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´ Algebra Linear Andr´ e Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006

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Algebra Linear

Andre Arbex Hallack

Frederico Sercio Feitosa

Janeiro/2006

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Indice

1 Sistemas Lineares 1

1.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Operacoes elementares sobre as equacoes de um sistema - como produzir sistemasequivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Operacoes elementares sobre linhas de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Matrizes linha-reduzidas a forma em escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Multiplicacao de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9 Matrizes invertıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Espacos Vetoriais 27

2.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Combinacoes lineares: geracao de subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Dependencia e independencia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 Base e dimensao de um espaco vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Transformacoes Lineares 49

3.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Resultados imediatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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3.3 Nucleo e Imagem de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Transformacoes injetoras, sobrejetoras, bijetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.6 Representacao de transformacoes por matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7 Composicao de transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.8 Posto e Nulidade de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Formas Canonicas 73

4.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Obtendo autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3 Forma diagonal: a primeira forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Polinomio minimal (ou mınimo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5 Matriz companheira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.6 A forma canonica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 Espacos com Produto Interno 87

5.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4 Angulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.5 Ortogonalizacao; Projecao ortogonal: a melhor aproximacao; Complemento ortogonal . 95

5.6 Tipos especiais de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Referencias 107

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Capıtulo 1

Sistemas Lineares

1.1 Corpos

Seja IK um conjunto de elementos x, y, z, ..., com duas operacoes:

Adicao: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x + y ∈ IK.

Multiplicacao: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x.y ∈ IK.

Suponhamos que estas duas operacoes possuam as seguintes propriedades:

1. x + y = y + x para todos (∀) x, y ∈ IK ;(comutatividade da adicao)

2. x + (y + z) = (x + y) + z ∀x, y, z ∈ IK ;(associatividade da adicao)

3. Existe um unico elemento nulo 0 (zero) em IK tal que 0 + x = x ∀x ∈ IK ;(elemento neutro da adicao)

4. A cada x ∈ IK corresponde um unico elemento (−x) ∈ IK tal que x + (−x) = 0 ;(simetrico na adicao)

5. x.y = y.x ∀x, y ∈ IK ;(comutatividade da multiplicacao)

6. x.(y.z) = (x.y).z ∀x, y, z ∈ IK ;(associatividade da multiplicacao)

7. Existe um unico elemento nao-nulo 1 (um) em IK tal que x.1 = x ∀x ∈ IK ;(elemento neutro da multiplicacao)

1

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2 CAPITULO 1

8. Para cada x 6= 0 em IK existe um unico elemento x−1 (ou 1/x) em IK tal que x.x−1 = 1 ;(inverso na multiplicacao)

9. x.(y + z) = x.y + x.z ∀x, y, z ∈ IK .(distributividade da multiplicacao com relacao a adicao)

O conjunto IK, munido das duas operacoes com as propriedades acima, e denominado umCORPO.

Exemplos:

A) O conjunto Z = { ...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } dos numeros inteiros, com as operacoes usuais,nao e um corpo.

B) O conjunto Q = { p/q : p, q ∈ Z, q 6= 0 } dos numeros racionais, com as operacoes usuais, e umcorpo.

C) O conjunto IR dos numeros reais (que fazemos corresponder geometricamente aos pontos de umareta orientada), com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao, e um corpo.

D) O conjunto C = { x + iy : x, y ∈ IR } dos numeros complexos, onde{x e a parte real de x + iy , y e a parte imaginaria de x + iy

i2 = −1

com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao, dadas por:

Adicao: (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

Multiplicacao: (x1 + iy1).(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1), e um corpo.

Observacoes:

• Os elementos de um corpo IK serao chamados ESCALARES.

• Neste curso iremos trabalhar com os corpos IR e C .

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Sistemas Lineares 3

1.2 Sistemas de Equacoes Lineares

Seja IK um corpo (IR ou C). Consideremos o problema da determinacao de n escalares (elementosde IK) x1, x2, ..., xn que satisfacam as condicoes:

(*)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2

......

......

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym

onde y1, y2, ..., ym e aij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, sao elementos dados de IK.

Definicao 1.1. (*) e dito um SISTEMA DE m EQUACOES LINEARES A n INCOGNITAS. UmaSOLUCAO do sistema (*) e uma n-upla (x1, x2, ..., xn) de escalares em IK que satisfaz simultane-amente as m equacoes.

Observacao: Se, em particular, y1 = y2 = ... = ym = 0, entao o sistema e chamado um SIS-TEMA HOMOGENEO e, neste caso, a n-upla (0, 0, ..., 0) sera uma solucao, denominada SOLUCAOTRIVIAL.

Exemplos:

A) x = 5, y = 3, z = −1, ou seja (5, 3,−1), e (a unica) solucao do sistema linear:2x− y + 2z = 5−x + 3y − z = 5x + 2y + 3z = 8

B) O sistema linear

2x− y = 7−x + 3y = 4x + 2y = 10

nao admite nenhuma solucao.

C) Consideremos em um corpo IK o seguinte sistema:2x + y − 3z = 0x− y + z = 0x + 2y − z = 0

D) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema homogeneo:2x + y − 3z = 0x− y + z = 0x + 2y − 4z = 0

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4 CAPITULO 1

E) Consideremos, em C, o seguinte sistema linear:{ix + 2y = 3− 6i

3x + y = 2

F) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema{2x + y − z = 1−x− y + z = 2

1.3 Sistemas equivalentes

Seja (x1, x2, ..., xn) uma solucao do sistema (*).

Dados m escalares c1, c2, ..., cm em IK, temosc1(a11x1 + ... + a1nxn) = c1y1

......

cm(am1x1 + ... + amnxn) = cmym

Somando as m equacoes, temos uma nova equacao

(c1a11 + ... + cmam1)x1 + ... + (c1a1n + ... + cmamn)xn = (c1y1 + ... + cmym)

Esta equacao e dita uma COMBINACAO LINEAR das equacoes do sistema (*) e e imediato quea solucao (x1, x2, ..., xn) atende a esta equacao.

(Exemplo)

Consequencia:

Se tivermos um outro sistema de equacoes lineares:

(**)

b11x1 + b12x2 + ... + b1nxn = z1

b21x1 + b22x2 + ... + b2nxn = z2

......

......

bk1x1 + bk2x2 + ... + bknxn = zk

no qual cada uma das k equacoes e combinacao linear das equacoes de (*), entao toda solucao de (*)e tambem uma solucao de (**).

Observacao: Pode acontecer de (**) ter solucoes que nao sao solucoes de (*). Isto nao ocorrerase tambem cada equacao de (*) for uma combinacao linear das equacoes de (**).

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Sistemas Lineares 5

Definicao 1.2. Dizemos que dois sistemas de equacoes lineares sao EQUIVALENTES se cadaequacao de cada sistema for combinacao linear das equacoes do outro sistema.

Temos entao o

Teorema 1.3. Sistemas equivalentes de equacoes lineares tem exatamente as mesmas solucoes.

Nosso objetivo: Dado um sistema de equacoes lineares, vamos tentar produzir umoutro sistema equivalente ao sistema dado e que seja mais facil de resolver!

1.4 Operacoes elementares sobre as equacoes de um sistema - como

produzir sistemas equivalentes

Consideremos as seguintes operacoes, chamadas ELEMENTARES, sobre as equacoes de um sis-tema linear:

(i) multiplicacao de uma equacao por um escalar nao-nulo;

(ii) substituicao de uma equacao pela soma dela com uma outra equacao multiplicada por um escalar;

(iii) troca entre duas equacoes.

Qualquer uma destas operacoes ira produzir um sistema equivalente (e, portanto, com as mesmassolucoes) ao sistema original. Assim, basta produzirmos um sistema mais facil de resolver.

Exemplos:

A)

{2x + y = 5−x− 2y = 2

B)

2x− y = 7−x + 3y = 4x + 2y = 10

C)

2x− y − 3z = 0x− y + z = 0

x + 2y − 4z = 0

Observacao: Ao realizar operacoes elementares sobre as equacoes dos sistemas lineares, buscandoproduzir sistemas equivalentes mais simples de resolver, nos trabalhamos efetivamente apenas comos coeficientes aij e os escalares y1, ..., ym. Isto motiva a definicao de um novo tipo de objeto.

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6 CAPITULO 1

1.5 Matrizes

Definicao 1.4. Uma MATRIZ m × n sobre um corpo IK e uma funcao A do conjunto dos paresde inteiros (i, j), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n em IK. Os elementos da matriz A sao os escalaresA(i, j) = aij ∈ IK.

E conveninete descrever uma matriz exibindo seus elementos em uma tabela retangular com m

linhas e n colunas:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

am1 am2 ... amn

As m-uplas verticais

a11

a21

...am1

...

a1n

a2n

...amn

sao as chamadas colunas da matriz A.

As n-uplas horizontais(

a11 a12 ... a1n

)...(

am1 am2 ... amn

)sao as chamadas linhas

da matriz A.

Um elemento aij esta disposto na linha i e na coluna j.

Tambem denotaremos uma matriz A com m linhas e n colunas por Am×n.

Exemplos:

A) A =

2 1−3 0

0 1

e uma matriz 3× 2 sobre IR.

B) B =

[2i 7

√2 + 5i 3

2 4 0 i

]e uma matriz 2× 4 sobre C.

Igualdade de Matrizes: Duas matrizes Am×n e Br×s sao iguais quando m = r, n = s eaij = bij , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n, ou seja, quando possuem os mesmos numeros de linhas e colunas, eos elementos “correspondentes” sao todos iguais.

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Sistemas Lineares 7

Alguns tipos de matrizes

A) Matriz Quadrada: Uma m×n matriz e dita quadrada quando tem o mesmo numero de linhase colunas (m = n). Exemplo:

A2×2 =

[i 1

−2 1

]

A diagonal principal de uma matriz quadrada A = (aij)n×n consiste nos elementos a11, a22, ..., ann.

B) Matriz Diagonal: Uma matriz A = (aij) e diagonal quando e quadrada e seus elementos quenao estao na diagonal principal sao todos nulos, ou seja, aij = 0 se i 6= j.Exemplo:

B =

3i 0 00 1 00 0 3

5

Um exemplo especial de matriz diagonal e a chamada matriz identidade: ela e uma matrizdiagonal onde os elementos da diagonal principal sao todos iguais a 1.Denotaremos uma n × n matriz identidade por In×n ou simplesmente I quando for claro(pelo contexto) qual a ordem da matriz.

C) Matriz Nula: Uma matriz A = (aij)n×m e dita nula se aij = 0 para todo i, j, 1 ≤ i ≤ n e1 ≤ j ≤ m. A matriz nula sera representada por O.

D) Matriz Triangular Superior: Uma matriz A = (aij) e triangular superior quando e quadradae seus elementos abaixo da diagonal principal sao todos nulos, isto e, aij = 0 se i > j.Exemplo:

D =

1 9 0 −60 1

6 −2 i

0 0 0 80 0 0 1

E) Matriz Triangular Inferior: Uma matriz A = (aij) e triangular inferior quando e quadrada e

seus elementos acima da diagonal principal sao todos nulos, isto e, aij = 0 se i < j.Exemplo:

E =

6 0 04 5

6 02 1 1

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8 CAPITULO 1

F) Matriz Coluna: Matriz formada por uma unica coluna.Exemplo:

N =

628

G) Matriz Linha: Matriz formada por uma unica linha.

Exemplo:P =

[−1 0 −6i 6 3

4

]

Adicao de matrizes e multiplicacao de uma matriz por um escalar

Adicao de matrizes: A soma das matrizes Am×n e Bm×n e a m× n matriz denotada por A + B

e dada por:

A + B =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n

......

. . ....

am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

Multiplicacao de uma matriz por um escalar: Se k ∈ IK, o produto k.A e a m × n matriz

denotada por kA e dada por:

kA =

k.a11 k.a12 . . . k.a1n

k.a21 k.a22 . . . k.a2n

......

. . ....

k.am1 k.am2 . . . k.amn

Tambem definimos : −A = (−1).A e A−B = A + (−1).B

Propriedades Basicas : Sejam A,B e C matrizes quaisquer m× n sobre um corpo IK ek1, k2 ∈ IK escalares em IK. Valem as seguintes propriedades:(1) A + (B + C) = (A + B) + C

(2) A + O (matriz nula) = A

(3) A + (−A) = O (matriz nula)(4) A + B = B + A

(5) k1(A + B) = k1A + k1B

(6) (k1 + k2)A = k1A + k2A

(7) (k1k2)A = k1(k2A)(8) 1.A = A

(9) 0.A = O (matriz nula)

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Sistemas Lineares 9

1.6 Operacoes elementares sobre linhas de uma matriz

Ao buscar as solucoes de um sistema linear

(*)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2

......

......

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym

realizamos operacoes elementares sobre as equacoes do sistema ate produzir um sistema equivalentemais simples de resolver.

Neste processo, nos essencialmente trabalhamos com os coeficientes aij e com os escalares y1, ..., ym.

As operacoes elementares sobre as equacoes do sistema (*) correspondem, portanto, operacoes“semelhantes” sobre as linhas da matriz

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

am1 am2 ... amn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣y1

y2

...ym

chamada a MATRIZ COMPLETA (ou AMPLIADA) do sistema (*). (Exemplo)

Definicao 1.5. Se A e B sao m × n matrizes sobre um corpo IK, dizemos que B e LINHA-EQUIVALENTE a A se B pode ser obtida aplicando-se sobre A uma sequencia finita de operacoeselementares sobre linhas.

Resumindo:

Sistema Linear

operacoes elementaressobre as equacoes

−→Sistema equivalentemais simples

l l

Matriz completado sistema

operacoes elementaressobre as linhas

−→Matriz linha-equivalentemais simples

Pergunta natural: A que tipo de matriz linha-equivalente estamos tentando chegar?

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10 CAPITULO 1

1.7 Matrizes linha-reduzidas a forma em escada

Definicao 1.6. Uma matriz m× n e LINHA-REDUZIDA A FORMA EM ESCADA se as seguintescondicoes sao satisfeitas:

1. o primeiro elemento nao nulo de cada linha nao nula e igual a 1;

2. cada coluna que contem o primeiro elemento nao nulo de uma linha tem todos os seus outroselementos iguais a 0;

3. toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nao nulas;

4. o primeiro elemento nao-nulo da primeira linha ocorre “antes”(em termos de coluna) do primeiroelemento nao-nulo da segunda linha, que por sua vez ocorre “antes”do primeiro elemento nao-nulo da terceira linha, e assim por diante ...

Exemplos:

A =

1 0 0 00 1 −1 00 0 1 0

B =

0 1 −3 0 30 0 0 1 20 0 0 0 0

C =

0 2 11 0 −30 0 0

D =

1 0 20 0 00 −1 2

Teorema 1.7. Toda matriz Am×n e linha-equivalente a uma unica matriz linha-reduzida a forma emescada.

Exemplos:

A)

2x − y = 7−x + 3y = 4x + 2y = 10

B)

{ix + 2y = 3− 6i

3x + y = 2

C)

{2x + y − z = 1−x − y + z = 2

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Sistemas Lineares 11

Exercıcios:

1) Descreva todas as possıveis matrizes 2× 2, 2× 3 e 3× 3 que estao na forma linha-reduzida aforma escada.

2) Resolva os seguintes sistemas de equacoes lineares pelo metodo do escalonamento: rea-lizando as 3 operacoes elementares sobre as linhas da matriz completa do sistema ateque a matriz dos coeficientes fique linha-reduzida a forma escada, produzindo assim umsistema equivalente (portanto com as mesmas solucoes do original) e mais facil de resolver:

a.

{2x + y = 5x − 3y = 6

b.

{ √3x − iy = 0x − y = −3 + i

√3

c.

{x − 2y + 3z = 02x + 5y + 6z = 0

d.

2x − y + 3z = 114x − 3y + 2z = 0x + y + z = 63x + y + z = 4

e.

ix + z = 2i

2x − iz = 4−ix + z = −i

f.

y + 3z = −2

2x + y − 4z = 32x + 3y + 2z = −1

g.

x − 2y + 3z = 02x − y + 2z = 03x + y + 2z = 0

h.

3x + 5y = 12x + z = 35x + y − z = 0

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12 CAPITULO 1

i.

x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 142x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1

j.

x − 3y + z = 2−2x + 3y − 3z = −12x − 9y + z = 5

k.

x + 3y − 2z = 4− 4i

−ix + 2y + z = 8x + y − z = 1

l. x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1

m.

{2x − i

√2y = 0

ix + y = 0

n.

{x + y + z = 42x + 5y − 2z = 3

o.

x + y + z = 42x + 5y − 2z = 3x + 7y − 7z = 5

p.

2y + 2z = 0

x + y + 3z = 03x − 4y + 2z = 02x − 3y + z = 0

q.

x + y + z + w = 0x + y + z − w = 4x + y − z + w = −4x − y + z + w = 2

r.

−2x + y + 5z = 0x − 2y − 4z = −3i

x − y − 3z = −i

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Sistemas Lineares 13

3) Determine k para que o sistema abaixo admita solucao (e exiba a solucao):−4x + 3y = 25x − 4y = 02x − y = k

4) Determine k para que o sistema homogeneo abaixo admita solucao nao trivial (e exiba-a):2x − 5y + 2z = 0x + y + z = 02x + kz = 0

5) Dado o sistema linear3x + 5y + 12z − w = −3x + y + 4z − w = −6

2y + 2z + w = 5

(a) Discuta a solucao do sistema.(b) Acrescente a equacao 2z + kw = 9 a este sistema e encontre um valor de k que torne o sistemaimpossıvel.

6) Determine os valores de k de modo que o sistema abaixo (e obtenha as solucoes) tenhax + y + kz = 23x + 4y + 2z = k

2x + 3y − z = 1

(a) Solucao unica.(b) Infinitas solucoes.(c) Nenhuma solucao.

7) Considere o seguinte sistema de equacoes lineares:x − 2y + z = y1

2x + 4y + z = y2

5y − z = y3 − 1

(a) Quais as condicoes (se houver) sobre y1, y2 e y3 para que o sistema acima tenha solucao ?(b) Cite uma terna (y1, y2, y3) tal que o sistema acima tenha solucao.(c) Apresente a solucao correspondente a terna citada acima em (b).

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14 CAPITULO 1

1.8 Multiplicacao de matrizes

Definicao 1.8. Sejam Am×n e Bn×p matrizes sobre um corpo IK. O PRODUTO DE A POR B euma m× p matriz C = A.B dada por:

cij =n∑

r=1

airbrj = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj .

Exemplos:

A) A =

2 −11 03 4

, B =

[1 −2 53 4 0

]

B) C =

[1 0−1 1

], D =

[5 −1 2

15 4 8

]

Observacao: O produto AB de A por B so esta definido quando o numero de colunas da matrizA e igual ao numero de linhas da matriz B.

Propriedades:

1. Seja A uma m× n matrizse Im×m e a m×m matriz identidade, entao Im×m.A = A

se In×n e a n× n matriz identidade, entao A.In×n = A

2. Seja A uma m× n matrizse Op×m e a p×m matriz nula, entao Op×m.A = Op×n (p× n matriz nula)se On×s e a n× s matriz nula, entao A.On×s = Om×s (m× s matriz nula)

3. Dadas matrizes Am×p, Bp×n e Cp×n, temos:A(B + C) = AB + AC .

4. Dadas matrizes An×p, Bm×n e Cm×n, temos:(B + C)A = BA + CA .

5. Dadas matrizes Am×n, Bn×p e Cp×k, temos:A(BC) = (AB)C .

6. Dadas matrizes Am×p, Bp×n e qualquer escalar λ, temos:λ(AB) = (λA)B = A(λB) .

Page 19: Apostila ufjf

Sistemas Lineares 15

Observacao: Em geral AB 6= BA (o produto de matrizes nao e comutativo).Por exemplo:

A =

1 −1 1−3 2 −1−2 1 0

e B =

1 2 32 4 61 2 3

Temos que,

AB = O3×3 e BA =

−11 6 −1−22 12 −2−11 6 −1

Consequencias importantes da definicao de multiplicacao de matrizes:

1a) Cada linha da matriz C = AB e uma combinacao linear das linhas de B. A combinacao linearque “fornece” a i-esima linha de C e dada pela i-esima linha de A.(Exemplo)

2a) Cada coluna da matriz C = AB e uma combinacao linear das colunas de A. A combinacao linearque “fornece” a j-esima coluna de C e dada pela j-esima coluna de B.(Exemplo)

3a) Todo sistema linear (*)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2

......

......

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym

pode ser descrito por uma unica equacao matricial AX = Y , onde:

A =

a11 a12 ... a1n

a12 a22 ... a2n

......

. . ....

am1 am2 ... amn

e a matriz dos coeficientes do sistema, X =

x1

x2

...xn

e Y =

y1

y2

...ym

Observacao: Uma solucao (x1, x2, ..., xn) do sistema corresponde a uma matriz

X =

x1

x2

...xn

que satisfaz a equacao AX = Y.

(Exemplo)

Page 20: Apostila ufjf

16 CAPITULO 1

Exercıcio:

Considere o sistema

{x + 6y − 8z = 12x + 6y − 4z = 0

, que na forma matricial fica

[1 6 −82 6 −4

].

x

y

z

=

[10

]

(a) Verifique que a matriz X1 =

−11/3

0

e uma solucao particular para o sistema.

(b) Resolva o sistema e verifique que toda solucao e da forma X = λ.

−421

+

−11/3

0

(c) Mostre que λ.

−421

e a solucao de

[1 6 −82 6 −4

].

x

y

z

=

[00

]

(d) Generalize os resultados obtidos acima e mostre que toda solucao de um sistema linearAX = Y e a soma de uma solucao do sistema homogeneo AX = 0 com uma solucao particu-lar de AX = Y .

4a) Consideremos um sistema linear AX = Y como (*).

Se existir uma n×m matriz A tal que

{A.A = In×n

A.A = Im×m

, entao o sistema possui uma unica

solucao dada por X = A.Y .

(Exemplo)

1.9 Matrizes invertıveis

Definicao 1.9. Uma n × n matriz quadrada A sobre um corpo IK e dita INVERTIVEL se existiruma n × n matriz B tal que B.A = A.B = In×n. Neste caso B e dita a INVERSA da matriz A eescrevemos B = A−1.

(Exemplo)

Page 21: Apostila ufjf

Sistemas Lineares 17

Observacoes:

1. Se A e invertıvel, entao A−1 tambem e invertıvel e (A−1)−1 = A.

2. Se A e B sao invertıveis, entao AB tambem e invertıvel e (AB)−1 = B−1A−1.

Teorema 1.10. Seja A uma n× n matriz quadrada sobre um corpo IK. Temos:

A e uma matrizinvertıvel

⇐⇒Cada sistema AX = Y

possui uma unica solucao⇐⇒

A e linha-equivalente an× n matriz identidade

Procedimento para inversao de matrizes:

Consideremos a matriz A2×2 =

[2 1−1 −2

]e o problema de determinar a inversa de A, se ela

existir.

