα =×

2

sen100

αHRM =

Voltando a equação inicial :

QS = RS + RM - MQ

e substituindo-se cada parcela pelo seu valor :

imHDN +−=2

2sen100

α

Ao empregar-se esta equação, o resultado será sempre positivo

quando a visada for ascendente, e quando o ponto onde está a mira

for mais alto que aquele onde está estacionado o instrumento. Caso

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contrário (visada ascendente e ponto seguinte mais baixo), ter-se-á

um resultado negativo para a diferença de nível.

b) Visada Descendente

Na figura , tem-se :

I = altura do instrumento = RS

M = leitura do retículo médio = MQ

OR = distância horizontal

QS = diferença de nível

QS = QM + MR – RS

MR = imH −+2

2sen100

α (veja a dedução anterior)

imHDN −+=2

2sen100

α

Do emprego desta equação resultará um valor positivo para a

diferença de nível sempre que visada for descendente e o ponto onde

está a mira for mais baixo que aquele onde está estacionado o

instrumento. Em caso contrário (ponto seguinte mais alto que o de

estação), ter-se-á um resultado negativo. Em resumo teremos :

24

Em resumo :

VISADA ASCENDENTE

VISADA DESCENDENTE

=−=+

+−=declive

acliveimHDN

)(

)(

2

2sen100

α

=−=+

−+=aclive

decliveimHDN

)(

)(

2

2sen100

α

OBSERVAÇÃO GERAL: Para visadas horizontais (α= 0º ) o

valor de:

Para o cálculo da Diferença de Nível, é

indiferente aplicar qualquer uma das

fórmulas (ascendentes ou descendentes), e

as suas respectivas convenções (sinais

positivo e negativo) para se determinar se o

terreno sobe ou desce.

5.3) MEDIDA DE ÂNGULOS :

Em topografia, os ângulos estão contidos em dois planos: Um

horizontal ou azimutal e outro vertical ou zenital. Os aparelhos usados são

os Teodolitos.

Através do teodolito pode-se determinar: rumos, azimutes, deflexões

e declinações, ou seja, todos os ângulos necessários para os cálculos e

desenhos utilizados em uma planta topográfica .

Os ângulos formados pelos alinhamentos de uma determinada área a

ser trabalhada, são medidos:

02

2sen100 =

αH

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Ø a partir de uma estação

Ø ou com mudança do aparelho, estacionando-o em mais de

uma estação.

Se as visadas forem feitas a partir de uma estação, os ângulos serão

referenciados por azimutes; entretanto se houver mudança de estação, ao

invés de se ajustar a zero e orientar o aparelho em cada estação, será

conveniente trabalhar-se com os chamados ângulos de deflexão, os quais

permitem o cálculo dos azimutes. Assim, os alinhamentos terão seus

azimutes obtidos indiretamente, evitando-se o erro cometido na orientação

magnética.

•• Azimutes lidos e calculados :

São chamados azimutes “lidos” os ângulos lidos no teodolito a partir

do meridiano de referência.

Os azimutes “calculados” são aqueles obtidos indiretamente, pelas

deflexões. Relaciona-se o azimute do alinhamento anterior com o ângulo de

deflexão do novo alinhamento e assim sucessivamente.

No primeiro ponto de estação do aparelho, como este foi ajustado a

zero e orientado, obtém-se diretamente os azimutes na bússola do teodolito.

Quando há necessidade de mudança do aparelho, como no caso de

poligonais por caminhamento, os demais pontos após o primeiro vértice

terão seus azimutes calculados pelas deflexões que serão somadas ou

subtraídas do azimute do alinhamento anterior, conforme o sentido da

deflexão.

O cálculo dos azimutes é feito pelas seguintes relações:

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Azimute do novo alinhamento = Azimute do alinhamento anterior +

deflexão a direita

Azimute do novo alinhamento = Azimute do alinhamento anterior -

deflexão a esquerda

Exemplo:

Onde :

Az = azimute

DD = Deflexão a Direita

DE = Deflexão a Esquerda

Alinhamen

to

Distância Esquerd

a

Direita Azimute

Lido

Azimute-

Calculado

MP - 1 193,81 - - 305º16' -

1 - 2 210,94 - 80º03' - 25º19'

2 - 3 111,89 27º29' - - 357º50'

3 - 4 76,62 - 68º00' - 65º50'

4 - 5 17,58 16º51' - - 48º59'

5 - 6 22,82 - 34º24' - 83º23'

6 - 7 65,67 - 88º32' - 171º55'

7 - 8 114,54 - 4º21' - 176º16'

27

8 - 9 133,46 - 3º39' - 179º55'

9 - 10 97,71 - 0º27' - 180º22'

10 - MP 69,87 - 45º11' - 225º33'

MP - 1 - - 79º48' - 305º21'

••Rumos e azimutes verdadeiros e magnéticos:

Pode-se ter duas referências para a medição de um ângulo de

orientação (Azimute ou Rumo): Os meridianos magnético e verdadeiro.

Quando a referência tomada é o meridiano verdadeiro, os rumos e

azimutes serão verdadeiros e quando referenciados ao meridiano

magnéticos, serão rumos e azimutes magnéticos .

Para a conversão de um caso em outro, basta que se conheça a

declinação magnética.

28

•• Conversão de rumos em azimutes e vice-versa:

Sempre será útil, quer para os trabalhos de campo como para

cálculos e desenho, a conversão do valor de um rumo em seu

correspondente azimute ou vice-versa.

•• Atualização de rumos :

Atualizar um rumo é reproduzir na época atual a demarcação de um

alinhamento já demarcado, em época anterior, mas cujos vestígios se

perderam ou se tornaram confusos.

Os alinhamentos levantados no campo e posteriormente desenhados

na planta são caracterizados ou medidos em relação ao norte magnético, já

que a bússola assim indica. Como o NM varia e consequentemente a

declinação também, de acordo com o lugar e tempo, evidentemente um

rumo magnético obtido para um alinhamento em determinada época,

diferirá do rumo magnético do mesmo alinhamento medido em outra

ocasião.

Sendo o alinhamento imutável, o que irá variar será o rumo ou o

azimute magnético.

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Frequentemente surgem problemas de verificação, retificação ou

demarcação de uma propriedade, cuja planta foi confeccionada anos atrás e

os alinhamentos têm seus marcos perdidos ou se têm dúvidas.

Três são os casos que podem surgir, na prática, para atualização, a

saber:

a) A planta ou o memorial descritivo apresenta os rumos

verdadeiros dos alinhamentos :

Como os rumos são imutáveis, para aviventar basta que se

determine no local a direção do meridiano verdadeiro e em

função deste, assinalar os pontos indicados pelos ângulos registrados

no título de propriedade.

Outra solução é , conhecendo-se ou determinando-se o valor da

declinação do local na ocasião da atualização, locar os pontos em

função dos rumos magnéticos atuais, convertendo os rumos

verdadeiros em magnéticos. Não há necessidade de se determinar o

valor da variação da declinação. Por exemplo, o rumo verdadeiro de

um alinhamento levantado em 1940 era 30º20′ NE. Sabendo-se que a

declinação local na época atual é 13º15′ W, o rumo magnético atual

será : 30º20′ + 13º15′ = 43º35′ NE.

b) A planta ou o memorial apresenta os rumos magnéticos dos

alinhamentos e também o valor da declinação local na época

do levantamento:

Para se determinar o rumo magnético atual será necessário

conhecer o valor da declinação atual. Por diferença entre os dois

dados de declinação magnética, tem-se a variação da mesma durante

30

o espaço de tempo decorrido entre o levantamento e a atualização.

Exemplo : o rumo magnético de um alinhamento levantado em 1960

era 62º10′SE, quando a declinação magnética local era 12º25′E e

atualmente, ao determiná-la, é de 14º11′E.

A variação foi de 14º11′E - 12º25′E = 1º46′, crescendo no sentido

este.

E o rumo magnético atual será 62º10′ + 1º46′ = 63º56′SE.

Como não se conhece a declinação da época do levantamento,

a solução é recorrer-se à variação média anual da declinação. Esta

pode ser obtida por uma carta isogônica-isopórica ou, se possível,

obtendo-se dados do local que permitam calcular essa variação; esses

dados referem-se a plantas de levantamentos realizados na região e

que forneçam os valores da declinação em épocas diferentes,

obtendo-se por interpolação, a variação média anual. Exemplo: o

rumo magnético de um alinhamento levantado em 1950 era

18º40′SW. Informações locais indicam que a declinação magnética

local em 1945 era 10º30′W e em 1952 era 11º26′W.

A variação média anual será a diferença~entre os dois valores

conhecidos da declinação dividido pelo espaço de tempo decorrido,

ou seja :

1952 1945 = 7 anos

11º26′ 10º30′ = 10º86′ - 10º30′ = 0º56′

variação média = 56′/7 = 8′W por ano

O tempo entre a época do levantamento (1950) e a época da

aviventação (1973) é igual a 23 anos, donde a variação total havida

foi de :

23 x 8 = 184 = 3º04′W

31

O rumo magnético atual será: 18º40′ + 2º41′ = 20º81′

Outra maneira, como já foi dito seria basear-se na variação

anual dada pelas isopóricas e outra solução ainda, seria calcular o

valor da declinação da época do levantamento com informações

como no exemplo dado e determinar o valor atual da declinação; pela

diferença obtém-se o valor da variação da declinação no local.

•• Posição da luneta para a medição de deflexões

A nível de cálculo é importante saber como valor da deflexão foi

obtido em campo, pode ter sido:

a) Com a luneta na posição normal:

Ao invés de se ajustar a zero o círculo horizontal, coloca-se 180º

coincidindo com o 0º do Vernier; mantém-se o círculo preso e dirige-

se a luneta para o ponto de ré; automaticamente, o prolongamento do

alinhamento marcará 0º00′ bastando então soltar o círculo e efetuar a

visada de vante.

32

b) Com inversão da luneta:

Ajustar a zero o círculo horizontal e inverter a posição da luneta;

dirigir nessa posição e com o círculo preso, a luneta para o ponto de

ré; ao fazê-la voltar ao normal, ficará apontando para o

prolongamento do alinhamento e marcando 0º00′; soltar o círculo e

visar vante.

