Apostila_EEL521 - Eletrotécnica Geral II - MATERIAIS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB

ISEE / GESis Instituto de Sistemas Eltricos e Energia

Grupo de Engenharia de Sistemas

EEL401 Eletrotcnica Geral II

MATERIAIS E CIRCUITOS MAGNTICOS

Prof. Pedro Paulo de Carvalho Mendes

3a Edio

Julho 2004

Universidade Federal de Itajub__________________________________________________

Materiais e Circuitos Magnticos ______________________________________________________

ndice

Universidade Federal de Itajub_______________________________________________

Materiais e Circuitos Eltricos________________________________________________ pgina 1

CAPTUL0 01 CONCEITOS BSICOS

______________________________________________________________________

1.1 INTRODUO

As mquinas eltricas (como transformadores, motores e geradores) so

constitudas por circuitos eltricos e magnticos acoplados entre si. Um circuito

magntico aquele onde existe um caminho para o fluxo magntico, de forma anloga

ao circuito eltrico, que proporciona um caminho para a corrente eltrica.

Os materiais magnticos utilizados no desenvolvimento de circuitos magnticos

determinam as dimenses dos equipamentos, as suas capacidades, e introduzem

limitaes nos desempenhos, devido a saturaes e perdas. importante, portanto,

conhecer suas caractersticas e propriedades bsicas, para possibilitar um

desenvolvimento mais econmico e adequado dos diversos equipamentos.

O presente captulo apresenta diversos conceitos bsicos para a teoria dos

circuitos magnticos, como: fluxo magntico, leis de Lenz e Faraday, fluxo enlaado,

indutncias prprias e mtuas. Nos captulos posteriores sero consideradas as

caractersticas e propriedades bsicas dos materiais magnticos, bem como suas

aplicaes em clculos de circuitos magnticos de configuraes diversas.

1.2 INDUO ELETROMAGNTICA

1.2.1 Fluxo Magntico



Considere um campo magntico no uniforme de mdulo B onde so colocadas

trs espiras, conforme a figura 1.1, a seguir.

Figura 1.1 - Espiras Colocadas em um Campo Magntico

A espira 01 tem uma rea A1 e ela est colocada de forma perpendicular ao

vetor campo magntico de mdulo B1. A espira 02 tem uma rea A2

B1. A espira 03 tem uma rea A3 = A2, porm est posicionada de tal forma que existe

um ngulo "q " entre a normal superfcie e o vetor campo magntico de mdulo B3

(observar que B3 = B2). Pode-se perceber da figura 1.1, que:

a) O nmero de linhas de campo que atravessa as espiras 01 e 02 igual,

embora as reas sejam diferentes. Isto se deve ao fato do campo magntico

B2 ser mais intenso do que o campo magntico B1 (devido a maior

densidade de linhas de campo);

b) O nmero de linhas de campo que atravessa as espiras 02 e 03 diferente,

embora elas possuam a mesma rea e estejam colocadas em posies de

densidades iguais de campo magntico. Isto acontece porque a espira 03 esta

inclinada em relao ao vetor campo magntico 3B , formando um ngulo

q ; portanto, a sua rea projetada na perpendicular ao campo menor que

a rea real.



Assim, pode-se dizer que, o fluxo magntico que atravessa uma espira

corresponde ao nmero de linhas de campo que passa pela mesma e depende do campo

magntico B, da rea A da espira e do ngulo q formado entre a normal

superfcie da espira e o campo magntico.

De uma outra forma, pode-se dizer que o fluxo magntico corresponde ao

conjunto de linhas de campo magntico que emerge do plo norte de um im.

Matematicamente pode-se expressar o fluxo magntico como sendo:

qf cos= AB (1.1)

Ou ainda, de uma forma mais geral,

=A

dAnBf (1.2)

Onde:

f = Fluxo magntico atravs de uma superfcie;

B = Vetor campo magntico;

n = Vetor unitrio normal superfcie;

dA = Elemento de rea de uma superfcie.

Dimenses do Fluxo Magntico f :

No sistema internacional, a unidade de fluxo magntico o Weber [Wb].

[ ] [ ] [ ]WbWeber ==f

A unidade [Weber] pode ser expressa, tambm, como sendo:

[ ] [ ] [ ]MaxwelllinhasWb 88 10101 ==



1.2.2 Lei de Faraday

Em 1831, o fsico ingls Michael Faraday descobriu o princpio da induo

eletromagntica, atravs de diversas experincias. Estas experincias esto sintetizadas

no exemplo a seguir.

Considere uma espira circular cujos terminais foram ligados a um ampermetro,

fechando o circuito. Considere tambm um im em forma de barra se aproximando da

espira, conforme ilustra a figura 1.2, a seguir.

