Apostila v2.9 Apendice A

8/18/2019 Apostila v2.9 Apendice A

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Apostila de Fundamentos de Redes de Computadores Prof: Ricardo Quintão

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Apêndice A Série de Fourier

Em qualquer rede de comunicações entre computadores, desejamos que o sinal recebido por umnó seja idêntico ao sinal transmitido pelo nó emissor. Infelizmente, esse cenário só pode ocorrerquando o comprimento do canal de comunicação é bastante curto e a taxa de transmissão de dadosrelativamente baixa. Isso é obviamente pouco prático na maioria das aplicações de redes. Comoconseqüência, quando o comprimento do cabo é longo ou as taxas de transmissão de dados alta, umsinal recebido não é exatamente o mesmo que o sinal originalmente transmitido. Isso é conhecidocomo distorção de sinal. A análise de Fourier é um método sistemático para prever distorções desinal.

A análise de Fourier foi desenvolvida pelo matemático francês Jean Fourier, que provou que

qualquer onda periódica pode ser representada como a soma de uma agregação de senóides. Uma boaaproximação requer um número finito de ondas, já uma representação perfeita requer um númeroinfinito de ondas. Usando a análise de Fourier, podemos prever como um sinal transmitido serárecebido. A análise de Fourier se fundamenta em duas observações. Primeiro, qualquer sinal usadoem sistemas de comunicação entre computadores pode ser escrito como uma soma de ondas senoidais.Segundo, um sinal representado como uma onda senoidal é preservado (ou seja, não é distorcido)quando é transmitido através de um meio, lembrando que o sinal ainda está sujeito a atrasos eatenuações. Um resultado da análise de Fourier aplicada a redes de comunicações entre computadoresé que somente senóides têm a garantia de não serem distorcidas durante a transmissão. Uma segundaimplicação da análise de Fourier é que uma onda quadrada pode ser decomposta como uma soma desenóides. De uma perspectiva matemática, isso é semelhante a aproximar funções contínuas usando

polinômios, denominados polinômios de Taylor. Isso também é similar à expansão em séries deTaylor ou de MacLaurin para funções em que uma dada função é representada como uma sérieinfinita.

Para usar a análise de Fourier visando prever qual será o sinal recebido, faz-se o seguinte:

1. Determine a atenuação do canal de comunicação e o desvio de fase em uso. Essesvalores são tipicamente fornecidos pelo fabricante.

2. Determine a função de decomposição, ou seja, a análise de Fourier correspondente.

3. Entre com o ganho e desvio de fase para a função decomposta e avalie. Com isso temosuma função resposta, que representa a saída de um sinal de entrada após a transmissão

através de um canal de comunicação.A análise de Fourier nos proporciona uma ferramenta para prever distorções de sinais, que nos

possibilita determinar o comprimento adequado para uma linha de transmissão, dadas a freqüência e ataxa de dados. Essa é uma das razões pelas quais as restrições de comprimento de cabo para aEthernet convencional (10 Mbps), Fast Ethernet (100 Mbps) e Gigabit Ethernet (1000 Mbps) sãodiferentes, dependendo de qual taxa de dados está sendo usada e da freqüência do cabo.

Resumindo, sempre que tivermos uma função periódica )(t f de período T integrável neste período, ela poderá ser decomposta em um somatório de infinitas ondas, que são os harmônicos deFourier, cujo resultado tenderá a função original )(t f . Isto é, a cada novo harmônico somado

estaremos nos aproximando cada vez mais da onda original formada pela função )(t f . Esta série de


2/27


257

funções é denominada Série de Fourier e é definida pela Equação A-1, onde para cada valor de n temos a geração de um novo harmônico que é então adicionado aos anteriores.

[ ] [ ]∑∑ ∞

=

∞

=

++=11

0 )2cos()2(2

1)(

n

n

n

n nft bnft senaat f π π

Equação A-1 – Forma Geral da Série de Fourier.

Onde:

Equação A-2 – Coeficientes da Série de Fourier.