ERROS :

• Nas Medições Diretas :

Aqui as medições são feitas duplamente (ida e volta), mas qualquer

discrepância encontrada entre medições feitas sob condições similares, não

revela nenhum erro sistemático. As medições duplas servem para detectar

enganos, frequentemente cometidos. Em condições médias, para a medição

direta, um trabalho razoável é representado pela relação 1/2000 ou 1/1000

para levantamentos expeditos.

33

As principais fontes de erro nas medições diretas são as seguintes:

a) comprimento incorreto do diastímetro:

O comprimento de uma trena de aço varia com as condições de

temperatura, tração e flexão; portanto um diastímetro é dito de

comprimento correto somente sob determinadas condições. Isto

produz um erro sistemático que pode ser praticamente anulado,

aplicando-se correções.

b) Diastímetro não na horizontal :

Frequentemente, um declive engana o operador e a tendência é

segurar a corrente, na parte mais baixa do declive, em posição mais

baixa. Em trabalhos comuns, esta é uma das maiores fontes de erros.

Será um erro acumulativo, para mais.

c) Alinhamento incorreto :

O operador cravando as fichas ora de um lado, ora de outro do

alinhamento correto, causam erros provenientes da má orientação do

auxiliar de ré. Isto produz um erro sistemático variável, que poderá

ser reduzido pelo cuidado nas operações. Resultam valores maiores e

portanto são erros positivos.

d) Inclinação das balizas :

Se, por falta de cuidado, o auxiliar inclina a baliza, ao invés de

mantê-la na vertical, o diastímetro estará medindo um valor maior ou

menor, conforme a inclinação da baliza.

34

e) Catenária :

É um erro que ocorre sempre que o diastímetro for suportado

pelas extremidades; devido ao peso próprio da corrente, faz que surja

uma curvatura ao invés de se medir em reta, ficando a distância

horizontal entre os pontos menor do que usando a corrente estivesse

inteiramente suportada ou colocada sobre o solo. A flecha formada

ou catenária pode ser diminuída, aplicando-se tensões mais fortes.

• Nas Medições Indiretas

Enquanto na medição direta de distâncias, a maioria dos erros é

sistemática, e por isto a precisão de tais levantamentos varia diretamente

com a distância, nas medições indiretas, por estadimetria, a precisão

dependerá dos erros cometidos nas leituras dos ângulos horizontais e

verticais e nas leituras dos retículos. Como os erros provenientes da leitura

de ângulos são acidentais, o erro principal cometido é na observação dos

retículos interceptando a mira, que também é um erro acidental, supondo a

mira mantida na posição vertical. Assim, é de se esperar que os erros

variem com a raiz quadrada da distância, o que é uma das mais importantes

vantagens que a estadimetria apresenta sobre a medição direta.

• Nos Ângulos de fechamento

a) Determinação :

O erro pode ser determinado, logo no final do levantamento no

campo, por duas maneiras:

• por diferença entre azimutes:

35

Tomando-se por base o azimute inicial MP-1 (de saída),

que foi lido no círculo horizontal e comparando com o azimute

final MP-1 ( de chegada) que foi calculado em função das

sucessivas deflexões e azimutes dos alinhamentos anteriores,

tem-se por diferença, o erro angular de fechamento. Pelos

dados da planilha, observa-se que o valor de MP-1 (de saída) é

305º16’ e no final obteve-se por cálculo o valor de 305º21’

para o mesmo alinhamento MP-1. Donde, o erro angular de

fechamento será:

e.a.f = 305º21’ – 305º16’ = 0º05’ por excesso, o qual deverá

ser anulado pela compensação .

OBS.: É bom lembrar que o primeiro azimute é lido, e os

outros serão calculados, como já vimos antes no tópico :

Azimutes lidos e calculados.

• pelas deflexões :

Como a poligonal é fechada, evidentemente, deveria

“fechar” com 0º ou 360º. E como tem-se deflexões á direita e á

esquerda, a diferença entre os somatórios das duas colunas de

deflexões deveria teoricamente ser igual a 0º ou 360º. A

diferença para mais ou para menos de 360º, será o erro angular

de fechamento, que logicamente será igual ao valor encontrado

pelas diferenças de azimutes do alinhamento MP - 1. Assim, o

erro angular será :

Σdeflexão direita = 404º25’

36

Σdeflexão esquerda = 44º20’

360º05’ – 360º = 0º05’ (erro angular de

fechamento)

b) Limite do erro - tolerável:

O erro angular de fechamento encontrado ao final do

levantamento será comparado com o erro máximo permissível, que

será função do número de estações ou vértice do polígono. Os

diversos autores não são unânimes quanto ao valor deste limite, que é

baseado na lei da propagação dos erros; entretanto, a maioria deles

recomenda que o limite de tolerância N ou até o dobro desse valor,

sendo N o número de estações do aparelho usadas no levantamento e

o erro será expresso em minutos. Assim, poder-se-ia dizer que o

valor do erro angular estando dentro desses limites indicariam:

N = índice de um bom trabalho

2* N = índice de um trabalho aceitável

Acima desses limites os trabalhos não devem ser aceitos.

Na planilha utilizada como exemplo, o erro angular de

fechamento sendo de 0º05’ e N = 12 estações, o limite máximo seria

12*2 = 2 x 3,5 = 7, portanto se enquadrando o erro angular de

fechamento dentro do máximo permissível.

O erro angular de fechamento, dependendo do cuidado do operador é

relativamente fácil de se encaixar dentro dos limites preconizados,

pois os instrumentos vêm sendo sucessivamente aperfeiçoados na

37

parte ótica, aumentando a precisão e a aproximação dos mesmos.

Entretanto, a bibliografia mostra que o erro angular de fechamento

não dá total segurança quanto ao julgamento de um levantamento. O

valor encontrado é simplesmente um resíduo dos erros acidentais,

pois podem ocorrer as compensações naturais durante o trabalho;

assim errando-se um ângulo num sentido, esse erro poderá ser total

ou parcialmente anulado pelo erro seguinte cometido em direção

oposta. Na verdade, houve um erro duplo, mas nos cálculos

desaparecerá pela compensação natural. Embora não seja um índice

rígido quanto á qualidade de um trabalho, é uma das maneiras com

que se depara para tal julgamento e portanto terá que ser levado em

conta. O que se pode afirmar é que, estando o erro angular dentro dos

limites preconizados, provavelmente o trabalho foi bem executado,

mas não garantidamente. Já ao contrário, estando o erro angular de

fechamento acima dos limites, garantidamente foi um mau trabalho,

pois além das compensações naturais houve um excesso de resíduo

dos erros acidentais.

c) compensação do erro angular de fechamento:

O erro angular estando dentro do limite de tolerância deverá

ser anulado, para que a planta “feche” nos ângulos. E isto é feito pela

compensação, que será positiva quando erro é por falta e negativa

quando por excesso. Teoricamente, o ideal seria distribuir

equitativamente o erro por todos os vértices, pois provavelmente

errou-se em todas as visadas. Mas na prática isto seria supérfluo e

desnecessário pois ter-se-ia que trabalhar com segundos, o que não é

feito em trabalhos de rotina, no campo. Como o valor do erro aparece

no final (MP – 1 de chegada), isto não significa que o erro foi

38

cometido nesse alinhamento final, mas sim que veio se acumulando

desde o início e refletindo no final. Sendo os azimutes calculados em

função das deflexões, o erro cometido num alinhamento irá se

propagar por todos os alinhamentos subsequentes. Assim sendo, o

erro que aparece no final é resultado do erro cometido nesse

alinhamento mais os erros dos alinhamentos anteriores que foram se

acumulando. Consequentemente, será mais racional que a anulação

do erro seja feita na planilha de baixo par cima, decrescendo, isto é,

no último alinhamento adiciona-se ou retira-se o tatal do erro, no

penúltimo o total menos um minuto e assim por diante, como se

observa na continuação da planilha tomada como exemplo:

Alinhamen

to

Azim.

Calculado

( -

)

Azim. Calc.

Comp

MP – 1 305º16’ - 305º16’

1 –2 25º19’ - 25º19’

2 –3 357º50’ - 357º50’

3 – 4 65º50’ - 65º50’

4 – 5 48º59’ - 48º59’

5 – 6 83º23’ - 83º23’

6 – 7 171º55’ - 171º55’

7 – 8 176º16’ 1 176º15’

8 – 9 179º55’ 2 179º53’

9 –10 180º22’ 3 180º19’

10 –MP 225º33’ 4 225º29’

MP - 1 305º21’ 5 305º16’

39

Outra maneira de se compensar o erro seria semelhante à

anterior, mas abragendo um maior número de alinhamentos, sem

alterar o valor de MP – 1 inicial, como mostra o exemplo a seguir.

Pode-se usar uma maneira ou outra, indiferentemente.

Alinhamen

to

Azim.

Calculado

( -

)

Azim. Calc.

Comp

MP – 1 305º16’ - 305º16’

1 –2 25º19’ 1 25º18’

2 –3 357º50’ 1 357º49’

3 – 4 65º50’ 2 65º48’

4 – 5 48º59’ 2 48º57’

5 – 6 83º23’ 3 83º20’

6 – 7 171º55’ 3 171º52’

7 – 8 176º16’ 4 176º12’

8 – 9 179º55’ 4 179º51’

9 –10 180º22’ 5 180º17’

10 –MP 225º33’ 5 225º28’

MP - 1 305º21’ 5 305º16’

A coluna de azimutes calculados compensados será preenchida

pelos valores corrigidos dos azimutes, quando então o polígono se

“fechará”, pela eliminação do erro angular de fechamento.

40

•• Erro linear de fechamento :

Para a determinação do erro linear, necessário será a transformação

dos dados em coordenadas, trabalhando-se com um sistema de eixo

ortogonais. São as chamadas coordenadas retangulares ou cartezianas. E as

mesmas serão úteis também par o desenho da planta topográfica, bem

como para o cálculo analítico da área da poligonal de base.

