Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

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ApostilaPreparat´oria para o Vestibular Vocacionado UDESC Aline Felizardo Gol¸ calves Andr´ e Alexandre Silveira Andr´ e Antˆonio Bernardo esar Manchein Fl´ abio Esteves Cordeiro Gisele Maria Leite Dalmˆonico Marcio Rodrigo Loos Priscila Fischer Ricardo Fernandes da Silva Sidinei Schaefer Professores Luciano Camargo Martins Coordenador Revis˜ao 1.2 de 29 de agosto de 2007

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Apostila Preparatoriapara o

Vestibular Vocacionado UDESC

Aline Felizardo GolcalvesAndre Alexandre SilveiraAndre Antonio Bernardo

Cesar MancheinFlabio Esteves Cordeiro

Gisele Maria Leite DalmonicoMarcio Rodrigo Loos

Priscila FischerRicardo Fernandes da Silva

Sidinei SchaeferProfessores

Luciano Camargo MartinsCoordenador

Revisao 1.2 de 29 de agosto de 2007

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MUNDO FISICO

Nossa Apostila

A edicao dessa apostila, concretiza os esforcos feitos desde oano de 2003, quando os alunos do antigo Curso de LicenciaturaPlena em Fısica da UDESC mobilizaram-se por forca e von-tade propria no desenvolvimento e apresentacao de um CursoPre-Vestibular aberto a comunidade, gratuito, que preparassemelhor os alunos interessados nos cursos oferecidos pelo Centrode Ciencias Tecnologicas (CCT) da UDESC-Joinville.

Essa primeira tentativa de implantar o Curso Pre-Vestibularnao chegou a se realizar, por razoes puramente burocraticas,apesar dos esforcos gastos na preparacao das aulas e do mate-rial didatico inicial.

Nos anos seguintes, a ideia original foi abracada por um projetode extensao oficial, e so entao pode ser realizado com sucesso,ja tendo atendido milhares de alunos desde entao.

Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, esperamosque esse material seja suficiente para a revisao dos conteudosexigidos pela Universidade.

Convidamos a todos para que visitem o nosso site!

Nosso Endereco na Internet

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Joinville-SC, 29 de agosto de 2007

Professor Luciano Camargo MartinsCoordenador da Home Page Mundo Fısico

e-Mail: [email protected]

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Sumario

FISICA1

Mecanica – Aula 1: Grandezas Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Mecanica – Aula 2: Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mecanica – Aula 3: Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Mecanica – Aula 4: A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Mecanica – Aula 5: A Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Mecanica – Aula 6: Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Mecanica – Aula 7: Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Mecanica – Aula 8: Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Mecanica – Aula 9: Dinamica do Movimento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Mecanica – Aula 10: Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Mecanica – Aula 11: Impulso e Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Mecanica – Aula 12: Conservacao da Quantidade de Movimento . . . . . . . 22

Mecanica – Aula 13: Colisoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Mecanica – Aula 14: Lei da Acao e Reacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Mecanica – Aula 15: Forca de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Gravitacao – Aula 1: As Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Gravitacao – Aula 2: Gravitacao Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Gravitacao – Aula 3: Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Gravitacao – Aula 4: Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Otica – Aula 1: Otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Otica – Aula 2: Espelhos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Otica – Aula 3: Refracao da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Otica – Aula 4: Lentes Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Otica – Aula 5: Otica da Visao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Fluidos – Aula 1: Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Fluidos – Aula 2: Hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Cinematica – Aula 1: Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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Cinematica – Aula 2: Movimento Uniforme (MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Cinematica – Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . . . 59

Cinematica – Aula 4: Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Cinematica – Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . . . . . . 63

Ondas – Aula 1: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Ondas – Aula 2: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Ondas – Aula 3: Ondas e Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Ondas – Aula 4: Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Ondas – Aula 5: Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Termodinamica – Aula 1: Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Termodinamica – Aula 2: Dilatacao Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Termodinamica – Aula 3: Transformacoes Gasosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Termodinamica – Aula 4: Lei de Avogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Termodinamica – Aula 5: Modelo Molecular de um Gas . . . . . . . . . . . . . . 85

Termodinamica – Aula 6: Calor e Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Termodinamica – Aula 7: Capacidade Termica (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Termodinamica – Aula 8: Primeira Lei da Termodinamica . . . . . . . . . . . . 91

Termodinamica – Aula 9: Maquinas Termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Termodinamica – Aula 10: Mudancas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Termodinamica – Aula 11: Sublimacao e Diagrama de Fases . . . . . . . . . . . 96

Eletricidade – Aula 1: Carga Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Eletricidade – Aula 2: Eletroscopio de Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Eletricidade – Aula 3: Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Eletricidade – Aula 4: Potencial Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Eletricidade – Aula 5: Superfıcies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Eletricidade – Aula 6: Condutores em Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Eletricidade – Aula 7: Capacidade Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Eletricidade – Aula 8: Associacao de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Eletricidade – Aula 9: Corrente Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Eletricidade – Aula 10: Resistencia Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Eletricidade – Aula 11: Instrumentos de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Eletricidade – Aula 12: Geradores e Forca Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . 121

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QUIMICA125

Quımica – Aula 1: Estrutura Atomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Quımica – Aula 2: Modelos Atomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Quımica – Aula 3: Ligacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Quımica – Aula 4: Ligacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Quımica – Aula 5: A Estrutura da Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Quımica – Aula 6: Teoria Cinetica dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Quımica – Aula 7: Acidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Quımica – Aula 8: Solucoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Quımica – Aula 9: Equilıbrio Ionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Quımica B – Aula 1: O que e Quımica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Quımica B – Aula 2: Materia e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Quımica B – Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Quımica B – Aula 4: Propriedades Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Quımica B – Aula 5: Ligacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Quımica B – Aula 6: Ligacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Quımica B – Aula 7: Equacoes e Reacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Quımica B – Aula 8: Equacoes e Reacoes (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Quımica B – Aula 9: Solucoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Quımica B – Aula 10: Funcoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Quımica B – Aula 11: Propriedades Coligativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Quımica B – Aula 12: Eletroquımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Quımica Organica – Aula 1: Introducao a Quımica Organica . . . . . . . . . . 175

Quımica Organica B – Aula 2: Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

MATEMATICA183

Matematica A – Aula 1: Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Matematica A – Aula 2: Funcoes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Matematica A – Aula 3: Funcoes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Matematica A – Aula 4: Funcoes Especiais (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Matematica A – Aula 5: Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Matematica A – Aula 6: Equacoes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Matematica A – Aula 7: Geometria Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Matematica A – Aula 8: Geometria Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

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Matematica A – Aula 9: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Matematica A – Aula 10: Circunferencia - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Matematica B – Aula 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Matematica B – Aula 2: Operacoes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Matematica B – Aula 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Matematica B – Aula 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Matematica B – Aula 5: Discussao de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . 218

Matematica B – Aula 6: Progressao Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Matematica B – Aula 7: Progressao Geometrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Matematica C – Aula 1: Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Matematica C – Aula 2: Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Matematica C – Aula 3: Numeros complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Matematica C – Aula 4: Razoes e Proporcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Matematica C – Aula 5: Regras de Tres Simples e Composta . . . . . . . . . . 235

Matematica C – Aula 6: Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Matematica C – Aula 7: Analise Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Matematica C – Aula 8: Arranjo, Combinacao e Permutacao . . . . . . . . . . 240

Matematica C – Aula 9: Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Matematica C – Aula 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Matematica C – Aula 11: Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Matematica C – Aula 12: Equacoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Matematica C – Aula 13: Introducao a Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Matematica C – Aula 14: Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Matematica C – Aula 15: Quadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Matematica C – Aula 16: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Matematica C – Aula 17: Polıgonos e Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Matematica C – Aula 18: Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Matematica C – Aula 19: Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Matematica C – Aula 20: Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

LINGUA PORTUGUESA273

Lıngua Portuguesa – 01: Variantes Linguısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Lıngua Portuguesa – 02: Acentuacao Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Lıngua Portuguesa – 03: Concordancia Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Lıngua Portuguesa – 04: Concordancia Verbal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Lıngua Portuguesa – 05: Colocacao Pronominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Page 9: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

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Lıngua Portuguesa – 06: Crase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Lıngua Portuguesa – 07: Interpretacao de Textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Lıngua Portuguesa – 08: Sinonimos, Antonimos e etc. . . . . . . . . . . . . . . . . 284

HISTORIA287

Historia – Aula 1: Historia de Santa Catarina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Grade de Respostas (PARCIAL)291

Referencias Bicliograficas299

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Fısica

Mecanica Aula 1

Grandezas Fısicas

Apesar de existirem muitas grandezas fısicas, sao estabelecidospadroes e definidas unidades para que tenhamos um numeromınimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizandoas grandezas fundamentais definem-se unidades para todas asdemais grandezas, as chamadas grandezas derivadas.

A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimentopor exemplo, cuja unidade e o metro (m), pode-se definir asunidades derivadas, como area (m2) e volume (m3). Utilizandoo metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, definem-seas unidades de velocidade (m/s) e aceleracao (m/s2).

Sistema Internacional(SI)

Ate o final do seculo XV III era muito grande a quantidadede padroes existentes. Cada regiao escolhia arbitrariamenteas suas unidades. Por motivos historicos, os paıses de lınguainglesa utilizam ate hoje os seus padroes regionais. O elevadoaumento nos intercambios economicos e culturais levou ao sur-gimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistemametrico.

Grandeza Unidade Sımbolocomprimento metro mmassa quilograma kgtempo segundo scorrente eletrica ampere Atemperatura kelvin Kquantidade de materia mol molintensidade luminosa candela cd

Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI.

Em 1971, a 14a Conferencia Geral de Pesos e Medidas escolheusete grandezas como fundamentais, formando assim a base doSI. Alem das grandezas, definiu-se tambem os sımbolos, uni-dades derivadas e prefixos. A tabela 1.1 mostra as unidadesfundamentais do SI. A tabela 1.2 apresenta algumas unidadesderivadas do SI.

Notacao Cientıfica

A medida de uma determinada grandeza fısica pode resultarem um numero que seja extremamente grande ou extrema-mente pequeno, por exemplos temos:

• distancia da Terra a Lua: 384.000.000 m.

Grandeza Unidade Sımboloarea metro qua-

dradom2

volume metro cubico m3

densidade quilogramapor metrocubico

kg/m3

velocidade metro por se-gundo

m/s

aceleracao metro porsegundo aoquadrado

m/s2

forca newton N = Kg m/s2

pressao pascal Pa = N/m2

trabalho, energia, calor joule Jpotencia watt W = J/scarga eletrica coulomb C = Asdiferenca de potencial volt V = J/Cresistencia eletrica ohm Ω = V/A

Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI.

Prefixo Sımbolo Potencia de dezcorrespondente

pico p 10−12

nano n 10−9

micro µ 10−6

mili m 10−3

centi c 10−2

deci d 10−1

deca D 101

hecto H 102

quilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

Tabela 1.3: Prefixos, sımbolos e potencias de dez.

• diametro de um atomo de hidrogenio: 0, 0000000001 m.

Para manipular tais numeros, utilizamos a notacao cientıfica,fazendo uso das potencias de 10.

O modulo de qualquer numero g pode ser escrito como umproduto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que euma potencia de dez:

g = a× 10n ,

onde devemos ter 1 ≤ a < 10.

Exemplos

• 243 = 2, 43× 100 = 2, 43× 102

1

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• 5.315 = 5, 315× 1000 = 5, 315× 103

• 0, 00024 = 2, 4× 0, 0001 = 2, 4× 10−4

• 0, 00458 = 4, 58× 0, 001 = 4, 58× 10−3

Regra Pratica

• Numeros maiores que 1: deslocamos a vırgula para aesquerda, ate atingir o primeiro algarismo do numero. Onumero de casas deslocadas para a esquerda correspondeao expoente positivo da potencia de 10.

• Numeros menores do que 1: deslocamos a vırgulapara a direita, ate o primeiro algarismo diferente de zero.O numero de casas deslocadas para a direita correspondeao expoente negativo da potencia de 10.

Pense um Pouco!

• Quais sao as unidades de Peso e de massa? por que elasnao sao iguais?

• Um analgesico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kgde massa corporal, mas a dose administrada nao pode ex-ceder 200 mg. Cada gota contem 5 mg do remedio. Quan-tas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 kg?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimensoes e asunidades, no sistema internacional,

Grandeza Dimensao Unidades SIComprimento L m (metro)Massa M kg (quilograma)Tempo T s (segundo)

das grandezas mecanicas primarias:a) Sabendo que forca = massa · aceleracao, expresse a unidadede forca em unidades de grandezas primarias.b) Determine os valores de n e p, se a expressao MLnT n−p

corresponde a dimensao de energia cinetica.

2. (FGV-SP) A dimensao de potencia em funcao das grande-zas fundamentais, massa (M), comprimento (L) e tempo (T )e:a) ML2T−2

b) ML2T−1

c) ML2T 2

d) ML2T−3

e) MLT−2

3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, ointervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segun-dos, e de:a) 3, 0× 102.b) 3, 0× 103.c) 3, 6× 103.d) 6, 0× 103.e) 7, 2× 103.

Exercıcios Complementares

4. (UFPI) A nossa galaxia, a Via Lactea, contem cerca de400 bilhoes de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelaspossuam um sistema planetario onde exista um planeta seme-lhante a Terra. O numero de planetas semelhantes a Terra, naVia Lactea, e:a) 2× 104.b) 2× 106.c) 2× 108.d) 2× 1011.e) 2× 1012.

5. Transforme em quilometros:a) 3600 m;b) 2.160.000 cm;c) 0, 03 m;d) 5.780 dm;e) 27.600 m;f) 5.800 mm;

6. (Unifor-CE) Um livro de Fısica tem 800 paginas e 4, 0 cmde espessura. A espessura de uma folha do livro vale, emmilımetros:a) 0, 025.b) 0, 050.c) 0, 10.d) 0, 15.e) 0, 20.

7. Escreva os seguintes numeros em notacao cientıfica:a) 570.000b) 12.500c) 50.000.000d) 0, 0000012e) 0, 032f) 0, 72g) 82× 103

h) 640× 105

i) 9.150× 10−3

j) 200× 10−5

k) 0, 05× 103

l) 0, 0025× 10−4

Mecanica Aula 2

Algarismos Significativos

A precisao de uma medida simples depende do instrumentoutilizado em sua medicao. Uma medida igual a 2, 00 cm naodeve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm.

Denominamos algarismos significativos todos os algarismos co-nhecidos com certeza, acompanhados de um ultimo duvidoso,que expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: to-dos os algarismos que representam a medida de uma grandezasao algarismos significativos, sendo chamados de corretos, comexcecao do ultimo, que recebe o nome de algarismo duvidoso.

O algarismo duvidoso de uma medida sera sublinhado paradestaca-lo, quando for preciso.

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Mecanica – Aula 2 3

Exemplos

1. A medida 2, 35 cm apresenta tres algarismos significativos(2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) e umalgarismo duvidoso (5).

2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algaris-mos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e umduvidoso (7). Observe que os zeros a esquerda nao saoalgarismos significativos, pois servem apenas para posi-cionar a vırgula no numero. Nesse caso, e aconselhavelescrever a medida em notacao cientıfica: 5, 7× 10−4 mm.

3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos significa-tivos, sendo os quatro primeiros corretos, e o ultimo zero eo algarismo duvidoso. Em notacao cientıfica escrevemos:1, 5000 × 102 km. Note que ao escrevermos um numerousando as potencias de 10 mantemos a quantidade de al-garismos significativos deste numero, ou seja, mantemossua precisao.

4. Considere a medida do comprimento de uma haste comregua com divisoes em centımetros:

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

Qual das opcoes abaixo melhor representa o comprimentoda haste?

a) 5, 0 cm

b) 5, 40 cm

c) 5 cm

d) 5, 5 cm

e) 5, 2 cm

5. Considere a figura:

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

A mesma haste do exemplo anterior, medida agora comuma regua milimetrada:

a) 5, 2 cm

b) 5, 240 cm

c) 5, 45 cm

d) 5, 24 cm

e) 5, 21 cm

6. Indique o numero de algarismos significativos de cadanumero abaixo:

a) 7, 4 2 significativos

b) 0, 0007 1 significativo

c) 0, 034 2 significativos

d) 7, 40× 10−10 3 significativos

Criterios de Arredondamento

Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . .× 108 m/s.

Como devemos proceder para escrever “c” com um numero me-nor de algarismos significativos? Devemos utilizar os criteriosde arredondamento.

Podemos escrever:

c = 2, 998× 108 m/s 4 significativos

c = 3, 00× 108 m/s 3 significativos

c = 3, 0× 108 m/s 2 significativos

REGRAS

• Se o algarismo a ser eliminado e menor que 5, ele e sim-plesmente eliminado.

Exemplo:√

2 = 1, 41421 . . . = 1, 414

• Se o algarismo a ser eliminado e igual ou maior que 5, ele eeliminado, mas acrescentamos uma unidade no algarismoanterior.

Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416

Operacoes com Algarismos Significativos

Adicao e Subtracao

O resultado da adicao e subtracao de dois numeros nao podeter maior numero de casas decimais, do que a parcela maispobre (em casas decimais). Procede-se a operacao normal-mente e arredonda-se o resultado.

Exemplos

• 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m

• 138, 95 m− 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m

Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a se-guir procedermos o arredondamento.

Multiplicacao e Divisao

O resultado de uma multiplicacao e divisao nao pode ter maiornumero de algarismos significativos do que o fator maispobre (em algarismos significativos). Procede-se a operacaonormalmente e arredonda-se o resultado.

Exemplos

• 4, 23 m× 2, 0 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2

• 4, 98 cm÷ 2, 0 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s

Relacoes entre Grandezas Fısicas

Muitos fenomenos fısicos podem ser reduzidos ao estudo darelacao entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados ob-tidos das medicoes podem ser expressos por uma representacaografica num plano cartesiano por meio de dois eixo perpendi-culares entre si.

Atraves da representacao grafica da relacao entre duas grande-zas pertencentes a um determinado fenomeno fısico, podemosobter algumas conclusoes sobre o comportamento de uma das

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4 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

grandezas (variavel dependente) em relacao a outra (variavelindependente).

Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foimedicada, ingerindo uma dose do medicamento as 8 horas euma outra dose as 12 horas da manha. A temperatura dapessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidossao mostrados abaixo.

Tempo (h) Temperatura (C)0 39,01 39,02 38,53 38,04 38,55 37,56 37,07 36,58 36,59 36,5

Podemos representar os dados da tabela acima em um grafico.A representacao grafica das variaveis temperatura (variavel de-pendente: eixo vertical) e tempo (variavel independente: eixohorizontal) esta mostrada na Fig. 1.1.

35.0

36.0

37.0

38.0

39.0

40.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

T(o

C)

t(h)

Figura 1.1: Grafico da temperatura em funcao do tempo

O grafico cartesiano mostrado anteriormente, alem de facilitara visualizacao do comportamento da temperatura da pessoadurante as 9 horas de observacao, permite tambem, algumasconclusoes.

Como Construir um Grafico

Para que graficos sejam construıdos de forma objetiva e clarae necessario respeitar algumas regras simples:

• O eixo vertical e chamado de eixo das abscissas e o hori-zontal de eixo das coordenadas;

• a variavel dependente deve ser colocada no eixo vertical ea variavel independente no eixo horizontal;

• os eixos devem se encontrar no canto inferior esquerdo dopapel, ou espaco (retangulo) reservado para o grafico;

• as escalas sao independentes e devem ser construıdas in-dependentemente;

• as divisoes numericas das escalas (lineares) devem ser re-gulares;

• o valor zero (0) nao precisa estar em nenhuma das escalas;

• as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e debaixo para cima;

• antes de iniciar a construcao de um grafico deve-se ve-rificar a escala a ser usada levando em consideracao osvalores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assu-mido por ambas as variaveis do grafico. Divide-se entao oespaco disponıvel, em cada eixo, para que acomode todosos pontos experimentais;

• o teste final para saber se as escalas estao boas e feitoverificando-se se e facil de ler as coordenadas de qualquerponto nas escalas.

Pense um Pouco!

• A funcao da posicao x em relacao ao tempo t de um pontomaterial em movimento retilıneo, expressa em unidades doSI, e

x = 10 + 5, 0t

Determine:a) a posicao do ponto material no instante 5, 0 s;b) o instante em que a posicao do ponto material e x =50 m;c) esboce o grafico x× t do movimento.

Exercıcios de Aplicacao

1. Determine o comprimento de cada haste:

a)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

b)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

c)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

d)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

e)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

f)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divisao,o milımetro. Essa trena e utilizada para se medir a distancia

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Mecanica – Aula 3 5

entre dois tracos paralelos, muito finos, feitos por um estiletesobre uma superfıcie plana e lisa. Considerando que nao houveerro grosseiro, o resultado de uma so medicao, com o numerocorreto de algarismos significativos, e mais bem representadopor:a) 2 mb) 21 dmc) 214 cmd) 2, 143 me) 2.143, 4 m

Exercıcios Complementares

3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento desua mesa de trabalho. Nao dispondo de regua, decide utilizarum toco de lapis como padrao de comprimento. Verifica entaoque o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5 tocos de lapis.Chegando ao colegio, mede com uma regua o comprimento doseu toco de lapis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesasera corretamente expresso por:a) 120, 15 cmb) 120, 2 cmc) 1× 102 cmd) 1, 2× 102 cme) 102 cm

4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, apos realizar a medidanecessaria, que o volume de um dado e 2, 36 cm3. Levando-seem conta os algarismos significativos, o volume total de cincodados, identicos ao primeiro, sera corretamente expresso por:a) 6, 8 cm3

b) 7 cm3

c) 13, 8 cm3

d) 16, 80 cm3

e) 17, 00 cm3

5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas,sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura media de umafolha e:a) 10−1 mmb) 10−2 mmc) 10−3 mmd) 10−4 mme) 10−5 mm

Mecanica Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais

Na Fısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: asgrandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares

A grandeza escalar e aquela que fica perfeitamente carac-terizada quando conhecemos apenas sua intensidade acom-panhada pela correspondente unidade de medida. Como

exemplos de grandeza fısica escalar podemos citar a massa deum corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exem-plo 36 oC), o volume (5 m3, por exemplo), a densidade (paraa agua, 1000 kg/m3), a pressao (105 N/m2), a energia (porexemplo 100 J) e muitas outras.

Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras deoperacoes algebricas comuns, arredondando-se quando ne-cessario.

Grandezas Vetoriais

Dada a velocidade instantanea de um movel qualquer (porexemplo, um aviao a 380 km/h), constatamos que apenas essaindicacao e insuficiente para dizermos a direcao em que o movelsegue. Isso acontece porque a velocidade e uma grandezavetorial.

Para uma grandeza fısica vetorial ficar totalmente caracteri-zada, e necessario saber nao apenas a sua intensidade oumodulo mas tambem a sua direcao e o seu sentido. Geral-mente a grandeza vetorial e indicada por uma letra com umasetinha (por exemplo, ~v) e o modulo ou intensidade, por |~v| ousimplesmente por v.

A grandeza fısica vetorial pode ser representada graficamentepor um segmento de reta (indicando a direcao da grandeza)dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendoainda seu valor seguido da unidade de medida (indicacao deseu modulo ou intensidade). Tal representacao e denominadavetor.

No exemplo anterior do aviao, poderıamos dizer, por exemplo,que ele se movimenta num certo instante com velocidade ~v,de modulo v = 380 km/h, na direcao norte-sul e sentido desul para norte. Essa velocidade vetorial instantanea pode serrepresentada por um vetor, como mostra a figura 1.1.

N

S

O L

380 km/h

Figura 1.1: Exemplo de representacao vetorial

Como afirmamos anteriormente, para representar grandezasvetoriais e preciso indicar, alem do modulo, a direcao e o sen-tido da grandeza. Podemos fazer essa indicacao utilizando umvetor (veja a figura 1.2). O vetor pode ser representado porum segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - eproporcional a intensidade da grandeza que representa.

Para melhor entendermos o significado e a representacao deum vetor, observe a figura 1.3.

Na figura de cima os vetores representados possuem mesmadirecao e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam amesma direcao e sentidos opostos. Portanto, podemos notarque vetores de mesma direcao sao paralelos, o que nao garanteque tenham o mesmo sentido.

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S

Figura 1.2: A reta s, que contem o vetor, indica a direcao e aseta indica o sentido

a

b d

a

b

c

Figura 1.3: Representacao de alguns vetores

Soma de Vetores Paralelos

Quando os vetores tem a mesma direcao, podemos determi-nar o modulo do vetor soma estabelecendo convencionalmenteum sentido como positivo e somando algebricamente os seusmodulos. Observe:

a

c

b

c

ba

d

Figura 1.4: De acordo com a convencao adotada, o modulodovetor sera d = a + b− c.

Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma direcao (horizontal).Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita.Assim, os vetores ~a e ~b sao positivos e o vetor ~c e negativo. Omodulo do vetor soma, ~d, e dado por

d = a + b− c

Se obtermos um valor positivo para ~d, isso significa que seusentido e positivo, ou seja, o vetor e horizontal para a direita;se for negativo, o seu sentido e negativo, isto e, o vetor e hori-zontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um movel parte de um ponto A e so-fre um deslocamento ~d1 no sentido leste, atingindo um ponto Be, em seguida, um deslocamento ~d2 no sentido norte, atingindoum ponto C (veja a figura 1.5)

d1

d

d2

S

O L

N

BA

C

Figura 1.5: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1 e~d2. Portanto ~d = ~d1 + ~d2.

Podemos notar facilmente que o deslocamento ~d1, de A paraB, e o ~d2, de B para C, equivalem a um unico deslocamento, ~d,de A para C. Desta forma, o deslocamento ~d e a soma vetorialou resultante dos deslocamentos ~d1 e ~d2, ou seja,

~d = ~d1 + ~d2

Este resultado e valido para qualquer grandeza vetorial. Vejaa figura 1.6.

a

c

b b

Figura 1.6: O vetor ~c e a resultante ou soma vetorial de ~a e ~b.

Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c. Ecrucial notar que a colocacao do vetor ~b na origem ou na extre-midade do vetor ~a nao altera o vetor soma ~c. Deve-se observarque os vetores ~a, ~b e ~c formam um triangulo retangulo, em que~c e a hipotenusa ~a e ~b sao catetos. Para obtermos o modulodo vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pitagoras:

c2 = a2 + b2

Soma de Vetores

A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direcoesquaisquer nao apresenta muita diferenca. Para um movel, par-tir de A e atingir B num deslocamento ~d1 e, em seguida, atingirC num deslocamento ~d2 equivale a partir de A e atingir C numdeslocamento ~d (veja figura 1.7). Desta forma,

~d = ~d1 + ~d2

Na determinacao do modulo do vetor ~d resultante, nao po-demos aplicar o teorema de Pitagoras, tendo em vista que o

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Mecanica – Aula 3 7

d

d2

d1

A

C

B

Figura 1.7: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1 e~d2.

angulo entre ~d1 e ~d2 nao e reto (90o). Assim, aplicamos a regrado paralelogramo, como mostra a figura 1.8.

Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal e ovetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo,se ~a e ~b formam entre si um angulo α, o modulo do vetorresultante ~c sera dado pela expressao:

c2 = a2 + b2 + 2ab · cos α

Decomposicao de Vetores

Ao somarmos dois vetores, podemos obter um unico vetor,o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Aodecompormos dois vetores, realizamos um processo inverso.Dado um vetor ~a, obtem-se outros dois vetores ~ax e ~ay tal que~ax + ~ay = ~a (veja a figura 1.9).

O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~ax

e ~ay formem um triangulo retangulo (figura 1.10). Aplicandoa trigonometria ao triangulo retangulo, podemos determinar omodulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical) de ~aem funcao do angulo α. Desta forma, no triangulo hachuradoda figura 1.10, temos

cosα =cateto adjacente

hipotenusa⇒ cosα =

ax

a

ax = a · cos α

onde ax e o modulo da componente horizontal ~ax do vetor ~a.Temos ainda

sin α =cateto oposto

hipotenusa⇒ sin α =

~ay

a

ay = a · sin α

onde ay e o modulo da componente vertical ~ay do vetor ~a.

Podemos relacionar o modulo do vetor e o modulo de seuscomponentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitagoras notriangulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay:

a2 = a2x + a2

y

Pense um Pouco!

• Qual a condicao para que a soma de dois vetores seja nula?

• O modulo da soma de dois vetores pode ser igual a somade seus modulos? Quando?

• O modulo de um vetor pode ser negativo? Por que?

cb

c

a

b

a

α α

α α

Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados sao osvetores ~a e ~b, e o vetor resultante ~c. Podemos deslocar o vetor~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figura anterior.

Exercıcios de Aplicacao

1. Um movel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e emseguida, 50 m no sentido norte-sul.a) Represente esquematicamente esses deslocamentos.b) Determine o modulo do deslocamento resultante.

2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o modulo daresultante de F1 e F2. Dado: cos(120) = −0, 50.

F1

F2120

o

3. Um projetil e atirado com velocidade de 400 m/s fazendoum angulo de 45 com a horizontal. Determine os componentesvertical e horizontal da velocidade do projetil.

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a

ax

ay

α

x

y

Figura 1.9: O vetor ~a pode ser decomposto em um componentehorizontal, ~ax, e outro vertical, ~ay.

a

ay ay

ax

α

Figura 1.10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e ~ay formamum triangulo retangulo, onde ~a e a hipotenusa e ~ax e ~ay saoos catetos.

Exercıcios Complementares

4. Na figura abaixo estao representadas duas forcas: ~F1, demodulo F1 = 5, 0 N e ~F2, de modulo F2 = 3, 0 N , formandoentre si um angulo α = 60. Determine a forca resultante ~FR

para o sistema de forcas mostrado.

F2

F1

α = 60o

5. Um vetor velocidade e decomposto em dois outros, perpen-diculares entre si. Sabendo que o modulo do vetor e 10, 0 m/se que um dos componentes tem modulo igual a 8, 0 m/s, deter-mine o modulo do vetor correspondente ao outro componente.

6. Um projetil e lancado do solo segundo uma direcao queforma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s(veja a figura a seguir). Determine o modulo dos componen-tes horizontal, ~vx, e vertical, ~vy, dessa velocidade. Dados:sin(53) = 0, 80 e cos(53) = 0, 60

v

α = 53o

7. Um aviao voa no sentido sul-norte com uma velocidade de900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um fortevento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoeste-nordeste.a) Faca um esquema grafico representando a velocidade doaviao e do vento.b) Determine o modulo da velocidade resultante. Dado:cos(45) = 0, 71.

Mecanica Aula 4

A Primeira Lei de Newton

O Conceito de Forca

Geralmente utilizamos uma forca com o objetivo de empur-rar, puxar ou levantar objetos. Essa ideia e correta, poremincompleta. A ideia de puxar ou empurrar esta quase sempreassociada a ideia de contato, o que exclui uma caracterısticafundamental da nocao de forca: a acao a distancia. A atracaogravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, e exercida amilhoes de quilometros de distancia.

A palavra forca nao possui uma definicao unica, expressa empalavras. A Fısica moderna admite a existencia de quatro ti-pos de forca na natureza, chamadas mais adequadamente deinteracoes : gravitacional, eletromagnetica, e as forcas nuclea-res forte e fraca.

Em relacao ao estudo dos movimentos e de suas causas, pode-se dizer que forca e a acao capaz de modificar a velocidade deum corpo.

Como muitas outras grandezas em Fısica, a forca e uma gran-deza vetorial, ou seja, possui modulo direcao e sentido. Pode-mos resumir, entao a definicao de forca da seguinte forma:

Forca e uma grandeza vetorial que caracterizaa acao de um corpo sobre outro e que temcomo efeito a deformacao ou a alteracao da

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Mecanica – Aula 4 9

velocidade do corpo sobre o qual ela esta sendoaplicada.

A Primeira Lei de Newton

Figura 1.1: Isaac Newton (1642-1727).

Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pen-sar em uma pergunta: “o que acontece com o movimento deum corpo livre de qualquer forca?” Essa pergunta pode serrespondida em duas partes. A primeira trata do efeito da ine-xistencia de forcas sobre o corpo em repouso: se nenhumaforca atua sobre o corpo em repouso, ele continua em repouso.A segunda parte trata do efeito da inexistencia de forcas sobreo corpo em movimento: se nenhuma forca atua sobre o corpoem movimento, ele continua em movimento.

Mas que tipo de movimento? Ja que nao existem forcas atu-ando sobre o corpo, sua velocidade nao varia de modulo oudirecao. Desta forma, o unico movimento possıvel do corpo naausencia de qualquer forca atuando sobre ele e o movimentoretilıneo uniforme.

A Primeira Lei de Newton reune as duas respostas anterioresem um unico enunciado:

Todo corpo tende a manter seu estado de re-pouso ou de movimento retilıneo e uniforme,a menos que forcas externas provoquem va-riacao na sua velocidade.

De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmarque na ausencia de forcas, todo corpo tende a ficar como esta:parado se estiver parado, em movimento retilıneo uniforme, seestiver em movimento (retilıneo uniforme). Por este motivoessa lei tambem e chamada de Princıpio da Inercia.

O que e Inercia?

Todos os corpos apresentam a tendencia de se manter em re-pouso ou em movimento retilıneo uniforme. Essa propriedadedos corpos e chamada inercia. A palavra inercia e derivada dolatim inertia, que significa indolencia ou preguica. Os corpostem uma especie de resistencia as modificacoes de sua veloci-dade.

Equilıbrio de uma Partıcula

Dizemos que uma partıcula se encontra em equilıbrio, quando aresultante das forcas atuando sobre ela for nula. Se a resultantee nula, nao ocorre alteracao na velocidade do objeto. Assim,seele estiver em repouso, chamamos o equilıbrio de estatico; se

Figura 1.2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua seumovimento pra frente...

ele estiver em movimento retilıneo e uniforme, o equilıbrio serachamado de dinamico.

Pense um Pouco!

• Qual a relacao entre a Primeira Lei de Newton e o cinto deseguranca? e o encosto para a cabeca no banco do carro?

• Por que quando um onibus freia repentinamente, os pas-sageiros sao “arremessados” para a frente? e o que ocorrequando o onibus e acelerado?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFMG) Um corpo de massa m esta sujeito a acao de uma

forca ~F que o desloca segundo um eixo vertical em sentidocontrario ao da gravidade. Se esse corpo se mover com veloci-dade constante e porque:a) a forca ~F e maior do que a da gravidade.b) a forca resultante sobre o corpo e nula.

c) a forca ~F e menor do que a gravidade.d) a diferenca entre os modulos das forcas e diferente de zero.e) a afirmacao da questao esta errada, pois qualquer que seja~F o corpo estara acelerado porque sempre existe a aceleracaoda gravidade.

2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o enun-ciado da Lei da Inercia, tambem conhecida como primeira Leide Newton.a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo umaorbita elıptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma forca proporcio-nal ao produto de suas massas e inversamente proporcional aoquadrado da distancia entre eles.c) Quando um corpo exerce uma forca sobre outro, este re-age sobre o primeiro com uma forca de mesma intensidade edirecao, mas de sentido contrario.d) A aceleracao que um corpo adquire e diretamente propor-cional a resultante das forcas que nele atuam, e tem mesmadirecao e sentido dessa resultante.e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de mo-vimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre eleestejam agindo forcas com resultante nao nula.

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3. (UNESP-SP) As estatısticas indicam que o uso do cinto deseguranca deve ser obrigatorio para prevenir lesoes mais gravesem motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente,a funcao do cinto esta relacionada com a:a) primeira Lei de Newton.b) lei de Snell.c) lei de Ampere.d) lei de Ohm.e) primeira Lei de Kepler.

Exercıcios Complementares

4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo,presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a corda.Pela Lei da Inercia, conclui-se que:a) a pedra se mantem em movimento circular.b) a pedra sai em linha reta, segundo a direcao perpendiculara corda no instante do corte.c) a pedra sai em linha reta, segundo a direcao da corda noinstante do corte.d) a pedra para.e) a pedra nao tem massa.

5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme retilıneo,so pode estar sob a acao de uma:a) forca resultante nao-nula na direcao do movimento.b) unica forca horizontal.c) forca resultante nula.d) forca nula de atrito.e) forca vertical que equilibre o peso.

6. (Fiube-MG) Uma partıcula se desloca ao longo de umareta com aceleracao nula. Nessas condicoes, podemos afirmarcorretamente que sua velocidade escalar e:a) nula.b) constante e diferente de zero.c) inversamente proporcional ao tempo.d) diretamente proporcional ao tempo.e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo.

Mecanica Aula 5

A Segunda Lei de Newton

E muito comum encontrarmos a definicao de massa de umcorpo da seguinte maneira: “a massa de um corpo representaa quantidade de materia que ele possui”. Em cursos elementa-res de ciencias, esta definicao pode ser aceita como uma ideiainicial da nocao de massa, embora nao possa ser consideradauma definicao precisa dessa grandeza. De fato, a definicaoapresentada nao e adequada, pois pretende definir um novoconceito – massa – por meio de uma ideia vaga, que nao temsignificado fısico preciso – quantidade de materia.

Experimentalmente os fısicos constataram que entre a forca Faplicada a um corpo e a aceleracao a, que ele adquire, existeuma proporcao direta. Desta forma, o quociente F/a e cons-tante para um certo objeto. Este quociente, que e intrınseco a

cada corpo, foi denominado pelos fısicos de massa do corpo.Desta forma, podemos afirmar:

A massa m de um corpo e o quociente entre omodulo da forca que atua num corpo e o valorda aceleracao a que ela produz neste corpo.

Assim,

m =F

a

No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massae o quilograma:

1 quilograma = 1 kg = 1000 g

Massa e Inercia

Suponhamos que uma forca F foi aplicada a tres corpos demassa diferentes, como tres blocos de ferro, com volumes di-versos. Imaginaremos que a superfıcie na qual estes blocosestao apoiados nao apresenta atrito. Analisando a equacaom = F/a, percebemos facilmente que:

- Quanto maior m → menor a

- Quanto maior m → maior a dificuldade de alterar a veloci-dade do corpo.

Podemos concluir que

Quanto maior e a massa de um corpo, maiorsera sua inercia (dificuldade de ter sua velo-cidade alterada), isto e, a massa representa amedida de inercia de um corpo.

As conclusoes anteriormente, explicam porque um caminhaovazio (quando sujeito a uma forca F) adquire uma aceleracaomaior do que quando esta cheio, por exemplo.

A Segunda Lei de Newton

De acordo com o princıpio da inercia, um corpo so pode sairde seu estado de repouso ou de movimento retilıneo com velo-cidade constante se sobre ele atuar uma forca resultante ex-terna. Neste momento, poderıamos perguntar: “O que acon-tece se existir uma forca resultante externa agindo no corpo?”Nesta situacao, o corpo fica sujeito a uma aceleracao, ou seja,um corpo sujeito a uma forca resultante externa movimenta-secom velocidade variavel.

F

E facil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, porexemplo, desde o repouso ate 30 km/h em um intervalo detempo de 30 s, a intensidade da forca que teremos de aplicardependera da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for umcarro, e evidente que a forca necessaria sera muito menor do

Page 20: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Mecanica – Aula 5 11

que se tratasse de um caminhao. Desta forma, quanto maiora massa do corpo, maior devera ser a intensidade da forcanecessaria para que ele alcance uma determinada aceleracao.

Foi Isaac Newton quem obteve essa relacao entre massa e forca,que constitui a segunda lei de Newton ou princıpio fun-damental da dinamica. Temos, entao que

A aceleracao de um corpo submetido a umaforca resultante externa e inversamente pro-porcional a sua massa, e diretamente propor-cional a intensidade da forca.

Assim, para uma dada forca resultante externa F, quantomaior a massa m do corpo tanto menor sera a aceleracao aadquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton e dadapor:

~F = m~a

Esta equacao vetorial impoe que a forca resultante e a ace-leracao tenham a mesma direcao e o mesmo sentido. No SI aunidade de forca e o newton ou (N):

1 N = 1 kg ·m/s2

Por definicao, o newton e a forca que produz uma aceleracaode 1 m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg.

Diagrama de Corpo Livre

Antes de resolver qualquer problema de dinamica, e de fun-damental importancia a identificacao de todas as forcas rele-vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualizacaodestas forcas, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se umdiagrama de corpo livre ou diagrama de forcas paracada corpo, que e um esquema simplificado envolvendo todasas massas e forcas do problema.

Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano incli-nado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livrepara o bloco:

m

N Fat

P

θ

Figura 1.1: Diagrama de corpo livre para um bloco escorre-gando num plano inclinado.

Observe

Nesse exemplo, o bloco e tratado como uma partıcula, por sim-plificacao, nao sendo relevante suas dimensoes ou o ponto deaplicacao das forcas, colocadas todas no seu centro geometrico,por conveniencia. Desprezou-se a forca de empuxo do ar, aforca de resistencia viscosa ao movimento do bloco, tambemcausada pelo ar, e outras forcas irrelevantes ao problema.

Pense um Pouco!

• E muito comum nos depararmos com a situacao na qualum carro e um caminhao estao emparelhados aguardandoo sinal verde do semaforo. Voce sabe por que, quando osinal fica verde, o carro quase sempre sai na frente, apesarde o caminhao ter um motor mais possante?

• Se o peso de um corpo e proporcional a sua massa, entaopodemos afirmar que todos os corpos terao a mesma ace-leracao, em queda livre?

Exercıcios de Aplicacao

1. Na figura abaixo os blocos A, B e C estao sobre um planohorizontal sem atrito.

B

A

Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg,determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a tracao nos fios (TAB entre A e B e TBC , entre B e C).Admitir a massa dos fios desprezıvel.

2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe aceleradoa 2 m/s2. Considerando g = 10 m s2, a tracao no cabo que osustenta, e de:a) 6000 Nb) 5000 Nc) 4000 Nd) 3000 Ne) 2000 N

Exercıcios de Aplicacao

3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa 0, 50 kg.O bloco B, de massa 4, 5 kg, esta sobre o plano sem atrito.

A

F

B C

Admitindo g = 10 m/s2 e o fio inextensıvel de massa des-prezıvel como a massa da polia, determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a tracao no fio.

4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg, mB =2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se apoia num plano sematrito. Sao desprezıveis as massas da polia e do fio, que einextensıvel.

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B

AC

Admitindo g = 10 m/s2, determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a tracao TAB entre os blocos A e B;c) a tracao TBC entre os blocos B e C.

5. Na figura, a forca F tem intensidade 90 N . Despreze osatritos e as inercias do fio e da roldana. Quais os valores daaceleracao do conjunto e da forca que traciona o fio?

4 kg

6 kg

F

6. (UEL-PR) Os tres corpos, A, B e C, representados nafigura tem massas iguais, m = 3, 0 kg

A B

C

O plano horizontal, onde se apoiam A e B, nao fornecem atrito,a roldana tem massa desprezıvel e a aceleracao local da gravi-dade pode ser considerada g = 10 m/s2. A tracao no fio queune os blocos A e B tem modulo:a) 10 Nb) 15 Nc) 20 Nd) 25 Ne) 30 N

7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra-se sobre uma balanca no piso de um elevador. Se o elevadorsobe com aceleracao igual, em modulo, a metade da aceleracaoda gravidade local, pode-se afirmar que a leitura da balanca:a) sera de 25 Nb) permanece inalteradac) sera de 75 Nd) sera de 100 Ne) sera de 200 N

Mecanica Aula 6

Energia

A energia se apresenta de diversas formas na natureza. Porexemplo os alimentos que nos proporcionam energia quımica, acombustao da gasolina libera energia termica, energia eletrica eutilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energiasonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade deenergia transferida de um corpo para outro vamos introduziro conceito de trabalho.

Trabalho

O significado da palavra trabalho, na Fısica, e diferente do seusignificado habitual, empregado na linguagem comum. O tra-balho, na Fısica e sempre relacionado a uma forca que deslocauma partıcula ou um corpo. Dizemos que uma forca F realizatrabalho quando atua sobre um determinado corpo que estaem movimento. A partir dessa descricao podemos dizer queso ha trabalho sendo realizado se houver deslocamento, casocontrario o trabalho realizado sera nulo. Assim, se uma pes-soa sustenta um objeto, sem desloca-lo, ela nao esta realizandonenhum trabalho sobre o corpo.

Quando uma forca F atua sobre um corpo no mesmo sentidode seu movimento (ou deslocamento) ela esta favorecendo omovimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho reali-zado pela forca.

Uma Forca Constante

Quando a forca F atua no sentido contrario ao movimento docorpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho reali-zado pela forca e considerado negativo.

d

FF

Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizadopor uma forca horizontal constante, durante um deslocamentohorizontal d e:

W = ±F d (1.1)

onde F e o modulo da forca constante e d e o deslocamento(em modulo). O sinal + e usado quando a forca e o desloca-mento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quando possuemsentidos contrarios.

Importante

Observe que o trabalho e uma grandeza escalar, apesar de serdefinida a partir de dois vetores (F e d).

Unidades

1 N ·m = 1 J = 1 joule = 107 erg

Page 22: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Mecanica – Aula 6 13

1 kJ = 103 J

Quando a forca for aplicada ao corpo formando um angulo φcom a horizontal, temos a seguinte formula mais geral:

W = F d cosφ (1.2)

onde F e o modulo da forca constante, d e o deslocamento (emmodulo) e φ o angulo entre os vetores F e d, ou seja, entre adirecao da forca e o deslocamento.

F F

φ φ

d

Podemos tambem calcular o trabalho W realizado pela forcaF atraves da area sob a curva do grafico F × x:

F

O Xx

Area = Trabalho

W ≡ Area sob a curva

Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do trabalhoatraves da analise do grafico, e do sentido relativo entre a forcae o deslocamento (ou do angulo φ).

Uma Forca Variavel

0 grafico abaixo representa a acao de uma forca variavel queage sobre um corpo, provocando um deslocamento linear,desde o ponto x′ ate o ponto x′′.

x1

x2

1F(x )

2F(x )

O X

Area = Trabalho

Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela area sob acurva, desenhando-se o grafico em papel quadriculado, ou deforma aproximada pela area de um trapezio:

W = Fd =

(F ′′ + F ′

2

)

(x′′ − x′)

Observe que essa formula considera a forca media (aproxi-mada) multiplicada pelo deslocamento.

Tipos de Forcas

Existem diversos tipos de forcas que podem atuar em umcorpo: forca elastica, forca peso, forca eletrica, forca de con-tato, etc...

Potencia PConsideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Seuma delas levar um tempo menor que a outra para a realizacaodesse trabalho, tem de fazer um esforco maior e, por tanto,dizemos que desenvolveu uma potencia maior.

Figura 1.1: James Watt (1736-1819)

Um carro e mais potente que o outro quando ele “arranca”maisrapido e atinge uma dada velocidade num intervalo de tempomenor do que o outro carro..

Um aparelho de som e mais potente que o outro quando eleele transforma mais energia eletrica em sonora num menorintervalo de tempo. Uma maquina e caracterizada nao so pelotrabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode efetuarem determinado tempo.

Entao podemos concluir que potencia e o trabalho realizadodurante um determinado tempo, ou seja:

P = W/t

Em alguns casos, pode-se escrever W = Fd e, substituindo naequacao acima temos

P =W

t=

Fdt

t= Fv .

ja que v = d/t.

Unidade de Potencia

1 J/s = 1 watt = 1 W

Energia cinetica

Para variar a velocidade de um corpo em movimento e precisoo concurso de forcas externas, as quais realizam certo trabalho.Esse trabalho e uma forma de energia que o corpo absorve (ouperde) pelo fato de estar em movimento em relacao a um dadosistema de referencia.

Chamamos essa energia de movimento de energia de cinetica.Para uma partıcula de massa m e velocidade v a energiacinetica e:

Ec =1

2mv2

e assim como o trabalho, mede-se a energia cinetica em joules.

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Teorema Trabalho-Energia

Suponhamos que FR seja a resultante das forcas que atuamsobre uma partıcula de massa m. O trabalho dessa resultantee igual a diferenca entre o valor final e o valor inicial da energiacinetica da partıcula:

W = ∆Ec =1

2mv2

f −1

2mv2

i

Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho-energiaindica que o trabalho da resultante das forcas que atua sobreuma partıcula modifica sua energia cinetica.

Pense um Pouco!

• Que trabalho realizamos sobre um corpo que e levantadoa uma determinada altura? Esse trabalho seria positivoou negativo?

• Se voce pudesse segurar um elefante a uma determinadaaltura, voce estaria realizando trabalho? Por que?

• Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um bar-bante.

1. Ha algum trabalho sendo realizado sobre o carrinho?Por que? O trabalho e positivo ou negativo.

2. O menino desenvolve alguma potencia? Por que?

3. O carrinho tem energia cinetica? Por que?

Exercıcios de Aplicacao

1. (ESAL-MG) Um homem esta em repouso com um caixotetambem em repouso as costas.a) Como o caixote tem um peso, o homem esta realizandotrabalho.b) O homem esta realizando trabalho sobre o caixote pelo fatode o estar segurandoc) O homem esta realizando trabalho pelo fato de estar fazendoforca.d) O homem nao realiza trabalho pelo fato de nao estar sedeslocando.e) O homem nao realiza trabalho pelo fato de o caixote estarsujeito a aceleracao da gravidade.

2. (UFSE) Um corpo esta sendo arrastado por uma superfıciehorizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere asafirmacoes a seguir: I. O trabalho da forca de atrito e nulo. II.O trabalho da forca peso e nulo. III. A forca resultante quearrasta o corpo e nula. Dentre as afirmacoes:a) E correta a I, somente.b) E correta a II, somente.c) E correta a III, somente.d) Sao incorretas I, II, III.e) Sao corretas II e III.

3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potencia e energia, pode-se afir-mar que:a) potencia e energia sao sinonimos.b) trabalho e potencia se expressam com a mesma unidade.c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.

d) potencia e a capacidade de realizar trabalho.e) trabalho e a relacao energia-tempo.

4. O produto da forca pelo deslocamento do corpo em que elaatua esta associado com:a) trabalhob) potenciac) distanciad) aceleracaoe) velocidade

Exercıcios Complementares

5. (UFSC) O grafico a seguir representa a resultante dasforcas, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a10, 0 kg, em funcao do deslocamento total em metros. Su-pondo que a sua velocidade inicial e de 14 1

2 m/s, determine,em m/s, a velocidade do corpo depois de percorrer 40, 0 m.

F(N)

5

20

00 10 20 30

15

10

x(m)40

6. Um projetil de massa 10, 0 g penetra com velocidadehorizontal de 100 m/s e sai de uma tabua de espessura de10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a forca comque a tabua exerce sobre o projetil.

F

v = 100 m/s v = 90 m/s

x = 1,0 cm

fo

m = 10 g

7. Um movel de massa 2, 90 kg e submetido a uma forca cons-tante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0 m/sem 8, 00 s. Calcule:a) o trabalho W realizado pela forca;b) a potencia P desenvolvida pela forca;

Mecanica Aula 7

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Mecanica – Aula 7 15

Energia Potencial

Um corpo possui energia quando e capaz de realizar trabalho.Suponha, entao, um corpo situado a uma certa altura acimado solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, efacil perceber que sera capaz de realizar um certo trabalho:amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois concluirque aquele corpo possuıa energia na posicao elevada.

A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado auma certa altura acima da superfıcie da Terra, e denominadaenergia potencial gravitacional. Ha outras situacoes, seme-lhantes a essa, nas quais um corpo tambem possui energia emvirtude da posicao que ele ocupa. Por exemplo, um corpo si-tuado na extremidade de uma mola comprimida (ou esticada)possui energia em virtude de sua posicao. Se um corpo com-primir uma mola e soltarmos esse corpo, ele sera empurradopela mola e podera realizar trabalho. Neste caso, a energiaque o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticadae denominada energia potencial elastica.

Energia Potencial Gravitacional

Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso refe-rencial usual de energia zero, podemos definir a energia po-tencial gravitacional Ep como

Ep = mgh

onde g e a aceleracao da gravidade. No SI, g vale aproxima-damente 9, 8 m/s2.

Forca Elastica

Chamamos de corpos elasticos aqueles que, ao serem defor-mados, tendem a retornar a forma inicial.

Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703)

Uma mola helicoidal, feita geralmente de aco, como carac-terıstica propria uma constante elastica k, que define a pro-porcionalidade entre a intensidade forca F aplicada e a respec-tiva deformacao x causada na mola. A lei de Hooke relacionaessas quantidades na forma

F = −kx

Observe que x mede a deformacao linear da mola a partir doseu tamanho de equilıbrio (sem forca).

Atraves a equacao acima, pode-se ver que a unidade SI daconstante elastica deve ser N/m. Na pratica, a constante k

mede a “dureza´´ da mola: quanto maior o valor de k, maisdifıcil sera a sua deformacao, ou seja, mais forca sera necessariapara deforma-la uma certa quantidade x.

Energia Potencial Elastica

Quando aplicamos uma forca e deformamos uma mola estamostransferindo a ela uma energia, essa energia fica armazenadana mola. Definimos que a energia armazenada em uma molacomprimida ou distendida e chamada de energia potencialelastica, atraves de

Ep =1

2kx2

Pense um Pouco!

• A energia potencial gravitacional depende da aceleracaoda gravidade, entao em que situacoes essa energia e posi-tiva, nula ou negativa?

• A forca elastica depende da massa da mola? Por que?

• Se uma mola e comprimida por um objeto de massagrande, quando solto a mola nao consegue se mover, oque acontece com a energia potencial elastica?

Exercıcios de Aplicacao

1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilingue.a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue?b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua al-tura maxima?c) Existe energia no estilingue depois do lancamento? Co-mente.

2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depoisde um certo tempo de queda.a) O que acontece com sua energia potencial Ep?b) Sua energia cinetica esta variando? Comente.

3. Um indivıduo encontra-se sobre uma balanca de mola, pi-sando sobre ela com seus dois pes. Se ele levantar um dos pese mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador com-pletamente fechado, quando observa que o peso indicado nabalanca e zero. Entao, conclui que:a) esta descendo com velocidade constanteb) o elevador esta em queda livrec) a forca de atracao gravitacional exercida sobre ele e anuladapela reacao normal do elevadord) a balanca esta quebrada, visto que isto e impossıvel

4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, estao a500 m de altura em relacao ao solo. Voce diria que:a) ambas as pedras tem igual energia potencial;b) a pedra de menor massa tem maior energia potencialc) nada podemos afirmar com relacao a energia potencial daspedrasd) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizartrabalhoe) a pedra de maior massa tem maior energia potencial

5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprezıvel,esta suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal.

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16 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livredessa mola, ela apresenta deformacao de 2, 0 cm para o sis-tema em equilıbrio. Se acrescentarmos a essa massa outra de10 kg, no ponto de equilıbrio, a deformacao total sera de:a) 3, 0 mb) 2, 5 cmc) 2, 0 md) 1, 5 cme) 1, 0 m

Exercıcios Complementares

6. Uma mola cuja constate elastica e 1000 N/m encontra-secomprimida em 10 cm.a) Determine a energia potencial elastica armazenada na mola.

b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente paraimpulsionar um bloco de 100 g, qual e a velocidade maximaadquirida pelo bloco?

7. Qual o trabalho necessario para se comprimir uma mola,cuja constante elastica e 500 N/m, em 10, 0 cm?

8. Um menino situado no alto de um edifıcio, segura um corpode massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do solo.a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquelaposicao?b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo,quando situado a 6, 0 m do chao?

Mecanica Aula 8

Trabalho e Energia Potencial

Figura 1.1: James Prescott Joule (1818-1889).

A energia potencial gravitacional esta relacionada a posicao deum corpo no campo gravitacional. Em geral, quando movemoso corpo, alteramos sua energia potencial.

Para elevar um corpo em equilıbrio do solo ate uma altura h,devemos aplicar uma forca que realizara um trabalho (positivo)de mesmo modulo que o trabalho realizado pela forca peso docorpo (negativo).

m

P

ext.F = −P

Figura 1.2: Um corpo sendo suspenso em equilıbrio.

O trabalho realizado pela forca externa Fext., e armazenadono sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gravita-cional Ep, e vale:

Ep = mgh

se definirmos o valor zero (Ep = 0) no chao, onde h = 0.

Ja para o sistema massa-mola, temos uma forca externa sendoaplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma de-formacao, sendo essa forca

F = −kx

o trabalho W externo necessario para esticar a mola uma quan-tidade x sera

W =1

2kx2

e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de ener-gia potencial elastica.

F=−kx

O

F=0

O

Ox<0

x>0

F=−k(−x)=kx

Figura 1.3: Uma mola esticada, em equilıbrio.

Forcas Conservativas e Dissipativas

Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seu peso,ou forca elastica exercida por uma mola, a energia mecanica

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Mecanica – Aula 8 17

desse corpo se conserva. Por este motivo, as forcas citadassao denominadas forcas conservativas. Exemplo: ao darcorda em um relogio, voce esta armazenando energia potencialelastica numa mola, e essa energia estara disponıvel para fazercom que o relogio trabalhe durante um certo tempo. Isso so epossıvel porque a energia elastica foi armazenada (conservada).

Por outro lado, se existissem forcas de atrito atuando duranteo deslocamento do corpo, sua energia mecanica nao se con-serva, por que parte dela (ou ate ela toda) se dissipa sob formade calor. Por isso dizemos que as forcas de atrito sao forcasdissipativas. Exemplo: se voce arrastar um caixote pelo chaohorizontal, durante um longo percurso, vera que todo o traba-lho realizado foi perdido, pois nenhuma parte dessa energiagasta foi armazenada, ou esta disponıvel no caixote.

A Conservacao da Energia Mecanica

Um sistema mecanico no qual so atuam forcas conservativase dito sistema conservativo, pois a sua energia mecanica(E) se conserva, isto e, mantem-se com o mesmo valor emqualquer momento ou posicao, podendo alternar-se nas suasformas cinetica e potencial (gravitacional ou elastica):

E = Ec + Ep

Degradacao da Energia

A energia esta constantemente se transformando, mas naopode ser criada nem destruıda.

• Em uma usina hidreletrica, a energia mecanica da quedad’agua e transformada em energia eletrica.

• Em uma locomotiva a vapor, a energia termica e trans-formada em energia mecanica para movimentar o trem.

• Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fissao dosnucleos atomicos se transforma em energia eletrica.

• Em um coletor solar, a energia das radiacoes provenientesdo sol se transforma em energia termica para o aqueci-mento de agua.

Pense um Pouco!

• Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa molae volta a subir. Ele pode atingir, na volta, altura maiordo que aquela de que foi abandonado? Por que?

• Indique algumas fontes de energia e explique a forma deaproveita-las para a realizacao de trabalho mecanico.

• Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como serealiza menor trabalho: suspendendo-o diretamente poruma corda, na vertical, ou transportando-o atraves de umplano inclinado (sem atrito) ate a altura desejada? Porque?

• Compare a energia necessaria para elevar de 10 m umamassa na Terra e a energia necessaria para elevar de 10 ma mesma massa na Lua. Explique a diferenca.

Exercıcios de Aplicacao

1. Quais as transformacoes de energia que ocorrem quandoum jogador chuta uma bola?

2. Quais as principais diferencas entre energia potencial eenergia cinetica?

3. Uma forca e dita conservativa quando:a) nao realiza trabalhob) o trabalho por ela realizado nao depende da trajetoria deseu ponto de aplicacaoc) realiza apenas trabalhos positivosd) o trabalho por ela realizado nao depende da massa do corpoem que esta aplicadae) dissipa energia termica

4. Um sistema fısico tem energia quando:a) esta sujeito apenas a acoes de forcas conservativas;b) esta sujeito a forcas conservativas e dissipativas;c) esta capacitado a realizar trabalho;d) possui grande quantidade de atomose) perde calor

Exercıcios Complementares

5. O princıpio da conservacao da energia afirma que:a) a energia cinetica de um corpo e constanteb) a energia potencial elastica mais a energia cinetica e sempreconstantec) a energia nao pode ser criada nem destruıda, mas apenastransformada em calor devido aos atritosd) a energia total de um sistema, isolado ou nao, permanececonstantee) a energia nao pode ser criada nem destruıda, mas apenastransformada de uma modalidade para outra

6. A energia mecanica de um corpo:a) e a soma da sua energia potencial e cineticab) depende apenas do referencialc) depende da aceleracao do corpod) e sempre constante, independente do tipo de forcas atuantessobre elee) depende apenas da velocidade do corpo

7. Para esticar uma mola em 40 cm, e necessaria uma forcade 20 N . Determine:a) A constante elastica da mola;b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica a mola;

c) O trabalho realizado pela mola;d) O trabalho que seria necessario para deformar a mola em80 cm;e) A forca necessaria para esticar a mola em 80 cm.

8. Um corpo de massa 5, 0 kg e elevado do solo a um ponto si-tuado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2. Determine:a) o trabalho realizado pela forca peso do corpo nesse desloca-mento;b) o aumento na energia potencial gravitacional do corpo.

9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partirdo repouso do ponto A, por uma pista circular sem atrito.

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18 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Veja a figura. Na base da pista, o corpo comprime a mola deconstante elastica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = 10 m/s2,qual a deformacao maxima sofrida pela mola?

A o

h

Figura 1.4: Questao 9.

Mecanica Aula 9

Dinamica do Movimento Circular

Consideremos um corpo de massa m, descrevendo uma circun-ferencia de raio R, com movimento nao uniforme.

v

Sabemos que a velocidade do corpo e um vetor que, em cadainstante, e tangente a trajetoria e que, no movimento circularnao uniforme, o corpo esta sujeito a duas aceleracoes.

ac

at

aR

O

Na figura temos:~at = aceleracao tangencial~ac = aceleracao centrıpetaonde~a = ~at + ~ac, sendo~a = aceleracao total(resultante)

Utilizando a Segunda Lei de Newton, vemos que as aceleracoesque atuam no corpo devem ter a mesma direcao e o mesmosentido da forca. Portanto, existem forcas perpendiculares atrajetoria e forcas tangentes a trajetoria.

A forca resultante que tem a mesma direcao e o mesmo sentidoda aceleracao centrıpeta, isto e, dirigida para o centro da curvae denominada forca centrıpeta (~Fcp), e a que tem a mesmadirecao e o mesmo sentido da aceleracao tangencial, isto e,tangente a trajetoria, e denominada forca tangencial (~Ft).

ac

at

tF c

F

F

aR

O

Na figura temos:~Ft = m · ~a~Fc = m · ~ac

onde~Ft = forca tangencial~Fc = forca centrıpeta~F = ~Ft + ~Fc, sendo~F = forca resultante

As Forcas no Movimento Circular

Podemos expressar a forca centrıpeta da seguinte maneira:

Fc = mac

ou

Fc = mv2

R= mω2R

A forca tangencial e dada por:

Ft = mat

Observe que:

• A forca tangencial faz variar o modulo do vetor velocidade,isto e, produz aceleracao tangencial.

• A forca centrıpeta faz variar a direcao do vetor velocidade,obrigando o corpo a descrever uma trajetoria curva.

Page 28: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Mecanica – Aula 9 19

FC

TerraLua

Figura 1.1: A Lua em sua orbita ao redor da Terra (fora deescala).

Como exemplo, considere o movimento da Lua em torno daTerra.

A forca que mantem a Lua em orbita e uma forca de origemgravitacional exercida pela Terra. Tal forca e centrıpeta, istoe, dirigida para o centro da Terra.

Pense um Pouco!

(Fuvest-SP) A melhor explicacao para o fato de a Lua nao cairsobre a Terra e que:a) a gravidade terrestre nao chega ate a Luab) a Lua gira em torno da Terrac) a Terra gira em torno do seu eixod) a Lua tambem e atraıda pelo Sole) a gravidade da Lua e menor que a da Terra

Exercıcios de Aplicacao

1. (UEL-Pr) Num pendulo conico, a massa m gira numa cir-

cunferencia horizontal, estando submetida as forcas peso ~Pvetorial e tracao ~T vetorial, conforme a figura:

m

P

θ T

v

Nestas condicoes a intensidade da forca centrıpeta e:a) nula, pois o movimento e uniforme.b) dada pelo componente da tracao, T · sen θ.c) dada pelo componente da tracao, T · cos θ.d) dada pela resultante T − P · cos θ.e) dada pela resultante T − P · sen θ.

2. Um garoto gira uma pedra de massa 0, 10 kg presa por umfio de 0, 80 m de comprimento, fazendo com que ela descrevacırculos verticais com velocidade constante de 4, 0 m/s. Admi-tindo g = 10 m/s2, determine a tracao no fio quando o corpopassa pelo ponto:a) mais alto da trajetoria;b) mais baixo da trajetoria.

3. Um automovel faz uma curva circular, plana e horizontal,de raio 50 m. Sabendo-se que o coeficiente de atrito estaticoentre os pneus e a pista e µe = 0, 80, qual a maxima velocidadecom que esse automovel pode fazer a curva sem derrapar? (Useg = 10 m/s2).a) v = 10 m/sb) v = 15 m/sc) v = 20 m/sd) v = 25 m/se) v = 30 m/s

Exercıcios Complementares

4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra, num plano vertical,parte dos trilhos do percurso circular de uma montanha-russade um parque de diversoes.

g

r = 8,0 m

A velocidade mınima que o carrinho deve ter, ao passar peloponto mais alto da trajetoria, para nao desgrudar dos trilhosvale, em metros por segundo:a)√

20b)√

40c)√

80d)√

160e)√

320

5. (ITA-SP) Para executar uma curva nivelada (sem subirou descer) e equilibrada o piloto de um aviao deve inclina-locom respeito a horizontal (a maneira de um ciclista em umacurva) um angulo θ. Se θ = 60o, a velocidade da aeronave e100 m/s e a aceleracao local da gravidade e de 9, 5 m/s2, quale aproximadamente o raio de curvatura?a) 200 mb) 350 mc) 600 md) 750 me) 1000 m

6. (Fuvest-SP) Um caminhao, com massa total de 10000 kg,esta percorrendo uma curva circular plana e horizontal a72 km/k (ou seja, 20 m/s) quando encontra uma mancha deoleo na pista e perde completamente a aderencia. O caminhaoencosta entao no muro lateral que acompanha a curva e que omantem em trajetoria circular de raio igual a 90 m. O coefici-ente de atrito entre o caminhao e o muro vale 0, 30. Podemosafirmar que, ao encostar no muro, o caminhao comeca a perdervelocidade a razao de, aproximadamente:a) 0, 07 m · s−2.

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20 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

b) 1, 3 m · s−2.c) 3, 0 m · s−2.d) 10 m · s−2.e) 67 m · s−2.

Mecanica Aula 10

Quantidade de Movimento

Quando uma pessoa tenta pegar uma bola em movimento, efacil perceber que ha uma diferenca na acao que ela deve de-senvolver se a velocidade da bola for grande ou pequena: abola mais rapida, para ser parada, exige um esforco maior ede maior duracao. Uma diferenca semelhante tambem seriapercebida se a pessoa tentasse parar duas bolas com a mesmavelocidade, mas de massas diferentes: o maior esforco, atuandodurante um tempo maior, seria necessario para fazer parar abola de maior massa.

Essas observacoes levam a definicao de uma nova grandezafısica vetorial relacionada com a massa e a velocidade deuma partıcula, denominada quantidade de movimento.

Entao podemos escrever que quantidade de movimento de umponto material de massa m e velocidade ~v

~Q = m~v

Unidade SI

Medimos a quantidade de movimento no Sistema Internacional(SI) na unidade

Kg ·m/s

Exemplo

Se um carro de 1.200 kg se desloca numa estrada com velo-cidade de 72 km/h, a sua quantidade de movimento sera, emmodulo,

Q = mv = (1.200 kg)(20 m/s) = 2, 4× 104 kg ·m/s

Lembre-se

Para transformar a velocidade dada em km/h para a unidadeSI (m/s) fazemos:

v = 72 km/h = 72× 1000 m

3.600 s=

72

3, 6m/s = 20 m/s

Impulso

Quando um jogador de futebol chuta uma bola ou quando umtenista, usando uma raquete, rebate uma bola,existe uma forcaque age num curto espaco de tempo que faz a bola ser impul-sionada. Define-se o impulso ~I de uma forca como grandezavetorial dada pelo produto da forca ~F pelo intervalo de tempo∆t durante o qual ela atuou:

~I = ~F∆t

Por exemplo, se ao chutar uma bola parada aplicamos nelauma forca de 50 N durante um intervalo de tempo de 0, 12 s,o impulso transferido para a bola sera

I = F∆t = (50 N)(0, 12 s) = 6, 0 N · s

e esse impulso fara com que a bola entre em movimento.

Unidade SI do Impulso

Medimos o impulso na mesma unidade da quantidade de mo-vimento:

1 N · s = 1 kg ·m/s

Pense um Pouco!

• E mais facil parar uma bola que tenha uma quantidadede movimento grande ou pequena? Por que?

• Qual a influencia da massa na quantidade de movimento?

• Por que um carro se deforma numa colisao?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFMS) Com relacao a quantidade de movimento de umapartıcula, e correto afirmar (marque V ou F):a) ( ) e uma grandeza vetorialb) ( ) tem a mesma direcao e sentido do vetor velocidade dapartıculac) ( ) e uma grandeza inversamente proporcional a massa dapartıculad) ( ) sua unidade no SI pode ser kg ·m/se) ( ) permanece constante mesmo que a partıcula seja acele-rada

2. (UFSC) O impulso dado a um corpo pode ser escrito comoo .......... da ......... pelo(a) ......... . Marque V caso as opcoescompletem corretamente as lacunas ou F caso contrario.a) ( ) produto; forca aplicada ao corpo; tempo que o corpofica em movimentob) ( ) produto; forca aplicada ao corpo; tempo durante o quala forca atuac) ( ) quociente; forca aplicada ao corpo; velocidade que eleadquired) ( ) quociente; massa do corpo; velocidade que ele adquiree) ( ) produto; massa do corpo; aceleracao que ele adquire

3. Considere um corpo que esta se deslocando em movimentoretilıneo uniforme.a) A quantidade de movimento deste corpo esta variando? Ex-plique.b) Tendo em vista a resposta do ıtem anterior, o que voce con-clui sobre o impulso que atua no corpo?c) Entao, qual o valor da resultante das forcas aplicadas nocorpo?

Exercıcios Complementares

4. Uma forca de 20 N e aplicada em um corpo durante 10 s.Qual e o impulso que a forca transmite ao corpo?

Page 30: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Mecanica – Aula 11 21

5. Determine a quantidade de movimento de um objeto demassa 50 kg que se movimenta com velocidade de 20 m/s?

6. (UEL-PR) Um corpo de massa m tem velocidade v, quan-tidade de movimento Q e energia cinetica E. Uma forca F , namesma direcao e no mesmo sentido de v, e aplicada no corpo,ate que a velocidade dele triplique. As novas quantidades demovimento e energia cinetica sao, respectivamente:a) 3Q e 3Eb) 3Q e 6Ec) 3Q e 9Ed) 6Q e 6Ee) 6Q e 9E

7. (PUC-SP) Um carrinho de massa 2, 0 kg move-se ao longode um trilho horizontal com velocidade 0, 50 m/s ate chocar-secontra um para-choque fixo na extremidade do trilho. Supondoque o carrinho volte com velocidade 0, 20 m/s e que o choquetenha duracao de 0, 10 s, calcule em newtons, o valor absolutoda forca media exercida pelo para-choque sobre o carrinho.

Mecanica Aula 11

Impulso e Momento

Teorema do Impulso-Momento

Consideremos uma forca resultante constante ~F atuando sobreuma partıcula de massa m, durante um intervalo de tempo ∆t,temos

~I = ~F∆t

ou seja~I = m~a∆t = m∆~v = ∆ ~Q

ou~I = ~Qf − ~Qi = m(~vf − ~vi)

E concluimos que:

O impulso determinado pela resultante de todas asforcas externas que agem durante certo intervalo detempo sobre um ponto material e igual a variacao daquantidade de movimento do ponto durante o mesmointervalo.

CB D EA

Sistemas de Partıculas

Para um sistema contendo N partıculas a quantidade de mo-vimento desse sistema pode ser escrito na seguinte forma:

~QTOTAL = m1~v1 + m2~v2 + . . . + mN~vN

CURIOSIDADE

A luz tem quantidade de movimento? E possıvel um astro-nauta mover-se no espaco sideral acendendo sua lanterna?

Por mais intrigante que seja, a reposta e sim. Mas por queisso acontece? Pelo fato de a luz possuir quantidade de movi-mento. Normalmente nao percebemos isso, pois a quantidadede movimento da luz e pequena e, assim, os seus efeitos sao,em geral, imperceptıveis. Mas quando o astronauta acende sualanterna, a situacao e analoga aquela em que um garoto sobrepatins consegue mover-se atirando uma melancia.

De acordo com a Mecanica Quantica, a luz e formada porpequenos ”pacotes”de energia, denominados fotons, os quais,no vacuo, movem-se a velocidade c = 3, 0 × 108 m/s. Cadaum desses fotons, alem de possuir energia, tem quantidade demovimento. Porem ela nao pode ser calculada pela expressao~Q = m~v, uma vez que os fotons nao tem massa. Para que oPrincıpio da Conservacao da Quantidade de Movimento sejamantido, os fısicos concluıram que a quantidade de movimento(q) de um foton de energia E deve ser calculada por

q = E/c

Para ilustrar, considere que o nosso astronauta esteja a umadistancia de 5 m de sua nave e tenha uma lanterna que emitaluz com potencia de 1500 W . Suponha ainda que a massatotal do astronauta juntamente com o traje espacial e a lan-terna seja 80 kg. Se o astronauta so pudesse aproximar-seda nave acendendo sua lanterna, quanto tempo ele gastaria?Utilizando a expressao acima e os modelos simplificados daMecanica, encontraremos um valor aproximado de 3,3 horas.Isso mesmo: 3h18min para percorrer 5 metros. As primeirasevidencias experimentais de que a luz tem quantidade de mo-vimento foram obtidas em 1899, pelo fısico russo P. Lebedev,e pelos americanos E. L. Nicholls e G. F. Hull, em 1901.

Pense um Pouco!

• Colidindo-se frontalmente duas esferas identicas, sobreuma mesa de bilhar, uma em movimento e a outra ini-cialmente parada, observa-se que a esfera que estava emmovimento fica parada e a outra, inicialmente padara, en-tra em movimento apos a colisao. Explique esse fenomenosob o ponto de vista dos conceitos de impulso e momento.

Exercıcios Complementares

1. Uma bola de bilhar de 200 g se move a 3, 50 m/s colise emuda sua direcao de movimento em 90. Determine o impulsoaplicado sobre a bola na colisao.

2. Solta-se um corpo de massa m de uma altura h em queda-livre, o observa-se o seu movimento ate o solo.a) Determine o impluso que o peso do corpo produz ate que

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22 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

ele atinja o solo.b) Determine a variacao do momento do corpo, desde o ins-tante em que foi solto, ate atingir o solo.c) Compara os resultados dos itens anteriores. Comente.

Exercıcios de Aplicacao

3. Solta-se uma bola de futebol com massa igual a 500 ga 1, 25 m de altura acima do chao (piso) e observa-se queela retorna (pula) ate uma altura de apenas 0, 80 m, apos oprimiro salto.a) Determine o impulso total sobre a bola ate que ela toque aprimeira vez no chao.b) Determine o impulso total sobre a bola desde o instante emque ela deixa o solo ate atingir a altura de 0, 80 m.

Mecanica Aula 12

Conservacao da Quantidade de Movi-mento

Num sistema isolado, onde o impulso das forcas externas sejanulo, a quantidade de movimento final e igual a inicial.

~I = ~Qf − ~Qi = ~0 =⇒ ~Qf = ~Qi

Resumindo, podemos enunciar o Teorema da Conservacao daQuantidade de Movimento:

E constante a quantidade de movimento de um con-junto de pontos materiais que constituem um sistemaisolado.

Exemplos

Fenomenos que encontram explicacao no teorema da quanti-dade de movimento:

• choque mecanico;

• recuo das armas de fogo;

• explosao de uma bomba (fragmentos);

• propulsao a jato.

Forcas Impulsivas

A forca de interacao que ocorre durante uma colisao, em ge-ral tem grande intensidade e curta duracao, como descrito nografico abaixo. Forcas como essa, que atuam durante um in-tervalo pequeno comparado com o tempo de observacao dosistema, sao chamadas de forcas impulsivas.

t t

F(t)

ti ft∆

Algumas vezes e mais interessante considerar o valor medioda forca impulsiva que o seu valor a cada instante. Por de-finicao, o valor medio de uma forca impulsiva e o valor daforca constante que, no mesmo intervalo de tempo, produz omesmo impulso sobre um dado corpo.

Pense um Pouco!

• Como podemos analisar as forcas envolvidas em uma co-lisao entre duas partıculas?

• Imagine-se no meio da superfıcie lisa de um lago. Lem-brando nao ser possıvel caminhar sobre a superfıcie, emrazao da total ausencia de atrito, sugira um procedimentoque permita alcancar a margem do lago.

Exercıcios de Aplicacao

1. (UEA - Aprovar) Antonio (um pescador do Cambixe) estacom sua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tanto a canoacomo o pescador repousam em relacao a agua que, por sua vez,nao apresenta qualquer movimento em relacao a Terra. Atritosda canoa com a agua sao desprezıveis e, no local, nao ha ventos.Num determinado instante, o pescador atira horizontalmente asua zagaia de massa 2, 0 kg que sai com velocidade de 10 m/s.Calcule o modulo da velocidade do conjunto pescador/canoa,de massa igual a 150 kg, imediatamente apos o disparo.

2. Uma arma de 3, 0 kg dispara um projetil de 0, 02 kg, a umavelocidade de 600 m/s. Qual e a velocidade de recuo dessaarma?

3. (FEI- SP) Um peixe de 4 kg esta nadando a velocidadede 1 m/s para a direita, quando engole um outro, de massa0, 2 kg que estava nadando para a esquerda, na sua direcao, a6 m/s. Determine a velocidade do peixe maior depois de terengolido o pobre peixinho.

4. Um canhao de 800 kg, montado sobre rodas e nao freado,dispara uma bala de 6 kg com velocidade inicial de 500 m/s.Determine a velocidade de recuo do canhao.

Page 32: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Mecanica – Aula 13 23

Exercıcios Complementares

5. Um remador e seu barco tem juntos massa de 150 kg. Obarco esta parado e o remador salta dele com velocidade de8 m/s. O barco afasta-se com velocidade contraria de 7 m/s.Calcule as massas do remador e do barco.

6. (PUC-PR) Dois patinadores, um de massa 100 kg e outrode massa 80 kg, estao de maos dadas em repouso sobre umapista de gelo, onde o atrito e desprezıvel. Eles empurram-semutuamente e deslizam na mesma direcao, porem em sentidosopostos. O patinador de 100 kg adquire uma velocidade de4 m/s. A velocidade relativa de um dos patinadores em relacaoao outro e, em modulo, igual a:a) 5 m/sb) 4 m/sc) 1 m/sd) 9 m/se) 20 m/s

7. Um astronauta de massa 70 kg encontra-se em repousonuma regiao do espaco em que as acoes gravitacionais saodesprezıveis. Ele esta fora de sua nave, a 120 m da mesma,mas consegue mover-se com auxilio de uma pistola que disparaprojeteis de massa 100 g, os quais sao expelidos com velocidade1, 4×103 m/s. Dando um unico tiro, qual o tempo que o astro-nauta leva para atingir sua nave, supostamente em repouso?Responda tambem qual o princıpio utilizado para responder apergunta.

Mecanica Aula 13

Colisoes

Analise de uma Colisao

Uma das aplicacoes mais importantes do conceito de quanti-dade de movimento e encontrada no estudo de interacoes decurta duracao, entre as partes de um sistema (ou conjunto) decorpos, como ocorre em uma explosao ou em uma colisao.

FAB

FBA

BA

Considerando as duas esferas da figura A e B, deslocando-se aolongo de uma mesma reta, inicialmente em sentidos contrarios.Apos a colisao, as esferas passam a se mover em sentidos opos-tos.

m1 m2

1Iv

2Fv

12F

1Fv

21F

Como as partıculas que constituem o sistema trocam forcasentre si, essas forcas sao consideradas internas e a resultante esempre nula. Isso ocorre em colisoes ou em explosoes.

Pense um Pouco!

• Choques mecanicos podem ser considerados sistemas iso-lados. Assim, pode-se afirmar que, em qualquer tipo dechoque, ha conservacao da quantidade de movimento e daenergia cinetica?

• A seguinte declaracao foi extraıda de uma prova realizadapor um estudante de fısica de uma universidade: “a colisaoentre dois atomos de helio e perfeitamente elastica, deforma que a quantidade de movimento se conserva”. Aafirmacao e logicamente correta? Explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFAL) Um pedaco de massa de modelar de 200 g e atiradohorizontalmente com velocidade de 12 m/s contra um carri-nho de massa 600 g, inicialmente parado sobre uma superfıciehorizontal. Se a massa se chocar contra o carrinho e nele per-manecer grudada, a velocidade com que o conjunto passa amover-se e, em metros por segundo:a) 3b) 6c) 8d) 9e) 12

2. (UDESC) Considere a colisao frontal perfeitamente elasticaentre um neutron, de massa relativa igual a 1, deslocando-secom velocidade constante v0, e um deuteron, de massa relativaigual a 2, em repouso.

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a) Calcule a velocidade de ambas as partıculas apos a colisao.

b) Se a colisao fosse inelastica, com as partıculas se movendojuntas apos colidirem, os resultados para as velocidade calcu-ladas permaneceriam os mesmos? Justifique a resposta.

3. Dois corpos A e B de massa iguais a 300 g e 150 gdeslocam-se em sentidos contrarios com velocidades respecti-vamente iguais a 1, 5 m/s e 1, 2 m/s. Determine a velocidadedo corpo B apos o choque, sabendo que a velocidade do corpoA e de 0, 1 m/s e seu sentido e o mesmo da velocidade inicial.

4. Observa-se uma colisao elastica e unidimensional, no refe-rencial do laboratorio, de uma partıcula de massa m e velo-cidade de modulo 5 m/s com outra partıcula de massa m/4,inicialmente em repouso. Quais os valores dos modulos dasvelocidades das partıculas apos a colisao?

Exercıcios Complementares

5. (Unicamp-SP) Ao bater o tiro de meta, um goleiro chutaa bola parada de forma que ela alcance a maior distanciapossıvel. No chute, o pe do goleiro fica em contato com abola durante 0, 10 s, e a bola, de 0, 5 kg, atinge o campo auma distancia de 40 m. Despreze a resistencia do ar.a) Qual o angulo em que o goleiro deve chutar a bola?b) Qual a intensidade do vetor velocidade inicial da bola?c) Qual o impulso da forca do pe do goleiro na bola?

6. (UEL-PR) Um pequeno caminhao, de massa 4 toneladas,colide frontalmente com um trator de 8 toneladas que estavaa 36 km/h, e logo apos a colisao, os dois veıculos permanecemparados. Imediatamente antes da colisao, a velocidade do ca-minhao era, em m/s, de:a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30

Mecanica Aula 14

Lei da Acao e Reacao

Provavelmente voce ja assistiu a um jogo de sinuca. Nele,ocorrem colisoes entre as bolas. Durante essas colisoes, ha umareacao mutua, uma interacao, que e responsavel pela mudancana velocidade das bolas. Este mudanca produz alteracao naquantidade de movimento ( ~Q = m · ~v) das bolas.

Se durante o tempo de interacao ha variacao da quantidade demovimento, significa que existe uma forca atuando em cadabola, como explica a 2a Lei de Newton. Mas quem exerce essaforca?

Enquanto ocorre a interacao, cada bola exerce uma forca sobrea outra. Em um parque de diversoes, ocorre a mesma coisacom os carrinhos “bate-bate”: cada carro exerce e recebe uma

Figura 1.1: Nos choques, ha uma interacao, que provoca mu-danca na velocidade das bolas.

Figura 1.2: Cada carro exerce e recebe uma forca durante acolisao.

forca durante a colisao. Sera que podemos afirmar que issotambem ocorre quando um caminhao colide com um carro?

Neste caso, durante a interacao entre o caminhao e o carro,uma forca de mesma intensidade atua sobre cada um deles, oque nao implica que o dano causado seja o mesmo para ambos.Podemos afirmar que o efeito causado sera diferente, uma vezque a massa e a rigidez da lataria do carro e do caminhao saodiferentes.

Isaac Newton estudou a interacao entre objetos. Ele formulouo princıpio da acao e reacao, ou lei da acao e reacao, queposteriormente ficou conhecida como terceira Lei de New-ton. De acordo com esta lei, as forcas resultantes da interacaoentre dois objetos sempre aparecem aos pares, tem mesmomodulo, mesma direcao, sentidos opostos e sao denominadasacao e reacao: a forca de acao e aplicada num objeto e a dereacao, no outro. Atualmente a 3a Lei de Newton costuma serenunciada da seguinte forma:

Para toda acao existe uma reacao, de igualintensidade, na mesma direcao e sentidocontrario.

Os movimentos dos corpos tambem estao embasados na 3a

Lei de Newton. Uma pessoa, ao andar, empurra o chao paratras (acao) e a reacao que o chao aplica na pessoa a empurrapara frente. Um aviao, com suas helices ou turbinas, empurrao ar para tras e este aplica uma forca no aviao, deslocando-o para frente. Se um foguete lanca uma massa de gas para

Page 34: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Mecanica – Aula 14 25

Figura 1.3: O carro aplica no caminhao uma forca resultantede mesma intensidade daquela que o caminhao aplica no carro.

fora, exerce uma forca sobre o gas (acao) e, simultaneamente,recebe do gas uma forca igual e oposta (reacao). Desta forma,podemos chamar a forca do gas sobre o foguete de “acao”e ado foguete sobre o gas de “reacao”.

Figura 1.4: O aviao empurra o ar para tras e este aplica umaforca no aviao que o empurra para frente.

Pense um Pouco!

• Se acao e reacao possuem a mesma intensidade e sentidoscontrarios, por que uma nao anula o efeito da outra?

• E possıvel se caminhar sobre um chao sem atrito? Expli-que.

Exercıcios de Aplicacao

1. (FAAP - SP) A 3a Lei de Newton e o princıpio da acaoe reacao. Esse princıpio descreve as forcas que participam nainteracao entre dois corpos. Podemos afirmar que:a) duas forcas iguais em modulo e de sentidos opostos saoforcas de acao e reacao;b) enquanto a acao esta aplicada num dos corpos, a reacaoesta aplicada no outro;c) a acao e maior que a reacao;d) acao e reacao estao aplicadas no mesmo corpo;e) a reacao, em alguns casos, pode ser maior que a acao.

2. (VUNESP - SP) As estatısticas indicam que o uso do cintode seguranca deve ser obrigatorio para prevenir lesoes mais

Figura 1.5: Movimento de um foguete.

graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisi-camente, a funcao do cinto esta relacionada com a:a) 1a Lei de Newton;b) Lei de Snell;c) Lei de ampere;d) Lei de Ohm;e) 1a Lei de Kepler.

3. Um lutador de boxe atinge o adversario com um murro norosto.a) Na interacao luva-rosto, quem exerce maior forca, a luvasobre o rosto ou o rosto sobre a luva? Por que?b) Entao por que a mao do pugilista que aplica o golpe naosofre os mesmos “estragos”que o rosto do adversario?

Exercıcios Complementares

4. Um automovel bate contra um caminhao, exercendo neleuma forca de 20.000 N .a) Qual o modulo da reacao desta forca, sabendo-se que amassa do carro e dez vezes menor que a do caminhao?b) Quem exerce a reacao?c) Em que corpo esta aplicada a reacao?

5. Dois blocos de massas mA = 3 kg e mB = 2 kg, apoiadossobre uma superfıcie horizontal perfeitamente lisa, sao empur-rados por uma forca F de 20 N , conforme indica a figuraabaixo. Determine a aceleracao do conjunto.

A B

F

6. De que modo voce explica o movimento de um barco aremo, utilizando a terceira lei de Newton?

7. Dois corpos A e B, de massas mA = 5 kg e mB = 10 kgestao interligados por um fio ideal. A superfıcie de apoio ehorizontal e perfeitamente lisa. Aplica-se em B uma forcahorizontal de 30 N . Determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a forca de tracao no fio.

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8. (ITA - SP) No campeonato mundial de arco e flecha doisconcorrentes discutem sobre a fısica que esta contida no arcodo arqueiro. Surge entao a seguinte duvida: quando o arcoesta esticado, no momento do lancamento da flecha, a forcaexercida sobre a corda pela mao do arqueiro e igual a:I) forca exercida pela sua outra mao sobre a madeira do arco.II) tensao na corda.III) forca exercida sobre a flecha pela corda no momento emque o arqueiro larga a corda.Neste caso:

a) todas as afirmativas sao verdadeiras.b) todas as afirmativas sao falsas.c) somente I e III sao verdadeiras.d) somente I e II sao verdadeiras.e) somente II e verdadeira.

Mecanica Aula 15

Forca de Atrito

Ao lancarmos um corpo sobre uma superfıcie horizontal, veri-ficamos que o corpo acaba parando.

1 2v

Isto significa que, enquanto o corpo se movimenta, ele adquireuma aceleracao cujo sentido e oposto ao do seu movimento.Ha portanto uma forca que se opoe ao deslocamento do bloco:a forca de atrito ~Fat.

Sempre que a superfıcie de um corpo escorrega sobre a de outrocorpo, um exerce sobre o outro (princıpio da acao e reacao)uma forca de atrito tangente as superfıcies de contato.

Deve-se notar que a forca de atrito atuando sobre cada corpotem sentido oposto ao movimento do corpo em relacao ao outrocorpo.

O atrito e provocado pela aspereza existente nas superfıcies emcontato. As superfıcies tendem a se interpenetrarem quandosao esfregadas uma na outra e isto oferece resistencia ao mo-vimento relativo.

.. .

.... . ...

.

......

. . .

.. ..

.. ..

.....

De Onde Vem o Atrito?

Uma das hipoteses mais aceitas para a existencia do atritoe que ele provem da coesao das moleculas situadas nas su-perfıcies que se acham em contato. Essa adesao superficial

ocorre porque nos pontos de contato as moleculas de cada su-perfıcie estao tao proximas que passam a exercer forcas inter-moleculares entre si.

A forca de atrito que se opoe a um corpo que rola e menor queno movimento de deslizamento. O atrito pode ser reduzidocom o polimento das superfıcies em contato e com o uso delubrificantes

O atrito esta presente em quase todos os movimentos e ele podeser util ou nocivo. Se nao existisse o atrito entre o sapato e osolo, uma pessoa nao poderia andar; o pe da pessoa empurra aTerra para tras e a Terra empurra o pe da pessoa para frente(acao e reacao), quando ela anda.

Sem o atrito os veıculos nao poderiam iniciar o seu movimento,pois, as rodas comecariam a girar sem sair do lugar. O objetivodas saliencias em pneus e aumentar o atrito.

Figura 1.1: Quando uma estrada de terra torna-se escorrega-dia, colocam-se correntes nas rodas dos automoveis para au-mentar o atrito.

Tipos de Atrito

Existem dois tipos de atrito: o estatico e o cinetico (dinamico).Vamos estudar estes dois casos separadamente, pois existemdiferencas importantes a serem ressaltadas.

Forcas de Atrito Estatico (FAE)

Apesar de parecer estranho, pode existir atrito entre su-perfıcies em repouso. Um exemplo comum e o de um au-tomovel estacionado em uma ladeira. Este so consegue per-manecer parado gracas ao atrito entre os freios e as rodas. Emsituacoes como esta, dizemos que existe a chamada forca deatrito estatico (FAE). A forca de atrito estatico e aquela queatua enquanto nao ha deslizamento, e o seu modulo maximo edado por:

FAE ≤ µe ·NExperimentalmente, podemos estabelecer as seguintes propri-edades gerais para o atrito estatico:

• a intensidade da forca de atrito estatico varia de zero ateo valor maximo FAE ;

Page 36: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Mecanica – Aula 15 27

• o coeficiente de atrito estatico (µe) depende do estado depolimento e da natureza das duas superfıcies em contato;

• a intensidade da forca de atrito estatico e independenteda area de contato entre as superfıcies solidas.

Forcas de Atrito Cinetico (FAC)

Quando um carro e freado inesperadamente, e comum as rodasdo automovel travarem e os pneus deslizarem no asfalto. Anti-gamente isso era ainda mais frequente, mas hoje, nos veıculosequipados com os chamados freios ABS, as rodas nao travammais.

O ABS (Antiblocking System) e um avancado sistema de freiosdesenvolvido para evitar o travamento das rodas nas freadasbruscas em velocidade. Sensores fixados a cada uma das rodasenviam sinais eletronicos para um modulo de comando compu-tadorizado que reduz, em fracoes de segundo, a pressao sobreas rodas prestes a se travarem. Com as rodas desbloqueadas,o carro permanece sob controle e tem menos possibilidade dederrapar ou deslizar, ate em pistas molhadas. Mas, qual adiferenca entre o carro escorregar ou nao na pista?

Analise a figura a seguir; ela mostra o deslizamento entre duassuperfıcies.

Corpo

Chao

Figura 1.2: Corpo deslizando sobre superfıcie aspera.

As irregularidades microscopicas apresentadas pelas su-perfıcies fazem com que a movimentacao do bloco sofra umaresistencia denominada forca de atrito cinetico. Obviamente,quanto maior a aspereza das superfıcies, maior a intensidadedessa forca. Para medir a rugosidade das partes em contatocriou-se o coeficiente de atrito cinetico (µc). Mesmo existindovalores tabelados para uma grande quantidade de materiais,e muito difıcil conhece-los com precisao, pois dependem dascondicoes das superfıcies em contato. Nao sao apenas os mate-riais das superfıcies em contato que interferem no valor da forcade atrito cinetico. A forca normal entre os corpos tambem e defundamental importancia. Quanto maior a forca normal maisintensa a forca de atrito cinetico.

O modulo da forca de atrito cinetico e dado pela expressao:

FAC = µc ·N

Na pratica o coeficiente de atrito estatico e sempre maior queo coeficiente de atrito cinetico.

Pense um Pouco!

1. Por que nos dias de chuva e mais difıcil frear um carro?

2. Por que o gelo e muito deslizante e quase nao apresentaatrito?

3. A maxima aceleracao de um carro depende de algumaforca de atrito? Explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFES) O bloco da figura esta em movimento em uma

superfıcie horizontal em virtude da aplicacao de uma forca ~Fparalela a superfıcie:

F = 60,0 Nm =2,0 kg

O coeficiente de atrito cinetico entre o bloco e a superfıcie eigual a 0, 2. A aceleracao do objeto e:(Dado g = 10 m/s2.)a) 20, 0 m/s2.b) 28, 0 m/s2.c) 30, 0 m/s2.d) 32, 0 m/s2.e) 36, 0 m/s2.

2. (UFMG) Um bloco e lancado no ponto A, sobre uma su-perfıcie horizontal com atrito, e desloca-se para C:

A C

B

O diagrama que melhor representa as forcas que atuam sobreo bloco quando esse bloco esta passando pelo ponto B e:

a)

e)b)

c)

d)

3. (UEL-PR) No sistema representado a seguir, o corpo A,de massa 3, 0 kg, esta em movimento uniforme. A massa docorpo B e de 10 kg. Adote g = 10 m/s2.

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B

A

O coeficiente de atrito dinamico entre o corpo B e o planosobre o qual se apoia vale:a) 0,15b) 0,30c) 0,50d) 0,60e) 0,70

Exercıcios Complementares

4. (Fuvest-SP) As duas forcas que agem sobre uma gota dechuva, a forca peso e a forca devida a resistencia do ar, temmesma direcao e sentidos opostos. A partir da altura de 125 macima do solo, estando a gota com uma velocidade de 8 m/s,essas duas forcas passam a ter mesmo modulo. A gota atingeo solo com a velocidade de:a) 8 m/sb) 35 m/sc) 42 m/sd) 50 m/se) 58 m/s

5. (Fuvest-SP) O sistema indicado na figura a seguir, ondeas polias sao ideais, permanece em repouso gracas a forca deatrito entre o corpo de 10 kg e a superfıcie de apoio.

4 kg

10 kg

6 kg

Podemos afirmar que o valor da forca de atrito e:a) 20 Nb) 10 Nc) 100 Nd) 60 Ne) 40 N

6. (UFMG) Na figura a seguir, esta representado um bloco de

2, 0 kg sendo pressionado contra a parede por uma forca ~F . Ocoeficiente de atrito estatico entre esses corpos vale 0, 5, e ocinetico vale 0, 3. Considere g = 10 m/s2.

F

Se F = 50 N , entao a reacao normal e a forca de atrito queatuam sobre o bloco valem, respectivamente:a) 20 N e 6, 0 N .b) 20 N e 10 N .c) 50 N e 20 N .d) 50 N e 25 N .e) 70 N e 35 N .

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Gravitacao – Aula 1 29

Gravitacao Aula 1

As Leis de Kepler

A Lei das Orbitas (1609)

A orbita de cada planeta e uma elipse, com o Solem um dos focos. Como consequencia da orbita serelıptica, a distancia do Sol ao planeta varia ao longode sua orbita.

Lembre-se, a elipse e uma linha plana, com focos no seu mesmoplano. Isso implica em que o movimento dos planetas ocorresobre um plano bem definido, e cada planeta tem o seu planoorbital diferente, e todos esses planos devem ter pelo menosum ponto em comum, o Sol.

Sol

Planeta

f f ’

Figura 1.1: 1a Lei de Kepler.

A Lei da Areas (1609)

A reta unindo o planeta ao Sol varre areas iguaisem tempos iguais. O significado fısico desta lei e quea velocidade orbital nao e uniforme, mas varia deforma regular: quanto mais distante o planeta estado Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outramaneira, esta lei estabelece que a velocidade areolar(referente a area) e constante.

Sol

fA

A’

v

v’ Planeta

Figura 1.2: 2a Lei de Kepler.

A Lei dos Perıodos (1618)

O quadrado do perıodo orbital dos planetas e dire-tamente proporcional ao cubo de sua distancia mediaao Sol.

Esta lei estabelece que planetas com orbitas maiores se movemmais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica quea forca entre o Sol e o planeta decresce com a distancia ao Sol.Sendo P o perıodo orbital do planeta, a o semi-eixo maior daorbita, que e igual a distancia media do planeta ao Sol, e Kuma constante, Podemos expressar a 3a lei como:

P 2

a3= K

Se medimos P em anos (o perıodo orbital da Terra), e a emunidades astronomicas (1 u.a. = distancia media da Terra aoSol), entao K = 1, e podemos escrever a 3a lei como:

P 2

a3= 1

e podemos concluir que, para os planetas internos (a < 1 u.a.)o perıodo orbital (ano) sera menor do que o ano terrestre. Epara os planetas exteriores (a > 1 u.a.), o perıodo e maior doque o terrestre.

Pense um Pouco!

• Se um novo planeta for descoberto a meia distancia entreo Sol e a Terra, qual o seu perıodo orbital.

• Um satelite em orbita na Terra, passando pelo ponto maisproximo da Terra, esta mais rapido ou mais lento se com-parado ao ponto em que esta mais afastado da Terra?

Exercıcios de Aplicacao

1. A tabela abaixo mostra como fica a 3a Lei de Kepler paraos planetas visıveis a olho nu. Complete os dados que estaofaltando.

Planeta a(u.a.) P (ano) a3 P 2

Mercurio 0,387 0,241 0,058 0,058Venus 0,723 0,615 0,378Terra 1,000 1,000 1,000 1,000Marte 1,524 1,881 3,537Jupiter 5,203 11,862 140,700Saturno 9,534 29,456

2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa quecondiz com a 1a lei de Kepler da Gravitacao Universal (lei dasorbitas):a) As orbitas planetarias sao curvas quaisquer, desde que fe-chadas;b) As orbitas planetarias sao espiraladas;c) As orbitas planetarias nao podem ser circulares;d) As orbitas planetarias sao elıpticas, com o Sol ocupando ocentro da elipse;e) As orbitas planetarias sao elıpticas, com o Sol ocupandoum dos focos da elipse.

3. A 2a lei de Kepler (Lei das Areas) permite concluir que umplaneta possui:

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a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol;b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol;c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol;d) velocidade constante em toda sua trajetoria;e) n.r.a.

4. Assinale a alternativa que esta em desacordo com as Leisde Kepler da Gravitacao Universal:a) O quociente do cubo do raio medio da orbita pelo quadradodo perıodo de revolucao e constante para qualquer planeta deum dado sistema solar;b) quadruplicando-se o raio medio da orbita de um satelite emtorno da Terra, seu perıodo de revolucao fica 8 vezes maior;c) Quanto mais proximo de uma estrela (menor raio medioda orbita) gravita um planeta, menor e o seu perıodo de re-volucao;d) Satelites diferentes gravitando em torno da Terra, na mesmaorbita tem perıodos de revolucao iguais;e) Devido a sua maior distancia do Sol (maior raio medio daorbita) o ano de Plutao tem duracao menor que o da Terra.

Exercıcios Complementares

5. Com relacao as leis de Kepler, podemos afirmar que:a) Nao se aplicam ao estudo da gravitacao da Lua em tornoda Terra;b) so se aplicam ao nosso Sistema Solar;c) aplicam-se a gravitacao de quaisquer corpos em torno deuma grande massa central;d) contrariam a mecanica de Newton;e) nao preveem a possibilidade da existencia de orbitas circu-lares.

6. Considere dois satelites de massas ma e mb , sendo ma =2mb, descrevendo a mesma orbita em torno da Terra. Comrelacao a velocidade dos dois teremos:a) va > vb

b) va < vb

c) va = vb

d) va = vb/2e) n.r.a

7. Um planeta descreve uma orbita elıptica em torno do Sol.O ponto A e o ponto da orbita mais proximo do Sol; o pontoB e o ponto mais distante. No ponto A:a) a velocidade de rotacao do planeta e maxima;b) a velocidade de translacao do planeta se anula;c) a velocidade de translacao do planeta e maxima;d) a forca gravitacional sobre o planeta se anula;e) n.r.a

Gravitacao Aula 2

Gravitacao Universal

A lei da gravitacao universal, proposta por Newton, foium dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a interacao en-tre massas, pois e capaz de explicar desde o mais simples

fenomeno, como a queda de um corpo proximo a superfıcieda Terra, ate, o mais complexo, como as forcas trocadas entrecorpos celestes, traduzindo com fidelidade suas orbitas e os di-ferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, ao observara queda de uma maca, concebeu a ideia que ela seria causadapela atracao exercida pela terra. A natureza desta forca atra-tiva e a mesma que deve existir entre a Terra e a Lua ou entreo Sol e os planetas; portanto, a atracao entre as massas e, comcerteza, um fenomeno universal.

Uma Forca Elementar

Sejam duas partıculas de massas m1 e m2, separadas poruma distancia r. Segundo Newton, a intensidade da forca Fde atracao entre as massas e dada por

F = Gm1m2

r2

onde G e uma constante, a constante da gravitacao universal,sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional, por

G = 6, 67× 10−11 N ·m2/kg2

F

m

m2

1

12

21

F

Figura 1.1: Duas partıculas se massas m1 e m2 sempre seatraem mutuamente, dando origem a um par de forcas F12 eF21.

As forcas F12 e F21 e a da reta que une as partıculas, e osentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente, commesma intensidade de forca, ou seja

F12 = F21

Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitacao universal do se-guinte modo:

Dois corpos se atraem gravitacionalmente com forcacuja intensidade e diretamente proporcional ao pro-duto de suas massas e inversamente proporcional aoquadrado da distancia entre seus centros de massa.

Apos a formulacao da lei da Gravitacao, com o desenvolvi-mento do calculo integral, Newton tambem mostrou que aforca gravitacional entre esferas homogeneas tambem seguea mesma forma estabelecida para as partıculas. E tambem valea mesma forca para uma partıcula e uma esfera homogenea.Esse resultado foi tao surpreendente para o proprio Newton,que inicialmente nem ele acreditou no que havia provado ma-tematicamente!

Aplicando-se a lei de gravitacao para um corpo de massa mna superfıcie da Terra, temos entao

F = GMT m

R2T

=GMT

R2T

m = mg = P

Page 40: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Gravitacao – Aula 3 31

onde RT e MT sao o raio e a massa da Terra, respectivamente,e a forca obtida chamamos peso.

Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg e RT =6, 37×106 m. A constante g que aparece acima e justamente aaceleracao da gravidade na superfıcie da Terra. Experimentecalcular g com os dados fornecidos!

OBSERVACOES

1. A forca gravitacional e sempre de atracao;

2. A forca gravitacional nao depende do meio onde os corposse encontram imersos;

3. A constante da gravitacao universal G teve seu valor de-terminado experimentalmente por Henry Cavendish, em1798, por meio de um instrumento denominado balancade torcao e esferas de chumbo.

Pense um Pouco!

• Qual a direcao e o sentido da forca de atracao gravitacio-nal exercida pela Terra sobre os corpos que estao proximosa superfıcie?

• A aceleracao da gravidade na Lua e 6 vezes menor do quea aceleracao da gravidade proxima a superfıcie da Terra.O que acontece com o peso e a massa de um astronautana Lua?

• O valor da aceleracao da gravidade e relevante para osesportes?

Exercıcios de Aplicacao

1. Duas partıculas de massas respectivamente iguais a M e mestao no vacuo, separadas por uma distancia d. A respeito dasforcas de interacao gravitacional entre as partıculas, podemosafirmar que:a) tem intensidades inversamente proporcional a d;b) tem intensidades diretamente proporcional ao produtoMm;c) nao constituem entre si um par acao e reacao;d) podem ser atrativas ou repulsivas;e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar.

2. A razao entre os diametros dos planetas Marte e Terra e1/2 e entre as respectivas massas e 1/10. Sendo de 160 N opeso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso emMarte sera de:a) 160 Nb) 80 Nc) 60 Nd) 32 Ne) 64 N

3. Uma menina pesa 400 N na superfıcie da Terra, onde seadota g = 10m/s2. Se a menina fosse transportada ate umaaltura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa e seu pesoseriam, respectivamente:a) 40 kg e 100 Nb) 40 kg e 200 N

c) 40 kg e 400 Nd) 20 kg e 200 Ne) 10 kg e 100 N

4. Um corpo e colocado na superfıcie terrestre e atraıdo poresta com uma forca F . O mesmo corpo colocado na superfıciede um planeta de mesma massa da Terra e raio duas vezesmenor sera atraıdo pelo planeta com uma forca cujo moduloe:a) 4Fb) 2Fc) Fd) F/2e) F/4

Exercıcios Complementares

5. Se a massa da Terra nao se alterasse, mas o seu raio fossereduzido a metade, o nosso peso seria:a) reduzido a quarta parteb) reduzido a metadec) o mesmod) dobradoe) quadruplicado

6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em orbitacircular, com velocidade escalar constante v. Sendo G a cons-tante gravitacional e M a massa da Terra, o raio da trajetoriadescrita pelo corpo sera:a) G/Mv2

b) G/mv2

c) Gm/v2

d) GM/v2

e) GMm/v2

7. Sabe-se que no interior de uma nave em orbita circular emtorno da Terra um astronauta pode flutuar, como se nao ti-vesse peso. Esse fato ocorre porque:a) a nave esta fora do campo gravitacional da Terra;b) ha ausencia de atmosfera;c) a atracao exercida pela Lua e maior do que a atracao exer-cida pela Terra;d) ambos, astronauta e nave, estao em queda livre no seu mo-vimento circular;e) ha uma reducao na massa dos corpos.

Gravitacao Aula 3

Peso

O peso de um corpo e a forca de atracao exercida pela terrasobre ele. Um paraquedista, por exemplo, cai por que e atraıdopela Terra.

Consideremos um corpo de massa m caindo em queda livreperto da superfıcie da Terra.

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Figura 1.1: Paraquedista.

Peso e Massa

Se o corpo cai em queda livre ele possui aceleracao ~a igual ada gravidade ~g. Desta forma, podemos usar o princıpio fun-damental da Dinamica (2a Lei de Newton) para obter a forcaque age sobre esse corpo. Esta forca e chamada de forca peso~P e e dada por:

~P = m~g

Essa expressao mostra que o peso do corpo e diretamente pro-porcional a sua massa: quanto maior a massa, maior o peso.Entretanto massa e peso sao conceitos inteiramente diferentes.Massa e uma propriedade intrınseca do corpo, isto e, dependeapenas do proprio corpo, enquanto peso e a forca de atracaogravitacional que atua sobre ele, variando de acordo com o va-lor da aceleracao da gravidade. Por isso o peso do corpo podevariar. A massa, no entanto, e sempre a mesma em qualquerlugar do universo.

Peso e Gravitacao

O peso de um corpo e uma grandeza vetorial que tem direcaovertical e sentido para o centro da Terra.

A forca peso e uma forca que atua a distancia. Por isso, di-zemos que em torno da Terra ha uma regiao chamada campogravitacional, na qual todos os corpos sofrem sua influencia.

Estando sob a acao deste campo, os corpos sao atraıdos poressa forca peso e sofrem variacoes de velocidade, uma vez queadquirem aceleracao.

Como a aceleracao da gravidade num ponto e inversamenteproporcional ao quadrado da distancia desse ponto ao centroda Terra, e como os pontos de sua superfıcie nao estao a mesmadistancia ao centro da terra, concluımos que no topo de umamontanha um corpo pesara menos do que ao nıvel do mar. Eimportante lembrar que existem variacoes que vao desde 393 mabaixo do nıvel do mar (Mar morto), a 8.848 m acima do nıveldo mar (Monte Everest).

Como a Terra e achatada nos polos, um homem pesara maisno Polo Norte que no Equador.

Em torno de qualquer planeta ou satelite existe um campogravitacional. Assim, podemos falar em peso de um corpo emJupiter, Saturno ou Marte, por exemplo.

Figura 1.2: Jupiter e alguns de seus satelites naturais.

Unidades SI

A unidade de peso no Sistema Internacional (SI) e o new-ton ou N . Outra unidade, muito utilizada na industria, e oquilograma-forca ou kgf .

1 kgf e o peso de um corpo de 1 kg de massanum local em que a aceleracao da gravidade eigual a 9, 8 m/s2.

Podemos relacionar newton e quilograma-forca:

P = mg → 1 kgf = 1kg · 9, 8 m/s2

1 kgf = 9, 8 kg ·m/s2

1 kgf = 9, 8 N

Pense um Pouco!

• Por que na Lua os astronautas conseguem dar saltos maisaltos do que na Terra?

• Quando alguem diz que “pesa”75 kg o que isso quer dizer?

• Quando uma pessoa salta em queda-livre o que acontececom o seu peso?

Exercıcios de Aplicacao

1. Na superfıcie da Terra a aceleracao da gravidade vale9, 8 m/s2 e, na superfıcie da Lua, 1, 6 m/s2. Para um corpode massa igual a 4 kg, calcule:a) o peso na superfıcie da Terra.b) o peso na superfıcie da Lua.

2. Peso e massa sao a mesma coisa? quando voce sobe numabalanca de uma farmacia e permanece em repouso sobre ela,por exemplo, voce esta medindo sua massa ou seu peso?

Exercıcios Complementares

3. (MACK - SP) Uma das observacoes cientıficas mais in-teressantes, noticiada pelas emissoras de TV, foi a do astro-nauta russo que, a bordo da estacao espacial MIR, borrifouleite lıquido contido numa embalagem tradicional e, este, soba falta de gravidade, adentrou a boca do cientista como uma

Page 42: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Gravitacao – Aula 4 33

“bola flutuante”. Considerando totalmente desprezıvel a gra-vidade no local dessa experiencia, duas “bolas”de leite de mas-sas respectivamente iguais a m e 2m terao seus pesos:a) iguais a zerob) na proporcao PA/PB = 1/3c) na proporcao PA/PB = 1/2d) na proporcao PA/PB = 2e) na proporcao PA/PB = 3

4. (UFSM - RS) Uma forca F de modulo igual a 20 N eaplicada, verticalmente, sobre um corpo de 10 kg em repousosobre uma superfıcie horizontal. O modulo (em N) da forcanormal sobre o corpo, considerando o modulo da aceleracaogravitacional como 10 m/s2 e:a) 120b) 100c) 90d) 80e) 0

5. Durante uma brincadeira, Barbara arremessa uma bola devolei verticalmente para cima, como mostrado nesta figura:

Assinale a alternativa cujo diagrama melhor representa a(s)forca(s) que atua(m) na bola no ponto mais alto de sua tra-jetoria.

a) b)

Nenhuma força atua sobrea bola neste ponto

d)c)

6. (Vunesp-SP) Se o quilograma padrao for transportado deParis, onde a aceleracao da gravidade vale g (valor normal),

para uma altitude onde a aceleracao da gravidade vale G,pergunta-se:a) o peso do quilograma padrao vai se modificar?b) havendo modificacao, qual o seu novo peso?c) qual sera a massa do corpo no novo local?

7. A aceleracao da gravidade na superfıcie de Jupiter e de30 m/s2. Qual a massa de um corpo que na superfıcie deJupiter pesa 120 N?.

Gravitacao Aula 4

Centro de Gravidade

Os corpos materiais podem ser considerados como um sistemade partıculas, cada uma das quais atraıda pela Terra com umaforca igual ao peso da partıcula.

P3

P2

P4

P1

G

P

A resultante de todas essas forcas parciais e o peso total docorpo. Seja G o ponto no qual podemos considerar aplicadotodo o peso do corpo. O ponto G e denominado centro degravidade do corpo. Resumindo, temos:

centro de gravidade de um corpo e o ponto deaplicacao da forca peso

A terra atrai o corpo como se toda sua massa estivesse locali-zada no centro de gravidade.

Para corpos homogeneos, isto e, de massa uniformemente dis-tribuıda, que admitem um eixo de simetria, seus centros degravidade estao sobre esse eixo.

G

P P

G

P

G

Se o corpo tiver forma irregular e nao for homogeneo, utiliza-sea regra pratica explicada abaixo.

Em um suporte, pendura-se o objeto por um ponto qualquere, quando ele estiver em repouso, traca-se um vertical sobreo ponto em que ele esta suspenso. Como o objeto esta emequilıbrio, seu peso e a forca exercida sobre ele pelo suporteque o sustenta tem mesmo modulo, mesma direcao e sentidosopostos. Logo, a direcao da reta que contem o centro de gra-vidade e essa vertical. Agora pendura-se o objeto por outroponto e traca-se uma nova vertical; a interseccao dessa verticalcom a anterior determina o centro de gravidade (CG).

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34 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

CG

P

T

CG

P

T

Antes de prosseguirmos, vale apena relembrar a definicao deponto material e corpo extenso.

Imagine um carro de 3, 00 m de comprimento viajando de Join-ville a Blumenau. O comprimento do carro e muito pequenose comparado com a distancia Jvlle - Bnu, ≃ 90 km, e suasdimensoes, entao, nao precisarao ser consideradas ao analisar-mos o seu movimento. Em situacoes como essa, nas quais oobjeto apresenta dimensoes consideradas desprezıveis, diantedo fenomeno observado, podemos considera-lo como um pontomaterial.

No caso do movimento de um onibus, de 20 m de comprimento,deslocando-se entre duas paradas (pontos) distantes entre si500 m, por exemplo, e necessario que levemos em conta as suasdimensoes ao analisarmos alguns aspectos do seu movimento.E ele estara se comportando como um corpo extenso.

Equilıbrio de um Ponto Material

Um ponto material pode estar em equilıbrio estatico oudinamico. No equilıbrio estatico, o ponto material esta emrepouso (~v = 0). No equilıbrio dinamico o ponto material estaem movimento retilıneo uniforme (~v = constante 6= 0).

Figura 1.1: Situacao de equilıbrio.

Analisando os dois tipos de equilıbrio, notas uma semelhanca:em ambos a aceleracao e nula (~a = 0). Utilizando a SegundaLei de Newton, temos

~FR = m · ~a~FR = m · 0~FR = 0

Assim, concluımos que

Para que um ponto material esteja emequilıbrio e necessario e suficiente que a re-sultante de todas as forcas que nele agem sejanula.

Momento de uma Forca

Considere uma pessoas tentando girar uma porca com umachave.

Utilizando forcas de mesmo valor, sera mais facil girar a porcaem torno de seu centro O se a forca aplicada no ponto A, aoinves de ser aplicada no ponto B. Quanto maior for a distanciado ponto de aplicacao da forca ate o centro O da porca, maiorvai ser a facilidade de girarmos a porca usando a chave.

O mesmo ocorre quando tentamos fechar uma porta. Se exer-cemos a forca em A a facilidade e maior do que se exercermosa forca em B.

Consideramos que o eixo de rotacao e o que contem as do-bradicas.

Analisando os casos anteriores, notamos que ha uma relacaoentre a forca aplicada e a distancia do ponto de aplicacao dessaforca ate o eixo de rotacao.

A grandeza fısica que relaciona essas duas grandezas e cha-mada momento de uma forca ou torque.

O momento de uma forca e a capacidade dessaforca em fazer girar um objeto.

Para definirmos a grandeza momento, consideremos uma forca~F e um ponto O, chamado polo.

d

F

O

O momento da forca ~F em relacao ao ponto O e dado por:

~MF,O = ~Fd

Page 44: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Gravitacao – Aula 4 35

Unidade SI

A unidade de momento nao tem nome especıfico. Ela e dadapelo produto da unidade da forca, em newtons, pela unidadede distancia, em metro. Portanto a unidade de momento enewton · metro, ou N ·m.

Observacao

Sabemos que o produto N · m e chamado de joule J . En-tretanto, o joule nao e uma unidade utilizada para medir omomento de uma forca, porque momento e uma grandeza denatureza diferente de trabalho e energia.

Direcao e Sentido

O momento ou torque de uma forca e uma grandeza vetorial.A partir do sentido de rotacao (horario ou anti-horario) queuma ou mais forcas tendem a produzir, podemos determinara direcao e o sentido do torque. Por exemplo, um saca-rolhas,ao girar, produz efeitos contrarios: no sentido horario, entrana rolha (avanca verticalmente para baixo); no sentido anti-horario, sai dela (retorna verticalmente para cima). O sentidodo deslocamento do saca-rolhas coincide com o sentido do vetormomento ( ~MF,O), e sua direcao esta sempre paralela ao eixode rotacao.

Outra maneira pratica de determinar a direcao e o sentido dovetor torque e utilizar a regra da mao direita. Os quatrodedos dessa mao devem acompanhar o sentido da rotacao doobjeto. O polegar indicara a direcao e o sentido do vetor mo-mento.

O momento pode ser positivo ou negativo. Adotamos a se-guinte conversao:rotacao no sentido anti-horario → momento positivorotacao no sentido horario → momento negativo

Equilıbrio de um Corpo Extenso

As condicoes necessarias e suficientes para que um corpo semantenha em equilıbrio sao:

1. A resultante de todas as forcas que neleagem seja nula.

2. A soma algebrica dos momentos de todasas forcas que nele atuam, em relacao aomesmo ponto, seja nula.

Pense um Pouco!

Como voce explicaria a situacao abaixo?

τ

eixode

rotaçao

Figura 1.2: Regra da mao direita: o vetor indica o sentido domomento. A direcao e sempre paralela ao eixo de rotacao doobjeto.

Exercıcios de Aplicacao

1. Uma luminaria cujo peso e 100 N esta suspensa por duascordas, AC e BC, conforme indica a figura. Determine a forcade tracao em cada corda.

o

3060oA B

C

2. (UFCO) Um bloco A de 10 kg de massa encontra-se emrepouso sobre um plano horizontal liso, conforme mostra afigura. Considerando as polias e os fios ideais e tomando g =10 m/s2:a) mostre em um diagrama todas as forcas que agem no blocoA.

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36 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

b) sabendo que a massa do bloco C que equilibra o sistema e2 kg, calcule, neste caso, a massa do bloco B.

60oB

C

A

Exercıcios Complementares

3. (Vest. RJ) Um menino, de massa igual a 40 kg, esta sobreuma tabua de 2, 00 m de comprimento, a 0, 500 m do apoio A,conforme indica a figura.Desprezando os pesos da tabua e da vara de pescar e conside-rando g = 10 m/s2, determine a intensidade das reacoes nosapoios A e B.

4. (UFMT) A barra xy e homogenea, de 100 kg de massa, eesta apoiada em suas extremidades, suportando as massas de50 kg e 150 kg, como na figura. calcule as reacoes dos apoios.(considere a barra horizontal e g = 10 m/s2).

