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APOSTILA

DE

TRIGONOMETRIA

Por: Danilo Menezes de Oliveira Machado

2

Introdução à Trigonometria Para obter uma ideia do que realmente é trigonometria, falaremos sobre arco de

circunferência, ângulo central e comprimento de circunferência.

Os dois pontos em vermelho representam as

Extremidades do arco destacado em mesma cor.

Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois

de seus pontos.

B

P Q A

Nestas duas representações temos os arcos: . No caso do primeiro arco as

extremidades deste coincidem com a extremidade do diâmetro, assim chamada de

semicircunferência.

A

O B A P

O B Q

O arco e possuem o mesmo ângulo

gerador logo são proporcionais, variando em relação

ao raio.

Comprimento de circunferência é dado por , pois:

3

Para o entendimento maior de ângulos, temos o ciclo trigonométrico definido no centro do

sistema cartesiano xy, e possui raio um. Este ciclo possui quatro quadrantes, cada um com 90°

graus ou

radianos:

II I 90° ou

rad II I 180° ou rad

III IV III IV

II I II I

270° ou

rad 360° ou rad

III IV III IV

Seno e Cosseno

Cada ângulo possui um valor para seno e cosseno, mas afinal o que representa o valor do seno

e do cosseno?

Seno Para entender o valor do seno usaremos o software winplot com arquivo: Ciclo trigonométrico

seno.

A função seno é representada no eixo y, onde é definido pela projeção do raio sobre este eixo:

Veja o raio em azul, produzindo uma projeção no eixo y, em verde. Esta projeção em verde é o

valor do seno do ângulo representado por este arco em vermelho.

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Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor do seno dos seguintes

ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos):

a) 30°

b) 45°

c) 50°

d) 60°

e) 5°

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l) 120°

m) 135°

n) 234°

o) 290°

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w) 260°

x) 315°

y) 350°

z) 270°

2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de seus senos

através de sua calculadora científica:

3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.

Cosseno Para o entendimento de cosseno usaremos o mesmo software com arquivo: Ciclo

trigonométrico cosseno.

Porém o cosseno de um ângulo é representado no eixo x como a projeção do segmento que

define o ângulo:

Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor do cosseno dos seguintes

ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos):

a) 30°

b) 45°

c) 50°

d) 60°

e) 5°

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l) 120°

m) 135°

n) 234°

o) 290°

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w) 260°

x) 315°

y) 350°

z) 270°

5

2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de seus cossenos

através de sua calculadora científica:

3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.

Com entendimento de seno e cosseno, abra no software o arquivo ciclo trigonométrico seno e

cosseno.

Simetria de Seno e Cosseno Ao classificar valores de ângulos percebemos que existe certa simetria nos valores dos senos e

cossenos para alguns ângulos.

Existem ângulos que possuem o mesmo valor de seno ou de cosseno, este fenômeno é dado

pela simetria do ciclo trigonométrico:

6

Após utilizar o software para melhor visualização da simetria de senos e cossenos, pode-se

observar que podemos reduzir ângulos do segundo, terceiro e do quarto quadrante para o

primeiro.

Estudo do sinal dos senos e cossenos

+ seno + seno

- cosseno + cosseno

- seno - seno

- cosseno + cosseno

Exercícios: 1- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º.

a) 100°

b) 145°

c) 172°

d) 196°

e) 219°

f) 247°

g) 251°

h) 273°

i) 281°

j) 299°

k) 307°

l) 312°

m) 329°

n) 357°

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

2- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule o seno e o

cosseno dos seguintes ângulos.

a) 130°

b) 245°

c) 450°

d) 760°

e) 195°

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l) 120°

m) 135°

n) 234°

7

o) 290°

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w) 260°

x) 315°

y) 350°

z) 270°

3- Calcule o valor das expressões:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Gráficos da função seno e cosseno Analisando o ciclo trigonométrico podemos notar que para , temos que o ângulo é

dado por x que varia de 0 a , enquanto y varia de -1 a 1.

Logo,

Para a função cosseno notamos que a variação de x e de y é a mesma da função

seno.