Os eixos coordenados são constituídos de um meridiano de

referência que pode ser verdadeiro, magnético ou assumido, chamado de

eixo das ordenadas ou eixos dos “Y”, dando a direção N-S é um paralelo

de referência, situado perpendicularmente ao meridiano, dando a direção

E-W e chamado de eixo das abscissas ou eixo dos “X”.

Ordenada de um ponto é a distância desse ponto ao paralelo de

referência, medida portanto no sentido N-S no eixo dos “Y”, podendo ser

positiva quando na direção norte ou negativa na direção sul.

Abscissa de um ponto é a distância desse ponto ao meridiano de

referência medida no sentido E-W, no eixo dos “X”, podendo ser positiva

quando na direção este ou negativa na direção oeste.

Em outras palavras, ordenada ou latitude de um ponto é a projeção

do ponto no eixo dos “Y” e será positiva (N) ou negativa (S); abscissa ou

longitude será a projeção do ponto no eixo dos “X”, podendo ser E (+) ou

W ( -).

a) Coordenadas parciais ou relativas :

41

Convertendo-se os azimutes calculados compensados em

rumos e tendo-se o seno e o cosseno do rumo de cada alinhamento, o

produto desses valores pela respectiva distância dará a projeção (

longitude ou latitude) de cada alinhamento.

No triângulo formado, tem-se que :

Sen rumo = cateto oposto / hipotenusa = longitude / distância,

donde,

Longitude parcial = distância x sen rumo

Cos rumo = cateto adjacente / hipotenusa = latitude / distância

, donde,

Latitude parcial = distância x cos rumo

42

Essas projeções são chamadas coordenadas parciais, porque

são contadas à partir da origem do próprio alinhamento; equivale a

transportar a origem do sistema de eixos para cada vértice do

polígono. Como as longitudes poderão ser E (+) ou W (-) e as

latitudes N (+) ou S (-), ao se multiplicar a distância do alinhamento

pelo seno do rumo, tem-se a longitude parcial, cujo valor será

anotado ou na coluna E ou na coluna W, de acordo com o quadrante

do rumo; igualmente, o produto da distância pelo cosseno do rumo

dará a latitude parcial, a ser lançada na coluna N ou na S,

dependendo também do quadrante do rumo.

Dando continuidade ao exemplo, a planilha será acrescida agora das

colunas necessárias para o cálculo das coordenadas parciais, incluídos os

espaços reservados à compensação do erro linear.

Exemplo:

Alinh. Distância Azim. Comp.

Rumos Seno cos E ( +) W ( - ) N (+ ) S ( - )

MP - 1 193,81 305º16' 54º44'NW 0,8165 0,5774 158,25 111,91

1 - 2 210,94 25º18' 25º18' NE 0,4274 0,9041 90,16 190,71 2 - 3 111,89 357º49' 2º11'NW 0,0381 0,9993 4,26 111,81 3 - 4 76,62 65º48' 65º48' NE 0,9121 0,4099 69,89 31,41 4 - 5 17,58 48º57' 48º57' NE 0,7541 0,6567 13,26 11,54 5 - 6 22,82 83º20' 83º20' NE 0,9932 0,1161 22,66 2,65 6 - 7 65,67 171º52' 8º08' SE 0,1415 0,9899 9,29 65,017 - 8 114,54 176º12' 3º48' SE 0,0663 0,9978 7,59 114,298 - 9 133,46 179º51' 0º09' SE 0,0026 1,0000 0,35 133,46

9 - 10 97,71 160º17' 0º17'SW 0,0049 1,0000 0,48 97,7110 - MP

69,87 225º28' 45º28'SW 0,7128 0,7013 49,8 49

Perímetro = 1.114,91 m 213,20 212,79 460,03 459,47

43

b) Determinação do erro linear de fechamento :

Uma vez determinado e distribuído o erro angular de

fechamento, considera-se a poligonal “fechada” em termos

angulares. Resta determinar o valor do erro linear de fechamento,

compará-lo com seu respectivo limite de tolerância e caso seja

inferior a este, efetua-se a compensação do erro linear.

Como a soma algébrica das projeções dos lados de um

polígono sobre um sistema de eixos ortogonais deve ser nula, é óbvio

que a soma das longitudes parciais este (E) deverá ser igual a soma

das longitudes parciais oeste (W), o mesmo ocorrendo para as

latitudes, onde deverão ser iguais as somas norte (N) e sul (S). Se

não houvesse erro linear, como iniciou-se o caminhamento em um

ponto e retornou-se a ele, o trajeto percorrido ou as projeções, têm o

mesmo valor, mas em sentido contrário, ficando o comprimento de

uma direção anulado pelo comprimento da outra. Entretanto, devido

aos erros nas medições de campo, isto não acontece; havendo erro de

fechamento, este será refletido pelas diferenças entre as direções E e

W para as longitudes e entre N e S para as latitudes. O erro linear é

proveniente das imprecisões de leituras da mira e também pelos erros

nas leituras dos ângulos; embora o erro angular já tenha sido anulado

pela compensação, as distâncias ficarão afetadas, pois o erro de

campo ainda persiste e provoca distorção nos alinhamentos.

44

Então, confrontando-se a soma das colunas das coordenadas parciais,

tem-se :

Σ E - Σ W = ∆X = erro de longitude

Σ N - Σ S = ∆Y = erro de latitude

Estes dois erros é que compões o erro linear existente.

No exemplo, a planilha apresenta os seguintes totais para as

colunas de coordenadas parciais:

Σ E = 213,20 Σ N =460,03

Σ W = 212,79 Σ S =459,47

∆X = 0,41 ∆Y = 0,56

E o erro linear será :

mE 69,048,031,017,056,041,0 22 ==+=+=

Entretanto, o valor encontrado para o erro linear (E) por si só

pouco representa; necessário será compará-lo com outra grandeza,

estabelecendo termos de proporcionalidade e esta grandeza é o

perímetro (P) do polígono levantado. Então :

P

Ee =

Onde e = erro linear de fechamento.

45

Costuma-se expressar o valor de e em termos de % , donde :

1000×=P

Ee

que na planilha será :

%62,091,114.1

100069,0=

×=e

c) Limite de tolerância do erro linear de fechamento :

Da mesma forma que ocorre para o erro angular, existe o erro

máximo permissível para as distâncias, com as mesmas discrepância

entre os diversos autores. Na prática, pode-se estabelecer os limites

para o erro linear de fechamento como sendo:

1/1.000 = índice de um bom trabalho e,

2/1.000 = índice de um trabalho aceitável.

Assim, para cada 1.000m de perímetro, tolera-se um erro de 1

a 2 metros.

As mesmas restrições que foram feitas para o erro

angular quanto ao julgamento de um trabalho, são válidas para o erro

linear de fechamento, já que ao determiná-lo apenas aparece o

resíduo dos erros acidentais, excluídas portanto as compensações

naturais que podem ter ocorrido no campo.

Assim, um trabalho cujo erro linear de fechamento esteve abaixo dos

limites preconizados, indica que provavelmente o levantamento foi

bem feito, mas não garantidamente. Por outro lado, toda vez que

ultrapassar os referidos limites, garantidamente não foi um bom

trabalho de campo.

46

d) Compensação do erro linear de fechamento :

Estando o erro linear dentro do limite pré-estabelecido, efetua-

se a compensação, distribuindo-o proporcionalmente pelos

comprimentos dos lados do polígonos. Duas são as maneiras de se

compensar :

• proporcional às coordenadas :

Se na direção E-W foi encontrado um erro longitude

∆X, e na direção N-S um erro de latitude ∆Y, a distribuição

será feita proporcionalmente em cada direção. Como o erro

∆X foi encontrado no percurso Leste-oeste, esse erro

corresponderá ao total das colunas E e W; o mesmo ocorre

para o erro ∆Y em relação à soma N e S. Então, para cada

coordenada faz-se a distribuição proporcionalmente ao

comprimento da mesma. Como a soma das colunas E e W

deveriam ser iguais, o mesmo acontecendo para as colunas,

duas a duas. Isto equivale a repartir o erro de longitude (∆X)

entre E e W e o erro de latitude (∆Y) entre N e S, somando-se

metade do erro à coluna de menor soma e subtraindo-se a outra

metade da coluna de maior soma. Para cada coordenada

haveria uma correção (c) a ser adicionada ou subtraída e

proporcional ao seu comprimento.

Para as longitudes : Para as latitudes :

Σ E + Σ W → ∆X Σ N - Σ S → ∆Y

Longitude → c Latitude → c

47

Tomando-se o alinhamento MP-1 da planilha, como

exemplo, a compensação a ser efetuada seria:

Para Longitude :

Σ E + Σ W = 213,20 + 212,79 = 425,99 m

425,99 ∆X = 0,41

158,25 c

c = 0,15 m = 15 cm

longitude corrigida = 158,25 + 0,15 = 158,40 m

Para Latitude :

Σ N + Σ S = 460,03 + 459,47 = 919,50 m

919,50 ∆Y = 0,56

111,91 c’

c’ = 0,07 m = 7 cm

latitude corrigida = 111,91 – 0,07 = 111,84 cm

E assim seriam feitas as correções para todos os

alinhamentos.

Na prática a compensação é facilitada, organizando-se

tabelas de correções para as longitudes e para as latitudes,

48

fazendo-se aproximações dos centímetros a serem

compensados, bem como dos comprimentos das coordenadas.