0,5 m 0,5 m

3,0 m

50 kg 150 kg

5. Calcule o momento de cada uma das forcas indicadas nafigura, em relacao ao ponto O. Dados: F1 = 20 N , F2 = 30 Ne F3 = 40 N

6. A barra AB da figura tem peso desprezıvel. Sabendo queF1 = F2 = F3 = F4 = 6 N , calcule o momento resultantedessas forcas em relacao aos pontos:a) Ab) Bc) C

Page 46: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Otica – Aula 1 37

Otica Aula 1

Otica

A Luz

O estudo de luz e cor deve ser iniciado pela Fısica elementar,uma vez que a luz e uma onda eletromagnetica.

Desta forma, pode-se entao exemplificar as ondas ele-tromagneticas de maior importancia nas pesquisas e nasaplicacoes praticas, em funcao do comprimento de onda (pro-priedade que fornece uma das principais caracterısticas daonda): Raios-X (faixa de 0, 1 a 1 nm, ondas ultra-violetas(faixa de 1 ate 400 mm), o espectro de luz visıvel (faixa de400 ate 700 nm), ondas infra-vermelhas (faixa de 700 nm ate1 mm) e faixas de radiofrequencia que variam de 20 cm ate105 m.

Todas as ondas eletromagneticas se propagam no vacuo com amesma velocidade c com o valor de 3, 0× 108 m/s (velocidadeda luz).

Reflexao da Luz

Quando a luz atinge uma superfıcie separadora S de dois meiosde propagacao (A e B), ela sofrera reflexao se retornar ao meiono qual estava se propagando.

A quantidade de luz refletida depende do material que e feitaa superfıcie S, do seu polimento entre outros fatores.

Tipos de Reflexao

Consideramos raios paralelos de luz incidente sobre uma su-perfıcie. Ocorrera reflexao especular ou regular se os raiosrefletidos forem tambem paralelos entre si. Em caso contrario,a reflexao e chamada difusa ou irregular.

A reflexao regular sera predominante quando a superfıcie re-fletora for plana e bem polida como, por exemplo, um espelho.

A reflexao difusa ocorre em superfıcies irregulares e porosas.E a difusao (ou espalhamento) da luz, pelo proprio ar, pelapoeira, pelas paredes e outros corpos, que torna o ambienteiluminado.

Leis da Reflexao

1a Lei: O raio de luz incidente, o raio de luz refletido e a retanormal a superfıcie pelo ponto de incidencia da luz estao nummesmo plano (coplanares).

Temos:RI = Raio Incidente;RR = Raio Refletido;N = Reta Normal;i = angulo de incidencia;r = angulo de reflexao.

2a Lei: O angulo de incidencia e igual ao angulo de reflexao.

i = r

θi

θr

raio incidenteraio refletido

N

superfície refletoraplana

Figura 1.1: Reflexao Planar.

Espelho Plano

Espelho plano e a superfıcie plana polida onde ocorre predo-minantemente a reflexao da luz.

Formacao de Imagens nos Espelhos Planos

Observemos um ponto objeto luminoso O diante de um espelhoplano enviando luz em todas as direcoes, conforme indica afigura.

objeto imagemvirtualreal

eixo otico

o i

espelho plano

Figura 1.2: Formacao de imagens em um espelho plano.

Repare que a parte de tras do espelho (a direita neste exemplo)e marcada pelas hachuras. A imagem encontrada e fruto doprolongamento dos raios refletidos, isso caracteriza uma ima-gem virtual.

Propriedades dos Espelhos Planos

1. Se chamarmos de x a distancia do objeto ao espelho, adistancia entre o espelho e a imagem sera tambem x. Istosignifica que o objeto e a imagem sao simetricos em relacaoao espelho.

2. As imagens formadas num espelho plano sao enantio-morfas, ou seja, existe uma inversao ”direita para a es-querda”, mas nao de ”baixo para cima”. Assim a imagemespecular da mao esquerda e a mao direita, mas a imagemdos pes nao esta na cabeca.

3. Ainda pelas figuras anteriores, percebe-se que um objetolocalizado na frente do espelho (real) nos fornece uma ima-gem que nos da a impressao de estar situada atras do espe-

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38 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

lho (virtual). Logo, o objeto e a imagem sao de naturezasopostas.

4. Finalmente, podemos notar que o objeto e a imagem pos-suem o mesmo tamanho, e, em caso de movimento relativoao espelho, possuirao iguais velocidades.

Campo Visual

Campo Visual de um espelho plano e a regiao do espaco quepode ser vista por um observador atraves de um espelho.Para determinarmos o campo visual, basta tomar o ponto O′,simetrico de O, e uni-lo as extremidades do espelho plano E.Veja a figura. [fig:ot013]

E

O O’

campo visual

Figura 1.3:

Pense um Pouco!

1. Por que nao enxergamos no escuro?

2. Para que serve o espelho retrovisor dos carros?

3. Por que as ambulancias geralmente trazem escrito nafrente ?

Exercıcios de Aplicacao

1. A estrela Vega esta situada a cerca de 26 anos-luz (ano luz ea distancia que a luz percorre em 1 ano) da Terra. Determinea ordem de grandeza da distancia de Vega ate a Terra, emmetros.

2. Um observador nota que um edifıcio projeta no solo umasombra de 30 m de comprimento, no instante em que um murode 1, 5 m de altura projeta uma sombra de 50 cm. Determinea altura do edifıcio.

3. Um feixe de luz, partindo de uma fonte puntiforme, incidesobre um disco de 10 cm de diametro. Sabendo que a distanciada fonte ao disco e 1/3 da distancia deste ao anteparo e que osplanos da fonte, do disco e do anteparo sao paralelos, determineo raio da sombra projetada sobre o anteparo.

Exercıcios Complementares

4. Considere um raio luminoso incidindo num espelho plano.Determine o angulo formado entre o raio incidente e o espelho,sabendo que o angulo formado entre o raio incidente e o raiorefletido e igual a 700.

5. Um rapaz esta sentado na cadeira de uma barbearia defrente para um espelho plano, tendo atras de si o barbeiro empe. A distancia entre o rapaz e o espelho e D e entre o rapaz eo barbeiro e d. Qual e a distancia x (horizontal) entre o rapaze a imagem do barbeiro ?

6. Daniela, uma linda menininha de oito anos, ficou comple-tamente desconcertada quando, ao chegar em frente do espe-lho de seu armario, vestindo uma blusa onde havia seu nomeescrito, viu a imagem de seu nome refletida, desenhe essa ima-gem?

Otica Aula 2

Espelhos Esfericos

Os espelhos esfericos sao superfıcies refletoras que tem formade uma calota esferica.

Calota Esferica

CV

Figura 1.1: Calota esferica.

Temos dois tipos de espelho esferico:Concavo: a superfıcie refletora e interna.Convexo: a superfıcie refletora e externa.

Esquematicamente:

Temos:R = Raio de Curvatura;F = Foco do Espelho (ponto medio do eixo principal no trechoentre o Vertice e o Centro);C = Centro;V = Vertice;A = reta que passa por C e V e o eixo optico principal.

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Otica – Aula 2 39

θi

θi

F CV

eixo ótico

Côncavo ConvexoN

FC VN

Figura 1.2: Espelhos concavo (a esquerda) e Convexo (direita).

Condicoes de Nitidez de Gauss

• Os raios de luz devem ser pouco inclinados em relacao aoeixo optico principal;

• os raios de luz devem incidir proximos ao vertice do espe-lho;

A partir de agora estaremos, apenas considerando os espe-lhos esfericos de Gauss, ou seja, espelhos que satisfazem ascondicoes de Gauss.

Raios Notaveis de Luz

Os Raios Notaveis nao sao os unicos que ocorrem num sistemaoptico, mas como o proprio nome diz, eles se destacamdos outros pela facilidade de traca-los. Nosso objetivo seradesenhar pelo menos dois deles em cada situacao. Vejamosquais sao estes raios:

1. Todo raio que incide numa direcao que passa pelocentro de curvatura, reflete-se sobre si mesmo.

C F V eixo ótico F CV

(a) (b)

Figura 1.3: Raio notavel passando pelo centro de curvatura Cde um espelho esfericos concavo (a) e convexo (b).

2. Todo raio que incide paralelamente ao eixo principalreflete-se numa direcao que passa pelo foco principaldo espelho.

3. Todo raio que incide numa direcao que passa pelofoco reflete-se paralelamente ao eixo principal.

Importante

• O foco F do espelho concavo e Real;

• O foco F do espelho convexo e virtual.

Formacao de Imagens

Para formarmos imagens, basta tracarmos dois raios quaisquerde luz entre os notaveis que acabamos de aprender. Usaremos

F V eixo óticoC F CV

(a) (b)

Figura 1.4: Raio notavel incidindo paralelo ao eixo principalde um espelho esfericos concavo (a) e convexo (b).

F V eixo óticoC F CV

(a) (b)

Figura 1.5: Raio notavel passando pelo foco F de um espelhoesfericos concavo (a) e convexo (b).

a notacao i e O significando, respectivamente, a medida daimagem e do objeto.

Espelho Concavo

(1) Objeto situado antes do centro de curvatura C:

C F V eixo ótico

Figura 1.6: Objeto antes do centro de curvatura C.

Imagem: Real, Invertida e Menor.

(2) Objeto situado sobre o centro de curvatura C:

Imagem: Real, Invertida e Igual.

(3) Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F :

Imagem: Real, Invertida e Maior.

(4) Objeto situado sobre o foco F :

Imagem: Impropria.

(5) Objeto situado entre o foco F e o vertice:

Imagem:Virtual, Direita e Maior.

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40 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

C F V eixo ótico

Figura 1.7: Objeto sobre o centro de curvatura C.

C F V eixo ótico

Figura 1.8: Objeto entre o centro de curvatura C e o foco F .

Espelho Convexo

Neste caso temos apenas um caso:

Imagem:Virtual, Direita e Menor.

Observacao

O espelho convexo e usado como espelho retrovisor demotocicletas e em portas de garagens devido ao maior campovisual que oferece.

Conclusoes:

• Uma imagem real esta localizada na frente do espelho epodera ser projetada sobre um anteparo (uma tela) colo-cada na posicao em que ela se forma, pois e constituıdapela interseccao dos proprios raios de luz;

• Uma imagem virtual esta localizada atras do espelho e,embora possa ser visualizada, nao e constituıda por luz e,sim pelos prolongamentos dos raios.

Determinacao Analıtica da Imagem

Agora procuraremos expressar de forma matematica algumasexpressoes que nos permita determinar a posicao e o tamanhoda imagem.

Equacao Conjugada de Gauss

1

f=

1

p+

1

p′

Temos que a distancia focal f e dada por:

f = R2

C F V eixo ótico

Figura 1.9: Objeto sobre o foco F .

C F V eixo ótico

Figura 1.10: Objeto entre o foco F e o Vertice.

Aumento Linear Transversal

Por definicao, o aumento linear transversal A e a razao entrea altura da imagem i e a altura do objeto o.

A =i

O=

P ′

P

Convencao de Sinais

Objeto Real p > 0 Virtual p < 0Imagem Real p′ > 0 Virtual p′ < 0Espelho Conc. R > 0 e f > 0 Conv. R < 0 e f < 0

h∗ Direita i > 0 Invertida i < 0

(*) Altura da imagem para o > 0.

Pense um Pouco!

1. Numa esfera espelhada nos vemos maiores ou menores doque somos? Por que?

2. Cite exemplos de objetos do dia-a-dia que sao espelhosesfericos.

3. Por que os caminhoes e onibus usam um pequeno espelhoconvexo colado no canto do retrovisor plano?

Exercıcios de Aplicacao

1. Um objeto real de altura 5 cm esta a 3 m diante de umespelho esferico concavo, de distancia focal 1 m.

Page 50: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Otica – Aula 3 41

F CV

eixo ótico

Figura 1.11: Espelho convexo.

a) Determine, graficamente, as caracterısticas da imagem.b) Determine, analiticamente, a posicao e o tamanho da ima-gem.

2. Diante de um espelho esferico convexo, de raio de curvaturade 60 cm, e colocado, perpendicularmente ao eixo principal domesmo, um objeto de 2 cm de altura. O objeto dista 40 cmdo espelho. Determine:a) a posicao da imagem;b) o tamanho da imagem.

3. Mediante a utilizacao de um espelho esferico concavo, dedistancia focal 20 cm, quer se projetar sobre um anteparo umaimagem tres vezes maior que o objeto. Determine:a) a posicao do objeto;b) a posicao da imagem.

Exercıcios Complementares

4. Um espelho esferico fornece, de um objeto real, uma ima-gem virtual e duas vezes menor do que o objeto. Sabendo quea distancia do objeto ao espelho e de 60 cm, determine:a) a posicao da imagem;b) a distancia focal do espelho.

5. Deseja-se obter a imagem de uma lampada, ampliada 5vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distancia. Quaisas caracterısticas e a posicao do espelho esferico que se podeutilizar ? Ele devera ser:a) convexo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lampada;b) concavo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lampada;c) convexo, com 24 cm de raio, a 2 cm da lampada;d) concavo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lampada;e) convexo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lampada;

6. Mediante a utilizacao de um espelho esferico concavo, dedistancia focal 30 cm, quer se projetar sobre um anteparo umaimagem seis vezes maior que o objeto. Determine:a) a posicao do objeto;b) a posicao da imagem.

Otica Aula 3

Refracao da Luz

A velocidade de uma dada luz monocromatica assume valoresdiferentes em diferentes meios de propagacao tais como: vacuo,ar, agua, vidro, etc.

A luz sofre refracao quando passa de um meio para outro, mo-dificando sua velocidade. Em geral, a refracao e acompanhadapor um desvio na trajetoria da luz, consequencia da mudancade velocidade. O unico caso de refracao no qual a luz nao so-fre desvio e quando incide perpendicularmente a superfıcie deseparacao dos meios S.

meio A

meio BS

N

Figura 1.1: Refracao da luz, com desvio de sua trajetoria.

meio A

meio BS

Figura 1.2: Raio entrando perpendicular a superfıcie S, semdesvio de sua trajetoria.

Dioptro Plano

Os dois meios de propagacao, A e B, e a superfıcie de separacaoS constituem o que chamamos de DIOPTRO.

Nos dioptros reais, o fenomeno da refracao e acompanhado pelareflexao da luz. Assim, o raio de luz incidente na superfıcie Sdivide-se em dois raios, um refratado e outro refletido.

E importante tambem dizer que ocorre em S o fenomeno daabsorcao da luz, onde parcela da energia luminosa e transfor-mada em energia termica, por exemplo.

No dioptro ideal so ocorre refracao da luz.

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42 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

meio A

meio BS

Nincidenteraiorefletido

raio

refratadoraio

Figura 1.3: Todos os raios luminosos presentes na refracao.

Indice de Refracao Absoluto

Seja c a velocidade da luz no vacuo e v a velocidade da luzem um meio qualquer, definimos ındice de refracao absoluto nde um meio a razao entre as velocidades da luz no vacuo e nomeio considerado:

n =c

v

O ındice de refracao absoluto do vacuo e naturalmente igual a1 (v = c). Como a velocidade da luz no vacuo e uma velocidadelimite, em qualquer outro meio ela sera inferior:

v < c =⇒ n > 1

Conclusoes

1. O ındice de refracao absoluto de qualquer meio materiale sempre maior que 1;

2. Quanto maior for o ındice de refracao absoluto do meio,menor e a velocidade da luz nesse meio.

Indice de Refracao Relativo

Se nA e nB sao, respectivamente, os ındices de refracao absolu-tos dos meios A e B para uma dada luz monocromatica, entaodefinimos o ındice de refracao relativo do meio A em relacaoao meio B, nA,B como sendo a razao dos ındices de refracaoabsolutos do meio A e B:

nA,B =nA

nB

Leis de Refracao

Considerando um raio de luz monocromatico incidente numasuperfıcie separadora de dois meios de propagacao e o cor-respondente raio de luz refratado. Tracemos a reta normal asuperfıcie pelo ponto de incidencia da luz.

RI = Raio Incidente;RR = Raio Refratado;N = Reta Normal;i = angulo de incidencia;r = angulo de refracao.

θi

meio A

meio BS

N

Figura 1.4: Raio entrando perpendicular a superfıcie S, semdesvio em sua trajetoria.

As Leis

• 1a Lei: O raio de luz incidente RI, a reta normal N eo raio de luz refratado RR estao situados num mesmoplano, ou seja, sao coplanares. E importante notar que osraios de luz incidente e refratado ficam em lados opostosem relacao a reta normal;

• 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes: “E constante a relacaoentre os senos dos angulos de incidencia e refracao”.

Podemos escrever que:

sen(i)

sen(r)= constante

e essa constante e o ındice de refracao relativo do meio Bem relacao ao meio A, assim:

sen(i)

sen(r)=

nA

nB

ou: Lei de Snell-Descartes

nAsen(i) = nBsen(r)

Podemos concluir que:

– Quando a luz passa de um meio menos refringente (me-nor ındice de refracao) para um meio mais refringente(maior ındice de refracao), o raio de luz se aproxima danormal e a velocidade de propagacao diminui.

– Reciprocamente, quando a luz passa de um meio maisrefringente para um meio menos refringente, o raio de luzse afasta da normal e a velocidade de propagacao da luzaumenta.

1.0.1 Pense um pouco!

1. Se voce ve um peixe sob a superfıcie da agua e tentaacerta-lo com uma flecha, mirando a imagem do peixe,provavelmente nao ira captura-lo. Explique.

2. As lentes utilizam a refracao da luz? Como?

Page 52: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Otica – Aula 4 43

θi

rθrθ

θi

meio B

meio AS

N

meio D

meio CS

N

Figura 1.5: Aproximacao e afastamento da normal.

Exercıcios de Aplicacao

1. Passando do vacuo para o interior de um certo meio trans-parente, o valor da velocidade de propagacao de uma luz mo-nocromatica diminui de 20%. Determine o ındice de refracaoabsoluto do meio para essa luz monocromatica.

2. A velocidade de propagacao da luz em certo lıquido mede1/2 da velocidade de propagacao da luz no vacuo. Determineo ındice de refracao absoluto do lıquido.

3. O ındice de refracao absoluto da agua e 4/3 e o vidro e 3/2.Determine:a) o ındice de refracao da agua em relacao ao vidro;b) a relacao entre a velocidade de propagacao da luz no vidroe a velocidade de propagacao da luz na agua;c) comente os resultados obtidos.

Exercıcios Complementares

4. Sob um angulo de incidencia de 60, faz-se incidir sobreuma superfıcie de um material transparente um raio de luzmonocromatica. Observa-se que o raio refratado e perpendi-cular ao raio refletido. Qual o ındice de refracao do material ?(O 1o meio onde a luz se propaga e o ar)

5. Um observador, quando colocado numa posicao adequada,pode no maximo ver o canto do recipiente, como representadona figura abaixo. Enchendo o recipiente com um lıquido, oobservador passa a ver a moeda que esta colocada no centro:

1 m

1 m

Qual o ındice de refracao do lıquido? dado sen(45) =√

2/2

6. Um raio de luz monocromatica passa de um meio A paraum meio B. Veja a figura e responda:a) Qual e o meio mais refringente ? Justifique.b) Em que meio a luz possui maior velocidade ? Justifique.

A B

Otica Aula 4

Lentes Esfericas

As lentes esfericas constituem sistemas opticos de amplasaplicacoes na atualidade. Elas desempenham um papel umpapel importantıssimo, desde os sofisticados LASERS ate osmais simples pares de oculos.

Podemos defini-las como sendo um meio transparente e ho-mogeneo, limitado por duas superfıcies curvas, ou por umacurva e outra plana.

A lente sera denominada esferica, quando pelo menos uma desuas faces for esferica.

Elementos Geometricos

Vejamos os principais elementos geometricos de uma lenteesferica:

R1

V1C

1C

2V

2

R2

e. p.e

Figura 1.1: Elementos geometricos de uma lente esferica.

Temos:

C1 e C2 = Centros de Curvatura;R1 e R2 = Raios de Curvatura;V1 e V2 = Vertices;e = espessura da lente;e.p. = eixo optico principal.

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Observacao

Uma lente e delgada quando a sua espessura e for desprezıvelem relacao aos raios de curvatura, ou seja, quando e << R.

Classificacao das Lentes

Podemos classificar as lentes quanto a dois aspectos: tipos defaces e comportamento optico.

Quanto as faces

biconvexa plano−convexa concavo−convexa

biconcava plano−concava convexo−concava

BORDOSGROSSOS

FINOSBORDOS

Figura 1.2: Classificacao de uma lente esferica quanto as suasfaces.

Observacao

Os nomes das lentes segue a convencao de que devemos citarem primeiro lugar a face de maior raio de curvatura.

Quanto ao Comportamento Optico

Nessas figuras consideramos que as lentes sao de vidro e estaoimersas no ar (nvidro ¿ nar), que e o caso mais comum napratica.

Nessas condicoes, as lentes de bordas finas sao convergen-tes e as lentes de bordas grossas sao divergentes.

Tipos de Foco

Vamos considerar neste estudo, lentes delgadas e raios de luzdentro das condicoes de Gauss, como vimos no estudo de es-pelhos esfericos.

Foco Imagem

E o ponto imagem que a lente conjuga de um objeto improprio,definido por raios de luz paralelos ao eixo principal.

Lente Convergente & Lente Divergente

F

F

Lente Convergente Esquema

EsquemaLente Divergente

Figura 1.3: Classificacao de uma lente esferica quanto ao seucomportamento optico.

F

Figura 1.4: Lente convergente.

Observacao

Na lente Convergente o foco e real, e na lente divergenteo foco e virtual.

Foco Objeto

E o ponto objeto associado pela lente, a uma imagemimpropria, definida por raios de luz paralelos ao eixo principal.

Lente Convergente & Lente Divergente

Observacao

Na lente convergente o foco e real, na Lente divergenteo foco e virtual.

Raios Notaveis

Assim como foi feito para os espelhos esfericos, iremos agoradescrever alguns raios que sao faceis de serem utilizados nadeterminacao da imagem numa lente esferica.

Todo raio que incide no centro optico atravessa a lentesem sofrer desvio.

Todo raio que incide paralelamente ao eixo principalemerge numa direcao que passa pelo foco imagem.

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Otica – Aula 4 45

F

Figura 1.5: Lente divergente.

F

Figura 1.6: Lente convergente.

Todo raio que incide sob o foco objeto emerge paraleloao eixo principal.

Determinacao Grafica da Imagem

De maneira analoga ao que fizemos para espelhos esfericos ire-mos proceder agora para lentes.

Lentes Convergentes

1) Objeto situado antes do Centro de Curvatura:

Imagem: Real, Invertida e Menor.

2) Objeto situado no Centro de Curvatura:

Imagem: Real, Invertida e Igual.

3) Objeto situado entre o Centro de Curvatura e o Foco:

Imagem: Real, Invertida e Maior.

Este caso corresponde a imagem produzida por projetores,tanto de slides como de filmes.

4) Objeto situado no Foco:

Imagem: Impropria.

5) Objeto situado entre o Foco e o Centro Optico:

Imagem: Virtual, Direita e Maior.

Este e o caso da lupa.

Lente Divergente

Existe apenas um caso que devemos considerar:

Imagem: Virtual, Direita e Menor.

F

Figura 1.7: Lente divergente.

Figura 1.8: Incidencia sobre o centro optico.

Determinacao Analıtica da Imagem

As equacoes que utilizaremos para a determinacao da posicaoe tamanho da imagem sao analogas as utilizadas no estudo deespelhos esfericos.

Equacao de Gauss

1

f=

1

p+

1

p′

Temos:f = distancia focal;p = posicao do objeto;p′ = posicao da imagem;

Equacao do Aumento Linear Transversal A

A =i

o=

p′

p

Temos:A = aumento linear transversal;o = altura do objeto;i = altura da imagem;

Convencao de Sinais

Objeto Real p > 0 Virtual p < 0Imagem Real p′ > 0 Virtual p′ < 0Espelho Conc. R > 0 e f > 0 Conv. R < 0 e f < 0

h∗ Direita i > 0 Invertida i < 0

(*) Altura da imagem para o > 0.

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46 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

F

Figura 1.9: Incidencia paralela ao eixo principal.

F

eixo ótico

Figura 1.10: Incidencia Paralela.

Vergencia V de uma Lente

Verifica-se que, quanto menor a distancia focal de umalente, mais ela converge ou diverge um feixe de luz. Essa”potencia”da lente de convergir ou divergir a luz e caracte-rizada por uma grandeza denominada Vergencia, que e comu-mente chamada de grau do oculos. A vergencia V de uma lentede distancia focal f e definida como:

V =1

f

Se f e medido em metros (m), a unidade de V e m−1, querecebe o nome de dioptria (di), que popularmente e chamadode grau.

1 di = 1 m−1 = 1 grau

Pense um Pouco!

1. Se uma pessoa possui dois graus de miopia, que tipo (grau)de lente devera usar?

2. O antigos oculos “fundo de garrafa”tinham esse nome porque? Pra que serviam?

Exercıcios de Aplicacao

1. Um objeto e colocado a 60 cm de uma lente divergente dedistancia 20 cm. Determine, graficamente e analiticamente, ascaracterısticas da imagem.

F

eixo ótico

Figura 1.11: Incidencia sob o foco objeto.

F

eixo ótico

Figura 1.12: Incidencia sob o foco objeto.

2. Um objeto de 2 cm de altura esta disposto frontalmente a60 cm de uma lente delgada de vergencia +2, 5 di.a) determine, graficamente, as caracterısticas da imagem;b) determine, analiticamente, a posicao e o tamanho da ima-gem.

3. Um estudante usa uma lente biconvexa de 20 di para olharuma flor que esta a 4 cm da lente. Determine de quanto alente aumenta a flor.

Exercıcios Complementares

4. Um objeto luminoso de 1 cm de altura esta a 5 cm de umalente convergente de 10 cm de distancia focal.a) Qual a posicao da imagem?b) Faco tracado dos raios.

5. As lentes dos oculos de um mıope sao de -5 graus”.a) Qual e a distancia focal das lentes?b) Qual o tipo de lentes usadas (convergente ou divergente)?

6. Uma pessoa mıope so e capaz de ver nitidamente objetossituados a uma distancia maxima de 20 cm dos seus olhos.a) Qual o tipo de lente adequada para a correcao da miopia:convergente ou divergente?b) Qual deve ser a distancia focal da lente para que esta pessoapossa ver nitidamente objetos localizados no infinito?

Page 56: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Otica – Aula 5 47

FC

CF eixo ótico

Figura 1.13: Objeto situado antes do centro de curvatura C.

F CFC

eixo ótico

Figura 1.14: Objeto situado no centro de curvatura C.

Otica Aula 5

Otica da Visao

O olho humano assemelha-se a uma filmadora (ou a umamaquina fotografica) de grande sofisticacao. E o cerebro tema funcao de reprojetar a imagem obtida pelo olho fornecendoa visao real do objeto.

Dispensaremos esse sistema, extremamente complexo, do olhohumano e utilizaremos uma representacao mais simples – oolho reduzido.

Elementos do Olho Humano

Analisaremos algumas partes que consideramos de grande im-portancia em nosso olho reduzido.

Iris

Anel colorido de forma circular, que se comporta como um di-afragma, controlando a quantidade de luz que penetra no olho.Na sua parte central existe um orifıcio de diametro variavel,chamado pupila.

Cristalino

E uma lente convergente de material flexıvel, do tipo bicon-vexa. Fornecera de um objeto real uma imagem real, invertidae menor sobre a retina. Pode assumir diferentes formas emfuncao da distancia do objeto ao olho.

Musculos Ciliares

Sao responsaveis pela mudanca na forma do cristalino,comprimindo-o convenientemente, de maneira a alterar suadistancia focal e permitir uma melhor acomodacao da imagemsobre a retina.

F CFC

eixo ótico

Figura 1.15: Objeto situado entre o centro de curvatura C e ofoco F .

F CFC

eixo ótico

Figura 1.16: Objeto situado no foco F .

Quando o objeto esta infinitamente afastado, os musculos ci-liares e o cristalino estao relaxados, ou seja, o olho nao realizanenhum esforco de acomodacao. A medida que o objeto seaproxima, os musculos ciliares vao se contraindo, diminuindoa distancia focal do cristalino e mantendo a imagem acomo-dada na retina.

Em Sıntese

Objeto Proximo = Menor Distancia Focal;

Objeto Distante = Maior Distancia Focal.

O trabalho realizado pelos musculos ciliares, fazendo variar adistancia focal do cristalino e chamado de acomodacao visual.

Retina

E a parte sensıvel a luz, onde deve se formar a imagem paraser nıtida. A distancia do cristalino a retina e da ordem de1, 5 cm. Composta por celulas nervosas chamadas bastonetes(visao preto e branco) e cones (visao a cores), a retina possuiuma area mais sensıvel a luz sob condicoes normais. Esta areaconsiste uma depressao na parte posterior do olho no eixo docristalino, e e denominada fovea.

Ponto Proximo e Ponto Remoto

A menor distancia do globo ocular segundo a qual uma pessoa,de visao normal, pode ver nitidamente a imagem de um ob-jeto qualquer denomina-se Ponto Proximo (PP ). Neste caso,os musculos ciliares estao em sua maior contracao, realizandoesforco maximo de acomodacao. Logo, o ponto proximo cor-respondente a distancia mınima de visao distinta, a qual seatribui um valor medio convencional de 25 cm.

O ponto mais afastado do olho humano, corresponde a umaimagem nıtida forma sem esforco de acomodacao visual,denomina-se Ponto Remoto (PR). Esta e a maxima distanciade visao distinta que, teoricamente, permite a uma pessoa umavisao normal de enxergar objetos no infinito.

Intervalo de visao distinta ou zona de acomodacao e a regiao doespaco compreendida entre os dois pontos (PR e PP ) figurados

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48 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

F CFC

eixo ótico

Figura 1.17: Objeto situado entre o Foco F e o Centro Optico.

CFC FF

eixo ótico

Figura 1.18: Lente divergente.

anteriormente.

Problemas da Visao

Miopia

A deficiencia de um olho mıope esta na visualizacao de obje-tos distantes. Ou seja, o seu ponto remoto (PR) nao esta noinfinito e sim a uma distancia finita (dPR). Isso ocorre, pelofato da imagem do objeto distante recair antes da retina.

Para corrigir esse defeito, demos tornar o olho mıope menosconvergente. Para tanto, associamos a ele uma lente diver-gente:

Hipermetropia

A deficiencia de um olho hipermetrope esta na visualizacaode objetos proximos. Ou seja, o seu ponto proximo (PP ) estamais afastado do que o olho normal. Logo a distancia do pontoproximo e maior que 25 cm.

No olho hipermetrope, a imagem de um objeto recai apos aretina.

Para corrigir este defeito demos tornar o olho hipermetropemais convergente, associando a ele uma lente convergente.

A lente corretora devera, de um objeto colocado a 25 cm doolho, fornecer uma imagem no ponto proximo (PP ) do hi-permetrope, ou seja, a uma distancia dPP do olho.

Assim a distancia focal da lente corretiva da hipermetropia ecalculada da seguinte forma:

1

f=

1

p+

1

p′=

1

fc=

1

25cm+

1

dpp

O sinal negativo se deve ao fato da imagem, fornecida pelalente corretora, ser virtual.

F CFC

eixo ótico

o i

f f

Figura 1.19: Elementos de uma lente.

Lente

Cornea

Conjuntiva

Iris

Nervo Optico

Macula

Retina

´

´

´

´

Anatomia do Olho

Figura 1.1: O olho humano.

Presbiopia

E um defeito determinado pela fadiga dos musculos que efe-tuam a acomodacao e por um aumento na rigidez do cristalino.Tal defeito acentua-se com a idade. O olho se acomoda malpara objetos proximos e, em consequencia, a distancia mınimada visao distinta aumenta. A correcao e feita com uso de lentesbifocais, que tem uma parte para ver objetos distantes e outrapara ver objetos proximos.

Astigmatismo

E um defeito determinado pela forma nao esferica da corneaou do cristalino, causando uma deformacao na imagem. Acorrecao e feita mediante o uso de lentes cilındricas, que com-pensam a falta de simetria do sistema optica ocular.

Estrabismo

Consiste na incapacidade de se dirigir a visao de ambos osolhos para um mesmo ponto. A correcao e feita por ginasticaocular para recuperar os musculos, ou atraves de cirurgia, ouatraves de lentes prismaticas.

Daltonismo

E um defeito genetico que faz com que seu portador naoconsiga distinguir certas cores. Nao existe, ainda, correcaopossıvel para esse defeito.

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Otica – Aula 5 49

Olho simplificado

Formaçao deimagens na

RETINAEntrada

deLuz

LenteConvergente

Figura 1.2: O olho simplificado.

PP PR

25 cm Zona de Acomodaçao

Figura 1.3: Esquema.

Pense um Pouco!

• Uma pessoa lhe diz que enxerga perfeitamente embaixoda agua de uma piscina, mas nao fora da agua. Isso epossıvel? Ha algum problema com a visao dessa pessoa?Qual?

Exercıcios de Aplicacao

1. As lentes dos oculos de um mıope sao de -5 graus”. Qual ea maxima distancia de seus olhos, sem oculos, que ele ve comimagem nıtida?

2. O ponto proximo de um indivıduo A e o ponto remotode um indivıduo B valem, ambos, 50 cm. Indique o tipo e avergencia das lentes corretoras para esses indivıduos.

3. Uma lente esferica de vidro, cujo ındice de refracao e 1, 5,tem uma face plana e outra concava, com raio de curvatura50 cm. Sabendo-se que a lente esta imersa no ar, determinesua vergencia em dioptrias.

4. Uma pessoa mıope so e capaz de ver nitidamente objetossituados a uma distancia maxima de 20 cm dos seus olhos.a) Qual o tipo de lente adequada para a correcao da miopia:convergente ou divergente ?b) Qual deve ser a distancia focal da lente para que esta pessoapossa ver nitidamente objetos localizados no infinito ?

Hipermetropia Correçao com lente convergente

Figura 1.4: Correcao da miopia.

Hipermetropia Correçao com lente convergente

Figura 1.5: Correcao da Hipermetropia.

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Fluidos – Aula 1 51

Fluidos Aula 1

Fluidos

Chegou o momento de descrevermos o comportamento dos flui-dos, para isso falaremos de temas como densidade, pressao,empuxo e outros temas que nos levarao a um aprofundamentoda Hidrostatica.

Densidade e Massa especıfica

Massa especıfica ρ de uma substancia e a razao entre deter-minada massa desta substancia e o volume correspondente.Temos entao:

ρ =m

v

Para um corpo homogeneo, ρ sera a propria densidade do ma-terial. Para um corpo nao homogeneo, como por exemplo umacorpo oco, a expressao acima resulta na densidade media docorpo.

Unidades SI

m: massa em quilogramas (kg)

V : volume em metro cubico (m3)

ρ: massa especıfica em quilogramas por metro cubico (kg/m3)

Observacao

No caso da agua, cuja massa especıfica vale 1 g/cm3, obser-vamos que cada cm3 de agua tem massa de 1 g. Assim eque, numericamente, massa e volume serao iguais para a agua,desde que medidos em gramas e em centımetros cubicos res-pectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3, no casoda agua temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metrocubico equivale a 1000 litros, teremos tambem para a agua, adensidade 1000 kg/m3.

Pressao

Pressao p e a forca normal, por unidade de area, que um fluidoem equilıbrio exerce em contato com uma parede. Podemosrepresentar matematicamente por:

p =F

A

Unidades SI

p: pressao em N/m2 = pascal = Pa

F : forca normal (ortogonal) em newtons ou N

A: area onde e exercida a forca, em metros quadrados m2

Pressao Atmosferica

Pressao exercida pelo peso da camada de ar existente sobre asuperfıcie da Terra. Ao nıvel do mar, a temperatura de 0 Ce igual a 1 atm.

E comum o uso de unidades de pressao nao pertencentes aoSI: atmosfera (atm) e milımetros de mercurio (mmHg):

1 atm = 760 mmHg = 1, 01× 105 Pa

Pressao Hidrostatica

No estudo da hidrostatica, que faremos a seguir, vamos consi-derar o lıquido ideal, isto e, incompressıvel e sem viscosidade.

Suponhamos um recipiente cilındrico de area de base A, con-tendo um lıquido de massa especıfica ρ. Qual a pressao que olıquido exerce no fundo do recipiente ?

ρ h

A

Figura 1.1: Vaso cilındrico de area A e altura h, cheio de umlıquido de densidade ρ.

Da definicao de massa especıfica, temos:

ρ =m

v

V = Ah

ρ =m

Ah

e portanto:

m = ρAh

Por outro lado, a forca que o lıquido exerce sobre a area A e oseu proprio peso:

F = P = mg

mas comom = ρAh

entao temosF = ρAhg

e finalmente, pela definicao de pressao,

p =F

A= ρgh .

A pressao que o lıquido exerce no fundo do recipiente dependeda massa especıfica do lıquido (ρ), da aceleracao da gravidadelocal (g) e da altura (h) do lıquido acima do ponto considerado.Na pratica esse resultado e geral, e pode ser usado para a de-terminacao da pressao hidrostatica em qualquer fluido (lıquidoou gas) em equilıbrio.

Observe que a pressao total dentro de um fluido homogeneoem equilıbrio sera entao:

p = patm + ρgh

onde patm e a pressao atmosferica, que atua sobre todos oscorpos imersos no ar.

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52 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Pressao Manometrica e Absoluta

A pressao absoluta e a pressao total exercida em uma dadasuperfıcie, incluindo a pressao atmosferica, quando for o caso.A pressao absoluta sera sempre positiva ou nula.

Em muitos casos, como na calibracao de um pneu, estamosinteressados apenas na diferenca entre a pressao interna deum reservatorio (o pneu) e a pressao externa (o ar, que estana pressao atmosferica local). A essa diferenca chamamospressao manometrica, e os aparelhos que a medem cha-mamos de manometros.

pman. = pint. − patm.

A pressao manometrica pode ser negativa, positiva ou nula.Sera negativa quando a pressao interna de um reservatoriofor menor do que a pressao atmosferica externa. Exemplos:quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um vacuoparcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante,baixamos a pressao interna da boca, criando uma “pressaonegativa”.

Pense um Pouco!

• Porque nao sentimos a pressao atmosferica normal, ja queela e tao grande?

• Um barco flutua no mar. Quais as forcas relevantes paraque isso ocorra?

• Como e possıvel se deitar numa cama de pregos sem semachucar?

• Como funciona o canudinho de refrigerante? Explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. Uma massa de 1 kg de agua ocupa um volume de 1 litroa 40C. Determine sua massa especıfica em g/cm3, kg/m3 ekg/l.

2. Determine a massa de um bloco cubico de chumbo que temarestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo e igual11, 2 g/cm3.

3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externo de10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volume deuma esfera de raio R e dado por V = 4

3πR3. Usando π = 3, 14,determine:a) a densidade media da esfera;b) a densidade do material de que e feita a esfera.

4. Um cubo macico com densidade igual a 2, 1 g/cm3, de50 cm de aresta, esta apoiado sobre uma superfıcie horizontal.Qual e a pressao, em Pa e em atm, exercida pelo cubo sobrea superfıcie?

Exercıcios Complementares

5. Existe uma unidade inglesa de pressao – a libra-forca porpolegada quadrada – que se abrevia lbf/pol2, a qual e indevi-damente chamada de libra. Assim, quando calibram os pneus

de um automovel, algumas pessoas dizem que colocaram “26libras” de ar nos pneus. Agora responda:a) por que num pneu de automovel se coloca mais ou menos25lbf/pol2 enquanto que no de uma bicicleta de corrida (cujospneus sao bem finos) se coloca aproximadamente 70 lbf/pol2

b) Sendo 1 lbf/pol2 = 0, 07 atm, qual a pressao tıpica (ematm) no pneu de um carro?c) A pressao que nos interessa, neste caso do pneu, e a pressaomanometrica ou a pressao absoluta. Por que?

Fluidos Aula 2

Hidrostatica

Lei de Stevin

Consideremos um recipiente contendo um lıquido homogeneode densidade ρ, em equilıbrio estatico. As pressoes que olıquido exerce nos pontos A e B sao, respectivamente:

pa = ρgha e pb = ρghb

h

h

A

B

A

B

h∆

Figura 1.1: Cilindro de area de base A e altura h

A lei de Stevin ou princıpio hidrostatico afirma que adiferenca de pressao entre os pontos A e B sera:

pb − pa = ρg(hb − ha) = ρg∆h

Ou seja, a diferenca entre dois nıveis diferentes, no interior deum lıquido, e igual ao produto da sua massa especıfica pelaaceleracao da gravidade local e pela diferenca de nıvel entre ospontos considerados.

Na realidade, temos que dividir a pressao num determinadoponto do lıquido em dois tipos: i) pressao hidrostatica: aquelaque so leva em consideracao o lıquido:

phid = ρgh

e ii) pressao absoluta: aquela que leva em consideracao olıquido e o ar sobre o lıquido:

Page 62: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Fluidos – Aula 2 53

pabs = patm + ρgh

Consequencias da Lei de Stevin

No interior de um lıquido em equilıbrio estatico:

1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a mesmapressao;

2. a superfıcie de separacao entre lıquidos nao miscıveis e umplano horizontal;

3. em vasos comunicantes quando temos dois lıquidos naomiscıveis temos que a altura de cada lıquido e inversa-mente proporcional as suas massas especıficas (densida-des);

hy

hx

yx

Figura 1.2: Vasos comunicantes, com dois lıquidos naomiscıveis em equilıbrio.

py = px

patm + ρyghy = patm + ρxghx

ρyhy = ρxhx

ρy

ρx=

hx

hy

4. a diferenca de pressao entre dois pontos dentro do fluıdo,depende apenas do seu desnıvel vertical (∆h), e nao daprofundidade dos pontos.

Princıpio de Pascal

Pascal fez estudos em fluıdos e enunciou o seguinte princıpio:

A pressao aplicada a um fluıdo em equilıbriotransmite-se integral e instantaneamente a to-dos os pontos do fluıdo e as paredes do recipi-ente que o contem.

A1

A2

F1

F2

Figura 1.3: A prensa hidraulica.

A Prensa Hidraulica

Uma das aplicacoes deste princıpio e a prensa hidraulica comomostramos a seguir:

Observe que:p1 = p2

F1

A1=

F2

A2

F1

F2=

A1

A2

Isso mostra que uma forca pequena F1 e capaz de suportar,no outro embolo, um peso muito grande (F2), isso e muitoutilizado, como por exemplo, em posto de gasolina.

A prensa hidraulica e o equivalente hidraulico do princıpio daalavanca, de Arquimedes, usado na Mecanica. E bom lembrarque estas “engenhocas”multiplicam realmente a forca, mas naoa energia. O trabalho mınimo necessario para elevar um carroe o mesmo, independente da maquina que se utilize (Wmin =mgh).

Na prensa mostrada na Fig. 1.3, uma forca −~F2 (para baixo)devera ser feita no embolo da direita, para manter o equilıbriodo sistema. Em geral, usa-se o embolo maior para suspenderuma carga externa, ou levantar um objeto do chao (macacohidraulico).

Princıpio de Arquimedes

Arquimedes, ha mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a perdaaparente do peso do corpo e devido ao surgimento do empuxo,quando estamos mergulhados num lıquido, como a agua, porexemplo.

Os corpos mergulhados totalmente ou parci-almente, num fluido, recebem do mesmo umaforca vertical, de baixo para cima, de intensi-dade igual ao peso do fluido deslocado, deno-minada empuxo.

Ou seja, se um corpo esta mergulhado num fluido de densidadeρf e desloca volume Vfd do fluido, num local onde a aceleracaoda gravidade e g, temos:

Pf = mfg

e comoρf =

mf

Vfd

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54 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

a massa do fluido deslocado sera

mf = ρfVfd

e portanto

Pf = ρfVfdg

e, de acordo com o Princıpio de Arquimedes

E = ρfVfdg

ou simplesmente

E = ρV g

ficando a nosso cargo a interpretacao correta dos termos en-volvidos.

Flutuacao

Segundo o princıpio de Arquimedes, quando temos um corpona superfıcie de um fluıdo cujo peso (do corpo) e anulado (igualem modulo) pelo empuxo que ele sofre antes de estar completa-mente submerso, o corpo ira flutuar sobre ele, quando abando-nado. Baseado nessa aplicacao sao construıdos todos os tiposde barcos e navios.

Para um corpo de peso P flutuando, a condicao de equilıbriodeve ser satisfeita:

Fy = +E − P = 0

ou seja

P = E

Pode-se mostrar tambem que se um corpo tiver uma densidademedia ρc maior que a densidade ρf de um certo fluido, ele naopodera flutuar nesse fluıdo, e acabara afundando se for soltona sua superfıcie.

Pense um Pouco!

• A pressao atmosferica varia com a altitude? Por que?

• Como pode um navio de ferro flutuar na agua, ja queρFe > ρH2O?

• Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a janela(fechada) balanca. Explique.

• Mergulhando na agua um objeto suspenso por um fio,voce observa que a tracao no fio muda. Explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFRJ) O impacto de uma partıcula de lixo que atingiu anave espacial Columbia produziu uma pressao da 100 N/cm2.Nessas condicoes e tendo a partıcula 2 cm2, a nave sofreu umaforca de:a) 100 Nb) 200 Nc) 400 Nd) 800 Ne) 1600N

2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade esta cheia comagua. Considere g = 10 m/s2 e patm = 1, 0× 105 Pa e deter-mine:a) a pressao hidrostatica a 3, 0 m de profundidade;b) a pressao absoluta no fundo da piscina;c) a diferenca de pressao entre dois pontos separados, vertical-mente, por 80 cm.

3. (Classico) Para determinar a pressao atmosferica, Torri-celli fez a seguinte experiencia: um tubo de vidro, de 1 m decomprimento, foi cheio de mercurio e depois emborcado numrecipiente contendo mercurio; constatou que, ao nıvel do mar,o mercurio no tubo mantem uma altura de 760 mm acima dasua superfıcie livre (no recipiente). Se a densidade do mercurioe 13, 6 g/cm3 e a aceleracao da gravidade local e de 9, 8 m/s2,qual a pressao atmosferica constatada por Torricelli?

4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um automovelde massa 1.000 kg, o mesmo e erguido a uma certa altura. Osistema utilizado e uma prensa hidraulica. Sendo os embolosde areas 10 cm2 e 2.000 cm2, e a aceleracao da gravidade localde 10 m/s2, pergunta-se:a) em qual embolo deve-se apoiar o carro?b) em qual embolo deve-se pressionar para se sustentar o carro?

c) qual a forca aplicada no embolo para equilibrar o automovel?

1.1 Exercıcios Complementares

5. Agua e oleo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente, saocolocados em um tubo em “U”. Sendo de 16 cm a altura dacoluna de oleo, determine a altura da coluna de agua medidaacima do nıvel de separacao entre os lıquidos.

6. Os icebergs sao grandes blocos de gelo que vagam em la-titudes elevadas, constituindo um serio problema para a na-vegacao, sobretudo porque deles emerge apenas uma pequenaparte, ficando o restante submerso. Sendo V o volume totaldo iceberg e ρg = 0, 92 g/cm3 a densidade do gelo, determinea porcentagem do iceberg que fica acima da superfıcie livre daagua, considerada com densidade igual a ρf = 1, 0 g/cm3.

7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade media de200 kg/m3 encontra-se presa ao fundo de um recipiente quecontem agua, atraves de um fio conforme a figura. Determinea intensidade da tracao T no fio que segura a bola (Considereg = 10 m/s2).

T

Page 64: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Cinematica – Aula 1 55

Cinematica Aula 1

Cinematica

A Cinematica e a parte da Mecanica que estuda e descreveo movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas(forcas).

Movimento

Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitiva-mente uma ideia do que sao os estados de movimento e re-pouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso) saorelativos: ao dormir voce pode estar em repouso em relacao asparedes de seu quarto; entretanto, em relacao ao sol, voce e umviajante espacial. A parte da Fısica que trata do movimentoe a Mecanica. Ela procura compreender as causas que pro-duzem e modificam os movimentos. A seguir, vamos estudaruma subdivisao da Mecanica chamada Cinematica, que tratado movimento sem se referir as causas que o produzem.

Ponto Material

Em determinadas situacoes, ponto material pode representarqualquer corpo, como um trem, um aviao, um carro, uma balade canhao, um mıssil etc. Por que ponto e por que material?Ponto, porque, na resolucao de problemas, estaremos despre-zando as dimensoes do corpo em movimento, sempre que asdistancias envolvidas forem muito grandes em relacao as di-mensoes do corpo. Material, porque, embora as dimensoes docorpo sejam desprezadas, sua massa sera considerada.

Repouso, Movimento e Referencial

Examine as seguintes situacoes:

• Quando estamos dentro de um veıculo em movimento, apaisagem circundante e fundamental para estabelecermosos conceitos de movimento e repouso

• Quando observamos o movimento do sol atraves da esferaceleste, podemos concluir que a Terra se movimenta aoredor do Sol.

• Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado, semjanelas, nao saindo dali durante toda a sua existencia.Nesse caso, pode ser que essa pessoa nao tenha condicoesde afirmar se aquele ambiente esta em repouso ou em mo-vimento.

Em todos esses casos, percebemos que o movimento e determi-nado a partir de um referencial: a paisagem e o referencial docarro e o Sol e o referencial da Terra; se uma pessoa passar asua vida toda num ambiente absolutamente fechado, nao terareferencial para perceber qualquer movimento, a nao ser o deseu proprio corpo.

Trajetoria

Este e outro conceito importante no estudo do movimento. Va-mos partir da figura abaixo. Ela representa uma esfera aban-donada de um aviao que voa com velocidade constante:

A8−132

Em relacao ao solo, a trajetoria da esfera e um arco deparabola; e em relacao ao aviao, a trajetoria e um segmentode reta vertical.

Entao, podemos concluir que a trajetoria:

• e a linha descrita ou percorrida por um corpo em movi-mento;

• depende do referencial adotado.

Deslocamento × Distancia Percorrida

A distancia percorrida por um corpo durante um movimentoe a grandeza escalar que corresponde ao comprimento do seg-mento que representa a trajetoria descrita pelo corpo neste mo-vimento, em relacao ao referencial adotado. O deslocamentode um corpo e uma grandeza vetorial, cujo modulo equivaleao comprimento do segmento de reta, compreendidos entre ospontos inicial e final do movimento.

A

B C4 m

5 m3 m

Na figura, uma partıcula, saindo do ponto A, percorre a tra-jetoria ABC. A distancia percorrida pela partıcula e a somados trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7 me-tros. Ja o deslocamento e representado pela distancia entre oponto A e ponto C, que e igual a 5 metros.

A

B C4 m

5 m3 m

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Observacoes

• O deslocamento foi representado por um segmento de retaorientado que denominamos de vetor; os vetores represen-tam as grandezas vetoriais.

• O deslocamento e a menor distancia entre o ponto de saıdae o ponto de chegada do corpo.

• Numa trajetoria retilınea a distancia percorrida e o des-locamento podem ser iguais.

Deslocamento Escalar ∆s

E a variacao de espaco s. E medido em metros, quilometros,centımetros, etc. Ou seja:

∆s = s− s0

onde s0 e o espaco inicial s e o espaco final.

O deslocamento escalar pode ser positivo, negativo ou nulo.

Quando ∆s > 0 o movimento e a favor da orientacao da tra-jetoria; quando ∆s < 0 o movimento e contra a orientacao datrajetoria, mas se ∆s = 0 a posicao final e igual a inicial.

Importante

Ha duas possibilidades para ∆s = 0:

• o corpo pode nao ter se movimentado;

• o corpo pode ter se movimentado mas retornado a posicaoinicial;

Velocidade Escalar Media

Quando falamos que um veıculo percorreu 100 km em 2 he facil determinar que em media ele 50 km a cada 1 h. Nosdividimos a distancia total e o tempo total da viagem. Isso naosignifica que o veıculo andou sempre na mesma velocidade, poiso veıculo pode ter parado em um posto de combustıvel paraabastecer.

Nos sabemos apenas a distancia total e o tempo total da vi-agem, nada sabemos dos acontecimentos durante a mesma.Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e an-dando sempre na mesma velocidade ele deveria andar semprea 50 km/h. E a velocidade escalar media. Normalmente naousaremos o termo distancia e sim deslocamento escalar (∆s)e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos intervalo detempo (∆t). Dessa maneira:

Vm =∆s

∆t=

s− s0

t− t0

A unidade de velocidade no SI e o m/s.

Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos:

1 km/h =1000 m

3600 s=

1

3, 6m/s

e tambem

1 m/s = 3, 6 km/h

Velocidade Escalar

Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentido domovimento.

Exemplos

1. Va = +10 m/s: a cada segundo o movel anda 10 m eindica movimento no sentido da orientacao da trajetoria.

2. Vb = −10 m/s: a rapidez e a mesma do movel anteriore o movimento e no sentido oposto ao da orientacao datrajetoria.

Aceleracao

Mede a rapidez da mudanca da velocidade, e a variacao davelocidade em funcao do tempo. Imagine um movimento coma velocidade mudando a cada segundo:

t(s) 0 1 2 3v(km/h) 10,0 13,6 17,2 21,8

A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja, avelocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso e, a ace-leracao e:

a = +3, 6 km/h

s=

1, 0 m/s

s= 1 m/s2

Aqui temos uma aceleracao positiva, pois a velocidade vai au-mentando (em modulo) com o tempo.

Outro Exemplo

Imagine o seguinte movimento:

t(s) 0 1 2 3v(m/s) 50 45 40 35

A cada segundo a velocidade varia (diminui) em −5 m/s, ouseja:

a =−5 m/s

s= −5 m/s2

Nesse caso a aceleracao e negativa, pois a velocidade vai dimi-nuindo (em modulo) com o tempo.

Aceleracao Escalar Media (am)

E a variacao total da velocidade em relacao ao intervalo totalde tempo.

am =∆v

∆t=

v − v0

t− t0

Unidades SI

No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos(s), e a aceleracao em m/s2.

Page 66: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Cinematica – Aula 2 57

Exercıcios de Aplicacao

1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempo de1 min e 40 s. A velocidade escalar media do atleta e de:a) 8, 0 km/hb) 28, 8 m/sc) 28, 8 km/hd) 20, 0 m/se) 15, 0 km/h

2. (UEL) Um movel percorreu 60, 0 m com velocidade de15, 0 m/s e os proximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidademedia durante as duas fases foi de:a) 15, 0 m/sb) 20, 0 m/sc) 22, 5 m/sd) 25, 0 m/se) 30, 0 m/s

3. (VUNESP) Ao passar pelo marco “km 200”de uma rodo-via, um motorista ve um anuncio com a inscricao “ABASTE-CIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Conside-rando que esse posto de servicos se encontra junto ao marco“km 245”dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciantepreve, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velo-cidade media, em km/h, de:a) 80b) 90c) 100d) 110e) 120

Exercıcios Complementares

4. (FUVEST) Partindo do repouso, um aviao percorre a pistacom aceleracao constante e atinge a velocidade de 360 km/hem 25 segundos. Qual o valor da aceleracao, em m/s2?a) 9,8b) 7,2c) 6,0d) 4,0e) 2,0

5. (PUC) Um trem esta com velocidade escalar de 72 km/hquando freia com aceleracao escalar constante de modulo iguala 0, 40 m/s2. O intervalo de tempo que o trem gasta paraparar, em segundos, e de:a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte comuma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motorista ob-serva que o ponteiro do velocımetro marca 72 km/h. Sabendoque a travessia dura 5, 0 segundos, a aceleracao do carro du-rante a travessia e de:a) 1 m/s2

b) 2 m/s2

c) 3 m/s2

d) 4 m/s2

e) n.d.a

Cinematica Aula 2

Movimento Uniforme (MU)

Suponhamos que voce esteja dirigindo um carro de tal formaque o ponteiro do velocımetro fique sempre na mesma posicao,por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessa condicao,voce ira percorrer 80 km a cada hora de viagem, em duas horaspercorrera 160 km, e assim por diante. O movimento descritonessa situacao e denominado movimento uniforme (MU).

Voce ja deve ter notado, entao, que no movimento uniforme ovalor do modulo da velocidade e constante e nao nulo, isto e,o movel percorre espacos iguais em intervalos de tempo iguais.Se, alem da velocidade apresentar valor constante e a trajetoriafor retilınea, o movimento e dito movimento retilıneo uni-forme (MRU).

Equacao Horaria do MU

Ao longo de um movimento, a posicao de um movel varia nodecorrer do tempo. E util, portanto, encontrar uma equacaoque forneca a posicao de um movel em um movimento uniformeno decorrer do tempo. A esta equacao denominamos equacaohoraria do movimento uniforme.

Considere entao, o nosso amigo corredor percorrendo com ve-locidade constante v a trajetoria da figura.

O

tt

x x X

0

0

Figura 1.1: Movimento uniforme (MU).

Onde: x0 e a sua posicao inicial no instante t0 = 0 e x e a suanova posicao no instante t posterior. A velocidade do corredorno intervalo de tempo ∆t = t− t0 = t e

v =∆x

∆t=

v − v0

t

e se v e sempre constante, para qualquer instante t, entaotemos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como atrajetoria do movimento e retilınea, temos um movimento re-tilıneo uniforme (MRU).

Invertendo-se a equacao acima, podemos escrever a equacaohoraria do movimento:

x(t) = x0 + vt

que nos da a posicao x(t) em cada instante t > 0, para todo omovimento.

Grafico da Velocidade v × t

No movimento uniforme, o diagrama da velocidade em funcaodo tempo v × t x e uma reta paralela ao eixo dos tempos,

Page 67: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

58 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

uma vez que a velocidade e constante e nao varia ao longodo tempo.

t

v

O

v > 0

t

v

O t

v

O

v < 0

v = 0

Figura 1.2: Grafico v× t para o MU: para a direita v > 0 (a);para a esquerda v < 0 (b) e repouso v = 0 (c).

Importante

• Quando o movimento e na direcao positiva do eixo orien-tado (o sentido positivo usual e para a direita) a veloci-dade do movel e positiva (v > 0). Neste caso x cresce como tempo;

• Quando o movimento e na direcao negativa do eixo orien-tado (sentido negativo usual e para a esquerda) a veloci-dade do movel e negativa (v < 0), e neste caso, x decrescecom o tempo.

Neste caso como a velocidade esta abaixo do eixo das abs-cissas, esta possui valor negativo, ou seja esta em sentidocontrario ao da trajetoria.

• E importante notar que a velocidade corresponde a alturada reta horizontal no grafico v × t.

• A area de um retangulo e dada pelo produto da base pelaaltura: o deslocamento, pelo produto da velocidade pelotempo.

O

∆ x = vt = Área

t

v

Figura 1.3: O deslocamento e igual a area sob a curva dografico v × t.

Grafico da Posicao x× t

Como a equacao horaria no movimento uniforme e umaequacao do primeiro grau, podemos dizer que, para o movi-mento uniforme, todo grafico x × t e uma reta inclinada emrelacao aos eixos. Quando o movimento e progressivo (paraa direita) a reta e inclinada para cima, indicando que os va-lores da posicao aumentam no decorrer do tempo; quando omovimento e retrogrado (para a esquerda), a reta e inclinadapara baixo indicando que os valores da posicao diminuem nodecorrer do tempo.

Observe no grafico que, de acordo com a equacao horaria, avelocidade pode ser dada pela inclinacao da reta, ou seja

v = tan θ

A inclinacao da reta tambem denominada e chamada de de-clividade ou coeficiente angular da reta.

θ

ab

c

Figura 1.4: Inclinacao de uma reta tan θ = b/c.

Lembre-se de que a tangente de um angulo, num trianguloretangulo, e dada pela relacao entre cateto oposto e o catetoadjacente:

Para o movimento progressivo temos o seguinte grafico:

t

v > 0

O

xo

x

Figura 1.5: Grafico x × t para o movimento uniforme (MU)progressivo.

E para o movimento retrogrado observa-se que:

t

v < 0

O

xo

x

Figura 1.6: [Grafico x × t para o movimento uniforme (MU)retrogrado.

Pense um Pouco!

• Um trem com 1 km de extensao viaja a velocidade de1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessarum tunel de 2 km de comprimento?

• Como seria o grafico x× t para um objeto em repouso?

Page 68: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Cinematica – Aula 3 59

• No grafico x× t, qual a interpretacao fısica da interseccaoda reta com o eixo do tempo t?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UEL) Um automovel mantem uma velocidade escalar cons-tante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre uma distanciaigual a:a) 79, 2 kmb) 80, 8 kmc) 82, 4 kmd) 84, 0 kme) 90, 9 km

2. (ITAUNA-RJ) A equacao horaria de um certo movimentoe x(t) = 40−8t no SI. O instante t, em que o movel passa pelaorigem de sua trajetoria, sera:a) 4 sb) 8 sc) 32 sd) 5 se) 10 s

3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de ummesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e5 m/s, caminhando na mesma direcao e no mesmo sentido.Depois de meio minuto, qual a distancia entre elas?a) 1, 5 mb) 60, 0 mc) 150, 0 md) 30, 0 me) 90, 0 m

Exercıcios Complementares

4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, com velo-cidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessar total-mente uma ponte. O comprimento da ponte e:a) 120 mb) 100 mc) 125 md) 80 me) nenhuma resposta e correta

5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, em umradar da polıcia a 108 km/h. Se uma viatura esta, logo adi-ante a uma distancia de 300 m do radar, em quanto tempo omotorista passara pela viatura?a) 7 sb) 13 sc) 20 sd) 10 se) 16 s

6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as funcoes horariasde posicao x1(t) = 100 + 4t e x2(t) = 5t, com unidades do SI,o encontro dos moveis se da no instante:a) 0 sb) 400 sc) 10 sd) 500 se) 100 s

Cinematica Aula 3

Movimento Uniformemente Variado

(MUV)

Analisando um movimento de queda livre, podemos verificarque o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrerdo tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo variacom o tempo. Trata-se entao de um movimento variado.

Galileu ja havia descoberto esse movimento e concluiu que,desprezando a resistencia do ar, quando abandonamos do re-pouso os corpos proximos a superfıcie da terra caem com velo-cidades crescentes, e que a variacao da velocidade e constanteem intervalos de tempos iguais. Podemos entao concluir queeste e um movimento uniformemente variado (MUV).

Observamos um MUV quando o modulo da velocidade de umcorpo varia de quantidades iguais em intervalos de temposiguais, isto e, apresenta aceleracao constante e diferente dezero.

No caso da trajetoria ser retilınea, o movimento e denominadomovimento retilıneo uniformemente variado (MRUV).Portanto em um movimento retilıneo uniforme.

Aceleracao e Velocidade no MRUV

a = constante 6= 0

Como a aceleracao escalar e constante, ela coincide com a ace-leracao escalar media:

a = am =∆v

∆t=

v − v0

t− t0

fazendo t0 = 0, podemos escrever a equacao horaria da veloci-dade, ou seja

v = v0 + at

t

v

O t

v

Ot

v

O a > 0 a > 0 a = 0v < 0o v > 0ov > 0o

MRUV MRUV MRU

Figura 1.1: v × t para o MRUV com a ≥ 0.

Posicao versus tempo no MRUV

Analisando o grafico de v× t, podemos obter a funcao horariados espaco calculando o deslocamento escalar desde t = 0 ateum instante t qualquer. Como:

∆s = area

Page 69: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

60 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

v < 0ov = 0o

t

v

O t

v

O

v

O

MRUV MRUV MRU a = 0a < 0a < 0v > 0

t

o

Figura 1.2: v × t para o MRUV com a ≤ 0.

∆s =

(v + v0

2

)

t

como:

∆s = s− s0

e

v = v0 + at

temos

s− s0 =1

2(v0 + at + v0)t

s− s0 =1

2(2v0 + at)t = v0t +

1

2at2

logo,

s(t) = s0 + v0t +1

2at2

e a funcao horaria dos espacos s(t).

ov < 0ov = 0

ox = 0

ox = 0

ov < 0ox < 0

t

x

O t

x

Ot

x

O

a > 0a > 0 a > 0

Figura 1.3: x× t para o MRUV com a > 0.

ov = 0ox = 0

a < 0

ov > 0ox = 0

ov = 0ox > 0

t

x

O t

x

Ot

x

O a < 0 a < 0

Figura 1.4: x× t para o MRUV com a < 0.

A Equacao de Torricelli

O fısico italiano Evangelista Torricelli estudou matematica emRoma. Nos ultimos meses de vida de Galileu, Torricelli se tor-nou seu aluno e amigo ıntimo, o que lhe proporcionou a opor-tunidade de rever algumas teorias do mestre. Uma das con-sequencias disso foi a unificacao que Torricelli fez das funcoeshorarias estabelecidas por Galileu para o movimento unifor-memente variado.

Torricelli eliminou o tempo da funcao

v = v0 + at

obtendot = (v − v0)/a

e substituindo o valor de t na funcao horaria dos espacos, temos

s = s0 + vmt = s0 +

(v + v0

2

) (v − v0

a

)

onde vm e a velocidade media do movimento.

Finalmente, obtemos a equacao de Torricelli:

v2 = v20 + 2a∆s

Pense um Pouco!

• Imagine que voce esta no interior de um automovel em mo-vimento. O automovel e suficientemente silencioso e ma-cio para que voce nao perceba sua velocidade e variacoesde velocidade. Apenas olhando para o velocımetro do au-tomovel, sem olhar pelas janelas e para-brisas, e possıvelclassificar o movimento do automovel?

• Pode-se usar a equacao de Torricelli para se determinara altura atingida por um projetil lancado verticalmentepara cima? Como?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UEL) Uma partıcula parte do repouso e, em 5 segun-dos percorre 100 metros. Considerando o movimento retilıneouniformemente variado, podemos afirmar que a aceleracao dapartıcula e de:a) 8, 0 m/s2

b) 4, 0 m/s2

c) 20 m/s2

d) 4, 5 m/s2

e) n.d.a.

2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de 15 m/s,tem, seu freio acionado. A desaceleracao produzida pelo freioe de 10 m/s2. O carro para apos percorrer:a) 15, 5 mb) 13, 35 mc) 12, 15 md) 11, 25 me) 10, 50 m

3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movimentoretilıneo e dada pela expressao v(t) = 10 − 2t, no SI. Calculeo espaco percorrido pelo corpo entre os instantes 2 s e 3 s.

Page 70: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Cinematica – Aula 4 61

a) 3 mb) 5 mc) 8 md) 16 me) 21 m

Exercıcios Complementares

4. (CEFET) Na decolagem, um certo aviao partindo do re-pouso, percorre 500 m em 10, 0 s. Considerando-se sua ace-leracao constante, a velocidade com que o aviao levanta vooe:a) 100 m/sb) 200 m/sc) 125 m/sd) 50 m/se) 144 m/s

5. (UNESP) Um movel descreve um movimento retilıneo obe-decendo a funcao horaria x(t) = 8 + 6t− t2 no SI. Esse movi-mento tem inversao de seu sentido no instante:a) 8 sb) 3 sc) 6 sd) 2 se) 4/3 s

6. (UNESP) No instante em que o sinal de transito auto-riza a passagem, um caminhao de 24 m de comprimento queestava parado comeca atravessar uma ponte de 145 m decomprimento, movendo-se com uma aceleracao constante de2, 0 m/s2. O tempo que o caminhao necessita para atravessarcompletamente a ponte e:a) 12 sb) 145 sc) 13 sd) 169 se) 14 s

Cinematica Aula 4

Queda Livre

Um corpo e dito em queda livre quando esta sob acao exclusivada gravidade terrestre (ou da gravidade de outro corpo celeste).

Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez, aqueda livre de corpos.

Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto e,livres do efeito da resistencia do ar, tem uma propriedade co-mum;

Corpos em queda livre tem a mesma aceleracao quaisquer quesejam suas massas.

Esta aceleracao de queda livre e denominada aceleracao dagravidade e, nas proximidades da terra, e suposta constantee com modulo g = 9.8 m/s2, valor este que por praticidade, eusualmente aproximado para g = 10 m/s2.

Na realidade, a aceleracao da gravidade, embora seja indepen-dente da massa do corpo em queda livre, varia com o local,dependendo da latitude e da altitude do lugar.

Se o corpo em queda livre tiver uma trajetoria retilınea, seumovimento sera uniformemente variado; neste caso, a ace-leracao escalar do corpo sera constante e valera sempre a = −g,independente do sentido do movimento. Desta forma, se umobjeto for lancado para cima (v0 > 0), ele ira frear (desacele-rar) ate parar (v = 0) e depois seu sentido de movimento serainvertido (v > 0).

Convencoes

• o sentido positivo do eixo vertical e debaixo para cima;

• quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimento eacelerado (v cresce em modulo);

• quando a e v possuem o sinais contrarios, o movimentoe desacelerado, freado ou entao dito tambem retardado (vdiminui em modulo);

Velocidade Escalar Final

Em um local onde o efeito do ar e desprezıvel e a aceleracao dagravidade e constante e com modulo g, um corpo e abandonadoa partir do repouso de uma altura h acima do solo.

Vamos obter a velocidade escalar final de um corpo ao solto(v0 = 0), atingir o solo. Pela equacao de Torricelli:

v2 = v20 + 2a∆s = v2

0 + 2a(s− s0)

sendo s0 = h e s = 0, temos:

v2 = 0 + 2(−g)(0− h) = 2gh

entaov = −

2gh

sera a sua velocidade escalar ao atingir o chao. Escolhemoso sinal negativo (−) porque o corpo esta descendo, contra osentido crescente do eixo vertical (que e para cima).

Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a velocidadefinal v, como era de se esperar, mas que v nao e proporcionala h.

Tempo de Queda

Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que um corpoe solto (v0 = 0) de uma altura h, ate atingir o solo. Pelaequacao horaria da velocidade do MRUV, temos:

v(t) = v0 + at

e para a queda livre sera

v(t) = v0 − gt

e sendo v0 = 0 e v = −√2gh temos

−√

2gh = 0− gt

e finalmente

t =

√2gh

g=

2h

g

Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempode queda t, como tambem era de se esperar, e que t tambemnao e proporcional a h.

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62 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

ov = 0

t

v a = −g

tq0

Figura 1.1: v × t para a queda livre.

x

0

ox = hov = 0a = −g

h

qt t

Figura 1.2: x× t para a queda livre.

Lancamento Vertical

Em um local onde o efeito do ar e desprezıvel e a aceleracaoda gravidade e constante e com modulo igual a g, um projetile lancado verticalmente para cima com velocidade de moduloigual a v0.

Estudemos as propriedades associadas a este movimento:

s(t) = s0 + v0t−1

2gt2

ev(t) = v0 − gt

Observa-se que:

• o movimento do projetil e uniformemente variado porquea aceleracao escalar e constante e diferente de zero;

• como foi lancado para cima, a velocidade inicial do projetile positiva (v0 > 0);

• orientando-se o eixo vertical para cima, como de costume,a aceleracao escalar vale −g;

• A partir do ponto mais alto da trajetoria, o projetil inverteo sentido de seu movimento e , portanto, sua velocidadee nula no ponto mais alto (ponto de inversao);

• O tempo de subida ts do projetil e calculado como sesegue:

sev(t) = v0 − gt

e v(ts) = 0 para a posicao mais alta, temos

0 = v0 − gts

e finalmentets =

v0

g

Pode-se mostrar que o tempo de descida e igual ao tempode subida. Mostre voce mesmo.

• a velocidade escalar de retorno ao solo e calculada comose segue:

como o tempo total de voo e 2ts, temos

v(2ts) = v0 − g(2ts) = v0 − g

(2v0

g

)

ou seja, a velocidade de retorno sera

v = −v0

A mesma aceleracao que retarda a subida do projetil ea que o acelera na descida e tem modulo constante g,portanto concluımos que que ao retornar ao solo, o projetilchaga com a mesma velocidade inicial de lancamento, emmodulo.

• A altura maxima atingida pelo projetil e calculada a partirda equacao de Torricelli:

v2 = v20 + 2a∆s

e como v = 0 e ∆s = h, temos

0 = v20 + 2(−g)h

donde

h =v20

2g

Observe que quanto maior a velocidade inicial v0, maiora altura h atingida pelo projetil, como era de se esperar,e que h nao e proporcional a v0.

Pense um Pouco!

• Por que uma folha inteira e outra amassada nao chegamjuntas ao chao, quando soltas simultaneamente de umamesma altura?

• Um corpo pode ter aceleracao a 6= 0 e v = 0? Como?

• Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando parabaixo (a < 0)? Como?

• por que nao se deve dar um tiro para cima com uma armade fogo?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFAL) Uma pedra e abandonada de uma altura de 7, 2 m,adotando g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistencia do ar,pode-se afirmar que a sua velocidade escalar ao atingir o solosera:a) 12 m/sb) 36 m/sc) 360 m/sd) 18 m/se) 180 m/s

2. (FUVEST) Um corpo e solto, a partir do repouso, do topode um edifıcio de 80 m de altura. Despreze a resistencia do ar

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Cinematica – Aula 5 63

e adote g = 10 m/s2. O tempo de queda ate o solo e o moduloda velocidade com que o corpo atinge o solo sao:a) 4, 0 s e 72 km/hb) 2, 0 s e 72 km/hc) 2, 0 s e 144 km/hd) 4, 0 s e 144 km/he) 4, 0 s e 40 km/h

3. (FUVEST) Um corpo e disparado do solo, vertical-mente para cima, com velocidade inicial de modulo igual a2, 0.102 m/s. Desprezando a resistencia do ar e adotandog = 10 m/s2, a altura maxima alcancada pelo projetil e otempo necessario para alcanca-la sao respectivamente:a) 4, 0 km e 40 sb) 2, 0 km e 40 sc) 2, 0 km e 10 sd) 4, 0 km e 20 se) 2, 0 km e 20 s

Exercıcios Complementares

4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um metodo interessantepara conseguir degustar uma de suas presas favoritas – o caran-guejo. Consiste em suspende-lo a uma determinada altura e aıabandonar sua vıtima para que chegue ao solo com uma velo-cidade de modulo igual a 30 m/s, suficiente para que se quebrepor inteiro. Despreze a resistencia do ar e adote g = 10 m/s2.A altura de elevacao utilizada por essas aves e:a) 15 mb) 45 mc) 90 md) 30 me) 60 m

5. (UNICAMP) Uma atracao que esta se tornando muito po-pular nos parques de diversao consiste em uma plataforma quedespenca, a partir do repouso, em queda livre de uma alturade 75 m. Quando a plataforma se encontra a 30 m do solo, elapassa a ser freada por uma forca constante e atinge o repousoquando chega ao solo. A velocidade da plataforma quando ofreio e acionado e dada por :a) 10 m/sb) 30 m/sc) 75 m/sd) 20 m/se) 40 m/s

6. (CEFET-PR) Um balao meteorologico esta subindo comvelocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma alturade 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que oaparelho leva para chegar ao solo e:a) 2 sb) 4 sc) 5 sd) 3 se) 7 s

Cinematica Aula 5

Movimento Circular Uniforme (MCU)

Em um movimento onde a trajetoria e uma circunferencia (ouarco de uma circunferencia) e a velocidade escalar e cons-tante, este e denominado como movimento circular uni-forme (MCU). Neste movimento a partıcula e localizada pelasua posicao angular θ, que varia uniformemente com o tempo.

v1

v2

v3

v4

R

θ

Figura 1.1: O movimento circular uniforme (MCU).

No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda otempo todo, porem mantem fixo o seu modulo (velocidade es-calar).

Movimento Periodico

Um movimento e chamado periodico quando todas as suascaracterısticas (posicao, velocidade e aceleracao) se repetemem intervalos de tempo iguais.

O movimento circular e uniforme e um exemplo de movimentoperiodico, pois, a cada volta, o movel repete a posicao, a velo-cidade e a aceleracao.

Perıodo (T )

Define-se como perıodo (T ) o menor intervalo de tempo paraque haja repeticao das caracterısticas do movimento. No mo-vimento circular e uniforme, o perıodo e o intervalo de tempopara o movel dar uma volta completa.

Como e uma medida de tempo, a unidade SI do perıodo e osegundo.

Frequencia (f)

Define-se a frequencia (f) de qualquer movimento periodicocomo o numero de vezes que as caracterısticas do movimentose repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, 1 s.

No movimento circular uniforme, a frequencia e o numero devoltas realizadas na unidade de tempo. Se o movel realiza nvoltas em um intervalo de tempo t, a frequencia f e dada por:

f =n

t

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e por definicao, como no MCU o tempo de uma volta completa(n = 1) e o proprio perıodo do movimento, temos que

f =1

T

A unidade SI da frequencia f e s−1 ou tambem chamadode hertz, cuja abreviacao e Hz. Pode-se tambem medir afrequencia em rotacoes por minuto ou rpm.

Exemplo

Se um movimento tem frequencia de 2, 0 Hz, entao sao dadasduas voltas completas por segundo, ou seja, o perıodo do mo-vimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60 segundos,esse movimento tera uma frequencia de 120 rpm.

Velocidade Escalar v

Para uma volta completa, em uma circunferencia de raio R,temos que

v =∆s

∆t=

2πR

T

logo, para o MCU temos

v = 2πRf

Velocidade Angular ω

Define a velocidade angular ω de forma semelhante a definicaode velocidade v, so que nesse caso estamos interessados navariacao da posicao angular ocorrida no MCU. Entao:

ω =∆θ

∆t=

θ − theta0

t

Para uma volta completa, temos que o deslocamento angularsera 2π e t = T , temos

ω =2π

T= 2πf

Unidades SI

A velocidade angular ω e medida em rad/s no SI.

Relacao entre v e ω

Como a velocidade escalar no MCU e v = 2πRf e ω = 2πf ,entao

v = ωR

Ou seja, a velocidade escalar v e proporcional a velocidadeangular ω.

Vetores no MCU

Ja vimos que no movimento circular e uniforme, a velocidadevetorial tem modulo constante, porem direcao variavel e, por-tanto o vetor v e variavel. Sendo a velocidade vetorial variavel,vamos analisar a aceleracao vetorial a.

Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at daaceleracao vetorial e nula:

at =∆v

∆t= 0

Sendo a trajetoria curva, a componente normal an da ace-leracao, ou tambem chamada de aceleracao centrıpeta nao enula (an 6= 0).

O modulo da aceleracao centrıpeta pode ser calculado pelaseguinte expressao:

ac =∆v

∆t=

2v sin(∆θ/2)

∆t

e como ∆θ = ω∆t, e o angulo ∆θ e pequeno para ∆t pequeno,temos

sin∆θ

2≃ ∆θ

2e

ac =2ωR∆θ/2

∆θ/ω= ω2R

ou entao, como v = ωR

ac =v2

R

∆(t+ t)v

v(t)

v(t)

∆(t+ t)v

∆ vca

∆θ=ο∆t ∆θ=ο∆t

θ = οt

R

Figura 1.2: A aceleracao centrıpeta (normal).

Pense um Pouco!

• Certos fenomenos da natureza, como a trajetoria da Terraem torno do Sol e o movimento dos satelites apresentammovimento circular uniforme? De exemplos.

• Imagine um disco girando em torno do seu centro. Asvelocidades de todos os seus pontos sao iguais em modulo?Explique.

• Como sao os vetores de velocidade de diferentes pontos deuma mesma roda (disco) que gira? Faca um esboco dosvetores.

• Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos deum relogio mecanico?

Exercıcios de Aplicacao

1. (FCC) Uma partıcula executa um movimento uniformesobre uma circunferencia de raio 20 cm. Ela percorre metadeda circunferencia em 2, 0 s. A frequencia, em hertz, e o perıodo

Page 74: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Cinematica – Aula 5 65

do movimento, em segundos, valem, respectivamente :a) 4,0 e 0,25b) 1,0 e 1,0c) 0,25 e 4,0d) 2,0 e 0,5e) 0,5 e 2,0

2. (UFES) Uma pessoa esta em uma roda-gigante que temraio de 5 m e gira em rotacao uniforme. A pessoa passa peloponto mais proximo do chao a cada 20 segundos. Podemosafirmar que a frequencia do movimento dessa pessoa, em rpm,e:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

3. (ITA) Um automovel percorre uma trajetoria com velo-cidade escalar constante. A roda do automovel, cujo raio e30 cm, da 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade angular da rodae, em rad/s:a) 20π rad/sb) 30π rad/sc) 40π rad/sd) 50π rad/se) 60π rad/s

Exercıcios Complementares

4. (ACAFE) Um automovel percorre uma estrada com veloci-dade escalar constante e igual a 8, 0 m/s e suas rodas possuemraio R = 0, 40 m. A frequencia de rotacao da roda e:a) 5/π Hzb) 8/π Hzc) 12/π Hzd) 6/π Hze) 10/π Hz

5. (FUVEST) Um ciclista percorre uma pista circular de500 m de raio, com velocidade escalar constante de 20 m/s. Aaceleracao do ciclista e:a) 0, 5 m/s2

b) 0, 8 m/s2

c) 1, 4 m/s2

d) 0, 6 m/s2

e) 1, 2 m/s2

6. (CEFET-PR) A orbita da Terra em torno do Sol, em razaoda sua baixa excentricidade, e aproximadamente uma circun-ferencia. Sabendo-se que a terra leva um ano para realizaruma volta completa em torno do Sol e que a distancia mediada Terra ao Sol e 150 milhoes de km, os modulos dos vetoresda velocidade e aceleracao em km/s e m/s2 sao respectiva-mente:a) 10 e 2, 0× 10−3

b) 20 e 2, 0× 10−3

c) 30 e 6, 0× 10−3

d) 20 e 6, 0× 10−3

e) 10 e 6, 0× 10−3

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Ondas – Aula 1 67

Ondas Aula 1

Ondas

Movimento Harmonico Simples

O movimento harmonico simples (MHS) e um movimento re-petitivo ao longo do tempo, por exemplo, quando observamosum peso suspenso por uma mola bastante flexıvel (movimentona vertical); ou entao suspenso por um fio longo (movimentona horizontal - pendulo simples).

Todo MHS pode ser pensado como sendo a projecao de ummovimento circular e uniforme num dos diametros da circun-ferencia percorrida. Para isto, admita um eixo cartesiano comorigem no centro da circunferencia correspondente ao movi-mento circular.

Voce podera estudar a projecao sobre o eixo dos x, obtendouma equacao do tipo

x(t) = R cos(ωt + θ0)

ou sobre o eixo dos y, obtendo a equacao analoga

y(t) = Rsen (ωt + θ0)

Para o movimento circular sabemos que R e o raio da circun-ferencia, ω a velocidade angular do objeto em movimento cir-cular e uniforme, e θ0 e a posicao angular inicial ocupada peloobjeto no instante t0 = 0 (θ0 equivale, em termos angulares,ao s0 dos movimentos estudados ao longo de trajetorias).

Assim, podemos entender o significado das constantes do MHS:R = A e a amplitude do movimento a partir do centro deoscilacao;ω recebe tambem a denominacao de frequencia angular (efacil demonstrar que w = 2π

T , em que T e o perıodo do MHS;ωt + θ0, o argumento do seno (ou cosseno), e a chamada fasedo movimento, e depende do tempo t e, desta forma, quandot = 0 temos (ωt + θ0) = θ0;θ0 e a fase inicial.

Depois desse entendimento, podemos reescrever as equacoesanteriores em termos das amplitudes A ao inves do raio R,entao:

x(t) = A cos(ωt + θ0)

y(t) = Asen (ωt + θ0)

Pendulo Simples

Vamos estudar com maiores detalhes o MHS que se observaem um pendulo simples. O pendulo simples consiste em umapartıcula de massa m suspensa por um fio inextensıvel, demassa desprezıvel e comprimento L, que oscila num plano ver-tical, fixo na extremidade superior do fio, como vemos na figuraabaixo:

Esse problema pode ser considerado um problema de MHSsomente para pequenos angulos de abertura, ou seja, afasta-seo pendulo ligeiramente de sua posicao de equilıbrio, e solta-se.Observa-se que a partıcula executa um movimento circular deraio L, porem de vai-e-vem, portanto com velocidade variavel.

mgcosθ

mgsinθ

θL

O

T

x

mg

Figura 1.1: Pendulo Simples.

Ignorando a resistencia do ar, as forcas que atuam sobre apartıcula sao a forca peso, exercida pela Terra, e a tensao,exercida pelo fio. Como o fio e inextensıvel, a componente dopeso ao longo do fio cancela a forca de tensao. A resultante dasforcas que atuam sobre a partıcula e, portanto, a componentedo peso na direcao do movimento da partıcula, cujo modulovale mgsen (θ).

A partıcula do pendulo descreve um arco de circunferencia.Mas, se a amplitude do movimento e muito menor que o com-primento L do fio, ou seja, se o angulo θ e pequeno, podemosaproximar o arco por um segmento de reta horizontal sobre oqual fixamos o eixo x, com origem onde a vertical tirada doponto de suspensao do pendulo corta esse eixo.

Entao, fazendo

sen θ =x

L,

o modulo da forca resultante sobre a partıcula fica:

F (x) = −mg

Lx

Analise dos Sinais

O sinal negativo indica que a forca resultante aponta na mesmadirecao que aquela escolhida como positiva para o eixo xquando a elongacao e negativa e na direcao oposta quanto aelongacao e positiva. Ou seja, a forca e restauradora, poisquando a partıcula vai para a direita (x > 0) a forca horizontal“puxa”ela para a esquerda (F < 0), e quando ela vai para a

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esquerda (x < 0), a forca a “empurra”de volta par a direita(F > 0). Atraves desse tipo de forca e que se obtem o MHS.

Observe que a forca dada acima tem a forma geral F (x) =−kx, onde k = mg/L nesse caso. Essa forca lembra algumaoutra lei ou sistema fısico ja estudado? Qual?

Dica de Vestibular

DICA: normalmente as grandezas que mais se pedem em ves-tibulares sao o perıodo (T ) e a frequencia (f) de um pendulosimples, nao que as outras grandezas nao tenham importanciae sim pela sua simplicidade matematica e conteudo teorico,entao, resumidamente em termos do perıodo temos:

T =2π

ω

T = 2πf

T =1

f

T = 2π

L

g

E em termos da frequencia temos:

f =w

f =1

T

f =1

√g

L

Pense um Pouco!

1. Como podemos determinar a aceleracao da gravidade comum pendulo Simples?

2. O movimento de translacao da terra em torno do sol e umMHS?

Exercıcios de Aplicacao

1. Um pendulo oscila, na Terra com perıodo igual a 4 se-gundos. Determinar o perıodo desse mesmo pendulo em umplaneta onde a aceleracao da gravidade e quatro vezes maiorque a da Terra.

2. Um MHS (movimento harmonico simples) e descrito pelafuncao horaria x(t) = 5cos(πt/2 + 3π/2), com x em metros et em segundos. E correto afirmar que:a) a amplitude do movimento e 10 m.b) a velocidade angular e 5π/2 rad/s.c) a frequencia do movimento e 0, 25 Hz.d) o perıodo do movimento e 0, 50 s.e) a fase inicial e 3π radianos.

3. Um pendulo simples de massa m executa oscilacoes de pe-quena abertura angular e realiza um MHS. Entao o seu perıodode oscilacao:a) independe do comprimento do pendulo.b) e proporcional ao comprimento do pendulo.

c) independente do valor da aceleracao da gravidade local.d) e inversamente proporcional ao valor da aceleracao da gra-vidade local.e) independe da massa m.

Exercıcios Complementares

4. Faca testes numericos para estimar ate onde vale a relacaosen θ ≈ θ, para angulos theta dados em rad, com a precisao deate duas casas decimais.

5. Para dobrar a frequencia de oscilacao de um pendulo sim-ples e suficiente:a) transporta-lo para um planeta de aceleracao da gravidadeduas vezes maior.b) transporta-lo para um planeta de aceleracao da gravidadequatro vezes.c) dobrar o comprimento do fio.d) reduzir a quarta parte o comprimento do fio.e) dobrar a massa pendular.

6. Ache a relacao entre o comprimento de dois pendulos paraque um realize nove oscilacoes enquanto o outro realiza dezes-seis oscilacoes.

7. Determine o comprimento de um pendulo simples que pos-sui perıodo igual a 1, 0 s. Use g = 10 m/s2.

Ondas Aula 2

Ondas

Denomina-se onda ao movimento coletivo causado por umaperturbacao que se propaga atraves de um meio.

Tipos de Ondas

Quanto a necessidade ou nao de um meio mecanico, as ondasse classificam em dois grandes grupos: as ondas mecanicase as ondas eletromagneticas.

Onda Mecanica

Precisa de um meio mecanico natural para se propagar (naose propaga no vacuo).

Exemplos

Uma onda numa corda, ondas sonoras (sons), ondas na su-perfıcie da agua ou numa membrana esticada (tambor).

Onda Eletromagnetica

Nao necessita de um meio mecanico para se propagar, e podese propagar no vacuo ou tambem em meios mecanicos.

Exemplos

Ondas de radio, ondas luminosas, raios X, ondas de calor, comoaquelas que vem do Sol ate a Terra pelo vacuo interestelar.

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Ondas – Aula 2 69

Classificacao das Ondas

Quanto ao tipo de perturbacao propagada pela onda, elas saoclassificadas em transversais ou longitudinais.

Ondas Transversais

Sao aquelas em que a direcao das oscilacoes e perpendicular(ou transversal) a direcao da propagacao da onda.

corda

T

Vibraçao

Propagaçao

T

Figura 1.1: Onda transversal.

Exemplos

Nas ondas eletromagneticas, um campo eletrico e ummagnetico oscilam em planos perpendiculares a direcao de pro-pagacao da onda. Por esta razao, por exemplo, convencionou-se posicionar as antenas de radio em pe, para que o campoeletrico seja emitido verticalmente, enquanto a onda se pro-paga horizontalmente, e desta forma possa ser captado pelasantenas receptoras.

Quando sacudimos a extremidade de uma corda esticada, oumesmo de uma mangueira de jardim, produzimos um pulso dedeslocamento vertical, que se propaga ao longo da direcao dacorda, horizontalmente. Se observarmos de perto, veremos quecada ponto da corda (mangueira) apenas sobe e desce, quandoo pulso passa pela corda. Nao ha um deslocamento horizontalda corda (meio mecanico).

Em campos de futebol, pode-se ver um belo efeito ondulatoriocausado pelos espectadores, a “ola”. Num movimento coorde-nado, os espectadores levantam e sentam, provocando a pro-pagacao de uma onda pelas arquibancadas, que tambem e umaonda transversal. Observe que, se todos levantassem e sentas-sem ao mesmo tempo, nenhuma onda seria observada.

Ondas Longitudinais

Como o proprio nome diz, a onda longitudinal transportaoscilacoes (vibracoes) cuja direcao coincide com a direcao dapropagacao, ou seja, ao longo da direcao de propagacao.

empurrar

pucharrarefações

para a ponta fixacompressões

propagação da onda

oscilações

Figura 1.2: Onda longitudinal.

Exemplos

As ondas sonoras sao ondas de pressao que se propagam lon-gitudinalmente em meios solidos, lıquidos ou gasosos. Quandovoce da uma martelada na extremidade de uma longa barrade ferro (de construcao), a compressao causada na direcao dabarra se propaga, fazendo os pontos da barra oscilarem na

direcao da barra. E claro que uma barra de ferro pode propa-gar, ao mesmo tempo, tanto ondas longitudinais quanto ondastransversais.

Se tomarmos uma mola helicoidal bem longa e mole, com umaextremidade presa ao teto, por exemplo, poderemos verificarque, ao comprimirmos ligeiramente a sua extremidade livre,batendo verticalmente, um pulso de compressao sera propa-gado longitudinalmente, subindo na mola.

Quando um pescador convencional estica sua linha (espera ouespinhel) para pescar, ele percebe a “beliscada”do peixe pelasondas longitudinais transportadas ate a sua mao, pela linhatensa. Quando usa uma boia, ou rolha, ele ve as ondas trans-versais causadas na superfıcie da agua pelas beliscadas dospeixes. Em ambos os casos, as ondas estao sendo usadas paratransmitir informacao, compreendeu?

Ondas no Espaco

Quanto ao tipo de propagacao e a complexidade do movimentoespacial das ondas, podemos classifica-las em unidimensio-nais, bidimensionais ou tridimensionais.

Ondas Unidimensionais

Em alguns casos simples, podemos supor que uma onda sepropaga de forma unidimensional, pois simplificamos a suadescricao reduzindo o movimento ondulatorio a uma dimensaomais relevante.

Exemplo

Por exemplo, ao estudar a propagacao de uma onda sonoradentro de um tubo longo, podemos considerar a onda unidi-mensional, dentro do tubo.

Ondas Bidimensionais

Em outros casos, e evidente que o movimento ondulatorio naopode ser restrito a uma direcao (dimensao), pois ocorre sobreuma superfıcie bidimensional.

Exemplos

No caso de ondas na superfıcie de uma piscina ou lago, oumesmo ondas num tambor (membrana). Neste caso temosondas bidimensionais.

Ondas Tridimensionais

Sao aquelas que se propagam em todas as tres direcoes doespaco, tornando a sua descricao, bastante trabalhosa.

Exemplos

Na explosao de uma “bombinha”, aquelas que a gente sol-tava quando moleque, sao produzidas ondas sonoras que sepropagam a partir de um ponto (pequena regiao do espaco)para todas as direcoes, formando verdadeiras ondas esfericas,que poderao ser percebidas por pessoas no chao, ou mesmopassaros no ar, pois se propagam tridimensionalmente.

Energia Transmitida

Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, pode-mos classifica-la em ondas sonoras, ondas luminosas, ondastermicas, etc.

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Elementos de uma Onda

Ondas Periodicas

Sao aquelas que recebem pulsos periodicos, ou seja, recebempulsos em intervalos de tempo iguais. Portanto, passam porum mesmo ponto com a mesma frequencia.

Unidades SI

As ondas periodicas possuem alguns elementos basicos, quesao:o perıodo P (ou T ), medido em s;o comprimento de onda λ, medido em m;a frequencia f , medida em s−1 ou Hz (hertz);a amplitude y, medida em m;que podem ser verificados na figura abaixo.

Comprimento de Onda

Amplitude

x

Figura 1.3: Elementos de uma onda senoidal.

Relacao Matematicas

v = λf

ondev e = velocidade de propagacao da onda no meioλ e o comprimento da ondaf e a frequencia da onda.

Pense um Pouco!

• Uma pessoa toca numa corda de um violao uma nota evoce ouve o som. Identifique os varios tipos de ondasenvolvidos no processo completo. Comente.

• Nos enxergamos usando luz. Seria possıvel se enxergarcom outro tipo de ondas como o som, por exemplo? Jus-tifique.

Exercıcios de Aplicacao

1. A distancia entre o nıvel de repouso da agua e a “crista”deuma onda, e chamada de:a) timbreb) perıodoc) amplituded) ressonanciae) comprimento de onda

2. Ondas que oscilam na mesma direcao em que se propagamsao chamadas de ondas:a) transversaisb) eletromagneticasc) tensoriais

d) gravitacionaise) longitudinais

3. Quando uma pequena pedra cai num lago tranquilo,formam-se ondas circulares. O fato de as ondas serem cir-culares e uma evidencia de que:a) as ondas transportam energiab) as ondas transportam materiac) a velocidade de propagacao das ondas e a mesma em todasas direcoesd) a velocidade de propagacao das ondas depende da densi-dade da pedrae) a pedra afundou depois de atingir a agua.

Exercıcios Complementares

4. As ondas eletromagneticas, como as ondas luminosas,propagam-se independentemente do meio. No vacuo, todasas ondas eletromagneticas possuem:a) a mesma amplitudeb) a mesma frequenciac) a mesma velocidaded) o mesmo comprimento de ondae) a mesma energia

5. Considere as afirmacoes abaixo:I. As ondas luminosas sao constituıdas pelas oscilacoes de umcampo eletrico e de um campo magnetico.II. As ondas sonoras precisam de um meio material para sepropagarIII. As ondas eletromagneticas nao precisam de um meio ma-terial para se propagar.Quais delas sao corretas?a) apenas Ib) apenas I e IIc) apenas I e IIId) apenas II e IIIe) I, II e III

6. A onda sonora e classificada como ........ pois a sua pro-pagacao ocorre somente em meio ........, que vibra com a ondadeslocando-se na direcao ......... a sua direcao de propagacao.a) mecanica – material – paralelab) mecanica – gasoso – paralelac) mecanica – solido – perpendiculard) eletromagnetica – material – perpendiculare) eletromagnetica – material – paralela

7. Um pescador observa que a ponta de sua canoa, parada numlago, oscila cinco vezes em quatro segundos, num movimentosobe-e-desce. Ele conclui que a frequencia das ondas e:a) 1 1

4 sb) 1, 25 mc) 0, 80 s−1

d) 1, 25 Hze) 20/s

Ondas Aula 3

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Ondas – Aula 3 71

Ondas e Interferencia

Quando duas ondas resolvem ocupar a mesma regiao do espacoda-se o que chamamos de interferencia. O resultado da in-terferencia entre duas ondas depende da diferenca de fase entreelas.

Para se entender o efeito combinado de duas ou mais ondas sepropagando no mesmo meio, e no mesmo instante, assumimoscomo valido o princıpio de superposicao:

“Os deslocamentos causados no meio pela presenca de duasou mais ondas sao somados, ou seja, superpostos, como secada onda continuasse se propagando como se as outras naoexistissem.”

Ou seja, uma nao afeta as outras, mas o que observamos e oefeito conjunto de todas as ondas.

Quando se tratarem de ondas unidimensionais, no caso sim-ples, os deslocamentos do meio serao somados algebricamente,podendo-se obter interferencia destrutiva e construtiva.

Interferencia Destrutiva

Na figura abaixo, vemos duas ondas, praticamente coinciden-tes. As duas tem a mesma amplitude, o mesmo comprimentoe a mesma fase, ou seja, os pontos de deslocamento maximocoincidem, e dizemos neste caso que a diferenca de fase entreelas e zero. Ou seja, as ondas estao em fase.

Nesse caso, a interferencia e chamada de construtiva, poisuma onda soma-se a outra, reforcando-a, e o resultado e umaunica onda cuja amplitude e a soma das duas amplitudes.

Figura 1.1: Interferencia construtiva.

Interferencia Destrutiva

Quando superpomos duas ondas, sendo que um deslocamentomaximo positivo de uma corresponde com o deslocamentomaximo negativo da outra, os efeitos (amplitude resultante)tendem a se cancelar.

Na outra figura abaixo, as duas ondas tem uma diferenca defase de “meia onda”. Isso faz com que um alto de uma delascoincida com um baixo da outra. Acontece, entao, uma in-terferencia d

¯estrutiva entre elas. O resultado e que uma anula

completamente o efeito da outra. Nessa regiao nao havera maisonda nenhuma.

Caso Geral de Interferencia

Em geral, podemos observar num mesmo meio a propagacaode ondas de comprimentos e amplitudes diferentes, nao sendo

Figura 1.2: Interferencia destrutiva.

possıvel a observacao da interferencia construtiva e nem dadestrutiva, mas a onda resultante e resultado da interferenciageral entre as ondas, chamadas de componentes.

Na figura a seguir, as duas ondas tem uma diferenca de fasegenerica. A interferencia entre elas nao e totalmente cons-trutiva nem totalmente destrutiva. O resultado e uma ondaunica cuja amplitude tem qualquer valor entre zero e a somadas amplitudes das ondas, dependendo da diferenca de faseentre elas.

Figura 1.3: Interferencia geral.

Difracao

E possıvel ouvir o som produzido por uma explosao que sesitua atras de um muro delimitador, mesmo que este tenhagrande espessura de tal forma que as ondas sonoras nao consi-gam atravessa-lo. Da mesma forma, se algum membro da suafamılia que esta trancado sozinho num dos quartos coloca umamusica num volume bem alto num aparelho de som potente,todos os outros irao ouvi-la.

Deste modo, percebemos que o som (e todos os outros tiposde ondas) tem a capacidade de contornar obstaculos. A estahabilidade definiu-se o nome de difracao, que ocorre devidoao fato do comprimento de onda dos sons variarem de al-guns centımetros a varios metros, de forma que estas ondassao ”grandes”em comparacao com as aberturas e obstaculosfrequentemente encontrados na natureza.

Um criterio simples para saber se a difracao sera observadanuma onda, ao passar por um obstaculo ou abertura de tama-nho D, e o de que o comprimento de onda λ usado seja daordem aproximada do tamanho D, ou seja:

λ ≈ D

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Quando partes de uma onda sao atrapalhadas pela presenca deobstaculos, sua propagacao no meio considerado torna-se bemmais complicada, fugindo ao que o bom senso esperaria. Istopode ser exemplificado imaginando-se um tanque cheio d’aguacom ondas planas se propagando em sua superfıcie.

Veja figura abaixo:

Figura 1.4: Difracao de ondas na agua.

O estudo da difracao e importante nos dias de hoje para es-tudar a natureza de defeitos pontuais, intersticiais e mesmo acristalinidade em materiais, possibilitando desta maneira es-tudar se um material e ou nao adequado ao emprego em pes-quisas, experimentos ou mesmo em industrias.

Para Saber Mais!

Como vimos na secao anterior, sempre que a diferenca de faseentre duas ondas for zero, 1 comprimento de onda, 2 compri-mentos de onda etc, as ondas interferem construtivamente esuas amplitudes se somam. Mas, se a diferenca de fase forde meio comprimento de onda, tres meios comprimentos deonda etc, elas interferem destrutivamente e suas amplitudes sesubtraem.

Imagine entao que um feixe de raios-X incida sobre um cristal.Como o espacamento entre os atomos do cristal tem um valorcompravel com o comprimento de onda do raio-X, o feixe serefletira nos planos dos atomos como em um espelho. Vejao se passa com dois raios que incidem em planos vizinhos.Os maximos (”altos”) de cada onda sao assinalado com unstracinhos.Um dos raios, incide no plano de baixo e percorreuma distancia um pouco maior que o outro. A diferenca entreos dois caminhos e mostrada. Nesse desenho, essa diferencae exatamente um comprimento de onda. Portanto, os raiosrefletidos (ou ”difratados”, no caso) saem em fase e terao in-terferencia construtiva. E claro que isso so acontece para umangulo de incidencia bem determinado.

Se voce sabe um pouco de trigonometria pode ver, na figura,que a diferenca de caminhos e 2dsen θ, onde e o angulo entrea direcao dos raios-X e o plano de atomos do cristal.

A interferencia sera construtiva e, portanto, havera um feixedifratado apenas no caso em que essa diferenca de caminhosfor um numero inteiro de comprimentos de onda do raio-X.Isto e, se

2dsen(θ) = nλ

com n ∈ N, havera um feixe difratado.

Figura 1.5: Difracao de raio-X.

Essa e a famosa lei de Bragg.

Voce Sabia?

Natureza Ondulatoria da Luz

O que e a luz? A luz e uma radiacao eletromagnetica dual,que se comporta, ora como onda, ora como materia, e viaja acerca de 300.000 km/s no vacuo.

Na verdade, as radiacoes eletromagneticas cobrem uma ex-tensa faixa de comprimentos de onda, desde os raios cosmicos,com comprimentos de onda menores que 10−18 metros (at-tometros), ate as VLF (ondas de radio de frequencia muitobaixa) com comprimento de milhoes de quilometros, da ordemde 1012 metros (terametros).

Dentro desta enorme faixa, apenas uma estreita janela com-porta os comprimentos de onda que sensibilizam nossos olhose a denominada luz visıvel. Esta faixa vai desde o violeta(4 × 10−7 m) ao vermelho (7 × 10−7 m). Entre estes doisvalores estao as cores do espectro visıvel, onde operam ostelescopios opticos, por exemplo.

Figura 1.6: Espectro eletromagnetico.

O tamanho reduzido da “janela visıvel”nos mostra a im-portancia dos instrumentos sensıveis a outros comprimentosde onda. Radiotelescopios operando na faixa das microon-das conseguiram mapear a nossa galaxia, enquanto telescopiossensıveis a raios X estao em orbita localizando quasares.

E interessante observar que o Sol irradia ondas eletro-magneticas em todos os comprimentos de onda, porem omaximo de energia emitida (cor amarela) esta justamente den-tro da pequena faixa do nosso espectro visıvel. Os cientistasacreditam que a visao tenha evoluıdo durante milhoes de anosde adaptacoes e otimizacoes, deslocando a nossa capacidade vi-sual em direcao ao ponto otimo, proximo ao pico de radiacaosolar, correspondente a cor do amarelo.

Alguns animais, como o gato e outros predadores de vida no-turna, podem perceber visualmente radiacao infra-vermelhas,as chamadas radiacoes termicas, e localizam mamıferos (de

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Ondas – Aula 4 73

sangue quente) enxergando-os no escuro, ja que emitem ondastermicas, que para nos sao invisıveis.

Pense um Pouco!

• Quando uma banda de rock toca, observa-se o fenomenoda interferencia? Explique.

• Se a luz difratasse em qualquer condicao, quais fenomenosdo nosso cotidiano seriam alterados?

• Porque nao conseguimos sintonizar as radios FM atras demorros, e as radios AM sim? Determine o comprimento deonda tıpico de cada uma dessas faixas de radio, comparee explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. Observa-se a interferencia de duas ondas quando:a) elas possuem a mesma frequenciab) elas possuem a mesma amplitudec) elas se propagam em sentidos opostosd) elas sao transversaise) elas se propagam no mesmo meio e no mesmo instante

2. Sao fenomenos ondulatorios comuns a qualquer tipo deonda:a) interferencia – aniquilacao – transporteb) difracao – amortecimento – inerciac) interferencia – difracao – reflexaod) refracao – dispersao – simetriae) energia – momento – ressonancia

3. Um apito produz um som de frequencia igual a 1.360 Hzno ar, onde as ondas se propagam com velocidade de 340 m/s.Entao, o comprimento das ondas geradas e:a) 4 mb) 25 mc) 40 cmd) 25 cme) 0, 25 km

Exercıcios Complementares

4. O ouvido humano normal pode perceber sons de frequenciano intervalo de 20 Hz a 20 kHz – a chamada faixa audıvel.Assinale a unica alternativa correta:a) pode-se em geral ouvir sons de 25.000 Hzb) o som e uma onda mecanica longitudinalc) o som e uma onda longitudinald) o som e uma onda eletromagneticae) todo som na faixa audıvel se propaga no vacuo

5. Numa corda propagam-se dois pulsos de amplitudes igual a30 cm e 40 cm, um em direcao ao outro. No instante em queeles se superpoem, pode-se dizer que:a) ocorrera interferencia destrutivab) a amplitude observada sera 70 cmc) ocorrera interferencia destrutivad) a amplitude resultante devera estar no intervalo

[10 cm, 70 cm]e) n. d. a.

6. Um motor eletrico desbalanceado gira a 1.800 rpm e pro-voca um ruıdo grave e contınuo, que e amplificado pelo mesaonde esta fixo e pode ser ouvido claramente. Pode-se afirmarque:a) a frequencia do ruıdo e cerca de 30 Hzb) o motor esta com os rolamentos gastosc) a mesa nao e de boa qualidaded) e melhor desligar o motor e chamar a CELESCe) a mesa comecara a “andar”por trepidacao

Ondas Aula 4

Som

Fontes Sonoras

Em geral, ao estudo da producao (fontes sonoras), propagacaoe fenomenos correlatos sofridos pela onda mecanica sonora ouaudıvel, denomina-se Acustica, denominaremos por som a todaonda mecanica sonora (intensidade suficiente e frequencia li-mitada num certo intervalo).

Som Audıvel

Se a frequencia da onda sonora pertence ao intervalo de, 16 Hza 20 kHz, esse som e audıvel para o ser humano.

Ultra-som e Infra-som

Ondas longitudinais de frequencias superiores a 20 kHz, carac-terizam sons inaudıveis para nos e denominam-se ultra-sons.Aquelas de frequencias inferiores a 16 Hz, tambem inaudıveis,sao ditas infra-sons.

Velocidade de Propagacao do Som

O som possui velocidades de propagacao definidas para cadameio de propagacao, podendo este ser o ar, agua, metais entreoutros, a velocidade de propagacao do som no ar nas condicoesnormais de temperatura e pressao e a mais conhecida de todas:

vsom = 343 m/s = 1234 km/h

A velocidade do som foi ultrapassada por um aviao ha mui-tos anos atras, quando quebrou-se a chamada “barreira do

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74 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

som”pela primeira vez. Mas, somente em outubro de 1997, elafoi ultrapassada por um automovel.

Vejamos a velocidade do som em alguns meios materiais:

Meio Temperatura (C) Velocidade (m/s)ar 0 331,4

hidrogenio 0 1.286oxigenio 0 317,2

agua pura 15 1.450chumbo 20 1.230alumınio 20 5.100

cobre 20 3.560ferro 20 5.130

granito 0 6.000borracha 0 54

Pense um Pouco!

• Porque nao escutamos o som que os morcegos emitem para“enxergar”?

• Porque os ındios norte-americanos colocavam o ouvido nochao?

• Ao observarmos um pedreiro de longe, martelando algo,percebemos que sua imagem nao esta sincronizada com ossons que ele produz (com as marteladas). Por que?

Exercıcios de Aplicacao

1. Ao observar uma grande explosao em uma pedreira, delonge, uma pessoa percebe, nessa ordem:a) a luz - o ruıdo - as oscilacoes do chaob) o ruıdo - a luz - as oscilacoes do chaoc) as oscilacoes do chao - o ruıdo - a luzd) as oscilacoes do chao - a luz - o ruıdoe) a luz - as oscilacoes do chao - o ruıdo

2. Um metodo antigo de se determinar a profundidade deum poco fundo e escuro e soltar-se uma pedra na sua boca,disparar-se um relogio (ou cronometro) e medir-se o intervalode tempo ate que se ouca o barulho. Sendo vsom a velocidadedo som no ar, h a profundidade do poco e g a aceleracao dagravidade, o intervalo de tempo medido no relogio sera:a) ∆t = 2h/vsom

b) ∆t =√

2gh + h/vsom

c) ∆t =√

2h/g + h/vsom

d) ∆t =√

2h/ge) n. d. a.

3. Um metodo popular para determinar-se a que distanciax, em kilometros, caiu um raio e, observar-se o relampago emedir-se o tempo t em segundos, que temos de esperar paraouvimos o estrondo. Pode-se afirmar que:a) x ≈ t/2b) x ≈ t/3c) x ≈ t/4d) x ≈ t/5e) n. d. a.

Exercıcios Complementares

4. O ditado popular de que “as paredes tem ouvidos”esta re-lacionado diretamente com o fenomeno ondulatorio chamado:a) ressonanciab) reflexaoc) difracaod) absorcaoe) n. d. a.

5. Uma onda sonora no ar possui um comprimento de ondade 1/2 m e velocidade de 330 m/s. Ao passar para um meioonde sua velocidade triplica, qual o seu novo comprimento deonda?a) 2/3 mb) 3/2 mc) 1/2 md) 1/6 me) n. d. a.

6. Uma certa especie de morcego utiliza ultra-sons de33.000 Hz para localizar insetos e se orientar no seu voo no-turno. Sendo a velocidade do som no ar igual a 330 m/s,pode-se afirmar que:a) ele usa ondas com 0, 1 m de comprimentob) ele usa ondas com 0, 1 cm de comprimentoc) ele usa ondas com 100 mm de comprimentod) ele usa ondas com 1, 0 cm de comprimentoe) n. d. a.

Ondas Aula 5

Efeito Doppler

Qualidades Fisiologicas do Som

A todo instante distinguimos os mais diferentes sons. Essadiferencas que nossos ouvidos percebem se devem as qualidadesfisiologicas do som: altura, intensidade e timbre.

Altura

Mesmo sem conhecer musica, e facil distinguir o som agudo (oufino) de um violino, do som grave (ou grosso) de um violoncelo.Essa qualidade que permite distinguir um som grave de umsom agudo se chama altura. Assim, costuma-se dizer que osom do violino e alto e o do violoncelo e baixo.

A altura de um som depende da frequencia, isto e, do numerode vibracoes por segundo. Quanto maior a frequencia maisagudo e o som e vice-versa.

Por sua vez, a frequencia depende do comprimento do corpoque vibra e de sua elasticidade. Quanto maior a tensao(tracao) e mais curta for uma corda de violao, por exemplo,mais agudo vai sera o som por ela emitido.

Voce pode constatar tambem a diferenca de frequencias usandoum pente que tenha dentes finos e grossos. Passando os dentesdo pente na bosta de um cartao voce ouvira dois tipos de som

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Ondas – Aula 5 75

emitidos pelo cartao: o som agudo, produzido pelos dentes fi-nos (maior frequencia), e o som grave, produzido pelos dentesmais grossos (menor frequencia).

Intensidade

E a qualidade que permite distinguir um som forte (intenso)de um som fraco (suave). A intensidade depende da amplitudede vibracao: quanto maior a amplitude mais forte e o som evice-versa. Quanto mais energia pudermos captar de uma ondasonora, com mais intensidade ela sera percebida. Por exemplo,quando o medico vai ouvir o coracao de um paciente, ele precisaconcentrar mais energia para aumentar a intensidade do som aser ouvido, e por isso ele usa aquele famoso aparelho que captae canaliza o som direto para o seu ouvido.

Na pratica nao interessa aos nossos ouvidos diretamente a in-tensidade intensidade de uma onda sonora, mas sim o nıvelsonoro, uma grandeza relacionada a intensidade sonora e aforma como o nosso ouvido reage a essa intensidade. Essasunidades sao o bel e o seu submultiplo o decibel (dB), que vale1 decimo do bel.

O ouvido humano e capaz de suportar sons de ate 120 dB,como num show de rock, por exemplo. O ruıdo produzido porum motor de aviao a jato a poucos metros do observador pro-duz um som de cerca de 140 dB, e e capaz de causar estımulosdolorosos ao ouvido humano.

A agitacao das grandes cidades provocam a chamada poluicaosonora composta dos mais variados ruıdos: motores e buzinasde automoveis, martelos de ar comprimido, radios, televisorese etc. Ja foi comprovado que uma exposicao prolongada anıveis maiores que 80 dB pode causar dano permanente aoouvido.

A intensidade de uma onda sonora diminui a medida que osom se propaga ou seja, quanto mais distante da fonte, menosintenso e o som.

Timbre

Imagine a seguinte situacao: um ouvinte que nao entende demusica esta numa sala, ao lado da qual existe outra sala ondese encontram um piano e um violino. Se uma pessoa tocar anota do no piano e logo a seguir outra pessoa tocar a mesmanota do no violino, ambas com a mesma “forca”, os dois sonsterao a mesma altura (frequencia) e a mesma intensidade.

Mesmo sem ver os instrumentos, o ouvinte da outra sala sa-bera distinguir facilmente um som de outro, porque cada ins-trumento tem seu som caracterizado, ou seja, seu timbre.

Podemos afirmar, portanto, que timbre e a qualidade que nospermite perceber a diferenca entre dois sons de mesma alturae intensidade produzidos por fontes sonoras diferentes.

Efeito Doppler

Na figura abaixo os aneis simbolizam os maximos da ondasonora. O intervalo de tempo entre as emissoes sucessivas e T ,o perıodo da onda. Quanto maior o cırculo, mais tempo faz quea emissao foi feita. Todos os cırculos expandem com a mesmavelocidade. Se um observador estiver estacionario, entao ointervalo de tempo entre a chegada dos cırculos sucessivos aoouvido e T .

O efeito Doppler e um fenomeno observado com todo o tipo de

Fonte Sonora em repouso

Observador em repouso

Figura 1.1: Fonte e observador em repouso: nao ha efeito Dop-pler.

onda, e possui o nome do cientista austrıaco Christian Doppler(1803-1853) que o descobriu. Ele descobriu que a frequenciacom que uma onda e percebida depende tambem do movimentorelativo da fonte sonora e do observador, o que pode ocasionaruma mudanca significativa entre a frequencia emitida e a per-cebida por um detector ou pessoa. Por exemplo, numa corridade formula I, quando um carro passa por nos, percebe-se clara-mente que o som passa de agudo (carro se aproximando de nos)a grave (se afastando de nos). Qualquer crianca sabe disso, equando brinca de carrinho imita o famoso som da formula I:“uuoooommmm”. Eis o efeito Doppler!

Observador em Movimento

Suponha que uma fonte estacionaria esta gerando ondas so-noras com frequencia f0 = 240Hz e comprimento de ondaλ0 = v

f0. Um observador estacionario a uma certa distancia

da fonte ouvira um som com frequencia f0 = 240 Hz, e 240 ve-zes por segundo seu tımpano sera empurrado e puxado, paradentro e para fora, a medida que os maximos e mınimos dapressao alcancam o ouvido. O perıodo de tempo entre doismaximos consecutivos e T = 1

f0= 1

240 s.

Suponha que o observador suba em uma motocicleta e dirijano sentido oposto ao da fonte. Suponha que no tempo t1 ummaximo de pressao alcanca o seu ouvido na posicao x. Oproximo maximo estara na posicao x no tempo t1 +T . Mas, oouvido nao estara mais nesta posicao. O observador se moveu.

O maximo tem que percorrer uma distancia extra antes dealcancar o ouvido. Esta distancia extra toma um tempo ex-tra ∆t. O intervalo de tempo entre maximos sucessivos quealcanca o ouvido do observador e agora T + ∆t.

O perıodo aumentou, a frequencia aparente da onda diminui.Este e um exemplo do efeito Doppler. Se o observador estiverdirigindo no sentido da fonte, o intervalo de tempo entre osmaximos alcancando o ouvido sera mais curto que T. Suponhaque no tempo t1 um maximo de pressao alcance o ouvido naposicao x. O proximo maximo chegara na posicao x no tempot1 + T . Mas, ele chegara ao ouvido antes de ele alcancar aposicao x, ja que o observador se move no sentido da fonte.

A frequencia aparente do som que alcanca o observador e

f = f0v + v0

v

onde v e a velocidade do som, e v0 e a componente da velo-cidade do observador na direcao da fonte (v0 e negativo se o

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observador estiver se movendo para longe da fonte).

Normalmente nao observamos o efeito Doppler quando nosmovemos a pe, ja que a velocidade do som e muito maiordo que a nossa. Mas, movendo-se em uma motocicleta a90 km/h = 25 m/s na direcao de uma fonte, temos que

f = f0340 + 25

340= 1, 07 · f0

Movendo-se para longe da fonte da

f = f0340− 25

340= 0, 93 · f0

Quando passa pela fonte, o motoqueiro observa entao uma va-riacao de frequencia da ordem de 0, 14 · f0, ou seja, de 14%,uma variacao razoavel e bem perceptıvel. So para comparacao,as teclas vizinhas de um piano geram sons com aproximada-mente 6% de diferenca na frequencia – os chamados intervalosde semi-tom. Um tom completo sendo entao de cerca de 12%,por exemplo, a distancia de do ate re.

Fonte em Movimento

A frequencia observada de uma onda sonora tambem varia seo observador estiver se movendo.

A frequencia aparente neste caso e dada por

f = f0v

v − vs

onde vs e a componente da velocidade da fonte na direcao doobservador (vs e negativo se a fonte se mover para longe doobservador).

Nesta figura a fonte esta se movendo para o observador. Ocentro de cada cırculo esta na posicao da fonte no momentoem que ela emite o maximo. Como a fonte esta se movendopara a direita, o centro dos cırculos sucessivos move-se paraa direita. Se o observador estiver parado, entao o intervalode tempo entre a chegada dos cırculos sucessivos ao ouvido emenor do que T , e portanto, ele percebe f > f0.

Fonte Sonora se aproximando

Observador em repouso

do observador

Figura 1.2: Fonte se aproximando do observador em repouso:f > f0.

Nesta figura a fonte esta movendo-se para longe do observa-dor. Como a fonte move-se para a esquerda, o centro doscırculos sucessivos move-se para a esquerda. Se o observadoresta estacionario, entao o intervalo de tempo ente a chegadados cırculos sucessivos e maior do que T , ou seja, f <0.

Fonte Sonora se afastando

Observador em repouso

do observador

Figura 1.3: Fonte se afastando do observador em repouso: f <f0.

Pense um Pouco!

• O que um bom violonista faz para produzir sons de dife-rentes intensidades, timbres e alturas?

