APOSTILABÁSICADEMATEMÁTICA-MÓDULOBÁSICOI-2010

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS

1- Conjuntos Numéricos

A) Conjunto dos Números Naturais (N)

Números naturais são aqueles que são utilizados na contagem dos elementos de um conjunto.Temos então:

OBS:N* = N – { 0 } ou seja, N* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

B) Conjunto dos Números Inteiros ( Z)

Números Inteiros são todos os números naturais e também os opostos ou simétricos dos naturais.

B1) Z+ números inteiros não-negativos.

Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Então: Z+ = N

B2) Z- números inteiros não-positivos.

Z- = { ...,-4, -3, -2, -1, 0 }

C) Conjuntos dos Números Racionais (Q)

São todos os números que podemos escrever na forma de fração.

C1) Dízima Periódica

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente constituem o período dessa dízima.

Dízimas periódicas simplesA) 0,444... (período 4)B) 0, 151515... ( período 15)C) 0,123123... ( período 123)

São dízimas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.Dízimas periódicas compostas

A) 0,1333...Período 3Parte não periódica 1

B) 2,15666...Período 6Parte não periódica 15

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA

É possível determinar a fração ( número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Dízima Simples

Exemplos:

A) 0,555... = 95

B) 0,343434... = 9934

C). 4,252525... = 99254

Dízima Composta

Exemplos:

A). 0,1252525...= 990

1125 − =

990124

Professor Carlos André [email protected]

PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTORLEI 9.610 DE 19/02/1998

1

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

Z = { ..., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q ={ ba

/ a∈ Z , b∈ Z, b ≠ 0}

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da

forma dn , onde:

n parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica.d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

mailto:[email protected]


B). 1,3444... = 90

13134 − =

90121

D). Conjunto dos Números Irracionais (I)

São todos os números que não podemos escrever na forma de fração (números não-periódicos)

Exemplos:

π = 3,141592...2 = 1,4142...

3 = 1,73205...

E). Conjunto do Números Reais (R)

Denominaremos de Conjunto dos Números Reais ao conjunto formado pela união dos números racionais com os irracionais.

Resumo do Conjuntos Numéricos

Logo: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

EXERCÍCIOS

1) PM – 2007Considere os conjuntos

N, dos números naturais,Z*_ , dos números inteiros negativos,Q, dos números racionais.

Assinale a única alternativa correta

A) O peso de uma pessoa é um elemento de N.

B) A diagonal de um quadrado é um elemento de Q.

C) A capacidade da lotação de um ônibus é um elemento de Q – N.

D) O valor da passagem de um ônibus é um elemento de Q.

E) A velocidade média de um ônibus é um elemento de Z*_.

2) FUNRIO – 2008Sejam A e B subconjuntos dos números naturais

dados por e

. O número deelementos do conjunto formado pela interseção de A e B éA) 4B) 6C) 10D) 20E) 25

3) CBMERJ – 2007 – CombatenteO inverso do número 3,333... éA) 0,2B) 0,222...C) 0,25D) 0,3E) 0,333...



2

R = Q ∪ I



4) Bombeiros – 2008 – FunrioDada a dízima x = 0,222..., então o valor

numérico da expressão 11

11

++

−+

xx

xx

é

representado por

A) 10367

B) 10365

C) 10567

D) 10465

E) 10467

5) Agente de Trânsito Niterói – 2007

Tem-se que

9

...242424,03325 +

=A .

Se X = A - 31

, então o valor de x é igual a:

A) 0 B) 32− C)

41− D)

31

E) 32

6) PM – 2007

Qual é o valor de ...777,1 é A) 0,555...B) 0,777...C) 0,888...D) 1,111...E) 1,333...

7)

8)

9) CBMERJ – 2008 – motorista

10)

GABARITO

1 – D2 – B3 – D4 – A5 – A6 – E7 – C8 – C9 – E10 – D



3



OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

1) UNIÃO

NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE DOIS CONJUNTOS.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

2) INTERSEÇÃO

3) DIFERENÇA DE CONJUNTOS

OBS: COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO



4



EXERCÍCIO RESOLVIDO

TJ – MT – 2008 Em uma pesquisa de opinião feita com os freqüentadores de um centro médico, constatou-se que 60% dos entrevistados faziam tratamento alopático, 35% faziam tratamento homeopático,e 15% utilizavam ambos simultaneamente. Pode-se concluir, então, que a porcentagem que indica os entrevistadosque não utilizam nenhum desses tratamentos é(A) 40%.(B) 35%.(C) 30%.(D) 25%.(E) 20%.

Solução:

Fazendo o diagrama e começando sempre pela interseção

Letra E

Exercícios Propostos

1) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é:a) 20 % b) 40 % c) 60 % d) 75 % e) 140 %

2) Se A e B são conjuntos, A-(A-B) é igual a:

a) A b) B c) A-B d) A ∪ B e) A ∩ B

3) Agente Penitenciário – 2008 - CespeCom relação às operações com conjuntos, julgue o item abaixo.

50. Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes especialidades: 27 são especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas no sistema operacional Windows e 11 desses candidatos são especialistas nos dois sistemas. Nessa situação, é corretoinferir que o número total de candidatos ao cargo de programador é inferior a 50

4) Pref. Pitangui – MG – 2007 Observe o gráfico abaixo

Sabendo que foram entrevistados 100 pessoas e que o número de pessoas que lêem somente os jornais B e C é o dobro do número de pessoas que lêem apenas os jornais A e C, o número de entrevistados que lêem somente os jornais A e C é:(A) 20.(B) 2.(C) 30.(D) 10.

5) No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é

a) 778 c) 120b) 658 d) 131

6) ANALISTA SEBRAE 2008 - Cespe



5



Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso usando esses livros revelou que:10 candidatos utilizaram somente o livro L;20 utilizaram somente o livro N;90 utilizaram o livro L;20 utilizaram os livros L e M;25 utilizaram os livros M e N;15 utilizaram os três livros.Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes.

51. Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. 52. Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros.

53. Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros.

54. O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105.

7) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:- 40% dos entrevistados lêem o jornal A.- 55% dos entrevistados lêem o jornal B.- 35% dos entrevistados lêem o jornal C.- 12% dos entrevistados lêem os jornais A e B.- 15% dos entrevistados lêem os jornais A e C.- 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C.- 7% dos entrevistados lêem os três jornais.- 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três jornais.Considerando-se esses dados, é CORRETO afirmar que o número total de entrevistados foia) 1 200.b) 1 500.c) 1 250.d) 1 350.

8) Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. Então a quantidade de homens que não fumam é:

A) 8B) 10C) 17D) 18E) 21

9) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, obteve os seguintes dados:

- 28% dos funcionários são mulheres;- 1/6 dos homens são menores de idade;- 85% dos funcionários são maiores de idade.

Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres?a) 30% b) 28% c) 25% d) 23% e) 20%

10) PM – 2007 – FESPEm uma festa com 100 pessoas, 30 bebem chope e 60 tomam refrigerantes. Qual é o maior número possível de pessoas que não consomem nenhum desses dois tipos de bebidas, isto é, nem chope nem refrigerante?

A) 10B) 30C) 40D) 50E) 60

11) PETROBRAS – 2010 Ao analisar o resultado anual de sua turma de 35 alunos, a professora afirmou: “Nessa turma, 15 alunos obtiveram média anual maior que 6,0 e 28 alunos, média anual inferior a 7,0”. Quantos alunos obtiveram média anual entre 6,0 e 7,0?(A) 8(B) 9(C) 10(D) 11(E) 12

Gabarito

1) B2) E3) ITEM 50 CERTO4) D5) C6) 51-E/ 52-C / 53-C / 54 – E7) B8) B9) E10) C11) A



6



Divisão

Elementos:

Relação fundamental da divisão não-exata

Ou

Obs: De modo geral, se numa divisão o divisor for d, o maior resto possível é d – 1.

2.1 - Divisores de um número Natural

OBS:1) O zero não é divisor de número algum.2) Todo número é divisor de si mesmo.3) O número 1 é divisor de qualquer número

natural.4) O conjunto dos divisores de um número

natural diferente de zero é finito.

2.2 - Critérios de Divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando é par.


Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.


Quando o numeral formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.


Quando terminar em 0 ou 5.


Quando é divisível por 2 e por 3.


Quando o numeral formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Divisibilidade por 9.

Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.


Quando terminar em 0.


Quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e dos de ordem par é divisível por 11.


Quando for divisível por 3 e por 4.


Quando for divisível por 3 e por 5.

Exercícios Resolvidos

1). Numa divisão o divisor é 13, o quociente é 8 e o resto 6. Determine o dividendo.

Solução

D = d.q + rD = 13.8 +6D = 110.

2) Numa divisão exata o dividendo é 255 e o quociente é 17. qual é o divisor.

Solução

Divisão exata: resto = 0

D = d . q 255 = d.17

d = 17255 = 15

Logo, o divisor é 15.



7

Dividendo = Divisor . Quociente + Resto

D = d . q + r

Se a divisão de um número natural por outro, não-nulo, for exata, podemos afirmar que o segundo é divisor do primeiro.