A

NS

Figura 1.2 - Espira Fechada com um Ampermetro

Faraday verificou que, enquanto ele aproximava o im da espira, a agulha do

ampermetro se deslocava para um determinado lado (admitindo que ele estivesse

trabalhando com um ampermetro de zero central), o que significava que havia

aparecido no circuito uma corrente eltrica induzida. No momento em que Faraday

parou de movimentar o im, ele notou que a corrente atravs do circuito se anulava.

Numa terceira etapa, afastando o im da espira, o fsico ingls viu a agulha do

ampermetro novamente se deslocar, s que para o lado oposto, sinal de que havia

surgido, outra vez no circuito, uma corrente induzida mas de sentido contrrio quele

com a qual ela havia aparecido na primeira vez.

Com base nesta e em outras experincias realizadas, Faraday concluiu que:



Sempre que houver variao do fluxo magntico atravs de uma espira,

surgir nesta espira uma fora eletromotriz induzida.

A este fenmeno d-se o nome de induo eletromagntica.

Da experincia desenvolvida por Faraday necessrio destacar que, para que

surja uma f.e.m. induzida no circuito, no necessria a existncia de um fluxo

magntico atravs da espira, mas sim o fato de que este fluxo deve variar no decorrer do

tempo.

Assim, pode-se escrever matematicamente que:

[ ]Vdtd

ef= (1.3)

Onde:

f = Fluxo magntico,varivel com o tempo, que atravessa o circuito;

E = Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral).

1.2.3 Fatores que influem na variao do Fluxo Magntico

a) Variao do Fluxo pela mudana da intensidade do Campo Magntico

Considere um circuito fechado fixo e um im em forma de barra, conforme ilustra

a figura 1.3, a seguir.

N

S

im mvel

circuito fechado

B

Figura 1.3 - Im se Aproximando de um Circuito Fechado Fixo



medida que o im se aproxima do circuito fechado, ocorre um crescimento do

campo magntico e, portanto, h um aumento do fluxo atravs do circuito (maior

nmero de linhas de campo o atravessam). A variao do campo magntico conduz a

uma variao do fluxo magntico (lembrar que qf cos= AB ). Por outro lado, o fluxo

magntico varivel faz surgir no circuito uma f.e.m. induzida (lei de Faraday). Como o

circuito fechado, ir circular no mesmo uma corrente eltrica.

importante observar, ainda, que o fenmeno da induo tambm ocorre

quando se mantm o im fixo e se movimenta o circuito fechado.

b) Variao do Fluxo pela variao da rea

Considere um circuito fechado de rea A movendo-se no plano do papel sobre

um campo magntico uniforme e perpendicular folha, conforme ilustra a figura 1.4, a

seguir.

Figura 1.4 - Circuito Fechado Entrando em um Campo Magntico

No instante em que o circuito passa a se movimentar, penetrando no campo,

comea a aumentar o fluxo no seu interior, pois ocorre uma variao na rea A imersa

no campo magntico (A varia com o tempo). Aparece, ento, uma f.e.m. induzida no

circuito, esta f.e.m. d origem a uma corrente e conseqentemente o ampermetro sofre

uma deflexo.

Quando o circuito estiver totalmente dentro do campo magntico, o fluxo atravs

da rea A no mais varia e portanto, no h corrente induzida no circuito.



c) Variao do Fluxo pela variao do ngulo q

Considere um circuito fechado imerso em um campo magntico uniforme de

mdulo B, inicialmente na posio (01) perpendicular ao campo, conforme mostra a

figura 1.5, a seguir.

Bnn

(1) (2)

O

Figura 1.5 - Espira Girando em um Campo Magntico

Girando-se o circuito muda-se o ngulo entre a normal superfcie e o campo

magntico. Nessas condies ocorre uma variao do fluxo atravs do circuito, esta

variao produz uma f.e.m. induzida no mesmo e, conseqentemente, haver a

circulao de uma corrente eltrica.

Observao: As anlises anteriores podem ser verificadas atravs das

expresses (1.1), do fluxo magntico e (1.3), da lei de Faraday.

d) Variao do Fluxo pela Variao da Corrente

Considere um circuito fechado colocado prximo de um eletroim em forma de

barra, sendo ambos fixos, conforme ilustra a figura 1.6 a seguir.



ELETROIM

CIRCUITO

FECHADO

i

Figura 1.6 - Circuito Fechado Prximo de um Eletrom

Para uma corrente i varivel injetada na bobina do eletroim, corresponder

um fluxo magntico varivel que ir envolver o circuito fechado. Este fluxo varivel

dar origem a uma f.e.m. induzida (lei de Faraday) e conseqentemente uma corrente

eltrica ir circular no referido circuito.

Dos quatro casos analisados anteriormente pode-se concluir que:

- A variao do fluxo causada, ou por mudana na intensidade do campo

magntico, devido a aproximao relativa entre o im e o circuito (caso

a); ou por variao da rea do circuito (caso b); ou ainda por variao

do ngulo q (caso c), produz uma f.e.m. induzida no circuito fechado.