Estaremos procurando uma matriz B =

[b11 b12

b21 b22

]tal que A.B =

[1 00 1

].

E facil ver que este problema e equivalente a resolver os seguintes sistemas lineares (escritos naforma matricial):[

−2 13 1

].

[b11

b21

]=

[10

] [−2 13 1

].

[b12

b22

]=

[01

]

Para resolvermos estes sistemas, executamos sobre a matriz completa de cada um deles as operacoeselementares sobre linhas ate transformar a matriz A dos coeficientes em uma matriz linha-reduzidaa forma em escada (A sera invertıvel se, e so se, for linha-equivalente a 2× 2 matriz identidade).

Porem, como a matriz dos coeficientes de ambos os sistemas e a mesma (A), podemos resolveros sistemas simultaneamente. Para tal, colocamos a matriz identidade ao lado de A e realizamossobre I2×2 a mesma sequencia de operacoes sobre linhas que aplicada a matriz A devera produzir aidentidade.

A matriz resultante sera a inversa da matriz A.

Observacao: Se A nao for linha-equivalente a matriz identidade, entao A nao e invertıvel.

Page 22: Apostila ufjf

18 CAPITULO 1

Exercıcios:

1) Considere as seguintes matrizes:

A =

2 1 0 01 0 −1 10 1 1 1

−1 0 0 3

B =

3 −3 −3 2

−5 6 6 −44 −5 −4 31 −1 −1 1

(a) Obtenha os produtos: A.B e B.A .(b) Sabemos que cada sistema abaixo possui uma unica solucao (por que ?). Obtenha-as diretamente.

3x − 3y − 3z + 2w = 2−5x + 6y + 6z − 4w = −14x − 5y − 4z + 3w = 3x − y − z + w = 1

2x + y = 0x − z + w = 1

y + z + w = −2−x + 3w = 0

(c) Verifique as solucoes obtidas.

2) O objetivo deste exercıcio (dirigido) e mostrar que se A e B sao duas n × n matrizes tais queA.B = In×n , entao B.A = In×n (ou seja, na definicao de matriz invertıvel, basta que um dosprodutos seja verificado).

Suponhamos entao que A e B sejam duas n× n matrizes tais que A.B = In×n .

1o passo: Mostre que o sistema homogeneo BX = O so admite a solucao trivial.

2o passo: Conclua que cada sistema BX = Y admite uma unica solucao.

3o passo: Sem utilizar o resultado do Teorema 1.10, mostre diretamente do resultado do 2o passoque existe uma n× n matriz C tal que B.C = In×n .

4o passo: Conclua que C = A obrigatoriamente e portanto B.A = In×n .

3) Identifique quais matrizes, entre as dadas abaixo, sao invertıveis, obtenha as inversas (caso sejaminvertıveis) e verifique as inversas.

(Sugestao: Realize operacoes elementares sobre as linhas da matriz ate obter uma matriz linha-reduzida a forma escada e use que uma matriz An×n e invertıvel se, e somente se, A e linha-equivalentea n× n Matriz Identidade In×n)

A =

−2 −1 15 3 −13 1 −3

B =

[i −1

1 + 2i −3

]C =

1 0 1−1 3 1

0 1 1

Page 23: Apostila ufjf

Sistemas Lineares 19

1.10 Determinantes

Seja (x, y) uma solucao do seguinte sistema de equacoes lineares:{a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

que na forma matricial e escrito como:[a11 a12

a21 a22

].

[x

y

]=

[b1

b2

]ou AX = Y

sendo A =

[a11 a12

a21 a22

]a matriz dos coeficientes do sistema, X =

[x

y

]e Y =

[b1

b2

]

Multiplicando cada equacao por constantes adequadas e somando-as, buscando “isolar” x e y

nas equacoes do sistema, chegamos a:

(a11a22 − a12a21).x = (b1a22 − a12b2) e (a11a22 − a12a21).y = (a11b2 − b1a21).

Se (a11a22 − a12a21) 6= 0 , podemos obter:

x =(b1a22 − a12b2)

(a11a22 − a12a21)e y =

(a11b2 − b1a21)(a11a22 − a12a21)

.

Existe portanto uma forte relacao entre o numero (a11a22−a12a21) e o sistema A.X = Y dado.

Temos entao:

Definicao 1.11. Seja A =

[a11 a12

a21 a22

]uma 2× 2 matriz (de numeros reais ou complexos).

Definimos o DETERMINANTE da matriz A ( det A ou |A| ) como:

det A = a11a22 − a12a21.

O raciocınio e a definicao anteriores podem ser generalizados de forma que possamos definir odeterminante de uma matriz de ordem n× n , com n ≥ 3 , atraves de um metodo conhecido comoDesenvolvimento de Laplace.

Page 24: Apostila ufjf

20 CAPITULO 1

Definicao 1.12. Seja A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

an1 an2 ... ann

uma n × n (n ≥ 3) matriz sobre um corpo IK

(IR ou C).

Escolhendo qualquer linha i ∈ {1, 2, ..., n} , definimos

det A =n∑

j=1

aij∆ij = ai1∆i1 + ai2∆i2 + ... + ain∆in

sendo ∆ij (COFATOR do elemento aij da matriz A) o escalar dado por

∆ij = (−1)i+j .det A(i|j).

onde A(i|j) e a (n− 1)× (n− 1) matriz obtida retirando-se de A a linha i e a coluna j.

Obs.: O resultado independe da linha i escolhida.

(Exemplos)

Observacao: Em geral, para o calculo de determinantes de matrizes de ordem maior ou igual a4 e conveniente combinar as propriedades dos determinantes (a seguir) com a definicao (Desenvolvi-mento de Laplace).

Propriedades fundamentais dos determinantes:

A) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz quadrada por uma constante, entao seu determinantefica multiplicado por esta constante.

B) Trocando a posicao de duas linhas de uma matriz quadrada, seu determinante muda de sinal.

C)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

......

...bi1 + ci1 bi2 + ci2 ... bin + cin

......

...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

......

...bi1 bi2 ... bin

......

...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

......

...ci1 ci2 ... cin

......

...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣D) Se A e B sao n× n matrizes, entao det(A.B) = det A. det B

Page 25: Apostila ufjf

Sistemas Lineares 21

E) Se A e uma n×n matriz e At e sua transposta, ou seja, Atij = Aji (as colunas de At sao as linhas

de A e as linhas de At sao as colunas de A, ordenadamente), entao

det At = detA .

Observacao: Esta ultima propriedade nos permite estender as propriedades anteriores referentes alinhas para propriedades semelhantes referentes a colunas.

Tambem temos, como det At = det A, que det A =∑n

i=1 aij∆ij , ou seja, o Desenvolvimento deLaplace na nossa definicao pode ser feito “ao longo” das colunas da matriz A.

F) Seja

[A B

O C

]uma n× n matriz na forma de blocos, onde A e C sao matrizes quadradas

e O e uma matriz nula, entao det

[A B

O C

]= detA.det C

(Exemplos)

A matriz adjunta: caracterizacao das matrizes invertıveis

Seja A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

an1 an2 ... ann

uma n× n matriz quadrada.

Chamamos de MATRIZ ADJUNTA DE A, a transposta da matriz dos cofatores de A

adjA =

∆11 ∆12 ... ∆1n

∆21 ∆22 ... ∆2n

......

. . ....

∆n1 ∆n2 ... ∆nn

t

=

∆11 ∆21 ... ∆n1

∆12 ∆22 ... ∆n2

......

. . ....

∆1n ∆2n ... ∆nn

(Exemplo)

Teorema 1.13. Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK. Entao:

A. adjA = adjA.A = (det A).In

(Exemplo)

Page 26: Apostila ufjf

22 CAPITULO 1

Finalmente, chegamos ao resultado pretendido:

Teorema 1.14. Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK. Entao:

A e invertıvel ⇐⇒ det A 6= 0

Demonstracao:

(⇒) Se A e invertıvel, entao existe uma n× n matriz B tal que A.B = In×n. Segue entao

det A. det B = det(A.B) = det I = 1 ⇒ det A 6= 0 .

(⇐) Se det A 6= 0 , segue do Teorema anterior que

1det A

(A. adjA) =1

det A( adjA.A) =

1det A

(detA).In .

Logo

A.

(1

det AadjA

)=(

1det A

adjA)

.A = In .

Portanto A e invertıvel, e A−1 =1

det AadjA .

Resumo dos principais resultados deste capıtulo:

Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK.

Entao

Cada sistema linear AX = Y possui uma unica solucao.

m

O sistema homogeneo AX = O possui apenas a solucao trivial X = O.

m

A e linha-equivalente a n× n matriz identidade In×n.

m

A e invertıvel.

m

det A 6= 0 .

Page 27: Apostila ufjf

Sistemas Lineares 23

Exercıcios:

1) Dada a matriz A =

2 1 −30 2 15 1 3

calcule

(a) adj A

(b) detA

(c) A−1

2) Prove as seguintes propriedades dos determinantes, utilizando outras propriedades conhecidas oua propria definicao de determinante:

(a) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz sao nulos, entao seu determinantee igual a 0 (zero).(b) Se uma matriz tem duas linhas (ou colunas) iguais entao seu determinante e igual a 0 (zero).(c) Se em uma matriz quadrada, duas linhas (ou colunas) tem seus elementos correspondentes pro-porcionais, o determinante e igual a 0 (zero).(d) O determinante de uma matriz nao se altera se somarmos a uma linha (coluna) uma outra linha(coluna) multiplicada por uma constante.

Para cada uma das propriedades acima, de um exemplo com uma aplicacao da propriedade.

3) Propriedade: O determinante de uma matriz triangular An×n e igual ao produto dos elementosde sua diagonal principal.

(a) Prove esta propriedade no caso em que A e uma matriz triangular superior (generica) 4 × 4.(Sugestao: Use Laplace)

(b) O que voce pode dizer sobre o determinante da matriz abaixo ?

λ− 2 0 0 0

1 λ− 2 0 052 27 λ + 1 00 π

√3 5

4) Identifique, entre as matrizes dadas, quais sao invertıveis, obtenha as inversas (daquelas que foreminvertıveis) e verifique as inversas.

(Sugestao: Para identificar as invertıveis, calcule os determinantes e use que uma matriz An×n einvertıvel se, e somente se, det A 6= 0 - de uma olhada no enunciado do proximo exercıcio)

Page 28: Apostila ufjf

24 CAPITULO 1

A =

1 0 11 2 30 2 2

B =

2 0 −13 0 24 −3 7

C =

[2 + i 3

1 2− i

]

D =

4 −1 2 −23 −1 0 02 3 1 00 7 1 1

E =

1 0 21 1 42 2 4

F =

2 3 1 −25 3 1 40 1 2 23 −1 −2 4

G =

3 −3 −3 2

−5 6 6 −44 −5 −4 31 −1 −1 1

H =

3 0 0 0 0

19 18 0 0 0−6 π −5 0 0

4 2√

3 0 08 3 5 6 −1

J =

0 −i −2 i

1 −1 i 10 −1 1 −i

1 1 1 0

L =

[6 2

11 4

]M =

1 1 3 9

−2 1 6 30 0 3 −10 0 −1 1

N =

2 −3 71 0 30 2 −1

P =

2 0 i

1 −3 −i

i 1 1

Q =

[2 −4

−5i 7i

]R =

1 0 0 00 1 1 00 2 1 10 1 0 1

5) Calcule os determinantes das matrizes do exercıcio anterior.

6) Responda se cada uma das afirmativas abaixo e verdadeira ou falsa (considere matrizes n × n).Se for verdadeira, justifique-a. Se for falsa, apresente um contra-exemplo mostrando que e falsa:

(a) Se I e a matriz identidade, entao det I = 1(b) Se A e inversıvel entao det A−1 = 1

det A

(c) Para todas matrizes A e B temos que det(A + B) = det A + det B

(d) Para todas matrizes A e B temos que det(AB) = det(BA)(e) Se existe uma matriz inversıvel P tal que B = P−1.A.P entao det B = detA

(f) Se detA = 1 entao A−1 = A

(g) Para toda matriz A temos que det(k.A) = k. det A

Page 29: Apostila ufjf

Sistemas Lineares 25

7) Para cada um dos n× n sistemas homogeneos AX = λX (λ ∈ IK) dados a seguir (“arrume” ossistemas e observe que sao de fato homogeneos), faca:

(1) Determine os valores de λ para os quais o sistema admite pelo menos uma solucao nao trivial.

(Sugestao: CX = 0 so admite a solucao trivial X = 0 se, e somente se, det C 6= 0).

(2) Obtenha as solucoes de AX = λX para os valores de λ obtidos no item anterior.

a.

{−3x + 4y = λx

−x + 2y = λySobre o corpo IR

b.

5x − 6y − 6z = λx

−x + 4y + 2z = λy

3x − 6y + −4z = λz

Sobre o corpo IR

c.

1 −3 13 1 10 0 −1

.

x

y

z

= λ.

x

y

z

Sobre o corpo IR

d.

1 −3 13 1 10 0 −1

.

x

y

z

= λ.

x

y

z

Sobre o corpo C

Observando que o sistema homogeneo AX = λX corresponde a (A − λI)X = 0 (onde I e an× n matriz identidade) e baseado na resolucao dos ıtens (1) e (2) acima, descreva a condicao sobreλ para que AX = λX possua pelo menos uma solucao nao trivial.

Obs.: No futuro, ao estudarmos as transformacoes lineares, sera fundamental obtermos uma

matriz nao nula X =

x1

x2

...xn

tal que, dada uma n× n matriz A, AX seja um multiplo

de X, ou seja, AX = λX (X 6= 0).

Page 30: Apostila ufjf

26 CAPITULO 1

Page 31: Apostila ufjf

Capıtulo 2

Espacos Vetoriais

Ao estudarmos o “plano” IR2, o “espaco tridimensional” IR3, o conjunto Mm×n(IK) das m × n

matrizes sobre um corpo IK, o conjunto P (IK) = {anxn + ... + a1x + a0, ai ∈ IK} dos polinomios comcoeficientes num corpo IK ou o conjunto C(IR) das funcoes f : IR → IR contınuas, por exemplo, comsuas operacoes usuais de adicao e de multiplicacao por escalar, comecamos a perceber uma “estruturacomum” a todos estes conjuntos (com estas operacoes).

Seria entao natural estudar esta estrutura da maneira mais geral possıvel, de modo que os resul-tados obtidos possam ser aplicados a todos os conjuntos que possuam esta estrutura.

A estrutura comum a qual nos referimos acima e a estrutura de espaco vetorial e a Algebra Linearestuda (de modo geral) os espacos vetoriais, bem como certos tipos de funcoes entre espacos vetoriais,as chamadas transformacoes lineares.

2.1 Definicao e exemplos

Definicao 2.1. Um ESPACO VETORIAL SOBRE UM CORPO IK e um conjunto V , cujos objetossao denominados VETORES, munido de duas operacoes:

• Adicao de vetores: que associa a cada par de vetores u, v em V um vetor u + v ∈ V ;

• Multiplicacao por escalar: que associa a cada escalar a ∈ IK e cada vetor u ∈ V um vetora.u ∈ V ,

as quais possuem as seguintes propriedades:

27

Page 32: Apostila ufjf

28 CAPITULO 2

EV.1) u + v = v + u ∀u, v ∈ V

EV.2) u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v, w ∈ V

EV.3) Existe um unico vetor 0 ∈ V , chamado o VETOR NULO, tal que u + 0 = u ∀u ∈ V

EV.4) Para cada vetor u ∈ V , existe um unico vetor −u ∈ V tal que u + (−u) = 0 (nulo)EV.5) 1.u = u ∀u ∈ V

EV.6) (a.b).u = a.(b.u) ∀a, b ∈ IK, ∀u ∈ V

EV.7) a.(u + v) = a.u + a.v ∀a ∈ IK, ∀u, v ∈ V

EV.8) (a + b).u = a.u + b.u ∀a, b ∈ IK, ∀u ∈ V

Exemplos:

A) Consideremos o conjunto IR2 = {(x, y) : x, y ∈ IR} com as operacoes usuais de adicao e demultiplicacao por escalar:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ IR2

a.(x, y) = (ax, ay) ∀a ∈ IR, ∀(x, y) ∈ IR2

Identificamos geometricamente IR2 com o plano cartesiano (estudado na geometria analıtica):

IR2, com as operacoes usuais acima, e um espaco vetorial sobre o corpo IR.

B) Consideremos o conjunto IR3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ IR} com as operacoes usuais de adicao e demultiplicacao por escalar:

(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ∀(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ IR3

a.(x, y, z) = (ax, ay, az) ∀a ∈ IR, ∀(x, y, z) ∈ IR3

Identificamos geometricamente IR3 com o espaco euclidiano “tridimensional”:

IR3, com as operacoes usuais acima, e um espaco vetorial sobre o corpo IR.

Page 33: Apostila ufjf

Espacos Vetoriais 29

C) Consideremos o conjunto IRn = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ IR, i = 1, ..., n}, onde esta fixado n ∈ IN,com as operacoes:

(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) ∀ (x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn) ∈ IRn

a.(x1, x2, ..., xn) = (ax1, ax2, ..., axn) ∀a ∈ IR, ∀ (x1, x2, ..., xn) ∈ IRn

IRn, com as operacoes usuais acima, e um espaco vetorial sobre o corpo IR.

n = 1 ⇒ IR (reta) n = 2 ⇒ IR2 (plano) n = 3 ⇒ IR3 (espaco tridimensional)

Observacao: Analogamente, considerando Cn = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ C, i = 1, ..., n}(n ∈ IN fixado) com as operacoes usuais, temos que Cn e um espaco vetorial sobre C.

D) Fixados m,n ∈ IN, o conjunto Mm×n(IK) das m× n matrizes sobre um corpo IK (IR ou C), comas operacoes usuais de adicao e de multiplicacao por escalar, e um espaco vetorial sobre o corpo IK.

E) O conjunto P (IK) = {anxn + ... + a1x + a0 : ai ∈ IK} dos polinomios sobre um corpo IK (IR ouC), com as operacoes usuais de adicao e de multiplicacao por escalar, e espaco vetorial sobre o corpo IK.

F) Seja X um conjunto nao vazio. Fixado um corpo IK (IR ou C), consideremos o conjuntoF(X; IK) = {f : X → IK} das funcoes de X em IK, com as seguintes operacoes:

Dadas f, g ∈ F(X; IK), definimos (f + g) : X → IK como (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ X.

Dados a ∈ IK e f ∈ F(X; IK), definimos (af) : X → IK como (af)(x) = a.f(x) ∀ x ∈ X.

F(X; IK), com as operacoes acima, e um espaco vetorial sobre o corpo IK.

G) Consideremos o conjunto IR∞ = {(x1, x2, x3, ...) : xi ∈ IR, i = 1, 2, 3, ...}, com as operacoes:

(x1, x2, x3, ...) + (y1, y2, y3, ...) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, ...) ∀ (x1, x2, ...), (y1, y2, ...) ∈ IR∞

a.(x1, x2, x3, ...) = (ax1, ax2, ax3, ...) ∀a ∈ IR, ∀ (x1, x2, ...) ∈ IR∞

IR∞, com as operacoes acima, e um espaco vetorial sobre o corpo IR.

H) Consideremos IR2 com as seguintes operacoes:(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ IR2

a(x, y) = (ax, y) ∀ a ∈ IK, ∀(x, y) ∈ IR2

Com estas operacoes, IR2 nao e um espaco vetorial sobre IR.

Page 34: Apostila ufjf

30 CAPITULO 2

Algumas consequencias “imediatas” da definicao de espaco vetorial:

(a) Se w + u = w + v entao u = v ;

(b) Se 0 e o vetor nulo e a ∈ IK e um escalar qualquer, entao a.0 = 0 ;

(c) Dados 0 ∈ IK e u ∈ V , temos 0.u = 0 ;

(d) Se a.v = 0 entao a = 0 (zero) ou v = 0 (vetor nulo) ;

(e) (−1).u = −u .

Exercıcios:

1) Descreva o vetor nulo de cada um dos espacos vetoriais abaixo (nos quais sao consideradas asoperacoes usuais de adicao de vetores e de multiplicacao por escalar) :

(a) IR2 (b) IR3 (c) IRn (d) Cn (e) M2×3 (C)

(f) P (IR) (polinomios com coeficientes em IR)

(g) F (IR) = {f : IR → IR} (funcoes de IR em IR)

2) Em cada item abaixo definimos em IR2 operacoes de adicao de vetores e de multiplicacao porescalar com as quais IR2 nao e espaco vetorial. Mostre (atraves de contra-exemplos), em cadacaso, quais propriedades de espacos vetoriais nao sao atendidas pelas operacoes dadas:

(a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 2y1 + 2y2)a.(x, y) = (ax, ay)

(b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)a.(x, y) = (ay, ax)

3) Seja V = {(1, x, 2) ; x ∈ IR} munido das operacoes:

(1, x1, 2) + (1, x2, 2) = (1, x1 + x2, 2) ∀ (1, x1, 2), (1, x2, 2) ∈ V

a.(1, x, 2) = (1, ax, 2) ∀ a ∈ IR, ∀ (1, x, 2) ∈ V

Mostre que V e um espaco vetorial sobre o corpo IR e obtenha o vetor nulo de V .

Page 35: Apostila ufjf

Espacos Vetoriais 31

2.2 Subespacos Vetoriais

Definicao 2.2. Seja V um espaco vetorial sobre um corpo IK. Um subconjunto W ⊂ V e dito umSUBESPACO VETORIAL DE V quando W tambem e um espaco vetorial se considerarmos W mu-nido das mesmas operacoes de adicao de vetores e de multiplicacao por escalar definidas em V .

Teorema 2.3. Sejam V um espaco vetorial sobre um corpo IK e W ⊂ V .W e um subespaco vetorial de V se, e somente se:(i) O vetor nulo de V pertence a W (0 ∈ W )(ii) Dados u, v ∈ W , entao u + v ∈ W

(iii) Dados u ∈ W e a ∈ IK, entao a.u ∈ W .

Exemplos:

A) Seja W = {(x,−2x) : x ∈ IR} ⊂ IR2 (operacoes usuais). W e um subespaco vetorial do IR2.

B) Seja S = {(x, x2) : x ∈ IR} ⊂ IR2. S nao e subespaco do IR2.