Exercícios

1) ( Agente de Transito -2003) Se na divisão de um número por 23 obtivemos o quociente 32 e o resto maior possível, qual foi o número dividido?(A) 759(B) 736(C) 713(D) 758 (E) 756

2) ( Nossa Caixa – 2005) Na divisão de n por d, o quociente é 8 e o resto é igual a 1. Se n – d = 85, então n é igual a:A).107B) 104C) 102D) 98E). 97

3) A diferença entre dois números naturais é 286. Dividindo-se o maior pelo menor, obtém-se quociente 7 e o resto maior possível. Determine o número menor.A). 41B) 327C) 128D) 72E) 48

4) GUARDA MUNICIPAL – NITEROI – 2007O número N=3217Y216 é divisível por 3. A soma dos possíveis valores do algarismo Y é

A) 15B) 10C) 12D) 13E) 16

5) Guarda – vidas – 2007 - MaricáAbaixo temos um número de três algarismos onde desconhecemos o algarismo das unidades, representado por U.

74UDetermine o valor do algarismo U de modo que o número seja um múltiplo de 6.

A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4

GABARITO

1) D2) E3) A4) A5) E



8



Decomposição em fatores primos

Números Primos e Números Compostos

OBS:1). O número 1 é considerado especial, não é primo nem composto ( tem apenas um divisor).

2) O único número primo par

3) O conjunto dos números primos é um conjunto infinito.

Decomposição em Fatores Primos

Para se realizar a decomposição em fatores primos, devemos seguir a seqüência:

1). Dividimos o número pelo seu menor divisor primo e assim sucessivamente, até se chegar ao quociente unitário.

Exemplo:

Determinação dos Divisores de um Número

Processo Prático:Divisores de 60:

1). Decompomos o número em fatores primos

2). Traçamos um segmento vertical à direita da decomposição obtida e escrevemos o 1, que é divisor de todos os números, no alto, um pouco acima do primeiro fator primo.

3). Multiplicamos cada um dos fatores primos pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator.

Portanto, os divisores de 60 é:

D(60) = { 1,2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

3.4 – Quantidade de Divisores de Um Número

Regra do Expoente:

1). Fatorar o número dado;2) Adicionar 1 em cada um dos expoentes dos fatores primos obtidos;3) Multiplicar os resultados.

Exemplo:

Determine a quantidade de divisores de 90.

90 = 2.3².5

Usando a regra do expoente:

(1 + 1).(2 + 1).(1 + 1) = 2.3.2 = 12 divisores

Exercício Resolvido

O número 2³.5a tem 12 divisores. Qual o valor de a:

Solução

Usando a regra do Expoente, temos:

(3+1).(a+1) = 12 4 (a+1) = 124a + 4 = 124 a = 8

a = 48

a= 2

Logo, a é igual a 2.



9

Um número natural é primo quando possui somente dois divisores distintos: o número 1 e ele próprio.Um número natural é composto quando possui mais de dois divisores.



Máximo Divisor Comum (M.D.C.)

Sejam os números 36 e 60 e os conjuntos D(36), D(60) de seus respectivos divisores.Temos então:

D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

D (36) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 18, 36}

Observamos facilmente todos os divisores comuns a 60 e 30:

D(60) ∩ D(36) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12}

Observe que 12 é o maior divisor comum, assim:

M.D.C.(36,60) = 12

Concluímos, pois que:

Processos para o cálculo do mdc de dois ou mais números

1º - Existe um método prático, chamado divisões sucessivas ou algoritmo de Euclides, para calcular o M.D.C.:

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata.

2º - Decomposição em fatores primos

Temos: 60 = 2² x 3 x 5 e 36 = 2² x 3² Para calcular o MDC Multiplicamos os fatores primos comuns, cada um deles elevado ao seu menor expoente; o produto deles é o maior divisor comum.

Logo: M.D.C. (60, 36) = 2² x 3 = 12

OBSERVAÇÃO

4.1. Propriedades do M.D.C.

a) Dois números naturais consecutivos são sempre primos entre si, ou seja, o mdc é igual a um.

Ex: 7 e 8 mdc = 1

b) O mdc entre dois números em que o maior é múltiplo do menor, é o menor.

Ex: 4 e 12 mdc = 4

c) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um certo número (diferente de zero), o mdc entre eles também fica multiplicado ou dividido por esse número.

Ex: 4 e 5 mdc = 1; 40 e 50 mdc = 10

5. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.)

Sejam os números 6 e 9 e os conjuntos M(6) e M(9) de seus respectivos múltiplos.Temos então:

M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72,...}

M (6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,...}

M(9) ∩ M(6) = {18, 36, 54, 72,...}

Observe que 18 é o menor múltiplo comum, diferente de zero, dos números 6 e 9Assim:

M.M.C. (9, 6) = 18

Concluímos, pois, que:



10

Dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, denomina-se máximo divisor comum (mdc) desses números o maior dos seus divisores comuns.

Quando o mdc de dois ou mais números naturais é igual a 1, esses números são primos entre si.

Dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, denomina-se mínimo múltiplo comum (mmc) desses números o menor de seus múltiplos comuns diferentes de zero.



Cálculo do MMC de vários números

1º Processo: Decomposição simultânea ( Método Prático)

Exemplos:

• Determine o mmc de 6 e 9.

• Determine o mmc de 12,18 e 30.

2º Processo: Decomposição em fatores primos

Exemplos:

Determine o mmc de 12, 20 e 2412 = 2² x 3¹20 = 2² x 5¹24 = 2³ x 3¹Os maiores expoentes dos fatores 2, 3 e 5 são 3, 1 e 1, respectivamente.

Logo, o mmc (12, 20,24) é igual a: 2³ x 3¹ x 5¹ = 120

Determine o mmc (12,15,49).12 = 2² x 3¹15 = 3¹ x 5¹49 = 7²Os maiores expoentes dos fatores 2, 3, 5 e 7 são 2, 1, 1 e 2, respectivamente.

Logo, o mmc (12,15,49) é igual a: 2² x 3¹ x 5¹ x 7² = 2.940.

5.1. Propriedades do M.M.C.

a) O mmc entre dois números primos entre si é igual ao produto deles.

Ex: 5 e 12 mmc = 60

b) O mmc entre dois ou mais números naturais diferentes de zero, se um deles for múltiplo dos outros, então esse número será o mmc dos números dados.

Ex: 5, 10 e 20 mmc = 20

c) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um certo número (diferente de zero), o mmc entre eles também fica multiplicado ou dividido por esse número

Exemplo:Seja mmc(12,15) =60Multiplicando 12 e 15 por 2, temos:Mmc(24,30) = 120, que é o dobro de 60.

RELAÇÃO ENTRE O MDC E O MMC DE DOIS NÚMEROS

Ou seja:



11

Decompomos simultaneamente os números dados em fatores primos.Determinamos o produto dos fatores primos obtidos.

1). Decompomos os números em fatores primos.

2). Multiplicamos os fatores primos comuns e não-comuns, cada um deles elevado ao seu maior expoente; o produto deles é o menor múltiplo comum.

O produto de dois números, diferentes de zero, é igual ao produto do seu maior divisor comum (MDC) pelo seu menor múltiplo comum (MMC).

A x B = MDC(A,B) x MMC(A,B)



Exercícios

1) Bombeiros – guarda-vidas – 2008- FUNRIOPedro trabalha numa plataforma da Petrobrás onde ele embarca de 12 em 12 dias. Sua namorada Maria trabalha numa outra plataforma. Entretanto, Maria embarca de 18 em 18 dias. Se Pedro e Maria embarcaram juntos no último dia 17 de março do corrente ano, a próxima data em que este fato ocorrerá novamente será.A) 22 de abril.B) 23 de abril.C) 24 de abril.D) 25 de abril.E) 26 de abril.

2) Agente Adm – 2008 - PEO pernambucano é apaixonado por voleibol e moto-velocidade. A última vez em que, num mesmo dia, ocorreram um grande prêmio e uma partida de voleibol, aconteceu em 26.01.2008. Admitindo-se que as corridas ocorrem de 15 em 15 dias, e os jogos, de 20 em 20 dias, é CORRETO afirmar que uma nova coincidência da realização dos dois eventos aconteceria apósA) 30 diasB) 35 diasC) 45 dias.D) 60 dias.E) 70 dias

3) Bombeiros – motorista – 2008 - FUNRIOConsidere o conjunto de todos os números maiores que 1, tais que, quando divididos por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 7 e por 8, deixam sempre resto igual a 1. A soma dos dois menores números desse conjunto éA) 2222B) 2322C) 2422D) 2522E) 2622

4) Agente de Fiscalização – 2008 - SP - VUNESPUma oficina de consertos de calçados utiliza um determinado tipo de cadarço em três tamanhos diferentes, 40 cm, 50 cm e 75 cm, que são recortados de um mesmo tipo de rolo. A metragem mínima que cada rolo deve ter, para que não reste nenhum pedaço no rolo após os recortes, é(A) 11 m.(B) 10,40 m.(C) 9,75 m.(D) 7,5 m.(E) 6 m.