Logo,

Para melhor visualização das duas funções veja a função ao lado do ciclo trigonométrico:

SENO:

8

COSSENO:

Analisando os gráficos podemos notar que a função seno é impar e a função cosseno é par:

e

e

Exercícios: 1- Construa o gráfico das funções, com :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

2- Dados os gráficos identifique a função:

a)

9

b)

c)

d)

Tangente É definido como tangente o prolongamento da aresta (azul) – que define o comprimento do

arco em relação ao eixo x – até a reta , representando o valor da tangente pela cor

amarela:

Analisando o gráfico, temos seno do ângulo formado pelo arco em vermelho de , assim o

segmento vermelho sobre o eixo x é o cosseno deste ângulo, o segmento verde sobre o eixo y

é o seno do mesmo ângulo, enquanto o segmento amarelo sobre a reta x=1 é a tangente.

Por semelhança de triângulos, provamos que:

10

1° quadrante a tangente é positiva 2° quadrante a tangente é negativa

3° quadrante a tangente é positiva 4° quadrante a tangente é negativa

Assim como o seno e o cosseno, a tangente também possui simetria entre os quadrantes:

Com uma peculiaridade, pois as tangentes dos quadrantes pares são positivas e as dos

quadrantes impares são negativas.

Gráfico da função tangente: O gráfico da função é definida por uma imagem pertencente aos reais.

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Associando o ciclo trigonométrico com a função , temos:

Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor da tangente dos seguintes

ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em radianos):

a) 30°

b) 45°

c) 50°

d) 60°

e) 5°

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l) 120°

m) 135°

n) 234°

o) 290°

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w) 260°

x) 315°

y) 350°

z) 270°

2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de suas tangentes

através de sua calculadora científica:

3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.

4- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º.

a) 100°

b) 145°

c) 172°

d) 196°

e) 219°

f) 247°

g) 251°

h) 273°

i) 281°

j) 299°

k) 307°

l) 312°

m) 329°

n) 357°

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

5- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule o seno e o

cosseno dos seguintes ângulos.

a) 130°

b) 245°

c) 450°

d) 760°

e) 195°

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l) 120°

m) 135°

n) 234°

o) 290°

p)

q)

r)

12

s)

t)

u)

v)

w) 260°

x) 315°

y) 350°

z) 270°

6- Calcule o valor das expressões:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

7- Construa o gráfico das funções, com :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Cotangente Nota-se que a cotangente é o inverso da tangente graficamente. Veja que a tangente tem sua

reta de valor paralela ao eixo y enquanto a cotangente é medida por uma reta paralela ao eixo

x, .

Assim, podemos notar que:

Veja os sinais da cotangente em cada quadrante, note que são os mesmos sinais da tangente:

13

1° quadrante a cotangente é positiva 2° quadrante a cotangente é negativa

3° quadrante a cotangente é positiva 4° quadrante a cotangente é negativa

Gráfico da função cotangente: O gráfico da função é definida por uma imagem pertencente aos reais.

Associando o ciclo trigonométrico com a função , temos:

Secante e cossecante Traçando uma reta tangente a circunferência no ponto onde intercepta a reta azul que define

o ângulo de forma ortogonal. Esta reta tangente gera o valor da secante e da cossecante, nos

eixos x e y respectivamente.

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SECANTE COSSECANTE

Os sinais da secante e cossecante são o mesmo do cosseno e seno respectivamente, pois são

funções inversas:

Função secante e cossecante:

Função secante função cossecante

15

Exercícios: 1- Calcular através da visualização do software o valor da secante, cossecante e

cotangente dos seguintes ângulos(sabendo que os ângulos no software são dados em

radianos):

a) 30°

b) 45°

c) 50°

d) 60°

e) 5°

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l) 120°

m) 135°

n) 234°

o) 290°

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w) 260°

x) 315°

y) 350°

z) 270°

2- Com os mesmos ângulos do exercício anterior, calcule os valores de suas secantes,

cossecantes e cotangentes através de sua calculadora científica:

3- Houve diferença de resultados do exercício 1 para o 2? Justifique sua resposta.

4- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida calcule a secante e

cossecante.

a) 100°

b) 145°

c) 172°

d) 196°

e) 219°

f) 247°

g) 251°

h) 273°

i) 281°

j) 299°

k) 307°

l) 312°

m) 329°

n) 357°

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

y)

z)

5- Reduza os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrante para o 1º e em seguida, calcule a secante,

a cossecante e cotangente dos seguintes ângulos.

a) 130°

b) 245°

c) 450°

d) 760°

e) 195°

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l) 120°

m) 135°

n) 234°

o) 290°

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w) 260°

x) 315°

y) 350°

z) 270°

6- Calcule o valor das expressões, quando existirem valores reais:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

16

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

7- Construa o gráfico das funções, com :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

w)

x)

Relação trigonométrica

fundamental Através do teorema de Pitágoras

17

Exercícios: 1- Dado

, com

, calcular

2- Dado

, com

, calcule

3- Dada

, com , calcular .

4- Dada , com , calcular .

5- Para que valores de temos, simultaneamente, e .

6- Simplifique a expressão:

a)

b)

c)

Baseando na relação trigonométrica fundamental:

Temos:

Exercícios: 1- Sabendo-se que

, calcule o valor da expressão

.

2- Sabendo-se que

e

, calcule

.

3- Sendo

,com

, calcule

.

4- Sabendo que

e , calcule o valor da expressão

.

5- Sabendo que

e

, calcular o valor de

.

18

6- Sabendo que

e x é do primeiro quadrante, calcule o valor da expressão

.

Propriedades de arcos

complementares Arcos complementares, são aqueles que quando somados (unidos) produzem um arco

com ângulo de 90 graus.

Assim os ângulos de medida e

são complementares.

Winplot: ciclo trigonométrico arcos complementares

Exercícios:

1- Simplifique a expressão

.

2- Demonstre que

.

3- Simplifique a expressão

.

4- Simplifique a expressão

.

5- Simplifique a expressão

.

6- Resolva a equação .

7- Resolva a equação , para .

8- Resolva a equação .

9- Resolva a equação .

10- Determine o conjunto solução da equação

.

Adição ou subtração de Arcos Sejam e dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cuja soma pertence ao primeiro

quadrante, ou seja:

19

No caso de senos e cossenos:

Para subtração de arcos o sistema é o mesmo:

No caso da tangente temos:

Exercícios: 1- Calcule os senos, cossenos e tangentes dos seguintes arcos:

a) 105°

b) 135°

c) 15°

d) 75°

e)

f)

g)

2- Determine o conjunto solução da equação .

3- Quais são os arcos, de 0° a 180°, que satisfazem a equação .

4- Resolva o sistema:

, com .

5- Faça as demonstrações:

a)

b)

6- Sabendo que

e

, calcule .

7- Utilizando todas as formulas já conhecidas, e sabendo que

e

.

Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

20

Multiplicação e divisão de arcos No caso da multiplicação é apenas uma aplicação das fórmulas da adição de dois

arcos. Nelas faremos , obtendo as fórmulas para o arco .

Assim,

No caso da divisão, obteremos as formulas por outro processo, que nos permitem calcular

,

e

.

Sabendo que

Logo,

Tendo,

De maneira análoga temos:

Enquanto a tangente:

Exercícios: 1- Conhecendo-se

,

, calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

21

2- Demonstre que .

3- Dados

e

, com e no 1º quadrante, calcule .

4- Resolva a equação .

5- Se

, calcule .

6- Dado

,

calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

7- Calcule , de 2 maneiras diferentes, no mínimo.

8- Resolva a equação

.

9- Sendo

no com no terceiro

quadrante. Calcule

.

10- Demonstre as identidades:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

11- Prove que:

a)

b)

c)

Transformação de soma em

produto

Através de soma e subtração de arcos, podemos encontrar :

22

Exercícios: 1- Fatorar, ou transformar em produto, a expressão .

2- Fatorar

3- Transformar em produto a expressão

4- Resolver a equação

5- Fatore a expressão

6- Simplifique a expressão

7- Resolva a equação

8- Simplifique a expressão

.

9- Calcule o valor da expressão .

10- Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)