Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino ESTATSTICA Prof.: Joelson de Arajo Delfino Palmas - 2011AGRONOMIA Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 1 Introduo Estatstica Introduo Osurgimentodaestatstica,assimcomoodeoutrascincias,noseapresentouem apenas uma poca especfica da histria. Podemos mencionar alguns registros importantes do seu aparecimento, como uma citao feita no 4 livro do Velho Testamento que faz referncia a uma instruo dada a Moiss, para que fizesse um levantamento dos homens de Israel que estivessem aptos para guerrear. Nomundocontemporneo,aestatsticaapresentaalgumaspersonagensimportantes, FlorenceNighingale(Moore,2000,pg6),umadelas.Precursoradaprofissode Enfermeira,usoucomomecanismoparamelhoriadoatendimentomdico,duranteaguerra daCrimia,naUcrnia,osdadoscoletadosnaenfermariadohospitalmilitar.Aenfermeira percebeu que muitas mortes ocorridas na enfermaria eram provenientes da falta de higiene. A maneiraencontradadeapresentaressasinformaes,deformaclaraeconcisa,aosoficiais superiores, foi a utilizao de grficos.OutrograndenomedaEstatsticaContemporneaRonaldAylmerFisher(1890 1962),quetrabalhoucomajustesdecurvasdefreqncia,comcoeficientesdecorrelao (coeficientesdeFisher),naanlisedevarinciasenastcnicasdeestimulaodeum parmetro. (Bonjorno, 1992, pg 297) Nesta breve apresentao, buscamos mostrar o contexto histrico, em que se insere a estatsticae,tambm,suacontribuioparaascinciassociaiseeconmicas.Esseramoda Matemtica se apresenta incisivamente no cotidiano, visto que, cada vez mais, as pessoas e as organizaespblicaseprivadasseutilizamdosmecanismosfornecidosporelapara melhoria da qualidade de vida, otimizao de custos e gerenciamento de instituies de uma forma geral. Conceitos Fundamentais Inicialmente iremos trabalhar com uma srie de conceitos que so fundamentais para asuacompreensoedesenvolvimentodadisciplina.Todososconceitosquesero apresentados a partir de agora so termos que iremos usar na rotina de nossas aulas; portanto, no se preocupe em decorar cada um deles, mas, sim, relacion-los com suas aplicaes. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 2 EstatsticaoramodaMatemticaquedispedemecanismoseprocessospara coletar,organizar,classificareinterpretardados,paramensuraredescreverfenmenos naturais, temporais, histricos e institucionais. Populaoumconjuntodeelementosquepossuiumacaractersticaemcomum. Exemplo: Alunos da Faculdade Catlica do Tocantins. Amostraosubconjuntodeumapopulao.Exemplo:Alunosdocursode Agronomia da Faculdade Catlica do Tocantins. Parmetro uma caracterstica numrica estabelecida para toda uma populao. Censoumaavaliaodiretadeumparmetro,utilizando-setodososdadosda populao. Dadosbrutossoosdadoscoletadosdiretamentedaobservaodeum determinado fenmeno sem nenhum tipo de organizao ou tratamento. Rol uma seqncia ordenada dos dados brutos. Variveis so os possveis resultados de um fenmeno estudado. Existem duas possibilidades para uma varivel; ela pode ser qualitativa ou quantitativa: Aqualitativaseembasanascaractersticasdofenmeno,comoporexemplo,a durabilidadedeumproduto(altaoubaixa),cordosolhosentreoutros.Javarivel quantitativapodeserexpressaemformadenmeros,comoporexemplo,ossalriosdo Legislativo, ExecutivoeJudicirio. Outro exemplo a idade dosalunos que esto cursando Agronomia,daCatlica.Avarivelquantitativapodeserclassificadaainda,comodiscreta oucontnua.Avariveldiscretasecaracterizaporapresentarvaloresindicadosemum pontoespecficodeumaescaladevalores,comoexemplopodemoscitaronmerode professoresdeAgronomiadaCatlica(1;2;3;...).Avarivelcontnuapodeser representada por qualquer valor entre dois pontos limites. Um exemplo dessa possibilidade opesodeumaembalagemdeumproduto(12,3g;55,9Kg...),otempomdiodeuma viagem entre duas cidades (2 horas, 35 minutos e 15 segundos ... ), etc. Atividade 1 Conceitue de acordo com sua compreenso: a) Estatstica. b) Populao. c) Amostra. d) Dados brutos e rol. e) Varivel (contnua e discreta). Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 3 2 Como a Estatstica pode auxiliar na sua vida profissional? 3 Classifique as variveis em qualitativas ou quantitativas (contnuas ou discretas): a) Cor dos olhos das alunas. b) ndice de liquidez nas indstrias capixaba. c) Produo de caf no Brasil.Contnua d) Nmero de defeitos em aparelhos de TV. Discreta. e) Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa. Contnua f) O ponto obtido em cada jogada de um dado... Tratamento de Dados Otratamentodedadosincluialgumasetapasquesoessenciaisparaoprocesso estatstico.Dentre as quais podemos destacar: ColetadedadosParainciodacoletadedados,faz-senecessrioumplanejamentopara determinao dascaractersticas do fenmeno a ser estudado. Essa coletapode serrealizada de duas formas distintas: direta ou indireta. A coleta de dados direta realizada pelo prprio pesquisador, por meio de inquritos e questionrios, como o caso de registros de casamentos, nascimentos, bitos, exportao e importaodemercadorias.Jacoletadedadosindiretaocorreapartirdeumacoletade dados direta j realizada, anteriormente, como por exemplo, o nmero de exportaes de um determinado produto dentre todos os j exportados.Tabulao dos dados a ordenao dos dados a partir de um processamento que pode ser manual ou eletrnico. Exposio dos dados realizada por meio de tabelas e/ou grficos. Interpretao dos dados Concluda as fases anteriores, chegamos ao objetivo principal da estatsticaquesublimarconclusesarespeitodeumfenmenodeumapopulao,cujas informaesforamretiradasdeumapartedessapopulao,definidacomoamostra.Com essas interpretaes podemos tirar concluses e previses.Nasorganizaesempresariais,aEstatsticaaalavancafundamental,usadapelos empresrios, nas tomadas de decises para melhor organizar, dirigir e controlar as empresas. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 4 Teoria da amostragem umatcnicaparaescolheramostrasquepermitegarantiracasualidadenaescolha. Podeserseparadaemtrscategorias:amostragemcasual;amostragemproporcional estratificada e amostragem sistemtica.A amostragem casual ocorre de forma aleatria numerando-se os elementos da populao e escolhendo ao acaso alguns desses elementos.A amostragem proporcional estratificada se caracteriza por tomarmos um substrato de um substrato, proporcionalmente a cada um desses.Exemplo:emumapopulaode180alunosnaqual108somulherese72sohomens.A amostraconsisteemusardoisestratos(masculinoefeminino)nosquaisusaremoscomo amostra 10% da populao, como podemos observar na tabela a seguir: SEXOPOPULAO10%AMOSTRA M10810,811 F727,27 TOTAL1801818 AmostragemsistemticaTipodeamostragememqueapopulaojseencontraem ordem.Comoexemplopodemoscitarumalinhadeproduodeumaindstriade embalagens.Aquiopesquisadoririmporasuametodologia,isto,acadahoraelecoleta uma embalagem para anlise da qualidade.

Tabelas e Grficos IntroduoComo vimos no tema anterior, para fazermos o tratamento de dados, partimos de um roteirocomvriospassosqueironosauxiliarnotrabalhocomdadosestatsticos.Outro assunto abordado queuma maneira clara e precisa derepresentar esses dados atravs de tabelas e grficos. Esse ser o assunto abordado neste tema. Tabelas UmdosobjetivosdaEstatsticasintetizarosvaloresqueumaoumaisvariveis podemassumir.Demaneirageral,astcnicasestatsticassoutilizadasemtrsetapas principais do trabalho de pesquisa: Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 5 -A coleta dos dados. -A apresentao dos dados. -A analise dos dados. Como primeiro resultado da pesquisa temos: -Dados brutos. -Rol (ordenar os dados em ordem crescentes ou decrescentes). Exemplo Um pesquisador quer saber que idades predominam entre as pessoas economicamente ativas de determinada cidade. Para isso, entrevistou 100 pessoas e obteve os seguintes dados brutos: 28273133303327313426 30333329322734373029 37313030262929342926 30273224302731303229 31313030273027272134 30283328362932272427 33272730333033332328 30392727313136282930 33313130282732303029 29243330332730363632 O rol desses dados brutos : Idade212324262728293031323334363739Total Freqncia11331661021106125321100 Umamaneiradeserepresentaressesvalorespormeiodetabelasegrficos,que iro nos fornecer rpidas e seguras informaes a respeito das variveis em estudo. Tabela um quadro que resume um conjunto de informaes. Elementos de uma Tabela -Corpo -Cabealho -Coluna indicadora Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 6 -Linhas-Casa ou clula-Ttulo Existemaindaelementoscomplementaresdatabelaquesoafonte,notase chamadas. Exemplo Sries Estatsticas So as tabelas que apresentam a distribuio de um conjunto de dados estatsticos em funo da poca, do local ou da espcie. Conforme mude os elementos da srie, podemos classific-la como: -Histrica cronolgica ou temporal. -Geogrficas territoriais ou de localizao. -Especificas ou categricas. Sries HistricasEstas sries tambm chamadas de cronolgicas ou temporais apresentam os valores de uma varivel de um certo local em intervalos de tempo. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 7 Taxa de analfabetismo 1998 2003 Brasil. Taxas anuais de crescimento da produo industrial por categoria de uso - 2004 Exemplo Anos Porcentagem (%) 199813,8 199913,3 200012,9 200112,4 200211,8 200311,6 Fonte: IBGE, pesquisa nacional por amostra de domiclios 1998/2003 Sries Geogrficas Estas sries tambm chamadas de territoriais ou de localizao, apresentam os valores de uma varivel, em um certo instante, por regies. Exemplo Distribuio percentual dos domiclios particulares permanentes, por forma de esgotamento sanitario 2004 Regies do Brasil Rede Geral (%) Outras formas (%) Sem Instalao (%) Norte50,539,99,5 Nordeste45,338,416,2 Sudeste86,912,10,9 Sul76,122,31,6 Centro-Oeste41,5562,5 Fonte: IBGE, pesquisa nacional por amostra de domiclios 2004.