Se o sinal que queremos representar pela Série de Fourier não for periódico, poderemos simularuma periodicidade considerando que o sinal em questão se repete no tempo, isto é, o sinal transmitido

possui um tempo de transmissão igual a T. O que faremos é supor que após este tempo T, ele serárepetido infinitas vezes. A partir deste ponto de vista, poderemos dizer que o sinal agora é periódicocom período igual a T, já que a cada T unidades de tempo o sinal se repete. Faremos estaconsideração devido ao fato da Série de Fourier considerar que o sinal é periódico. Do ponto de vista

prático não haverá qualquer alteração na nossa análise, pois iremos nos limitar a visualizar o sinal nointervalo de tempo de 0 a T.

A primeira etapa para montar a Série de Fourier é calcular os coeficientes 0a , na e nb que são

baseados na função original )(t f . A complexidade deste cálculo está diretamente relacionada com afunção )(t f . No nosso caso, estaremos trabalhando com sinais digitais cujos valores só podem ser 0ou 1. Desta forma, o cálculo dos Coeficientes de Fourier serão limitados a integração da função senoe cosseno no caso de

na e nb respectivamente e apenas da função dt no caso do 0a .

Devida a necessidade de se integrar função seno e cosseno, na Seção A.3 é feita uma breverecordação de como integra-las, pois serão utilizadas nos exemplos a seguir.

Cada harmônico de Fourier terá uma determinada amplitude de média quadrática que pode sercalculada através da Equação A-3. Estas amplitudes são importantes porque são proporcionais aenergia contida na onda. Como os meios de transmissão oferecem atenuações diferentes para cadaharmônico, é importante saber até qual harmônico a diferença de atenuação não é suficiente paradistorcer o sinal a ponto de não ser mais reconhecido. Se todos os harmônicos tivessem o mesmonível de atenuação, o sinal transmitido teria a sua amplitude reduzida, mas não seria distorcido. É emfunção desta variação no nível de atenuação oferecido a cada harmônico que é feita a definição dalargura de banda do meio.

∫=T

dt t f T

a0

0 )(2

∫=T

n dt nft sent f T

a

0

)2()(2

π

∫=T

n dt nft t f

T b

0

)2cos()(2

π


3/27


258

22nn

ba A += Equação A-3 – Amplitude de Média Quadrática de cada Harmônico de Fourier.

A.1 Exemplo 1: Cálculo dos Coeficientes de Fourier de um Sinal NRZ

Vamos supor a transmissão de um conjunto de 8 bits (01100010) codificados no formato NRZ. O sinal transmitido está ilustrado na Figura A-1.

Figura A-1 – Exemplo 1: Sinal NRZ.

A função )(t f abaixo representa o sinal NRZ da Figura acima.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧


4/27


259

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+= ∫∫8

7

8

6

8

3

8

0

2T

T

T

T

dt dt T

a

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ += t t

T

T

T

T T a

87

86

83

80

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

8

8

8

7

88

320

T T T T

T a

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

88

220

T T

T a

8

320

T

T a ×=

4

30 =a

Equação A-5 – Coeficiente a0 do Sinal NRZ.

A.1.2 Cálculo do na

∫=T

n dt nft sent f

T

a0

)2()(2

π

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= ∫∫∫∫∫8

8

8

7

8

7

8

6

8

6

8

3

8

3

8

8

0

)2(0)2(1)2(0)2(1)2(02

T

T

T

T

T

T

T

T

T

n dt nft sendt nft sendt nft sendt nft sendt nft senT

a π π π π π

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+= ∫∫8

7

8

6

8

3

8

)2()2(2

T

T

T

T

n dt nft sendt nft senT

a π π

Considerando fnk π 2= temos:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+= ∫∫8

7

8

6

8

3

8

)()(2

T

T

T

T

n dt kt sendt kt senT

a

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −− )cos()cos(87

86

83

8

2kt kt

T

T

T

T n

Tk a


5/27


260

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

8

6cos

8

7cos

8cos

8

3cos

2 kT kT kT kT

Tk an

Substituindo o valor de k e considerando que

T

f 1= temos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−=

T

nT

T

nT

T

nT

T

nT

nT

T a

n 8

26cos

8

27cos

8

2cos

8

23cos

2

2 π π π π

π

Simplificando os termos semelhantes e mudando a ordem dos cossenos ficamos com:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

4

7cos

4

6cos

4

3cos

4cos

1 nnnn

na

n

π π π π

π

Equação A-6 – Coeficiente an do Sinal NRZ.