C) Seja W = {(x1, 0, x3, x4) : x1, x2, x3 ∈ IR} ⊂ IR4. W e um subespaco do IR4.

Page 36: Apostila ufjf

32 CAPITULO 2

D) Sejam W =

X =

x1

x2

...xn

tais que AX = O

⊂ Mn×1(IR) , A ∈ Mm×n(IR) fixada.

W e o conjunto solucao do sistema homogeneo AX = O. W e subespaco de Mn×1(IR).

E) Se A e uma 3× 3 matriz sobre IR e Y 6=

000

entao o conjunto solucao do sistema nao-

homogeneo AX = Y dado por W =

X =

x

y

z

tais que AX = Y

⊂ M3×1(IR) nao e um sube-

spaco de M3×1(IR).

F) Uma n× n matriz A e dita simetrica quando At = A (A e igual a sua transposta).

Seja W = {A2×2 : At = A} ⊂ M2×2(IR), ou seja, W =

{[a b

b c

]: a, b, c ∈ IR

}.

Entao W (conjunto das 2× 2 matrizes simetricas sobre IR) e um subespaco de M2×2(IR).

G) Seja P3(IK) = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 : ai ∈ IK} ⊂ P (IK) o conjunto dos polinomios de grau ≤ 3sobre um corpo IK (IR ou C). P3(IK) e um subespaco vetorial de P (IK).

H) Seja A = {f : IR → IR tais que f(−x) = f(x) ∀x ∈ IR} ⊂ F(IR) o subconjunto das funcoes pares.A e um subespaco de F(IR). Analogamente, o subconjunto das funcoes ımpares em F(IR), dado porB = {f : IR → IR tais que f(−x) = −f(x) ∀x ∈ IR}, tambem e um subespaco vetorial de F(IR).

I) Consideremos o espaco IR∞ de todas as sequencias de numeros reais. Denotaremos por coo osubconjunto de IR∞ formado pelas sequencias que tem um numero FINITO de termos nao nulos, ouseja, as sequencias que sao nulas a partir de um determinado termo.Por exemplo: (1,−3, π, 0,

√2, 0, 0, 0, . . .) ∈ coo e (1, 1, 1, . . . , 1, . . .) 6∈ coo.

coo e um subespaco vetorial de IR∞.

Page 37: Apostila ufjf

Espacos Vetoriais 33

Observacoes:

1. Fixado u ∈ V , o conjunto W = {a.u : a ∈ IK} ⊂ V e um subespaco vetorial de V .

2. O subconjunto W = {0} ⊂ V , formado apenas pelo vetor nulo 0 ∈ V , e um subespaco de V ,denominado SUBESPACO NULO.

3. Todo espaco V e subespaco de si mesmo.

4. Os subespacos V e {0} de V sao denominados SUBESPACOS TRIVIAIS.

Exercıcios:

1) Considere C2 = {(x, y) ; x, y ∈ C} que, com as operacoes usuais de adicao de vetores e de mul-tiplicacao por escalar, e espaco vetorial sobre o corpo C.Temos que IR2 = {(x, y) ; x, y ∈ IR} ⊂ C2 . IR2 e subespaco vetorial de C2 ? Justifique.

2) Considere os espacos V dados abaixo munidos das operacoes usuais de adicao de vetores e demultiplicacao por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W e subespaco vetorial de V e proveque sua resposta esta correta:

(a) V = IR2 , W ={(x, x3) ; x ∈ IR

}(ilustre geometricamente)

(b) V = IR2 , W = {(3y, y) ; y ∈ IR} (ilustre geometricamente)

(c) V = IR2 , W = {(x, 3x) ; x ∈ IR ; x ≥ 0} (ilustre geometricamente)

(d) V = IR2 , W = {(x, 2x− 1) ; x ∈ IR} (ilustre geometricamente)

(e) V = IR3 , W = IR2

(f) V = IR3 , W ={(x, y, z) ∈ IR3 ; y = 3z − x

}(g) V = IR3 , W = {(3a− b, 2a + b, a− 2b) ; a, b ∈ IR}

(h) V = IR3 , W e o conjunto dos vetores do IR3 com pelo menos uma coordenada ≥ 0

(i) V = IR4 , W ={(x, y, z, w) ∈ IR4 ; 2x + y − w = 0 e z = 0

}(j) V = C4 , W e o conjunto dos vetores do C4 que tem duas coordenadas iguais

(k) V = IR4 , W = {(x, y, x, z) ; x, y, z ∈ IR}

(l) V = IR5 , W e o conjunto dos vetores do IR5 com duas ou mais coordenadas nulas

Page 38: Apostila ufjf

34 CAPITULO 2

(m) V = C3 , W ={(x, y, z) ∈ C3 ; x.y = 0

}(n) V = IRn , W = {(x, 2x, 3x, . . . , nx) ; x ∈ IR}

(o) V = M2×2(C) , W =

{ [a 00 b

]; a, b ∈ C

}(p) V = M3×3(IR) , W e o conjunto das matrizes triangulares superiores

(q) V = M2×3(C) , W e o conjunto das 2× 3 matrizes sobre C que temalguma coluna formada por elementos iguais.

(r) V = M2×2(C) , W ={A ∈ V ; At = −A

}(matrizes anti-simetricas)

(s) V = M4×4(IR) , W = {A ∈ V ; det A = 0}

(t) V = M2×2(IR) , W =

{ [0 10 a

]; a ∈ IR

}(u) V = P (IR) , W e o conjunto dos polinomios de grau par, acrescido do polinomio nulo

(v) V = F(IR) , W = {f : IR → IR ; f(−7) = 0}

(w) V = F(IR) , W = {f : IR → IR ; f(1) = 1}

(x) V = F(IR) , W = {f : IR → IR ; f(x + 2π) = f(x) ∀ x ∈ IR} (conjunto das funcoes periodicasde perıodo 2π)

(y) V = IR∞ , W = `∞ = conjunto das sequencias LIMITADAS de numeros reais, ou seja,(x1, x2, x3, . . .) esta em `∞ quando existir algum numero real M tal que |xi| ≤ M para todos ostermos xi da sequencia.

Por exemplo:(

1,12

,13

,14

,15

, . . .

)∈ `∞ e (1,−2, 1,−4, 1,−6, 1,−8, 1,−10, 1, . . .) 6∈ `∞.

(z) V = IR∞ , W e o conjunto das sequencias de numeros reais que tem uma quantidade INFINITAde termos iguais a zero.

Nosso objetivo agora sera construir subespacos a partir de outros subespacos dados. Como sub-espacos sao ainda subconjuntos dos espacos vetoriais nos quais estao inseridos, e natural tentarmosusar as operacoes de intersecao, uniao entre conjuntos para tentar produzir outros subespacos:

Teorema 2.4 (Intersecao de subespacos). Se W1 e W2 sao subespacos de um espaco vetorial V ,entao sua intersecao W1 ∩W2 e tambem um subespaco de V .

Observacao: O resultado acima pode ser generalizado para intersecao de uma famılia qualquer(finita ou infinita) de subespacos vetoriais de V .

Page 39: Apostila ufjf

Espacos Vetoriais 35

Exemplos:

A) Consideremos os conjuntos W1 = {(x, y, z) ∈ IR3 : 3x− y + 2z = 0} ⊂ IR3 eW2 = {(x, y, z) ∈ IR3 : x + 2y + z = 0} ⊂ IR3, subespacos de IR3 (veja exemplo D).

B) Sejam W1 =

{[a b

c 0

]: a, b, c ∈ C

}, W2 =

{[a 00 b

]: a, b ∈ C

}⊂ M2×2(C).

W1 e W2 sao subespacos de M2×2(C) (verifique!). Obtenha W1 ∩W2.

Definicao 2.5. Dados k subconjuntos S1, S2, ..., Sk ⊂ V (espaco vetorial), definimos sua SOMA como

S1 + S2 + ... + Sk = {v = u1 + u2 + ... + uk : ui ∈ Si} ⊂ V .

Teorema 2.6 (Soma de subespacos). Se W1 e W2 sao subespacos de um espaco vetorial V , entaosua soma W1 + W2 e tambem um subespaco de V .

Observacao: O resultado acima e imediato tambem para a soma W1 + ... + Wk de uma colecaofinita de subespacos de V .

Definicao 2.7. Sejam W1 e W2 dois subespacos de um espaco V . Quando W1 ∩ W2 = {0} entaoW1 + W2 e chamada SOMA DIRETA DE W1 E W2 e denotada por W1 ⊕W2.

Exemplos:

A) Sejam W1 =

{[a b

c 0

]: a, b, c ∈ C

}, W2 =

{[a 00 b

]: a, b ∈ C

}⊂ M2×2(C).

B) Sejam W1 = {(x, y, 0) : x, y ∈ IR} e W2 = {(0, 0, z) : z ∈ IR} subespacos do IR3.Temos: IR3 = W1 ⊕W2 (Verifique!)

Exercıcios:

1) Sejam W1 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x + y = 0 e z − t = 0

}e

W2 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x− y − z + t = 0

}(subespacos de IR4). Determine W1 ∩W2

Page 40: Apostila ufjf

36 CAPITULO 2

2) Sejam W1 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; 2x + y − t = 0 e z = 0

}e

W2 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x + y = 0 e z − t = 0

}(subespacos de IR4). Determine W1 ∩W2

3) Sejam W1 = {(x, y, 0) : x, y ∈ IR} , W2 = {(z, z, z) : z ∈ IR} ⊂ IR3.Mostre que W1 e W2 sao subespacos de IR3 e que IR3 = W1 ⊕W2

4) Dados u = (1, 2) e v = (−1, 2) , sejam W1 e W2 respectivamente as retas que passam pelaorigem de IR2 e contem u e v. Mostre que IR2 = W1 ⊕W2.

5) Sejam W1 =

{[a a

0 0

]: a ∈ IR

}, W2 =

{[b 00 b

]: b ∈ IR

}⊂ M2×2(IR).

Obtenha W1 + W2 e responda se esta soma e direta.

2.3 Combinacoes lineares: geracao de subespacos

Definicao 2.8. Seja V um espaco vetorial sobre um corpo IK. Uma COMBINACAO LINEAR dosvetores v1,v2, ..., vn ∈ V e um vetor

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn

onde a1, a2, ..., an sao escalares do corpo IK.

Exemplos:

A) Seja V = IR3. Consideremos os vetores v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1).

B) Seja V = P (IR) (espaco dos polinomios em IR). Consideremos combinacoes lineares dos vetoresv1 = 1, v2 = x2, v3 = x3 .

C) Seja M2×2(C). Sejam u =

[1 00 0

]e v =

[0 00 1

].

O conjunto de todas as combinacoes lineares dos vetores de um subconjunto S ⊂ V e um sub-espaco de V , denominado SUBESPACO GERADO PELO CONJUNTO S e denotado por [S] .

Observacoes:

1. Se, em particular, S = {v1, v2, ..., vn} e finito , escrevemos W = [v1, v2, ..., vn] para denotar osubespaco gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn.

Page 41: Apostila ufjf

Espacos Vetoriais 37

2. Se W1 = [S1] e W2 = [S2] entao W1 + W2 = [S1 ∪ S2] .

3. Se duas matrizes m × n em um corpo IK (IR ou C) sao linha-equivalentes, entao os espacosde IKn gerados pelos vetores linha de cada matriz sao exatamente os mesmos.

Exemplos:

A) Seja V = IR3. Sejam v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1). W = [v1, v2] = ?

B) Seja S = {1, x, x2, x3}. O subespaco W = [1, x, x2, x3] ⊂ P (IR) gerado por S e o conjunto detodas as combinacoes lineares de 1, x, x2, x3 , ou seja...

C) Dados u =

[1 00 0

], v =

[0 00 1

]∈ M2×2(C), encontre W = [u, v].

D) Dado (x, y, z) ∈ IR3, temos: (x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1). Logo:

[(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] = IR3

E) Seja V = M2×2(IR). Obtenha geradores para o seguinte subespaco de V :

W =

{ [a b

b 0

]; a, b ∈ IR

}⊂ M2×2(IR)

F) Obtenha geradores para o subespaco do IR3 dado por:

W ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; 2x− y + 3z = 0}

G) Consideremos no espaco IR4, os vetores u1 = (1, 2, 0,−1), u2 = (1, 1,−1, 3), u3 = (1, 4, 2,−3) .E possıvel obter um conjunto menor de geradores para o mesmo subespaco [u1, u2, u3] ⊂ IR4 ?

Exercıcios:

1) Responda V ou F, justificando:

(a)

[4 −4

−6 16

]e combinacao linear de

[1 23 4

],

[−1 2

3 −4

],

[1 −2

−3 4

](b) (1,−1, 2) ∈ [(1, 2, 3), (3, 2, 1)]

(c) [(−5, 3, 2), (3,−1, 3)] = IR3

Page 42: Apostila ufjf

38 CAPITULO 2

2) Descreva o subespaco W ⊂ M3×2(IR) gerado por

0 01 10 0

,

0 10 −11 0

,

0 10 00 0

.

O vetor

0 23 45 0

pertence a W ?

3) Sejam U o subespaco de IR3 gerado por (1, 0, 0) e W o subespaco de IR3 gerado por (1, 1, 0)e (0, 1, 1) . Mostre que IR3 = U ⊕W .

4) Sejam V = M3×3(C) , W1 o subespaco de V formado pelas matrizes triangulares inferiores eW2 o subespaco de V formado pelas matrizes triangulares superiores. Descreva W1 ∩W2. Mostreque V = W1 + W2. A soma V = W1 + W2 e direta ? Justifique. Obtenha conjuntos de vetores quegeram W1, W2 e W1 ∩W2.

5) Considere V = IR3. Exprima o vetor z = (1,−3, 10) como combinacao linear dos vetoresu = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0), e w = (2,−3, 5). Responda: z ∈ [u, v] ? Justifique.

6) Dados os vetores u1 = (0, 1,−2), u2 = (−1, 0, 3), v1 = (1, 1, 1), v2 = (2,−1, 0) em IR3, descrevaos subespacos W1 = [u1, v1] , W2 = [u2, v2] , W1 ∩W2 e obtenha geradores de W1 ∩W2.

7) Seja W o subespaco de M2×2(C) definido por

W =

{ [2a a + 2b

0 a− b

]; a, b ∈ C

}

[0 −2i

0 i

]∈ W ?

[0 2

3i 1

]∈ W ?

[4i 40 −2 + 3i

]∈ W ?

8) Mostre que os polinomios 1 − x3, (1 − x)2, 1 − x e 1 geram o espaco P3(IR) dos polinomiosreais de grau ≤ 3.

9) Dados os vetores v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (1, 0,−1) no IR3, obtenha um conjuntomais simples (se possıvel menor) de vetores que gere o mesmo subespaco que v1, v2 e v3. A partir daı,descreva esse subespaco e responda se o vetor v = (2, 2, 1) esta nesse subespaco.

10) Para cada subespaco obtido no segundo exercıcio da primeira lista da Secao 2.2, da letra (a)ate a letra (u), obtenha um conjunto de vetores que gera o subespaco.

Page 43: Apostila ufjf

Espacos Vetoriais 39

2.4 Dependencia e independencia linear

Definicao 2.9. Seja V um espaco vetorial sobre um corpo IK. Um conjunto nao-vazio S ⊂ V edito LINEARMENTE INDEPENDENTE (L.I.) quando nenhum vetor de S e combinacao linear dosdemais elementos de S, ou entao quando S e composto apenas de um vetor nao-nulo. Do contrario,ou seja, se S = {0} ou algum vetor de S e combinacao linear de outros vetores de S, entao S e ditoLINEARMENTE DEPENDENTE (L.D.)

O resultado abaixo facilita a identificacao da dependencia ou independencia linear.

Teorema 2.10. Um subconjunto S ⊂ V e linearmente independente (L.I.) se, e somente se, sempreque c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0 com v1, v2, ..., vn ∈ S e c1, c2, ..., cn ∈ IK, entao obrigatoriamentec1 = c2 = ... = cn = 0, ou seja, “a unica combinacao linear de vetores de S capaz de produzir ovetor nulo, 0, e aquela em que todos os escalares sao iguais a 0 (zero)” .

Exemplos:

A) V = IR3, v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1).

B) V = IR3, S = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1) }.

C) S = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } ⊂ IR3.

D) “As linhas nao-nulas de uma m×n matriz linha reduzida a forma escada sobre IR correspondema um conjunto LI de vetores do IRn”. (Exemplo)

Observacoes: (Consequencias da definicao)

1. Todo conjunto que contem o vetor nulo e LD.

2. Se S e LD e S ⊂ Q entao Q e LD.

3. Se S e LI e R ⊂ S entao R e LI.

Exercıcios:

1) Seja V um espaco vetorial sobre um corpo IK. Dados dois vetores u, v ∈ V , mostre que eles saolinearmente dependentes (LD) se, e somente se, um e multiplo escalar do outro.

2) Determinar tres vetores em IR3 que sejam linearmente dependentes e tais que dois quaisquer delessejam linearmente independentes.

Page 44: Apostila ufjf

40 CAPITULO 2

3) Considere os espacos V dados abaixo munidos das operacoes usuais de adicao de vetores e demultiplicacao por escalar. Para cada caso abaixo, responda se S ⊂ V e um conjunto de vetores LI(linearmente independentes) ou LD (linearmente dependentes) em V .

(a) V = C3 , S = {(1, 1, 1), (i, 2i, i), (2, 1, 2)} .

(b) V = IR3 , S = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9)} .

(c) V = IR3 , S = {(1, 2, 3), (2, 1,−2), (3, 1, 1), (4,−1,−2)} .

(d) V = IR2 , S = {(1, 1), (−1, 1)} .

(e) V = M2×2(C) , S =

{ [1 10 0

],

[1 00 1

],

[1 11 1

] }.

(f) V = P (IR) , S ={

x3 − 5x2 + 1, 2x4 + 5x− 6, x2 − 5x + 2}.

(g) V = P2(C) , S ={1, x + i, (x + i)2

}.

2.5 Base e dimensao de um espaco vetorial

Definicao 2.11. Um conjunto β ⊂ V (espaco vetorial sobre um corpo IK) e dito ser uma BASE deV quando:

(i) β gera V (qualquer vetor de V e combinacao linear de vetores de β);

(ii) β e linearmente independente (LI).

Exemplos:

A) V = IR3 e β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} .

B) V = IR2 e β = {(1, 1), (−1, 2)} .

C) Sejam W = [(1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1)] e β = {(1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1)} .

D) Seja γ = {(1, 2, 0), (0, 1, 1)} .

E) Obtenha uma base de W =

{[a 00 b

]; a, b ∈ C

}⊂ M2×2(C) .

Page 45: Apostila ufjf

Espacos Vetoriais 41

F) Obtenha uma base para W = [(0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 2), (−1, 1, 1,−2)] .

G) Sejam V = P (IR) e β = {1, x, x2, ..., xn, ...} .

Observacoes:

1. Todo espaco vetorial V 6= {0} possui uma base.

2. Se um espaco vetorial V possui uma base finita, dizemos entao que ele possui DIMENSAO FINITA.Caso contrario, diremos que V possui DIMENSAO INFINITA.

Teorema 2.12. Sejam v1, v2, ..., vn vetores nao-nulos que geram um espaco vetorial V . Entao, dentreestes vetores, podemos extrair uma base de V .

(Ideia da prova)

Consequencias:

1a) Se um espaco vetorial V e gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2, ..., vn. Entao qualquerconjunto com mais de n vetores e LD.

2a) Se V e um espaco vetorial de dimensao finita, entao qualquer base de V tem sempre o mesmonumero de elementos. Este numero e chamado DIMENSAO DE V , e denotado por dim V .

3a) Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com dim V = n. Se um conjunto β, com n vetores,gera V , entao β e LI e, portanto, uma base de V .

Exemplos:

A) V = IR3 .

B) W =

{[a 00 b

]; a, b ∈ C

}.

C) P3(IR)

D) Seja W = [ (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (2, 3, 0, 0), (1, 0, 0, 1) ] ⊂ IR4 .

Page 46: Apostila ufjf

42 CAPITULO 2

Teorema 2.13. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita. Qualquer conjunto de vetores LI emV pode ser completado de modo a formar uma base de V .

(Ideia da prova)

Consequencias:

1a) Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com dim V = n. Se um conjunto β, com n vetores,e LI, entao β gera V e e portanto uma base de V .

2a) Sejam V um espaco vetorial de dimensao finita e W um subespaco de V (W ⊂ V ).Entao: W 6= V ⇔ dim W < dim V .

3a) Se S ⊂ V (espaco) tem n elementos e e LI, entao dim V ≥ n . Em particular, se existir umconjunto INFINITO e LI em V , entao V tem dimensao infinita.

Exemplos:

A) V = IR2 e β = {(1, 1), (−1, 2)} .

B) P2(C) e β = {1, (x− i), (x− i)2} .

C) Verifique se IR4 = [(1,−1, 3,−1), (2, 1, 3, 0), (0, 1,−1, 1), (1, 3,−1, 2)] .

D) Consideremos em IR∞ o seguinte conjunto INFINITO de vetores: S = {w1, w2, w3, . . .} , comw1 = (1, 0, 0, 0, . . .)w2 = (0, 1, 0, 0, . . .)w3 = (0, 0, 1, 0, . . .)

...

Teorema 2.14. Se W1 e W2 sao subespacos de dimensao finita de um espaco vetorial V , entaoW1 + W2 possui dimensao finita e

dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩W2)

Exemplo: Se W1 = {(x,−x, y, z) : x, y, z ∈ IR} e W2 = {(a, b,−a, c) : a, b, c ∈ IR} (subespacosde IR4), obtenha W1 ∩W2, dim W1, dim W2 e dim W1 ∩W2 e responda se W1 + W2 = IR4.

Page 47: Apostila ufjf

Espacos Vetoriais 43

Exercıcios:

1) Mostre que

β =

{ [1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

] }e uma base de M2×2(IR) (espaco das 2× 2 matrizes reais).

2) V = C e (com as operacoes usuais) um espaco vetorial sobre o corpo IR (mostre se quiser).Determine uma base e sua dimensao.

3) Considere o subespaco de IR3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0,−1, 1), e v3 = (1, 1, 1).[v1, v2, v3] = IR3 ? Justifique.

4) Seja W = [ v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1), v4 = (1, 0, 0, 0) ] ⊂ IR4.(a) (2,−3, 2, 2) ∈ W ? Justifique.(b) Exiba uma base para W . Qual a dimensao ?(c) W = IR4 ? Por que ?

5) Considere os seguintes vetores do IR3 : v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 1,−2), v3 = (3, 1, 1), v4 = (4,−1,−2) .(a) Estes vetores sao LD. Justifique.(b) Expresse o vetor nulo como combinacao linear destes vetores, na qual os coeficientes da com-binacao nao sao todo iguais a zero.