5) ( CVM – 2005 – Agente Executivo)O analista de uma empresa estabeleceu três tipos ( A, B e C) de checagem de segurança dos computadores. O tipo A será realizado de 4 em 4 dias e o tipo B de 6 em 6 dias. O três tipos terão inicio simultâneo e coincidirão novamente pela primeira vez daí a 120 dias. Assim, a menor freqüência que o tipo C pode ter é:A). 10 diasB) 12 diasC) 24 diasD) 36 diasE) 40 dias

6) Agente de Trânsito – 2007- FUNRIOTrês ciclistas partem de um mesmo ponto e no mesmo sentido, numa pista fechada. O primeiro dá uma volta à pista em 20 minutos; o segundo, em 24 minutos; e o terceiro, em 30 minutos. Após a largada, qual o número mínimo de minutos para que eles voltem a se encontrar no ponto de partida?A) 120 minutosB) 115 minutosC) 140 minutosD) 130 minutosE) 135 minutos

7) Guarda Municipal – 2007 – FUNRIO Paulo e Sandra colecionam figurinhas. Eles sabem que suas coleções têm o mesmo número de figurinhas e esse número encontra-se entre 200 e 250. Para se certificarem do número exato de figurinhas, resolveram contá-las. Paulo, de dez em dez, e Sandra, de doze em doze. Dessa forma, descobriram que sobravam sempre sete figurinhas. O número de figurinhas em cada coleção é de:A) 200B) 247C) 227D) 217E) 237

8) FJG – 2008 – RJSe o mínimo múltiplo comum dos númerosP = 3m x 12 x 5 e Q = 3 x 4k x 10 é 1440, então o valor da expressão 5m + 3k é igual a:A) 12B) 13C) 10D) 11



12



9) AGENTE DE SEGURANÇA – VUNESP – 2008 Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados(A) 5 grupos.(B) 8 grupos.(C) 10 grupos.(D) 12 grupos.(E) 13 grupos.

10) Para acondicionar 1560 latas de azeite e 870 latas de óleo em caixotes, de modo que cada caixote contenha o maior e o mesmo número de latas sem que sobre nenhuma e sem misturar as latas de cada espécie, são necessárias quantas latas em cada caixote?a) 30 b) 40 c) 20 d) 50

11) Agente de Fiscalização – 2008 - SP - VUNESPPara um trabalho voluntário de combate ao mosquito causador da dengue, um professor de biologia dividiu três classes, uma com 27 alunos, outra com 45 e outra com 36, e formou grupos com o mesmo número de participantes, de modo que cada grupo foi formado por alunos de uma mesma classe e com o maior número possível de alunos. Sabendo-se que nenhumaluno deixou de participar dos grupos, pode-se concluir que ele conseguiu formar(A) 7 grupos.(B) 8 grupos.(C) 9 grupos.(D) 12 grupos.(E) 15 grupos.

12) BNDES – 2009 – Técnico em ArquivoA figura abaixo ilustra um bloco de madeira no formato de um paralelepípedo com as medidas, em centímetros, das suas arestas.

Esse bloco é dividido em cubos, todos do mesmo tamanho, de modo que a medida das arestas desses cubos seja a maior possível. Sabendo-se que, nos cubos, as arestas têm a mesma medida e que, após a divisão, não há sobra de madeira, a quantidade de cubos obtidos é(A) 18(B) 24(C) 30(D) 48(E) 60

13) Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que tenham iguais quantidades de alunos e de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1.350 rapazes e 1.224 garotas e cada grupo deverá ser acompanhado de um único professor, o número mínimo de professores necessários para acompanhar todos os grupos nessa visita é:a) 18 b) 68 c) 75 d) 126 e) 143

14) FUNRIO - 2008A idade da minha tia é um número que deixa resto 1 quando dividido por 13 e deixa resto 4 quando dividido por 7. Se ela ainda não completou 100 anos, a soma dos algarismos da idade da minha tia é:A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

15) Metrô – SP – 2009 – Técnico Adm

GABARITO1) A2) D3) D4) E5) E6) A7) B8) D 9) A10) A11) D12) C13) E14) B15) A



13



Razões

Exemplo:

Das 200 pessoas entrevistadas, 70 preferem o candidato A.Razão dos entrevistados que preferem o candidato A:

70:200 ou 20070

= 207

De cada 20

entrevistados, 7 preferem o candidato A.

Termos de uma Razão

Observe a razão:

( lê-se “a está para b” ou “a para b” )

Proporção

Elementos de uma Proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1° para o 2° for igual à razão do 3º para o 4°. Assim:

( lê-se: “ a está para b assim como c está para d”)

Os números a, b, c, d são os termos da proporção, sendo:

proporção. da extremos os d , aproporção. da meios os c , b

7.1 Propriedade Fundamental das Proporções

De modo geral, temos que:

Daí, podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Exemplos:

1)- Determine o valor de x na proporção:

x15

85 =

Solução:

x15

85 =

aplicando a propriedade fundamental

5x = 8.15

x = 5

120

x= 24

Logo, o valor de x é 24.

2)- Determine o valor de x na proporção:

54

123 =

+−

xx

Solução

54

123 =

+−

xx

aplicando a propriedade fundamental

5( x-3) = 4( 2x+1)5x – 15 = 8x + 4- 3x = 19 x (-1)

x= 3

19−

Logo, o valor de x é 3

19−



14

Denominamos de razão entre dois números a e b

( b ≠ 0) o quociente ba

ou a:b.

É a igualdade entre duas razões.

dc

ba = ou a : b = c : d

b.c a.d =⇔=dc

ba

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.



Quarta Proporcional

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x, tal que:

Exemplo:

Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6

x6

128 = aplicando a propriedade fundamental

8x = 12.6 x = 872

x = 9

Logo, a quarta proporcional é 9.

7.3 Proporção Contínua

De modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional

Dados dois números racionais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.

Solução

x10

1020 = 20x = 100 x =

20100

x = 5

Logo, a terceira proporcional é 5.

OBS: Dada uma proporção contínua, o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c.

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

Considere a proporção:

dc

ba =

Temos as seguintes propriedades:

1ª Propriedade

cdc

ddc

bba +=++=+

abaou

2ª Propriedade

cdc

ddc

bba −=−=−

ab-aou

3ª Propriedade

dc

ba

dbca ==

++

4ª Propriedade

dc

ba

dbca ==

−−

5ª Propriedade

²²

²²

..

dc

ba

dbca ==



15

xc

ba =

Proporção contínua é toda proporção que apresenta os meios iguais.

cb

ba =

xb

ba =



Exercícios

1)FUB -2008 CespeUma empresa tem em seu quadro de pessoal 84 empregados, e a razão entre o número de

homens e mulheres é, nessa ordem, igual a 34

. A

propósito dessa situação, julgue os itens a seguir.

41 O número de mulheres no quadro de pessoal dessa empresa é superior a 38.

42 Ao se somar 32

do número de mulheres a

75% do número de homens dessa empresa, obtém-se um número racional não inteiro.

2) TRT 9ª – 2010

3) Agente de endemias-2008 Uma equipe de trabalho formada por Auxiliares de Controles de Endemias inspecionou 1260 moradias. Encontrou 420 delas com focos de mosquitos. A razão entre o número de residências COM FOCOS e o número de residências SEM FOCOS de mosquito é igual a:

A) 21

B) 31

C) 41

D) 51

4 UFRJ -2008 – ASS. ADM- NCEO preparo da sopa de marca Bom Sabor para uma pessoa requer que se dissolva um pacote de pó de sopa em um copo de água, atingindo-se assim uma concentração do pó em água que será denominada C0. Se, em vez de 1 copo, colocarmos 1 copo e meio de água para um pacote de pó, atinge-se uma concentração do pó

em água que será denominada C1 . A razão 0

1

CC

corresponde a:

A) 31 B)

32 C)

43 D)

23 E)

34

5) Liquigás – 2010 – Cesgranrio O gráfico abaixo apresenta a tarifa média por quilômetro voado, no Brasil, medida nos meses de fevereiro, de 2002 a 2010.

A razão entre as tarifas médias dos anos de 2008 e de 2005 corresponde à fração

A) 4/5B) 6/11C) 8/11D) 12/23E) 16/23



16



6) ( TRF – 2007 – Técnico Judiciário)Dos 343 funcionários de uma unidade do Tribunal Regional federal, sabe-se que o número de homens está para o de mulheres assim como 5 está para 2. Assim sendo, nessa unidade, a diferença entre o número de homens e o de mulheres é

(A) 245(B) 147(C) 125(D) 109(E) 98

7) (TRF – 2007 – Auxiliar Judiciário)Certo dia, em uma unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judiciário observou que o números de pessoas atendidas no período da tarde excedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a quantidade de pessoas atendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendida no período da tarde era 3/5, então é correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas

(A) 130 pessoas(B) 48 pessoas pela manhã(C) 78 pessoas à tarde(D) 46 pessoas pela manhã(E) 75 pessoas à tarde

8) Prominp – 2008 - CesgranrioAtualmente, a razão entre as idades, em anos, de Pedro e de Ana é igual a 7/8 . Se quando Pedro nasceu Ana tinha 3 anos, qual será a idade de Pedro daqui a 10 anos?(A) 17(B) 21(C) 24(D) 31(E) 34

9) (TRF – 2006 – FCC)Após vender um imóvel, um senhor dividiu totalmente a quantia que recebeu em pagamento entre sua esposa, seus dois filhos e uma antiga empregada da família. A divisão foi feita do seguinte modo:

- a filha e o filho receberam a metade do total na razão de 4 para 3, respectivamente;- sua esposa recebeu o dobro do valor recebido pelo filho;- a empregada recebeu R$ 5. 000,00.