Sries Especficas Estas sries tambm chamadas de categricas, apresentam os valores de uma varivel, de um certo tempo e local, em categorias ou especificaes. Exemplo Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 8 Categorias de uso 2004 (%) Indstria geral8,3 Bens de capital19,7 Bens intermedirios7,4 Bens de consumo7,3 Bens de consumo durvel21,8 Bens de consumo no durvel 4,0 Fonte: IBGE, diretoria de pesquisa, coordenao de indstria. Tabela de Dupla Entrada aconjugaodeduassriesemumanicatabela.Socriadasduasordensde classificao: uma horizontal e uma vertical. Exemplo Proporo da populao por sexo 1980 2000Por sexo (%) 1980199019962000 Homens49,6849,3649,3149,22 Mulheres 50,3250,6450,6950,78 Fonte: IBGE, censo demogrfico 1980, 1991 e 2000 e contagem da populao 1996. Grficos Ogrficoestatsticoumaformadeapresentaodosdados,cujoobjetivoode produzir,noinvestigadorounopublicoemgeral,umaimpressomaisrpidaevivado fenmenoemestudo,jqueosgrficosfalammaisrpidocompreensoqueassries (tabelas).Requisitos fundamentais para a representao grfica: -Simplicidade -Clareza Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 9 -Veracidade Os tipos fundamentais de grficos so os diagramas. Diagramas Sogrficosgeomtricosde,nomximo,duasdimenses.Parasuaconstruo, fazemos o uso do sistema cartesiano. Grfico em linha utiliza-se da linha poligonal para representar a srie estatstica. 11.2 11.3 11.2 11.3 11.2 11.311.512.012.513.013.514.02001 2002 2003 1998 1999 2000TAXA DE ANALFABETISMO - BRASIL - 1998-2003(%)ANOS Grficoemcolunasouembarrasrepresentaumasriepormeioderetngulos, dispostos verticalmente (colunas) ou horizontalmente (barras). 1 2 3 4 5 605101520b. de con. nao d.b. de con. durvelbens de consumobens inter.bens de capitais(%)indstria geralTaxas anuais de crescimento da produo industrial por categoria de uso - 2004 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 10 1234560 5 10 15 20ind. geralb. de con. nao d.b. de con. durvelbens de consumobens inter.bens de capitais(%)Taxas anuais de crescimento da produo industrial por categoria de uso - 2004 Grficoemcolunasou barrasmltiplasemprega-sequandosequerrepresentar, simultaneamente, dois ou mais fenmenos estudados com o propsito de comparao. 1 2 3 4 5020406080Distribuio percentual dos domiclios particularespermanentes, por forma de esgotamento sanitrio - 2004C.OESTESUL SUDESTE NORDESTE NORTE(%) R.GERAL O.FORMAS S.INSTALAO Grficoemsetoresconstitui-secombaseemumcrculo,eempregadosempre que desejamos ressaltar a participao do dado no total. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 11 Fonte: IBGE, pesquisa nacional por amostra de domiclios 2004 Distribuio percentual dos domiclios particulares permanentes, por forma de esgotamento sanitrio 2004 Regio Nordeste

Atividade 1 Defina histograma. 2 Construa um histograma para distribuio de freqncia:

3Definaumgrficoparaadistribuiodaidadede53alunosdafaculdadeCatlicado Tocantins.

x i 123456 f i 357941 Idade1718192021 No de Alunos32081210 sem instalacao16%rede geral46%outras f ormas38%sem instalao Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 12 Atividade final 1 Um banco, ao acaso, selecionou 20 contas de pessoas jurdicas em uma agncia, e obteve os seguintes saldos: 52.50018.30025.55043.800221505.5504.25016.50035.800 8.70025.55034.25046.50021.800770012.05014.2508.650 5.80025.550

Construaumatabelacomosdadosacima,emordemcrescente,separando-osemintervalos de 5.000, com o inicio no menor valor. 2Determineogrficodebarrasparaadistribuiodeumaamostradossalriosde40 funcionrios selecionados de uma empresa. ClasseSalrios (em R$)No de funcionrios ( f i ) 1 10001200 2 2 12001400 8 3 14001600 20 4 16001800 6 5 18002000 4 3 Construa um grfico, para o consumo de energia eltrica em uma empresa observando a seguinte tabela: MsConsumo (kwh) Janeiro650 Fevereiro800 Maro1100 Abril1300 Maio1350 Junho1400 4Determinarumgrficodebarras,observandoasreasdosestadosdaregiosudestedo Brasil, conforme esquema abaixo:

Estadorea(km2) So Paulo250.000 Minas Gerais590.000 Esprito Santo46.000 Rio de Janeiro44.000 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 13 i s iL L h =.) (min L .) (max L Ai s t =5Emumaeleio,concorreramoscandidatosA,B,C,eDe,apuradaumadeterminada urna, os votos foram os seguintes: A = 60 votos, B = 100 votos, C = 30 votos, D = 15 votos e brancos e nulos = 10 votos. A partir dessas informaes construa: a) uma tabela de freqncia dessa varivel; b) um grfico de barras, relacionando os valores da varivel com as respectivas freqncias absolutas; c)umgrficodesetores,relacionandoosvaloresdavarivelcomsuas porcentagens. Distribuio de Freqncia IntroduoParaumamelhorcompreensodasinformaesfornecidaspordadosestatsticos, principalmente quando se trabalhacom umagrande quantidade,agrupam-se esses dadosem nmeros de classes, intervalos e categorias. Podemosdefinirfreqnciacomoonmerodevezesemqueserepeteum determinado valor e, assim obtemos uma tabela de distribuio de freqncia. Quandosefalaemdistribuiodefreqncia,existemtermosdistintoscom caractersticasparticulares,queserodescritosabaixo,juntamentecomalgumasdefinies que iro nos auxiliar no processo de aprendizagem. Os termos a ser definidos so os seguintes: Classe ( i ) so intervalos em que ocorrem um determinado valor para a varivel. Limites de classe ( L ) so os extremos de cada classe (limite inferior Li e limite superior Ls) Amplitude de um intervalo de classe ( h i ) a diferena entre o limite de classe superior e o limite de classe inferior. Amplitudetotaldadistribuio(A t)adiferenaentreolimitesuperior(mximo)da ltima classe e o limite inferior (mnimo) da primeira classe. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 14 n 3 2 1n1 iix ... x x x x + + + = =Nestemomento,vamosabrirumparntesecomaintenodeapresentarmosuma ferramentaqueaindanofoivista.Essaferramentairnosauxiliarnacompreensodos prximos termos a serem definidos. Notao Sigma ( ) Muitos procedimentos estatsticos necessitam doclculo da soma de umconjunto de nmeros. Definio: Ex. Se uma varivel qualquer x tiver a seqncia de valores 2, 5, 7 e 8, ento x = 22. x = 2 + 5 + 7 + 8 = 22 ( x )2= ( 22 )2 = 484 x2 = 22 + 52 + 72 + 82 = 142 A leitura que devemos fazer=41 iix a soma dos valores da varivel x comeando com o primeiro ( i = 1 ) e terminando com o quarto ( i = 4 ): 4 3 2 141 iix x x x x + + + = =ento devemos somar todas as n observaes. 22 ) 2 5 ( ) 2 4 ( ) 2 3 ( ) 2 2 ( ) 2 x (52 ii= + + + + + + + = + = = + + ==31 i2 2 2 2i14 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( xAtividade 1 =312) 10 (iix 2 =74 iix 2Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 15 == + + + =k1 ik 2 1 in f ... f f f=iirfff =r i acf ou f f3 =63 iix 4 =52 ii) 3 x ( Agorajtemoscondiesdevoltarmossdefiniesdostermosquetnhamos proposto no incio desse tema. Freqncia simples ou absoluta ( f i ) o nmero de vezes em que se repete uma classe ou um determinado valor.A soma de todas as freqncias definida como: Freqncia relativa ( f r ) o quociente entre as freqncias simples e a total. OBS. A freqncia relativa tambm pode ser expressa em porcentagem, basta multiplicarmos o valor encontrado por cem (%). Freqncia acumulada ( f ac ) a soma definida entre a freqncia absolutaou relativa da sua classe com a classe anterior. Exemplos 1 Analisando a tabela de dados coletados, a respeito da idade de 50 alunos da primeira srie do ensino mdio, temos: Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 16 Dados Brutos 15171615171615171615 17151417151417151415 16161516161516161516 15151615151615151615 14141514141514141515 Rol 14141414141414141415 15151515151515151515 15151515151515151515 15161616161616161616 16161616171717171717 Tabela idadesfi f i acf r (%)f r ac (%) 1409091818 1522314462 1613442688 17065012100 2 De acordo com a tabela abaixo, represente a distribuio de freqncia com intervalo de classe. Dados brutos 79,99,9101071010810 66666,66,86,86,86,96,9 77787107777 8888788888 88888810888 5,9666666666 8888,488,78,9999 555,45,55,65,85,85,85,95,9 79,9777,77,87,87,988 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 17 n Q = Rol 555,45,55,65,85,85,85,95,9 5,9666666666 66666,66,86,86,86,96,9 7777777777 77777,77,87,87,988 8888888888 8888888888 8888,488,78,9999 9999999,59,89,89,9 9,99,99,910101010101010 Nmero de classes Onmerodeclassesdependemuitodashabilidadesdopesquisadoredas necessidades das respostas para uma varivel contnua. Aprimeirapreocupaonaconstruodeumadistribuiodefreqnciaa determinaodonmerodeclasseseconseqentementedaamplitudeedoslimitesdos intervalos de classe. Na realidade no existe uma regra fixa para determinar o nmero de classes adequado paraumadistribuio.Entretanto,paraminimizarasdificuldades,utiliza-searegrade Sturges, que permite determinar, empiricamente, o nmero de classes em funo do nmero de valores da varivel, de acordo com a equao abaixo: Q = 1 + 3,322 . log n Q o nmero de classes; n Numero total de dados; Onmerodeclassesdeveserumnmerointeiro,logo,quandoprecisooarredondamento deve ser feito para o inteiro superior. Critrio da raiz Paraumasriecomnelementos,indicaremosporQonmerodeclassesaser utilizado. Pelo critrio da raiz:

Obs. O nmero de classes sempre um nmero inteiro e, como n Q =em geral nunca um resultado inteiro, devemos arredondar para mais ou para menos conforme as necessidades. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 18 5 5 10 A.) (min L .) (max L Ati s t= = =10 Q100 Qn Q===5 , 0105QAht= = = Amplitude da classe A amplitude do intervalo de classe chamada de h e calculamos atravs da relao