Como a soma das compensações efetuadas nas longitudes (E e

W) deverá ser igual ao erro de longitude (∆X), pode ocorrer

que devido à essas aproximações não se obtenha exatamente o

valor do erro a ser distribuído; poderá haver uma pequena

diferença e então faz-se um ajuste, eliminando-se essa

diferença por falta ou por excesso, no alinhamento de

coordenada de maior comprimento. O mesmo se faz para as

latitudes. No presente exemplo, as tabelas de correções seriam:

Para Longitude :

Σ E + Σ W = 426,00 m

em 426,00 41 cm de erro

para cada 10 m c

c = 0,96 cm

10

m

- 0,96

cm

= 1 cm 60 m - 5,76

cm

= 6 cm

20

m

- 1,92

cm

= 2 cm 70 m - 6,72

cm

= 7 cm

30

m

- 2,88

cm

= 3 cm 80 m - 7,68

cm

= 8 cm

40

m

- 3,84

cm

= 4 cm 90 m - 8,64

cm

= 9 cm

50

m

- 4,80

cm

= 5 cm 100m - 9,60

cm

= 10cm

49

Ainda tomando o alinhamento MP-1 como exemplo, de

longitude = 158,25 = 160,00 m, a compensação seria feita

adicionando-se 16 cm, por ser oeste (de menor soma),

resultantes de 10 cm correspondentes a 100 m e 6 cm a 60m,

de acordo com a tabela. A longitude parcial compensada seria :

155,25 + 158,41 m.

Para Latitude :

Σ N + Σ S = 919,50 = 920,00 m

em 920 m 56 cm de erro

para cada 10 m c’

c’ = 0,60 cm

10

m

- 0,60

cm

= 1 cm 60 m - 3,60

cm

= 4 cm

20

m

- 1,20

cm

= 1 cm 70 m - 4,20

cm

= 4 cm

30

m

- 1,80

cm

= 2 cm 80 m - 4,80

cm

= 5 cm

40

m

- 2,40

cm

= 2 cm 90 m - 5,40

cm

= 5 cm

50

m

- 3,00

cm

= 3 cm 100m - 6,00

cm

= 6 cm

50

Para o alinhamento MP-1, a latitude será = 110,00m,

correspondendo a tomar 6 cm para 100m e 1 cm para 10m,

totalizando 11 cm de compensação, negativa, já que a latitude

é norte, a coluna de maior soma. A latitude parcial

compensada seria: 111,91 – 0,07 = 111,84 m.

Eliminando-se dessa forma o erro linear, distribuído

pelos alinhamentos, a planilha prossegue pela adição de mais

quatro colunas, compostas dos valores corrigidos das

longitudes e das latitudes. São as coordenadas parciais

compensadas, as quais quando efetuadas as somas terão que

apresentar totais iguais para as colunas E e W, o mesmo

ocorrendo em relação às colunas N e S.

A esta altura, com os dados corrigidos, a poligonal se

“fechará” totalmente e a planilha ficará:

Exemplo (continuação):

Longitudes Parciais

Latitudes Parciais Long.Compensada

Lat. Compensada

Alinh. Distância E (+) (-) W (-) (+) N (+) (-) S (-) (+) E (+) W (-) N (+ ) S (-) MP - 1 193,81 158,25 16 111,91 7 158,41 111,84

1_2 210,94 90,16 9 190,71 12 90,07 190,59 2_3 111,89 4,26 111,81 7 4,26 111,74 3_4 76,62 69,89 7 31,41 2 69,82 31,39 4_5 17,58 13,26 1 11,54 13,25 11,54 5_6 22,82 22,66 2 2,65 22,64 2,65 6_7 65,67 9,29 1 65,01 4 9,28 65,06 7_8 114,54 7,59 114,29 7 7,59 114,36 8_9 133,46 0,35 133,46 8 0,35 133,54 9_10 97,71 0,48 97,71 6 0,48 97,77 10_M

P 69,87 49,80 5 49,00 3 49,85 49,03

P = 1.114,91 m 213,20 20 212,79 21 460,03 28 459,47 28 213,00 213,00 459,75 459,75

51

⇒ proporcional às distâncias: ao invés de se compensar

proporcionalmente às coordenadas, pode-se efetuar a compensação

proporcional às distâncias relacionando os valores de ∆X e de ∆Y com o

perímetro (P) do polígono. A correção (c) para cada distância (D) será :

• Para Longitude:

em P houve um erro ∆X, para cada distância D haverá uma

correção c :

D

c

p

x=

∆

Dp

xc ×

∆=

Reportando-se ao alinhamento MP-1 como exemplo, cuja

distância é 193,81 m ≈194,00 e sendo o perímetro P =

1.114,91 ≈ 1.115,00 m, a correção a ser feita seria:

mcmmm

cmc 07,07194

115.1

41=≈×=

A longitude parcial compensada seria = 158,25 + 0,07 =

158,32 m

52

• Para Latitude:

P ∆Y

D c’

Dp

yc ×

∆='

mmm

cmc 10194

115.1

56' ≈×=

A latitude parcial compensada seria = 111,91 – 0,10 = 111,81

m.

e) Rumo e distância de um alinhamento omitido :

Quando, por qualquer razão, um dos alinhamentos não

apresenta seu rumo nem sua distância nas anotações, não haveria

possibilidade de se determinar suas coordenadas parciais.

No caso, as coordenadas parciais serão obtidas de uma forma

indireta, baseada nas relações entre as longitudes (E e W) e entre as

latitudes (N e S).

Admitindo-se que não houvesse erro linear num levantamento,

evidentemente a soma da coluna este (E) deveria ser igual à soma da

coluna oeste (W), para as longitudes parciais e também deveriam ser

iguais as colunas norte (N) e sul (S) para as latitudes parciais.

Σ E = Σ W

Σ N = Σ S

53

Quando não se têm as coordenadas parciais de um

alinhamento, logicamente essas somas não se equivaleriam, já que

faltam as respectivas longitudes e latitude.

A diferença encontrada ao se somar E e W, será o valor da

longitude parcial do alinhamento omitido; e a diferença entre as

somas N e S será igual à sua latitude parcial.

Σ E - Σ W = ∆X = longitude parcial

Σ N - Σ S = ∆Y = latitude parcial

Como as somas terão que ser iguais, os valores encontrados

para ∆X e para ∆Y deverão ser colocados na coluna de longitude que

apresente menor soma e na coluna de latitude de menor soma.

Uma vez conhecidas as coordenadas parciais do elemento

omitido, podem ser calculados seu rumo e sua distância.

54

No triângulo retângulo formado, são conhecidos os catetos

(longitude e latitude), donde

parcial

parcial

latitude

longitudetgrumo =

E o valor do rumo será dado pelo arco cuja tangente foi obtida

acima.

O quadrante do rumo será função do sentido das coordenadas

parciais do alinhamento omitido; se o valor ∆X será colocado na

coluna W e o valor ∆Y na coluna S ( colunas de menores somas),

evidentemente o alinhamento situar-se-á no quadrante SW.

Para o cálculo da distância, observando-se o mesmo triângulo,

tem-se que:

(distância)2 = (longitude)2 + (latitude)2 ,

donde :

22 latitudelongitudeD +=

Exemplo 2:

Alinh. E W N S MP – 1 50,00 10,00 Σ E - Σ W = 10,00 1 – 2 20,00 20,00 Σ N - Σ S = 60,00 2 – 3 ? ? ? ?

3 – MP 80,00 30,00 Long.parcial 2-3 = 10,00 E

70,00 80,00 60,00 0,00 Latit. Parcial 2-3 = 60,00 S

55

1666,000,60

00,10==tgR

Arc tg 0,1666 = 9º26’

R = 9º26’ SE

37006010 22 =+=D

mD 00,61=

Aplicação prática: quando se quer obter a distância e o rumo de um

alinhamento formado por dois pontos não inter-visíveis, inicia-se o

levantamento a partir do ponto inicial, fazendo-se uma poligonal até que se

aproxime do ponto final. Forma-se uma poligonal aberta, que será

“fechada” por cálculo do alinhamento omitido.

56

f) Coordenadas totais ou absolutas

Quando mantém-se o sistema de eixos fixo, fazendo-se a

origem coincidir com um ponto do polígono, os demais vértices terão

suas coordenadas contadas a partir desse ponto de origem. São as

coordenadas totais ou absolutas. Estas são obtidas pela soma

algébrica das coordenadas parciais, já que convencionou-se que as

longitudes parciais serão positivas quando este e negativas quando

oeste e as latitudes serão positivas quando norte e negativas quando

sul.

As coordenadas totais facilitam o desenho da poligonal e

permitem também o cálculo analítico da área do polígono, sem que

haja necessidade de se desenhar a planta.

As coordenadas dizem respeito aos pontos (aqueles situados à

direita na coluna de alinhamentos), isto é aos pontos finais ou

57

extremos dos alinhamentos. Assim sendo, as coordenadas totais do

primeiro vértice situado após a origem do sistema de eixos serão

sempre iguais às suas próprias coordenadas parciais; os demais

vértices terão suas totais calculadas pela soma algébrica das parciais,

até retorna-se ao ponto de origem, que deverá Ter valores zero tanto

para longitude como para a latitude total, pois foi onde situou-se o

sistema de eixos. A verificação, por cálculo, desses valores zero para

o ponto inicial deve ser feita como garantia da exatidão dos cálculos.

A totalização é mostrada abaixo, completando-se a planilha,

com as colunas de longitudes e latitudes totais, tomando-se como

origem o vértice MP.

Long.Compensada Lat. Compensada Longitude Latitude Alinh. E (+) W (-) N (+ ) S (-) Total Total MP - 1 158,41 111,84 -158,41 111,84 1_2 90,07 190,59 -68,34 302,43 2_3 4,26 111,74 -72,6 414,17 3_4 69,82 31,39 -2,78 445,56 4_5 13,25 11,54 10,47 457,10 5_6 22,64 2,65 33,11 459,75 6_7 9,28 65,06 42,39 394,70 7_8 7,59 114,36 49,98 280,34 8_9 0,35 133,54 50,33 146,80 9_10 0,48 97,77 49,85 49,03 10_MP 49,85 49,03 0,00 0,00

213,00 213,00 459,75 459,75

g) Totalização em torno de um ponto qualquer:

Como as totais são obtidas pela soma algébrica das parciais,

pode-se situar o sistema de eixos passando em qualquer dos vértices

do plígono e não necessariamente sobre o ponto MP. As longitudes e

latitudes parciais conservam seus valores; apenas as totais é que terão

valores diferentes, conforme a localização do sistema de eixos, mas

58

de qualquer forma o ponto situado mais a oeste permanecerá sendo

mais a oeste, o mesmo acontecendo para aqueles situados mais a

norte, sul ou este do polígono. Escolhido o ponto por onde passará o

sistema de eixos, este terá coordenadas totais igual a zero, o vértice

seguinte terá totais iguais ás parciais e os demais serão calculados

algebricamente. Como exemplo, serão reproduzidas as coordenadas

parciais compensadas da planilha e feita a totalização em torno,

agora, do ponto 5.