• Se as ondas sonoras se propagam no ar, entao o ventopode carrega-las e distorce-las? Explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. Um trem apita com frequencia de 400 Hz. Voce e um obser-vador estacionario e ouve o apito, mas o ouve com frequenciade 440 Hz.a) Qual e a velocidade do trem?b) Ele se aproxima ou se afasta de voce?c) Qual a variacao percentual no comprimento de onda quevoce percebe, em relacao ao som emitido pelo trem?

2. O efeito Doppler esta relacionado com:a) a intensidade do somb) a alteracao da frequencia do somc) o nıvel sonorod) o timbre do some) n. d. a.

3. Um apito para caes emitem um som de 25 kHz, e einaudıvel para nos, pois so percebemos sons de ate 20 kHz.a) Seria possıvel testar se um tal apito esta funcionando, uti-lizando o efeito Doppler? Explique.b) Faca os calculos necessarios e verifique se isto eviavel/possıvel.

Exercıcios Complementares

4. Se dois carros andam numa auto estrada reta, com a mesmavelocidade, um logo atras do outro por um certo tempo, e ode tras aciona a buzina frequencia f0, podemos afirmar que, omotorista do carro da frente:a) escuta um som mais agudo aindab) escuta um som mais grave aindac) ambos escutam a mesma frequencia f0

d) ninguem escuta nadae) n. d. a.

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Ondas – Aula 5 77

5. Uma aviao se move com velocidade igual a 1/4 da veloci-dade do som, passando numa demonstracao sobre uma cidadenum voo rasante. Um observador parado no chao percebera,na frequencia dos sons emitidos pelo aviao que se aproxima:a) Um aumento de cerca de 25%b) Uma reducao de cerca de 25%c) Um aumento de cerca de 33%d) Uma reducao de cerca de 33%e) n. d. a.

6. Um aviao militar desgovernado, voa em direcao a um pa-redao vertical de pedra que esta a sua frente, em rota de colisaofrontal. O piloto percebe que o som emitido pelo aviao e re-fletido no rochedo tem a sua frequencia aumentada em 50%.Qual a velocidade do aviao?a) 1/2 da velocidade do som no arb) 1/3 da velocidade do som no arc) 1/4 da velocidade do som no ard) 1/5 da velocidade do som no are) n. d. a.

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Termodinamica – Aula 1 79

Termodinamica Aula 1

Termodinamica

A Termodinamica e a parte da Fısica Classica que estuda ossistemas termicos, os processos de transformacoes fısicas queocorrem em tais sistemas, bem como as trocas de energia, calore o trabalho mecanico.

Temperatura

Temperatura e calor sao grandezas basicas no estudo da ter-mofısica e tanto a sua compreensao como a sua perfeita dis-tincao sao de importancia vital para o entendimento de toda atermofısica. De maneira simplificada pode-se definir que tem-peratura como uma grandeza que permite avaliar o nıvel deagitacao das moleculas de um corpo. De acordo com a teo-ria cinetica dos gases, as moleculas de um gas movem-se livree desordenadamente em seu interior, separadas umas das ou-tras, e apenas interagindo entre si durante colisoes eventuais.A medida que se aquece o gas, a velocidade com que suasmoleculas se movem aumenta, caracterizando um aumento naenergia cinetica dessas moleculas, da mesma forma um resfria-mento do gas provoca a diminuicao da velocidade e da energiacinetica de suas moleculas. Como a velocidade e consequen-temente a energia cinetica de cada atomo que constitui umamolecula nao e a mesma, o estado termico de um corpo e avali-ado pela energia cinetica media de seus atomos: quanto maiorfor a energia cinetica media das partıculas que compoem umcorpo, maior sera a sua temperatura.

Calor

Colocando dois corpos de temperaturas diferentes em contatotermico, observamos o mais quente esfriar e o mais frio es-quentar. O corpo mais quente perde calor e o corpo mais frioganha calor. Os corpo trocarao calor ate a atingirem a mesmatemperatura, neste caso estarao em equilıbrio termico. Essa ea chamada lei zero da Termodinamica.

Portanto o calor e a energia em transito do corpo mais quentepara o corpo mais frio por causa da diferenca de temperaturados corpos em contato termico. Entao, a unidade de medidade calor e a mesma unidade de energia.

No Sistema Internacional, a unidade de energia e o joule ou J ,e na Quımica se usa a caloria ou cal. A equivalencia entre asunidades e:

1 cal = 4, 186 J

Escalas Termometricas

Dentre os diversos tipos, estudaremos as escalas termometricasa partir do termometro de mercurio, o mais simples e comum.E constituıdo de uma haste oca de vidro, ligada a um bulbocontendo mercurio. Ao ser colocado em contato com um corpoou ambiente cuja temperatura se quer medir, o mercurio se di-lata ou contrai, de forma que cada comprimento de sua coluna

corresponde a um valor de temperatura. A parede da haste egraduada convenientemente, para indicar a temperatura cor-respondente a cada comprimento da coluna de mercurio.

As escalas termometricas mais importantes sao a Celsius, aFahrenheit e a Kelvin, e sao atribuıdos aos pontos fixos (pontode fusao PF e ponto de ebulicao da agua PE), os valores abaixo:

TF TC

Fusao

do Gelo

Ebulicao

0 K

373 Kda Agua

o32 F

212 F 100 C

−459 Fo

o

o o

0 C

o−273 CZero

Absoluto

T

Fahrenheit Celsius Kelvin

273 K

Figura 1.1: Os pontos de referencia nas diferentes escalas.

Conversao de Temperaturas

Embora usualmente se empregue o grau celsius (C) como uni-dade pratica de temperatura, a conversao entre escalas e muitoimportante, pois o kelvin e a unidade de temperatura do SI, e ograu Fahrenheit (F ) ainda e bastante utilizado em livros e fil-mes de lıngua inglesa. A relacao entre as escalas termometricaspode ser obtida facilmente atraves de proporcoes matematicas.Imagine-se tres termometros de construcao identica, cada umgraduado em uma das escalas (Celsius , Fahrenheit e Kelvin),em equilıbrio termico com um mesmo corpo. Obviamente, ostres termometros estarao indicando o mesmo estado termico e,portanto, apresentarao as colunas de mercurio no mesmo nıvel.Observando-se os pontos fixos ja definidos para cada escala, echamando de TC ,TF e T , as temperaturas do corpo nas es-calas Celsius, Fahrenheit e Kelvin, respectivamente, podem-seestabelecer as proporcoes:

TC − 0 C

100 C − 0 C=

TF − 32 F

212 F − 32 F=

T − 273 K

373 K − 273 K

logo:

TC

5 C=

TF − 32 F

9 F=

T − 273 K

5 K

Observe que ambas as escalas Celsius e Kelvin sao centıgradas,pois o intervalo e calibracao (do ponto de fusao do gelo ao deebulicao da agua) e dividido em 100 graus, ou 100 partes. Naescala Fahrenheit, este intervalo e subdividido em 180 partes(graus frahrenheit).

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Intervalos de Temperatura

Converter temperaturas de uma escala para a outra nao e omesmo que converter intervalos de temperatura entre as es-calas. Exemplo, um intervalo de temperatura de 10 C cor-responde, na escala absoluta (ou Kelvin) a um intervalo de10 K, e na escala Fahrenheit, o intervalo correspondente serade 18 F , pois para cada grau celsius, temos 1,8 grau fahre-nheit.

A menor temperatura que existe na natureza e o chamadozero absoluto ou seja, 0 K. Por isso a escala Kelvin e ditaabsoluta. Nas outras escalas, os zeros foram escolhidos arbi-trariamente, nao levando em conta a possibilidade de haveruma menor temperatura possıvel na natureza, o que so foidescoberto depois da criacao das primeiras escalas termicas.

Pense um Pouco!

• Qual a temperatura normal do corpo humano, em F?

• A temperatura ideal da cerveja e em torno de 4 C, antesde beber. Se dispomos apenas de um termometro com es-cala Kelvin, qual a temperatura absoluta correspondenteao mesmo estado termico da cerveja ideal?

Exercıcios de Aplicacao

1. Ao tomar a temperatura de um paciente, um medico sodispunha de um termometro graduado na escala Fahrenheit.Se o paciente estava com febre de 42 C, a leitura feita pelomedico no termometro por ele utilizado foi de :a) 104 Fb) 107, 6 Fc) 72 Fd) 40 Fe) 106, 2 F

2. (URCAMP-SP) No interior de um forno, um termometroCelsius marca 120C. Um termometro Fahrenheit e um Kelvinmarcariam na mesma situacao, respectivamente:a) 248 F e 393 Kb) 198 F e 153 Kc) 298 F e 153 Kd) 393 F e 298 Ke) nenhuma resposta e correta

3. (ACAFE) Uma determinada quantidade de agua esta auma temperatura de 55 C. Essa temperatura correspondea:a) 55 Fb) 328 Fc) 459 Kd) 131 Fe) 383 K

Exercıcios Complementares

4. (UEL) Um termometro foi graduado, em graus Celsius,incorretamente. Ele assinala 1 C para o gelo em fusao e97 C para a agua em ebulicao, sob pressao normal. Pode-se

afirmar que a unica temperatura que esse termometro assinalacorretamente, em graus Celsius e:a) 12b) 49c) 75d) 25e) 64

5. (CENTET-BA) Num termometro de escala X , 20 X cor-respondem a 25 C, da escala Celsius, e 40 X correspondema 122 F , na escala Fahrenheit. Esse termometro apresentara,para a fusao do gelo e a ebulicao da agua, os respectivos valo-res, em X :a) 0 e 60b) 0 e 80c) 20 e 60d) 20 e 80e) 60 e 80

6. (PUC) Uma revista cientıfica publicou certa vez um artigosobre o planeta Plutao que, entre outras informacoes, dizia“...sua temperatura atinge −380 ...”. Embora o autor naoespecificasse a escala termometrica utilizada, certamente serefere a escala:a) Kelvinb) Celsiusc) Fahrenheitd) Kelvin ou Celsiuse) Fahrenheit ou Celsius

Termodinamica Aula 2

Dilatacao Termica

Quando aquecemos um solido, geralmente suas dimensoes au-mentam. Quando esfriamos, geralmente suas dimensoes dimi-nuem. A esse aumento e a essa diminuicao de dimensoes de umsolido, devido ao aquecimento ou ao resfriamento, chamamosde dilatacao termica.

Para os solidos, temos tres tipos de dilatacao:

• Dilatacao linear (ou unidimensional)

• Dilatacao superficial (ou bidimensional)

• Dilatacao volumetrica (ou tridimensional)

Dilatacao Linear

Para observarmos a dilatacao de um solido, imaginemos umabarra de comprimento inicial L0 na temperatura inicial T0, quepassa a ter o comprimento final L quando aquecida a tempe-ratura final T , sofrendo um aumento de comprimento:

∆L = L− L0

Page 90: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Termodinamica – Aula 2 81

L0

T0

T0

∆ L

T >

L

Verifica-se experimentalmente que ∆L e proporcional ao com-primento inicial L0 e a variacao de temperatura ∆T , podendose expressar essa relacao por:

∆L = αL0∆T

em que α e um coeficiente de proporcionalidade caracterısticodo material que constitui a barra, chamado de coeficiente di-latacao linear.

Assim, o comprimento final da barra sera

L = L0 + ∆L = L0(1 + α∆T )

Dilatacao Superficial e Volumetrica

Para essas dilatacoes, valem consideracoes analogas as vistasna dilatacao linear, ou seja:

∆A = βA0∆T

e∆V = γV0∆T

onde β e o coeficiente de dilatacao superficial e γ e o coeficientede dilatacao volumetrica.

L0

∆ L

20A = L

0

0∆2

A = L = A + A

0∆ ∆A = L + 2L L + ( L)

0

2 2

∆α L = L T0

∆L

0

∆ L

antes de aquecer

e depois

e como

temos que

e finalmente

eαA = A (1 + 2 T)0

0

2 2∆

20

0α ∆ α2

0A = A 2 T

0A = L + 2 L T + L ( T)∆

2α20

α

∆ ∆α

2

A = L [1 + 2 T + ( T) ]2

Pode-se mostrar que estes novos coeficientes β e γ podem serescritos em funcao do coeficiente de dilatacao linear α como:

β = 2α e γ = 3α

Dilatacao dos lıquidos

A dilatacao termica de um lıquido corresponde ao aumento oua diminuicao de volume desse lıquido quando este e aquecidoou resfriado. Ao estudar a dilatacao dos lıquidos, ja que naopossuem forma propria, nao se definem comprimento e area

do lıquido, o que nao tem significado. Neste caso estuda-seapenas a dilatacao cubica.

Para tanto, usamos a mesma relacao definida para os solidos,ja que a lei e a mesma para ambos:

V = V0(1 + γ∆T )

Os lıquidos so podem ser estudados dentro de recipientessolidos. E pois, impossıvel estudar dilatacao dos lıquidos semconsiderar a dilatacao dos recipientes que os contem. Isso im-plica dois tipos de dilatacao para um lıquido; uma dilatacaoreal, que depende apenas do lıquido, e a outra aparente, queleva em conta a dilatacao do frasco que o contem.

Assim consideremos um recipiente totalmente cheio de umlıquido, numa temperatura inicial T0. Ao levarmos o con-junto (lıquido mais frasco) para uma temperatura final T , comT > T0, notamos que ocorre um extravasamento parcial dolıquido. O volume extravasado fornece a dilatacao aparente∆Vap. do lıquido, pois como o frasco tambem dilatou, o vo-lume que esta no interior do frasco no final e maior que noinıcio. Portanto a dilatacao real do lıquido e a soma da suadilatacao aparente e a do frasco:

∆Vreal = ∆Vaparente + ∆Vfrasco

como ∆V = V0γ∆T entao

V0γr∆T = V0γa∆T + V0γf∆T

logo

γr = γa + γf

Entao, devemos observar que a dilatacao do lıquido compensoua dilatacao do frasco e ainda nos forneceu a dilatacao aparente.

Dilatacao Anomala da Agua

A agua possui um comportamento anomalo em sua dilatacao.A 4 C o volume da agua e mınimo e a sua densidade emaxima. Isto ocorre devido ao fortalecimento das pontes dehidrogenio, abaixo de 4 C, quando as moleculas de H2Ocomecam a se reorganizar para a formacao dos cristais de gelo,onde irao ocupar um volume maior do que no estado lıquido.

Esse comportamento da agua explica por que num lago,quando a temperatura cai a valores extremamente baixos, aagua se solidifica apenas na superfıcie. Isto ocorre porque ate4 C, no resfriamento, a agua da superfıcie torna-se mais densae afunda, subindo a agua mais quente do fundo que e menosdensa. Ao atingir uma temperatura abaixo de 4 C, a aguada superfıcie se expande, diminuindo a sua densidade, assimessa agua fria nao desce mais e ao atingir 0 C se solidifica.No fundo fica agua mais quente, numa temperatura de 4 C.E isto que preserva a vida animal e vegetal existente no fundodo lago.

Pense um Pouco!

• Os musicos geralmente deixam para afinar seus instru-mentos no local da apresentacao, a diferenca de tempera-tura entre o ambiente que estao , e o local do show, podemdesafinar seus instrumentos?

Page 91: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

82 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Exercıcios de Aplicacao

1. (Fuvest) Cafe fervente e despejado em um copo de vidro.O corpo parte-se. Uma possıvel explicacao seria:a) A dilatacao das varias partes do copo nao e uniforme.b) O ponto de fusao do vidro e proximo ao de ebulicao docafe.c) Sendo o vidro transparente, o calor passa atraves dele comfacilidaded) A capacidade Termica do vidro e menor que a do cafee) O calor especıfico do vidro e menor que o do cafe

2. (PUC) Um fio de cobre de 100 m sofre aumento de tempe-ratura de 10 C. O coeficiente de dilatacao linear do cobre e17× 10−6 C−1. A variacao do comprimento foi de:a) 17 mmb) 17 mc) 100, 17 md) 17 cme) 1, 7 m

3. (UNITAU) Um orifıcio numa panela de ferro, a 0 C tem5 cm2 de area. Se o coeficiente de dilatacao linear do ferro ede 1, 2 × 10−5 C−1, a area desse orifıcio a 300 C sera, emcm2:a) 5,018b) 10,072c) 4,964d) 10,036e) 5,036

Exercıcios Complementares

4. (UNESP-SP) A dilatacao termica dos solidos e umfenomeno importante em diversas aplicacoes de engenharia,como construcoes de pontes, predios e estradas de ferro. Con-sidere o caso dos trilhos de trem serem de aco, cujo coeficientede dilatacao e 11× 10−6 C−1. Se a 10 C o comprimento deum trilho e de 30 m, de quanto aumentaria o seu comprimentose a temperatura aumentasse para 40 C?a) 11× 10−4 mb) 33× 10−4 mc) 99× 10−4 md) 132× 10−4 me) 165× 10−4 m

5. (UFLA-MG) O tanque de combustıvel de um carro deformula 1 tem capacidade de 120 litros e sao colocados 100litros de combustıvel a 5, 0 C. Considerando o coeficientede dilatacao volumetrica do combustıvel 1, 2 × 10−3 C−1 ea variacao de volume do tanque desprezıvel, entao a 45 C ovolume colocado tera um acrescimo, em litros, de:a) 4,8 litrosb) 3,6 litrosc) 2,4 litrosd) 1,2 litrose) 20,0 litros

6. (MACKENZIE) Uma barra metalica, ao variar sua tempe-ratura em 80 C, sofre um aumento de comprimento de 0,16%.O coeficiente de dilatacao volumetrica do material dessa barrae, em C−1:

a) 6× 10−5

b) 5× 10−5

c) 4× 10−5

d) 3× 10−5

e) 2× 10−5

Termodinamica Aula 3

Transformacoes Gasosas

Consideracoes iniciais

Gas Perfeito (ou ideal) e um modelo teorico de gas que obe-dece, em seu comportamento, as leis estabelecida por RobertBoyle, Jacques Charles, Joseph Louis Gay-Lussac e Paul EmileClapeyron.

Um Gas real tem seu comportamento tanto mais proximo doideal quanto mais elevada for sua temperatura e quanto maisbaixa for sua pressao.

Variaveis de estado de um gas

Algumas grandezas que definem e caracterizam o estado ter-modinamico de uma dada massa de gas sao chamadas variaveisde estado. Sao por exemplo, a temperatura, a pressao, o vo-lume, a energia interna, etc. Destas, as que nos interessam,por enquanto, sao a temperatura, a pressao e o volume.

Volume (V )

Os gases nao tem volume nem forma proprios. Por definicao,volume de um gas e o volume do recipiente ocupado por ele.As unidades usuais de volume sao: L (litro), cm3 e m3.

Pressao (P )

A pressao exercida por um gas e devida aos choques das suaspartıculas contra as paredes do recipiente. As unidades usu-ais de pressao sao: N/m2, Pa, atm e mmHg, onde valem asseguintes relacoes:

1 N/m2 = 1 Pa1 atm = 105 N/m21 atm = 760 mmHg

Temperatura (T )

Mede o estado de movimento das partıculas do gas. Na teoriados gases perfeitos, e usada a temperatura absoluta (escalaKelvin).

Transformacoes de um Gas

Dizemos que uma dada massa de gas sofre uma transformacaoquando ha variacao de pelo menos uma de suas variaveis deestado. Entre as transformacoes de um gas, devemos destacaras seguintes:

Page 92: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Termodinamica – Aula 3 83

• Isotermicas: sao as que ocorrem a temperatura cons-tante;

• Isobaricas: sao as que ocorrem a pressao constante;

• Isometricas (ou Isocoricas): sao as que ocorrem a vo-lume constante.

• Adiabaticas: sao as que ocorrem sem troca de calor como meio externo.

Leis dos Gases

As leis fısicas dos gases sao leis de carater experimental queregem as principais transformacoes gasosas.

Lei de Boyle e Mariotte

Rege as transformacoes Isotermicas e pode ser enunciada as-sim:

“Quando uma dada massa de gas perfeito e mantida a tem-peratura constante, a pressao e inversamente proporcional aovolume”

ou seja,

pV = constante

Lei de Gay -Lussac

Rege as transformacoes Isobaricas e pode ser enunciada assim:

“Quando uma dada massa de gas perfeito e mantida a pressaoconstante, o volume e diretamente proporcional a temperaturaabsoluta”

ou seja,

V = constante× T

Lei de Charles

Rege as transformacoes Isometricas e pode ser enunciada as-sim:

“Quando uma dada massa de gas perfeito e mantida a volumeconstante, a pressao e diretamente proporcional a temperaturaabsoluta”

ou seja,

p = constante× T

Equacao de Clapeyron

Das leis de Boyle e Mariotte e de Charles, observamos que apressao exercida por um gas perfeito e inversamente proporci-onal ao seu volume e diretamente proporcional a sua tempe-ratura absoluta. E facil observar tambem que essa pressao eproporcional ao numero de partıculas de gas existente no reci-piente. Convertendo esse numero de partıculas em numero demoles (n) , podemos equacionar tudo isso, obtendo a seguinterelacao:

pV = nRT

onde R e uma constante de proporcionalidade, igual para todosos gases, denominada constante universal dos gases perfeitos eno SI temos

R = 8, 31 J/mol ·K

Quando a pressao p e dada em atm, o volume V e dado emlitros (L), o numero de moles n e dado em mol, a temperaturaT e dada em kelvin, a constante R sera dada por:

R = 0, 0831 atm · L/mol ·K

ja que a unidade de energia

atm · L = (105 N/m2)× (10−3 m3 = 100 J

, ou seja,1 J = 0, 01 atm · L

Pense um Pouco!

• Por que nao devemos incineram latas de spray vazias?

• Por quem um balao de gas abandonado explode ao subirna atmosfera?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFU-MG) Uma panela de pressao de volume 8, 3 litrose dotada de uma valvula de seguranca, cuja abertura ocorrequando a pressao interna ultrapassa 20 atm. Se no recipienteexistem 5, 0 mol de um gas perfeito, qual a maxima tempe-ratura possıvel, em graus Celsius, para que o gas nao escapepela valvula?a) 200b) 300c) 400d) 500e) 600

2. (MACKENZIE) Um pesquisador transferiu uma massa degas perfeito a temperatura de 27 C para outro recipiente devolume 20% maior. Para que a pressao do gas nesse novorecipiente seja igual a inicial, o pesquisador teve de aquecer ogas de:a) 60 Cb) 50 Cc) 40 Cd) 30 Ce) 20 C

3. (USC-BA) Certa massa de uma gas ocupa o volume de100 L sob pressao de 3, 0 atm e temperatura de 27 C. Aconstante universal dos gases perfeitos vale R = 0, 0831 atm ·L/mol · C. A massa do gas, sabendo que a sua moleculagrama e de 27, 7 g, e:a) 111, 1 gb) 222, 2 gc) 333, 3 gd) 444, 4 ge) 555, 5 g

Exercıcios Complementares

4. (CESGRANRIO) No SI, a constante universal dos gasesperfeitos e expressa em:a) (l · atm)/(K ·mol)

Page 93: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

84 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

b) cal/(g · C)c) J/(kg ·K)d) J/(mol ·K)e) J/kg

5. (FUVEST) Certa massa de um gas ideal sofre uma trans-formacao na qual a sua pressao e triplicada e seu volume ereduzido a metade. A temperatura absoluta final do gas sera:a) 1/3 do seu valor inicialb) 2/3 do seu valor inicialc) 3/2 do seu valor iniciald) 2 vezes o seu valor iniciale) 3 do seu valor inicial

6. (PUC) Uma amostra com 5, 0 mol de um gas perfeito estanum recipiente de volume constante 8, 3 L. Se o gas se encontranuma temperatura de 127 C, podemos afirmar que a pressaoa que o gas esta submetido sera aproximadamente :a) 40 atmb) 12 atmc) 18 atmd) 20 atme) 24 atm

Termodinamica Aula 4

Lei de Avogrado

Ate o inıcio do seculo passado, os cientistas ja haviam adqui-rido uma razoavel quantidade de informacoes sobre as reacoesquımicas observadas entre gases. O cientista italiano Ame-deo Avogrado, baseando-se nestas informacoes e em resulta-dos de experiencias realizadas por ele proprio, formulou em1811 uma hipotese muito importante, relacionando o numerode moleculas existentes em duas amostras gasosas. SegundoAvogrado,

se tomarmos dois recipientes, de mesmo volume, con-tendo gases diferentes, ambos a mesma temperaturae pressao, o numero de moleculas contidas em cadarecipiente deveria ser o mesmo.

Posteriormente, um grande numero de confirmacoes experi-mentais desta afirmativa fizeram com que ela passasse a serconhecida como a lei de Avogrado:

Volumes iguais, de gases diferentes, a mesma tempera-tura e pressao, contem o mesmo numero de moleculas.

Confirmacoes Experimentais

A lei de Avogrado e amplamente confirmada pela experiencia.Uma das verificacoes desta lei pode ser feita quando analisa-mos, no laboratorio, a decomposicao de alguns gases. Tome-mos, por exemplo, volumes iguais de HCl, H2O e NH3, sob aforma gasosa, a mesma pressao e temperatura. De acordo coma Lei de Avogrado, as tres amostras dos gases considerados de-vem Ter o mesmo numero N de moleculas. Decompondo estesgases e recolhendo o hidrogenio liberado em cada amostra, de-verıamos, entao, obter:

Para o HCl: N atomos de Hpara o H2O: 2N atomos de H

e para o NH3: 3N atomos de H .

A experiencia confirma este resultado pois, enquanto se recolheuma massa m de hidrogenio na decomposicao do HCl, verifica-se que uma massa 2m e recolhida na decomposicao do H2O euma massa 3m na decomposicao do NH3.

O Numero de Avogrado (NA)

Uma vez conhecida a lei de Avogrado, precisamos medir quale o numero de moleculas que existe em uma dada massa dogas. Suponha, por exemplo, que se tome 1 mol de varios gasesdiferentes (2 g de H2, 32 g de O2, 28 g de N2, etc...). De seusconhecimentos de quımica, voce ja deve saber que o numerode moleculas, em cada uma dessas amostras, e o mesmo. Estenumero e denominado Numero de Avogrado e e representadopor NA.

O cientista Perrin, no inıcio do seculo, realizou uma serie de ex-periencias, procurando determinar o valor de NA, concluindoque este valor estaria compreendido entre 6, 5×1023 e 7, 2×1023

moleculas em cada mol. Por esta medida, Perrin recebeu oPremio Nobel de Fısica, em 1926. Posteriormente, medidasmais precisas mostraram que o valor NA e mais proximo de

NA = 6, 02× 1023 moleculas/mol

Densidade e Massa Molecular

Define-se a densidade ρ volum’etrica de uma amostra de vo-lume V e massa m de qualquer substancia homogenea como

ρ =m

V

e a unidade SI da densidade e o kg/m3.

Tomemos duas amostras gasosas A e B, ambas ocupando omesmo volume, a mesma pressao e temperatura. Pela leide Avogrado, sabemos que estas amostras contem o mesmonumero de moleculas. Supondo que a massa molecular de A,MA, seja o dobro da massa molecular de B, MB, evidente-mente a massa da amostra A, mA, tambem sera o dobro damassa sa amostra B, mB. Mas, como as amostras tem vo-lumes iguais, concluimos que a densidade de A, ρA, sera odobro da densidade de B, ρB. Do mesmo modo, se tivessemosMA = 3MB, terıamos, tambem, ρA = 3ρB. Entao, podemosconcluir que

ρA

ρB=

MA

MB

isto e, a densidade de um gas e diretamente proporcional a suamassa molecular.

Pense um Pouco!

• Escreva o numero de avogadro por extenso, com os seus23 zeros, e observe como ele e enorme!

• Quando um gas e comprimido, o que aontece com a suadensidade?

• O que aconteceria com a hipotese de Avogrado emcondicoes que nao fossem as CNTP?

Page 94: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Termodinamica – Aula 5 85

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFSE) Constata-se experimentalmente que, nas mesmascondicoes de temperatura e pressao, 3 volumes de hidrogenioreagem com um volume de ozonio, produzindo 3 volumes devapor de agua. Essa informacao nos permite deduzir - a partirda Lei de Avogrado - que o numero de atomos na molecula deozonio e igual a:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

2. (UCS-BA) Sob as mesmas condicoes de temperatura epressao, o volume de qualquer gas e diretamente proporcionalao seu numero de moleculas. Essa e uma forma de enunciar aLei de:a) Avogradob) Gay-Lussacc) Lavoisierd) Faradaye) Einstein

3. (UFRS) Um recipiente de 2 litros contem um gas per-feito a temperatura de 17 C e pressao de 50 Pa. DadoR = 8, 31 J/mol · K, podemos afirmar que o numero demoleculas nesse recipiente e de:a) 2, 7× 107 moleculasb) 3, 7× 107 moleculasc) 5, 0× 107 moleculasd) 2, 7× 1018 moleculase) n.d.a.

Exercıcios Complementares

4. (FUVEST) A 25 C e 1 atm, o volume de 1 mol de atomosde nıquel (massa atomica: A = 59 e ρ = 8, 9 g/cm3) e aproxi-madamente igual a:a) 33 cm3

b) 26 cm3

c) 20 cm3

d) 6, 6 cm3

e) 13 cm3

5. (ACAFE) Um estudante informa a seu colega que, para”matar”a sua sede, teve que tomar 20 moles de agua, o outroestudante baseando-se na Lei de Avogrado, calculou o numerode moleculas ingerida pelo seu colega, que foi de:a) 1, 2× 1025 moleculasb) 2, 2× 1025 moleculasc) 3, 2× 1025 moleculasd) 4, 2× 1025 moleculase) 5, 2× 1025 moleculas

6. (UFES) Tres recipientes, A, B e C, de volumes iguais,contem respectivamente, HCl, H2O e NH3, todos no estadogasoso, a mesma pressao e temperatura. Suponha que o re-cipiente A contenha 1, 0 × 1024 moleculas de HCl. Podemosafirmar que o numero de moleculas de vapor de H2O existen-tes no recipiente B e:a) 1, 0× 1024 moleculas

b) 6, 02× 1023 moleculasc) 2, 0× 1024 moleculasd) 3, 0× 1024 moleculase) 4, 0× 1024 moleculas

Termodinamica Aula 5

Modelo Molecular de um Gas

As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram ob-tidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar estasleis com o comportamento das partıculas que constituem o gas,isto e, seus atomos ou suas moleculas. Os cientistas intensi-ficaram seus estudos sobre a estrutura molecular dos gases,baseando-se nas seguintes suposicoes:

1. um gas e constituido de pequenas partıculas, atomos oumoleculas;

2. o numero de moleculas existentes em uma dada massagasosa e muito grande;

3. a distancia media entre as moleculas e muito maior do queas dimensoes de uma molecula;

4. as moleculas de um gas estao em constante movimento,e este movimento e inteitamente ao acaso, isto e asmoleculas se movimentam em qualquer direcao.

Ao estabelecerem estas hipoteses, os cientistas estavam ten-tando descrever o comportamento de um gas atraves do mo-vimento de suas moleculas, isto e, estavam supondo que asleis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis daMecanica ao movimento das moleculas, tratando-as como sefossem partıculas. Desta maneira, os cientistas estruturaramum modelo para descrever o comportamento de um gas.

Este modelo e denominado modelo cinetico em virtude dese basear no movimento das moleculas do gas.

Calculo Cinetico da Pressao (p)

Como vimos, no modelo cinetico de um gas, o numero demoleculas e muito grande e elas estao em constante movi-mento. Em consequencia disto, as moleculas colidem conti-nuamente contra as paredes do recipiente que contem o gas,exercendo uma pressao nessas paredes. Como o numero decolisoes e muito grande, nao se percebe o efeito do choquede cada partıcula. O que se observa e o efeito medio da fre-quente sucessao de colisoes, que ocasiona o aparecimento deuma forca contınua, sem flutuacoes, pressionando as paredesdo recipiente. Portanto, a pressao que um gas exerce sobreas paredes do recipiente que o contem e devida as incessantese contınuas colisoes das moleculas do gas contra as paredesdo recipiente. Aplicando as leis da mecanica as colisoes dasmoleculas contra as paredes do recipiente, os fısicos do seculopassado obtiveram uma expressao matematica, relacionando apressao exercida por um gas com as seguintes grandezas:

N - numero de moleculas do recipienteV - volume do recipiente

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86 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

m - massa de cada moleculav2 - media dos quadrados das velocidades das moleculas

A expressao a que chegaram foi a seguinte:

p =1

3(N/V )mv2

Analisando esta expressao vemos que:

• p ∝ N : este resultado e intuitivo pois, quanto maior foro numero total de moleculas, maior sera o numero de co-lisoes contra as paredes e, portanto, maior sera a pressaoexercida pelo gas;

• p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maior seraa distancia que uma molecula tera que percorrer para co-lidir contra as paredes e, consequentemente, menor sera onumero de colisoes, isto e, menor sera a pressao exercidapelo gas;

• p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maior fora massa de um molecula, maior sera a sua quantidade demovimento (~q = m~v) e assim, maior sera a forca que elaexerce ao colidir contra a parede do recipiente;

• p ∝ v2: realmente, quanto maior for v2, mais rapida-mente as moleculas estarao se movimentando. E facil per-ceber que, nestas condicoes, maior sera a forca que cadamolecula exercera ao colidir contra a parede e, alem disso,maior sera o numero de colisoes.

Interpretacao Cinetica da Temperatura (T )

Como ja mencionamos em outra ocasiao, a temperatura deum corpo se relaciona com a energia de agitacao dos atomos emoleculas deste corpo.

Mostraremos agora como os fısicos do seculo passado, baseadosno modelo cinetico de um gas, chegaram a esta conclusao. Aexpressao p = Nmv2/3V , que havia sido obtida baseando-seno modelo cinetico, pode ser escrita como

pV =Nmv2

3

Comparando-a com a equacao de estado de um gas ideal, pV =nRT , que havia sido obtida experimentalmente, conclui-se que

Nmv2

3= nRT

Mas sendo NA (o numero de Avogrado) o numero de moleculasque existe em 1 mol e sendo n o numero de moles que corres-ponde a N moleculas, e claro que

N = nNA

e com este valor de N na igualdade anterior, vira

nNAmv2

3= nRT

ou, simplificando e reescrevendo

mv2 = 3(R/NA)T

e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos

1

2mv2 =

3

2(R/NA)T

Observe que o primeiro membro desta expressao representa aenergia cinetica media das moleculas. Esta energia cineticamedia sera representada por EC . O quociente R/NA que apa-rece no segundo membro, e constante, pois, como ja sabemos,tanto R quanto NA sao constantes. Este quociente e muitoimportante, e representado por kB e e a famosa constantede Boltzmann:

kB = 1, 38× 10−23 J/K

Desta maneira, chegamos a seguinte expressao:

EC =3

2kBT

que mostra ser a energia cinetica media das moleculas de umgas diretamente proporcional a sua temperatura absoluta, istoe, quanto maior for a energia cinetica media das moleculas,maior sera a temperatura do gas. Destacamos, entao que: atemperatura absoluta, T de um gas esta relacionada com aenergia cinetica media de suas moleculas.

Em uma amostra, podemos dizer que a unica energia exitentee a energia de cada partıcula, sendo N o numero de partıculas,a energia mecanica total da amostra e E = NEC . Essa ener-gia mecanica total e por definicao a energia interna Eint.

da amostra. Logo, substituindo essa relacao na expressao daenergia cinetica temos:

Eint. = N3

2kBT

ou, como N = nNA e kB = R/NA, temos

Eint. =3

2nRT

Pense um Pouco!

• Quando um gas absorve calor e seu volume e mantido fixo,para onde vai a energia ganha? Explique.

• Se um gas num pistao isolado se expande e realiza umtrabalho mecanico, o que acontece com sua temperatura?Explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. (ACAFE) Um recipiente contem H2 a 27 C. Podemosafirmar que a energia cinetica media de suas moleculas e:a) 2, 2× 10−21 Jb) 3, 2× 10−21 Jc) 6, 2× 10−21 Jd) 7, 1× 10−21 Je) n.d.a

2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de helio a 17 C.Adimtindo que nessas condicoes o helio se comporta como umgas ideal, a energia mecanica (interna) do sistema e dada por:a) 6, 2× 103 Jb) 7, 2× 103 Jc) 2, 4× 103 Jd) 2, 2× 103 Je) 1, 5× 103 J

Page 96: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Termodinamica – Aula 6 87

3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma tem-peratura de 36 C, podemos afirmar que a energia cineticamedia de suas moleculas e de:a) 6, 4× 10−21 Jb) 1, 2× 10−21 Jc) 2, 5× 10−21 Jd) 4, 3× 10−21 Je) 5, 3× 10−21 J

Exercıcios Complementares

4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de um gase correto afirmar que:a) a velocidade de suas moleculas permanece constanteb) a velocidade de suas moleculas aumentac) a velocidade de suas moleculas diminuid) nada podemos afirmar a respeito da velocidadee) a energia cinetica das moleculas diminui

5. (UFCE) Um recipiente A contem 5 mol de H2 a 32 C, eum outro recipiente B possui 6 mol de O2 a mesma tempera-tura. Podemos afirmar que:a) a energia cinetica media das moleculas e a mesma nos doisrecipientesb) a energia cinetica media das moleculas do recipiente A emaior do que as do recipiente Bc) a energia cinetica media das moleculas do recipiente A emenor do que as do recipiente Bd) depende do tamanho dos recipientese) nao e possivel determinar nada a respeito das energiascineticas das moleculas

6. (UEM-PR) As moleculas de um certo gas possuem umaenergia cinetica media de 20, 7 × 10−23 J , podemos afirmarque a temperatura em C desse gas:a) e 243b) esta acima de 243c) e 200d) e zeroe) esta abaixo de −243

Termodinamica Aula 6

Calor e Temperatura

A Lei Zero da Termodinamica

Vamos supor que, num sistema isolado (que nao perde nemganha energia em relacao ao meio exterior) foram colocadosdois blocos. Um bloco A a uma temperatura de 200 C, e umbloco B, a temperatura de 20 C, como esta representado nafigura:

A

B

o 20 C

o200 C

Como os blocos estao em um sistema isolado, so trocam ener-gia entre si.

A lei Zero da Termodinamica garante que, com o decorrerdo tempo, a temperatura do bloco A (mais quente) diminui en-quanto a temperatura do bloco B (mais frio) aumenta, ate queambos atinjam a mesma temperatura no equilıbrio termico.Como o sistema e isolado, pode-se explicar esse fenomenoadmitindo-se que parte da energia interna do bloco A foi trans-ferida para o bloco B. A essa energia transferida de umcorpo para o outro, devida apenas a diferenca de temperaturaentre eles, chamamos calor ou energia termica. Portanto:

CALOR e energia termica em transito entre dois cor-pos a diferentes temperaturas.

Unidade SI

A unidade SI com que se mede o calor e o joule ou J . Usu-almente mede-se o calor em calorias ou cal, e sabe-se que oequivalente mecanico do calor e

1 cal = 4, 186 J

Temperatura × Calor

O conceito de calor tem uma simplicidade enganosa, a dis-tincao entre os conceitos de calor e temperatura foi um pro-cesso historicamente demorado. Podemos definir que:

TEMPERATURA e a grandeza que mede o grau deagitacao das moleculas de um corpo.

A temperatura e uma grandeza que caracteriza um corpo emequilıbrio termico, o calor nao. Por exemplo, nao e correto sedizer “um corpo contema calor”.

Transmissao de Calor

Existem tres processos de transferencia de calor: conducao,conveccao e radiacao

Conducao

Suponha que uma pessoa esteja segurando uma das extre-midades de uma barra metalica e que a outra extremidadeseja colocada em contato com uma chama. Os atomos oumoleculas desta extremidade, aquecida pela chama, adquiremuma maior energia cinetica (de agitacao). Parte dessa ener-gia e transferida para as partıculas da regiao vizinha a estaextremidade e, entao, a temperatura desta regiao tambem au-menta. Este processo continua ao longo da barra, apos umcerto tempo, a pessoa que segura a outra extremidade perce-bera uma elevacao de temperatura neste local. Podemos ob-servar que houve um processo de transmissao de calor ao qualdenominamos conducao. Na conducao, o calor e conduzido

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88 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

atraves de um meio mecanico. No exemplo dado, utilizou-secomo meio de conducao uma barra de metal.

Lei da Conducao Termica

Considere dois ambientes a temperaturas T1 e T2 tais que T1 >T2, separados por uma parede de area A e espessura L.

L

T

T

1

2

A

Fluxo Térmico

Depois de atingir o regime estacionario, o fluxo de calor H(quantidade de calor que atravessa uma superfıcie por unidadede tempo) depende da area A da parede, da espessura L, dadiferenca de temperatura ∆T = T 1 − T 2 e do material queconstitui a parede. Segundo a lei de Fourier:

H =Q

t= kA

T 1− T 2

L

onde a constante de proporcionalidade k depende da naturezado material, sendo denominada coeficiente de condutividadetermica, seu valor e elevado para bons condutores termicos,como metais, e baixo para isolantes termicos, como a ar, porexemplo.

Chama-se de fluxo de calor ou fluxo termixo a quantidadeH

Unidades do Fluxo Tırmico (H)

A unidade usual em que se mede a quantidade H e e cal/s, ouno SI, J/s ou W . Lembre-se que 1 J/s = 1 watt = 1 W .

Conveccao

A conveccao e um processo de transmissao de calor que ocorreapenas em fluidos. O calor e transferido de uma regiao paraoutra pelo proprio fluido.

A descricao e explicacao desse processo e simples: nas regioesonde a temperatura e mais alta, o fluido se expande e ficamenos denso e tende a subir, por causa do empuxo. Nas regioesonde a temperatura e mais baixa, fluido e mais denso e tende adescer. Este sobe e desce dificilmente e apenas vertical. Nessecaso, quase sempre a conveccao provoca o aparecimento decorrentes de ar que se movimentam lateralmente das regioesmais aquecidas e de baixa pressao para as regioes mais friase de alta pressao. Esse movimento e o que se observa numapanela de agua fervendo, a agua sobe proximo as paredes (maisquente) e desce no centro (mais frio).

Radiacao

A radiacao e o processo mais importante de propagacao de ca-lor. Sem ela nao haveria vida em nosso planeta, ja que e porradiacao que o calor do Sol chega ate a Terra. Na verdade, aunica diferenca entre calor e luz e a frequencia da radiacao. Asradiacoes de calor (infravermelhas) estao possuem frequenciaslogo abaixo do espectro das radiacoes luminosas (luz visıvel).

Na verdade o que chamamos de luz sao as radiacoes que nos-sos olhos podem ver. Existem atualmente camara fotograficasque registram a ”luz”do calor, tornando evidente a limitacaoda nossa visao e tambem da nosso conceito de luz e calor. Epor isso que muitos aquecedores de ambiente tem a forma deespelhos curvos e as garrafas termicas sao espelhadas interna-mente, para refletir essa luz de calor.

Pense um Pouco!

• Por que o congelador das geladeiras fica na parte superior?

• As correntes ascendentes utilizadas pelos balonistas e umexemplo de transmissao de calor? Qual?

• Se colocarmos gelo e garrafas de refrigerante numa caixade isopor, quais as formas de transmissao de calor seraoobservadas ate que o sistema atinja o equilıbrio termico?

• No caso anterior, a lei Zero da Termodinamica garanteque o refrigerante ira gelar? Comente.

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFRS) A seguir sao feitas tres afirmacoes sobre proces-sos termodinamicos envolvendo transferencia de energia de umcorpo para outro.I. A radiacao e um processo de transferencia de energia quenao ocorre se os corpos estiverem no vacuo.II. A conveccao e um processo de transferencia de energia queocorre em meios fluidos.III. A conducao e um processo de transferencia de energia quenao ocorre se os corpos estiverem a mesma temperatura.

Sao afirmativas corretas:a) Apenas Ib) Apenas IIc) Apenas IIId) Apenas I e IIe) Apenas II e III

2. (PUC-MG) Analise fisicamente as afirmativas seguintes:I. Para derreter um bloco de gelo rapidamente, uma pessoaembrulhou-o num grosso cobertor.II. Para se conservar o chope geladinho por mais tempo,deve-se coloca-lo numa caneca de louca.III. Um aparelho de refrigeracao de ar deve ser instalado emum local alto num escritorio.

Pode-se afirmar que:a) apenas I e II sao corretasb) apenas II e III sao corretasc) apenas I e corretad) apenas II e corretae) apenas III e correta

3. (PUC) Uma placa de material isolante termico possui100 cm2 de seccao transversal e 2, 0 cm de espessura. Suacondutibilidade termica e 2, 0× 10−4 cal/s · cm · C. Se a dife-renca de temperatura entre as faces opostas e 100 C, quantascalorias atravessam a placa por segundo?a) 1,0b) 2,0

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Termodinamica – Aula 7 89

c) 3,0d) 4,0e) 5,5f) n.d.a

Exercıcios Complementares

4. (FUVEST) Para melhor isolamento termico de um ambi-ente, mantendo o material de que sao feitas as paredes, deve-se:a) aumentar o volume das paredesb) aumentar a area externa das paredes e manter a espessurac) diminuir a espessura das paredesd) aumentar a espessura e diminuir a area das paredese) reduzir a area externa e a espessura das paredes

5. (ACAFE) Nas geladeiras, o congelador fica sempre na partede cima para:a) manter a parte de baixo mais fria que o congeladorb) que o ar frio fique com congeladorc) que o ar quente va para o congeladord) acelerar a producao de cubos de geloe) que o ar frio va para o congelador

6. (FMU) As roupas indicadas para se usar no deserto devemser:a) escuras e finasb) claras e finasc) escuras e grossasd) claras e grossase) independentes da cor e da espessura

Termodinamica Aula 7

Capacidade Termica (C)

Nem todos os corpos variam sua temperatura da mesma formaao receberem calor. Ao se esquentar agua na chama de umfogao, por exemplo, observa-se que, quanto maior a massa deagua a aquecer, maior a quantidade de calor necessaria paraproduzir a mesma variacao de temperatura. Do mesmo modo,materiais diferentes necessitam de quantidades de calor dife-rentes para sofrerem a mesma variacao de temperatura. Umacolher de metal, por exemplo, necessita de menos calor do quea mesma massa de agua, para o mesmo aumento de tempera-tura. A grandeza que mede a quantidade de calor Q necessariapara produzir determinada variacao de temperatura ∆T numcorpo e a capacidade termica ou capacidade calorıfica, definidacomo a quantidade de calor necessaria para variar de 1 C asua temperatura.

C ≡ Q

∆T

Unidade SI

No SI, a capacidade termica e medida em J/K, embora napratica se use cal/C.

Substancia c(cal/g · C) Substancia c(cal/g · C)

Amonia 1,13 Agua 1,00

Alcool 0,58 Gelo 0,55Vapor d’agua 0,48 Madeira 0,42Alumınio 0,22 Vidro 0,16Ferro 0,11 Cobre 0,092Prata 0,056 Mercurio 0,033Ouro 0,032 Chumbo 0,031

Tabela 1.4: O calor especıfico c de algumas substancias.

A capacidade termica de um corpo depende da sua massa eda natureza do material de que e constituido. Ela permanececonstante durante o seu aquecimento ou resfriamento, desdeque nao ocorra mudanca de estado fısico.

Calor Especıfico (c)

Analisando-se o comportamento de corpos diferentes, masconstituıdos do mesmo material, quando submetidos a umaquecimento, observa-se que a quantidade de calor absorvida ediretamente proporcional a sua massa. Pode-se concluir, por-tanto, que a capacidade termica de um corpo e diretamenteproporcional a sua massa. Assim, a relacao entre a capaci-dade termica C de um corpo e sua massa e uma constante m,denominada calor especıfico (c)

c = C/m

Unidade SI

No SI, o calor especıfico e medido em J/kg · K, embora napratica se use cal/g · C.

O calor especıfico de um corpo depende do material que o cons-titui, do seu estado fısico e da sua temperatura, esta porem,sem influencia consideravel no estudo. O conhecimento do va-lor do calor especıfico tem importancia fundamental na fısica,pois identifica a quantidade de calor necessaria para elevar deum grau a temperatura de uma unidade de massa do material.

O elevado calor especıfico da agua, comparado ao de outrassubstancias e importante, pois faz com que seja necessariaelevada quantidade de energia para variar sua temperatura.Por essa razao, a agua demora mais para esquentar e tambempara esfriar, o que explica a estabilidade do clima das regioesproximas a grandes concentracoes de agua, como as litoraneas.Em contra-partida , a amplitude termica de regioes deserticaspode ultrapassar os 60 C em menos de 12 horas.

Calorimetria

Das definicoes de capacidade termica e calor especıfico, pode-mos escrever:

C =Q

∆T

logoQ = C∆T

( 1 ) e como

c =C

m=⇒ C = mc

temosQ = mc∆T

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90 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Essa equacao permite calcular a quantidade de energia naforma de calor, necessaria para variar a temperatura de umadeterminada massa de qualquer substancia, desde que naoocorra nenhuma mudanca de estado no processo.

Neste caso, quando um corpo absorve (perde) calor e aumenta(diminui) sua temperatura, o calor trocado chama-se de calorsensıvel.

Convensao

• Quando um sistema absorve calor num processo qual-quer, associamos ao processo um calor Q > 0;

• Quando um sistema perde calor num processo qualquer,associamos ao processo um calor Q < 0;

• Quando um sistema nao troca calor (nao ganha e nemperde) num processo qualquer, associamos ao processo umcalor Q = 0.

Esquematicamente:

Calor (Q) SinalAbsorvido +Perdido -

Trabalho

Um sistema pode trocar energia com sua vizinhanca na formade calor ou pela realizacao de trabalho. Realmente, se ha umadiferenca de temperatura entre o sistema e a vizinhanca, umacerta quantidade de calor podera ser transferida de um parao outro. Alem disso, o sistema pode se expandir, vencendouma pressao e portanto, realizando trabalho sobre a vizinhancaou, ainda, o sistema podera ter o volume reduzido, com arealizacao de um trabalho da vizinhanca sobre ele.

Trabalho realizado numa EXPANSAO

Consideremos como sistema termodinamico um gas ideal, en-cerrado em um cilindro provido de um embolo (pistao) quepode se deslocar livremente. Suponha que o gas se encontreem um estado inicial i, ocupando um volume Vi. Em virtudeda pressao do gas, ele exerce uma forca F sobre o pistao que,estando livre, desloca-se de uma distancia d. Assim, o gasse expandiu ate o estado final f , onde o seu volume e Vf , erealizou um trabalho W . Se a pressao p do gas permanecerconstante, o valor da forca F tambem sera constante durantea expansao e o trabalho W , realizado pelo gas, pode ser facil-mente calculado. De fato, para este caso, temos:

W = Fd

Mas sendo F = pA, onde A e a area da secao reta do pistao,temos

W = pAd

Mas observe que Ad e o volume varrido pelo pistao durantea expansao, que e igual a variacao do volume do gas, isto e,Ad = Vf − Vi, logo

W = p(Vf − Vi) = p∆V

Portanto esta expressao nos permite calcular o trabalho queum gas realiza, ao sofrer uma variacao de volume a pressaoconstante.

Trabalho realizado numa COMPRESSAO

Numa compressao, o procedimento para o calculo do trabalhoe o mesmo do caso da expansao, mudando apenas o sinal finaldo trabalho, ja que forca que o gas exerce sobre o pistao e nosentido contrario ao seu deslocamento.

Como no caso de uma compressao o volume final Vf do gassera menor do que o seu volume inicial Vi, entao a variacao devolume sera negativa e o trabalho pode ser obtido pela mesmaformula da expansao, de onde obteremos ja o sinal correto.

Convensao

• Quando um gas se expande num processo qualquer, di-zemos que o gas realiza um trabalho W > 0;

• Quando um gas e comprimido num processo qualquer,dizemos que o gas realiza um trabalho W < 0;

• Quando um gas permanece com volume constantenum processo qualquer, dizemos que o trabalho que o gasrealiza no processo e nulo, W = 0.

Esquematicamente:

Trabalho do Gas (W ) SinalExpansao +Compressao -

Unidade SI

Sendo uma forma de energia, assim como o calor o trabalhorealizado por um gas e medido em joule ou J no SI. Lembrando:

1 J = 1 N ·m

Pense um Pouco!

• A unidade de calor estudada, a caloria ou cal, e a mesmaregistrada nos alimentos?

• Qual a relacao existente entre a caloria alimentar e o es-tudo do calor?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UNIFOR-CE) Um corpo absorveu 500 cal de calor paraaumentar sua temperatura de 20 C para 40 C. A capacidadetermica desse corpo em cal/C e:a) 10b) 12c) 20d) 25e) 30

2. (USF-SP) Uma amostra de 50 g de determinada substanciasofre um acrescimo de temperatura de 20 C, quando absorve200 calorias. O calor especıfico dessa substancia, em cal/g·C,e:a) 1,2b) 1,0c) 0,5d) 0,4e) 0,2

Page 100: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Termodinamica – Aula 8 91

3. (UEPB) A massa de um corpo e igual a 2 kg. Recebendo10 kcal, a sua temperatura passa de 40 C para 90 C. Ocalor especıfico desse corpo e:a) 0, 1 Cb) 0, 2 Cc) 0, 3 Cd) 0, 4 Ce) 0, 5 C

Exercıcios Complementares

4. (ITA) A capacidade termica de uma caneca de alumınio ede 16 cal/C. Sabendo-se que o calor especıfico do alumınio ede 0, 2 cal/g · C, pode-se afirmar que a massa dessa caneca,em gramas, e:a) 3,2b) 32c) 90d) 160e) 800

5. (FURG) Uma fonte calorıfica fornece calor, com potenciaconstante, para 600 g de agua durante 10 min e observa-se atemperatura desta elevar-se em 15 C. Substituindo-se a aguapor 300 g de outro lıquido, verifica-se que a temperatura destese eleva tambem de 15 C, porem em 2 min. O calor especıficodo lıquido e de :a) 0,1 cal/g · Cb) 0,2 cal/g · Cc) 0,3 cal/g · Cd) 0,4 cal/g · Ce) 0,5 cal/g · C

6. (ACAFE) A capacidade termica de um corpo homogeneodepende:a) so de sua massab) de sua massa e de seu volumec) so de sua massa e do calor especıfico do material que oconstituid) de sua massa e de sua temperaturae) so do calor especıfico do material que o constitui

Termodinamica Aula 8

Primeira Lei da Termodinamica

A primeira lei da Termodinamica nada mais e que o princıpioda Conservacao da energia aplicado a termodinamica. Oprincıpio da conservacao da energia, em linhas gerais, diz quenum sistema isolado a energia total e conservada, ou seja econstante, e jamais pode ser criada ou destruıda dentro dosistema, mas apenas transformada de uma forma em outra.

Sendo assim, se um sistema recebe energia ele tem de dar contadesta energia, ou se ele cede energia, esta energia tem de tersaıdo de algum lugar. Por exemplo, admitamos que um sistemareceba 100 J de calor. Estes 100 J de energia nao podemdesaparecer e nem serem destruıdos no sistema. Eles tem de irpara algum lugar. Admitamos, em continuacao, que o sistema

realiza 80 J de trabalho. Notamos que o sistema recebeu 100 Je 80 J . Onde estarao os 20 J restantes?

Estes joules restantes ficaram dentro do sistema, armazenadossob a forma de energia interna. Portanto, a energia interna dosistema aumentou em 20 J . Podemos fazer um esquema destatroca de energia

Meio Externo

W = +80 JQ = +100 J

∆int

Sistema

U = +20 J

Sendo:

Calor recebido pelo sistema (Q): e energia que entra no sis-tema e a representamos por uma seta entrando, pois o calor ıabsorvido Q > 0.

Trabalho cedido pelo sistema (W ): e energia que sai do sistemana forma de trabalho e o representamos por uma seta para fora,ja que e uma energia perdida pelo sistema (W > 0).

Aumento de energia interna (∆Uint): representamos por umaquantidade ∆Uint > 0, quando ela aumenta, ou po uma quan-tidade ∆Uint < 0, quando ela diminui.

Temos:

Q = W + ∆Uint

Para obtermos esta relacao entre Q, W e ∆Uint, basta impor-mos que “a soma das energia entram (sinal positivo)com as energias que saem (sinal negativo) do sistemae igual a variacao da energia interna do sistema”.

Esta e a primeira lei da Termodinamica.

Aplicacoes da Primeira Lei

Vamos aplicar a primeira lei para algums processos termo-dinamicos particulares. Dizemos que um sistema termico passapor um processo de equilıbrio, ou quase-estatico, quando evo-lui fisicamente de forma lenta, fazendo com as variaveis que odescrevem (p, V , T , Uint, etc) mudem suavemente, fazendo osistema evoluir de forma contıa de um estado inicial i, digamos,para um estado final f .

Transformacao Isotermica (T = cte)

Para um processo termodinamico em que a temperatura naovaria, a variacao de energia interna do gas e nula. Ou seja,pela primeira lei concluimos que

Q = W

ou seja, numa transformacao isotermica, o calor trocado pelogas com o exterior e igual ao trabalho realizado no mesmoprocesso.

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92 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Transformacao Isobarica (p = cte)

No processo isobarico de um gas ideal, o volume V e dire-tamente proporcional a temperatura T . Portanto, numa ex-pansao isobarica, o volume e a temperatura aumentam, ocor-rendo tambem aumento da energia interna do gas:

∆Uint > 0

e pela primeira lei concluimos que para uma expansao isobarica

Q > W

ou seja, numa expansao isobarica, a quantidade de calor rece-bida e maior que o trabalho realizado.

Transformacao Isometrica (V = cte)

Como nao ha variacao de volume nesse tipo de processo, otrabalho realizado e nulo e, pela primeira lei:

∆Uint = Q

ou seja, todo o calor recebido (cedido) pelo sistema faz comque a energia interna do sistema aumente (diminua).

Numa transformacao isometrica, a variacao de energia internado gas e igual a quantidade de calor trocada com o meio exte-rior.

A transformacao a volume constante tambem e chamada deisovolumetrica, isocorica ou i

¯sometrica.

Transformacao Adiabatica (Q = 0)

Um gas sofre uma transformacao adiabatica quando nao trocacalor com o meio exterior, ou seja, quando

Q = 0

Aplicando a primeira lei temos neste caso

∆Uint = −W

Numa transformacao adiabatica, a variacao de energia internae igual em modulo e sinal contrario ao trabalho realizado natransformacao. Ou seja, se um sistema realiza trabalho adia-baticamente, tera de consumir sua energia interna, ja que naoabsorveu calor.

Segunda Lei da Termodinamica

A segunda lei da Termodinamica, a exemplo da primeira, temdiferentes enunciados que se equivalem. O mais comum delesdecorre da conclusao das aulas anteriores e da aceitacao dairreversibilidade das transformacoes da natureza:

Nenhuma maquina termica, operando em ciclos, poderetirar calor de uma fonte e transforma-lo integral-mente em trabalho.

ou noutra forma mais moderna

O calor flui expontaneamente de um corpo mais quentepara um corpo mais frio, sempre neste sentido.

Vamos ver os detalhes desta lei e suas aplicacoes mais adiante.

Pense um Pouco!

• Ao ser comprimido, um gas ganha ou perde energia in-terna?

• Faca uma analogia da compressao de um gas e de umamola, observando o trabalho e a energia.

• Um moto perpetuo de primeira especie seria uma maquinaque realizasse trabalho indefinidamente, sem utilizar ne-nhuma fonte de energia. Futuramente sera possıvel a cons-trucao de uma tal maquina?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UNICENTRO-SP) Marque a alternativa que descreve aprimeira lei da termodinamica.a) O aumento de energia interna de um gas e dado pela dife-renca entre o calor recebido e o trabalho realizado.b) O trabalho realizado e dado pela soma do calor recebidocom o aumento de energia interna.c) O calor recebido e dado pela diferenca entre o trabalho re-alizado e o aumento de energia interna.d) Se um sistema realiza trabalho, sua energia interna nao sealtera.e) Se um sistema recebe trabalho, sua energia interna diminui.

2. (FATEC) Havera trabalho realizado sempre que uma massagasosa:a) sofrer variacao em sua pressaob) sofrer variacao em seu volumec) sofrer variacao em sua temperaturad) receber calor de fonte externae) sofrer variacao de energia interna

3. (FATEC) Uma fonte termica cede 100 J de calor a umsistema, ao mesmo tempo em que este realiza um trabalhomecanico de 20 J . Durante esse processo, nao ocorrem outrastrocas de energia com o meio externo. A variacao da energiainterna do sistema, medida em joules, e igual a:a) zerob) 20c) 80d) 100e) 120

Exercıcios Complementares

4. (MACK) Um gas mantido a volume constante, recebe 240 Jde calor do meio ambiente. O trabalho realizado pelo gas e suavariacao da energia interna serao, respectivamente;a) 240 J e 0 Jb) 0 J e 240 Jc) 120 J e 120 Jd) 0 J e 120 Je) −240 J e 240 J

5. (UFLA-MG) Assinale a resposta correta. E possıvel cedercalor a um gas sem que sua temperatura aumente?a) Nao, porque sempre que um corpo recebe calor sua tempe-ratura aumentab) Nao , porque o calor e uma forma de energia e sempre se

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Termodinamica – Aula 9 93

conservac) Sim, porque o calor pode ser transformado em energia in-terna do gasd) Sim, porque o calor pode resultar num aumento da agitacaotermica das moleculas do gase) Sim , basta que o gas realize trabalho igual ao calor querecebeu

6. (ACAFE) Numa expansao adiabatica, a temperatura deum mol de gas perfeito diminui de 200 K. Podemos afirmarque a quantidade de calor trocada com o ambiente e de:a) 73 calb) 200 calc) 20 cald) 0 Je) nao pode ser determinado

Termodinamica Aula 9

Maquinas Termicas

Uma maquina termica opera em ciclos entre duas fontestermicas de temperaturas diferentes, uma chamada de fontequente e a outra, de fonte fria. A maquina retira calor dafonte quente Q1, transforma parte desse calor em trabalho We rejeita a outra parte Q2 para a fonte fria, assim

W = Q1 −Q2

Q1

Q2

MáquinaTérmica

W

Fonte Fria

Fonte Quente

Para o caso das maquinas termicas, a Segunda Lei da Termo-dinamica assume a forma:

E impossıvel um dispositivo operando em ciclos con-verter integralmente calor em trabalho.

Assim, podemos definir o rendimento ǫ de uma maquinatermica como

ǫ =W

Q1

e como W = Q1 −Q2 temos:

ǫ = 1− Q2

Q1

Ciclo de Carnot

Estudando as maquinas termicas, o cientista Sadi Carnotpropos, em 1824, um ciclo teorico composto de quatro trans-formacoes reversıveis - duas isotermicas e duas adiabaticas, queproporciona o maximo rendimento para uma maquina termica,entre duas temperaturas T1 e T2 das fontes quente e fria. Odesenho a seguir representa o ciclo de Carnot.

T1

T2

Va Vd Vb Vc

a

b

c

d

isotérmico

adiabático

isotérmico

adiabático

O

p

V

Figura 1.1: Figura do Ciclo de Carnot.

Processo A → B: o gas sofre uma expansao isotermica, rece-bendo calor da fonte quente Q1 e realizando trabalho. A ener-gia interna do gas se mantem constante nesta transformacao.

Sadi Carnot

Processo B → C: o gas sofre uma expansao adiabatica. Suatemperatura diminui, mas nao ocorre troca de calor com omeio. O gas realiza trabalho as custas de reducao na sua ener-gia interna.

Processo C → D: o gas sofre uma compressao isotermica ,o meio exterior realiza trabalho sobre o gas, sem que hajavariacao na sua energia interna. Durante essa transformacao,o gas rejeita a quantidade de calor Q2 para a fonte fria.

Processo D → A: ocorre uma compressao adiabatica,completando-se o ciclo. A temperatura do sistema aumenta,mas nao ocorre troca de calor com o meio. O trabalho realizadocontra o sistema, provoca aumento na sua energia interna.

Carnot demonstrou que, para uma maquina que executasse ociclo por ele proposto, as quantidades de calor trocadas com asfontes termicas sao diretamente proporcionais as temperaturas

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absolutas dessas fontes, ou seja:

Q2

Q1=

T2

T1

Como

ǫ = 1− Q2

Q1

entao o rendimento ǫC de uma maquina de Carnot e dado por:

ǫC = 1− T2

T1

Daı tiramos uma importante conclusao:

O rendimento da maquina de Carnot nao depende dasubstancia de trabalho utilizada (gas): e funcao exclu-siva das temperaturas absolutas das fontes quente efria.

Estabelece o Teorema de Carnot que, entre duas temperaturasT1 e T2 das fontes quente e fria, a maquina de Carnot e a queapresenta o maximo rendimento. Portanto, nenhuma maquinatermica, entre as mesmas temperaturas, pode apresentar ren-dimento superior ao previsto para a maquina de Carnot.

Pense um Pouco!

• O que aconteceria com uma maquina termica se o ren-dimento alcancado fosse de 100%? Sera que no futuro,teremos uma maquina assim?

Exercıcios de Aplicacao

1. (ACAFE) Uma maquina termica, que opera segundo o ciclode Carnot, absorve 200 calorias da fonte quente em cada ciclo eabandona 120 calorias para a fonte fria. A alternativa, abaixoque representa o rendimento desta maquina termica e:a) 100 %b) 80 %c) 60 %d) 40 %e) 20 %

2. (ACAFE) Complete o enunciado que segue, com a alter-nativa verdadeira, dentre as relacionadas abaixo. O ciclo deCarnot e constituıdo de transformacoes:a) adiabaticas e isotermicasb) adiabaticas e isobaricasc) isovolumetrica e isotermicasd) isovolumetricas e isobaricase) isovolumetricas e adiabaticas

3. (ACAFE) Uma maquina de Carnot, cuja fonte quente estaa 300 K, absorve 100 cal de calor desta fonte, em cada ciclo,e abandona 70 cal para a fonte fria. A temperatura da fontefria e de :a) 210 Kb) 190 Kc) 150 Kd) 120 Ke) 100 K

Exercıcios Complementares

4. (Mackenzie) Uma maquina termica executa um ciclo entreas temperaturas 500 K (fonte quente) e 400 K (fonte fria). Omaximo rendimento que essa maquina poderia ter e:a) 10 %b) 20 %c) 25 %d) 30 %e) 80 %

5. (UEL) O rendimento de certa maquina termica de Carnote de 25% e a fonte fria e a propria atmosfera a 27 C. Atemperatura da fonte quente e:a) 5, 4 Cb) 52 Cc) 104 Cd) 127 Ce) 227 C

6. (Osec-SP) Um gas perfeito realiza um ciclo de Carnot.A temperatura da fonte fria e 127 C e a da fonte quente e427 C. O rendimento do ciclo e:a) 3,4 %b) 70 %c) 43 %d) 57 %e) n.d.a

Termodinamica Aula 10

Mudancas de Fase

A materia pode se apresentar-se nos estados solido, lıquido egasoso. Estes estados se distinguem pelo seguinte:

Solido tem forma propria e volume bem definido.

Lıquido nao tem forma propria (assume a forma do recipienteque os contem), mas tem volume bem definido.

Gas nao tem forma propria nem volume definido. Tomam aforma e o volume do recipiente que os contem, dependendo dapressao externa.

Tipos

No nosso estudo estaremos sempre nos referindo a substanciaspuras, e faremos algumas definicoes:

• Fusao: e a passagem de uma substancia do estado solidopara o estado lıquido.

• Solidificacao: e a passagem de uma substancia do estadolıquido para o estado solido .

• Vaporizacao: e a passagem de uma substancia do estadoliquido para o estado de vapor.

Conforme a maneira de se processar, a vaporizacao recebenomes diferentes. Assim ela pode tomar o nome de:

Page 104: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Termodinamica – Aula 10 95

– Evaporacao: ocorre mediante um processo lento quese verifica apenas na superfıcie do lıquido. E o queacontece com a agua de um tanque , ou de uma baciaao ar livre. A evaporacao pode ocorrer a qualquertemperatura que estiver o lıquido.

– Ebulicao: ocorre mediante a um processo turbu-lento que se verifica em toda a massa lıquida. Issoocorre quando a pressao de vapor do lıquido se igualaa pressao externa, aı o vapor escapa produzindoo borbulhar caracterıstico da ebulicao. E o queocorre com a agua de uma chaleira quando esta ecolocada ao fogo e comeca a fervura. A ebulicaoso ocorre em uma determinada temperatura, ca-racterıstica do lıquido, chamada temperatura (ouponto) de ebulicao, que depende d a pressao exer-cida em sua superfıcie.

– Calefacao: ocorre apos um aquecimento muitobrusco. Por exemplo quando uma porcao de aguae jogada na chapa quente de um fogao, ha um aque-cimento brusco da agua, seguido do fenomeno de ca-lefacao .

• Liquefacao (condensacao): e a passagem de umasubstancia do estado de vapor para o estado lıquido.

Temperatura de Mudanca de Estado

A fusao e a solidificacao se processam na mesma temperaturachamada temperatura (ou ponto) de fusao ou de solidificacao(TF ). Por exemplo, a agua, sob pressao atmosferica normal,sempre se funde e solidifica a 0 C.

A ebulicao e a liquefacao se processam na mesma temperatura,chamada temperatura (ou ponto) de ebulicao ou de liquefacao(TE). Por exemplo, sob pressao atmosferica normal, a aguasempre entra em ebulicao e se liquefaz a 100 C.

Calor Latente

Seja Q a quantidade de calor latente necessaria para provocaruma dada mudanca de estado na massa m de um substanciaS, sem variacao de temperatura.

Verifica-se experimentalmente que Q e proporcional a massam, podendo-se escrever:

Q = mL

Sendo L um coeficiente de proporcionalidade chamado ca-lor especıfico latente da referida mudanca de estado dasubstancia S.

Sendo LF o calor especıfico latente de fusao ou de solidificacao,temos

QF = mLF

E sendo LV o calor especıfico latente de vaporizacao ou deliquefacao, temos:

QV = mLV

Observamos que o calor especıfico latente de uma substancia euma caracterıstica da substancia que nao depende da massa.

Observamos tambem que o calor especıfico latente de fusaoe de solidificacao e o mesmo, porque a quantidade de calorque um corpo recebe para se fundir e a mesma que cede ao sesolidificar. O mesmo se pode dizer do calor especıfico latentede vaporizacao e de liquefacao.

Pense um Pouco!

• Quando deixamos uma pedrinha de Naftalina no guarda-roupas ,depois de algum tempo ela some. Como se chamaesse processo?

• O que acontece com o calor absorvido por uma substanciadurante uma mudanca de fase, ja que sua temperatura naomuda?

Exercıcios de Aplicacao

1. (FUVEST) Para fundir 50 gramas de uma substancia, semvariacao de temperatura, foram necessarias 1, 4 kcal. Qual ocalor especıfico latente de fusao dessa substancia em cal/g?a) 12b) 24c) 26d) 28e) 30

2. (ACAFE) Sendo o calor latente especıfico de fusao do geloigual a 80 cal/g, a quantidade de calor necessaria para fundir100 gramas de gelo a 0 C e:a) 8 kcalb) 4 kcalc) 125 cald) 80 cale) 1, 25 cal

3. (PUC) Um bloco de gelo, inicialmente a −10 C, temmassa de 500 g. Qual a quantidade de calor necessaria paratransforma-lo em igual quantidade de agua, a 20 C? Dados: cGELO = 0, 5 cal/g · C, cAGUA = 1, 0 cal/g · C e LF =80 cal/g.a) 0, 05 kcalb) 0, 52 kcalc) 5, 25 kcald) 525 kcale) 52, 5 kcal

Exercıcios Complementares

4. (CEFET) Tem-se 200 g de agua a 20 C. A quantidade decalor, em cal, que dela se deve retirar para se ter gelo a 0 C,e (dados : cGELO = 0, 5 cal/g · C, cAGUA = 1, 0 cal/g · C eLF = 80 cal/g):a) 4000b) 16000c) 20000d) 20100e) 12000

5. (ACAFE) Qual a quantidade de calor que se deve fornecera 50 g de gelo a 0 C para transforma-lo em vapor de agua a100 C? Sabe-se que LV = 539 cal/g.a) 35950 calb) 26170 calc) 20130 cald) 15310 cale) 9000 cal

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96 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

6. (UNIJUI) A vantagem do uso da panela de pressao emrelacao as panelas comuns para cozinhar alimentos relaciona-se com:a) a agua demora mais a ferver e atinge uma temperaturamenorb) a agua ferve rapidamente e atinge maior temperaturac) a agua ferve rapidamente e atinge menor temperaturad) a agua demora mais a ferver e atinge maior temperaturae) n.d.a

Termodinamica Aula 11

Sublimacao e Diagrama de Fases

Se colocarmos uma bola de naftalina em uma gaveta, sabemosque ela passa pelo estado de vapor, sem passar pelo estadolıquido, isto e, ocorre a sublimacao da naftalina. Este fatotambem ocorre com o CO2 solido e, por isto, ele e denominado”gelo seco”. Embora sejam poucas as substancias que se su-blimam nas condicoes ambientes, verifica-se que este fenomenopode ocorrer com qualquer substancia, dependendo da tempe-ratura e da pressao a que ela estiver submetida. O estudo dodiagrama de fases, que faremos a seguir, nos permitira defi-nir em que condicoes a sublimacao de um substancia poderaocorrer.

Diagrama de Fases

Em um laboratorio e possıvel determinar, para cadasubstancia, os valores da pressao p e da temperatura T cor-respondentes a cada um dos seus possıveis estados. Com estesvalores podemos construir um grafico, denominado diagramade fases, que tem aspecto semelhante ao da figura abaixo:

Temperatura ( C)

Liquida

Solida

Ponto triplo

Vapor

0,0006

0,01 100

1,0

Pre

ssa

o (

atm

)

Observa-se que este diagrama esta dividido em tres regioes,indicando a fase Solida, Lıquida e Vapor. Se nos forem for-necidos os valores da pressao e da temperatura em que umasubstancia se encontra, o seu diagrama de fases nos permitiradeterminar se ela esta solida, lıquida ou gasosa. Para isto,

devemos localizar, neste diagrama, o ponto correspondente aopar de valores de p e T fornecidos. Se este ponto estiver loca-lizado na regiao Solida, a substancia estara na fase solida, seestiver na regiao Lıquida, estara na fase lıquida e se estiver naregiao Vapor, na fase gasosa.

Figura 1.1: Estrutura da agua lıquida.

Ponto Triplo

As linhas que aparecem no diagrama de fases e que os dividemnas regioes Solida, Lıquida e Vapor correspondem a valores dep e T nos quais podemos encontrar a substancia, simultanea-mente, em dois estados. Assim, qualquer ponto da linha TMcorresponde a um par de valores de p e T no qual a substanciase apresenta, simultaneamente, nos estados solido e lıquido. Alinha TN corresponde ao equilıbrio entre lıquido e vapor e a li-nha OT , entre solido e vapor. O ponto de encontro dessas treslinhas (ponto T da figura) nos fornece os valores da pressaoe da temperatura nos quais a substancia pode se apresentar,simultaneamente, nos tres estados. Este ponto e denominadoponto triplo da substancia. A agua, por exemplo, a pressaode 4, 6 mmHg e a uma temperatura de 0, 01 C, pode ser en-contrada, simultaneamente, nos estados solido, lıquido e gasosoe, portanto, estes valores correspondem ao seu ponto triplo.

Figura 1.2: Estrutura da agua solida (gelo).

Gas Real

Um gas real pode nao se comportar como um gas ideal, ja queo modelo de gas ideal e uma aproximacao bem simplificada deum gas real.

Para isto, suponha que um gas real esteja encerrado em umcilindro provido de um pistao e de um manometro que nospermite ler os valores de sua pressao.

Mantendo constante a temperatura do gas, vamos comprimi-lo desde uma posicao inicial aonde a pressao do gas e ainda,relativamente baixa. Durante a compressao, verifica-se que,

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Termodinamica – Aula 11 97

inicialmente, o gas real se comporta como um gas ideal, isto e,os valores de p,V e T do gas satisfazem a equacao pV = nRT .

Entretanto, apos o pistao atingir uma certa posicao, na qual apressao ja e um pouco mais elevada, observa-se que o gas realdeixa de se comportar como um gas ideal. Seu comportamentotorna-se mais complexo, exigindo, para descreve-lo, equacoesmais sofisticadas do que a equacao de estado de um gas ideal.

Pense um Pouco!

• Todas as substancias possuem o chamado ponto triplo?

• Quanto tempo leva uma naftalina para sumir completa-mente?

Exercıcios de Aplicacao

1. (PUC-RS) Se, ao fornecermos calor a um sistema, sobpressao constante, observarmos que a temperatura permaneceinalterada, podemos afirmar que o sistema:a) e totalmente solido.b) e totalmente lıquido.c) esta necessariamente em processo de fusao.d) esta necessariamente evaporando.e) esta sofrendo uma mudanca de fase.

2. (UFV) Utilizando-se uma fonte de fornecimento contınuode calor, aquece-se, a pressao constante de 1 atmosfera, 100 gde gelo, que sao transformados em vapor superaquecido. Afigura seguinte ilustra a variacao da temperatura do sistemacom o tempo.a) Em que intervalo de tempo ocorre a fusao?b) Em que intervalo de tempo ocorre a vaporizacao?c) Considerando o calor especıfico do gelo igual a 0, 55 cal/g·Ce o calor latente de fusao igual a 80 cal/g, qual e a quantidadede calor absorvida pelo sistema, do instante inicial ao instantet2?

1t

2t

3t

4t

0

−40

T( C)o

t(s)

Exercıcios Complementares

3. (UFV-MG) Sejam dois solidos A e B, de massas respecti-vamente a mA e mB, em equilıbrio termico. Cedendo-lhes amesma quantidade de calor, observa-se que a temperatura docorpo A torna-se maior que a temperatura do corpo B. Naose observa mudanca de fase. Sobre essa situacao sao feitas tresafirmativas:I - Se os corpos forem feitos do mesmo material, certamentemA > mB.

II - Se mA = mB, certamente o calor especıfico de A e maiorque o calor especıfico de B.III - Esta situacao so foi possıvel porque os corpos possuemcapacidades termicas diferentes.Estao CORRETAS:a) I e IIb) apenas IIc) apenas IIId) I, II e IIIe)

SOLUCAO

A solucao desse item e uma analise das relacoes abaixo:

1) Q = mc∆t 2) C = mc 3) Q = C∆T

Onde:

Q - quantidade de calor;C - capacidade termica;c - calor especıficom - massa;∆T - variacao da temperatura.

Analisemos as afirmacoes:

I - Pela equacao 1), mesmo material =¿ mesmo calor especıfico;como A sofreu maior variacao de temperatura, a massa de Ae menor que a de B. Afirmativa falsa.

II - Pela equacao 1), massas iguais =¿ sofre maior variacaode temperatura o corpo de menor calor especıfico. Portanto ocalor especıfico de A e menor que o de B, pois A sofreu maiorvariacao de temperatura. Afirmacao falsa.

III - Pela equacao 3) verifica-se que quantidades de calor iguais,as variacoes de temperaturas serao diferentes se as capacida-des termicas forem diferentes. Afirmacao correta. Portanto,apenas III e correta.

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Eletricidade – Aula 1 99

Eletricidade Aula 1

Carga Eletrica

No seculo XVIII, Benjamin Franklin verificou experimental-mente que existem dois tipos de cargas diferentes, a as batizoucomo cargas negativas (−) e positivas (+). Nesta epoca oscientistas pensavam que a carga era um fluıdo que podia serarmazenado nos corpos, ou passar de um para outro.

Atualmente, dizer-se que carga eletrica e uma propriedadeintrınseca de algumas partıculas. Assim como massa, a cargae uma propriedade elementar das partıculas.

A experiencia realizada por Harvey Fletcher e Robert Millikandemonstrou que a quantidade de carga eletrica e uma grandezaquantizada, ou seja, nao pode assumir qualquer valor. Essadescoberta levou a conclusao de que a quantidade de cargaeletrica Q e sempre um numero inteiro n vezes a quantidadede carga elementar e:

Q = ne

onde e = 1, 60× 10−19 C. A unidade SI da carga eletrica e ocoulomb ou C.

Tipos de Materiais

Em relacao a eletricidade, os materiais sao classificados comocondutores ou isolantes.

Para que um material seja condutor de energia eletrica, enecessario que ele possua portadores de carga eletrica livres(eletrons, ıons positivos ou ıons negativos) e mobilidade paraesses portadores. Os metais sao bons condutores de eletrici-dade, pois possuem eletrons ”livres”e mobilidade para esseseletrons; o mesmo acontece com as solucoes eletrolıticas, queapresentam os ıons como portadores de carga eletrica, e com osgases ionizados, que possuem eletrons e ıons como portadoresde carga eletrica.

O vidro, a agua pura, a madeira e os plasticos de modo geralsao bons isolantes de eletricidade. Alem dos condutores e dosisolantes, existem os materiais semi-condutores, como o silıcioe o germanio.

Eletrizacao por Atrito

Ao atritar vigorosamente dois corpos, A e B, estamos forne-cendo energia e pode haver transferencia de eletrons de umpara o outro. Se os corpos atritados estao isolados, ou seja,nao sofrem a influencia de quaisquer outros corpos, as cargaseletricas cedidas por um sao exatamente as adquiridas pelooutro:

QA = −QB

Isto e, A e B adquirem quantidades de carga eletrica iguais emmodulo, mas de sinais contrarios. A figura representa o queacontece quando um pedaco de metal e atritado com um panode la.

Atrito

La

La

++ +

+ ++

++

++

+

+

(a) (b)

Quando esfregamos as maos, nao eletrizamos nenhuma delas.Para que haja eletrizacao por atrito, uma condicao necessariae que os corpos sejam de materiais diferentes, isto e, eles naopodem ter a mesma tendencia de ganhar ou perder eletrons.Em Quımica, essa tendencia e traduzida por uma grandeza de-nominada de eletroafinidade. Os materiais podem ser classifi-cados de acordo com essa tendencia, elaborando-se a chamadaserie tribo-eletricas:

+ + + Vidro → Mica → La → Seda → Algodao → Ma-deira → Ambar → Enxofre → Metais −−−Ao atritarmos dois materiais quaisquer de uma serie tribo-eletrica, o que estiver posicionado a esquerda ficara eletrizadopositivamente; o que estiver a direita ficara eletrizado negati-vamente. Na eletrizacao por atrito, pelo menos um dos corposdeve ser isolante. Se atritarmos dois condutores, eles nao vaomanter a eletrizacao.

Eletrizacao por Contato

A eficiencia nessa forma de eletrizacao depende de os corposserem condutores ou isolantes. Se um dos corpos for isolante,a eletrizacao sera local, isto e, restrita aos pontos de contato.

Se os dois corpos forem condutores - um eletrizado e o outroneutro - e colocados em contato, poderemos imagina-los comoum unico corpo eletrizado. A separacao entre eles resultaraem dois corpos eletrizados com cargas de mesmo sinal. Na fi-gura, um dos condutores esta inicialmente neutro (a eletrizacaopor contato pode ocorrer tambem com dois condutores inici-almente eletrizados).

++

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+ ++

++

+

+

+

Antes

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+ +

+

+

+

+

++

++

+

+

+

+

++

+

+

+

+ +

+

+ +

+

+

+

+

++

Depois

(a) (b) (c)

Generalizando, podemos afirmar que, na eletrizacao por con-tato:

• os corpos ficam ou eletricamente neutros ou com cargasde mesmo sinal;

• quando o sistema e formado por corpos isolados das in-fluencias externas, a quantidade de carga eletrica totalfinal e igual a quantidade de carga eletrica total inicial(princıpio da conservacao de carga eletrica):

QA + QB = Q′A + Q′

B

Na expressao acima, Q representa a quantidade de cargaeletrica inicial e Q′, a quantidade de carga eletrica final.Em particular, se os corpos A e B forem iguais:

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100 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Q′A = Q′

B = (QA + QB)/2

Podemos ainda observar que:

1. se os corpos colocados em contato sao de tamanhosdiferentes, a divisao de cargas e proporcional as di-mensoes de cada um;

2. quando um corpo eletrizado e colocado em contatocom a Terra, ele se torna neutro, uma vez que sua di-mensao e desprezıvel se comparada com a da Terra.Simbolicamente, a ligacao a Terra e representadaconforme a figura.

Terra

(a) (b)

Em (a), o corpo esta isolado da Terra e, portanto,mantem sua carga eletrica. Quando o contato com aTerra e estabelecido (b), o corpo se neutraliza

Eletrizacao por Inducao

Nesse tipo de eletrizacao nao ha contato entre os corpos. Ve-jamos como acontece.

++

+

+

+

+

++

+ +

+

+

++

+ +

++

+

+

+

++

+

(a) (b)

Primeiramente, precisamos de um corpo eletrizado (a), cha-mado de indutor, que pode ser condutor ou isolante, pois naotera contato com o outro. O segundo corpo (b) a ser eletri-zado, chamado de induzido, devera ser condutor, podendo seruma solucao eletrolıtica ou dois corpos B1 e B2 ligados eletri-camente.

++

+

+

+

+

++

+ +

+

+

++

+ +

+ ++

+

+

++

+

B1 B2

(a) (b)

O indutor (a) eletrizado positivamente, atrai as cargas eletricasnegativas do induzido (b). Assim, na face do induzido maisproxima do indutor, temos acumulo de cargas negativas, quenao chegam ao indutor porque o ar entre eles e isolante. Poroutro lado, a face do induzido mais afastada do indutor ficapositiva. A essa altura, podemos nos perguntar se o corpo (b)esta eletrizado. Ele nao esta, pois o numero de protons nocorpo continua igual ao numero de eletrons. Dizemos que ocorpo (b) esta induzido, porque houve apenas uma separacaodas cargas. Quando retiramos o indutor, as cargas no induzidose reagrupam e ele volta a situacao neutra. Para eletrizar oinduzido, devemos, na presenca do indutor, estabelecer o con-tato do induzido (corpo b) com um terceiro corpo, chamado deterra. Esse terceiro corpo pode ser um outro corpo qualquer,ate mesmo o planeta Terra.

+ ++

+

+

++

++++

++

+

++

++ ++

+

+

++

++++

++

+

++

++

A − Indutor

+ ++

+

+

++

+

B

(a) (b)

Na presenca do indutor, desfazemos o contato entre b e a Terra;em seguida, afastamos os corpos: o corpo b fica eletrizado comcarga oposta a do indutor a.

Pense um Pouco!

• Uma pessoa pode levar um pequeno choque ao descer deum carro num dia seco. Explique.

• Atritando-se dois materiais diferentes criamos cargaeletrica? Por que?

Exercıcios de Aplicacao

1. Dispoe-se de tres esferas metalicas identicas e isoladas umada outra. Duas delas, A e B, estao neutras, enquanto a es-fera C contem uma carga eletrica Q. Faz-se a esfera C tocarprimeiro a esfera A e depois a esfera B. No final desse proce-dimento, qual a carga eletrica das esferas A, B e C, respecti-vamente?

2. ”Serie tribo-eletrica e um conjunto de substancias orde-nadas de tal forma que cada uma se eletriza negativamentequando atritada com qualquer uma que a antecede e posi-tivamente quando atritada com qualquer uma que a sucede.Exemplo: vidro - mica - la - seda - algodao - cobre.”Baseadona informacao acima, responda:a) Atrita-se um pano de la numa barra de vidro, inicialmenteneutros. Com que sinais se eletrizam?b) E se o pano de la fosse atritado numa esfera de cobre,tambem inicialmente neutro?

3. Uma esfera metalica neutra encontra-se sobre um suporteisolante e dela se aproxima um bastao eletrizado positiva-mente. Mantem-se o bastao proximo a esfera, que e entao

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Eletricidade – Aula 2 101

ligada a terra por um fio metalico. Em seguida, desliga-se ofio e afasta-se o bastao.a) A esfera ficara eletrizada positivamente.b) A esfera nao se eletriza, pois foi ligada a terra.c) A esfera sofrera apenas separacao de suas cargas.d) A esfera ficara eletrizada negativamente.e) A esfera nao se eletriza, pois nao houve contato com o bastaoeletrizado.

4. Dispoe-se de uma esfera condutora eletrizada positiva-mente. Duas outras esferas condutoras, B e C, encontram-seinicialmente neutras. Os suportes das tres esferas sao isolantes.Utilizando os processos de eletrizacao por inducao e por con-tato, descreva procedimentos praticos que permitam obter:a) as tres esferas eletrizadas positivamente II. A eletrizada po-sitivamente e B negativamente III. A eletrizada negativamentee B positivamente

Exercıcios Complementares

5. (U. Fortaleza-CE) Um bastao e atritado com um pano. Aseguir, repele uma esfera eletrizada negativamente. Pode-seafirmar corretamente que o bastao foi eletrizadoa) positivamente, por contato com o pano.b) positivamente, por ter-se aproximado da esfera.c) negativamente, por ter-se aproximado da esfera.d) negativamente, por atrito com o pano.e) neutralizado, ao aproximar-se da esfera

6. (PUCC-SP) Dispoe-se de uma barra de vidro, um panode la e duas pequenas esferas condutoras, A e B, apoiadasem suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atrita-sea barra de vidro com o pano de la; a seguir coloca-se a barrade vidro em contato com a esfera A e o pano com a esfera B.Apos essas operacoes:a) o pano de la e a barra de vidro estarao neutros.b) a barra de vidro repelira a esfera B.c) o pano de la atraira a esfera A.d) as esferas A e B se repelirao.e) as esferas A e B continuarao neutras.

7. (UNIRIO-RJ) Uma esfera metalica, sustentada por umahaste isolante, encontra-se eletrizada com uma pequena cargaeletrica Q. Uma segunda esfera identica e inicialmente descar-regada aproxima-se dela, ate toca-la. Apos o contato, a cargaeletrica adquirida pela segunda esfera e:a) Q/2b) Qc) 2Qd) 0e) −Q

Eletricidade Aula 2

Eletroscopio de Folhas

E constituıdo de duas folhas metalicas, finas e flexıveis, liga-das em sua parte superior a uma haste, que se prende a uma

esfera, ambas condutoras. O isolante impede a passagem decargas eletricas da haste para a esfera. Normalmente, as fo-lhas metalicas sao mantidas dentro de um frasco transparente,a fim de aumentar a sua justeza e sensibilidade.

Eletrostato

+++++

+

(a) (b)

Figura 1.1: O eletroscopio de folhas (a) na presenca de umbastao eletrizado negativamente (b)

Aproximando-se da esfera o corpo que se quer verificar, se eleestiver eletrizado, ocorrera a inducao eletrostatica, ou seja: seo corpo estiver carregado negativamente, ele repele os eletronslivres da esfera para as laminas, fazendo com que elas se abramdevido a repulsao; se o corpo estiver com cargas positivas, eleatrai os eletrons livres das laminas, fazendo tambem com queelas se abram, novamente, devido a repulsao.

+ ++ +

+ +

++

Figura 1.2: Na presenca de um bastao eletrizado positivamente

A determinacao do sinal da carga do corpo em teste, que jase sabe estar eletrizado, e obtida carregando-se anteriormenteo eletroscopio com cargas de sinal conhecido. Dessa forma, aslaminas terao uma determinada abertura inicial.

A Lei de Coulomb

Esta lei diz respeito a intensidade das forcas de atracao ou derepulsao, que agem em duas cargas eletricas puntiformes (car-gas de dimensoes desprezıveis), quando colocadas em presencauma da outra.

Considere duas cargas eletricas puntiformes, q1 e q2, separadaspela distancia r. Sabemos que, se os sinais dessas cargas foremiguais, elas se repelem e, se forem diferentes, se atraem. Isto

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102 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

acontece devido a acao de forcas de natureza eletrica sobreelas.

Essas forcas sao de acao e reacao e, portanto, tem a mesmaintensidade, a mesma direcao e sentidos opostos. Deve-se notartambem que, de acordo com o princıpio da acao e reacao, elassao forcas que agem em corpos diferentes e, portanto, nao seanulam.

Charles de Coulomb verificou experimentalmente que:

As forcas de atracao ou de repulsao entre duas cargaseletricas puntiformes sao diretamente proporcionaisao produto das cargas e inversamente proporcionaisao quadrado da distancia que as separa.

A expressao matematica dessa forca e:

F = kq1q2

r2

onde q1 e q2 sao os modulos das cargas eletricas envolvidas, e kuma constante eletrostatica que, no SI, para as cargas situadasno vacuo e

k = 9× 109 N ·m2/C2

Pense um Pouco!

• Baseado na lei de Coulomb, explique como funciona oeletroscopio;

• Se dobrarmos a distancia r entre duas cargas dadas, o queacontece com a forca eletrica entre elas?

• Se colocarmos muitos eletrons no centro de uma chapametalica quadrada, o que acontecera com essa carga?

Exercıcios de Aplicacao

1. Duas esferas condutoras eletrizadas, de pequenas di-mensoes, atraem-se mutuamente no vacuo com forca de inten-sidade F ao estarem separadas por certa distancia r. Comose modifica intensidade da forca quando a distancia entre asesferas e aumentada para 4r?

2. As cargas eletricas −q e +q′, puntiformes, atraem-se comforca de intensidade F , estando a distancia r uma da outrano vacuo. Se a carga q′ for substituıda por outra −3q′ e adistancia entre as cargas for duplicada, como se modifica aforca de interacao eletrica entre elas?

3. Considere um eletroscopio de folhas descarregado. Expliqueo que acontece quando um corpo eletrizado negativamente e:a) aproximado da esfera do eletroscopio;b) encostado na esfera do eletroscopio.

Exercıcios Complementares

4. Duas partıculas eletrizadas com cargas eletricas de mesmovalor absoluto mas sinais contrarios atraem-se no vacuo comforca de intensidade 4, 0× 10−3 N , quando situadas a 9, 0 cmuma da outra. Determine o valor das cargas, sendo k = 9 ×109 N ·m2/C2.

5. (Santa Casa-SP) A figura representa um eletroscopio defolhas inicialmente descarregado. A esfera E, o suporte S eas folhas F sao metalicos. Inicialmente, o eletroscopio estaeletricamente descarregado. Uma esfera metalica, positiva-mente carregada, e aproximada, sem encostar, da esfera doeletroscopio. Em qual das seguintes alternativas melhor serepresenta a configuracao das folhas do eletroscopio (e suascargas), enquanto a esfera positiva estiver perto de sua esfera?

blindagem

metalica

a) b)

d)

c)

e)

E

F

S

6. Duas cargas puntiformes q1 = −5, 0 µC e q2 = +8, 0 µCestao sobre o eixo horizontal, separadas por uma distancia r.Assinale a alternativa correta:a) As cargas se repelem mutuamenteb) q2 atrai q1 com mais intensidade do que q1 atrai q2

c) o sistema forma um dipolod) As cargas se atraem eletricamentee) A forca sobre as cargas sao verticais

Eletricidade Aula 3

Campo Eletrico

Quando empurramos uma caixa, estamos aplicando sobre elauma certa forca. Nao e difıcil imaginar de que forma essaforca foi transmitida a caixa, pois de imediato associamos aaplicacao da forca o contato travado com a caixa. Pensemosagora na interacao entre cargas eletricas: conforme estudamosanteriormente, se aproximarmos de uma carga Q uma outracarga q, que denominaremos carga de prova, verificaremos aacao de uma forca ~F (atrativa ou repulsiva, conforme os sinaisdas cargas) sobre a carga q. Nesse caso, nao ha contato entreos corpos, o que torna mais difıcil a compreensao da forma detransmissao da forca. Durante muito tempo afirmou-se que aforca eletrostatica era uma interacao direta e instantanea entreum par de partıculas eletrizadas, conceito este denominadoacao a distancia.

m

F

Page 112: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Eletricidade – Aula 3 103

Se trabalhassemos apenas com cargas em repouso, a acao adistancia nos bastaria para que resolvessemos a maioria dosproblemas do eletromagnetismo. No entanto, o estudo de car-gas em movimento nao pode ser deixado de lado e nesse caso ateoria da acao a distancia e falha, sendo necessario buscarmosoutra forma de explicar a interacao eletrica. E foi com Faraday(1791-1867) que nasceu a ideia que constitui hoje um dos maisimportantes recursos em Fısica: a nocao de campo.

Dizemos que a presenca da carga Q afeta a regiao do espacoproxima a ela, ou seja, que a carga Q cria nas suas vizinhancasuma “propriedade”que da a essa regiao “algo”mais que atri-butos geometricos, “algo”que transmitira a qualquer carga deprova colocada nessa regiao a forca eletrica exercida pela cargaQ. Designamos por campo eletrico tal propriedade. Assim, aforca ~F e exercida sobre q pelo campo eletrico criado por Q.Esquematicamente teremos:

Acao a distancia: carga ⇐⇒ carga

Teoria de campo: carga ⇐⇒ campo ⇐⇒ carga

A nocao de campo e utilizada em muitas outras situacoesfısicas, como por exemplo a interacao gravitacional. Na figuraa seguir, em vez de pensarmos numa atracao direta da Terrasobre o corpo de massa m, podemos dizer que a Terra cria emtorno de si um campo gravitacional; em outras palavras, a pre-senca da Terra faz com que todos os pontos de sua vizinhancapossuam uma propriedade segundo a qual todo corpo colocadonesse local sofrera a acao de uma forca atrativa.

Uma observacao muito importante deve ser feita: o campoeletrico num ponto P qualquer da vizinhanca da carga Q,assim como o campo gravitacional num ponto qualquer nasvizinhancas da Terra, existe independentemente da presencada carga de prova q ou da massa m. Estas apenas testam aexistencia dos campos eletrico e gravitacional nos pontos con-siderados.

O Vetor Campo Eletrico

O campo eletrico e melhor caracterizado em cada ponto doespaco por um vetor E, denominado vetor campo eletrico. Adefinicao do vetor campo eletrico e tal, que por seu intermediopoderemos estudar muitas caracterısticas do campo eletrico, apartir do estuco desse vetor num ponto. Consideremos P umponto generico de um campo eletrico gerado por uma fontequalquer. Coloquemos em P , sucessivamente, cargas de provaq1, q2, q3, ..., q. A intensidade da forca eletrica atuante nascargas de prova ira variar, mas a direcao da forca sera a mesma,conforme indicamos na sequencia de figuras seguintes:

q1

P

F1

q2

PF

2 P

F

q

(a) (b) (c)

Concluımos que a relacao entre a forca e a carga em que elaatua e uma caracterıstica do ponto P considerado, denominadavetor campo eletrico. Assim, teremos:

~E = ~F/q

Quanto ao sentido do vetor ~E, distinguimos dois casos:a) q e positiva: ~E e ~F tem o mesmo sentido;

b) q e negativa: ~E e ~F tem sentidos contrarios.

Podemos concluir, da equacao, que as unidades de intensidadedo vetor campo eletrico serao unidades de forca por unidadesde carga. Assim, no sistema internacional de unidades, tere-mos:

Unidade SI

por definicao, a unidade de de campo eletrico e ~E seranewton/coulomb, ou seja N/C.

Linhas de Campo

A denominacao linhas de campo ou linhas de forca designa umamaneira de visualizar a configuracao de um campo eletrico.Esse artifıcio foi empregado por Faraday e mesmo hoje podeser conveniente seu uso.

EE

E

E

E

E

Apresentamos a seguir a significacao das linhas de forca:

1. Sao linhas tracadas de forma que a tangente a cada pontonos fornece a direcao de ~E. Sao orientadas no sentido dovetor campo.

2. As linhas de campo sao tracadas de forma que o numerode linhas que atravessa a unidade de area de uma seccaoperpendicular as mesmas e proporcional ao modulo de ~E.Dessa forma, onde elas estiverem mais proximas, | ~E| e

maior; onde elas estiverem mais afastadas, | ~E| e menor.

E Emenos intenso mais intenso

As figuras seguintes mostram linhas de campo de algunscampos eletricos particulares:

• campo gerado por uma carga puntiforme positiva.

Page 113: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

104 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

As linhas de campo “nascem”nas cargas positivas.

• carga puntiforme negativa:

As linhas de campo “morrem”nas cargas negativas

• duas cargas de sinais iguais:

3. Observe que, por definicao, o campo eletrico e unico emcada ponto do espaco, e portanto, duas linhas de camponunca se cruzam.

Calculo do Campo Eletrico

Campo de uma Carga Puntiforme

O campo eletrico devido a uma carga puntiforme Q fixa efacilmente determinado analisando-se a figura seguinte:

P

Q

No ponto P da figura, colocamos urna carga de prova q, ovetor campo eletrico no ponto P tem intensidade dada por:E = F/q.

O campo gerado por uma carga puntiforme Q num ponto Pqualquer do espaco tem intensidade dada por:

E =F

q= k

Q

r2

Utilizando uma linguagem nao muito rigorosa, podemos dizerque as cargas positivas geram campos de afastamento e ascargas negativas geram campos de aproximacao.

Campo Eletrico para Varias de Cargas

Se cada uma das cargas estivesse sozinha, originaria no pontoP um campo eletrico devido a sua presenca individual. Dado oefeito aditivo da forca eletrica, o campo eletrico devido a pre-senca de n cargas puntiformes sera a soma vetorial dos camposproduzidos individualmente por cada uma das cargas, isto e:

~E = ~E1 + ~E2 + ~E3 + . . . =

n∑

i=1

~Ei

Importante: esta soma deve ser feita usando-se a soma devetores.

E4

E1

E5

E3

E2

Q3

Q5

2Q

Q1

Q4

P

Se todas as cargas Qi estiverem sobre uma mesma linha reta,que tambem contem o ponto P , entao a intensidade do campoem P sera

E = kQ1

r21

+ kQ2

r22

+ kQ3

r23

+ . . . =n∑

i=1

kQir2i

Esta e uma soma escalar, mais facil de fazer do que a necessariano caso anterior.

Page 114: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Eletricidade – Aula 4 105

Campo Eletrico Uniforme

Trata-se de um campo eletrico em que o vetor campo eletricoe o mesmo em todos os pontos, o que equivale a dizer que emcada ponto o modulo, a direcao e o sentido do vetor ~E seraoos mesmos. Em consequencia dessa definicao, concluımos queas linhas de campo devem ser retas paralelas orientadas todascom o mesmo sentido.

Por exemplo, para uma pequena regiao do espaco, muito longede uma carga puntiforme, o campo eletrico se torna quase uni-forme. Proximo a superfıcie da Terra, existe um campo eletricovertical, de cima para baixo de intensidade E ≈ 100 N/C.Este campo e quase uniforme, visto em pequena escala (al-guns metros), sobre o chao plano.

Pense um Pouco!

• Qual as semelhancas e diferencas entre a forca eletrica ea gravitacional? Faca um paralelo.

• Num sistema de cargas puntiformes e possıvel se encon-trar algum ponto P onde o campo eletrico seja nulo? Deexemplos.

• Um dipolo e formado por um par de cargas +q e −q.Esboce as linhas de campo de um dipolo.

Exercıcios de Aplicacao

1. (Fatec-SP) Em um ponto P do espaco existe um campo

eletrico ~E horizontal de 5× 104 N/C, voltado para a direita.a) Se uma carga de prova de l, 5 µC, positiva, e colocada emP , qual sera o valor da forca eletrica que atua sobre ela?b) Em que sentido a carga de prova tendera a se mover, se forsolta?c) Responda as questoes a) e b) supondo que a carga de provaseja negativa.

2. (ITA-SP) Uma placa vertical isolante, de dimensoes muitograndes, esta uniformemente carregada. Sabendo-se que ocampo eletrico por ela gerado e o mesmo em todos os pon-tos proximos a placa e que uma pequena esfera de massa25 gramas, presa por um fio leve na placa forma o angulode afastamento entre a esfera e a placa e de 30?, determinar:a) a forca eletrica que atua na esfera, supondo que ela se en-contre em equilıbrio;b) o campo eletrico da placa, sabendo-se que a carga na esferavale −5 µC.

3. (USP-SP) Uma carga eletrica puntiforme q = 2 × 10−6 Ce de massa 10−5 kg e abandonada em repouso num campoeletrico uniforme de intensidade 104 N/C.a) Qual e a aceleracao adquirida por q?b) Qual a velocidade da partıcula no instante 8, 0 s?

Exercıcios Complementares

4. (FUVEST-SP) O diagrama da figura seguinte representaa intensidade do campo eletrico gerado por uma carga punti-forme fixa no vacuo, em funcao da distancia d a carga.

a) Calcule o valor da carga Q que origina o campo.b) Determine a intensidade do campo eletrico em um pontoque dista 30 cm da carga fixa.

0

200

400

600

800

1000

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

E (N/C)

d (m)

5. (PUC-SP) Numa certa regiao da terra, nas proximidades dasuperfıcie, a aceleracao da gravidade vale 9, 8 m/s2 e o campoeletrostatico do planeta (que possui carga negativa na regiao)vale 100 N/C, e e na direcao vertical, sentido de cima parabaixo. Determine o sinal e o valor da carga eletrica que umabolinha de gude, de massa 50 g, deveria ter para permane-cer suspensa em repouso, acima do solo. Considere o campoeletrico praticamente uniforme no local e despreze qualqueroutra forca atuando sobre a bolinha.

6. (Mackenzie-SP) Existe um campo eletrico ~E apontandopara baixo, na atmosfera terrestre, com uma intensidade mediade 100 N/C. Deseja-se fazer flutuar nesse campo uma esferade enxofre de 0, 5kg. Que carga (modulo e sinal) precisa ter aesfera?

Eletricidade Aula 4

Potencial Eletrico

Diferenca de Potencial

Consideremos positiva uma carga que se desloca de A para B,em equilıbrio, ou seja, faz-se uma forca externa ~Fext. tal queanule a forca eletrica ~FE sobre a carga:

~Fext. = −~FE

Ao trabalho realizado pelo agente externo Wext. por unidadede carga que se desloca de A para B, denominamos diferencade potencial ou tensao eletrica de A para B, habitualmenterepresentada por VB − VA ou simplesmente VAB .

Assim, matematicamente teremos:

VB − VA =WA→B

ext.

q= −WA→B

E

q

Sendo o trabalho W e q grandezas escalares, a diferenca depotencial tambem sera uma grandeza escalar.

O trabalho WA→BE independe da trajetoria escolhida entre os

pontos A e B, e isso e um resultado decorrente do fato de aforca eletrica ser conservativa.

Page 115: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

106 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Unidades SI

No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de diferencade potencial (d.d.p.) sera o joule/ coulomb, que e denominadavolt ou V .

Assim, uma d.d.p. de 110 V entre dois pontos indica que ocampo (forca eletrica) realiza um trabalho de 110 J sobre cadal C de carga que se desloca de um ponto para outro.

Para analisar o sinal da d.d.p., tente imaginar voce realizandoo movimento de uma carga de prova entre os pontos A e B, eobserve os sentidos da forca externa e do deslocamento. Porexemplo, se voce deslocar uma carga positiva, contra o campoeletrico numa determinada regiao, observara que sera realizadoum trabalho externo positivo, e o potencial da carga deslocadaaumenta, porque ela foi deslocada para uma regiao de maiorpotencial.

Potencial Eletrico Gerado por uma Carga Puntiforme

Para calcularmos o trabalho WA→BE realizado sobre a carga

+q, sendo deslocada proximo a uma carga puntiforme Q, de-vemos utilizar conceitos matematicos que o estudante vera emseu curso superior: trata-se do calculo integral, que, utilizadoneste caso, nos fornecera como resultado:

WA→BE = −kQq

(1

rB− 1

rA

)

Dessa maneira a diferenca de potencial no caminho de A paraB sera:

VA→B = VB − VA = −WA→Bext.

q= kQ

(1

rB− 1

rA

)

Se quisermos determinar o potencial de um dos pontos, porexemplo, B, facamos rA tender ao infinito, onde supomos queo potencial seja nulo. Quando isso acontece

VB = kQ

rB

Essa equacao fornece o potencial de B em relacao a um pontono infinito. Se nos depararmos com uma configuracao de ncargas puntiformes, o potencial num ponto P dessa regiao seraa soma algebrica dos potenciais devidos a cada carga, isto e:

VP = k

(Q1

r1+

Q2

r2+ . . . +

Qn

rn

)

= kn∑

i=1

Qi

ri

Potencial dentro de um Campo Eletrico

Seja q uma carga positiva que se desloca de A para B sobreuma linha de forca do campo uniforme mostrado na figuraseguinte:

A B

E

+q

Fext FE

Como o campo e uniforme, a forca eletrica que atua na cargaq e constante e tera intensidade dada por:

F = qE

Sabemos, da mecanica, que o trabalho realizado por uma forcaconstante e paralela ao deslocamento e dado por

WA→Bext. = −FE · d

Entao a d.d.p. entre os pontos A e B, de A para B, sera:

VB − VA = −E · d

e neste caso dizemos que a tensao cai de A para B. Em geral,a d.d.p. e negativa na direcao e sentido do campo eletrico.

A relacao obtida acima e de grande utilidade, uma vez que,conhecida a d.d.p. e o deslocamento, obteremos facilmenteo campo eletrico. Observe que o campo eletrico podera serexpresso tambem em volt/metro. Procure demonstrar quel N/C = l V/m.

Rigidez Dieletrica

Sabe-se que o ar e isolante, porem quando submetido a umgrande campo eletrico, algumas moleculas sao ionizadas e o arse torna condutor. A esse limite de campo eletrico maximoque um isolante suporta chamamos de rigidez dieletrica ouEmax. Para o ar de Jonville, sempre muito umido, temosEmax ≈ 800 v/mm.

Pense um Pouco!

• Voce saberia responder o valor da d.d.p. (diferenca depotencial) entre o chao e uma nuvem, num raio?

• Qual a d.d.p. maxima entre dois fios paralelos, separadospor uma distancia de 10 cm, em Joinville?

• Num dado instante, a d.d.p. entre os eletrodos de umatomada e de 200 V . O que significa isso fisicamente?

Exercıcios de Aplicacao

1. Qual o potencial de um ponto P , situado a 20 cm de umacarga positiva de campo cujo valor e 4, 0× l0−6 C?

2. (FAAP-SP) Duas cargas Q1 e Q2, de valores −2 µC e+2 µC, respectivamente, estao separadas por uma distancia

Page 116: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Eletricidade – Aula 5 107

de 40 cm.a) Calcule o potencial no ponto P , situado na metade do seg-mento que une as cargas Q1 e Q2.b) Calcule o modulo, a direcao e o sentido do vetor campoeletrico em P .c) O que se pode concluir dos resultados obtidos com essescalculos?

3. (UFSC-SC) O campo eletrico no interior de um sistemade placas paralelas eletrizadas com cargas de sinais contrariose um bom exemplo de campo eletrico uniforme. Na figuraseguinte, a distancia entre os pontos A e B vale 5 cm e aintensidade do campo eletrico uniforme E e 2, 0× 1O5 N/C.a) Qual a d.d.p. entre os pontos A e B indicados na figura?b) Se o ponto A for tomado como nıvel de referencia para opotencial (V = 0), qual sera o potencial do ponto B?

E

A B

Exercıcios Complementares

4. (ACAFE-SC) No vacuo, um pequeno corpo eletrizado comcarga eletrica Q cria um potencial igual a +3000 V num pontoA, situado a 30 cm de Q. Sendo k = 9 × 109 N · m2/C2,determine:a) o valor da carga Q;b) a intensidade do vetor campo eletrico no ponto A.

5. (UFRS-RS) Temos as cargas Q1, Q2 e Q3 dispostas nosvertices de um retangulo de lados 6 cm e 8 cm. Calcule opotencial eletrico total no vertice A, que nao contem nenhumacarga. Dados: Q1 = 8 µC, Q2 = 16 µC, Q3 = −12 µC ek = 9× 109 N ·m2/C2.

6. (IME-RJ) Calcular o trabalho das forcas do campo eletricode uma carga puntiforme Q = 5 µC para transportar ou-tra carga puntiforme q = 2, 0 µC de um ponto A a ou-tro B, distantes 1, 0 m e 2, 0 m da carga Q, respectiva-mente. Esse trabalho e positivo ou negativo? Explique. Dado:k = 9× 109 N ·m2/C2.

Eletricidade Aula 5

Superfıcies Equipotenciais

Denomina-se superfıcie equipotencial ao lugar geometrico dospontos que tem mesmo potencial eletrico. Nenhum trabalho erealizado no deslocamento de uma carga de prova entre doispontos de uma mesma superfıcie equipotencial.

Para aumentar a separacao entre as cargas, e preciso que umagente externo realize um trabalho, cujo sinal podera ser po-sitivo ou negativo, conforme sejam as cargas de sinais iguais

ou opostos. Como sabemos, a esse trabalho corresponde umaenergia armazenada no sistema sob a forma de energia poten-cial eletrica. Assim, definiremos a energia potencial eletricade um sistema de cargas eletricas puntiformes como sendo otrabalho externo realizado para traze-las em equilıbrio de umaseparacao infinita ate a configuracao atual.

linha de campo

equipotencial

E

V2

V3

V4

V1

O potencial eletrico que uma carga q1 origina no ponto P , auma distancia r da carga, e dado por:

V1 =kq1

r

Imaginemos, agora, que uma segunda carga q2 foi trazida doinfinito ate o ponto P . O trabalho realizado para tal e, segundoa definicao de potencial eletrico:

W2 = q2V1

Como o trabalho e a propria energia potencial eletrica Epot dosistema de cargas q1, q2, entao

Epot =kq1q2

r12

onde r12 e a distancia entre as cargas q1 e q2.

Pense um Pouco!

• Como seriam as superfıcies equipotenciais de uma cargapuntiforme?

• Qual o trabalho necessario para se deslocar uma carga q′

em torno de uma carga fixa q, mantendo-se a distanciafixa entre elas?

Exercıcios de Aplicacao

1. (FATEC-SP) Sabe-se que a carga do proton e igual em valorabsoluto a do eletron, tendo no entanto sinal contrario ao dareferida carga. Um proton tem velocidade relativa zero emrelacao a um eletron. Quando eles estiverem separados peladistancia 10−13 cm, calcule a energia potencial do sistema.

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108 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

-1.0-0.5

0.00.5

1.0x (m) -1.0

-0.50.0

0.51.0

y (m)

0

50

100

150

V (volts)

Figura 1.1: O potencial eletrico em torno de uma carga pun-tual positiva q = +1 nC. Na base estao as equipotenciais,indicando no cırculo maior onde V = +10 V . Masca-se asequipotenciais a cada 20 V .

2. (IME-RJ) Tres cargas q1, q2 e q3 estao dispostas, umaem cada vertice de um triangulo equilatero de lado a. Quala energia potencial do sistema? Suponha em q1 = 1, 0 µC,q2 = −4, 0 µC, q3 = 2, 0 µC e a = 10 cm.

3. No esquema abaixo representamos as superfıcies equipoten-ciais e as linhas de forca no campo de uma carga eletrica pun-tiforme Q. Considere que o meio e o vacuo. Sendo V1 = 60 V ;V2 = 30 V ; V3 = 20 V , e do centro da carga ate V2 a distanciar = 0, 30 m. Determine:a) o valor de Q;b) a d.d.p. encontrada no caminho da superfıcie com V1 ate aoutra com V2;c) o trabalho da forca eletrica que atua sobre uma carga deprova q′ = +1, 0 µC ao ser deslocada de V2 para V3.

-1.0-0.5

0.00.5

1.0x (m) -1.0

-0.50.0

0.51.0

y (m)

-150

-100

-50

0

V (volts)

Figura 1.2: O potencial eletrico em torno de uma carga pun-tual positiva q = −1 nC. Na base estao as equipotenciais,indicando no cırculo maior onde V = −10 V . Masca-se asequipotenciais a cada 20 V .

linha de campo

equipotencial

E

V2

V3

V4

V1

Page 118: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Eletricidade – Aula 6 109

Exercıcios Complementares

4. (USP-SP) Uma partıcula de massa m e carga eletrica q > 0esta em equilıbrio entre duas placas planas, paralelas e hori-zontais, e eletrizadas com cargas de sinais opostos. A distanciaentre as placas e d, e a aceleracao local da gravidade e g.a) Determine a diferenca de potencial entre as placas em funcaode m, g, q e d.b) Qual placa tem o maior potencial? Explique.

5. (FEI-SP) Uma partıcula da massa m = 200 mg e cargaq = +1µC e abandonada num ponto A e se dirige a outroB. Sendo de −100 V a diferenca de potencial de A e B, avelocidade com que a partıcula alcanca B e:a) 5, 0 m/sb) 4, 0 m/sc) 3, 0 m/sd) 2, 0 m/se) 1, 0 m/s

6. (Santa Casa-SP) Sabe-se que a massa do eletron e 9, 1 ×10−31 kg, que sua carga eletrica vale −1, 6× 10−19 C e que adiferenca de potencial entre os ponto A ate B e 100 V . Umeletron e abandonado em B sob a acao exclusiva do campoeletrico. O modulo da velocidade do eletron ao atingir o pontoA e um valor mais proximo de:a) 36× 1012 m/sb) 6, 0× 1012m/sc) 6, 0× 106 m/sd) 35× 106m/se) 6, 0m/s

Eletricidade Aula 6

Condutores em Equilıbrio

Vamos estudar o campo eletrico e o potencial eletrico deuma distribuicao de cargas em um condutor em equilıbrio ele-trostatico.

Para estudar os campos eletricos, vamos usar nao sistemas decargas puntiformes e sim distribuicoes de cargas em conduto-res. Deve-se considerar que estes estao em equilıbrio ele-trostatico, ou seja, nenhuma carga esta sendo colocada ouretirada do condutor, e todo o movimento interno de cargas jacessou.

Equilıbrio Eletrostatico

Um condutor esta em equilıbrio eletrostatico quando nele naoocorre movimento ordenado de cargas eletricas. Fornecendo-seao condutor representado em corte da Fig. 1.1, uma a cargaeletrica Q, a repulsao mutua das cargas elementares que cons-tituem Q faz com que elas fiquem tao longe uma da outraquanto possıvel. O maior afastamento possıvel corresponde auma distribuicao de cargas na superfıcie externa do condu-tor, situacao, alias, que destacamos nas figuras de condutoresque ate agora apareceram em nossas aulas. Nessa configuracaode cargas, todas na superfıcie, o condutor possui a sua menorenergia potencial eletrica.

EA

+

+

++ +

++

+

++++++

++

+

+

++

+++++

+ +

++ metal eletrizado

tangente ‘asuperficie

campodelinha

+

CB

Figura 1.1: Um condutor carregado com carga positiva.

O Campo Interno

No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato, ocampo eletrico e nulo em todos os pontos, ou seja, ~E = ~0.

Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se hou-vesse campo eletrico no interior do condutor, ele agiria noseletrons livres, os quais teriam um movimento ordenadosob sua influencia, contrariando o conceito de condutor emequilıbrio eletrostatico.

O Campo Externo

Contudo, da sua superfıcie para fora, o campo eletrico naosera nulo. Porem, nesses pontos, o vetor campo eletrico ~Edeve ser normal a superfıcie, como em A, na Fig. 1.1. Seo vetor campo fosse como ~E′ no ponto B da mesma figura,ele teria uma componente tangencial a superfıcie do condutor,o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longo dasuperfıcie.

O Poder das Pontas

Nas regioes pontiagudas de um condutor carregado (regiao Cda Fig. 1.1), a densidade de carga, isto e, a concentracao decargas eletricas por unidade de area superficial e mais elevada.Por isso, nas pontas e em suas vizinhancas o campo eletrico emais intenso.

Quando o campo eletrico nas vizinhancas da ponta atinge de-terminado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutor sedescarrega atraves da ponta. Esse fenomeno recebe o nomede “poder das pontas”. E nele que se baseia, por exemplo, ofuncionamento dos para-raios.

Condutor Oco

Evidentemente, nao importa se o condutor e macico ou oco(Fig. 1.2): o campo eletrico no interior do metal e semprenulo e as cargas se distribuem na sua superfıcie externa.

Potencial Eletrico

O potencial eletrico em todos os pontos, internos e superficiais,de um condutor em equilıbrio eletrostatico, e constante. As-

Page 119: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

110 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

+

+

++ +

++

+

++++++

++

+

++

++

+++++

+ +

++

Figura 1.2: Um condutor oco.

sim, para o condutor da Fig. 1.1, temos VA = VB = VC = VD.