6) Considere o sistema linear homogeneo

2x + 4y − 6z = 0x − y + 4z = 0

6y − 14z = 0

(a) Se W ⊂ IR3 e o subespaco solucao do sistema acima, obtenha uma base e a dimensao de W .(b) Se U ⊂ IR3 e o espaco gerado pelos vetores-linha da matriz de coeficientes do sistema acima,obtenha uma base e a dimensao de U .

7) De exemplo de uma 3× 3 matriz sobre IR cujos vetores-linha geram um subespaco de IR3 DIFER-ENTE do espaco gerado pelos vetores-coluna.

8) Sejam W1 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x + y = 0 e z − t = 0

}e

W2 ={(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x− y − z + t = 0

}subespacos de IR4.

(a) Determine W1 ∩W2

(b) Exiba uma base para W1 ∩W2

Page 48: Apostila ufjf

44 CAPITULO 2

(c) Determine W1 + W2

(d) A soma W1 + W2 e direta ? Justifique.(e) W1 + W2 = IR4 ? Justifique.

9) Sejam W1 =

{ [a b

c d

]; a = d e b = c

}e W2 =

{ [a b

c d

]; a = c e b = d

}subespacos de M2×2(C).

(a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base.(b) Determine W1 + W2. E soma direta ?(c) W1 + W2 = M2×2(C) ?

10) Seja V = M2×2(IR) e seja W o subespaco de V gerado por

β =

{ [1 −5

−4 2

],

[1 1

−1 5

],

[2 −4

−5 7

],

[1 −7

−5 1

] }

Encontre uma base e a dimensao de W .

11) Pode-se obter uma base para Pn(IR) formada por n + 1 polnomios de grau n ?

12) Ja mostramos que, em IR∞ , o conjunto INFINITO S = {w1, w2, w3, . . .} , com

w1 = (1, 0, 0, 0, . . .)w2 = (0, 1, 0, 0, . . .)w3 = (0, 0, 1, 0, . . .)

...

e LI e daı concluımos que IR∞ tem dimensao infinita.

Perguntamos agora: S e BASE de IR∞ ? Justifique.

13) Seja W o subespaco (plano) do IR3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que x−2y+4z = 0.Obtenha uma base β = {u1, u2, u3} do IR3 tal que u1, u2 ∈ W .

14) Seja W o subespaco do IR4 gerado pelos seguintes vetores :

v1 = (1, 1, 3, 1), v2 = (1,−3, 15, 9), v3 = (1, 2, 0,−1) .(a) Obtenha uma base para W .(b) Complete essa base obtida na letra (a) ate que se tenha uma base para o IR4.

Page 49: Apostila ufjf

Espacos Vetoriais 45

Teorema 2.15. Dada uma base β = {v1, v2, ..., vn} de um espaco vetorial V , cada vetor de V eescrito de uma unica maneira como combinacao linear de v1, v2, ..., vn.

Definicao 2.16. Fixemos uma base β = {v1, v2, ..., vn} de um espaco vetorial V (dim V = n).Dado v ∈ V , sabemos que existem escalares a1, a2, ..., an, unicos, tais que

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn.

Estes escalares a1, a2, ..., an sao chamados as COORDENADAS DE v EM RELACAO A BASEβ e a n× 1 matriz

[v]β =

a1

a2

...an

e dita a MATRIZ DAS COORDENADAS DE v EM RELACAO A BASE β.

(Exemplos)

Sejam v um vetor de um espaco vetorial V , de dimensao finita, e α e β duas bases de V .

Existe alguma relacao entre [v]α e [v]β ? A resposta e ... SIM!

De fato:

Fixemos duas bases α = {v1, v2, . . . , vn} e β = {w1, w2, . . . , wn} de um espaco vetorial V dedimensao finita (dim V = n).

Dado um vetor v ∈ V existem, pelo teorema anterior, escalares c1, c2, . . . , cn, unicos, tais que

v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn ⇒ [v]α =

c1

c2

...cn

Como cada vetor vi da base α pode ser escrito de uma unica forma como combinacao linear

dos vetores da base β, temos

v1 = a11w1 + a21w2 + . . . + an1wn

v2 = a12w1 + a22w2 + . . . + an2wn

...

vn = a1nw1 + a2nw2 + . . . + annwn

Page 50: Apostila ufjf

46 CAPITULO 2

sendo cada aij determinado de modo unico. Logo

v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn =

= c1(a11w1 + . . . + an1wn) + c2(a12w1 + . . . + an2wn) + . . . + cn(a1nw1 + . . . + annwn) =

= (a11c1 + . . . + a1ncn) w1 + (a21c1 + . . . + a2ncn) w2 + . . . + (an1c1 + . . . + anncn) wn

Portanto

[v]β =

a11c1 + . . . + a1ncn

a21c1 + . . . + a2ncn

...an1c1 + . . . + anncn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

.

c1

c2

...cn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

. [v]α

↑ ↑ ↑[v1]β [v2]β . . . [vn]β

Segue entao o ...

Teorema 2.17. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com dim V = n.

Fixadas duas bases ordenadas α e β de V , existe uma unica n×n matriz [I]αβ (denominadaa MATRIZ DE MUDANCA DA BASE α PARA A BASE β ) tal que,para todo vetor v ∈ V :

[v]β = [I]αβ . [v]α

Mais ainda, a j-esima coluna da matriz [I]αβ e dada pelas coordenadas do j-esimo vetor da baseα em relacao a base β.

Consequencia importante:

[I]βα . [I]αβ = In×n = [I]αβ . [I]βα

Portanto [I]αβ e [I]βα sao inversıveis e uma e a inversa da outra.

Exemplos:

A) α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, 1), (−1, 2)} sao bases do IR2.Obtenha [I]αβ e [(3,−5)]β

B) Seja α = {(1, 0), (0, 1)} a base canonica do IR2 e seja β = {w1, w2} a base obtida pela rotacaoda base α de um angulo θ

Page 51: Apostila ufjf

Espacos Vetoriais 47

Exercıcios:

1) Mostre que os vetores u = (i, 1) e v = (1, i) formam uma base de C2 e exprima cada um dosvetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) da base canonica de C2 como combinacao linear de u e v .

2) Mostre que β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)} e uma base do IR3 e obtenha as coordenadas deu = (1, 0, 0) em relacao a base β.

3) Sejam β = { (1, 0), (0, 1) } , β1 = { (−1, 1), (1, 1) } , β2 ={

(√

3, 1), (√

3,−1)}

eβ3 = { (2, 0), (0, 2) } bases ordenadas de IR2.

(a) Obtenha as matrizes de mudanca de base: (i) [I]β1

β (ii) [I]ββ1(iii) [I]ββ2

(iv) [I]ββ3

(b) Quais sao as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relacao as bases β, β1, β2 e β3 ?

(c) As coordenadas de um vetor v em relacao a base β1 sao dadas por [v]β1=

[40

].

Quais sao as coordenadas de v em relacao as bases β, β2 e β3 ?

4) Sejam V = IR3, α e α′ bases ordenadas de IR3 e seja [I]α′

α =

1 1 00 −1 11 0 −1

.

Obtenha [u]α, se [u]α′ =

−123

e obtenha [w]α′ , se [w]α =

−123

.

5) Se β e a base canonica do IR2 e β′ e obtida de β pela rotacao por um angulo de −π/3 rad ,obtenha [I]β

β e [I]ββ′ .

6) Sejam β1 = { (1, 0), (0, 2) } , β2 = { (−1, 0), (1, 1) } , e β3 = { (−1,−1), (0,−1) } tres basesordenadas de IR2.

(a) Obtenha: (i) [I]β2

β1(ii) [I]β3

β2(iii) [I]β3

β1(iv) [I]β2

β1. [I]β3

β2

(b) Obtenha alguma relacao geral a partir das matrizes de mudanca de base acima.

7) Seja V o espaco das 2× 2 matrizes triangulares superiores sobre o corpo IR e sejam

β =

{ [1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 00 1

] }e β1 =

{ [1 00 0

],

[1 10 0

],

[1 10 1

] }duas bases de V . Obtenha [I]ββ1

.

Page 52: Apostila ufjf

48 CAPITULO 2

8) Mostre que o conjunto α ={

1, x− 1, x2 − 3x + 1}

e uma base de P2(IR). Sabemos queβ =

{1, x, x2

}e uma outra base do mesmo espaco (mostre). Obtenha [I]βα e exprima os polinomios

u = 2x2 − 5x + 6 e v = x2 + 3x− 4 como combinacao linear dos polinomios que formam a base α.

9) Determinar a matriz das coordenadas do vetor v = (1, 0, 1) em relacao a base do espaco vetorialC3 dada por β = { (2i, 1, 0), (2,−1, 1), (0, 1 + i, 1− i) }.

Page 53: Apostila ufjf

Capıtulo 3

Transformacoes Lineares

Existem funcoes naturais entre espacos vetoriais: sao aquelas que “preservam” as operacoes deadicao de vetores e de multiplicacao de um vetor por um escalar. Estas funcoes sao as chamadastransformacoes lineares e iremos estuda-las neste terceiro capıtulo.

3.1 Definicao e exemplos

Definicao 3.1. Sejam V e W espacos vetoriais sobre um mesmo corpo IK e T uma funcao deV em W ( T : V → W ). Dizemos que T e uma TRANSFORMACAO LINEAR de V em W

quando satisfaz as seguintes condicoes:

TL.1 T (u + v) = T (u) + T (v) para todos u, v ∈ V

TL.2 T (k.u) = k.T (u) para todos k ∈ IK e u ∈ V .

Obs.: Quando V = W tambem dizemos que T e um OPERADOR LINEAR sobre V .

Exemplos:

A) Algumas transformacoes de IR em IR:Seja T : IR → IR definida por T (x) = a.x , a ∈ IR. T e uma transformacao linear.Seja F : IR → IR definida por F (x) = a.x + b , a, b ∈ IR, b 6= 0. F nao e linear.

B) Seja T : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (3x, 0, x− y). T e transformacao linear.

49

Page 54: Apostila ufjf

50 CAPITULO 3

C) Aplicacao Linear Nula:Seja T : V → W dada por T (v) = 0 (vetor nulo de W ), ∀ v ∈ V . T e linear.Obs.: A Aplicacao Linear Nula e usualmente denotada por O : V → W .

D) Operador Identidade:Seja I : V → V definida por I(v) = v para todo v ∈ V .I e um operador linear (conhecido como Operador Identico ou Identidade)

Obs.: Se T : V → W e linear, entao T (0) = 0 (vetor nulo de W )De fato, T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) ⇒ T (0) = 0.

(i) T (0) = 0 e condicao necessaria para que T seja linear, porem nao e suficiente:Exemplo: T : IR → IR dada por T (x) = x2.(ii) Vale a contra-recıproca, ou seja, se T (0) 6= 0 entao T nao e linear.Exemplo: T : IR3 → IR2 dada por T (x, y, z) = (x, y − 5) .

E) Algumas aplicacoes que nao sao lineares:f1 : IR → IR dada por f1(x) = a.x + b, a, b ∈ IR, b 6= 0f2 : IR → IR dada por f2(x) = cos x

f3 : IR → IR dada por f3(x) = senx

f4 : C3 → C2 dada por f4(x, y, z) = (2y, x + z + i)

F) Seja V = P (C) o espaco dos polinomios com coeficientes complexos.Seja D : V → V dada por D(a0 + a1x + a2x

2 + . . . + anxn) = a1 + 2.a2x + . . . + nanxn−1

D e um operador linear (Operador Derivacao).

G) Seja V = C ([a, b] ; IR) o espaco das funcoes f : [a, b] → IR contınuas.

Seja T : V → IR dada por T (f) =∫ b

af(x) dx

T e uma transformacao linear de V em IR.

H) Seja V = Pn(IR) o espaco dos polinomios reais de grau menor ou igual a n.Seja D : Pn(IR) → Pn(IR) o Operador (Linear) Derivacao, dado por

D(a0 + a1x + . . . + anxn) = a1 + 2.a2x + . . . + n.anxn−1

I) Transformacoes do Plano no Plano:As aplicacoes do espaco IR2 em IR2 sao chamadas em geral de Transformacoes do Plano no

Page 55: Apostila ufjf

Transformacoes Lineares 51

Plano, e podem ser ou nao lineares. Destacaremos algumas em particular:

1a) Homotetia (Expansao ou Contracao):

T : IR2 → IR2 |α| > 1 −→ T e Expansao

v 7→ T (v) = α.v , α ∈ IR |α| < 1 −→ T e Contracao

Para todo v = (x, y) ∈ IR2 : T (v) = α.v = α.(x, y) = (α.x, α.y)

Na forma de vetor-coluna:

[x

y

]T7−→

[α.x

α.y

]=

[α 00 α

].

[x

y

]

2a) Reflexao em torno do eixo Ox:

T : IR2 → IR2

(x, y) 7→ T (x, y) = (x,−y)

ou seja:

[x

y

]T7−→

[x

−y

]=

[1 00 −1

].

[x

y

]

3a) Reflexao em torno da origem:

T : IR2 → IR2

v 7→ T (v) = −v

ou seja:

[x

y

]T7−→

[−x

−y

]=

[−1 0

0 −1

].

[x

y

]

Page 56: Apostila ufjf

52 CAPITULO 3

4a) Rotacao de um angulo θ:Seja Rθ : IR2 → IR2 a rotacao de um angulo θ no sentido anti-horario:

Dado v = (x, y) ∈ IR2, sejam:α = angulo de ~Ox para v no sentido trigonometrico,Rθ(v) = (xθ, yθ) = imagem de v pela transformacao Rθ er = |v| = modulo de v (imagem geometrica) ⇒ r = |Rθ| , x = r. cos α, y = r. senα

Temos:xθ = r. cos(α + θ) = r. cos α. cos θ − r. senα. sen θ = x. cos θ − y. sen θ

yθ = r. sen (α + θ) = r. senα. cos θ + r. cos α. sen θ = y. cos θ + x. sen θ

Logo:

Rθ(x, y) = ( x. cos θ − y. sen θ, y. cos θ + x. sen θ )

Na forma matricial:

[x

y

]Rθ7−→

[cos θ − sen θ

sen θ cos θ

].

[x

y

]

Exemplo: Rotacao de π/2 rad (90o)

5a) Translacao (segundo um vetor (a, b) 6= (0, 0) ):

T : IR2 → IR2

(x, y) 7→ T (x, y) = (x + a, y + b)

ou seja:

[x

y

]T7−→

[x + a

y + b

]=

[1 00 1

].

[x

y

]+

[a

b

]

T (0, 0) = (a, b) 6= (0, 0) ⇒ T nao e linear.

Page 57: Apostila ufjf

Transformacoes Lineares 53

Exercıcios:

1) Responda, justificando, quais das funcoes abaixo sao transformacoes lineares:(a) f : IR2 → IR2 dada por f(x, y) = (x + y, x− y)(b) g : IR2 → IR dada por g(x, y) = x.y

(c) h : M2×2(C) → C dada por h(A) = det A ∀ A ∈ M2×2(C)

(d) L : M3×3(IR) → IR dada por L(A) = trA = traco de A = a11 + a22 + a33 =3∑

i=1

aii

(e) U : IR3 → IR3 dada por U(x, y, z) = (x2 − 3y, 5z, 0)(f) M : P2(C) → P3(C) dada por M(ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx

(g) S : IR4 → IR3 dada por S(x, y, z, w) = (y, z − w, 2y + z + 2w)

(h) N : IR3 → IR2 tal que (x, y, z) N7−→ (x, y, z).

1 20 −11 1

(i) R : IR2 → IR2 dada por R(x, y) = (x, 2y − 2x)(j) T : IR → IR dada por T (x) = |x|(k) ϕ : IR2 → IR dada por ϕ(x, y) = x− 2y + 3

2) Sejam V = M4×1(IR) , W = M3×1(IR) e T : V → W a transformacao linear dada porT (X) = A.X , sendo A uma 3 × 4 matriz fixa sobre o corpo IR. Mostre que se T e aTransformacao Linear Nula, entao A e a 3× 4 matriz nula O3×4.

3) Seja T : V → W uma transformacao linear. Se existe um vetor u ∈ V tal que T (u) = 0(vetor nulo de W ), podemos concluir entao que u = 0 (vetor nulo de V ) ? Justifique se forverdade ou apresente um contra-exemplo se for falso.

3.2 Resultados imediatos

Seja T : V → W uma transformacao linear de um espaco vetorial V em um espaco vetorial W .Temos entao:

(a) T (0) = 0

(b) T (−u) = −T (u) ∀ u ∈ V

(c) Se v = c1.v1 + c2.v2 + . . . + cl.vl ∈ V e combinacao linear (ci ∈ IK) dos vetores v1, v2, . . . , vl

entao temos:

T (v) = T (c1.v1 + . . . + cl.vl) = T (c1.v1) + . . . + T (cl.vl) = c1.T (v1) + c2.T (v2) + . . . + cl.T (vl)

Page 58: Apostila ufjf

54 CAPITULO 3

Este ultimo resultado mostra que as transformacoes lineares “conservam” as combinacoes linearese sao portanto as funcoes naturais entre espacos vetoriais. Esta caracterıstica e reforcada no exemploabaixo:

Exemplo:

Seja T : IR3 → W uma transformacao linear do IR3 em um espaco vetorial W .

Temos que B = { e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) } e a base canonica do IR3.

Dado qualquer vetor v ∈ IR3, temos:

v = (x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1) = x.e1 + y.e2 + z.e3 , com x, y, z ∈ IR.

Ora, temos T (v) = T (x.e1 +y.e2 +z.e3) = x.T (e1)+y.T (e2)+z.T (e3) , ou seja, qualquer trans-formacao linear do IR3 fica completamente determinada por sua atuacao nos vetores dabase {e1, e2, e3}. Por exemplo: T (−3, 5, 0) = −3.T (e1) + 5.T (e2) + 0.T (e3).

Tentaremos agora generalizar este resultado:

Teorema 3.2. Consideremos espacos vetoriais V e W sobre um mesmo corpo IK e sejaB = { v1, v2, . . . , vn } uma base de V (dim V = n). Entao, dados n elementos arbitrarios (naonecessariamente distintos) w1, w2, . . . , wn ∈ W , EXISTE UMA UNICA TRANSFORMACAOLINEAR T : V → W TAL QUE T (vi) = wi ∀ i = 1, . . . , n.

Demonstracao:

(Existencia) Dado v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn (ai ∈ IK) ∈ V , defina:

T (v) = a1w1 + a2w2 + . . . + anwn .

T e linear:

(i) ∀ u = a1v1 + . . . + anvn e v = b1v1 + . . . + bnvn ∈ V temos:

T (u + v) = T ( (a1 + b1)v1 + . . . + (an + bn)vn ) = (a1 + b1)w1 + . . . + (an + bn)wn =

= T (u) + T (v)

(ii) ∀ k ∈ IK e v = b1v1 + . . . + bnvn ∈ V temos:

T (k.v) = T (ka1v1 + . . . + kanvn) = ka1w1 + . . . + kanwn = k.T (v)

E tambem imediato que T (vi) = wi ∀ i = 1, . . . , n.

(Unicidade) Seja F : V → W linear e tal que F (vi) = wi ∀ i = 1, . . . , n.

Page 59: Apostila ufjf

Transformacoes Lineares 55

Dado v ∈ V , temos v = a1v1 + . . . + anvn.

Logo:

F (v) = F (a1v1 + . . . + anvn) = a1F (v1) + . . . + anF (vn) =

= a1w1 + . . . + anwn = T (v) .

Portanto F = T .

Assim, podemos concluir que uma transformacao linear T : V → W fica completa-mente determinada se conhecermos sua atuacao nos vetores de uma base de V .

Exemplos:

A) Qual e a transformacao linear T : IR2 → IR3 tal que T (1, 0) = (0, 1,−2) e T (0, 1) = (1, 0, 0) ?

B) Qual e a transformacao linear T : IR2 → IR3 tal que T (2, 0) = (1, 1, 0) e T (−1, 1) = (0, 2, 0) ?

Exercıcios:

1) Encontre a transf. linear T : IR3 → IR2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) eT (0, 0, 1) = (0,−1). Obtenha v ∈ IR3 tal que T (v) = (3, 2).

2) Qual e a transf. linear T : IR2 → IR3 tq T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0) ?Obtenha T (1, 0) e T (0, 1).

3) Qual e a transf. linear S : IR3 → IR tal que S(1, 1, 1) = 3, S(0, 1,−2) = 1 e S(0, 0, 1) = −2 ?

4) Sabendo que a transformacao T do Plano no Plano dada por uma reflexao em torno da retax = y e linear, encontre-a. Escreva-a em forma matricial.

5) Seja A : IR2 → IR2 o operador linear dado por A(x, y) = (5x+4y,−3x−2y). Para quais valoresde λ ∈ IR existem vetores nao nulos u ∈ IR2 tais que A(u) = λ.u ? Esses vetores u saounicos para cada λ fixado ? Determine esses vetores. O que voce pode concluir dos vetores“associados”a cada λ ?

6) Tente, usando sua intuicao geometrica, responder diretamente as perguntas do exercıcio anteriorpara o operador linear T do Exercıcio 4 acima! Agora faca isto algebricamente e confira comas respostas obtidas intuitivamente.

7) Faca como no exercıcio anterior para o operador Rπ/2 : IR2 → IR2 dado por uma rotacao deπ/2 rad no sentido trigonometrico.

Page 60: Apostila ufjf

56 CAPITULO 3

3.3 Nucleo e Imagem de uma transformacao linear

Definicao 3.3. (Nucleo) Seja T : V → W uma transformacao linear. Chama-se Nucleo datransformacao linear T ao conjunto de vetores v ∈ V que sao “levados” por T no vetor nulo0 ∈ W . Escreve-se: N(T ), NT , ou ker T .

ker T = { v ∈ V ; T (v) = 0 }

Exercıcio: Mostre que kerT ⊂ V e um subespaco vetorial de V .

Definicao 3.4. (Imagem) Seja T : V → W uma transformacao linear. Chama-se IMAGEM de T

e escreve-se Im (T ) ou Im T ao conjunto dos vetores w ∈ W para os quais existe v ∈ V comT (v) = w.

Im T = { w ∈ W ; w = T (v) para algum v ∈ V }

Exercıcio: Mostre que Im T ⊂ W e um subespaco vetorial de W .

Exemplos:

A) Determine o nucleo e a imagem da transformacao linear T : IR2 → IR3 dada por

T (x, y) = (y, x,−2x).

B) Determine o nucleo e a imagem da transformacao linear T : IR3 → IR4 dada por

T (x, y, z) = (x + 2y − z, 0, y + z, x + y − 2z).