Long.Compensada Lat. Compensada Longitude Latitude Alinh. E (+) W (-) N (+ ) S (-) Total Total MP - 1 158,41 111,84 -168,88 -345,26 1_2 90,07 190,59 -78,81 -154,67 2_3 4,26 111,74 -83,07 -42,93 3_4 69,82 31,39 -13,25 -11,54 4_5 13,25 11,54 0,00 0,00 5_6 22,64 2,65 22,64 2,65 6_7 9,28 65,06 31,92 -62,40 7_8 7,59 114,36 39,51 -176,76 8_9 0,35 133,54 39,86 -310,30 9_10 0,48 97,77 39 ,38 -408,07 10_MP 49,85 49,03 -10,47 -457,10

213 213 459,75 459,75

• CÁLCULO DE ÁREAS :

Os métodos para cálculos da área levantada são três: gráficos,

analíticos e mecânicos, cada um apresentando suas limitações e vantagens.

59

•Métodos Analíticos :

São os que apresentam melhor precisão e com a vantagem de não ser

necessário se utilizar do desenho para o cálculo da área. Entretanto, os

métodos analíticos possibilitam a avaliação de áreas de lados retos apenas,

o que equivale a avaliar a área da polígonal da base. Toda vez que a planta

apresentar lados curvos, a mesma não poderá ser, em sua totalidade,

avaliada por este processo. E, no levantamento por caminhamento, mesmo

que o perímetro se constitua tão somente de lados retos, na prática

dificilmente a poligonal irá coincidir com o perímetro, já que torna-se

problemático o estacionamento do aparelho exatamente sobre as divisas

(caso de cercas, etc.). Como grande parte da área é abrangida pela

poligonal, emprega-se um método analítico para a área do polígono, mas

para a parte extra-poligonal, ter-se-á que recorrer à decomposição em

figuras geométricas, com os inconvenientes anteriormente citados.

• Método das Coordenadas (Gauss)

Este processo se utiliza das coordenadas totais para o cálculo

da área e é relativamente mais simples que o método das DDM.

60

Na figura, o polígono situado no sistema de eixos, terá suas

coordenadas totais referenciadas por X1, X2 ,..., como as longitudes

totais dos vértices e por Y1,Y2,...., as latitudes totais.

Área (S)01234 = SOD234E - SOB1 – SBD21 – SO4E

Decompondo a área total (SOD234E) em figuras geométricas :

SOD234E = S (trapézio)CD23 + S(trapézio)AC34 + S(quadrado)OA4E

Substituindo :

S01234 = S(trapézio)CD23 + S(trapézio)AC34 + S(quadrado)OA4E –

S(triângulo)OB1 – S(trapézio)BD21 - S(triângulo)O4E

Para o cálculo da área de cada figura as dimensões serão dadas em

função dos valores das totais:

S01234 = X2 + X3 (Y2 – Y3) + X3 + X4 (Y3 – Y4) + X4 Y4 – X1Y1 - X2 + X1

(Y2 – Y1) + X4 Y4

Multiplicando-se todos os termos por 2 e efetuando os produtos, tem-

se :

2 S = X2 Y2 - X2 Y3 + X3 Y2 - X3 Y3 + X3 Y3 - X3 Y4 + X4 Y3 – X4 Y4 + 2

X4 Y4 – X1 Y1 – X2 Y2 +

X2 Y1 –X2 Y1 – X1 Y2 + X1Y1 – X4 Y4

Para melhor memorização da fórmula, dispõe-se as longitudes

totais sobre suas respectivas latitudes, totais e efetuam-se as

multiplicações em cruz respeitando os sinais das coordenadas e

61

adotando-se o critério de que numa direção os produtos serão

positivos e na outra negativos.

1

1

0

0

4

4

4

3

2

2

1

12Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

XS ↔↔↔↔↔=

O cálculo da área fica facilitado, chamando de X1 e Y1 as

coordenadas do ponto seguinte ao que se totalizou (0,00) e assim por

diante.

Com os dados da planilha que serviu como ilustração desse

texto, a mesma terá a área da poligonal calculada pelo método das

coordenadas (Gauss).

Longitude Latitude Alinh. Total Total MP - 1 -158,41 111,84

1_2 -68,34 302,43 2_3 -72,6 414,17 3_4 -2,78 445,56 4_5 10,47 457,1 5_6 33,11 459,75 6_7 42,39 394,7 7_8 49,98 280,34 8_9 50,33 146,8

9_10 49,85 49,03 10_MP 0 0

00,0

00,0

03,49

85,49

80,146

33,50

34,280

98,49

70,394

39,42

75,459

11,33

10,457

47,10

56,445

78,2

17,414

60,72

43,302

34,68

84,111

41,1582 ×××××××

−×

−×

−×

−=S

2 S = - (-158,41 x 302,43) – (-68,34 x 414,17) – (-72,60 x 445,56) – (-2,78

x 457,10) – (10,47 x 459,75) – (33,11 x 394,70) – (42,39 x 280,34) –

(49,98 x 146,80) – (50,33 x 49,03) – (49,85 x 0,00) + (-68,34 x 111,84) +

+ - x

62

(-72,60 x 302,43) + (-2,78 x 414,17) + (10,47 x 445,56) + (33,11 x 457,10)

+ (42,39 x 459,75) + (49,98 x 394,70) + (50,33 x 280,34) + (49,85 x

146,80) + (0,00 x 49,03).

2 S = (+190.273,70 – 70.321,41) = 119.952,29

S = 59.976,15 m 2 = 5,9976 ha

6-) MÉTODOS DE LEVANTAMENTO ALTIMÉTRICO

A altimetria ou hipsometria tem por fim a medida da distância

vertical ou diferença de nível entre diversos pontos.

Sempre há necessidade de se estabelecer um plano de referência para

comparar alturas de pontos diferentes. Logo seguem as seguintes definições

:

- Quando um ponto é medido verticalmente em relação à superfície

de nível verdadeira, ou seja, nível médio das marés, esta distância

vertical pode ser chamada de altitude, ou cotas absolutas, por

permitirem comparações entre pontos situados em quaisquer locais,

já que sua superfície de referência e a mesma em qualquer lugar.

- Agora quando se mede a distância entre um ponto e um plano de

referência arbitrário, que é a superfície de nível aparente, essa

distância vertical pode ser chamada de cota, ou cota relativa. Essas

só permitem comparações dento de um sistema homogêneo, isto é

63

para o trecho levantado tendo como base uma superfície aparente,

que pode ser um plano qualquer. É evidente que um outro trecho,

baseado numa superfície aparente, mas não coincidente com a do

trecho anterior (são paralelas), poderão ter pontos com o mesmo

valor numérico do que o trecho anterior, mas absolutamente significa

que têm as mesmas distâncias verticais, pois foram duas as

superfícies de nível aparente tomadas. Não se pode comparar cotas

de sistemas independentes, que não estejam interligados.

• MÉTODOS DE NIVELAMENTO

A altimetria compreende dois métodos gerais. O primeiro método

refere todas as medidas ao nível verdadeiro; e o segundo ao nível aparente.

• Referência ao nível verdadeiro – Método barométrico

• Referência ao nível aparente – Método geométrico e

trigonométrico

•• Nivelamento Barométrico

O nivelamento barométrico baseia-se na relação que existe entre a

pressão atmosférica e a altitude num ponto, o que se expressa pela fórmula,

chamada barométrica.

Este processo parte do princípio em que a pressão do ar menor nas

camadas superiores da atmosfera do que nas inferiores, assim pode-se , pela

avaliação da diferença de pressão entre dois pontos, determinar a sua

64

diferença de altitude. Em média para cada milímetro de variação de

pressão, há uma diferença de altitude de aproximadamente 11 metros.

Esse processo de levantamento altimétrico do ponto apresenta-nos a

vantagem de não ser condicionado à medida de distâncias; e, de verdade, se

ele não nos apresenta grande precisão, entretanto, a rapidez de suas

operações nos aconselham seu mais amplo emprego nos levantamentos

expeditos de grandes extensões. Os instrumentos usados são os barômetros,

que podem ser:

a) Barômetros de Mercúrio;

b) Barômetros Aneróides;

c) Barômetros Hipsômetro.

Apesar de ser simples, tal processo não tem a precisão requerida para

serviços topográficos, apontado neste estudo, para simples registro.

•• Nivelamento Geométrico ou Diferencial

a) Definição

A operação assim se denomina quando executada por um

instrumento de visadas horizontais asseguradas por um nível de

bolha de ar.

Este método de nivelamento é também chamado de

nivelamento direto, justamente porque os resultados são obtidos

apenas com a leitura na mira. Por isso a mira deve ser mantida

sempre verticalmente e em casos de grande precisão, pode-se colocar

um nível esférico nas costas da mira. Fora da vertical, a leitura será a

de uma hipotenusa e não do cateto que lhe corresponde.

65

b) Tipos de Nivelamento Geométrico

• Nivelamento Geométrico Simples :

Este processo é utilizado quando não há mudança de estação,

ou seja, quando uma estação é suficiente para visar todos os pontos

desejados para o projeto a ser executado. Por diferença de leituras da

mira, obtém-se as diferenças de nível entre os pontos visados.

Este método é executado estacionando-se o nível num ponto

conveniente, de preferência, em um ponto equidistante dos extremos,

mas que pode ser dentro ou fora da linha a ser nivelada.

As diferenças de nível (DN) em um nivelamento geométrico

simples podem ser obtidas por duas maneiras:

- por diferença de leitura na mira :

DNA – B =3,0 – 2,0 = 1,0 (estando A num plano inferior a B)

- por diferenças de cotas :

Desde que se atribua cota a um ponto, em geral aquele onde se

faz a primeira visada, equivale a se admitir um Plano de Referência

(PR), situado a uma distância vertical = cota, arbitrária.