Condutor Esferico

Para se determinar o vetor campo eletrico e o potencial eletricoem pontos externos a um condutor esferico eletrizado,supoe-se sua carga Q puntiforme e concentrada no centro:

Eext = kQ

r2

e

Vext = kQ

r

O potencial eletrico do condutor esferico de raio R e o potencialde qualquer ponto interno ou superficial, sendo dado pelo valorfixo:

Vint, sup = kQ

R

Blindagem Eletrostatica

Considere um condutor oco A em equilıbrio eletrostatico e, emseu interior, o corpo C (Fig. 1.3). Como o campo eletrico nointerior de qualquer condutor em equilıbrio eletrostatico e nulo,decorre que A protege o corpo C, no seu interior, de qualqueracao eletrica externa. Mesmo um corpo eletrizado B externoinduz cargas em A, mas nao em C. Desse modo, o condutorA constitui uma blindagem eletrostatica para o corpo C.

A

C

Figura 1.3: A blindagem eletrostatica.

Uma tela metalica envolvendo certa regiao do espaco tambemconstitui uma blindagem satisfatoria – a chamada “gaiola deFaraday”.

A blindagem eletrostatica e muito utilizada para a protecaode aparelhos eletricos e eletronicos contra efeitos externos per-turbadores. Os aparelhos de medidas sensıveis estao acondici-onados em caixas metalicas, para que as medidas nao soframinfluencias externas. As estruturas metalicas de um aviao,de um automovel e de um predio constituem blindagens ele-trostaticas.

Como Funciona o Para-Raios?

O para-raios tem por finalidade oferecer um caminho mais efi-ciente para as descargas eletricas, protegendo casas, edifıcios,depositos de combustıveis, linhas de transmissao de energiaeletrica, etc.

Saiba Mais

O para-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l706-1790). polıtico, escritor e cientista norte-americano. Atual-mente, e constituıdo essencialmente de uma haste condutoradisposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a serprotegida. A extremidade superior da haste apresenta umaou mais pontas de material com elevado ponto de fusao, aoutra extremidade da haste e ligada, atraves de condutoresmetalicos, a barras metalicas que se encontram cravadas, pro-fundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiver sobreas pontas do para-raios, induz nelas cargas eletricas inten-sificando o campo na regiao ja ionizada pela descarga lıder.Produz-se a descarga principal atraves do para-raios.

Page 120: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Eletricidade – Aula 7 111

Pense um Pouco!

• Como funciona um para-raios? Que area ele protege?

• Por que durante uma tempestade para se proteger daschuvas e mais seguro ficar dentro do carro que debaixo deuma arvore?

Exercıcios de Aplicacao

1. (Cefet-BA) Considere um condutor metalico com a formaindicada na figura. O condutor esta eletrizado positivamentee em equilıbrio eletrostatico. Observe os pontos A, B e C.Quais sao as afirmacoes corretas?a) ( ) O campo eletrico em A e nulo.b) ( ) A densidade de cargas eletricas e maior em C do queem B.c) ( ) O campo eletrico em B e mais intenso do que em C.d) ( ) Os pontos A, B e C possuem mesmo potencial eletrico.e) ( ) As cargas eletricas em excesso distribuem-se na superfıcieexterna do condutor.

B

A C

++

++

+

+

+

+ ++

+

+

+ +

+

+

+ +

2. Considere uma esfera metalica oca provida de um orifıcio eeletrizada com carga Q. Uma pequena esfera metalica neutra ecolocada em contato com a primeira. Quais sao as afirmacoescorretas?a) ( ) Se o contato for interno, a pequena esfera nao se eletriza.b) ( ) Se o contato for externo, a pequena esfera se eletriza.c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, apos um contatointerno ficaria neutra.d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na esferaeletrizada, a carga eletrica da pequena esfera aumenta.e) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, a distribuicao decargas na esfera oca se altera.

3. (Efei-MG) Um condutor esferico de raio R = 30 cm estaeletrizado com carga eletrica Q = 6, 0 nC. O meio e o vacuo(k = 9, 0× 109 N ·m2/C2). Determine:a) o potencial eletrico e a intensidade do vetor campo eletricono centro da esfera;b) o potencial eletrico e a intensidade do vetor campo eletriconum ponto externo e situado a 50 cm do centro da esfera.

Exercıcios Complementares

4. (Efei-MG) Duas esferas metalicas, A e B, de raios R e3R, estao eletrizadas com cargas 2Q e Q, respectivamente. Asesferas estao separadas de modo a nao haver inducao entre elase sao ligadas por um fio condutor.a) Quais as novas cargas apos o contato?b) Qual o potencial eletrico de cada esfera, depois do contato?

5. (ACAFE-SC) Duas esferas metalicas, A e B, de raios10 cm e 20 cm, estao eletrizadas com cargas eletricas 5, 0 nC e−2, 0 nC, respectivamente. As esferas sao postas em contato.Determine, apos atingir o equilıbrio eletrostatico:a) as novas cargas eletricas das esferas;b) o potencial eletrico que as esferas adquirem.c) Houve passagem de eletrons de A para B ou de B para A?Explique.

6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas metalicasidenticas, A e B, de cargas eletricas 5, 0 × 10−6 C e 3, 0 ×10−6 C, respectivamente. As esferas sao colocadas em con-tato.a) Determine o numero de eletrons que passou de um condutorpara outro.b) Qual das esferas recebe eletrons?

7. Sabendo-se que existe um campo eletrico na superfıcie daTerra, vertical para baixo igual a 100 N/C. Dado o raio daTerra R = 6.400 km, determine:a) O potencial eletrico da Terra (do chao);b) A carga eletrica total da Terra.

Eletricidade Aula 7

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112 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Capacidade Eletrica

Denomina-se capacidade eletrica ou capacitancia de um corpocondutor a capacidade que ele possui de armazenar cargas.Da mesma forma que a quantidade de moles de um gas queum balao pode conter depende da pressao a que o gas estiversubmetido e tambem das dimensoes e forma do balao, a capa-cidade eletrica dependera das dimensoes e forma do condutor.

A experiencia mostra que, se fornecemos a um condutor cargasQ1, Q2, Q3, ..., Q, o potencial adquirido pelo mesmo sera V1,V2, V3, ..., V , sempre proporcionais a carga Q fornecida. Issoquer dizer que o quociente Q/V e constante (Fig. 1.1).

Q

V−+

+

++

++

+ +

++

++

++

+

+

+ + +

Figura 1.1: Capacitor metalico carregado com carga positiva+Q.

Essa constante de proporcionalidade C e denominada capa-citancia do condutor.

Unidades SI

No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos:

1 F = 1 faraday = 1 coulomb/1 volt = 1 Farad

A capacitancia de um condutor que recebe uma carga del coulomb, adquirindo um potencial de l volt, e igual a l F .Na pratica, os capacitores tem capacitancia da ordem tıpicade µFarad.

Capacitores

Na pratica, e impossıvel obter condutores de capacitanciaelevada, sem que suas dimensoes sejam extraordinariamentegrandes. No entanto, e possıvel obtermos dispositivos, de di-mensoes pequenas, capazes de armazenar uma razoavel quanti-dade de cargas com diferencas de potencial nao muito grandes.Esses dispositivos sao denominados capacitares ou conden-sadores.

Um capacitor e um par de condutores, separados por um iso-lante (dieletrico).

Os condutores que constituem o capacitor sao denominadosarmaduras do capacitor.

A classificacao dos capacitores e dada em funcao da forma desuas armaduras e da natureza do dieletrico que existe entre asmesmas.

Em todo capacitor, existe uma relacao constante entre omodulo da carga (que e a mesma em valor absoluto nas duasarmaduras) e a d.d.p. V entre as armaduras. Essa relacao edenominada capacitancia do condensador.

C = Q/V

Num circuito, os capacitores serao representados por duas bar-ras paralelas.

Capacitores Planos

O capacitor plano e constituıdo por placas condutoras planase paralelas, separadas por um dieletrico qualquer (ar, mica,papel, polımeros, etc.)

Placa Condutora

Placa Condutora

Material Isolante

Seja A a area de cada armadura e d a distancia entre as mes-mas. Consideremos inicialmente que haja vacuo entre as pla-cas. E possıvel demonstrar, mediante a aplicacao da lei deGauss, que o campo uniforme que existe entre as placas e dadopor:

E =Q

ǫ0A

onde ǫ0 e a constante de permissividade eletrica do vacuo,

ǫ0 = 8, 85× 1O−12 F/m

no SI.

Relacao Entre k e ǫ0

As constantes k, a constante eletrica da lei de Faraday, e ǫ0,a permissividade eletrica do vacuo, estao intimamente relaci-onadas, e pode-se mostrar que:

k =1

4πǫ0

e como ǫ0 e dado em F/m, entao pode-se escrever a constantek em m/F , ja que estas constantes sao inversamente propor-cionais.

++

++

++

++

++

++

++

++

++

+++

++

++

dA

A

+Q

−Q

Conforme ja estudamos anteriormente, a d.d.p. entre as placasvale V = Ed. Assim:

V =Qd

ǫ0A

A capacitancia do capacitor plano e dada por:

C =ǫ0A

d

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Eletricidade – Aula 8 113

Observe que a capacitancia obtida e diretamente proporcio-nal a area A das placas, e inversamente proporcional a suadistancia d.

Se, em vez de ar ou vacuo, houver entre as armaduras umdieletrico de constante dieletrica b, a capacitancia de um con-densador plano sera maior, dada por:

C =bǫ0A

d

Para que o dieletrico tenha efeito sobre a capacitancia, eledeve ser colocado na regiao de campo eletrico do capacitor.Alguns dieletricos como a mica e poliester chegam a aumentara capacitancia em ate 100 vezes o seu valor no vacuo (semdieletrico).

Capacitor Esferico Simples

Se construirmos um capacitor com uma esfera simples condu-tora de raio R, sua capacitancia sera

C =Q

V=

Q

kQ/R=

R

k= 4πǫ0R

ou seja, a capacitancia da esfera e diretamente proporcionalao seu raio R.

Capacitor Esferico´

Q

R++

+

++

++ +

+

+

++

++

++ +

++

++

+ ++

+

Exemplo

Vamos calcular a capacitancia de uma esfera condutora de raioigual a 1, 0 m.

C =R

k=

1, 0 m

9, 0× 109 m/F≈ 0, 11 nF

Qual seria entao o raio da esfera com capacitancia de 1, 0 F?Como C = R/k entao

R = kC = (9, 0× 109 m/F )(1, 0 F ) = 9, 0× 109 m

Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de 6.4×106 m, veremos que o capacitor teria que ter um raio comaproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra!

Pense um Pouco!

• Qual a utilidade dos capacitores em nosso cotidiano?

• Se tentarmos afastar as placas (armaduras) de um capa-citor carregado, realizaremos algum trabalho?

• Se conectarmos duas esferas metalicas identicas de capa-citancia C cada uma, qual a capacitancia do conjunto?Comente.

• A capacitancia de um corpo metalico depende dele ser ocoou macico? Explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. Tres condutores, de capacidades 2 pF , 3 pF e 5 pF , estaoeletrizados com cargas de 4 µC, 12 µC e −20 µC, respectiva-mente.a) Determine os potenciais eletricos desses corpos.

2. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capacitanciaC. Entre suas armaduras ha uma distancia d. Qual sera suacapacidade se a distancia entre suas placas for aumentada para2d?

3. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade C =100 pF , area das armaduras A = 100 cm2, e dieletrico comκ = 5. Quando a ddp entre as armaduras for igual a 50V , cal-cule a intensidade do campo eletrico no interior do dieletrico.Dado: ǫ0 = 8, 85× 1O−12 F/m.

Exercıcios Complementares

4. (UFPR) Uma partıcula de massa 2, 0 × 10−10 kg comcarga positiva e igual a 2, 0 × 1O−6 C penetra atraves de umorifıcio, com velocidade de 1, 0 × 104 m/s, numa regiao ondeexiste um campo eletrico uniforme de modulo 4 × 105 N/C.A distancia entre as placas vale 10 cm. Determine a energiacinetica com que a partıcula atinge a segunda placa, andandocontra o campo eletrico.

5. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade C exibe, entre seusterminais, uma diferenca de potencial V . A carga eletrica ar-mazenada nesse capacitor e dada por:a) C/Vb) V/Cc) C2Vd) CV 2

e) CV

6. (Puccamp-SP) Um capacitor de 8, 0 × 10−6 F e sujeito auma diferenca de potencial de 30 V . A carga que ele acumulouvale:a) 1, 2× 10−4 Cb) 2, 4× 10−4 Cc) 2, 7× 10−7 Cd) 3, 7× 106 Ce) 7, 4× 106 C

7. (UF-ES) Um equipamento eletrico contem duas pilhas de1, 5 V em serie, que carregam um capacitor de capacitancia6, 0 × 10−5 F . Qual a carga eletrica que se acumula no capa-citor, em coulombs?

Eletricidade Aula 8

Associacao de Capacitores

Assim como os aparelhos em geral, os capacitores podem serassociados de varios modos, sendo os principais em serie e emparalelo. Se numa associacao encontramos ambos os tipos,chamaremos de associacao mista.

Page 123: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

114 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Associacao de Capacitores em Serie

C1 C2

a

Série

b

C1

C2

a b

Paralelo

C1

C2

C3

a b

Misto

(a) (b) (c)

Figura 1.1: Associacao de capacitores em serie (a), em paralelo(b) e mista (c).

Na associacao em serie, ver Fig. 1.1 (a), quando uma fontebateria de tensao V e ligada nos terminais a e b, as cargasremovidas de um terminal serao deslocadas para o outro, ouseja, as cargas em ambos os terminais sao de mesmo modulo:

Q1 = Q2 = Q

. Entao

V1 =Q

C1e V2 =

Q

C2

Os capacitores adquirem diferentes d.d.p. V1 e V2, respectiva-mente, tal que

V = V1 + V2

e assimQ

Cser.=

Q

C1+

Q

C2

e entao a capacidade equivalente e dada por:

1

Cser.=

1

C1+

1

C2

Propriedades

• Na associacao em serie, a capacitancia equivalente do con-junto, Cser. sera menor do que a menor das capacitanciasutilizadas;

• Como as cargas sao iguais nos dois capacitores em serie,a d.d.p. do maior capacitor sera a menor;

• Se os capacitores ligados em serie forem iguais C1 = C2 =C, a d.d.p. de ambos sera igual a V/2 e a capacitanciaequivalente sera Cser. = C/2, a metade da capacitanciade um dos capacitores;

• Para uma associacao em serie de n capacitores teremos

1

Cser.=

1

C1+

1

C2+ . . . +

1

Cn=

n∑

i=1

1

Ci

Associacao de Capacitores em Paralelo

(Veja a Fig. 1.1(b) ).

Neste caso, como os terminais de ambos os capacitores saoligados nos mesmo pontos a e b, conectados a uma bateriade tensao V , a placa positiva de cada capacitor esta ligada aplaca positiva do outro, o mesmo acontecendo com as placasnegativas.

Observamos que a mesma d.d.p. V e aplicada aos capacitoresda associacao.

V = V1 = V2

Cada capacitor adquire uma carga parcial:

Q = Q1 + Q2

A capacidade equivalente e dada por:

Cpar. = C1 + C2

Propriedades

• Na associacao em paralelo, a capacitancia equivalente doconjunto, Cpar. sera maior do que a maior das capa-citancias utilizadas;

• Como as tensoes sao iguais nos dois capacitores em para-lelo, a carga do maior capacitor sera a maior das cargas;

• Se os capacitores ligados em paralelo forem iguais C1 =C2 = C, a carga de ambos sera a mesma e a capacitanciaequivalente sera Cpar. = 2C, o dobro da capacitancia deum dos capacitores;

• Para uma associacao em paralelo de n capacitores teremos

Cpar. = C1 + C2 + . . . + Cn =n∑

i=1

Ci

Energia de um Capacitor

Imaginemos um capacitor carregado. Liguemos agora suas ar-maduras por um fio condutor: as cargas negativas vao fluirpara a outra armadura ate que ambas se neutralizem. O temponecessario para isso e muito pequeno, e muitas vezes a descargavem acompanhada de uma faısca que salta dos extremos docondutor que une as armaduras. Conforme ja estudamos an-teriormente, o transporte de cargas eletricas entre pontos quepossuem diferentes potenciais eletricos implica aparecimentode energia eletrica. Quando uma carga eletrica e transpor-tada entre dois pontos, entre os quais existe uma diferenca depotencial V qualquer, o trabalho realizado e W = qV

Na descarga do capacitor, porem, a d.d.p. varia, diminuindoa medida que uma parcela da carga vai se transferindo para aoutra armadura.

Como a carga total do capacitor e Q = CV , e a d.d.p. variade V ate zero durante o processo de descarga, podemos tomaro valor medio da tensao como sendo V/2 e calcular o trabalho

W = qV = CV · V2

=1

2CV 2

e como esse trabalho foi realizado durante a descarga, podemossupor que essa energia estava armazenada no capacitor, comoenergia potencial eletrica.

Assim, definimos a energia do capacitor como

E =1

2CV 2

Observe que a expressao anterior pode ser reescrita de duasoutras formas equivalentes:

E =1

2QV =

Q2

2C

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Eletricidade – Aula 9 115

Pense um Pouco!

• Cite duas aplicacoes direta dos capacitores.

• Alguem disse que os fios usados em circuitos eletricos ser-vem para igualar o potencial eletrico nas partes conecta-das nas suas duas pontas. O que voce acha disso?

• Na figura 1.1, imagine que se conecte nos terminais a e b,os terminais (polos) de uma bateria de tensao V . Sobre afigura, pinte de uma cor todas as partes que tem o mesmopotencial eletrico de a, e de outra cor as partes que temo mesmo potencial de b. Observe o conclua voce mesmo.

Exercıcios de Aplicacao

1. (UERJ) Uma associacao de l.000 capacitores de 10 µFcada um, associados em paralelo, e utilizada para armaze-nar energia. Qual o custo para se carregar esse conjunto ate50.000 volts, supondo-se R$ l,00 o preco do kW · h?

2. (FAAP-SP) Associam-se em serie tres capacitores neutroscom capacitancias C1 = 20 µF , C2 = 50 µF e C3 = 100 µF .Calcule a capacitancia equivalente do sistema.

3. Calcule a capacitancia equivalente da associacao mistamostrada na Fig. 1.1 (c), para os capacitores C1 = 20 µF ,C2 = 10 µF e C3 = 40 µF .

Exercıcios Complementares

4. (FCC-BA) Determine a energia acumulada num conjuntode capacitores com capacitancia total de 2.000 µF e sob tensaode 900 V .

5. (UCS-RS) Dois capacitores de capacitancia C1 = 6, 0 µFe C2 = 3, 0 µF sao associados em paralelo e a associacao esubmetida a uma d.d.p. V. O capacitor de capacitancia C1

se eletriza com carga eletrica Q1 = 1, 2 × 10−4 C, e o decapacitancia C2, com carga eletrica Q2. Determine V e Q2.

6. (Acafe-SC) Qual a d.d.p. que deve ser aplicada a um capa-citor, de capacitancia 2, 0 µF , a fim de que armazene energiapotencial eletrica de 2, 5× 10−3 J?

7. (UESB-BA) Um capacitor de um circuito de televisao temuma capacitancia de 1, 2 µF . Sendo a diferenca de potencialentre seus terminais de 3.000 V , a energia que ele armazena ede:a) 6, 7 Jb) 5, 4 Jc) 4, 6 Jd) 3, 9 Je) 2, 8 J

Eletricidade Aula 9

Corrente Eletrica

Num material condutor, mesmo descarregado do ponto devista eletrico, existem alguns eletrons chamados livres quepodem se deslocar dentro do material, passando de um atomopara outro. Mesmo havendo equilıbrio de cargas dentro deum condutor, os eletrons livres ficam o tempo o todo em mo-vimento aleatorio dentro do material, mantendo em media, oequilıbrio de cargas de cada atomo.

Quando todos os eletrons livres forem forcados a se deslocarnuma dada direcao especıfica, ao longo de um fio condutor,por exemplo, entao teremos uma corrente eletrica i.

+ +

++ +

+

i

+

+

+

++

+

.

+Q

R

Figura 1.1: O sentido da corrente i, e o movimento doseletrons num fio.

Por convencao, indica-se num fio o sentido da corrente i poruma flecha, no sentido contrario ao movimento dos eletrons!Isto porque, historicamente, as cargas foram batizadas porBenjamin Franklin no sec. XVIII, como positivas e nega-tivas, e se acreditava que as cargas positivas e que se moviamdentro de um fio com corrente.

Do ponto de vista fısico, e equivalente se pensar em eletronsse movendo num sentido, ou protons se movendo no sentidocontrario.

Unidade de Corrente

No Sistema Internacional, medimos a corrente em amperes ouA:

1 A = 1 coulomb/s = 1 C/s

ou seja, para uma corrente de 1 ampere, ha um fluxo de cargade 1 coulomb por segundo, atravessando a seccao reta de umcondutor.

Lei de Ohm

Define-se a resistencia eletrica R de um condutor, ligando suasextremidades numa diferenca de potencial V e medindo a cor-rente eletrica que o atravessa.

Segundo a lei de Ohm, quanto menor a corrente eletrica obtida,maior a resistencia do condutor, e vice-versa:

R = V/i

Se a resistencia R assim definida for independente da tensaoe da corrente usada, ou seja, se for constante, o resistor echamado de ohmico.

Para os materiais considerados bons condutores, como os me-tais, a resistencia eletrica sera baixa, em geral proxima de zero.

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Para os materiais isolantes, como a borracha, a resistenciaeletrica sera muito alta, tendendo ao infinito.

A resistencia de um resistor depende de sua forma fısica, desuas dimensoes e do material de que e feito. Em geral, quantomais fino e longo um fio, maior sua resistencia eletrica.

Unidade de Resistencia

No Sistema Internacional, medimos a resistencia eletrica emohms ou Ω:

1 Ω = 1 volt/ampere = 1 V/A

ou seja, se para uma tensao de 1 volt se obtem uma correntede 1 ampere, entao o resistor tem resistencia de 1 ohm.

Circuitos Simples

Quando ligamos uma bateria de d.d.p. E num circuito simplescom uma resistencia eletrica total R, a corrente na bateriasera, pela lei de Ohm:

i =ER

Exemplo

Considere o circuito abaixo, onde uma lampada de resistenciaR = 5 Ω esta conectada numa fonte (bateria) de 12 V atravesde fios ideais, de resistencia nula.

R

+

Figura 1.2: Um circuito simples.

Resolucao:

i =ER

=12 V

5 Ω= 2, 4 A

Pense um Pouco!

• Se dobrarmos a tensao aplicada a um resistor ohmico, oque acontecera com sua corrente?

• Para um resistor ohmico, que tipo de grafico V × iterıamos?

Exercıcios Complementares

1. Um fio condutor transporta uma carga de 30 C em doisminutos. Qual a corrente media no fio, durante esse processo?

a) 0, 2 Ab) 4, 0 Ac) 1/4 Ad) 0, 3 mAe) 0, 25 mA

2. Durante um banho de chuveiro, utilizou-se uma corrente de10 A durante 15 minutos. Qual a carga eletrica total utilizadaneste banho?a) 150 Cb) 9 Cc) 1, 5 Cd) 9.000 Ce) 9 mC

3. Uma pilha de 1, 5 V e conectada num LED, que passa aconduzir uma corrente eletrica de 3 mA. Qual a resistenciaeletrica do LED?a) 500 Ωb) 50 Ωc) 5 Ωd) 0, 5 Ωe) n. d. a.

Exercıcios Complementares

4. A resistencia eletrica de um fio condutor depende:a) apenas da corrente aplicadab) da tensao aplicadac) de suas dimensoes e do material de que e feitod) da corrente maxima que ele suportae) da tensao e da corrente maximas

5. Um fusıvel e um resistor preparado para se romper quandoa corrente nele excede um determinado valor. Para um fusıvelde carro que suporta ate 2, 0A, e opera em 12 V , qual a suaresistencia interna mınima?a) 24 Ωb) 12 Ωc) 4 Ωd) 0, 17 Ωe) n. d. a.

6. Uma lampada de 60 W , construıda para operar em 110 Vonde ela conduz 2, 0 A de corrente, e ligada por engano em220 V e queima depois de 5, 0 s. Qual a quantidade de cargaque ela conduz, ate queimar?a) 5 Cb) 10 Cc) 15 Cd) 20 Ce) n. d. a.

Eletricidade Aula 10

Resistencia Equivalente

Em geral, um circuito pode conter mais de um resistor, e ateoutros elementos como bobinas, fios, chaves, LEDs, etc., todos

Page 126: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Eletricidade – Aula 10 117

eles ligados a uma fonte, por exemplo.

Para um circuito qualquer com apenas uma fonte (ou bateria)de f. e. m., a determinacao da corrente eletrica i na fonte epossıvel atraves do calculo da resistencia equivalente Req.

a todos os elementos do circuito. Ou seja, determinamos qualo valor Req. da resistencia que, substituindo o circuito todo,conduz a mesma corrente. Pela lei de Ohm:

i =E

Req.

Associacao de Resistores

Para um circuito com uma fonte e varios resistores, podemoscalcular facilmente a resistencia equivalente, a corrente quepassa na fonte e, a seguir, as correntes e tensoes em cada umdos resistores.

Resistores em Serie

Quando num circuito simples ligamos varios resistores ohmicosem serie, R1, R2, R3, etc., a resistencia equivalente sera a somadas resistencias, ou seja:

Req. = R1 + R2 + R3 + . . . =∑

i

Ri

12 Ω

a b

6 Ω 4 Ω

Figura 1.1: Tres resistores ligados em serie.

Na associacao em serie da figura acima, a resistencia equiva-lente e

Req. = 12 Ω + 6 Ω + 4 Ω = 22 Ω

Quando mais resistores ligarmos em serie, maior sera a re-sistencia equivalente.

Resistores em Paralelo

Quando num circuito simples ligamos varios resistores ohmicosem paralelo, R1, R2, R3, etc., o inverso da resistencia equiva-lente sera a soma dos inversos das resistencias, ou seja:

1

Req.=

1

R1+

1

R2+

1

R3+ . . . =

i

1

Ri

Na associacao em paralelo da figura acima, a resistencia equi-valente e

1

Req.=

1

12 Ω+

1

6 Ω+

1

4 Ω=

6

12 Ω

ou seja

Req. = 2 Ω

Observe que quando mais resistores ligarmos em paralelo, me-nor sera a resistencia equivalente.

Todos os objetos que ligamos na tomada de nossa casa saoligados em paralelo, por exemplo.

12 Ω

4 Ω

6 Ω

a b

Figura 1.2: Tres resistores ligados em paralelo.

Associacoes Mistas

Quando num circuito simples ligamos varios resistoresohmicos, alguns em serie e outros em paralelo, devemos ir cal-culando as resistencias equivalentes das partes em serie e emparalelo, ate se chegar numa resistencia equivalente geral paratodo o circuito.

a

3 Ω6 Ω

b

ba

9 Ω

4 Ω6 Ω

a b12 Ω

Passo 1

Passo 2

Figura 1.3: Tres resistores em ligacao mista.

Na associacao mista de resistores mostrada na figura acima, aresistencia equivalente e calculada em dois passos:

Passo 1) Observa-se que os resistores de 4 e 12 Ω estao emparalelo, logo a resistencia R′ equivalente a estes resistoressera:

1

R′ =1

12 Ω+

1

4 Ω=

4

12 Ω=⇒ R′ = 3 Ω

Passo 2) Substituindo-se entao os resistores de 4 e 12 Ω porum equivalente de 3 Ω, temos uma associacao em serie, entreresistores agora de 6 e 3 Ω, e a resistencia final equivalente R′′

sera:

R′′ = 6 Ω + 3 Ω = 9 Ω

Exemplo Completo

Determinar a corrente e a tensao eletrica em cada um dos re-sistores do circuito misto da secao anterior, quando uma fontede 45 V for ligada nos pontos a e b.

Resolucao:

Page 127: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

118 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

4 Ω6 Ω

a b12 Ω

45 V

c d

i

i´´−

+

Figura 1.4: Exemplo completo.

Como a resistencia equivalente desta associacao mista e 9 Ω,a corrente i que passa na fonte sera:

i =E

Req.=

45 V

9 Ω= 5 A

Esta e a corrente que sai da fonte e passa pelo resistor de 6 Ω, eaplicando-se a lei de Ohm para este resistor, achamos a tensaoVac entre os pontos a e c, onde o resistor esta conectado:

Vac = Ri = (6 Ω)(5 A) = 30 V

Ao chegar ao no c, vemos que a corrente se divide em duaspartes, na associacao em paralelo: uma que passa pelo resistorde cima i′ e outra no resistor de baixo i′′.

Como o resistor equivalente a essa parte em paralelo e de 3 Ω,conforme calculado anteriormente, a queda de tensao Vcd, entreos pontos c e d, que e a mesma tensao entre os pontos c e b,sera, pela lei de Ohm:

Vcd = R′i = (3 Ω)(5 A) = 15 V

→ Observe que a queda de tensao no primeiro resistor somadaa queda de tensao no conjunto em paralelo da exatamente atensao da fonte:

E = Vac + V cb

Finalmente, como a tensao Vcd = 15 V , temos as correntes nosoutros dois resistores:

i′ =15 V

4 Ω= 3, 75 A

e

i′′ =15 V

12 Ω= 1, 25 A

que sao as correntes nos resistores de 4 e 12 Ω, respectivamente.

→ Observe que a soma das correntes eletricas no conjunto emparalelo, e igual a corrente total que passa na fonte:

i = i′ + i′′

→ Observe tambem que, como ambos os resistores em paraleloestao ligados na mesma tensao, o resistor de menor resistenciaconduz a maior corrente, e vice-versa.

Curto-circuito e Circuito Aberto

Quando um fio de um circuito se rompe, como no caso de umfusıvel queimar, dizemos que o circuito esta aberto, e nenhuma

corrente sera conduzida pela parte do fio que esta “aberta”.Esta situacao e equivalente ao uso de um resistor infinito,na pratica, uma grande resistencia e equivalente ao circuitoaberto.

Quando um fio fio condutor perfeito, ou seja, que nao possuiresistencia, for ligado num circuito no lugar de um resistornormal, teremos o que se chama de “curto-circuito´´. Se nosextremos desse fio houver uma tensao qualquer, teremos umacorrente enorme passando pelo fio, ja que i = V/R, e para Rproximos de zero a corrente se torna muito alta. Normalmenteha algum problema com o circuito quando um curto-circuitoe formado. Nunca faca isso! Mesmo uma pilha de bolso podeproduzir correntes enormes por um curto intervalo de tempo,se seus polos forem conectados com um fio bom condutor.

Se numa associacao em paralelo, um dos resistores entrar emcurto-circuito, por aquecimento ou outra razao qualquer, entaoa resistencia equivalente do conjunto todo de resistores seranula.

6 Ω

a b

12 Ω

curto

Ja numa associacao em serie, havendo curto num resistor, aresistencia equivalente do conjunto sera a soma das resistenciasdos os outros resistores.

12 Ω

a b

6 Ω 4 Ω

i

i´ = 0

i

curto

Pense um Pouco!

• Se conectarmos N resistores identicos de resistencia R emserie, qual a resistencia equivalente do conjunto?

• Quantas resistencias diferentes podemos formar, se dispo-mos de apenas tres resistores: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω eR3 = 4 Ω?

Exercıcios Complementares

1. Sobre associacoes de resistores ohmicos, considere as se-guintes afirmativas:I. A maxima resistencia equivalente de um conjunto de resis-tores e obtida quando todos estao em paralelo;

Page 128: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Eletricidade – Aula 11 119

II. A resistencia equivalente para uma associacao em serie esempre menor do que a menor das resistencias usadas;III. Se um resistor estiver em curto e a resistencia equivalentedo conjunto de resistores nao se anular, e porque a associacaoe do tipo mista;IV. Se a corrente for a mesma em todos os resistores, a asso-ciacao deve ser em serie.a) estao corretas I e IIIb) estao corretas I, III e IIIc) estao corretas II, III e IVd) estao corretas III e IVe) n. d. a.

2. Ligou-se em serie num circuito: uma bateria de 1, 5 V , umresistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tensao noresistor de 5 Ω serao, respectivamente:a) 0, 1 A e 1, 5 Vb) 0, 5 A e 0, 1 Vc) 0, 1 A e 0, 5 Vd) 3, 0 A e 0, 5 Ve) n. d. a.

3. Ligou-se em paralelo numa mesma bateria de 1, 5 V , umresistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tensao noresistor de 10 Ω serao, respectivamente:a) 0, 45 A e 1, 5 Vb) 0, 15 A e 1, 5 Vc) 0, 15 A e 0, 5 Vd) 0, 45 A e 0, 5 Ve) n. d. a.

4. Uma pilha de 1, 5 V e conectada num LED, que passa aconduzir uma corrente eletrica de 3 mA. Qual a resistenciaeletrica do LED?a) 500 Ωb) 50 Ωc) 5 Ωd) 0, 5 Ωe) n. d. a.

Exercıcios Complementares

5. A corrente eletrica i3 no resistor R3 do circuito da figura

1R = 1Ω

ΩR = 42

R = 12Ω3

12 V−

+

e:a) 2/3 Ab) 4/3 Ac) 8/3 Ad) 5, 0 Ae) 1, 0 A

6. Liga-se os terminais de uma bateria de 12; V aos pontosa e b de um conjunto de 3 resistores em paralelo, conforme afigura:

a b

1 Ω

2 Ω

3 Ω

Pode-se afirmar que:a) a corrente eletrica em R1 e de 10 Ab) a tensao eletrica em R2 e de 6 Vc) a corrente eletrica em R3 e de 4 Ad) a tensao eletrica em R1 e maior do que em R3

e) n. d. a.

7. A resistencia eletrica entre os pontos a e b da associacao deseis resistores ohmicos iguais a R:

a b

R

R

R

R

R

R

e:a) Rb) 2Rc) 6Rd) 3R/2e) 3R/4

Eletricidade Aula 11

Instrumentos de Medida

Dois instrumentos basicos sao utilizados para a medicao decorrentes eletricas e tensoes nos elementos de um circuito: oamperımetro e o voltımetro.

Na maioria dos medidores modernos, varios medidores estaodisponıveis num aparelho so, os chamados multımetros.

O Amperımetro

Para a medicao do valor de uma corrente eletrica que atra-vessa um fio, num circuito, liga-se em serie nesse fio um am-perımetro, a fim de que a corrente atravesse tambem o am-perımetro.

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120 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Para que o amperımetro nao altere o valor da corrente noproprio fio onde sera ligado, ele deve ter uma resistencia in-terna muito pequena, no caso ideal, nula.

+ −

ε A

i

R

+

O Voltımetro

Para a medicao do valor da d.d.p. entre dois pontos numcircuito, liga-se em paralelo nesses pontos um voltımetro, afim de que os seus terminais atinjam os mesmos potenciaiseletricos dos pontos do circuito, e a diferenca de potencial entreeles possa ser medida.

Para que o voltımetro nao altere o valor da tensao entre ospontos onde ele e conectado, o que se quer medir, ele deve teruma resistencia interna muito alta, no caso ideal, infinita. Comisso, a corrente desviada para o amperımetro sera muito menordo que a que possa haver entre os pontos do circuito onde eleesta conectado. Isto mesmo, para medir a tensao entre os seusterminais o voltımetro usa uma pequena corrente. Na verdadeeste aparelho e um amperımetro adaptado para medir tensoes.

ε

R

V

+−

i

+

Lei de Joule

Quando uma corrente eletrica atravessa um condutor de re-sistencia eletrica R, havera uma queda de tensao dada pela leide Ohm

V = Ri

no sentido da corrente, ou seja, a corrente sempre ocorre nosentido do maior para o menor potencial eletrico. Vale aquio analogo hidraulico, pois a correnteza de um rio sempre e nosentido do maior potencial gravitacional (ponto mais alto doterreno) para o de menor (ponto mais baixo). E quando a aguadesce uma cascata, converte sua energia potencial em cineticae pode gerar calor, se for dissipada, ou mover uma roda, porexemplo.

No caso eletrico, a resistencia faz com que as cargas per-cam energia cinetica, atraves das colisoes que ocorrem entre

os eletrons livres e os atomos do material, produzindo maisagitacao nestas partıculas, ou seja, a energia cinetica se trans-forma em calor e faz com que a temperatura do resistor suba.

No caso das lampadas de filamento, usa-se esse calor para pro-duzir luz, atingindo-se a incandescencia do metal condutor, emgeral, o tungstenio W , que possui um altıssimo ponto de fusao.No chuveiro eletrico comum, usa-se uma resistencia para pro-duzir calor e aquecer a agua do banho que passa pelo no seuinterior. Existem muitas aplicacoes desse tipo, e voce mesmopode fazer uma lista delas.

A esse efeito de liberacao de calor pela passagem de uma cor-rente eletrica num resistor se chama de efeito Joule.

Em alguns casos o efeito Joule e um problema, pois colaborana perda de energia em linhas de transmissao e motores, porexemplo, transformando parte da energia eletrica em calor, quee perdido para o meio ambiente (poluicao termica).

A quantidade de calor gerada dentro de um resistor, por uni-dade de tempo, define a potencia com que o resistor converteenergia eletrica em calor, e e dada pela lei de Joule:

P = iV

ou seja, como i = V/R, podemos reescreve-la como

P =V 2

R

ou ainda, como V = Ri,

P = Ri2

Unidades SI

A potencia dissipada num resistor e medida em watts no SI,onde

1 watt = 1 W = 1 J/s

Pense um Pouco!

• Num chuveiro normalmente temos uma chave in-verno/verao, que muda a resistencia do chuveiro, e podeser usada para esquentar mais/menos a agua. Qual dasresistencia deve ser maior, a usada no inverno, para es-quentar mais, ou a usada no verao, para esquentar menos?

Exercıcios de Aplicacao

1. Qual a corrente eletrica num chuveiro eletrico que ligadoem 220 V produz calor a uma potencia de 6.000 W?a) 15 Ab) 10 Ac) 5 Ad) 0, 5 Ae) n. d. a.

2. Um resistor de 10 Ω transposta uma corrente de 200 mA.A quantidade de energia que ele dissipa na forma de calor em15 min de funcionamento e:a) 3.600 Jb) 360 Jc) 36 J

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Eletricidade – Aula 12 121

d) 3, 6 Je) n. d. a.

3. Dois resistores, um de resistencia R1 = 2 Ω e outro deresistencia R2 = 8 Ω estao ligados em serie com uma bateriade f.e.m. E = 24 V . A tensao no resistor R1 e a potenciadissipada no resistor R2 sao, respectivamente:a) 2 V e 16 Wb) 16 V e 32 Wc) 8 V e 3, 2 Wd) 4 V e 32 We) n. d. a.

Exercıcios Complementares

4. No circuito da figura abaixo, as chaves CH1 e CH2 estaoabertas e o amperımetro A indica que existe passagem de cor-rente. Quando as duas chaves estao fechadas, a indicacao doamperımetro A nao se altera. Dados:Bateria 1: f.e.m. E1 = 12 V e resistencia interna r1 = 1 Ω;Bateria 2: f.e.m. E2 = 12 V e resistencia interna r2 = 1 Ω;Resistencia do amperımetro A: r3 = 2 Ω;R1 = 9 Ω.Determinar:a) o valor da resistencia R2;b) a potencia dissipada por efeito Joule na resistencia R2

quando CH1 e CH2 estao fechadas.

E2E1

+

−+

−CH1

R1

R2

CH2A

Eletricidade Aula 12

Geradores e Forca Eletromotriz

Geradores ou baterias de tensao contınua sao dispositivos ca-pazes de converter energia quımica em energia eletrica, des-locando cargas entre seus polos de forma a aumentar a ener-gia potencial eletrica disponıvel para que as cargas eletricaspossam circular por um circuito, mantendo uma corrente decargas em movimento. Essas cargas, ou seja, a corrente, aopassar por um resistor, por exemplo, perde energia e tende acessar o seu movimento, a menos que um agente externo – ogerador – realimente essas cargas e mantenha-as circulando.

E bom destacar o fato de que o gerador nao “cria”ou“gera”cargas, mas apenas transfere energia para que elas man-tenham seu movimento, formando uma corrente eletrica numcircuito.

Usando uma analogia com os sistemas hidraulicos, podemospensar num gerador como sendo equivalente a uma bombad’agua, que eleva a agua ate uma caixa d’agua, fornecendoenergia potencial gravitacional a massa d’agua movimentada.Imagine que a agua cai da caixa d’agua por um cano na parte

inferior desta, diretamente dentro de um barril, transformandosua energia potencial em cinetica e essa, finalmente, em calor,aquecendo a agua no barril. Nessa analogia, o barril seriaum resistor eletrico. A seguir, a agua do barril e captadapela bomba e rebombeada para a caixa d’agua. A bombad’agua nesse caso, realiza um trabalho contınuo sobre a agua,transformando energia eletrica em trabalho e, atraves deste,aumentando a energia potencial gravitacional da agua.

No caso eletrico, define-se a forca eletromotriz (f.e.m.) de umgerador, ou bateria, como sendo a energia quımica consumida,por unidade de carga deslocada, desde o polo negativo ate opolo positivo do gerador. Como se ve, a f.e.m. nao e umaforca, mas sua definicao e muito parecida com a definicao dediferenca de potencial eletrico entre dois pontos, lembra?

Definimos a diferenca de potencial eletrico entre dois pontoscomo o trabalho realizado por um agente externo, por unidadede carga, para deslocar em equilıbrio uma pequena carga deprova +q desde um ponto A ate outro ponto B, dentro de umaregiao do espaco onde existe um campo eletrico (apenas).

Relembrando:

VA→B = VB − VA =Wext.

+q= −WE

+q

onde WE e o trabalho realizado pela forca eletrica, ja que, parao equilıbrio da carga q′, segundo a Primeira Lei de Newton,Fext. = −FE.

Assim, por analogia, a f.e.m. de uma bateria sera

f.e.m. = E ≡ Equim.

q

e por definicao, esta nova grandeza sera tambem medida emvolts ou V no Sistema Internacional (SI).

Simbologia

Nos esquemas simplificados usados nos circuitos, indicamosuma bateria pelo sımbolo

ε εou+

+

Convenciona-se que, a placa maior representada na fonte opotencial eletrico e maior (+) e na placa menor, e mais espessa,o potencial seja menor (-).

Quando ligada a um resistor ohmico, por exemplo, a fonteproduzira uma corrente (positiva) no sentido indicado pela setaao lado do sımbolo da f.e.m (E), ou seja, da placa positiva emdirecao ao resistor e retornando pela placa negativa. Pela parteinterna da fonte, a direcao da corrente e da placa negativa (-)para a positiva (+), sendo este o sentido normal da correntedentro da fonte. Sendo assim, a fonte transfere energia paraas cargas, elevando o seu potencial eletrico de uma quantidade+E .

Circuito com Varias Fontes

Um circuito pode ter mais de uma fonte (bateria ou gerador),claro. E como nos radios a pilha, onde se usa, por exemplo,

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122 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

quatro baterias de 1, 5 V cada. Normalmente se usa variosgeradores num mesmo circuito para se obter uma f.e.m. totalgrande, quando elas sao ligadas em serie e com as suas f.e.m.na mesma direcao.

ε1 εN i = 1

N

Σ εi

.....

ε3ε2

N geradores em serie´

− −+ −− −+ + + +

Figura 1.1: Geradores em serie, aumentando-se a f.e.m. total.

Para se obter mais carga disponıvel, e fazer um circuito fun-cionar por mais tempo, varias baterias de mesma f.e.m. saoligadas em paralelo, resultando num gerador de mesma f.e.m.das baterias usadas.

ε ε ε ε.....

N geradores em paralelo

+

+

+

+

+

Figura 1.2: Geradores de mesma f.e.m. em paralelo.

Lei das Malhas – 1a

lei de Kirchhoff

.

Definimos como uma malha, qualquer caminho fechado dentrode um circuito eletrico, que possa ser percorrido passando-seuma so vez em cada ponto.

O circuito eletrico mais simples possui apenas uma malha, ouseja, so um caminho possıvel para a corrente, que portanto,devera ser a mesma em todos os elementos do circuito: re-sistores, fontes, bobinas, etc. O circuito de uma malha maissimples possıvel, e aquele ja visto, com apenas uma fonte e umresistor.

circulando-se a malha de um circuito, o somatorio dasvariacoes de tensao ao longo da malha deve ser nulo.ou seja

i

∆Vi = 0

incluindo todos os elementos do circuito: fontes e resistores.

Para fazer-se o somatorio acima, precisamos escolher um sen-tido qualquer para a corrente na malha e outro, nao necessa-riamente o mesmo, para circularmos a malha, sentido horarioou anti-horario, e observar as seguintes regras:

Fontes

→ se passarmos por uma fonte de f.e.m. E , indo da placanegativa (-) para a positiva (+) temos ∆V = +E .→ se passarmos por uma fonte de f.e.m. E , indo da placapositiva (+) para a negativa (-) temos ∆V = −E .

Resistores

→ se passarmos por um resistor R, indo no sentido da supostacorrente i temos ∆V = −Ri.

→ se passarmos por um resistor R, indo em sentido contrarioao da suposta corrente i temos ∆V = +Ri.

Fios, Chaves e Conectores

Fios, chaves, soldas e outros conectores ideais nao possuemresistencia eletrica e portanto nao apresentam queda de tensao,ou seja, ∆V = 0 para esses elementos. Nao contribuem parao somatorio geral das tensoes.

Assim, tendo-se todos os ∆Vi no circuito, somam-se todos ostermos e iguala-se a zero. Se a corrente encontrada for ne-gativa, o sentido escolhido arbitrariamente par ela esta tro-cado. O sentido fısico correto da corrente entao sera o sentidocontrario ao sentido arbitrado.

Lei de Ohm-Pouillet

Com base na lei das malhas, podemos ver que todo circuitode uma so malha, mesmo com varias fontes de tensao contınua(baterias) e varios resistores, todos eles em serie portanto, podeser reduzido a um circuito simples do tipo: uma ateria e umresistor. Para isso, devemos encontrar a f.e.m. total E nocircuito e a resistencia equivalente Req., e daı, obteremos acorrente i no circuito:

i =E

Req.lei de Ohm-Pouillet

Biografia

Gustav Rupert Kirchhoff, (1824 – 1861), foi um dos maioresfısicos alemaes de seu tempo. Realizou uma obra vastıssima.Viveu numa epoca em que a Fısica estava tendo desenvol-vimento extraordinario em varios setores diferentes, pois nasegunda metade do seculo passado a mecanica, elasticidade,teoria dos gases, eletricidade, magnetismo e termodinamicativeram grande impulso. Kirchhoff, que desde muito jovemesteve em contacto com fısicos bastante experimentados, teveoportunidade de trabalhar em assuntos muito variados. Alemde um numero muito grande de trabalhos isolados, ha tresramos da Fısica nos quais os trabalhos de Kirchhoff se torna-ram fundamentais: otica, termodinamica e eletricidade. Emotica, foi grande conhecedor de espectroscopia, tendo sido umdos fundadores da analise espectral. Em termodinamica, foio primeiro fısico a estabelecer leis sobre a energia radiante.Em eletricidade estabeleceu as leis fundamentais das malhaseletricas, leis que estudamos neste ultimo capıtulo.

Pense um Pouco!

• Ligando-se duas pilhas comuns, com os polos trocados, aum pequena lampada o que se observa?

• E possıvel que a corrente (positiva) entre pelo polo posi-tivo de uma fonte e saia pelo negativo?

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Eletricidade – Aula 12 123

Exercıcios de Aplicacao

1. (UEPR) Um gerador funcionara em regime de potencia utilmaxima, quando sua resistencia interna for igual:a) a metade da resistencia equivalente do circuito que ele ali-menta;b) ao dobro da resistencia equivalente do circuito que ele ali-menta;c) ao quadruplo da resistencia equivalente do circuito que elealimenta;d) a resistencia equivalente do circuito que ele alimenta;e) a quarta parte da resistencia equivalente do circuito que elealimenta.

Exercıcios Complementares

2. (PUC-SP) Cinco geradores, cada um de f.e.m. igual a 4, 5 Ve corrente de curto-circuito igual a 0, 5 A, sao associados emparalelo. A f.e.m.e a resistencia interna do gerador equivalentetem valores respectivamente iguais a:a) 4, 5 V e 9, 0 Ωb) 22, 5 V e 9, 0 Ωc) 4, 5 V e 1, 8 Ωd) 0, 9 V e 9, 0 Ωe) 0, 9 V e 1, 8 Ω

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Quımica

Quımica Aula 1

Estrutura Atomica

Modelos Atomicos

A primeira abordagem sobre a constituicao da materia datade ± 400 anos a.C. Os filosofos gregos Democrito e Leucipoconceberam o atomo como a menor partıcula constituinte damateria e supunham que essa partıcula era indivisıvel.

Lavoisier: em 1780, e considerado o pai da Quımica por tercriado o metodo cientıfico: as leis surgem da observacao daregularidade das teorias, como tentativas de explicacao dessasregularidades. Provou que “na natureza nada se cria, nadase perde, tudo se transforma”, ou seja, numa transformacaoquımica da materia, a massa se conserva.

John Dalton: em 1808, criou a Teoria Atomica Classica (base-ado em modelos experimentais), considerando os atomos comoesferas macicas (Modelo da Bola de Bilhar), indivisıveis.

J. J. Thomson: em 1897, atraves de experimentos sobre des-cargas eletricas em gases rarefeitos, admitiu a existencia decargas negativas, os eletrons, e de cargas positivas, os protons.Propos um modelo em que o atomo seria uma esfera de ele-tricidade positiva, incrustada de eletrons com carga negativa(Modelo do Pudim de Passas).

Colimador do feixe

ouroFolha de

Substancia radioativa Tela sintilantepara detecçaodas particulasdesviadas

fonte de particulas α

Figura 2.1: Aparato Experimental de Rutherford.

Ernest Rutherford: em 1911, bombardeou uma laminametalica delgada com um feixe de partıculas α. Estaspartıculas eram positivas. A maior parte das partıculas atra-vessava a lamina metalica sem sofrer desvio detectavel, al-

gumas partıculas atravessavam sofrendo desvio e um numeroınfimo de partıculas refletiam. Se os atomos fossem bolhasde geleia carregados positivamente as partıculas α deveriampassar facilmente atraves das folhas com uma ligeira deflexaoocasional de seus caminhos. Mas, percebeu-se que algumasdestas partıculas defletiam mais de 90 e umas poucas retor-navam no caminho de onde tinham vindo. Ver a Fig. 2.1.

Estes resultados sugerem um modelo de atomo no qual ha umadensa carga positiva central circundada por um grande volumevazio. Rutherford chamou esta regiao carregada positivamentede nucleo atomico.

As partıculas carregadas positivamente sao chamadasprotons.

As partıculas carregadas negativamente continuam sendo cha-madas de eletrons.

Assim, o modelo de Rutherford consta de nucleo denso, di-minuto, carregado positivamente, e de uma parte envolvendoesse nucleo, uma regiao rarefeita e proporcionalmente muitogrande chamada eletrosfera, com eletrons, de carga negativa.

Resumo do Modelo de Rutherford

Este foi o modelo proposto por Rutherford. Basicamente tinhaos seguintes fundamentos:

• O atomo e dividido em duas regioes, nucleo e eletrosfera,no nucleo encontramos os protons e os neutrons, na ele-trosfera encontramos os eletrons;

• Os protons apresentam carga positiva, os eletrons apre-sentam carga negativa e os neutrons apresentam carganula;

• A massa de um proton e de um neutron equivalem a 1u.m.a enquanto a massa do eletron e 1836 vezes menorque a massa do proton ou do neutron.

O numero de protons em um nucleo atomico e chamado denumero atomico, Z, do elemento.

O numero total (soma) de protons e neutrons no nucleo e cha-mado de numero de massa, A, do elemento.

A = Z + N

Representacao

ZXA

Mas, o modelo planetario de Rutherford apresenta duas falhascruciais:

• Uma carga negativa colocada em movimento ao redor deuma carga positiva estacionaria, adquire movimento espi-ral ate colidir com ela;

125

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126 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

• Essa carga perde energia emitindo radiacao, violando oPrincıpio da Conservacao de Energia.

Pense um Pouco!

1. Voce sabe dizer o que significa “tempo de meia-vida”?

2. O que significa Fissao Nuclear e Fusao Nuclear?

Exercıcios de Aplicacao

1. A palavra atomo e originaria do grego e significa “indi-visıvel”, ou seja, segundo os filosofos gregos, o atomo seriaa menor partıcula da materia que nao poderia ser mais divi-dida. atualmente essa ideia nao e mais aceita. A respeito dosatomos, e verdadeiro afirmar que:a) ( ) Nao podem ser desintegrados;b) ( ) Sao formados por pelo menos tres partıculas fundamen-tais;c) ( ) Possuem partıculas positivas denominadas eletrons;d) ( ) Apresentam duas regioes distintas, nucleo e eletrosfera;e) ( ) Apresentam eletrons cuja carga eletrica e negativa;f) ( ) Contem partıculas sem carga eletrica, os neutrons.

2. (UFSC) Analise as afirmativas a seguir e assinale como Vou F:a) ( ) O primeiro modelo atomico baseado em resultados expe-rimentais, ou seja, com base cientıfica foi proposto por Dalton;b) ( ) Segundo Dalton, a materia e formada de partıculas in-divisıveis chamadas atomos;c) ( ) Thomson foi o primeiro a provar que que o atomo naoera indivisıvel;d) ( ) O modelo atomico proposto por Thomson e o da bolade bilhar;e) ( ) O modelo atomico de Dalton teve como suporte experi-mental para a sua criacao a interpretacao das leis das reacoesquımicas.

3. (UFSC) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):a) ( ) Os atomos sao partıculas fundamentais da materia;b) ( ) Os atomos sao quimicamente diferentes quando temnumeros de massa diferentes;c) ( ) Os eletrons sao as partıculas de carga eletrica positiva;d) ( ) Os protons e os eletrons possuem massas iguais e cargaseletricas diferentes;e) ( ) Os atomos apresentam partıculas de carga nula deno-minados neutrons;f) ( ) Os atomos sao partıculas inteiramente macicas.

Exercıcios Complementares

4. (ACE) Assinale a alternativa falsa:a) o numero de massa de um atomo e dado pela soma donumero de protons e de neutrons existentes no nucleo;b) um elemento quımico deve ter seus atomos sempre comomesmo numero de neutrons;(c) o numero de protons perma-nece constante, mesmo que os numeros de massa dos atomosde um elemento variem;c) o numero atomico e dado pelo numero de protons existentes

no nucleo de um atomo;d) n.d.a

5. (UEL) O uranio-238 difere do uranio-235 por que o primeiropossui:a) 3 eletrons a mais;b) 3 protons a mais;c) 3 protons e 3 neutrons a mais;d) 3 protons e 3 eletrons a mais;e) 3 neutrons a mais.

6. (ACAFE) Um sistema e formado por partıculas que apre-sentam a composicao atomica de 10 protons, 10 eletrons, 11neutrons. Ao sistema foram adicionadas novas partıculas. Osistema resultante sera quimicamente puro se as partıculas adi-cionadas apresentarem a seguinte composicao atomica:a) 21 protons, 10 eletrons e 10 neutrons;b) 20 protons, 10 eletrons e 22 neutrons;c) 10 protons, 10 eletrons e 12 neutrons;d) 11 protons, 11 eletrons e 12 neutrons;e) 11 protons, 11 eletrons e 11 neutrons;

7. (FUVEST) As seguintes representacoes: 2X2, 2X

3e2X4,

referem-se a atomos com:a) igual numero de neutrons;b) igual numero de protons;c) diferente numero de eletrons;d) diferentes numeros atomicos;e) diferentes numeros de protons e eletrons;

Quımica Aula 2

Modelos Atomicos

O Modelo Atomico de Bohr

Com o objetivo de solucionar estas limitacoes do modelo deRutherford entra em cena um cientista chamado Niels Bohr.

Niels Bohr: em 1913, propos que o atomo e constituıdo por umnucleo positivo, onde se concentra praticamente toda massado atomo, e por eletrons que giram ao seu redor em orbitascirculares bem definidas, formando camadas, designadas pelasletras K, L, M, N, O, P, Q.

fotonabsorvido

fotonemitido

~ eletron

~ eletron excitado

_

_

_

_

_

_

Figura 2.1: O modelo Atomico de Bohr.

Atraves de processos experimentais Bohr, concluiu que:

Page 136: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica – Aula 2 127

• Um eletron so pode ter certas energias especıficas, e cadauma destas energias corresponde a uma orbita particu-lar. Quanto mais afastado do nucleo maior a energia doeletron;

• Se o eletron receber energia ele pula para uma orbita maisafastada do nucleo;

• Como esta orbita nao e natural ele tende a retornar parasua orbita de maior estabilidade, assim sendo, ocorre li-beracao de energia;

• Para calcular a energia emitida pelo eletron, Max Planckestabeleceu que a energia se propaga em “pacotes”dequantidades mınimas e descontınuas. A essa quantidademınima chamou de foton ou quantum. O valor do quan-tum e proporcional a frequencia da onda ν, cuja magni-tude pode ser calculada por

E = hν

onde h e a famosa constante de Planck, que tem valor de6, 63× 10−34 J · s.Se os atomos oscilantes transferem uma energia E para avizinhanca, radiacao de frequencia ν = E/h sera detec-tada. E importante notar que a intensidade da radiacao euma indicacao do numero de pacotes de energia gerados,enquanto E e a medida de energia de cada pacote.

Sommerfeld: em 1916, estabeleceu que os eletrons descrevemorbitas circulares e elıpticas em torno do nucleo.

Figura 2.2: Modelo Atomico de Sommerfeld.

O Modelo Atomico Atual

Louis de Broglie: em 1924, foi quem lancou as as bases de umanova mecanica chamada ondulatoria ou quantica, atraves doPrincıpio da Dualidade materia-onda para o eletron: “Todapartıcula em movimento, o eletron, no caso, tem associado asi uma onda”.

A mecanica classica preve, para cada corpo, sua trajetoria,conhecendo sua posicao e velocidade.

A mecanica quantica, que trata do universo microscopico daspartıculas, nao se descreve perfeitamente o atomo.

Heisenberg: em 1927, estabeleceu o Princıpio da Incerteza,segundo o qual “nao e possıvel predizer, ao mesmo tempo, aposicao e a quantidade de movimento de um eletron”

Tudo que nos podemos conhecer sobre o movimento de umsistema de partıculas se reduz a uma funcao complexa Ψ decoordenadas (x, y, z) das partıculas e do tempo t.

Esta funcao e chamada Funcao de Onda, criada por Schrodin-ger (1927).

O quadrado do modulo da funcao de onda |Ψ|2 representaa probabilidade de se encontrar no instante t a determinadapartıcula.

Na concepcao classica, uma partıcula se encontra ou nao numdeterminado instante em um dado ponto do espaco. Pelamecanica quantica nos so podemos conhecer a probabilidadede encontrar a partıcula no ponto considerado.

Schrodinger deduziu matematicamente regioes com probabi-lidades de se encontrar o eletron, simplificadas por meio demodelos geometricos que chamamos de orbitais.

Sommerfeld, de Broglie e Schrodinger formaram a MecanicaQuantica, que nos levou ao modelo atomico atual. O atomopossui nucleo denso com eletrons em orbitais.

Orbital e a regiao, em torno do nucleo, com maior probabili-dade de se encontrar o eletron. O eletron move-se em torno donucleo.

Isotopos, Isobaros, Isotonos e Isoeletronicos

Isotopos: sao atomos de um mesmo elemento quımico queapresentam diferentes numero de massa e diferentes numerode neutrons, ou seja sao atomos de mesmo numero atomico ediferentes numero de massa.

6C12

6C13

6C14 Isotopos de Carbono

8O16

8O17

8O17 Isotopos de Oxigenio

Isobaros: sao atomos de elementos quımicos diferentes mascom mesmo numero de massa.

20Ca40 1840Ar

Isotonos: sao atomos de elementos quımicos diferentes, mascom mesmo numero de neutrons.

5B11

6C12

Isoeletronicos: sao atomos ou ıons que apresentam o mesmonumero de eletrons.

12Mg2+11Na1+Ne

10 9F1−

7N3−

Nıveis e Sub-nıveis de Energia

A eletrosfera do atomo esta dividida em 7 regioes denominadasde nıveis de energia ou camadas eletronicas.

Sao as camadas K, L, M, N, O, P, Q, representadas pelosnumeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 denominados de numeros quanticosprincipais e representados pela letra n.

O numero maximo de eletrons em cada camada e calculadopela equacao

e = 2 · n2 sendo que

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128 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

K(2), L(8), M(18), N(32), O(50), P (72), Q(98)

Mas para os 112 elementos quımicos existentes temos:

K(2), L(8), M(18), N(32), O(32), P (18), Q(2)

Existem 7 sub-nıveis de energia (s, p, d, f, g, h, i) que estao den-tro das camadas. Mas para os 112 elementos existentes naosao ocupados todos os sub-nıveis de energia e sim somente qua-tro, s, p, d, f , que sao representados pela letra l que significanumero quantico secundario e sao numeros que vao de 0 a 3, ouseja, 0, 1, 2, 3 para os sub-nıveis s, p, d, f , cada sub-nıvel com-porta um numero maximo de eletrons s(2), p(6), d(10), f(14).

Configuracao Eletronica

Diagrama de Linus Pauling

K(2) 1s2

L(8) 2s2 2p6

M(18) 3s2 3p6 3d10

N(32) 4s2 4p6 4d10 4f14

O(32) 5s2 5p6 5d10 5f14

P(18) 6s2 6p6 6d10

Q(2) 7s2

Representamos a distribuicao eletronica de duas formas:

1. ordem energetica, seguindo as diagonais do diagrama dePauling:1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d10, 4p6, 5s2, 4d10,5p6, 6s2, 4f14, 5d10, 6p6, 7s2, 5f14, 6d10

2. ordem geometrica, agrupando os sub-nıveis em camadas:

1s2 K 22s2, 2p6 L 8

3s2, 3p6, 3d10 M 184s2, 4p6, 4d10, 4f14 N 325s2, 5p6, 5d10, 5f14 O 32

6s2, 6p6, 6d10 P 187s2 Q 2

Orbitais Atomicos

Como vimos, orbital e a regiao, em torno do nucleo, commaxima probabilidade de se encontrar eletrons. As formasdessas regioes sao calculadas matematicamente e tem o nucleolocalizado no ponto zero dos eixos x, y e z.

As formas dos orbitais mais importantes sao:

1. esferica - chamado orbital s:

2. halter - chamado orbital p:

Princıpio de Exclusao

Certas experiencias, em particular a acao de um campomagnetico, mostram que as funcoes de onda construıdas uni-camente sobre as coordenadas de espaco nao sao aptas paraexplicar totalmente os fenomenos, o que levou a se introduziruma nova coordenada chamada spin. Trata-se de uma coorde-nada suplementar associada a rotacao do eletron. Os valorespermitidos para a funcao de spin sao − 1

2 e 12 , e sao de spins

opostos.

Y

Z

X

Figura 2.3: Coordenadas espaciais de um atomo.

Y

Z

X.

.

..

.... . . . ..

...

......

...

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....

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.....

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... ..

.........

.. ................... ...... ..

..... ...

. . .... .....

...

...................... ........ .

.......................

.....................................................................

Figura 2.4: Representacao do Orbital s.

Dois eletrons podem ocupar um mesmo or-bital desde que possuam spins opostos.

Este enunciado e conhecido por “Princıpio de Exclusao, deWolfgang Pauli”.

Cada sub-nıvel comporta um numero maximo de eletrons(como visto anteriormente). Se cada orbital comporta nomaximo dois eletrons, temos entao:

Representacao do Orbital

s2 ↑↓ 1 orbit.p6 ↑↓ ↑↓ ↑↓ 3 orbit.d10 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 5 orbit.f14 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 7 orbit.

Pense um Pouco!

1. Voce sabe quais sao os tipos de radiacoes existentes e quaisas caracterısticas particulares de cada uma?

2. Quais sao os efeitos causados pelas radiacoes? E quais asprincipais aplicacoes das reacoes nucleares?

Page 138: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica – Aula 3 129

+

Figura 2.5: Representacao do Orbital p.

Exercıcios de Aplicacao

1. (ACAFE-99) A vitamina B12, anti-anemica, contem ıons decobalto Co+2. Dado: Co(Z = 27). A configuracao eletronicanos orbitais 4s e 3d do Co+2, e:a) 4s0, 3d8.b) 4s2, 3d7.c) 4s2, 3d5.d) 4s1, 3d6.e) 4s0, 3d7.

2. (UDESC) Uma atomo com numero atomico igual a 38,apresentara em seu antepenultimo nıvel:a) 8 eletrons.b) 18 eletrons.c) 16 eletrons.d) 10 eletrons.e) 6 eletrons.

Exercıcios Complementares

3. (FUVEST) De acordo com os postulados de Bohr e corretoafirmar que:a) ( ) Os eletrons se movem ao redor do nucleo em orbitasbem definidas, que sao denominadas orbitas estacionarias;b) ( ) Movendo-se numa orbita estacionaria, o eletron naoemite nem absorve energia;c) ( ) Ao saltar de uma orbita mais proxima do nucleo paraoutra orbita mais afastada, o eletron absorve energia;d) ( ) Quando o eletron de um atomo salta de uma camadamais externa para outra mais proxima do nucleo, ha emissaode energia;e) ( ) No nucleo de um atomo existem protons e neutrons.

4. (UEL) Atomos neutros e ıons de um mesmo elementoquımico tem, necessariamente, o mesmo numero:a) atomico;b) de massa;c) de oxidacao;d) de carga;e) de isomeros.

5. Sejam dois atomos A de numero atomico 2x + 4 e numerode mass 5x e B de mumero atomico 3x−6 e numero de massa5x− 1. Determine quantos neutrons tem A e B, sabendo queeles pertencem ao mesmo elemento quımico.a) NA = 25 e NB = 26b) NA = 26 e NB = 25c) NA = 27 e NB = 26d) NA = 26 e NB = 27e) NA = 25 e NB = 25

Quımica Aula 3

Ligacoes Quımicas

Estabilidade dos Atomos

Os gases nobres sao os unicos encontrados na natureza naforma mono-atomica, ou seja, nao se ligam se, apresentamna forma de atomos. Isto significa que o atomo e totalmenteestavel.

Os gases nobres (Coluna 8A da Tabela Periodica), com excecaodo helio, apresentam oito eletrons na camada de valencia.

Gases Nobres

He(Z=2) 2Ne(Z=10) 2 8Ar(Z=18) 2 8 18 8Xr(Z=36) 2 8 18 18 8Xe(Z=54) 2 8 18 32 18 8Rn(Z=86) 2 8 18 32 32 18 8

Camada de valencia e a camada eletronica mais externa. Podereceber ou fornecer eletrons na uniao entre atomos.

A valencia de um atomo e o numero de ligacoes que um atomoprecisa fazer para adquirir a configuracao de um gas nobre.

Teoria do Octeto

Foi feita uma associacao entre a estabilidade dos gases nobrese o fato de possuırem 8 eletrons na ultima camada. Surgiuentao a Teoria do Octeto:

Para atingir uma situacao estavel, ha umatendencia dos atomos para conseguir estruturaeletronica de 8 eletrons na camada de valenciaigual ao gas nobre de numero atomico maisproximo.

No caso de atomos menores em numero de eletrons, a tendenciae alcancar o dueto, isto e, conseguir dois eletrons na ultimacamada, como o helio (Z = 2) : 1s2. E o caso do hidrogenio edo lıtio.

Classificacao dos Elementos

Quanto a Configuracao Eletronica, podemos classificar os ele-mentos quımicos como:

Metais: Sao elementos que possuem menos de quatro eletronsna camada de valencia. Doam eletrons quando fazem ligacoesquımicas;

Nao-Metais: Sao elementos que possuem mais de quatroeletrons na camada de valencia. Recebem eletrons quandofazem ligacoes quımicas;

Semi-metais: Sao alguns elementos que ora comportam-secomo metais ora como nao-metais, independente do numerode eletrons na camada de valencia;

Hidrogenio: Nao tem classificacao, porem sua tendencia e deganhar um eletron. Os elementos que possuem quatro eletrons

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130 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

na camada de valencia podem ceder ou receber eletrons nasligacoes.

O carbono por exemplo, tera comportamento de nao-metal,recebendo eletrons.

O silıcio e o germanio sao semi-metais: ora cedem eletrons, orarecebem.

Estruturas de Lewis

Um sımbolo de Lewis e um sımbolo no qual os eletrons dacamada de valencia de um atomo ou de um ıon simples saorepresentados por pontos colocados ao redor do sımbolo doelemento. Cada ponto representa um eletron. Por exemplo:

(a) (b)

Figura 2.1: Configuracao eletronica e estrutura de Lewis parao atomo neutro de cloro (a) e para o ıon de cloro (b).

Repare nos exemplos acima que o cloro possui sete eletrons devalencia, enquanto que o ıon cloreto, oito.

Uma ligacao co-valente e aquela ligacao quımica formada pelocompartilhamento de um par de eletrons entre dois atomos. AEstrutura de Lewis de um composto co-valente ou de um ıonpoli-atomico mostra como os eletrons estao distribuıdos entreos atomos, de formas a mostrar a conectividade entre eles. Nocaso do metano, por exemplo, quatro eletrons, um de cadahidrogenio, mais os quatro eletrons de valencia do carbono,sao emparelhados na Estrutura, mostrando como cada atomose conecta a outro por um par de eletrons.

Figura 2.2: Configuracao da estrutura de Lewis para o metano.

Ao inves de utilizarmos dois pontos para indicar o par deeletrons que perpetuam a ligacao co-valente, podemos utili-zar um traco. Assim, o traco ira representar os dois eletronsda ligacao co-valente.

Vamos representar na Figura (2.4) a estrutura de Lewis daagua. Dois hidrogenios sao ligados ao atomo de oxigenio cen-tral. Os eletrons de ligacao sao indicados pelas linhas entre ooxigenio e cada um dos hidrogenios. Os eletrons remanescentes- dois pares - que constituem o octeto do oxigenio, sao chama-dos de nao-ligantes, por nao estarem envolvidos em ligacoesco-valentes.

O primeiro passo para se desenhar uma estrutura de Lewis edeterminar o numero de eletrons de valencia dos atomos queserao conectados. Depois e necessario determinar qual e o

Figura 2.3: Configuracao da ligacao co-valente.

H O Hpares de eletrons ligantes

pares de eletrons nao ligantes´

´

~

Figura 2.4: Estrutura de Lewis da Agua.

atomo central, e liga-lo aos atomos perifericos por pares deeletrons.

Considere o dioxido de carbono CO2

carbono(C)→tem 4e− de valencia × 1 carbono = 4e−

oxigenio(O)→tem 6e− de valencia × 2 oxigenio = 12e−

Existe um total de 16 e− para serem colocados na Estruturade Lewis.

Conecte o atomo central aos outros atomos na molecula comligacoes simples.

O carbono e o atomo central, os dois oxigenios sao ligados aele; mais tarde iremos adicionar mais eletrons para completaros octetos dos atomos perifericos.

Conecte o atomo central aos outros atomos na molecula comligacoes simples.

O carbono e o atomo central, os dois oxigenios sao ligados aele; mais tarde iremos adicionar mais eletrons para completaros octetos dos atomos perifericos.

Figura 2.5: Estrutura do CO2.

Ate aqui foram utilizados quatro eletrons dos 16 a disposicao.

Complete a camada de valencia dos atomos da periferia damolecula.

Foram utilizados todos os 16 eletrons disponıveis. Coloquequaisquer eletrons remanescentes sobre o atomo central. “Naoexistem mais eletrons disponıveis nesse exemplo”.

• Se a camada de valencia do atomo central esta completa,voce acaba de desenhar uma Estrutura de Lewis aceitavel.

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Quımica – Aula 4 131

Figura 2.6: Construcao da estrutura de Lewis do CO2-1.

“O carbono esta deficiente de eletrons - ele tem so quatroeletrons em sua volta. Esta nao e uma estrutura de Lewisaceitavel”.

• Se a camada de valencia do atomo central nao esta com-pleta, use um par solitario de um dos atomos da peri-feria para formar uma dupla ligacao daquele atomo como atomo central. Continue o processo de fazer multiplasligacoes dos atomos perifericos com o atomo central, ateque a camada de valencia do atomo central esteja com-pleta.

Figura 2.7: Construcao da estrutura de Lewis do CO2-2.

Torna-se,

Figura 2.8: Construcao da estrutura de Lewis do CO2-3.

O atomo central ainda esta deficiente de eletrons, portantocompartilhe outro par.

Torna-se,

Certifique-se que voce tenha utilizado do numero corretode eletrons na Estrutura de Lewis. Lembre-se que algunselementos, como o enxofre, por exemplo, podem ampliarsua camada de valencia para alem de oito eletrons.

A melhor Estrutura de Lewis que pode ser escrita para odioxido de carbono e:

Figura 2.9: Construcao da estrutura de Lewis do CO2-4.

Figura 2.10: Construcao da estrutura de Lewis do CO2-5.

Pense um Pouco!

• De uma possıvel aplicacao para a mesma formula quımicaescrita de formas diferentes. Ou seja, qual e a utilidadede escrevermos a formula estrutural e eletronica de ummesmo elemento?

• Os gases nobres tambem sao chamados de gases inertes?Explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. Indique a formula estrutural das seguintes moleculas: Da-dos: Cl (Z = 17), C (Z = 12), N (Z = 7), H (Z =1), O (Z = 8).a) CCl4b) NH3

c) CO2

d) HNO3

Exercıcios Complementares

2. De as formulas estruturais e eletronicas das seguintesmoleculas, dados: H (Z=1), O (Z=8) e S (Z=16).a) H2Sb) SO2

c) SO3

d) HNO3

Quımica Aula 4

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Figura 2.11: Melhor estrutura de Lewis para o CO2

Ligacoes Quımicas

Como consequencia da tendencia dos atomos de formar sis-temas eletronicos estaveis, pela doacao ou recebimento deeletrons, os atomos se unem.

Existem tres tipos de ligacoes quımicas;

1. Ionica;

2. Metalica;

3. Co-valente.

Ligacao Ionica ou Eletrovalente

A ligacao ionica ocorre quando um metal se liga a um naometal ou ao hidrogenio. O metal doa eletrons formando ocation. O nao-metal ou o hidrogenio recebe eletrons formandoum anion.

A consequencia da atracao entre os ıons positivos (cations) enegativos (anions) e um agrupamento organizado de ıons, aque chamamos de cristal ionico.

(a) (b)

Figura 2.1: Arranjo Atomico de um Cristal Ionico.

O cristal ionico e representado por uma formula mınima, ouseja, o numero mınimo de cations e anions necessarios para queambas as cargas sejam neutralizadas. Por exemplo a FormulaMınima do sal de cozinha e dada por:

Na Cl

Esta estrutura de alta coesao de natureza eletrica confere aocomposto ionico alto ponto de fusao. No estado solido naoconduz eletricidade. Isso so ocorre se os ıons estiverem livres,em solucao aquosa ou no estado fundido (lıquido).

Montamos uma formula de composto ionico colocando a es-querda o cation e a direita o anion. Verificamos se as cargaspositiva e negativa se anulam. Se as cargas se anularem, aformula sera de um cation para um anion. Caso as cargas seanulem, usaremos o seguinte artifıcio: invertemos a carga docation para ındice do anion e a carga do anion para ındice docation:

Ax+By− → AyBx

Caracterısticas da Ligacao Ionica

• Formacao de ıons;

• Transferencia de eletrons;

• Compostos solidos a temperatura ambiente;

• Formacao de compostos cristalinos;

• Os compostos ionicos quando em meio aquoso conduzemcorrente eletrica.

Ligacao Metalica

Ocorre entre metais. Como sabemos, um metal tem tendenciade doar eletrons formando cations. A ligacao metalica ocorrequando muitos atomos de um metal perdem eletrons ao mesmotempo, e os cations formados se estabilizam pela ”nuvem” deeletrons que fica ao redor.

Analisando um fio de cobre, excelente condutor de eletrici-dade e calor, encontraremos nos eletrons livres que o materialapresenta a explicacao desta condutibilidade. Os ”n” atomosde cobre cedem seus eletrons perifericos e se tornam cationsenvoltos por muitos eletrons livres.

Ligacao Co-valente ou Molecular

Ligacao co-valente e aquela formada como consequencia docompartilhamento de eletrons entre seus atomos.

Havera formacao de uma molecula, no sentido em que osatomos se unem como ”socios” dos mesmos eletrons.

Por exemplo: o cloro apresenta 7 eletrons na ultima camadaquando realizada a ligacao co-valente forma HCl.

O par compartilhado e formado por dois eletrons, um de cadaatomo, compartilhado por ambos os atomos.

ClH

Figura 2.2: Par Eletronico Compartilhado.

Ambos adquirem configuracao eletronica estavel de gas nobre.

Representacao Molecular

Ha diferentes maneiras de representar uma molecula. Tome-mos a molecula de gas oxigenio, formada por dois atomos deoxigenio.

• Formula eletronica ou de Lewis: representa os eletronsda ultima camada dos atomos.

Page 142: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica – Aula 4 133

• Formula estrutural: cada par de eletron compartilhadoe representado por um traco.

O = O

• Formula molecular: indica apenas o tipo e o numerode atomos que formam uma molecula.

O2

Ligacao Dativa ou Coordenada

E o caso de ligacao co-valente que ocorre quando o par deeletrons compartilhado entre dois atomos provem apenas deum deles.

Para que o atomo possa fazer uma ligacao coordenada ele temque possuir pares de eletrons livres.

A ligacao coordenada e indicada por uma seta do atomo queoferece o par de eletrons para o atomo que o aceita.

O numero maximo de ligacoes coordenadas que os nao-metaispodem oferecer e:

No caso do monoxido de carbono, temos um bom exemplo: ooxigenio faz uma ligacao dativa com o carbono, isto e, com-partilha coordenadamente com ele seus pares eletronicos. Con-forme podemos ver na Fig. (2.3):

Figura 2.3: Ligacao Dativa do CO.

Orbitais Moleculares

Para visualizarmos melhor as ligacoes co-valentes (atomos for-mando moleculas), estudaremos as ligacoes sob o ponto devista dos orbitais atomicos formando orbitais moleculares.

Orbital molecular e a regiao em torno dos nucleos de maior pro-babilidade de ser encontrado o par eletronico compartilhado.

Ha dois tipos de orbital molecular:

Orbital Molecular σ (sigma), ou simplesmente ligacao σ, eaquele formado na interpenetracao de orbitais atomicos se-gundo um eixo.

Orbital Molecular π, ou simplesmente ligacao π, e aquele for-mado na interpenetracao de orbitais atomicos p exclusivamentesegundo os eixos paralelos.

Exemplo

H2 (molecula H : H ou H −H)

O hidrogenio apresenta apenas um eletron no orbital s, quesabemos ser esferico: 1s1, e precisa de mais um eletron paraadquirir estabilidade.

Quando ocorre a aproximacao de outro atomo de hidrogenio,o nucleo positivo de um atrai a eletrosfera do outro.

+

+

Figura 2.4: Dois atomos de H.

Como consequencia dessa atracao, teremos a aproximacao re-sultando numa interpenetracao de orbitais chamada overlap.

Overlap e a interpenetracao dos orbitais atomicos formandoum orbital molecular.

Na formacao do overlap ha uma distancia ideal entre os nucleosde cada atomo, onde a repulsao das cargas de mesmo sinalcompensa a atracao das cargas de sinais diferentes.

Figura 2.5: Overlap.

No caso do H2, H−H , temos orbital σ(s−s). A notacao σ(s−s) significa orbital molecular σ feito atraves de dois orbitaisatomicos do tipo s.

Pense um Pouco!

• Quais sao as principais utilidades das Ligacoes Quımicasna natureza?

• Como os elementos quımicos sao encontrados na natureza,”puros ou misturados com outros elementos”?

Exercıcios de Aplicacao

1. (ACAFE) O grupo de atomos que e encontrado na formamono-atomica pelo fato de serem estaveis saoa) Halogeniosb) Calcogeniosc) Metais Alcalinos Terrososd) Metais Alcalinose) Gases Nobres

2. (ACAFE) O propadieno (H2C = C = CH2) apresentarespectivamente quantas ligacoes sigmas e ligacoes pi?a) 6 e 2b) 2 e 2c) 4 e 2d) 4 e 0e) 0 e 4

3. (ACAFE) Incrıvel, mas 15% do gas metano existente naatmosfera provem do arroto dos bois, vacas, cabras e car-neiros, contribuindo para o efeito estufa (aquecimento at-

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mosferico). Assinale a alternativa que descreve os tipos deligacoes quımicas encontradas neste gas:a) 2 ionicas e 2 co-valentesb) 2 ligacoes dativasc) 4 ligacoes duplasd) 2 sigmas e 2 pie) 4 ligacoes sigmas

Exercıcios Complementares

4. (ACAFE-99) Um metal alcalino terroso (M) apresenta doiseletrons na sua camada de valencia. A alternativa que indica aformula de um oxido e de cloreto desse metal, respectivamentee:a) M2O −M2Clb) M2O −MClc) MO2 −MCl2d) MO −MCl2e) MO −MCl4

5. (UFSC) Na molecula H −O −O −H , existe:a) nenhuma ligacao ionicab) tres ligacoes co-valentesc) tres ligacoes sigmasd) tres ligacoes ionicase) duas ligacoes metalicas

Quımica Aula 5

A Estrutura da Materia

Propriedades Gerais

De acordo com a teoria cinetica molecular, todas as formas demateria sao compostas de partıculas pequenas e que se mo-vem rapidamente. Ha duas razoes principais por que os gases,lıquidos e solidos diferem tanto uns dos outros. Uma e a rigidezdo empacotamento das partıculas e outra e a intensidade dasforcas atrativas entre elas. Podemos listar como propriedadesinfluenciadas por estas duas razoes o seguinte:

Compressibilidade

Num gas, as moleculas estao bastante separadas, de forma queha muito espaco vazio dentro do qual elas podem ser comprimi-das, por isso os gases sao bastante compressıveis. Entretanto,as moleculas num lıquido ou solido estao rigidamente empaco-tada se ha muito pouco espaco vazio entre elas, sendo entaovirtualmente incompressıveis.

Difusao

Comparadas com as moleculas de um lıquido ou solido, asmoleculas de um gas se difundem rapidamente, uma vez queas distancias que elas se movem entre as colisoes sao relati-vamente grandes. Em virtude de as moleculas num lıquidoestarem tao proximas, a distancia media que elas percorrem

entre as colisoes – o seu livre caminho medio – e muito pe-quena, onde estas sofrem bilhoes de colisoes antes de percorreruma distancia muito grande e essas interrupcoes impedem-nasde espalhar-se atraves do lıquido. A difusao dentro dos solidose muito mais lenta que nos lıquidos. Nao so as moleculas estaofortemente compactadas como, tambem, sao mantidas rigida-mente no mesmo lugar.

Volume e Forma

A propriedade mais obvia dos gases, lıquidos e solidos e a formacomo eles se comportam quando transferidos de um frascopara outro. Ambos, gases e lıquidos sao fluıdos; eles escoame podem ser bombeados de um lugar para outro. Um solido,porem, nao e um fluıdo e mantem tanto sua forma quanto seuvolume. As forcas inter-moleculares de um gas sao tao fracasque as moleculas podem facilmente superar essa forca e expan-dir para encher o recipiente. O que nao acontece num solido,cujas forcas atrativas mantem as moleculas mais ou menos fir-mes num lugar, de modo que elas nao podem se mover umasem torno das outras.

Tensao Superficial

Num lıquido cada molecula move-se sempre sob influencia dasmoleculas vizinhas. As moleculas na superfıcie de um certo re-cipiente sentem uma atracao na direcao do interior do lıquido.Para uma molecula chegar a superfıcie ela deve superar estaatracao. Ou seja, a energia potencial deve aumentar, entaodeve-se realizar trabalho para leva-las ate a superfıcie. Por-tanto, tornar a superfıcie de um lıquido maior requer um gastode energia e a quantidade de energia necessaria e entao a tensaosuperficial.

Evaporacao

Num lıquido ou num solido, assim como num gas, as moleculasestao constantemente sofrendo colisoes, dando assim origem auma distribuicao de velocidades moleculares individuais e, evi-dentemente, de energias cineticas. se algumas dessas moleculaspossuırem energia cinetica suficiente para superar as forcasatrativas dentro do lıquido ou do solido, elas poderao escaparatraves da superfıcie para o estado gasoso – elas evaporam. Nolıquido existem tres fatores que influenciam na velocidade deevaporacao: a temperatura, a area superficial e a intensidadedas atracoes superficiais.

Forcas de Atracao Inter-moleculares

As atracoes dipolo-dipolo sao, normalmente, consideravel-mente mais fracas do que as ligacoes ionicas ou co-valentes.A sua forca tambem diminui muito rapidamente a medida quea distancia entre os dipolos aumenta, de forma que a distanciaentre os dipolos aumenta, de forma que o seu efeito entre asmoleculas bastante afastadas de um gas e muito menor do queentre moleculas fortemente compactadas num lıquido ou numsolido. E por isso que as moleculas de um gas comportam-sequase como se nao houvesse atracao nenhuma entre elas.

Pontes de Hidrogenio

Acontece entre moleculas muito polares, onde a diferenca deeletronegatividade e muito acentuada, tendo H numa das ex-

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Quımica – Aula 5 135

tremidades da “ponte”. No estado lıquido ha pontes de hi-drogenio entre moleculas de agua. Como ha movimento dasmoleculas, as pontes de hidrogenio se quebram e se restabe-lecem em seguida. No estado solido as pontes de hidrogenioentre as moleculas de agua sao fixas e direcionadas segundoum angulo de 104, 5 entre suas ligacoes. Devido a direcaodas pontes de hidrogenio na agua solida, ficam espacos vaziosentre as moleculas, responsaveis pelo aumento de volume aocongelar.

Forca de Van der Waals (ou de London)

Essa forca pode aparecer entre atomos de um gas nobre (porexemplo, helio lıquido) ou entre moleculas apolares (CH4,CO2). O gelo seco quando sublima, passa do estado solidopara o estado gasoso, rompendo as forcas de Van der Waals eliberando as moleculas das influencias das outras. Sao as forcasinter-moleculares, tipo Van der Waals, que justificam a possi-bilidade de liquefazer os gases nobres. As moleculas podem seunir atraves de polarizacao induzida temporariamente.

Os Gases

Muitos gases sao capazes de sofrer reacoes quımicas uns comoutros. Observacoes experimentais feitas por Gay-Lussac for-maram a base da Lei de Combinacao dos Volumes

A Lei de Combinacao de Volumes

os volumes das substancias gasosas que sao produzidase consumidas numa reacao quımica estao numa razaode numeros inteiros pequenos, desde que os volumessejam medidos nas mesmas condicoes de temperaturae pressao.

A importancia das observacoes de Gay-Lussac foi posterior-mente reconhecida por Amadeo Avogadro. Ele propos queagora e conhecido como princıpio de Avogadro.

O Princıpio de Avogadro

sob condicoes de temperatura e pressao constantes,volumes iguais de gases contem numeros iguais demoleculas.

Uma vez que numeros de iguais de moleculas significamnumeros iguais de mols, o numero de mols de qualquer gasesta relacionado com o seu volume:

V ∝ n

onde n e o numero de mols do gas. Assim, a lei de Gay-Lussac e facilmente compreendida, uma vez que os volumesdos gases, reagentes e produtos, ocorrem nas mesmas razoesque os coeficientes na equacao balanceada.

O Mol

Sabemos que os atomos reagem para formar moleculas, man-tendo entre si razoes simples de numeros inteiros. Os atomosde hidrogenio e oxigenio, por exemplo, combinam-se numarazao de 2 para 1 a fim de formar a agua, H2O. Entretantoe impossıvel trabalhar com os atomos individualmente, devidoas suas dimensoes minusculas. Assim, em qualquer laboratorio

da vida real, devemos aumentar o tamanho destas quantidadesate o ponto em que possamos ve-las e pesa-las.

Infelizmente, por exemplo, uma duzia de atomos ou moleculase ainda uma quantidade muito pequena para se trabalhar;deve-se, portanto, encontrar uma unidade maior ainda. A“duzia de quımico”chama-se mol (unidade mol). Ele e com-posto de 6, 022× 1023 objetos. Entao:

1 duzia = 12 objetos

1 mol = 6, 02× 1023 objetos

O Volume Molar

E o volume ocupado por um mol de qualquer gas em condicoesnormais de temperatura e pressao (CNTP).

CNTP:

• temperatura de 0C ou 273 K;

• pressao de 1 atm ou 760 mmHg).

Verifica-se experimentalmente que o volume molar e de 22, 4 l(CNTP).

Conclusao:

MM g → 6, 02× 1023 moleculas→ 22, 4 l.

Observe que

1 mol ≈ 602.000.000.000.000.000.000.000

Pense um Pouco!

• Voce tem nocao de como funciona um freio de automovel?Ou que um freio tem em comum com o assunto que esta-mos tratando?

• De exemplos de elementos quımicos solidos que evaporam,sem que haja fusao.

Exercıcios de Aplicacao

1. (FUVEST) Em uma amostra de 1, 15 g de sodio, o numerode atomos existentes sera igual a (Na = 23):a) 6× 1022

b) 3× 1023

c) 6× 1023

d) 3× 1022

e) 1023

2. (ACAFE-00) Qual destas ligacoes e mais fraca?a) Eletrovalenteb) Co-valentec) Ponte de hidrogeniod) Van der Waalse) Metalica

3. (PUC) As pontes de hidrogenio aparecem:a) quando o hidrogenio esta ligado a um elemento muito ele-tropositivob) quando o hidrogenio esta ligado a um elemento muito ele-tronegativoc) em todos os compostos hidrogenadosd) somente em compostos inorganicose) somente em acidos de Arrhenius

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136 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Exercıcios Complementares

4. (Osec-SP) Tem-se 1 litro de He; 1 litro de H2; 1 litrode CO2; e 1 litro de NH3, todos estes gases nas CNTP emrecipientes separados. O recipiente que possui maior numerode moleculas e o que contem:a) Heb) H2

c) CO2

d) NH3

e) o numero de moleculas e o mesmo em cada um dos quatrorecipientes.

5. (PUC-RS) Os elevados pontos de ebulicao da agua, doalcool etılico e do fluoreto de hidrogenio sao explicados:a) atraves das pontes de hidrogenio inter-molecularesb) pelas macro-moleculas formadasc) atraves de forcas de Van der Waalsd) pelas ligacoes co-valentes dativas que se formam entremoleculas destes compostose) atraves das pontes de hidrogenio intra-moleculares

6. (PUC) Qual a massa total da seguinte mistura: 0, 25 molde oxigenio mais 3 × 1022 moleculas de oxigenio mais 3 g deoxigenio? Dado: MMO = 16 g.a) 11, 8 gb) 12, 6 gc) 23, 6 gd) 32 ge) 34 g

Quımica Aula 6

Teoria Cinetica dos Gases

As moleculas de um gas ocupam o volume do recipiente queas contem. A energia que mantem as moleculas de um gas emmovimento e a energia cinetica, que e diretamente proporcionala temperatura absoluta (Kelvin).

Ec ∝ T onde

Ec = energia cinetica

T = temperatura de Kelvin

Gas Ideal

Um gas e considerado perfeito (ideal) quando obedece as se-guintes condicoes:

• No estado gasoso o movimento das moleculas ocorre demaneira contınua e caotica, descrevendo trajetorias re-tilıneas;

• O volume da molecula e desprezıvel em relacao ao volumedo recipiente que a contem;

• Uma molecula nao sente a presenca da outra (nao ha in-teracao, forcas de Van der Waals, entre as moleculas);

• Os choques entre as moleculas, se ocorrerem, sao perfeita-mente elasticos (a molecula nao ganha nem perde energiacinetica)

Gas Real

Um gas real se aproxima do comportamento de um gas perfeitoa medida que se torna mais rarefeito (diminui o numero demoleculas) e se encontra a baixa pressao e a alta temperatura.

Leis dos Gases Ideais

O estado de um gas e definido quando sabemos sua pressao,temperatura, e volume Essas grandezas sao as variaveis deestado de um gas e sao inter-dependentes.

Se mantivermos constante uma de suas variaveis, poderemosestudar de que maneira variam as outras.

Transformacao Isotermica (Lei de Boyle-Mariotte)

a uma temperatura constante, o volume ocupado poruma quantidade fixa de gas e inversamente proporci-onal a pressao aplicada.

Isso pode ser expresso matematicamente como:

V ∝ 1

P(2.1)

A proporcionalidade pode ser transformada numa igualdadepela introducao de uma constante de proporcionalidade. As-sim,

V ∝ 1

PPV = constante

p1V1 = p2V2

Desta forma, a temperatura constante, se aumentarmos apressao, o volume diminui; se diminuirmos a pressao o volumeaumenta.

Transformacao Isobarica (Lei de Charles)

a pressao constante, o volume de uma dada quantidadede um gas e diretamente proporcional a sua tempera-tura absoluta.

Escrevendo esta Lei matematicamente, temos:

V ∝ T (2.2)

Transformando a proporcionalidade em igualdade e rearran-jando, obtemos

V

T= constante (2.3)

V1

T1=

V2

T2(2.4)

Desta forma, se a pressao e constante, a medida que aumen-tarmos a temperatura o volume ocupado pelo gas aumentara;diminuindo a temperatura, o volume diminuira.

Page 146: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica – Aula 6 137

Transformacao Isocorica, Isometrica ou Isovo-lumetrica (Lei de Charles-Gay Lussac)

a volume constante, a pressao e diretamente propor-cional a temperatura.

Matematicamente temos que:

P ∝ T (2.5)

ou tambem,

P

T= constante (2.6)

p1

T1=

p2

T2(2.7)

Se aumentarmos a temperatura, a pressao aumentara; se di-minuirmos a temperatura, a pressao diminuira.

Lei Combinada dos Gases

As equacoes correspondentes as leis de Boyle-Mariotte eCharles-Gay Lussac podem ser incorporadas em uma unicaequacao, que e util para muitos calculos. Esta e

PiVi

Ti=

PfVf

Tf(2.8)

Da mesma forma que para as leis separadas, a lei combinadados gases verifica-se somente se a quantidade de gas for cons-tante. Onde o gas deve estar submetido as CNTP .

Lei dos Gases Ideais

Discutimos, assim, tres relacoes (2.1, 2.2, 2.5) de volume a queum gas ideal obedece.

Podemos combina-las, para obter

V ∝ n

(1

P

)

(T ) ou (2.9)

V ∝(

nT

P

)

(2.10)

Casos Particulares

• Se n e T forem constantes na equacao (2.10) teremos a leide Boyle-Mariotte;

• Se n e P forem constantes na equacao (2.10) teremos a leide Charles-Gay Lussac;

• Se P e T forem constantes na equacao (2.10) teremos oPrincıpio de Avogadro;

A proporcionalidade na equacao (2.10) pode ser transformadanuma igualdade, pela introducao de uma constante de propor-cionalidade, R, chamada de constante universal dos gases.Daı, temos:

V =nRT

Pou (2.11)

PV = nRT (2.12)

onde R = 8, 31J/mol ·K.

A equacao (2.12) e obedecida por apenas um gas ideal hi-potetico e e uma expressao matematica da lei dos gases ide-ais. E tambem chamada equacao de estado do gas ideal, por-que relaciona as variaveis (P, V, n, T ) que especificam as pro-priedades fısicas do sistema.

Lei das Pressoes Parciais de Dalton

E simplesmente a pressao que o gas exerceria se estivesse so-zinho no recipiente, ocupando o volume total da mistura namesma temperatura. Segundo as observacoes de John Dalton,a pressao total e igual a soma das pressoes parciais de cadagas, na mistura. Esta afirmativa e conhecida como a lei daspressoes parciais de Dalton que pode ser expressa por:

PT = pa + pb + pc + · · · (2.13)

onde PT e a pressao total da mistura e pa , pb , pc sao aspressoes parciais dos gases a, b c.

Pressao parcial (P ′) e o produto da fracao molar pela pressaototal dos gases.

P ′gas = Xgas · Ptotal mistura (2.14)

Volumes Parciais

Volume parcial e o volume que o gas ocuparia estando sozinhoe sendo submetido a pressao total, na temperatura da mistura.O volume total e a soma dos volumes parciais de cada gas, namistura. Esta afirmativa e conhecida como a lei de Amagat.

O volume parcial (V) e dado pelo produto de fracao molar dogas pelo volume total da mistura.

V ′gas = Xgas · Vtotal mistura (2.15)

Mudancas de Estado Fısico

Uma substancia pura pode apresentar-se sob tres formas deagregacao da materia: solido, lıquido, gasoso (aceita-se oquarto estado da materia: plasma). Cada fase depende dascondicoes fısicas de pressao e temperatura.

Fusao e Solidificacao

Na fase solida, as moleculas de uma substancia estao forte-mente ligadas entre si, formando um reticulado cristalino.

Fornecendo calor a um solido, as moleculas absorverao a ener-gia, aumentando a amplitude de sua vibracao, rompendo oreticulado cristalino e passando para a fase lıquida, onde asmoleculas estao ligadas entre si com menor intensidade do quena fase solida.

• A temperatura em que ocorre a passagem de fasesolida para a lıquida e denominada ponto de fusao.

• A temperatura em que ocorre a passagem de faselıquida para a solida e denominada ponto de solidi-ficacao.

• Nas substancias puras, o ponto de fusao e solidi-ficacao coincidem, se a pressao for mantida constante.

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Vaporizacao e Condensacao

A vaporizacao e a passagem da fase lıquida para a gasosa.Existem tres maneiras de se efetuar a vaporizacao:

1. Vaporizacao tıpica ou ebulicao: mudanca de fase adeterminada pressao e temperatura. Por exemplo, a aguaentra em ebulicao a 100 C e a pressao de 1 atm.

2. Evaporacao: fenomeno que se observa a qualquer tem-peratura, atraves da superfıcie exposta ao meio ambiente.Isso ocorre porque as moleculas com maior velocidade es-capam atraves da superfıcie livre do lıquido. Ao ocorreruma evaporacao, a temperatura do lıquido diminui poisao escaparem as moleculas com maior velocidade, dimi-nui a energia cinetica. Quanto maior a area livre maior aevaporacao.

3. Calefacao: fenomeno que ocorre a temperaturas acimada temperatura normal de vaporizacao. E observavel, porexemplo, ao se deixar cair uma gota d’agua numa chapade metal, a uma temperatura acima de do ponto de vapo-rizacao.

A condensacao e a passagem de uma substancia da fase ga-sosa para a lıquida. Ela pode ocorrer, tambem, a temperaturaambiente. Por exemplo, ao se colocar agua gelada num copo,observa-se a condensacao do vapor de agua do ar na sua paredeexterna.

Solid

ifica

cao

Liquido

GasosoSolido

Sublimacao Inversa

Sublimacao

Condensacao

Vaporizacao

Fusa

o

Figura 2.1: Mudancas de estados: solido, lıquido e gas.

Diagrama de Fases

Colocando-se em um unico diagrama, as curvas de equilıbrioentre as fases de uma substancia pura, tem-se o diagrama defases.

O ponto de equilıbrio entre as tres fases e denominado pontotriplo ou trıplice (PT ).

Para o dioxido de carbono (CO2), o ponto triplo e definidopor:

• temperatura: −56, 6 C

• pressao: 5 atm

A agua tem o seu ponto triplo definido por:

Para o dioxido de carbono (CO2), o ponto triplo e definidopor:

• temperatura: 0, 01 C

• pressao: 4, 58 mmHg

1

2

3

P

PSolido

p

θ

Gas

Liquido

Vapor

C

T

Figura 2.2: Diagrama de fase tıpico.

2

1

3

P

P

p

θ

Gas

Vapor

C

T

Solido

Liquido

Figura 2.3: Diagrama de fase da agua.

Sublimacao

Abaixo da temperatura do ponto triplo, existe uma curva de-nominada curva de sublimacao, que representa as condicoesde pressao e temperatura nas quais uma substancia pode pas-sar diretamente da fase solida para fase gasosa ou vice-versasem se transformar em lıquido.

Pense um Pouco!

• Por que dentro de uma panela de pressao, e possıvelmanter-se a agua na fase lıquida acima dos 100 C? Quaissao os benefıcios que isso nos traz?

• E possıvel ferver agua a temperatura ambiente? Como?

Exercıcios de Aplicacao

1. (MACK-SP) Assinale a afirmacao correta:a) O ponto de fusao e o ponto de ebulicao da agua aumentamcom o aumento da pressao.b) O ponto de fusao e o ponto de ebulicao da agua diminuemcom o aumento da pressao.c) O ponto de fusao da agua diminui e o ponto de ebulicao da

Page 148: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica – Aula 7 139

agua aumentam com o aumento da pressao.d) O ponto de fusao da agua aumenta e o ponto de ebulicaoda agua diminui com o aumento da pressao.e) O ponto de fusao e o ponto de ebulicao da agua nao saoalterados com o aumento da pressao.

2. (STA. CASA-SP) Quando voce assopra a sua pele umidade agua, sente que a pele esfria. Isto se deve ao fato de:a) o sopro arrasta ar mais frio que a pele.b) a pele esta mais fria do que a agua.c) a agua e normalmente mais fria do que o ar.d) o sopro e mais frio do que a agua.e) a agua absorve calor da pele para evaporar-se.

3. (ACAFE) Bolinhas de naftalina sao colocadas nos roupeirospara combater as tracas pois elas danificam as roupas. Como tempo as bolinhas diminuem de tamanho. A causa dissodeve-se:a) a sua liquefacao.b) ao consumo da naftalina pelas tracas.c) a sua condensacao.d) a sua fusao.e) a sua sublimacao.

Exercıcios Complementares

4. (VUNESP) Indique a alternativa que indica um fenomenoquımico:a) Dissolucao de cloreto de sodio em agua.b) Fusao da aspirina.c) Destilacao fracionada de ar lıquido.d) Corrosao de uma chapa de ferro.e) Evaporacao da agua do mar.

5. (ACAFE) Do petroleo podemos extrair varios materiaisimportantes para o homem, como a gasolina, o GLP, a para-fina, o metano e outros. Sobre o petroleo e seus derivados naopodemos afirmar:a) a gasolina e uma mistura de alcanos.b) GLP e a sigla para Gas Liquefeito de Petroleo e e basica-mente uma mistura homogenea dos gases propano e butano.c) a parafina e uma mistura de alcanos superiores ou seja degrandes massas moleculares.d) o petroleo e uma mistura heterogenea.e) o gas metano principal componente do gas natural, conhe-cido como gas do lixo, so pode ser obtido a partir do petroleo.

(ACAFE) Algumas substancias em contato com a pele, nosdao uma sensacao de estarem frias. Dentre elas podemos des-tacar o eter comum. Isso ocorre por que:f) o eter ao cair na pele, evapora, e este e um processoexotermico.g) o eter ao cair na pele, evapora, e este e um processo en-dotermico.h) o eter reage endotermicamente com substancias da pele.i) o eter sublima.j) o eter e resfriado.

Quımica Aula 7

Acidos e Bases

Nesta aula serao apresentados dois conceitos quımicos funda-mentais: acido e base.

Acidos e Bases de Arrhenius

Funcoes Quımicas sao grupos de substancias com propriedadessemelhantes. As funcoes inorganicas sao quatro: acidos, bases,sais e oxidos.

Acidos sao compostos com sabor azedo (vinagre, frutascıtricas), que reagem com bases formando sal e agua.

Bases sao compostos de sabor adstringente (leite de magnesia- Mg(OH)2) que reagem com acidos dando sal e agua.

Acidos e Bases atuam sobre indicadores coloridos - substanciasque possuem duas coloracoes, dependendo do meio em que seencontram.

Indicador Meio Acido Meio Basico

Tornassol Vermelho AzulFenolftaleına Incolor Vermelho

Definicoes de Arrhenius

Acido e qualquer composto molecular que em solucao aquosasofre ionizacao liberando como unico cation o ıon H+ ou H3O

+

(hidroxonio ou hidronio).

Exemplos

HCl + H2O→ H+ + Cl−

HNO3 + H2O→ H+ + NO−3

H2SO4 + H2O→ 2H+ + SO−24

H3PO4 + H2O→ 3H+ + PO−34

Dizemos que o acido, que era um composto co-valente, na pre-senca de agua ionizou, e formou ıons.

Grau de ionizacao (α) e a razao do numero de moleculas ioni-zadas para um total de moleculas inicialmente dissolvidas emagua. A forca de um acido esta associada ao maior ou menorgrau de ionizacao do mesmo.

α =n.o de moleculas ionizadas

total de moleculas dissolvidas

Caracterısticas

• Apresentam sabor azedo;

• Tornam vermelho o papel tornassol azul e a fenolftaleınade vermelha para incolor;

• Conduzem corrente eletrica em solucao aquosa;

• Quando adicionados ao marmore ou carbonatos, produ-zem uma efervescencia com liberacao de gas carbonico.

Classificacao

Em geral, pode-se classificar os acidos quanto a:

Presenca de Oxigenio

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140 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

• Hidracidos: nao apresentam oxigenio na molecula;HCl, HCN, H2S

• Oxiacidos: apresentam oxigenio na molecula.HNO3, H2SO4, H3PO4

Numero de Hidrogenios Ionizaveis

• Mono-acidos: apenas um hidrogenio ionizavel;HCl, HCN, HNO3

• Diacidos: dois hidrogenios ionizaveis;H2S, H2SO4, H2CO3

• Triacidos: tres hidrogenios ionizaveis. H3SO3, H3PO4

Mas tome cuidado:

H3PO2 → mono-acido (um hidrogenio ionizavel)

H3PO3 → diacido (dois hidrogenios ionizaveis)

Volatilidade

• Volatil: todos os hidracidos;

• Fixo: todos os oxiacidos.

Estabilidade

• Instavel: so existem dois acidos instaveis;

H2CO3 → H2O + CO2

H2SO3 → H2O + SO2

• Estaveis: todos com excessao dos acidos carbonico e sul-furoso.

Forca

• Para Hidracidos:

– Fortes: HCl, HI, HBr

– Moderado ou Semi-Forte: HF

– Fracos: HCN, H2S

• Para Oxiacidos: m = N0 −NH+

– Fraco: quando m = 0;

– Moderado ou Semi-Forte: quando m = 1;

– Forte: quando m = 2;

– Muito Forte: quando m = 3.

– Exemplos:

HCl→ m = 0 fraco

H2CO3 → m = 1 moderado

H2SO4 → m = 2 forte

HClO4 → m = 3 muito forte

Nomenclatura dos Acidos

Hidracidos

Nomenclatura: Acido (nome do elemento)ıdrico.

Quando ionizado, um hidracido produz ao lado do cation H+

ou H3O+, um anion com terminacao eto. Conforme exemplo

abaixo:

HCl: Acido Clorıdrico H+ + Cl−: Cloreto. (na presencade H2O)

Oxiacidos

Nomenclatura: Acido (nome do elemento)

oso(menos oxigenado)ico(mais oxigenado)

Conforme podemos ver no exemplo abaixo:

H2SO3: Acido Sulfuroso 2H+ + SO−23 : Sulfito. (na pre-

senca de H2O)

H2SO4: Acido Sulfurico 2H+ + SO−24 : Sulfato. (na pre-

senca de H2O)

Bases

Bases ou Hidroxidos sao substancias que, ao serem dis-solvidas em agua, sofrem dissociacao ionica, originandoo “anion”OH−, denominado hidroxila ou oxidrila. Oshidroxidos sao compostos formados por um metal ou um ıonpositivo, ligado a hidroxila. Observe abaixo a dissociacaoionica de algumas bases em solucao aquosa:

NaOH → Na+ + OH−

Fe(OH)3 → Fe+3 + 3OH−

NH4OH → NH+4 + OH−

Caracterısticas das Bases

• Apresentam sabor amargo;

• Reagem com os acidos produzindo sal;

• Tornam azul o papel tornassol vermelho e a fenolftaleınade incolor para vermelha;

• Conduzem corrente eletrica em solucao aquosa;

• Sao untuosas ao tato.

Classificacao das Bases

Classifica-se as bases quanto a:

Numero de Hidroxilas (OH−)

• Mono-base: possui apenas uma hidroxila. Exemplo:KOH ;

• Dibase: possui apenas duas hidroxilas. Exemplo:Ca(OH)2;

• Tribase: possui tres duas hidroxilas. Exemplo: Al(OH)3;

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Quımica – Aula 7 141

• Tetrabase; possui apenas quatro hidroxilas. Exemplo:Pb(OH)4.

Solubilidade em Agua

• Soluveis: bases formadas pelas famılias 1A, 2A eNH4OH ;

• Insoluveis: todas as demais bases.

Forca

• Forte: quando a base e dissolvida em agua, ocorre dis-sociacao ionica quase que totalmente. Bases de metaisalcalinos (1A) e de metais alcalinos terrosos (2A);

• Fraca: todas as demais bases.

Outros Conceitos de Acidos e Bases

Conceitos de Bronsted-Lowry

Acido

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de doar umproton na forma de H+.

Base

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de receber umproton na forma de H+.

Exemplos

HCl(Acido) + H2O(Base)

H3O+(Acido) + Cl−(Base) (2.16)

NH3(Acido) + H2O(Base)

NH4(Acido) + OH−(Base) (2.17)

Par Conjugado Acido–Base

Chamamos de par conjugado as especies quımicas que diferementre si por um H+. No exemplo (2.16) temos o seguinte parconjugado acido-base:

HCl − (acido forte)(grande facilidade doar eletrons)Cl− − (base fraca)(pequena facilidade de receber eletrons)

Isso explica por que a reacao tende para o sentido direito, ouseja, da esquerda para direita.

Conceito de Lewis

Acido

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de aceitar umpar de eletrons atraves da ligacao coordenada dativa.

Base

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de doar umpar de eletrons atraves da ligacao coordenada dativa.

Exemplo

AlCl3(Acido) + : Cl−(Base)→ AlCl−4

Comparando Conceitos

• Lewis: o mais geral;

• Bronnsted-Lowry: bem amplo;

• Arrhenius: o mais limitado.

• Um acido ou base de Arrhenius sera tambem deBronnsted-Lowry e de Lewis;

• Um acido ou base de Bronnsted-Lowry pode ou nao serde Arrhenius, mas sera de Lewis;

• Existem acidos e bases de Lewis que nao sao de Bronnsted-Lowry nem de Arhenius.

Estequiometria

E o calculo da quantidade de reagentes necessarios e de produ-tos obtidos numa determinada reacao quımica. Baseia-se nasLeis de Lavoisier (conservacao das massas), Proust (proporcaodas massas) e Gay Lussac (proporcao de volumes).

Fundamenta-se no fato de que a proporcao de mols entre rea-gentes e produtos numa reacao e constante, dada pelos coefi-cientes estequiometricos.

Outro fundamento do calculo estequiometrico e a definicao demol.

O mol

• Pesa: MMg (MM=Massa Molecular);

• Possui: 6, 02× 1023 moleculas;

• Ocupa: 22, 4 l (gas nas CNTP).

Exemplo

Dada a reacao de combustao da acetona:

C3H6O → CO2 + H2O

Balanceando a equacao pelo metodo das tentativas, chegare-mos aos seguintes coeficientes menores e inteiros:

1 C3H6O (1 mol) + 4 O2 (4 mols)→3 CO2 (3 mols) + 3 H2O (3 mols)

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142 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Pense um Pouco!

• O que voce entende por chuva acida? Ela pode trazeralgum malefıcio a vida humana?

• Enumere algumas substancias acidas e basicas de usodiario.

Exercıcios de Aplicacao

1. Um tanque de automovel esta cheio com 60 litros de alcoolhidratado (96% alcool). A densidade e de 0, 9 g/ml. Dada suaequacao de combustao completa

1C2H5OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2O

indique:a) a massa da agua obtida ao queimar-se todo o alcool dotanque;b) o volume de gas carbonico que sai do escapamento, supondocombustao completa.

2. (ACAFE) Em regioes industriais o anidrido sulfuroso(SO2), resultante da queima de combustıveis fosseis, da origema chuva acida na atmosfera devido a sua oxidacao e contatocom a precipitacao pluviometrica. Em relacao a estas regioes,a alternativa falsa e:a) Sao Paulo e Cubatao sao exemplos de cidades onde a in-cidencia de chuvas acidas e bastante acentuada;b) Ocorre uma oxidacao dos portoes de ferro com uma inten-sidade bem maior que em regioes distantes das regioes indus-triais;c) As plantacoes sao bastante afetadas, pois a chuva diminuio pH do solo, retardando o crescimento das mesmas;d) A vegetacao pode vir a secar completamente, caso o perıododas chuvas seja prolongado;e) Nao e recomendada a utilizacao de portoes de alumınio por-que este e atacado pela chuva acida.

3. (FUVEST) Um elemento metalico M forma um cloreto deformula MCl3. A formula de seu sulfato e:a) M2SO4

b) MSO4

c) M2(SO)3d) M(SO)4e) M(SO)3

Exercıcios Complementares

4. (COMVESUMC) O acido que corresponde a classificacaomono-acida, oxiacido, e ternario e:a) HNO3

b) H2SO4

c) H3PO4

d) HCle) HCNO

5. O amonıaco usado para fins de limpeza e uma solucaoaquosa de amonia que contem ıons:a) hidroxilab) sulfatoc) nitrato

d) calcioe) sodio

6. Temos a seguinte equacao:

2O3 → 3O2

Os numeros 2 e 3 que aparecem ao lado esquerdo da equacaorepresentam, respectivamente:a) coeficiente estequiometrico e numero de atomos da moleculab) coeficiente estequiometrico e numero de moleculasc) numero de moleculas e coeficiente estequiometricod) numero de atomos da molecula e coeficiente este-quiometricoe) numero de atomos da molecula e numero de moleculas

Quımica Aula 8

Solucoes Quımicas

Concentracao

Voce ja reparou, por exemplo, que numa dada quantidade deagua podemos dissolver quantidades menores ou maiores de salcomum, desde que evidentemente, nao ultrapassemos o pontode saturacao.

Pois bem, chama-se concentracao de uma solucao a todae qualquer maneira de expressar a proporcao existente numadada solucao.

Usaremos a seguinte convencao:

ms → massa do soluto

msv → massa do solvente

mt → massa do solucao

onde

mt = ms + msv (2.18)

Tıtulo τ

E o quociente de massa do soluto pela massa total da solucao(soluto + solvente).

T =ms

msv(2.19)

ou

τ =ms

ms + msv(2.20)

sendo o tıtulo uma grandeza adimensional.

Porcentagem em Massa P

E o quociente da massa do soluto (multiplicado por 100) pelamassa total da solucao (soluto + solvente).

P =ms

mt× 100% (2.21)

onde a relacao entre porcentagem em massa e tıtulo e

P = τ × 100% (2.22)

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Quımica – Aula 8 143

Concentracao Comum C

E o quociente da massa do soluto (emgramas), pelo volumeda solucao (emlitros).

C =ms

V(2.23)

onde a relacao entre a concentracao comum, tıtulo e densidadeda solucao e

C = d · τ · 1000 (2.24)

Onde:

C → Concentracao Comum (g/l)

d→ Densidade (g/ml)

τ → Tıtulo

Molaridade M

Concentracao em Mol/l ou Molaridade M e o quociente donumero de mols do soluto pelo volume da solucao (em litros).Sendo:

ns → numero de mols do soluto

d→ massa do soluto (g)

Ms → massa molar do soluto (g)

V → volume da solucao (l)

M → molaridade (mols)

M =ns

V(2.25)

onde

ns =ms

Ms(2.26)

Equivalente-Grama

E a massa molar do soluto dividida pela carga total do cationou do anion de uma substancia.

E =M

x(2.27)

sendo

M → massa molar

x→ carga do cation ou anion

Para um acido: x→ no de H+

Para um base: x→ no de OH−

Numero de Equivalentes-Gramas

Corresponde a massa da amostra pelo equivalente-grama dasubstancia.

NE =ms

E(2.28)

Normalidade

E o numero de equivalentes-gramas do soluto dividido pelovolume da solucao em litros.

N =NE

V(2.29)

Observacao: a melhor maneira de se calcular a normalidadee a partir da molaridade, usando a expressao:

N = M · x (2.30)

Resumo das Principais Equacoes

Relacoes das Massas

m = m1 + m2

Numero de Mols

n1 =m1

mol1

Densidade

d =m

V

Tıtulo

T =m1

m

Porcentagem em Massa

P = 100 · m1

m

Concentracao (g/l)

C =m1

V

Molaridade

M =n1

V

Molalidade (mol/kg) de solvente

W =n1

m2

Concentracao em Equivalentes-Gramas

N =Ne1

V

Numero de Equivalentes-Gramas

Ne1 =m

E

Equivalentes-Gramas

E =mol

x

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144 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Pense um Pouco!

• Pense em possıveis aplicacoes dos conceitos apresentadosate aqui, referentes a solucoes e cite alguns exemplos.

• Se fervermos uma solucao de agua+sal, e a agua for eva-porando, o que acontece com as propriedades da solucao(M , τ , P , etc)?

Exercıcios de Aplicacao

1. (ACAFE) A massa de BaCl2 necessaria para preparar 25litros de solucao 0, 1 M deste sal sera:a) 208 gb) 520 gc) 260 gd) 416 ge) 71 g

2. (ACAFE) A ureia, NH2CONH2, e um produto do meta-bolismo de proteınas. Que massa de ureia e necessaria parapreparar 500 ml de uma solucao 0, 20 M?a) 5, 1 gb) 12, 0 gc) 18, 0 gd) 24, 0 ge) 6, 0 g

3. (ACAFE) A concentracao de NaCl na agua do mar e de0, 43 mol/l. O volume em l, de agua do mar que deve serevaporado completamente para a producao de 5 kg de sal decozinha e aproximadamente:a) 12 lb) 25 lc) 40 ld) 200 le) 430 l

Exercıcios Complementares

4. (ACAFE) Para uma solucao a 20 % em massa e densidade4 g/ml, calcule a concentracao em g/l.a) 80 g/lb) 800 g/lc) 8 g/ld) 8000 g/le) 400 g/l

5. (ACAFE) Uma gota de agua ocupa um volume aproxi-mado de 0, 0500 ml. Sabendo-se que a densidade da agua e1, 00 g/cm3. O numero de moleculas por gota de agua sera:a) 1, 67× 1021

b) 1, 67× 1023

c) 6, 00× 1023

d) 6, 00× 1021

e) 3, 00× 1021

6. Uma solucao de AgNO3 a 1, 00 % em agua e utilizadapara tratar os olhos de recem-nascidos. Sendo a densidade dasolucao 1, 08 g/ml, a sua molaridade em mol/l e:a) 1, 0 mol/lb) 0, 10 mol/l

c) 20 mol/ld) 0, 5 mol/le) 0, 06 mol/l

Quımica Aula 9

Equilıbrio Ionico

E um equilıbrio quımico em que aparecem ıons. Ocorre comacidos bases e os sais, considerados eletrolitos.

Exemplos

HCN ←→ H+ + CN−

α =no de moles dissociados

no inicial de moles

ou seja

α = grau de dissociacao ionica

A constante de ionizacao segue a Lei de Guldeberg-Waage.

HCN ←→ H+ + CN−

Ka =[H+].[CN ]

[HCN ]

Ka = constante de dissociacao ionica para acidos,Kb = para basespKa = −logKa

Ka = 4, 0× 10−10

pKa = −log(4, 0× 10−10)pKa = 9, 4

Quanto maior α → maior ionizacao → maior e o numeradorna expressao da constante → maior e K.

A partir da expressao de Ka, quanto mais ionizado o acido seencontra:

- maior a quantidade de ıons em solucao;

- menor a quantidade de acido nao-ionizado;

- maior o valor de Ka.

A forca de um acido e medida pela sua capacidade de produzirıons H+ em solucao aquosa. Portanto, quanto maior o valorde Ka:

- maior a capacidade de ionizacao do acido;

- maior quantidade de ıons H+ produzida;

- maior e a forca do acido.

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Quımica – Aula 9 145

Lei da Diluicao de Ostwald

Vamos ver o que ocorre com o grau de ionizacao (α) ao fazer-mos uma diluicao da solucao por acrescimo de solvente. Paraisso, consideremos a ionizacao de um acido HA:

HA(aq) ←→ H+(aq) + A−

(aq)

Inıcio n 0 0Equilıbrio n - x x x

α =no de moleculas ionizadas

no de moleculas adicionadas

x/n = x = αn

[H+] = x/V = nα/V

[A−] = x/V = nα/V

[HA] = n− x/V = n− nα/V = n(1− α)/V

Ka =[H+] [A−]

[HA]=

nα/V ∗ nα/Vn(1−α)

V

Ka =nα ∗ nα

V V∗ V

n(1− α)

Ka =nα2

−(1− α)

Ka =Cnα2

1− α

Esta expressao representa a Lei de Diluicao de WilhelmOstwald (1853-1932), quımico alemao.