Obtenha tambem dim kerT e dim Im T .

C) Sejam V = M2×2(IR) e M =

[1 −1

−2 2

]uma matriz fixada.

Defina o operador linear F : M2×2(IR) → M2×2(IR) como F (A) = M.A ∀ A ∈ M2×2(IR).

Encontre Im F e kerF .

Teorema 3.5. (Sobre a dimensao do nucleo e a dimensao da imagem)Sejam V um espaco vetorial de dimensao finita e T : V → W uma transformacao linear.Entao Im T tem dimensao finita e

dim kerT + dim Im T = dim V

Page 61: Apostila ufjf

Transformacoes Lineares 57

Demonstracao:

ker T e um subespaco de V .

Seja B = {u1, u2, . . . , ur} uma base de kerT (dim kerT = r).

Como B e LI, podemos completar B (completamento de base) com vetores de V ate obtermosuma base B′ = {u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} de V (dim V = r + s) .

Basta portanto mostrarmos que dim Im T = s.

Mostremos que B′′ = {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e uma base de Im T .

(i) {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} gera Im T :

Dado w ∈ Im T , existe v ∈ V tal que T (v) = w .

B′ e base de V ⇒ v = c1u1 + . . . + crur + d1v1 + . . . + dsvs , com c1, . . . , cr, d1, . . . , ds ∈ IK .

Como T e transformacao linear: w = T (v) = T (c1u1 + . . . + crur + d1v1 + . . . + dsvs) =

= c1T (u1) + . . . + crT (ur) + d1T (v1) + . . . + dsT (vs) = d1T (v1) + . . . + dsT (vs), pois temos que

ui ∈ ker T ⇒ T (ui) = 0 (i = 1 . . . r) .

Portanto {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} gera Im T .

(ii) {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e LI:

Sejam d1, d2 . . . , ds ∈ IK tais que d1T (v1) + . . . + dsT (vs) = 0 .

Como T e linear, temos:

0 = d1T (v1) + . . . + dsT (vs) = T (d1v1 + . . . + dsvs) ⇒ d1v1 + . . . + dsvs ∈ ker T .

Mas B = {u1, u2, . . . , ur} e base de kerT . Logo existem c1, c2, . . . , cr ∈ IK tais qued1v1 + . . . + dsvs = c1u1 + . . . + crur .

Temos entao: (−c1)u1 + . . . + (−cr)ur + d1v1 + . . . + dsvs = 0 .

Como B′ = {u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} e base de V , temos que B′ e LI, o que implica obrigatoria-mente em −c1 = . . . = −cr = d1 = . . . = ds = 0 .

Portanto {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e LI.

Por (i) e (ii), {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e uma base de Im T .

Assim: dim Im T = s = dim V − dim kerT ⇒ dim kerT + dim Im T = dim V .

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58 CAPITULO 3

Obs.: Nomenclaturas (definicoes):

NULIDADE de T = dim kerT ;

POSTO de T = dim Im T ;

T e dita NAO-SINGULAR quando ker T = {0} .

Exercıcios:

1) Obtenha o nucleo, a imagem e suas respectivas dimensoes para cada uma das transformacoes doexercıcio 1 da Secao 3.1 que forem lineares.Verifique o Teorema 3.5 em cada caso.

2) Obtenha o nucleo e a imagem do operador linear derivacao D : P3(IR) → P3(IR) .(Exemplo H da Secao 3.1)

3) Considere a transformacao linear T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).Determine uma base do nucleo de T . Qual a dimensao da imagem de T ? A imagem de T etodo o IR3 ? Justifique.

4) Pode existir uma transformacao linear T : IR4 → IR5 cuja imagem e todo IR5 ?Pode existir uma transformacao linear T : IR3 → IR2 tal que ker T = {(0, 0, 0)} ?Justifique e tente generalizar cada resultado.

5) Sejam T : V → W uma transformacao linear e B = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V . Mostreentao que B′ = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} gera a Im T , ou seja, qualquer vetor da imagem deT e uma combinacao linear dos vetores de B′.

6) Descreva explicitamente uma transformacao linear T : C3 → C3 tal que sua imagem seja oespaco gerado pelos vetores u = (2i, 1,−3) e v = (0,−i, 1 + i).(Sugestao: combine o resultado do exercıcio anterior com o Teorema 3.2)

7) Descreva explicitamente um operador linear F : IR2 → IR2 cujo nucleo seja a reta y = x e cujaimagem seja a reta y = 3x.

3.4 Transformacoes injetoras, sobrejetoras, bijetoras

Definicao 3.6. Uma transformacao linear F : V → W diz-se:

(i) INJETORA (ou INJETIVA) quando nenhum par de vetores distintos tem a mesma imagem, istoe, se u 6= v (u, v ∈ V ) entao F (u) 6= F (v).

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Transformacoes Lineares 59

(ii) SOBREJETORA (ou SOBREJETIVA) quando a imagem de F e todo o espaco W, ou seja,dado w ∈ W existe v ∈ V tal que F (v) = w.

(iii) BIJETORA (ou BIJETIVA) quando F e injetora e sobrejetora.

O teorema a seguir, combinado com o Teorema 3.5, visa facilitar a classificacao das transformacoeslineares segundo a definicao acima:

Teorema 3.7. Uma transformacao linear T : V → W e injetora se, e somente se, ker T = {0}(ou seja, quando o seu nucleo possui apenas o vetor nulo).

Demonstracao:

(⇒) Seja T : V → W uma transformacao linear injetora.

Dado v ∈ ker T , temos T (v) = 0 = T (0).

Como T e injetora, entao podemos concluir que v = 0.

Logo kerT = {0}.

(⇐) Suponhamos agora que ker T = {0}.

Sejam u, v ∈ V tais que T (u) = T (v). Como T e linear:

0 = T (u)− T (v) = T (u− v) ⇒ u− v ∈ ker T = {0} ⇒ u− v = 0 ⇒ u = v .

Portanto T e injetora.

Exemplos:

A) Seja T : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (y, x,−2x) .

B) Seja T : IR4 → IR3 dada por T (x, y, z, w) = (x− y, w, z) .

C) Sejam V = M2×2(IR) e M =

[1 01 0

]uma matriz fixada.

Consideremos o operador linear F : M2×2(IR) → M2×2(IR) definido por F (A) = M.A , paratoda A ∈ M2×2(IR).

D) Seja Rπ/2 : IR2 → IR2 a rotacao de um angulo θ = π/2 (sentido anti-horario).

Page 64: Apostila ufjf

60 CAPITULO 3

Teorema 3.8. Sejam T : V → W uma transformacao linear, dim V = dim W < +∞ (isto, e, V eW tem mesma dimensao, finita). Entao sao equivalentes:

(a) T e sobrejetora.

(b) T e bijetora.

(c) T e injetora.

(d) T “leva” bases de V em bases de W , ou seja, se BV = {v1, v2, . . . , vn} e base de V entaoBW = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} e base de W .

Demonstracao:

(a) ⇒ (b): T e sobrejetora ⇒ Im T = W ⇒ dim Im T = dim W .

Temos: dim Im T + dim kerT = dim V ⇒ dim W + dim kerT = dim V ⇒

⇒ dim kerT = 0 ⇒ ker T = {0} ⇒ T e injetora.

Logo T e bijetora.

(b) ⇒ (c): Imediato!

(c) ⇒ (d): Seja BV = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V .

Mostremos que BW = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} e LI.

Sejam c1, . . . , cn ∈ IK tais que c1T (v1) = . . . + cnT (vn) = 0.

Como T e uma transformacao linear: 0 = T (c1v1 + . . . + cnvn).

Logo c1v1 + . . . + cnvn ∈ ker T = {0}, pois T e injetora.

Assim, c1v1 + . . . + cnvn = 0, o que implica em c1 = c2 = . . . = cn.

Entao BW e LI e como dim V = dim W = n temos que BW e base de W .

(d) ⇒ (a): Seja w ∈ W . Tome BV = {v1, v2, . . . , vn} base de V .

Temos entao: BW = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} e base de W ⇒

⇒ w = c1T (v1) + . . . + cnT (vn) = T (c1v1 + . . . + cnvn).

Portanto T e sobrejetora.

Page 65: Apostila ufjf

Transformacoes Lineares 61

3.5 Isomorfismos

Definicao 3.9. Chama-se ISOMORFISMO uma transformacao linear T : V → W que e bijetora.Neste caso dizemos que os espacos vetoriais V e W sao isomorfos e escrevemos V ∼= W .

Observacao: Do ponto de vista da Algebra Linear, dois espacos vetoriais isomorfos sao “in-distinguıveis”, “semelhantes”, por possuırem a mesma estrutura vetorial (o que e garantido peloisomorfismo). Se ocorrer T : V → V linear e bijetora, temos um AUTOMORFISMO (um isomor-fismo de V em si proprio).

Exemplos:

A) Seja T : IR2 → IR2 dada por T (x, y) = (−x, y) .

(T representa uma reflexao em torno do eixo (Oy)

B) Seja S : IR4 → M2×2(IR) dada por S(x, y, z, w) =

[x y

z w

].

Alguns resultados:

Seja T : V → W um isomorfismo. Entao T e bijetora e portanto admite uma funcao inversa(tambem bijetora) T−1 : W → V , sendo T−1(T (v)) = v para todo v ∈ V e T (T−1(w)) = w paratodo w ∈ W .

Convem entao questionarmos: sera T−1 linear ??? A resposta e...

Proposicao 3.10. Se T : V → W e um isomorfismo entao T−1 : W → V tambem e linear eportanto tambem e um isomorfismo.

Outras proposicoes interessantes (considere espacos de dimensao finita):

Proposicao 3.11. Se T : V → W e um isomorfismo entao dim V = dim W .

Proposicao 3.12. Se dim V = dim W entao existe um isomorfismo T : V → W .

Exemplo: Seja T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (x− 2y, z, x + y).

Verifique que T e um isomorfismo e encontre T−1, isomorfismo inverso.

Page 66: Apostila ufjf

62 CAPITULO 3

Exercıcios:

1) Classifique as transformacoes lineares dos exercıcios 1, 2 e 3 da Secao 3.3 quanto a injetividadee a sobrejetividade.

2) Dados T : U → V linear e injetora e u1, . . . , uk vetores LI em U , mostre que o conjunto{T (u1), . . . , T (uk)} e LI.

3) De, quando possıvel, exemplos de transformacoes lineares T, S, L, M,H satisfazendo:(a) T : IR3 → IR2 sobrejetora.(b) S : IR3 → IR2 com ker S = {(0, 0, 0)} .(c) L : IR3 → IR2 com Im L = {(0, 0)} .(d) M : M2×2(C) → P3(C) bijetora (isomorfismo).(e) H : P2(IR) → IR4 bijetora (isomorfismo).

4) Sejam L : IR∞ → IR∞ dada por L(x1, x2, x3, . . .) = (x2, x3, x4, . . .) e R : IR∞ → IR∞ dadapor R(x1, x2, x3, . . .) = (0, x1, x2, . . .) .Classifique as transformacoes lineares L e R quanto a injetividade e a sobrejetividade.Este exercıcio mostra que o Teorema 3.8 nao vale para espacos de dimensao infinita.

5) Seja T o operador linear sobre IR3 dado por T (x, y, z) = (3x, x− y, 2x + y + z).Verifique se T e invertıvel e, em caso afirmativo, determine T−1.

6) Seja P : C3 → C3 o operador linear sobre C3 tal que P (1, 0, 0) = (1, 0, i) , P (0, 1, 0) = (0, 1, 1) ,P (0, 0, 1) = (i, 1, 0). Verifique se P e isomorfismo (transformacao linear bijetora).

3.6 Representacao de transformacoes por matrizes

Veremos agora que, sob certas condicoes, toda transformacao linear T : V → W (sendo V eW espacos de dimensao finita) pode ser representada por uma matriz. A partir daı, vamos simplificaro estudo das transformacoes lineares atraves do estudo das matrizes que as representam.

(Exemplos)

Os exemplos anteriores podem ser generalizados:

Proposicao 3.13. Sejam V e W espacos vetoriais, β = {v1, v2, . . . , vn} uma base ordenada de V ,β′ = {w1, w1, . . . , wm} uma base ordenada de W .

Para cada transformacao linear T : V → W existe uma (unica) m×n matriz A que representaa transformacao T com relacao as bases β e β′, isto e:

[T (v)]β′ = A. [v]β para todo vetor v ∈ V (escrevemos A = [T ]ββ′ ) .

Page 67: Apostila ufjf

Transformacoes Lineares 63

Demonstracao:

Dada uma transformacao linear T : V → W , como β′ e base de W , temos:

T (v1) = a11w1 + a21w2 + . . . + am1wm

T (v2) = a12w1 + a22w2 + . . . + am2wm

...

T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + . . . + amnwm .

Para todo vetor v ∈ V temos: v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn.

Entao:

T (v) = T (c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn) = c1T (v1) + c2T (v2) + . . . + cnT (vn) =

= c1a11w1 + c1a21w2 + . . . + c1am1wm +

+ c2a12w1 + c2a22w2 + . . . + c2am2wm +

. . .

+ cna1nw1 + cna2nw2 + . . . + cnamnwm .

Buscando as coordenadas de T (v) em relacao a base β′:

T (v) = (a11c1 + a12c2 + . . . + a1ncn)w1 + (a21c1 + a22c2 + . . . + a2ncn)w2 + . . .

. . . + (am1c1 + am2c2 + . . . + amncn)wm .

Temos entao:

[T (v)]β′ =

a11c1 + a12c2 + . . . + a1ncn

a21c1 + a22c2 + . . . + a2ncn

...am1c1 + am2c2 + . . . + amncn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

.

c1

c2

...cn

= A. [v]β .

Onde: a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

= A = [T ]ββ′ .

Observe que, fixadas as bases β e β′, a matriz A = [T ]ββ′ e obtida de modo unico !!!

Page 68: Apostila ufjf

64 CAPITULO 3

Atencao: E importante termos sempre em mente que:

A primeira coluna da matriz A = [T ]ββ′ (que representa a transformacao linear T relativamente asbases β e β′) e a matriz das coordenadas de T (v1) em relacao a base β′ .

A segunda coluna da matriz A = [T ]ββ′ e [T (v2)]β′ .

A terceira coluna da matriz A = [T ]ββ′ e [T (v3)]β′ .

...

A i-esima coluna da matriz A = [T ]ββ′ e [T (vi)]β′ para todo i = 1, 2, . . . , n .

Exemplos:

A) Sejam β a base canonica do IR2 e β′ a base canonica do IR3. Considere a transformacao linearT : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (x + y, y, y − x) e obtenha [T ]ββ′ .

B) Sendo T : IR3 → IR2 dada por T (x, y, z) = (2x − y + z, 3x + y − 2z) (linear) e considerandoα = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} base do IR3 e β = {(2, 1), (5, 3)} base do IR2, obtenha [T ]αβ .

C) Sendo D : P2(C) → P2(C) o operador derivacao e considerando as bases α ={1, x, x2

}e

β ={1 + x, 1− x, x2

}de P2(C), obtenha [D]αα, [D]βα, [D]αβ e [D]ββ .

D) Sejam β =

{[2 10 0

],

[1 0−1 1

],

[0 11 1

],

[−1 00 3

]}base de M2×2(IR) ,

α = {(−1, 0), (1, 2)} base do IR2 e T : M2×2(IR) → IR2 dada por

T

( [a b

c d

] )= (a + d, b + c) .

Obtenha [T ]βα.

Um caso especial: Operadores lineares e mudanca de base

Sejam V um espaco vetorial sobre um corpo IK, α = {v1, v2, . . . , vn} , β = {w1, w2, . . . , wn}bases ordenadas de V (dim V = n).

Dado um operador linear T : V → V , T e representado pelas matrizes:

[T ]αα (em relacao a base α) e [T ]ββ (em relacao a base β) .

Pergunta-se: Existe alguma relacao entre [T ]αα e [T ]ββ ? A resposta e...

Page 69: Apostila ufjf

Transformacoes Lineares 65

... SIM !

Para todo vetor v ∈ V , temos:

[Tv]β = [I]αβ . [Tv]α = [I]αβ . [T ]αα . [v]α = [I]αβ . [T ]αα . [I]βα . [v]β .

Entao, pela unicidade da matriz representante de T em relacao a base β, temos que

[T ]ββ = [I]αβ . [T ]αα . [I]βα .

Como [I]αβ =([I]βα

)−1, podemos concluir tambem que

[T ]αα = [I]βα . [T ]ββ . [I]αβ .

Definicao 3.14. Duas n×n matrizes A e B sobre um corpo IK sao chamadas SEMELHANTESquando existir uma n× n matriz invertıvel P (sobre IK) tal que

B = P−1.A.P

Portanto, se T : V → V e um operador linear e α, β sao bases de V , entao as matrizes [T ]αα e[T ]ββ sao semelhantes.

Podemos entao concluir que mudancas de base constituem uma fonte natural de ma-trizes semelhantes !

Exemplos:

A) Seja T : IR2 → IR2 o operador linear dado por T (x, y) = (7x− 4y,−4x + y) .

(a) Obtenha [T ] (matriz representante de T em relacao a base canonica).

(b) Se β = { (3, 6), (−2, 1) } (base do IR2), obtenha [T ]ββ .

B) Seja T : IR2 → IR2 o operador linear tal que [T ] (matriz representante de T em relacao a basecanonica) e dada por

[T ] =

[5 −48 −7

].

(a) T (x, y) = ? Ou melhor: obtenha o operador T .

(b) Obtenha vetores v e w em IR2 tais que T (v) = 1.v e T (w) = (−3).w .

(c) Verifique se β = {v, w} e base do IR2 e, em caso afirmativo, obtenha [T ]ββ .

Page 70: Apostila ufjf

66 CAPITULO 3

Exercıcios:

1) Seja T : IR3 → IR2 a transformacao linear dada por T (x, y, z) = (x + y, 2z − x) .

(a) Obtenha [T ]ββ′ , sendo β e β′ respectivamente as bases canonicas de IR3 e IR2.(b) Obtenha [T ]αα′ , considerando as bases ordenadas α = { (1, 0,−1), (1, 1, 1), (1, 0, 0) } de IR3 eα′ = { (0, 1), (1, 0) } de IR2 .

2) Seja T : C2 → C2 o operador linear dado por T (x, y) = (x, 0) e considere as bases ordenadasα = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, i), (−i, 2)} de C2.

(a) Obtenha [T ]αα , [T ]βα , [T ]αβ e [T ]ββ .(b) Obtenha a matriz de T em relacao a base ordenada {(−i, 2), (1, i)} .

3) Seja S : IR3 → IR3 o operador linear sobre IR3 tal que [S] =

0 1 −21 −1 10 0 0

.

Obtenha S(x, y, z).

4) Sejam β =

{[1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

]}base de M2×2(IR) ,

α = {(1, 0), (0, 1)} base do IR2 e T : IR2 → M2×2(IR) tal que [T ]αβ =

2 11 −1

−1 00 1

.

Obtenha T (x, y).

5) Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de IR2 e IR3 .(a) Se S : IR2 → IR3 e dada por S(x, y) = (2y, x− y, x) , obtenha [S]αβ .

(b) Se T : IR2 → IR3 e tal que [T ]αβ =

1 01 10 −1

, ache T , isto e, T (x, y).

(c) Ache uma base γ de IR3 tal que [T ]αγ =

1 00 00 1

.

6) Seja P3(IR) o espaco vetorial dos polinomios de grau menor ou igual a 3 sobre IR e considere ooperador linear derivacao D : P3(IR) → P3(IR) dado por

D(a0 + a1x + a2x2 + a3x

3) = a1 + 2a2x + 3a3x2 .

Page 71: Apostila ufjf

Transformacoes Lineares 67

Considerando a base β ={1, x− 1, (x− 1)2, (x− 1)3

}de P3(IR) , encontre [D]ββ (matriz represen-

tante de D em relacao a base β).

7) Consideremos a matriz A =

[5 3

−6 −4

]. Um problema fundamental da Algebra Linear consiste

em obter uma matriz B, semelhante a matriz A (isto e, B = P−1.A.P com P invertıvel) tal que B

seja o mais SIMPLES possıvel!

Ora, sabemos que uma fonte natural de matrizes semelhantes e a mudanca de base na representacaode transformacoes lineares, ou seja, se α e β sao bases de um espaco vetorial V (de dimensaofinita) e T : V → V e um operador linear sobre V , entao [T ]αα e [T ]ββ sao semelhantes.

Assim sendo, vamos considerar uma transformacao linear T : IR2 → IR2 tal que A = [T ] (A e amatriz representante de T em relacao a base canonica de IR2). Obtenha T (x, y).

Encontrar uma matriz simples e semelhante a matriz A significa entao obter uma base β = {u, v}do IR2 tal que B = [T ]ββ seja simples. As matrizes mais simples possıveis sao as matrizes diagonais.Vamos tentar entao obter uma base β tal que

B = [T ]ββ =

[λ1 00 λ2

]

Isto significa entao que, sendo β = {u, v} , teremos T (u) = λ1.u e T (v) = λ2.v .

Encontre valores de λ1 e λ2 tais que existam vetores nao-nulos u e v que satisfacam as condicoesacima. Obtenha entao u e v e verifique se β = {u, v} e base de IR2. Finalmente, obtenha a matrizB = [T ]ββ (que ja sabemos ser semelhante a matriz A).

8) Seja W o subespaco do IR3 dado por W ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; x + 2y − z = 0}

.(W e um PLANO que passa pela origem)

Consideremos agora a transformacao linear R : IR3 → IR3 que e uma REFLEXAO em torno doplano W .

Obtenha a expressao para R(x, y, z).

Sugestao:(a) Obtenha uma base β′ = {v, w} para W (espera-se que dim W = 2).(b) Sabemos da Geometria Analıtica (e veremos mais adiante neste curso) que o vetor u = (1, 2,−1)e perpendicular (ortogonal) ao plano W (e um chamado vetor NORMAL ao plano).

Mostre que β = β′ ∪ {u} = {v, w, u} e uma base do IR3 (isto tambem e esperado - por que ?).(c) E facil perceber o efeito da transformacao R na base β e assim obter [R]ββ .(d) A partir de [R]ββ , obtenha [R] e daı fica facil descobrir R(x, y, z) .

Page 72: Apostila ufjf

68 CAPITULO 3

3.7 Composicao de transformacoes lineares

Definicao 3.15. Sejam V, W, Z espacos vetoriais, T : V → W e U : W → Z transformacoeslineares. Podemos construir a funcao composta (U ◦ T ) : V → Z dada por

(U ◦ T )v = U(Tv) ∀ v ∈ V

Podemos indagar: Sera U ◦ T linear? A resposta e ... SIM!