Esta f.e.m. induzida por efeito de algum tipo de movimento. Desta forma

ela denominada f.e.m. de movimento;

- A variao do fluxo causada por variao na intensidade da corrente,

considerando o eletroim e o circuito, fixos (caso d) produz uma f.e.m.

induzida no circuito fechado. Esta f.e.m., que induzida, no por efeito de

movimento, mas sim pela variao da corrente na bobina denominada

f.e.m. de efeito transformador.

1.2.4 Lei de Lenz

A intensidade da corrente eltrica originada pela variao do fluxo magntico,

num circuito fechado, puramente resistivo, dada por:



Re

i = (01a Lei de Ohm)

O estudo do sentido da corrente eltrica determinado pela Lei de Lenz, que diz

o seguinte:

O sentido da corrente eltrica induzida tal que seus efeitos tendem sempre

a se opor variao de fluxo que lhe deu origem.

Desta forma pode-se escrever a Lei de Faraday (expressa matematicamente pela

equao 1.3), como sendo:

[ ]Vdtd

ef-= (1.4)

A equao (1.4) corresponde expresso matemtica da Lei de Lenz-

Faraday.

1.2.5 Lei de Lenz-Faraday

Enunciado: Sempre que houver variao do fluxo magntico atravs de um

circuito surgir neste uma fora eletromotriz induzida. Se o circuito for fechado

circular uma corrente induzida cujo sentido ser tal que tender a se opor s

variaes do fluxo que lhe deu origem.

Expresso Matemtica:

[ ]Vdtd

ef-=

Onde:

f = Fluxo magntico,varivel com o tempo, que atravessa o circuito;

e = Forca eletromotriz induzida no circuito (ou espiral);



sinal = Retrata a oposio ao fluxo de origem (Lei de Lenz).

1.3 FLUXO ENLAADO OU CONCATENADO

Considere a barra de ferro da figura 1.7, a seguir, envolvida por uma bobina de

N espiras.

i

N

O

a b

Figura 1.7 - Barra de Ferro com N Espiras

Para uma corrente i injetada no terminal a obtm-se um fluxo f no

material ferromagntico. Na figura 1.7, este fluxo f enlaa ou concatena as N

espiras da bobina. Assim, pode-se definir que:

fl = N (1.5)

Onde:

l = Fluxo enlaado ou concatenado.

[ ] [ ] [ ]espWbuoespitaWeber =l

Portanto, l corresponde ao fluxo que enlaa ou envolve as N espiras da

bobina.

A figura 1.8, a seguir, apresenta outros exemplos.



(1)

(3)

(2)

(4)

oo

12

Figura 1.8 - Fluxos Enlaados ou Concatenados

Na figura 1.8 pode-se observar que:

= 22 2 fl fluxo enlaado com a bobina (02);

= 23 1 fl fluxo enlaado com a bobina (03);

= 24 4 fl fluxo enlaado com a bobina (04).

Considere agora o fluxo enlaado com a bobina da figura 1.9, a seguir.

a b

1 2 3

QQ Q Q

N = 3

Figura 1.9 Fluxo Enlaado com uma Bobina

Se o fluxo f for varivel com o tempo obrem-se, atravs das leis de Lenz e

Faraday, que:

dtd

ef-=1 (1.6)



dtd

ef-=2 (1.7)

dtd

ef-=3 (1.8)

Compondo, agora, as equaes (1.6), (1.7) e (1.8), vem:

dtd

dtd

dtd

eeeefff ---=++= 321 (1.9)

Ou ainda,

dtd

ef-= 3 (1.10)

Para uma bobina de N espiras obtm-se:

dtd

Nef-= (1.11)

Ou de outra forma:

dtNd

e)( f-= (1.12)

Com fl = N (ver equao 1.5), pode-se escrever que:

dtd

el-= (1.13)

Sendo l o fluxo total enlaado ou concatenado com a bobina.



1.4 INDUTNCIA PRPRIA

A indutncia prpria tambm chamada de auto- indutncia. Para entender o seu

significado, considere inicialmente a bobina de N espiras com corrente i, da figura

1.10 a seguir.

i

N

a b

Figura 1.10 Bobina de N Espiras com Correntes i

A corrente i passando pela bobina de N espiras d origem a um fluxo

enlaado l . Em determinadas condies pode-se dizer que existe uma

proporcionalidade entre esta corrente e o fluxo enlaado por ela produzido. Esta

constante de proporcionalidade denominada indutncia prpria da bobina, e

normalmente representada pela letra L. Desta forma, pode-se escrever que:

i

Ll= (1.14)

Ou ainda:

iL =l (1.15)

Como fl = N , em (1.14), vem:

i

NL

f= (1.16)

Considere agora uma corrente varivel com o tempo sendo injetada na bobina de

N espiras da figura 1.10. Pode-se escrever que:



dtdi

Ldtd =l (1.17)

Atravs da lei de Lenz-Faraday, tem-se:

dtd

el-= (1.18)

Levando (1.18) em (1.17), obtm-se:

dtdi

Le -= (1.19)

Portanto, da equao (1.19), observa-se que h uma queda de tenso na bobina,

como efeito de sua indutncia prpria. Este comportamento pode ser representado

atravs do circuito eltrico equivalente da figura 1.11, a seguir.

vi

L Q

Figura 1.11 Circuito Eltrico Equivalente

Da equao (1.14) tem-se que a indutncia prpria apresenta uma dimenso de

[Weber.espira]/[Ampre], esta dimenso definida como sendo [Henry] ou [H].

importante observar tambm que, pela definio a indutncia corresponde a

uma constante de proporcionalidade entre o fluxo enlaado e a corrente que o produz.