Vejamos como interpretar essa lei.

Considerando uma diluicao por acrescimo de solvente, temosque, se o volume aumenta, devido ao acrescimo de solvente, aconcentracao em quantidade de materia diminui:

n/V = Cn −→ V aumenta←→ Cn diminui

admitindo um aumento indefinido de volume, ou seja, V ten-dendo ao infinito, Cn vai tender a zero. Entao, na expressaoda lei, se Cn tende a zero, Cnα2 tambem tende a zero:

Ka =Cnα2

1− α= Cnα2 = Ka(1 − α)

se Cnα2 tende a zero, entao Ka(1 − α) tambem tende a zero(Ka e constante). Logo:

Ka(1 − α) tende a 0 −→ 1 − α tende a zero −→ −α tende a-1 −→ α tende a 1.

O fato de o grau de ionizacao tender a 1 significa que aionizacao tende a ser total (100%), ou seja, o numero demoleculas ionizadas tende a ser igual ao de moleculas adici-onadas: α = x/n, x = nα, x = n, (α = 1)

“O acrescimo de solvente de uma solucao, ou seja, uma di-luicao, provoca um aumento do grau de ionizacao”.

Voce Sabia?

O odor do peixe e causado pela presenca de aminas proveni-entes da decomposicao de algumas proteınas do peixe. Estescompostos organicos sao basicos e, portanto, para retirar o seucheiro desagradavel das maos, basta adicionar um acido, comoo vinagre ou limao. Uma das aminas causadoras do odor e ametilamina, que apresenta o seguinte equilıbrio:

CH3 −NH2︸ ︷︷ ︸

Metilamina

+H2O ←→ CH3 −NH+3 + OH−

︸ ︷︷ ︸

Base

A adicao de acidos desloca o equilıbrio para a direita, elimi-nando o odor causado pela amina.

Pense um Pouco!

• O grau de dissociacao ionica do acido acetico, em solucao0,02 molar, e de 3% a 25 C. Calcule a constante deionizacao α desse acido a 25 C.

Exercıcios de Aplicacao

1. (Acafe-SC) Assinale a alternativa que corresponde ao graude ionizacao do acido cianıdrico, HCN, numa solucao 0,01 mo-lar, sabendo que a sua constante de ionizacao e de 4.10-10 (considerar 1− α = 1).a) 0, 02b) 2× 104

c) 2× 10−4

d) 4× 10−2

e) 4× 10−4

2. (UFSM-RS) Considere as constantes de ionizacao dosacidos I, II e III:KI = 7, 0× 10−5,KII = 1, 0× 10−7,KIII = 2, 0× 10−9

Colocando-se em ordem crescente de acidez, tem-se:a) I, II e III.b) I, III e II.c) II, III e I.d) III, I e II.e) III, II e I.

3. (UDESC) Somente tem significado definir constante de io-nizacao para:a) Acido fortes.b) Bases fortes.c) Sais soluveis em agua.d) Eletrolitos fracos em solucoes concentradas.e) Eletrolitos fracos em solucoes diluıdas.

Exercıcios Complementares

4. (PUC-SP) Na temperatura ambiente, a constante de io-nizacao do acido acetico e 1, 80 × 10−5. Determine a molari-dade da solucao onde o acido se encontra 3% dissociado.a) 1, 94× 10−2 molar.b) 3, 00× 10−2 molar

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146 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

c) 5, 82× 10−4 molard) 5, 40× 10−5 molare) 5, 40× 10−7 molar

5. (USP-SP) O grau de ionizacao do acido acetico (HAc),numa solucao 0,5M, e de 6 × 10−1%. Calcule a constante deionizacao desse acido.

6. (UDESC) O peixe cru, preparado com suco de limao ouvinagre, e consumido em diversos paıses. Esse prato e facildigestao, porque o suco de limao ou vinagre:a) Forma solucao basica e nao hidrolisa as proteınas do peixe.b) Forma solucao acida e nao hidrolisa as proteınas do peixe.c) E solucao basica e hidrolisa as proteınas do peixe.d) Forma a solucao acida e hidrolisa as proteınas do peixe.

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Quımica B – Aula 1 147

Quımica B Aula 1

O que e Quımica?

Quımica e a ciencia que estuda a natureza da materia, suaspropriedades, suas transformacoes e a energia envolvida nessesprocessos.

A quımica esta presente em toda materia organica einorganica, natural e artificial e tem contato diario e diretocom o homem.

Um Pouco de Historia...

Podemos dizer que tudo comecou com o homem primitivo,quando ele aprendeu a “produzir o fogo”, a coser seus alimen-tos, a fazer tintas para se pintar, a usar plantas como remediopara suas doencas, etc. No comeco da era crista, surgiram oschamados alquimistas, que sonhavam em descobrir o “elixirda longa vida”, aperfeicoaram tecnicas de metalurgia, intro-duziram a quımica medicinal, sintetizaram varias substancias,isolaram outras, alem de terem registrado um grande numerode experimentos em suas observacoes.

A partir do seculo XVII, a ciencia se transforma, tornando-semais experimental e menos filosofica. Dentre os cientistas comessa nova proposta, destacam-se o ingles Robert Boyle(1627-1691)- com seus estudos sobre o comportamento dos gases, adistincao entre mistura e “combinacao”, e o frances AntoineLaurent Lavoisier (1743-1794) publicou (Tratado elementar deQuımica) que estabeleceu um marco na quımica moderna, noqual podemos destacar o Princıpio da Conservacao da Massa, adescoberta do elemento oxigenio e sua analise quantitativa dacomposicao da agua. Por seu trabalho, Lavoisier e consideradoo “pai da Quımica”.

A Importancia da Quımica

Podemos dizer que tudo a nossa volta e quımica, pois todos osmateriais que nos cercam passaram ou passam por algum tipode transformacao. A quımica proporciona progresso, desenvol-vimento e atraves do uso dela que suprimos as necessidades:O uso de materiais de limpeza e higiene, roupas de fios artifici-ais, desenvolvimento da industria farmaceutica, fertilizantes epesticidas para plantacao, produtos industrializados cuja ob-tencao depende de transformacoes quımicas como plasticos,vidros, tintas, cimento etc.

Metodo Cientıfico

Desenvolvido por Galileu Galilei o m¯

etodo cientıfico e a base detoda a Ciencia, pois sintetiza o conjunto de atividades que vi-sam observar, experimentar, explicar e relacionar os fenomenosda natureza, criando leis, teorias e modelos cada vez mais ge-rais, que nos permitam prever e controlar os fenomenos futu-ros.

Observacao → Hipoteses → Experimentacao →Medicao → Leis experimentais → Modelo cientıfico

Fenomenos Quımicos e Fısicos

Fenomeno e qualquer acontecimento da natureza. Quandoocorre um fenomeno, uma transformacao, ha alteracao no sis-tema do estado inicial ao estado final.

Antoine Lavoisier (1743−1794)

Figura 2.1: O pai da Quımica: Lavoisier (1743-1794)

Fenomeno Fısico

E qualquer transformacao sofrida por um material sem queocorra alteracao de sua constituicao ıntima de seus consti-tuintes. Ex: o amassar do papel, evaporacao da agua, quebrade um objeto.

Fenomeno Quımico

E qualquer transformacao sofrida por um material de modoque haja alteracao na sua constituicao ıntima de seus cons-tituintes. Ex: oxidacao do ferro (formacao da ferrugem), apo-drecimento de um alimento.

Pense um Pouco!

• Fatos comuns envolvendo materiais e transformacoesquımicas sao de conhecimento recente ou antigo?

• Quais as atividades do seu dia em que a quımica estapresente?

Exercıcios de Aplicacao

1. (U.E.CE) Assinale a alternativa correta:a) Oxidacao do ferro e um fenomeno fısico

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148 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

b) Fusao do chumbo e um fenomeno quımico.c) Combustao da madeira e um fenomeno quımico.d) Queima do papel e um fenomeno fısico.e) n. d. a.

2. (UFSC) Indique na relacao abaixo os fenomenos fısicos (F)e os fenomenos quımicos (Q).a) ( ) Queima da gasolina nos motores dos carrosb) ( ) Digestao dos alimentos ingeridosc) ( ) Formacao de ferrugemd) ( ) Quebra de um objetoe) ( ) Enfiar um prego na madeiraf) ( ) Derretimento de um iceberg

3. (UFPR) Aquecer uma barra de ferro ate o ponto de fusao,recolher o lıquido em uma forma esferica, transformando abarra em uma bola de ferro, e exemplo de fenomeno:a) Quımico, pois altera a forma da barra de ferro.b) Fısico, pois a substancia continua sendo ferro.c) Fısico-quımico, pois ha alteracao na forma da substancia.d) Nao e exemplo de fenomeno.e) n. d. a.

Exercıcios Complementares

4. (F.E.-SP) Sejam os seguintes fenomenos: I. sublimacaoda naftalina, II. formacao da ferrugem, III.queima do alcoolcomum, IV.fusao do gelo. Sao quımicos:a) todosb) nenhumc) somente II e IIId) somente I e IIIe) somente II e IV

5. (MACKENZIE-SP) I. Fusao do gelo, II. Sublimacao doiodo, III. Digestao dos alimentos, IV. Queima de madeira. Saoexemplos de fenomenos:a) I e II quımicosb) I e IV fısicosc) II e III fısicosd) II e IV quımicose) III e IV quımicos

6. (UDESC) Aquecendo uma fita de magnesio ate a com-bustao, notamos o desprendimento de fumaca, restando umpo branco. Isso e exemplo de fenomeno:a) Fısico, pois alterou a estrutura do magnesio.b) Quımico, pois houve a formacao de novas substancias.c) Fısico, pois podemos juntar o po branco e a fumaca, recu-perando o magnesio.d) Nao e exemplo de fenomeno.e) n. d. a.

Quımica B Aula 2

Materia e Energia

Materia e tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no espaco,ou seja, tem volume.

Corpo e qualquer porcao limitada da materia. Se uma porcaode materia se presta a um certo uso, ela e chamada de objetoou sistema.

Durante a queima de uma vela (materia), ela se desgasta, pro-duzindo fumaca (materia: fuligem e gases) e liberando energia(luz: energia luminosa; calor: energia calorıfica).

Desse modo, podemos conceituar energia como tudo aquilo quepode modificar a estrutura da materia, provocar ou anular mo-vimentos e, ainda, iluminar aquecer e resfriar pode ate causarsensacoes.

Princıpio da conservacao de materia e energia: A materia eenergia nao podem ser criadas nem destruıdas; podem somenteser transformadas.

Lei da Conservacao da Massa

”A soma das massas dos reagentes e igual a soma dasmassas dos produtos”.

Ou ainda,

”Na natureza, nada se cria, nada se perde; tudo setransforma”.

Estados da Materia

Existem varios tipos de materia e cada um e chamado desubstancias que podem se apresentar num dos tres estadosfısicos:

Solido (S)

A substancia apresenta forma e volume constantes (partıculasfortemente unidas, bem arrumadas e com movimento vi-bratorio discreto);

Lıquido (L)

A substancia apresenta forma variavel e volume constante(partıculas levemente unidas, havendo certa liberdade de mo-vimento);

Gasoso (G)

A substancia apresenta forma e volume variados (partıculas li-vres umas das outras, havendo total liberdade de movimento);

Mudancas de Estado

• Fusao (S → L): a substancia funde a temperatura fixa(ponto de fusao) a uma certa pressao. Ex.: o gelo fundea 0C ao nıvel do mar.

• Solidificacao (L → S): a substancia solidifica a umatemperatura fixa igual ao ponto de fusao, ja que o pro-cesso e inverso ao da fusao. Ex.: o congelamento da aguatambem ocorre a 0C ao nıvel do mar, quando a tempe-ratura esta baixando;

• Vaporizacao (L→ G): e a passagem de uma substanciado estado lıquido para o estado de gas, que ocorre quandosuas moleculas atingem o seu chamado ponto de ebulicao.Pode ocorrer de tres modos:

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Quımica B – Aula 2 149

1. Evaporacao: ocorre a temperatura ambiente e lentae espontanea (ex: a agua de um lago evapora com ocalor do sol);

2. Ebulicao: ocorre quando fornecemos calor ao lıquido,e rapida e violenta (ex: uma chaleira d’agua fer-vendo);

3. Calefacao: ocorre quando se borrifa um lıquido numachapa aquecida acima do seu ponto de ebulicao (ex.:pingar uma gota d’agua numa chapa de ferro muitoquente).

• Condensacao G → L: a substancia no estado gasoso eresultado de um lıquido vaporizado que, ao sofrer um res-friamento, retorna ao estado lıquido por condensacao. (ex:gotıculas de agua se formam na tampa de uma chaleira).Outro processo similar e a Liquefacao: e a condensacaode uma substancia que em condicoes ambientes, e um gasque ao comprimi-la (aumentar a pressao) passa para oestado lıquido (ex.: o gas de cozinha e comprinido numbotijao e se liquefaz – gas liquefeito de petroleo (GLP)).

• Sublimacao S → G: a substancia passa da forma solidadiretamente para o estado gasoso (ex: naftalina, iodo,canfora).

Partıculas e Atomos

Toda a materia conhecida e formada por tres tipos departıculas elementares fundamentais:

• Proton: partıcula massiva que possui uma carga eletricaelementar positiva (+e) e participa da formacao do nucleodos atomos;

• Neutron: partıcula tambem massiva que nao possuicarga eletrica, mas desempenha um importante papel naestrutura e estabilidade interna do nucleo dos atomos, re-duzindo a repulsao coulombiana entre os protons;

• Eletron: partıcula muito leve que possui uma carga ele-mentar negativa (−e) e circula o nucleo atomico, for-mando uma especie de nuvem (orbital). No seu movi-mento ao redor do nucleo, apresenta um “comportamentoduplo” de partıcula e onda; daı dizer-se que a natureza doeletron e a de uma partıcula-onda.

O princıpio da incerteza, de Heisenberg, diz que:

“E impossıvel se determinar simultaneamente aposicao e a velocidade de um eletron.”

Com base nesse princıpio, criou-se modernamente a ideiade orbital, como sendo a regiao onde ha grande possi-bilidade (probabilidade) do eletron ser encontrado. Napratica, podemos pensar no eletron como uma “nuvem”que circunda o nucleo.

Elementos e Substancias

Todos as substancias encontradas na natureza sao constituıdaspor combinacoes de atomos, que por sua vez, sao as estruturasfısico-quımicas estaveis elementares.

• Elemento quımico: e o conjunto de todos os atomosquimicamente iguais.

• Substancia Simples: sao substancias formadas poratomos de um amesmo mesmo elemento quımico, e quepor acao de agentes fısicos nao se decompoe, e portanto,nao forma outras substancias. Exemplos: H , O, O3.Chama-se de alotropia o fenomeno pelo qual um unicoelemento quımico forma duas ou mais substancias sim-ples diferentes. Exemplo: o carbono pode ser encontradona natureza em duas formas diferentes: o grafite e o dia-mante.

• Substancias Compostas: sao formadas por atomos dedois ou mais elementos quımicos diferentes, e que por acaode agentes fısicos, se decompoem formando duas ou maissubstancias novas. Exemplos: agua + eletricidade → gasoxigenio + gas hidrogenio.

Sistemas e Misturas

Para acilitar o estudo da Quımica definimos:

• Sistema: e uma parte do universo fısico que contem ounao materia, cujas propriedades estao sob investigacoescientıficas.

• Mistura Homogenea: mistura de substancias que apre-senta unico aspecto e as mesmas caracterısticas em toda asua extensao. A mistura homogenea pode ser uma solucaomonofasica, por exemplo agua + acucar, ou uma ligametalica, como exemplos temos o latao (cobre (Cu) +zinco (Zn)) ou o bronze (cobre (Cu) + estanho (Sn)).

• Mistura Heterogenea: mistura que apresenta variosaspectos fısicos, sendo possıvel de distinguir seus compo-nentes (polifasica). Exemplo: agua + oleo + areia.

Pense um Pouco!

• O iodo (I) e um solido de cor castanha. Ao ser aquecidolibera vapores violeta, que se transformam em iodo solidoao encontrarem uma superfıcie fria. Explique e de o nomedos fenomenos observados.

• Durante a ebulicao da agua destilada (agua pura) a tem-peratura nao se modifica, ao passo que, durante a ebulicaoda agua do mar, a temperatura continua aumentando.Pense um pouco e explique esse fato.

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFSC) Materia e tudo que tem massa e ocupa lugar noespaco. Sao exemplos de materia (marque V ou F):a) ( ) pedrab) ( ) madeirac) ( ) corpo humanod) ( ) are) ( ) aguaf) ( ) carro

2. (PUC-SP) O conceito de elemento quımico esta relacionadocom a ideia de:a) atomob) molecula

Page 159: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

150 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

c) ıond) substancia purae) mistura

3. (UDESC) Assinale a opcao que apresenta apenas substanciasimples:a) H2, Cl2, N2, CH4

b) MgCl2, H2O, H2O2, CCl4c) Na2O, NaCl, H2, O2

d) CCl4, H2O, Cl2, HCle) H2, Cl2, O2, N2

Exercıcios Complementares

4. (UFMG) Considerando-se completa ausencia de poluicaoentre os materiais citados a seguir, a substancia pura e:a) arb) aguac) madeirad) cinzae) terra

5. (Acafe-SC) A passagem turbulenta de um lıquido para oestado de vapor, com agitacao em toda sua massa lıquida,denomina-se:a) ebulicaob) evaporacaoc) sublimacaod) calefacaoe) irradiacao

6. (UDESC) A liberacao ou consumo de energia:a) So ocorre em transformacoes fısicas.b) So ocorre em transformacoes quımicas.c) Em geral, e menor nos fenomenos fısicos do que nosquımicos.d) Em geral, e maior nos fenomenos fısicos do que nosquımicos.e) Nunca ocorre nas transformacoes materiais.

Quımica B Aula 3

Metais, Semi-metais e Ametais

Para distinguir diferentes tipos de atomos usamos:

• Numero Atomico ou Z: e o numero correspondente acarga nuclear, ou seja, o numero de protons (P ) existenteno nucleo. Entao: Z = P ;

• Numero de Massa ou A: e o total de protons P e deneutrons N existente no nucleo. Assim: A = P + N . Onumero de massa A define em si a massa do atomo, ja queos eletrons possuem uma massa desprezıvel.

Exemplos

1. Hidrogenio (H): Z = 1, A = 1, N = 0;

2. Helio (He): Z = 2, A = 4, N = 2;

3. Uranio (U): Z = 92, A = 238, N = 146.

Considerando um elemento no estado natural, com atomos ele-tricamente neutros, temos:

Node protons = Z

Node eletrons = Z

Node neutros = A− Z

Para um atomo de elemento X qualquer representamos, usa-mos a seguinte notacao:

ZXA

para representar o seu numero atomico e sua massa atomica.Exemplo: para um atomo de ferro temos 26Fe56.

Figura 2.1: Alumınio metalico comum.

Isotopos e Isobaros

• Isotopos: sao atomos com mesmo numero de protons(Z) e diferente do numero de massa (A); apresentam pro-priedades quımicas iguais e fısicas diferentes.

Exemplo

O hidrogenio (H) possui tres isotopos conhecidos:

1. o hidrogenio comum (protio): 1H1, com N = 0 e

Z = 1;

2. o deuterio: 1H2, com N = 1 e Z = 1;

3. o trıtio: 1H1, com N = 2 e Z = 1;

• I¯sobaros: sao atomos de diferentes numeros de protons

(elementos diferentes), mas que possuem o mesmo numerode massa (A); apresentam propriedades quımicas e fısicasdiferentes;

Exemplo

Alguns isotopos do Calcio e do Argonio possuem o mesmonumero de massa A = 40: 20Ca40 e 19Ar40

Page 160: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica B – Aula 3 151

• Isotonos: sao atomos que possuem o mesmo numero deneutrons (elementos diferentes), apresentando A e Z di-ferentes; apresentam propriedades quımicas e fısicas dife-rentes;

Exemplo

Boro e Carbono: 5B11 (N = 6) e 6C

12 (N = 6)

Classificacao dos Elementos

Dobereiner, em 1817, demonstrou a existencia de Trıades deelementos com propriedades quımicas semelhantes, onde opeso atomico de um elemento era aproximadamente a mediaaritmetica dos pesos atomicos dos outros dois. Ex: cloro,bromo e iodo.

Newlands, em 1863, dividiu os elementos de ordem crescente depesos atomicos, em grupos de sete, analogo as oitavas musicais,logo, esta ideia foi abandonada.

Dmitri Mendeleyev, em 1869, propos uma tabela muito seme-lhante a atual, mas que apresentava os elementos dispostos emordem crescente de pesos atomicos, essa classificacao definiuseis elementos desconhecidos.

Moseley, em 1913, verificou que os elementos quımicos na Ta-bela Periodica deveriam obedecer a uma ordem crescente denumero atomico, e chegou-se ate a tabela atual;

Na tabela atual alem de os elementos serem colocados em or-dem crescente de numero atomico, observa-se a seguinte dis-posicao (veja Apendice):

• Perıodos ou Series: sao as filas horizontais em numerode 7 e indicam os nıveis ( K, L, M, N, O, P, Q ); elemen-tos do mesmo perıodo apresentam propriedades quımicasdiferentes.

• Famılias: sao as colunas verticais da tabela, elementosda mesma famılia apresentam propriedades quımicas se-melhantes.

Algumas famılias importantes:

– Metal: possui de 1 a tres eletrons na camada externa;

– Nao-metal: possui de 5 a 7 eletrons na camada ex-terna;

– Elementos Representativos: apresentam sub-nıveismais energeticos s e p, famılia A e gases nobres com1 A, 2 A, 13 A a 18A;

– Elementos de Transicao: apresentam sub-nıvel maisenergetico d nas famılias 3B ate 12B;

– Elementos de Transicao Interna: apresentam sub-nıvel mais energetico f . Os lantanıdios e actinıdios;

Ions e Valencia

Quando um atomo esta com falta ou excesso de eletrons, suacarga lıquida nao e mais zero, e o chamamos de ıon:

• Cation: ıon positivo ou atomo que perdeu um ou maiseletrons;

• Anion: ıon negativo ou atomo que ganhou um ou maiseletrons;

Figura 2.2: O lıtio, metal da famılia 1A.

A valencia de um atomo ionizado (ıon) e definida pelo numerode eletrons removidos ou adicionados ao atomo (ıon).

• mono-valente: ıon com excesso (ou falta) de um eletron;

• bivalente: ıon com excesso (ou falta) de dois eletrons;

• trivalente: ıon com excesso (ou falta) de tres eletrons;

• tetravalente: ıon com excesso (ou falta) de quatroeletrons;

• . . .

Exemplos

• Ca+ e um cation mono-valente de calcio.

• Fe−2 e um anion bivalente do ferro.

• K+3 e um cation trivalente do potassio.

Propriedades Periodicas

Sao as propriedades que dependem da posicao do atomo natabela periodica, e que variam suavemente entre atomos vizi-nhos.

Exemplos

Pense um Pouco!

• O que ocorre quando um eletron de um atomo e capturadopor outro atomo diferente?

• Seria possıvel produzirmos agua (H2O) com deuterio outrıtio? Ela teria um gosto diferente? O que seria diferentenessa nova agua?

• O numero atomico de um atomo de nitrogenio e 7 e seunumero de massa e 14. Qual e o numero de protons, deeletrons e neutrons desse atomo neutro?

Page 161: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

152 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Exercıcios de Aplicacao

1. (UDESC) Um determinado atomo apresenta 16 protons,16 eletrons e 16 neutrons; outro atomo apresenta 16 protons,16 eletrons e 17 neutrons.”Sobre eles, sao feitas as seguintesafirmativas:I - Os atomos sao isotonos.II - Os atomos sao isobaros.III - Os atomos sao isotopos.IV. - Os atomos tem o mesmo numero atomico.V - Os atomos pertencem elementos quımicos diferentes.Em relacao as afirmacoes acima, podemos dizer que sao corre-tas apenas:a) I e Vb) II e IIIc) III e IVd) I e IVe) II e V

2. (UFSC) Um determinado atomo apresenta 20 protons,20 neutrons e 20 eletrons; outro, apresenta 20 protons, 21neutrons e 20 eletrons. Marque V ou F:a) ( ) Pertencem a elementos quımicos diferentes.b) ( ) Sao isobarosc) ( ) Sao isotoposd) ( ) Tem o mesmo numero atomicoe) ( ) O numero de massa de ambos e de 41

3. (Acafe-SC) Os pares de atomos C12 e C13; K40 e Ar40;Ca40 e Ar38 representam, respectivamente, a ocorrencia de:a) Isotonia, isotopia, isobaria.b) Isotopia, isobaria, isotonia.c) Isobaria, isotopia, isotonia.d) Isotopia, isotonia, isobaria.e) isobaria, isotonia, isotopia.

Exercıcios Complementares

4. (UNIFOR) O atomo desconhecido 17X37 tem igual numero

de neutrons que o atomo de calcio 20Ca. O numero de massaA do atomo de Ca e igual a:a) 10b) 17c) 20d) 37e) 40

5. (CESGRANRIO) Um certo atomo X e isobaro do Ca40 eisotopo do 18Ar36. O numero de neutrons do atomo X e:a) 4b) 18c) 22d) 36e) 40

6. (FEI-SP) Um cation metalico trivalente tem 76 eletronse 118 neutrons. O atomo de elemento quımico do qual seoriginou tem numero atomico e numero de massa, respectiva-mente:a) 76 e 194b) 76 e 197c) 79 e 200

d) 79 e 194e) 79 e 197

Quımica B Aula 4

Propriedades Periodicas

A Tabela Periodica foi elaborada com base nas propriedadesquımicas e fısicas dos elementos, analisando-a, podemos ob-ter informacoes sobre eles, chegando-se assim a propriedadesimportantes dos perıodos e famılias (ou grupos) quımicos:

CLASSIFICAÇÃO PERIÓDICA DOS ELEMENTOSCom massas atômicas referid as ao isótopo 1 2 do carbon o

La

Ac

Símbolo

Ce

Th

Pr

Pa

Nd Eu Dy Tm

U Am Cf Md

Pm Gd Ho Yb

Np Cm Es No

Sm Tb Er Lu

Pu Bk Fm Lr

138,9 140,1

232,0(227)

Massa Atômica( ) - elemento

radioativo (231) (237) (247) (252) (259)

140,9 144,2 152,0 162,5 168,9

(251) (258)238,0 (243)

(145) 157,3 164,9 173,0150,4 158,9 167,3 175,0

(257) (260)(244) (247)

57

89

Número Atômico

Série dos Lantanídios

Série dos Actinídios

58

90

59

91

60 63 66 69

92 95 98 101

61 64 67 70

93 96 99 102

62 65 68 71

94 97 100 103

LAN

TÂN

IO

NO

ME

DO

ELE

ME

NTO

AC

TÍN

IO

RIO

TÓR

IO

PR

AS

EO

DÍM

IOP

RO

TAC

TÍN

IO

NE

OD

ÍMIO

EU

PIO

DIS

PR

ÓS

IO

TÚLI

O

UR

ÂN

IO

AM

ER

ÍCIO

PR

OM

ÉC

IO

GA

DO

LÍN

IO

LMIO

ITÉ

RB

IO

NE

TÚN

IO

RIO

EIN

STÊ

INIO

NO

LIO

SA

RIO

TÉR

BIO

ÉR

BIO

LUTÉ

CIO

PLU

TÔN

IO

BE

RQ

LIO

CA

LIF

ÓR

NIO

ME

ND

ELÉ

VIO

RM

IO

LAU

NC

IO

VI

VII

Hg200,6

80

ME

RC

ÚR

IO

ZnCuNiCo

Rh

Ir

Fe

Ru

Os

MnCrVTi

TcMoNbZr

ReWTaHf

ScCaK

YSrRb

BaCs

Ha Unh Uns Uno UneKuRaFr

Pd

Pt

Ag

Au

65,3863,5558,6958,93

102,9

192,2

55,85

101,1

190,2

54,9452,0050,9447,88

(98)95,9492,9191,22

186,2183,8180,9178,5

44,9640,0839,10

88,9187,6285,47

SÉRIE DOSLANTANÍDIOS137,3132,9

(260)(261)SÉRIE DOSACTINÍDIOS(226)(223)

106,4

195,1

107,9

197,0

30292827

45

77

26

44

76

25242322

43424140

75747372

212019

393837

57 - 715655

105 106 107 108 10910489 - 1038887

46

78

47

79

ZIN

CO

CO

BR

E

NÍQ

UE

L

CO

BA

LTO

DIO

IRÍD

IO

FE

RR

OR

UTÊ

NIO

ÓS

MIO

MA

NG

AN

ÊS

CR

ÔM

IO

VA

DIO

TITÂ

NIO

TEC

CIO

MO

LIB

NIO

NIÓ

BIO

ZIR

NIO

NIO

TUN

GS

TÊN

IO

TAN

TÁLI

O

FN

IO

ES

ND

IO

LCIO

PO

TÁS

SIO

ÍTR

IO

ES

TRÔ

NC

IO

RU

BÍD

IO

RIO

SIO

HN

IO

UN

ILH

ÉX

IO

UN

ILS

ÉP

TIO

UN

ILÓ

CTI

O

UN

ILÊ

NIO

KU

RC

HA

TÓV

IO

DIO

FR

ÂN

CIO

PALÁ

DIO

PLA

TIN

A

PR

ATA

OU

RO

H He

NeF

Br

At

Cl

I

N

As

Bi

P

Sb

C

Ge

Pb

Si

Sn

B

Ga

TI

Cd

Al

In

O

Se

Po

S

Te

Be

Mg

Li

Na

1,008 4,003

20,1819,00

79,90

(210)

35,45

126.9

14,01

74,92

209,0

30,97

121,7

12,01

72,59

207.2

28,08

118,7

10,81

69,72

204,4

112,4

26,98

114.8

16,00

78,96

(209)

32,06

127,6

9,012

24,30

6,941

23,00

1 2

109

35

85

17

53

7

33

83

15

51

6

32

82

14

50

5

31

81

48

13

49

8

34

84

16

52

4

12

3

11

HID

RO

NIO

LIO

NE

ÔN

IO

Kr

Rn

Ar

Xe

83,80

(222)

39,95

131,3

36

86

18

54

CR

IPTÔ

NIO

RA

NIO

AR

NIO

XE

NIO

FLÚ

OR

BR

OM

OA

STA

TOC

LOR

OIO

DO

NIT

RO

NIO

AR

NIO

BIS

MU

TOF

ÓS

FO

RO

AN

TIM

ÔN

IO

CA

RB

ON

OG

ER

NIO

CH

UM

BO

SIL

ÍCIO

ES

TAN

HO

BO

RO

LIO

TÁLI

O

DM

IO

ALU

MÍN

IOÍN

DIO

OX

IGÊ

NIO

SE

LÊN

IOP

OLÔ

NIO

EN

XO

FR

ETE

LÚR

IO

BE

RÍL

IOM

AG

SIO

LÍT I

OS

ÓD

IO

1A

2A 3A 4A 5A 6A 7A

0

3B 4B 5B 6B 7B 8B 1B 2B

I

II

III

IV

V

VI

VII

(s) = estado sólido H = variação de entalpiaCONVENÇÕES: ∆(g)= estado gasoso( ) = estado líquido (aq) = meio aquoso N = normal M = molar L = litro R = 0,082 atm . L / K mol NA: 6,02 x 1023

Figura 2.1: A tabela periodica.

Tamanho do Atomo

Os fatores determinantes do tamanho de um atomo sao onumeros de camadas eletronicas (Z) e carga nuclear (P ).

Nas famılias: a medida que o Z aumenta, o numero de camadasaumenta, o que leva ao aumento do tamanho do atomo (decima para baixo);

Nos perıodos: a medida que o Z aumenta, o numero de ca-madas permanece igual, mas a carga nuclear aumenta, Zaumenta, a atracao do nucleo sobre os eletrons perifericostambem aumenta, resultando atomos menores. Num perıodo,o tamanho do atomo aumenta da direita para a esquerda.

Potencial de Ionizacao

E a medida de energia fornecida a um atomo isolado no estadogasoso para retirar ou desprender um eletron, formando um ıongasoso positivo(cation). Quanto maior o tamanho do atomo,menor energia de ionizacao (Ei), numa famılia a (Ei) aumentadebaixo para cima. Nos perıodos (Ei) aumenta da esquerdapara direita.

Exemplo

Considere uma amostra de sodio gasoso (P = 11, Z = 11):

Na(g) + Ei = +119 kcal/mol→ Na+(g) + e−(g)

Neste caso, a energia de ionizacao (Ei) do sodio e de119 kcal/mol, e o sinal positivo indica que a energia deve serabsorvida.

Page 162: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica B – Aula 4 153

Potencial de Ionizacao

Figura 2.2: Aumento da energia de ionizacao dos atomos.

Eletroafinidade

E a medida de energia liberada por um atomo isolado no es-tado gasoso ao receber um eletron, formando o ıon gasoso ne-gativo(anion).

Exemplo

Ionizacao do cloro (Cl):

Cl(g) + e− → Cl−(g) + 83, 3Kcal/mol

e neste caso a energia e liberada na reacao.

Nas famılias a eletroafinidade aumenta debaixo para cima; enos perıodos aumenta da esquerda para direita.

Eletronegatividade

Propriedade que o atomo apresenta maior ou menor tendenciade atrair eletrons para si, resultando da acao conjunta da (Ei) eda eletroafinidade, ou seja, compara a forca de atracao exercidapelo atomo sobre seus eletrons.

Eletronegatividade

Figura 2.3: Aumento da eletroafinidade dos atomos.

Nas famılias aumenta debaixo para cima e nos perıodos au-menta da esquerda para direita.

Reatividade Quımica

Esta relacionada com o carater metalico ou nao-metalico deum elemento, quanto maior a capacidade de perder eletronsmais metalico e o elemento.

Quanto maior o tamanho do atomo menor o potencial de io-nizacao (Ei) e menor a eletronegatividade = maior caratermetalico = maior reatividade quımica do metal.

Quanto menor o tamanho do atomo maior a eletroafinidade,maior a eletronegatividade e maior carater nao-metalico =maior a reatividade quımica do nao-metal.

Reatividade

Figura 2.4: Aumento da Reatividade quımica.

Densidade (ρ)

A densidade ou massa especıfica de um corpo e a razao entresua massa m e seu volume V , ou seja,

ρ =m

V

e sera medida em kg/m3 no SI, ou tambem em g/cm3. Exem-plo: a densidade do alumınio (Al) e ρAl = 2, 700 g/cm3 =2.700 kg/m3.

Nas famılias aumenta de cima para baixo, e nos perıodos au-menta das laterais para o centro.

Volume Atomico v

Mede o volume molar especıfico do material solido, e esta re-lacionado com a estrutura cristalina do elemento (distribuicaodos atomos no espaco):

v =massa molar

densidade=

M

ρ

.

Nas famılias o volume atomico aumenta de cima para baixo, enos perıodos aumenta do centro para as laterais.

Page 163: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

154 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Densidade

Figura 2.5: Aumento da densidade dos atomos.

Volatilidade

Figura 2.6: Aumento do volume atomico dos atomos.

Ponto de Fusao (PF )

E a temperatura em que um solido passa do estado solido parao estado lıquido.

Nas famılias, o PF aumenta de cima para baixo, exceto em1(1A) e 2(2A), que e o contrario; nos perıodos, aumenta daslaterais para o centro.

Pense um Pouco!

• Dentre as propriedades periodicas estudadas, quais saofısicas e quais sao quımicas?

• Qual o elemento mais denso que voce ja viu? Consulte atabela periodica do Apendice e verifique se existe algumelemento ainda mais denso.

• Cite exemplos de semi-metais e nao-metais conhecidos.

Ponto de Fusao

Figura 2.7: Aumento do Ponto de Fusao (PF ).

Exercıcios de Aplicacao

1. (UDESC) Observe os elementos representados na TabelaPeriodica e julgue os ıtens (V = verdadeiro e F = falso), naordem:I - A eletronegatividade dos elementos boro(B) , carbono (C),nitrogenio (N), oxigenio (O) e fluor (F ) diminui da direitapara a esquerda.II - O elemento de menor eletropositividade e o cesio (Cs).III - Dentre os elementos conhecidos, o boro (B) e o unicosemi-metal.IV - A energia de ionizacao do criptonio (Kr) e maior que ado potassio (K).V - O raio atomico do magnesio (Mg) e maior que o de sodio(Na) porque ele possui um eletron a mais.Assinale a alternativa que julga corretamente os ıtens acima,na sequencia de I a V.a) F, V, V, F, Fb) F, V, F, F, Vc) F, F, F, V, Fd) V, F, F, V, Fe) V, V, F, F, V

2. (UFSC) Sobre os elementos Na, Mg e Al, podem ser feitasas afirmacoes:I - Na+, Mg++ e Al+++ possuem o mesmo numero deeletrons.II - A ordem decrescente de eletronegatividade destes elemen-tos e Na, Mg e Al.III - Mg++ e Al+++ possuem o mesmo numero de protons.IV - A ordem crescente de reatividade com o H2O e: Al, Mge Na.A opcao que contem apenas afirmacoes corretas e:a) I e IVb) I e IIIc) II e IVd) III e IVe) II e III

3. Na reacao F (g)+e−(g)→ F−(g)+402 kcal/mol, a medidade energia 402 quilo-calorias por mol representa:a) a eletronegatividade do fluorb) a eletropositividade do fluor

Page 164: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica B – Aula 5 155

c) o potencial de ionizacao do fluord) a eletroafinidade do fluore) a polaridade do fluor

Exercıcios Complementares

4. Para que o ıon 7N−3 se transforme no atomo neutro de

nitrogenio, ele deve:a) receber 3 protonsb) perder 3 eletronsc) receber 3 eletronsd) perder 7 protonse) receber 7 eletrons

5. Para que um atomo neutro de calcio se transforme no ıonCa+2, ele deve:a) perder 2 protonsb) receber 2 eletronsc) perder 2 eletronsd) receber 2 protonse) perder 1 proton

Quımica B Aula 5

Ligacoes Quımicas

Compostos Ionicos e Moleculares

A uniao de atomos formam diversas substancias, essa uniao(ligacao quımica) pode ocorrer de tres formas:

1. ligacao ionica;

2. ligacao covalente simples e dativa;

3. ligacao metalica.

Os gases nobres sao elementos estaveis, pois apresentam oitoeletrons na sua camada de valencia, excecao do gas helio.

Estabilidade Eletronica

Oito eletrons na camada de valencia.

Ligacao Ionica

Ocorre entre metal que tem tendencia de perder eletron, comnao-metal, que tem tendencia de receber eletron, formandoıons de cargas contrarias, que se atraem mutuamente.

Exemplos

Fazer o esquema de Lewis:

Na+Cl− :

K+ + Cl− :

Ion Formula

Conhecendo as valencias dos elementos cujos atomos vao seligar para formar um composto ionico, podemos calcular a ıonformula:

20Ca = 1s22s22p63s23p64s2 perde 2e−

15P = 1s22s22p63s23p3 ganha 3e−

Escrevemos os sımbolos na ordem crescente de eletronegativi-dade, de modo que o ındice corresponda a valencia do outro(regra de 3):

Ca→ valencia 2 + P → valencia 3 = Ca3P2

Ligacao Covalente Simples

Ocorre entre nao-metais, e entre nao-metal e hidrogenio, e seuprincıpio e o compartilhamento de eletrons.

O conjunto estavel de atomos ligados entre si apenas porligacoes covalentes, ou seja por pares eletronicos, recebe onome de molecula.

Exemplos

Cl + Cl → Cl2

H + Cl→ HCl

H + O→ HO

O + O → O2

Formula eletronica:

Formula Estrutural Plana:

Formula Molecular:

Ligacao Covalente Dativa

So ocorre se o atomo que vai contribuir com o par deeletrons estiver estabilizado pela covalente simples e tiver pareseletronicos disponıveis:

Exemplos

HNO3

H2SO4

H3PO4

Ligacao Covalente Apolar

Ocorre entre ametais de mesmo elemento quımico (soluveis emagua) (mesma eletronegatividade). Por exemplo: H −H .

Ligacao Covalente Polar

Ocorre entre ametais de elementos diferentes (insoluveis emagua) (eletronegatividade diferentes). Exemplo: moleculaHCl, pois o cloro e mais eletronegativo que o hidrogenio, ouseja, apresenta maior capacidade de atrair eletrons; portantoo par de eletrons da ligacao e atraıdo por ele, criando-se nesseextremo uma maior densidade eletronica. Assim, surgem polosdistintos (representado pela letra δ), formando uma ligacao co-valente polar: δ+HClδ−.

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Pense um Pouco!

• Analisando a variacao da eletronegatividade na tabelaperiodica, indique a ligacao menos polar e a mais polar:

H – O :

H – H :

H – I :

H – P :

H – N :

H – F :

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFSC) Considerando-se a ligacao quımica entre oxigenioe o alumınio, sob a luz da teoria do octeto, para a formacaodo oxido de alumınio, e correto afirmar (some os numeros cor-respondentes as alternativas corretas):01. Cada atomo de alumınio, perdera 3 eletrons;02. O Oxigenio sera o anion, com carga negativa igual a trespara cada atomo;04. O envolvidos dois atomos de alumınio na ligacao;08. Cada atomo de oxigenio recebera dois eletrons;16. O numero de cargas positivas, por formula, sera seis.32. A configuracao eletronica do Al+3 sera 1s2 2s2 2p6.64. A formula mınima do oxido de alumınio contera quatroatomos no total.

2. (UniRio-RJ) Atomos de um elemento X (numero atomico20) e de outro elemento Y (numero atomico 7) unem-se porligacoes ionicas, originando o composto de formula:a) XYb) X2Yc) X3Y2

d) X2Y3

e) X3Y4

3. (Acafe-SC) A forca de atracao entre ıons positivos e nega-tivos caracteriza a ligacao:a) coordenadab) covalentec) metalicad) dativae) ionica

Exercıcios Complementares

4. (Supra-SC) No cloreto de magnesio, a uniao entre magnesioe cloro ocorre atraves de ligacao:a) molecularb) covalentec) metalicad) ionicae) dativa

5. (UFRGS) O conceito de ligacao covalente se refere a ideiade:a) atracao eletrostaticab) par ionico

c) atracao inter-moleculard) eletrons livrese) emparelhamento de eletrons

6. (Supra-SC) Entre os atomos dos compostos KBr, NH3,e HCN , as ligacoes quımicas predominantes sao, respectiva-mente:a) covalente, ionica, ionicab) covalente, ionica, covalentec) covalente, covalente, ionicad) Ionica, ionica, covalentee) Ionica, covalente, covalente

Quımica B Aula 6

Ligacoes Quımicas

Geometria Molecular

Teoria da Repulsao dos pares eletronicos, desenvolvida nadecada 1960:

“Os pares de eletrons ao redor do atomo centraldistribuem-se no espaco de tal forma que a repulsaoentre eles e a menor possıvel, garantindo maior esta-bilidade”.

Os pares de eletrons podem ou nao fazer parte de ligacoes.Quando os eletrons sao ligantes, os pares podem constituirligacoes simples, duplas, triplas ou dativas.

As posicoes relativas dos atomos ligantes sao dadaspela disposicao de todos os pares de eletrons, mas a ge-ometria da molecula e considerada apenas pela posicaorelativa de seus nucleos.

Exemplos

Figura 2.1: O gas carbonico (CO2) apresenta geometria mole-cular linear, distribuicao espacial dos pares eletronicos e lineare possui 2 atomos ao ligados ao atomo central.

Page 166: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica B – Aula 6 157

Figura 2.2: O composto SO3 apresenta geometria moleculare trigonal plana, a distribuicao espacial dos pares eletronicosforma um triangulo equilatero e possui 3 atomos ligados aoatomo central.

Forcas Inter-moleculares

As substancias moleculares podem ser encontradas nos tres es-tados fısicos, o que nos leva a concluir que, entre as moleculas,existem forcas de atracao de diferentes intensidades. A essasforcas damos o nome de forcas inter-moleculares, elas podemser de dois tipos:

• forcas de Van der Waals

• pontes de hidrogenio

Forcas de Van der Waals

Sao forcas de fraca intensidade que se classificam em dipolo–dipolo e dipolo instantaneo–dipolo induzido.

A polaridade da ligacao apresenta uma direcao, um sentidoe uma intensidade, podendo ser representada por um vetor(~p : vetor momento dipolo), este vetor se orienta sempre nosentido do polo negativo para o positivo. Para moleculas commais de dois atomos, conhecendo-se a geometria molecular, epossıvel determinar se a molecula apresenta dipolo, ou seja,se na molecula ha distribuicao desigual de carga negativa epositiva. Essa determinacao e feita levando-se em conta osvetores momento de cada ligacao. Conforme tenham ou naodipolo eletrico, as moleculas sao classificadas em polares ouapolares, respectivamente.

Exemplos

CO2 e apolar (~p = ~0). Veja a simetria da molecula na Fig.2.1.

H2O e polar (~p 6= ~0). Veja a assimetria da molecula na Fig.2.3.

Forcas de Van der Waals dipolo–dipolo

Este tipo de interacao ocorre entre moleculas polares.

Exemplo

A molecula δ+HClδ−.

A formacao do dipolo ocorre devido a diferenca de eletronega-tividade entre o hidrogenio e o cloro. A extremidade negativa

Figura 2.3: A agua (H2O) apresenta geometria molecular an-gular, mas a distribuicao dos pares de eletrons e tetraedrica epossui 2 atomos ligados ao atomo central.

de uma molecula atrai a extremidade positiva da molecula vi-zinha. Esse tipo de atracao e o mesmo que ocorre na ligacaoionica, mas com intensidade bem menor.

Forcas de Van der Waals dipolo instantaneo–dipoloinduzido

Sao forcas de atracao que aparecem nas substancias forma-das por moleculas apolares, no estado solido ou lıquido. Anuvem eletronica nas moleculas apolares e uniforme, nao apa-recendo cargas. Essa nuvem pode sofrer deformacao por acaoexterna, ou flutuacoes estatısticas (colisoes), ou com o aumentoda pressao e diminuicao de temperatura, provocando, entao,uma distribuicao desigual de cargas, o que faz com que surjaum dipolo temporario. O dipolo instantaneo induz a pola-rizacao da molecula vizinha, resultando uma acao fraca en-tre elas. Esse tipo de interacao tambem e chamado de forcade London, em homenagem ao cientista Fritz London (1900-1957), que elaborou todo o desenvolvimento teorico.

Pontes de Hidrogenio

As pontes de hidrogenio sao casos particulares da interacaodipolo-dipolo, em que o dipolo molecular e fixo e de grandeintensidade. Esse fenomeno ocorre quando o hidrogenio estaligado a um dos tres elementos mais eletronegativos – fluor,oxigenio e nitrogenio – pois a diferenca de eletronegatividadeentre o hidrogenio e esses elementos e muito grande.

Exemplo

A agua H2O e uma molecula muito polarizada (polar) e aspontes de hidrogenio produzem forca suficiente para manteras moleculas unidas no estado lıquido. Veja a Fig. 2.3.

Para Aprender Mais!

Tensao superficial e uma propriedade que faz com que uma su-perfıcie lıquida se comporte como uma pelıcula elastica. Estapropriedade ocorre com todos os lıquidos e e observada commaior intensidade na agua. As moleculas no interior do lıquidomantem-se unidas pelas forcas de atracao, que ocorrem em to-das as direcoes. As moleculas da superfıcie, no entanto, sofremapenas atracao lateral e inferior, que geram a tensao superfi-

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158 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Figura 2.4: O metano (CH4) apresenta geometria moleculartetraedrica e distribuicao dos pares eletronicos tambem e te-traedrica e possui 4 atomos ligados ao atomo central

cial, criando uma pelıcula elastica. Quanto mais intensas asforcas de atracao, maior sera a tensao superficial.

Voce Sabia?

Os icebergs sao massa de gelo flutuante que geralmente se des-prende numa geleira polar e, portanto, sao constituıdos poragua doce. Eles flutuam por que a densidade da agua solida emenor do que a da agua lıquida. Na agua lıquida, as moleculasestao unidas por pontes de hidrogenio e dispostas de formamenos organizada do que no estado solido. Neste estado, a or-ganizacao e maior, formando estruturas hexagonais tridimensi-onais, mais espacadas, que diminuem a densidade, permitindoassim que o gelo flutue sobre a agua. Esta propriedade ex-plica tambem a quebra de garrafa de bebidas esquecidas nocongelador.

Forcas Inter-moleculares e Ponto de Ebulicao

: O importante fator que influencia o ponto de ebulicao deuma substancia e o tamanho da molecula, pois quanto maiora molecula, mais facil a ocorrencia de distorcao da nuvemeletronica; consequentemente, mais facil a formacao de polos,ou seja, a medida que o tamanho da molecula aumenta (au-mento da massa molecular), o ponto de ebulicao tambem deveaumentar. OBS: Na passagem do estado liquido para o ga-soso ocorre uma separacao das moleculas assim, quanto maiora atracao entre as moleculas no liquido, maior sera o ponto deebulicao. Quanto maior a molecula mais facil e a formacao depolos.

Pense um Pouco!

• Quando se ferve a agua, qual o tipo de ligacao e rompidana mudanca de estado?

• Temos duas substancias, HX e HY. O que podemos dizercom relacao ao ponto de ebulicao (PE) dessas substancias,sabendo que em HX ocorrem forcas de Van der Waals eem HY ocorrem pontes de hidrogenio?

Figura 2.5: O PCl5 apresenta geometria molecular bipiramidetrigonal e possui 5 atomos ligantes.

Exercıcios de Aplicacao

1. Qual dessas ligacoes e mais fraca?a) eletrovalenteb) covalentec) ponte de hidrogeniod) Van der Waalse) ionica

2. (Acafe-SC) Cada molecula de agua e capaz de efetuar, nomaximo:a) 5 pontes de hidrogenio.b) 2 pontes de hidrogenio.c) 4 pontes de hidrogenio.d) 1 pontes de hidrogenio.e) 3 pontes de hidrogenio.

3. (UFSM-RS) Dentre os compostos abaixo:I. H3C–CH2–O–CH3

II. H3C–CH2–NH2

III. H3C–CH2–OHApresentam pontes de Hidrogenio entre suas moleculas:a) apenas Ib) apenas IIc) apenas I e IIId) apenas II e IIIe) I, II e III

Exercıcios Complementares

4. (UEFS - BA) Por acao de energia, o hidrogenio di-atomicose dissocia de acordo com a equacao: H–H(g)→ 2H(g). Nestadissociacao, ocorre rompimento de ligacao quımica do tipo:a) ponte de hidrogenio.b) de Van der Waals.c) metalicad) ionicae) covalente

5. (ITA-SP) Os hidretos do tipo H2X dos elementos da famılia

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Quımica B – Aula 7 159

do oxigenio sao todos gasosos em condicoes ambientais, comexcecao do hidreto de oxigenio. Esta situacao e consequencia:a) da baixa massa molecular da aguab) das ligacoes covalentesc) das pontes de hidrogenio entre as moleculasd) do fato de o oxigenio ter o maior raio atomico dessa famıliae) do fato de que o gelo e menos denso que a agua lıquida

6. Dentre as seguintes substancias, qual apresenta pontes dehidrogenio entre as moleculas?a) metano (CH4)b) cloroformio (CHCl3)c) benzeno (C6H6).d) Eter-etılico (H2C2–O–C2H5)e) Agua (H2O)

Quımica B Aula 7

Equacoes e Reacoes Quımicas

Uma reacao quımica e representada pela equacao geral

c1R1 + c2R2 + . . . + cnRn → c′1P1 + c′2P2 + . . . + c′mPm

onde n reagentes R1, R2,. . .,Rn foram usados para formar os mprodutos P1, P2,. . .,Pm. Os coeficientes ci indicam o numerode moleculas de cada reagente utilizado na reacao, e os coefici-entes c′j, o numero de moleculas de cada produto resultanteda reacao. Em ambos os casos, se utilizam coeficientes inteiros.

Como cada molecula, de reagente ou produto, pode contervarios atomos de diferentes elementos quımicos, o numero totalde atomos de cada especie quımica deve ser o mesmo em ambosos lados da equacao acima, e chamamos de balanceamentoquımico o calculo dos menores coeficientes ci e c′j paraque essa igualdade seja satisfeita.

Exemplos

A sıntese (formacao) da agua e descrita pela equacao

2H2(g) (reagente) +O2(g) (reagente) → 2H2O(l) (produto)

onde a proporcao da reacao de sıntese da agua e 2:1:2, o quesignifica que, para cada duas moleculas de H2O formadas,reagiram duas moleculas H2 e uma molecula de O2. Cadareacao tem a sua proporcao, que, como vimos pela lei dasProporcoes Constantes.

Determinacao dos Coeficientes

Na reacao de combustao:

C2H6O + O2 → CO2 + H2O

observamos primeiro a quantidade de atomos de hidrogenio.No primeiro membro, existem seis (C2H6O), e no segundo,dois (H2O). Para igualar o numero de atomos, fazemos atransposicao dos ındices, obtendo:

2C2H6O + O2 → CO2 + 6H2O

Vamos agora acertar a quantidade de atomos de carbono. Noprimeiro membro existem agora quatro carbonos (2C2H6O);no segundo, um (CO2). Entao, devemos multiplicar CO2, nolado direito da equacao, por 4.

2C2H6O + O2 → 4CO2 + 6H2O

Finalmente, acertamos a quantidade de atomos de oxigenio.No segundo membro, ja acertado, existem quatorze atomos deoxigenio (4CO2 e 6H2O), e no primeiro, quatro (2C2H6O eO2). Entao o coeficiente da molecula O2 sera 6, para se obter12 atomos que, com outros dois perfazem os quatorze:

2C2H6O + 6O2 → 4CO2 + 6H2O

Observe que em ambos os lados da reacao (reagentes e produ-tos) temos um total de 4 atomos de C, 12 atomos de H e 14atomos de O. Como todos os coeficientes sao multiplos de 2,entao podemos reduzı-los, dividindo-os por 2:

C2H6O + 3O2 → 2CO2 + 3H2O

e obtemos os menores coeficientes para o balanco quımico dareacao dada.

Dicas

Algumas consideracao para o balanceamento de uma equacaoquımica:

1. Deve-se comecar o acerto dos coeficientes pelo elementoque aparece uma unica vez nos dois membros;

2. Se os ındices do elemento escolhido forem multiplos, asimplificacao pode ser feita antes da transposicao;

3. As formulas das substancias nao podem ser modificadas;por isso, nunca coloque numeros entre os sımbolos de umamesma formula.

Tipos de Reacoes

Quanto ao Calor

Quanto ao envolvimento (absorcao ou liberacao) de calor:

Reacoes Endotermicas

Veja que endo=para dentro e termica = calor. E toda reacaoquımica em que ocorre com absorcao de calor.

Por exemplo, a decomposicao do calcario:

CaCO3@ >> ∆ > CaO + COր2

onde ∆ indica que ha a necessidade de aquecimento dos rea-gentes para que ocorra a reacao quımica.

Reacoes Exotermicas

Observe que exo=para fora e termica = calor.

E toda reacao quımica em que ocorre com liberacao de calor.

Por exemplo, temos a combustao do hidrogenio:

2H2 + O2 → 2H2O + calorր

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160 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Quanto a Velocidade

Reacoes Rapidas

As que ocorrem rapidamente e de forma explosiva, por exem-plo, a combustao (queima) do alcool etılico:

C2H6O + 3O2 → 2CO2 + 3H2O + calorր

Reacoes Lentas

Ocorrem devagar, por exemplo, a formacao da ferrugem(oxidacao do ferro):

4Fe + 3O2 → 2Fe2O3 + calorր

Quanto a Reversibilidade

Reacoes Reversıveis

Ocorrem simultaneamente nos dois sentidos (indicado pela du-pla seta):

CaO + CO2 CaCO3

Reacoes Irreversıveis

Reacoes que ocorrem num so sentido.

Por exemplo:

NaCl + AgNO3 → AgCl + NaNO3

Quanto aos Reagentes e Produtos

Sıntese ou Adicao

Reacao entre duas ou mais substancias (simples ou composta)que originam uma unica substancia composta:

2CO + O2→ 2CO2

neste caso a reacao e do tipo

composta + simples→ composta

.

Analise ou Decomposicao

Reacao em que uma unica substancia composta se desdobraem outras substancias simples ou compostas:

2HCl → H2 + Cl2

Dupla Troca

Reacao em que as duas substancias compostas produzem duasoutras substancias compostas (o nome resulta no fato de assubstancias permutarem entre si parte de suas estruturas):

HCl + NaOH → NaCl + H2O

ou

NaCl + AgNO3→ AgCl + NaNO3

Deslocamento ou Simples Troca

Reacao em que uma substancia simples reage com outra com-posta, produzindo outra substancia composta e outra simples:

Fe + CuSO4 → FeSO4 + Cu

Para Saber Mais!

O oxigenio e o hidrogenio liquefeitos sao os combustıveislıquidos mais comuns, usados para impulsionar os foguetespela expulsao dos gases de combustao, gerados pela reacaode sıntese:

2H2 + O2→ 2H2O

nos motores de combustıvel lıquido, tambem usados naoperacao de mısseis, o combustıvel e o comburente devem serarmazenados isoladamente e a reacao so ocorre na camara decombustao, o que torna esses motores bastante complexos.

Voce Sabia?

Para combater a acidez estomacal, causada pelo suco gastricoexistente (HCl ou acido clorıdrico) que em excesso so causaazia. O uso de leite de magnesia, uma suspensao dehidroxido de magnesio, ou medicamentos a base de hidroxidode alumınio, diminuem a acidez, aliviando a azia. As reacoesque ocorrem sao:

Mg(OH)2 + 2HCl→MgCl2 + 2H2O

Al(OH)3 + 3HCl→ AlCl3 + 3H2O

Tambem pode-se usar o bicarbonato de sodio:

NaHCO3 + HCl → NaCl + H2O + CO2

Pense um Pouco!

• Explique porque o bicarbonato de amonia misturado emuma massa de bolo, ao ser aquecido, faz a massa do bolocrescer deixando o bolo fofo? Que tipo de reacao ocorre ?Faca a reacao.

Exercıcios de Aplicacao

1. Considere as seguintes reacoes do metano:I. CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O com ∆H = −212, 8 kcal/molII. CH4 + H2O → CO + 3H2 com ∆H = −49, 3kcal/molIII.CH4 + CO2→ 2CO + 2H2 com ∆H = −59kcal/molIV. CH4 + 1

2O2 → CO + 2H2 com ∆H = −8, 5kcal/molPode-se afirmar que a reacao:a) I e endotermicab) II libera mais calor do que a Ic) III e espontanead) III libera menos calor do que IVe) IV absorve calor para ocorrer

2. (Unisinos-RS) Considerando a equacao termoquımicaabaixo representada, S(s) + 3

2O2(g) → SO3(g) com ∆H =−94, 4kcal/mol. Podemos afirmar que, na formacao de 200 gde trioxido de enxofre:a) Ocorre a liberacao de 94, 4 kcal, uma vez que a reacao eexotermicab) Ocorre a absorcao de 94, 4 kcal, uma vez que a reacao eendotermicac) Ocorre a liberacao de 169, 5 kcal, uma vez que a reacao eexotermicad) Ocorre a absorcao de 236 kcal, uma vez que a reacao e en-dotermica

Page 170: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica B – Aula 8 161

e) Ocorre a liberacao de 236 kcal, uma vez que a reacao eexotermica

3. Dadas as equacoes das reacoes:I. H2SO4 + H2O → H3O + HSO−

4 + calorII. C2H5OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2O + calorIII. NH4Cl(s) + H2O(l) + calor→ NH+

4 (aq) + Cl−(aq)

IV. C2H2 + 322O2 → CO2 + H2O + C + calor

V. 2Fe2O3 + 3C + calor→ 4Fe + 3CO2

Consideram-se as reacoes endotermicas:a) III e Vb) I , II e IVc) II, III e Vd) I, III e IVe) II e III

Exercıcios Complementares

4. A analise da reacaoH2(g) + 1

2O2(g)→ H2O(l) + 68 kcalpermite concluir que:a) a reacao e endotermicab) a reacao tem ∆H positivoc) a entalpia dos reagentes e maior que a dos produtosd) a entalpia dos reagentes e menos que a dos produtose) a entalpia dos reagentes e igual a dos produtos

5. (PUC-RS) A equacao a seguir representa: HNO3(aq) +NaOH(aq) → NaNO3(aq) + H2O(l) com ∆H =−13, 69 kcal/mola) um processo endotermicob) a neutralizacao parcial de um acidoc) um processo que ha a liberacao de calord) um processo nao espontaneoe) uma reacao de analise

6. As reacoes endotermicas caracterizam-se por:I. serem espontaneasII. ocorrerem com absorcao de calorIII. apresentam sinal positivo para a variacao da entalpia

a) somente a afirmativa I e corretab) somente a afirmativa II e corretac) somente a afirmativa III e corretad) somente as afirmativas I e II sao corretase) somente as afirmativas II e III sao corretas

Quımica B Aula 8

Equacoes e Reacoes (II)

NOX

Numero que designa a carga eletrica real ou aparente (teorica)de um atomo em funcao da diferenca de eletronegatividadeentre ele e seus ligantes; o Nox esta associado a perda ou aoganho de eletrons por um atomo numa ligacao quımica.

Exemplo

Na+Cl−: Na carga real = +1, Cl carga real= -1

H2O: H carga teorica = +1, O carga teorica = -2

Voce Deve Saber!

• Se a ligacao ocorre entre atomos do mesmo elemento (substancias simples), nao havendo, portanto, diferenca deeletronegatividade e sendo a molecula apolar, o Nox esempre zero:

Exemplos

H2, Cl2, O2: Nox = 0

• O Nox de um ıon simples e igual a sua carga (e a propriadefinicao de Nox).

Exemplos

Na+: Nox Na = +1

S−2: Nox S = −2

Al+3: Nox Al = +3

• O Nox do hidrogenio em compostos e +1, com excecaodos compostos metalicos (hidretos metalicos), em que oNox do H e −1.

Exemplos

H2O: Nox H = +1

NaH : Nox H = −1

• O Nox do oxigenio nos compostos e −2, com excecao doscompostos com fluor (O2F2 e OF2) e peroxidos (O −O).

Exemplos

H2O: Nox O = −2

H2O2: Nox O = −1

O2F2: Nox O = +1

OF2: Nox O = +2

• A soma algebrica dos Nox de todos os atomos de umamolecula e sempre igual a zero (o numero de eletrons ce-didos e igual ao de eletrons recebidos).

Exemplos

H2O: Nox H = +1, O = −2, molecula: +2− 2 = 0

Na2S: Nox Na = +1, S = −2, molecula: +2− 2 = 0

H2SO4: Nox H = +1, S = +6, O = −2, molecula: +2 +6− 8 = 0

• A soma algebrica dos Nox dos elementos em um ıon com-posto e igual sua carga (a carga do ıon indica que houveperde ou ganho de eletrons).

Exemplos

CO−23 : Nox: C = +4, O = −2, soma: +4− 6 = −2

NH+4 : Nox: N = −3, H = +1, soma: −3 + 4 = +1

• Para se determinar o Nox de algum atomo numa molecula,usam-se os Nox conhecidos.

Exemplo

H4P2O7 Nox: H = +1, P = x, O = −2, soma: +4+2x−14 = 0→ 2x = 10→ x = 5

Entao temos que Nox P = +5 nesta molecula.

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Nox Mınimo e Nox Maximo

Verifica-se que atomos de um mesmo elemento podem apre-sentar varios numeros de oxidacao, que dependem dos outrosatomos da molecula. Veja o caso do cloro, em alguns compos-tos:HCl Cl2 HClO HClO2 HClO3 HClO4

-1 0 +1 +3 +5 +7

o Nox mınimo representa o numero de eletrons que o atomoprecisa receber, de acordo com a regra do octeto; o Noxmaximo representa o numero maximo de eletrons da ultimacamada que o atomo pode perder.

Reacoes De Oxi-Reducao

Reacao em que ocorrem variacoes dos numeros de oxidacaodos atomos de certos elementos.

Em uma solucao de sulfato de cobre (CuSO4) em agua, mer-gulhamos uma lamina de zinco (Zn0). apos algum tempo ve-rificamos que essa lamina esta recoberta por uma camada decobre metalico e a solucao apresenta ıons Zn+2.

Os atomos de zinco (Zn0) se transformam em ıons de zinco(Zn+2), ou seja, perdem 2 eletrons: ocorre uma oxidacao,perda de eletrons, aumento no Nox:

Zn0 −→ Zn+2 + 2e−

Os ıons cobre (Cu+2) se transformam em atomos neutros decobre (Cu0), ou sejam, ganham 2 eletrons: reducao (ganho deeletrons), diminui Nox:

Cu+2 + 2e− −→ Cu0

Assim o que ocorreu foi uma transferencia de eletrons dosatomos de zinco (Zn0) para o ıon cobre (Cu+2):

Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0

Oxidacao e Reducao sao fenomenos paralelos, ou seja, naopode ocorrer oxidacao sem que ocorra uma reducao. Dessemodo podemos somar as equacoes dos dois processos e obtera equacao do processo global:

Zn0 −→ Zn+2 + 2e−semi-equacao de oxi-reducao

Cu+2 + 2e− −→ Cu0

Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0

Redutor e Oxidante

Esse processo global constitui uma reacao de oxi-reducao. Aespecie doadora de eletrons, sofre oxidacao, provoca a reducao(diminuicao de Nox) da outra especie, por isso e chamado deagente redutor.

A especie receptora de eletrons, que se reduz, provoca aoxidacao (aumento de Nox) da outra, sendo chamada de agenteoxidante.

Agente Oxidante

Provoca oxidacao de outra especie quımica, sofre reducao (ga-nho de eletrons) e a variacao do Nox diminui.

Agente Redutor

Provoca reducao de outra especie quımica, sofre oxidacao(perda de eletrons) e a variacao do Nox aumenta.

Balanceamento

Determinacao dos coeficientes em reacoes de oxi-reducao.

Procedimento

1. determinar o Nox dos elementos;

2. verificar os fenomenos de oxidacao e reducao;

3. determinar ∆ (variacao do Nox) e multiplicar pelo ındiceou atomicidade maior, obtendo-se ∆t (variacao total doNox);

4. inverter ∆t, isto e, colocar o valor daquele que sofreuoxidacao na frete da substancia cujo elemento sofreureducao e vice-versa.

5. Acertar os demais coeficientes por tentativa.

Exemplo 1

HI + H2SO4 −→+1− 1 +1 + 6− 2

−→ H2S + H2O + I2

+1− 2 +1− 2 0

Determinacao do ∆:

• oxidacao: variacao 1 e atomicidade 1 = 1× 1 = ∆ = 1

• reducao: variacao 8 e atomicidade 1 = 8× 1 = ∆ = 8

Igualando o numero de eletrons cedidos e recebidos, temos:

8HI + 1H2SO4 −→ H2S + H2O + I2

estabelecemos a proporcao da reacao , agora, completamos osoutros coeficientes por tentativa:

8HI + 1H2SO4 −→ 1H2S + 4H2O + 4I2

Exemplo 2

K2Cr2O7 + HCl −→+1 + 6− 2 +1− 1

−→ KCl + CrCl3 + H2O + Cl2+1− 1 +3− 1 +1− 2 0

• oxidacao: ∆ = 1× 2 = 2

• reducao: ∆ = 3× 2 = 6

observe que no calculo do ∆ de oxidacao consideramos a ato-micidade 2, em vez de 1, isso porque nem todos os atomos decloro se oxidam (uma parte se manteve, pois seus Nox nao sealteraram). Assim, usamos a atomicidade do Cl2, pois este eformado pelos atomos de cloro que se oxidaram:

2K2Cr2O7 + HCl −→ KCl + CrCl + H2O + 6Cl2

Por tentativa, acertamos os outros coeficientes:

2K2Cr2O7 + 28HCl −→ 4KCl + 4CrCl + H2O + 6Cl2

simplificando por 2:

K2Cr2O7 + 14HCl −→ 2KCl + 2CrCl + H2O + 3Cl2

Page 172: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica B – Aula 9 163

Pense um Pouco!

• O que e NOX?

• Como sabemos se uma reacao quımica e uma reacao deoxi-reducao?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UDESC) Dada a reacao:

S + 6HNO3 −→ 6NO2 + 2H2O + H2SO4

A variacao do numero de oxidacao do enxofre e:a) 0b) 1c) 2d) 3e) 6

2. (Fuvest-SP) O cobre pode ser encontrado, na natureza,no mineral denominado atacamita: CuCl2 · 3Cu(OH)2. Naformula da atacamita , identifica-se o cobre com Nox, respec-tivamente:a) +1 e +1b) +1 e +2c) +1 e +3d) +2 e +1e) +2 e +2

3. (UFSM) O nitrogenio apresenta estado de oxidacao−2 em:a) NO3

b) NH3

c) NH4

d) N2O3

e) NH4OH

Exercıcios Complementares

4. (UDESC) Qual das seguintes proposicoes e falsa, quandose analisa a reacao de oxirreducao abaixo?

Fe2O3 + CO −→ 2FeO + CO2

a) O Nox (numero de oxidacao) do C no CO2 e +4b) Cada unidade de formula Fe2O3 ganha 1 e−

c) Cada unidade de formula CO2 perde 2 e−

d) O CO2 e agente redutor de Fe2O3

e) O Fe sofre reducao

5. (UDESC) A soma dos menores coeficientes inteiros dareacao de oxirreducao P + HNO3 + H2O→ H3PO4 + NO, oagente oxidante e o agente redutor sao, respectivamente:a) 18, P , HNO3

b) 20, P , HNO3

c) 13, P , HNO3

d) 18, HNO3, Pe) 10, HNO3, P

6. (UDESC) Seja a reacao abaixo

2KMnO4+aNaNO2+bH2SO4 → xKSO4+yMnSO4+aNaNO3+bH2O

Assinale o ıtem com a soma correta dos coeficientes:a) a + b = 4b) x + y = 3c) a + x = 7d) b + y = 7e) a + b + x + y = 7

Quımica B Aula 9

Solucoes Quımicas

Dispersoes sao sistemas nos quais uma substancia esta dis-seminada, sob forma de pequenas partıculas, numa segundasubstancia. A primeira substancia chama-se disperso ou fasedispersa e a segunda dispersante ou f

¯ase de dispersao.

Classificacao das Dispersoes

A classificacao das dispersoes e feita de acordo com o tamanhomedio das partıculas dispersas:

• solucoes verdadeiras: partıculas com diametro de 0 a1 nm, isto e, de 0 a 10A;

• solucoes coloidais: partıculas com diametro de 1 a100 nm, isto e, de 10 a 1000 A;

• suspensoes: partıculas com diametro acima de 100 nm,isto e, acima de 1000 A.

Lembre que:

1 nm (nanometro) = 10−7 cm = 10−9 m1 A (angstrom) = 10−8 cm = 10−10 m

Solucoes

Solucoes sao misturas homogeneas de duas ou mais sustancias.O disperso recebe o nome de s

¯oluto, e o d

¯ispersante, o nome

de solvente.

Classificacao das Solucoes

Classificam-se as solucoes de acordo os seguintes criterios:

Estado de Agregacao da Solucao

• solucoes solidas: certas ligas metalicas, tambem chama-das de amalgamas, por exemplo CuNi;

• solucoes lıquidas: possuem o solvente lıquido, como asalmora (sal+agua);

• s¯olucoes gasosas: mistura de dois ou mais gases, por exem-

plo, ar atmosferico.

Estado de Agregacao dos Componentes

• Solucoes solido-solido: algumas ligas metalicas(CuNi);

• Solucoes solido-lıquido: sal em agua;

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164 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

• Solucoes solido-gas: naftaleno (naftalina) no ar;

• Solucoes lıquido-solido: agua em solidos higroscopicos(CaCl2);

• Solucoes lıquido-lıquido: agua em alcool;

• Solucoes lıquido-gas: umidade no ar;

• Solucoes gas-solido: hidrogenio retido em platina empo;

• Solucoes gas-lıquido: gas carbonico em bebidas;

• Solucoes gas-gas: todas as misturas gasosas;

Proporcao Entre Soluto e Solvente

• solucoes diluıdas: contem pouco soluto em relacao aosolvente (10 g de NaCl por litro de agua);

• solucoes concentradas: caso contrario (300 g de sal porlitro de agua).

Natureza do Soluto

• solucoes moleculares: quando as partıculas disper-sas sao moleculas. Por exemplo, moleculas de acucar(C12H22O11) em agua;

• solucoes ionicas: quando as partıculas dispersas saoıons. Ions do sal comum (Na+ e Cl−) em agua, por exem-plo;

Importante

• Ha muitas solucoes que apresentam simultaneamentemoleculas e ıons dispersos, por exemplo, numa solucaoaquosa de acido acetico (acido fraco) existem muitasmoleculas (CH3COOH) e poucos ıons (CH3COO− eH+) em solucao.

• Semelhente dissolve Semelhante: substanciasinorganicas sao polares, enquanto que as organicas saoapolares.

O Fenomeno da Saturacao da Solucao

Juntando-se gradativamente NaCl a agua, em temperaturaambiente e sob agitacao contınua, verifica-se que em dado mo-mento o sal nao se dissolve mais. Neste caso isto ocorre quandoha aproximadamente 360 g de NaCl por litro de agua. Daıem diante toda a quantidade adicional de sal que for colocadano sistema ira se depositar ou precipitar no fundo do recipi-ente; dizemos entao, que a solucao esta saturada. O pontode saturacao (coeficiente ou grau de solubilidade S) dependedo soluto, do solvente e das condicoes fısicas, como a tempe-ratura. A pressao passa a ser importante em solucoes ondeexistem gases.

Grau de Solubilidade (S)

O grau de solubilidade e a quantidade de soluto (em gra-mas) necessaria para saturar uma quantidade padrao (em ge-ral 100 g, 1000 g ou 1 litro) de solvente, em determinadascondicoes fısicas de temperatura e pressao.

Exemplo

• S = 357 g de NaCl por litro de agua a 0C;

• S = 1.220 g de AgNO3 por litro de agua a 0C;

• S = 2g de CaSO4 por litro de agua a 0C.

Coloides

Solucao coloidal e uma dispersao onde as partıculas disper-sas tem um tamanho medio compreendido entre 1 a 100 nm(lembre-se 1 nm = 10−7 cm = 10−9 m).

Classificacao dos Coloides

Classificam-se os Coloides segundo varios criterios:

Natureza do Disperso

• coloides micelares: as partıculas dispersas sao agrega-dos de atomos, de moleculas ou de ıons. por exemplo,enxofre em agua;

• coloides moleculares: as partıculas dispersas saomoleculas gigantes. Por exemplo, amido em agua;

• coloides ionicos: as partıculas dispersas sao ıons gigan-tes. Por exemplo: proteına em agua.

Estado Fısico do Disperso e do Dispersante

nome disperso dispersante exemplosol solido solido rubi, safirasol solido lıquido colagel lıquido solido geleiasemulsao lıquido lıquido leite, maioneseaerossol lıquido gasoso neblina, sprayar solido gasoso fumacaespuma gasoso solido pedra-pomesespuma gasoso lıquido chantilly, sabao

Observacao

Quando os coloides do tipo sol possuem como dispersante aagua, eles sao chamados do hidrossois.

Reversibilidade

• reversıveis: afinidade muito grande entre o disperso eo dispersante (liofilos-amigos do lıquido) uma vez o gelobtido, podemos conseguir o sol e voltar ao sistema gel:

Peptizacao – adicao de lıquidoGEL ⇐⇒ SOL

Pectizacao – retirada de lıquido

• Irreversıveis: nao ha intensa afinidade entre as fases, daıserem chamados de liofobos. Ex: enxofre coloidal, metaiscoloidais.

Coloides Protetores (Liofilos)

Os coloides liofobos apresentam disperso e dispersante compouca afinidade entre eles, o que acarreta certa instabilidade.E possıvel aumentar a estabilidade desse tipo de coloide adi-cionando pequena quantidade de um coloide liofilo que tenhacarga micelar de mesmo sinal.

Page 174: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica B – Aula 9 165

A estabilidade aumenta porque as micelas do coloide liofobosao envolvidas por uma pelıcula de coloide liofilo, passando asofrer o fenomeno da s

¯olvatacao.

Exemplos

• A tinta nanquim e um coloide liofobo instavel, protegidopor um coloide aquoso de gelatina;

• Na fabricacao de filmes fotograficos, o AgBr e estabilizadopor gelatina na forma de gel;

• No leite, a manteiga que esta dispersa na forma coloidale estabilizada pela caseına.

• Na maionese, a gema do ovo constitui um coloide protetorque estabiliza a emulsao de azeite e vinagre;

• A clara de ovo atua como estabilizante dos complexos sis-temas coloidais que formam os sorvetes cremosos.

Para Aprender Mais!

As entidades dispersas (micelas) em uma disposicao coloidalsao constantemente bombardeadas pelas moleculas do disper-sante e assim ficam em movimento totalmente desordenadoque podem ser visto num ultra-microscopio. Tal movimentochama-se movimento Browniano, descrito por Robert Brown,em 1827.

Voce Sabia?

A perola e um exemplo de gel, ou seja, uma dispersao coloidalde agua (disperso) em carbonato de calcio (dispersante). Elae produzida por moluscos bivalves, isto e, moluscos com umaconcha de dois pedacos articulados. Existem especies marinhase de agua doce. A perola e produzida quando algum elementoestranho penetra entre o corpo do molusco e a camada daconcha, um grao de areia, por exemplo. Para defender-se, omolusco produz varias camadas de nacar ao redor do corpoestranho, formando a perola.

Pense um Pouco!

• O que diferencia uma solucao diluıda de uma concentrada?

• O nome que se da ao sistema coloidal de um dispersosolido num dispersante lıquido, de modo que o sistemanao tome uma forma definida?

Exercıcios de Aplicacao

1. Qual das trıades abaixo e constituıda por tres coloides?a) leite, fumaca, neblinab) leite, fumaca, oleo-dieselc) fumaca, neblina, gasolinad) gelatina , neblina, cloreto de sodioe) borracha, cola, acucar

2. (UFRS) A uma solucao de cloreto de sodio foi adicionadoum cristal desse sal e verificou-se que este nao se dissolveu, pro-vocando ainda, um aumento de volume do precipitado. Pode-se inferir que a solucao original era:

a) estavelb) diluıdac) saturadad) concentradae) super saturada

3. (OBJETIVO-SP) Quais as solucoes aquosas, contendo umaunica substancia dissolvida, que podem apresentar corpo defundo dessa substancia?a) saturadas e super saturadasb) somente as saturadasc) insaturadas diluıdasd) somente as supersaturadase) insaturadas concentradas

4. (UDESC) Em uma emulsao, a fase dispersa e a fase disper-sante sao, respectivamente:a) solida e solidab) lıquida e solidac) gasosa e gasosad) solida e lıquidae) lıquida e lıquida

Exercıcios Complementares

5. (ITA-SP) Em relacao as misturas de substancias preparadase mantidas num laboratorio de quımica sao feitas as seguintesafirmacoes:

I. O lıquido resultante da adicao do metanol e etanol e mo-nofasico e, portanto, e uma solucao.II. O lıquido transparente que resulta da mistura de carbonatode calcio e agua e que sobrenada o excesso de sal sedimentadoe uma solucao saturada.III. O lıquido turvo que resulta da mistura de hidroxido desodio e uma solucao aquosa de nitrato cuprico e uma suspensaode um solido num lıquido.IV. A fumaca branca que resulta da queima do magnesio aoar e uma solucao de vapor de oxido de magnesio em ar.V. O liquido violeta e transparente que resulta da mistura depermanganato de potassio com agua e uma solucao.

Dessas afirmacoes, esta(ao) incorreta(s) apenas:a) Ib) IIc) IVd) II e Ve) II, III e V

6. (UEPG-PR) Assinale a alternativa que nao caracterizasolucao coloidal.a) Aerossol – nuvensb) Aerossol – fumaca de cigarroc) Espuma – espuma de sabaod) Emulsao – maionesee) Suspensao – agua barrenta

7. (Ucsal-BA) Qual das misturas abaixo exemplifica uma dis-persao coloidal?a) Soro fisiologicob) Acido muriaticoc) Leite pasteurizadod) Agua sanitariae) Alcool hidratado

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Quımica B Aula 10

Funcoes Quımicas

Sais

Sal e toda substancia ionica que resulta da reacao (reacao deneutralizacao) de um acido com uma base.

Exemplo

HCl + NaOH −→ NaCl + H2Oacido base sal agua

Classificacao dos Sais

Classificam-se os sais segundo os seguintes criterios:

Presenca de Oxigenio

• s¯al oxigenado (oxissal): o oxigenio participa da estrutura.

Exemplos: KNO3, Na2SO4;

• s¯al nao-oxigenado: o oxigenio nao participa da estrutura.

Por exemplo: NaCl e NH4Br.

Numero de Elementos Constituintes

• sal binario: sal constituıdo por dois elementos. Exem-plos: KCl, Na2S;

• sal ternario: sal constituıdo por tres elementos. Exem-plos: NaNO3, K2CO3;

• sal quaternario: sal constituıdo por quatro elementos.Exemplos: NH4ClO3, NaOCN .

Natureza dos Ions

• sal normal: nao apresenta hidrogenio ionizavel, nem ıonsOH−. E obtido por reacoes de neutralizacao totais, ouseja, em que a quantidade de ıons H+ do acido e igual aquantidade de ıons OH− da base.

Exemplo

HCl + NaOH −→ NaCl + H2Oacido base sal normal agua

• hidrogenosal: sal que apresenta hidrogenio ionizavel.Forma-se quando so alguns dos hidrogenios ionizaveis saoneutralizados pela base, ocorrendo uma reacao de neutra-lizacao parcial (no caso dos acidos).

Exemplo

H2SO4 + NaOH −→ NaHSO4 + H2Oacido base hidrogenosal agua

• h¯idroxissal: sal que apresenta ıons OH−. Forma-se por

reacao de neutralizacao parcial da base, na qual nem todosos OH− sao neutralizados pelo acido.

Exemplo

HCl + CaOHOH −→ Ca(OH)Cl + H2Oacido base hidroxissal agua

Presenca de Agua no Cristal

– sal hidratado: sal que apresenta moleculas de aguaintercaladas em seu retıculo cristalino; as moleculasde agua constituem a chamada agua de cristalizacaoou agua de hidratacao. Exemplos: CaCl2 · 2H2O,CuSO4 · 5H2O, MgSO4 · 7H2O;

– sal anidro: nao apresenta agua de cristalizacao.Exemplos: NaCl, MgSO4, NaKCO3, BaClBr.

Nomenclatura dos Sais

Os sais podem ser representados pela formula geral B+yx A−x

y ,sendo B um cation diferente de H+ e A um anion diferentede OH−. O ındice de cation e dado pela carga do anion, oındice do anion e dado pela carga do cation, de tal forma queo conjunto e eletricamente neutro.

Assim, para obtermos o nome de um sal a partir de suaformula, basta escrevermos o nome do anion seguido da pre-posicao “de”e do nome cation.

Exemplo

Zn(NO2)2 – nitrito de zincoonde:Zn+2 e o cation zincoNO−2

2 e o anion nitrito.

Como ocorre com as bases, se um elemento formar cations comcargas diferentes, usamos algarismos romanos para diferencia-los ou, ainda, as terminacoes “oso”para o de menor carga e“ico”para o de maior carga.

Exemplo

Por exemplo, o nıquel (Ni) forma os cations Ni+2, que recebe onome de cation niqueloso ou nıquel II; e Ni+3, cation niquelicoou nıquel III.

Assim:

Ni+2 (cation niqueloso ou nıquel II) com CO−23 (anion carbo-

nato) forma o sal NiCO3 chamado de carbonato de nıquel IIou de carbonato niqueloso.

Ni+3 (cation niquelico ou nıquel III) com SO−23 (anion sul-

fito) forma o sal Ni2(SO3) chamado de sulfito de nıquel III ousulfito niquelico.

Oxidos

Oxidos sao compostos formados por dois elementos (compostosbinarios), sendo que o mais eletronegativo desses elementosdeve ser o oxigenio:δ+CO2

δ−, δ+Na2Oδ−, δ+H2O

δ−, δ+SO3δ−

assim, compostos binarios formados por fluor e oxigenio naosao considerados oxidos, pois o fluor e mais eletronegativo queo oxigenio:δ−F — δ+O — F δ− = OF2

δ−F — δ+O — δ+O — F δ− = O2F2

Page 176: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica B – Aula 10 167

Nomenclatura dos Oxidos

Nomeamos os atomos de acordo com os grupos de divisao:

Oxidos Moleculares

O oxido liga-se a um nao metal ou hidrogenio: escrevemos apalavra oxido seguida da preposicao “de”e do nome do ele-mento associado ao oxigenio. Antes da palavra oxido e donome do elemento, colocamos os prefixos mono, di , tri, tetra,penta, etc. para indicar a quantidade de atomos de oxigenio edo elemento existentes na formula.

Exemplos

CO2: dioxido de carbonoN2O5: pentoxido de dinitrogenioCl2O7: heptoxido de dicloroCO: monoxido de carbono ou oxido de carbono

Oxidos Ionicos

O oxido liga-se a um metal:

Exemplos

Na2O: oxido de sodioCaO: oxido de calcioFeO: oxido de ferro II

Classificacao dos Oxidos

Oxidos Basicos

Reagem com agua, formando uma base, e reagem com acidos,formando sal e agua. Para formar uma base, e necessario umcation, portanto esses oxidos sao todos ionicos.

Exemplos

K2O + H2O =⇒ 2KOHK2O + 2HCl =⇒ 2KCl + H2O

Oxidos Acidos

Sao os oxidos que reagem com agua, formando acido, e rea-gem com base, formando sal e agua; estes oxidos sao todosmoleculares.

Exemplos

SO3 + H2O =⇒ H2SO4

SO3 + 2NaOH =⇒ Na2SO4 + H2O

Podemos considerar os oxidos acidos como acidos que perde-ram agua; por isso eles sao tambem chamados de anidridos(sem agua):

Exemplo

H2SO4 −H2O = SO3

Hidretos

Sao os compostos binarios do hidrogenio de formula geralExHy se o H for o elemento mais eletronegativo, ou HyEx

se o H for o elemento menos eletronegativo.

Nomenclatura

Usa-se a palavra Hidreto seguida do nome do elemento ligante.

Exemplos

HCl: hidreto de cloro ou cloridretoHBr: hidreto de bromo ou bromidretoCaH2: hidreto de calcioNH3: amoniaPH3: fosfina

Classificacao

Dependendo do elemento ligado ao hidrogenio, o hidreto podeser:

Ionico

Sao os hidretos de metais mais eletropositivos, ou seja, alca-linos e alcalinos terrosos. Sao tambem chamados de hidretossalinos.

Apresentam carater basico, pois reagem com a agua, produ-zindo base e despresndendo o hidrogenio.

Exemplo

NaH + HOH =⇒ NaOH + Hր2

Molecular

Hidretos de nao-metais e semi-metais.

Exemplos

H2S: sulfidretoHF : fluoridretoNH3: amonia

Os hidretos moleculares dos elementos das famılias 6A (16) e 7A(17) sao acidos em solucao aquosa, isto e, sofrem ionizacao.

Exemplo

HF + H2O =⇒ H3O+ + F−

Voce Sabia?

Os galinhos do tempo sao feitos de plastico, revestidos com umsal de cobalto. O cloreto de cobalto anidro (CoCl2) e azul e ocloreto de cobalto di-hidratado (CoCl2 · 2H2O) e cor-de-rosa.Em dias chuvosos, quando a umidade relativa do ar e maior,o sal, naturalmente, absorve moleculas de agua da atmosfera,deixando o galinho rosa. Quando a umidade relativa do ardiminui, o sal perde gradativamente as moleculas de agua evolta a ser azul.

Para Aprender Mais!

O cloreto de sodio e encontrado na natureza, em jazidas nacrosta terrestre, constituindo o salgema, e nas aguas do mar,de onde ser retira a maior parte desse composto.

A agua do mar e canalizada para reservatorios de pouca pro-fundidade e grande superfıcie, denominados salinas. Os reser-vatorios sao dispostos de tal forma que a agua passa sucessi-vamente por todos e, pela acao do sol e do vento, e evaporada,deixando depositados os sais menos soluveis, como o carbo-nato de calcio, o sulfato de calcio e o sulfato de magnesio. Ocloreto de sodio deposita-se junto com o cloreto de magnesio,que absorve vapor de agua do meio ambiente e se solubiliza,restando cloreto de sodio com alto grau de pureza. No Brasil,o sal de cozinha, conhecido como sal iodado, contem iodetode sodio ou potassio para evitar o bocio (hipertireoide). Alemdisso, contem pequenas quantidades de outros sais que podemse hidratar, como o cloreto de magnesio (MgCl2). Nos diasem que a umidade relativa do ar e maior, ele se transforma emcloreto de magnesio hidratado, que deixa o sal com aspectomolhado, aglutinando as partıculas e entupindo o saleiro.

A solucao contendo 0,92% de cloreto de sodio e conhecida comosoro fisiologico e e usada no combate a desidratacao.

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Pense um Pouco!

• A acidez estomacal, provocada pelo acido clorıdrico, podeser neutralizada utilizando-se uma solucao de que tipo?

Exercıcios de Aplicacao

1. (OSEC-SP) Qual das alternativas abaixo contem a formulado nitrito de sodio e do acido bromico?a) NaNO3 e HBrb) NaNO3 e HBrOc) NaNO2 e HBrO4

d) NaNO2 e HBrO3

e) NaNO2 e HBrO2

2. (UFMG) Seguem varias formulas quımicas com seus nomes.Qual a alternativa errada?a) KNO3 – nitrato de potassiob) Ca(PO4)3 – fosfato de calcioc) Al2(SO4)3 – sulfato de alumıniod) Mg(ClO4) – perclorato de magnesioe) n. d. a.

3. (FEMPAR) Qual a substancia que apresenta oxigenio emsua composicao?a) acido clorıdricob) acido sulfıdricoc) cloreto de fosforod) fluoreto de zincoe) nitrato de prata

Exercıcios Complementares

4. Todas as alternativas apresentam um oxido basico, exceto:a) Na2Ob) CaOc) BaOd) Fe3O4

e) SrO

5. (UEM-PR) A cal viva, a soda caustica, o vinagre, o leitede magnesia e o bicarbonato de sodio sao produtos comerciaisusados em nosso cotidiano. Quimicamente, podemos classifica-los, respectivamente, como:a) oxido, base, acido, base, salb) oxido, sal, base, oxido, salc) base, sal, acido, oxido, sald) oxido, base, acido, oxido, acidoe) sal, base, acido, base, sal

6. (Acafe-SC) O oxido de magnesio e muito usado como anti-acido, neutralizando o excesso de HCl no estomago. Com baseapenas neste fato, podemos classifica-lo como oxido:a) acidob) basicoc) neutrod) salinoe) n. d. a.

Quımica B Aula 11

Propriedades Coligativas

Sabemos que a agua pura congela-se a 0 C e ferve a 100 C,sob pressao normal de 1 atmosfera. No entanto, dissolvendoum pouco de sal comum em agua, ela passara a congelar-seabaixo de 0 C e a ferver acima de 100 C, sob pressao de1 atmosfera. Esses fenomenos sao denominados Efeitos ouPropriedades Coligativas.

Propriedades Coligativas das solucoes sao propriedadesque dependem apenas do numero de partıculas dispersas nasolucao, independentemente da natureza dessas partıculas.

Tanometria

E o estudo de abaixamento da pressao maxima de va-por de um lıquido, que e ocasionado pela dissolucaode um soluto nao-volatil.

Quando um lıquido e colocado num recipiente hermeticamentefechado, onde havia vacuo, ele vai evaporando ate chegar auma situacao na qual a velocidade de evaporacao torna-se iguala velocidade de condensacao.

A partir desse instante tudo se passa como se a evaporacaotivesse parado. Nessa situacao dizemos que os vapores saovapores saturados ou saturantes e dizemos tambem que foiatingida a tensao ou pressao maxima dos vapores. Evidente-mente essa pressao maxima sera maior ou menor, dependendoda natureza do lıquido e da temperatura em que foi feita aexperiencia. Pois bem, se no lıquido anterior for dissolvido umsoluto nao-volatil observa-se que a pressao maxima de vaporesdo lıquido diminui. Definimos entao:

p0: pressao maxima de vapor do lıquido puro, a temperaturaT;

p: pressao maxima de vapor da solucao, na mesma tempera-tura T;

p − p0 = ∆p: abaixamento absoluto da pressao maxima devapor da solucao;p0−p

p0: abaixamento relativo da pressao maxima da vapor da

solucao;

O abaixamento relativo da pressao maxima de vapor de umasolucao pode ser calculado pela Lei de Raoult:

Numa solucao bastante diluıda de um soluto qual-quer, nao-volatil e nao-ionico, o abaixamento relativoda pressao maxima de vapor e diretamente proporci-onal a molalidade da solucao.

p0 − p

p0= KtW = Kt

1.000m1

m2M1

A constante Kt, que aparece nas formulas acima, chama-seconstante tonoscopica (ou tonometrica) molal do sol-vente e pode ser calculada pela equacao:

Kt =M2

1.000

onde, M2 representa a molecula-grama do solvente.

Ebuliometria

E o estudo da elevacao da temperatura de ebulicao de

Page 178: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica B – Aula 11 169

um lıquido, ocasionado pela dissolucao de um solutonao-volatil.

A agua ferve a 100 C, sob pressao de 1 atmosfera. Se dis-solvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na agua, elademorara mais para ferver (ou melhor, so ira ferver em tem-peratura mais alta), como se o sal estivesse dificultando suaevaporacao e sua ebulicao. Esse fenomeno e chamado ebuli-oscopico ou ebuliometrico.

Elevacao da temperatura de ebulicao da solucao (∆Te) e adiferenca entre a temperatura inicial de ebulicao da solucao(T ) e a temperatura de ebulicao do lıquido puro (T0), sobmesma pressao externa.

∆Te = T − T0

onde ∆Te e o chamado efeito ebulioscopico ou ebuliometrico.

Note que devemos dizer temperatura inicial de ebulicao dasolucao porque a medida que a solucao ferve o solvente vaievaporando, a concentracao da solucao vai aumentando a suatemperatura de ebulicao (T ) tambem ira aumentar. Essa pre-ocupacao nao existe em relacao ao lıquido puro, pois durantetoda a ebulicao sua temperatura (T0) se mantem constante.

Lei de Raoult

Numa solucao diluıda de um soluto qualquer, nao-volatil e nao-ionico, a elevacao da temperatura deebulicao e diretamente proporcional a molalidade dasolucao.

∆Te = KeW = Ke1.000m1

m2M1

A constante Ke, que aparece nas formulas anteriores, e deno-minada constante ebulioscopica (ou ebuliometrica) mo-lal do solvente e pode ser calculada pela relacao:

Ke =RT 2

1.000LV

onde:R e a constante universal dos gases perfeitos = 2 cal/mol ·KT e a temperatura absoluta de ebulicao do solvente puro (emK)LV e o calor latente de vaporizacao do solvente puro (em cal/g)

Exemplo

A temperatura de ebulicao da agua ao nıvel do mar e 100 Cou 373 K e o calor latente de vaporizacao LV = 538 cal/g.Consequentemente:

Ke = frac(2)(373)2(1.000)(538) = 0, 52 C

Criometria

E o estudo do abaixamento da temperatura de congelamentode um lıquido, provocado pela dissolucao de outra substancianesse lıquido.

A agua pura congela a 0 C, sob pressao normal. Se dissol-vermos, por exemplo, um pouco de sal comum na agua, elademorara mais para se congelar (ou melhor, so ira congelarem temperatura mais baixa), como se o sal estivesse dificul-tando o seu congelamento.

Esse fenomeno chamado crioscopico ou croimetrico, quetem certa analogia com o fenomeno ebuliometrico, descrito noıtem anterior.

Definimos o baixamento da temperatura de congelamento dasolucao como

∆Tc = T0 − T

, que e chamado de efeito crioscopico ou criometrico.

Lei de Raoult

Numa solucao diluıda de um soluto qualquer, nao-ionico, oabaixamento da temperatura de congelacao e diretamente pro-porcional a molalidade da solucao:

∆Tc = KcW = Kc1.000m1

m2M1

onde a constante Kc e denominada constante crioscopicamolal do solvente pode ser calculada pela relacao:

Kc =RT 2

1.000LF

onde: T e a temperatura absoluta de congelamento do solventepuro (em K)LF e o calor latente de fusao do solvente puro (em cal/g).

Osmoscopia

Entende-se por difusao entre lıquidos o fenomeno da disse-minacao espontanea de um lıquido em outro e vice-versa, demodo a se obter uma mistura homogenea ou sistema mo-nofasico. Este fenomeno pode se dar tambem atraves de mem-branas:

• permeaveis – sao aquelas que permitem a passagemtanto do solvente como do soluto;

• s¯emi-permeaveis – sao aquelas que permitem a passagem

tanto do solvente como do soluto;

• impermeaveis – sao aquelas que nao permitem a passa-gem de soluto e solvente.

Conclusoes de Van’t Hoff

Van’t Hoff verificou existir uma notavel analogia entre pressaodos gases e a pressao osmotica das solucoes diluıdas. A partirdos estudos de Pfeffer, observou-se incrıvel semelhanca com alei de Boyle e com a lei de Charles, dos gases.

“A pressao osmotica de uma solucao e igual a pressaoque o soluto exerceria no estado gasoso, ocupando omesmo volume da solucao, na mesma temperatura.”

Equacao Tipo Gases Perfeitos

Como para os gases perfeitos, ou ideais, a pressao osmoticapode ser escrita como

pV = nRT

onde, p e a pressao osmotica, V o volume da solucao, n onumero de moles do soluto, R a constante dos gases perfeitose T a temperatura absoluta da solucao.

Equacao da Pressao Osmotica

p =n

VRT

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170 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

e como n/V e a molaridade M da solucao, temos

p = MRT

para solucoes moleculares.

Para se obter a pressao osmotica em atm, o valor de R a serutilizado e 0, 082 atm · L/mol ·K).

Para as solucoes ionicas

p = MRTi

Voce Sabia?

Em condicoes normais, a agua entra e sai continuamente dascelulas, difundindo-se em direcao a regiao em que ha me-nor numero de moleculas de agua, estabelecendo o equilıbrioosmotico. Se uma celula viva, por exemplo uma hemacia, forcolocada em solucao salina, que apresente concentracao supe-rior a da celula, havera um fluxo de agua, atraves da membranaplasmatica, de dentro da celula (menor concentracao) para forada celula (maior concentracao), provocando a sua contracao.Ao contrario se o meio for hipotonico, a celula ficara intumes-cida. Isso faz com que a administracao de soro deva ser feitacom solucao isotonica. Nos vegetais existe, alem da membranaplasmatica, outra membrana (celulosica) que limita a entradade agua, evitando que as celulas se rompam.

Para Aprender Mais!

A dessalinizacao e um processo para obtencao de agua potavel,a partir da agua do mar, em locais onde as fontes de agua docesao insuficientes, como algumas regioes do Oriente Medio. Aremocao do sal e feita por osmose reversa, ou seja, o solvente(agua) fara o caminho inverso ao natural, pela aplicacao deuma pressao superior a pressao osmotica. Uma das dificulda-des desse processo e a obtencao de membranas semipermeaveisque resistam a altas pressoes.

Brincadeira de Crianca

Ao jogar sal de cozinha em uma lesma. O sal de cozinha ab-sorve toda a agua da lesma e o animal morre ocorrendo umaosmose visıvel (a passagem de um solvente por uma mem-brana semi-impermeavel). Voce deve ja deve ter feito essaexperiencia peralta quando crianca!

Pense um Pouco!

• A pressao maxima de vapor de agua pura, a 20 C,e 17, 54 mmHg. Dissolvendo-se 36 gramas de glicose(massa molecular=180) em 500 gramas de agua, quaisserao os abaixamentos absoluto e relativo da pressaomaxima de vapor da solucao?

Exercıcios de Aplicacao

1. Dez gramas de uma substancia de massa molecular 266foram dissolvidos em 500 gramas de tetracloreto de carbono.Qual a temperatura de ebulicao da solucao, sob pressao nor-mal? Dados: Te = 77 C (sob pressao normal); LV =46 cal/g.

2. Qual a temperatura de congelamento de uma solucao con-tendo 8, 9 g de antraceno (C14H10) em 256 g de benzeno? Da-dos: Tc = 5, 42 C para o benzeno puro, constante criometricamolal do benzeno = 5,12 C, massas atomicas: H = 1 e C =12.

3. (ITA-SP) Uma solucao de NaCl em agua e aquecida numrecipiente aberto. Qual das afirmacoes abaixo e falsa emrelacao a este sistema?a) A solucao entrara em ebulicao quando sua pressao de vaporfor igual a pressao ambiente.b) A molaridade da solucao aumentara a medida que prosse-guir a ebulicao.c) A temperatura de inıcio de ebulicao e maior que a da aguapura.d) A temperatura aumenta a medida que a ebulicao prosse-gue.e) A composicao do vapor desprendido e a mesma da solucaoresidual.

4. (UFSC) Ao colocar-se uma celula vegetal normal, numasolucao salina concentrada, observar-se-a que ela comecara a“enrugar” e a “murchar”. Sobre esse fenomeno, e correto afir-mar:01. A celula vegetal encontra-se num meio hipotonico emrelacao a sua propria concentracao salina.02. Ha uma diferenca de pressao, dita osmotica, entre a solucaosalina do meio.04. Ha um fluxo de solvente do interior da celula para a solucaosalina do meio.08. Quanto maior for a concentracao da solucao salina externa,menor sera o fluxo de solvente da celula para o meio.26. O fluxo de solvente ocorre atraves de membranas semi-permeaveis.

5. (UDESC) Folhas de alface em contato com a agua perma-necem frescas. Quando imersas em vinagre com sal (temperode saladas) elas ficam murchas apos algum tempo, devido:a) somente a passagem dos ıons cloreto atraves da membranadas celulas do alface.b) a osmose inversa, passagem da agua da solucao de vinagree sal para dentro das celulas do alface.c) a dissociacao do sal no interior das celulas do alface.d) a osmose, passagem da agua do interior das celulas do al-face para a solucao de vinagre e sal.e) somente a passagem dos ıons sodio atraves da membranadas celulas do alface.

Exercıcios Complementares

6. (Puccamp-SP) Num local em que a agua congela a 0 C eferve a 100 C, uma solucao aquosa de glicose ira:a) congelar a 0 C e ferver a 100 C.b) congelar abaixo de 0 C e iniciar a ebulicao abaixo de 100C.c) congelar acima de 0 C e iniciar a ebulicao abaixo de 100C.d) congelar abaixo de 0 C e iniciar a ebulicao acima de 100C.e) congelar acima de 0 C e iniciar a ebulicao acima de 100C.

7. (Acafe-SC) Usando um costume popular, um jovem cobriu

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Quımica B – Aula 12 171

uma ferida com po de cafe, para acelerar sua cicatrizacao. Oefeito coligativo, envolvido na retirada de lıquido que favoreceua cicatrizacao, e:a) tanometricob) criometricoc) ebuliometricod) isometricoe) osmotico

8. (UDESC) A pressao osmotica do sangue na temperaturado corpo, 37 C, e de 7,626 atm. Considerando os solutos nosangue como nao-eletrolitos, a sua molaridade total sera de:a) 0,50 mol/Lb) 0,30 mol/Lc) 1,00 mol/Ld) 0,10 mol/Le) 0,80 mol/L

Quımica B Aula 12

Eletroquımica

Eletroquımica e o estuda da relacao de oxi-reducao que pro-duzem ou sao produzidas pela corrente eletrica.

As pilhas eletricas funcionam com base em reacoes quımicas(oxi-reducao) espontaneas que produzem corrente eletrica.Transformacao de energia quımica em energia eletrica.

Potencial de Oxidacao

Cada metal tem uma capacidade diferente de doar eletrons. Amedida dessa capacidade e chamada de potencial de oxidacao.

O valor numerico do potencial de oxidacao e medido pela vol-tagem da pilha do metal com o gas hidrogenio.

A voltagem da pilha de Zn e gas hidrogenio fornece o potencialde oxidacao do zinco.

Lembre-se!

• oxidacao: e a perda de eletrons por um elementoquımico, ou seja, aumento do NOX;

• reducao: e o ganho de eletrons por um elemento quımico,ou seja, diminuicao do NOX;

• agente oxidante: e o elemento ou substancia que pro-voca oxidacoes (ele proprio se reduzindo);

• agente redutor: e o elemento ou substancia que provocareducoes (ele proprio se oxidando).

Pilha de Daniell

Se baseia na seguinte reacao de oxi-reducao:

Zn + CuSO4 −→ ZnSO4 + Cu

Os eletrons que passam do Zn para o Cu+2, que produzem acorrente eletrica.

Montagem Experimental

Para melhor entendimento do sistema (pilha de Daniel) epossıvel monta-la experimentalmente:

(a) (b) (c)

Lista de Materiais

• Recipiente grande transparente (para mergulhar as cha-pas) com uma placa de porcelana porosa para separar asmeias celulas e sua respectivas solucoes;

• Circuito externo (Fio e cobre);

• Chapa fina de cobre metalico;

• Chapa fina de zinco metalico;

• Solucao aquosa de sulfato de zinco (ZnSO4)

• Solucao aquosa de sulfato cuprico (CuSO4)

• Lampada pequena

Procedimento Experimental

1. Em um dos compartimentos coloca-se uma chapa de zincomergulhada em solucao aquosa de sulfato de zinco, no outrocoloca-se uma chapa de zinco mergulhada em solucao aquosade sulfato de cobre.

2. Liga-se as placas metalicas ao fio condutor e a lampada oumotor;

Analise das Reacoes Quımicas

Com a chapa de zinco, ocorre a seguinte semi-reacao deoxidacao;

Zn =⇒ Zn+2 + 2e− semi-reacao de oxidacao

desse modo a chapa de zinco ”solta”eletrons para o circuitoexterno (fio), a chapa de zinco e chamada de eletrodo negativoou anodo.

Com a chapa de cobre, ocorre a seguinte semi-reacao dereducao,

Cu+2 + 2e− =⇒ Cu semi-reacao de reducao

desse modo o ıon Cu+2 captura os eletrons do circuito ex-terno (fio), a chapa de cobre e chamada de eletrodo positivoou catodo.

A soma das duas equacoes anteriores, fornece a equacao geralda pilha de Daniell:

Zn + Cu+2 =⇒ Zn+2 + Cu

A porcelana porosa deve impedir a mistura das solucoes, masdeve permitir a passagem dos ıons que estao sendo atraıdos ourepelidos pelas forcas eletricas.

Apos um certo tempo de funcionamento da pilha, a chapa dezinco estara corroıda, a chapa de cobre aumentou devido a de-posicao de cobre e as concentracoes das solucoes se alteram.

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172 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Tudo isso e consequencia da propria reacao geral de funciona-mento da pilha:

Zn + CuSO4 =⇒ ZnSO4 + Cu

onde:

– o zinco vai sendo gasto (corroıdo);

– a concentracao da solucao de CuSO4 vai diminuindo;

– o sulfato de cobre formado pela reacao aumentou a concen-tracao da solucao de sulfato de cobre.

– o cobre depositou-se sobre a chapa de Cu, aumentando suamassa.

Convencionou-se representar a pilha da seguinte maneira:

Zn, Zn+2(1M)|Cu+2(1M), Cu(25C)

onde estao indicados os eletrodos, as molaridades das solucoese a temperatura de funcionamento da pilha.

Conclusao

Podemos dizer, que a pilha ou celula eletrolıtica e um disposi-tivo que transforma energia quımica em energia eletrica. Issoe conseguindo, por meio de uma reacao de oxi-reducao, com ooxidante e o redutor separados com compartimentos diferen-tes, de modo que o redutor seja obrigado a entregar os eletronsao oxidante atraves de um circuito externo (fio).

Montagem #2

Outra montagem muito comum de uma pilha e a seguinte:

Num copo de vidro ou (bequer) e colocada uma chapa de zincomergulhada em uma solucao de sulfato de zinco; em outrocolocamos a chapa de cobre mergulhada em uma solucao desulfato cuprico. As duas chapas estao ligadas pelo fio condutorexterno e as duas solucoes sao ligadas pela ponte de salina, quee um tubo simples de vidro recurvado, como vemos na figura,totalmente cheio com solucao de um sal (eletrolito) e tendonas duas extremidades um pouco de algodao para impedir oescoamento da solucao salina.

Calculo da Diferenca de Potencial (ddp)

∆E = Eoxid + Ered forca eletromotriz (V)

Assim para a pilha de Daniel temos :

Eletrodo de Zn/Zn+2 : Eoxid = +0, 76 V

Eletrodo de Cu+2/Cu : Ered = +0, 34 V

∆E = 0, 76 V + 0, 34 V = 1, 10 V

Aplicacoes Praticas das Pilhas

Cada pilha ou elemento apresenta uma forca eletromotriz deaproximadamente 1, 5 V . desse modo, uma associacao em seriede quatro elementos nos da uma bateria de 6, 0 V ; uma de seiselementos nos da uma bateria de 9, 0 V , e assim por diante.

Como o chumbo (anodo), o oxido de chumbo IV impregnado dechumbo (catodo), e o sulfato de chumbo sao solidos, a forca ele-tromotriz do acumulador depende exclusivamente da solucaode acido sulfurico. Por esse motivo, devemos mater constanteo volume de agua.

A descarga consome o acido sulfurico, mas durante a recarga,feita automaticamente pelo gerador ou alternador no motor doveıculo, o acido sulfurico e regenerado e o sulfato de chumbovolta a condicao de chumbo e oxido de chumbo IV.

Nota

As reacoes das baterias (acumulador de chumbo) e Nıquel-cadmio.

E a pilha de Leclanche (seca) com eletrodo central de grafite,pilhas alcalinas e as pilhas de mercurio serao apresentadas eanalisadas com suas respectivas equacoes no quadro negro.

A vantagem das pilhas e que elas podem ser recarregadas mui-tas vezes, sendo utilizadas em telefones, calculadoras, brinque-dos, etc.

As pilhas alcalinas sao usadas em relogios de pulso e aparelhosde surdez, por serem muito pequenas. Elas nao sao recar-regaveis, mais apresentam grande durabilidade.

Eletrolise

E o fenomeno inverso aquele que ocorre numa pilha, isto e, acorrente eletrica provocando uma reacao de oxi-reducao – umprocesso quımico nao-espontaneo.

No polo positivo ocorre oxidacao e no polo negativo, reducao.Logo, o polo positivo e o anodo e o negativo e o catodo.

Eletrolise Ignea

E a eletrolise de um eletrolito no estado fundido. Nela, osolido ionico deve ser liquefeito por aquecimento (fusao), poisassim os ıons tem livre movimento, podendo se deslocar ate oseletrodos e aı descarregarem (ganhar ou perder eletrons).

Eletrolise por via Aquosa com Eletrodos Inertes

Em uma solucao aquosa, alem dos ıons resultantes da disso-ciacao ionica do eletrolito, ha tambem cations H+ e anionsOH− provenientes da auto- ionizacao da agua.

Dessa forma podemos ter em solucao cations C+ e H+ e anionsA− e OH−, de modo que ha uma disputa para a descarga noseletrodos. Entre os cations, descarrega primeiro aquele commaior Ered (maior tendencia em receber eletrons). Entreanions, descarrega primeiro aquele com menor Ered (maiortendencia em doar eletrons).

Estudo Quantitativo da Eletrolise

As pesquisas feitas pelo cientista ingles Michael Faraday (1791-1867) estabeleceram as bases para se determinar as quanti-dades das substancias formadas e da substancia decompostanuma eletrolise.

Assim, as relacoes entre a carga que atravessa a solucao e asmassas dos participantes sao:

– a massa da substancia formada no eletrodo e a massa dasubstancia decomposta sao diretamente proporcionais a cargaeletrica que atravessa a solucao dada por:

Q = it

sendoQ a carga eletrica (em coulombs)i a intensidade da corrente (em amperes)t o tempo (em segundos).

Page 182: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica B – Aula 12 173

Voce Sabia?

A vida vegetal e animal na agua depende de seu carater oxi-dante ou redutor, o que e dado pela equacao:

O2 + 4H+ + 4e− =⇒ 2H2O

cujo E varia aproximadamente de +0, 3 V (para agua aerada)a −0, 6 V (para agua com pouco ar). Quanto maior o E maisoxidante sera o meio aquoso.

Para Aprender Mais!

Eletrolise Industrial do NaCl

A eletrolise aquosa do sal produz hidrogenio (H2), cloro (Cl2)e soda caustica (NaOH). Esse processo envolve o consumode grandes quantidades de energia, por isso as industriasinstalam-se preferencialmente em regioes onde a fonte de clo-reto de sodio e a energia eletrica sao custo mais baixo. Ohidroxido de sodio, conhecido como soda caustica, e o prin-cipal produto dessa eletrolise, e a base mais barata e maisimportante como materia prima, sendo usada na fabricacao desabao, detergentes, papel, sais de sodio, refinacao de petroleo,purificacao de oleos vegetais, industria textil, entre outros. Ocloro e usado como desinfetante por ser um agente bactericida,no tratamento da agua e esgotos, no branqueamento da celu-lose, na fabricacao de inseticidas como BHC, na preparacao dePVC, na fabricacao de hipocloritos, entre outros.

O Hidrogenio e extremamente reativo e perigosos de ser ma-nipulado, pois e explosivo e inflamavel. Ele e usado na hi-drogenacao de oleos vegetais (producao de margarinas), naproducao de amonıacos (NH3), como combustıvel de fogue-tes, em macaricos oxıdricos, etc.

A reacao entre o hidrogenio e cloro produz o cloreto dehidrogenio (HCl), que dissolvido em agua produz acidoclorıdrico, usado na limpeza de superfıcies metalicas que seraogalvanizadas. O acido muriatico e o acido clorıdrico contendoimpurezas, usado na limpeza de chao.

O hipoclorito de sodio e obtido pela passagem de uma correntede gas cloro pela solucao de hidroxido de sodio e e usado comoalvejante e desinfetante.

Brasil Pesquisa a Hidrogenio

Imagine um automovel que funciona alimentado por uma fontede energia tao limpa que o unico resıduo que produz e va-por de agua. Parece sonho, mas ja existem no mundo al-guns prototipos desse veıculo. Trata-se do carro movido a hi-drogenio. E um grande problema tecnologico que ainda precisaser resolvido para que sua producao em grande escala possaser pensada e uma forma segura e economicamente viavel dearmazenar o ”combustıvel”. Isso porque o hidrogenio e um gasaltamente combustıvel e instavel. Basta lembrar que o Zeppe-lin incendiou-se com hidrogenio gasoso e a Challenger explodiua partir de seus tanques de hidrogenio lıquido.

A solucao tem grandes chances de nascer no Brasil. Para isso, aCoordenacao de Programas de Pos-Graduacao em Engenharia(Coope) da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ),esta desenvolvendo, uma parceria com a Renault, uma dasmais promissoras linhas de pesquisa em curso no mundo: o”tanque”macico no qual atomos de hidrogenio sao ”embuti-dos”dentro da estrutura atomica do metal. A parceria repre-

senta a primeira vez que a Renault transfere parte de sua pes-quisa para fora da Franca.

O carro de hidrogenio nao polui porque nao queima com-bustıvel. Seu motor ”arranca”energia eletrica do hidrogeniopor meio de reacoes quımicas limpas. Nesse automovel, umacelula (ou pilha) combustıvel realiza o inverso da eletrolise,combinando atomos de hidrogenio e de oxigenio. O processoproduz vapor de agua e uma corrente eletrica.

Alem de limpo, o motor a hidrogenio e muito mais eficienteque os motores convencionais a explosao usados hoje nos au-tomoveis. Enquanto um motor eletrico transforma em ener-gia mecanica (movimento) quase 100% da energia que produz,um motor a explosao converte em movimento menos de 30%da energia gerada pela queima do combustıvel. O restanteperde-se sob a forma do calor produzido pelo movimento dospistoes.

O Laboratorio de Hidrogenio da Coppe esta investido numa al-ternativa bem diferente, que permitiria armazenar num espacopequeno grandes quantidades de hidrogenio destituıdo do seupotencial explosivo. Para isso, os cientistas quebram asmoleculas de hidrogenio, separando seus dois atomos, que porserem muito pequenos, podem ser ”embutidos”dentro da estru-tura do metal de um ”tanque”macico. Parece ficcao, mas, nolaboratorio da Coope, os cientistas conseguem com exito ”em-butir”o hidrogenio no metal e regata-lo novamente na formagasosa.

Pense um Pouco!

• De acordo com as reacoes do Al e do Co:

Al+3 + 3e− =⇒ Al -1,66 V

Co+2 + 2e− =⇒ Co -0,28 V

Responda:a) Qual deles se reduz mais facilmente?b) Qual deles se oxida mais facilmente?c) Qual o melhor agente redutor?d) Qual o melhor agente oxidante?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFSM-RS) Um procedimento utilizado para limpar obje-tos de prata e coloca-los em um recipiente de alumınio comagua quente e NaHSO3. Este processo pode ser expresso pelareacao:

2Al + 3Ag2S =⇒ Al2S3 + 6Ag

Podemos afirmar que a reacao ocorre porque:a) o Al e mais reativo e reduz a pratab) o Al e mais reativo e oxida o msulfetoc) os metais a esquerda de H sao facilmente reduzidosd) a prata e um bom agente redutore) o sulfeto de prata e facilmente oxidado

2. (UFSC) Com base no diagrama da pilha

Zn|Zn+(1M)||Ag+(1M)|Ag

e nos potenciais padroes de oxidacao, a 25 C, das semi-reacoes:

Zn =⇒ Zn+2 + 2e− E = +0,76V

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174 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Ag =⇒ Ag+ + e− E= -0,80V

e correto afirmar que:01. Os atomos de zinco sofrerao oxidacao.02. Os atomos de prata perderao eletrons.04. O catodo da pilha sera eletrodo de prata.08. Entre os eletrodos de Zn e Ag existe uma diferenca depotencial padrao de 2,36 volts.16. A massa do eletrodo de zinco diminui com o tempo.32. O sentido espontaneo do processo sera: 64. n+2 +2Ag =⇒Zn + 2Ag+

3. (UFRGS) Um jovem, apos utilizar uma solucao de sulfatode cobre II para proteger sua parreira, armazenou-a em umbalde de ferro. Depois de algum tempo observou que o baldeestava furado e que havia se formado um deposito averme-lhado. O metal avermelhado pode ser:a) oxido de cobre IIb) sulfeto de cobre IIc) sulfeto de ferro IId) ferro metalicoe) cobre metalico

Exercıcios Complementares

4. (ULBRA-RS) A reacao de eletrolise e utilizada para:a) obtencao da eletricidade nas pilhasb) fazer destilacao do petroleoc) eletrodeposicao de metais, como a cromacaod) o branqueamento de fibras no fabrico do papele) fabricar saboes a partir de gorduras

5. (UFRGS) A maioria dos metais alcalinos terrosos foi obtidapela primeira vez por Humphry Davy, no inıcio do seculo XIX,por eletrolise das respectivas bases fundidas. Os metais naopoderiam ser obtidos a partir de solucoes aquosas de suas basesou de seus sais porque:a) os metais se oxidariamb) os metais se reduziriam espontaneamente no eletrodoc) a agua sofreria oxidacaod) o numero de oxidacoes dos metais aumentariae) a reducao da agua ocorreria preferencialmente

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Quımica Organica – Aula 1 175

Quımica Organica Aula 1

Introducao a Quımica Organica

BERZELIUS

“Somente os seres vivos podem transformar substancias mine-rais em organicas” (Teoria da Forca Vital)

WHOLLER

Sıntese da ureia (composto organico) a partir do cianato deamonio (composto inorganico) em laboratorio.