QAht= Amplitude total Clculo de Q

Clculo do h Tabela Classes Notasf i f iac f r ( % )f rac( % ) 1 5,0 5,5 3333 2 5,5 6,0 811811 3 6,0 6,5 13241324 4 6,5 7,0 630630 5 7,0 7,5 14441444 6 7,5 8,0 448448 7 8,0 8,5 26742674 8 8,5 9,0 377377 9 9,0 9,5 986986 10 9,5 10,0 1410014100 Atividade final 1 Um dado lanado 10 vezes, tendo-se obtidoos seguintes pontos: 6, 4, 2, 3, 3, 1, 5, 6, 2, 4. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 19 Formuleumatabeladedistribuiodefreqnciasabsolutaerelativaetambmde freqncias acumuladas relativa e absoluta. 2 Os salrios semanais, em reais, de 15 funcionrios de um frigorfico so: 76, 88, 72, 80, 76, 68, 72, 84, 80, 76, 72, 92, 80, 76, 72. Elaboreumatabeladedistribuiodefreqnciasabsolutaerelativae,tambm,de freqncias acumuladas relativa e absoluta. 3 Complete a distribuio com as freqncias absoluta e relativa e, tambm, de freqncias acumuladas relativa e absoluta, para a tabela abaixo que representa uma amostra dos salrios de 25 funcionrios selecionados em uma empresa. ClasseSalriosNo de Funcionriosf iacf r (%)f rac (%) 1 1000 1200 2 2 1200 1400 6 3 1400 1600 10 4 1600 1800 5 5 1800 2000 2 4 Complete a distribuio com as freqncias absoluta e relativa e, tambm, de freqncias acumuladasrelativaeabsoluta,paraatabelaabaixoquerepresentaosaldode25contasde pessoas fsicas em uma agncia bancria em um determinado dia. ClasseSaldosNo de funcionriosf iacf r (%)f rac (%) 1 0 10.000 5 2 10.000 20.000 10 3 20.000 30.000 8 4 30.000 40.000 2 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 20 Medidas de Tendncia Central IntroduoQuando estamos estudando uma distribuio de freqncia, podemos localizar a maior concentrao dos valores dessa distribuio, e afirmar se essa concentrao ocorre no incio, no meio, no fim ou, ainda, se a distribuio uniforme. Dentre as medidas de posio com maior importncia, esto as medidas de tendncia central, das quais iremos destacar, neste tema, a mdia, a moda e a mediana. Mdia( ) xSem intervalo de classe A mdia a medida de tendncia central mais simples que temos em estatstica. Onde( ) x ovalormdiodavarivel,xosvalorespossveisdavarivelena quantidade de valores. Exemplo 1 Qual a mdia final do aluno, que obteve as seguintes notas durante o ano letivo: X1 = 8,0X2 = 7,0X3 = 5,0 eX4 = 8,0 2 Em uma sala de aula de 10 alunos, foi realizada uma prova, e foram apresentadas as seguintes notas: Qual a mdia da turma. 85896 67567 nX X XnXXn 2 1 i+ + +=E=...0 742848 5 7 84X X X XnXX4 3 2 1 i, = =+ + +=+ + +=E=7 61067107 6 5 7 6 6 9 8 5 8nXXi, = =+ + + + + + + + +=E=Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 21 Atividade 1Emumaempresa,foiselecionadaumaamostrade10funcionriosdo departamento pessoal, para saber o salrio mdio mensal. Observe o quadro abaixo e calcule a mdia salarial dos funcionrios selecionados. Obs. O desvio em relao mdia a diferena entre cada elemento e a mdia. Calculando o desvio para o exemplo 1, temos: 1 7 8 d1= = 0 7 7 d2= = 2 7 5 d3 = =1 7 8 d4= = Mdia ponderada( ) p X : Nestecaso,amdiachamadadeponderada,emfunodequecadavalorest associadoaumfatordeponderao,ouseja,cadavalortemumaimportnciadiferenciada dentro do fenmeno. Onde( ) P x ovalordamediaponderadadavarivel,xosvalorespossveisdavarivele iP E o somatrio dos pesos da varivel. Exemplo FuncionrioSalrio AR$ 1.000,00 BR$ 2.000,00 CR$ 1.000,00 DR$ 5.000,00 ER$ 3.000,00 FR$ 1.200,00 GR$ 1.800,00 HR$ 2.000,00 IR$ 1.700,00 JR$ 1.300,00 in n 1 1ii iPPP X .... P XPP XXE+ +=EE=x x di i =Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 22 1Deacordocomasnotaseseuspesosapresentadosnaplanilhaabaixo,calculea mdia. Atividade1 A tabela abaixo nos d a carga horria semanal dos funcionrios de uma empresa. Calcule a carga horria semanal mdia dos funcionrios dessa empresa. N de funcionriosCarga hor. semanal 108 2011 307 405

Com intervalo de classe Neste caso, definimos um valor mdio (mdia aritmtica) para o intervalo da classe e, ento, determinamos a mdia aritmtica ponderada, atravs da equao: Onde( ) x o valor da mdia ponderada da varivel, xc e a mdia aritmtica de cada classe, f i a freqncia relativa quela classe e if Eo somatrio dos das freqncias. Exemplo 1 A tabela abaixo apresenta a distribuio das estaturas de 20 alunos de uma Universidade Estadual.Podemos,comessasinformaes,calcularamdiadasestaturasdosestudantes dessa Universidade. NotasPesos 5,01 8,02 7,03 6,04 i Estaturas (cm) fi xc fi xc 1150 1604155620 ( ) ( ) ( ) ( )6 610661024 21 16 54 3 2 14 6 3 7 2 8 1 5Xp ,. . . .= =+ + +=+ + ++ + +==iicff xXEstatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 23 Atividade 1 Qual a mdia de idade de um grupo em que h 10 pessoas de 26 anos, 5 pessoas de 18 anos, e 9 pessoas de 32 anos? 2 Considere a distribuio abaixo, referente ao custo de produo de algumas peas de uma determinada indstria automobilstica e calcule o preo mdio dos custos dessa indstria. Custos(R$) Freqncia (f) 45558 556510 657511 758516 859513 951055 1051151 Moda (Mo) ovalordemaiorfreqnciaemumadistribuiodevalores,ousejaovalorque maisserepete.Essevalorpodeserencontradodeduasformasdiferentes,comovamos acompanhar a partir de agora. Sem intervalo de classe Exemplo 1- Distribuio de dados: 2160 170101651650 3170 18061751050 = 20 = 3320 cm 166203320ff xXiic= = =Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 24 Mo = 15 O valor que mais se repete, o 15. O 15 a moda dessa distribuio. 2 Distribuio de dados: 1215181512 1521123415 1233153412 1512153612 1215441512 Observamosqueosnmeros12e15serepetem9vezes.Nestecasoteremosduas modas. Mo1 = 12 e Mo2 = 15( bimodal ) OBS. No caso em que no h elementos repetidos na distribuio de valores, definimos como distribuio amodal. Com intervalo de classe Neste caso, a moda encontrada atravs da mdia aritmtica entre os limites da classe modal (classe que aparece com maior freqncia), isto : Exemplo 1 A tabela abaixo apresenta a distribuio das estaturas de 20 atletas de uma equipe de futebol. Podemos, com essas informaes, calcular a moda das estaturas desses jogadores. 1215151416 1716181519 1516191711 1215191515 2L LMos i +=Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 25 cm 16523302170 160Mo = =+= iEstaturas (cm) fi 1150 1604 2160 17010 3170 1806 = 20 Portanto a moda ser: Atividade 1 Encontre a moda das seguintes series: a) A: 7; 5; 2; 5; 4; 3; 2; 5. b) B: 2; 5; 9; 12; 10; 8. c) C: 10; 10; 10; 11; 6; 6; 6; 7; 4; 5; 9; 8; 8; 8. d) D: 12; 3; 4; 9; 5; 4; 12. 2Adistribuioabaixorepresentaaquantidade,emKg,davendadefarinhadetrigoem uma promoo de um supermercado que limitou em 5 Kg por consumidor. Encontre a moda dessa distribuio. ClasseConsumo em Kg N0 de consumidores 10 112 21 215 32 321 43 432 54 554 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 26 Mediana( ) Md o valor do elemento que ocupa a posio central da distribuio, ou seja, ela divide um conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais. A metade dos valores menores que a mediana e a outra metade ter valores superiores mediana. Sem intervalo de classe Nmero mpar de valores o valor central. De acordo com a distribuio de dados abaixo, vamos encontrar a mediana. 1, 12, 15, 24, 2, 3, 45, 25, 32, 65, 11, 14, 63, 24, 50 Antes deencontrarmos a mediana, devemos ordenar os valores em ordem crescente(o mais comum) ou decrescente. 1, 2, 3, 11, 12, 14, 15, 24, 24, 25, 32, 45, 50,63, 65 Portanto, a mediana o valor que ocupa a posio 8, que no caso do exemplo Md = 24. Nmero par de valores o ponto mdio entre os dois valores centrais. De acordo com a srie de valores, encontraremos a mediana da seguinte forma: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 A mediana ser a mdia aritmtica entre os valores 10 e 12. Com intervalo de classe Consistenadeterminaodaclasseemqueseencontraamediana.Paratanto,tal classedeterminadapelafreqnciaacumuladaimediatamentemaiorqueaencontrada atravs da relao: Exemplo 11222212 10Md = =+=2fi Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 27 cm 175 5 170 Md = + =1 A tabela abaixo apresenta a distribuio das estaturas de 48 alunos de uma Universidade Estadual.Podemos,comessasinformaes,calcularamedianadasestaturasdosestudantes dessa Universidade. i Estaturas (cm) fi fiac 1150 16044 2160 1701014 3170 1802034 4180 190640 5190 200646 6200 210248 48 Temos que a classe mediana, indicada pela seta, a terceira. Para encontrar o valor da mediana,devemosefetuaradiferenaentreovalorcalculadoacima(24)eafreqncia acumulada anterior quela encontrada (14), depois dividir esse valor pela freqncia absoluta da classe (20) e ento multiplicar pelo intervalo da classe (10). 5 10 x2014 24=eamedianaserencontradapelasomadolimiteinferiordaclasse mediana, mais o valor encontrado acima. Assim, podemos calcular a mediana dos dados de uma distribuio com intervalos de classe, devemos utilizar a seguinte frmula: ***) (2fh ant FfMdi-(((

+ = Onde: * o limite inferior da classe mediana; ) (ant Ffreqncia acumulada da classe anterior classe mediana; *f a freqncia simples da classe mediana; 242482fi= =Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 28 *h a amplitude do intervalo da classe mediana; Calculando o exemplo anterior temos: 1752010 14248170 =-((