Nessas condições, a quantia total recebida pela venda de tal imóvel foi ( em reais):

A) 55.000B) 60.000C) 65.000D) 70.000

10) Agente de Endemias - 2008A escala de um mapa é de 1: 25000. Isto significa que uma distância de 30 cm neste mapa corresponde à seguinte distância real:A) 7,5 kmB) 750 kmC) 75 kmD) 0,75 km

11) PREF. RIO – 2008 Na planta de uma casa em construção, as dimensões de uma sala retangular são 4 cm e 6 cm. Se a escala utilizada nessa planta é de 1:80, a área realda sala é de:A) 15,60 m2

B) 15,36 m2

C) 19,20 m2

D) 19,56 m2

12) (TRF – 2007 – Auxiliar Judiciário)Godofredo mora a 11 000 metros de seu local de trabalho. Se ele fizer esse percurso a pé, caminhando à velocidade média de 8 km/h, quanto tempo ele levará para ir de casa ao local de trabalho?

(A) 1 hora, 15 minutos e 20 segundos(B) 1 hora, 22 minutos e 30 segundos(C) 1 hora, 25 minutos e 20 segundos(D) 1 hora, 32 minutos e 30 segundos(E) 1 hora, 35 minutos e 20 segundos

13) UFPR / 2006 / SANEPARPara dar uma volta completa numa pista de corrida, dois atletas gastam, respectivamente, 2,4 minutos e 2,7 minutos. Se o corredor mais veloz corre a uma velocidade média de 5,4 m/s, a velocidade média desenvolvida pelo outro atleta é, em m/s: a) 4,8. b) 3,8. c) 5,0 d) 4,5. e) 5,2.

GABARITO1) 41-E / 42-E2) E3) A4) B5) C6) B7) E8) D9) D10) A11) B12) B13) A



17



Divisão Proporcional

Divisão Em Partes Diretamente Proporcionais

Exemplo:

Dividir 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11.

Solução

Queremos dividir 180 em três parcelas, tais que:

1ª 2x2ª 5x sendo x a constante de proporcionalidade.3ª 11x

A soma das parcelas é igual a 180, Logo: 2x+5x+11x=18018x = 180

x= 18

180

x=10

Então:1ª 2x = 2.10 = 202ª 5x = 5.10 = 503ª 11x = 11.10 = 110

Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as parcelas procuradas são: 20, 50 e 110.

Divisão Em Partes Inversamente Proporcionais

Exemplo:

Dividir 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.

Queremos dividir 210 em três parcelas, tais que:

1ª3x

2ª5x

36x

A soma das parcelas é igual a 210,

Logo:

3x

+5x

+6x

= 210

Como o m.m.c.(3,5,6) = 30, temos:

10x + 6x +5x = 630021x = 6300

x= 21

6300

x=300 constante de proporcionalidade

Portanto:

1ª 3x

=3

300=100

2ª5x

=5

300=60

3ª6x

=6

300=50

Sendo 100+60+50 = 210, as parcelas procuradas são: 100, 60 e 50.

Divisão Proporcional Composta

Neste caso, o problema consiste em dividir um número ao mesmo tempo em partes diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

Exemplo:

Dividir 386 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e em partes inversamente proporcionais a 3, 5, 7.

Solução

1ª parte diretamente a 2 e inversamente a 3,

então: 3

2x


então: 5

3x


então: 74x

A soma das partes é igual ao valor que queremos dividir.



18

Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números.



32x

+5

3x+

74x

=386

Fazendo o mmc dos denominadores, obtemos:

MMC (3,5,7) = 105

32x

+5

3x+

74x

=386

70x + 63x + 60x = 40.530193 x = 40.530

x =193

530.40 = 210

então 210 é a constante de proporcionalidade.

1ª parte 1403

4203210.2

32 ===x

2ª parte 1265

6305210.3

53 ===x

3ª parte 1207

8407210.4

74 ===x

Logo, as parcelas procuradas são: 140, 126 e 120.

Exercícios

1) Petrobras – 2008João vai dividir R$24.000,00 com seus primos, em 3 partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 3, respectivamente. Sabendo-se que o mais velho é o que receberá o maior valor, a parte deste corresponderá, em reais, a(A) 12.000,00(B) 10.000,00(C) 8.000,00(D) 4.000,00(E) 3.000,00

2) Agente de Endemias – 2008 N formulários de cadastramento de domicílios foram distribuídos entre três agentes de saúde, em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4. O agente que recebeu o maior número de formulários ficou com 32. O valor de N é igual a:A) 72B) 81C) 78D) 85

3) Auxiliar Adm.- CESPE - 2008Pedro, João, Paulo e Carlos investiram quantias, que somaram R$ 6.800,00, em um mesmo fundo de aplicações. Sabe-se que as quantias aplicadas por cada um deles são, na ordem apresentada, diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e 7, respectivamente. Julgue os itens que se seguem, relacionados a essas informações.

39. Paulo aplicou tanto quanto Pedro e João juntos.

40. Carlos aplicou menos de R$ 2.500,00.

41. Pedro aplicou mais de R$ 900,00.

4) FUB – 2008 - CespeConsiderando que as idades de 3 pessoas sejam números diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 19 e sabendo que a soma das idades dessas 3 pessoas é igual a 98, julgue os itens subseqüentes.

45 A soma das idades das duas pessoas mais jovens é inferior a 62.

46 A diferença entre a idade do mais velho e a do mais moço é superior a 14.

5) Guarda Municipal – 2008 - FCCNuma região na área rural foram delimitados cincoterrenos retangulares, todos com a mesma largura de200 m. Os comprimentos dos terrenos são diretamenteproporcionais a 5, 6, 7, 8 e 9, respectivamente e a soma das medidas dos dois menores comprimentos é de 2 200 m.

Qual é, em km, a soma das medidas de todos os ladosdos cinco terrenos?(A) 16(B) 15(C) 14(D) 9(E) 6



19



6) PM – SP – VUNESP – 2008 Uma loja comprou um lote com 1 500 pratos. Para cada 3 pratos bons, havia um prato com defeito. O total de pratos defeituosos desse lote era(A) 350.(B) 375.(C) 425.(D) 485.(E) 500.

7) (TRF – 2007 – Técnico Judiciário)Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45 minutas e resolveram dividir esta quantidade em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se o primeiro que tem 28 anos, redige 25 delas, a idade do segundo, em anos, é

(A) 35(B) 33(C) 32(D) 31(E) 30

8) (TRE – PE – 2004)Um total de 141 documentos devem ser catalogados por três técnicos judiciários. Para cumprir essa tarefa, dividiram os documentos entre si, em partes inversamente proporcionais às respectivas idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condições, o número de documentos que coube ao mais jovem foiA) 78B) 63C) 57D) 42E) 36

9) Dividindo 486 ao mesmo tempo em partes proporcionais a 5; 3 e 4 e inversamente proporcionais a 2; 4 e 5 , qual a menor parte obtida? a)80 b) 70 c) 90 d) 120 e) 150

10) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo proporcionais diretamente a 2/3 e 4/7 e inversamente a 4/9 e 2/21. Quantas balinhas cada criança receberá?

a) 27 e 108 b) 35 e 100 c) 40 e 95 d) 25 e 110 e) 30 e 105

11) FINEP – 2009 - CESPE

Os indivíduos X, Y e Z investiram conjuntamente suas economias em determinada aplicação financeira da seguinte forma:X investiu R$ 8.000 durante 5 meses, Y investiu R$ 6.000 durante 7 meses e Z investiu R$ 6.000 durante 8 meses. Se essa aplicação produziu um lucro de R$ 19.500, que deverá ser dividido entre os três investidores, proporcionalmente às quantidades investidas e aos tempos de investimento, então X, Y e Z deverão receber, respectivamente,A R$ 7.800, R$ 5.850 e R$ 5.850.B R$ 6.500, R$ 6.500 e R$ 6.500.C R$ 6.000, R$ 6.300 e R$ 7.200.D R$ 4.875, R$ 6.825 e R$ 7.800.E R$ 3.900, R$ 7.280 e R$ 8.320.

Gabarito

1) A2) A3) 39-C / 40-E / 41-E4) 45-C / 46-E5) A6) B7) A8) B9) C10) A11) C



20



Grandezas Proporcionais

Grandezas Diretamente Proporcionais

Exemplo:

Tempo Produção5 mim 100 Kg10 mim 200 Kg

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.

Temos: 21

200100

105 ==

Logo, as grandezas tempo e produção são grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Exemplo:

Velocidade Tempo 5 m/s 200 s20 m/s 50 s

Quando quadriplicamos o valor da grandeza velocidade, a grandeza tempo fica reduzida a quarta parte.

Velocidade Tempo

41

205 =

14

50200 =

Logo, as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais

Regra de Três

10.1 Regra de Três Simples

Trabalhamos com apenas duas grandezas.