NH2

\

NH4CNO --- C = O

/

NH2

Caracterısticas do Carbono

Postulados de Kekule:

1. E tetracovalente.

2. Os angulos entre as valencias sao de 10928′, adquirindoa forma de um tetraedro regular.

3. Possui a propriedade de encadeamento.

4. Um atomo de carbono pode formar uma, duas ou ate tresligacoes com um segundo atomo, realizando, assim, res-pectivamente, ligacoes simples, duplas ou triplas.

Assim, classificamos as ligacoes do carbono em:

• Sigma (σ): E a primeira ligacao entre dois atomos.Ocorre, neste caso, uma superposicao de orbitais (over-lap).

• Pi (π): Sao as segundas e terceiras ligacoes entre doisatomos. Agora, o que ocorre e uma aproximacao entre osorbitais.

Ligacoes

Quanto ao numero de atomos de C unidos diretamente a ele:

• carbono primario: liga-se a 1 atomo de carbono;

• carbono secundario: liga-se a 2 atomos de carbono;

• carbono terciario: liga-se a 3 atomos de carbono;

• carbono quaternario: liga-se a 4 atomos de carbono;

Saturacao

SATURADO e aquele que apresenta apenas simples ligacoes;

C – C – C – C

INSATURADO, aquele que apresenta dupla ou tripla ligacao:

C == C – C – C

Hibridizacao do Carbono

1. sp3 (tetraedrica)

• e a fusao de quatro orbitais (um do tipo s e tres dotipo p) formando quatro orbitais do tipo sp3;

• forma somente ligacoes simples;

• angulo entre as valencias: 10928′;

• e caracterıstica dos alcanos;

• carbono liga-se a outros quatro atomos.

2. sp2 (trigonal)

• e a fusao de um orbital s com dois orbitais p, for-mando tres orbitais do tipo sp2;

• forma duas ligacoes simples e uma dupla;

• angulo entre as valencias: 120;

• e caracterıstica dos alcenos;

• carbono liga-se a outros tres atomos.

3. sp (linear)

• e a fusao de um orbital s com um p formando doisorbitais do tipo sp;

• pode formar duas ligacoes duplas ou uma tripla euma simples;

• angulo entre as valencias: 180;

• e caracterıstica dos alcinos e alcadienos;

• carbono liga-se a outros dois atomos.

Resumo

sp3

sp

sp

sp

Tipo de ligação Representação HibridaçãoÂngulo entreas valências

Só ligaçoes

Uma dupla

Uma tripla

Duas duplas

simples

ligação

ligação

ligações

C

C

C

C

2

109 28´

180

180

120

Elementos Organogenos

Sao os elementos que formam os compostos organicos. Os maisfrequentes sao: C, H, O, N.

Cadeias Carbonicas e Radicais

Tomemos, por exemplo, o composto:

CH3 CH3

| |

CH3 -- CH -- CH -- CH -- C -- CH2 -- CH3

| | |

CH2 CH2 CH3

| |

CH3 CH3

Podemos separa-lo em duas partes principais:

Page 185: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

176 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Cadeia Principal

E a maior sequencia de carbonos, ininterrupta, que abrange aprincipal caracterıstica do composto.

Radicais Organicos

Sao grupamentos de atomos contendo carbono, que se unem acadeia principal por ligacoes (valencias). O composto acima,separado nas duas partes descritas, ficaria:

CH3 CH3 CH3

| | |

CH2 - CH2 - CH - CH - CH - C - CH2 - CH3

| |

CH2 CH3

|

CH3

Ou seja, a Cadeia Principal possui 8 carbonos, e um total de 5radicais, sendo 4 constituıdos por um carbono e 1 constituıdopor 2 carbonos.

CLASSIFICACAO DAS CADEIAS

1. SATURADA: Cadeia cujos carbonos, se unem por simplesligacao:

Ex. CH3 – CH2 – CH3

2. INSATURADA: Cadeia cujos carbonos se unem por du-plas e/ou triplas ligacoes:

Ex. CH2 == CH – CH3

3. HOMOGENEA: Cadeia cujo nucleo so e constituıdo porcarbonos.

Ex. CH3 – CH2 – CH3

4. HETEROGENEA: Cadeia que apresenta um heteroatomo(N, O, S), ou seja, atomo diferente de carbono unido a pelomenos dois outros carbonos.

Ex. CH3 – O – CH2 – CH3

5. NORMAL: Cadeia nao ramificada, ou seja, constituıdapor carbonos primarios e secundarios somente. Ex. CH3– CH2 – CH == CH2

6. RAMIFICADA: cadeia que apresenta ramos ou rami-ficacoes (radicais).

CH3

|

CH3 - CH - CH2

7. MISTA: cadeia cıclica ramificada, ou seja, apresentandoparte cıclica e parte acıclica.

CH - CH3

| |

CH3 - CH - CH2

8. HOMOCICLICA: cadeia cujo nucleo so apresenta atomosde carbono:

9. HETEROCICLICA: cadeia cıclica com heteroatomo.

CH2 --- CH2

| |

CH2 - O - CH2

10. AROMATICA: cadeia cıclica, contendo um anel de ben-zeno, que apresenta efeito de ressonancia.

• MONONUCLEADA: um unico nucleo ressonante.

• POLINUCLEADA DE NUCLEOS CONDENSA-DOS: mais de um nucleo fundido.

• POLINUCLEADA DE NUCLEOS ISOLADOS:mais de um nucleo separado entre si.

CH3

(a) (b) (c)

Figura 2.1: Cadeias aromaticas mononucleada (a), polinucle-ada com nucleos condensados (b) e com nucleos isolados (c)

Radicais derivados do Benzeno

Regra adicional: se contiver 2 valencias, as mesmas sao indica-das por ORTO (posicao 1 e 2), META (posicao 1 e 3) e PARA(posicao 1 e 4):

Exemplo:

CH3

1

CH3

CH3

1

CH3

CH3

CH3

1

2

3

4

P−dimetil−benzenoM−dimetil−benzenoO−dimetil−benzeno

Resumo

HIDROCARBONETOS

ALIFÁTICOS AROMÁTICOS

Saturados Insaturados

Radicais Alquilo

Alcanos

Alcenos −− ligações duplas

Alcinos −− ligações triplas

Pense um Pouco!

• Como e possıvel ter tantos compostos de carbono?

• Quımica organica pode ser somente definida como aquımica extraıda de seres vivos?

Page 186: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica Organica – Aula 1 177

Exercıcios de Aplicacao

1. (PUC-SP) Na formula:

H3C H

\ |

CH - C - CH2 - CH - CH3

/ | | |

H3C H CH3 CH3

as quantidades totais de atomo de carbonos primario, se-cundario e terciario sao, respectivamente:a) 5, 1 e 3;b) 2, 3 e 4;c) 3, 3 e 2;d) 2, 4 e 3;e) 5, 2 e 2.

2. Sabe-se que uma cadeia carbonica alifatica, homogenea esaturada apresenta dois atomos de carbono secundario, doisatomos de carbono quaternario e tres atomos de carbonoterciario. Logo, essa cadeia apresenta:a) 12 atomos de C;b) 14 atomos de C;c) 16 atomos de C;d) 13 atomos de C;e) 15 atomos de C.

3. Carbono quaternario e aquele que:a) tem, quatro ligacoes;b) e tetravalente;c) esta ligado a quatro elementos quaisquer;d) esta ligado a quatro outros atomos de carbono;e) n.d.a.

4. O numero de ligacoes (sigma) e o de ligacoes (pi) namolecula do ciclopenteno sao,

respectivamente:a) 5 e 1;b) 4 e 2;c) 10 e 2;d) 13 e 1;e) 12 e 2.

5. Um composto cıclico, com 3 carbonos e uma dupla ligacao,tera formula molecular.a) C3H2b) C3H3c) C3H4d) C3H5e) C3H6

6. (CARLOS CHAGAS) O modelo espacial classico do atomode carbono, um tetraedro regular cujo centro e ocupado peloatomo e cujos vertices representam as valencias, e devido a:a) Lavoisier;b) Faraday;c) Wolher;d) Guldberg e Waage;e) Kekule.

7. (CARLOS CHAGAS) Um composto aberto, com 4 carbo-nos e uma dupla ligacao, sendo constituıdo apenas por carbo-nos e hidrogenios, tera formula molecular:a) C4H10b) C4H8c) C4H6d) C4H4e) C4H5

Exercıcios Complementares

8. Quımica organica e a parte da Quımica que estuda:a) O atomo de carbono.b) Todos os compostos do elemento carbono.c) Os compostos dos elementos organogenos.d) Os compostos de todos os elementos quımicos.e) n.d.a.

9. Os principais elementos organogenos, sao:a) C, H, O, Nb) C, H, O, Sc) C, H, O, Id) C, H, S, Ne) C, H, O, Cl

10. (PUC) Classifique a cadeia

H O H H O

| || || | //

H - C - C - C - C - C

| | | \

H H CH3 OH

segundo suas caracterısticas:a) aberta, ramificada, homogenea e saturada;b) aberta, normal, heterogenea e insaturada;c) aberta, ramificada, homogenea e insaturada;d) aberta, normal, homogenea e saturada;e) aberta, ramificada, heterogenea e insaturada

11. (UFCE) A “nicotina´´ pode ser representada pelaformula.

Page 187: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

178 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

N

N

CH3

Quantos atomos de carbono e quantos atomos de hidrogenioexistem em uma molecula deste composto?a) 10 e 13b) 10 e 14c) 9 e 12d) 8 e 14e) n.d.a.

12. (CARLOS CHAGAS) O naftaleno, cuja estrutura e:

Apresenta cadeia:a) cıclica, acıclica, insaturada;b) cıclica, aromatica, mononucleada;c) acıclica, insaturada, ramificada;d) cıclica, aromatica, polinucleada;e) acıclica, homogenea, insaturada.

Quımica Organica B Aula2

Nomenclatura

A nomenclatura atualmente adaptada pela comunidade ci-entıfica, a IUPAC, os compostos organicos mais simples e queconstituem a base de todos os outros sao os hidrocarbonetos,constituıdos por apenas dois elementos carbono e hidrogenio.

Estruturalmente, os hidrocarbonetos podem ser divididos emdois grandes grupos: hidrocarbonetos alifaticos e hidrocarbo-netos aromaticos, caracterizando-se estes ultimos por apresen-tarem um ciclo de 6 atomos de carbono com caracterısticasmuito especıficas.

A informacao do numero de atomos de carbono que se encon-tram representados na cadeia principal e dada pelo prefixo donome do composto em estudo.

Tabela de Prefixos

Os prefixos numericos relacionados com o numero de carbonos.

Carbonos Prefixo Estrutura1 MET C2 ET C-C3 PROP C-C -C4 BUT C-C-C-C5 PENT C-C-C-C-C6 HEX C-C-C-C-C-C7 HEPT C-C-C-C-C-C-C

Em compostos que apresentem um numero de atomos de car-bono superior a 7, e adaptado o prefixo da numeracao gregacorrespondente a mesma, de modo analogo ao prefixo das ca-deias de 5, 6 e 7 atomos ligados, respectivamente.

Alcanos (parafinas): sao hidrocarbonetos de cadeia aberta, sa-turada e de formula geral:

CnH2n+2

em que n e o numero de atomos de carbono.

Em condicoes ambientais alcanos apresentam os estados fısicos:gasoso (1 a 4 carbonos), lıquido (5 a 18 carbonos) e solido(mais de 18 carbonos). Sao obtidos do petroleo e gas natural.Alcenos e alcinos apresentam propriedades fısicas semelhantesaos alcanos.

Nomenclatura Organica

Nome = PREFIXO + AFIXO + SUFIXO

• Prefixo: indica o numero de atomos de carbono perten-centes a cadeia principal.

Ex. met (1), et (2), prop (3), but (4), etc.

• Afixo ou infixo: indica o tipo de ligacao entre os carbo-nos:

Todas simples = an

uma dupla = emduas duplas = dientres duplas = trien

uma tripla = induas triplas = diin

• Sufixo: indica a funcao quımica do composto organico:

hidrocarboneto = no alcool = ol aldeıdo = al cetona =ona acido carboxılico = oico amina = amina eter = oxi

Alcanos de Cadeia Normal

Junta-se o prefixo + infixo + ano.

Exemplo

Metano, etano, propano, butano, pentano, hexano, heptano,octano, nonano, decano, undecano, dodecano, etc.

Page 188: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica Organica B – Aula 2 179

Alcenos (olefinas)

Sao hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por umaligacao dupla entre carbonos e de formula geral:

CnH2n

em que n e o numero de carbonos.

Alcenos

Para os alcenos de cadeia normal e de cadeia ramificada anomenclatura e muito semelhante a nomenclatura utilizadapara os alcanos. Troca-se a terminacao ano do alcano poreno.

Regras

1. A cadeia principal e a mais longa que contem a duplaligacao.

2. A numeracao da cadeia principal e sempre feita a partirda extremidade mais proxima da dupla ligacao, independen-temente das ramificacoes presentes na cadeia. No nome doalceno a posicao da dupla e dada pelo numero do primeirocarbono da dupla; esse numero e escrito antes do nome doalceno.

3. Se houver mais de uma possibilidade para a cadeia principaladota-se a regra dos menores numeros.

Alcinos

Sao hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por umaligacao tripla entre carbonos e de formula geral:

CnH2n−2

em que n e o numero de carbonos.

Nomenclatura dos Alcinos

Para os alcino de cadeia normal e de cadeia ramificada e muitosemelhante a nomenclatura utilizada para os alcanos. Troca-sea terminacao ano do alcano por ino.

Ciclanos (cicloparafinas)

Sao hidrocarbonetos de cadeia fechada, saturada, so apresen-tam ligacoes entre os atomos de carbono do ciclo, e de formulageral:

CnH2n

em que n e o numero de carbonos.

Ciclenos

Nomenclatura dos ciclenos de cadeia normal e de cadeia rami-ficada:

I. O nome e dado adicionando-se o prefixo CICLO ao nome doalceno correspondente;

II. Quando a cadeia for ramificada, a numeracao da cadeiase inicia a partir do carbono da ligacao dupla (a dupla deveficar entre o carbono 1 e 2) e segue-se o sentido horario ouanti-horario, de maneira a se respeitar a regra dos menoresnumeros;

III. As ramificacoes devem ser citadas em ordem alfabetica;

Funcoes Oxigenadas

Alcoois

Sao compostos organicos que apresentam um ou mais gruposhidroxilas (OH) ligados a atomos de carbono saturados. Osalcoois sao mais reativos que os hidrocarbonetos e apresentamcarater praticamente neutro. Na nomenclatura dos alcoois uti-lizamos o sufixo ol para indicar o grupo funcional (OH).

Classificacao dos Alcoois

Quanto a posicao do grupo OH :

I. Alcool primario: a hidroxila esta ligada a um atomo decarbono primario.

II. Alcool secundario: a hidroxila esta ligada a um atomo decarbono secundario.

III. Alcool terciario: a hidroxila esta ligada a um atomo decarbono terciario

Quanto ao numero de hidroxilas:

I. Monoalcool : possui somente 1 grupo funcional OH

II. Dialcool: possui 2 grupos funcionais OH

III. Trialcool: possui 3 grupos funcionais OH

Fenois

Sao compostos organicos em que o grupo OH se liga direta-mente ao anel benzenico. Os fenois apresentam carater acido,em sua nomenclatura usamos o prefixo hidroxi.

Aldeıdos

Sao compostos organicos que apresentam o grupo carbonila naextremidade do composto. Os aldeıdos sao desidratantes, emsua nomenclatura usamos o sufixo al.

Formula Geral

O

//

R - C

\

H

Cetonas

sao compostos organicos que apresentam o grupo carbonilaentre carbonos. Em sua nomenclatura usamos o sufixo ona.

Formula Geral

O

//

R - C - R

Haletos Organicos

Sao compostos derivados dos hidrocarbonetos pela troca deum ou mais hidrogenios por halogenios (F, Cl, Br, I).

Formula Geral

R - X

Page 189: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

180 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Eteres

Ssao compostos organicos que apresentam um oxigenio ligadoa dois radicais organicos. Os eteres sao obtidos a partir dadesidratacao intermolecular dos alcoois. Sua nomenclatura ecomposta pelo radical menor escrito com a terminacao oxi,seguido do nome do hidrocarboneto correspondente ao radicalmaior.

Formula Geral

R - O - R

Acidos Carboxılicos

: sao compostos organicos que apresentam a hidroxila ligadaao grupo carbonila. Os acidos carboxılicos tem carater acido,em sua nomenclatura usamos o prefixo acido e o sufixo oico.

Formula Geral

O

//

R - C

\

OH

Esteres: sao compostos organicos usados como essencias.Constituem tambem oleos vegetais e animais, ceras e gordura.Sao obtidos a partir da reacao entre alcool ou fenol e acidocarboxılico. Sua nomenclatura e composta pelo nome do acidoformador trocando a terminacao ico por ato seguido pela pre-posicao de e pelo nome do radical correspondente ao alcool oufenol.

Formula Geral

O

//

R - C

\

O - R

Sais de Acidos Carboxılicos

Sao compostos organicos que derivam dos acidos carboxılicospela substituicao do hidrogenio da hidroxila por um metal.Em sua nomenclatura, da-se o sufixo ato ao nome da cadeiade origem (igual aos esteres) seguido da preposicao de e donome metal. Os sais de acidos carboxılicos de cadeia longa saodenominados de saboes.

Formula Geral

O

//

R - C

\ +

ONa

Haletos de Acidos

Sao compostos organicos que derivam dos acidos carboxılicospela substituicao da hidroxila por um halogenio. Em sua no-menclatura, o nome do anion correspondente ao haleto seguidoda preposicao de e do nome do acido de origem com a ter-minacao ila.

Formula Geral

O

//

R - C

\

X

Anidridos de Acido Carboxılico

Sao compostos organicos obtidos pela desidratacao inter- mo-lecular de dois acidos carboxılicos. Sua nomenclatura e com-posta pela palavra anidrido seguido do nome do menor acidoe por fim o nome do maior acido. Caso o anidrido possuircadeias iguais, nao se deve repetir o nome do acido.

Formula Geral

O

//

R - C

\

O

/

R - C

\\

O

Funcoes Nitrogenadas

Aminas

Sao compostos organicos derivados da amonia (NH3) pelasubstituicao de um ou mais hidrogenios por radicais alquilaou arila. As aminas sao usadas como corantes. Em sua no-menclatura usa-se o nome do radical

Formula Geral

H

/

R - N

\

H (amina primaria)

H

/

R - N

\

R (amina secundaria)

R

/

R - N

\

R (amina terciaria)

Amidas

Sao compostos organicos obtidos normalmente da reacao deum acido carboxılico e uma amina. Em sua nomenclatura,substitui-se a terminacao oico do acido carboxılico por amida.Sao usados na preparacao de medicamentos.

Formula Geral

O

//

Page 190: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Quımica Organica B – Aula 2 181

R - C

\

NH2

Nitrilas

Sao compostos organicos obtidos do acido cianıdrico pela subs-tituicao do hidrogenio por um radical derivado de hidrocarbo-neto. Em sua nomenclatura, usa-se o nome do hidrocarbonetocorrespondente seguido do sufixo nitrila.

Formula Geral

R - C

\\\

N

Nitro Compostos

Sao compostos organicos derivados do acido nıtrico pela subs-tituicao da hidroxila por um radical alquila ou arila. Em suanomenclatura, usa-se o prefixo nitro seguido do nome do hi-drocarboneto correspondente.

Formula Geral

O

//

R - N ou R - NO2

‘.

‘O

Curiosidade

Computadores organicos atualmente estudados, tem processa-dores ultra-pequenos, 100 bilhoes de vezes mais rapidos que osatuais. a tecnologia adotada emprega ”Molecular Switches”,que, na verdade, sao moleculas organicas que desempenham opapel dos mais variados componentes eletronicos de um micro-processador.

Pense um Pouco!

• Os compostos organicos sao usados largamente pela indus-tria quımica. Voce conhece alguns compostos? Comentee de suas respectivas formulas estruturais.

• Uma das aminas responsaveis pelo cheiro de peixe e atrimetilamina. De sua formula molecular.

Exercıcios de Aplicacao

1. (ITA-2004) A estrutura molecular da morfina esta repre-sentada abaixo.

Assinale a opcao que apresenta dois dos grupos funcionais pre-sentes nesta substancia.a) Alcool e ester.b) Amina e eter.c) Alcool e cetona.d) Acido carboxılico e amina.e) Amida e ester.

2. Escreva as formulas de estrutura dos seguintes compostos:a) 2,2,4-trimetil pentanob) 2-bromopropenoc) propinod) 2,2-dicloro-1-fluoro-3-iodobutanoe) 2,5-hexanodiolf) eter etilfenılicog) eter dipropılicoh) etanoli) 5-etil-5-metil-heptanona-3j) benzaldeıdok) acido 2-cloro-2-metil propanoicol) etanoato de butilom) pentanamidan) etilfenilmetilaminao) ciclopentanop) ciclobuteno

3. O teflon e usado em panelas como frigideiras com finalida-des de nao permitir a aderencia de gordura

FF

||

F - C - C - F

Sua nomenclatura oficial sera:a) fluor-etanob) difluor-metanoc) tetrafluor-etenod) butano-fluore) n. d. a.

4. (UFSCAR-2004) A morfina e um alcaloide que constitui10% da composicao quımica do opio, responsavel pelos efeitosnarcoticos desta droga. A morfina e eficaz contra dores muitofortes, utilizada em pacientes com doencas terminais muito do-lorosas. Algumas das funcoes organicas existentes na estruturada morfina sao:a) alcool, amida e ester.b) alcool, amida e eter.c) alcool, aldeıdo e fenol.d) amina, eter e fenol.e) amina, aldeıdo e amida

Page 191: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

182 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

5. (UNESP-2004) Durante a guerra do Vietna (decada de 60do seculo passado), foi usado um composto chamado agentelaranja (ou 2,4-D) que, atuando como desfolhante das arvores,impedia que os soldados vietnamitas (os vietcongues) se ocul-tassem nas florestas durante os ataques dos bombardeiros.Esse material continha uma impureza, resultante do processode sua fabricacao, altamente cancerıgena, chamada dioxina.As formulas estruturais para estes compostos sao apresenta-das a seguir.

Esses compostos apresentam em comum as funcoes:a) amina e acido carboxılicob) acido carboxılico e amida.c) eter e haleto organico.d) cetona e aldeıdo.e) haleto organico e amida.

6. O Biodigestor promove, atraves da atividade de bacterias,a conversao dos esgotos em material inerte e em biogas. Oprincipal biogas obtido neste reator e:a) CH4b) CH3CH2OHc) NO2d) SO2e) C2H6

Exercıcios Complementares

7. (UFMA) A reacao: alcool + acido carboxılico, produz:a) eterb) haleto de alcoılac) anidrido de acidod) ester e aguae) sal e agua

8. Os grupos organicos obtidos a partir dos alcanos pela perdados atomos de hidrogenio

CH3 - CH2 - CH - CH3

|

H*

CH3 - CH - CH3

|

H*

assinalados com asterisco, denominam-se respectivamente:a) isobutil e s-pentil;b) isobutil e isopropil;c) s-butil e isopropil;

d) s-butil e s-pontil.e) n. d. a.

9. De a nomenclatura (IUPAC) do composto abaixo:

10. (SUPRA-98) A partir de novembro do proximo ano 1999,chegara ao estado de santa Catarina gas natural provenienteda Bolıvia, via Mato Grosso do Sul passando por Sao Paulo,Parana, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. O gas naturale utilizado com exito nos paıses desenvolvidos e estara dis-ponıvel para uso industrial, comercial e residencial. A medioprazo trara economia aos seus usuarios substituindo o empregode oleo diesel nas industrias. As vantagens ecologicas sao asprimeiras destacadas por quem conhece os resultados do usodo gas natural. O gas nao e poluente, porque nao emite cinzase tem queima de 97%, nao necessita de tratamento efluentesgasoso e nao interfere na coloracao dos produtos fabricados (es-pecialmente a ceramica). Registros da Petrobras responsavelpelo gasoduto Bolıvia- Brasil.

Este texto refere-se ao gas:a) etanob) propanoc) benzenod) metanoe) acetileno

11. (ACE) A gasolina e constituıda principalmente por:a) mistura de alcanos.b) Mistura de hidretosc) Mistura de alcooisd) Mistura de compostos de chumboe) n. d. a.

12. (UF-SAO CARLOS) Um alcanos encontrado nas folhasde repolho contem em sua formula 64 atomos de hidrogenio.O numero de atomos de carbono na formula e:a) 29b) 32c) 30d) 33e) 31

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Matematica

Matematica A Aula 1

Relacoes e Funcoes

Relacoes

Definimos relacao como:

Dados dois conjuntos nao vazios S e T chama-se relacao R deS em T qualquer subconjunto de Sxt. Assim, R esta contidoem Sxt (R ⊂ SxT ).

Exemplo

R = (x, y)/x < y

A

30

6

1

42

5

B

Notacao

Podemos escrever uma relacao de A em B das seguintes formas:

• Nomeando os pares ordenados, por exemplo: R =(0, 1), (1, 2), (2, 3).

• Atraves de uma sentenca matematica, por exemplo:R = (x, y) ∈ AxB/y = x + 1, sendo queA = 0, 1, 1, 2, 3 e B = 1, 3, 4, 9.

Domınio e Imagem

Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pa-res ordenados (x, y) de uma relacao damos o nome de domınioe representamos por D(R).

Os segundos elementos desses pares formam o conjuntoimagem da relacao: Im(R). Assim, na relacao R =(−1, 3), (0, 4), (1, 5), D(R) = −1, 0, 1 e Im(R) = 3, 4, 5.

Representacao

Podemos representar uma relacao por um diagrama de se-tas ou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos A =−1, 0, 1, 2 e B = 1, 0, 1, 4 e a relacao R = (x, y) ∈AxB/y = x2.

Funcoes

O conceito basico de funcao e o seguinte: toda vez que temosdois conjuntos e algum tipo de associacao entre eles, que facacorresponder a todo o elemento do primeiro conjunto um unicoelemento do segundo conjunto, ocorre uma funcao. Observe-mos os pares de conjuntos abaixo.

Exemplos

1. Dados L = 2, 5, 9, 12 e A = 4, 25, 81, 144 e a relacaoR = (x, y) ∈ LxA/y = x2.

L

5

12

2

9

A

144

25

81

4

Figura 3.1: E funcao.

2. Dados A = 10, 12, 15, 16, 13 e B = 20, 24, 30, 26 e arelacao R = (x, y) ∈ AxB/y = 2x.

3. Dados A = 5, 12, 23 e B = 7, 14, 25 e a relacao R =(x, y) ∈ AxB/y = x + 2.

4. Dados A = 16, 81 e B = −2, 2, 3 e a relacao R =(x, y) ∈ AxB/y4 = x

Serao reconhecidas como funcao as relacoes que tiverem todosos elementos de A associados a elementos de B, sendo que cadaelemento de A deve estar ligado somente a um unico elementode B.

Domınio, Imagem e Contradomınio

Tomemos os exemplos acima que representam funcoes (Ex01,Ex03):

183

Page 193: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

184 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

A B

10

12

15

16

13

20

24

30

26

Figura 3.2: Nao e funcao.

A B

12

23

57

25

14

1626

15

6

Figura 3.3: E funcao.

L

5

12

2

9

A

144

25

81

4

A B

12

23

57

25

14

1626

15

6

A B

81

162

3

−2

Figura 3.4: Nao e funcao.

Para ambos os exemplos, chamamos de domınio o conjuntoA, indicado pela letra D:

Ex01: D = 2, 5, 9, 12; Ex03: D = 5, 12, 23.A imagem sera o conjunto dos elementos y que tem corres-pondencia com x.EX01: I = 4, 25, 81, 144;Ex03: D = 7, 14, 25.O contradomınio sera o conjunto B:EX01: CD = 2, 4, 6; Ex03: CD = 5, 7, 14, 15, 16, 25, 26.

Tipos de Funcoes

Funcao Par

E a funcao em que qualquer que seja o valor de x ∈ D ocorref(x) = f(−x).

Exemplos

f(x) = x2

f(x) = |x|f(x) = cos(x)

O x

y Parabola

Funcao Impar

E a funcao em que para todo valor de x ∈ D ocorre f(x) =−f(−x).

Exemplos

f(x) = 2x

Page 194: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 1 185

f(x) = sin(x)

f(x) = x3

xO

y

Funcao Crescente

Uma funcao y = f(x) e crescente num conjunto A se, somentese, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, comx1 < x2, tivermos f(x) < f(x2).

Exemplos

f(x) = x + 2

f(x) = 10x

f(x) = x3

f(x )2

f(x )1

x1

x2

xO

y

Figura 3.5: Esquema para compreender funcao crescente.

Funcao Decrescente

Uma funcao y = f(x) e decrescente num conjunto A se,somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjuntoA, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2).

Exemplos

f(x) = −x + 2

f(x) = 10−x

f(f) = −2x

x1

x2

f(x )1

f(x )2

xO

y

Figura 3.6: Esquema para compreender funcao decrescente.

L

5

2

9

A

144

25

81

4

Figura 3.7: Funcao injetora

Funcao Injetora

Uma funcao y = f(x) : A→ B e injetora, se somente se, numconjunto A, dois elementos distintos quaisquer do domınio def(x) possuem imagens distintas em B.

Exemplos

Funcao Sobrejetora

Uma funcao y = f(x) : A→ B e sobrejetora se, e somente se,o seu conjunto imagem e igual ao contradomınio: Im(f) = B

Exemplos

Funcao Bijetora

Uma funcao y = f(x) : A → B e bijetora, se somente se, einjetora e sobrejetora.

Na figura 3.11 temos que a funcao:

• E injetora, pois quaisquer elementos distintos de A pos-suem imagens distintas em B;

• E sobrejetora, poisIm = B = 4, 25, 81, 144;

• E bijetora porque e injetora e sobrejetora.

Page 195: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

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A B

1

2

3

4

5

Figura 3.8: Funcao nao injetora

A B

1

2

4

3 3

2

1

Figura 3.9: Funcao sobrejetora

Funcao Inversa

Considere uma funcao y de L → A, sendo que D = L eIm = A. A funcao inversa de y sera aquela funcao que fi-zer corretamente a relacao de A→ L onde D = A e Im = L.

Ou seja, a funcao inversa “transforma” o que antes era domınioem imagem e imagem em domınio. Porem, isto so poderaocorrer se y for bijetora.

Entao, podemos definir:

Dada funcao bijetora y = f(x) : A → B, chama-se funcaoinversa de f a funcao f−1 : B → A tal que (a, b) ∈⇔ (b, a) ∈f−1.

Exemplos

y = f(x) = x2;D = 2, 5, 9, 12Im = 4, 25, 81, 144A funcao inversa sera:y = f(x) =

(x)D = 4, 25, 81, 144Im = 2, 5, 9, 12

Funcao Composta

Dados os conjuntos A = 1, 2, B = 2, 4,C = 4, 16, vamos considerar as funcoes:f : A→ B definida por f(x) = 2x;g : B → C definida por g(x) = x2.

Observamos que:

A B

1

2

3 3

2

1

Figura 3.10: Funcao nao sobrejetora

L

5

12

2

9

A

144

25

81

4

Figura 3.11: Funcao bijetora

• A cada x pertencente a A associa-se um unico y perten-cente a B tal que y = 2x;

• A cada y pertencente a B associa-se um unico z perten-cente a C tal que z = x2;

• A cada x pertencente a A associa-se um unico z pertenceC tal que z = y2 = (2x)

2= 4x2.

Entao, podemos afirmar que vai existir uma funcao h de A emC definida por h(x) = 4x2, que indicamos por gof ou g(f(x))(le-se: g composta com f).

Logo: h(x) = gof = g(f(x)) = (1, 4), (2, 16).

Funcao Definida por Partes

E aquela funcao que e definida por mais de uma relacao.

Exemplo

x + 1, se x > 2;x2, se -2 ≤ x ≤ 2;2, se x < −2

Funcao Constante

Toda funcao f : R→ R, definida por f(x) = C, com C perten-cendo ao conjunto dos reais, e denominada funcao constante.

Page 196: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 2 187

L

5

12

2

9

A

144

25

81

4L

5

12

2

9

A

144

25

81

4

(a) (b)

Figura 3.12: Fique atento ao sentido das setas!

A

B

C

1

4

2

2 16

4

f g

h

Figura 3.13: f = (1, 2), (2, 4); g = (2, 4), (4, 16)

C > 0

y

x

y

x

y

x

C = )

O O O C < 0

Pense um Pouco!

A funcao n : A → R, definida por n(t) = 6t + t2, expressao numero de colonias de bacterias em uma placa, onde n e onumero de colonias, t e tempo em horas e A = 1, 2, 3, 4, 5, 6tem seus elementos representando os instantes em que ascolonias foram contadas. Com esses dados, determine:a) O numero de colonias para t = 3h;b) O conjunto contradomınio;c) O conjunto imagem (Im(n)).

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFRGS) Se a funcao f : R∗ em R e tal que f(x) = 2x+2x ,

entao f(2x) e:a) 2b) 2xc) 2x+1

xd) 4x+1

x

2. (FCC-SP) A funcao inversa da funcao 2x−1x+3 e:

a) f−1(x) = x+32x−1

b) f−1(x) = 3x−1x−2

c) f−1(x) = 3x+12−x

d) f−1(x) = 1−2x3−x

Exercıcios Complementares

3. (UFSC) Dada a funcao f : R em R+, definida por f(x) =x2+1, determine a soma dos numeros associados as afirmacoesverdadeiras.01. A funcao e sobrejetora.02. A imagem da funcao e R+.04. A funcao e bijetora.08. Para x =

√5, temos f(x) = 6.

16. O grafico de uma funcao e uma reta.32. A funcao e par.

4. (UA) Se f e g sao funcoes tais que f(x) = 2x−3 e f(g(x)) =x, entao e igual a:a) (x + 3)/2b) 3x + 2c) 1/(2x− 3)d) 2x + 3

5. (UDESC) Seja f(x) = c − ax2. Se f(−1) = 1 e f(2) = 2,entao f(5) e igual a:a) 3b) 11/3c) 7/3d) 9e) -3

Matematica A Aula 2

Funcoes Polinomiais

Funcao Polinomial de 10 Grau

Uma funcao f com A,B ⊂ R e uma funcao polinomial do 10

grau se a cada x ∈ A se associa o elemento (ax + b) ∈ B, coma pertencendo a R∗ e b pertencendo a R:

f : A→ B definida por f(x) = ax + b ou y = ax + b

Na sentenca matematica y = ax+b, as letras x e y representamas variaveis, enquanto a e b sao denominadas coeficientes.

Na funcao real f(x) = ax + b, a e o coeficiente angular e be o coeficiente linear. Pelo coeficiente angular, sabemos se afuncao e crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). O coefici-ente linear indica a ordenada do ponto em que a reta interceptao eixo 0y.

Page 197: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

188 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Y

X

f(x) = −2x − 1

1−1

−1

1

Grafico

Para construirmos graficos de funcoes devemos seguir os se-guintes passos:

• atribuımos valores a variavel x;

• substituımos na funcao;

• encontramos o valor de f(x), ou seja, o valor de y.

Tendo encontrado o y, temos agora o par ordenado (x, y) quedevemos encontrar no plano cartesiano.

x y = x− 2 (x, y)0 y = 0− 2 = −2 (0,−2)1 y = 1− 2 = −1 (1,−1)2 y = 2− 2 = 0 (2, 0)

1

−1

1−1

f(x) = x − 1Y

X

Zero da Funcao de 1o Grau

Denomina-se zero ou raiz da funcao f(x) = ax + b o valor xque anula a funcao, isto e, torna f(x) = 0. O zero da funcaode primeiro grau e unico e corresponde a abscissa do ponto emque a reta corta o eixo x. Observando o grafico, verificamos

x y = x− 2 (x, y)0 y = 0− 2 = −2 (0,−2)1 y = 1− 2 = −1 (1,−1)2 y = 2− 2 = 0 (2, 0)

que: f(x) = 0 para x = 2.

−2

Y

X2

Zero da funçao (x=2)

f(x) = x − 2

~

0

Estudo do Sinal

Para fazermos o estudo dos sinais vamos considerar um exem-plo:Dada a funcao f(x) = 2x− 4, determinar os valores reais de xpara os quais:a) f(x) = 0b) f(x) > 0c) f(x) < 0Solucao: Podemos verificar que a funcao e crescente poisa = 2 > 0. O zero da funcao e: 2x− 4 = 0⇒ 2x = 4⇒ x = 2

A reta corta o eixo x no ponto de abscissa x = 2. Obser-vando essas consideracoes, vamos fazer um esboco do graficoda funcao:

Y

20 X

−2

f(x) = x − 2

f(x)=0

f(x)>0

f(x)<0

Figura 3.1: A direita do eixo y os pontos da reta tem ordenadapositiva e a esquerda os pontos da reta tem ordenada negativa.

Resposta:f(x) = 0 x = 2f(x) > 0 para x ∈ R/x > 2f(x) < 0 para x ∈ R/x < 2

Funcao Polinomial de 2o grau

A funcao dada f(x) : R→ R dada por f(x) = ax2+bx+c, coma,b,c reais e a 6= 0, denomina-se funcao do 2ograu ou funcao

Page 198: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 2 189

quadratica.Exemplos:

f(x) = x2 − 4x− 3 (a = 1, b = −4, c = −3)

f(x) = −2x2 + 5x + 1(a = −2, b = 5, c = 1)

O grafico da funcao de 1o grau e uma curva aberta chamadaparabola. Se o grafico da funcao tem a parabola com concavi-dade voltada para cima, a > 0.

0

a > 0

Y

X

Se o grafico da funcao tem a parabola com concavidade voltadapara baixo, a < 0.

0

Y

X

a < 0

Zero da Funcao de 2Grau

Denominam-se zeros ou raızes de uma funcao quadratica osvalores de x que anulam a funcao, ou seja, que tornam f(x) =0.

Para determinar os zeros de f(x) = ax2 + bx + c, basta fazerf(x) = 0:

ax2 + bx + c = 0⇒ x = −b∓√

∆2a

⇒ x = −b+√

∆2a ⇒ x = −b−

√∆

2aem que ∆ = b2 − 4ac.

Assim, x1 e x2 sao as abscissas nas quais a parabola corta oeixo x, ou seja, (x1, 0) e (x2, 0) sao os pontos de interseccao daparabola com o eixo x.

• Quando ∆ > 0, x1 6= x2 e a parabola intercepta o eixo xem dois pontos diferentes.

• ∆ = 0, x1 = x2 e a parabola intercepta o eixo x em umunico ponto.

• ∆ > 0, nao existem raızes reais e a parabola nao inter-cepta o eixo x.

Grafico Parabolico

No grafico abaixo, da funcao f(x) = x2 − 8x + 12, marcamosum ponto v. Esse ponto tem o nome de vertice da parabola.As coordenadas de V (xv, yv) sao dadas por:

Vertice´

0

Y

X

−4

3

V(3,−4)

xv = − b2a

yv = − ∆4a

v

(

− b

2a,−∆

4a

)

xv = −−82

yv = − 164

v (4,−4)

Se tracarmos uma reta paralela ao eixo y que passe pelo vertice,estaremos determinando o eixo de simetria da parabola.

Interseccao com o Eixo y

Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substituirx por 0 (zero) na funcao:

y = ax2 + bx + c⇒ y = a(0)2+ b(0) + c⇒ y = c

Exemplo

Para f(x) = x2 − 8x + 12 as coordenadas para o ponto deinterseccao com o eixo y:y = x2 − 8x + 12⇒ y = (0)2 − 8(0) + 12⇒ y = 12

Entao, encontramos (0, 12).

Mınimo ou Maximo da Parabola

Quando y assume o menor valor da funcao, ele e a ordenadado ponto mınimo da funcao (yv):

Page 199: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

190 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

0

Y

X

−4

3

V

Eixo de simetria

Quando y assume o maior valor da funcao, ele e a ordenadado ponto maximo da funcao (yv):

0

VyV

xV

X

Y

Estudo do Sinal

Para estudar o sinal da funcao f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0,temos que considerar o valor do discriminante (∆) e o sinal docoeficiente a. Assim:

• ∆ > 0, f(x) possui duas raızes reais e diferentes: x =x1 ou x = x2 ⇒ f(x) = 0x < x1 ou x > x2 ⇒ f(x) > 0x1 < x < x2 ⇒ f(x) < 0

x x1 2

a < 0

X

x = x1 ou x = x2 ⇒ f(x) = 0x < x1 ou x > x2 ⇒ f(x) < 0x1 < x < x2 ⇒ f(x) > 0

• ∆ > 0, f(x) possui raiz dupla:

x1

x2 X

a > 0

=

x = x1 = x2 ⇒ f(x) = 0x 6= x1 = x2 ⇒ f(x) > 0

x1

x2

a < 0

=X

x = x1 = x2 ⇒ f(x) = 0x 6= x1 = x2 ⇒ f(x) < 0

• ∆ > 0, f(x) possui duas raızes reais:

X

a > 0

Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f(x) > 0

X

a < 0

Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f(x) < 0

Pense um Pouco!

• O grafico de um polinomio de primeiro grau e sempre umareta?

• O grafico de um polinomio de segundo grau e sempre umaparabola?

• Quantos zeros pode ter, no maximo, uma funcao de pri-meiro grau? E a de segundo grau?

• A esquerda e a direita de um zero, a funcao de segundograu tem sempre sinais contrarios?

Page 200: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 3 191

Exercıcios de Aplicacao

1. (FGV-SP) O grafico da funcao f(x) = mx + n passa pelospontos A(1,−2) e B(4, 2). Podemos entao afirmar que:a) m + n = −2b) m− n = −2c) m = 3/4d) n = 5/2e) m.n = −1

2. (PUC-SP) Para que a funcao do 1o grau dada por f(x) =(2 − 3k)x + 2 seja crescente, devemos ter:a) k = 2/3b) k < 2/3c) k > 2/3d) k < −2/3e) k > −2/3

3. (UFC-CE) Considere a funcao f : R → R, definida porf(x) = x2 − 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:a) o vertice do grafico de f e o ponto (1, 4).b) f possui dois zeros reais distintos.c) f atinge um maximo para x = 1.d) O grafico de f e tangente ao eixo das abscissas.

Exercıcios Complementares

4. (UFPA) A funcao y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) eintercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Entao, a − 2b eigual a:a) -12b) -10c) -9d) -7e) 0

5. (Mack-SP) Um valor k para que uma das raızes da equacaox2 − 4kx + 6k = 0 seja o triplo da outra e:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

6. (Santa Casa-SP) As dimensoes de um retangulo sao nu-mericamente iguais as coordenadas do vertice da parabola deequacao y = −128x2 + 32x + 6. A area do retangulo e:a) 1b) 8c) 64d) 128e) 256

7. O lucro mensal de uma empresa e dado por L = −x2 +30x− 5, onde x e quantidade mensal vendida.a) Qual e o lucro mensal maximo possıvel?b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal sejano mınimo igual a 195?

Matematica A Aula 3

Funcoes Especiais

Funcao Modular

O modulo, ou valor absoluto, de um numero real x, indicadopor |x|, e definido assim:

|x| =

x, se, x ≥ 0

−x, se, x < 0

Pela definicao, podemos concluir que o modulo de um numeroreal e sempre maior ou igual a zero.

Cuidado!√

x2 = ±|x|

Exemplos

| − 10| = 10

|1| = 1

|1/3| = 1/3

|0| = 0

Definimos entao a uncao modular se a cada x real se associa|x|, ou seja:

f(x) = |x|

.

Observa-se que o domınio da funcao modulo e R e a imagemR+.

Representacao Grafica

Pela definicao de |x|, temos de considerar duas sentencas paraf(x), de RemR:

f(x) =

x, se, x ≥ 0

−x, se, x < 0

Construindo os dois graficos num unico plano cartesiano, ob-temos o grafico de f(x) = |x|:

1

3

2

3210−3 −2 −1

Y f(x) = |x|

X

Figura 3.1: Funcao modulo: f(x) = |x|.

Page 201: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

192 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Funcao Exponencial

A funcao f : R→ R dada por f(x) = ax (com a 6= 1 e a > 0) edenominada funcao exponencial de base a e definida para todox real. Assim, sao funcoes exponenciais:

f(x) = 2x

g(x) = (1/3)x

Grafico da Funcao Exponencial

Vamos representar no plano cartesiano o graficos das funcoesf(x) = 2x e f(x) = (1/2)x.

(1/2)x

x2

X

Y

1/2 3/4 100

2

1/4

1

Figura 3.2: Funcoes exponenciais: f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x.

Caracterısticas

• D(ax) = R

• Im(ax) = R+

• ax e uma funcao crescente se a > 1

x1

x2

ax1

ax2

x1

x2 ax1 ax2< <

a > 1o−1 caso:

X

Y

0

1

f(x) = ax

Figura 3.3: Exponencial crescente ax com a > 1.

• ax e uma funcao decrescente se 0 < a < 1

• ax) passa pelo ponto (0, 1) pois a0 = 1

x2

x1

f(x) = ax

ax1

ax2

x1

x2 ax1 ax2

2 caso:o−

Y

0

1

X

< >

0 < a < 1

Figura 3.4: Exponencial decrescente ax com a < 1.

Pense um Pouco!

• O numero de bacterias em um meio de cultura cresce apro-ximadamente segundo a funcao , sendo t o numero de diasapos o inıcio do experimento. Calcule:a)o numero n de bacterias no inıcio do experimento;b)em quantos dias o numero inicial de bacterias ira tripli-car.

Exercıcios de Aplicacao

1. (ITA-SP) Considere a equacao |x| = x− 6. Com respeito asolucao real dessa equacao, podemos afirmar que:a) a solucao pertence ao intervalo [1,2]b) a solucao pertence ao intervalo [-2,-1]c) a solucao pertence ao intervalo ]-1,1[d) a solucao pertence ao intervalo [3,4]e) nenhuma resposta e correta

2. (PUC-SP) A equacao |2x− 1| = 5 admite:a) duas raızes positivasb) das raızes negativasc) uma raiz positiva e outra negativad) somente uma raiz real e positivae) somente uma raiz real e negativa

3. (PUC-PR) A equacao 16 · 52x = 25 · 20x, onde x pertenceaos reais, admite:a) os numeros -2 e 2 como solucoesb) apenas o numero 2 como solucaoc) apenas o numero 1

2 como solucaod) os numeros 2 e 1

2 como solucoese) apenas o numero como solucao

Exercıcios Complementares

4. (UEL-PR) Quaisquer que sejam os numeros reais x e y,a) se |x| < |y|, entao x < y

Page 202: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 4 193

b) |xy| = |x||y|c) |x + y| = |x|+ |y|d) | − |x|| = −xe) se x < 0, entao |x| < x

5. (PUC-SP) Resolvendo a equacao 4 + 4 = 5 · 2x , obtemos:a) x1 = 0 e x2 = 1b) x1 = 1 e x2 = 4c) x1 = 0 e x2 = 2d) x1 = −1 e x2 = −2e) x1 = −4 e x2 = −5

6. (PUC-MG) Se 2x = 4y e 25x = 25 · 5y, o valor de x + y e:a) 4/3b) 2/3c) 1/3d) 1e) 2f) -3

Matematica A Aula 4

Funcoes Especiais (II)

Funcao Logarıtmica

O logaritmo de um numero real e positivo a, na base b, positivae diferente de 1, e o numero x ao qual se deve elevar a base bpara se obter a

logb a = x⇐⇒ bx = a

Observacao

Aos logaritmos que se indicam com loga chamamos de sistemade logaritmos de base a. Existe uma infinidade de sistemas delogaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais importante e osistema de logaritmos decimais, ou de base 10. Indica-se: log10

ou log. Quando o sistema e de base 10, e comum omitir-se abase na sua representacao.

Exemplo

Considerando a definicao dada, calcular o valor dos logaritmos:

log6 36 = 2

log2 16 = 4

log3 0 = 1

log1 01000 = 3

Propriedades dos Logaritmos

• O logaritmo de um produto e igual a soma dos logaritmosdos fatores tomados na mesma base, isto e:

logb(x · y) = logb x + logb y

• O logaritmo de um quociente e igual ao logaritmo do nu-merador menos o logaritmo do denominador tomados namesma base, isto e:

logb(x/y) = logb x− logb y

• O logaritmo de uma potencia e igual ao produto do expo-ente pelo logaritmo da base da potencia, isto e:

logb xn = n logb x

Caso particular

logbn√

x = logb x(1/n) =1

nlogb x

Mudanca de Base

Suponha que aparecam logaritmos de bases diferentes e queprecisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes para umabase conveniente. Essa operacao e chamada mudanca de base:

logb a =logc a

logc b

onde c e a nova base.

Exemplo

log2 10 =log1 010

log1 02=

1

log1 02

Representacao Grafica

Ao estudar a funcao exponencial, vimos que ela e bijetora,portanto admite funcao inversa, que e a logarıtmica. Do estudodas funcoes inversas, descobrimos que, no plano cartesiano,seus graficos sao simetricos em relacao a bissetriz do 1 e 3

quadrantes. Assim, para as funcoes exponencial e logarıtmica,de base 0 < a < 1 e a > 1, temos:

y=log xa

log xa 2

x2x1

log xa 1

X

Y y=x

y=a x

1

1

a > 1

a > 1 f(x) e´ crescente

Figura 3.1: Funcao logarıtmica com base a > 1

Page 203: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

194 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

x2x1

log xa 1

log xa 2

y=log xa

y=a x

0 < a < 1 f(x) e´ decrescente

X

Y y=x

0 < a < 1

1

1

Figura 3.2: Funcao logarıtmica com base 0 < a < 1

Funcoes Trigonometricas

Arco de Circunferencia

Observemos que os pontos A e B dividem a circunferencia emduas partes. Cada uma dessas partes e denominado arco decircunferencia. Assim, temos:

arco AB= arco BA

Sentido doMovimento

B

A

Os ponto A e B sao chamados de extremidades dos arcos.

Medida de um arco

Grau e o arco unitario equivalente a 1/360 da circunferenciaque o contem.

270

90

180100 = 360

o

o

o o o

10

1 1o

0

Observacao: 1 = 60′ e 1′ = 60′′

Radiano e o arco cujo comprimento e igual ao comprimento doraio da circunferencia que o contem.

B

A

AB

rrθ = 1 rad

Observacao: O raio da circunferencia quando utilizado comoinstrumento de medida e denominado raio unitario, isto e, seo comprimento de um arco e x raios, sua medida e x radianos.Lembrando que qualquer circunferencia tem 360, temos que:360 corresponde a 2π rad e 180 corresponde a π rad.

Angulo Plano

E a abertura de duas semi-retas que partem do mesmo ponto.

Angulo Central de uma Circunferencia

E o angulo que tem o vertice no centro dessa circunferencia.

αα e angulo

central´ ^

A

B

Circunferencia Trigonometrica

Uma circunferencia orientada, de raio unitario (r = 1), sobre aqual um ponto A e a origem de medida de todos os arcos nelacontidos, e uma circunferencia trigonometrica. Vamos consi-derar uma circunferencia cujo centre coincide com a origem dosistema cartesiano e o ponto A(1, 0), que e a origem de todosos arcos, como mostra a figura a seguir:

o−1 quadranteo−2 quadrante

o−4 quadranteo−3 quadrante360 ou 2 rado π

o0 ou 0 rad

90 ou /2 rado π

180 ou rado π

270 ou 3 /2 radπo

O

B

AC

D

+

Os eixos 0x e 0y do plano cartesiano dividem a circunferenciaem quatro arcos de mesma medida, numerados no sentido anti-

Page 204: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 4 195

horario. Esses eixos dividem o plano em quatro regioes, de-nominadas quadrantes, tambem numeradas no sentido anti-horario.

Funcao Seno

Chamamos de funcao seno a funcao f : R → R que, a cadanumero real x, associa o seno desse numero:

f(x) = sen x

O domınio dessa funcao e R e a imagem e intervalo [-1,1], vistoque, na circunferencia trigonometrica, o raio e unitario.

Sinal da funcao seno

O sinal da funcao seno e dada seguindo o esquema abaixo:

sen θ

sen θ

(0,−1)

(0,1)

(−1,0) (1,0)

Y

X

θO

_ _

+ +

Funcao Cosseno

Chamamos de funcao cosseno a funcao f : R→ R que, a cadanumero real x, associa o cosseno desse numero.

f(x) = cosx

O domınio dessa funcao e R e a imagem e o intervalo real [-1,1],visto que, na circunferencia trigonometrica, o raio e unitario.

Sinal da Funcao Cosseno

O sinal da funcao cosseno e dada seguindo o esquema abaixo:

cosθ

cosθ

(0,−1)

(0,1)

(−1,0) (1,0)

Y

X

θO

_

_

+

+

Funcao Tangente

A funcao f definida em R que a cada numero x associa atangente desse numero:

f(x) = tanx

O domınio da funcao tan x e R − nπ/2, com n =0,±1,±2, . . ., e a imagem da funcao e R.

Sinal da Funcao Tangente

O sinal da funcao tangente e dada seguindo o esquema abaixo:

tag θ

tag θ

(0,−1)

(0,1)

(−1,0) (1,0)

Y

X

θO

+

_+

_

Co-tangente

Por definicao temos:

cotg x =1

tan x

para todo x|tan x 6= 0

Secante

Por definicao temos:

sec x =1

cosx

para todo x|cos x 6= 0

Cossecante

Por definicao temos:

cossec x =1

sen x

para todo x|sen x 6= 0

Relacoes trigonometricas

tanx = fracsen xcos x

sen2x + cos2x = 1

1 + tan2x = sec2x

1 + cotan2x = cossec2

Page 205: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

196 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Transformacoes Trigonometricas

Formulas da Adicao

Sejam a e b dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cujasoma ainda pertence ao primeiro quadrante. Valem para essesarcos as seguintes identidades:

sen (a± b) = sen a · cos b± sen b · cos a

cos (a± b) = cos a · cos b± sen a · sen b

tan (a± b) =tan a ± tabb

1∓ tan a · tan b

Lei dos Senos

E a relacao valida para qualquer triangulo que se traduz pelaseguinte formula:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C

A

BC

a

b

c

sen A

a b

sen B sen C

c==

Lei dos Cossenos

E a relacao valida para qualquer triangulo que se traduz pelaseguinte formula:

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A

Com essa formula, dadas as medidas de dois lados e do angulocompreendido entre eles, calcula-se o terceiro lado de qualquertriangulo. Como se pode ver, e uma generalizacao do Teoremade Pitagoras.

Pense um Pouco!

• Dado o sen x como voce acharia o cos x? E a tan x?

• A tan x pode ser maior do que 1?

• Para que valores de x temos sen x > cos x?

Exercıcios de Aplicacao

1. (FCC-Ba) Indica-se por log x o logaritmo do numero x nabase 10. A equacao xlog x = 10000 admite duas raızes:a) iguaisb) opostas entre sic) inteiras

d) cujo produto e 1e) cuja soma e 101

2. (MACK-SP) Se

1

log2 x+

1

log3 x+

1

log6 x= 2

entao x2 e igual a:a) 25b) 36c) 16d) 81e) 100

Exercıcios Complementares

3. (FGV-SP) Determine a de forma que se tenha simultanea-mente sem x = 1/a e cosx =

√1 + a/a

a) a = −1 ou a = −2b) a = 1 e a = 2c) a = −1 e a = 2d) a = 2 e a = −2e) a = 1 ou a = −1

4. (UEL-PR) Para todo numero real, tal que que 0 < x < 1/2,a expressao

sec x + tg x

cos x + cot x

e equivalente a:a) (sen x)(cotg x)b) (sec x)(cotg x)c) (cos x)(tg x)d) (sec x)(tg x)e) (sen x)(tg x)

Matematica A Aula 5

Polinomios

Definicao

Dados n ∈ N numeros complexos ai, i = 0, 1, 2, . . . , n ⊂ C,chamamos de funcao polinomial ou polinomio na variavelx a funcao P (x) : C→ C tal que:

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0

onde cada parcela do polinomio e chamada de termo e cadanumero complexo que multiplica a variavel x e um coefici-ente.

Observacoes

1. Se an 6= 0, o expoente maximo n e dito grau do polinomioe indicamos gr(P ) = n;

Exemplos

P (x) = 2x−1 e um polinomio de 1 grau, isto e, gr(P ) =1.

Page 206: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 5 197

P (x) = x5 +1 e um polinomio de 5 grau, isto e, gr(P ) =5.

2. Se P (x) = 0, nao se define o grau do polinomio.

Valor Numerico

O valor numerico de um polinomio P (x), para x = a, e onumero que se obtem substituindo x por a e efetuando todasas operacoes indicadas pela relacao que define o polinomio.

Exemplo

Se P (x) = x3 + 2x2 − x − 1, o valor numerico de P (x), parax = 2, e:

P (2) = 23 + 2 · 22 − 2− 1 = 13

Raızes de um Polinomio

Se P (a) = 0, o numero a e denominado raiz ou zero de P (x).Um polinomio de grau n admite n raızes.

Igualdade de Polinomios

Dois polinomios A(x) e B(x) sao iguais ou identicos quandoassumem valores numericos iguais para qualquer valor comumatribuıdo a variavel x. A condicao necessaria e suficiente paraque dois polinomios A(x) e B(x) sejam iguais ou identicos eque os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Divisao de Polinomios

Sejam dois polinomios A(x) e B(x), com B(x) 6= 0, e gr(A) >gr(B).

Efetuar a divisao de A(x) por B(x) e determinar dois po-linomios Q(x) e R(x) que satisfacam a seguinte condicao:

A(x) = Q(X)B(x) + R(x)

onde A(x) e o dividendoB(x) e o divisorQ(x) e o quocienteR(x) e o resto da divisao

Observacao

Quando A(x) e divisıvel por B(x), dizemos que a divisao eexata, isto e, R(x) = 0.

Exemplo

Dividir A(x) = x4 +x3− 7x2 +9x− 1 por B(x) = x2 +3x− 2:

+x4 + x3 − 7x2 + 9x− 1 x2 + 3x− 2−x4 − 3x2 + 2x2 x2 − 2x + 1→ Q(x)−2x3 − 5x2 + 9x− 1+2x3 + 6x2 − 4x−x2 + 5x− 1−x2 − 3x + 2

2x + 1→ R(x)

Divisao de P (x) por (x− a)

Teorema do Resto

O resto da divisao de P (x) por x− a e P (a).

Devemos ter P (x) = (x− a)Q(x) + R(x).

Como o divisor x − a e de grau 1, o resto sera de grau zero,ou seja, uma constante. Fazendo R(x) = r, constante, temos:P (x) = (x− a)Q(x) + r. Para x = a, vem:

P (a) = (a− a)Q(a) + r = r

Exemplo

O resto da divisao de P (x) = x3 + x2 − 4x + 5 por x− 1 e:

r = P (1) = 13 + 12 − 4 · 1 + 5 = 3

Teorema de D’Alembert

Um polinomio P (x) e divisıvel por x− a se, e somentese, P (a) = 0.

Se P (x) e divisıvel por x − a, entao, pelo Teorema do Resto,r = P (a) = 0, e, de outra forma, se P (a) = 0, como, peloTeorema do Resto, r = P (a), temos r = 0, ou seja, P (x) edivisıvel por x− a.

Exemplo

P (x) = x3 + 3x2 − 8x− 4 e divisıvel por x− 2, pois

P (2) = 23 + 3 · 22 − 8 · 2− 4 = 8 + 12− 16− 4 = 0

Divisao de P (x) por ax + b, com a 6= 0

Temos P (x) = (ax + b)Q(x) + r. Como ax + b e de grau 1, re de grau 0, portanto, uma constante.

Fazendo x = −b/a em P (x) = (ax + b)Q(x) + r, vem:

P (−b/a) = [a(−b/a) + b]Q(−b/a) + r

P (−b/a) = (−b + b)Q(−b/a) + r

P (−b/a) = 0 + r =⇒ r = P (−b/a)

Conclusao: o resto da divisao de P (x) por ax + b e r =P (−b/a).

Exemplo

Determinar o resto da divisao de P (x) = x3 +5x2−2x−1 por2x− 1.

Temos que −b/a = 1/2, entao r = P (1/2):

r = (1/2)3 + 5(1/2)2 − 2(1/2)− 1 = (1/8) + (5/4)− 1− 1

r = (11/8)− 2 = −5/8

Divisao de P (x) por (x− a)(x− b), (a 6= b)

Temos o seguinte Teorema:

Se P (x) e divisıvel por x − a e por x − b, com a 6= b,entao e divisıvel por (x− a)(x − b).

Page 207: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

198 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Exemplo

Mostrar que P (x) = x4 − 5x2 + 4 e divisıvel por x2 − 1.

Solucao: como x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), basta mostrar queP (x) e divisıvel por x− 1 e por x + 1, isto e, que P (+1) = 0 eP (−1) = 0:

P (+1) = 14 − 5 · 12 + 4 = 1− 5 + 4 = 0

P (−1) = (−1)4 − 5 · (−1)2 + 4 = 1− 5 + 4 = 0

Portanto, P (x) e divisıvel por (x−1)(x+1), ou seja, por x2−1.

Algoritmo de Briot-Ruffini

Para facilitar a divisao de polinomios podemos utilizar o algo-ritmo de Briot-Ruffini.

Consideremos o seguinte exemplo para compreensao do dispo-sitivo:

Determinar o quociente e o resto da divisao de P (x) = 3x3 −5x2 + x− 2 por (x− 2).

Raiz do divisor

Coeficientes do dividendo P(x)

3 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 (3)(2)−2=4

Coeficientes do quociente Q(x) Resto R(x)

2 3 −5 +1 −2

Figura 3.1: O algoritmo de divisao de Briot-Ruffini.

Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4

A seguir esta descrito o roteiro para a resolucao desse pro-blema.

I. Colocamos a raiz do divisor 2 e os coeficientes do dividendo3,−5, 1,−2 na linha de cima:

Raiz do divisor

Coeficientes do dividendo P(x)

3 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 (3)(2)−2=4

2 3 −5 +1 −2

Note que, se o polinomio nao tivesse um dado termo, o coefi-ciente desse termo seria igual a zero.

II.Repetimos o primeiro coeficiente do dividendo:

Copiar o primeiro coeficiente para a linha de baixo

2 3 −5 +1 −2

3 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 (3)(2)−2=4

III.Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido esomando o produto com o segundo coeficiente do dividendo,colocando o resultado abaixo deste.

3 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 (3)(2)−2=4

2 3 −5 +1 −2

somar

multiplicar resultado

IV.Multiplicamos a raiz do divisor pelo numero colocadoabaixo do segundo coeficiente, colocando o resultado abaixodeste, e assim sucessivamente.

3 (3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3 (3)(2)−2=4 resultado

2 3 −5 +1 −2

multiplicar

somar

V. Separamos o ultimo numero formado, que e igual ao restoda divisao, e os numeros que ficam a esquerda deste sao oscoeficientes do quociente.

Decomposicao de um Polinomio

Podemos aplicar o teorema do resto na decomposicao de umpolinomio em fatores. Para tanto, se a e uma raiz ou zero dopolinomio P (x), este e divisıvel por (x− a); logo:

P (x) = (x − a)Q(x)

Polinomio de 2 grau

De uma forma geral, o polinomio do 2 grau que admite asraızes a1 e a2 pode ser decomposto em fatores do 1 grau, daseguinte forma:

P (x) = (x− a1)(x− a2)

Exemplo

Fatorar o polinomio P (x) = x2−7x+10. Resolvendo a equacaox2 − 7x + 10 = 0 encontramos as raızes a1 = 5 e a2 = 2, logo,

P (x) = (x− 5)(x− 2)

Polinomio de 3 grau

Conhecendo uma das raızes de um polinomio do 3 grau, po-demos decompo-lo num produto de um polinomio do 1 graupor um do 2grau e, se este tiver raızes, podemos, em seguidadecompo-lo tambem.

Exemplo

Fatorar P (x) = 2x3 − x2 − x.

Escreve-se:P (x) = 2x(x2 − x/2− 1/2)

fator do 1 grau: 2x

fatores do 2 grau: resolvendo-se a equacao do segundo grauobtemos as raızes a1 = 1 e a2 = −1/2, e x2 − x/2 − 1/2 =(x− 1)(x + 1/2), logo:

P (x) = 2x(x− 1)(x + 1/2)

Page 208: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 6 199

Pense um Pouco!

• (UFPA) Se F (x) = 2p+q+(p+3)x−2px2+x3 e identicoa P (x) = x3 − 4x2 + 5x + 2 ,entao:f) p2 + q2 = 4g) p2 − q2 = 0h) p = qi) p + q = 4j) p− q = 0

Exercıcios de Aplicacao

1. (PUC-MG) Os valores de a e b que tornam o polinomioP (x) = x3 + 4x2 + ax + b divisıvel por (x + 1)2 sao, respecti-vamente:a) 1 e 2b) 3 e 2c) 4 e 5d) 5 e 2e) 5 e 3

2. (UnB-DF) O resto da divisao de P (x) = 3x5 +2x4 +3px3 +x− 1 por x− 1 e 4 se p e igual a:a) 5/3b) -2c) -3d) -10e) -7/3

3. (OSEC-SP) Os valores reais de m e n para os quais opolinomio x4−4x3 +mx2 +4x+n e divisıvel por (x−1)(x−5)sao, respectivamente:a) -6 e -5b) 6 e -5c) 6 e 5d) -6 e 5e) n. d. a.

Exercıcios Complementares

4. (Fuvest-SP) Dividindo-se o polinomio p(x) por 2x2+3x+1,obtem-se o quociente 3x2 +1 e resto −x+2. Nessas condicoes,o resto da divisao de p(x) por x− 1 e:a) 2b) 1c) 0d) -1e) -2

5. (UnB-DF) O numero 1 e uma das raızes da equacao x3 −7x + 6 = 0. A soma das outras duas raızes e:a) -7b) -1c) 0d) 1e) n. d. a

6. (UFRJ) O polinomio P (x) = x3−2x2−5x+d, com d ∈ R,e divisıvel por (x− 2).a) Determine d.b) Calcule as raızes da equacao P (x) = 0

Matematica A Aula 6

Equacoes Algebricas

Teorema fundamental da Algebra

Toda equacao algebrica P (x) = 0, de grau n ≥ 1, tempelo menos uma raiz real ou complexa.

Definicao

Chamamos de equacao polinomial ou algebrica toda equacaoda forma P (x) = 0, em que P (x) e um polinomio de grau n:

Dados n ∈ N numeros complexos ai, i = 0, 1, 2, . . . , n ⊂ C,chamamos de funcao polinomial ou polinomio na variavelx a funcao P (x) : C→ C tal que:

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0

onde cada parcela do polinomio e chamada de termo e cadanumero complexo que multiplica a variavel x e um coefici-ente.

Exemplo

x3 + 3x2 + 2x− 3 = 0

Raiz

Chama-se raiz de zero ou raiz de uma equacao polinomialP (x) = 0 todo numero complexo a tal que P (a) = 0.

Exemplos

a) 1 e raiz de P (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = 0 pois P (1) =13− 3 · 12 + 3 · 1− 1 = 0;

b) i e raiz de P (x) = x3 + x2 + x + 1 = 0 pois P (i) = i3 + i2 +i + 1 = −i− 1 + i + 1 = 0

Forma Fatorada

Todo polinomio

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0

de grau n pode ser decomposto em n fatores da forma (x− a),onde a e raiz de P (x) e e tambem um fator igual ao coeficientede xn.

Exemplo

Formar o polinomio cujas raızes sao 2,-1 e 3.

Resolucao: O polinomio tem tres raızes diferentes; logo, P (x)e do terceiro grau.

P (x) = a3(x− a1)(x − a2)(x − a3) = 1(x− 2)(x + 1)(x− 3)

P (x) = x3 − 4x2 + x + 6

Page 209: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

200 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Multiplicidade de uma Raiz

As raızes de uma equacao algebrica podem ser todas distintasou nao.

Se uma equacao algebrica tiver tres raızes iguais, a raiz teramultiplicidade 2, isto e, sera uma raiz dupla; se tiver tres raızestera multiplicidade 3, isto e, sera uma raiz tripla, e assim su-cessivamente.

Se um numero a for uma so vez raiz de uma equacao algebrica,ele sera chamado raiz simples.

Exemplo

Sabendo-se que −1 e raiz dupla da equacao P (x) = x4−3x3−3x2 + 7x + 6 = 0, determinar o seu conjunto solucao.

Resolucao: a equacao dada pode ser indicada da seguinteforma: P (x) = (x + 1)2Q(x) = 0.

Para determinarmos Q(x), que e do segundo grau, aplicaremosduas vezes o dispositivo pratico de Briot-Ruffini, abaixandopara 2 o grau da equacao dada.

Primeira divisao por (x + 1):

-1 1 -3 -3 7 61 -4 1 6 0

Segunda divisao por (x + 1):

-1 1 -4 1 61 -5 6 0

Logo: Q(x) = x2−5x+6, onde para Q(x) = 0 temos as raızesa1 = 2 e a2 = 3.

Exemplo

Resolva a equacao x4 + x3 − x2 + x− 2 = 0, sabendo que umadas raızes e i.

Resolucao: Como i e raiz da equacao, −i tambem e, pois asraızes complexas sempre aparecem aos pares (raızes conjuga-das). Dividindo sucessivamente por x− i e x + i, temos:

i 1 1 -1 1 -21 1+i -2+i -2i 0

Segunda divisao por (x + 1):

-i 1 1+i -2+i -2i1 1 -2 0

Logo, Q(x) = x2 + x − 2 e P (x) = (x − i)(x + i)Q(x). Entaopara Q(x) = 0 temos as raızes a1 = −2 e a2 = 1.

Raızes Multiplas

Dados a equacao algebrica,

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0 = 0

de coeficientes inteiros, com an 6= 0 e a0 6= 0, e o numeroracional p/q , com p e q primos entre si, p ∈ Z e q ∈ N∗, se p/qe raiz de P (x) = 0, entao p e divisor de a0 e q e divisor de an.

Exemplo

Na equacao x3−6x2+11x−6 = 0, temos an = 1 e a0 = −6. Sep ∈ Z e divisor de a0, entao p ∈ ±1,±2,±3,±6. Se q ∈ N∗ edivisor de a3, entao q ∈ 1. Dividindo todo os valores de p portodos os valores de q, obtemos ±1,±2,±3,±6. Portanto, se

existem raızes racionais, elas pertencem a esse conjunto. Averificacao e feita usando-se o dispositivo de Briot-Ruffini.

Pense um Pouco!

• Uma equacao polinomial de coeficientes reais tem onumero 3 como raiz dupla, o numero 5 como raiz tripla e1 + i como raiz dupla. Qual e grau da equacao?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UEL-PR) Se −1 e raiz de multiplicidade 3 da equacaox5 − 2x4 − 6x3 + 4x2 + 13x + 6 = 0, entao a soma das outrasduas raızes vale:a) 1b) 3c) 5d) -1e) -3

2. (UFPE) Qual a maior raiz inteira da equacao x4 − 20x3 +90x2 + 20x− 91 = 0?a) 1b) -ic) 10d) 13e) n. d. a.

Exercıcios Complementares

3. (PUC-SP) Em relacao ao polinomio P (x) = (x−1)2(x+1),o que se pode afirmar sobre o numero 1?a) E uma raiz simplesb) E raiz duplac) E raiz triplad) E raiz quadruplae) Nao e uma raiz

4. (USF-SP) Se −2 e raiz da equacao x3 + bx2 + cx + d = 0,entao b + c + d vale:a) 26b) -2c) 14d) 10e) -10

Matematica A Aula 7

Geometria Analıtica

Sistema Cartesiano Ortogonal

A Geometria Analıtica teve como principal idealizador ofilosofo frances Rene Descartes (1596-1650). Com auxılio deum sistema de eixos associados a um plano, ele faz correspon-der a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.

Page 210: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 7 201

Quando os eixos desse sistema sao perpendiculares na origem,eles determinam um sistema cartesiano ortogonal (ou planocartesiano). Entao, observemos o plano cartesiano divididonos quatro quadrantes:

X0

Y

y > 0x < 0 x > 0

y > 0

y < 0x < 0 x > 0

y < 0

Segundo Quadrante

Terceiro Quadrante Quarto Quadrante

Primeiro Quadrante

Figura 3.1: O plano cartesiano e seus 4 quadrantes.

1o quadrante: x > 0 e y > 0. 2o quadrante: x < 0 e y > 0. 3o

quadrante: x < 0 e y < 0. 4o quadrante: x > 0 e y < 0.

Distancia entre Dois Pontos

Quando se conhece as coordenadas de dois pontos A e B doplano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesianoortogonal e, assim, podemos calcular a distancia d(A, B). Apli-cando o Teorema de Pitagoras ao triangulo ABC, vem:

xA xB

yA

yB

yB

xB

yA

xA

0

A

B

C

d

Y

X

d2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2

logo

d =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

sera a distancia entre os pontos A(xA, yA) e B(xB , yB).

Exemplo

Determinar a distancia entre os pontos A(1,−1) e B(4,−5).

Analiticamente, temos

d = sqrt(4 − 1)2 + (−5− (−1))2 =√

32 + 42

d =√

9 + 16 =√

25 = 5

ou graficamente,

A

B−5

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5

d 4

Y

XC3

d2 = 32 + 42 =⇒ d = 5

Divisao de um Segmento

Dados os pontos A(xA, yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) de umareta (ABC), o ponto C divide o segmento AB numa determi-nada razao, denominada razao de seccao e indicada por:

rC =AC

CB

ou seja

rC =xC − xA

xB − xC=

yC − yA

yB − yC

y1

y3

y2

x1 x2 x30

Y

X

B

C

A ED

Exemplo

Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6), P (3, 4) e Q(1, 2), asrazoes rP e rQ em que P e Q dividem AB sao:

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

6

P

0

QA

B

y = x + 1Y

X

Page 211: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

202 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

rP =xP − xA

xB − xP=

3− 2

5− 3=

1

2

e

rQ =xQ − xA

xB − xQ=

1− 2

5− 1= −1

4

Baricentro de um Triangulo

Chamamos de baricentro (G) o ponto de interseccao das me-dianas de um triangulo. Esse ponto divide a mediana relativaa um lado em duas partes.

B

M

A

CN

v

v

v

w

w

wG

u

u

u

P

Calculo das Coordenadas do Baricentro (G)

Sendo A(xA, yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) vertices de umtriangulo, se N e ponto medio de BC, temos:

N =

(xC + xB

2,yC + yB

2

)

B

M

A

CN

G

P

Mas:

rG =AG

GN=

xG − xA

xN − xG

de onde podemos encontrar:

xG =xA + xB + xC

3

e

yG =yA + yB + yC

3

e escrevemos finalmente

G = (xG, yG) =

(xA + xB + xC

3,yA + yB + yC

3

)

Area de um Triangulo

Na geometria analıtica podemos calcular a area de umtriangulo a partir das coordenadas de seus vertices. A areaS do triangulo de vertices A(xA, yA), B(xB , yB) e C(xC , yC)e dada por:

S =1

2|D|

onde D e o determinante da matriz de coordenadas

D =

∣∣∣∣∣∣

xA yA 1xB yB 1xC yC 1

∣∣∣∣∣∣

Condicao de Alinhamento de 3 Pontos

A figura mostra tres ponto, A(xA, yA), B(xB , yB) e C(xC , yC),que estao alinhados, ou seja, sao pontos de uma mesma reta.

yA

yC

yB

xA xB xC0

Y

X

B

C

DEA

Para que tres pontos estejam alinhados, devemos ter:

AB

AC=

AE

AD=

EB

DC

ou seja:xB − xA

xC − xA=

yB − yA

yC − yA

Pense um Pouco!

• O que acontece com a distancia entre dois pontosA(xA, yA) e B(xB , yB) se as coordenadas de ambos pon-tos forem:a) aumentadas de uma constante c?b) multiplicadas por 2?c) multiplicadas por -1?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFES) Sendo r a distancia da origem ao ponto P (x, y),entao, para que y/r seja negativo, o ponto P devera pertencerao:a) 1o quadrante ou 2o quadranteb) 2o quadrante ou 4o quadrantec) 2o quadrante ou 3o quadranted) 3o quadrante ou 4o quadrantee) 1o quadrante ou 3o quadrante

Page 212: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 8 203

2. (FAAP-SP) Se os ponto A(2,−1), B(x, 4) e C(4, 9) perten-cem a uma mesma reta, determine x.a) 2b) -6c) 1d) 3e) 4

3. (MACK-SP) No triangulo ABC, A(1, 1) e um dos vertices,N(5, 4) e o ponto medio do segmento BC e M(4, 2) e o pontomedio do segmento AB. Calcule as coordenadas do baricentroG do triangulo.a) G(3, 11/3)b) G(4/5, 3)c) G(11/3, 3)d) G(3, 3)e) G(11, 6)

Exercıcios Complementares

4. (PUC-SP) A(3, 5), B(1,−1) e C(x,−16) pertencem a umamesma reta se x e igual a:a) -5b) -1c) -3d) -4e) -2

5. O ponto medio de um segmento AB, sendo A(6, 4) e B(1, 2)e:a) (3, 7/2)b) (7/2, 4)c) (5, 3)d) (6, 2)e) (7/2, 3)

6. Calcule a distancia entre os pontos A e M , sabendo queA(5, 1), B(1, 3) e M e ponto medio do segmento ABa)√

20b)√

3c)√

5d) 5√

2e) 2

Matematica A Aula 8

Geometria Analıtica

Equacoes da Reta

Equacao Geral

A partir de uma condicao de alinhamento de tres pontos po-demos determinar:

y = ax + b

onde a e o chamado coeficiente angular da reta, e b o coeficientelinear.

Para x = 0 vemos que a reta cruza o eixo Y na altura y = b.

Exemplo

Determinar a equacao geral da reta que passa nos pontosA(1, 2) e B(7, 6).

B(7,6)

A(1,2)

6

4

Y

X

(0,4/3)

0 1 2 3 4 5 76

1

4

2

3

5

6

C(7,2)

Figura 3.1: Equacao geral da reta: exemplo.

Para que um ponto qualquer (x, y) pertenca a reta AB, temosque ter

D =

∣∣∣∣∣∣

x y 11 2 17 6 1

∣∣∣∣∣∣

= 0

e desenvolvendo o determinante temos

D = (2x + 6 + 7y)− (14 + 6x + y) = 0 −→ y =2

3x +

4

3

Confira a figura (3.1).

Equacao Segmentaria

Considere a reta r nao-paralela a nenhum dos eixos e que in-tercepta os eixos nos pontos P (p, 0) e Q(0, q), com p 6= 0 eq 6= 0.

0

Q(0,q)

P(p,0)

q

p

Y

X

Podemos escrever a equacao da reta na forma segmentaria:

x

p+

y

q= 1

Exemplo

Por exemplo, para a reta mostrada na figura (3.1), pode-seobter diretamente p = −2 e q = 4/3, e a equacao segmentariada reta sera

x

−2+

y

4/3= 1

Page 213: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

204 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

ou reescrevendo

3y

4− x

2= 1

Equacoes na Parametrica

Sao equacoes da forma x = f(t) e y = g(t), que relacionamas coordenadas x e y dos pontos da reta com o parametro(variavel) t.

Exemplo

As equacoes x(t) = t + 2 e y(t) = 1 − t definem uma reta, naforma parametrica.

Para se obter a equacao geral da reta, pode-se eliminar oparametro t, isolando-o na primeira equacao:

t = x− 2

e substituindo-o na segunda:

y = 1− (x − 2) = −x + 3

Coeficiente Angular ou Declividade

Numero real m que expressa a tangente trigonometrica de suainclinacao α, ou seja:

m = tanα

Podemos observar que:

r

0 X

Y

Se α = 0 ⇒ tanα = 0⇒ m = 0

0 X

Y

r

α

Se 0 < α < 90 ⇒ tanα > 0⇒ m > 0

0 X

Y

αr

Se 90 < α < 180 ⇒ tanα < 0⇒ m < 0

0 X

Y

r

Se α = 90 ⇒ ∄ tanα ⇒ m e indefinido. Nesse caso, a reta rse diz vertical.

Podemos determinar o coeficiente angular de uma reta r quepassa por dois pontos A(xA, yA) e B(xB , yB):

y1

y2

x1 x20

Y

X

B

A α

α

C

m =yB − yA

xB − xA

Posicoes Relativas entre Duas Retas

Paralelismo

Duas retas r e s, distintas e nao-verticais, sao paralelas se,somente se, tem coeficientes angulares iguais. Se r e s saoparalelas αr = αs e entao mr = ms

Exemplo

Determinar a posicao da reta r, da equacao 2x − 3y + 5 = 0,em relacao a reta s, de equacao 4x− 6y − 1 = 0

Resolucao: vamos determinar o coeficiente angular mr da retar, reescrevendo a sua equacao na forma geral y = (2x + 5)/3,e entao mr = 2/3.

Para a reta s, temos: y = (4x−1)/6, de onde ms = 4/6 = 2/3,ou seja as retas r e s sao paralelas.

Page 214: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 8 205

Concorrencia

Duas retas r e s serao concorrentes se tiverem coeficientes dife-rentes, isto e, r e s sao concorrentes Longleftrightarrowmr 6=ms.

As retas sao ditas concorrentes porque concorrem para um, eapenas um, ponto em comum.

l1 l

2

α1α2

0

Y

A

θ

P

B X

Perpendicularismo

Se r e s sao duas retas nao-verticais, entao r e perpendiculara s se, somente se, o produto de seus coeficientes angulares eigual a −1.

l2

l1

0 X

Y

α

θ

A

P

B

Exemplo

Verificar se as retas f e g, de equacoes 10x + 3y − 5 = 0 e3x− 10y − 4 = 0, respectivamente, sao perpendiculares.

Calculo de mf , coeficiente angular f :

Reescrevemos a equacao da reta f , e obtemos, y = (5−10x)/3,de onde mf = −10/3.

Calculo de mg, coeficiente angular g:

Reescrevemos a equacao da reta g, e obtemos, y = (3x−4)/10,de onde mg = 3/10.

Verificando a condicao de perpendicularismo:

mf ×mg = (−10/3)(3/10) = −1

entao as retas f e g sao perpendiculares entre si.

Angulo Formado por Duas Retas

Se duas retas l1 e l2, nao perpendiculares, tem coeficientesangulares m1 e m2, respectivamente, o angulo θ, medido nosentido anti-horario, desde a reta l1 ate l2, e considerando oangulo formado por elas.

Se tan α1 = m1 e tan α2 = m2 e θ e agudo, temos:

tan θ =

∣∣∣∣

m2 −m1

1−m1m2

∣∣∣∣

Caso a reta 2 seja vertical: Se tan α1 = m1 e θ e agudo, temos:

tan θ =

∣∣∣∣

1

m1

∣∣∣∣

Distancia entre um Ponto e uma Reta

Dados um ponto P (xP , yP ) e uma reta r de equacao ax+ by+c = 0 , a distancia entre P e r e dada pela formula:

d(P, r) =

∣∣∣∣

axP + byP + c√a2 + b2

∣∣∣∣

Exemplo

Determinar a distancia entre o ponto A(2, 1) e a reta r, deequacao x + 2y − 14 = 0.

d(A, r) =

∣∣∣∣

2 + 2 · 1− 14√12 + 22

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

10√5

∣∣∣∣

d(A, r) = 2√

5

Pense um Pouco!

• A equacao da reta ja foi estudada em outro conteudo damatematica, com uma outra ”aparencia”. Qual era esseassunto?

Exercıcios de Aplicacao

1. (Fuvest-SP) Se (m + 2n, m− 4) e (2−m, 2n) representamo mesmo ponto do plano cartesiano, entao mn e igual a:a) -2b) 0c) 2d) 1e) 1/2

2. (UFC-CE) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixoscoordenados, forma com estes um triangulo retangulo. Calculeo valor da hipotenusa desse triangulo.a) 6√

13b) 5

√13/6

c) 5√

13d) 6√

13/5e) 0

3. (UFMG) A reta r dada pela equacao 2x + 4y − 3 = 0intercepta o eixo das ordenadas no ponto:a) −3/4b) −1/2c) 3/4d) 1/2e) 3/2

4. (PUC-MG) O valor de x para que os pontos (1, 3), (−2, 4)e (x, 0) do plano sejam colineares e:a) 8b) 9c) 11d) 10e) 5

Page 215: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

206 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Exercıcios Complementares

5. (Cesgranrio-RJ) A equacao da reta mostrada na figuraabaixo

3

−4 X

Y

0

e:a) 3x + 4y − 12 = 0b) 3x− 4y + 12 = 0c) 4x + 3y + 12 = 0d) 4x− 3y − 12 = 0e) 4x− 3y + 12 = 0

6. (Fuvest-SP) A reta r tem equacao 2x + y = 3 e interceptao eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P (1, 2) e eperpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta oeixo x e a reta r, respectivamente:a) determine a equacao de s;b) calcule a area do triangulo ABC.

7. Se o ponto P (k,−2) satisfaz a relacao x + 2y − 10 = 0,entao o valor de k2 e:a) 200b) 196c) 144d) 36e) 0

Matematica A Aula 9

Circunferencia

Conceito

E o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantesde um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro dacircunferencia.

Raio

E o segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquerda circunferencia.

Equacao Reduzida da Circunferencia

Sendo C(xC , yC) o centro e P (x, y) um ponto qualquer dacircunferencia, a distancia de C a P , chamada d(C, P ), e uma

constante R, o raio da circunferencia.

d(C, P ) =√

(x − xC)2 + (y − yC)2 = R

ou seja,(x− xC)2 + (y − yC)2 = R2

e a equacao reduzida da circunferencia.

xC

yC

y

x

yC

x

y

xC

xC yC

0

P(x,y)

Y

X

C( , )

R

Figura 3.1: Uma circunferencia de raio R, com centro no pontoC(xC , yC).

A equacao reduzida da circunferencia e permite determinardiretamente os elementos essenciais para a construcao da cir-cunferencia: as coordenadas do centro e o raio.

Quando o centro da circunferencia estiver na origem, O(0, 0),a equacao da circunferencia sera simplesmente

x2 + y2 = R2

Exemplo

Determinar as coordenadas do centro C e o raio R da circun-ferencia da equacao (x− 3)2 + (y + 1)2 = 16.

Comparando a equacao dada, com a equacao reduzida da cir-cunferencia temos:

x− 3 = x− xC =⇒ xC = 3

y + 1 = y − yC =⇒ yC = −1

16 = R2 =⇒ R = 4

entao o centro da circunferencia e o ponto C(3,−1), e o possuiraio R = 4.

Equacao Geral da Circunferencia

Desenvolvendo a equacao reduzida, obtemos a equacao geralda circunferencia:

(x − xC)2 + (y − yC)2 = R2 =⇒x2 + y2 − 2xCx− 2yCy + x2

C + y2C −R2 = 0

Para determinar o centre e o raio de uma circunferencia, co-nhecendo a equacao geral, basta compara-la com a equacaogeral da circunferencia em sua forma generica.

Page 216: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 10 207

Exemplo

Determine o centro e raio da circunferencia com equacao geraligual a x2 + y2 − 6x + 4y − 3 = 0

Comparando com a equacao geral da circunferencia temos:

−2xC = −6 =⇒ xC = 3

−2yC = 4 =⇒ yC = −2

x2C + y2

C −R2 = −3 =⇒ 32 + (−2)2 + 3 = R2

e entao R = +√

16 = 4, ja que procuramos um valor R > 0.

Logo, C(3, 2) e R = 4.

Pense um Pouco!

• De que elementos da circunferencia precisamos conhecerpara escrever a equacao geral da circunferencia?

• Como podemos saber se um ponto dado esta dentro oufora de uma dada circunferencia?

Exercıcios de Aplicacao

1. Qual a equacao geral da circunferencia com centro no pontoC(2, 3) e que passa pelo ponto P (−1, 2)?a) (x− 3)2 + (y − 2)2 = 10b) (x − 2)2 + (y − 3)2 = 10c) (x− 2)2 + (y − 10)2 = 15d) (x − 2/3)2 + (y − 1)2 = 10e) (x− 10)2 + (y − 2)2 = 3

2. (PUC-RS) O ponto P (−3, b) pertence a circunferencia decentro C(0, 3) e raio R = 5. Quais sao os valores possıveis deb?a) 14 e 20b) -20 e 14c) 8 e 2d) -7 e 1e) 7 e -1

3. A circunferencia com centro na origem (0, 0) e que passano ponto (−3,−4) tem equacao:a) (x− 3)2 + (y − 4)2 = 5b) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25c) x2 + y2 = −5d) x2 − y2 = 25e) x2 + y2 − 25 = 0

Exercıcios Complementares

4. (UFAL) Para a questao utilize os seguintes dados:reta r de equacao x− 2y + 2 = 0reta s de equacao 2x + y − 6 = 0pontos A(−1, 3) e B(3, 0).Seja C o ponto de interseccao de r e s. A equacao da circun-ferencia de centro C e raio de medida igual a AB e:a) x2 + y2 − 4x + 4y + 17 = 0b) x2 + y2 + 4x− 4y + 3 = 0c) x2 + y2 − 4x− 4y − 17 = 0

d) x2 + y2 + 4x + 4y + 3 = 0e) n. d. a.

5. (UEL-PR) Considere, no plano cartesiano, todos os pontosque distam 2 unidades da reta de equacao x−y−3 = 0. Essespontos pertencem todos:a) as retas de equacoes −x + y + 5 = 0 ou −x + y + 1 = 0b) ao 1o ou 4o quadrante.c) as retas de equacoes −x + y + 3 = ±2

√2

d) a circunferencia de equacao x2 + y2 − 9 = 0e) as retas de equacao −x− y − 3/2 = 0 ou −x− y + 3/2 = 0

Matematica A Aula 10

Circunferencia - II

Posicao Relativa a uma Reta

Uma reta l e uma circunferencia podem ocupar as seguintesposicoes relativas:

Reta Secante

A reta l intercepta a circunferencia em dois pontos.

f

d

C

B

A

Nesse caso, a reta e a circunferencia sao secantes. Pode-severificar, facilmente, que a distancia do centro C ate a reta le menor que o raio r, ou seja d(C, l) < r.

Reta Tangente

A reta l intercepta a circunferencia em apenas umponto.

Page 217: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

208 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

C

l

A

d

Nesse caso, a reta e a circunferencia sao tangentes. Pode-severificar, facilmente, que a distancia do centro ate a reta l eigual ao raio r, ou seja, d(C, l) = r

Exterior

A reta l nao-intercepta a circunferencia.

C l

d

Nesse caso, a reta e a circunferencia sao nao-secantes ouexteriores. Pode-se verificar, facilmente, que a distancia docentro C ate a reta l e maior que o raio r, ou seja, d(C, l) > r.

Calculo da Posicao

Pode-se determinar a posicao de uma reta em relacao auma circunferencia calculando a distancia da reta ao cen-tro da circunferencia. Assim, dadas a reta l definida pelaequacao ax + by + c = 0 e a circunferencia α definida por(x − xC)2 + (y − yC)2 = r2, com centro C(xC , yC) e raio r,temos:

d(C, l) =

∣∣∣∣

axC + byC + c√a2 + b2

∣∣∣∣

E uma vez determinada essa distancia, fazemos a sua com-paracao com r e classificamos a posicao em um dos tres casosvistos acima: secante, tangente ou exterior.

Exemplo

Vamos determinar a posicao relativa da reta s : x + y− 4 = 0em relacao a circunferencia α : x2 + y2 = 1.

Vamos calcular a distancia do centro de C ate s e compara-la com o raio de α. Da equacao da circunferencia temos queC(0, 0) e r = 1, e entao:

d(C, s) =

∣∣∣∣

1 · 0 + 1 · 0− 4√12 + 12

∣∣∣∣

d(C, s) =4√2

= 2√

2

Como d(C, s) > r, a reta s e exterior a α.

Posicao Relativa entre Circunferencias

Para determinar a posicao relativa entre duas circunferenciasquaisquer de raios R1 e R2, com centros C1 e C2, respectiva-mente, determinamos a distancia d(C1, C2) entre seus centrose comparamos com R1 + R2 ou com |R1 −R2|, e classificamosos seguintes casos:

Circunferencias Exteriores

Quando d(C1, C2) > (R1 + R2) as circunferencias sao exteri-ores.

d(C ,C ) > R + R1 2

R1

C2

C1

1 2

β

α

R2

Circunferencias Secantes

Quando |R1 −R2| < d(C1, C2) < (R1 + R2) as circunferenciassao secantes.

R1

C1

C2

α

21|R − R | < d(C ,C ) < R + R1 2 1 2

R2

β

Circunferencias Tangentes

Quando d(C1, C2) = |R1 − R2| ou d(C1, C2) = (R1 + R2) ascircunferencias sao tangentes.

Circunferencias Internas

Quando 0 < d(C1, C2) < |R1 − R2| as circunferencias sao in-ternas.

Page 218: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica A – Aula 10 209

d(C ,C ) = R + R1 2

R1

C1

C2

1 2

α

R2

β C2

R1

C1

d(C ,C ) = |R − R |1 2

R2

β

α

21

(a) (b)

Figura 3.1: Circunferencias tangentes exteriores (a) e interi-ores (b).

C1

C2

R1

R

β

α

2

1

d(C ,C ) < |R − R |2 1 2

R1

2R

C = C1

d(C ,C ) = 0 1 2

β

α

2

(a) (b)

Figura 3.2: Circunferencias internas (a) e concentricas (b).

Circunferencias Concentricas

No caso especial em que d(C1, C2) = 0 as circunferencias saoconcentricas.

Pense um Pouco!

• De que elementos da circunferencia precisamos conhecerpara escrever a equacao geral da circunferencia?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFSC) Determine o raio da circunferencia C1, cujo centroe o ponto de interseccao da reta r de equacao x−y−1 = 0 comreta s de equacao 2x− y + 1 = 0, sabendo que C1 e tangenteexteriormente a circunferencia C2 de equacao x2 + y2 − 12x−6y − 4 = 0.a) 10b) 2c) 3d) 6e) 1

2. (ITA-SP) Sabendo que o ponto (2, 1) e o ponto medio deuma corda AB da circunferencia (x − 1)2 + y2 = 4, entao aequacao da reta que contem A e B e dada por:a) y = 2x− 3b) y = x− 1c) y = −x + 3d) y = (3/2)x− 2e) y = −x/2 + 2

Exercıcios Complementares

3. (Fuvest-SP) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e e perpendi-cular a reta AB, onde A(0, 0) e B e o centro da circunferenciax2 + y2 − 2x− 4y = 20. Entao a equacao de s e:a) x− 2y = −6b) x + 2y = 6c) x + y = 3d) y − x = 3e) 2x + y = 6

4. (MACK-SP) Em relacao a circunferencia (x−1)2+(y−2)2 =169, a reta 5x + 12y − 198 = 0a) e secanteb) e tangentec) e externad) coincide com reta que contem o diametroe) n. d. a.

Page 219: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

210 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Page 220: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica B – Aula 1 211

Matematica B Aula 1

Matrizes

Uma tabela de numeros dispostos em linhas e colunas, comopor exemplo:

3 1 4 26 −5 0 −17 11 −3 5

e chamada matriz.

Se essa tabela e formada por m linhas e por n colunas, dizemosque a matriz e do tipo m por n, e indicamos m×n. No exemplo,a matriz A tem 3 linhas e 3 colunas; entao, A e do tipo 3× 4:A(3 × 4).

De modo geral, apresentamos uma matriz cercando as linhas eas colunas por parenteses como na matriz A acima. Podemostambem utilizar colchetes ou duplas barras.

Exemplos

1. B =

(2 1/2 −35 0 −1

)

e uma matriz (2 × 3)

2. C =

∣∣∣∣

∣∣∣∣

1 45 −1

∣∣∣∣

∣∣∣∣

e uma matriz de ordem 2

3. D =[−1 0 3 5

]e uma matriz (1× 4)

Notacao Geral

Normalmente representamos as matrizes por letras maiusculase seus elementos por letras minusculas, acompanhadas por doisındices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que oelemento ocupa. Uma matriz A do tipo m× n e representadapor:

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n

......

... · · ·...

am1 am2 am3 · · · amn

ou, abreviadamente, A = [aij ]m×n, em que i e j representam,respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.Por exemplo, na matriz anterior, a31 e o elemento da 3a linhae da 1a coluna.

Exemplo

Na matriz:

A =

[2 6−5 0

]

temos

a11 = 2a12 = 6a21 = −5a22 = 0

Tipos de matrizes

Algumas matrizes recebem nomes especiais, devido suas ca-racterısticas.

• Matriz linha : matriz do tipo 1 × n, ou seja,com uma unica linha. Por exemplo, a matriz A =[

5 8 −2 3], do tipo 1× 4.

• Matriz coluna : matriz do tipo m×1, ou seja, com uma

unica coluna. Por exemplo,

3−52

, do tipo 3× 1.

• Matriz quadrada : matriz do tipo n×n, ou seja, com omesmo numero de linhas e colunas; dizemos que a matrize de ordem n. Os elementos da forma aii constituem adiagonal principal. Os elementos aij em que i + j = n + 1constituem a diagonal secundaria. Por exemplo, a matriz

C =

[7 −92 4

]

e do tipo 2× 2, isto e, quadrada de ordem 2.

• Matriz nula: matriz em que todos os elementos sao nu-los; e representada por 0m×n. Por exemplo,

02×3 =

[0 0 00 0 0

]

.

• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os ele-mentos que nao estao na diagonal principal sao nulos. Porexemplo:

B3×3 =

4 0 00 5 00 0 −3

.

• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos oselementos da diagonal principal sao iguais a 1 e os demaissao nulos; e representada por In, sendo n a ordem damatriz. Por exemplo:

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

Para uma matriz identidade

aij = 1 se i = jaij = 0 se i 6= j

• Matriz transposta: Dada uma matriz A(m× n), a ma-triz que se obtem trocando ordenadamente as linhas pelascolunas chama-se transposta de A, e e indicada por At

(ou por At). Por exemplo

A =

2 35 −10 6

=⇒ At =

[2 5 03 −1 6

]

• Matriz simetrica: matriz quadrada de ordem n tal queA = At. Por exemplo

A =

3 5 65 2 46 4 8

e simetrica pois temos aij = aji.

Page 221: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

212 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

• Matriz anti-simetrica: Uma matriz quadrada A = [aij ]e anti-simetrica se At = −A. Por exemplo

A =

0 3 4−3 0 −6−4 6 0

• Matriz oposta: matriz −A obtida a partir de Atrocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exem-plo, se

A =

(3 04 −1

)

entao

−A =

(−3 0−4 1

)

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m× n, sao iguais se, esomente se, todos os elementos que ocupam a mesma posicaosao iguais. Por exemplo, se

A =

[x yz t

]

e B =

[8 −15 3

]

A = B se, e somente se, x = 8, y = −1, z = 5 e t = 3.

Pense um Pouco!

• Qual a relacao entre uma matriz A e sua oposta?

• No que a matriz anti-simetrica difere da matriz simetrica?

Exercıcios de Aplicacao

1. Escreva a matriz A(3 × 3) = [aij ], onde aij = i + 2j.Determine, em seguida, At (a matriz transposta de A).

2. Escreva a matriz A(2 × 2) = [aij ] onde

aij = 2i, se i = jaij = j − 10 se i 6= j

3. (ACAFE) Seja A = B, onde

A =

(x2 + 1 0

logx81 y2

)

e B =

(10 y − 24 4

)

entao os valores de x e y serao, respectivamente:a) 2 e 3b) ±2 e ±3c) 3 e 2d) −3 e −2e) ±3 e ±2

Exercıcios Complementares

4. Sendo A = [aij ]2×3 tal que aij = i + j, determine x, y e z

tais que A =

(2 y − 1 4x z 5

)

.

5. Dada a matriz A = (aij)3×3 tal que aij = i2+2j−5, calculea12 + a31.

6. Calcule a soma dos elementos da 2a coluna da matriz B =(bij)2×3, em que bij = 2i + j − 1

Matematica B Aula 2

Operacoes com Matrizes

Adicao

Dadas as matrizes A e B, ambas do mesmo tipo (m×n), somarA com B e obter a matriz A + B, do tipo m× n, onde cadaelemento e a soma dos elementos de mesma posicao de A e B.Por exemplo:

Se A =

[2 3 5−1 4 −2

]

e B =

[8 −7 32 4 6

]

entao

A + B =

[2 + 8 3− 7 5 + 3−1 + 2 4 + 4 −2 + 6

]

A + B =

[10 −4 81 8 4

]

Propriedades da Adicao

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m × n), temos asseguintes propriedades para a adicao:a) comutativa: A + B = B + Ab) associativa: (A + B) + C = A + (B + C)c) elemento neutro: A+ 0 = 0+ A = A, sendo 0 a matriz nulam× nd) elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0

Subtracao

Para entendermos a subtracao de matrizes devemos saber oque e uma matriz oposta. A oposta de uma matriz M e amatriz −M , cujos elementos sao os numeros opostos de mesmaposicao de M . Por exemplo:

M =

[2 −3−5 7

]

=⇒ −M =

[−2 35 −7

]

Com a matriz oposta podemos definir a diferenca de matrizes:

A−B = A + (−B)

ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com aoposta da segunda. Assim para as matrizes A e B acima,temos:

A−B = A + (−B)

A−B =

[2 3 5−1 4 −2

]

+

[−8 7 −3−2 −4 −6

]

Logo,

A−B =

[−6 10 2−3 0 −8

]

Page 222: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica B – Aula 2 213

Multiplicacao por um Numero Real

Multiplicar um numero k por uma matriz A e obter a matrizkA, cujos elementos sao os elementos de A multiplicados, todospor k.

A =

2 14 −3−1 5

=⇒ 3A =

6 312 −9−3 15

Propriedades

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m× n e x e y numerosreais quaisquer, valem as seguintes propriedades:a) associativa: x · (yA) = (xy) ·Ab) distributiva de um numero real em relacao a adicao de ma-trizes: x · (A + B) = xA + xBc) distributiva de uma matriz em relacao a adicao de doisnumeros reais: (x + y) · A = xA + yAd) elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, 1 ·A = A

Multiplicacao de Matrizes

Dadas as matrizes A = (aik)m×n e B = (bik)m× p, define-secomo produto de A por B a matriz C = (cij)m × p tal queo elemento cij e a soma dos produtos da i-esima linha de Apelos elementos correspondentes da j-esima coluna de B.

C = A ·B ⇒ cij =∑p

k=1(Aik · Bik)

Observacao

Somente existe o produto de uma matriz A por outra matrizB se o numero de colunas de A e igual ao numero de linhas deB. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz produtoe dado pelo numero de linhas de A e pelo numero de colunasde B. Pode existir o produto de A por B, mas nao existir oproduto de B por A.

Propriedades

Verificadas as condicoes de existencia para a multiplicacao dematrizes, valem as seguintes propriedades:a) associativa: (A · B) · C = A · (B · C)b) distributiva em relacao a adicao: A · (B +C) = A ·B +A ·Cou (A + B) · C = A · C + B · Cc) elemento neutro: A · In = In · A = A, sendo In a matrizidentidade de ordem n

Geralmente a propriedade comutativa nao vale para a mul-tiplicacao de matrizes (A · B 6= B · A). Nao vale tambem oanulamento do produto, ou seja: sendo 0m×n uma matriz nula,A ·B = 0m×n nao implica, necessariamente, que A = 0m×n ouB = 0m×n.

Inversao de Matrizes

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir umamatriz A′, de mesma ordem, tal que A ·A′ = A′ ·A = In, entaoA′ e matriz inversa de A. Representamos a matriz inversa porA−1.

Pense um Pouco!

• Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem(iguais) ?

• (ACAFE) Sejam as matrizes A3×2, B3×3 e C2×3. A alter-nativa em que a expressao e possıvel de ser determinadae:a) B2 · (A + C)b) (B · A) + Cc) (C · B) + Ad) (A · C) + Be) A · (B + C)

Exercıcios de Aplicacao

1. Sendo A =

(1 2−2 1

)

, determine sua inversa, se existir.

A =

(1/5 −2/52/5 1/5

)

2. (ACAFE) Dada a matriz A =

(0 12 −2

)

, seja At a sua

matriz transposta. O produto A · At e a matriz:

a)

(0 12 −2

)

b)

(0 21 −2

)

c)

(1 −2−2 0

)

d)

(1 02 1

)

e

(1 −2−2 8

)

3. (ACAFE) Considere as matrizes

A =

(1 2−2 −1

)

, B =

(xy

)

e

C =

(69

)

. Sabendo que A ·B = C, o valor de |x|+ |y| e:

a) 15b) 1c) 57d) 9e) 39

Exercıcios Complementares

4. Dadas as matrizes A =

1 03 25 4

e

B =

(2 −1 01 3 4

)

, calcule X = 2A− 3Bt.

5. A matriz A = (aij)3×3 e definida, de tal forma que:

aij =

i−j se i>ji∗j se i=j

i + j se i < j

Determinar a matriz inversa de A.

Page 223: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

214 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

6. Dada a matriz

M =

cos θ −sen θ 0sen θ cos θ 0

0 0 1

Calcule M ·M t.

7. (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M =(

1/3 01/7 1

)

. A soma dos elementos da diagonal principal da

matriz P e:a) 9

4b) 4

9c) 4d) 5

9e) − 1

9

8. (UECE) O produto da inversa da matriz

A =

(1 11 2

)

pela matriz I =

(1 00 1

)

e igual a:

a)

(−2 1−1 1

)

b)

(2 −11 −1

)

c)

(−2 11 −1

)

d)

(2 −1−1 1

)

Matematica B Aula 3

Determinantes

Determinante e um numero que se associa a uma matrizquadrada. De modo geral, um determinante e indicadoescrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou ante-cedendo a matriz pelo sımbolo det.

Assim, se A =

[a bc d

]

, o determinante de A e indicado por:

detA = det

[a bc d

]

=

∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣

O calculo de um determinante e efetuado atraves de regrasespecıficas que estudaremos mais adiante. E importante res-saltarmos alguns pontos:

1. Somente as matrizes quadradas e que associamos deter-minantes.

2. O determinante nao representa o valor de uma matriz.Lembre-se, matriz e uma tabela, e nao ha significado falarem valor de uma tabela.

Determinante de 1a Ordem

Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11], o seudeterminante e o numero real a11:

det M = |a11| = a11

Exemplo

M = [5]⇒ det M = 5 ou |5| = 5

Determinante de 2a Ordem

Dada a matriz M =

[a11 a12

a21 a22

]

, de ordem 2, por definicao

o determinante associado a M , determinante de 2a ordem, edado por:

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣= a11a22 − a12a21

Determinante de 3a Ordem

Para o calculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizaruma regra pratica, conhecida como Regra de Sarrus, que sose aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremosdetalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus para calcularo determinante

D =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado daterceira:

a13

a23

a33

a11

a31

a12

a21

a32

a22

a11

a31

a12

a21

a32

a22

2o passo: Devemos encontrar a soma do produto dos elemen-tos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pelamultiplicacao dos elementos das paralelas a essa diagonal:

a13

a23

a33

a11

a31

a12

a21

a32

a22

a11

a31

a12

a21

a32

a22

multiplicar e somar

3o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos dadiagonal secundaria com os dois produtos obtidos pela multi-plicacao dos elementos das paralelas a essa diagonal:

Page 224: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica B – Aula 3 215

a13

a23

a33

a11

a31

a12

a21

a32

a22

a11

a31

a12

a21

a32

a22

multiplicar e subtrair

Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemosescrever o determinante como:

D = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)

− (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33)

Menor Complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elementoaij de uma matriz M , quadrada de ordem n > 1, o determi-nante MCij , de ordem n− 1, associado a matriz obtida de Mquando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Porexemplo, dada a matriz

M =

[a11 a12

a21 a22

]

de ordem 2, para determinar o menor complementar relativoao elemento a11 (MC11), eliminamos a linha 1 e a coluna 2:

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣⇒MC11 = |a22| = a22

De modo analogo, para obtermos o menor complementar rela-tivo ao elemento a12, eliminamos a linha 1 e a coluna 2:

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣⇒MC12 = |a21| = a21

Para um determinante de ordem 3, o processo de obtencao domenor complementar e o mesmo utilizado anteriormente, porexemplo, sendo

M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

de ordem 3, temos:

MC11 =

∣∣∣∣

a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣= a22a33 − a23a32

Co-fator

Chama-se de co-fator de um elemento aij de uma matriz qua-drada o numero Aij tal que

Aij = (−1)i+j ·MCij

Exemplo

Considerando M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

calcularemos o co-fator A23. Temos que i = 2 e j = 3, logo:A23 = (−1)

2+3 ·MC23. Devemos calcular MC23.

MC23 =

∣∣∣∣

a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣= a11a32 − a12a31

Assim A23 = (−1) · (a11a32 − a12a31)

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M = [aij ]m×n (m ≥2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos deuma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respec-tivos co-fatores.

Desta forma, fixando j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos:

det M =∑m

i=1 aijAij

em que∑m

i=1 e o somatorio de todos os termos de ındice i,variando de 1 ate m, m ∈ N.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir utilizando o Te-orema de Laplace:

D =

∣∣∣∣∣∣

2 3 −4−2 1 20 5 6

∣∣∣∣∣∣

Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, te-

mos: D = 2(−1)1+1

∣∣∣∣

1 25 6

∣∣∣∣

+ (−2)(−1)2+1

∣∣∣∣

3 −45 6

∣∣∣∣

+

0(−1)3+1

∣∣∣∣

3 −41 2

∣∣∣∣

D = 2(+1)(−4) + (−2)(−1)38 + 0 = −8 + 76 = 68

Observacao

Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus,obteremos o mesmo numero real.

Propriedades dos determinantes

P1) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna)sao nulos, o determinante dessa matriz e nulo.P2) Se duas filas de uma matriz sao iguais, entao seu determi-nante e nulo.P3) Se duas filas paralelas de uma matriz sao proporcionais,entao seu determinante e nulo.P4) Se os elementos de uma matriz sao combinacoes linearesdos elementos correspondentes de filas paralelas, entao seu de-terminante e nulo.P5) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz naose altera quando somamos aos elementos de uma fila, umacombinacao linear dos elementos correspondentes de filas pa-ralelas.P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta saoiguais.

Page 225: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

216 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

P7) Multiplicando-se por um numero real todos os elementosde uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz ficamultiplicado por esse numero.P8) Quando trocamos as posicoes de duas filas paralelas, o de-terminante de uma matriz muda de sinal.P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixoda diagonal principal sao todos nulos, o determinante e igualao produto dos elementos dessa diagonal.P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixoda diagonal secundaria sao todos nulos, o determinante e igualao produto dos elementos dessa diagonal multiplicados por

(−1)n(n−1)

2 .P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,det(AB) = det A · det B. Como A · A−1 = I, det A−1 =1/det A.P12) Se k ∈ R, entao det (k · A) = kn · det A.

Pense um Pouco!

• Podemos associar um determinante apenas a matrizesquadradas?

Exercıcios de Aplicacao

1. (ACAFE) O valor do determinante

∣∣∣∣

log28 log10

4−1/2 312

∣∣∣∣

e:

a) 0b) 4c) 7d) 17

2e) 53

2

2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem 2, A =(aij) com aij = i2 − j2 e B = (bij) com bij = aij − 3 se i > j,e bij = aij + 3 se i ≤ j.Determine:a) a matriz Ab) a matriz Bc) a matriz A ·Bd) o determinante da matriz A ·B

3. (UDESC) A partir da matriz A = [aij ]2×2, onde aij =

−1 se i≥ji+j se i<j , calcular o determinante do produto da matriz

A pela sua transposta, ou seja: det(A×At), onde At e a matriztransposta de A.

Exercıcios Complementares

4. (UNIFENAS) Dada a matriz A =

[1 02 −4

]

o determi-

nante de sua matriz inversa A−1 e:a) −2b) −4c) 1

2d) 4e) − 1

4

5. (MACK) A e B sao matrizes quadradas de ordem 3 eB = k · A. Sabe-se que det A = 1, 5 e det B = 96. Entao:

a) k = 64b) k = 96c) k = 1

4d) k = 3

2e) k = 4

6. (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz A =∣∣∣∣∣∣

2 1 31 2 20 1 2

∣∣∣∣∣∣

e:

a) 2b) 1c) −1d) −2e) 3

7. (UDESC) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, apre-sentada abaixo, cujo determinante e igual a 0, 75.

A =

sen x 0 10 −1 22 sen x 0

Considerando π/2 < x < π, determinar o valor de tg x.

Matematica B Aula 4

Sistemas Lineares

Equacao Linear

Chamamos de equacao linear toda equacao da forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b

onde a1, a2, a3, . . ., an sao numeros reais, que recebem onome de coeficientes das incognitas x1, x2, x3, . . ., xn, e b eum numero real chamado termo independente (quando b = 0,a equacao recebe o nome de linear homogenea).

Exemplos de Equacoes Lineares

3x− 2y + 4z = 7

−2x + 4z = 3t− y + 4

x + y − 3z −√

7t = 0(homogenea)

Exemplos de Equacoes Nao Lineares

xy − 3z + t = 8

x2 − 4y = 3t− 4

√x− 2y + z = 7

Page 226: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica B – Aula 4 217

Sistema Linear

Um conjunto de equacoes lineares considerados simultanea-mente, como por exemplo:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

E chamado de sistema linear de m equacoes e n incognitas.

A sequencia (r1, r2, r3, · · · ,) e a solucao do sistema, se e solucaopara todas as m equacoes do sistema.

Matrizes Associada a um Sistema Linear

Podemos associar dois tipos de matrizes a um sistema linear:

Matriz incompleta e a matriz A formada pelos coeficientes dasincognitas do sistema. Por exemplo, em relacao ao sistema:

2x + 3y − z = 04x + y + z = 7−2x + y + z = 4

a matriz incompleta e:

2 3 −14 1 1−2 1 1

Matriz completa e a matriz B que se obtem acrescentando amatriz incompleta uma ultima coluna formada pelos termosindependentes das equacoes do sistema. Desta forma, para osistema anterior, a matriz completa e:

2 3 −1 04 1 1 7−2 1 1 4

Podemos ainda escrever o sistema anterior de uma forma dife-rente:

2 3 −14 1 1−2 1 1

·

xyz

=

074

E comum nas questoes de vestibulares cobrarem a descricaomatricial de um sistema. A forma acima e a mais correta.

Sistemas Homogeneos

Um sistema linear e dito homogeneo quando todos os termosindependentes das equacoes sao iguais a zero (nulos):

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0

.

.

.

.

.

.

.

.

. 0

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

Exemplo

3x− 2y + z = 0−x + 4y − 3z = 0√

2x + 3y = 0

A sequencia (0, 0, 0, ..., 0) e sempre solucao de um sistema ho-mogeneo com n incognitas e recebe o nome de solucao trivial.Quando existem, as demais solucoes sao chamadas de nao-triviais.

Classificacao de um Sistema

Podemos classificar um sistema de equacoes quanto ao numerode solucoes diferentes que ele admite.

Resolvendo o sistema

x + 2y = 52x + 5y = 12

encontramos uma unica solucao: o par ordenado (1, 2). Assim,dizemos que o sistema e possıvel (tem solucao) e determinado(solucao unica).

Para x + 2y = 12x + 4y = 2

verificamos que os pares ordenados (5,−2), (3,−1), (1, 0),(−1, 1), · · · sao algumas das infinitas solucoes. Por isso, di-zemos que o sistema e possıvel (tem solucao) e indeterminado(infinitas solucoes).

No caso do sistema

2x + 2y = 6−3x− 3y = 2

verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultanea-mente as equacoes. Portanto, o sistema e impossıvel (nao temsolucao). Em resumo, um sistema linear pode ser:

possıvel e determinado ⇒ solucao unicapossıvel e indeterminado ⇒ infinitas solucoesimpossıvel ⇒ nao tem solucao

Sistema Normal

Dizemos que um sistema e normal quando possui o mesmonumero de equacoes (m) e de incognitas (n) e o determinanteda matriz incompleta associada ao sistema e diferente de zero.Portanto

m = n e detA 6= 0⇒ sistema normal

Regra de Cramer

Qualquer sistema normal possui uma unica solucao, dada por:

xi =Dxi

D

onde i ∈ 1, 2, 3, ·, n, D = det A e o determinante da ma-triz incompleta associada ao sistema, e Dxi

e o determinanteobtido pela substituicao, na matriz incompleta, da coluna ipela coluna formada pelos termos independentes.

Exemplo

Resolva, com o auxılio da regra de Cramer, o sistema:

2x + y = 72x− 3y = 3

Analisando o sistema, temos que m = n = 2.

D =

∣∣∣∣

2 12 −3

∣∣∣∣= −6− 2 = −8 6= 0

como D 6= 0, o sistema e normal e podemos utilizar a regra deCramer para resolve-lo.

Page 227: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

218 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Substituindo, na matriz incompleta

[2 12 −3

]

a coluna C1 pela coluna formada pelos termos independentes,encontramos:

Dx =

∣∣∣∣

7 11 −3

∣∣∣∣= −21− 3 = −24

Substituindo, agora, C2 pela coluna dos termos independentes,encontramos:

Dy =

∣∣∣∣

2 72 3

∣∣∣∣= 6− 14 = −8

Assim:

x =Dx

D=−24

−8= 3 y =

Dy

D=−8

−8= 1

Logo, a solucao do sistema e x = 3 e y = 1.

Pense um Pouco!

O sistema de equacoes lineares

bx− y − 4 = 0x + ay − 1 = 0

e homogeneo?

Exercıcios de Aplicacao

1. Escreva O sistema

3x− 2y + 2z = 7x + y − z = 4−2x + 3y − 3z = −3

na forma matricial.

2. Verifique se os sistemas sao normais.

a)

x + y = 02x + 3y − z = 23x +−z = 4

b)

x + y + z = 42x + 3y − 5z = 13x + 4y − 4z = 7

3. Determine k ∈ R de modo que o sistema

kx + y = 3x + ky = 5

seja normal

Exercıcios Complementares

4. Resolva os seguintes sistemas lineares, com o auxılio daregra de Cramer:

a)

3x + y = 52x− 3y = −4

b)

2x + y − 8z = −5x + y − 2z = 0x + 2y − 3z = 6

c)

x + 2y +−3z = 93x− y + 4z = −52x + y + z = 0

d)

1x + 1

y + 1z = 0

1x + 3

y − 5z = 0

1x + 2

y − 3z = 1

Matematica B Aula 5

Discussao de um Sistema Linear

Se um sistema linear tem n equacoes e n incognitas, ele podeser:

1. possıvel e determinado, se D = detA 6= 0; caso emque a solucao e unica.Exemplo:

x− y + z = 32x + y − z = 03x− y + 2z = 6

m = n = 3

D =

∣∣∣∣∣∣

1 −1 12 1 −13 −1 2

∣∣∣∣∣∣

= 3 6= 0

Entao, o sistema e possıvel e determinado, tendo solucaounica.

2. possıvel e indeterminado, seD = Dx1 = Dx2 = Dx3 = . . . = Dxn

= 0, para n = 2.Se n ≥ 3, essa condicao so sera valida se nao houverequacoes com coeficientes das incognitas respectivamenteproporcionais e termos independentes nao-proporcionais.Um sistema possıvel e indeterminado apresenta infinitassolucoes:Exemplo:

x + 3y + 2z = 1−2x + y + z = −2−x + 4y + 3z = −1

D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0Assim, o sistema e possıvel e indeterminado, tendo infini-tas solucoes.

3. impossıvel, se D = 0 e ∃ Dxi6= 0, 1 ≤ i ≤ n; caso em

que o sistema nao tem solucao. Exemplo:

x + 2y + z = 12x + y − 3z = 43x + 3y − 2z = 0

D =

∣∣∣∣∣∣

1 2 12 1 −33 3 −2

∣∣∣∣∣∣

= 0

Dx =

∣∣∣∣∣∣

1 2 14 1 −30 3 −2

∣∣∣∣∣∣

= 35 6= 0

Como D = 0 e Dx 6= 0, o sistema e impossıvel e naoapresenta solucao.

Page 228: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica B – Aula 6 219

Pense um Pouco!

Descreva as condicoes que devem ser satisfeitas por um sistemapara que ele seja:a) possıvel e determinado;b) possıvel e indeterminado;c) impossıvel.