+ = Md Atividade 1 Encontre a mediana dos seguintes dados: 20, 17, 15, 13, 12, 10, 10, 17, 12, 10 2Deacordocomadistribuiodasreas,emalqueires,docultivodelavourasdeuma determinada regio, calcule a mediana da distribuio. Atividade final 1 Se um aluno da Faculdade Catlica do Tocantins, fez duas provas e obteve as notas 7,0 e 3,5,qualdeveseranotadaterceiraprovaparaqueamdiaaritmticadastrsprovasseja igual a 6,0? 2SeumsalriomdioanualpagoaosquatroadministradoresdeumaempresaR$ 138.000,00, algum deles poder receber anualmente mais de R$ 430.000,00? XF 0 2030 20 4035 40 6060 60 8035 80 10015 100 1208 120 1402 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 29 3Umempregadoperdeuumadas10notasdecompras,feitanahoradoencerramento.O valor mdio das notas era de R$ 7,20, e as nove outras notas tinham os seguintes valores em reais: 4,80; 7,10; 7,90; 9,55; 4,45; 5,72; 7,54; 8,34; 9,70. Qual o valor da nota perdida? 4 De acordo com a distribuio de freqncia abaixo encontre a sua mdia aritmtica: 5 Uma amostra de 20 operrios de uma indstria apresentou os salrios em reais, recebidos emumdeterminadoms,arredondadosparaorealmaisprximoeapresentadosemordem decrescente: 1000, 980, 950, 890, 880, 800, 780, 760, 730, 670, 560, 550, 520, 510, 500, 480, 460, 420, 400 e 300. Calcular a mediana. 6Calculeamedianadadistribuiodonmerodeacidentespordia,observadosem determinado cruzamento, durante 40 dias. No de acidentes por diaNo de dias 030 15 23 31 41 7 Uma empresa selecionou um total de 54 notas fiscais, durante um dia, e obteve o seguinte quadro: ClasseConsumo por notaNo de notas 10 5010 250 10028 3100 15012 4150 2002 5200 2501 62503001 Classesfreqncia 20405 406010 608012 801008 1001202 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 30 Determinar a mediana da srie Separatrizes IntroduoVimos que a mediana, alm de ser, por definio, uma medida de posio central, traz consigo uma outra definio, tambm importante, que a de separar dois grupos com mesmo nmero de valores. Outrasmedidasligadasmediana,emrelaosuasegundadefinio,soos quartis, decis e percentis tambm chamadas de separatrizes. Quartil (Q) So valores que dividem a srie em quatro partes iguais. Temos trs quartis: Primeiroquartil(Q1 )soosprimeiros25%dosdadosquesomenoresqueosoutros 75% restantes. Segundo quartil ( Q2 ) o valor que coincide com a mediana. Terceiro quartil ( Q3 ) valor que corresponde aos 75% dos dados que so menores que os 25% restantes. Para o clculo dos quartis, usamos a equao, anloga a equao da mediana.

onde k a ordem do quartil. Exemplo Determinar o primeiro e terceiro quartil, da distribuio abaixo. i Estaturas (cm) fi fiac 1150 16044 2160 1701014 3170 1802034 4180 190640 5190 200646 6200 210248 = 48 4f kiEstatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 31 10f ki Primeiro quartilTerceiro quartil Atividade 1Ospesosdeumaamostrade10envelopesdeumaempresadeserviospostais,medido em gramas, so: 21,18, 30, 40, 12, 37, 25, 13, 15 e 19. Determine: a) o primeiro quartil; b) o terceiro quartil. Decil (D) Paradeterminarmosodecil,usaremosomesmoraciocniodoclculodoquartil, apenas substituindo o denominador 4 por 10, na equao abaixo. Atividade 1 Dada a tabela abaixo, determinar os valores: a) do primeiro decil. b) do stimo decil. Horas Nmero de Ferramentas 0252 25504 507512 7510030 10012518 1251504 12448 . 14f ki= =( )1681010 . 4 12160 Q1=+ =36448 . 34f ki= =( )34 , 183610 . 34 36180 Q3=+ =Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 32 100f ki 100f ki 2 , 710048 . 15100f ki= =( )2 , 163 2 , 3 160 P1010 . 4 2 , 7160 P1515= + =+ =c) do quarto decil. Percentil (P) Ospercentissoosnoventaenovevaloresqueseparamumasrieem100partes iguais. De maneira anloga ao clculo da mediana usaremos o seguinte procedimento: onde o k nmero de ordem do percentil. OBS.: P50 = Md; P25 = Q1; P75 = Q3 Exemplo 1 Dada a tabela a seguir, determinar o 15 percentil. i Estaturas (cm) fi fiac 1150 16044 2160 1701014 3170 1802034 4180 190640 5190 200646 6200 210248 = 48 OBS. A classe que contm este valor a primeira classe cuja a freqncia acumulada excede. como k = 15, temos: A classe que contm a freqncia acumulada superior a 7,2 a segunda. Atividade final Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 33 1 Os pesos de uma amostra em uma empresa de servios postais medido em gramas so 21, 18, 30, 40, 12, 37, 25, 13, 15 e 19. Determine: a) o peso no 70o percentil; b) o peso no 85o percentil. 2 Dada a tabela abaixo, relativa a emprstimos pessoais, determinar os valores do 30o e do 90o percentis. Montante(R$) Nmero de Emprstimos 30070013 700110011 110015006 150019005 190023003 230027001 270031001 3 Em geral, qual o quartil, o decil e o percentil que so, respectivamente, iguais a mediana? 4 Dada a tabela abaixo, determinar o valor do primeiro decil. Km / lNmero de viagens 08103 10125 121412 14164 16182 = 26 Varincia e Desvio-Padro IntroduoAvarinciaeodesviopadroconsideramtotalmenteosvaloresdavarivelem estudo. A base da varincia gira em torno da mdia aritmtica, determinando assim a mdia aritmtica dos quadrados dos desvios. Quandosubstitumosaexpresso x xipor ( )2ix x ,estamosobtendoumanova medidadedispersodenominadadevarincia.Ento,avarinciaumamdiaaritmtica Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 34 ( )nx xV2i 2= ( )nx xV2i =( )nx xV2i =5 , 545 8 5 4nXXi=+ + += = ( )( )( )( ) 25 , 0 ) 5 , 5 5 ( x x25 , 6 ) 5 , 5 8 ( x x25 , 0 ) 5 , 5 5 ( x x25 , 2 ) 5 , 5 4 ( x x2 2i2 2i2 2i2 2i= = = = = = = = calculadaapartirdosquadradosdosdesviosobtidosentreoselementosdasrieeasua mdia.Para a determinao da varincia (V), usaremos a seguinte equao: Odesviopadroaraizquadradapositivadavarincia,quemostradonaequao abaixo: OBS.Paraoclculodavarinciaedodesviopadro,devemostomarprecauesquando estamosdiantedosdadosdetodapopulaooudeapenasumapartedessesdados,quea amostra. Clculo da Varincia e Desvio Padro Dados brutos ou rol 1 possibilidade. A srie representa uma populao, ento o desvio padro ser encontrado atravs da equao: Exemplo Determinaro desvio padro da seqncia 4, 5, 8, 5. 1 passo 2 passo Calcular ( )2ix x Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 35 ( )unidades 5 , 12349nx xV2i= = ==( )1 nx xV2i=( ) =ii2iff x xV( )=1 ff x xVii2i O somatrio de( )2ix x igual a9 3 passo 2 possibilidade Seasriededadosrepresentarumaamostradapopulaoapenas,devemosutilizar para o clculo do desvio padro a seguinte equao:

Varivel DiscretaAquisurgemarepetiodostermosdasrie,eavarinciapassaaserumamdia aritmtica ponderada dos quadrados dos desvios dos termos da srie para a mdia da srie. 1 possibilidade A varivel discreta representativa de uma populao e o desvio padro calculado atravs da equao 2 possibilidade Avariveldiscretarepresentativadeumaamostradapopulaoeodesviopadro determinado por intermdio da equao Exemplo Na tabela de dados abaixo com distribuio de freqncia, determinar o desvio padro. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 36 ( ) =ii2cff . x xV( )=1 ff . x xVii2c24 , 32581ff xxii i= = =

Varivel Contnua 1 Possibilidade Paraumavarivelcontnuarepresentativadeumapopulao,aequaoutilizadaparao clculo ser 2 possibilidade Paraumavarivelcontnuarepresentativadeumaamostradapopulaoutilizamosa seguinte equao Exemplo Determine o desvio padro para a distribuio de freqncia a seguir x i f i f i x i i2if . ) x x ( 12210,03 25107,68 38240,46 46243,46 53159,29 6167,61 = 25= 81= 53 , 38 classeInt. cl.f i 10 41 24 83 38 125 412 161 classeInt. cl.f i x c x c f i i2cf . ) x x ( 24 , 1 5412 , 12553 , 38vff . ) x x (Vii2i= = ==Avariavel(xc)queaparecena equao do desvio padro para varivelcontnua,amdia aritmtica de cada classe. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 37 ( )2 , 3 v104 , 102Vff . x xVii2c== ==4 , 81084ff xxii i= = = Soluo: Atividade 1 Em uma classe, as notas obtidas pelos alunos foram agrupadas da seguinte maneira: x02244668810 f26831 Encontre a varincia e o desvio padro. Consideraes importantes Avarinciasempredadanoquadradodaunidadedemedidadadistribuio.Isso nemsemprefazsentido;comoexemplotemosumadistribuioemlitros,entonofaz sentido falar em litros quadrados.Mas quando extramos a raiz quadrada da varincia vamos obter a unidade de acordo com a unidade da distribuio. Ento a varincia no tem interpretao, mas o desvio padro sim. Atividade final 1 Em um concurso, o critrio de aprovao leva em considerao a mdia e o desvio padro apsarealizaode4provas.Calculeamdiaeodesviopadrodeumcandidatoquenas provas obteve 50 pontos na primeira prova, 72 na segunda prova, 63 na terceira prova e 55 na quarta prova. 10 412240,96 24 8361817,28 38 125105012,80 412 161141431,36 = 10=84= 102,4 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 38 2 Um especialista em padres de qualidade observa, em um escritrio, o tempo necessrio para digitar uma amostra de 10 ofcios, com os resultados de tempo com a seguinte descrio: 5, 5, 5, 7, 9, 14, 14, 15, 15, 18. Determinar: a) a varincia; b) o desvio padro. 3 Na tabela de dados abaixo, com distribuio de freqncia, definir a varincia e o desvio padro. x i f i f i x if i x i2 1222 251020 382472 462496 531575 61636 = 25 = 81 = 301 4Construaadistribuiodefreqnciaparaasrieabaixoquerepresentaosaldode25 contas de pessoas fsicas em uma agncia em determinado dia. Assimetria e Curtose IntroduoOestudodessasmedidasdedispersoirnosdarumamelhordimensodousodas medidasdeposio,comoamdia,modaemediana,assimcomomelhorartambmnossa anlise de uma distribuio atravs de grficos. Assimetria ClasseSaldosNmero de funcionrios 1 010.0005 210.00020.00010 320.00030.0008 430.00040.0002 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 39 f Mo x Quandoadistribuioforsimtrica,amdiaeamodacoincidem;quandoelafor assimtrica esquerda ou negativa a mdia menor que a moda e quando for assimtrica direita ou positiva a mdia maior que a moda como mostram as figuras abaixo. No caso (a) a distribuio classificada de simtrica. No caso (b) a distribuio classificada de assimtrica positiva. No caso (c) a distribuio classificada de assimtrica negativa. Para termos um parmetro quantitativo a respeito da assimetria, basta fazermos a diferena entre a mdia e a moda da distribuio.