Nesse caso, é necessário se conhecer a altura do instrumento

(A.I.), que é a distância vertical entre o eixo ótico do aparelho até o

plano de referência (PR).

66

Para tal, chamamos a visada correspondente ao 1º ponto

visado, A no exemplo, de visada de ré. Todas as demais serão visadas de

vante.

A.I. = cota + ré

O instrumento estará em relação ao PR, de uma altura igual a

cota atribuída na visada de ré mais leitura da mira nesse ponto.

As cotas dos demais pontos serão calculadas baseadas nessa

A.I. os valores das leituras das visadas de vante, teremos as cotas.

cotas = A.I. –

vante

No exemplo :

A.I. = 100,00 + 3,00 = 103,00 m

Demais cotas :

E as DN entre cada 2 pontos serão :

DNA – B = 101,00 – 100,00 = 1,00 m

DNB – C = 101,80 – 101,00 = 0,80 m

DNC – D = 102,20 – 101,80 = 0,40 m

==

==

==

−

D

C

B

20,10280,0

80,10120,1

00,10100,2

00,103

67

Valores iguais, evidentemente, àqueles encontrados por

diferença de leitruas da mira.

EST.

RÉ A.I. VANTE

COTAS

A 3,00 103,00

100,00

B 2,00 101,00 C 1,20 101,80 D 0,80 102,20

Para se saber se o terreno é em aclive ou declive, sem se

calcular as cotas (considerando a linha que une os pontos extremos A e D),

basta relacionar a visada de ré e a última visada de vante.

DN total = ré – última vante

Quando :

ré > última vante = terreno em aclive

figura

ré < última vante = terreno em declive

figura

68

• IRRADIAÇÃO ALTIMÉTRICA

Uma aplicação do nivelamento geométrico simples é a

irradiação altimétrica, semelhante àquela ffeita em planimetria, mas

obtendo-se as diferenças de nível.

De um ponto dentro ou fora de uma área a ser levantada,

visam-se todos os pontos de interesse.

Como exemplo, temos o nivelamento de um lote de terreno,

para fins de construção.

Para se conhecer as diferenças de nível, bastariam relacionar

os valores das leituras da mira, entre si.

Quando a finalidade é deixar em nível o terreno, atribue-

se um valor zero a um dos pontos. Pode ser o ponto mais alto no terreno

(leitura mais baixa), ou o ponto mais baixo (leitura mais alta), ou um ponto

qualquer, como um que proporcionasse aproximadamente as mesmas

alturas de corte e de aterro (ponto médio).

69

• Nivelamento Geométrico Composto :

O nivelamento geométrico composto é formado por trechos de

nivelamento geométrico simples, usado quando as áreas são relativamente

acidentadas ou grandes, de forma a impedir que de uma estação se consiga

visar a mira em todas as estacas.

Cada estação corresponde a um nivelamento simples. Como os

trechos têm que estar "amarrados" uns aos outros, atribue-se uma cota

arbitrária a um dos pontos, tendo os demais as cotas calculadas,

relacionadas a esta cota atribuída. Forma-se, então, um sistema homogêneo.

Em geral, atrigue-se um número inteiro à essa cota arbitrária

por facilidade de cálculo (100,00m ; 500,00m), tendo-se o cuidado de se

evitar cotas negativas no decorrer do levantamento.

A primeira visada feita, após instalar-se convenientemente o

nível, é chamada VISADA DE RÉ, independendo da localização da estaca

(não é obrigatório que na visada de ré, a estaca situe-se para trás do

instrumento).

Como no nivelamento geométrico simples, as demais visadas

são chamadas VISADAS DE VANTE. Assim, para cada trecho de uma

estação, tem-se uma visada de ré e uma ou mais visadas de vante.

70

Essas visadas de vante recebem duas denominações : Ponto de

Intermediários e Ponto de Mudança. São Pontos Intermediários (P.I.)

as visadas de vante efetuadas até uma penúltima estaca que se avista para

aquele trecho. E a última estaca visada, antes de se transportar o aparelho é

aquela correspondente ao Ponto de Mudança (P.M.).

Como há a necessidade de um trecho se ligar ao seguinte, essa

ligação é feita através de uma estaca comum aos dois trechos, que é o P.M.

O P.M. é a última visada do 1º trecho e também corresponde à

primeira visada após a mudança do aparelho. Assim, a todo P.M.

corresponde uma visada de ré, exceto a 1º e a última estaca do serviço. A

primeira é sempre uma visada de ré e a última é um P.M., pois supõem-se

que o trabalho poderá continuar.

Analisando o primeiro trecho, que corresponde a um

nivelamento simples :

A.I. = cota atribuída + ré

E as cotas calculadas dos demais pontos serão :

Cotas = A.I. - vante

Assim têm as cotas calculadas até a última estaca do trecho

(P.M).

Ao se mudar para outra estação conveniente, visa-se

novamente aquela última estaca (P.M), numa visada de ré. O instrumento

estará distando do Plano de Referência, uma nova altura. Essa nova altura

do instrumento, para segundo trecho será:

71

A.I. = cota do P.M. + ré

E, as cotas dos demais pontos serão calculadas por :

Cotas = nova A.I. - vante

Assim prossegue-se o levantamento, sempre calculando-se as

novas A.I., toda vez que se muda o aparelho, e por essa A.I., determinam-

se as cotas seguintes.

Exemplo numérico :

A caderneta de nivelamento apresentará os dados

obtidos no campo, acrescida da coluna das cotas calculadas

correspondentes a cada estaca.

Estacas RÉ A.I. P.I. P.M. Cotas 0 3,000 103,000 100,000 1 2,000 101,000 2 4,000 106,000 1,000 102,000 3 3,000 103,000 4 2,000 104,000 5 1,000 105,000

Por aí se verifica a importância da precisão nas leituras,

principalmente nas estacas de ré e P.M., que influirão diretamente no

cálculo das demais cotas.

Com os dados da caderneta são obtidas as DN entre cada duas

estacas ou entre as estacas extremas, dando a DN total.

Quando o terreno é íngreme, poderá ocorrer o caso que de uma

estação se vise apenas duas estacas: uma de ré e outra de vante – P.M..

72

Estacas Ré A.I. P.I. P.M. Cotas 0 3,00 103,00 100,00 1 4,00 105,00 2,00 101,00 2 3,00 106,00 2,00 103,00 3 1,00 105,00

Verificação dos cálculos :

∑Ré - ∑PM = Diferença entre cotas inicial e final.

C = C2 – C0 = CF- CI

C = A + B

A = R1 – PM1

B = R2 – PM2

C = (R1 – PM1) + (R2 – PM2)

C = (R1 + R2) – (PM1 – PM2)

CN – C0 = (R1 + R2 + ...+ RN) – (PM1 + PM2 + ... + PMN)

Exemplo :

∑Ré = 10,00

∑PM = 5,00

∑Ré - ∑PM = 10,00 – 5,00 = 5,00 m

Cf – Ci = 105,00 – 100,00 = 5,00 m

73

Esta verificação diz respeito à correção dos cálculos e não

quanto à qualidade do trabalho de campo.

PRECISÃO DOS NIVELAMENTOS GEOMÉTRICOS

• Classificação pelo grau de precisão

1º) De alta precisão:

O erro médio admitido é da ordem de ±1,5 mm/km percorrido.

É uma classe especial.

2º) De 1º ordem ou nivelamento de precisão :

O erro médio admitido é da ordem de ± 2,5 mm/km

percorrido.

3º) De 2º ordem :

74

O erro médio admitido é da ordem de ± 1,0 mm/km

percorrido.

4º) De 3º ordem :

O erro médio admitido é da ordem de ± 3,0 cm/km percorrido.

5º) De 4º ordem :

O erro médio admitido é da ordem de ± 10 cm/km percorrido.

Os nivelamentos geométricos com erros maiores do que os

citados são desclassificados ou inaceitáveis.

Em Topografia, exige-se uma precisão da 2ªordem = 1 cm/km

percorrido. A classificação acima foi baseada na Apostila “Topografia”,

do Prof. Paulo Ferraz de Mesquita, da Escola politécnica de São Paulo.

•• Nivelamento Taqueométrico

Os nivelamentos taqueométricos tem sobre os outros processos a

vantagem de rapidez e exatidão, visto que todas as medidas são tomadas

pelo operador no Teodolito com uma maior independência na escolha e

distribuição dos pontos essenciais do terreno a fixar na planta. Aqui as

distâncias são medidas estadimetricamente.

a)Para visada ascendente: (0º < α < 90º ou 180º < α <

75

DN = 100H im +−2

2sen α

(+) = terreno em aclive

( - )= terreno em declive

b)Para visada descendente :

DN = 100H im −+2

2sen α

(+) = terreno em declive

( - ) = terreno em aclive

c)Visadas Horizontais :

c.1) visada ascendente:

DN = 100H im +−2

2sen α

α = 0º / 02

2sen=

α

DN = -m + i

(+) = terreno em aclive

(-) = terreno em declive

76

c.2) visada descendente :

DN = 100H im −+2

2sen α

α = 0º / 02

2sen=

α

DN = +m - i

(+) = terreno em declive

(-) = terreno em aclive

• CURVA DE NÍVEL

A curva horizontal ou de nível é a linha de intersecção obtida por

planos paralelos, equidistantes, com o terreno a representar. Também

conhecida como hipsométrica, ela é a maneira de se projetar a altimetria na

planimetria.

A distância entre os planos paralelos é chamado intervalo de

contorno ou equidistância vertical . A equidistância vertical depende do

rigor que a finalidade exige. Quanto menor a equidistância , melhor será a

representação do terreno.

Para trabalhos que exigem grande precisão, como aqueles que

envolvem condução e distribuição de água (irrigação), as curvas são

determinadas de 0,50 m em 0,50 m.

Sendo relativamente grande a equidistância vertical, poderá ocorrer o

fato da não representação real do trecho compreendido entre um plano ou

77

curva e outro. As irregularidades entre uma curva e outra, no terreno, não

constarão na planta.