Exercıcios de Aplicacao

1. Classifique o sistema

x + z = 52x + y + 3z = −1−2x− 2z = 1

Exercıcios Complementares

2. (UDESC) Considere o sistema de equacoes lineares

bx− y − b = 0

x + ay − a = 0

onde a e b sao numeros reais.Pede-se:a) escrever o sistema na forma matricial;b) determinar os valores de a e b, para que:b.1) - o sistema seja possıvel (compatıvel) e determinado;b.2) - o sistema seja possıvel (compatıvel) e indeterminado;b.3) - 0 sistema seja impossıvel ou incompatıvel.

3. Discuta o sistema

x + 2ky = k

kx + 2y = p

segundo os valores de p e k.

4. (UDESC) Considere o sistema de equacoes lineares

2x + 2y = b

3x + ay = 6

onde a e b sao numeros reais.Pede-se:a) escrever o sistema na forma matricial;b) determinar os valores de a e b, para que:b.1) - o sistema seja possıvel (compatıvel) e determinado;b.2) - o sistema seja possıvel (compatıvel) e indeterminado;b.3) - 0 sistema seja impossıvel ou incompatıvel.

5. (UDESC) Discuta, segundo os valores dos parametros a eb, o sistema:

ax + y + 2z = b2ax− y + 2z = 12x + y + 2z = 3

Matematica B Aula 6

Progressao Aritmetica

Sequencias

Imagine que na pagina de passatempos de uma revista voceencontre o seguinte problema:

Descubra o elemento que completa a sequencia:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .

Nao haveria dificuldade para voce entender o que foi pedido,pois a nocao de sequencia lhe e familiar: uma lista onde oselementos estao numa certa ordem. Em um calendario, porexemplo, os dias da semana estao em sequencia.

Para resolver o problema, voce precisa descobrir a lei deformacao da sequencia. No caso da questao acima, nao e difıcilperceber que cada elemento, a partir do terceiro, e igual a somados dois elementos anteriores: 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3,8 = 3 + 5, etc., assim, o elemento que completa a sequencia e13 + 21 = 34.

E usual indicar os elementos de uma sequencia (que e tambemchamada de progressao) por letra, em geral minuscula, acom-panhada de um ındice que localiza a posicao do elemento; as-sim a1 indica o primeiro elemento, a2 indica o segundo, a3 oterceiro, e assim por diante. O sımbolo an e usado para indi-car o enesimo elemento, isto e, o termo de posicao n. Como npode ser igual a 1,2,3, etc, conforme a posicao do elemento aoqual queremos nos referir, dizemos que an representa o termogeral da progressao. Utilizando esta nomenclatura podemosdescrever, em linguagem matematica, a lei de formacao dasequencia.

Por exemplo, na sequencia dos quadrados dos numeros inteirospositivos

1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

vemos que o termo geral desta sequencia e

an = n2

Progressao Aritmetica (PA)

Chama-se Progressao Aritmetica (PA) a toda sequencianumerica cujos termos a partir do segundo, sao iguais ao ante-rior somado com um valor constante denominado razao. De-pendendo da razao r da PA, ela pode ser classificada comocrescente, decrescente ou constante.

Classificacao

Uma PA fica perfeitamente determinada se conhecermos seuprimeiro termo a1 e sua razao r, pois conhecemos a sua lei deformacao.

Para uma PA sobre os numeros reais, ou seja, se a1, r ⊂ Rpodemos usar a seguinte classificacao geral:

r PAr > 0 progressao aritmetica crescenter < 0 progressao aritmetica decrescenter = 0 progressao aritmetica constante

Exemplos

A = (1, 5, 9, 13, 17, 21, . . .)razao = 4, PA crescente

Page 229: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

220 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

B = (3, 12, 21, 30, 39, 48, . . .)razao = 9, PA crescente

C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, . . .)razao = 0, PA constante

D = (100, 90, 80, 70, 60, 50, . . .)razao = -10, PA decrescente

Termo Geral de uma PA

Seja a PA generica (a1, a2, a3, a4 . . . , an−1, an, . . .) de razao r.Podemos escrever:

a2 = a1 + ra3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2ra4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos generalizar das igualdades acima que o termo geralde uma PA e:

an = a1 + (n− 1)r

, onde an e o termo de ordem n (n-esimo termo), r e a razaoe a1 e o primeiro termo da PA.

E facil perceber que uma PA esta perfeitamente determinadase conhecermos seu primeiro termo a1 e sua razao r.

Exemplos

1. Qual o milesimo numero ımpar positivo?

Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . . ) onde o primeiro termo ea1 = 1, a razao e r = 2 e queremos calcular o milesimotermo (a1000).

Nestas condicoes, n = 1000 e poderemos escrever:a1000 = a1 + (1000− 1) · 2a1000 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999

Portanto, 1999 e o milesimo numero ımpar.

2. Qual o numero de termos da PA: (100, 98, 96, . . . , 22)?

Temos a1 = 100, r = 98− 100 = −2 e an = 224 e deseja-mos calcular n. Substituindo na formula do termo geral,temos:22 = 100 + (n− 1) · (−2)logo,22− 100 = −2n + 2 e22− 100− 2 = −2nde onde conclui-se que−80 = −2n⇒ n = 40.Portanto, a PA possui 40 termos.

Propriedades da PA

Media dos Vizinhos

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) e a mediaaritmetica dos termos vizinhos deste.

Exemplo

Observe a PA de 9 termos:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33

e note que:

5 = 9+12 , 9 = 13+5

2 , 25 = 29+212 , etc.

Termos Equidistantes

Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extre-mos e constante.

Exemplo

Observe a PA:

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33

, e note que:

1 + 33 = 34, 5 + 29 = 34, 9 + 25 = 34, 13 + 21 = 34, etc.

Soma dos Termos de uma PA

Considerando a PA (a1, a2, a3, . . . , an−2, an−1, an), a soma Sn

dos n primeiros termos dessa progressao pode ser escrita assim:

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an−2 + an−1 + an

Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . . + an (3.1)

Sn = an + (an − r) + (an − 2r) + . . . + a1 (3.2)

Como a soma dos termos equidistantes dos extremos e sem-pre constante, somando (3.1) com (3.2) membro a membro,obtemos:

2sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . . + (a1 + an) = (a1 + an)n

finalmente:

Sn =(a1 + an)n

2

Esta e a expressao que nos da a soma dos n primeiro termosde uma PA.

Exemplo

Vamos calcular a soma dos 200 primeiros numeros ımparespositivos:

Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . .) e precisamos conhecer o valor dea200.

Mas, a200 = a1 + (200− 1) · r = 1 + 199 · 2 = 399Logo,Sn = [(1 + 399) · 200]/2 = 40.000

Portanto, a soma dos duzentos primeiros numeros ımpares po-sitivos e igual a 40.000 .

Pense um Pouco!

• Compare a formula do termo geral de uma PA com aequacao da reta. Comente.

• Se fizermos um grafico an × n de alguns termos de umaPA, que tipo de grafico obteremos?

Exercıcios de Aplicacao

1. Determine a soma dos trinta primeiros termos da PA(−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . .).

Page 230: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica B – Aula 7 221

2. Encontre a soma dos sete primeiros termos de uma PA emque o 5o termo e 17 e o 3o e 11.

3. Calcule o numero de termos da PA (7,9,11,13, . . . ), sabendoque a soma deles e 160.

Exercıcios Complementares

4. As medidas dos lados de um triangulo sao expressas porx + 1, 2x, x2 − 5 e estao em PA, nesta ordem. O perımetro dotriangulo vale:a) 8b) 12c) 15d) 24e) 33

5. (UFBA) - Um relogio que bate de hora em hora o numerode vezes correspondente a cada hora, batera, de zero as 12horas x vezes. Calcule o dobro da terca parte de x.

6. (UFBA) - Numa progressao aritmetica, o primeiro termoe 1 e a soma do n-esimo termo com o numero de termos e 2.Calcule a razao dessa progressao.

7. Determinar o centesimo termo da progressao aritmetica naqual a soma do terceiro termo com o setimo e igual a 30 e asoma do quarto termo com o nono e igual a 60.

Matematica B Aula 7

Progressao Geometrica (PG)

Entenderemos por progressao geometrica (PG) qualquersequencia de numeros reais ou complexos, onde cada termoa partir do segundo, e igual ao anterior, multiplicado por umaconstante denominada razao. A partir da definicao anterior,podemos escrever:

an = an−1r , onde an 6= 0

para n = 1, 2, 3, . . ..

A razao r pode ser obtida de dois termos consecutivos da PG:

r =an

an−1

Chama-se progressao geometrica ou PG a toda sequencianumerica cujos termos a partir do segundo, sao iguais aoanterior multiplicado por um valor constante denominadorazao. Dependendo a razao r da PG e do primeiro termo a1 asequencia de valores obtidos pode ser crescente, decrescenteou constante.

Classificacao

Uma PG esta perfeitamente determinada se conhecermos seuprimeiro termo a1 e sua razao r, pois conhecemos a lei deformacao.

Para uma PG sobre os numeros reais, ou seja, se a1, r ⊂ Rpodemos usar a seguinte classificacao geral:

a1 r PGa1 > 0 r > 1 progressao geometrica crescentea1 > 0 r < 1 progressao geometrica decrescentea1 < 0 r > 1 progressao geometrica decrescentea1 < 0 r < 1 progressao geometrica crescente∀a1 ∈ R r = 1 progressao geometrica constantea1 = 0 r = 0 progressao geometrica nula

Exemplos

2, 6, 18, 54, 162, . . .PG crescente de razao 3

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, . . .PG decrescente razao 1/2

−5,−5,−5,−5,−5,−5,−5, . . .PG constante de razao 1

(1,−3, 9,−27, 81,−243, . . .)PG alternada (ou oscilante) de razao −3

Termo Geral da PG

Numa PG (a1, a2, a3, . . . , an, . . .) de razao r, pela definicao,temos:a2 = a1 · ra3 = a2 · r = (a1 · r)r = a1 · r2

a4 = a3 · r = (a1 · r2)r = a1 · r3

Assim, podemos verificar que a10 = a1 · r9 ou a40 = a1 · r39.Portanto:

an = a1rn−1

para n = 1, 2, 3, . . ..

Observacoes

1. Note que sao necessarios pelo menos tres termos paraidentificar e diferenciar uma PA de uma PG, por exemplo.

2. Uma PG generica de 3 termos, pode ser expressa como:(x/r, x, xr), onde r e a sua razao.

3. Uma PA generica de 3 termos, pode ser expressa como:(x − r, x, x + r), onde r e a sua razao.

Exemplos

1. Dada a PG (2, 4, 8, . . .), vamos calcular o decimo termo.

Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = . . . = 2. Para calcular odecimo termo ou seja a10, vem pela formula:a10 = a1 · r9 = 2 · 29 = 2 · 512 = 1024

2. Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente e iguala 20 e o oitavo termo e igual a 320. Qual a razao destaPG?

Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever:a4 = a1 · r4−1 e a8 = a1 · r8−1

a4 = a1 · r3 e a8 = a1 · r7

Daı, vem:

a4

r3=

a8

r7

r7

r3=

a8

a4

Page 231: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

222 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

r4 =a8

a4

r4 =320

20

Entao r4 = 16 e portanto r = 2.

Produto dos Termos de uma PG

Dada a PG (a1, a2, a3, . . . , an), com r 6= 0, podemos calcular oproduto Pn de seus n primeiros termos assim:

Pn = a1 · a2 · a3 · . . . · an =

a1(a1 · r)(a1 · r2) · . . . · (a1 · rn−1) =

(a1 · a1 · a1 · . . . · a1)︸ ︷︷ ︸

n fatores

(r · r2 · r3 · . . . · rn−1)

Aplicando a propriedade das potencias de mesma base, temos:

Pn = a1n · r1+2+3+...+n−1

Como 1+2+3+n+ . . .+n− 1 representa a soma dos termosde uma PA, temos

Pn = a1n · r n(n−1)

2

Soma dos Termos de uma PG

Vamos indicar por Sn a soma dos n primeiros termos da PG(a1, a2, a3, . . . , an−1, an, . . .):

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an−1 + an (3.3)

Se multiplicarmos ambos os membros da equacao acima por r,vem

r · Sn = a1 · r︸ ︷︷ ︸

a2

+ a2 · r︸ ︷︷ ︸

a3

+ a3 · r︸ ︷︷ ︸

a4

+ . . . + an−1 · r︸ ︷︷ ︸

an

+an · r

r · Sn = a1 + a2 + a3 + a4 . . . + an + an · r (3.4)

Efetuando, agora, a subtracao 3.4 - 3.3, obtemos (para r 6= 1),a formula da soma:

Sn =a1(r

n − 1)

r − 1

Exemplo

Calculemos a soma dos 10 primeiros termos da PG(1, 2, 4, 8, . . .).

Temos:

Sn = 1·(210−1)2−1 = 1023

Observe que neste caso a1 = 1.

Soma dos Termos de uma PG constante

Neste caso trivial, como a PG e constante, temos r = 1. Entao

Sn = a1 + a1 + a1 + . . . + a1 ⇒ Sn = n · a1

Soma dos Termos de uma PG infinita

Dada a PG infinita (a1, a2, a3, . . .) de razao r, r 6= 0, paradeterminar a soma S dos seus infinitos termos, temos:

a) se r ≤ −1 ou r ≥ 1, S tende a ±∞ (o que significa que S eindeterminada;

b) se −1 < r < 1, S converge para um valor finito.

A partir da formula da soma dos n primeiros termos de uma

PG, Sn = a1(rn−1)

r−1 , temos que, quando n tende a +∞, rn

tende a zero, portanto, a formula para calcular S, com |r| < 1,e:

S =a1(0− 1)

r − 1=−a1

r − 1

logo,

S =a1

1− r

Propriedades Principais da PG

Produto de Termos Vizinhos

Em toda PG, um termo qualquer, com excecao do primeiroe do ultimo, tem seu quadrado igual ao produto dos termosimediatamente anterior e posterior, ou seja, a2

n = an−1an+1.

Exemplo

Na PG (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . .) temos:

102 = 5 · 20 = 100202 = 10 · 40 = 400402 = 20 · 80 = 1.600802 = 40 · 160 = 6.400...

Produto de Termos Equidistantes

O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PGe constante: a1an = a2an−1 = a3an−2 = . . .

Exemplo

Na PG alternada com 6 termos−2, 2/3,−2/9, 2/27,−2/81, 2/243 temos:

−2 · 2/243 = 2/3 · −2/81 = −2/9 · 2/27 = −4/243

Pense um Pouco!

• Dada a PG (5, 10, 20, 40, 80, . . .), determine sua razao.

• Fazendo-se um grafico dos termos de uma PG an×n, quetipo de comportamento terıamos? Comente.

Exercıcios de Aplicacao

1. Verifique se cada uma das sequencias e PG, determinando,em caso afirmativo, a razao r.a)

(34 ,− 9

2 , 542 , . . .

)

b)(− 3

5 , 25 ,− 4

15 , . . .)

2. Determine o produto dos 53 termos iniciais da PG(2−26,−2−25, 2−24, . . .).

3. (UnB) O valor de x na equacao

x

(9

5+

3

5+

1

5+ . . .

)

=27

4

Page 232: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica B – Aula 7 223

e:a) 1b) 3

5c) 4

3d) 5

2e) 45

8

Exercıcios Complementares

4. (UFRS) A cada balanco uma firma tem apresentado umaumento de 10 % em seu capital. A razao de progressao for-mada pelos capitais nos balancos e:a) 10b) 11

10c) 10

11d) 9

10e) 1

10

5. Sabe-se que x − 16, x − 10 e x + 14 sao os tres primeirostermos de uma PG. Calcule o seu 14o termo.

6. (Ucsal-BA) A soma dos tres primeiros termos de uma pro-gressao geometrica e − 3

4 e a soma dos tres termos seguintes e6. A razao dessa progressao e:a) -4.b) -2.c) 1

2 .d) 2.e) 1

8 .

7. (UGF-RJ) Calcule a razao de uma PG, na qual o 1o termoe 1

2 e o 4o e 427 .

8. (PUC-SP) O 7o termo de uma PG e 8 e a razao e −2.Determine a soma dos tres primeiros termos dessa progressao.

Page 233: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

224 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

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Matematica C – Aula 1 225

Matematica C Aula 1

Teoria dos Conjuntos

Historia

As nocoes que deram origem a Teoria dos conjuntos, estaodiretamente ligadas aos estudos dos matematicos ingleses Au-gustus De Morgan (1806−1871) e George Boole (1815−1864),considerados fundadores da logica moderna. Boole publicouem 1854 uma obra onde eram apresentados os fundamentos deuma algebra especıfica para o estudo da logica. Em seus traba-lhos, ele utilizou frequentemente relacoes entre “conjuntos”deobjetos. Entretanto, nao chegou a desenvolver o conceito deconjunto de modo adequado.

(a) (b)

Figura 3.1: George Boole (1815–1864) (a) e George Cantor(1845-1918) (b)

Somente em 1890, o matematico russo George Cantor (1845−1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dos Numeros,publicou na Alemanha uma serie de proposicoes e definicoesque vieram a se constituir na linguagem simbolica para alogica, a Teoria dos Numeros e outros ramos da Matematica.Em funcao disso, Cantor e conhecido como o criador da Te-oria dos Conjuntos. Na formulacao dessa teoria, Cantor uti-lizou tambem formas de representacao em diagramas que jatinham sido utilizadas no estudo da Logica por Leonhard Eu-ler (1707− 1783) e por John Venn (1834− 1923).

Conjunto

A nocao de conjunto e aceita sem definicao, como conceito pri-mitivo, formada a partir da ideia de colecao: Assim, podemosnos referir a conjunto de animais, pessoas, objetos, numeros,letras, etc . . . Existem certos conjuntos que tem um nome es-pecial chamado coletivo. Exemplo: O coletivo de cavalos emanada, o coletivo de estrelas e constelacao, o coletivo de lo-bos e alcateia. Cada um dos integrantes de um conjunto echamado de elemento do conjunto. Em geral, indicamos onome de um conjunto por letras maiusculas (A,B,C,. . . ,Z) e ode seus elementos, que se supoe distintos entre si, dois a dois,por letras minusculas (a,b,c,. . . ,z).

A nocao de constituir associamos, em matematica, o conceitotambem primitivo de pertencer.

Dessa forma, tomando o conjunto V das vogais, dizemos que oelemento a pertence ao conjunto V . Simbolizamos essa relacaopor:

a ∈ V

Para indicar que a consoante m nao pertence a V , escrevemos:

m /∈ V

Os sımbolos ∈ (pertence) e /∈ (nao pertence), sao sempre uti-lizados no sentido do elemento para o conjunto.

Representacao de Conjuntos

Um conjunto pode ser representado de varias formas distintas:por enumeracao, por uma propriedade caracterıstica ou por di-agramas. Enumeracao: Neste caso, escrevemos seus elementosentre chaves, separados por vırgulas e sem repeticao.

Exemplo: O conjunto P dos numeros inteiros e positivos,compreendidos entre 3 e 8.P = 4, 6, 8, 10, 12, 14.

Propriedade Caracterıstica

Para representar um conjunto atraves de uma propriedade ca-racterıstica α , escrevemos:

A = a/a tem a propriedade α.Exemplo

Para o conjunto do exemplo anterior, temos:

P = x/x e Natural maior do que 7.

Diagramas de Venn

Na representacao por diagrama, tracamos uma linha fechadaem torno dos seus elementos associados a pontos.

Exemplo

O diagrama abaixo representa o conjunto A das vogais.

a

e i

ou

U = alfabeto

A

Figura 3.2: Diagrama de Venn para o conjunto A das vogais.

Em geral, o diagrama de Venn representa tambem o conjuntouniverso U , que contem o conjunto representado. Para isso,desenha-se em torno do diagrama um retangulo representandoo conjunto U .

Classificacao dos Conjuntos

Podemos classificar um conjunto de acordo com o seu numerode elementos n(D). Portanto, um conjunto D e chamado con-

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226 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

junto vazio se nao possui elementos. Isto e:

n(D) = 0⇔ vazio

Representamos o conjunto vazio por:

D = ou D = Ø

Por outro lado, um conjunto D e dito conjunto unitario,quando tiver apenas um elemento, isto e: n(D) = 1.

n(D) = 1 ⇔ D e unitario

Ainda: Quando nao se pode contar o numero de elementos,temos um conjunto infinito, caso contrario, temos um conjuntofinito.

Igualdade

Um conjunto A sera igual a um conjunto B, se ambospossuırem os mesmos elementos, isto e, se cada elemento quepertence a A pertencer tambem a B e vice-versa.

A = B ⇔ ∀ x, x ∈ A e x ∈ B

Exemplo

Seja A = 5, 7, 9 e B = 5, 7, 9. Veja que: A = B, pois todoelemento que pertence a A e tambem elemento de B, e todoelemento de B e elemento de A.

Subconjunto

Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro con-junto B, dizemos que A e subconjunto de B. Assim: A ⊂ B,que se le: A esta contido em B. Simbolicamente escrevemos:

A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∈ A e x ∈ B)

Exemplos

O conjunto A = 2, 3, 4, 5 e um subconjunto de B =1, 2, 3, 4, 5, 6, pois cada um dos elementos de A se acha emB (note que a recıproca nao e verdadeira). Quando dois con-juntos C e D tem todos os elementos em comum (C = D),implica em:

C ⊂ D e D ⊂ C

O conjunto C = 3, 6, 9 esta contido em D = 9, 3, 6 e vice-versa. Caso exista pelo menos um elemento de A que naopertenca a B, dizemos que A nao esta contido em B, ou queA nao e subconjunto de B.

(∃x/x ∈ A e x 6∈ B) ⇒ A 6⊂ B

Conjunto das Partes

Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir umnovo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjuntospossıveis de A. A esse novo conjunto chamamos de: Conjuntodas partes de A, que e representado por P (A).

P (A) = x/x ⊂ A

Exemplo

Sendo o conjunto A = 2, 3, 5,podemos escrever seus subconjuntos como segue:Com zero elemento - ∅Com um elemento - 2,3,5Com dois elementos - 2, 3,2, 5,3, 5Com tres elementos - 2, 3, 5Assim, temos:

P (A) = ∅, 2, 3, 5, 2, 3, 2, 5, 3, 5, 2, 3, 5

Pode-se demonstrar que, se n(A) = k entao, o numero deelementos que formam o conjunto das partes de A n(P (A)), edado por 2k.

Operacoes com Conjuntos

Uniao

A uniao entre dois conjuntos A e B consiste num outro con-junto C de todos os elementos que pertencem a A ou a B oua ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪B, le-se: C e iguala A uniao B. De uma maneira mais concisa a definicao dadaacima pode ser escrita simbolicamente por:

A ∪B = x/x ∈ A ou x ∈ B

Exemplo

Fazendo a uniao dos conjuntos A = 2, 4, 7 e B = 1, 3, 4,temos: A ∪B = 1, 2, 3, 4, 7 Tambem podemos representar auniao usando diagramas:

A

B

2 7

34

U = N

1

Figura 3.3: Uniao de conjuntos.

Obs.: Nao e necessario que se repitam os elementos comunsaos dois conjuntos. Assim, no exemplo anterior o 4 e comumtanto a A como a B, no conjunto uniao ele deve ser escritouma so vez.

Propriedades da Uniao

• A ∪A = A, pois: A ∪A = x/x ∈ A ou x ∈ A.

• A ∪ B = B ∪ A, ou seja a uniao e comutativa, visto que:A ∪ B = x/x ∈ A ou x ∈ B = x/x ∈ Bou x ∈ A =B ∪A.

• A ⊂ (A∪B) = B ⊂ (A∪B), isto e: Tanto A como B saosubconjuntos do conjunto A ∪B.

Page 236: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 1 227

• ∅ ∪ A = A , visto que: ∅ ∪ A = x/x ∈ ∅ ou x ∈ A,como se sabe o conjunto vazio nao tem elementos, logo;resta-nos que x ∈ A, o que implica que ∅ ∪A = A.

Interseccao

Chamamos de interseccao de um conjunto A com outro con-junto B, ao conjunto constituıdo pelos elementos x que perten-cem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse conjuntoindicamos:A ∩ B, le-se: “A interseccao B”, ou por simpli-cidade “A inter B”. Esquematicamente temos:

A ∩B = x/x ∈ A e x ∈ BExemplo

Sejam L = c, a, r, l, o, s e V = a, e, i, o, u, temos: L ∩ V =a, o. Em diagramas:

ao e

i

lc

r

u

sL

VU=a,b,c,...,x,y,z

Figura 3.4: Interseccao de conjuntos.

Propriedades da Interseccao

• A ∩B = A.

• A ∩B = B ∩A.

• (A ∩B) ⊂ A = (A ∩B) ⊂ B.

• ∅ ∩A = ∅.

Complemento e Universo

Em muitos casos, faz-se necessario que consideremos um con-junto mais amplo que os demais. A esse conjunto (quecontem todos os outros como subconjuntos) e denominadode conjunto Universo. Para representa-lo, usamos a letramaiuscula U . Obs.: A nocao de conjunto Universo e relativa,dependendo das circunstancias e amplitude do contexto quedesejamos emprega-la.

Exemplos

• para os conjuntos de numeros inteiros, Z o conjunto uni-verso;

• para os conjuntos de letras, o alfabeto e o conjunto uni-verso;

• para os resultados da loteria, N e o conjunto universo;

• para o conjunto das raızes de 4, +2,−2 e o conjuntouniverso.

Na maioria dos assuntos estudados em matematica, o conjuntodos numeros reais e o conjunto universo.

Diferenca

Denominamos diferenca A−B (le-se: A menos B), o conjuntoformado pelos elementos pertencentes a A e nao a B, ou seja:

A−B = x/x ∈ A e x 6∈ B

Exemplo

Considerando os conjuntos: L = c, a, r, l, o, s e V =a, e, i, o, u, temos que a diferenca A−B = c, r, l, s.Em diagramas:

ao e

i

lc

r

u

sL

VU=a,b,c,...,x,y,z

Figura 3.5: Diferenca de conjuntos.

Propriedades

• A−A = ∅

• A−∅ = A

• ∅−A = ∅

• A ⊂ B ⇒ A−B = ∅

Complementar de um Conjunto

Sejam dois conjuntos A e B, tais que: B ⊂ A. Chamamos adiferenca A−B de: Complementar de B em relacao a A.

Exemplo

Temos os conjuntos A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6. Noteque B ⊂ A; Assim, temos que A−B sera:

U = N

13

42

A

65

B

Figura 3.6: Complementar de B em relacao a A.

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228 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Pense um Pouco!

• Qual o conjunto universo para os resultados de umlancamentos de um dado?

• Qual o conjunto uniao das letras do seu nome?

• Qual o conjunto de dinossauros vivos?

• ∅ e o mesmo que ? Explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as unicasmaterias dadas sao portugues e matematica, 240 alunos estu-dam portugues e 180 alunos estudam matematica. O numerode alunos que estudam portugues e matematica e:a) 120b) 60c) 90d) 120e) 180

2. Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, entao onumero mınimo de elementos de A e?a) 5b) 6c) 7d) 9e) 10

3. (ACAFE-SC) Dados os conjuntos A = x ∈ R|−3 < x < 5e B = x ∈ Z|−1 < x < 7. Quantos elementos possui A∩B?a) infinitosb) 8c) 7d) 6e) 5

Exercıcios Complementares

4. (PUC-CAMPINAS) Numa industria, 120 operarios traba-lham de manha, 130 trabalham a tarde, 80 trabalham a noite;60 trabalham de manha e a tarde, 50 trabalham de manha e anoite, 40 trabalham a tarde e a noite e 20 trabalham nos tresperıodos. Assim:a) 150 operarios trabalham em 2 perıodos;b) ha 500 operarios na industria;c) 300 operarios nao trabalham a tarde;d) ha 30 operarios que trabalham so de manha;e) N.d.a.

5. (PUC-SP) - Se A = ∅ e B = ∅, entao:a) A ∈ Bb) A ∪B = ∅c) A = Bd) A ∩B = Be) B ⊂ A

6. Em uma pesquisa sobre o consumo de dois produtos A e B,foram entrevistas “n”pessoas, das quais descobriu-se que: 40consomem o produto A, 27 consomem B, 15 consomem A e B

e 20 pessoas nao consomem o produto A. Qual o numero depessoas “n”que foram entrevistadas?a) 85b) 75c) 60d) 90e) n.d.a

7. (CESGRANRIO) Em uma universidade sao lidos dois jor-nais A e B; exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60%o jornal B. Sabendo-se que todo aluno e leitor de pelo menosum dos jornais, o percentual de alunos que leem ambos e:a) 48%b) 60%c) 40%d) 140%e) 80%

Matematica C Aula 2

Conjuntos Numericos

O Nascimento do Numero

A nocao de numero tem provavelmente a idade do homem ecertamente sempre esteve ligada a sua necessidade de registrare interpretar os fenomenos que o cercavam.

Os primeiros sımbolos numericos conhecidos surgiram com ointuito de representar a variacao numerica em conjuntos compoucos elementos. Com a ampliacao e a diversificacao desuas atividades, o homem sentiu a necessidade de criar no-vos sımbolos numericos e processos de contagem e desenvolversistemas de numeracao.

A maioria dos sistemas de numeracao tinha como base osnumeros 5 ou 10, numa clara referencia ao numero de dedosque temos nas maos. Esses sistemas ainda nao possuıam anotacao posicional nem o numero zero.

Os primeiros registros da utilizacao da notacao posicional ocor-reram na Babilonia, por volta de 2500 a.C. Ja o aparecimentodo zero data do seculo IX e e atribuıdo aos hindus.

Tambem se atribuiu aos hindus o atual sistema de numeracaoposicional decimal, que foi introduzido e difundido na Europapelos arabes. Por essa razao, esse sistema e costumeiramentechamado de sistema de numeracao indo-arabico.

Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240), tambem chamadoFibonacci, a difusao do sistema indo-arabico na Europa,atraves de sua obra Lıber Abacci, de 1202.

Conjuntos Numericos

1. Conjunto dos numeros naturais (N):N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . N∗ = 1, 2, 3, 4, 5, . . .

2. Conjunto dos numeros inteiros (Z):Z = . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .Z+ = 0, 1, 2, 3, . . .Z∗

+ = 1, 2, 3, 4, . . .

Page 238: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 2 229

Figura 3.1: Leonardo Pisano Fibonacci (1175-1240).

3. Conjunto dos numeros racionais (Q): Todo numeroque puder ser representado na forma de uma fracao comnumerador e denominador inteiros e chamado “numeroracional”.

Q = x|x =a

b, a ∈ Z, b ∈ Z∗

Exemplos

13 ∈ Q; 7

5 ∈ Q; 31 ∈ Q.

4. Conjunto dos numeros irracionais (Q′): Todonumero que nao pode ser representado na forma de umafracao, com numerador e denominador inteiros e chamado“numero irracional”.

Exemplos

π = 3, 1415926535 . . .√2 = 1, 414213562 . . .√3 = 1, 7320508 . . .

e = 2, 718281827 . . .

Observacao

Note que as dızimas periodicas sao numeros racionais, en-quanto as dızimas nao periodicas sao numeros irracionais.

5. Conjunto dos numeros reais (R): E o conjunto obtidocom a uniao do conjunto dos numeros racionais com o dosnumeros irracionais.

Representando em diagramas temos:

Operacoes com Numeros Inteiros

I) Adicao e Subtracao

I.a) Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo sinal.

I.b) Sinais diferentes: Diminui-se e da-se o sinal do maior.

U=R

ZQ N

Figura 3.2: Os conjuntos numericos.

II) Multiplicacao e Divisao: Aplica-se a regra dos sinais:

+ + = +− + = −+ − = −− − = +

Observacao: Pela ordem, resolver ( ); [ ];

.Exercıcio resolvido:−3 · 14÷ (−7)− 3 · [4− (10− 12+ 9− 7− 4)÷ 2] −3 · −2−3 · [4− (−4)÷ 2]−3 · −2− 3 · [4 + 2]−3.−2− 3 · [+6]−3.−2− 18−3.−20+6

Potenciacao

An = X

onde:A = Base;B = Expoente;X = Potencia;

Casos Especiais

X1 = X1n = 10n = 0X0 = 1

Regras

1. Expoente par:Resultado positivo.

2. Expoente ımpar:Repete-se o sinal da base.

Propriedades

1. am · an = am+n

2. am ÷ an = am−n

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230 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

3. (am)n = am·n

4. (am · bn)n = am·x · bn·x

5. (am/an)x = amx/bnx

6. a−m = 1/am

Potencias de “Base 10”

A) 10n = 1 000 . . .0︸ ︷︷ ︸

“n”zeros

B) 10−n = 1/1 000 . . .0︸ ︷︷ ︸

“n”zeros⇒ 0, 000 . . .01

︸ ︷︷ ︸

“n”casas

Pense um Pouco!

• Quantos numeros inteiros tem no intervalo real 0 < x < 3?

• Quantos numeros racionais tem no intervalo anterior?

• Quanto e −1100?

Exercıcios de Aplicacao

1. O valor de ((23)3)3 e:a) 212

b) 1024c) 281

d) 1e) n.d.a.

2. O valor de:[13− (8÷ 2− 3− 7 + 2 · 3)]÷ [25÷ (−3− 22)], e:a) −13b) 14c) 13d) 0e) n.d.a.

3. A expressao (a7 · b3 · c5 · b4)/(c3 · b6 · a7 · c) e igual a:a) a2 · bb) b · cc) b

cd) 1e) n.d.a.

Exercıcios Complementares

4. Resolvendo 108·102·105·104

103·10·108

a) 5 · 1012

b) 100c) 103

d) 107

e) n.d.a.

5. O valor da expressao

72÷ (−12) + 2 · [4 · (−2) + (30− 20 + 10)÷ 5]

e:a) +20b) −20c) −14d) +14e) n.d.a.

6. O valor de(

1622

)3 − 232e:

a) 0b) 9

4c) 1d) 2e) n.d.a.

7. 223 · (23)2:

a) 215

b) 229

c) 1024d) 214

e) n.d.a.

8. O valor de (24)5 · 2−8 e:

a) 218

b) 212

c) 215

d) 20

e) n.d.a.

Matematica C Aula 3

Numeros complexos (C)

No conjunto dos numeros reais algumas equacoes nao possuemsolucao, por exemplo, a equacao:

2x2 + 18 = 0

Como se trata de uma equacao incompleta (b = 0), podemosresolve-la isolando a variavel. Assim:

x2 =−18

2⇒ x =

√−9

Como nao existe raiz quadrada de numero negativo no con-junto dos reais, a equacao acima dada nao tem solucao. Paraque equacoes sem solucoes reais, como a dada acima, os ma-tematicos comecaram a utilizar novos entes matematicos. Essarepresentacao foi considerada, a princıpio, como um passa-tempo.

Particularmente, o numero√−1 foi denominado unidade

imaginaria, devido a desconfianca que os matematicos ti-nham dessa nova criacao.

Unidade Imaginaria

Para simplificar a notacao, criou-se ”i”para designar o numero√−1, isto e:

i =√−1 ⇔ i2 = −1

Com isso, a solucao da equacao proposta acima e:

X = ±√

9 · (−1) ⇒ x = ±3 · iLogo, S = +3i,−3i.

Page 240: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 3 231

Potencias Naturais de i

Consideremos as potencias do tipo in, em que n e natural.Vejamos alguns exemplos:

n in

0 11 i2 -13 -i4 15 i6 -17 -i8 1

Resumindo:

i4n = 1 i4n+1 = i 4i4n+2 = −1 i4n+3 = −i

Assim:

i4n + i4n+1 + i4n+2 + i4n+3 = 0

Ou seja: A soma das quatro potencias de i cujos expoentessao numeros naturais consecutivos e igual a zero.

Note que, a medida que n cresce, os resultados de in, vao serepetindo periodicamente, assumindo sempre um dos quatrovalores da sequencia:1, i,−1,−i.Ou seja:

in ∈ 1, i,−1,−i, (n ∈ N)

Para n ≥ 4, temos:

N 4R q

⇒ n = 4 · q + r e r < 4

Entao, in = i4·q+r = i4·q · ir = (i4)q · ir = (1)q · ir = ir, ou seja:

in = ir

Exemplo

Calcule o valor de i3795.

3795 43 3948

, como r = 3 temos i3795 = i3 = −i

Forma Algebrica

Todo numero complexo pode ser escrito na forma z = a+ b · i,com a e b ∈ R. Tal forma e denominada forma algebrica.

O numero real a e denominado parte real de z, e o numeroreal b e denominada parte imaginaria de z.

z = a + b · i⇒

z = a + 0i⇒ z = az = 0 + b · i⇒ z = b · i

Igualdade de Complexos

Dois numeros complexos sao iguais quando suas partes reais eimaginarias forem respectivamente iguais.

a + b · i = c + d · i⇒

a = cb = d

Exemplo

Determinar x e y de modo que:(2x + 3) + 6 · i = 7 + (2 + 4y) · i.Para que os complexos sejam iguais devemos ter:2x + 3 = 7⇒ x = 2e2 + 4y = 6⇒ y = 1Logo, para que (2x + 3) + 6 · i = 7 + (2 + 4y) · i, devemos terx = 2 e y = 1.

Operacoes com Complexos

Adicao e Subtracao

Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais numeros com-plexos, somamos ou subtraımos, respectivamente, suas partesreais e imaginarias, separadamente. Ou seja:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi)− (c + di) = (a− c) + (b− d)i

Exemplo

Seja

z1 = 5− 3i

z2 = 2 + 4i

z3 = −3− 5i

calcule:

a) z2 − z3

z2 − z3 = (2 + 4i)− (−3− 5i)z2 − z3 = (2 + 3) + (4 + 5)i = 5 + 9ib) z1 + z2

z1 + z2 = (5− 3i) + (2 + 4i)z1 + z2 = 7 + i

Multiplicacao por um Real

Para multiplicar um complexo por um numero real bastamultiplicar a parte real e a parte imaginaria pelo respectivonumero.

Exemplo

Sejam os complexos: z1 = 6 − 3i e z2 = 3 + 2i. Determinar ovalor de 3 · z1 − 5 · z2.3 · z1 − 5 · z2 = 3 · (6− 3i)− 5 · (3 + 2i)3 · z1 − 5 · z2 = 18− 9i− 15− 10i3 · z1 − 5 · z2 = 3− 19i

Multiplicacao de Complexos

Multiplicamos dois numeros complexos de acordo com a regrada multiplicacao de binomios. Devemos lembrar que i2 = −1.Com isso temos que:

(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc) · i

Exemplos

a) (3− 3i) · (−2 + 2i):(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i + 6i2

(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i− 6(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −12 + 12i

Page 241: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

232 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

b) (5− 3i)2:(5− 3i)2 = (5− 3i) · (5 − 3i)(5− 3i)2 = 25− 15i− 15i + 9i2

(5− 3i)2 = 25− 15i− 15i− 9(5− 3i)2 = 16− 30i

Conjugado de um Complexo

Sendo z = a+bi um numero complexo qualquer, defini-se comoo conjugado de z o numero complexo z = a− bi.

Exemplos

1. Sendo z = 6− 5i, temos que: z = 6 + 5i.

2. O conjugado de z = −3 + 2i e o complexo z = −3− 2i.

Observacao

O produto de um numero complexo z pelo seu conjugado Ze sempre um numero real e positivo. Esse produto chama-senorma de z.

Exemplo

Sendo z = 5− 3i, o produto z · Z e:(5− 3i) · (5 + 3i) = 25 + 15i− 15i− 9i2

Lembrando que i2 = −1, temos que:z · Z = 25 + 9 = 34

Divisao de Complexos

Para dividirmos dois complexos, escrevemos o quociente sob aforma de uma fracao, a seguir, usando o procedimento de raci-onalizacao de denominadores, multiplicamos ambos os termosda fracao pelo conjugado do denominador. Ou seja:

z1

z2=

z1

z2· z1

z2

Exemplo

Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = −2− 3i, obter: z1

z2.

z1

z2=

3 + 2i

−2− 3i

z1

z2=

3 + 2i

−2− 3i· −3 + 2i

−2 + 3i

−6 + 9i− 4i + 6i2

−22 − (3i)2 =

−6 + 9i− 4i− 6

4 + 9

logo,z1

z2=−12 + 5i

13⇒ z1

z2=−12

13+

5i

13

Representacao Geometrica

Consideremos num plano, chamado plano de Argand-Gaussou plano complexo, um sistema de coordenadas cartesianasortogonais x O y e nele um ponto P de coordenadas x e y.Lembrando que um numero complexo na forma algebrica tema forma de: z = (x, y) = x+ yi, podemos estabelecer uma cor-respondencia entre os pontos do plano e os numeros complexos.

θ

Rex

y z = x + yi

Im

Figura 3.1: O plano complexo.

Ou seja: Podemos representar os complexos geometricamente,pelos pontos do plano.

O ponto P e a imagem geometrica de z ou afixo de z. Ob-servacao

- A parte real de um complexo tem seus afixos no eixo Re;eixo real.

- A parte imaginaria de um complexo e representada no eixoIm, que por essa razao e chamado de: eixo imaginario.

Modulo de um numero complexo

Na representacao geometrica de um numero complexo z =x + yi, vamos considerar a distancia entre o afixo P dessenumero e a origem. A essa distancia denominamos modulode z e indicamos por |z| ou ρ.

Calculando a referida distancia, temos:

dop =

(x− 0)2

+ (y − 0)2

=√

x2 + y2

Portanto,temos:

|z| = ρ =√

x2 + y2

Exemplo

Calcular o modulo do numero complexo z = 3 + 4i. Comovimos:|z| = ρ =

x2 + y2, assim;|z| = ρ =

√32 + 42 =

√9 + 16 =

√25 = 5

logo: |z| = ρ = 5

Argumento de um Complexo

Sendo um numero complexo z = z + yi, com z 6= 0; Define-se como o argumento de z, o numero real θ(0 ≤ θ ≤ 2π)que corresponde a medida do angulo formado pelo segmentoorientado OP e o eixo Ox, no sentido anti-horario.

Indicamos por:

arg(z) = θ

A partir da figura (plano complexo), obtemos as importantesrelacoes:

cos θ =x

ρe sen θ =

y

ρ

Page 242: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 4 233

Forma Trigonometrica

Com as definicoes de modulo e argumento, podemos represen-tar os numeros complexos de outra forma, alem da algebrica,ja conhecida.

Assim, para o complexo z = x + yi, temos:

cos θ =x

ρ⇒ x = ρ cos θ

esen θ =

y

ρ⇒ y = ρ sen θ

Como z = x + yi

z = ρ cos θ + iρ sen θ

De outra forma:

z = ρ(cos θ + i sen θ)

A igualdade acima e denominada forma trigonometrica oupolar do numero complexo.

O numero complexo z = 0, para o qual nao e possıvel de-terminar o argumento θ, nao pode ser escrito na forma trigo-nometrica.

Observe que, quando multiplicamos um numero complexo pori, ele gira 90 no sentido anti-horario, no plano complexo.

Pense um Pouco!

• Pode-se dizer que R ⊂ C? Por que?

• Existe alguma semelhanca entre o plano complexo e oplano cartesiano? Quais?

• 1/i e um numero complexo?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFPA-PA) O numero complexo z = x + (x2 − 4)i e realse, e somente se:a) x = 0b) x 6= 0c) x = ±2d) x 6= ±2e) x 6= 0 e x 6= 2

2. (UFRN-RN) Se z = 4 + 2i, entao z − 3z vale :a) 6 + ib) 1 + 8ic) −8 + 8id) 1− 8ie) 12 + 6i

3. (UFSE-SE) Se o numero complexo z e tal que z = 3 − 2i,

entao (z)2 e igual a:a) 5b) 5− 6ic) 5 + 12id) 9 + 4ie) 13 + 12i

4. Sendo i2 = −1, o valor de i58 + i85 e:a) 0

b) 1 + ic) −1 + id) 1− ie) −1− i

5. (Sta Casa -SP) O valor de 2−i2+i e igual a:

a) 35 + 4

5 ib) 2

3 − 43 i

c) 35 − 4

5 id) 3− 4ie) 4 + 3i

Exercıcios Complementares

6. (PUC-SP) O conjugado do numero complexo 1+3i2−i e:

a) (−1− 7i)/5b) (1 − i)/5c) (1 + 2i)/7d) (−1 + 7i)/5e) (1 + i)/5

7. A soma S = i7 + i8 + i9 + . . . + i93 + i94 + i95 e:a) 1b) ic) -1d) -ie) 1 - i

8. (UFRG-RG) Efetuando as operacoes indicadas na equacao5−i1+i − 4−3i

2+i , obtemos :a) 1− ib) 1 + ic) −1− id) ie) −i

9. (U.C.SALVADOR-BA) Sejam os numeros x e y tais que12− x + (4 + y)i = y + xi. O conjugado do numero complexoz = x + yi e:a) 4 + 8ib) 4− 8ic) 8 + 4id) 8− 4ie) −8− 4i

10. (FATEC-SP) Se i e a unidade imaginaria e z = (2 −i)2/(1 + i), entao:a) z = (5− 5i)/2b) z = (7 − i)/2c) z = (5 + 5i)/2d) z = (7 + i)/2e) z = (−5− 5i)/2

Matematica C Aula 4

Page 243: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

234 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Razoes e Proporcoes

Razao

A razao entre dois numeros a e b (com a e b reais e b 6= 0),nessa ordem, e o quociente a

b . O numero a e chamadoantecedente e o numero b e chamado consequente.

Exemplos

1. A razao entre 4 e 6 e:

4

6=

2

3

2. A razao entre 2 m e 30 cm e:

2 m

30 cm=

200 cm

30 cm=

20

3

Observe que a razao deve ser calculada numa unidade co-mum, a fim de ser cancelada. Finalmente, a razao obtidanao dependera da unidade escolhida, pois e adimensional.

Escala

E a razao entre um comprimento no desenho e o correspon-dente comprimento real.

Exemplo

Um edifıcio tem 30 m de altura. Essa medida foi representadano projeto por 15 cm. Qual foi a escala usada nesse projeto?

comprimento no desenho

comprimento real=

15 cm

30 m=

15 cm

3000 cm

E = 1100 ou E = 1 : 200

Proporcao

Os numeros a, b, c e d, com b e d nao nulos (6= 0, formam nessaordem, uma proporcao se, e somente se, a razao entre a e b eigual a razao entre c e d. Ou seja:

a

b=

c

d

Le-se: a esta para b, assim como c esta para d.

Os numeros a e d sao chamados de extremos e os numeros b ec sao chamados de meios.

Propriedades

I) O produto dos meios e igual ao produto dos extremos

a

b=

c

d⇔ a · d = b · c

II) A soma dos dois primeiros termos esta para o segundo,assim como, a soma dos dois ultimos esta para o ultimo.

a

b=

c

d⇔ a + b

b=

c + d

d

III) Cada antecedente esta para o seu consequente, assimcomo; a soma dos antecedentes esta para a soma dos con-sequentes.

a

b=

c

d=

a + c

b + d

Grandezas Diretamente Proporcionais:(GDP)

Uma grandeza A e diretamente proporcional a uma grandezaB, se, e somente se, as razoes entre os valores de A e os cor-respondentes valores de B forem constantes.

Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grandezasdiretamente proporcionais, entao

a1

b1=

a2

b2=

a3

b3= . . . = k

Exemplo

Se considerarmos a distancia percorrida por um movel comvelocidade constante de 50 km/h viajando a 3 horas teremosa seguinte tabela : como 50

1 = 1002 = 150

3 = 50, temos que

Distancia (km) 50 100 150tempo (h) 1 2 3

distancia e tempo, neste exemplo, sao grandezas diretamenteproporcionais.

Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP)

Uma grandeza A e inversamente proporcional a uma grandezaB se, e somente se, os produtos entre os valores de A e oscorrespondentes valores de B forem constantes.

Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grandezasinversamente proporcionais, entao:

a1 · b1 = a2 · b2 = a3 · b3 = . . . = k

Exemplo

Se considerarmos que a distancia que separa duas cidades Ae B e de 300 km e que um movel viaja de A para B comuma certa velocidade, vamos observar pela tabela abaixo queo tempo gasto para percorrer essa distancia varia conforme avelocidade do movel.

Velocidade (km/h) 50 60 100Tempo (h) 6 5 3

Temos que 50 · 6 = 60 · 5 = 100 · 3, logo as grandezas velo-cidade e tempo, neste exemplo, sao grandezas inversamenteproporcionais.

Pense um Pouco!

• Determine o valor de x nas proporcoes:a) x

4 = 96

b) 3x+22x−1 = 24

9

• Calcule o valor de x e y na proporcao xy = 2

5 , sabendo quex + y = 42.

• Determine x e y, sabendo que as sucessoes de numerossao diretamente proporcionais:

2 x 93 9 y

Page 244: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 5 235

Exercıcios de Aplicacao

1. Determine m e n, sabendo que as sucessoes numericas saoinversamente proporcionais:

3 m 912 4 n

2. Antonio, Joao e Pedro trabalham na mesma firma ha 10, 4e 6 anos, respectivamente. A firma distribuiu uma gratificacaode R$ 80.000,00 entre os tres, em partes diretamente propor-cionais ao tempo de servico de cada um. Quantos reais cadaum ira receber?

3. Divida 210 em partes inversamente proporcionais a 1/2,1/5 e 1/7.

Exercıcios Complementares

4. Represente a razao entre:a) 18 e 12 =b) 6 m e 4 m =c) 150 g e 2 kg =d) 750 litros e 1 m3 =e) 600 s e 1 hora =f) 8 km e 1600 m =

5. Um comprimento real de 25 m foi representado num dese-nho por 10 cm. Nesse caso, qual foi a escala usada?a) 1 : 250b) 1 : 300c) 1 : 150d) 1 : 500e) n. d. a.

6. A distancia entre duas cidades, em linha reta, e 120 kme foi representada num mapa rodoviario por um segmento de60 cm. Qual foi a escala usada nesse mapa?a) 2 : 125b) 1 : 120.000c) 1 : 200.000d) 1 : 12.000e) n. d. a.

7. Em geral, num adulto, a altura da cabeca esta para a alturado restante do corpo, assim como 1 esta para 7. Quanto medeuma pessoa cuja cabeca tem 22 cm de altura?a) 1,54mb) 1,60mc) 1,76md) 1,82me) n. d. a.

Matematica C Aula 5

Regras de Tres Simples e Composta

Regra de Tres Simples

Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valores cor-respondentes da grandeza B, chama-se de regra de tres simplesao metodo pratico para determinar um desses quatro valores,sendo conhecidos os outros tres.

Tecnica Operatoria

Conforme a definicao acima temos:

GRANDEZA A GRANDEZA Ba cb d

Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais entao:

a

c=

b

d⇔ a

b=

c

d

Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais entao:

a · c = b · d⇔ a

b=

d

c

Exemplos

1. Uma torneira que despeja 15 l/min enche um tanque em80 min. Uma outra torneira, despejando 25 l/min, emquanto tempo encheria esse tanque?Temos um exemplo que envolve grandezas inversamenteproporcionais, pois; ao aumentarmos a vazao, o temponecessario para encher o mesmo tanque diminuira. Comisso:

15 · 80 = 25 ·X ⇔ 15

25=

X

80⇒ X = 48

Logo, enchera o tanque em 48 min.

2. Um automovel percorre 132 km com 12 litros de com-bustıvel. Quantos litros de combustıvel serao necessariospara que ele percorra 550 km?Neste exemplo temos grandezas diretamente proporcio-nais, pois; aumentando a distancia, tambem aumentara oconsumo de combustıvel. Com isso:

132

12=

550

x⇔ 132 · x = 550 · 12⇒ x = 50

logo, serao necessarios 50 litros de combustıvel.

[Regra de Tres Composta

Chama-se regra de tres composta, ao metodo pratico empre-gado para resolver problemas que envolvem mais de duas gran-dezas, diretamente ou inversamente proporcionais.

Propriedade

Considere uma grandeza A (a1, a2, a3, . . .) diretamente pro-porcional a uma grandeza B (b1, b2, b3, . . .) e a uma grandezaC (c1, c2, c3, . . .), entao :

a1

a2=

b1

b2=

c1

c2

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236 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Exemplo

Com 16 maquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em3 dias de trabalho. Quantas maquinas serao necessarias paraconfeccionar 2160 uniformes em 24 dias.

No de Maquinas Uniformes Dias16 720 3x 2160 24

A grandeza No de maquinas, onde esta a variavel deve sercomparada com as grandezas Uniformes e Dias. Assim temosque:

1. No de maquinas e Uniformes sao grandezas diretamenteproporcionais, pois mais maquinas produzem mais unifor-mes.

2. No de maquinas e Dias sao grandezas inversamente pro-porcionais, pois, quanto maior o numero de maquinas,menor o numero de dias necessarios. Com isso 16

x =7202160 · 24

3 ⇒ x = 6, logo serao necessarias 6 maquinas.

Pense um Pouco!

• Se um fio pesa 10N g/cm, quanto pesara por metro?

• Se uma copia xerografica custa 9 centavos, quanto custouessa apostila (so o xerox)?

• Cite exemplos de onde voce ja usou as regras de tres es-tudadas?

Exercıcios de Aplicacao

1. Na merenda escolar, 320 criancas consumiram 1440 litros deleite em 15 dias. Quantos litros de leite deverao ser consumidospor 400 criancas em 30 dias?a) 2500b) 3600c) 7200d) 4440e) n.d.a

2. Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombra de45 m, o mesmo instante em que uma arvore de 6 m de altura,plantada verticalmente, projeta uma sombra de 3, 6 m.a) 75mb) 90 mc) 55 md) 70 me) n.d.a

3. (PUC-MG)Uma pessoa viajando de automovel, com veloci-dade media de 88 km/h, leva 5 horas para ir de Belo Horizonte- Pocos de Caldas.

Na volta para Belo Horizonte, fez o mesmo percurso em 4 h.Portanto, a velocidade media, em km/h, ao retornar foi de:a) 93b) 96c) 100d) 110e) 120

3.1 Exercıcios Complementares

4. Um certo trabalho pode ser realizado por um grupo de 12operarios em 20 dias de trabalho de 8 horas diarias. Se essemesmo trabalho tivesse que ser feito em apenas 16 dias, com16 operarios igualmente eficientes, quantas horas por dia elesdeveriam trabalhar?a) 7,5 h/db) 6,0 h/dc) 8,5 h/dd) 9,0 h/de) n.d.a

5. Em uma fabrica de refrigerante, uma maquina encheu 4000garrafas em 8 dias, funcionando 8 horas por dia. Quantos diass essa maquina levara, para encher 6000 garrafas, trabalhando16 horas diarias?a) 9b) 5c) 11d) 6e) n.d.a

6. Em um zoologico, a alimentacao de 15 animais durante 90dias custa R$ 2.700,00. Qual sera o custo da alimentacao de25 animais por um perıodo de 12 dias?a) R$ 900,00b) R$ 750,00c) R$ 600,00d) R$ 450,00e) n.d.a

Matematica C Aula 6

Juros e Porcentagens

Juros Simples

Juro e a importancia cobrada por unidade de tempo, peloemprestimo de dinheiro, expressa como porcentagem da somaemprestada.

Nocao Intuitiva e Nomenclatura Usual

Em “A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano,durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples”.

O raciocınio e:

Se o capital 100 produz 10 em um ano, entao o capital 2.000produzira 600 em 3 anos.

Temos os seguintes dados:

O Capital e 99K C = 2.000A Taxa e 99K i = 10(em % ao ano)O tempo e 99K t = 5(em anos)Os juros sao 99K J = 600

Observacoes:

Denominamos juros simples aqueles que nao sao somados aocapital, durante o tempo em que foi empregado.

Page 246: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 6 237

Se a taxa “i”for referida ao ano, mes, dia etc, o tempo“t”tambem devera ser tomado correspondentemente em anos,meses, dias, etc.

Para efeito de calculo o ano e considerado de 12 meses de 30dias cada.

Tecnica Operatoria

Os problemas envolvendo juros simples, na verdade sao de Re-gra de tres composta, que obedecem ao seguinte esquema;

Grandezas

100 . . . i . . . lC . . . j . . . t

Interpretacao

Se o capital 100 produz i em 1 ano, entao; o capital“c”produzira j em t anos.

Quando resolvemos isolando “j”, temos:

J =C · i · t

100

Exemplos

1. Quanto rendera um capital de R$ 5.000,00 empregado ataxa de 5% a.a, em regime de juros simples, durante 3anos?

Temos:

C = 5000;I = 5;T = 3;

Substituindo os respectivos valores na formula, temos:

J =5000 · 5 · 3

100= 750

Assim, tera um rendimento de R$ 750, 00.

2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 a taxa de 36% a.a, du-rante 6 meses.

Observe que a taxa esta expressa em anos, enquanto otempo em meses. Como devemos trabalhar com as duasgrandezas em unidades de tempos iguais, tomaremos otempo como sendo 6

12 anos.

Assim:

J =8500 · 36 · 6

12

100⇒ J =

8500 · 36 · 61200

= 1530

Portanto, os juros sao de R$ 1.530,00.

3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de1% a.m.

Como nao ha concordancia entre a taxa e o tempo, deve-mos fazer algumas modificacoes para que possamos resol-ver o problema. Faremos as seguintes transformacoes:

2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou entao: 75360

anos. Ainda; a taxa 1% ao mes, corresponde a 1% vezes12 meses, o que da 12% a.a.

Aplicando a formula, temos:

J =2500 · 12 · 75

360

100=

2500 · 12 · 75

36000= 625

Logo, os juros produzidos sao de R$ 625,00.

Porcentagem

Comumente usamos expressoes que refletem acrescimos oureducoes em precos, numeros ou quantidades, sempre tomandopor base 100 unidades.

Exemplos

1. A gasolina tera um aumento de 10%, na proxima semana.

Significa que em cada R$ 100,00 havera um acrescimo deR$ 10,00.

2. Numa pesquisa de intencao de votos, o candidato A apa-rece em 2o lugar, com 25% da preferencia dos eleitores, aocargo de prefeito municipal.

Quer dizer que; em media, a cada 100 pessoas que foramentrevistadas, 25 preferem o candidato A.

Razao Centesimal

Toda a razao que tem por denominador o numero 100denomina-se razao centesimal.

Exemplos

a) 25100 = 25% (le-se: 25 por cento)

b) 47100 = 47% (le-se: 47 por cento)

c) 125100 = 125% (le-se:125 por cento)

Chamamos as expressoes 25% ; 47% ; 9% de taxas centesi-mais ou taxas percentuais.

Porcentagem e o valor obtido ao aplicarmos uma taxa per-centual a um determinado valor. Dessa forma; podemos resol-ves problemas de porcentagem, utilizando taxas percentuais.

Exemplos

1. Um jogador de voleibol efetuou 25 finalizacoes no decor-rer de uma partida, obtendo um aproveitamento de 80%.Qual o numero de sucessos que ele obteve?

80% de 25 =80

100· 25 = 20

Logo, ele obteve 20 sucessos.

2. Um investidor comprou um lote de acoes por R$ 1.500,00e as revendeu um mes depois, por R$ 2.100,00. Qual foio percentual de lucro por ele obtido?

Para resolver o problema, vamos montar um esquemaem que somaremos o percentual de lucro obtido, aos R$1.500,00 investidos inicialmente, chegando assim ao valorfinal de venda das acoes.

1.500 + x100 · 1.500 = 2.100

15x = 2.100− 1.500x = 600

15 ⇒ x = 40

Desse modo, ele obteve um lucro de 40%.

Fator de Multiplicacao

Quando um dado valor sofre um acrescimo percentual, pode-mos incorporar tal acrescimo, obtendo assim o que chamamosde “fator de multiplicacao”.

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238 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Exemplo

Um valor que sofre um aumento de 25%, tera um fator demultiplicacao igual a 1, 25, pois:

100% + 25% = 125%, ou seja:125% = 125

100 = 1, 25

Da mesma forma, podemos estender esse raciocınio para outrosvalores, como mostra a tabela abaixo:

Lucro ou Acrescimo Fator de Multiplicacao10% 1,1015% 1,1520% 1,2047% 1,4767% 1,67

Exemplo

Quanto passara a receber um funcionario, que tem um salariode R$ 950,00 e, obtem um aumento de 35%?

Para chegarmos ao valor do novo salario, basta que usemos umfator multiplicativo igual a 1,35 sobre o valor atual, assim:

950 · 1, 35 = 1.282, 50

Portanto, o novo salario sera de R$ 1.282,50.

Para os casos em que ocorrem decrescimos, o fator de multi-plicacao sera dado por:

Fator de Multiplicacao = 1 - taxa de desconto (na forma deci-mal).

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicacao10% 0,9025% 0,7534% 0,6660% 0,4090% 0,10

Exemplo

Qual sera o valor do desconto de um produto, que custa R$350,00 , mas que em promocao e vendido por 22% abaixo dopreco?

Nesse caso, o fator de multiplicacao e:Fator = 1 - 0,22 = 0,78

Assim 350 · 0, 78 = 273

Portanto, quando descontados 22%, o produto passa a custarR$ 273,00.

Pense um Pouco!

• Tomando-se uma quantidade inicial X e adicionando-sea ela um certo percentual p obtemos um valor final X ′.Se tomarmos agora o valor X ′ e descontarmos o mesmopercentual p obteremos o valor X? Discuta.

Exercıcios de Aplicacao

1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago em reais?a) 1350b) 1300c) 1250d) 1200e) n.d.a

2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorizacao(acrescimo) de 10% sobre o seu preco. Quanto ele passou acustar?a) 12.400,00b) 13.200,00c) 13.800,00d) 14.600,00e) n.d.a

3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para umagrafica. No perıodo de um mes, ela apresentou um lucro deR$ 100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preco decompra?a) 5b) 10c) 6d) 11e) n.d.a

Exercıcios Complementares

4. Se a taxa de uma aplicacao e de 150% ao ano, quantos mesesserao necessarios para dobrar um capital aplicado atraves decapitalizacao simples?a) 10 mesesb) 9 mesesc) 8 mesesd) 7 mesese) n.d.a

5. Qual o capital, em reais, que aplicado a juros simples de1, 5%a.m. rende R$ 250,00 de juros em 50 dias?a) 10.000b) 15.000c) 25.000d) 17.500e) n.d.a

6. (Desafio) Um determinado produto teve um acrescimo de20%, sobre o seu preco de tabela. Apos certo perıodo, teve umdecrescimo tambem de 20% sobre o preco que foi aumentado,obtendo assim o preco atual. Qual e o percentual que o precoatual corresponde em relacao ao primeiro valor (preco de ta-bela)?a) 100%b) 96%c) 90%d) 85%e) n.d.a

7. O valor de 10 % e igual a:a) 100b) 10

Page 248: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 7 239

c) 1d) 0,1e) n.d.a

Matematica C Aula 7

Analise Combinatoria

Princıpio Fundamental da Contagem

O princıpio fundamental da contagem nos mostra um metodoalgebrico, para determinar o numero de possibilidades deocorrencia de um acontecimento, sem precisarmos descrevertodas as possibilidades. Se um acontecimento pode ocorrerpor varias etapas sucessivas e independentes de tal modo que:

p1 e o no de possibilidades da 1a etapap2 e o no de possibilidades da 2a etapa...pn e o no de possibilidades da n-esima etapa

Entao, o numero total P de possibilidades do acontecimentoocorrer e dado por:

P = p1 × p2 × p3 × . . .× pn

Exemplos

1) Quantas placas (distintas) de automoveis, poderao ser emi-tidas; com o sistema atual de emplacamento?

O atual sistema de emplacamento de automoveis no Brasilutiliza tres letras e quatro algarismos. No novo alfabeto saoconsideradas 26 letras e temos dez dıgitos entre os numeros.Logo o numero de possibilidades sera :

P = 26× 26× 26× 10× 10× 10× 10 = 175.760.000

2) Obtenha o total de linhas telefonicas que podem ser insta-ladas, com o prefixo 436:

Para resolver este problema, e preciso escolher um algarismopara a casa das milhares, outro para as centenas, outro para asdezenas e um outro para as unidades. Os algarismos a seremutilizados em cada uma das casas, podem ser escolhidos entreos dez dıgitos do sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Como cada uma das casas podem ser preenchidas com um dos10 algarismos acima, temos que: O total de linhas possıveiscom o prefixo 436 e o produto das possibilidades que se tempara preencher cada uma das casas. Logo:

As linhas podem ter numeros no formato 436-ABCD, ondeos quatro dıgitos ABCD de 0 a 9 indicam que podemos ternumeros de 0000 a 9999, ou seja, 10 mil linhas diferentes. Ou,de outro modo:

P = 10× 10× 10× 10 = 10.000

3) Quantos numeros ımpares de 3 algarismos distintos, saopossıveis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8.

Ao iniciar a resolucao de um problema de analise combinatoria,e aconselhavel que se faca alguns grupos dos quais queremoscalcular o total. No caso do nosso atual problema, veja algunsexemplos de numeros ımpares de 3 algarismos distintos: 347,

815, 135, 451,etc. Note que o numero 533 nao nos serve, poishouve repeticao do algarismo 3; o numero 534 tambem naoserve, pois e par. Um outro ponto importante e, por ondecomecar a resolver o problema. Procure sempre atacar o pro-blema, por onde houver um maior numero de restricoes. Veja:

centena dezenas unidades

Em nosso caso, temos a restricao de que os numeros devem serımpares.

Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades(1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas, naqual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos dados peloproblema, porem eliminando-se um deles (aquele que estiver nacasa das unidades), ja que nao pode haver repeticao. Portanto,temos para a casa das centenas 5 possibilidades. Finalmente,analisando a casa das dezenas, concluımos que restaram 4 pos-sibilidades, pois: nao podemos repetir o algarismo que estiverna casa das unidades e nem o que estiver na casa das centenas.Portanto: O total de possibilidades e: P = 5 × 4 × 4 = 80, oque da um total de 80 numeros.

Fatorial

Sendo n um numero natural, define-se fatorial de n, e indica-se”n!”a expressao

n! = n× (n− 1)× (n− 2)× . . .× 3× 2× 1

Propriedade

Para fins de calculo, define-se que:

0! = 1

1! = 1

Observe que: fatorial e uma definicao por recorrencia, ou seja:cada fatorial e calculado com a utilizacao do fatorial anterior.Assim:0! = 11! = 12! = 23! = 64! = 245! = 1206! = 720...

...n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 3 · 2 · 1

Exemplos

10!

8!=

10× 9× 8!

8!= 90

(x + 3)!

(x + 1)!=

(x + 3)(x + 2)(x + 1)!

(x + 1)!= (x+3)(x+2) = x2+5x+6

Pense um Pouco!

• De quantas formas diferentes pode resultar o lancamentode dois dados simultaneos?

• Na serie de numeros de 0 a 100, quantos algarismos novesao usados?

Page 249: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

240 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

• Quantos numeros pares se pode formar com os algarismos1, 2, 3, 4?

Exercıcios de Aplicacao

1. O resultado de22!8!

11!19!

e:a) 25b) 28/3c) 31/7d) 15e) n.d.a

2. Numa eleicao de uma empresa, ha 4 candidatos a presi-dente, 3 a vice-presidente, 5 a supervisor-geral e 3 a tesoureiro.Quantos podem ser os resultados da eleicao?a) 120b) 180c) 150d) 210e) n.d.a

3. Simplifique as expressoes:a) (x + 5)!/(x + 3)!b) (3x + 1)!/(3x− 1)!

4. (Mack-SP) Quantos numeros de 5 dıgitos podem ser escritoscom os algarismos 1, 2, 3, 4, sem que aparecam algarismosconsecutivos iguais?a) 20b) 32c) 40d) 120e) n. d. a.

Exercıcios Complementares

5. Sobre uma circunferencia marcam-se 6 pontos, igualmenteespacados. Quantas retas eles determinam:a) 21b) 16c) 5d) 12e) n.d.a.

6. (Saem) A quantidade de numeros que podemos formar comos algarismos 3, 4, 5, 6, sem repeti-los, maiores que 4000, e:a) 64b) 09c) 06d) 18e) n.d.a

7. Quantos carros podem ser licenciados, se cada placa contemduas vogais e tres dıgitos?a) 125.000b) 110.000c) 95.000d) 154.000e) n.d.a

8. Resolvendo a equacao, (x + 3)!/(x + 1)! = 12, temos que:a) x = 0b) x = 1c) x = 2d) x = 3e) n.d.a

9. (Ufes) Um shopping center possui 4 portas de entrada parao andar terreo, 5 escadas rolantes ligando o terreo ao primeiropavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o se-gundo pavimento. De quantas maneias diferentes uma pessoa,partindo de fora do shopping center pode atingir o segundopavimento, usando os acessos mencionados?a) 25b) 30c) 45d) 125e) n.d.a

10. (Puc-SP) Chamam-se polındromos os numeros inteirosque nao se alteram quando e invertida a ordem de seus alga-rismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O numero total depolındromos de cinco algarismos e:a) 900b) 780c) 560d) 640e) n.d.a

Matematica C Aula 8

Arranjo, Combinacao e Permutacao

Arranjos Simples

Arranjo simples e o tipo de agrupamento sem repeticao em queum grupo e diferente de outro pela ordem ou pela natureza doselementos componentes. O numero de arranjos simples de nelementos em grupos de p elementos e dado por:

An,p =n!

(n− p)!

Esta formula mostra que os arranjos dos n elementos tomadosp a p podem ser escritos utilizando-se fatoriais.

Exemplos

1) Quantos numeros de 3 algarismos podemos formar com osalgarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los?

Os numeros formados devem ter 3 algarismos, por exemplo123. Invertendo-se a ordem destes algarismos, obtemos novosnumeros, portanto, o problema e de arranjo simples. Logo

A6,3 =6!

(6− 3)!=

6 · 5 · 4 · 3!

3!= 120

2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sao formados numeros dequatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos sao divisıveispor 5. Como os numeros devem ser divisıveis por 5, os mesmos

Page 250: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 8 241

devem obrigatoriamente terminar em 5, logo, dos 6 algarismosque tınhamos para trabalhar nos restam 5, dos quais vamostomar 3 a 3. Se tomarmos uma das possıveis respostas, porexemplo 2345 e invertermos a ordem dos seus elementos tere-mos o numero 4325, que e outra resposta do problema. Logoo problema proposto e de arranjos simples. Com isso temosque:

A5,3 =5!

(5− 3)!=

5 · 4 · 3 · 2!

2!= 60

Combinacoes Simples

Combinacao simples e o tipo de agrupamento, sem repeticaoem que um grupo e diferente de outro apenas pela naturezados elementos componentes. O numero de combinacoes den elementos de grupos de p elementos e igual ao numero dearranjos de n elementos tomados p a p, dividido por p!, isto e:

Cn,p =An,p

p!=

n!

p!(n− p)!

Exemplos

1) Quantas comissoes constituıdas de 3 pessoas podem ser for-madas com 5 pessoas ?

As comissoes formadas devem Ter 3 pessoas, por exemplo A, B e C. Invertendo-se a ordem destas pessoas, obtemos amesma comissao. Portanto, o problema e de combinacao.

C5,3 =5!

3!2!=

5 · 4 · 3!

3!2!= 10

Logo, podemos formar 10 comissoes.

2) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta,paralela a primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triangulosobteremos unindo 3 quaisquer desses pontos?

Com os 13 pontos, podemos obter C13,3 triangulos.

Se tomarmos os tres pontos sobre a mesma reta, nao forma-remos um triangulo, com isso, o total de triangulos obtidos edado por

C13,3 − C8,3 − C5,3 = 286− 56− 10 = 220

Permutacoes Simples

Permutacoes simples e o tipo de agrupamento ordenado, semrepeticao, em que entram todos os elementos em cada grupo.

A permutacao simples e um caso particular de arranjo simples.

O numero de permutacoes simples que se pode formar com nelementos e igual ao fatorial de n, ou seja:

Pn = n!

Exemplos

1) Quantos numeros de 5 algarismos distintos podem ser for-mados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?

Como usaremos todos os algarismos dados, em cada respostado problema, temos agrupamentos do tipo permutacoes sim-ples, logo o numero de algarismos e igual a

P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

2) Quantos anagramas tem a palavra MITO?

Qualquer ordenacao das letras de uma palavra e denominadaanagrama. Como a palavra MITO tem 4 letras, temos:

P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Pense um Pouco!

• Qual a diferenca basica entre combinacao e arranjo?

• Se houverem elementos repetidos num conjunto, qual onumero de permutacoes diferentes possıveis? Exemplo:quantos anagramas tem a palavra MARIA?

Exercıcios de Aplicacao

1. Quantos numeros de 5 algarismos distintos podemos formarcom os algarismos 1, 4, 5, 7, 8 e 9?a) 120b) 720c) 1.296d) 15.625e) n.d.a

2. De quantas maneiras podemos escalar um time de futebolde salao dispondo de 8 jogadores?a) 48b) 56c) 72d) 28e) n.d.a

3. Considere o conjunto A = 2, 4, 5, 6. Quantos numeros,distintos, multiplos de 5 se podem formar, com todos os ele-mentos de A?a) 24b) 12c) 18d) 06e) n.d.a

4. Quantas palavras de 3 letras, sem repeticao, podemos for-mar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?a) 504b) 324c) 27d) 81e) n.d.a

5. Quantos numeros de 4 algarismos distintos podemos formarcom os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?a) 2560b) 1440c) 4536d) 2866e) n.d.a

6. Numa sala, temos 5 rapazes e 6 mocas. Quantos grupospodemos formar de 2 rapazes e 3 mocas?a) 30b) 200c) 300d) 150e) n.d.a

Page 251: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

242 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

7. Quantos numeros de 7 algarismos distintos podem ser for-madas, usando-se os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 ?a) 5040b) 3640c) 2320d) 720e) n.d.a

8. Quantos sao os numeros compreendidos entre 2.000 e 3.000,formados por algarismos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8 e 9?a) 210b) 175c) 336d) 218e) n.d.a

Exercıcios Complementares

9. Quantas comissoes com 6 membros podemos formar com10 alunos?a) 210b) 120c) 75d) 144e) n.d.a

10. Uma empresa e formada por 6 socios brasileiros e 4 japo-neses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5socios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?a) 10b) 15c) 6d) 12e) n.d.a

11. (PUC-SP) Numa sala ha 5 lugares e 7 pessoas. De quantosmodos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5sentadas e 2 em pe?a) 5.040b) 21c) 120d) 2.520e) n.d.a.

12. Quantos anagramas da palavra EDITORA, comecam comA e terminam com E?a) 120b) 720c) 840d) 24e) n.d.a

13. (UFCE) A quantidade de numeros pares de 4 algarismosdistintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7,8 e 9 e:a) 20b) 60c) 240d) 360e) n.d.a.

14. (Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemosformar com 10 socios de uma empresa sao:

a) 5.040b) 40c) 2d) 210e) n.d.a.

15. (UFPA-PA) Quantos sao os anagramas da palavra BRA-SIL comecados por B e terminados por L?a) 24b) 120c) 720d) 240e) 1.440

16. (UEMT) Sobre uma circunferencia marcam-se 7 pontos,distintos 2 a 2. Calcule o numero de triangulos que podemosformar com vertices nos pontos marcados.a) 3b) 7c) 30d) 35e) 210

Matematica C Aula 9

Binomio de Newton

Numeros Binomiais

Numeros Binomiais: Dados dois numeros naturais, n e p, cha-mamos numero binomial, ao par de valores:

(n

p

)

Le-se: binomial de n sobre p.

Chamamos n de numerador e p de denominador do numerobinomial, onde (

n

p

)

=n!

p!(n− p)!

com n e pinN e n ≥ p.

Consequencias da definicao:

a)(n

0

)

= 1, ∀ninN

b)(n

1

)

= n, ∀ninN

c)(n

n

)

= 1, ∀ninN

EXERCICIOS

1) Calcular E =(

63

)+

(51

)+

(80

)+

(44

)

2) Ache o conjunto solucao da equacao(

x+12

)= 10

Page 252: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 9 243

Numeros Binomiais Complementares

Dois numeros binomiais sao chamados complementares quandopossuem o mesmo numerador e a soma dos denomina-dores e igual ao numerador.

Os numeros(

np

)

e(

nk

)sao complementares quando p+k = n.

Exemplo

Os numeros binomiais(

72

)e

(75

)sao complementares, pois

2 + 5 = 7.

Propriedade

Dois numeros binomiais complementares sao iguais.

Triangulo de Pascal

Os numeros binomiais podem ser agrupados ordenada-mente em um quadro denominado Triangulo de Pascal:(

00

)

(10

) (11

)

(20

) (21

) (22

)

(30

) (31

) (32

) (33

)

(40

) (41

) (42

) (43

) (44

)

...

Observacoes Importantes

• Os numeros binomiais de mesmo numerador estao coloca-dos na mesma linha;

• Os numeros binomiais de mesmo denominador estao co-locados na mesma coluna;

• Se no triangulo de Pascal substituirmos cada binomialpelo respectivo valor, obteremos:

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1...

Propriedades do Triangulo de Pascal

1. Todos os elementos da 1a. coluna sao iguais a 1;

2. O ultimo elemento de cada linha e igual a 1;

3. Numa linha qualquer, os numeros equidistantes dos extre-mos sao iguais;

4. A soma dos numeros binomiais de uma mesma linha euma potencia de base 2 cujo expoente e a ordem da linha(numerador);

5. Cada binomial da linha n e igual a soma de dois binomiaisda linha (n − 1): aquele que esta na mesma coluna comaquele que esta na coluna anterior.

EXERCICIOS

1) Calcule:(

80

)+

(81

)+

(82

)+ . . . +

(88

)

2) Calcule n, sabendo que(

n0

)+

(n1

)+

(n2

)+ . . . +

(nn

)= 256

3) Calcule o valor de∑8

p=2

(9p

)

Formula do Binomio de Newton

(x + a)n =(

n0

)xna0 +

(n1

)xn−1a1 +

(n2

)xn−2a2+

+ . . . +(

nn

)x0an

Observacao

• No desenvolvimento do binomio (x + a)n, os termos saotodos positivos;

• No desenvolvimento do binomio (x−a)n, os sinais de cadatermo do desenvolvimento sao alternados, isto e, os termosde ordem ımpar (1, 3, 5, . . .) sao positivos e os de ordempar (2, 4, 6, . . .) sao negativos.

Exemplos resolvidos

1) Desenvolver o binomio (x + 3)4:

(4

0

)

x430 +

(4

1

)

x341 +

(4

2

)

x242 +

(4

3

)

xa3 +

(4

4

)

a4

logo(x + 3)4 = x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81

2) Desenvolver o binomio (a− 2b)5:

(5

0

)

a5(2b)0 −(

5

1

)

a4(2b)1 +

(5

2

)

a3(2b)2

−(

5

3

)

a2(2b)3 +

(5

4

)

a1(2b)4 −(

5

5

)

a0(2b)5

Page 253: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

244 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

1 ·a5 ·1−5 ·a4 ·2b+10 ·a3 ·4b2−10 ·a2 ·8b3+5 ·a ·16b4−1 ·1 ·32b5

e finalmente podemos escrever

(a− 2b)5 = a5 − 10a4b + 40a3b2 − 80a2b3 + 80ab4 − 32b5

Soma dos Coeficientes Binomiais

A soma dos coeficientes numericos do desenvolvimento de (ax±by)n, com a e b constantes, se obtem fazendo x = y = 1. Asoma vale, portanto

(a± b)n

Formula do Termo Geral

Para determinar um termo qualquer de ordem (p + 1) no de-senvolvimento de um binomio do tipo (x + a)n, temos:

Tp+1 =

(n

p

)

apxn−p

O termo geral no desenvolvimento de (x − a)n, e dado pelaexpressao:

Tp+1 = (−1)p

(n

p

)

apxn−p

Exemplos

1. Determinar o quarto 4o no desenvolvimento de (x + 2)7.

Resolucao:

Para o quarto termo, temos que p + 1 = 4, logo p = 3. Assim:

T4 = T3+1 =

(7

3

)

a3x7−3 = 35 · 8 · x4 = 280x4

2. Achar o termo medio no desenvolvimento de (2x− 3)6.

No desenvolvimento do binomio (2x − 3)6, teremos um totalde 7 termos. Com isso o termo medio sera o 4o termo. Logotemos:

T4 = T3+1 = (−1)3(

6

3

)

33(2x)6−3 = (−1) · 20 · 27 · 8x3

logo o termo procurado sera

T4 = −4.320x3

Pense um Pouco!

• O que devemos fazer para encontrarmos o termo indepen-dente de x, no desenvolvimento de um binomio?

• O que ocorrera com os termos do desenvolvimento de umbinomio (x + a)n, se invertermos as posicoes do primeiroe do segundo termo, ou seja (a + x)n?

• Por que alguns desenvolvimentos de numeros binomiaisapresentam termo medio e outros nao?

Exercıcios de Aplicacao

1. Calcule o setimo termo no desenvolvimento de (2x3 + x2)9.

2. Calcule o quarto termo no desenvolvimento de (x−3 −2x2)10.

3. Calcule o termo medio no desenvolvimento de (3y4 +2y6)6.

4. Encontre o termo independente de x no desenvolvimentode (2x−3 − 2x4)7.

5. Determine a soma dos coeficientes dos termos do desenvol-vimento do binomio (x + 2y)8.

Exercıcios Complementares

6. (UFPA-PA) Qual o valor do termo medio do desenvolvi-mento de (2x + 3y)8?a) 70 · x4y4

b) 70 · 16 · 81 · x4y4

c) 70 · 16 · 81 · x5y4

d) 70 · 16 · 81 · x4y5

e) 70 · 16 · 81 · x5y5

7. (Santo Andre-SP) O termo independente de x no desenvol-vimento de (2x−2 − 3x)6 e o:a) 2o

b) 3o

c) 4o

d) 5o

e) 6o

8. (UFRN-RN) A expressao(

73

)+

(74

)− 35 e igual a :

a) 30b) 35c) 40d) 45e) 50

9. A soma dos valores que x pode assumir na igualdade(

132x−3

)

=(

13x+1

)

e:

a) 7b) 9c) 11d) 13e) 15

10. O quarto termo do desenvolvimento (x +√

y)6 e:a) 6x3√yb) 15x4yc) 20x3y

√y

d) 6x6y3

e) n. d. a.

11. (FGV-SP) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de(2x + 3y)6 e:a) 15.625b) 7.776c) 6.225d) 4.225e) 2.048

12. (Mack-SP) Se a soma dos coeficientes numericos do de-senvolvimento (5x− 3y)n e 81, entao n e igual a:

Page 254: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 10 245

a) 2b) 3c) 4d) 5e) n. d. a.

Matematica C Aula 10

Probabilidade

Espacos Amostrais Equiprovaveis Finitos

Dado um experimento aleatorio, no qual cada resultado tenhaas mesmas chances de ocorrer que os demais. Seja U o conjuntode todos os eventos possıveis como resultado do experimento eseja E o conjunto dos resultados que nos interessam, definimosa probabilidade do(s) evento(s) E como sendo:

P (E) =Numero de resultados favoraveis

Numero de resultados possıveis

Se o experimento for repetido N vezes, esperamos que a fracaode sucessos seja dada por P (E), no limite onde N →∞.

Interpretacao Grafica

Podemos usar os diagramas de Venn para facilitar a visua-lizacao e ate a solucao de muitos problemas sobre o calculo deprobabilidades.

U

E

No grafico, U e o conjunto de todos os resultados possıveis(espaco amostral) e E e o conjunto dos resultados favoraveis(os eventos de sucesso).

Exercıcios Resolvidos

1. No lancamento de um dado nao viciado, qual a probabili-dade de ocorrer o evento “numero primo”?

Resolucao:

Neste caso temos que U = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e E = 2, 3, 5, poisestes sao os numeros primos entre 1 e 6. Entao:

P (E) =3

6=

1

2

Ou seja, a chance de se tirar um numero primo e de 50%.Observe que nesse caso o dado se comporta como se fosse uma

moeda, onde se quisesse tirar por sorteio uma determinadaface.

2. Entre seis pessoas A, B, C, D, E e F, quatro sao escolhidaspara formar uma comissao. Qual a probabilidade de A e Bpertencerem a comissao?

Resolucao:

Primeiramente, vamos determinar o total de comissoes que sepode formar com quatro elementos:

C6,4 =6!

4!2!= 15

que e o numero de resultados possıveis do conjunto universoU .

Agora, vamos determinar o numero de vezes que A e B com-parecem nas comissoes com quatro elementos, ou seja,

C4,2 =4!

2!2!= 6

que e o numero de resultados favoraveis, no conjunto E.

Finalmente, a probabilidade de A e B pertencerem a comissaoe dada por:

P (E) =6

15=

2

5= 0, 40 = 40%

Eventos Complementares

A Probabilidade de nao ocorrer um evento pode ser determi-nada com o estudo dos eventos complementares.

Seja E, um evento em um experimento aleatorio. A probabi-lidade de nao ocorrer o evento E, isto e, a probabilidade deocorrer o evento E, complementar de E, e dado por:

P ( E) = 1− P (E)

Exercıcio Resolvido

1. Uma moeda e lancada 6 vezes. Qual a probabilidade deobservarmos pelo menos uma cara?

Resolucao:

Para seis lancamentos de uma moeda, temos:

U = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26 = 64

ou seja, existem 64 resultados possıveis.

Destes 64 resultados possıveis, por exemplo, so ha um ondenao ocorre nenhuma cara, que e exatamente quando se tira 6coroas sucessivas.

Se chamarmos de E o conjunto de resultados com pelo menosuma cara, entao podemos dizer que a probabilidade de naotirarmos nenhuma cara E, e

P ( E) =1

64

entao, como sao eventos complementares, se nao obtemos seiscoroas e porque saiu pelo menos uma cara,

P (E) = 1− P ( E) =63

64

e a probabilidade de se obter pelo menos uma cara.

Observe que:

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246 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

- a probabilidade de se obter as 6 coroas sucessivas e pequena(1/64), ou seja, e grande a probabilidade de isso nao ocorrer(63/64).

- esta mesma experiencia pode ser feita com seis moedaslancadas de uma so vez.

2. Ao se retirar uma bola de uma urna que contem tres bolasbrancas b1, b2, b3, numeradas de 1 a 3 e cinco bolas pretas p1,p2, p3, p4, p5, numeradas de 1 a 5. Qual a probabilidade deque essa bola nao seja preta e nem de numero par, ao mesmotempo:

Resolucao:

Neste caso U = b1, b2, b3, p1, p2, p3, p4, p5 e E = p2, p4),entao a probabilidade complementar, de se tirar uma bolapreta de numero par sera:

P ( E) =2

8=

1

4e como:

P (E) = 1− P ( E) =3

4esta sera a probabilidade de se tirar uma bola nao preta e naopar, simultaneamente.

Pense um Pouco!

• Em alguns jogos com dado o jogador pode avisar ”vale odebaixo”, querendo dizer que o numero tirado sera o daface que cair voltada para baixo. Se um jogador usar desseartifıcio, antes de jogar o dado, mudam suas chances nojogo?

• Acertar 5 numeros num cartao com 50 numeros, comonos jogos de loto e realmente muito difıcil, mas semarcassemos no cartao 45 numeros e fossem sorteados,nao 5, mas 45 numeros. Melhoraria a nossa chance?

Exercıcios de Aplicacao

1. Joga-se um dado ”honesto”de seis faces e le-se o numero daface voltada para cima. Calcular probabilidade de se obter:a) O numero 5b) Um numero ımparc) Um numero maior que 4d) Um numero menor que 8e) Um numero maior que 6

2. Retirando-se uma carta de um baralho comum, de 52 cartas,qual e a probabilidade de se obter uma carta de copas?

3. Qual o “espaco amostral”ou “conjunto universo”U nos se-guintes fenomenos aleatorios:a) lancamento de duas moedasb) lancamento de dois dadosc) lancamento de uma moeda e um dadod) embaralhar os 8 bits de um bytee) embaralhar as letras da palavra “PROVA”

Exercıcios Complementares

4. (CESGRANRIO) Os 240 cartoes de um conjunto, sao nu-merados consecutivamente de 1 a 240. Retirando-se ao acaso

um cartao desse conjunto, a probabilidade de obter um cartaonumerado com um multiplo de 13 e:a) 3/240b) 3/40c) 1/26d) 1/13e) 1/6

5. (MACK) Num grupo de 10 pessoas estao X e Y . Escolhidasao acaso 5 pessoas do grupo, a probabilidade de X e Y seremescolhidas e:a) 1/5b) 1/10c) 2/9d) 5/9e) 9/10

6. (MARINGA) Um numero e escolhido ao acaso entre os 20inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o numero escolhido serprimo ou quadrado perfeito e:a) 1/5b) 2/25c) 4/25d) 2/5e) 3/5

7. (CESGRANRIO) Um predio de tres andares, com doisapartamentos por andar, tem apenas tres apartamentos ocu-pados. A probabilidade de que cada um dos tres andares tenhaexatamente um apartamento ocupado e:a) 1/2b) 2/5c) 4/5d) 1/5e) 3/8

8. (MOGI DAS CRUZES) Jogamos dois dados. A probabili-dade de obtermos pontos iguais nos dois e:a) 1/3b) 5/36c) 1/36d) 1/6e) 7/36

9. (LORENA) Uma urna contem 4 bolas vermelhas numera-das de 1 a 4; tres bolas azuis numeradas de 1 a 3 e tres bolasbrancas numeradas de 1 a 3. Retiramos uma unica bola. Quala probabilidade de que essa bola seja par?a) 3/10b) 2/5c) 3/5d) 2/10e) n. d. a.

Matematica C Aula 11

Page 256: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 11 247

Inequacoes

Inequacoes do Primeiro Grau

Relacionadas com as equacoes de 1o grau, temos as desigualda-des de primeiro grau (ou inequacoes), que sao expressoes ma-tematicas em que os termos estao ligados por um dos quatro

sinais:< > ≤ ≥

menor maior menor ou igual maior ou igual

Nas inequacoes, deseja-se obter um conjunto de todas ospossıveis valores que pode assumir uma ou mais incognitasna equacao.

Uma propriedade importante das inequacoes e:

a > b⇐⇒ −a < −b

Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdadepor um numero negativo ”inverte-se o sentido”da desigual-dade.

Exemplo Resolvido

Encontrar todos os valores de x tais que 3x + 6 > 5x− 4.

Resolucao:3x + 6 > 5x− 4

3x− 5x > −4− 6

−2x > −10

e multiplicando-se por −1

2x < 10

finalmentex < 5

ou seja, existe um conjunto infinito de valores (intervalo) quesatisfazem a desigualdade dada.

Graficamente:

x50

A figura representa graficamente o intervalo de solucao obtido:

S = x ∈ R | /x < 5

Inequacao-Produto

Sendo f(x) e g(x) duas funcoes da variavel x, as inequacoes:f(x) · g(x) > 0f(x) · g(x) < 0f(x) · g(x) ≥ 0f(x) · g(x) ≤ 0sao denominadas inequacoes-produto.

Exercıcio Resolvido

Resolver a inequacao: (2x− 1)(x + 4) > 0

Resolucao:

Para resolver essa inequacao, vamos analisar as duas possibi-lidades em que (2x− 1)(x + 4) > 0, ou seja:

1a)2x− 1 > 0 e x + 4 > 0

a) 2x− 1 > 0 =⇒ x > 1/2b) x + 4 > 0 =⇒ x > −4a) e b) simultaneamente nos da que a solucao e x > 1/2

x1/20

x1/20

x0−4

Sa

Sb

Sa Sb

2a) 2x− 1 < 0 e x + 4 < 0

a) 2x− 1 < 0 =⇒ x < 1/2b) x + 4 < 0 =⇒ x < −4 a) e b) simultaneamente nos da quea solucao e x < −4

x0−4

S´a

S´b

x1/20

x0−4S´a S´b

Portanto o conjunto solucao da inequacao e a uniao dassolucoes obtidas:

S = x ∈ R | x < −4 ou x >1

2

Podemos, entretanto, resolver este problema com o seguintequadro de sinais no qual estudamos nas primeiras linhas o sinalde cada um dos fatores e na ultima linha, o sinal do produto:

1/20

0−4

−4 0 1/2

x

x

x

f(x)

g(x)

f(x)g(x)

Observe que os valores x = −4 e x = 1/2 que anulam o produtonao verificam a inequacao e esse fato foi indicado por ””(bolavazia), usado para representar o intervalo aberto.

Inequacoes-Quociente

Sendo f(x) e g(x) duas funcoes da variavel x, as inequacoes:f(x)÷ g(x) > 0f(x)÷ g(x) < 0f(x)÷ g(x) ≥ 0f(x)÷ g(x) ≤ 0sao denominadas inequacoes-quociente.

Notando que as regras de sinais do produto e do quocientepara numeros reais, sao analogas, por exemplo:

f(x)

g(x)> 0⇐⇒ f(x) · g(x) > 0

f(x)

g(x)≥⇐⇒ f(x) · g(x) ≥ 0

esta ultima para g(x) 6= 0

Isso significa que, na resolucao de uma inequacao-quociente,podemos usar o mesmo quadro de sinais, empregado na ine-quacao-produto.

Page 257: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

248 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Exercıcio Resolvido

Resolva a inequacao:

(x + 3)(1− x)

(x − 2)≥ 0

Resolucao:

Vamos chamar de f(x) = x + 3, g(x) = 1− x e h(x) = x− 2 eanalisar os sinais individuais de cada funcao:

x

x−3 1

x1

2

−3

2

f(x)

g(x)

h(x)

f(x)g(x)h(x)

x

de onde S = x ∈ R | x < −3 ou 1 ≤ x < 2.

Inequacoes do Segundo Grau

As desigualdades ax2+bx+c > 0, ax2+bx+c < 0, ax2+bx+c ≤0 e ax2 + bx + c ≥ 0, com a 6= 0 sao chamadas inequacoes dosegundo grau.

Para resolvermos essas inequacoes, devemos estudar a variacaodos sinais das imagens da funcao do segundo grau.

Seja a funcao f : R → R dada por f(x) = ax2 + bx + c, coma 6= 0.

Seu grafico e uma parabola que se comporta conforme a tabelaabaixo:

x x x

a < 0

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

a > 0

xxx

Exercıcios Resolvidos

1. Resolva a inequacao do 2o grau: −x2 + 5x− 6 > 0

Resolucao:

Para resolver a inequacao acima, devemos determinar os va-lores de x para os quais a funcao f(x) = −x2 + 5x − 6 temimagens positivas (y > 0), isto e, estudar o sinal da funcao.

Como a = −1 e ∆ = (+5)− 4 · (−1) · 6 = +1 > 0 e as raızesde f(x) sao: x′ = 2 e x′′ = 3 temos o grafico:

32

Y

X

Como devemos ter y > 0, os valores de x sao: S = x ∈ R | 2 <x < 3.2. Resolva o sistema de inequacoes do 2o grau.

2x2 − 18 < 0

−x2 + 5x− 4 ≥ 0

Resolucao:

Para resolvermos o sistema de inequacoes acima, vamos anali-sar cada uma das inequacoes, separadamente. Assim:

a) 2x2 − 18 < 0

Temos a = 2 e ∆ = 0 − 4 · 2 · (−18) = 144 > 0, e as raızes:x′ = +3 e x′′ = −3.

Sa = x ∈ R | − 3 < x < 3.b) −x2 + 5x− 4 ≥ 0

Neste caso a = −1 e ∆ = 5 − 4 · (−1) · (−4) = 9 > 0, comraızes: x′ = +1 e x” = +4

Sb = x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4.c) Finalmente, a solucao geral do sistema e obtida pela inter-seccao dos intervalos-solucao obtidos:

S = Sa ∩ §b = x ∈ R | 1 ≤ x < 3.

Inequacoes Exponenciais

Denomina-se inequacao exponencial, aquela que apresentauma incognita no expoente. Como por exemplo:

3x > 81

52x − 6 · 5x + 5 < 0

8x2 ≤ 16

Importante

• Quando a > 0, a funcao exponencial f(x) = ax e cres-cente, isto e:

ax1 > ax2 ⇐⇒ x1 > x2

• Quando 0 < a < 1, a funcao exponencial f(x) = ax edecrescente, isto e:

ax1 > ax2 ⇐⇒ x1 < x2

Page 258: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 11 249

Exercıcios Resolvidos

Resolva as equacoes exponenciais:

a) 4x > 1/4

Resolucao:

Devemos procurar obter desigualdades de potencias de mesmabase.

4x >1

4⇐⇒ 4x > 4−1

Como a base e maior do que 1, vem:

x > −1

eS = x ∈ R | x > −1

b) (1/2)2x < (1/2)3x−1

Resolucao:

Como a base esta compreendida entre 0 e 1, temos que ter:

2x > 3x− 1

−x > −1

e entaox < 1

logoS = x ∈ R | x < 1

Inequacoes Modulares

Notemos que se a > 0, valem as seguintes propriedades:

1. |x| > a⇐⇒ x < −a ou x > a

xa0−a

2. |x| < a⇐⇒ −a < x < a

xa0−a

Exercıcio Resolvido

Resolva a inequacao: |3x− 4| < 2

Resolucao:

De acordo com a propriedade 2 vista acima, temos:

|3x− 4| < 2⇒ −2 < 3x− 4 < 2

ou seja, temos de resolver o sistema de inequacoes

−2 < 3x− 4⇒ x > 2/3

3x− 4 < 2⇒ x < 2

Fazendo a interseccao dos intervalos de solucao, vem:

S = x ∈ R | 2

3< x < 2

Pense um Pouco!

• E possıvel se ter um sistema de inequacoes cujo conjuntosolucao seja ∅? Explique.

Exercıcios de Aplicacao

1. A solucao da inequacao (2x + 3)/(x + 2) ≥ 1 e:a) S = x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2b) S = x ∈ R | 1 ≤ x < 2c) S = x ∈ R | x < −3 ou x > 2d) S = x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 1e) n. d. a.

2) O conjunto solucao do sistema de inequacoes

x2 − 5x + 6 ≤ 0

2x2 − 8x > 0

e:f) S = x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2g) S = x ∈ R | x ≥ −3 ou 1 ≤ x ≤ 2h) S = x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 < x < 2i) S = x ∈ R | x ≥ −3 ou 1 < x < 2j) n. d. a.

Exercıcios Complementares

2. (VUNESP) Quantos numeros inteiros satisfazem a ine-quacao: x2 − 6x + 8 < 0a) nenhumb) 1c) 2d) 3e) 4

3. Resolvendo, em R, a inequacao:

x− 4

3− 5x− 1

4≤ 3

4

temos que:a) S = x ∈ R | x < −2b) S = x ∈ R | x > −2c) S = x ∈ R | x ≤ −2d) S = x ∈ R | x ≥ −2e) n. d. a.

4. A solucao da inequacao:

2x + 3

x + 2≥ 1

e:a) S = x ∈ R | x < −2 ou x ≥ −1b) S = x ∈ R | x ≤ −2 ou x > 1c) S = x ∈ R | x > −2 ou x > 2d) S = x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 2e) n.d.a

5. Resolvendo a inequacao

(2 − 5x)(x + 1)

(−x + 3)≤ 0

Page 259: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

250 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

temos que:a) S = x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2b) S = x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 1c) S = x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 2d) S = x ∈ R | x < −3 ou − 1 ≤ x ≤ 2/5e) n. d. a.

6. Ao resolver

∣∣∣∣

x− 2

x + 3

∣∣∣∣< 1

obtemos:a) S = x ∈ R | x > 2b) S = x ∈ R | x < −2c) S = x ∈ R | x > −1/2d) S = x ∈ R | x ≤ −2e) n. d. a.

7. Qual a solucao da inequacao abaixo:

(1

2

)x2−5x+1

≥(

1

2

)

a) S = x ∈ R | − 5 < x ≤ 0b) S = x ∈ R | − 5 ≤ x ≤ 0c) S = x ∈ R | − 5 ≤ x ≤ 0d) S = x ∈ R | − 5 < x < 0e) n. d. a.

Matematica C Aula 12

Equacoes Trigonometricas

Sao equacoes que envolvem pelo menos uma funcao trigo-nometrica operando em alguma de suas variaveis. Por exem-plo, cos θ = 1/3, onde se quer, em geral, determinar o anguloθ.

Tipos Fundamentais

Existem tres tipos de equacoes trigonometricas fundamentais.Sao elas:

a) senx = sen αb) cosx = cosαc) tan x = tanα

Equacoes de outro tipo devem ser reduzidas a uma dessas fun-damentais. Vejamos como resolver cada uma delas.

Equacoes Envolvendo senα

X0

θ

1

1

sen θ

π−θ

Y

Se dois arcos trigonometricos x e α tem senos iguais, entao:

sen x = senα⇐⇒

x = α± 2kπou

x = π − α± 2kπ

com k ∈ N

Equacoes Envolvendo cosα

X0

1

1

2π − θ = −θ

θ−θ

Y θcos

Se dois arcos trigonometricos x e α tem cossenos iguais, entao:

cosx = cosα⇐⇒ x = ±α± 2kπ

com k ∈ N

Equacoes Envolvendo tan α

Se dois arcos trigonometricos x e α tem tangentes iguais, entao:

tan x = tanα⇐⇒ x = α± kπ

com k ∈ N

As equacoes a seguir tem suas solucoes mais facilmente obti-das pela representacao dos seus valores na circunferencia tri-gonometrica.

Page 260: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 12 251

Exemplos Resolvidos

senx = −1

Como o seno de 3π/2 e igual a −1, temos a solucao geral

x =3π

2± 2kπ k ∈ N

logo

S = x ∈ R | x =3π

2± 2kπ, k ∈ N

senx = 0

Como o seno de 0 e igual a 0, temos a solucao geral

x = ±π k ∈ N

logo

S = x ∈ R | x = ±kπ, k ∈ N

senx = 1

Como o seno de π/2 e igual a 1, temos a solucao geral

x =π

2± 2kπ k ∈ N

logo

S = x ∈ R | x =π

2± 2kπ, k ∈ N

cosx = −1

Como o cosseno de π e igual a −1, temos a solucao geral

x = π ± kπ k ∈ N

logo

S = x ∈ R | x = π ± kπ, k ∈ N

cosx = 0

Como o cosseno de π/2 e igual a 0, temos a solucao geral

x =π

2± kπ k ∈ N

logo

S = x ∈ R | x =π

2± kπ, k ∈ N

cosx = 1

Como o cosseno de 0 e igual a 1, temos a solucao geral

x = 2kπ k ∈ N

logo

S = x ∈ R | x = 2kπ, k ∈ N

cosx = 1/2

Como o cosseno de π/3 e igual a 1/2, temos a solucao geral

x = π/3± kπ k ∈ N

logoS = x ∈ R | x = π/3± kπ, k ∈ N

Exercıcios

Resolva em R as equacoes:

1) sen3x− senx = 0

2) cosx =√

32

3) tanx =√

33

Pense um Pouco!

• Existe solucao real para a equacao cosx = 2 ?

Exercıcios Complementares

1. A solucao da equacao cos(2x)− cos(x− π) = 0, e:a) x ∈ R | x = −π + 2kπ ou x = π/3 + 2kπ/3, kZb) x ∈ R | x = −π + kπ ou x = +k, kZc) x ∈ R | x = π + 2kπ ou x = +k, kZd) x ∈ R | x = −π + kπ ou x = +k, kZe) n. d. a.

2. Resolvendo sen 2x + senx = 0, obtemos:a) S = x ∈ R | x = (π/2) + kπ,; k ∈ Zb) S = x ∈ R | x = (3π/2) + kπ,; k ∈ Zc) S = x ∈ R | x = (−π/2) + 2kπ,; k ∈ Zd) S = x ∈ R | x = (π) + 2kπ,; k ∈ Ze) n. d. a.

3) O conjunto solucao da equacao cosx− cos(π/4) = 0 e:f) S = x ∈ R | x = ±π/4 + 2kπ, k ∈ Z

Page 261: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

252 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

g) S = x ∈ R | x = ±π/3 + 2kπ, k ∈ Zh) S = x ∈ R | x = ±π/6 + 2kπ, k ∈ Zi) S = x ∈ R | x = ±π/2 + 2kπ, k ∈ Zj) n. d. a.

3. A equacao trigonometrica 3 tanx−√

3 = 0 , tem solucao:a) S = x ∈ R | x = ±π/6 + kπ, k ∈ Zb) S = x ∈ R | x = ±3π/2 + 2kπ, k ∈ Zc) S = x ∈ R | x = ±π/4 + kπ, k ∈ Zd) S = x ∈ R | x = ±π/3 + 2kπ, k ∈ Ze) n. d. a.

4. Resolva a equacao cos(x− π/2) = cos(π/2) em R:a) S = x ∈ R | x = π/4 + kπ, k ∈ Zb) S = x ∈ R | x = π/3 + kπ, k ∈ Zc) S = x ∈ R | x = 2π/3 + kπ, k ∈ Zd) S = x ∈ R | x = π/2 + kπ, k ∈ Ze) n. d. a.

Matematica C Aula 13

Introducao a Geometria

A Geometria Plana estuda as figuras planas. Entendemos porfigura plana todo subconjunto, nao vazio, de pontos do plano.Quando dizemos que S e uma figura plana, estamos afirmandoque S esta totalmente contida num plano.

Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto deconceitos nao definidos, dos quais temos a intuicao clara e, umsistema de axiomas ou postulados, que sao proposicoes naodemonstradas, aceitas intuitivamente, que dao caracterısticasaos elementos nao definidos.

Entes Geometricos Fundamentais

Ponto, reta e plano: sao ideias primitivas, entes que naopossuem definicao.

Representacao

Por convencao, usaremos a seguinte nomenclatura geral para- pontos: A, B ,C, . . .- retas: r, s, t, . . . - planos: α, β, γ, . . .

Definicoes

• A reta e infinita, ou seja, contem infinitos pontos, e naopossui inıcio nem fim.

r

• Um ponto A de uma reta r, divide a mesma em dois con-juntos, chamados semi-retas. O ponto A e origem dassemi-retas e pertence a ambas.

r

A

• segmento de reta e a porcao de uma reta entre doispontos nao coincidentes A e B.

A

B

r

• tres pontos nao co-lineares definem um plano.

A

B

rsC

α

Propriedades Gerais

• por um ponto passam infinitas retas;

• por dois pontos passa uma so reta;

• por dois pontos passam infinitos planos;

• por tres pontos nao co-lineares passa um so plano;

• o plano e infinito e ilimitado;

• por uma reta passam infinitos planos;

• toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regioeschamadas semi-planos;

• um plano divide o espaco em dois semi-espacos;

Angulo Plano

Definicao

E a uniao de duas semi-retas de mesma origem.

O

A

B

θ

Page 262: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 13 253

Regiao Angular

E a uniao do conjunto dos pontos interiores com o conjunto

dos pontos do angulo. Indica-se por AOC.

O

A

B

θ

E

interiorponto

I

pontoexterior

Angulos Adjacentes

Dois angulos sao adjacentes, quando possuem mesma origeme um lado em comum.

O β

C

A

αB

Angulos Congruentes

Dois angulos sao congruentes quando possuem mesma me-dida, ou seja, sao coincidentes.

O

C

αB

α =α´

Bissetriz

E a semi-reta de origem no vertice do angulo, que o divideem dois angulos congruentes.

O

α

C

βA

B

Neste caso AOC ≡ BOC

Angulos Opostos pelo Vertice

Dois angulos sao opostos pelo vertice quando os lados deum sao semi-retas opostas aos lados do outro.

r

s

α

αO

Dois angulos opostos pelo vertice sao congruentes.

Angulo Raso

Define-se um angulo raso quando os tres pontos A, O e Bpertencem a mesma reta. Por definicao o angulo plano mede180.

O

β = 180o

Angulo Reto

Chama-se de angulo reto o angulo obtido pela bisseccao deum angulo plano. O angulo reto mede 90.

O

β = 90o

.

Angulo Agudo

Angulo agudo e aquele cuja medida e menor que 90.

αO

Angulo Obtuso

Angulo obtuso e aquele cuja medida e maior que 90.

Page 263: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

254 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Angulos Complementares

Dois angulos sao complementares, quando a soma de suasmedidas e um angulo reto (90).

θ = 90 − βο

O. β

Angulos Suplementares

Dois angulos sao suplementares, quando a soma de suas me-didas e um angulo raso (180).

Exercıcios

1. Qual e o angulo que mede o dobro do seu complemento?

2. Qual o valor de α na figura abaixo?

O

2α+10

a+20o

o

3. Determine a medida do angulo β na figura:

r

s

O6β−20

3β+10o

o

Polıgonos

Definicao: Consideremos, num mesmo plano, N ≥3 pontos A1, A2, A3, . . . , AN , ordenados de modo que tresconsecutivos nao sejam colineares. Chama-se polıgonoA1, A2, A3, . . . , AN , A1 a figura formada pela uniao dos N seg-mentos consecutivos entre os pontos:

A1

A2

A3

A4

A5

Regiao Poligonal

E a regiao do plano formada pela uniao dos pontos do polıgonocom os pontos do seu interior.

Define-se que uma regiao do plano e convexa quando quais-quer dois pontos dessa regiao puderem ser unidas por segmen-tos de retas cujos infinitos pontos pertencam a essa regiao. Seessa condicao falhar, diz-se que a regiao e concava.

Se a regiao poligonal for convexa, o polıgono sera denominadopolıgono convexo.

C

D

Se a regiao poligonal for concava, o polıgono sera denominadopolıgono concavo.

C

D

Classificacao

Polıgono Equilatero

E o polıgono que tem todos os lados congruentes:

Exemplos: losango, quadrado, etc...

Polıgono Equiangulo

E o polıgono que tem todos os angulos internos congruentes.Exemplos: retangulo, quadrado, etc,...

Polıgono Regular

E o polıgono equilatero e equiangulo simultaneamente.

Exemplo: quadrado.

Page 264: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 13 255

4

7

11 13 14

20 25 30

3 5 6

1098

12

15

Nomenclatura

De acordo com o numero de lados, temos:

Nome Numero de LadosTriangulo 3 ladosQuadrilatero 4 ladosPentagono 5 ladosHexagono 6 ladosHeptagono 7 ladosOctogono 8 ladosEneagono 9 ladosDecagono 10 ladosUndecagono 11 ladosDodecagono 12 ladosPentadecagono 15 ladosIcosagono 20 lados

Numero de Diagonais

Chama-se diagonal de um polıgono a todo segmento de retacujas extremidades sao vertices nao consecutivos. O numerode diagonais D de um polıgono convexo de N lados (N ≥ 3) edado por:

D =N(N − 3)

2

Soma dos Angulos

Em todo polıgono convexo de N lados (N ≥ 3), sendo Si asoma dos angulos internos e Se a soma dos angulos externostem-se:

Si = (N − 2) · 180

e

Se = 360

Circunferencia

Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distancia R naonula (raio), chama-se circunferencia o conjunto dos pontos doplano que distam R do ponto C.

C

R

Comprimento da Circunferencia

O comprimento de uma circunferencia, ou perımetro e dadopor

L = 2πR

Cırculo

E a regiao limitada pela circunferencia, ou seja, e a uniao doconjunto dos pontos interiores e dos pontos pertencentes a cir-cunferencia.

Area do Cırculo

A area A de um cırculo e dada por

A = πR2

Pense um Pouco!

• Arquimedes considerava que a circunferencia poderiaser definida como um polıgono regular com um grandenumero de lados (muito pequenos). O que voce achadisso?

Exercıcios de Aplicacao

1. Qual o numero de diagonais do icosagono?a) 150b) 110c) 210d) 170e) n. d. a.

2. Qual o numero de lados de um polıgono que possui 14diagonais?a) 5b) 7c) 9d) 11e) n. d. a.

3. Determine a area do cırculo limitado pela circunferenciacujo comprimento e de 10π cm.a) 25π cm2

b) 16π cm2

c) 49π cm2

d) 36π cm2

e) n. d. a.

Page 265: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

256 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Exercıcios Complementares

4. (FEI) Num polıgono regular, o numero de diagonais e o tri-plo do numero de lados. A quantidade de lados desse polıgonoe:a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

5. (MACK) A soma dos angulos internos de um heptagonoconvexo e igual a:a) 540

b) 720

c) 900

d) 1.080

e) 1.260

6. Num polıgono convexo, a soma dos angulos internos e cincovezes a soma dos angulos externos. Calcule o numero de dia-gonais desse polıgono.a) 35b) 44c) 54d) 90e) n. d. a.

7. Dois angulos sao complementares, sendo que um e oquıntuplo do outro. Qual o valor do menor desses angulos:a) 10

b) 12

c) 17

d) 20

e) n. d. a.

8. Qual e o angulo cujo suplemento e o triplo do seu comple-mento:a) 35

b) 45

c) 60

d) 15

e) n. d. a.

9. Cada um dos angulos externos de um polıgono regular mede15. Qual o numero de diagonais desse polıgono?a) 170b) 252c) 90d) 144e) n. d. a.

10. Cada um dos angulos internos de um polıgono regularmede 150. Qual e o polıgono?a) octogonob) decagonoc) dodecagonod) icosagonoe) n. d. a.

Matematica C Aula 14

Triangulos

Definicao

Dados tres pontos nao colineares A, B e C, chama-se trianguloa uniao dos tres segmentos AB, AC, BC.

∆ABC = AB + AC + BC

Elementos do Triangulo

• Vertices: A,B e C;

• Lados: AB, AC e BC;

• Angulos internos: α, β e γ;

• Angulos externos: sao os angulos suplementares aos in-ternos. Na figura, para o angulo interno γ, por exemplo,γex. e o angulo externo.

Classificacao

Quanto aos Lados

Equilatero

Possui os tres lados iguais.

8 cm

6 cmm

n

a

h

B A

C

Isoceles

Possui dois lados iguais.

Escaleno

Possui os tres lados diferentes.

Page 266: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 14 257

Quanto aos Angulos

Retangulo

Possui um angulo reto.

Obtusangulo

Possui um angulo obtuso, ou seja, maior do que um anguloreto.

α > 90ο

Acutangulo

Possui todos os angulos agudos, ou seja, menor do que umangulo reto.

Observacoes

1. Se o ∆ABC e isoceles, entao os angulos da base sao con-gruentes;

2. Se o ∆ABC e equilatero, entao os tres angulos internossao congruentes.

Propriedades

1. existencia de triangulo: para existir o triangulo, cada umdos tres lados deve ser menor do que a soma dos outrosdois;

2. soma dos angulos internos: a soma dos angulos internosde qualquer triangulo e 180, ou dois angulos retos;

3. soma dos angulos externos: em qualquer triangulo, cadaangulo externo e igual a soma dos internos nao adjacentes.

α β

γ = α+β

Triangulo Retangulo

Elementos

Observe a figura abaixo:

C

h

a

n

c

B

A

b

m

Nesse triangulo ABC, retangulo em A, temos:

• A, B, e C sao vertices;

• a e a hipotenusa (lado oposto ao angulo reto);

• b e c sao catetos;

• h e a altura relativa a hipotenusa;

• m e n sao as projecoes dos catetos b e c sobre a base(hipotenusa), respectivamente.

Relacoes Metricas

As relacoes entre essas medidas sao chamadas de relacoesmetricas nos triangulos retangulos. As principais sao:

a2 = b2 + c2

h2 = mn

a = m + n

b2 = am

ah = bc

c2 = an

Triangulos Quaisquer

Lei dos Senos

Num triangulo qualquer, as medidas dos lados sao proporcio-nais aos senos dos angulos opostos.Isto e:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C

Exemplo Resolvido

Determine o valor de a, no triangulo abaixo:

Page 267: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

258 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

B

ac=2,0 cm

A

60

75

o

o

Resolucao:

Como A + B + C = 180, A = 60 e B = 75, segue queC = 180 − A− B = 45. Entao:

a

sen A=

c

sen C⇒ a

sen 60=

2, 0 cm

sen 45

a = (2, 0 cm)1/2√2/2

= (2, 0 cm)/√

2 = 1, 4 cm

Lei dos Cossenos

Num triangulo qualquer, o quadrado da medida de um ladoe igual a soma dos quadrados das medidas dos outros doislados, menos duas vezes o produto das medidas destes ladospelo cosseno do angulo formado entre eles. Por exemplo, parao lado a, oposto ao angulo A, temos:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

Exemplo Resolvido

Calcule a diagonal x do paralelogramo, cujos lados medem10 cm e 5 cm, e formam um angulo de 60 entre si.

60o

x

A

C

10 cm

5 cm

B

D

Resolucao:

Calculamos a diagonal x, aplicando a lei dos cossenos aotriangulo ABC:

x2 = (10 cm)2 + (5 cm)2 − 2(10 cm)(5 cm) cos 60

x2 = (100 + 25− 100 · (1/2)) cm2

x =√

175 cm2 = 5√

7 cm

Exercıcios

1) No triangulo ∆ABC, retangulo em A, sabe-se que os catetosb e c, medem 6 cm e 8 cm, respectivamente. Calcule o valordas medidas:

8 cm

6 cmm

n

a

h

B A

C

a) da hipotenusa;

b) da altura relativa a hipotenusa;

c) das projecoes dos catetos sobre a hipotenusa.

Pense um Pouco!

• Como podemos obter quatro triangulos equilateros,usando apenas seis palitos de fosforo?

Exercıcios de Aplicacao

1. Determine a medida do menor cateto de um trianguloretangulo, cuja hipotenusa mede 7 cm e a altura relativa ahipotenusa mede 2

√3 cm.

a) 2√

7 cmb)√

21 cmc) 3√

7 cmd) 2√

21 cme) n. d. a.

2. Qual a altura relativa a hipotenusa, de um trianguloretangulo isoceles, cujos catetos medem x.a) x√

2b) x√

2/2c) 2x

√2

d) x√

2/3e) n. d. a.

3. Determine a diagonal de um retangulo cuja area mede2.700 m2, sabendo que o comprimento e o triplo da largura.a) 45

√2 m

b) 30√

2 mc) 20

√10 m

d) 30√

10 me) n. d. a.

4. Calcule a altura de um triangulo equilatero cujos ladosmedem a.a) a√

2/3b) a√

3/4c) a√

3/3d) a√

2/2e) n. d. a.

5. Um triangulo cujos lados menores medem 5 m e 12 m eretangulo se, e somente se, o terceiro lado medir:

Page 268: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 15 259

a) 13 mb) 14 mc) 15 md) 16 me) n. d. a.

6. Um triangulo possui lados com medidas 5 cm e 3 cm,formando um angulo 30. Qual a medida do outro lado, emcm?a)√

19b)√

13c)√

11d)√

7e) n. d. a.

7. A figura mostra, em planta, o trecho de um rio onde sedeseja construir uma ponte AB. De um ponto C, a 100 m de

B, mediu-se o angulo ACB = 45 e, do ponto A, mediu-se o

angulo BAC = 30. Qual sera o comprimento da ponte?a) 100 mb) 75 mc) 100 md) 75 me) n. d. a.

Matematica C Aula 15

Quadrilateros

Dados quatro pontos de um mesmo plano A, B, C e D or-denados de modo que tres consecutivos nao sejam colineares,chama-se quadrilatero a uniao dos quatro segmentos AB,BC, CD e DA.

ABCD = AB ∪BC ∪ CD ∪DA

Quadrilateros Notaveis

Trapezio

Quadrilatero que possui dois lados paralelos.

CD

BA

r

s r

AB‖CD (bases)

AD e CB (lados transversais)

Observacoes

• se houver 1 angulo reto entao temos um trapezioretangulo;

• se os lados transversais forem congruentes temos umtrapezio isoceles.

Paralelogramo

Quadrilatero com lados opostos paralelos e congruentes(iguais), dois a dois.

CD

A B

Propriedades

• os lados opostos sao congruentes;

• os angulos opostos sao congruentes;

• as diagonais se cortam ao meio mutuamente.

Retangulo

Paralelogramo que possui todos os angulos retos.

A B

D C

• valem as propriedades do paralelogramo;

• as diagonais sao congruentes;

• os quatro angulos sao retos.

Losango ou Rombo

Paralelogramo com dois lados adjacentes congruentes.

A

B

DC

• valem as propriedades do paralelogramo;

• as diagonais estao nas bissetrizes dos angulos internos;

• as diagonais sao perpendiculares;

• os quatro angulos sao congruentes.

Page 269: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

260 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Quadrado

E um losango retangulo.

A

D

B

C

• possui os lados e angulos congruentes;

• diagonais perpendiculares e congruentes;

• as diagonais se cortam ao meio, mutuamente;

• as diagonais estao nas bissetrizes dos angulos internos.