Isto no verdadeiro no caso de materiais ferromagnticos onde, devido a saturao, a

indutncia pode apresentar valores variveis com a corrente.



De uma forma geral, pode-se dizer que a indutncia prpria de uma bobina

depende: das dimenses, do nmero de espiras e do meio onde se encontra esta bobina.

1.5 INDUTNCIA MTUA

Para entender o significado da indutncia mtua, considere a configurao com

duas bobinas apresentada a figura 1.12, a seguir.

iN

1

1

N2

(1)

(2)

Figura 1.12 - Configurao com Duas Bobinas

A indutncia mtua retrata o efeito de uma bobina com corrente, sobre uma ou

mais bobinas adjacentes. Na figura 1.12, tem-se uma corrente i1 passando pela bobina

de N1 espiras. Esta corrente i1 d origem a um fluxo enlaado com a bobina de N2

espiras, de valor 21l , ou seja:

21221 fl = N (1.20)

Onde:

21f = Fluxo magntico da bobina (02), produzido pela corrente i1 ;

N2 = Nmero de espiras da bobina (02).

Em determinadas condies, existe uma proporcionalidade entre a corrente i1 e

o fluxo enlaado ( 21l ), por ela produzido. Esta constante de proporcionalidade

denominada indutncia mtua entre as bobinas 02 e 01, e normalmente representada

por M21. Desta forma, pode-se escrever que:



1

2121 i

Ml

= (1.21)

Ou ainda,

12121 iM =l (1.22)

De (1.20) e (1.21), tem-se:

1

21221 i

NMf

= (1.23)

Considere agora uma corrente i1 varivel com o tempo sendo injetada na

bobina (01), da figura 1.12. Pode-se escrever que:

dtdi

Mdt

d 121

21 =l

(1.24)

Atravs das leis de Lenz e Faraday, tem-se que:

dt

de 212

l-= (1.25)


dtdi

Me 1212 -= (1.26)

Portanto, da equao (1.26), observa-se que h uma tenso induzida na bobina

(02), como efeito da circulao de uma corrente varivel com o tempo na bobina (01).

Esta tenso induzida depende da indutncia mtua entre as duas bobinas (M21).



De forma anloga pode-se analisar a influncia da passagem de uma corrente

i2 pela bobina (02), sobre a bobina (01). Neste caso, tem-se uma indutncia mtua

M12 cujo valor idntico ao da indutncia M21, anteriormente descrita.

Da equao (1.21) tem-se que a indutncia mtua apresenta uma dimenso de

[Weber.espira]/[Ampre], esta dimenso definida como sendo [Henry] ou [H], da

mesma forma que a indutncia prpria.

importante observar tambm que, pela definio a indutncia mtua

corresponde a uma constante de proporcionalidade entre um fluxo enlaado e a corrente

que o produz. Isto no verdadeiro para o caso em que o meio entre as bobinas

constitudo por materiais ferromagnticos, onde as indutncias mtuas podem

apresentar valores variveis com as correntes, em funo da saturao.

De uma forma geral pode-se dizer que a indutncia mtua entre duas bobinas

adjacentes depende: da distncia entre as bobinas, das dimenses fsicas das duas

bobinas, do nmero de espiras em cada bobina, e do meio considerado.

1.5.1 Coeficiente de Acoplamento

Na figura 1.12, a corrente i1 na bobina (01) estabelece um fluxo magntico

total 1f . Parte deste fluxo total atravessa a bobina (02), mais precisamente a parcela

21f . A relao entre a parcela de fluxo magntico 21f e o fluxo total 1f

denominada coeficiente de acoplamento (K) e pode ser expresso por:

2

12

1

21

ff

ff

==K (1.27)

Da expresso (1.23) tem-se que:

1

21221 i

NMf

=



De forma anloga pode-se escrever que:

2

12121 i

NMf

= (1.28)

Como M12=M21, tem-se:

22112 MMM = (1.29)

E ainda,

=

2

121

1

212

2

iN

iNM

ff (1.30)

Levando (1.27) em (1.30), vem:

=

2

121

1

212

22

iN

iNKM

ff (1.31)

Ou ainda,

=

2

22

1

11

22

iN

iNKM

ff (1.32)

Como,

1

111 i

NLf

= (1.33)

2

222 i

NLf

= (1.34)



Temos que:

21 LLKM = (1.35)

Onde:

K = Coeficiente de acoplamento;

L1 = Indutncia prpria da bobina (01);

L2 = Indutncia prpria da bobina (02);

M = Indutncia mtua entre as bobinas (01) e (02).