Com o resultado dessa diferena, temos a seguinte classificao: 0 Mo x = Distribuio simtrica. 0 Mo x < Distribuio assimtrica negativa. 0 Mo x > Distribuio assimtrica positiva. f x o dM M x = =xx M Md o< < f (a) x o dM M x < < f (c) (b) Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 40 4 , 10 V175 Mo175 Md175 x1111= ===5 , 9 V185 Mo25 , 181 Md85 , 178 x2222====5 , 9 V165 Mo75 , 168 Md15 , 171 x3333= ===v) Md X ( 3AV=Distribuio 1Distribuio 2 Distribuio 1 Exemplo i Estaturas (cm) fi i Estaturas (cm) fi i Estaturas (cm) fi 1 150 160 41 150 160 41 150 160 4 2 160170 102 160 170 102 160 170 40 3 170 180 203 170 180 203 170 180 20 4 180 190 104 180 190 404 180 190 10 5 190 200 45 190 200 45 190 200 4 = 48 = 78 = 78 Logo: 1. 0 175 175 Mo x11 = = (distribuio simtrica). 2. 15 , 6 185 85 , 178 Mo x22 = = (assimtrica negativa). 3.15 , 6 165 15 , 171 Mo x33 + = = (assimtrica positiva). Coeficiente de Assimetria(ou coeficiente de Pearson) Paramelhorcompararmosduasoumaismedidasdedisperso,usaremoso coeficiente de assimetria definido por: Para efeito de comparao, usaremos o exemplo anterior das distribuies 1, 2 e 3. 04 , 10) 175 175 ( 3A1 v== (distribuio simtrica) 75 , 05 , 9) 25 , 181 85 , 178 ( 3A2 v == (distribuio assimtrica negativa) 75 , 05 , 9) 75 , 168 15 , 171 ( 3A3 v+ == (distribuio assimtrica positiva) Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 41 Leptocrtica MesocrticaPlaticrtica ) P P ( 2Q QC10 901 3=Atividade1Emumaempresadeprodutosdelimpeza,foramlevantadososseguintesdadosem relao aos seus trs principais produtos de vendas, como mostra a tabela abaixo: Produtos xMo A5252 B4550 C4846 Determineotipodeassimetriadecadaumdosprodutosusandoadiferenaentrea mdia e a moda. ComentrioEsta uma atividade simples e prtica para a aplicao imediata da definio. Curtose o grau de achatamento de uma distribuio em relao a uma distribuio padro. Coeficiente de Curtose Tambmconhecidocomocoeficientepercentlicodecurtose,queencontrado atravs da equao:

Obs.: lembramos que Q1 , Q3 , P10e P90 so separatrizes vistas no tema 05. O coeficiente percentlico para curva normal dado pelo valor 0,263. Logo:C = 0,263 Curva mesocrtica; Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 42 C < 0,263 Curva leptocrtica; C > 0,263 Curva platicrtica. Exemplo Deacordocomasdistribuiesnatabelaabaixo,calculeosgrausdecurtosee classifique as distribuies em relao a curva normal. DISTRIBUIESQ1 Q3 P10 P90 128,845,620,549,8 28149357721012 363,780,35586,6 287 , 0) 5 , 20 8 , 49 ( 28 , 28 6 , 45) P P ( 2Q QC10 901 31===(A distribuio 1 platicrtica) 252 , 0) 772 1012 ( 2814 935) P P ( 2Q QC10 901 32===(A distribuio 2 leptocrtica) 263 , 0) 55 6 , 86 ( 27 , 63 3 , 80) P P ( 2Q QC10 901 33===(A distribuio 3 mesocrtica) Atividade 1Determinarograudecurtosedadistribuioabaixo,calculadopeloseucoeficientede curtose. Montante( R$ )Nmero de emprstimos 30070013 700110011 110015006 150019005 190023003 230027001 270031001 Atividade Final 1Comrelaoaopesode100funcionriosdeumadeterminadaempresa,determineo coeficiente de assimetria. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 43 2Determinarocoeficientedeassimetriaparaosmontantesdeemprstimos,conforme tabela abaixo: 4 Classifique quanto assimetria, a distribuio abaixo, segundo o coeficiente de Pearson. x i2345678 f i 24610642 Teorias das probabilidades Vamos considerar os seguintes experimentos: -Um corpo de massa m, definida sendo arrastado horizontalmente por uma fora qualquer, em um espao definido. -A queda de um corpo de uma altura definida. Seconhecermoscertascondies,podemosfacilmentedeterminarotrabalhorealizadopela fora, sobre o corpo ou ainda determinar a velocidade com que o corpo em queda livre atinge o solo. Osexperimentoscujosresultadospodemserprevistos,isto,podemserdeterminados antes de sua realizao, so denominados experimentos determinsticos. Vamos considerar tambm alguns outros experimentos: Pesos N de func. 50 60 10 60 70 25 70 80 40 80 90 25 Montante( R$ ) Nmero de emprstimos 30070013 700110011 110015006 150019005 190023003 230027001 270031001 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 44 -Lanamento de um dado e a leitura da face voltada para cima. -Lanamento de uma moeda e a leitura da face voltada para cima. -Nascimento de uma criana. Casoessesexperimentosfossemrealizadosvriasvezes,nasmesmascondies,no poderamos prever seu resultado. Experimentosquesorealizadosvriasvezes,semumaprevisolgicadeseus resultados so denominados experimentos aleatrios. Os experimentos aleatrios esto sujeitos lei do acaso. Como no podemos prever os resultados, vamos descobrir as chances de ocorrncia de cada experimento aleatrio. A teoria da probabilidade estuda a forma de estabelecer as chances de ocorrncia de cada experimento aleatrio. Elementos Narealidadedeumexperimentoaleatrio,afimdeobservaraocorrnciadeum determinado tipo de resultado, dois conjuntos descrevem a situao: Espao amostral o conjunto U de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio equiprovvel.. O nmero de elementos desse conjunto indicado por n(U)Exemplos: 1 - Joga-se uma moeda para cima e l-se a figura da face voltada para cima. .U = {cara, coroa} e n(U) = 2 2 Joga-se um dado comum e l-se a face voltada para cima. U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} e n(U) = 6 3 No sorteio de umadas dezenas da loto, U = {00; 01; 02; . . .; 99} e n(U) = 100. CARACOROA Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 45 4Nosorteiodedoisdadosdiferentes.U={(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;1), (2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;1),(3;2).(3;3),(3;4),(3;5),(3;6),(4:1),(4;2),(4;3),(4;4), (4;5), (4;6), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)} e n(U) = 36. Evento: qualquer subconjunto do espao amostral U.Assim, no lanamento de um dado, por exemplo, o evento obter um nmero maior ou igual a 4 dado por A = {4; 5; 6}, subconjunto deU = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Quando A = U, o evento certo. Exemplo 1: No lanamento de uma moeda, A = {cara, coroa} um evento certo: n(A) = n(U) Quando A = C, o evento impossvel. Exemplo 2: Obter 7 no lanamento de um dado impossvel Quando A A == U e A A = C, os eventos A e Aso complementares. Exemplo 3: No lanamento de um dado, sendo A = {2;4;6} o evento obter um nmero par e A= {1;3;5} o evento obter um nmero mpar, temos: AA = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = U e A A= C Assim, A e Aso eventos complementares. Exerccios 1 Determinar o espao amostral do experimento aleatriolanamento simultneo de duas moedas. 2 -Considerando o experimento aleatrio nascimento de 3 filhos de um casal, determinar o espaoamostraleosubconjuntoquerepresentaoeventonascimentodeexatamente2 meninos em 3 filhos do casal. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 46 3 No lanamento simultneo de 2 dados diferentes, determinar os seguintes eventos: a)nmeros iguais nos dois dados: b)nmeros cuja soma seja 2: c)nmeros cuja soma seja 3: d)nmeros cuja soma seja 7: e)nmeros cuja soma seja 13: 4Determinaroespaoamostraldoexperimentoaleatriolanamentodeumdadoeuma moeda e o evento cara e um nmero mpar. Probabilidade Se, em um experimento aleatrio equiprovvel, o nmero de elementos do espao amostral U e n(U) e o nmero de elementos do evento A n(A). Ento a probabilidade de que ocorra o evento A dada pelo nmero real P(A), tal que: ) () () (U nA nA P = Portanto, a probabilidade de um vento dada pelo quociente da diviso do nmero de casos favorveis pelo nmero de casos possveis. Exemplo Considerando: a)o lanamento de um dado e o evento obter um nmero primo, temos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, n(U) = 6, A = {2; 3; 5} e n(A) = 3 Assim: 2163) () () ( = = =U nA nA Pb)o lanamento de uma moeda e o evento obter cara, temos: U={cara;coroa},n(U)=2,A={cara}en(A)=1,ouseja.Umcasofavorvelpara2 casos possveis. Assim: Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 47 21) () () ( = =U nA nA P c)olanamentode2moedaseoeventoocorrercarapelomenosumavez,e representando cara por C e coroa por D, temos: U={(C:C),{C;D),(D;C),(D;D)},n(U)=4,A={(C;C),(C;D),(D;C)}en(A)=3,ou seja 3 casos favorveis para 4 casos possveis. Assim: 43) () () ( = =U nA nA P Propriedades: 1 - Se A = C, ento n(A) = 0 e , portanto. P(A) = 0 (probabilidade de evento impossvel). 2 Se A = U, ento n(A) = n(U) e P(A) =1 (probabilidade do evento certo). 3 Se A c U, ento 0 n(A) n(U). Dividindo a desigualdade por n(U) 0, temos: 1 ) ( 0) () () () () (0s s = s A PU nU nU nA nU n Aprobabilidadedeumeventosempreumnmeroentre0(probabilidadedoevento impossvel) e 1 (probabilidade do evento certo). 4 Se A e A so eventos complementares, ento n(A) + n(A ) = n(U). Dividindo a igualdade por n(U) 0, temos: 1 ) ( ) () () () () () () (= + = =A P A PU nU nU nA nU nA n Exemplo: SendoAoeventoocorrerumnmeroparnolanamentodeumdadoe A oevento ocorrer um mpar, temos: A = {2; 4; 6} e A= {1; 3; 5} A e A so complementares, pois n(A) + n(A ) = n(U) = 6 e P(A) = P(_A )2163= = , Assim: Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 48 12121) ( ) ( = + = +A P A PExerccios: 1Naescolhadeumnmerode1a30,qualaprobabilidadedequesejasorteadoum mltiplo de 5? 2 Qual a probabilidade de, no lanamento simultneo de dois dados diferentes, obtemos a soma 7? 3 (FGV-SP) No jogo da Sena seis nmeros distintos so sorteados dentre os nmeros 1, 2,3,...,50.Aprobabilidadedeque,numaextrao,osseisnmerossorteadossejam mpares vale, aproximadamente: 3Aojogarmos2dadosdistintos,qualaprobabilidadedeobtermospontosdiferentes nos 2 dados? 4Umaurnatem3bolasbrancase4azuis.Retirandoaoacaso2bolas,quala probabilidade de ambas serem brancas? Soma de Probabilidades Se A e B so 2 eventos de um espao amostral U, sabemos que n(AB) = n(A) + n(B) n(A B). Dividindo essa igualdade por n(U) 0, temos: ) () () () () () () () (U nB A nU nB nU nA nU nB A n + =