Hierarquia entre Quadrilateros

Relacoes de inclusao entre os conjuntos dos quadrilaterosnotaveis:

LosangosQuadrados

Retangulos

Paralelogramos

Trapezios

Quadrilateros

Exercıcio

Assinale a alternativa falsa.a) Todo quadrado e um retangulob) Todo quadrado e um losangoc) Todo losango e um paralelogramod) Todo retangulo e um paralelogramoe) todo trapezio e um paralelogramo

Polıgonos Regulares

Sao aqueles que possuem todos os lados e todos os angulosiguais.

Triangulo Equilatero

ll

l

h

r=a

R

Elementos:l = ladoh = alturaR = raio da circunferencia circunscritaa = apotema (=r raio da circunferencia inscrita)

Formulas:

h = l√

3/2

R = 2h/3

r = h/3

R = 2r

A area = l2√

3/4

Quadrado

d

R

L

L

L

L

a =L / 2

Elementos:l = ladod = diagonala = apotema (= r raio da circunferencia inscrita)R = raio da circunferencia circunscrita.

Formulas:

d = l√

2

R = d/2

a = l/2

A area = l2

Page 270: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 15 261

Hexagono Regular

L

a

R

l

l

l

l

l

l

Elementos:l = ladoa = apotema (raio da circunferencia inscrita)R = Raio da circunferencia circunscrita.

Formulas:R = l

a = h

A area = 3l2√

3/2

Exercıcio Resolvido

Calcule a razao entre as areas dos cırculos circunscrito e ins-crito em um triangulo equilatero.

Resolucao:

Sendo A1 a area do cırculo circunscrito e A2 a area do circuloinscrito, temos:

A1

A2=

πR2

πr2=

(2a)2

a2= 4

Pense um Pouco!

• O quadrado e um losango?

Exercıcios de Aplicacao

1. O lado de um hexagono regular inscrito em uma circun-ferencia mede 4 cm. Calcule:a) O raio da circunferencia;b) O apotema do hexagono;c) A area do hexagono;d) A area do circulo inscrito.

2. Qual a area do cırculo que esta circunscrito a um quadradode area igual a 100 cm2?

Exercıcios Complementares

3. A razao entre os comprimentos das circunferencias circuns-crita e inscrita em um quadrado de lado 2 e:a)√

2b)√

2/2c) 2d) 2√

2e) n. d. a.

4. Assinale a afirmacao falsa:a) As diagonais de um paralelogramo sao congruentesb) as diagonais de um losango sao perpendicularesc) as diagonais de um losango sao bissetrizes dos angulos in-ternosd) As diagonais de um retangulo sao congruentese) As diagonais de um paralelogramo interceptam-se no pontomedio

5. Calcule a area de um triangulo equilatero circunscrito emcirculo de area igual a 25π cm2.a) 25

√3 cm2

b) 15√

3 cm2

c) 10√

3 cm2

d) 5√

3 cm2

e) n. d. a.

6. A area do circulo circunscrito a um quadrado mede 18π.Calcule a area do circulo inscrito no quadrado.a) 9πb) 8πc) 7πd) 6πe) n. d. a.

7. O valor da area sombreada na figura abaixo

1 cm

7 cm

e:a) 12 cm2

b) 14 cm2

c) 20 cm2

d) 6√

7 cm2

e) n. d. a.

8. Qual a area do hexagono inscrito num cırculo cuja areamede 16π cm2.a) 36

√3 cm2

b) 25√

3 cm2

c) 24√

3 cm2

d) 20√

3 cm2

e) n. d. a.

7) A area da regiao sombreada na figura abaixo

20 cm

Page 271: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

262 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

e:f) 50π cm2

g) 35π cm2

h) 25π cm2

i) 15π cm2

j) n. d. a.

Matematica C Aula 16

Circunferencia

Definicao:

Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distancia R naonula (raio), chama-se circunferencia o conjunto dos pontos doplano que distam R do ponto C.

Equacao Reduzida

Seja a circunferencia de centro C(xC , yC) e raio R e sejaP (x, y) um ponto do plano.

O ponto P pertence a circunferencia se, e somente se, adistancia de P a C for igual a R. Daı teremos:

(x− xC)2 + (y − yC)2 = R2

que e a equacao reduzida da circunferencia.

Caso Particular

Se C = (0, 0), entao a equacao reduzida sera:

x2 + y2 = R2

Exemplos:

1. Obter a equacao reduzida da circunferencia de centroC(3,−2) e raio igual a R = 5.

Resposta:(x− 3)2 + (y + 2)2 = 25

2. Obter a equacao reduzida da circunferencia de centroC(0, 0) e raio R = 3.

Resposta:x2 + y2 = 9

Equacao Geral

Desenvolvendo-se a equacao reduzida (x− xC)2 + (y− yC)2 =R2, obtemos:

x2 − 2xxC + x2C + y2 − 2yyC + y2

C = R2

x2 + y2 − 2xxC − 2yyC + x2C + y2

C −R2 = 0

Fazendo-se:x2

C + y2C −R2 = p

resultax2 + y2 − 2xxC − 2yyC + p = 0

que e a equacao normal (ou geral) da circunferencia.

Determinacao do Centro e do Raio

a) Dada a equacao (x − xC)2 + (y − yC)2 = R2 na formareduzida, de imediato conclui-se que o centro e C(xC , yC) e oraio e R.

b) Dada a equacao x2+y2+mx+ny+p = 0 na forma normal, ocentro e o raio sao determinados comparando-se coma equacao:x2 + y2 − 2xxC − 2yyC + p = 0

Centro:

m = −2xC =⇒ xC = −m

2

n = −2yC =⇒ yC = −n

2

finalmente

C =(

−m

2,−n

2

)

Raio:

p = x2C + y2

C −R2 =⇒ R2 = x2C + y2

C − p

ou seja

R = +√

x2C + y2

C − p

Exemplos Resolvidos

1. Determinar o centro e raio da circunferencia de equacao:x2 + y2 − 6x− 2y + 6 = 0.

Solucao:

A partir da equacao, temos:

M = - 6 a = = = 3 N = - 2 b = = = 1 r = + = = 2

m = −6 =⇒ xC = −m

2= −−6

2= 3

n = −2 =⇒ yC = −n

2= −−2

2= 1

p = 6 =⇒ R = +√

32 + 12 − 6 = 2

Resposta: centro C = (3, 1) e raio R = 2.

2. Determine a equacao da circunferencia que esta represen-tada no sistema de eixos cartesianos.

Pense um Pouco!

• A circunferencia e uma linha plana? Comente.

Exercıcios de Aplicacao

1. Determine o centro e o raio da circunferencia de equacao(x− 5)2 + (y + 3)2 = 10.

2. Dar a equacao cartesiana de circunferencia de raio R = 4 eque esta centrada na origem.

3. Determine a equacao geral da circunferencia de centro C =(−2, 2), cujo raio R =

√5.

Page 272: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 17 263

Exercıcios Complementares

4. Determine o centro C e o raio R da circunferencia x2 +y2−8x− 6y + 21 = 0:a) C(4, 3) e R = 2b) C(−2, 5) e R = 3c) C(4,−2) e R = 2d) C(−2, 3) e R = 3e) n. d. a.

5. (FIC/FACEM) A equacao da circunferencia cujo centroesta na origem do sistema cartesiano e cujo raio e igual a 1/5e:a) 25x2 + 25y2 − 1 = 0b) x2 + y2 = 25c) 25x2 + 25y2 = 5d) x2 + y2 = 1/5e) 25x2 + 25y2 + 1 = 0

6. (PUC) Uma circunferencia de centro C(−2, 5) limita umcirculo cuja area e 3. Determinar a equacao da circunferencia.a) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 3b) (x − 2)2 + (y + 5)2 =

√3

c) (x + 2)2 + (y − 5)2 = 3d) (x − 2)2 + (y + 5)2 = 3e) (x + 2)2 + (y + 5)2 =

√3

7. Qual e a equacao reduzida da circunferencia, cuja equacaogeral e x2 + y2 − 8x + 7 = 0 ?a) (x + 4)2 + (y − 1)2 = 4b) (x − 4)2 + (y − 1)2 = 9c) (x + 4)2 + y2 = 4d) (x − 4)2 + y2 = 9e) n. d. a.

8. O diametro da circunferencia x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0,e:a) 5b) 6c) 8d) 10e) n. d. a.

9. (UFSC) Assinale a equacao que representa uma circun-ferencia:a) 2x2 + 5y2 − 2x + 10y + 1 = 0b) x2 + y2 + 2xy + 4x− 2y + 6 = 0c) x2 + y + 2x− 1 = 0d) x2 + y2 + 4 = 0e) x2 + y2 − x = 0

10. (UFPA) O raio da circunferencia x2 + y2 − 2x = 3 e:a)√

2b)√

3c) 2d) 3e) 4

11. (UFSC) Em coordenadas cartesianas, a circunferencia2x2 + 2y2 − 4x + 2y = 0, tem centro C e raio r, respecti-vamente iguais a:a) C = (−2, 1) e r =

√5

b) C = (−1, 1/2) e r =√

5c) C = (2, 1) e r = 5

d) C = (2,−1) e r =√

5/2e) C = (1,−1/2) e r =

√5/2

Matematica C Aula 17

Polıgonos e Figuras Planas

Perımetro

Chamamos de perımetro de um polıgono a soma dos compri-mentos de seus lados. Geralmente, representa-se o perımetropor 2p, isto porque chama-se de p o semi-perımetro dopolıgono.

Quando o polıgono tem todos os lados iguais, o perımetro eigual ao produto do numero de lados pelo comprimento de umdeles.

Areas de Figuras Planas

A area A de uma figura e um numero (medida), associado a suasuperfıcie, que exprime a relacao existente entre esta superfıciee a superfıcie de um quadrado de lado unitario.

Retangulo

Dado um retangulo de comprimento (base) b e altura h:

b

h

A = bh

e

2p = 2(b + h)

Quadrado

Como um caso particular de retangulo temos o quadrado delado l

l

l

Page 273: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

264 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

onde:

A = l2

e

2p = 4l

Como nem tudo a nossa volta sao retangulos e quadrados,tivemos a necessidade de calcular a area de outras figuras. E omais interessante, e que atraves da area do retangulo, podemosobter areas de outras figuras. Veja:

Triangulo

Dado o triangulo de base b e altura h

b

ha c

Comparando-se o triangulo com um retangulo com o compri-mento b e altura h, temos, encaixando o triangulo no retangulovemos que cabem dois triangulos.

Entao, fica facil calcular a area do triangulo, pois esta e ametade da area do retangulo. Assim:

A =bh

2

e

2p = a + b + c

Paralelogramo

Observe o paralelogramo de altura h e base b:

b

ha

Recortando a parte sombreada do paralelogramo e colocando-ado outro lado, o paralelogramo transforma-se num retangulo.Logo, concluımos que a area do paralelogramo e a mesma areado retangulo.

A = bh

e

2p = 2(a + b)

Losango

Veja o losango de lado l, inscrito num retangulo de base b ealtura h:

b

h

ll

ll

D

d

A diagonal maior do losango tem medida igual ao comprimentodo retangulo, D = b.

A diagonal menor tem medida igual a altura do retangulo,d = h.

Se recortarmos o losango em quatro triangulos, vemos que asua area e a metade da area do retangulo.

A =Dd

2

e

2p = 4l

Trapezio

O trapezio e composto por dois triangulos, um de base B eoutro de base b, ambos com altura h.

a

b

B

ch

Assim a area sua area:

A =B + b

2h

e

2p = a + b + c + B

Cırculo

r

A = πr2

e

2p = 2πr

Page 274: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 18 265

Pense um Pouco!

• (Unicamp-SP) Em um restaurante, qual famılia que comemais pizza: aquela que pede uma grande de 43 cm dediametro ou aquela que pede duas medias de 30 cm dediametro?

Exercıcios de Aplicacao

1. (ACAFE) Em um quadrado, se aumentarmos em 2 m umlado e em 3 m o outro, obteremos um retangulo cuja area e56 m2. A medida do lado do quadrado e:a) 5 mb) 6 mc) 4 md) 7 me) n. d. a.

2. A figura abaixo mostra um quadrado inscrito em uma cir-cunferencia de raio igual a 5 cm. A area desse quadrado, emcm2 e:a) 64b) 81c) 100d) 121e) n. d. a.

3. Qual o perımetro de uma circunferencia cuja area do cırculonela contido e de 32π m2?a) 16π m2

b) 8π m2

c) 16π m2

d) 5π m2

e) n. d. a.

4. A area sombreada na figura abaixo:

10 m

10 m

e:a) 25 · (4− π) m2

b) 75 m2

c) 100(4− π) m2

d) 50 m2

e) n. d. a.

5. O perımetro de uma circunferencia inscrita em um qua-drado de area 36 cm2 e:a) 12π cmb) 6π cmc) 9π cmd) 15π cme) n. d. a.

6. Qual a area de um losango, cuja soma das diagonais e iguala 27 cm e sua diferenca 3 cm?a) 50 cm2

b) 70 cm2

c) 85 cm2

d) 90 cm2

e) n. d. a.

7. (Desafio) A area da parte hachurada da figura

10 m

10 m

e:a) (50π − 100) m2

b) (50π − 75) m2

c) (75π − 50) m2

d) (75π − 25) m2

e) n. d. a.

Matematica C Aula 18

Retas e Planos

Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto deconceitos nao definidos, dos quais temos a intuicao clara, e umsistema de axiomas ou postulados, que sao proposicoes naodemonstradas, aceitas intuitivamente, que dao caracterısticasaos elementos nao definidos.

Elementos Fundamentais

Ponto, reta e plano: Sao ideias primitivas, entes que nao pos-suem definicao.

Temos ideias de ponto, por exemplo, um lapis tocando o papel,sendo apenas uma imagem, pois nao ha dimensao para tanto.Analogamente, possuımos a intuicao de reta e de plano.

Axiomas

Axiomas ou postulados, sao proposicoes aceitas como verda-deiras sem demonstracao e que servem de base para o desen-volvimento de uma teoria.

Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos,retas e planos.

Page 275: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

266 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Representacao

Pontos: A, B, C, . . .Retas: r, s, t, . . .Planos: α, β, γ, . . .

Postulados: Pontos e Retas

1. A reta e infinita, ou seja, contem infinitos pontos.

2. Por um ponto passam infinitas retas.

3. Dois pontos distintos determinam uma reta.

4. Um ponto de uma reta, divide-a em duas semi-retas.

5. A interseccao de duas semi-retas, cada uma contendo aorigem da outra, define um segmento de reta.

Postulados: Plano

1. Por tres pontos nao-colineares, passa um unico plano.

2. O plano e infinito e ilimitado.

3. Por uma reta passam infinitos planos.

4. Toda reta pertencente a um plano divide-o em dois semi-planos.

Posicoes Relativas de Duas Retas

1. Duas retas sao paralelas se, e somente se, forem coplanarescom interseccao vazia, ou retas coincidentes.

2. Duas retas sao concorrentes, quando elas se interceptam(concorrem) em um unico ponto.

3. Sao retas que nao se interceptam e nao sao paralelas, poisestao em planos diferentes.

Determinacao de um Plano

Alem do postulado que diz:

”tres pontos nao-colineares determinam um unico plano”,

um plano tambem pode ser determinado por:

1. Uma reta e um ponto nao-pertencente a essa reta.

2. Duas retas concorrentes.

3. Duas retas paralelas distintas.

Exercıcio

Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmacaoabaixo:

( ) Dados dois pontos distintos, existe um unico planopassando por eles.( ) Os vertices de um triangulo sao coplanares (estao nomesmo plano).( ) Uma reta qualquer, separa um plano que a contem emdois semi-planos.( ) Por tres pontos distintos quaisquer, passa sempre umunico plano.( ) O numero maximo de retas que quatro pontos podemdeterminar e seis.( ) Se duas retas distintas nao sao paralelas, entao elas saoconcorrentes.( ) Se a interseccao entre duas retas e o conjunto vazio, entaoelas sao paralelas.( ) Duas retas nao coplanares sao reversas.

( ) Seis pontos determinam no maximo vinte planos.

Posicoes Relativas de Dois Planos

1. Dois planos podem ser coincidentes quando forem iguais(α = β).

2. Dois planos sao concorrentes quando sua interseccao euma unica reta.

3. Dois planos sao paralelos quando sua interseccao e vazia.

Pense um Pouco!

• Qual a quantidade mınima de pontos que se deve ter paraque se obtenha 15 retas diferentes?

• E possıvel que duas retas coplanares sejam reversas?

• Quantos planos distintos, podem ser determinados,utilizando-se os vertices de um cubo?

Exercıcios de Aplicacao

1. Assinale as alternativas falsas: a) Existem infinitos planos.b) Existem infinitos pontos. c) Todo plano tem infinitos pontosd) Podemos definir ponto. e) Por dois pontos distintos passauma unica reta. f) Toda reta tem infinitos pontos. g) Todotriangulo esta contido em unico plano.

2. Classifique cada afirmacao como verdadeira (V) ou falsa(F): ( ) Nao existe plano que contenha duas retas reversas. () Se uma reta intercepta um plano , entao todo plano paraleloa essa reta intercepta. ( ) Dois planos podem ser iguais,concorrentes ou paralelos ( ) Se tres retas sao paralelas entresi, existe um unico plano que as contem. ( ) Duas retasquaisquer determinam um plano.

3. Sobe uma circunferencia sao marcados 8 pontos igual-mente espacados. Quantas retas diferentes eles determinam,no maximo?a) 56b) 44c) 28d) 36e) n. d. a.

4. (ITA-SP) Quais as sentencas falsas nos itens abaixo?I) Se dois planos sao secantes, todas as retas de um deles sem-pre interceptam o outro plano.II) Dados dois planos, se num deles existem duas retas distin-tas paralelas ao outro plano, os planos sao sempre paralelos.III) Em dois planos paralelos, todas as retas de um sao para-lelas ao outro plano.IV) Se uma reta e paralela a um plano, em tal plano existeuma infinidade e retas paralelas aquela reta.V) Se uma reta e paralela a um plano, e paralela a todas asretas do plano.a) I, II e IIIb) I, II e Vc) I, III e IVd) II, III e IVe) n. d. a.

Page 276: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 19 267

5. (MACK-SP) Uma reta r e paralela a um plano α. Entao:a) todas as retas de α sao paralelas a rb) a reta r nao pode ser coplanar com nenhuma reta de αc) existem em α retas paralelas a r e tambem retas reversas ar.d) existem em α retas paralelas e perpendiculares a r.e) todo plano que contem r e paralelo a α.

Matematica C Aula 19

Poliedros

Angulo poliedrico

Sejam n (n ≥ 3) semi-retas de mesma origem tais que nuncafique tres num mesmo semiplano. Essas semi-retas determi-nam n angulos em que o plano de cada uma deixa as outrassemi-retas em um mesmo semi-espaco. A figura formada poresses angulos e o angulo poliedrico.

Solidos Poliedricos

Sao solidos limitados por faces planas e poligonais.

Veja alguns exemplos:

(a) (b)

(a) (b)

Elementos

Faces (F )

Sao os polıgonos que constituem a superfıcie poliedrica.

Arestas (A)

Sao os lados dos polıgonos (segmento e reta que une doisvertices consecutivos).

Vertices (V )

Sao os vertices angulos poliedricos do solido.

Diagonais

Sao os segmentos de reta que unem dois vertices opostos situ-ados ou nao na mesma face.

Tipos

Poliedros Convexos

Um poliedro e dito convexo se o plano de cada polıgono (face)deixa o poliedro em um so semi-espaco, e portanto, nao o sec-ciona (divide) em dois solidos menores.

(a) (b)

Figura 3.1: Poliedro concavo (a) e convexo (b).

Classificacao

Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo como numero de faces, como por exemplo:

Nome Numero de Faces (F )tetraedro 4pentaedro 5hexaedro 6heptaedro 7octaedro 8dodecaedro 12icosaedro 20

Relacao de Euler

Em todo poliedro convexo e valida a relacao seguinte:

V −A + F = 2

em que V e o numero de vertices, A e o numero de arestas eF , o numero de faces.

Exemplos

V = 8, A = 12, F = 6: 8− 12 + 6 = 2

Page 277: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

268 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

V = 12, A = 18, F = 8: 12− 18 + 8 = 2

Exemplo Resolvido

Qual o numero de arestas e de vertices que tem um poliedroconvexo de 20 faces, todas triangulares?

Resolucao:

Nas 20 faces triangulares temos 20 × 3 = 60 arestas. Porem,cada aresta, por ser comum a duas faces, foi contada duasvezes, ou seja: A = F/2 = 30.

Temos: F = 20 e A = 30 e da relacao de Euler,

V = A− F + 2 = 30− 20 + 2 = 12

Poliedros Regulares ou de Platao

Diz-se que um poliedro e regular (ou platonico) se, e somentese:a) for convexo;b) em todo vertice concorrer o mesmo numero de arestas;c) toda face tiver o mesmo numero de arestas;d) for valida a relacao de Euler.

(a) (b)

Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro e platonico e osegundo, nao-platonico.

Existem cinco, e somente cinco tipos de poliedros regulares oude Platao (THODI):

Poliedro F V A n PTetraedro 4 4 6 3 3Hexaedro 6 8 12 4 3Octaedro 8 6 12 3 4Dodecaedro 12 20 30 5 3Icosaedro 20 12 30 3 5

Onde:n e numero de arestas em cada face;p e numero de arestas que saem de cada vertice.

Pense um Pouco!

• Uma piramide com base quadrada (tipo aquelas do Egito)podem ser um solido de Platao? Justifique.

Exercıcios de Aplicacao

1. Um poliedro convexo tem 8 faces e 12 vertices. Calcule onumero de arestas.a) 12b) 15c) 18d) 20e) n. d. a.

2. Determine o numero de arestas de um poliedro convexocom 5 faces quadrangulares e 6 faces triangulares.a) 20b) 19c) 18d) 17e) n. d. a.

3. Em um poliedro regular o numero de arestas excede onumero de vertices em 10 unidades. Sabendo que o numero defaces e igual 12, determine o numero de vertices do mesmo.a) 8b) 6c) 20d) 12e) n. d. a.

4. Um poliedro platonico tem 12 vertices e em cada verticeconcorrem 5 arestas. Calcule o numero total de arestas e defaces do poliedro.a) 20 e 30b) 30 e 20c) 20 e 15d) 15 e 20e) n. d. a.

5. Determine o numero de vertices de um poliedro convexosabendo que ele apresenta 2 faces hexagonais e 6 faces trian-gulares.a) 9b) 11c) 13d) 15e) n. d. a.

6. Determine o numero de arestas e vertices de um poliedroconvexo de 20 faces, das quais 11 sao triangulares, 2 quadran-gulares e 7 pentagonais.a) A = 36 e V = 20b) A = 30 e V = 25c) A = 38 e V = 20d) A = 20 e V = 36e) n. d. a.

Matematica C Aula 20

Prismas

Prisma e um solido geometrico delimitado por faces planas,onde suas bases situam-se em planos paralelos (α‖β)

Page 278: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 20 269

α

β

h

Elementos:Altura h: e a distancia entre as bases;Arestas laterais: possuem a mesma medida e sao paralelas;Faces laterais: sao paralelogramos;Bases: sao polıgonos congruentes.

Natureza

Os prismas sao triangulares, quadrangulares, pentagonais, he-xagonais etc., conforme suas bases sejam triangulos, qua-drilateros, pentagonos, hexagonos, etc...

Classificacao

Prisma Reto

As arestas laterais sao perpendiculares aos planos das bases.

Prisma Oblıquo

As arestas laterais sao oblıquas em relacao aos planos das ba-ses.

α

β θ=90o

h

Figura 3.1: Prisma reto (esquerda) e oblıquo (esquerda).

Prisma regular

E um prisma reto cujas bases sao polıgonos regulares.

Areas e Volumes

Sendo Al a area lateral de um prisma (soma das areas de cadaface lateral). Ab a area de uma de suas bases e At a sua areatotal, temos:

At = Al + 2Ab

Num prisma cuja area da base e Ab e altura h, o volume edado por:

V = Abh

Paralelepıpedos

Sao prismas cujas bases sao paralelogramos.

Paralelepıpedo Reto-Retangulo

Ou paralelepıpedo retangulo e todo paralelepıpedo reto cujasbases sao retangulos.

a

cb

dD

Num paralelepıpedo retangulo de dimensoes a, b, e c, sendoD a medida de uma de suas diagonais principais (internas),tem-se:

D =√

a2 + b2 + c2

At = 2(ab + ac + bc)

V = abc

Hexaedro Regular (CUBO)

E o paralelepıpedo reto-retangulo cujas seis faces sao quadra-das.

l

l

l

D d

Para um cubo de aresta l:

d = l√

2

D = l√

3

At = 6l2

V = l3

Page 279: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

270 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Piramides

Conceito e Elementos

Consideremos um polıgono A, B, C, . . ., situado num planoα e um ponto V fora de α. Chama-se piramide a uniao dossegmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontosdo polıgono. Uma piramide nao e um prisma.

ab

alap h

V

β

α

onde:V : angulo solido (angulo poliedrico);h: altura (distancia) do vertice ao plano da base;al : aresta lateral;ab: aresta da base.

Natureza

A piramide pode ser triangular, quadrangular, pentagonal,etc..., conforme sua base seja um triangulo, quadrilatero,pentagono, etc...

Piramide Regular

E aquela cuja base e um polıgono regular e a projecao dovertice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.

Area e Volume

:

Sendo:R: raio do circulo circunscrito a base;r: raio do circulo inscrito a base (apotema da base);l: aresta da base;ap: apotema da piramide;h: altura da piramide;al: aresta lateral.

Tem-se que:

Al = pap

At = Al + Ab

V =Abh

3

Cilindro Circular Reto

Conceito e Elementos

Cilindro de revolucao ou cilindro circular reto e o solido obtidopela rotacao completa de um retangulo em torno de um dosseus lados.

e

R

h

g

Elementos

R: raio da base;h: altura;e: eixo do cilindro;g: geratriz.

Seccoes de um Cilindro

Seccao Transversal

E a interseccao do cilindro por um plano paralelo as bases,gerando cırculos de raio R.

Seccao Meridiana

E a interseccao do cilindro por um plano que contem o contemo eixo e, gerando um retangulo de base 2R e altura h.

Areas e Volumes

Al = 2πRh

Ab = πR2

At = Al + 2Ab = πR(R + 2h)

V = Abh = πR2h

Cone

Conceito

Cone circular reto e o solido de revolucao e obtido pela rotacaocompleta de um triangulo retangulo em torno de um dos seuscatetos.

Classificacao

Cone Reto

Possui o eixo perpendicular a base.

Page 280: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Matematica C – Aula 20 271

e

h

RO

V

g

Considere a figura acima, tem-se:R: e o raio do cone;h: e a altura do cone;g: e a geratriz;V : e o vertice;O: centro do cırculo (base).

Relacoes, Areas e Volumes

g2 = R2 + h2

Ab = πR2

Al = 2πRg

At = Ab + Al = πR(R + 2g)

V =Abh

3=

πR2h

3

Cone Oblıquo

Possui o eixo oblıquo em relacao ao plano da base.

α

V

g

h

Esfera

Definicao:

E o conjunto dos pontos do espaco cuja distancia ao centro Osao menores ou iguais ao raio R.

e

R

Superfıcie Esferica

E o conjunto dos pontos do espaco cuja distancia ao cento Oe igual ao raio R.

Area e Volume

At = 4πR2

V =4πR3

3

Pense um Pouco!

• Imagine uma esfera de massinha de modelar de raio R.Quantas esferas menores de raio R/2 poderemos fazer,com o mesmo volume total de massinha?

Exercıcios de Aplicacao

1. (PUC) Com uma lata de tinta e possıvel pintar 50 m2 deparede. Para pintar as paredes de uma sala (forma de prisma)de 8 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura,gasta-se uma lata e mais uma parte da segunda lata. Qual apercentagem de tinta que resta na segunda lata?a) 22%b) 30%c) 48%d) 56%e) 72%

2. Um triangulo retangulo com hipotenusa de 13 cm e comum cateto de 5 cm e base de um prisma reto de 8 cm de altura.Calcular a area total do prisma.a) 150 cm2

b) 270 cm2

c) 240 cm2

d) 300 cm2

e) n. d. a.

Page 281: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

272 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

3. Calcule o volume de uma caixa d’agua em forma de prismareto, de aresta lateral de 6 m, sabendo que a base e um losangocujas medidas das diagonais sao 7 m e 10 m.a) 190.000 litrosb) 19.000 litrosc) 210.000 litrosd) 21.000 litrose) n. d. a.

Exercıcios Complementares

4. (MACK-SP) Um prisma regular triangular tem todas asarestas congruentes e 48 m2 de area lateral. Seu volume vale:a) 16 m3

b) 32 m3

c) 64 m3

d) 4√

3 m3

e) 16√

3 m3

5. Qual o volume de uma esfera cuja area de sua superfıciemede 36 cm2?a) 25 cm3

b) 16 cm3

c) 36 cm3

d) 49 cm3

e) n. d. a.

6. Qual deve se a altura de um cone circular reto, para quetenha seu volume igual ao de uma esfera de mesmo raio docone e igual a 5 cm?a) 8 cmb) 12 cmc) 15 cmd) 21 cme) n. d. a.

7. Qual o volume de uma piramide quadrangular reta cujaarea da base mede 100 cm2 e possui altura igual ao triplo daaresta da base.a) 750 cm3

b) 1000 cm3

c) 1250 cm3

d) 1500 cm3

e) n. d. a.

Page 282: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Lıngua Portuguesa

Lıngua Portuguesa 01

Variantes Linguısticas

Mesmo intuitivamente, todos sabemos que uma lıngua, comoa portuguesa, nao e falada do mesmo modo por todos os seusfalantes. Ao contrario, a lıngua varia conforme varie a classesocial do falante, o local onde ele nasceu ou reside, a situacaoem que ele deve falar ou escrever, etc. A descricao de umidioma nao pode desconsiderar esse tipo de fenomeno e deve,portanto, englobar a nocao de variantes linguısticas. Basica-mente, uma lıngua sofre variacoes de acordo com cinco eixos.Uma variacao inicial diz respeito as modalidades escrita e fa-lada. Normalmente, parece pedante falar como se escreve, einfantil escrever como se fala. Em segundo lugar, existe avariacao regional, que define, por exemplo, o sotaque e as ex-pressoes tıpicas de cada lugar do paıs. Bastante importante e avariacao social, que determina duas normas basicas: a normaculta, transmitida pela tradicao escolar, e a norma popular.Existe tambem a variacao de epoca. Como se sabe, a lınguasofre transformacoes com o tempo. As pessoas, inclusive, fa-lam de modo diferente de acordo com a idade. Por fim, ha oeixo da variacao de estilo, que define, por exemplo, o modoformal e o modo informal de falar. Note que a variacao for-mal/informal nao e identica a variacao culto/popular. Umadvogado, por exemplo, fala de modo formal com o juiz numtribunal e de modo informal com a famılia em casa, mas serasempre um falante culto.

Resumindo, as variantes linguısticas sao:

• Modalidade escrita e modalidade falada;

• Variantes Regionais;

• Variantes Sociais (norma culta e normal popular);

• Variantes de epoca;

• Variantes de estilo (formal e informal).

Pense um Pouco!

O conhecido anuncio publicitario a seguir, publicado em revis-tas de informacao, faz uso intencional de variante coloquial dalıngua portuguesa. Que marcas, presentes no texto do anunciopoderiam caracterizar essa variante?

Exercıcios de Aplicacao

1. (UFV-MG) Suponha um aluno se dirigindo ao colega declasse nestes ternos: ”Venho respeitosamente solicitar-lhe sedigne emprestar-me o livro”. A atitude desse aluno se asseme-lha a atitude do indivıduo que:a) comparece ao baile de gala trajando ”smoking”;b) vai a audiencia com uma autoridade de ”short”e camiseta;c) vai a praia de terno e gravata;

273

Page 283: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

274 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

d) poe terno e gravata para ir falar na Camara dos Deputados;e) vai ao Maracana de chinelo e bermuda.

INSTRUCAO. Texto para as duas questoes seguintes. Observeuma pessoa contando para outra o procedimento para usar anova impressora:

”Primeiro a gente pega as folhas e poe aqui, nessa parte debaixo. Daı, a gente liga nesse botaozinho e da o comando nocomputador. Daı a gente fica esperando um pouco e logo elaimprime. E super facil”.

2. (UNITAU - SP) Quanto ao uso de ”a gente”, responda:a) Esta adequado tanto na lıngua oral informal quanto nalıngua escrita formal porque refere-se a ”todos nos”.b) Esta adequado na lıngua oral informal por ser a formausual de se dizer ”nos”, mas esta inadequado na lıngua escritaformal, a qual privilegia o uso de ”nos”.c) E o mais adequado na lıngua oral informal e na lıngua es-crita formal porque refere-se a ”nos”.d) E o mais adequado na lıngua oral informal e na lıngua es-crita formal por ser uma forma de dizer ”nos”.e) Esta adequado na lıngua oral formal, mas nao na lınguaescrita formal por querer dizer ”nos”.

3. (UNITAU-SP) As palavras de ligacao ”Primeiro... Daı...Daı...”, comuns na lıngua oral informal, podem ser substituıdasa contento na lıngua escrita formal pelos seguintes marcadores,respectivamente:a) Primeiro... Logo... Portanto...b) A princıpio...Conclusivamente... Portanto...c) Primeiramente... Segundamente... Conclusivamente...d) Primeiramente... A seguir... Finalmente...e) A princıpio... Finalmente... Logo...

Exercıcios Complementares

4. (ENEM) O texto mostra uma situacao em que a linguagemusada e inadequada ao contexto. Considerando as diferencasentre lıngua oral e lıngua escrita, assinale a opcao que repre-senta tambem o uso da linguagem inadequada ao contexto:a) ”O carro bateu e capoto, mas num deu pra ve direito.- umpedestre que assistiu ao acidente comenta com o outro que vaipassando.b) ”E aı, o meu! Como vai essa forca?- um jovem que fala paraum amigo.c) ”So um instante, por favor. Eu gostaria de fazer uma ob-servacao.- alguem comenta em uma reuniao de trabalho.d) ”Venho manifestar meu interesse em candidatar-me aocargo de Secretaria Executiva desta conceituada empresa.-alguem que escreve uma carta candidatando-se a um emprego.e) ”Porque se a gente nao resolve as coisas como tem que ser,a gente corre o risco de termos, num futuro proximo, muitopouca comida nos lares brasileiros.- um professor universitarioem um congresso internacional.

5. (UFU-MG) Assinale a unica alternativa em que nao ocorreo emprego de expressoes coloquiais:a) – Ele pode decidir... - disse Pe-de-Vento. Tinha esperancasde ser escolhido por Quincas para herdar Quiteria, seu unicobem. (J. Amado)b) – Calma, companheiro. Nao tava querendo lhe lesar. (J.Amado)c) – Boa tarde, damas e cavalheiros. A gente queria ver ele...

(J. Amado)d) – Apesar dos pesares, e meu pai. Nao quero que seja en-terrado como um vagabundo. Se fosse seu pai, Leonardo, vocegostava? (J. Amado)e) – Fala tambem, desgracado... -Negro Pastinha, sem se le-vantar, espichava o poderoso braco, sacudia o recem-chegado,um brilho mau nos olhos. - Ou tu acha que ele era ruim? (J.Amado)

6. (UEL-PR) A frase que contem uma marca de oralidade e:a) O sertanejo tem que falar cultura.b) Essa cultura e muito diferente da nossa.c) E um processo que nao esta fundado na palavra escrita.d) Mas, como sou sertanejo, e filho de uma famılia metadecomunista metade reacionaria, ne?e) ... talvez eu possa fazer algumas armadilhas para que vocesme facam perguntas...

Lıngua Portuguesa 02

Acentuacao Grafica

Princıpios da Acentuacao Grafica

Na lıngua portuguesa, segundo o criterio de tonicidade, ou seja,a posicao da sılaba tonica como sendo a ultima, a penultima oua ante-penultima, as palavras sao classificadas como oxıtonas,paroxıtonas ou proparoxıtonas, respectivamente. Quando a pa-lavra levar acento grafico, este caira sempre sobre a vogal dasılaba tonica.

Proparoxıtonas

Todas as proparoxıtonas sao acentuadas.

TÔ NI− CA−

é uma palavra proparoxítona

Exemplos

Vıtima, medico, animo, titanico, rapido, ridıculo, modulo, ca-tastrofico, hiperbolico.

Paroxıtonas

Acentuam-se as paroxıtonas terminadas em:

• r: carater, revolver, cadaver

• n: hıfen, polen, proton, neutron

• l: facil, reptil, mıssil, fossil

• x: torax, latex

Page 284: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Lıngua Portuguesa – 02 275

• i ou is: taxi, taxis, juri

• u ou us: anus, bonus, onus

• um ou uns: albuns, forum

• ps: bıceps, forceps

• a ou as: ıma, orfa

• - oo ou oos: voos, enjoo, entoo

Acentuam-se tambem as paroxıtonas terminadas em ditongooral ou nasal, seguido ou nao de s. (orfao, orgaos, colegio,ferias).

Nao se acentuam as paroxıtonas terminadas pelas vogais a, eou o, e pela consoante nasal m. (cantam, sorriam, batiam).Como particularidade, nao se acentuam as paroxıtonas termi-nadas em ns, o que faz com que certos termos se acentuem nosingular, mas nao no plural. (hıfen, hifens, polen, polens).

Oxıtonas

Acentuam-se as oxıtonas terminadas em:

• a ou as: sofas, Para, Corumba e futuros, como amara emorreras.

• e ou es: rape, cafes, ate, voces.

• o ou os: avo, avo, cipo, gigolos.

• em ou ens: tambem, parabens.

Nao se acentuam, portanto, oxıtonas terminadas com as vogaisi(s) e u(s), de modo que, apesar de bastante frequentes, nao saoadequados escritos em que se leia Pacaembu, Itu ou Bariguı,para as palavras que se devem grafar Pacaembu, Itu e Barigui.

Ressalte-se tambem que as palavras terminadas em z nao estaocontempladas pelas regras por serem sempre oxıtonas: capaz,algoz.

Monossılabos Tonicos

Recebem acento os monossılabos tonicos terminados em a, e,o, seguidos ou nao de s.

Exemplos

1. a(s): pa, ma, la, tras;

2. e(s): fe, pes, ve, les;

3. o(s): lo, nos, vos, pos.

Pense um Pouco!

Diante da visao de um predio com uma placa indicando SA-PATARIA PAPALIA, um jovem deparou com a duvida: comopronunciar a palavra PAPALIA?

Levado o problema a sua sala de aula, a discussao girou emtorno da utilidade de conhecer as regras de acentuacao e, espe-cialmente, do auxılio que elas podem dar a correta pronunciade palavras. Apos discutirem pronuncia, regras de acentuacaoe escrita, tres alunos apresentaram as seguintes conclusoes arespeito da palavra PAPALIA:

I. Se a sılaba tonica for o segundo PA, a escrita deveria serPAPALIA, pois a palavra seria paroxıtona terminada em di-tongo crescente.

II. Se a sılaba tonica for LI, a escrita deveria ser PAPALIA,pois nao haveria razao para o uso de acento grafico.

Exercıcios de Aplicacao

1. Acentue, se necessario, os vocabulos destacados nas frasesa seguir:a) Nao posso atende-lo no momento, mas minha secretaria,dona Vanessa, agendara uma reuniao para a proxima semana.

b) O aluno Bruno de Alencar deve comparecer imediatamentea secretaria da escola.c) Luıs, que agora retornava a casa paterna, com 30 anosrecem-completados, dela partira aos vinte anos.d) Quando o sol raiar, Luıs partira novamente.e) Acho inconcebıvel que alguns pais nao amem os filhos.f) E que o arroz nao falte alem do toleravel. (Jose Saramago,Memorial do convento)g) O voo das aves sempre nos causa encantamento.h) Hoje sao muito mais raros os partos feitos com forceps.i) Acho desagradavel rever velhos albuns de familia.

2. (CESGRANRIO-RJ) Indique o item no qual os vocabulosobedecem a mesma regra de acentuacao da palavra nodoa:a) ansia, ambar, imundıcie;b) mıope, ima, enjoo;c) agua, tenue, superfluo;d) ımpar, mıngua, languida;e) viuvo, argenteo, sordido.

3. O trecho a seguir foi copiado sem acentuacao. Leia-o aten-tamente e acentue os vocabulos que assim o exigirem:

”Ainda hoje existe no saguao do paco imperial, que no tempoem que se passou esta nossa historia se chamava Palacio del-rei, uma saleta ou quarto que os gaiatos e o povo com elesdenominavam o Patio dos Bichos. Este apelido lhe fora dadoem consequencia do fim para que ele entao servia: passavamali todos os dias do ano tres ou quatro oficiais superiores, ve-lhos, incapazes para a guerra e inuteis na paz, que o rei tinhaa seu servico nao sabendo se com mais alguma vantagem desoldo, ou se so com mais a honra de serem empregados noreal servico.”(Manuel Antonio de Almeida, Memorias de umsargento de milıcias).

Exercıcios Complementares

4. (UFRGS-RS) A grafia dos nomes proprios nem sempre se-gue as regras ortograficas da lıngua portuguesa. O nome Lıvia,por exemplo, de acordo com a pronuncia com que ocorre usu-almente, deve receber acento grafico. A regra que determinao uso do acento neste caso e a mesma responsavel pelo acentografico em:a) episodios;b) aı;c) reune;d) estreia;e) nos.

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276 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

5. O trecho a seguir foi copiado sem acentuacao. Leia-o aten-tamente e acentue os vocabulos que assim o exigirem:

”O documento acaba sendo o eco de uma polemica anterior acupula propriamente dita, surgida nas tres reunioes prepara-torias. Apos a ultima delas, em janeiro, um grupo de ONGs(Organizacoes Nao-Governamentais) lancou documento con-denando o texto da declaracao final da Cupula do Homem,ja entao em versao praticamente definitiva. Diziam as ONGs:”A confianca exagerada colocada pelos documentos em forcasde mercado indefinidas e nao reguladas, como base para a or-ganizacao das economias nacionais, contradiz nossa opiniao,segundo a qual tais forcas nao sao solucao, mas fatores quecontribuem para as crises sociais do mundo atual”. Uma dasONGs signatarias e o Ibase, o instituto brasileiro dirigido pelosociologo Herbert de Souza, o Betinho, agora membro do co-mite do Programa Comunidade Solidaria, do governo FernandoHenrique Cardoso. As ONGs nao estao sozinhas na critica aomercado. No seu discurso na inauguracao da reuniao, o pre-mie dinamarques Poul Nyrup Rasmussen (social-democrata)foi claro: ”Nos aprendemos que o progresso social nao se re-aliza simplesmente por meio das forcas de mercado”. Ate opresidente da cupula, Juan Somavia, embaixador chileno nasNacoes Unidas, expressa duvidas nao sobre o mercado pro-priamente mas sobre a austeridade fiscal, outro preceito zelo-samente guardado pelo FMI. ”Equilibrar o orcamento e umaboa coisa, mas por que deve-se alcancar um equilıbrio macroe-conomico baseado em desequilibrios nas vidas das pessoas?”,pergunta Somavia. (Clovis Rossi, Folha de S. Paulo, AgenciaFolha, 07 mar. 1995.)

Lıngua Portuguesa 03

Concordancia Nominal

REGRA GERAL

Os termos que dependem do nome (substantivo) com ele con-cordam em genero e numero.

Exemplos

Os nossos medicos descobriram a cura da doenca.

Passamos bons momentos juntos.

CASOS ESPECIAIS

1. Adjetivo = Adjunto Adnominal em relacao a dois ou maissubstantivos:

• De mesmo genero: adjetivo no singular ou plural.

A vontade e a inteligencia humana(s). As conquistase as descobertas portuguesas.

• De generos diferentes: adjetivo concorda com o maisproximo ou fica no masculino plural.

O carro e a bicicleta envenenada(os).O trabalho e as realizacoes conseguidas(os).

Observacao: Adjetivo anteposto concorda com omais proximo.

Observam-se boa disciplina, estudo e trabalho.

2. Um substantivo com dois ou mais adjetivos, temos trespossibilidades:

Estudamos a civilizacao grega e romana.Estudamos a civilizacao grega e a romana.Estudamos as civilizacoes grega e romana.

3. Mesmo, proprio, so, anexo, incluso, junto, bastante, ne-nhum, leso, meio e particıpios verbais: concordam emgenero e numero com o termo a que se referem.

Enviamos anexas as informacoes solicitadas.Compraram duas meias entradas para o espetaculo.Resolvemos bastantes problemas difıceis.

Observacao: Meio e bastante como adverbios ficam in-variaveis.

Ela estava meio embriagada pelo sucesso.Suas ideias eram bastante interessantes.

4. Um e outro, nem um nem outro: substantivo no singular+ adjetivo no plural.

Houve um e outro homem escolhidos para o cargo.Nem um nem outro crime praticados foram apurados.

5. O(s) mais, menos, melhor(es) ... possıvel(eis), pior(es),maior(es) e menor(es):

Conheci mulheres o mais encantadoras possıvel.Havia mestres os mais inteligentes possıveis.

6. Adjetivo = Predicativo do Sujeito

• Sujeito composto posposto: adjetivo concorda com omais proximo ou fica no masculino plural.

Estava morto o amor e a compreensao humana.Estavam mortos o amor e a compreensao humanos.

• Sujeito nao determinado: adjetivo fica invariavel.

E proibido entrada de estranhos.Cerveja e bom para os rins..

• Sujeito determinado: adjetivo concorda em genero enumero.

E proibida a entrada de estranhos.Esta cerveja e boa para os rins.

7. Adjetivo = Predicativo do Objeto

• Objeto simples: adjetivo concorda em genero enumero.

Encontrei tristonha a mulher abandonada.

• Objeto composto: adjetivo fica no masculino plural.

Encontrei tristonhos a mulher e o jovem abandona-dos.

8. Dois ou mais numerais + substantivo no singular ou plu-ral.

A primeira, a segunda e a ultima aula(s).

Page 286: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Lıngua Portuguesa – 04 277

Pense um Pouco!

A placa a seguir apresenta erro de concordancia entre o subs-tantivo e o adjetivo em funcao do adjunto adnominal?

Exercıcios de Aplicacao

1. Assinale a opcao em que o emprego do vocabulo meio naoobedece as regras do portugues culto:a) Eles estavam meio confusos, agiram de acordo com os co-mandos.b) O soldado foi punido porque se apresentou meio bebado aogeneral.c) As mocas estavam meias desatentas a explicacao do pro-fessor, daı que ele as repreendesse.d) Nao me venha com meias palavras: exijo que voce se ex-presse com objetividade.e) Era cedo, mas a sala ja se encontrava meio escura.

2. (UEL-PR) Ao esforco e a seriedade .......... ao estudo e que........ os louvores que ele tem recebido ultimamente.a) consagrado - devem ser atribuıdos;b) consagrada - deve ser atribuıdo;c) consagrados - devem ser atribuıdos;d) consagradas - deve ser atribuıdo;e) consagrados - deve ser atribuıdo.

3. (UEPG-PR)Acho que a menina ficara ........ aborrecidaquando ........ que em sua caixa ha ........ balas.a) meio - vir - menas;b) meia - vir - menos;c) meia - ver - menas;d) meia - ver - menos;e) meio - vir - menos.

Exercıcios Complementares

4. (UEL-PR) Nos debates que .......... durante o torneio, al-guns dos jovens pareciam ............ desanimadosa) houve - meios;b) houve - meio;c) houveram - meio;d) houvem - meio;e) houve - meios.

5. (UEL-PR)-........ que ........ as propostas, nao ..........duvidas a respeito das boas intencoes do diretor.a) Qualquer - fossem - restariam;b) Quaisquer - fosse - restaria;c) Quaisquer - fossem - restaria;d) Qualquer - fosse - restariam;e) Quaisquer - fossem - restariam.

6. (UEL-PR) Esta adequadamente flexionada a forma desta-cada na frase:a) Ele nao deixou satisfeito nem a crıtica, nem o publico.b) Todos achamos difıceis, nas provas de Fısica e Matematica,a resolucao das questoes finais.c) O sofa e a banqueta ganharam outro aspecto depois de con-sertado.d) A culpa deles aparecia como que inscritas em suas feicoes,denunciando-os.e) Ele considerou inuteis, na atual circunstancia, as medidasque ela sugeria.

7. (UEL-PR) Que ...... das lembrancas felizes se entre elas........ lagrimas deslizando ........ pela face amada?a) seria - houvessem - copiosas;b) seriam - houvessem - copiosas;c) seria - houvesse - copiosa;d) seriam - houvessem - copiosa;e) seria - houvesse - copiosas.

Lıngua Portuguesa 04

Concordancia Verbal

REGRA GERAL

Verbo concorda com o sujeito em numero e pessoa.

Exemplos

O tecnico escalou o time.Os tecnicos escalaram os times.

CASOS ESPECIAIS

1. Sujeito Composto

a) Anteposto: verbo no plural.

O tecnico e os jogadores chegaram ontem a Sao Paulo.

b) Posposto: verbo concorda com o mais proximo ou ficano plural.

Chegou(aram) ontem o tecnico e os jogadores.

c) De pessoas diferentes: verbo no plural da pessoa pre-dominante.

Eu, voce e os alunos iremos ao museu.

d) Com nucleos em correlacao: verbo concorda com o maisproximo ou fica no plural.

O cientista assim como o medico pesquisa(m) a causa domal.

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278 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

e) Ligado por COM: verbo concorda com antecedente docom ou vai para o plural.

O professor, com os alunos, resolveu o problema.O maestro com a orquestra executaram a peca classica.

f) Ligado por NEM: verbo no plural e, as vezes, no singu-lar.

Nem Paulo, nem Maria conquistaram a simpatia de Ca-tifunda.

g) Ligado por OU: verbo no singular ou plural dependendodo valor do OU.

Valdir ou Leao sera o goleiro titular.Joao ou Maria resolveram o problema.

2. Sujeito constituıdo por

a) Um e outro, nem um nem outro: verbo no singular ouplural.

Um e outro medico descobriu(ram) a cura do mal.Nem um nem outro problema propostos foi(ram) resolvido.

b) Um ou outro: verbo no singular.

Um ou outro fara o trabalho.

c) Coletivo geral: verbo no singular.

Mais de um jogador foi elogiado pela cronica esportiva.

d) Expressoes que indicam quantidade aproximada se-guida de numeral: verbo concorda com o substantivo.

Cerca de dez jogadores participaram da briga.

f) Pronomes (indefinidos ou interrogativos) seguidos depronomes: verbo no singular ou plural.

Qual de nos sera escolhido?

g) Palavra que: verbo concorda com o antecedente.

Hoje sou eu que faco o discurso.

h) Palavra quem: verbo na terceira pessoa do singular.

Amanha serao eles quem resolvera o problema.

i) Um dos que: verbo no singular ou plural.

Foi um dos alunos desta classe que resolveu o problema.

j) Palavras sinonimas: verbo concorda com o maisproximo ou fica no plural.

A Etica ou a Moral preocupa-se com o comportamentohumano.

3. Verbo acompanhado da palavra se a) se = pronome apas-sivador: verbo concorda com sujeito paciente.

Viam-se ao longe as primeiras casas.Ofereceu-se um grande premio ao vencedor da corrida.

b) se = ındice de indeterminacao do sujeito: verbo semprena terceira pessoa do singular.

Necessitava-se naqueles dias de novas ideias.

4. Verbos Impessoais: Verbos que indicam fenomenos da na-tureza, verbo haver indicando existencia ou tempo, verbosfazer, ir indicando tempo: esses verbos ficam sempre naterceira pessoa do singular.

Durante o inverno, nevava muito.Ainda havia muitos candidatos.Ontem fez dez anos que ela se foi.

5. Verbo SER

a) Indicando tempo, distancia: concorda com o predica-tivo.

Hoje e dia 3 de outubro, pois ontem foram 2 e amanhaserao 4.

b) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com oque prevalecer.

Vinte milhoes era muito por aquela casa.

c) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com oque prevalecer.

O homem sempre foi suas ideias.Santo Antonio era as esperancas da solteirona.A Patria nao e ninguem, a Patria somos nos.

d) DAR (bater e soar) + hora(s): concordam com o su-jeito.

Deu duas horas o relogio do alto da montanha.

e) Verbo parecer + infinitivo: flexiona-se um dos dois.

Os cientistas pareciam procurar grandes segredos.Os cientistas parecia procurarem grandes segredos.

6. Sujeito = nome proprio plural:

a) Com artigo no singular ou sem artigo: verbo no singu-lar.

O Amazonas desagua no Atlantico.

b) Com artigo no plural: verbo no plural.

Os Estados Unidos enviaram tropas a zona de conflito.

Pense um Pouco!

EDUCACAO: Governo diz que houve erro de interpretacaopor causa da inclusao da palavra ”semestralidade”Reajuste deescolas se mantem anuais.

O tıtulo da notıcia acima esta inadequado a norma culta daescrita do portugues. Por que?

Page 288: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Lıngua Portuguesa – 05 279

Exercıcios de Aplicacao

1. (UEL-PR) .......... as providencias necessarias para o sane-amento da cidade.a) Havera de ser tomado;b) Haverao de ser tomadas;c) Havera de serem tomadas;d) Haverao de serem tomadas;e) Haverao de ser tomado.

2. (UEL-PR) Ate ontem, ja .... duas mil pessoas desabrigadasem todo o estado, e muitas mais ... se ... as chuvas torrenciais.a) existiam - havera - continuar;b) existiam - haverao - continuarem;c) existia - havera - continuar;d) existia - haverao - continuarem;e) existiam - havera - continuarem.

3. (PUC-SP) Indique a alternativa em que nao ha con-cordancia inadequada a norma culta:a) Fazia dois anos que nao aconteciam desastres desse tipo.b) Faz alguns anos que nao acontece desastres desse tipo.c) Deve fazer um ano que aconteceu varios desastres aereos.d) Fazia algum tempo que nao acontecia desastres desse tipo.e) Devem fazer dois anos que aconteceu um desastre desse tipo.

Exercıcios Complementares

4. (PUC-SP) Indique a alternativa em que nao ha con-cordancia inadequada a norma culta:a) Devem haver poetas que pensam no desastre aereo comosendo o arrebol.b) Deve existir poetas que pensam no desastre aereo comosendo o arrebol.c) Pode existir poetas que pensam no desastre aereo comosendo o arrebol.d) Pode haver poetas que pensam no desastre aereo comosendo o arrebol.e) Podem haver poetas que pensam no desastre aereo comosendo o arrebol.

5. (UEL-PR) Assinale a alternativa que preenche adequada-mente as lacunas: ...... trabalhadores ociosos porque ...... aproducao e a exportacao, e ...... funcionarios treinados em se-tores nos quais a empresa possa crescer.a) Existem - caıram - faltam;b) Existem - caiu - falta;c) Existe - caiu - faltam;d) Existem - caıram - falta;e) Existe - caıram - faltam.

Lıngua Portuguesa 05

Colocacao Pronominal

Proclise

O pronome e colocado antes do verbo. E considerada obri-gatoria em, basicamente, duas situacoes:

a) Tipos de oracoes:

– Oracoes interrogativas, quando iniciadas por palavra ou ex-pressao interrogativa (”quem”, ”o que”, ”como”, ”onde”, ”por-que”, etc.):

Quem me dara o beijo que cobico?

– Oracoes exclamativas:

Deus lhe fale n’alma!

b) Palavras ”atrativas”: sao aquelas que, quando aparecemantes do verbo, obrigam a proclise. Sao as seguintes: Palavrasnegativas (”nao”, ”nem”, ”nada”, ”nenhum”, ”ninguem”, ”ja-mais”, etc.):

Canudos nao se rendeu. (Euclides da Cunha)

Conjuncoes subordinativas e pronomes relativos (”que”,”como”, ”onde”, ”se”, ”cujo”, ”quando”, ”embora”, ”porque”,”enquanto”, etc.):

Trabalho para homem que me respeite. (Jose Lins do Rego)

Adverbios ”agora”, ”ainda”, ”amanha”, ”antes”, ”breve”, ”de-pois”, ”hoje”, ”ja”, ”jamais”, ”logo”, ”nunca”, ”ontem”, ”sem-pre”, ”bem”, ”mal”, ”demais”, ”muito”, ”pouco”, ”quase”,”assim”, ”melhor”, ”pior”, alem das palavras com sufixo -menterapidamente”, ”certamente”, etc.:

Mal se movia, com medo de espantar a propria atencao. (Cla-rice Lispector)Se souberem que o autor sou eu, naturalmente me chamaraopotoqueiro. (Graciliano Ramos)

Pronomes indefinidos ”algum”, ”alguem”, ”todo”, ”tudo”,”certo”, ”outro”, ’varios”, ”qualquer”, etc.:

E tudo se passa como eles querem. (Pero Vaz de Caminha)

Gerundios precedidos da preposicao “em”:

Em se tratando de futebol, o Brasil e um paıs de primeiromundo.

Mesoclise

O pronome e colocado no meio do verbo. So sera empregadano futuro do presente e no futuro do preterito, desde que naohaja palavra que exija a proclise:

As geracoes futuras perguntar-se-ao como foi possıvel perdurarum governo de generais durante 21 anos. (Imprensa)Repetir-se-a, assim, o que neste ano ja aconteceu com tantosoutros feriados. (Visao)

Agora veja:

As geracoes futuras ainda se perguntarao como foi possıvel...Nao se repetira, assim, o que neste ano...

(As palavras “ainda”e “nao” exigem a proclise)

Enclise

O pronome e colocado depois do verbo. Emprega-se, geral-mente, a enclise:

a) Com verbos no inıcio do perıodo:

Sabe-se que a temperatura global esta em media cerca de meiograu Celsius mais alta do que ha 100 anos. (Veja)

b) Com verbos no modo imperativo afirmativo:

- Levante-se daı, senhor Belchior... (Bernardo Guimaraes)

c) Com verbos no gerundio, desde que nao venham precedidosda preposicao em:

Para tratar o enfermo psıquico, nao basta ter pena dele,

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280 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

consolando-o e ouvindo-o com interesse. (Folha de S.Paulo)

d) Com verbos no infinitivo impessoal:

A poesia esta na cidade, no campo, no mar. O problema edescobri-la, surpreende-la, flagra-la. (Ferreira Gullar)

Pense um Pouco!

Pronominais

De-me um cigarroDiz a gramaticaDo professor e do alunoE do mulato sabidoMas o bom negro e o bom brancoDa Nacao BrasileiraDizem todos os diasDeixa disso camaradaMe da um cigarro

Oswald de Andrade

Figura 4.1: Retrato a oleo de Oswald de Andrade, por Tarcilado Amaral.

Exercıcios de Aplicacao

1. Preencha as lacunas das frases a seguir com os pronomesentre parenteses, de acordo com a norma culta da lıngua por-tuguesa:a) (se) “Ninguem ... arrepiava .., ninguem manobrava paraficar.”(Jose Lins do Rego)b) (se) “Nao .. ouvia .. um barulho.”(Joao Antonio)

c) (lhe) “A espacos, quando o aborrecimento .. vinha .., saıa.”d) (se)”.. Lembrou .. entao do sangue do prea, sujando o verdedo capim.”(Jose Lins do Rego)e) (lhe) “Que .. importava .. a riqueza do velho Jose Pau-lino?”(Jose Lins do Rego)f) (se) “Depois, .. escutou .. um tiro seco, no silencio.”(JoseLins do Rego)g) (se)”.. Levanta .. e passa os bracos no pescoco deGuma.”(Jorge Amado)h) (se) “E que porcarias .. vendem .. por aı!”(Jose Lins doRego)i) (me) Nao conheco ao certo o local onde .. levaram .. nanoite passada.j) (se) “Os demais .. babando .., sem desgrudar o olhi-nho.”(Dalton Trevisan)

2. (UDESC-SC) Assinale com V a colocacao verdadeira e comF a colocacao falsa dos pronomes oblıquos atonos nos perıodosabaixo:

( ) Ele tem dado-se muito bem com esse nosso clima.( ) Talvez a luz contınua e ofuscante tenha-me afetado avisao.( ) Ninguem retirara-se antes do encerramento do conclave.( ) Tudo me parecia bem ate que me alertaram do perigo quecorria.( ) Em se tratando de artes, preferimos sempre a divinamusica.( ) Dir-se-ia que fatos dessa natureza nao mais ocorreriam.

A sequencia correta de letras, de cima para baixo, e:a) F, F, V, F, V, Vb) V, V, F, V, F, Fc) F, V, F, V, V, Vd) F, V, V, F, V, Ve) V, F, F, V, F, F

3. (UFSC) Assinale as alternativas gramaticalmente correiase em seguida faca a adicao dos valores a elas atribuıdos: 01)Vi ontem nosso mais jovem poeta ilheu. 02) Refiro-me aquelejovem poeta cacadorense. 04) Ele nao queixa-se nunca de seutrabalho. 08) Corri para ajuda-lo, quando o vi a porta. 16)Pouco conhece-se a respeito de Letıcia. 32) Jamais te diriatamanha mentira!

Exercıcios Complementares

4. (UEL-PR) Logo que voce ......, e claro que eu ........ damelhor maneira possıvel, ainda que isso ........ o servico.a) me chamar; atende-lo-ei; me atraseb) chamar-me; atende-lo-ei; atrase-mec) me chamar; o atenderei; me atrased) me chamar; o atenderei; atrase-mee) chamar-me; atenderei-o; atrase-me

5. (PUC-PR) Observe a colocacao dos pronomes nas frasesabaixo:

1. Ela pode auxiliar-me.2. Ela pode-me auxiliar.3. Ela me pode auxiliar.4. Ela veio ver-me.5. Ela nao quis ve-lo.

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Lıngua Portuguesa – 06 281

Dos itens acima expostos estao corretos:a) 1, 2 e 5b) 3 e 4c) 2 e 4d) 4 e 5e) todos estao certos

6. (PUC-PR) Assinale a alternativa em que o pronome LHEnao pode ser colocado depois do verbo CONTAR:a) Desejo-lhe contar minha versao.b) Prometeu nao lhe contara verdade.c) Nao podemos lhe contar tudo.d) Comecou a lhe contar o ocorrido.e) Tenho de lhe contar esse episodio.

Lıngua Portuguesa 06

Crase

Crase e fusao de duas vogais identicas. Representa-se grafica-mente a crase pelo acento grave.

A crase pode ser representada nos casos:

a) A preposicao a e os artigos a e as:

Ha limites a tolerancia humana.

b) A preposicao a e os pronomes demonstrativos aquele(s),aquela(s) e aquilo.

Permaneci indiferente aquele barulho.

c) A preposicao a e aos pronomes demonstrativos a e as:

Sua opiniao e semelhante a de Rogerio.

Outros casos

1. Diante de palavra feminina que admita o artigo a e outrapalavra que exija a preposicao a:

Debate aponta risco a liberdade de expressao.

2. Nas locucoes femininas:

• adverbiais:

Os deputados estao rindo a toa.

• prepositivas:

Capitao America e Homem Aranha estao a beira dafalencia.

• conjuntivas:

Os alimentos estocados foram vendidos a medida quecrescia o consumo.

Casos em que a crase NAO ocorre

1. Diante de palavras masculinas, as quais nao admitem oartigo a:

O passeio foi feito a cavalo.

2. Diante de verbos:

As criancas da favela sao obrigadas a pedir esmolas.

3. Diante de nome de cidade:

Houve protestos na chegada do presidente a Recife.

Observacao: Se o nome da cidade vier acompanhado deum adjetivo ocorre a crase:

Vou frequentemente a antiga Ouro Preto.

4. Diante de pronomes que nao admitem artigo.

• pronomes pessoais:

Nao dirigiu a palavra a nos.

• pronomes de tratamento:

Mandou dizer a Vossa Senhoria que nao viria ao en-contro marcado.

Observacao: Emprega-se geralmente o acento indi-cados da crase diante dos pronomes senhora e senho-rita.

• pronomes demonstrativos:

E hora de dar um basta a essa barbarie.

• pronomes indefinidos:

Nao demonstravam seu sofrimento a ninguem.

• pronomes relativos:

Aquela e a senhora a quem apresentamos nossas con-dolencias.

5. Diante da palavra casa quando nao vier determinada poradjunto adnominal:

Quando cheguei a casa ja tinham saıdo.

Observacao: Quando a palavra casa vier determinadaocorre a crase.

Chegamos a casa da cunhada.

6. Diante da palavra terra, quando esta designar terra firme:

Os marinheiros chegaram a terra.

7. Diante de palavra no plural se o a estiver no singular:

O sucesso nao deve conduzir a conclusoes muito otimistas.

8. Nas locucoes formadas por palavras repetidas:

Ficamos face a face com o inimigo.

9. Diante do artigo indefinido uma:

Os alunos nao devem submeter-se a uma avaliacao comoesta.

10. Diante da expressao Nossa Senhora e de nomes de santos:

Ela faz preces diarias a Nossa Senhora Aparecida.

Page 291: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

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Pense um Pouco!

Ao entrar bata a porta.

Qual o efeito que esta frase pode causar sem o acento indicadorda crase?

Exercıcios de Aplicacao

1. Nas frases a seguir, assinale o acento indicativo de craseonde for necessario:a) ”Madalena foi a janela e esteve algum tempo debrucada,olhando a rua.”(Graciliano Ramos, Sao Bernardo)b) No inıcio do seculo, muitos jogadores aluavam apenas poramor a camisa.c) Os bons treinadores de futebol costumam ser inflexıveisquanto a disciplina de seus jogadores.d) O Departamento de Transito recomenda cautela ao moto-rista que vai descer a serra hoje para assistir a virada do anono litoral.e) ”Entao eu perguntava a mim mesmo se alguma daquelas naoteria amado alguem que jazesse agora no cemiterio.”(Machadode Assis, Dom Casmurro)f) ”O padre saiu para o patio, aspirou profundamente o ar, de-pois contemplou a estrada luminosa que atravessava a abobadaceleste de um lado a outro.”(Jose Saramago)g) ”Qualquer lei nova e sujeita a crıticas.”(Walter Ceneviva,Folha de S. Paulo, 6/4/95)h) Qualquer lei nova e sujeita as crıticas dos membros do PoderJudiciario.

2. (UEM-PR) Indicar o perıodo em que voce colocaria o acentograve, indicativo da crase:a) Deu severas ordens a algumas relapsas.b) Desobedeceram a Sua Excelencia.c) Rogo as autoridades para que intervenham logo.d) Com certeza, disse tudo a esta colega.e) De Vieira a Drummond, muitos vocabulos descansam empaz.

3. (FUVEST-SP) Indique a alternativa correta:a) Preferia brincar do que trabalhar.b) Preferia mais brincar a trabalhar.c) Preferia brincar a trabalhar.d) Preferia brincar a trabalhar.e) Preferia mais brincar que trabalhar.

Exercıcios Complementares

4. Preencha as lacunas com A ou A:a) Em uma viagem ......... Italia, Godard conheceu MartinScorcese, de quem se tornaria grande amigo e colaborador.b) Minha unica chance de voltar ..... Europa seria ganhar abolsa de estudos oferecida pela Universidade de Haia.c) Quando visitei ......Inglaterra, fiquei bastante decepcionadocom o clima e a culinaria.d) Retornei.........Brasılia apos ter sido derrotado em duaseleicoes para deputado federal.e) .... America que eu conheci nao e esta que se ve por aıpassando necessidade.f) Apos anos, o pintor Michelangelo voltou ....... Roma para

admirar a pintura que tanto lhe dera fama e prestıgio em todaa Europa.

5. (UNICENP-PR) Qual a alternativa que aponta a frase in-correta quanto ao acento indicativo da crase?a) Uma mulher da a luz sobre uma pia enquanto dinheiro doSUS (Sistema Unico de Saude) e desviado para comprar chopee salgadinhos.b) Esse expediente levou a lastimavel aprovacao do IPMF.c) A absoluta ineficiencia do sistema de arrecadacao, soma-sea ma aplicacao dos recursos publicos.d) Na decada de 70, a imagem externa do Brasil era frequen-temente associada as denuncias de tortura.e) A questao social continua prioritaria demais para ser rele-gada a segundo plano.

6. (UNIFOR-CE) Marque a alternativa em que o sinal decrase esta empregado em todos os casos em que e necessario:a) A famılia ficou a merce do frio, a despeito do fogo queestava a arder.b) O vento entrava a vontade, restando a famılia a expectativade que amanhecesse logo.c) Falavam a beca, mas talvez nao se entendessem a contento.d) A cachorra ficou a porta, a olhar as brasas.e) A falta de melhor expressao, recorriam a discursos energicos.

Lıngua Portuguesa 07

Interpretacao de Textos

(UDESC - 2005)

Toda lıngua tem seus misterios, sua pele seu cheiro.

O que caracteriza a linguagem ”correta”? Nao uso essa ex-pressao. Falo de adequacao linguıstica. E mais ou menos comoroupa. A gente usa de acordo com a situacao. O ideal seriaque todos tivessem um guarda-roupa linguıstico bem recheado:”roupa”para ir a festa, ao tribunal, a praia, ao supermercado.Seria necessario que o sujeito tivesse domınio da lıngua queusa no dia-a-dia, mas fosse tambem buscar as variedades. Daıa funcao da escola, do Estado: prover as pessoas do domıniodas variedades formais da lıngua. Nos somos um paıs essenci-almente monoglota. Nao me refiro ao conhecimento de lınguasestrangeiras, falo de poliglotismo na mesma lıngua. O que e?E ser capaz de ler o editorial do jornal, mais rebuscado, deconversar com o vizinho e de conversar com a pessoa estranha.E ser capaz de ler um classico, ouvir um rap, ler o Almanaque,e por aı vai. O grosso da populacao e monoglota: domina soa lıngua do dia-a-dia. Poe o sujeito para ler um recado dobanco, ele nao entende.

Page 292: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Lıngua Portuguesa – 07 283

Pense um Pouco!

A alternativa que melhor resume a ideia central do texto e:f) A lıngua padrao e formada por um conjunto de formas con-sideradas como modo correto e socialmente aceitavel de falarou escrever.g) A adequacao linguıstica e como um guarda-roupa bem va-riado, quanto as formas linguısticas e revelador, ao mesmotempo em que revela a classe social a qual se pertence.h) E funcao da escola e do Estado prover as pessoas dosdomınios das variedades formais da lıngua.i) O falante brasileiro e monoglota, por nao ter o conhecimentode lınguas estrangeiras.j) A adequacao linguıstica se da quando o falante e capaz de lereditorial do jornal, mais rebuscado, de conversar com o vizinhoe de conversar com uma pessoa estranha.

Exercıcios de Aplicacao

1. Assinale a alternativa que reafirma a ideia de que quemsabe fazer uso da adequacao linguıstica e poliglota.a) A ideia de poliglotismo esta associada ao conhecimento devarias lınguas estrangeiras que sao faladas em algumas regioesdo paıs.b) Quem domina apenas a lıngua que se usa no dia-a-dia,nao tera dificuldades para ler e produzir um texto em lınguapadrao.c) O falante que tem envolvimento multiplo nas relacoes sociaisgeralmente possui um guarda-roupa linguıstico bem recheado.d) A atividade educacional nao e coordenada de forma devidapelo Estado; por isso, somos um paıs essencialmente mono-glota.e) Buscar as variedades da lıngua e o mesmo que saber usara roupa adequada a situacao, e saber que ha uma variedadelinguıstica.

2. Em relacao ao trecho: ”O grosso da populacao e mono-glota: domina so a lıngua do dia-a-dia. Poe o sujeito paraler um recado do banco, ele nao entende.”(linhas 10 a 12), eINCORRETO afirmar:a) a palavra so e um recurso linguıstico indicador de enfase.b) a flexao do verbo por foi usada com o sentido de deparar-se.c) o pronome ele e o termo referente ao sujeito.d) a palavra grosso foi empregada como um recurso indicador

de quantidade.e) a palavra so indica isolamento.

3. De acordo com o texto, marque V ou F , conforme aafirmacao seja verdadeira ou falsa.

( ) Quem e capaz de ler um classico, ouvir um rap, ler oAlmanaque e poliglota.( ) O grosso da populacao e monoglota, porque dominasomente um dialeto.( ) De acordo com o autor, nao existe linguagem correta, por-que as lınguas sao um conjunto variado de formas linguısticase cabe ao falante adequar seu uso as diferentes situacoes defala.( ) A escola nao tem cumprido seu papel; por isso, naoconseguimos ler um editorial de jornal rebuscado.

Assinale a alternativa que apresenta a sequencia CORRETA,de cima para baixo.a) V - F - F - Fb) V - F - V - Fc) F - V - F - Vd) V - V - F - Ve) V - F - F - V

Exercıcios Complementares

Texto para os testes de 01 a 03.

Vai entao, empacou o jumento em que eu vinha montado;fustiguei-o, ele deu dois corcovos, depois mais tres, enfim maisum, que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que o peesquerdo me ficou preso no estribo; tento agarrar-me ao ven-tre do animal, mas ja entao, espantado, disparou pela estradafora. Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois saltos,mas um almocreve, que ali estava, acudiu a tempo de lhe pegarna redea e dete-lo, nao sem esforco nem perigo. Dominado obruto, desvencilhei-me do estribo e pus-me de pe.

— Olhe do que vosmece escapou, disse o almocreve. E eraverdade; se o jumento corre por ali fora, contundia-me deveras,e nao sei se a morte nao estaria no fim do desastre; cabecapartida, uma congestao, qualquer transtorno ca dentro, la seme ia a ciencia em flor. O almocreve salvara-me talvez a vida;era positivo; eu sentia-o no sangue que me agitava o coracao.Bom almocreve! Enquanto eu tornava a consciencia de mimmesmo, ele cuidava de consertar os arreios do jumento, commuito zelo e arte. Resolvi dar-lhe tres moedas de ouro dascinco que trazia comigo; nao porque tal fosse o preco da minhavida - essa era inestimavel; mas porque era uma recompensadigna da dedicacao com que ele me salvou. Esta dito, dou-lheas tres moedas.

Machado de Assis, Memorias Postumas de Bras Cubas.

4. Assinale a alternativa em que se estabelece relacao de causae efeito:a) ”Vai entao, empacou o jumento em que eu vinha montado”;b) ”...justifiquei-o, ele deu dois corcovos, depois mais tres, en-fim mais um...”;c) ”...que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que o peesquerdo me ficou preso no estribo”;d) ”Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois sal-tos...”;e) ”O almocreve salvara-me talvez a vida...”

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284 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

5. Em ”...mas ja entao, espantado, disparou pela estradafora.”e ”...contundia-me deveras...”, as palavras destacadas in-dicam, respectivamente:a) conclusao e constatacao;b) tempo e afirmacao;c) modo e constatacao;d) conclusao e consequencia;e) tempo e duvida.

6. Assinale a alternativa em que a palavra que esta empregadade forma diferente das demais:a) ”...empacou o jumento em que eu vinha montado...”;b) ”...enfim mais um, que me sacudiu fora da sela...”;c) ”...com tal desastre, que o pe esquerdo me ficou preso noestribo...”;d) ”...eu sentia-o no sangue que me agitava o coracao;e) ”...mas porque era uma recompensa digna da dedicacao comque ele me salvou.”

Lıngua Portuguesa 08

Sinonimos, Antonimos e etc.

Sinonimos

Vocabulos que apresentam significado basico comum.

Exemplos

olhar = ver = mirar = observar;belo = bonito = lindo;honestidade = probidade.

Antonimos

Vocabulos que apresentam significados opostos.

Exemplos

grandeza × pequenez;feliz × infeliz;probidade × improbidade;

honestidade × desonestidade;higienico × anti-higienico.

Paronimos

Vocabulos semelhantes na escrita e na pronuncia e que temsignificados diferentes.

Exemplos

Flagrante (no ato) – fragrante (perfumado);ratificar (confirmar) – retificar (corrigir);vultoso (importante, de grande vulto) - vultuoso (inchado).

Homonimos

Palavras que tem a mesma pronuncia ou grafia, mas comsignificados diferentes. Dividem-se em:

• Homografos - Heterofonos: possuem mesma escrita epronuncia diferente.

o ele (letra L) - ele chegou;o controle - talvez controle.

• Homofonos - Heterografos: possuem mesmapronuncia e grafia diferente.

cessao (ato de ceder) - sessao (reuniao);chacara (quinta) - xacara (narrativa).

• Homografos - Homofonos (ou homonimos perfei-tos): possuem mesma grafia e pronuncia.

o mato - eu mato;cedo (verbo ceder) - cedo (adverbio).

Pense um Pouco!

O lobo mal atacou a vovozinha ...Mandei meus sapatos para o concertoA cessao responsavel pela producao deste produto fica no finaldo corredor.

Quais os erros nas frases acima?

Exercıcios de Aplicacao

1. A hora da verdade esta ....... Aproveite-a.Os familiares estao de acordo com a ...... dos bens.E hora de ..... o fogo, pois o frio esta proximo.O fato passou ..... ate o momento. Os faltosos foram pegosem ......

A alternativa que preenche corretamente, e em sequencia, aslacunas das frases acima e:a) iminente – cessao – acendermos – despercebido – flagrante.b) Eminente – sessao – acendermos – desapercebido – fra-grante.c) Eminente – cessao – ascendermos – despercebido – fra-grante.d) Iminente – sessao – ascendermos – desapercebido – fla-grante.e) n. d. a.

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Lıngua Portuguesa – 08 285

2. (UDESC-2005) A alternativa que as palavras em negritoapresentam sentidos diferentes e:a) Os velhos estao assistindo a reedicao de velhos habitos.b) Os romanticos atuais divergem dos romanticos cen-tenarios.c) Os velhos casaroes situam-se ao lado do velho supermer-cado.d) As cenas sao centenarias, bem como centenaria e a pecateatral.e) Os grandes homens sao avaliados por grandes acoes.

3. (UDESC-2005) A palavra mesmo pode assumir diferentessignificados, de acordo com sua funcao na frase. Assinale aalternativa em que o sentido de mesmo equivale ao que severifica na frase a seguir.

Aos poucos, as ideias iam ficando mais claras, mesmo queainda sentisse fortes dores de cabeca e no corpo.

a) Escute! Ha mesmo necessidade de voce vir?b) Nao quero ser o mesmo que voce.c) Ira assim mesmo.d) Nao percebeu nada, mesmo estando atento.e) Nao, mesmo! Fique aı!

Exercıcios Complementares

4. (UDESC-2005) A arvore caiu, embora estando bem presaao chao.Vou agradecer-lhe a ajuda, logo que possa sair.Nao demonstrava, mas amava o filho.Buscava um lugar silencioso para que pudesse pensar.

As palavras e expressoes em negrito podem ser substituıdas,sem alteracao de estrutura e sentido da frase, respectivamente,por:a) mesmo – assim que – haja vista – a fim de queb) apesar que – assim que – ou – ondec) apesar de que – quando – logo – afim de qued) mesmo que – ao – portanto – em quee) mesmo – assim que – entretanto – a fim de que

5. Complete as lacunas com uma das palavras colocadas nosparenteses:a) Os pais agiram com muita ............ . (discricao/descricao)b) Procurei ............ o erro cometido pelo meu auxiliar. (reti-ficar/ratificar)c) O chefe dos sequestradores exigiu do empresario uma quan-tia ............. (vultuosa/vultosa)d) O ............. orador conseguiu convencer a multidao de ou-vintes. (eminente/iminente)e) Como ............. uma das leis de transito, ele acabou rece-bendo uma pesada multa. (infringisse/infligisse)f) O professor foi ...............de louco pelos alunos. (ta-chado/taxado)g) Perdi ............. da minha conta bancaria. (estrato/extrato)

6. Preencha as lacunas com ante ou anti:a) Ha um numero cada vez maior de pessoas que tomam....... depressivos e de medicos que recomendam esses remedios.(Jornal do Comercio)b) Luiz Mott faz crıticas a nova lei ......-racismo. (Jornal do

Comercio)c) As tumbas egıpcias eram constituıdas de uma .......camara,onde as oferendas eram depositadas, e outras salas e corre-dores que davam acesso a uma camara funeraria subterranea.(Globo Ciencia)

7. Associe as colunas, de acordo com a norma, colocando:(A) para sinonimos(B) para antonimos(C) para paronimos(D) para homografos - homofonos (ou homonimos perfeitos)(E) para homografos - heterofonos(F) para homofonos - heterografos

a) ( ) apressar – aprecarb) ( ) eminente – iminentec) ( ) odio – amord) ( ) asco – nojoe) ( ) a agua – ele aguaf) ( ) o acordo – eu acordo

8. Complete os espacos com ha ou a de acordo com o exigidopela frase:a) Daqui.........tres semanas ele vira trazer o material que lheencomendamos.b) ........seis dias que ele tem faltado ao trabalho.c) .......meses que eu nao a vejo por aqui.d) Daqui....... Ribeirao Preto, sao 300 km.

9. Empregue mal ou mau de acordo com o exigido pela frase:a) .......ela chegou, comecou a gritar com as criancas.b) O ........ pagador sempre arrumas suas desculpas.c) Ele nunca se comportou tao .........

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Historia

Historia Aula 1

Historia de Santa Catarina

Colonizadores

A historia de Corupa esta vinculada as de Jaragua do Sul eJoinville. As terras em que foi construıda a atual cidade deCorupa pertenciam ao espolio da Companhia Hamburguesa deColonizacao, contratada para ocupar as terras do Prıncipe deJoinville, Francois de Orleans e da Princesa Francisca Carolina,filha de D. Pedro I; e do Conde d’Eu com a Princesa Impe-rial Dona Isabel (herdeira do trono brasileiro). O espolio daHamburguesa foi assumido, em 30 de marco de 1897 pela Com-panhia Hanseatica de Colonizacao, que sob a direcao de KarlFabri fundou a Colonia Hansa Humbold. No dia 7 de julho de1897 foram entregues os primeiros tıtulos de propriedade aoscolonizadores pioneiros. Otto Hillbrecht e Otto Hillbrecht filho(lotes 6 e 7) e o taxidermista Wilhelm Ehrahrdt e sua esposaDorethea (lotes 2 e 3) chegaram da Europa na mesma canoae foram recebidos pelo agrimensor da Colonia Hansa, Edu-ard Krish. Os primeiros colonizadores, de posse dos tıtulosde propriedade, foram acomodados no galpao de recepcao eusando facoes, machadinhas e machados, iniciaram a derru-bada da mata para dar inıcio a construcao da atual cidade deCorupa. As duas famılias, juntamente com a Companhia Co-lonizadora, recepcionaram a segunda leva de imigrantes, cincomeses mais tarde. No dia 5 de dezembro de 1897, chegavam aHansa os novos proprietarios Wilhelm Rosch, Heinrich Grothe famılia, Josef Mischka e famılia. Cinco dias depois Emil Au-gust Rosenberg tomava posse oficialmente de seu lote. Comeles chegou tambem Leo Eschweiler. Vinte dias depois, no diaprimeiro de janeiro de 1898, chegavam Bruno Muller e Hein-rich Harm. Um total de 787 lotes foram vendidos a europeusna Colonia Hansa. Os lotes eram pagos a longo prazo em pe-quenas parcelas. O contrato entre a empresa colonizadora eo governo da provıncia determinava que a quantidade de imi-grantes sem recursos para adquirir lotes, que viajavam com asdespesas pagas pelo governo brasileiro, fosse equilibrada coma de imigrantes com dinheiro suficiente para pagar seu lotee ainda oferecer trabalho remunerado aos compatriotas. Osimigrantes que nao tinham recursos para saldar as dıvidas oupagar as prestacoes das terras, trabalhavam para a SociedadeColonizadora ou para os compatriotas.

Indios e Caboclos

Assim como em todo o paıs, os primeiros habitantes da regiao

eram os ındios Xokleng (ou Botocudos), tambem conhecidospela denominacao de bugres. Na primeira metade do SeculoXIX, houve um aumento da colonizacao europeia, levando osındios Xokleng a se fixarem proximos aos limites de Santa Ca-tarina e Parana. Na disputa por terras entre os indıgenas eos europeus emigrados, a area agrıcola aumentava para os co-lonizadores e diminuıa para os bugres que foram ficando con-finados e sem alimentos. Mesmo assim, a historia da regiaonao registrou grandes conflitos entre os indıgenas, os caboclosbrasileiros e os colonizadores que, no ato da posse provisoriada terra, ganhavam naturalidade brasileira. Esta era uma dasvantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes eu-ropeus espontaneos. Poucos brasileiros moravam nesta regiaono tempo da colonizacao. Na foz do rio Isabel, encontravam-se os ranchos de Manoel Cipriano e de Manoel Floriano. EmPoco d’Anta moravam Alexandre Siqueira, Domingos Siqueira,Jose Afonso Moreira, Joao Custodio, Romualdo Leopoldino,Maneco do Rosario e Antonio Felisbino. Muitos desses bra-sileiros ajudaram a transportar os primeiros imigrantes e osalimentos pelo rio Itapocu. Pouco antes da chegada dos colo-nizadores alemaes, famılias italianas estabeleceram-se nas ime-diacoes do Rio Novo e Itapocu: Domenico Minatti, David dePauli e Francisco Bagattoli vieram de Blumenau. Logo emseguida, Antonio Moretti passou a residir na comunjdiade dePoco d’Anta. E construiu a primeira capela em honra de SantoAntonio, do qual havia trazido uma imagem da Italia. O ter-reno foi doado, a 23 de dezembro de 1900, pela CompanhiaColonizadora Hanseatica.

Aventureiros ou Excluıdos?

A legislacao provincial estipulada a pedido do Dr. HermannBlumenau, assinada no dia 16 de marco de 1848, fixou normaspara a colonizacao alema em terras catarinenses. E entre elas,estabelecia a responsabilidade das Companhias Colonizadores,em reunir, transportar, assentar e prestar assistencia integralaos colonos nos primeiros dois anos da chegada as Colonias.O Governo Imperial contribuıa por quinze anos com subsıdios,entregues a empresa colonizadora, para cada um dos colonos,independe de sexo ou idade, fixados nas colonias de Santa Ca-tarina. Esta assistencia incluıa auxılio tanto no transporteentre a Europa e o Brasil quanto no desmatamento, na cons-trucao das moradias e no oferecimento de alimentacao aos co-lonos, ate que eles pudessem prover-se com as proprias rocas.A mesma lei proibia, em carater definitivo, a manutencao demao-de-obra escrava nas Colonias. Assim, os imigrantes ti-nham, eles mesmos, que se incumbir do trabalho pesado docampo e da construcao ou pagar pelo trabalho dos negros,dos caboclos ou mesmo de imigrantes sem posses, que via-jam com todas as despesas pagas pelo governo brasileiro. Noseculo XIX, a Europa vivenciava profundas transformacoes so-cioeconomicas decorrentes da Revolucao Industrial e a vida no

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campo tornava-se inviavel. A grande maioria da populacaoeuropeia eram os excluıdos e eram explorados pelos grandessenhores de terras. O empobrecimento da populacao levou aoexodo rural aumentando a urbanizacao. Com a tecnologia e amecanizacao da economia, a Europa deparou-se com um ba-talhao de desempregados fazendo com que no perıodo de 1815a 1920 cerca de 60 milhoes de pessoas emigrassem da Europa,sendo desse total 10% de Alemaes. Aproximadamente 100 a200 mil vieram para o Brasil em busca de melhores condicoesde vida. As vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aosimigrantes eram atrativas, tendo agradado ate pessoas de si-tuacao economica razoavel. Muitos camponeses venderam suaspropriedades para custear a viagem e tentarem a vida commaiores facilidades na America. Um dos principais interessesdo governo imperial brasileiro era o de resolver o problema daocupacao de varias regioes brasileiras ate entao desabitadas.Para isso, eram enviadas a Europa agentes que eram remune-rados de acordo com o numero de emigrantes e isto despertoutambem o interesse das companhias de navegacao ciosas delucro. Aliada a estes fatores, a difıcil situacao financeira daFamılia Real Brasileira leva a negociar para colonizacao, asterras localizadas na Provıncia de Santa Catarina. Firmandocontrato com o Senador Alemao Christian Mathias Schoroe-der em Hamburgo, dono da agencia comercial ”Christian M.Schoroeder & Cia parte da sociedade fundada em 1842 cha-mada ”Sociedade de Protecao aos Imigrantes no Sul do Bra-sil”que procurava regularizar a emigracao espontanea para oBrasil. O Governo Central aprovou, a 24 de dezembro de 1757,projeto de uma estrada para interligar Sao Francisco do Sul aCuritiba. Os caminhos, verdadeiras picadas abertas em meio aMata Atlantica, delinearam o percurso da futura ferrovia SaoFrancisco do Sul - Rio Negro-Curitiba.

Antes da Cidade

Os primeiros europeus a passarem por terras catarinenses te-riam sido o alemao Hans Staden, em 1547 e o tambem alemao,o agricultor Johan Ferdinand, enviado pelos espanhois com oproposito de ensinar agricultura os ındios Carijos. Este se-gundo, na verdade, teria percorrido o celebre caminho de Pe-abiru, que se iniciava em Barra Velha e que ligava os Andesao Oceano Atlantico. Os aventureiros, guiados pelos ındios,estavam interessados nos tesouros Incaicos dos Altiplanos An-dinos. A epoca da colonizacao de Jaragua, em 1878, tropasde Emılio Carlos Jourdan, passaram por Corupa com gadoadquirido no Parana. O proprio Jordan, em 1876, atribuiunomes a acidentes geograficos da cidade. Em 9 de maio de1879, uma expedicao chefiada pelo engenheiro alemao AlbertKrohne, partiu de Sao Bento do Sul com a incumbencia detracar um caminho entre Sao Bento do Sul e Jaragua, estabe-lecendo assim, a ligacao entre Curitiba e Sao Francisco do Sule explorando a regiao. Em 1883, o agrimensor, topografo, en-genheiro mecanico e cacador de bugres Antonio Ferreira Lima,proprietario de terras em Rio Negrinho foi morto pelos ındiosbotocudos. Entretanto, as picadas abertas pelas expedicoese pela Companhia Hanseatica nao permitiam a passagem decarrocas ou carros de boi. Ate mesmo animais eram rarosna epoca da colonizacao de Corupa. Atraıdos pelas ofertasalardeadas pelas companhias colonizadoras, os europeus atra-vessaram o atlantico em busca de uma vida digna e melhor emsua nova patria. Mas apos chegarem sentiram-se abandonados

a propria sorte e como nao tinham os recursos para voltar aPatria Mae, tomaram as providencias necessarias para ofere-cer escola, igreja, lazer e sustento para si e para os familiarese empregados. A ajuda vinha principalmente da patria-mae,distante, mas presente em solidariedade.

Casa e Comida Difıcil

A condicoes de vida dos primeiros colonizadores era muitoprecaria. As dificuldades iam desde a adaptacao ao clima tro-pical e a cultura dos caboclos posseiros, a presenca invisıvel dosbugres, ate as dificuldades para conseguir alimentos e manti-mentos, visto que precisavam ser transportados de Jaraguade canoa, via rio Itapocu, unico acesso a Hansa ate 1900. Ocasal Ehrhard abriu, em 1899, a primeira casa comercial daColonia. A casa comercial logo foi vendida para o comercianteGeorg Czerniewicz, de Jaragua. E em seguida, para o comer-ciante Heinrich Meyer, de Joinville. A filial era gerenciadapor Leo Eschweiler. E, mais tarde, em 1907 por Otto Hillbre-cht Jr., que a adquiriu e transformou em emporio. Tambemem l899, o casal Wilhelm e Maria Pieper fundou o Hotel Sch-raut, o primeiro de Corupa. Este hotel foi transformado, maistarde, num hospital pela ”Frauenverein”. Enquanto Piepertransferiu seu hotel para as imediacoes da estacao ferroviaria.E ainda hoje la funciona o Hotel Krelling. Um dos primei-ros colonizadores, em seu relatorio, descreveu as dificuldadesiniciais. ”O que foi difıcil no primeiro ano, era conseguir ali-mentos. Dependia-se da turma de agrimensores quando eles,de tempos em tempos, navegavam numa canoa pelo Itapocu.Tınhamos que aproveitar a oportunidade e pedir que trouxes-sem as mercadorias. As vezes acontecia de a canoa virar e asmercadorias se encharcarem”. O historiador Jose Kormann,no livro Hansa Humbolt ontem, hoje Corupa , na pagina 57,descreve que as primeiras casas eram construıdas com palmito.”Os troncos rolicos do palmito eram enterrados por uma dasextremidades para servirem de esteio. Para fazer paredes, ospalmitos eram rachados em quatro ou seis partes, formandoripas. O interior do palmito, a parte mole, servia de alimento.Essas ripas eram amarradas com cipo, que tambem eram cor-tados em duas partes, de ponta a ponta. Na cobertura usavamcaibros e ripas de palmito. A cobertura era feita de folhas depalmeira Guaricana. Isto o imigrante aprendeu de moradoreslocais, anteriores ao imigrante”. Conseguir fogo era difıcil, erapreciso mante-lo acesso. Por isso o chao era de barro batido.

Uma Nova Patria

Com a chegada de novas levas de colonos, entre dezembrode 1897 a 1899, a direcao da Colonia reservou uma canoa sopara buscar mantimentos com canoeiros proprios. Ao mesmotempo, a construcao da estrada para transporte com carrocaera intensificada. A cada nova leva de colonizadores, chegavammais pessoas dispostas a investir e construir uma cidade con-fortavel. A cidade finalmente comecou a se formar. Alemaes,poloneses, suıcos e Italianos sao os principais ascendentes eu-ropeus da Corupa de hoje. Em 1899, era fundada a primeiraescola para os filhos dos imigrantes e tambem comecava a fun-cionar o primeiro Turverein. Luiz Schroeder foi o numero ume Otto Hillbrecht filho o numero dois. A sociedade escolarfundada em 17 de maio de 1899, atenderia as criancas das 20

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Historia – Aula 1 289

famılias residentes. O professor Ernesto Globig, mais tardenomeada intendente de Hansa, iniciou as aulas na sede daCasa do Imigrante em 1900. Em 1909, foi construıdo o predioproprio, em alvenaria. Em 5 de novembro de 1899 era fundadaa comunidade evangelica de Hansa Humbold. Os primeiros cul-tos eram realizados nas casas dos imigrantes. E, finalmente, nodia 16 de dezembro de 1906 foi lancada a pedra fundamentalda igreja evangelica que levou alguns anos para ser construıda.Assim, em 1902, Heinrich Meyer fundava o terceiro negociode Hansa Humboldt. Otto Loffler, com um pequeno capital,construiu a primeira cervejaria na estrada Itapocu. Na estradaBomplandt, assim nomeada em homenagem ao amigo do natu-ralista alemao Alexander Von Humboldt (homenageado com onome da Colonia), foi instalada a primeira atafona que per-tencia a Gustav Hoffmann.Luiz Schroeder abriu o primeiroacougue. Ate 1906, os cultos das confissoes Catolica e Lu-terana eram realizadas no edifıcio da escola particular alema.Em 1906, o imigrante Roberto Seidel, abre sua ”arbori”e flori-cultura. A localizacao e a mesma de onde ainda hoje funcionao Orquidario Catarinense. Seu filho Alvim Seidel dedica-se,desde o ano de 1950 ao orquidario, que alem de comercializare cultivar, desenvolve pesquisas, ja tendo descoberto e regis-trado mundialmente, quase uma centena de novas especies deorquıdeas e bromelias em suas incursoes pela mata da regiao.

Autonomia Administrativa

Em 1908, Hansa foi elevada a categoria de distrito de Join-ville e e nomeado seu intendente, Ernst Rucker. Somente em1910 teve inıcio a iluminacao publica a querosene .Os lampioespendurados em postes de madeira, eram acesos ao anoitecer eapagados as 22 horas diariamente por Christian Hunold. Numsalao de sua propriedade funcionou, tambem, a primeira es-cola. A primeira professora foi Julia Fernandes. Neste perıodoum primeiro susto acometeu a comunidade de Hansa. A admi-nistracao central de Joinville recomendava que toda a corres-pondencia fosse escrita em Portugues e alem de ser habitadapraticamente so por alemaes, Hansa nao tinha escola em Por-tugues que possibilitasse aos imigrantes ou mesmo a seus filhos,aprenderem a Lıngua Nacional. O primeiro trem chegou emjulho de 19l0, vindo de Sao Francisco do Sul. Com o tremchegou a esperanca de um progresso mais rapido. Mas alemde facilitar o transporte de toda sorte de produtos, desde ali-mentos a produtos para comercializacao, o trem trazia e levavapessoas. A ferrovia chegou a Rio Negrinho somente em 1913.E foi seguindo o trem que muitos moradores deixaram Hansa.Alguns foram trabalhar na construcao da ferrovia e outros se-guiram para o planalto onde era mais facil arrumar trabalho.Ha cem anos, Hansa Humbold experimentava um crescimentosurpreendente. No Distrito havia varias industrias, serrarias,olarias, moinhos e atafonas, ferrarias, fabricas de carrocas, bar-ris, tamancos, chicotes, lacos, canoas, charutos e cigarilhas,instrumentos musicais, pinceis e escovas, moveis e refrigeran-tes; cervejarias, selarias, funilarias, construtores (pedreiros),queijarias, alfaitarias, tecelagens e dezenas de pequenos co-merciantes de produtos artesanais e alimentıcios, bem comoengenhos de arroz atendiam as necessidades dos habitantes erendiam boas somas na comercializacao com outras localida-des. Aumentava consideravelmente numeros de sociedades eligas formadas pelos moradores com o intuito de promover aeducacao, a cultura, o lazer e assistencia aos habitantes.

Comecar Tudo de Novo

No entanto, entrecortada por rios, Hansa sofreu, em 1910, aprimeira grande enchente. Sociedades promoveram concertos,teatros, quermesses e recitais com o proposito de angariar fun-dos para socorrer as famılias atingidas. Os prejuızos foramenormes. As recem-construıdas pontes sobre os rios Humbolde Novo foram levadas pelas aguas. Reconstruı-las exigiu, alemda doacao de 75% do salario do intendente, doacoes dos mora-dores.Em outubro de 1917, o Brasil declarou guerra a Alema-nha e as relacoes entre os dois paıses prejudicou francamenteos imigrantes em solo brasileiro. Iniciou-se o movimento naci-onalista e a lıngua estrangeira foi gradativa, mas efusivamenteproibida em solo nacional. Os imigrantes, embora tivessemsido nacionalizados no ato da colonizacao, eram brasileiros semgoverno e alemaes sem Patria. Logo apos a 1a. Guerra Mun-dial (1914-1918) o movimento de nacionalizacao provocou ofechamento das escolas alemas. E fundada, entao a primeiraescola publica e brasileira. A vida cultural voltou a mover associedades de atiradores, a ginastica, a musica do Jazz Elite,corais e grupos teatrais. As sociedades das senhoras, bem comoa producao e comercializacao dos produtos locais estavam emalta. Enfim, a tranquilidade voltou a reinar e o progressoacompanhava o crescimento do distrito. Em fins de 1931, foiconcluıda a Escola Apostolica Seminario Sagrado Coracao deJesus. Entretanto, os imigrantes alemaes naturalizados bra-sileiros, ainda sofreram com nova investida do movimento denacionalizacao, em 1943, durante a 2a. Guerra Mundial. Alemda mudanca do nome do entao Distrito Hansa Humbold paraCorupa, muitos de seus moradores, que construıram com asproprias maos e dinheiro a cidade, foram perseguidos comose fossem inimigos da nacao brasileira. Alguns tiveram quemudar o proprio nome. Escolas, sociedades e igrejas foram fe-chadas e tudo o que fosse considerado alemao foi confiscado.A emancipacao polıtica de Corupa se deu pela Lei 348, de 21de julho, de 1958. A instalacao no novo municıpio foi no dia25 de julho de 1958. Conforme dados do censo de1950, Corupacontava com 1592 habitantes (761 homens e 831 mulheres).

Os Dias Atuais

A economia esta baseada na agricultura e pecuaria, exploradapor minifundios. Corupa ocupa o 94o lugar na arrecadacaode ICM do Estado e 25o em qualidade de vida. A agriculturabaseia-se principalmente na producao de banana, arroz, milho,mandioca, fumo e olericultura (hortalicas). Corupa e o maiorprodutor de bananas do Estado. Possui cerca de 68 industriasde pequeno e medio porte, destacando-se as de vestuario, me-talurgia, artefatos de madeira e moveis. A cidade, que ja pos-suiu uma especie de Spa na decada de trinta, se prepara paraliderar o roteiro turıstico da regiao. As belas paisagens, arota das cachoeiras, o clima tranquilo de cidade interiorana etranquila, grutas, orquıdeas, vitoria regia gigante e as cons-trucoes do inıcio do seculo passado e os jardins cuidados comcarinho e esmero pelos habitantes, sao algumas das atracoesturısticas de Corupa.

Bibliografia

[1] Veja na internetwww.jornaldaeducacao.inf.br/jornal162/imp.htm

Page 299: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

290 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Page 300: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Lista de Tabelas

FISICA

Mecanica – Aula 1

1 A) 1 N = 1 kg · 1 m/1 s2 1 B) n = 2 e p = 4 2 D) 3 D) 4 C) 5 A) 3, 600 km , B) 21, 600 km , C)3× 10−5 , D) 0, 5780 km , E) 27, 600 km , F) 5, 800× 10−3 km 6 B) 7 A) 5, 70000× 105 , B) 1, 2500× 105 , C)5, 0000000× 107 , D) 1, 2× 10−6 , E) 3, 2× 10−2 , F) 7, 2× 10−1 , G) 8, 2× 104 , H) 6, 40× 107 , I) 9, 150× 100

, J) 2, 00× 10−3 , K) 5× 101 , L) 2, 5× 10−7

Mecanica – Aula 2

1 A) 6,5 cm , B) 1,8 cm , C) 3,7 cm , D) 4,3 mm , E) 51,2 mm , F) 42,3 mm 2 E) 3 D) 4 C) 5 A)

Mecanica – Aula 3

1 B) 130 m 2 100 N 3 vx = vy = 200√

2 m/s 4 7, 0 N , 38, 2 c/ a horiz. 5 6, 0 m/s 6 vx = 120 m/s e vy = 160 m/s7 940 km/h

Mecanica – Aula 4

1 B) 2 E) 3 A) 4 B) 5 C) 6 B)

Mecanica – Aula 5

1 A) 1, 0 m/s2 , B) TAB = 3, 0 N e TBC = 11 N 2 A) 3 A) 1, 0 m/s2 , B) 4, 5 N 4 A) 2, 0 m/s2 , B) 12 N ,C) 16 N 5 3 m/s2 e 78 N 6 A) 7 C)

Mecanica – Aula 6

1 D) 2 E) 3 C) 4 A) 5 vf = 17, 85 m/s 6 Fmed = 950 N 7 A) 580 J , B) 72, 5 W

Mecanica – Aula 7

1 A) Energia potencial elastica. , B) Energia potencial gravitacional. , C) Sim, ele possui energia potencialgravitacional. 2 A) E dissipada pela forca viscosa (atrito) do ar e vira calor e energia cinetica. , B) Nao.Como a forca resultante sobre ele e nula, nao ha trabalho realizado sobre ele. 3 B) 4 E) 5 B) 6 A)Ep = 5, 0 J , B) vmax. = 10 m/s 7 ) W = 25 J 8 A) 150 J , B) 90 J

Mecanica – Aula 8

3 B) 4 C) 5 E) 6 A) 7 A) k = 50 N/m , B) Wext = 4, 0 J , C) Wmola = −4, 0 J , D) Wext = 16, 0 J , E)F = 40 N 8 A) WP = −150 J , B) ∆Ep = +150 J 9 ) 0, 30 m

Mecanica – Aula 9

1 B) 2 A) 1, 0 N , B) 3, 0 N 3 A) 4 C) 5 C) 6 B)

Mecanica – Aula 10

1 V V FV F 2 FVFFF 3 A) Nao, pois sua velocidade e constante. , B) E nulo. , C) Zero. 4 ) 200 N · s 5) 1, 0× 103 kg ·m/s 6 C) 7 ) Fmed = 14 N

Mecanica – Aula 11

291

Page 301: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

292 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

1 0, 700 kg ·m/s a 135 com a direcao inicial da bola. 2 A) I = −m√

2gh , B) ∆Q = −m√

2gh , C) Sao iguais,pois I = ∆Q 3 A) Sendo m = 500 g e hi = 1, 25 m temos I = −2, 5 N · s , B) Sendo m = 500 g e hf = 0, 80 mtemos I = −2, 0 N · s

Mecanica – Aula 12

1 0, 133 m/s 2 4, 0 m/s 3 0, 67 m/s 4 3, 75 m/s 5 70 kg 6 D) 7 ) 60 s , ) Conservacao do momento linearnum sistema isolado.

Mecanica – Aula 13

1 A) 2 A) vn = −v0/3 e vd = 2v0/3 , B) vn = vf = v0/3. Nao, pois a energia cinetica nao e mais conservada.3 vb = 1, 6 m/s, invertendo o seu sentido. 4 v1 = 3, 0 m/s e v2 = 8, 0 m/s, respectivamente. 5 A) 45 com ahorizontal. , B) v0 = 20 m/s , C) I = 10 kg ·m/s 6 C)

Mecanica – Aula 14

1 B) 2 A) 3 A) Ambas as forcas tem mesma intensidade pois sao do tipo acao-reacao. , B) Porque a maoesta protegida pela luva. 4 A) 20.000 N , B) O caminhao. , C) No automovel. 5 4, 0 m/s2 6 O remoempurra a agua para tras, sofrendo uma reacao para frente, que e ransmitida ao barco. 7 A) 2, 0 m/s2 , B)10 N 8 C)

Mecanica – Aula 15

1 B) 2 c) 3 B) 4 A) 5 A) 6 C)

Gravitacao – Aula 1

2 E) 3 B) 4 E) 5 C) 6 C) 7 C)

Gravitacao – Aula 2

1 B) 2 E) 3 A) 4 A) 5 E) 6 D) 7 D)

Gravitacao – Aula 3

1 A) 39, 2 N , B) 6, 4 N 2 Nao. A balanca de farmacia compara massas e portanto mede a massa do indivıduo.3 A) 4 D) 5 c) 6 A) Sim. , B) P = (1 kg) ∗G , C) A mesma (1 kg) 7 4, 0 kg

Gravitacao – Aula 4

1 TAC = 50√

3 N e TBC = 50 N 2 B) 4 kg 3 FA = 300 N e FB = 100 N 4 Ny = 1833, 3 N e Nx = 1166, 7 N 5−3, 6 N ·m, 0 e 4 N ·m 6 A) 0 N , B) 48 N ·m , C) 24 N ·m

Otica – Aula 1

1 9, 46× 1015 m 2 H = 90m 3 D = 30cm 4 i = 55 5 x = 2d + D

Otica – Aula 2

1 B) p′ = 3/2 m e i = 2, 5 cm 2 A) p = 12 cm , B) 0, 6 cm 3 A) 26, 7 cm , B) 80 cm 4 A) −30 cm , B) −60 cm5 B) 6 A) 35 cm do espelho. , B) 210 cm

Otica – Aula 3

1 n = 1, 25 2 n = 2 3 A) na/nv = 8/9 , B) vv/va = 8/9 , C) O ındice de refracao de um meio e inversamenteproporcional a velocidade da luz no meio. 4 n = 1, 732 5 n = 1, 58 6 A) O meio A. Ao passar de B para A ofeixe se aproxima da normal. , B) No meio B, pois e menos refringente que o A.

Otica – Aula 4

1 p′ = −15 cm, imagem direta e menor. 2 A) Imagem real, invertida e maior. , B) p′ = 120 cm e i = 4 cm 35X 4 A) p′ = 10 cm, do mesmo lado do objeto. , B) Imagem virtual, direta e maior. 5 A) f = −20 cm ,B) Divergente. 6 A) Divergente. , B) 5 di

Page 302: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Historia – Aula 1 293

Otica – Aula 5

1 20 cm 2 A: +2 di (convergente) e B: −2 di (divergente) 3 +1 di 4 A) Divergente. , B) −5 di

Fluidos – Aula 1

1 1 g/cm3, 103 kg/m3, 1 kg/l 2 11, 2 kg 3 A) 0, 3 g/cm3 , B) 1, 1 g/cm3 4 1, 05 × 104 Pa, 0, 1 atm 5 A)Porque a area de contato do pneu de bicicleta com o chao e muito pequena, a pressao deve ser grande. , B)ptotal ≈ 2, 75 atm , C) A manometrica, pois mede a diferenca de pressao entre o interior e o exterior do pneu.

Fluidos – Aula 2

1 B) 2 A) 3, 0× 104 Pa , B) 1, 5× 105 Pa , C) 8, 0× 103 Pa 3 1, 01× 105 Pa ou 1 atm ou 760 mmHg 4 A) Nomaior. , B) No menor. , C) 50 N 5 12, 8 cm 6 8% 7 16 N

Cinematica – Aula 1

1 C) 2 B) 3 B) 4 D) 5 E) 6 B)

Cinematica – Aula 2

1 D) 2 D) 3 E) 4 C) 5 D) 6 E)

Cinematica – Aula 3

1 A) 2 D) 3 B) 4 A) 5 B) 6 C)

Cinematica – Aula 4

1 A) 2 D) 3 E) 4 B) 5 B) 6 C)

Cinematica – Aula 5

1 C) 2 C) 3 C) 4 E) 5 B) 6 C)

Ondas – Aula 1

2 C) 3 E) 4 θ ≈ 23 5 D) 6 L9/L16 = (16/9)2 7 25, 3 cm

Ondas – Aula 2

1 C) 2 E) 3 C) 4 C) 5 E) 6 A) 7 D)

Ondas – Aula 3

1 E) 2 C) 3 D) 4 B) 5 D) 6 A)

Ondas – Aula 4

1 E) 2 C) 3 B) 4 C) 5 B) 6 D)

Ondas – Aula 5

1 A) 30 m/s , B) Se aproxima, pois a frquencia aumenta. , C) Diminui 10%. 2 B) 3 A) Afastando-se doapito em alta velocidade, o seu som poderia ser ouvido. , B) vafast. = (4/5)vsom 4 C) 5 A) 6 D)

Termodinamica – Aula 1

1 B) 2 A) 3 D) 4 D) 5 B) 6 E)

Termodinamica – Aula 2

1 A) 2 A) 3 E) 4 C) 5 A) 6 E)

Termodinamica – Aula 3

1 D) 2 A) 3 C) 4 D) 5 C) 6 D)

Page 303: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

294 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Termodinamica – Aula 4

1 B) 2 A) 3 E) 4 D) 5 A) 6 A)

Termodinamica – Aula 5

1 C) 2 B) 3 A) 4 B) 5 A) 6 E)

Termodinamica – Aula 6

1 E) 2 B) 3 A) 4 D) 5 B) 6 B)

Termodinamica – Aula 7

1 D) 2 E) 3 A) 4 C) , E) 90 g 5 D) 6 C)

Termodinamica – Aula 8

1 A) 2 B) 3 C) 4 B) 5 E) 6 D)

Termodinamica – Aula 9

1 D) 2 A) 3 A) 4 B) 5 D) 6 C)

Termodinamica – Aula 10

1 D) 2 A) 3 E) 4 C) 5 A) 6 B)

Termodinamica – Aula 11

1 E) 2 A) No intervalo de t1 ate t2. , B) No intervalo de t3 ate t4. , C) 10, 2 kcal 3 C)

Eletricidade – Aula 1

1 qA = Q/2, qB = qC = Q/4 2 A) La (-), vidro (+) , B) La (+), cobre (-) 3 D) 4 A) Enconstar as tres esferassimultaneamente e afasta-las. , A) Enconsta-se B e C, aproxima-se A de B, afasta-se C. , A) Impossıvel.5 D) 6 C) 7 A)

Eletricidade – Aula 2

1 Diminui para F/16 2 F ′ = 3F/4 3 A) Empurra os eletrons do eletroscopio para as extremidades (hastes),afastando-as. , B) Parte da carga do corpo passa para o eletroscopio, afastando suas hastes. 4 2, 0× 10−7 C5 ) c) 6 D)

Eletricidade – Aula 3

1 A) +7, 5× 10−2 N , B) Para a direita, no sentido da forca eletrica. 1 C) −7, 5× 10−2 N , para a esquerda.2 A) 0, 144 N , B) 28, 9 kN/C 3 A) 2 × 103 m/s2 , B) 16.000 m/s 4 A) 4, 44 × 10−10 C , B) 44, 4 N/C 54, 9 mC 6 −0, 05 C

Eletricidade – Aula 4

1 8 × 10−7 V 2 A) V = 0 , B) E = 9, 0 × 105 N/C, da carga positiva para a negativa. , C) Que a soma degrandezas escalares e vetoriais e diferente. 3 A) 1 kV , B) −1 kV 4 A) 1, 0 × 10−7 C , B) 900 V/m 55, 4× 105 V , se a carga negativa e o vertice A, pertencerem ao mesmo lado, senao, 2, 22× 106 V . 6 W = −45 mJ,negativo porque as cargas se repelem, e a forca esterna deve ser contraria ao deslocamento.

Eletricidade – Aula 5

1 2, 3 × 10−13 J 2 −0, 9 J 3 A) 1, 0 nC , B) −30 V , C) 10 µJ 4 A) V = mgd/q , B) A inferior deve tercarga positiva, e portanto, maior potencial eletrico. 5 E) 6 C)

Eletricidade – Aula 6

1 V V FV V 2 V V V FV 3 A) V = 180 V e E = 0 , B) V = 108 V e E = 216 V/m 4 A) qA = 3Q/4 e qB = 9Q/4 ,B) VA = VB = 3kQ/4R 5 A) qA = 1, 0 µC e qB = 2, 0 µC , B) VA = VB = 9, 0 kV , C) De B para A, pois no inıcio

Page 304: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Historia – Aula 1 295

a esfera B tinha excesso de eletrons. 6 A) 6, 25× 1012 , B) A esfera A, pois a esfera B tem mais eletrons doque a esfera A. 7 A) 6, 4× 108 V , B) 4, 55× 105 C

Eletricidade – Aula 7

1 A) V1 = 2 kV , V2 = 4 kV e V3 = −4 kV 2 ) C/2 3 56, 5 kV/m 4 A partıcula nao tem energia suficiente paraatingir a segunda placa. 5 E) 6 B) 7 1, 8× 10−4 C

Eletricidade – Aula 8

1 R$ 3,47 2 12, 5 µF 3 17, 1 µF 4 810 J 5 V1 = V2 = 20 V e Q2 = 6, 0× 10−5 C 6 50 V 7 B)

Eletricidade – Aula 9

1 C) 2 D) 3 A) 4 C) 5 E) , E) R = 6 Ω 6 D)

Eletricidade – Aula 10

1 D) 2 C) 3 B) 4 A) 5 C) 6 C) 7 E)

Eletricidade – Aula 11

1 C) 2 B) 3 D) 4 A) R2 = 101, 8 Ω, 0, 2 Ω , B) P2 = 101, 7 W, 4, 1 W

Eletricidade – Aula 12

1 D) 2 C) QUIMICA

Quımica – Aula 1

1 FV FV V V

Quımica – Aula 2

5 B)

Quımica – Aula 3

Quımica – Aula 4

Quımica – Aula 5

Quımica – Aula 6

Quımica – Aula 7

Quımica – Aula 8

Quımica – Aula 9

Quımica B – Aula 1

1 C) 2 QQQFFF 3 B) 4 C) 5 E) 6 B)

Quımica B – Aula 2

1 V V V V V V 2 A) 3 E) 4 B) 5 D) 6 C)

Quımica B – Aula 3

1 C) 2 FFV V F 3 B) 4 E) 5 C) 6 E)

Page 305: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

296 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Quımica B – Aula 4

1 C) 3 C) 4 B) 5 B)

Quımica B – Aula 5

1 61 2 C) 3 E) 4 D) 5 E) 6 E)

Quımica B – Aula 6

1 D) 2 C) 3 D) 4 E) 5 C) 6 E)

Quımica B – Aula 7

1 C) 2 E) 3 A) 4 C) 5 C) 6 E)

Quımica B – Aula 8

1 E) 2 E) 3 D) 4 B) 5 D) 6 B)

Quımica B – Aula 9

1 E) 2 B) 3 E) 5 C) 6 E) 7 C)

Quımica B – Aula 10

1 D) 2 B) 3 E) 5 A) 6 B)

Quımica B – Aula 11

3 E) 5 D) 6 D) 7 E) 8 B)

Quımica B – Aula 12

2 21

Quımica Organica – Aula 1

Quımica Organica B – Aula 2

MATEMATICA

Matematica A – Aula 1

Matematica A – Aula 2

Matematica A – Aula 3

Matematica A – Aula 4

Matematica A – Aula 5

Matematica A – Aula 6

Matematica A – Aula 7

1 D) 2 E) 3 C) 4 D) 5 E) 6 C)

Matematica A – Aula 8

1 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 B) 6 A) y = 2x , B) 9/8 7 B)

Page 306: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Historia – Aula 1 297

Matematica A – Aula 9

Matematica A – Aula 10

Matematica B – Aula 1

Matematica B – Aula 2

Matematica B – Aula 3

Matematica B – Aula 4

Matematica B – Aula 5

Matematica B – Aula 6

Matematica B – Aula 7

Matematica C – Aula 1

Matematica C – Aula 2

Matematica C – Aula 3

Matematica C – Aula 4

Matematica C – Aula 5

Matematica C – Aula 6

Matematica C – Aula 7

Matematica C – Aula 8

Matematica C – Aula 9

Matematica C – Aula 10

Matematica C – Aula 11

Matematica C – Aula 12

Matematica C – Aula 13

Matematica C – Aula 14

Matematica C – Aula 15

Matematica C – Aula 16

Page 307: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

298 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC — http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Matematica C – Aula 17

Matematica C – Aula 18

Matematica C – Aula 19

Matematica C – Aula 20

LINGUA PORTUGUESA

Lıngua Portuguesa – 01

1 C) 2 B) 3 D) 4 E) 5 A) 6 D)

Lıngua Portuguesa – 02

1 A) secretaria , D) partira , F) alem , G) voo , H) forceps , I) albuns – famılia 2 C) 3historia, Palacio, Patio, consequencia, tres, inuteis, so. 4 A) 5 polemica, cupula, preparatorias, Apos,ultima, Cupula, ja, signatarias, sociologo, comite, Solidaria, crıtica, dinamarques, Nos, Ate, cupula, duvidas,equilıbrio, macro-economico, desequilıbrios.

Lıngua Portuguesa – 03

1 C) 2 C) 3 E) 4 B) 5 E) 6 E) 7 E)

Lıngua Portuguesa – 04

1 B) 2 E) 3 A) 4 D)

Lıngua Portuguesa – 05

1 A) se arrepiava , B) se ouvia , C) lhe vinha , D) lembrou-se , E) lhe importava , F) escutou-se , G)Levanta-se , H) se vendem , I) me levaram , J) se babando 2 C) 3 43 (01,02,08,32) 4 C) 5 E) 6 C)

Lıngua Portuguesa – 06

1 A) a janela , C) a disciplina 2 C) 3 C) 4 A,A,A,A,A,A 5 E) 6 A)

Lıngua Portuguesa – 07

1 E) 2 E) 3 B) 4 C) 5 A) 6 D)

Lıngua Portuguesa – 08

1 A) 2 A) 3 D) 4 E) 5 A) discricao , B) retificar , C) vultosa , D) eminente , E) infringisse , G)tachado 6 A) anti , B) anti , C) ante 7 FCBADE 8 A) a , B) Ha , C) Ha , D) a 9 A) Mal , B)mau , C) mal HISTORIA

Historia – Aula 1

Page 308: Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Referencias Bibliograficas

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[30] ARDELLA, ANTONIO. Quımica. Volume unico, SaoPaulo: Editora Atica, 2002.

[31] CHNEIDER, Adolfo Bernardo; HANSA HUMBOLD on-tem, hoje CORUPA-(Baseado no arquivo de GerhardtHerrmann), Edicao do autor, Corupa-SC, 1985.

[32] OUSSEF, ANTONIO NICOLAU e FERNANDEZ, VI-CENTE PAZ. Matematica. Conceitos fundamentais. Vols.1 e 2, Sao Paulo: Editora Scipione, 1993.

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