1.6 PERGUNTAS PROPOSTAS

Responda as seguintes perguntas:

01) O que um circuito magntico? Onde so utilizados?

02) Por qu importante o estudo de circuitos magnticos?

03) O que se entende por fluxo magntico atravessando uma espira?

04) Do que depende um fluxo magntico?

05) Quais so as unidades de fluxo magntico que normalmente utilizadas?

06) Fale sobre a experincia realizada por Michael Faraday.

07) Qual o significado da lei de Faraday?

08) O que uma f.e.m. de movimento? Onde se aplica? D exemplos.

09) O que uma f.e.m. de efeito transformador? Onde se aplica? D um

exemplo.



10) Qual o significado da lei de Lenz?

11) Qual o significado de fluxo enlaado?

12) D exemplos de fluxos enlaados com bobinas.

13) O fluxo enlaado tem o mesmo significado que o fluxo concatenado?

14) O que a indutncia prpria de uma bobina?

15) Qual a relao entre a indutncia prpria e o fluxo enlaado?

16) O que voc entende por indutncia mtua entre duas bobinas?

17) Qual a unidade da indutncia prpria?

18) Qual a unidade da indutncia mtua?

19) O que o coeficiente de acoplamento?

20) Qual a relao entre a indutncia mtua de duas bobinas e as suas

respectivas auto-indutncias? Faa uma deduo matemtica.

1.7 PROBLEMAS PROPOSTOS

Resolva os seguintes problemas:

01) Considere um fluxo magntico de 3000 linhas. Calcule seu valor em Weber.

02) Qual a densidade de fluxo em Tesla quando existe um fluxo de 0.0006

[Wb] atravs de uma rea de 0.0003 m2?



03) Determine a polaridade magntica do eletroim da figura a seguir (utilize a

regra da mo direita):

04) O fluxo de um eletroim de 06 [Wb]. O fluxo aumenta uniformemente at

12 [Wb] num intervalo de 02 [s]. Calcule a tenso induzida numa bobina que contenha

10 espiras, se a bobina estiver parada dentro do campo magntico.

05) No problema anterior, qual o valor da tenso induzida se o fluxo

magntico permanecer constante em 06 [Wb] aps 02 [s]?

06) Um im permanente desloca-se dentro de uma bobina e produz uma

corrente induzida que passa pelo circuito da mesma, conforme figura a seguir.

Determine a polaridade da bobina e o sentido da corrente induzida.

07) Uma bobina de 100 espiras, com auto- indutncia de 10 [H], percorrida por

uma corrente de 05 [A], que tem uma taxa de variao de 200 A/s. Calcular o

fluxo enlaado com a bobina e a f.e.m. induzida na mesma.



08) Uma bobina tem uma indutncia prpria igual a 5 [H] e corrente i dada

por: ( )tii MX = 377sen . Fazer o grfico do fluxo magntico, do fluxo enlaado e da f.e.m. induzida em funo do tempo.

09) Qual a densidade de fluxo de um ncleo que possui 20000 linhas e uma

rea da seo reta de 5 [cm2]?

10) Complete o quadro a seguir com os valores que esto faltando. Todas as

respostas devem ser dadas em unidades do Sistema Internacional.

f B A

0.000035 [Wb] ? 0.001 [m2]

? 0.8 [T] 0.005 [m2]

10000 [linhas] ? 02 [cm2]

0.000090[Wb] ? 0.003 [m2]

11) No campo estacionrio de uma bobina de 500 espiras, calcule a tenso

induzida produzida pelas seguintes variaes de fluxo:

(a) 04 [Wb] aumentando para 06 [Wb] em 01 [s];

(b) 06 [Wb] diminuindo para 04 [Wb] em 01 [s];

(c) 4000 linhas de fluxo aumentando para 5000 linhas em 5.10-6 [s];

(d) 04 [Wb] constante durante 01 [s].

12) Em um par de bobinas acopladas, a corrente contnua na bobina (01) de 05

[A] e os fluxos correspondentes 11f e 21f so, respectivamente, 20000 e 40000

[Maxwell]. Sendo N1 = 500 e N2 = 1500, os totais de espiras, determinar L1, L2, M e K.

13) Duas bobinas L1 = 0.8 [H] e L2 = 0.2 [H] tm um coeficiente de

acoplamento K = 0.9. Determinar a indutncia mtua entre elas, bem como a relao

N1/N2.



14) Duas bobinas cujas respectivas auto- indutncias so L1 = 0.05 [H] e L2 =

0.20 [H] tm coeficiente de acoplamento igual a 0.5. A bobina (2) tem 1000 espiras.