ou ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P + = Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 49 Obs:Se A B = C, os eventos so mutuamente exclusivos, isto , P(A B) = P(C) = 0. Da: ) ( ) ( ) ( B P A P B A P + = Exempo: Qualaprobabilidadedesejogarumdadoeseobteronmero3ouumnmero mpar. O espao amostral U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} n(U) = 6 Ocorrncia do nmero 3 A = {3} n(A) = 1 Os eventos so: Ocorrncia de um nmero mpar B = {1; 3; 5}n(B) = 3 2163616361) () () () () () () () () ( ) ( ) ( ) (1 ) ( } 3 {= = + = + = + = = = B A PU nB A nU nB nU nA nB A PB A P B P A P B A PB A n B A ou P(AB) = 50% Outro mtodo O evento ocorrncia de nmero 3 ou nmero mpar: A = {1; 3; 5}n(A) = 3 Logo: 1 B 5 3 A U 2 46 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 50 % 502163) () () ( = = = =U nA nA PSe A B = C e AB = U ento A e B so chamados eventos exaustivos.Neste caso alm de P(A B) = 0 temos tambm P(AB) = P(U) = 1. Logo: 1 ) ( ) ( ) ( = + =B P A P B A P Exerccios: 1 Sorteando um nmero de 1 a 30, qual a probabilidade de que ele seja par ou mltiplo de 3? 2-Qualaprobabilidadede,umjogodedomin(28pedras),serjogadaumapedra que tenha o nmero 2 ou o nmero 3? 3(Unesp-SP)Lanando-sesimultaneamentedoisdadosnoviciados,aprobabilidadede que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou a 9 : 4 Um grupo de 100 pessoas apresenta a seguinte composio: LoirasMorenasTotal Olhos azuis102030 Olhos castanhos304070 Total4060100 Marcando-seumencontrocomumadelas,escolhendooseunomeaoacaso,quala probabilidade de sair: a)Loira. b)Loira de olhos castanhos e morenas de olhos azuis. 5Aolanarumdadomuitasvezes,umapessoapercebeuqueaface6saiucomo dobrodafreqnciadaface1equeasoutrasfacessaiamcomafreqnciaesperada em um dado no viciado. Qual a freqncia da face 1? Distribuio de Probabilidade Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 51 Vamosiniciaronossoestudoanalisandoumexemplo,paraquepossamosdaralgumas definies essenciais para a continuidade da apresentao desta unidade. Considerandoumadistribuiodefrequnciasquesereferemaonmerode ocorrncias policiais dirias em um determinado bairro de uma cidade hipottica: N0 de ocorrnciasFrequncias 029 111 26 34 = 50 A probabilidade de, em um dia: -No registrar ocorrncias : 58 , 05029p = =-Registrar uma ocorrncia : 22 , 05011p = =-Registrar duas ocorrncias : 12 , 0506p = =-Registrar trs ocorrncias : 08 , 0504p = =Reescrevendo a tabela anterior, temos: N0 de ocorrnciasProbabilidades 00,58 10,22 20,12 30,08 = 1 Esta tabela denominada distribuio de probabilidade. Seja X uma varivel aleatria que pode assumir os valores x1, x2, ..., xn. A cada valor xi correspondem pontos do espao amostral. Associamos a cada valor xi a probabilidade pi de ocorrnciadetaispontosdentrodoespaoamostral.Comovimosnoexemploanterior, vamos ter: =1 pi Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 52 Assimosvaloresx1,x2,...,xn eseuscorrespondentesp1,p2,...,pn definemuma distribuio de probabilidade. Depoisdedefinirmosadistribuiodeprobabilidade,estamosento,estabelecendo uma correspondncia entre os valores da varivel aleatria X e os valores da varivel P. Fica assim, definida uma funo. ) x X ( P ) x ( fi= = Distribuio Normal de Probabilidade Estadistribuiotericaumadasmaisutilizadasempesquisasscioeconmicas,e para melhor entend-la, vamos descrever algumas de suas caractersticas principais a seguir: -ValoresdavarivelaleatriaXmaisprximosdamdiax ocorremcommaior frequncia. -Valores da varivel aleatria X simtricos em relao mdia ocorrem com a mesma frequncia. -A regio definida pelo grfico tem rea unitria. -Como a curva simtrica em torno dex , a probabilidade de ocorrer valor maior que a mdia igual probabilidade de ocorrer valor menor que a mdia, ou seja, ambas as probabilidades so iguais a 0,5. Ento,5 , 0 ) x X ( P ) x X ( P = < = >AcurvaquerepresentaestascaractersticasacurvadeGauss,quemostrada abaixo: Onossomaiorinteressequandoestamosanalisandoumavarivelaleatriacom distribuionormalobteraprobabilidadedessavarivelassumirumvaloremum determinado intervalo. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 53 A probabilidade de p [a < x < b] a rea da regio sob a curva definida pelo intervalo ]a , b[. Comooclculodareadessafiguramuitocomplicado,iremosutilizaruma distribuio normal z com mdia0 x =e desviopadro v = 1.A tabela abaixo, contm os valores positivos de z e a rea compreendida sob a curva entre 0 e z foi construda. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 54 A escolha desta distribuio se d pelo fato de apresentar os parmetros mais simples. Qualqueroutradistribuionormalxcommdiax eedesviopadrovpodeser transformada,paraoefeitodoclculodereas,nadistribuionormalpadroz,atravsda mudana de varivel, dada pela equao abaixo: Vx xz=Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 55 Se conhecermos a rea especfica na tabela, qualquer tipo de rea pode ser calculada usando a simetria da curva. Exemplo: 1SejaXumavarivelaleatriaquerepresentaocomprimentodepregosproduzidospor umacertamquina.Supondoqueessavariveltenhadistribuionormalcommdia cm 2 x = ev=0,04cm,queremosdescobrirqualaprobabilidadedeumpregoterum comprimento de valor entre 2 e 2,05 cm. P(2 < X < 2,05) Para fazermos a mudana de varivel, podemos afirmar que: P( x< X < x) = P(0 < Z < z) 25 , 104 , 005 , 004 , 02 05 , 2Vx xz = ===Portanto: P(2 < X < 2,05) = P(0 < Z < 1,25) Vamosprocurarnatabelaovalordez=1,25,paradescobrirmosaprobabilidade.Ovalor encontradoser0,3944.Assim,aprobabilidadedeumpregofabricadopelamquinatero comprimento entre 2 e 2,05 cm de 0,3944 ou 39,44 %. 2 Determine as probabilidades abaixo: a) P( - 1,3 < Z < 0) Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 56 Pela simetria da curva, temos: P( - 1,3 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,3) = 0,4032 b) P( - 0,5 < Z < 1,48) P( - 0,5 < Z < 1,48) = P( - 0,5 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,48) P( - 0,5 < Z < 0) = P(0 < Z < 0,5) = 0,1915 P(0 < Z < 1,48) = 0,4306 Portanto: P( - 0,5 < Z < 1,48) = 0,1915 + 0,4306 = 0,6221 Sntese da unidade Vimosnestaunidade,queasdistribuiesdeprobabilidadeusadasparadescrevervariveis aleatrias,sodadasemtermosdereassobumacurvaentredoispontos.Valelembrar tambm que distribuio normal uma distribuio em forma de sino (curva de Gauss). Atividades 1 Determine as seguintes probabilidades: a) P( 0 < Z < 1,4) b) P( - 0,8 < Z < 0) c) P( - 0,3 < Z < 1,85) d) P( 0,7 < Z < 1,97) 2 Os salrios mensais dos funcionrios de uma empresa, so distribuidos normalmente, em torno da mdia de R$ 500,00, com desvio padro de R$ 40,00. Encontre a probabilidade de um funcionrio ter u m salrio mensal entre R$ 430,00 e R$ 590,00. 3AvarivelaleatriaXadmitedistribuionormalcommdia20edesviopadro2. Com estas informaes encontre: Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 57 a) P( 16 < x < 22) b) P( 18 < x < 26) c) P( 14 < x < 28) 4 Uma varivel aleatria X normal apresenta uma mdia 30 e desvio padro 4. Calcule P( 30 < x < 34). Correlao e Regresso IntroduoTrabalhamos, at o presente momento, com o clculo de medidas de tendncia central e variabilidades, no estabelecendo relaes entre essas variveis calculadas.Quandonecessrioestimareestabelecerrelaesentreessasvariveis,como exemploarelaoentreocigarroecncerdepulmes,devemosapurarapossibilidadeda dependnciaeemquegraudedependnciaseencontraessarelao.Oprocessoadequado para essa averiguao a correlao. Relao funcional e estatsticaA anlise da conta de gua, em residncias urbanas, est intimamente relacionada ao consumodamesmaemm3;quantomaioroconsumo,maioraconta,ficandoaqui caracterizadaarelaofuncional.Aorelacionaraincidnciadeumadeterminadadoena emumapopulao,aquiasrelaesemgeralnosoimediataseprecisas,portantoessa relao chamada de relao estatstica. Na relao estatstica, as variveis esto envolvidas em um processo de correlao. Diagrama de disperso Consideremosumaamostraaleatriademdiasde10alunosdaFaculdadeCatlica do Tocantins das disciplinas de matemtica e estatstica. Nmeros Matemtica ( x ) Estatstica ( y ) Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 58 2 4 6 8 10246810xy2 4 6 8 10246810xy012,02,0 026,08,0 034,03,0 048,09,0 057,07,0 065,06,0 0710,010,0 088,07,0 099,08,0 106,05,0 Usandoosistemadecoordenadascartesianasdoplanocomparesordenados(x,y)obteremos com seus pontos um diagrama de disperso. Correlao linear Ao localizarmos todos os pontos no plano cartesiano, os pontos es taro dispersos em umaformaaleatria;poderemoschamaressacorrelaodeumacorrelaoaleatriaou qualquer. Por um mtodo de ajuste de curva queveremosaindanestetema,vamospensarqueessadistribuiodospontosseaproximade uma reta e ento a chamaremos de correlao linear. Correlao linear positiva; reta crescente. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 59 10 8 6 4 2246810810 246yx-6 -4 -2 0 2 4 6-202468101214161820222426283032yx Correlao linear negativa; reta decrescente. Correlao no linear; curva. Coeficiente de correlao linear (correlao de Pearson) Este coeficiente indica o grau de intensidade da correlao entre as duas variveis e se positiva ou negativa e encontrada atravs da equao: Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 60 91 , 0 r] ) 65 ( 481 . 10 [ ] ) 65 ( 475 . 10 [) 65 ).( 65 ( 473 . 10r] ) y ( y n [ ] ) x ( x n [) y ( ) x ( y x nr2 22 2 2 2= = = =] ) y ( y n [ ] ) x ( x n [) y ( ) x ( y x nr2 2 2 2