A.1.3 Cálculo do nb

∫=T

n dt nft t f T

b0

)2cos()(2

π

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= ∫∫∫∫∫8

8

8

7

8

7

8

6

8

6

8

3

8

3

8

8

0

)2cos(0)2cos(1)2cos(0)2cos(1)2cos(02

T

T

T

T

T

T

T

T

T

n dt nft dt nft dt nft dt nft dt nft T

b π π π π π

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+= ∫∫8

7

8

6

8

3

8

)2cos()2cos(2

T

T

T

T

n dt nft dt nft T

b π π


⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

+= ∫∫8

7

86

8

3

8

)cos()cos(2

T

T

T

T

n dt kt dt kt T

b

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= )()(87

86

83

8

2kt senkt sen

T

T

T

T n

Tk b

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

8

6

8

7

88

32 kT sen

kT sen

kT sen

kT sen

Tk bn


6/27


261

Substituindo o valor de k e considerando queT

f 1= temos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×=

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

nT

T bn 8

26

8

27

8

2

8

23

2

2 π π π π

π

Simplificando os termos semelhantes e mudando a ordem dos senos ficamos com:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

4

7

4

6

4

3

4

1 nsen

nsen

nsen

nsen

nbn

π π π π

π

Equação A-7 – Coeficiente bn do Sinal NRZ.

A Série de Fourier completa da função )(t f é:

∑

∑∞

=

∞

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ ⎟

⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +×=

1

1

4

7

4

6

4

3

4

)2cos(

47cos

46cos

43cos

4cos)2(

43

21)(

n

n

nsen

nsen

nsen

nsen

n

nf

nnnnnnft sent f

π π π π

π

π

π π π π

π

π

∑

∑

∞

=

∞

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

1

1

4

7

4

6

4

3

4

)2cos(

4

7cos

4

6cos

4

3cos

4cos

)2(

8

3)(

n

n

nsen

nsen

nsen

nsen

n

nf

nnnn

n

nft sent f

π π π π

π

π

π π π π

π

π

Equação A-8 – Série de Fourier Completa para o Sinal NRZ.

A.1.4 Gráficos do Exemplo 1

A seguir serão apresentados os gráficos referentes à Série de Fourier calculada nositens anteriores considerando um período de 8 unidades de tempo, isto é, u.t.8=T logo a

freqüência será de u.f.8

1= f (unidade de freqüência). Foram feitos gráficos considerando

até 10 harmônicos, isto é, de 1=n até 10=n .

A Figura A-2 mostra o formato do Sinal Original puro. A princípio, este é o sinal quedesejamos transmitir, porém, os meios de transmissão irão transmitir apenas os seusharmônicos. A Figura A-3 mostra os 10 primeiros harmônicos referentes ao sinal original.

Conforme foi comentado na definição da Série de Fourier, conforme vão se somandoos seus harmônicos, mais próximo chegaremos a função original. Neste nosso exemplo,nos limitamos a um total de 10 harmônicos.

A Figura A-4 mostra o primeiro harmônico sendo comparado ao sinal original. Nota-se que este único harmônico está muito distante de representar o sinal original. AFigura A-5 mostra a soma dos dois primeiros harmônicos. Houve uma considerávelmudança, estando agora mais próximo do sinal original que no caso de apenas um único

harmônico. Na Figura A-6 é feita a soma dos 3 primeiros harmônicos. Apesar da mudançater sido pequena, ela mudou o sinal aproximando-o do sinal original. Na Figura A-7 temos


7/27


8/27


9/27


264

Somatório dos 2 primeiros harmônicos

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

2 Harmônicos

Dados Originais

Figura A-5 – Somatório dos 2 primeiros Harmônico de Fourier.

Somatório dos 3 primeiros Harmônicos

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

3 Harmônicos

Dados Originais



10/27


265


-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

4 Harmônicos

Dados Originais



-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

5 Harmônicos

Dados Originais



11/27


12/27


267


-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

8 Harmônicos

Dados Originais



-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

9 Harmônicos

Dados Originais



13/27


268


-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

10 Harmônicos

Dados Originais


Amplitude de Média Quadrática dos Harmônicos

0,24336

0,50383

0,19544

0,15924

0,11840

0,16757

0,03522

0,000380,02670

0,10099

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Harmônicos

A m p l i t u d e

Amplitude

Figura A-14 – Amplitude de Média Quadrática de cada Harmônico de Fourier.