Cada curva recebe um número de identificação. Esse número

corresponde à cota dos pontos que unidos darão o traçado da curva. Há

necessidade de tal numeração, para se saber se é uma elevação ou

depressão. Assim admitindo como exemplo dois acidentes no terreno –

uma elevação e uma depressão, ambos de diâmetro semelhante ou forma

inversa, sem a numeração não seria possível identificar qual uma, qual a

outra.

As curvas de nível podem ser obtidas, quer diretamente, quer por

interpolação. O primeiro método é o mais moroso pois cada curva deve ser

amarrada planimetricamente por pontos, mais resulta mais exato em seu

conjunto. O segundo método, menos preciso, porém mais cômodo e

rápido, tem maior aplicação; desde que haja bastante critério na escolha dos

pontos no terreno e na indicação dos esquemas de campo, os resultados são

também satisfatórios.

O diapasão ou afastamento para curvas mestras, na hipótese de

serem retos os alinhamento entre os pontos, escolhidos e nivelados no

terreno, se determina em função da declividade.

78

Uma planta topográfica em curva de nível mostra não somente

as elevações e depressões do terreno, mas também as formas das várias

características topográficas, tais como montanhas, vales, etc...

•• Características das Curvas de Nível

a) Todos os pontos de uma mesma curva têm a mesma elevação ou

cota.

b) Duas curvas de nível nunca se cruzam: se isto ocorresse, o ponto

de intersecção dessas duas curvas teria ao mesmo tempo 2 números,

portanto duas elevações, o que não ocorre na natureza.

c) Duas curvas de nível não podem se encontrar e continuar numa só:

pela mesma razão anterior, ficariam duas curvas superpostas,

resultando num plano vertical, o que também não existe na natureza.

79

d) O espaçamento entre as curvas indica o tipo de terreno, quanto ao

declive.

d.1) Curvas relativamente afastadas significam terreno pouco

inclinado ou pouco acidentado.

d.2) Curvas muito próximas indicam um terreno com declive

acentuado.

80

d.3) Curvas regularmente espaçadas indicam que o terreno

apresenta um declive uniforme

e)A menor distância entre duas curvas de nível representa a linha de

maior declive do terreno. Se DH

DNd = , sendo DN constante para

quaisquer 2 pontos de duas curvas, quanto menor o denominador

DH, maior será o declive.

f)As curvas de nível na planta ou se fecham ou correm aos pares.

81

• PERFIL LONGITUDINAL

É a representação gráfica do nivelamento. Chama-se perfil de um

terreno, segundo determinada direção, a intersecção da superfície do solo

com o plano vertical que passa pelo alinhamento que define aquela direção.

Isoladamente considerada, essa intersecção constitui o que chamamos de

alinhamento, que materializa, no terreno a direção a seguir nas medições e

tem, em geral, a forma de uma curva sinuosa no sentido vertical.

Se o perfil refere-se ao eixo do caminhamento, é chamado Perfil

Longitudinal; se em direção que atravessa esse eixo, é Perfil Transversal.

Para obtenção do perfil são necessárias distâncias horizontais e

diferenças de nível entre os pontos do terreno.

82

•Estaqueamento

Na direção desejada (em linha reta ou não), faz-se o estaqueamento

segundo a orientação dada pelo operador no Teodolito e medindo-se a

distância entre as estacas diretamente, com a corrente.

Em geral, o espaçamento entre estacas é de 20,00 m; esse

espaçamento varia conforme a precisão requerida pela finalidade a que se

destina o serviço. Quanto menor o espaçamento logicamente deverá se

obter um serviço mais preciso. Sempre a distância horizontal entre duas

estacas ser[á representada no gráfico do perfil, por um segmento reto, o que

equivale a admitir ser o declive uniforme nesse trecho do terreno. É

evidente que, se algum acidente aí houver e forem niveladas apenas as duas

estacas extremas, esse acidente não constará do gráfico. O espaçamento

usual é de 20,00 m, embora em alguns casos e conforme a configuração

superficial do terreno, use-se 10,00 m ou 30,00 m ou até mesmo 50,00 m

entre as estacas.

Além das estacas regularmente espaçadas, de acordo com o

espaçamento pré-estabelecido, comumente há necessidade de se cravar

estacas intermediárias, isto é, situadas entre duas estacas inteiras e que

servirão para possibilitar o nivelamento de pontos importantes aí existentes

(elevações ou depressões). Essas estacas intermediárias são referenciadas,

em distância horizontal, à estaca inteira imediatamente anterior. Assim uma

estaca caracterizada pelo número 8 + 12,00, por exemplo, significa que se

localiza entre as estacas 8 e 9 (inteiras) e a 12,00m da estaca 8.

Quando o perfil a ser levantado não for em linha reta, necessário será

anotar os ângulos de deflexão formados pelos trechos retos.

83

Adotando-se um espaçamento uniforme, 20,00 m , por exemplo,

calcula-se rapidamente a distância horizontal que envolve os segmentos

constituintes do perfil ou a distância de uma determinada estaca em relação

à estaca inicial. A distância será o produto do número da estaca

multiplicado pelo espaçamento adotado, como:

DIST. DA EST.15 = 15x 20 = 300 m

Quando a estaca em questão for uma intermediária, evidentemente

soma-se a fração que ela representa.

DIST. DA EST.10 + 3,50 = (10 x 20) + 3,50 = 200 + 3,50 = 203,50 m

No caso inverso : conhecendo-se a distância horizontal para se

determinar a numeração da estaca, basta dividir a DH pelo espaçamento

adotado.

Nº DA EST. = m00,9720

00,149+=

84

• Obtenção das Cotas Inteiras no Perfil

Desenhado um perfil, pode-se obter os pontos de cotas inteiras nele

compreendidas.

Em geral, um perfil é constituído de pontos de cotas fracionários;

obtidas no levantamento.

Principalmente para o traçado de curvas de nível, é interessante se

conhecer quais os pontos de cotas inteiras e sua localização no perfil e

posteriormente ( se necessário) no campo.

Para tal, desenha-se o perfil longitudinal, preferivelmente adotando-

se para a escala horizontal, a mesma que foi adotada na planimetria. Isto

facilita a localização dos pontos de cotas inteiras, na planta. Assim, se esta

foi desenhada na escala 1/1000, adota-se esse valor para a escala horizontal

do perfil. E, para a escala vertical do perfil, geralmente 10 vezes maior,

1/100.

A obtenção das cotas inteiras é feita, procurando-se a intersecção de

planos horizontais com o perfil do terreno. Equivale a traçar greides

horizontais, iniciando-se nos valores das ordenadas, inteiros. Os pontos de

passagem destes greides serão as cotas inteiras.

85

• Rampas – Traçado de Greide

Uma das finalidades do levantamento de um perfil longitudinal é a

obtenção de dados para a locação de rampas de determinada declividade,

como para a locação de eixos de estradas, linhas de condução de água,

(canais e encanamentos), obtenção das chamadas “cotas inteiras”, etc.

Resulta isso, não só no próprio estudo da posição mais conveniente dessas

rampas, como também no movimento de terra necessário (cortes e aterros),

em cada ponto da rampa.

Greide ou “Grade” é a linha que une dois a dois, um certo número de

pontos dados num perfil. É o eixo de uma rampa. Ou a representação da

rampa sobre o gráfico do perfil.

Ao se locar um greide sobre o gráfico de um perfil longitudinal,

surgem distâncias verticais entre o ponto por onde passa o greide e o ponto

correspondente no terreno. São as “COTAS VERMELHAS”

86

Ao se locar um greide que una diretamente as estacas 0 e 3 do

perfil acima, vê-se que :

COTA VERMELHA – distância vertical entre um ponto do greide e

o ponto correspondente no terreno.

COTA VERMELHA POSITIVA (+) - é quando o ponto do greide

estiver acima do ponto correspondente no terreno. Equivale a um

Aterro (“por terra”)

COTA VERMELHA NEGATIVA (-) – é quando o ponto do greide

estiver abaixo do ponto correspondente no terreno. Equivale a um

Corte (“tirar terra”)

PONTO DE PASSAGEM – é o ponto de transição entre corte e

aterro. O ponto do greide coincide com o ponto do terreno. Não há

corte nem aterro, tendo portanto cota vermelha nula.

Declive do greide : o declive total de um greide é dado pela diferença

de nível entre os seus pontos inicial e final, em relação à distância

horizontal compreendida por estes pontos. Geralmente expresso em

%.

D = HorizontalDist

amenorCotamaior

.

cot−

d% = 100xDH

DN

87

• DECLIVIDADE DO TERRENO

A declividade do terreno é expressa por :

[ ][ ] [ ]unidadesmetro

metro

DH

DNtgd /==== α

onde: DN = diferença de nível entre as duas curvas de nível

consecutivas

DH = distância horizontal entre duas curvas

α = ângulo de inclinação (suplemento do ângulo zenital)

A diferença de nível pode ser obtida por:

a) Diferença de altitude.

DN = 520 – 500 = 20 metros

b) Diferença de cotas.

DN = 106 – 102 = 4 metros

88

c) Diferença de leituras da mira.

DN = 1,80 – 1,00 = 0,80 metros

(leitura de valor mais alto indica ponto mais baixo)

A declividade é geralmente expressa em %. Equivale a uma DN para

100 m de distância horizontal.

==

=mDH

mDNx

DH

DNd

200

10100

%5200

1000

200

10010==

×=d ; para 100 metros, haverá uma DN de

5 metros.

Pode ser também expressa em função do ângulo de inclinação (α) em

relação ao horizonte.

100,10

00,10====

DH

DNtgd α

arc tg 1,000 = 45º ∴ que corresponde em termos de % a :

%10010010

10== xd

89

declividade de 45º = 100%

Como a tg varia de 0º a ∞, também a declividade pode variar de 0º a

∞.

• MÉTODOS DE LEVANTAMENTO PLANI-ALTIMÉTRICO

Os levantamentos plani-altimétricos propiciam a confecção de uma

planta onde estão representados os detalhes planimétricos e o relevo do

solo.