Sendo ( )ti = 400sen051 a corrente na bobina (01), determinar a tenso na bobina (02) e o fluxo mximo estabelecido pela bobina (01).

15) Duas bobinas tm coeficiente de acoplamento igual a 0.85 e a bobina (01)

tem 250 espiras. Com i1 = 02 [A] na bobina (01), o fluxo total 1f = 0.0003 [Wb].

Reduzindo-se i1 linearmente at zero, em dois milissegundos a tenso induzida na

bobina (02) fica igual a 63.75 [V]. Determinar L1, L2, M e N2.

16) O coeficiente de acoplamento de duas bobinas, respectivamente, com N1 =

100 e N2 = 800 espiras 0.85. Com a bobina (01) aberta e uma corrente de 05 [A] na

bobina (02), o fluxo 2f 0.00035 [Wb]. Determinar L1, L2 e M.

17) Duas bobinas idnticas tm indutncia equivalente de 0.08 [H], quando

ligadas em srie aditiva, e de 0.035 [H], quando em srie subtrativa. Quais so os

valores de L1, L2, M e K?

18) Duas bobinas idnticas tm L = 0.02 [H] e coeficiente de acoplamento K =

0.8. Determinar M e as duas indutncias equivalentes, admitindo que elas estejam

ligadas em srie aditiva e em srie subtrativa.

19) Duas bobinas cujas indutncias esto na relao de quatro para um tm

coeficiente de acoplamento igual a 0.6. Ligadas em srie aditiva, sua indutncia

equivalente 44.4 [mH]. Determinar L1, L2 e M.

20) Qual a indutncia de uma bobina que induz 20 [V], quando a corrente que

passa pela bobina varia de 12 para 20 [A] em 2 [s]?

21) Uma bobina tem uma indutncia de 50 [mH]. Qual a tenso induzida na

bobina quando a taxa de variao da corrente for de 10000 [A/s]?



22) Uma determinada bobina de 20 [mH] opera com uma frequncia de 950

[kHz]. Qual a reatncia indutiva da bobina?

1.8 BIBLIOGRAFIA

[1] Robert Stein and William T. Hunt Jr., Electric Power System Components

- Transformers and Rotating Machines, Van Nostrand Reinhold Company,

1979.

(Ver captulo 02 - pgs. 10 a 14);

[2] Milton Gussow, Eletricidade Bsica, Coleo Schaum, Editora McGraw-

Hill do Brasil, Ltda, 1985.

(Ver captulo 09 - pgs. 232 a 235, captulo 12 - pgs. 307 a 316);

[3] Joseph A. Edminister, Circuitos Eltricos, Coleo Schaum, Editora

McGraw-Hill, Ltda e Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1991.

(Ver captulo 01 - pgs. 6 e 7, captulo 13 - pgs. 362 a 365);

[4] Paul A. Tipler, Fsica, Volume 2a, Editora Guanabara Dois S.A., Segunda

Edio, 1986.

(Ver captulo 27 - pgs. 764 a 766, captulo 28 - pgs. 775 a 781 e 784 a

786);

[5] David Halliday e Robert Resnick, Fundamentos de Fsica, Parte 03 -

Eletromagnetismo, LTC - Livros Tcnicos e Cientficos Editora Ltda, 1991.

(Ver captulo 32 - pgs. 189 a 194, captulo 33 - pgs. 219 a 222 e 227 a

228);

[6] Curso Completo de Eletricidade Bsica, U. S. Navy, Bureau of Naval

Personnel, Training Publications Division, Hemus Livraria Editora Ltda.

(Ver captulo 08 - pgs. 209 a 213 e 220 a 222, captulo 10 - pgs. 241 a 248

e 254 a 259);



[7] L. Bessonov, Applied Electricity for Engineers, MIR Publishers -

Moscow, 1973.

(Ver captulo 04 - pgs. 114 a 122 e 127 a 129).



CAPTUL0 02 MATERIAIS MAGNTICOS

______________________________________________________________________

2.1 INTRODUO

Desde a antiguidade os gregos j conheciam o fato de que certas pedras tinham a

capacidade de atrair pequenos pedaos de alguns metais. Como muitas destas pedras

foram encontrados em Magnsia, na sia Menor, os gregos chamaram a substncia de

magnetita ou magntica. Esta substncia (Fe3O4) constitui o que se chama na atualidade

de ims naturais.

Por volta de 2630 a.C., os chineses perceberam que pequenas barras de um certo

minrio tinham a estranha propriedade de apontar sempre em direo ao plo norte, o

que levou descoberta da bssola, que nada mais do que um pequeno im natural.

Alm dos ims naturais, existem nos dias de hoje, ims desenvolvidos pelas

mos do homem, so os chamados ims artificiais.