De fato:(U ◦ T )(v + w) = U(T (v + w)) = U(Tv + Tw) = U(Tv) + U(Tw) = (U ◦ T )v + (U ◦ T )w(U ◦ T )(k.v) = U(T (k.v)) = U(k.Tv) = k.U(Tv) = k.(U ◦ T )v

Logo U ◦ T e linear.

Exemplo: Sejam R : IR2 → IR2 e S : IR2 → IR2 dadas por

R(x, y) = (x, x− y) e S(x, y) = (2y, x) ∀ (x, y) ∈ IR2 .

Determine R ◦ S : IR2 → IR2 e S ◦R : IR2 → IR2 .

Composicao e matrizes representantes

Sejam V, W e Z espacos vetoriais (todos de dimensao finita), α base de V , β base de W eγ base de Z. Sejam T : V → W e U : W → Z transformacoes lineares.

Acabamos de ver que (U ◦ T ) : V → Z e linear.

Nos interessa agora estabelecer uma relacao entre a matriz representante da composta U ◦ T eas matrizes representantes de U e T (fixadas as bases dos respectivos espacos) que possa nos ajudara obter informacoes sobre a composta de um modo mais direto.

Nesse sentido, verificamos a existencia da importante relacao dada abaixo:

[U ◦ T ]αγ = [U ]βγ . [T ]αβ .

Page 73: Apostila ufjf

Transformacoes Lineares 69

De fato:

Para todo vetor v ∈ V temos [(U ◦ T )v]γ = [U(Tv)]γ = [U ]βγ . [Tv]β = [U ]βγ . [T ]αβ . [v]α .

Pela unicidade da matriz representante [U ◦ T ]αγ , podemos concluir que

[U ◦ T ]αγ = [U ]βγ . [T ]αβ .

Exemplo: Sejam R : IR2 → IR3 e S : IR3 → IR2 dadas por R(x, y) = (x, x + y, y) eS(x, y, z) = (z − x, z).

Sejam α = {(1,−1), (−2, 1)} base do IR2 , β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} a base canonica doIR3 e γ = {(1, 0), (0, 1)} a base canonica do IR2.

Obtenha: [R ◦ S] , [S ◦R] , [S ◦R]αγ e [S ◦R]γα

A proposicao seguinte e uma consequencia da representacao da composicao por matrizes:

Proposicao 3.16. Sejam V e W espacos vetoriais, de mesma dimensao (finita),T : V → W uma transformacao linear, α uma base de V e β uma base de W .

As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(i) T e invertıvel (bijetora, isomorfismo)

(ii) A matriz [T ]αβ e invertıvel

Em caso afirmativo, temos ainda [T−1

]βα

=([T ]αβ

)−1

Exemplo: Seja T : IR2 → IR2 dada por T (x, y) = (x− y, 2y − x).

Mostre que T e invertıvel e determine T−1.

Exercıcios:

1) Sejam R : IR2 → IR3 e S : IR3 → IR2 as transformacoes lineares dadas por

R(x, y) = (2x, x− y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z − x) .

Obtenha [R ◦ S] e [S ◦R].

2) Sejam R : IR2 → IR2 e S : IR3 → IR2 transformacoes lineares tais que

[R] =

[1 2

−1 3

]e [S] =

[1 0 −12 1 1

].

Page 74: Apostila ufjf

70 CAPITULO 3

Sabemos que R ◦ S : IR3 → IR2. Obtenha R ◦ S (x, y, z).

3) No plano, uma rotacao anti-horaria de 45o e seguida por uma dilatacao (homotetia) de√

2 .Ache a aplicacao A : IR2 → IR2 que representa esta transformacao do plano.

(Sugestao: a aplicacao procurada e uma composicao de duas transformacoes lineares. Encontre suamatriz em relacao a base canonica do IR2 atraves das matrizes das transformacoes que a compoem).

4) Qual e a aplicacao A : IR2 → IR2 que representa uma contracao (homotetia) de 1/√

2 seguidade uma rotacao horaria de 45o ?

5) Sejam R e S operadores lineares sobre IR3 tais que

[R] =

1 0 12 1 10 −1 1

e [S] =

−2 1 −13 1 21 −2 0

.

Encontre T : IR3 → IR3 tal que R = S ◦ T .

6) Seja T : IR2 → IR2 uma reflexao atraves da reta y = 3x.

(a) Encontre T (x, y) .(b) Obtenha uma base α de IR2 tal que

[T ]αα =

[1 00 −1

].

3.8 Posto e Nulidade de uma transformacao linear

Ao final da secao 3.3 definimos, para uma transformacao linear T : V → W de V em W

(espacos vetoriais de dimensao finita):

POSTO de T = dim Im T (dimensao da imagem de T ).

NULIDADE de T = dim ker T (dimensao do nucleo de T ).

Um resultado de utilidade pratica na obtencao do posto e da nulidade de T e o seguinte:

Proposicao 3.17. Seja T : V → W uma transformacao linear de V em W (espacos vetoriais dedimensao finita). Dadas duas bases, α de V e β de W , temos

Posto de T = Posto de [T ]αβ = numero de linhas nao-nulas da matriz linha-reduzida a formaescada que e linha-equivalente a matriz [T ]αβ .

Nulidade de T = (numero de colunas de [T ]αβ ) - (Posto de T ).

Page 75: Apostila ufjf

Transformacoes Lineares 71

Exercıcios:

1) Seja T : IR3 → IR4 a transformacao linear dada por

T (x, y, z) = (x + 5y + 9z, 2x + 6y + 10z, 3x + 7y + 11z, 4x + 8y + 12z) .

Obtenha dim Im T (posto de T ) e dim ker T (nulidade de T ).

2) Sejam R : IR2 → IR2 e S : IR4 → IR3 transformacoes lineares tais que

[R] =

[1 21 3

]e [S] =

1 0 −1 22 1 1 21 0 −1 2

.

Obtenha o posto e a nulidade de cada uma das transformacoes acima.

Page 76: Apostila ufjf

72 CAPITULO 3

Page 77: Apostila ufjf

Capıtulo 4

Formas Canonicas

Neste capıtulo estaremos interessados em, dado um operador linear T : V → V sobre um espacode dimensao finita, obter uma base β de V tal que [T ]ββ (matriz representante de T em relacao abase β ) seja a mais simples possıvel (formas canonicas), no sentido de que possamos operar maisfacilmente com a mesma.

4.1 Autovalores e autovetores

Ao buscarmos uma base β de V que torne simples [T ]ββ , o primeiro tipo (mais simples) dematriz que surge e a matriz diagonal. Assim sendo, queremos que [T ]ββ seja, ou pelo menos seaproxime de, uma matriz diagonal. Somos entao levados naturalmente a procurar, para formarmosa base β, vetores (obviamente nao-nulos, pois irao compor uma base) v ∈ V tais que existamescalares λ ∈ IK com T (v) = λ.v .

Definicao 4.1. Seja T : V → V um operador linear (V sobre um corpo IK). Um escalar λ ∈ IK edito um AUTOVALOR de T quando existir um vetor nao-nulo v ∈ V tal que

T (v) = λ.v .

Um vetor v que cumpra esta condicao e dito um AUTOVETOR associado ao autovalor λ.

Se λ e um autovalor de T : V → V , o subespaco Vλ = {v ∈ V ; T (v) = λ.v} (subespaco vetorialde V - exercıcio) e chamado o SUBESPACO ASSOCIADO AO AUTOVALOR λ ou AUTOESPACOASSOCIADO A λ .

Obs.: Outras denominacoes:Autovalores: valores caracterısticos, valores proprios.Autovetores: vetores caracterısticos, vetores proprios.

73

Page 78: Apostila ufjf

74 CAPITULO 4

Exemplos:

A) Seja T : IR2 → IR2 o operador linear dado por T (x, y) = (4x + 5y, 2x + y).v = (5, 2) e um autovetor do operador T .w = (2, 1) nao e um autovetor do operador T .

B) Nem todo operador T : V → V possui autovetores !Seja T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (−y, x). T nao possui autovetores.

C) Proposicao: Dado um operador linear T : V → V e um autovetor v associado a um autovalorλ ( T (v) = λ.v ) entao, dado k ∈ IK (k 6= 0) , k.v tambem e um autovetor associado ao mesmoautovalor λ .

D) Seja T : IR2 → IR2 o operador dado por T (x, y) = (x,−y) . Encontre os autovalores eautovetores de T .

E) Seja T : IR2 → IR2 o operador dado por T (x, y) = (−3x+2y,−4x+3y) . Encontre os autovaloree autovetores de T .

F) Seja T : IR3 → IR3 dado por T (x, y, z) = (2x,−z, y) . Encontre os autovalores e autovetores de T .

Autovalores de uma matriz:

Definicao 4.2. Dada uma n×n matriz A sobre um corpo IK, definimos os autovetores e autovaloresde A como os mesmos do operador T : IKn → IKn tal que [T ] = A.

4.2 Obtendo autovalores e autovetores

Sejam T : IKn → IKn (lembremos que IK = IR ou C) um operador linear e a n× n matriz A talque A = [T ] (A e a matriz que representa T em relacao a base canonica).

Para obtermos os autovalores e autovetores de T e A, procederemos da mesma forma que nosexemplos anteriores:

Queremos obter λ ∈ IK e v = (x1, x2, . . . , xn) 6= (0, 0, . . . , 0), v ∈ IKn tais que

T (v) = λ.v , ou seja, λ.v − T (v) = 0 (vetor nulo).

O que tambem pode ser descrito como: λ.I(v)− T (v) = 0 ⇔ (λ.I − T )(v) = 0 .

Page 79: Apostila ufjf

Formas Canonicas 75

Na forma matricial:λx1

λx2

...λxn

−A.

x1

x2

...xn

=

00...0

⇔ (λ.I −A) .

x1

x2

...xn

=

00...0

(∗)

Para que o sistema (∗) acima possua solucoes nao-triviais (lembremos que estamos buscandovetores nao-nulos v), devemos ter

det(λI −A) = 0 .

Portanto, os valores caracterısticos do operador T (e da matriz A) sao exatamente os escalaresλ ∈ IK tais que det(λI −A) = 0 (equacao caracterıstica da matriz A ou do operador T ).

Definicao 4.3. Definimos o POLINOMIO CARACTERISTICO da matriz A como sendo o polinomio

pA(x) = det(xI −A) .

Consequencias:

(a) Como A e uma n× n matriz sobre o corpo IK, seu polinomio caracterıstico sera um polinomiode grau n e coeficientes em IK.

(b) Se duas n×n matrizes A e B sao semelhantes entao elas tem o mesmo polinomio caracterıstico.

Esta consequencia nos permite definir o POLINOMIO CARACTERISTICO DE UM OPERADORT : V → V , pT (x), como o polinomio caracterıstico de qualquer matriz representante de T , [T ]ββem relacao a uma base β de V .

(c) E claro que os autovalores de A (e portanto de T ) sao as raızes do seu polinomio caracterıstico eusaremos o sistema (∗) acima para determinar seus autovetores.

Obs.: Se tivermos T : V → V, dim V = n e V 6= IKn (por exemplo, se V e um espaco depolinomios ou matrizes), entao escolha uma base α de V e a partir daı cada vetor v ∈ V podera serrepresentado por sua n-upla de coordenadas em relacao a base α, ou seja, podemos tomar os mesmosprocedimentos acima, como se estivessemos no espaco IKn (isomorfismo entre espacos de polinomiosou matrizes e espacos do tipo IKn).

Apendice: Um pouco sobre polinomios:

Um polinomio p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn de grau n tem no maximo n raızes distintas.

Page 80: Apostila ufjf

76 CAPITULO 4

Um escalar λ e raiz de um polinomio p(x) se, e somente se, p(x) e divisıvel por (x− λ).

Se p(x) e um polinomio com coeficientes reais e o numero complexo a+ ib e raiz de p(x) entaoseu conjugado a− ib tambem e raiz de p(x).

Exemplo: Seja T : IR3 → IR3 dado por T (x, y, z) = (x + y, x− y + 2z, 2x + y − z).

Obtenha os autovalores e autovetores de T .

Exercıcios:

1) Ache os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares dados abaixo:

(a) T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (2y, x) .

(b) S : IR2 → IR2 dado por S(x, y) = (x + y, 2x + y) .

(c) L : IR3 → IR3 dado por L(x, y, z) = (x + y, x− y + 2z, 2x + y − z) .

(d) M : M2×2(C) → M2×2(C) dado por M(A) = At (transposta de A).

(e) H : P2(IR) → P2(IR) dado por H(ax2 + bx + c) = ax2 + cx + b .

(f) U : IR4 → IR4 dado por U(x, y, z, w) = (x, x + y, x + y + z, x + y + z + w) .

2) Encontre o operador linear T : IR2 → IR2 tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados aosautovetores (3y, y) e (−2y, y) respectivamente.

3) Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

(a) A =

[1 20 −1

](b) B =

[1 11 1

](c) C =

1 2 30 1 20 0 1

(d) D =

3 −3 −40 3 50 0 −1

(e) E =

1 0 2−1 0 1

1 1 2

(f) F =

1 1 21 2 12 1 1

(g) G =

0 1 00 0 1

−1 0 0

(h) H =

1 3 −30 4 0

−3 3 1

(i) I =

−1 −4 142 −7 142 −4 11

(j) J =

2 0 1 00 2 0 112 0 3 00 −1 0 0

Page 81: Apostila ufjf

Formas Canonicas 77

4) Seja T : V → V um operador linear.Se λ = 0 e autovalor de T , mostre que T nao e injetora.A recıproca e verdadeira? Ou seja, se T nao e injetora, λ = 0 e autovalor de T ?

5) Sejam A =

[0 21 1

]e T : IR2 → IR2 tal que [T ] = A.

(a) Mostre que T e invertıvel (bijetora, isomorfismo) e obtenha T−1.

(b) Mostre que os autovalores de qualquer operador linear invertıvel nao sao nulos, ou seja,λ = 0 nao pode ser autovalor de T , se T for invertıvel.(Sugestao: De uma olhada no exercıcio anterior)

(c) Obtenha os autovalores e autovetores correspondentes de T e T−1 (o mesmo que obter osde A e A−1).

(d) Generalize o resultado obtido na letra (c) acima, para um operador invertıvel T : V → V .

6) Seja A =

−1 −2 00 −1 11 0 0

. Obtenha os autovalores e autovetores de A ...

(a) ... sobre o corpo IR dos numeros reais.

(b) ... sobre o corpo C dos numeros complexos.

4.3 Forma diagonal: a primeira forma canonica

Base de autovetores, operadores diagonalizaveis:

Seja T : V → V (dim V = n) um operador linear.

Se V possui uma base β = {v1, v2, . . . , vn} de autovetores de T , temos:

T (v1) = λ1.v1

T (v2) = λ2.v2

...T (vn) = λn.vn

⇒ [T ]ββ =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . λn

Assim sendo, a matriz representante de T em relacao a base β e diagonal.

Page 82: Apostila ufjf

78 CAPITULO 4

Reciprocamente, se γ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base de V tal que [T ]γγ e diagonal:

[T ]γγ =

a1 0 . . . 00 a2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . an

T (w1) = a1.w1

T (w2) = a2.w2

...T (wn) = an.wn .

Logo γ e uma base de autovetores de T .

Portanto T : V → V admite uma base β (de V ) de autovetores se, e somente se, [T ]ββ e umamatriz diagonal.

Definicao 4.4. Seja T : V → V um operador linear.T e um operador DIAGONALIZAVEL se, e somente se, existe uma base de V cujos elementos sao(todos) autovetores de T .

Exemplos:

A) Seja T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (−3x + 4y,−x + 2y).

T e diagonalizavel ?

B) Seja T : IR2 → IR2 tal que [T ] =

[a −b

b a

], a, b ∈ IR, b 6= 0.

T e diagonalizavel ?

C) Seja T : IR3 → IR3 tal que [T ] =

3 0 −40 3 50 0 −1

. T e diagonalizavel ?

D) Seja T : IR3 → IR3 tal que [T ] =

3 −3 −40 3 50 0 −1

. T e diagonalizavel ?

Uma propriedade importante: Autovetores associados a autovalores distintos sao linearmenteindependentes (LI).

Consequencia: Se V e um espaco vetorial de dimensao n e um operador linear T : V → V

possui n autovalores distintos, entao T e diagonalizavel.

Page 83: Apostila ufjf

Formas Canonicas 79

4.4 Polinomio minimal (ou mınimo)

Polinomio minimal de uma matriz:

Definicao 4.5. Sejam p(x) = alxl + al−1x

l−1 + . . . + a1x + a0 um polinomio e A uma matrizquadrada. Entao p(A) (le-se p aplicado em A) e a matriz:

p(A) = alAl + al−1A

l−1 + . . . + a1A + a0I .

Quando p(A) = 0 (matriz nula), dizemos que o polinomio p ANULA a matriz A .

Exemplo: Sejam A =

[−2 −1

3 2

], p(x) = 2x2 − x + 3, q(x) = x2 − 1 .

Definicao 4.6. Seja A uma matriz quadrada. O POLINOMIO MINIMAL (ou MINIMO) de A eum polinomio mA(x) = xk + ak−1x

k−1 + . . . + a1x + a0 tal que

(i) mA(A) = 0 (mA anula a matriz A).

(ii) mA(x) e o polinomio de menor grau entre aqueles que anulam A.

Veremos a seguir alguns criterios que ajudarao a obter o polinomio minimal de uma matriz:

Teorema 4.7. Se um polinomio f(x) anula a matriz A entao f e divisıvel pelo polinomio minimalde A.

Teorema 4.8. (Cayley-Hamilton) O polinomio caracterıstico de uma matriz anula essa matriz.

Teorema 4.9. As raızes do polinomio minimal sao as mesmas raızes (reais ou complexas) dopolinomio caracterıstico da matriz considerada.

Se combinarmos os tres resultados anteriores temos um bom metodo para a obtencao de “can-didatos a polinomio minimal” de uma matriz dada.

Observe que o polinomio minimal de uma matriz dada deve ser um divisor do polinomiocaracterıstico dessa matriz e possuir as mesmas raızes.

Por exemplo, se pA(x) = (x + 2)2(x− 1)(x− 3)2 e o polinomio caracterıstico de uma matriz A

entao os candidatos a polinomio minimal sao:

Page 84: Apostila ufjf

80 CAPITULO 4

f1(x) = (x + 2)(x− 1)(x− 3)f2(x) = (x + 2)2(x− 1)(x− 3)f3(x) = (x + 2)(x− 1)(x− 3)2

f4(x) = (x + 2)2(x− 1)(x− 3)2 = pA(x)

Dentre estes, o de menor grau que anular a matriz A sera o polinomio minimal de A.

Exemplos:

A) Obtenha o polinomio minimal da matriz A =

1 2 30 1 20 0 1

.

B) Obtenha o polinomio minimal da matriz B =

2 2 21 3 2

−1 −2 −1

.

C) Obtenha o polinomio minimal da matriz C =

2 0 0 01 2 0 00 0 2 00 0 0 −1

.

D) Obtenha o polinomio minimal da matriz D =

2 0 1 00 2 0 112 0 3 00 −1 0 0

.

Polinomio minimal de um operador linear:

Definicao 4.10. Definimos o polinomio minimal de um operador T : V → V como o polinomiominimal de qualquer matriz representante de T , [T ]ββ (onde β e uma base qualquer de V ).

O resultado a seguir justifica a obtencao do polinomio minimal de um operador linear:

Teorema 4.11. Um operador linear T : V → V e diagonalizavel se, e somente se, o polinomiominimal de T e da forma

mT (x) = (x− λ1).(x− λ2) . . . (x− λr) , com λ1, λ2, . . . , λr autovalores distintos.

Page 85: Apostila ufjf

Formas Canonicas 81

Exemplos:

A) Seja T : IR4 → IR4 dado por T (x, y, z, w) = (3x− 4z, 3y + 5z,−z,−w).

Obtenha o polinomio minimal de T . T e diagonalizavel ?

B) T : IR3 → IR3 dado por T (x, y, z) = (x + y, y,−2z) e diagonalizavel ?

C) Seja T : IR2 → IR2 o operador linear dado por T (x, y) = (x− y, 2x− y).

Obtenha o polinomio minimal de T . T e diagonalizavel ? E se considerarmos T : C2 → C2 ?

Exercıcios:

1) Dentre os operadores do exercıcio 1 da Secao 4.2, quais sao diagonalizaveis ?

2) Uma n × n matriz quadrada A sobre um corpo IK e dita diagonalizavel quando o operadorlinear T : IKn → IKn tal que [T ] = A for diagonalizavel.

Quais matrizes do exercıcio 3 da Secao 4.2 sao diagonalizaveis ?

3) Para quais valores de a as matrizes abaixo sao diagonalizaveis ?

(a) A =

[1 10 a

]. (b) B =

[1 a

0 1

].

4) Seja T : IR3 → IR3 um operador linear tal que

[T ] =

2 0 10 −3 10 0 −3

.

Se for possıvel, encontre uma base γ de IR3 tal que [T ]γγ seja diagonal.

5) Mostre que a matriz A =

[1 23 2

]e semelhante a matriz B =

[4 00 −1

], exibindo uma

matriz invertıvel P tal que B = P−1.A.P .

6) Mostre que ...

(a) ... duas matrizes semelhantes possuem o mesmo determinante.

(b) ... se uma matriz quadrada A e diagonalizavel, o determinante de A a o produto de seusautovalores.

Page 86: Apostila ufjf

82 CAPITULO 4

7) Diz-se que um operador linear T : V → V e NILPOTENTE se existir um numero inteiro epositivo k tal que T k = 0 (operador nulo), isto e, T ◦ T ◦ T ◦ . . . ◦ T (v) = 0 para todo v ∈ V .

a) Seja T nilpotente. Encontre seus autovalores. (Sugestao: observe que xk anula T )

b) Encontre uma matriz A = [T ] , T : IR3 → IR3 , com T nilpotente e nao-nulo.

c) Mostre que um operador linear nilpotente, nao-nulo, nao e diagonalizavel.

8) Diz-se que um operador linear T : V → V e IDEMPOTENTE se T 2 = T , isto e, quandoT ◦ T (v) = T (v) para todo v ∈ V .

a) Seja T idempotente. Encontre seus autovalores.

b) Encontre uma matriz A = [T ] , T : IR4 → IR4 , com T idempotente, nao-nulo e A 6= I .

c) Mostre que todo operador linear idempotente e diagonalizavel.