Como o relevo do solo é representado pelas curvas de nível, a parte

altimétrica do levantamento consiste em se obter dados no campo, para

posteriormente serem obtidas as curvas de nível. Nada mais é do que a

obtenção das curvas de nível em planta.

90

Os processos ou os métodos de obtenção das curvas de nível, variam

de acordo com a precisão requerida e a extensão e o relevo da área a ser

levantada.

São 03 os processos mais usados :

1 – Nivelamento taqueométrico

2 – Perfis unindo vértices

3 – Secções transversais

• Nivelamento Taqueométrico

É a parte da topografia que ocupa da medida indireta distâncias e das

diferenças de nível, quer por meios ópticos, quer por meios mecânicos,

com a maior rapidez possível, de acordo com as condições atmosféricas,

clareza e precisão do instrumento empregado.

A Planimetria é feita conjuntamente com a altimetria, e o aparelho

usado é o teodolito. Em geral, este processo é utilizado para áreas

relativamente grandes ou acidentadas ou ainda quando a área acha-se

ocupada por árvores, obstáculos que dificultariam o estaqueamento e as

visadas, se utilizado o nível, que não possui movimento vertical da luneta.

Como áreas relativamente grandes são levantadas planimetricamente

por caminhamento, aproveita-se cada estação que comporá a poligonal de

base, para dessas estações se fazer irradiações altimétricas de pontos

situados no interior da área.

Este tipo de levantamento é de menor precisão do que os métodos em

que se usa o nível já que a própria constituição do nível ( muito mais

sensível ) é um dos fatores da melhor precisão. Além disso, no nivelamento

com o nível de precisão, faz-se a anotação de um valor, que é a leitura do

retículo horizontal, para cada ponto visado. Já no nivelamento

91

taqueométrico, as fontes de erros são bem maiores : são 03 os valores lidos

para os retículos, há o valor do ângulo de inclinação da luneta a ser anotado

e também a altura do instrumento em cada estação.

•• Perfis Unindo Vértices

Este método se aplica para áreas relativamente pequenas e quando o

releva permite que sejam intervisíveis os vértices da poligonal.

A planimetria geralmente é feita por irradiação ou intersecção ou

para áreas pouco maiores, por dupla irradiação ou dupla intersecção.

A altimetria é feita com o nível de precisão, levantando-se perfis que

unirão dois vértices não consecutivos e também as linhas que formam o

perímetro.

Formam-se assim, perfis que correspondem ao perímetro, cada lado

da figura com seu perfil e também perfis de linha internas. Quanto maior o

número dessas linhas internas, melhor representação do relevo da área se

obterá.

Cada perfil é estaqueado, em geral de 20 em 20 , fazendo-se o

estaqueamento com o auxílio, para orientação, do teodolito ou, mais

rapidamente, seguindo à orientação visual do operador.

•• Secções Transversais

Para áreas estreitas e longas, este é o método mais indicado. Os

pontos ficam melhor distribuídos no terreno, dando uma melhor

representação de seu relevo.

A planimetria é feita em geral por irradiação ou intersecção (simples,

dupla, etc.), e a altimetria é feita, locando-se uma linha principal –

"nivelada básica" e tirando-se perpendiculares a esta.

92

Normalmente, escolhe-se a posição dessa linha nivelada básica, de

forma a atravessar longitudinalmente, ao meio, a área. Ou, preferivelmente,

que siga a direção da linha de maor declive.

Como os perfis transversais serão levantados, essa disposição de

linhas permite que as mudanças do aparelho sejam mínimas, ao contrário

do que ocorreria se ests perfis transversais se situassem na direção da linha

de maior declive do terreno, o que implicaria em sucessivas mudanças para

levantar cada perfil.

7-) AS COORDENADAS GEOGRÁFICAS

É o sistema mais antigo de coordenadas. Nele, cada ponto da

superfície terrestre é localizado na interseção de um meridiano com um

paralelo.

Meridianos são círculos máximos da esfera cujos planos contêm o eixo de

rotação ou eixo dos pólos, corresponde as linhas que unem os dois pólos ao

redor da terra.

Meridiano de origem (também conhecido como inicial ou fundamental) é

aquele que passa pelo antigo observatório britânico de Greenwich,

escolhido convencionalmente como a origem(0°) das longitudes sobre a

superfície terrestre e como base para a contagem dos fusos horários.

A leste de Greenwich os meridianos são medidos por valores

crescentes até + 180°. A oeste, suas medidas são decrescentes até o limite

mínimo de - 180°.

Os paralelos são círculos da esfera cujo plano é

perpendicular ao eixo dos pólos. O Equador é o paralelo que divide a Terra

em dois hemisférios(Norte e Sul), considerado como o paralelo de origem

(0°). Partindo do equador em direção aos pólos temos vários planos

93

paralelos ao equador , cujo tamanho vão diminuindo, até se torna um ponto

nos pólos Norte(+90°)e Sul(-90°).

Representa-se um ponto na superfície terrestre por um valor de

latitude e longitude.

Longitude de um lugar é a distância angular entre um ponto

qualquer da superfície terrestre e o meridiano inicial ou de origem.

Latitude é a distância angular entre um ponto qualquer da

superfície terrestre e a linha do Equador.

Por ser um sistema que considera desvios angulares a partir

do centro da Terra, o sistema de coordenadas geográficas não é um sistema

conveniente para aplicações em que se buscam distâncias ou áreas.

94

Para este casos, utilizam-se outros sistemas de coordenadas,

mais adequados, como, por exemplo, o sistema de coordenadas planas,

descrito a seguir.

8-) A PROJEÇÃO UTM (COORDENADAS PLANAS)

O sistema de coordenadas planas, também conhecido por sistema de

coordenadas cartesianas, baseia-se na escolha de dois eixos

perpendiculares, usualmente os eixos horizontal e vertical, cuja interseção é

denominada origem, estabelecida como base para a localização de qualquer

ponto do plano.

Nesse sistema de coordenadas, um ponto é representado por dois números:

um correspondente à projeção sobre o eixo x (horizontal), associado à

longitude, e outro correspondente à projeção sobre o eixo y (vertical),

associado à latitude.

Os valores de x e y são referenciados conforme um sistema cartesiano, que

representa, como exemplo, as coordenadas de Leme - SP.

onde : x = 254.000 m e y = 7.545.000 m

Estas coordenadas são relacionadas matematicamente às coordenadas

geográficas, de maneira que umas podem ser convertidas nas outras.

95

• Projeção UTM - "Universal Transverse Mercator"

O mapeamento sistemático do Brasil é feito na projeção

UTM (1:250 000, 1:100 000, 1:50 000). Relacionam-se, a seguir, suas

principais características:

• a superfície de projeção é um cilindro transverso e a projeção é

conforme;

• o meridiano central da região de interesse, o equador e os meridianos

situados a 90o do meridiano central são representados por retas;

• os outros meridianos e os paralelos são curvas complexas;

• o meridiano central é representado em verdadeira grandeza;

• a escala aumenta com a distância em relação ao meridiano central. A

90o deste, a escala torna-se infinita;

• a Terra é dividida em 60 fusos de 6o de longitude. O cilindro

transverso adotado como superfície de projeção assume 60 posições

diferentes, já que seu eixo mantém-se sempre perpendicular ao

meridiano central de cada fuso;

• aplica-se ao meridiano central de cada fuso um fator de redução de

escala igual a 0,9996, para minimizar as variações de escala dentro

do fuso. Como conseqüência, existem duas linhas aproximadamente

retas, uma a leste e outra a oeste, distantes cerca de 1o 37' do

meridiano central, representadas em verdadeira grandeza;

• apesar da característica "universal" de projeção, enfatiza-se que o

elipsóide de referência varia em função da região da superfície

terrestre.

Geralmente os Sistemas de Informações Geográficas

permitem que o usuário defina, para a projeção UTM, a orientação dos

dados em relação ao norte geográfico ou ao norte da quadrícula. Os

meridianos (norte geográfico) coincidem com as linhas verticais das

96

quadrículas (norte da quadrícula) da projeção UTM, apenas nos meridianos

centrais. Com o aumento da longitude e da latitude, ocorre o aumento do

ângulo formado entre os meridianos e as linhas verticais da quadrícula,

formando entre estas um ângulo chamado de convergência meridiana. Nos

SIG´s, de um modo geral, para a definição de um projeto, deve-se fornecer

informações adicionais, como escala e características de cada projeção:

datum, modelos de elipsóide, latitude reduzida ou paralelo padrão, latitude

de origem e longitude de origem.

9-) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BLACHUT, Tordon. J.. Urban Surveying and Mapping.1979

COMASTRI, José A.. Topografia: Planimetria. 1ed. UFV. Viçosa-

MG.1977.

COMASTRI, José A.. Topografia: Altimetria. 2ed. UFV. Viçosa-

MG.1990.

DAVIS, Raymond E.. Tratado de Topografia. 3ed. Aguillar. Madrid.1979.

DOMINGUES, Felipe A. A.. Topografia e Astronomia de Posição para

Engenheiros e Arquitetos. MacGraw-Hill. São Paulo.1979.

ESPARTEL, Lélis.. Curso de Topografia. 9ed. Globo. Rio de Janeiro.

1987.

97

ESPARTEL, Lélis; LUDERITZ, João . Caderneta de Campo. 10ed.

Globo. Rio de Janeiro.1977.

FUNDAÇÃO INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E

ESTATÍSTICA. Manual de Normas, Especificações e

Procedimentos Técnicos para a Carta Internacional do Mundo, ao

Milionésimo - CIM 1:1.000.000. 1ed. IBGE. Rio de Janeiro. 1993.

INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS. Divisão de Processamento de Imagens(INPE/DPI). FSPRING. [online] <http://www.inpe.br/spring/home>.1997.

GODOY, Reynaldo . Topografia. 10ed. ESALQ. Piracicaba-SP.1988.

SERVIÇO GEOGRÁFICO DO EXÉRCITO. Manual Técnico-

Transformação de Coordenadas Geodésicas. 1ed. EGGCF. Brasília -

DF.1978