Passos utilizados numa regra de três simples

1ºDevemos agrupar grandezas da mesma espécie em colunas e manter na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2ºIdentificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3ºmontar a proporção e resolver a equação.

Exemplo 1:

Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. quanto gastaria se tivesse comprado 8 m?

Solução

Escrevemos as grandezas ( Passo 1)Comprimento (m) Preço (R$)

6 15

8 x

Em seguida, colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. ( 2ª coluna ).Como as grandezas comprimento e preço são diretamente proporcionais, colocamos uma outra seta no mesmo sentido na 1ª coluna.

Comprimento (m) Preço (R$)

6 15

8 x

Armamos a proporção formada pelas razões que construímos:

x15

86 =



21

Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual à razão entre os valores correspondentes da 2ª.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª grandeza.



6x = 120

x=6

120 =20

Logo, o preço procurado é: R$ 20,00.

Exemplo 2:

Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra.

Solução

Operários Dias

6 10

20 x

Como a grandeza operários é inversamente proporcional a grandeza dias, temos:

Colocamos uma seta para baixo na coluna que contém x.Em seguida colocamos uma outra seta no sentido contrário ( grandezas inversas) na 1ª coluna.

Operários Dias

6 10

20 x

Montamos a proporção, invertendo a razão que possui a seta para o lado contrário da coluna do x.

x10

620 =

Calculamos o valor de x:

20x = 60

x = 2060

x= 3 dias

Regra de Três Composta

Trabalhamos com três ou mais grandezas relacionadas entre-si.

Passos utilizadas numa regra de três composta

1º Passo colocamos na mesma coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem.2º Passo colocamos inicialmente uma seta para baixo na coluna que contém o x.3º Passo Devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x .4º PassoIgualamos a razão que contém o x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Exemplo:

Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 mim, em que tempo 7 rotativas, iguais as primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares.

Solução

Exemplares rotativas tempo (mim)

87.500 5 56

350.000 7 x

Comparando cada grandeza coma a coluna x temos:Exemplares rotativas tempo (mim)

87.500 5 56

350.000 7 x

Assim:

000.350500.87.

5756 =

x

Daí:

1003556 =

x

35 x = 5600

x = 35

5600

x = 160 mim = 2h 40 mim



22



Exercícios

1) Petrobras – 2008 Quatro operários levam 2 horas e 20 minutos para fabricar um produto. Se o número de operários for inversamente proporcional ao tempo para fabricação, em quanto tempo 7 operários fabricarão o produto?(A) 50 minutos(B) 1 hora(C) 1 hora e 10 minutos (D) 1 hora e 20 minutos(E) 1 hora e 40 minutos

2) Prominp – 2008 - CesgranrioEm uma cidade com 45 mil habitantes são produzidas, em média, 30 toneladas de lixo por dia. Qual será, em toneladas, a quantidade média de lixo produzida em uma semana numa cidade com 60 mil habitantes?(A) 40(B) 80(C) 150(D) 240(E) 280

3) Agente de Endemias - 2008Oito torneiras com fluxo constante e igual enchem um reservatório em 12 horas. Cinco dessas torneiras encherão o mesmo reservatório em:A) 18h14minB) 19h12minC) 18h16minD) 19h20min

4) BANESTES – 2008 - ConesulEm uma obra, dez operários trabalhando nove horas diárias, são capazes de construir trezentosmetros quadrados de parede. Se tivermos vinte operários trabalhando seis horas diárias, quantosmetros quadrados eles construirão?a) 700.b) 400.c) 350.d) 600.e) 650.

5)FINEP-2009 - CESPE

Considerando que os 20 empregados da central de atendimento telefônico de uma grande empresa atendam diariamente, em média, a 2.400 telefonemas no período de trabalho de 8 horas, e que essa empresa deseje aumentar o número de empregados da central de tendimento telefônico em 50% e reduzir em 25% o período de trabalho diário desses empregados, então o número médio diário de atendimentos telefônicos da centralA aumentará em 12,5%.B diminuirá em 12,5%.C aumentará em 25%.D diminuirá em 25%.E diminuirá em 50%.

6) ( PM – 2005)Com mesma capacidade de trabalho, 12 costureiras fazem certo número de uniformes encomendados pelo exército, em 60 dias. Igualmente capazes, 15 costureiras cumprem essa tarefa em:A) 48 diasB) 52 diasC) 72 diasD) 75 dias

7) Se 10 operários gastam 12 dias para abrir um canal de 20m de comprimento, 16 operários, para abrir um canal de 24m de comprimento, gastarão:a) 1/3 do mês b) 2/5 do mês c) 1/2 do mês d) 3/10 do mês

8 TRF – Técnico Judiciário – 2007Em uma gráfica, foram impressos 1 200 panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de funcionamento. Para imprimir 5 000 desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas,(A) 10 minutos e 40 segundos.(B) 24 minutos e 20 segundos.(C) 37 minutos e 30 segundos.(D) 42 minutos e 20 segundos.(E) 58 minutos e 30 segundos.



23



9) Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários, trabalhando 6 horas por dia. o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia, em: a) 7 dias b) 6 dias c) 2 dias d) 4 dias e) 3 dias

10) Certo fazendeiro tem ração para alimentar 32 galinhas durante 22 dias. No fim de 4 dias resolve comprar mais 4 galinhas. Quanto tempo durarão as provisões se a ração de cada galinha não for diminuída? a) 13 dias b) 15 dias c) 16 dias d) 20 dias e) 7 dias

11) BNDESO estoque de pó de café em um escritório é suficiente para seus 16 funcionários durante 62 dias. Depois de 12 dias, passam a trabalhar no escritório mais 4 funcionários. Passados mais 15 dias, 10 funcionários são transferidos para outro escritório. Quantos dias mais durará o estoque de pó de café?a) 23 b) 25 c) 30 d) 35 e) 50

12) Transpetro – 2006 - CESGRANRIOSe 3 operários, trabalhando 6 horas por dia, constroem um muro em 20 dias, em quantos dias 5 operários, trabalhando 8 horas por dia, construiriam o mesmo muro?(A) 4 (B) 5(C) 6 (D) 8(E) 9

GABARITO

1) D2) E3) B4) B5) A6) A7) D8) C9) C10) C11) E12) E



24



PROBLEMAS DE PRODUÇÃO INDIVIDUAL

1) (MPU) Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria 25 dias. Os dois começaram a trabalhar juntos , mas após 6 dias João deixa o trabalho; dois dias após a saída deste, Carlos também o abandona. Antonio sozinho consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro sozinho, Antonio levaria: a) 48 dias b) 60 dias c) 2 dias e 12 horas d) 75 dias

e) 50 dias

2) TRF – Téc. Judiciário – 2007 Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de(A) 6 horas.(B) 6 horas e 10 minutos.(C) 6 horas e 54 minutos.(D) 7 horas e 12 minutos.(E) 8 horas e meia.

3) Um alfaiate pode fazer uma roupa em 3 dias, a sua esposa pode fazê-la em 6 dias; trabalhando juntos, em quantos dias farão a roupa?

A) 4,5 dias B) 2 diasC) 3 diasD) 1 diaE) 1/2 dia

4) Um trabalho pode ser feito em 2 horas por um homem, em 3 horas por uma mulher e em 6 horas por um menino. Em quanto tempo será feito pelas 3 pessoas juntas?

A) 1/2 hB) 1 hC) 1h e 1/2D) 2 hE) 2h e 1/2

5) BNDES – 2008 Uma torneira enche de água um tanque de 500 litros em 2 horas. Em quantos minutos 3 torneiras idênticas à primeira encherão um tanque de 600 litros, sabendo que todas as torneiras despejam água à mesma vazão da primeira e que, juntamente com as torneiras, há uma bomba que retira desse tanque 2,5 litros de água por minuto?(A) 72(B) 60(C) 56(D) 48(E) 45

GABARITO

1) E2) D3) B4) B5) B



25



Equação do 1º Grau

Exemplos:

3x +6 =0

4x -10 = x +20

Resolução de uma Equação do 1º grau

Exemplo 1:

3x +2 =x +10

1º Passo:Devemos colocar no 1º membro todos os termos com a variável x e para o 2º membro os que não a contém, lembrando de trocar o sinal dos termos que deslocamos.

3x – x = 10 – 2 2x = 8

2º Passo:Isolamos o variável x para determinar o conjunto solução:

2x = 8

x = 28

x = 4 onde S = { 4}

Exemplo 2:

65

43 =− x

1º Passo:Redução ao mesmo denominador

• Determinar o MMC dos denominadores.• Dividir o MMC encontrado por cada um

dos denominadores.• Multiplicar os resultados obtidos pelos

respectivos numeradores.MMC(4,6) = 12

- 9x = 10

2º Passo:Isolamos a variável x para determinar o conjunto solução.

- 9x = 10 multiplicando por (-1)9x = - 10

x = -9

10

então S = {-9

10}.

11.1 Resolução de Problemas

Na resolução de problemas do 1º grau com uma variável, devemos seguir os seguintes passos:

• Escrever e resolver a equação descrita no enunciado do problema.

• Verificar se a solução satisfaz às condições do problema.