Obs. Se r = +1, correlao perfeita e positiva. Se r = -1, correlaoperfeita e negativa. Se r = 0, no h correlao ou a correlao no linear. Para analisarmos o comportamento das variveis, necessrio que: 0,6 s ,r, s 1. Para o exemplo da tabela anterior, temos o seguinte valor de r: Matemtica (x)Estatstica(y)x yx 2 y 2 22444 68483664 4312169 89726481 77494949 56302536 1010100100100 87566449 98728164 65303625 = 65 = 65 = 473 = 475 = 481 Atividade 1Deacordocomatabelaabaixo,encontreocoeficientedecorrelaoentreasduas variveis: x121081214 y4681012 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 61 b ax y + = =2 2) x ( x n) y ( ) x ( y x nanxx=nyy=x a y b =5 10510yxRegresso Uma anlise de regresso objetiva descrever, com o uso de um modelo matemtico, a relao entre duas variveis com n observaes das mesmas. Essa anlise apresenta duas variveis, a varivel em estudo a varivel dependente, e a outra a varivel independente. A relaomatemtica queenvolveas duas variveis dada pela equao do primeiro grau abaixo: Onde a e b so parmetros que podem ser encontrados por meio das equaes abaixo: Ondex a mdia dos valores de x e oy a mdia dos valores de y. Exemplo De acordo com o diagrama de disperso abaixo e sua respectiva tabela, obter os valores dos parmetros a e b. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 62 96 , 0) 65 ( 475 . 1065 . 65 473 . 10) x ( x n) y ( ) x ( y x na2 2 2=== 5 , 61065nyy = = = 5 , 61065nxx = = = 26 , 0 5 , 6 . 96 , 0 5 , 6 x a y b = = =26 , 0 x 96 , 0 y + =2 4 6 8 10246810yxy = 0,96 + 0,26 Logo temos a seguinte funo:

Atividade ( x )( y )x yx 2 2244 684836 431216 897264 774949 563025 1010100100 875664 987281 653036 = 65 = 65 = 473 = 475 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 63 = = = = = 721 y . x e 2001 y , 107 y , 304 x , 36 x2 2Atabelaaseguirmostraquantassemanasseispessoastrabalharamemumpostode inspeo deautomveis e quantos carros cada uma inspecionou entre 12 e 14 horas, em um determinado dia: N de Semanas TrabalhadasN de carros inspecionados 213 721 923 114 515 1221

Para esses dados Estabeleaaequaodaretaquepermiteidentificaradependnciaentreasvariveis envolvidas no estudo. Atividade Final 1Natabelaabaixo,asnotasdeoitoalunosdoensinomdionadisciplinadehistriado Brasil em duas avaliaes: Para esses dados, = = = 42958 y . x e 674 . 44 y , 41843 x , 590 y , 567 x2 2 estabelea a equao da reta que permita predizer as notas da prova dois com base nas notas da prova um. 2 A mudana de unidades de medida podealterar seriamentea aparncia de um diagrama de disperso. Considere os seguintes dados:

y0,5- 0,6- 0,50,50,5-0,6 Primeira AvaliaoSegunda Avaliao 7581 6657 9295 8677 6571 4462 6063 7984 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 64 x - 4- 4- 3344 Determine: a) O grfico de disperso. b) A equao de correlao entre x e y. 3Oconsumodecombustveldeumautomvelcomeaaumentando,paralogoaps, diminuir,namedidaemqueavelocidadeaumenta.Suporqueessarelaosejabastante regular e descrita pela tabela abaixo: a) Construa um diagrama do consumo em funo da velocidade. b) Determine a correlao entre a velocidade e o consumo de combustvel. 4 A tabelaa seguir mostra a produo de algodo no Brasil. Determinea correlao entre rea e produo. Ano92/9393/9494/9595/9696/97 rea1,0591,1811,1890,9730,827 Produo420483541414340 Fonte: IBGE. Produo: milhares de toneladas. rea: milhes de hectares. Inferncia Estatstica Objetivos Esperamos que, ao final dessa aula, voc seja capaz de: -Fornecer uma viso terica de conceitos e modelos determinsticos para tomadas de decises; -Compreender como se tomam decises de carter estatstico.