Um im qualquer apresenta duas regies bem distintas, prximas as quais as

aes magnticas so mais intensas; pode-se verificar esta propriedade jogando limalha

de ferro nas proximidades de um im em forma de barra. A limalha ser atrada pelo

im e se concentrar em grande parte nas extremidades dele.

Estas regies so denominadas plos do im. A extremidade que aponta em

direo ao norte chamada de plo norte do im e a outra extremidade o plo sul. Os

dois plos de um im, ou seja, os plos norte e sul, formam um dipolo magntico.



Para se distinguir os plos costume hachurar o plo norte, conforme ilustra a

figura 2.1 a seguir.

N S

Figura 2.1 - Plos Norte e Sul de um Im

Os plos de mesmo nome se repelem (observar figura 2.2), enquanto que os

plos de nomes contrrios se atraem (conforme figura 2.3).

NS

S NS

S

N

N

Figura 2.2 Repulso dos Plos

NS

SNS

S

N

N

Figura 2.3 Atrao dos Plos

O que acontecer se tentar dividir ao meio o im apresentado figura 2.1? Sero

obtidos plos norte e sul separados?



No, na realidade impossvel separar os plos de um im. Portanto, no caso da

diviso ao meio, seriam obtidos dois novos ims menores (com plos norte e sul) e

assim sucessivamente caso fossem realizadas novas divises.

A figura 2.4, a seguir, ilustra esta condio.

SN

N NS S

Figura 2.4 - Inseparabilidade dos Plos

Portanto, os plos norte e sul de um im so inseparveis. Isto ocorre porque a

estrutura magntica mais simples que existe na natureza o dipolo magntico

elementar. Em outras palavras, os ims, ou os materiais (de uma forma geral), possuem

uma infinidade de dipolos magnticos elementares, como queles apresentados

esquematicamente figura 2.5 a seguir.

Figura 2.5 Dipolos Magnticos Elementares

Os dipolos magnticos elementares (d.m.e.) so os responsveis pelas

propriedades magnticas da matria e esto associados aos eltrons.



2.2 CLASSIFICAO DOS CORPOS QUANDO A IMANTAO

Os corpos podem ser classificados de acordo com o grau de orientao de seus

dipolos magnticos elementares, ou seja, eles podem ser classificados quanto a sua

imantao. A seguir sero apresentadas trs disposies possveis para os dipolos

magnticos elementares.

2.2.1 Corpo Fortemente Imantado

A figura 2.6, a seguir, apresenta uma disposio tpica de um corpo fortemente

imantado.

Figura 2.6 Corpo Fortemente Imantado

Como pode ser observado, o corpo fortemente imantado aquele que apresenta

uma forte orientao dos dipolos magnticos elementares.

2.2.2 Corpo Fracamente Imantado

Um corpo fracamente imantado aquele que demonstra uma ligeira orientao

dos dipolos magnticos elementares, como pode ser observado figura 2.7, a seguir.



Figura 2.6 Corpo Fracamente Imantado

2.2.3 Corpo No-Imantado Diferentemente dos dois casos anteriores, pode-se dizer que em um corpo no-

imantado a disposio dos dipolos magnticos elementares aleatria, ou seja, no h

uma orientao definida. A figura 2.8, a seguir, ilustra esta condio.

Figura 2.8 Corpo No-Imantado

Alguns materiais e substncias podem assumir a caracterstica de imantao

forte, outros no. importante portanto que se faa uma classificao magntica para os

mesmos. Isto pode ser realizado, dividindo-os em grupos diferenciados quanto

possibilidade de orientao dos dipolos magnticos elementares.

Esta classificao ser realizada no item seguinte.



2.3 CLASSIFICAO MAGNTICA DOS MATERIAIS E SUBSTNCIAS

Os materiais e substncias so classificados magneticamente, ou seja,

classificados de acordo com a capacidade de orientao dos d.m.e (maior ou menor).

Costumam ser considerados trs grupos distintos: ferromagnticos, paramagnticos e

diamagnticos. Estes grupos sero apresentados a seguir.

2.3.1 Materiais Ferromagnticos

So materiais que possibilitam uma orientao abundante para os seus dipolos

magnticos elementares, isto , podem ser fortemente imantados quando da ao de um

campo magntico externo. De uma forma geral, estes materiais tendem a alinhar seus

d.m.e. de forma paralela ao campo magntico aplicado. Fenmeno deste tipo ocorre em

materiais como: ferro, nquel, ao, cobalto, etc.

2.3.2 Materiais Paramagnticos

A caracterstica magntica deste tipo de material a de permitir apenas uma leve

orientao dos d.m.e., de forma paralela ao campo magntico externo que lhe

submetido. Boa parte dos chamados materiais isolantes classificada como

paramagntica. Podem ser citados exemplos como: madeira, vidro, ar, etc.