• Responder

Exemplo 1:

A soma de dois números pares e consecutivos é 58. Determine-os.

Solução:

Número par xNúmero par consecutivo x +2x + x +2 = 582x = 58 – 22x = 56

x = 2

56

x =28Então:Número par 28Número par consecutivo 28 + 2 = 30Os número são 28 e 30.

Exemplo 2:



26

É toda equação que podemos escrever na forma ax =b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Resolver uma equação é determinar o seu conjunto solução, dentro do universo considerado.



A terça parte de um número, mais sua metade é igual a 45. Determine esse número.

Solução:

Número x

Terça parte do número 3x

Metade do número 2x

3x

+ 2x

= 45

fazendo o MMC dos denominadores:MMC (2,3) =62x +3x = 2705x = 270

x = 5

270

x=54

O número é 54.

Exercícios

1) FAN – FESP – 2008

Considere a igualdade: 1806

752

41 x=++ . A

soma dos algarismos do número x é:A) 8B) 9C) 10D) 11E) 12

2) PM – 2007Digitei um número em minha calculadora, multipliquei-o por 3 e somei 16, dividi o resultado por 7 e obtive o número 13. Qual o número que digitei?

A) 21B) 23C) 25D) 27E) 29

3) Prof. Matemática – Estado – RJ – 2008 Considere um número real x e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de x é:

A) múltiplo de 7B) um número entre 30 e 40C) parD) a soma dos dígitos é 10E) um número primo

4) ANAC – 2007 - NCEDaqui a um ano, a soma das idades de Antonino, Bernardino e Vivaldino será igual a 102. Vivaldino é 12 anos mais velho do que Antonino, que é 6 anos mais jovem do que Bernardino. Daqui a três anos, o produto das idades dos três será igual a:(A)28.675;(B) 34.740;(C)38.650;(D)42.666;(E) 45.360

5) PM – 2007Estou com 30 anos, minha filha Bruna está com 6 anos. Depois de quantos anos a minha idade será o triplo da idade de Bruna?

A) 6B) 7C) 8D) 9E) 10

6) ( Agente Educador – 2006)Num torneio de basquete realizado numa escola,

o time campeão ganhou 43

dos jogos que

disputou. Se esse time venceu 27 jogos, o número de partidas que perdeu é:A) 6B) 9C) 12D) 15

7) ( Agente Educador – 2006)Numa caixa de giz o número de bastões branco é o dobro do número de bastões de giz amarelo. Se tirarmos 5 amarelos e 20 brancos, o número de bastões de cada cor ficará igual. A quantidade de bastões de giz amarelo corresponde a:A) 10B) 15C) 20D) 25



27



8) Um terço dos alunos de um colégio são internos; um quarto semi – internos e 150 externos . O número de alunos internos é :a) 100b) 120c)110d)130e) 360

9) Professor André reservou um quinto do seu salário para o aluguel, um terço do salário para alimentação , um quarto do salário para transportes e educação e ainda lhe sobraram R$130 , 00 . Qual o salário dele ?a) R $ 350 ,00b ) R$ 450,00c ) R $ 600,00d ) R$ 850,00e ) R$ 250,00

10) João saiu de casa com uma certa importância no bolso . Gastou 1/3 do que possuía e mais R$ 20,00 no almoço ; mais tarde gastou, em um lanche, 1/5 do que restava e ainda ficou com R$ 80,00 . Nessas condições , ao sair de casa tinha no bolso:a) R$ 150,00b) R$ 180,00c) R$ 210,00d)R$ 240,00e) R$ 270,00

11) Pedro é um ano mais velho do que José, que é um ano mais velho que Afonso. A soma das idades dos três é 138 anos. Daqui a 12 anos, Pedro terá a seguinte idade:a) 55b) 56c) 57d) 58e) 59

12) (Endemias)Para fazer um levantamento a respeito das condições de higiene domiciliar em certo bairro do Rio de Janeiro, foram escolhidas três pessoas. A primeira ficou com a incumbência de pesquisar 2/3 do total de domicílios, a segunda com 1 /4 e a terceira com os 35 domicílios restantes. O número de domicílios que coube ao segundo pesquisador é igual a:a) 105b) 140c) 150d) 208e) 280

13) (TTN) Certa quantidade de sacos precisam ser transportados, e para isso dispõe-se de jumentos. Se colocarmos 2 sacos em cada jumento, sobram 13 sacos; se colocarmos 3 sacos em cada jumento , sobram 3 jumentos . Quantos sacos precisam ser carregados?a) 22b ) 57c ) 28d ) 48e ) 80

14) Se eu der R$ 12,00 a cada menino, ficarei ainda com R$ 9,00. Para dar R$ 14,00 a cada um, faltar-me-ão R$ 21,00. Quantos são os meninos?a) 10b) 12c)13d) 15e) 20

15) Quando Rose nasceu o seu pai tinha 24 anos. Em 2004, logo após o aniversário de Rose, a idade do pai tornou-se o quádruplo da sua. Em que ano Rose nasceu?a) 1990b) 1991c) 1992d)1993e) 1996

16) Que horas são, se o que resta para terminar o

dia é 32

do que já passou?

a) 14 hb) 13h 10 mimc) 14 h 24 mimd) 10 h 20 mim e) 17 h 20 mim

17) Carlos tinha um conjunto de canetas que comprou a R$ 0,65 cada. Perdeu três e vendeu o restante ao seu primo por R$ 1,10 cada, obtendo R$ 2,10 de lucro. O número de canetas que Carlos vendeu ao seu primo foi:a) 8b) 9c) 10d) 11e) 12



28



18) (Nossa Caixa – 2005)Uma prova de ciclismo foi realizada em duas etapas. Dos participantes que iniciaram a

competição, 51

desistiu durante a 1ª etapa. Dos

restantes, que iniciaram a 2ª etapa, 31

também

desistiu, sendo que a prova se encerrou com apenas 24 ciclistas participantes. Então, no início da 1ª etapa da prova, o número de ciclistas participantes era:A) 40B) 45C) 50D) 60E) 62

19) Resolvendo a equação 21

- x = 6 (31

- x) no

conjunto R; obtemos a raiz:

a) 103

b) 101

c) 10d) 3

e) 25

20) valor de x que é solução, nos números reais, da equação (1/2) + (1/3) + (1/4) = x/48 é igual a:a) 36b) 44c) 52d) 60e) 68

21) ( Correios – 2006 – Técnico Operacional)

A solução da equação

=

+

37

5213

x é:

A) 15/21B) 195/29C) 205/23D) 40/13E) 92/17

22) ( Correios – 2006 – Técnico Operacional)O valor de x que é solução da equação do 1º grau

087

32 =

−

x

é a alternativa

A) 7/3B) 3/7C) 2/3D) 23/13E) 21/16

23) ( Correios – 2006 – Técnico Operacional)O valor de x que satisfaz a relação

=

+

38

53

72 xx

?

A) 280/93 B) 417/91 C) 33/17 D) 41/3E) 37/12

24) Um número formado por dois algarismos, o algarismo das unidades excede o dobro do algarismo das dezenas em 2. Se invertermos a ordem dos algarismos , o número obtido superará o original em 45.Determine a soma dos algarismos desse número.a) 38 b) 24 c) 11 d) 8 e ) 5

25) Um gavião ao passar por um grupo de pombas, disse: ‘Bom dia, minha cem pombas!!!’. Uma das pombas respondeu: ‘cem não somos nós, porém se a nós somarmos outro tanto de nós, mais a quarta parte de nós, mais a metade de nós, mais vós, gavião, então cem seremos nós’.Calcule a quantidade de pombas.a) 24 b) 36 c) 12 d) 44 e) 50

26) Na Grécia antiga, Policrate, senhor absoluto do poder na ilha de Samos, perguntando a Pitágoras quantos alunos ele tinha, obteve a seguinte resposta : A metade estuda matemática, a quarta parte estuda os mistérios da natureza, a sétima parte medita em silêncio e Há ainda 3 mulheres. Quantos eram os alunos de Pitágoras ?a) 20 b) 28 c) 14 d) 90 e) 45



29



GABARITO

1) E2) C3) E4) E5) A6) B7) B8) B9) C10) B11) E12) A13) B14) D15) E16) C17) B18) B19) A20) C21) B22) E23) A24) C25) B26) B

Porcentagem

Exemplos:• Calcule 40% de 200Solução

40% = 40/100 40% de 200 40/100 .200 = 80

Logo, 80 é a porcentagem procurada.

• Calcule 25% de 300 kg

Solução

25% = 25/10025% de 300 25/100 .300 = 75 kg.

Logo, 75kg é a porcentagem procurada.

Observações:

• A expressão por cento vem do latim per centum, que significa “por um cento”.

• Utilizamos indistintamente os termos porcentagem ou percentagem.

Fator de Acréscimo ou lucro

Exemplos:

a). Acréscimo ou aumento de 10%:

F = ( 1 + 10%) F= (1+0,1)F= 1,1Logo, quando queremos aumentar uma certo valor de 10%, basta multiplicarmos esse valor por 1,1 .

b). Acréscimo ou aumento de 25%:

F = (1 +25%) F = ( 1 + 0,25)F = 1,25Logo, quando queremos aumentar um certo valor de 25%, basta multiplicarmos esse valor por 1,25.