Pr-requisitos Para o melhor aproveitamento desta aula voc precisa de todos os conceitos vistos nas outras6aulas,poisnestaaulafaremosumtrabalhotericoquedependedessesconceitos. Esses contedos citados, foram abordados durante as nossas aulas nessa disciplina. Esses pr-Velocidadekm/h20406080100 Km / l6 8 12 1514 Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 65 requisitossodefundamentalimportnciaparaatingirosobjetivosdaaulaetambm finalizar os contedos propostos para a disciplina. IntroduoTudo o que vimos at agora no adiantaria nada se no tivssemos o desenvolvimento destaaulacomumcontedoqueirnosapresentarparaadisciplinadeMtodos Quantitativosdoprximosemestre.Podemosfazeressaafirmaoporqueoqueiremos estudar a partir de agora ir subsidiar o que ser visto na disciplina que dar continuidade ao estudo estatstico. O que veremos adiantenos dar uma viso tericade conceitos especiais para vocs queprecisamentendercomosetomamdecisesdecarterestatstico;almdeoutras decisesdemaioraplicaonoestudodeinformaesespecficasparaasatividadesde anlise e planejamento nas empresas e organizaes. Pararesponderaquestestpicasdodiaadiaempresarial,ainfernciaestatsticase vale de uma srie de ferramentas de Cincia Estatstica, como: Distribuio de Probabilidade, Distribuio Amostral, Testes de Hipteses, entre outras. Diante dessas afirmaes a inferncia estatstica ser a base para a tomada de deciso e elemento fundamental na elaborao do planejamento estratgico empresarial. Devemosdestacarqueofocodestaaulasernaapresentaodaspossibilidadesde aplicao,bemcomonacorretainterpretaodosresultadosdosmodelosestudados. Esperamos,apartirdoenfoqueadotado,quevocspossamcompreenderosfundamentos envolvidos, adquirindo autonomia e segurana na escolha das tcnicas apresentadas para uma posterior utilizao. Distribuio de Probabilidade Nestaseovamosapresentaroselementosestatsticosfundamentaisaplicveisa infernciaestatstica,semdeixardelembrarosestudosjobtidosnasaulasanteriores,em queforamvistososconceitosqualitativos,quantitativos,discretos,contnuoseaestatstica descritiva. De posse desses conhecimentos bsicos, podemos passar para o nosso primeiro tpico da aula, o qual versa sobre a Distribuio de Probabilidade. A probabilidade um conceito de que a grande maioria da populao, para no dizer toda,tementendimento.Vejamosumexemploquandoumamoedaqualquerjogadapara cima(evento),aocairexisteapossibilidade(probabilidade)deseobtercaraoucoroa, Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 66 nestascondiesfalamostecnicamentequeemsetratandodeumamoedahonesta (equilibrada) e um jogador isento de qualquer tipo de vcio, a chance de ocorrer cara ou coroa igual para ambas. Nesse caso, afirmamos que a probabilidade de obter-se cara de , 0,5 ou 50%, e o mesmo valendo para a probabilidade de obter-se coroa, ou seja, , 0,5 ou 50%. Amostragem A amostragem, pode ser definida, como o ato de retirar elementos de uma populao, eumdosprincipaisfatoresparaobtermosresultadosconfiveiserepresentativosdeuma populao, com base na anlise de uma amostra. Para tanto, a amostra deve representar com a maior proximidade possvel a populao, embora em tamanho reduzido e, portanto, capaz de ser manipulado com facilidade, agilidade e segurana. Quandoqualquereventoocorrerepetidamentenumapopulao,osmesmos determinamumaleimatemticadesuaocorrnciaquedenominamosdedistribuiode ocorrncia,distribuioamostraloudistribuiodeprobabilidade,quefoioassuntoda unidade anterior, a qual deve tambm ser semelhante na amostra. Asregrasparaamostragemsoclassificadasdidaticamenteemduasgrandes categorias, ou seja, amostragem probabilstica e amostragem no probabilstica. Amostragem Probabilstica Tambm chamada de aleatria ou randmica aquela em que todos os elementos da populao tm a mesma chance (probabilidade conhecida e no nula) de pertencer amostra, ou seja, trata-se de uma seleo aleatria indiscriminada. Seconsiderarmosumapopulaodenelementosesetodososelementosdesta populaopossuemprobabilidadesiguais,teremosque1/naprobabilidadedecada elemento participar da amostra. Amostragem No Probabilstica aquela em que a escolha feita de maneira justificada e com determinado objetivo, ouseja,humaescolhadeliberadadoselementosdaamostracomointuitodesefazer infernciasestatsticas.Obtm-seconclusesespecficassobreapopulao,apartirde observaes feitas na amostra. Distribuio Amostral Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 67 Como vimos na seo anterior, o objetivo da amostragem ter indicao do valor de algunsparmetrosdapopulaocomoporexemplo,amdiaeodesviopadro.Assima mdiaamostralusadaparaestimaramdiadapopulao,eodesviopadroamostral usado para estimar o desvio padro da populao. Nesta seo a nossa inteno responder a uma pergunta muito importante. O quanto a estatstica amostral se aproxima do verdadeiro valor do parmetro populacional. Pararesponderessaquesto,precisamosentendercomousarasestatsticas amostraisparaanalisarosparmetrospopulacionais,eassim,termoscondiesdeaprender como as caractersticas de uma nica amostra podem ser usadas para fazer anlises sobre os parmetrosdeumapopulao.Entreasprincipaisdistribuiesamostrais,destacam-se: distribuio normal da mdia e proporcional. Estimao Naseoanterior,estudamosasvriasformasdeseobterumaamostra,comvistas nasinformaessobreapopulaoorigemdessaamostranumprocessodenominado inferncia. Estainduo(inferncia)quefazemos,apartirdeumaamostradapopulao,pode ser feita de duas maneiras bsicas, ou seja, por estimao e por teste de hiptese. Nesta seo, estudaremos o mtodo da estimao que serve para inferir caractersticas de determinada populao, por meio do estudo da amostra desta populao. Podemosafirmarqueestimaooprocessodeestimarcaractersticas(parmetros) desconhecidos de uma populao com base em dados amostrais.O processo de estimao numa amostra pode ser feito de duas maneiras: PorPonto:quando,apartirdaamostra,procura-seobterumnicovalorestimativodo parmetro populacional. Exemplo: Um carro popular (1.0) consome 1 litro de combustvel a cada 12 Km rodados. Porintervalo:quando,apartirdaamostra,procura-seconstruirumintervalodevariao, com certa probabilidade de conter verdadeiramente o parmetro da populao. Exemplo:Um carro popular (1.0) consome 1 litro de combustvel entre 10 e 14 Km rodados. Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 68 Intervalos de Confiana (IC) Comovistoanteriormente,osestimadoressovariveisaleatriascontnuase descontnuastambmchamadasdediscretas,eemmuitoscasosasestimativasobtidasso provavelmentediferentesdovalordoparmetro.Emoutraspalavras:podemsairforado limiteabsolutodeocorrncia.Porestarazoaestatsticatrabalhacomoschamados intervalosdeconfiana,osquaisapresentamumafaixa,ondecomdeterminadograude certeza o valor estimado por inferncia estatstica pode estar contido. O nvel de significncia que representa a probabilidade de erro que se comete quando seafirmaqueaprobabilidadedointervalo1 O2contenhaoverdadeirovalordo parmetro populacional O, entende-se por intervalo de confiana em torno de uma estimativa porponto,paraquecomaprobabilidadeconhecida(1)contenhaoverdadeirovalordo parmetro estimado. Comodiferentesamostraslevam,geralmente,avaloresdiferentesdosestimadores, faz sentido pensarmos na diferena entre o valor do estimador e o parmetro. Essadiferenachamadadeerrodeestimativa(e).Arelaoentreonvelde confianaeerrodeestimativacaracterizaaprecisodeumaestimativa.Usaremosnas aplicaesumnveldeconfianadeumintervalofixado,queircontrolaraprecisona determinao do erro de estimativa. Teste de Hipteses O estudo realizado nesta seo ir se somar ao desenvolvimento do estudo anterior no usodoselementosdotestedehipteses,oqualimportanteferramentaparaavaliarcom determinadonveldeconfiana,oresultadodoestudoestatsticoaplicadoemdeterminada amostra, fornecendo a segurana necessria para a tomada de deciso em relao ao resultado que dever ser aplicado na prtica, ou seja, napopulao. Como no desenvolvimento da estimao por intervalo, os testes de hipteses tambm so baseados nas distribuies estatsticas dosestimadores. Dessa forma,as distribuies de probabilidade da mdia amostral (A X) e da proporo (p)sero utilizados para os respectivos testes sobre a mdia e a proporo da populao. Ahipteseestatsticaumasuposioquesefazquantoaovalordeumparmetro populacionalqueserverificadoporumtesteparamtrico,ouumaafirmaoquanto natureza da populao que ser verificado por um teste de aderncia. Podemos ter como exemplo de hipteses estatsticas as afirmaes abaixo: -A mdia populacional da altura dos brasileiros 1,65 m (P X= 1,65 m); Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 69 -A varincia populacional do salrio vale R$ 5.000,00 (V2P = 5.000); -A proporo de brasileiros com determinada doena 40%, ou seja, p = 0,40; -A distribuio dos pesos dos alunos da universidade uma normal. Portanto,otestedehipteseumaregradedecisoparaaceitarourejeitaruma hiptese estatstica com base nos elementos amostrais. Para tal, duas hipteses devem ser formuladas: HipteseNula(H0):ahiptesetestada;quandoconfirmada,mostraqueadiferena observadaentreovalorestimado(pelaamostra)eoparmetropopulacionaldevido exclusivamente ao acaso.HipteseAlternativa(H1):qualquerhiptesediferentedeH0,que,umavezaceita, contraria a hiptese nula. A hiptese alternativa (H1) geralmente a suposio que o pesquisador quer provar, e a H0 formulada com o expresso propsito de ser rejeitada. Aotomarmosadecisopelaaceitaoourejeiodeumahiptesenula,estamos sujeitosaacertosetambmaerros.QuandosetestaH0,pode-secometer2tiposdeerros, conforme mostra a tabela abaixo: Erro tipo I: quando se rejeita uma hiptese H0, e H0 verdadeira. Erro tipo II: quando se aceita uma hiptese H0, e H0 falsa. Anlise de Varincia A anlise de varincia consiste num conjunto de tcnicas estatsticas utilizadas para a descoberta de fatores que produzem mudanas sistemticas em alguma varivel de interesse. Aplica-seaanlisedevarinciaparadeterminarseasmdiasdeduasoumaispopulaes soiguais.Comoporexemplo,quandoverificamosseamdiaderendimentotrimestralde determinada aplicao diferente ao longo do ano. Trata-se de uma generalizao do teste para a diferena de duas mdias populacionais, quandosecomparamsimultaneamentemdiasdepopulaescomdistribuionormaise independentes;portanto,trata-sedeumtestedehiptesemaiselaborado,ouseja,commais controle sobre o estudo. Realidade Deciso Aceitar H0Rejeitar H0 H0 verdadeiraDeciso corretaErro tipo I H0 falsaErro tipo IIDeciso Correta Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 70 Os pressupostos bsicos da anlise de varincia so: -as amostras so aleatrias e independentes; -as populaes so normais; -as varincias populacionais so iguais. As hipteses a serem testadas so as seguintes: . diferentes ais populacion mdias : H; iguias ais populacion mdias : H10 Avarinciaestimvelpelavarinciadasmdiasamostraisepelamdiadas varinciasamostrais.Avarinciadasmdiasamostraischamadadeestimativaentre.A mdia das varincias amostrais estimativa dentro. ArelaoentreaestimativaentreeadentrodenominadaderazoF.Comoos parmetros relacionados so quadrticos, F sempre positivo. De maneira anloga aos outros testes, aceita-se H 0 quando o Fteste < Ftabelado. Anlise de Regresso Linear Mltipla Aregressolinearmltipladiferedaregressolinearsimples,apenaspelofatode analisararelaodetrsoumaisvarveis,enquantoqueasimples,vistaemestatstica aplicada, analisa a relao entre duas variveis. Em algumas situaes, fica difcil analisar a dependnciadeumavarivelquandoconfrontamosasuarelaocomapenasmaisuma varivel. Esse tipo de situao nos indica que a utilizao de uma ou mais variveis ir ajudar a predizer se a relao entre essas variveis realmente linear. Vamostentarilustrarumasituaoparaexemplificarumasituaotpicaemque poderamos usar trs ou mais variveis em uma anlise de regresso. Seestamostentandodefiniraprojeoparaasafraagrcolade2008/2009,sabemos que a mesma no depende apenas da quantidade de fertilizante utilizado na planta. Para isso devemosintroduzirnovasvariveisparatentaramenizaroproblema;comoporexemplo,a qualidade do solo, a quantidade de chuva, o uso de defensivos agrcolas, entre outros.Paraessaanlise,temosporobjetivoencontrarumaequaomatemticaquenos ajudeapredizerospossveisvaloresdeyparadiferentesvariveisindependentes.Como podemos observar no exemplo dado acima, o intuito de se usar variveis aleatrias adicionais melhorar a capacidade de predio de um determinado valor (y). Diferentedaregressolinearsimplesaregressomltiplaoferecesolues complicadas, que de maneira mais prtica podem serresolvidacom a ajuda docomputador. Devido a esse fator de complicao vamos nos limitar apenas ao estudo superficial da anlise Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 71 de regresso linear mltipla em complemento ao que vimos sobre regresso linear simples e estatstica aplicada. A equao de regresso ter a seguinte forma: n n 3 3 2 2 1 1x b ... x b x b x b a y + + + + + = ondeyavariveldependente,aumaconstante,x1,x2,...,xnsoasvariveis independentes eb1, b2, ..., bn so denominados de coeficientes parciais de regresso. 7.9 Diagrama de decisoAtomadadedecisosobredeterminadoevento,sobcondiesdeincerteza,uma situaoqueacompanhaosprofissionaisdevriasreasnoseudia-a-dia.Aquestoqual caminho devo seguir, devo correr um risco grande ou pequeno, a dvida e a insegurana so grandesnomundodosnegcios,adecisodevesertomadadeumaformaintuitivaou envolvendo sentimentos particulares ou coletivos. pormeiodeumasriedeferramentasestatsticasqueestacondioestritamente sentimentalsetransformanumaaocalculadaecomseuslimitesdefinidossobreriscose vantagens;portanto,nestetemaveremosalgunsdestescomponentesquenosauxiliarona tomada de deciso. Chegamosaofinaldaaulacomasensaodequeficoufaltandomuitacoisaaser vista,poisnorealizamosnenhumteste,nofizemosnenhumtipodeanlise.Mas precisamos nos lembrar que os objetivos eram esses mesmos, ou seja, no teramos nenhum tipodeaplicaoprticanestesentido,poistarefaserrealizadanadisciplinadeMtodos Quantitativos. Vamos para a sntese dessa aula e depois temos as atividades. Sntese da aula Nessaaulapartimosparaestudosbemmaistericosdoquenasaulasanteriores. Vocsdevemterpercebidoqueainfernciaestatsticanosauxilianatomadadedecises sobreumadeterminadapopulaocombaseeminformaestomadasapartirdeuma amostra. Podemos dizer que essa aula teve duas partes importantes, uma em que necessitamos dosconceitosquevimosnasaulasanterioreseaoutraquenosorientousobreosprincipais processos indicados para a inferncia estatstica. Atividade Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 72 1.Escreva,combasenoqueestudouduranteaaula,adiferenaentreestimativapontuale intervalar e d um exemplo de cada. 2.Emcadaafirmativaaseguir,classifiquequantoaotipodeestimativa(pontualou intervalar): a) O brasileiro consome 30 Kg de carne por ano. b) Entre 34 % e 42 % da populao se ope a um aumento no limite de velocidade. c) O desvio padro da durao de um pneu radial est entre 2400 e 4000 quilmetros. d) A proporo de estudantes fumantes 13 %. e) O consumo mdio de carne no pas est entre 20 e 40 Kg por pessoa em um ano. f) Trinta e oito por cento da populao se ope a um aumento no limite de velocidade. g) A proporo de estudantes fumantes est entre 10 % e 16 %. h) O desvio padro da durao de um pneu radial de 3200 quilmetros. 3. Das afirmaes a seguir qual delas traz corretamente a finalidade da anlise de varincia? a) uma situao que acompanha os profissionais de vrias reas no seu dia-a-dia. b) analisar a relao de trs ou mais varveis. c) determinar se as mdias de duas ou mais populaes so iguais. d) representar com a maior proximidade possvel a populao. 4. A afirmativa que traz as hipteses nula e alternativa usadas na anlise de varincia : a) H0 mdias populacionais iguais e H1 mdias populacionais iguais. b) H0 mdias populacionais iguais e H1 mdias populacionais diferentes. c) H0 mdias populacionais diferentes e H1 mdias populacionais iguais. d) H0 mdias populacionais diferentes e H1 mdias populacionais diferentes. BIBLIOGRAFIA: -KAZMIER, Leonard J. Estatstica aplicada economia e administrao. SP, Mcgraw-Hill, 1982.-SILVA,ErmersM.daetalI.Estatsticaparacursos:Economia,AdministraoeCincias Contbeis. 2aed. SP. Atlas, 1996-SIMOM, Fonseca J. et alI; Estatstica Aplicada 2a ed. SP, Atlas, 1991.Estatstica para Agronomia Professor: Joelson de Arajo Delfino 73 -ANDERSOM, D. et all Estatstica Aplicada administrao e economia. SP. Pioneira,2002 -BONINI, Edmundo E. Estatstica: Teoria e exerccios. SP. Loyola. -CRESPO, Antonio A. Estatstica fcil, 13a ed. SP. Saraiva, 1995 -MARTINS, G. de A. et all Princpios de Estatstica SP. Atlas, 1995 -SPIEGEL, M. Estatstica. RJ. MCrraw-hill. 1980