9) Mostre que A =

3 0 00 2 −50 1 −2

nao e diagonalizavel sobre o corpo IR dos numeros reais, mas

se A representar, numa certa base, um operador linear T : V → V , onde V e um espaco vetorialcomplexo, entao T e diagonalizavel. Obtenha ainda uma matriz , sobre C, diagonal e que sejasemelhante a matriz A.

10) Utilize a forma diagonal para obter An (n natural) nos seguintes casos

(a) A =

[−3 4−1 2

]. (b) A =

0 7 −6−1 4 0

0 2 −2

.

Sugestao: Ache uma matriz B semelhante a matriz A (A = P−1.B.P ) tal que seja facil de calcularBn (busque B diagonal) e observe que An = (P−1.B.P )n = P−1.Bn.P .

4.5 Matriz companheira

Seja f(x) = xn + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 um polinomio cujo coeficiente do termo de mais alto

grau e igual a 1.

Chama-se MATRIZ COMPANHEIRA DE f (ou matriz associada ao polinomio f) a n×n matrizquadrada Cf onde todos os elementos da “subdiagonal principal” (“paralela” a principal e logoabaixo) sao iguais a 1, cuja ultima coluna e formada pelos opostos dos coeficientes de f(x) e tal que

Page 87: Apostila ufjf

Formas Canonicas 83

todos os seus demais elementos sao nulos, da seguinte forma:

Cf =

0 0 0 . . . 0 −a0

1 0 0 . . . 0 −a1

0 1 0 . . . 0 −a2

0 0 1. . .

......

......

.... . . 0 −an−2

0 0 0 . . . 1 −an−1

Exemplo: Encontre a matriz companheira de f(x) = x3 − 4x2 + x + 6.

Propriedade: O polinomio minimal e o polinomio caracterıstico da matriz companheira de f

sao iguais ao proprio polinomio f .

Exercıcio: Obtenha a matriz companheira e verifique a propriedade acima para

f(x) = x2 − 3x + 4 , g(x) = x3 + x2 − x + 15 e h(x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 8x− 4.

4.6 A forma canonica de Jordan

Ja vimos que, para certos operadores lineares T : V → V , e possıvel obter uma base β de V

tal que a matriz representante de T nesta base(

[T ]ββ)

e uma matriz diagonal (sao os operadoresdiagonalizaveis).

Quando T nao e diagonalizavel veremos que, sob certas condicoes, e possıvel obter uma base β

de V tal que [T ]ββ tenha ainda uma “forma simples”, a chamada Forma de Jordan.

Teorema 4.12. (Forma Canonica de Jordan)Sejam T : V → V um operador linear sobre umespaco V de dimensao finita ( dim V = n ) e A = [T ].

Suponhamos que seu polinomio caracterıstico seja daforma:pT (x) = pA(x) = (x− λ1)d1 .(x− λ2)d2 . . . (x− λk)dk

λ1, λ2, . . . , λk autovalores (d1 + d2 + . . . + dk = n).

Seja seu polinomio minimal dado por

mT (x) = mA(x) = (x−λ1)r1 .(x−λ2)r2 . . . (x−λk)rk ,

com ri ≤ di ∀ i = 1, 2, . . . , k .

Entao...

Exemplo (para ilustrar) :

Page 88: Apostila ufjf

84 CAPITULO 4

Forma canonica de Jordan: (cont.)... existe uma base β de V tal que B = [T ]ββ e umamatriz DIAGONAL POR BLOCOS

B =

B1

B2

©

©. . .

Bk

onde cada bloco Bi tem ordem di e esta relacionadocom o autovalor λi , conforme veremos a seguir.

(1) Cada bloco Bi e diagonal por blocos

Bi =

J

(i)1

J(i)2

©

©. . .

J(i)li

onde cada bloco J (i) e da forma

J (i) =

λi 0 . . . . . . 01 λi 0 . . . 0

0 1. . . . . .

......

.... . . . . . 0

0 0 . . . 1 λi

e chamado Matriz Elementar de Jordan com valor car-acterıstico λi.

(2) O bloco J (i) de maior ordem e uma matriz ri×ri

(ri e o expoente de (x − λi) no polinomio minimal)e costumamos escrever os blocos J (i) em ordem de-crescente de tamanho.

(3) O numero de blocos J (i) que formam a matrizBi e dado por dim Vλi

(dimensao do subespacoassociado ao autovalor λi)

A matriz B e dada, a menos da ordem dos blocos,de modo unico e e dita estar sob a Forma de Jordan.Dizemos que a matriz B e a Forma de Jordan da ma-triz A.

Page 89: Apostila ufjf

Formas Canonicas 85

Este resultado vale para espacos V (ou matrizes A) reais ou complexos.

No caso real, contanto que o polinomio caracterıstico seja fatorado como um produto de fatoreslineares (e reais).

Exemplos:

A) Seja T : V → V um operador linear cujos polinomios caracterıstico pT (x) e minimal mT (x) saodados por

pT (x) = (x− 3)4(x + 1)3 e mT (x) = (x− 3)2(x + 1)2 .

Determine as possıveis Formas de Jordan para as matrizes representantes de T .

B) Seja T : V → V um operador linear cujos polinomios caracterıstico pT (x) e minimal mT (x) saodados por

pT (x) = (x− 2)4(x− 7)4 e mT (x) = (x− 2)(x− 7)3 .

Determine as possıveis Formas de Jordan para as matrizes representantes de T .

C) Obtenha a Forma Canonica de Jordan B da matriz A =

3 −3 −40 3 50 0 −1

.

Exercıcios:

1) Determine as Formas de Jordan possıveis para as matrizes representantes de um operador linearT : V → V (definido sobre um espaco vetorial real V de dimensao finita) cujos polinomios carac-terıstico pT (x) e minimal mT (x) sejam dados por:

(a) pT (x) = (x + 1)5(x− 2)3 , mT (x) = (x + 1)3(x− 2)3 .

(b) pT (x) = (x− 5)3(x + 3)2(x− 4)3 , mT (x) = (x− 5)(x + 3)2(x− 4)2 .

(c) pT (x) = (x + 2)7(x− 3)4 , mT (x) = (x + 2)3(x− 3)2 .

2) Obtenha as Formas Canonicas de Jordan das matrizes do exercıcio 3 da Secao 4.2 .

3) Sejam T : IRn → IRn um operador linear, A = [T ] (matriz representante de T em relacao a basecanonica do IRn).

Seja mT (x) = mA(x) = (x− λ1)(x− λ2) . . . (x− λk) (λ1, λ2, . . . , λk ∈ IR, distintos) o polinomiominimal de T (ou de A).

Um teorema garante que T e diagonalizavel (ou seja, existe uma base β, de autovetores, de modoque [T ]ββ e diagonal).

Justifique este fato utilizando o teorema da Forma Canonica de Jordan.

Page 90: Apostila ufjf

86 CAPITULO 4

4) Consideremos a matriz A =

−1 −2 00 −1 11 0 0

Obtenha o polinomio caracterıstico pA(x) e o polinomio minimal mA(x) da matriz A e observeque, sobre o corpo dos REAIS, nao estamos em condicoes de aplicar o teorema da Forma de Jordan.Considerando agora o corpo dos numeros COMPLEXOS, obtenha a Forma Canonica de Jordan damatriz A.

5) Consideremos a matriz A =

−3 0 0 0

1 −3 0 00 0 −3 00 0 0 1

Utilize o teorema da Forma Canonica de Jordan para obter DIRETAMENTE os polinomios carac-terıstico e minimal de A e verifique o resultado.

Page 91: Apostila ufjf

Capıtulo 5

Espacos com Produto Interno

Neste capıtulo introduzimos o conceito de Produto Interno e alguns exemplos e topicos basicosrelacionados, como ortogonalidade, a norma proveniente de um produto interno, ortogonalizacao,projecao ortogonal e complemento ortogonal.

5.1 Produto interno

Definicao 5.1. Seja V um espaco vetorial real. Um PRODUTO INTERNO sobre V e umafuncao que associa a cada par de vetores v1, v2 ∈ V um escalar < v1, v2 > ∈ IR chamado oproduto interno de v1 por v2, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condicoes:

p.i.1) < λ.v1 + v2, v3 > = λ. < v1, v3 > + < v2, v3 > , v1, v2, v3 ∈ V , λ ∈ IR ;

p.i.2) < v, v > ≥ 0 ∀ v ∈ V ;

p.i.3) < v, v > = 0 ⇒ v = 0 ;

p.i.4) < v1, v2 > = < v2, v1 > ∀ v1, v2 ∈ V .

Obs.: Se V for um espaco vetorial sobre o corpo C entao a condicao p.i.4 para que se tenha umproduto interno deve ser: < v1, v2 > = < v2, v1 > ∀ v1, v2 ∈ V . Salvo mencao em contrario,sempre trabalharemos neste capıtulo com espacos vetoriais reais (sobre IR).

Exemplos:

A) Seja V = IR3. Dados u = (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3) ∈ IR3 , definamos:

< u, v > = x1y1 + x2y2 + x3y3 .

87

Page 92: Apostila ufjf

88 CAPITULO 5

Temos que < , > definido desta forma e um produto interno sobre o IR3, conhecido comoProduto Interno Usual (ou Canonico) do IR3.

B) Seja V = IRn. Dados u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn , definamos:

< u, v > = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn (Produto Interno Usual do IRn).

C) Seja V = IR2. Dados u = (x1, y1), v = (x2, y2) ∈ IR2 , defina:

< u, v > = 2x1x2 − x1y2 − x2y1 + y1y2 .

Exercıcio: Verifique que < , > acima definido e um produto interno sobre o IR2.

D) Seja V = C[a, b] o espaco das funcoes reais contınuas definidas no intervalo [a, b] :

V = { f : [a, b] → IR ; f e contınua } .

Dadas f, g ∈ C[a, b] , defina

< f, g > =∫ b

af(x).g(x) dx .

Temos que < , > acima definido e um produto interno sobre V . (Verifique!)

E) Seja V = Cper [−T2 , T

2 ] o espaco das funcoes f : IR → IR contınuas e periodicas de perıodoT > 0 :

V = Cper

[−T

2,T

2

]= { f : IR → IR ; f(x + T ) = f(x) ∀ x ∈ IR } .

Dadas f, g ∈ Cper [−T2 , T

2 ] , temos o seguinte produto interno sobre V :

< f, g > =∫ T/2

−T/2f(x).g(x) dx .

F) Seja V = M2×2(IR) o espaco das 2× 2 matrizes reais:

V = M2×2(IR) =

{ [a b

c d

]; a, b, c, d ∈ IR

}.

Dadas A =

[a b

c d

], B =

[e f

g h

]∈ V , definamos

< A,B > = ae + 2bf + 3cg + dh .

< , > acima definido e um produto interno sobre M2×2(IR) . (Verifique!)

Page 93: Apostila ufjf

Espacos com Produto Interno 89

G) (Um exemplo mais geral) Sejam V = IRn e Q uma n× n matriz invertıvel (fixa).

Dados u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn , definamos:

< u, v > = [u]tβ.Qt.Q.[v]β = (x1, x2, . . . , xn).Qt.Q.

y1

y2

...yn

(onde β e a base canonica do IRn).

Obs.: Note que se Q = I (n × n matriz identidade), entao temos em particular o ProdutoInterno Usual no IRn.

Exercıcio: Mostre que a funcao acima definida e um produto interno sobre IRn.

Algumas propriedades imediatas:

Se V e um espaco vetorial (real) com produto interno < , > , entao:

(i) < 0, v > = 0 ∀v ∈ V ;

(ii) < α1u1 + . . . + αnun, v > = α1 < u1, v > + . . . + αn < un, v > ;

(iii) < α1u1 + . . . + αnun , β1v1 + . . . + βmvm > =∑i,j

αiβj < ui, vj > .

Obs.: Um produto interno < , > sobre um espaco vetorial V nos permite criar toda uma“GEOMETRIA” para o espaco V , generalizando uma serie de ideias ja estudadas, conforme veremosnas proximas secoes.

5.2 Ortogonalidade

Definicao 5.2. Seja V um espaco vetorial V munido de um produto interno < , >. Dizemos quedois vetores u, v ∈ V sao ORTOGONAIS quando < u, v > = 0. Escreve-se neste caso: u ⊥ v (ouv ⊥ u ).

Um subconjunto S ⊂ V e dito ser um CONJUNTO ORTOGONAL de vetores quando seusvetores sao dois a dois ortogonais.

Obs.: E importante ressaltarmos que o conceito de ortogonalidade depende do produto in-terno < , > considerado.

Page 94: Apostila ufjf

90 CAPITULO 5

Exemplos:

A) Seja V = IR3 munido com o Produto Interno Usual < , > .Os vetores u = (3,−2, 1) e v = (0, 4, 8) sao ortogonais.

B) Seja V = IRn munido com o Produto Interno Usual < , > .

E imediato que sua base canonica

α = { (1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1) }

e um conjunto ortogonal (pois seus vetores sao dois a dois ortogonais).

C) Seja V = C[−π, π] = { f : [−π, π] → IR ; f e contınua } munido do produto interno

< f, g > =∫ π

−πf(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V .

Sendo f, g : [−π, π] → IR dadas por f(x) = senx e g(x) = cos x , temos:

< f, g > =∫ π

−πsenx. cos x dx = 0 . (Verifique!)

Portanto f(x) = senx e g(x) = cos x sao ortogonais em C[−π, π].

D) Seja V = Cper [−T2 , T

2 ] = { f : IR → IR ; f(x + T ) = f(x) ∀ x ∈ IR } o espaco das funcoescontınuas e periodicas de perıodo T > 0, munido do produto interno

< f, g > =∫ T/2

−T/2f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V .

O conjunto S = {1, cos wx, senwx, cos 2wx, sen 2wx, . . .} , onde w =2π

T, e um conjunto

ortogonal de vetores (funcoes) em V = Cper [−T2 , T

2 ] . (Tente provar!)

Algumas propriedades imediatas:

Se V e um espaco vetorial com produto interno < , > , entao:

(i) 0 ⊥ v para todo v ∈ V .

Pois < 0, v > = < 0.v, v > = 0 . < v, v > = 0 ∀ v ∈ V .

(ii) Se u ⊥ v e w ⊥ v entao (αu + βw) ⊥ v para todos α, β ∈ IR .

De fato: < αu + βw, v > = α < u, v > + β < w, v > = 0 + 0 = 0.

Page 95: Apostila ufjf

Espacos com Produto Interno 91

(iii) Se u ⊥ v para todo v ∈ V entao u = 0 (vetor nulo).

De fato: como u ⊥ v para todo v ∈ V , temos entao que, em particular,

u ⊥ u ⇒ < u, u > = 0 ⇒ u = 0 (pela condicao p.i.3 na definicao de produto interno).

Teorema 5.3. Seja V um espaco vetorial com produto interno < , >. Se S ⊂ V e um conjuntoortogonal de vetores nao-nulos, entao S e linearmente independente (LI).

Demonstracao:

Seja S ⊂ V um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos em V .

Sejam v1, v2, . . . , vk ∈ S e c1, c2, . . . , ck ∈ IR tais que

c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk = 0 (vetor nulo).

Para todo i = 1, 2, . . . , k temos:

0 = < 0, vi > = < c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk, vi > =

= c1 < v1, vi > +c2 < v2, vi > + . . . + ck < vk, vi > = ci < vi, vi > ,

pois: S ortogonal ⇒ < vj , vi > = 0 se j 6= i.

Como os vetores de S sao nao-nulos, entao < vi, vi > 6= 0 . Logo ci = 0 .

Assim c1 = c2 = . . . = ck = 0 e portanto S e um conjunto linearmente independente.

Consequencia da demonstracao acima:

Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno < , >.

Se um vetor w ∈ V e combinacao linear de um conjunto ortogonal, finito, de vetores nao-nulosv1, v2, . . . , vk , ou seja, w = c1v1 + c2v2 + . . .+ ckvk , entao cada coeficiente ci da combinacao e dadodiretamente por

ci =< w, vi >

< vi, vi >(Coeficientes de Fourier).

De fato, para todo i = 1, 2, . . . , k , temos:

< w, vi > = < c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk, vi > =

= c1 < v1, vi > +c2 < v2, vi > + . . . + ck < vk, vi > =

= ci < vi, vi > ,

pois {v1, . . . , vk} e ortogonal.

Portanto temos ci =< w, vi >

< vi, vi >, pois vi 6= 0 .

Page 96: Apostila ufjf

92 CAPITULO 5

Exemplo: Considerando o Produto Interno Usual em IR2 , temos que o conjuntoβ = { (3,−2), (6, 9) } e uma base ortogonal de IR2.

Escrevamos, por exemplo, w = (1, 2) como combinacao linear de v1 = (3,−2) e v2 = (6, 9) .

Moral da estoria: e muito bom que tenhamos um vetor como combinacao linear de um conjuntoortogonal de vetores nao-nulos.

Em particular, e otimo termos, em um espaco vetorial V com produto interno, uma BASE OR-TOGONAL (seus vetores sao dois a dois ortogonais), pois neste caso qualquer vetor de V e umacombinacao linear dos vetores desta base e os coeficientes sao obtidos diretamente.

5.3 Norma

Definicao 5.4. Seja V um espaco vetorial com produto interno < , >. A partir do produto interno< , > podemos construir uma funcao que associa a cada vetor v ∈ V um numero real ‖v‖ ≥ 0dado por

‖v‖ =√

< v, v > ,

que chamaremos de NORMA de v.

Obs.: O conceito de norma generaliza o conceito de comprimento de um vetor !

Exemplos:

A) Se V = IR3 e < , > e o Produto Interno Usual, entao, dado v = (x, y, z) ∈ IR3, temos:

‖v‖ =√

< v, v > =√

x2 + y2 + z2

(neste caso particular, a norma coincide com o modulo do vetor estudado na Geometria Analıtica).

B) Seja V = Cper [−T2 , T

2 ] = { f : IR → IR ; f(x + T ) = f(x) ∀ x ∈ IR } o espaco das funcoescontınuas e periodicas de perıodo T > 0, munido do produto interno

< f, g > =∫ T/2

−T/2f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V .

Calcule ‖f‖ , se f ∈ S = { 1, cos wx, senwx, cos 2wx, sen 2wx, . . . }(

w =2π

T

).

Page 97: Apostila ufjf

Espacos com Produto Interno 93

C) Se w = c1v1 + c2v2 + . . .+ ckvk e {v1, v2, . . . , vk} e um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos,entao:

ci =< w, vi >

< vi, vi >=

< w, vi >

‖vi‖2∀ i = 1, 2, . . . , k .

Propriedades (mais importantes) da norma:

Se V e um espaco vetorial com produto interno < , > e ‖ ‖ e a norma construıda a partirdeste produto interno, entao:

(i) ‖v‖ ≥ 0 para todo v ∈ V .

‖v‖ = 0 se, e somente se, v = 0 (vetor nulo).

(ii) ‖α.v‖ = |α| . ‖v‖ quaisquer que sejam α ∈ IR e v ∈ V .

De fato:

‖α.v‖ =√

< αv, αv > =√

α2 < v, v > =√

α2 .√

< v, v > = |α| . ‖v‖ .

(iii) Desigualdade de Cauchy-Schwarz:

|< u, v >| ≤ ‖u‖ . ‖v‖ ∀ u, v ∈ V .

De fato, sejam dados u, v ∈ V .

Para todo t ∈ IR , temos:0 ≤ ‖u + tv‖2 = < u + tv, u + tv > = < u, u > + 2t < u, v > + t2 < v, v > .

Fazendo: < v, v > = a, 2 < u, v > = b e < u, u > = c , temos:

at2 + bt + c ≥ 0 ∀ t ∈ IR .

Sabemos entao (pelo estudo do sinal da expressao at2 + bt+ c) que 4 = b2− 4ac ≤ 0 , ou seja:

4 < u, v >2 − 4 < v, v > . < u, u > ≤ 0 ⇒ < u, v >2 ≤ ‖u‖2 . ‖v‖2 ⇒

⇒ |< u, v >| ≤ ‖u‖ . ‖v‖ .

(iv) Desigualdade Triangular:

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V . (Exercıcio)

Page 98: Apostila ufjf

94 CAPITULO 5

A partir da norma ‖ ‖ podemos construir naturalmente uma metrica d em V , que e uma funcaoque associa a cada par de vetores u, v ∈ V um numero real d(u, v) ≥ 0 dado por d(u, v) = ‖u− v‖ ,chamado a DISTANCIA entre u e v e satisfazendo as seguintes condicoes (Mostre!):

(i) d(u, v) ≥ 0 para todos u, v ∈ V .

d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .

(ii) d(u, v) = d(v, u) .

(iii) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v) ∀ u, v, w ∈ V .

Teorema 5.5. (“Teorema de Pitagoras” Generalizado) Seja V um espaco vetorial com produto in-terno < , > e seja ‖ ‖ a norma proveniente deste produto interno.Se u, v ∈ V sao vetores ortogonais (u ⊥ v) entao:

‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 .

De fato: ‖u + v‖2 = < u + v, u + v > = < u, u > +2 < u, v > + < v, v > =

= ‖u‖2 + ‖v‖2 .

Esta e de fato uma generalizacao do famoso Teorema de Pitagoras, para espacos V com produtointerno em geral, pois no caso de V = IR2 com Produto Interno Usual temos exatamente o referidoTeorema, como estudado na Geometria.

Temos ainda que, em geral, se {v1, v2, . . . , vk} e um conjunto ortogonal, entao:

‖v1 + v2 + . . . + vk‖2 = ‖v1‖2 + ‖v2‖2 + . . . + ‖vk‖2 .

5.4 Angulo entre dois vetores

Seja V um espaco vetorial com produto interno < , > e uma norma ‖ ‖ (construıda a partirdeste produto interno).

Dados dois vetores nao-nulos u, v ∈ V , a Desigualdade de Cauchy-Schwarz fornece:

|< u, v >| ≤ ‖u‖ . ‖v‖ ⇒∣∣∣∣< u, v >

‖u‖ . ‖v‖

∣∣∣∣ ≤ 1 , ou melhor: − 1 ≤ < u, v >

‖u‖ . ‖v‖≤ 1 .

Existe portanto um unico angulo θ entre 0 e π radianos tal que:

cos θ =< u, v >

‖u‖ . ‖v‖.

Definimos este como sendo o angulo entre u e v.

Page 99: Apostila ufjf

Espacos com Produto Interno 95

Obs.: Note que essa e uma generalizacao do conceito de angulo entre vetores, pois no casoparticular de V = IR2 ou V = IR3 munido do Produto Interno Usual, o conceito aqui definidocoincide com o conceito de angulo entre dois vetores normalmente utilizado.

5.5 Ortogonalizacao; Projecao ortogonal: a melhor aproximacao;

Complemento ortogonal

Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno < , > e uma norma ‖ ‖ construıdaa partir deste produto interno.