30

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

F = (1 + i%)



c) Acréscimo ou aumento de 5%:

F = (1+5%) F = ( 1 +0,05)F = 1,05

Logo, quando queremos aumentar um certo valor de 5%, basta multiplicarmos esse valor por 1,05.


1) Uma loja compra camisas de malha por R$ 60,00 e vende-as com um lucro de 35%. Qual o preço de venda?

Solução

Fator de lucro de 35%: F = (1+35%) F=(1+0,35) F = 1,35

Preço de venda R$ 60,00 . 1,35 R$ 81,00

Logo, para obter um lucro (acréscimo) de 35% a loja deve vender cada camisa por R$ 81,00.

2) Uma mercadoria sofreu um aumento de 20% no preço, passando a custar R$ 30,00. Determine o valor dessa mercadoria antes do aumento.

Solução

Valor da mercadoria antes do aumento: xFator de aumento de 20%: F = (1+20%) F=1,2Então: x . 1,2 = 30,00x = 30/1,2x= 25

Logo, o valor da mercadoria antes do aumento era de R$ 25,00.

Aumentos Sucessivos

Exemplo:

Determine a taxa equivalente a dois aumentos sucessivos de 10%?

Solução

Fator de acréscimo de 10% F =(1+10%) = 1,10

Fator equivalente a dois aumentos de 10%:F = 1.10 . 1,10 = 1,21F= 1,21O fator de 1,21 representa uma taxa de 1,21-1=0,21 = 21%.

OBS: A taxa equivalente a aumentos sucessivos é dada pelo produto dos fatores de acréscimo ou aumento.

Portanto, podemos concluir que o fator equivalente a vários aumentos sucessivos é dado por:

Onde i1, i2. i3,...,in são as taxas .

Fator de Decréscimo ou Desconto

Exemplos:

a). Desconto de 10%

F = (1-10%) F = (1-0,1)F = 0,9

Logo, quando queremos diminuir um certo valor de 10%, basta multiplicarmos por 0,9 .

b) Desconto de 15%

F = ( 1 – 15%) F= ( 1 – 0,15)F = 0,85

Logo, quando queremos diminuir um certo valor de 15%, basta multiplicarmos por 0,85.

c) Desconto de 34%

F =( 1 – 34%) F = ( 1 – 0,34)F = 0,66

Logo, quando queremos diminuir um certo valor de 34%, basta multiplicarmos por 0,66.


1). Uma calculadora custa R$ 150,00. Na compra à vista há um desconto de 16%. Quanto custa essa calculadora à vista?

Solução

Fator de desconto de 16% : F = ( 1-16%)F = (1 – 0,16) F = 0,84

Preço à vista = 150. 0,84 = 126

Logo, o preço à vista é R$ 126,00.



31

F = (1+i1%)x(1+i2%)x(1+i3%)x...x(1+in%)

F = (1 – i%)



2) Abel comprou um DVD que custava R$ 55,00. Como pagou à vista, teve um desconto de 20%. Quanto pagou por esse DVD?

Solução

Fator de desconto de 20%: F = ( 1 – 20%)F = ( 1 – 0,20) F = 0,80

Preço à vista: 55 . 0,80 = 44.

Logo, o preço que Abel pagou foi de R$ 44,00.

12.4 Descontos Sucessivos

Exemplo:

Determine a taxa equivalente a dois descontos de 10%.Solução

Fator de desconto de 10%: F = ( 1 – 10%)F = ( 1 – 0,1) F = 0,9

Fator de dois descontos de 10%:F = 0,9 . 0,9 = 0,81

Temos: 1 – 0,81 = 0,19 = 19% Logo, dois descontos de 10% é equivalente a um único desconto de 19%.

OBS: A taxa equivalente a descontos sucessivos será determinada pelo produto dos fatores de desconto.

Daí, podemos concluir que o fator de desconto equivalente a vários descontos sucessivos é dado por:

Onde i1, i2. i3,...,in são as taxas

Exercício Resolvido

1) Determine a taxa equivalente nos itens abaixo.

a). dois descontos sucessivos de 25%Solução

Fator de desconto de 25%:F = ( 1 – 25%) F = ( 1 – 0,25) = 0,75

Fator de dois descontos de 25%

F = 0,75 . 0,75 = 0,5625

Voltando para porcentagem: 1 – 0,5625 = 0,4325 0,4325 = 43,25%.

Logo, dois descontos de 25% é equivalente a um único desconto de 43,25%.

b) Um aumento de 10% com um desconto de 20%.SoluçãoFator de desconto de 20%: F = (1-20%)F = ( 1 – 0,20) = 0,80

Fator de aumento de 10%: F = (1 + 10%) =1,10 Fator equivalente: 0,80 . 1,10 = 0,88

Voltando para a porcentagem: 1 – 0,88 = 0,12 0,12 = 12%Logo, um aumento de 10% com um desconto de 20% é equivalente a um único desconto de 12%.



32

F = (1- i1%)x(1- i2%)x(1- i3%)x...x(1- in%)



Exercícios

1) Petrobras – 2008 Carlos gasta 30% do seu salário com a prestação do financiamento do seu apartamento. Caso ele tenha um aumento de 10% no seu salário e a prestação continue a mesma, qual o percentual do seu salário que estará comprometido com a prestação do financiamento do seu apartamento?(A) 20% (B) 25% (C) 27% (D) 30% (E) 33%

2)BNDES – 2004Uma loja vende um artigo e oferece duas opções de pagamento: à vista, por R$ 180,00, ou em dois pagamentos iguais de R$ 100,00 cada, sendo o primeiro no ato da compra e o segundo, um mês depois da compra. Qual é a taxa mensal dos juros cobrados de quem compra a prazo?(A) 25% (B) 20% (C) 12,5% (D) 11,1% (E) 10%

3) Petrobras – 2008 Em 2006, a diretoria de uma fábrica de autopeças estabeleceu como meta aumentar em 5%, a cada ano, os lucros obtidos com as vendas de seus produtos. Considere que, em 2006, o lucro tenha sido de x reais. Se a meta for cumprida, o lucro dessa empresa, em 2010, será de(A) (0,05)4. x (B) (1,05)4. x (C) (1,50)4 . x (D) (1,20) . x (E) (4,20) . x

4) TRANSPETRO – 2006Qual deve ser o percentual de aumento no preço de um produto, para que um desconto de 20% sobre o preço aumentado faça com que ele retorne ao preço original?(A) 10% (B) 15% (C) 20% (D) 25% (E) 30%

5) CEF – 2008 – CESGRANRIO

O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros(A) compostos, sempre.(B) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.(C) simples, sempre.(D) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.(E) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

6) (Furnas – 2005 )O consumo de energia elétrica de uma residência passou, de um mês para outro, de 150 kWh para 192 kWh. Esse aumento corresponde, em porcentagem, a :A) 24%B) 26%C) 28%D) 30%E) 32%

7) (Furnas – 2005 )Um produto, cujo preço de tabela é x, está sendo vendido com 16% de desconto sobre o preço tabelado. A expressão que dá o preço v de venda em função de x é:A).V= 0,16xB) V= 0,84xC) V= 1,6 x D) V = 8,4x E) V = 84x



33



8).BNDES - 2006Um artigo, cujo o preço à vista é R$ 210,00, pode ser comprado a prazo com dois pagamentos iguais: o primeiro no ato da compra e o segundo um mês após. Se os juros são de 10% ao mês, qual é o valor, em reais, de cada pagamento?a)100,00b) 105,00c) 110,00d) 126,00e) 130,00

9) Petrobras – 2010 Certo supermercado anunciou a seguinte promoção:

Comprando este guaraná na promoção, o consumidorrecebe um desconto de(A) 10%(B) 12%(C) 14%(D) 16%(E) 18%

10) Petrobras – 2010 No Brasil, o número de usuários da Internet vem aumentando a cada ano. Considere que, em determinada cidade, havia P usuários em 2008 e que, a cada ano, este número aumente 30% em relação ao ano anterior. Sendo assim, quantos usuários da Internet haverá, nessa cidade, em 2011?(A) (0,13)3 P(B) (0,9)3 P(C) (1,3)3 P(D) 1,9 P(E) 2,3 P

11) Petrobras – 2010 Visando a minimizar o problema de moradia, o governo oferece à população de baixa renda casas populares ao custo de R$24.000,00. Cada casa será paga em 20 anos, com prestações mensais fixas de R$119,00. Considerando o valor total pago pelo comprador (soma de todas as prestações), em relação ao preço de custo da casa, este pagará juros de(A) 13% (B) 19% (C) 22% (D) 24% (E) 31%

12) Petrobras – 2010 Devido ao calor, o consumo de energia de certa residência vem aumentando 10% ao mês, desde setembro de 2009, chegando a 732,05 KWh, em janeiro de 2010. Qual foi, em KWh, o consumo de energia dessa residência, em outubro de 2009?(A) 500(B) 525(C) 533(D) 550(E) 566

13) ) Bombeiros – 2008 A rede “Lojas BBB”, numa promoção relâmpago, estava oferecendo um desconto de 20% em todas as suas mercadorias. Ilda se interessou por um sofá e pagou pelo mesmo o valor de R$400,00. O valor original do sofá, sem o desconto de20%, era deA) R$480,00B) R$500,00C) R$520,00D) R$540,00E) R$560,00

GABARITO1) C2) A3) B4) D5) E6) C7) B8) C9) D10) C11) B12) D13) B



34



Juros Simples

C Capital ou PrincipalI Taxa percentualn Período utilizado na transação.