14/27


269

A.2 Exemplo 2: Cálculo dos Coeficientes de Fourier de um Sinal Manchester

Vamos supor a transmissão do mesmo conjunto de 8 bits (01100010) codificados noformato Manchester. O sinal transmitido está ilustrado na Figura A-15.

Figura A-15 – Exemplo 2: Sinal Manchester.

A função )(t f abaixo representa o sinal NRZ da Figura acima.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧


15/27


16/27


271


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅

=

∫∫∫

∫∫∫

16

15

16

13

16

11

16

10

16

9

16

8

16

7

16

5

16

4

16

3

16

0

)(1)(1)(1

)(1)(1)(1

2T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

n

dt kt sendt kt sendt kt sen

dt kt sendt kt sendt kt sen

T a

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

−−−

−−−

)cos()cos()cos(

)cos()cos()cos(1615

1613

1611

1610

169

168

167

165

164

163

16

02

kt kt kt

kt kt kt

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

nTk

a

( )

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=

16

13cos

16

15cos

16

10cos

16

11cos

16

8cos

16

9cos

16

5cos

16

7cos

16

3cos

16

4cos0cos

16cos

2

kT kT kT kT kT kT

kT kT kT kT kT

Tk an


f 1= temos:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+

+⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ×−⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ×+⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ×−+⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −

=

T

nT

T

nT

T

nT

T

nT

T

nT

T

nT

T

nT

T

nT

T

nT

T

nT

T

nT

nT

T an

16

213cos

16

215cos

16

210cos

16

211cos

16

28cos

16

29cos

16

25cos

1627cos

1623cos

1624cos1

162cos

2

2

π π π

π π π π

π π π π

π

Simplificando os termos semelhantes e mudando a ordem dos cossenos ficamos com:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −

=

8

15cos

8

13cos

8

11cos

8

10cos

8

9cos

88cos

87cos

85cos

84cos

83cos

8cos1

1

nnnnn

nnnnnn

nan

π π π π π

π π π π π π

π

Equação A-11 – Coeficiente an do Sinal Manchester.


17/27


272

A.2.3 Cálculo do nb

∫=T

n dt nft t f T

b0

)2cos()(2

π

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅

=

∫∫∫

∫∫∫

16

15

16

13

16

11

16

10

16

9

16

8

16

7

16

5

16

4

16

3

16

0

)2cos(1)2cos(1)2cos(1

)2cos(1)2cos(1)2cos(1

2T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

n

dt nft dt nft dt nft

dt nft dt nft dt nft

T b

π π π

π π π


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅

=

∫∫∫

∫∫∫

16

15

16

13

16

11

16

10

16

9

16

8

16

7

16

5

16

4

16

3

16

0

)cos(1)cos(1)cos(1

)cos(1)cos(1)cos(1

2T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

n

dt kt dt kt dt kt

dt kt dt kt dt kt

T b

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=

)()()(

)()()(1615

1613

1611

1610

169

168

167

165

164

163

16

02

kt senkt senkt sen

kt senkt senkt senT

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

nTk

b

( )

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

16

13

16

15

16

10

16

11

16

8

16

9

16

5

16

7

16

3

16

40

162

kT sen

kT sen

kT sen

kT sen

kT sen

kT sen

kT sen

kT sen

kT sen

kT sensen

kT sen

Tk bn


f 1= temos:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ×−⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ×+⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ×

−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×

−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

T

nT sen

nT

T bn

16

213

16

215

16

210

16

211

16

28

16

29

16

25

16

27

16

23

16

240

16

2

2

2

π π π

π π π π

π π π π

π


18/27


273

Simplificando os termos semelhantes e mudando a ordem dos senos ficamos com:

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −⎟

⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

815

813

811

810

89

8

8

8

7

8

5

8

4

8

3

81

nsennsennsennsennsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

n

bnπ π π π π

π π π π π π

π

Equação A-12 – Coeficiente bn do Sinal Manchester.