Definicao 5.6. Se ‖v‖ = 1 entao dizemos que v e um VETOR UNITARIO, ou entao que v estaNORMALIZADO.

Qualquer vetor nao-nulo v pode “ser normalizado”, ou seja, podemos obter um multiplo escalarpositivo u = α.v (α ∈ IR, α > 0) tal que ‖u‖ = 1 , bastando para isso tomar u =

v

‖v‖.

Um conjunto S ⊂ V e dito ORTONORMAL quando e ortogonal e todos os seus vetores saounitarios (ou seja, tem norma igual a 1).

Por exemplo, considerando em V = IRn o Produto Interno Usual, temos que a base canonica,dada por α = {(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)} e um conjunto ortonormal.

Obs.: E bom termos um vetor w como combinacao linear de um conjunto ortonormal devetores: w = c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk , com {v1, . . . , vk} ortonormal, pois neste caso os coeficientesc1, . . . , ck sao dados facilmente por

ci =< w, vi >

< vi, vi >=

< w, vi >

‖vi‖2= < w, vi > ∀ i = 1, 2, . . . , k .

Em particular, e otimo que tenhamos, em um espaco V com produto interno < , > , uma BASEORTONORMAL, pois todos os vetores de V poderao ser escritos como combinacao linear dos vetoresdesta base e os coeficientes sao dados diretamente !!!

Caminhando nesta direcao, veremos a seguir um metodo para obter, a partir de uma base dada emum espaco V de dimensao finita com produto interno, uma base ortogonal para este espaco. A partirdaı, basta “normalizarmos” cada vetor desta base ortogonal para que tenhamos uma base ortonormal.

Page 100: Apostila ufjf

96 CAPITULO 5

O processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:

Teorema 5.7. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, munido de um produto interno < , > .Entao, a partir de qualquer base β = { v1, v2, . . . , vn } de V dada, podemos obter uma nova baseβ′ = { v′1, v

′2, . . . , v

′n }, β′ ORTOGONAL, para V .

Demonstracao:

Definamos inicialmente:

v′1 = v1 e v′2 = v2 −< v2, v

′1 >

< v′1, v′1 >

v′1 .

Temos: [v′1, v

′2

]= [v1, v2] e < v′2, v

′1 >=< v2, v

′1 > −< v2, v

′1 >

< v′1, v′1 >

< v′1, v′1 >= 0 .

Logo v′2 ⊥ v′1 e β2 = {v′1, v′2} e uma base ortogonal para o espaco [v1, v2] .

Consideremos agora

v′3 = v3 −(

< v3, v′1 >

< v′1, v′1 >

v′1 +< v3, v

′2 >

< v′2, v′2 >

v′2

).

Temos entao v′3 ⊥ v′1 , v′3 ⊥ v′2 e [v′1, v′2, v

′3] = [v1, v2, v3] .

Assim, β3 = {v′1, v′2, v′3} e uma base ortogonal para o espaco [v1, v2, v3] .

Prosseguindo desta forma, apos um numero finito (n) de passos, obtemos uma base ortogonalβn = {v′1, v′2, . . . , v′n} para o espaco [v1, v2, . . . , vn] = V .

Obs.: Um aspecto muito interessante da demonstracao acima e que ela fornece um metodo paraa obtencao da base ortogonal β′ = { v′1, v

′2, . . . , v

′n } a partir da base β.

Exemplos:

1) Seja V = IR2 munido do Produto Interno Usual < , > . Usando o processo de ortogonalizacaode Gram-Schmidt, obtenha a partir de β = {(1, 2), (2, 1)} uma base ortogonal β′ de IR2.

2) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > . Usando o processo de ortogonalizacaode Gram-Schmidt, obtenha a partir da base β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} uma base ortogonal β′

de IR3.

Page 101: Apostila ufjf

Espacos com Produto Interno 97

Exercıcios:

1) Seja V = IR2. Dados u = (x1, y1), v = (x2, y2) ∈ V , defina

< u, v > = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2 .

(a) Mostre que < , > acima definido e um produto interno.(b) Obtenha os angulos entre os vetores da base canonica de IR2.(c) Usando o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt, obtenha a partir da base β = {(−1, 1), (1, 1)}uma base ortonormal β′ de IR2, em relacao ao produto interno acima definido.

2) Determine uma base ortonormal (em relacao ao Produto Interno Canonico) para o seguinte sub-espaco de IR3:

V ={

(x, y, z) ∈ IR3 ; x− y + z = 0}

.

3) Seja V = IR3. Dados u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ V , defina

< u, v > = x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2 .

(a) Mostre que < , > acima definido e um produto interno.(b) Obtenha, usando o processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt a partir da base canonica, umabase ortonormal β′ de IR3, em relacao ao produto interno acima definido.

4) Seja V = P2(IR) o espaco vetorial das funcoes polinomiais reais de grau menor ou igual a dois.Dados f, g ∈ V , defina o produto interno

< f, g > =∫ 1

−1f(t).g(t) dt .

Se W e o subespaco de P2(IR) gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1− t , determine umabase ortogonal para W .

5) Seja V = M2×2(IR) o espaco vetorial das 2× 2 matrizes reais.

Dadas A,B ∈ V , defina o produto interno

< A,B > = tr (Bt.A) onde tr e o traco .

Obtenha uma base ortogonal de V , segundo este produto interno, a partir da base

β =

{ (1 00 1

),

(1 10 0

),

(1 01 1

),

(1 11 1

) }.

Obtenha o angulo entre as duas ultimas matrizes da base acima.

6) A partir do exemplo G) da Secao 5.1, construa um produto interno, diferente do Produto InternoUsual, sobre o IR2 e repita os ıtens (b) e (c) do primeiro exercıcio desta lista, considerando oproduto interno construıdo.

Page 102: Apostila ufjf

98 CAPITULO 5

Projecao ortogonal: a melhor aproximacao

Sejam V um espaco vetorial com um produto interno < , > , ‖ ‖ a norma construıda a partirdeste produto interno e W ⊂ V um subespaco de V tal que W tem dimensao finita.

Fixemos uma base ORTOGONAL β = {w1, w2, . . . , wk} do subespaco W .

Podemos entao construir uma transformacao linear (verifique) PW : V → W , definindo

PW (v) =< v, w1 >

< w1, w1 >w1 +

< v, w2 >

< w2, w2 >w2 + . . . +

< v, wk >

< wk, wk >wk ∀ v ∈ V .

PW e chamada a PROJECAO ORTOGONAL DE V SOBRE W :

A utilidade marcante da projecao ortogonal PW : V → W acima definida e que, dado um vetorv ∈ V , PW (v) e a melhor aproximacao de v no subespaco W , segundo a norma ‖ ‖construıda a partir do produto interno < , > considerado.

A seguir veremos resultados que provarao tal afirmativa:

Proposicao 5.8. Para todo vetor w ∈ W tem-se: v − PW (v) ⊥ w .

Demonstracao:

Dado w ∈ W , como β = {w1, w2, . . . , wk} e base ortogonal de W , temos:

w =< w, w1 >

< w1, w1 >w1 +

< w, w2 >

< w2, w2 >w2 + . . . +

< w, wk >

< wk, wk >wk .

Page 103: Apostila ufjf

Espacos com Produto Interno 99

Entao < v − PW (v), w > =

= < v −[

< v, w1 >

< w1, w1 >w1 + . . . +

< v, wk >

< wk, wk >wk

],

< w, w1 >

< w1, w1 >w1 + . . . +

< w, wk >

< wk, wk >wk > =

=< w, w1 >

< w1, w1 >< v, w1 > + . . . +

< w, wk >

< wk, wk >< v, wk > −

− < v, w1 >

< w1, w1 >< w, w1 > − . . .− < v, wk >

< wk, wk >< w, wk > = 0 .

Portanto: < v − PW (v), w > = 0 para todo w ∈ W .

Proposicao 5.9. Para todo vetor w ∈ W temos: ‖v − PW (v)‖ ≤ ‖v − w‖ .

Demonstracao:

Seja w ∈ W . Como PW (v) ∈ W e W e subespaco vetorial de V , entao podemos concluir quePW (v)− w ∈ W .

Pela proposicao anterior, temos que v − PW (v) ⊥ PW (v)− w .

Entao, pelo Teorema de Pitagoras generalizado (Teorema 5.5) temos:

‖v − w‖2 = ‖v − PW (v) + PW (v)− w‖2 = ‖v − PW (v)‖2 + ‖PW (v)− w‖2 ≥ ‖v − PW (v)‖2 .

Portanto ‖v − w‖ ≥ ‖v − PW (v)‖ , dado qualquer w ∈ W .

Obs.: A segunda proposicao diz que a distancia entre v e PW (v) e menor ou igual a distancia dev a qualquer vetor w ∈ W , ou seja, PW (v) e o vetor de W que esta mais proximo do vetorv (segundo a norma ‖ ‖ construıda a partir do produto interno considerado).

Page 104: Apostila ufjf

100 CAPITULO 5

Exemplos:

1) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e a norma construıda a partir deste. Qualo vetor do subespaco W =

{(x, y, 0) ∈ IR3 ; x, y ∈ IR

}⊂ IR3 mais proximo do vetor v = (3,−5, 2)

segundo a norma considerada ?

2) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > . Qual o vetor do subespacoW = [(1, 0, 0), (1, 1, 1)] ⊂ V mais proximo do vetor v = (3,−5, 2) ?

Complemento ortogonal:

Seja V um espaco vetorial munido de um produto interno < , > .

Definicao 5.10. Dado um subconjunto nao-vazio S ⊂ V , definimos:

S⊥ = { v ∈ V ; v e ortogonal a todos os vetores de S } .

S⊥ (le-se “S perp”) e um subespaco de V (exercıcio), chamado o COMPLEMENTO ORTO-GONAL de S.

Exemplo:

Sejam V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e S = {(2, 1, 2)}. Determine S⊥.

Recordacoes:

Seja V um espaco vetorial e sejam U,W subespacos de V .

A soma dos subespacos U e W e um subespaco de V , dado por

U + W = {u + w ; u ∈ U , w ∈ W} .

Se U e W tem dimensao finita, temos: dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩W ).

Uma situacao especial nos interessa: dizemos que V e a SOMA DIRETA de seus subespacos U eW e escrevemos V = U ⊕W quando todo vetor v ∈ V escreve-se de modo unico como v = u+w ,com u ∈ U e w ∈ W .

Isto equivale a dizer que V = U + W e U ∩W = {0}.

Se dim V < +∞ (finita) temos neste caso ( V = U ⊕W ): dim V = dim U + dim W .

Page 105: Apostila ufjf

Espacos com Produto Interno 101

Teorema 5.11. Se W e um subespaco de dimensao finita de V , entao:

V = W ⊕W⊥

Demonstracao:

Seja dado v ∈ V .

Pelo Proposicao 5.8, temos: v − PW (v) ⊥ w ∀ w ∈ W .

Logo v − PW (v) = u ∈ W⊥ ⇒ v = PW (v) + u , onde PW (v) ∈ W e u ∈ W⊥.

Assim, qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito como a soma de um vetor de W com um vetor deW⊥ e desta forma temos que V = W + W⊥.

Dado w ∈ W ∩W⊥ , temos: w ∈ W⊥ ⇒ w e ortogonal a todo vetor de W .

Como w ∈ W temos entao w ⊥ w ⇒ < w, w > = 0 ⇒ w = 0 (vetor nulo).

Logo W ∩W⊥ = {0}.

Pelo exposto acima, podemos concluir que V = W ⊕W⊥ .

Exemplo:

Sejam V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e W = [(1, 1, 0), (2,−1, 3)] .

Determine W⊥ e uma base para W⊥.

Exercıcios:

1) Consideremos o espaco V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e o subespacoW = [(1, 2, 0), (−1,−1, 1), (−2,−1, 3)] ⊂ IR3 .

Obtenha o vetor de W que esta mais proximo de v = (1, 1, 2) com relacao a norma construıda apartir de < , >.

Determine tambem W⊥ e uma base ortogonal para W⊥.

2) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e considere os subespacos

W1 = [(0, 1, 1), (1, 1, 1)] e W2 = [(0, 1, 0), (2, 0, 1)] .

(a) Obtenha o vetor de W1 que esta mais proximo do vetor v = (2, 2, 3) .(b) Obtenha o vetor de W2 que esta mais proximo do vetor v = (2, 2, 3) .(c) De qual subespaco o vetor v = (2, 2, 3) esta mais proximo: W1 ou W2 ?

(Sugestao: Calcule as distancias de v aos vetores de W1 e W2 dos quais ele esta mais proximo)

Page 106: Apostila ufjf

102 CAPITULO 5

3) Seja V = P2(IR) (polinomios de grau menor ou igual a 2) munido do produto interno dado por:

< f, g > =∫ 1

0f(x).g(x) dx .

Se W =[1, 1 + 3x2

], obtenha o vetor de W que esta mais proximo de p = x + 2 em relacao a

norma construıda a partir do produto interno dado. Obtenha tambem W⊥.

4) Seja T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z) e seja W = kerT . Encontre uma baseortonormal para W⊥ (em relacao ao Produto Interno Usual).

5) Sejam V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e W = [(1, 0, 1), (1, 1, 0)]. DetermineW⊥ e uma base para W⊥.

Refaca o exercıcio considerando o produto interno dado por

< (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) > = 2x1x2 + y1y2 + z1z2 .

5.6 Tipos especiais de operadores lineares

PARTE A) OPERADORES AUTO-ADJUNTOS:(aparecem naturalmente em problemas que envolvem SIMETRIA)

1) Matrizes Simetricas:

Uma n× n matriz real A e dita SIMETRICA quando At = A .

Exemplos: A =

−2 0 00 6 10 1 3

B =

1 4 24 −5 −42 −4 1

2) Operadores Auto-Adjuntos:

Seja V um espaco vetorial (real) de dimensao finita com um produto interno < , > . Umoperador linear T : V → V e dito AUTO-ADJUNTO quando a matriz [T ]αα for simetrica, sendoα uma base ortonormal de V .

Exemplo: Consideremos V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e T : IR3 → IR3

o operador linear dado por

T (x, y, z) = (−2x, 6y + z, y + 3z) ∀ (x, y, z) ∈ IR3 .

Entao T e um operador auto-adjunto.

Page 107: Apostila ufjf

Espacos com Produto Interno 103

3) Alguns resultados importantes:

Teorema 5.12. Sejam V um espaco vetorial com produto interno < , > e T : V → V um operadorauto-adjunto. Entao:

< T (v), w > = < v, T (w) > ∀ v, w ∈ V .

Consequencia: Autovetores associados a autovalores distintos (no caso de operadores auto-adjuntos) sao ortogonais.

De fato:

Sejam u e v autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2, respectivamente, para um determinadooperador auto-adjunto T : V → V .

Temos

λ1 < u, v > = < λ1u, v > = < Tu, v > = < u, Tv > = < u, λ2v > = λ2 < u, v > .

Entao (λ1 − λ2) < u, v > = 0 ⇒ < u, v > = 0 (pois λ1 6= λ2).

Portanto u ⊥ v .

Teorema 5.13. (Diagonalizacao de operadores auto-adjuntos)

Se T : V → V e um operador auto-adjunto entao T e diagonalizavel e e possıvel obter umabase ortogonal (ate ortonormal se assim preferir) de autovetores.

Exemplo: Consideremos V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e T : IR3 → IR3

o operador linear dado por

T (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y − z, x− y + 2z) ∀ (x, y, z) ∈ IR3 .

Vamos verificar que T e um operador auto-adjunto e obter uma base ortogonal de autovetorespara o IR3.

PARTE B) OPERADORES ORTOGONAIS:(aparecem em problemas que envolvem MOVIMENTOS RIGIDOS: rotacao, reflexao, etc.)

1) Matrizes Ortogonais:

Uma n× n matriz real A e dita ORTOGONAL quando At.A = A.At = I .

Exemplos: A =

[cos θ − sen θ

sen θ cos θ

]B =

−1 0 00 0 10 −1 0

Page 108: Apostila ufjf

104 CAPITULO 5

Proposicao 5.14. Se A e uma matriz ortogonal, entao det A = + 1. (Prove)

Teorema 5.15. Uma n× n matriz real A e ortogonal se, e somente se, suas colunas, vistas comovetores de IRn, formam um conjunto ortonormal quando se considera o Produto Interno Usual.

Teorema 5.16. Sejam V um espaco vetorial (real) de dimensao finita, com produto interno, e α eβ duas bases ortonormais de V . Entao a matriz de mudanca de base [I]αβ e uma matriz ortogonal.

2) Operadores Ortogonais:

Seja V um espaco vetorial (real) de dimensao finita com um produto interno < , > . Umoperador linear T : V → V e dito ORTOGONAL quando a matriz [T ]αα for ortogonal, sendo α

uma base ortonormal de V .

Exemplo: Sejam V = IR2 munido do Produto Interno Usual < , > e T : IR2 → IR2 ooperador linear dado por T (x, y) = (x,−y) ∀ (x, y) ∈ IR2. (T e a reflexao em torno do eixo Ox)

T e um operador ortogonal.

3) Um resultado importante:

Teorema 5.17. (Caracterizacao dos operadores ortogonais)

Seja T : V → V e um operador linear sobre um espaco vetorial V (dim V = n < +∞) comproduto interno < , >. As condicoes abaixo sao equivalentes:

(a) T e um operador ortogonal.

(b) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais, isto e, se {v1, v2, . . . , vn} e uma baseortonormal de V entao {Tv1, T v2, . . . , T vn} tambem e base ortonormal de V .

(c) T preserva o produto interno, ou seja, < Tu, Tv > = < u, v > ∀ u, v ∈ V .

(d) T preserva a norma, ou seja, ‖Tv‖ = ‖v‖ ∀ v ∈ V .

Obs.: O resultado acima torna clara a principal caracterıstica dos operadores ortogonais, que e:geometricamente, os operadores ortogonais representam movimentos rıgidos (rotacao, reflexao, etc.).Note que (d) mostra claramente que a distancia entre vetores e preservada por um operador linearortogonal:

d(Tu, Tv) = ‖Tu− Tv‖ = ‖T (u− v)‖ (d)= ‖u− v‖ = d(u, v) .

(a distancia entre u e v e igual a distancia entre Tu e Tv, para todos u, v ∈ V )

Page 109: Apostila ufjf

Espacos com Produto Interno 105

Exercıcios:

1) Sejam V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > e T : IR3 → IR3 o operador linear dadopor T (x, y, z) = (x + 4y + 2z, 4x − 5y − 4z, 2x − 4y + z). Mostre que T e auto-adjunto e obtenhauma base ortonormal de autovetores de T .

2) Sejam V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > e S : IR3 → IR3 o operador linear dadopor S(x, y, z) = (2x + y, x + y + z, y − 3z).(a) Mostre que S e um operador auto-adjunto, mas nao ortogonal.(b) Se v = (2,−1, 5) e w = (3, 0, 1) , verifique que < Sv,w > = < v, Sw >.(c) Obtenha uma base ortogonal de autovetores de S e a matriz que representa S em relacao a estabase.

3) Seja V = IR2 com o Produto Interno Usual. Obtenha um operador linear T : IR2 → IR2 queseja auto-adjunto e tal que T 6= O e T 6= k.I (T nao pode ser o operador nulo nem multiplo dooperador identico).

4) Seja V = IR2 com o produto interno dado por:

< (x1, y1), (x2, y2) > = x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2 .

O operador T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (x− y,−x + 2y) e auto-adjunto ?

5) Sejam V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > , β = {e1, e2, e3} a base ordenada canonicado IR3 (sabemos que β e ortonormal em relacao ao Produto Interno Usual).Sejam S : IR3 → IR3 o operador linear auto-adjunto dado no exercıcio 2) e A = [S]ββ a matriz querepresenta S em relacao a base canonica β.(a) Verifique que Aij = < Sej , ei > para todo i, j = 1, 2, 3.(b) Use a letra (a) e o fato de S ser auto-adjunto para concluir que

< Sei, ej > = < ei, Sej > para todos i, j = 1, 2, 3 .

(c) Usando a letra (b), verifique que v = (2,−1, 5) = 2e1 − e2 + 5e3 e w = (3, 0, 1) = 3e1 + e3

cumprem < Sv,w > = < v, Sw >.(d) Generalize a letra (c), mostrando que < Sv,w > = < v, Sw > ∀v, w ∈ IR3.

6) Ache valores para x e y tais que A =

[x y

−1 0

]seja uma matriz ortogonal.

7) Sabemos que se A e uma matriz ortogonal entao detA = 1 ou det A = −1.Mostre que nao vale a recıproca deste resultado exibindo uma matriz A tal que det A = 1 oudet A = −1 mas tal que A nao seja ortogonal.

Page 110: Apostila ufjf

106 CAPITULO 5

8) Se V = IR2 com o Produto Interno Usual, obtenha duas bases ortonormais distintas α e β doIR2 e verifique que a matriz de mudanca de base [I]αβ e uma matriz ortogonal.

9) Seja T : V → V um operador linear sobre um espaco vetorial V (dim V < +∞) com umproduto interno < , > .(a) Mostre que se T preserva o produto interno entao T preserva a norma, isto e:

< Tu, Tv > = < u, v >

∀ u, v ∈ V⇒

‖Tv‖ = ‖v‖∀ v ∈ V

(b) Mostre que se T preserva a norma entao T preserva o produto interno, isto e:

‖Tv‖ = ‖v‖∀ v ∈ V

⇒< Tu, Tv > = < u, v >

∀ u, v ∈ V

10) Seja T : V → V um operador ortogonal sobre um espaco vetorial (real) V de dimensao finita ecom produto interno.(a) Mostre que T e invertıvel.(b) Mostre que T preserva angulos, isto e, se u e v sao vetores nao-nulos quaisquer de V , entao oangulo entre Tu e Tv e igual ao angulo entre u e v.

11) Obtenha a transformacao linear T : IR2 → IR2 que leva o segmento de extremos (−6, 2) e(−1, 2) no segmento de extremos (−2, 6) e (1, 2) , respectivamente.Considerando agora o Produto Interno Usual < , > do IR2, mostre que T e um operador ortogonal(corresponde portanto a um movimento rıgido), corresponde a uma rotacao e obtenha seu angulo.

Page 111: Apostila ufjf

Referencias

[1] Boldrini, Jose Luiz e outros, Algebra Linear, Editora Harbra, Sao Paulo.

[2] Lima, Elon Lages, Algebra Linear, Colecao Matematica Universitaria, IMPA, Rio de Janeiro.

[3] Hoffman, K. e Kunze, R., Algebra Linear, Editora Polıgono, Sao Paulo.

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