OBS:1). Na determinação do juros, a taxa e o tempo devem ser relacionados na mesma unidade.

2). A taxa que utilizamos é a taxa unitária, ou seja, já dividida por 100. Exemplo: 20% = 0,2

3) Por convenção, o mês comercial tem 30 dias e o ano comercial 360 dias.

13.1 Montante

O total a ser pago ao final da aplicação denomina-se Montante.Assim:

Como J = C.i.n Temos:

M = C + C.i.n M = C( 1 + in ).


1).Determine os juros produzidos por um capital de R$ 800,00 aplicado à taxa de 15% ao mês, durante 6 meses.

Solução

C = 800,00I = 15% = 0,15 ao mêsn = 6 meses

J = C.i.n J = 800.0,15.6J = 720

Logo, os juros produzidos foram de R$ 720,00

2) Determine o Capital que, aplicado à taxa de 1% ao dia, rendeu no final de 2 meses R$ 900,00 de juros.

Solução

C = ?I = 1% ao dia = 1 .30dias = 30% ao mês = 0,30N= 2 mesesJ = 900

J = C.i.n 900 = C.0,30.2

900 = C. 0,6 C = 900 / 0,6 = 1.500

Logo, o capital era de R$ 1.500,00.

Exercícios



35

J = C.i.n

M = C + J

M = C ( 1 +



1).(Furnas-2005) Carlos empresta a juros simples R$ 5000,00 a seu amigo Afonso, durante 5 meses, a uma taxa, de 18% ao ano. Após o período de empréstimo, Carlos terá o seguinte montante:A).R$ 5.325,00B) R$ 5,375,00C) R$ 5.425,00 D) R$ 5.425,00 E) R$ 5.500,00

2) Qual o tempo necessário para que um capital qualquer, aplicado a juros simples e à taxa de 40% ao bimestre, triplique o seu valor?a)10mesesb)1anoc)1ano e 2 meses d)1ano e 4 meses e)18 meses

3) (Banco do Brasil)Qual o tempo em que um capital a 12% a . m. rende 3/5 do seu valor, aplicado a juros simples?a) 4 meses b) 5 mesesc) 6 mesesd) 7 meses e) 8 meses

4) ( Casa da Moeda – 2001) Um certo capital foi aplicado a uma taxa mensal de 2,5% ao mês, durante um determinado período, rendendo, de juros, ao final da aplicação, uma quantia igual a 1/ 4 do capital inicialmente aplicado. Conclui-se que esse capital ficou aplicado durante:A) 18 mesesB) 14 meses C) 12 meses D) 10 mesesE) 8 meses 5) O juro e o montante em uma aplicação a juros simples estão entre si, como 4 está para 20. O tempo de aplicação foi de 5 anos. Qual a taxa anual do investimento? a) 3%b) 4%c) 5%d) 6%e) 7%

6) (AFTN- 1991)Um capital no valor 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6 % ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de : a) 51 b) 51,2c) 52d) 53,6e) 68

7) ( Correios – Atendente Comercial)Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de juros simples, à taxa de 2% ao mês?a) 100mesesb) 50 meses c) 5 mesesd) 20 meses e) N.a.a.

8) ( Correios – Atendente Comercial)capital aplicado a juros simples, a taxa igual a 8% ao rnês, triplica em que prazo?a) 6 mesesb) 18 mesesc) 25 mesesd) 30 mesese) N.a.a.

9) FINEP – 2009 - CESPEUm consumidor desejava comprar um computador em determinada loja, mas não dispunha da quantia necessária ao pagamento do preço à vista, que era de R$ 1.400. Por isso, o vendedor aceitou que o consumidor desse um valor qualquer de entrada, no momento da compra, e pagasse o restante em uma única parcela, no prazo máximo de seis meses, a contar da data da compra, com juros mensais iguais a 4% ao mês, sob o regime de juros simples. Exatamente cinco meses após a compra, o consumidor pagou a parcela restante, no valor de R$ 660,00. Nessa situação, é correto concluir que o valor da entrada paga pelo consumidor foi igual aA R$ 280.B R$ 475.C R$ 740.D R$ 850.E R$ 1.120.

10) (CEF – 2004)Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante era:A) R$ 560,00 B) R$ 585,70 C) R$ 593,20D) R$ 616,00 E) R$ 617,40



36



11) Petrobras - 2008Uma dívida feita hoje, de R$5.000,00, vence daqui a 9 meses a juros simples de 12% a.a.. Sabendo-se, porém, que o devedor pretende pagar R$2.600,00 no fim de 4 meses e R$1.575,00 um mês após, quanto faltará pagar, aproximadamente, em reais, na data do vencimento? (Considere que a existência da parcela muda a data focal.)(A) 1.000,00 (B) 1.090,00 (C) 1.100,00 (D) 1.635,00 (E) 2.180,00

12) Petrobras – 2008 Se aplicamos o capital C por 3 meses à taxa composta de 7% a.m., o rendimento total obtido é, proporcionalmente a C, de, aproximadamente,(A) 10,0% (B) 20,5% (C) 21,0% (D) 22,5% (E) 25,0%

13) Petrobras – 2008 A aplicação do capital C é realizada a juros compostos de taxa 10% a.m. por 4 meses. Para se obter o mesmo montante, devemos aplicar o capital C, pelo mesmo prazo, a juros simples, à taxa mensal mais próxima de(A) 11,6% (B) 11,5% (C) 11,0% (D) 10,5% (E) 10,0%

14) ( Nossa Caixa – 2005) Uma loja está vendendo uma câmera fotográfica digital por R$ 1.270,00 à vista, ou por R$ 1.350,00 divididos em duas parcelas, sendo que a menor parcela dada como entrada, no ato da compra, é igual a quarta parte da parcela maior, que deverá ser paga 60 dias após a data da compra. No caso da venda parcelada, a taxa mensal de juro simples cobrada pela loja é:A) 3%B) 4%C) 5%D) 6%E) 8%

15) SEFAZ –2009 – RJ

Um título com valor de R$ 5.000,00, com 1 mês para seu vencimento, é descontado no regime de juros simples a uma taxa de desconto “por fora” de 3% ao mês. O valor presente do título é igual a:(A) R$ 5.500,00.(B) R$ 5.150,00.(C) R$ 4.997,00.(D) R$ 4.850,00.(E) R$ 4.500,00.

16) FISCAL DE RENDAS – MG – 2006

Determine o valor atual de um título descontado (desconto simples por fora) dois meses antes do vencimento, sendo a taxa de desconto 10% e o valor de face igual a R$ 2.000,00.(A) R$ 1.580,00(B) R$ 1.600,00(C) R$ 1.640,00(D) R$ 1.680,00(E) R$ 1.720,00

17) FINEP – 2009 - CESPEDeterminada instituição financeira reajusta o capital investido à taxa de juros compostos de 5% ao mês, nos primeiros seis meses, e 10% ao mês, após o sexto mês. Considerando que o capital de R$ 5.000 tenha sido investido nessa instituição e que 1,16 seja um valor aproximado para 1,053, é correto concluir que o valor dos juros resultantes dessa aplicação, ao final do oitavo mês, seráA inferior a R$ 1.500.B superior a R$ 1.500 e inferior a R$ 3.000.C superior a R$ 3.000 e inferior a R$ 4.500.D superior a R$ 4.500 e inferior a R$ 6.000.E superior a R$ 6.000.

18) FINEP – 2009 – CESPE Se um título de valor nominal igual a R$ 8.000 for descontado 5 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto racional simples de 5% ao mês, então o valor pago por esse título será igual aA R$ 7.680,00.B R$ 7.600,00.C R$ 6.400,00.D R$ 6.190,25.E R$ 6.000,00.



37



19) EPE – 2009 - CesgranrioUma dívida de valor nominal R$ 5.600,00 vence em 2 meses, enquanto outra, de valor nominal R$ 3.150,00, vence em 4 meses. Deseja-se converter as duas dívidas em uma única equivalente, com vencimento para daqui a 3 meses. Considerando-se o desconto como sendo racional composto e a taxa de juros de 5% ao mês, o valor da dívida única,em reais, é:(A) 8.600,00(B) 8.750,00(C) 8.880,00(D) 9.030,00(E) 9.200,00

20) CEF – 2008 – CESGRANRIOUm título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale(A) 399,00 (B) 398,00 (C) 397,00 (D) 396,00 (E) 395,00

GABARITO

1) B2) A3) B4) D5) C6) B7) B8) C9) D10) E11) B12) D13) A14) B15) D16) B17) C18) C19) C20) B



38


APOSTILABÁSICADEMATEMÁTICA-MÓDULOBÁSICOI-2010

Documents

Transcript of APOSTILABÁSICADEMATEMÁTICA-MÓDULOBÁSICOI-2010