A Série de Fourier completa da função )(t f é:

∑

∑

∞

=

∞

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

+

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

+×=

1

1

8

15

8

13

8

11

8

10

8

9

8

8

8

7

8

5

8

4

8

3

8)2cos(

8

15cos

8

13cos

8

11cos

8

10cos

8

9cos

8

8cos

8

7cos

8

5cos

8

4cos

8

3cos

8cos1

)2(1

2

1)(

n

n

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

n

nf

nnn

nnnn

nnnn

n

nft sent f

π π π π π

π π π π π π

π

π

π π π

π π π π

π π π π

π

π

∑

∑

∞

=

∞

=

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

+

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −

+=

1

1

8

15

8

13

8

11

8

10

8

9

8

8

8

7

8

5

8

4

8

3

8)2cos(

8

15cos

8

13cos

8

11cos

8

10cos

8

9cos

8

8cos

8

7cos

85cos84cos83cos8cos1

)2(

2

1)(

n

n

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

nsen

n

nf

nnn

nnnn

nnnn

n

nft sent f

π π π π π

π π π π π π

π

π

π π π

π π π π

π π π π

π

π

Equação A-13 – Série de Fourier Completa para o Sinal Manchester.

A.2.4 Gráficos do Exemplo 2

A seguir serão apresentados os gráficos referentes à Série de Fourier calculada nositens anteriores considerando um período de 8 unidades de tempo, isto é, u.t.8=T logo a

freqüência será de u.f.8

1= f (unidade de freqüência). Foram feitos gráficos considerando

até 13 harmônicos, isto é, de 1=n até 13=n .

A análise a ser feita é a mesma utilizada no Exemplo 1 na Seção A.1.4. O maisimportante a ser observado é que no Exemplo 1, bastavam seis harmônicos para o sinal ser


19/27


274

reconhecido. Neste novo exemplo, onde estamos utilizando a codificação Manchester, seisharmônicos não são mais suficientes para identificar o sinal. Neste caso precisamos de nomínimo 11 harmônicos, mas dependendo da distância e das condições do meio detransmissão provavelmente será necessário o uso de mais harmônico. Foram feitas asrepresentações da Série de Fourier até o 13º harmônico para mostrar como ele foi ficando

mais semelhante ao sinal original.A Figura A-31 mostra as amplitudes de média quadrática de cada um dos 13

harmônicos exemplificados aqui.

Sinal Original

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

Sinal Original

Figura A-16 – Sinal Original.

Harmônicos de Fourier

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Tempo

A m p l i t u d e

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

n=9

n=10

n=11

n=12

n=13

Figura A-17 – 13 Harmônicos de Fourier.


20/27


275

Primeiro Harmôn ico

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

1 Harmônico

Dados Originais

Figura A-18 – Primeiro Harmônico de Fourier.


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

2 Harmônicos

Dados Originais



21/27


276


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

3 Harmônicos

Dados Originais



0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

4 Harmônicos

Dados Originais



22/27


277


-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tempo

A m p l i t u d e

5 Harmônicos

Dados Originais



-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

6 Harmônicos

Dados Originais



23/27


278


-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

7 Harmônicos

Dados Originais



-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

8 Harmônicos

Dados Originais



24/27


279


-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

9 Harmônicos

Dados Originais



-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

10 Harmônicos

Dados Originais



25/27


280


-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

11 Harmônicos

Dados Originais



-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo

A m p l i t u d e

12 Harmônicos

Dados Originais



26/27


27/27


A.3 Como Integrar Funções Seno e Cosseno

Recordando conceitos importantes:

∫ = )()cos( usenduu

∫ −= )cos()( uduusen

Se tivermos que calcular ∫ dxkx)cos( ,devemos realizar uma mudança de variável,como segue abaixo:

∫ dxkx)cos(kxu = kdxdu =

k dudx =

Realizando as substituições temos:

∫∫ = k duu

dxkx)cos(

)cos(

)(1

)cos(1

usenk

duuk

=∫ Logo,

)(1

)cos( kxsenk

dxkx =∫

Se tivermos que calcular ∫ dxkxsen )( ,devemos realizar uma mudança de variável,como segue abaixo:

∫ dxkxsen )(kxu = kdxdu =

k dudx =

Realizando as substituições temos:

∫∫ = k duusen

dxkxsen)(

)(

[ ])cos(1

)(1

uk

duusenk

−=∫ Logo,

[ ])cos(1

)( kxk

dxkxsen −=∫

Apostila v2.9 Apendice A

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