2.3.3 Materiais Diamagnticos

De forma semelhante aos materiais paramagnticos, os diamagnticos permitem

apenas uma orientao muito fraca dos seus d.m.e., quando da ao externa de um

campo magntico. Entretanto, estes materiais apresentam uma caracterstica toda

peculiar, que de alinhar os d.m.e. de forma antiparalela ao campo exterior, ou seja,

orientam os d.m.e. em sentido contrrio ao campo magntico aplicado. So exemplos

deste tipo magntico: a gua, o cobre, a prata, o ouro, o diamante, etc.

Como pode ser observado nos exemplos anteriores, so classificados como

diamagnticos os chamados metais nobres (ouro, prata, cobre, etc).



Alguns materiais no permitem uma forte orientao dos d.m.e., outros

permitem e outros ainda so encontrados na natureza com caractersticas magnticas

acentuadas. Os materiais que permitem uma forte orientao dos d.m.e. podem ser

chamados de ims, sendo caracterizados como artificiais ou naturais, conforme ser

visto no item seguinte.

2.4 TIPOS DE IM

Os ims podem ser classificados em trs tipos: im natural, im artificial

permanente e im artificial transitrio.

As principais caractersticas destes ims sero consideradas neste item.

2.4.1 Ims Naturais

Ims naturais so materiais com caractersticas magnticas prprias, obtidas

diretamente da natureza. Estes materiais, que foram utilizados inicialmente na

confeco de bssolas, apresentam uma orientao bem definida dos dipolos

magnticos elementares (d.m.e.).

Exemplos de Ims Naturais

Minrios como a magnetita (Fe3O4)

Tabela 2.1 Exemplos de Ims Naturais

2.4.2 Ims Artificiais Permanentes

So materiais que apresentam comportamentos distintos quando da presena ou

no de um campo magntico externo, ou seja: na ausncia de um campo magntico

externo estes materiais apresentam, de uma forma geral, uma disposio aleatria para

os seus d.m.e. Sendo submetidos a um campo externo, tendem a alinhar os d.m.e. no

sentido deste campo, ficando ento imantados. Supondo agora que o campo externo seja

retirado, boa parte dos d.m.e. permanecer com a orientao anterior, podendo-se dizer,



portanto, que o material permanecer imantado. Esta caracterstica de imantao

residual (ou permanente) depende do tipo de material considerado.

Exemplos de Ims Artificiais Permanentes

Algumas ligas metlicas como: ao, ao-carbono (ao com elevado teor de carbono), alnico 5

(liga composta por: alumnio, nquel e cobalto), etc.

Tabela 2.2 Exemplos de Ims Artificiais Permanentes

2.4.3 Ims Artificiais Transitrios

Estes materiais tambm apresentam comportamentos distintos quando da

presena ou ausncia de um campo magntico externo, a saber: na ausncia de um

campo magntico externo estes materiais apresentam, como os anteriores, uma

disposio aleatria para os seus d.m.e. Sendo submetidos a um campo externo,

promovem um alinhamento dos d.m.e. no sentido deste campo, ficando ento

imantados. No caso da retirada do campo externo, uma parcela reduzida dos d.m.e.

permanecer com a orientao anterior, podendo-se dizer que o material praticamente

perder sua imantao.

Exemplos de Ims Artificiais Transitrios

Ferro, ligas metlicas como o ferro-silcio, etc.

Tabela 2.3 Exemplos de Ims Artificiais Transitrios

2.5 INFLUNCIA DA TEMPERATURA

A experincia mostra que, acima de um determinado valor de temperatura os

materiais ferromagnticos perdem as suas propriedades magnticas principais, ou seja,

perdem a orientao de seus d.m.e. Este valor de temperatura denominado Ponto

Curie ou Temperatura de Curie, de um dado material.



A tabela 2.4, a seguir, apresenta o ponto Curie e o ponto de fuso de alguns

materiais ferromagnticos importantes.

Materiais Ponto Curie

[C]

Ponto de Fuso

[C]

Nquel 358 2566

Ferro 770 1535

Cobalto 1131 1480

Tabela 2.4 - Ponto Curie e Ponto de Fuso de Alguns Materiais

2.6 CAMPO MAGNTICO DE UMA BARRA IMANTADA

Considere um condutor por onde passa uma corrente i, conforme ilustra a

figura 2.9 a seguir.

i

Figura 2.9 Condutor com Corrente

A passagem da corrente pelo condutor d origem a um campo magntico ao seu

redor. Se a corrente for varivel o campo magntico ser varivel. Se por outro lado a

corrente for constante, o campo magntico tambm ser constante.

De acordo com o modelo de Ampre, todos os campos magnticos, de uma

forma ou de outra, provm de correntes. Nos ims naturais, e em outros materiais

magnetizados, estas correntes se devem ao movimento intrnseco dos eltrons atmicos.

Embora estes movimentos sejam complexos, pode-se admitir, para este modelo, que os



movimentos sejam equivalentes a espiras fechadas, conforme ilustra a figura 2.10 a

seguir.

Figura 2.10 Movimento dos Eltrons em uma Barra Imantada

Se o material for homogneo, a corrente resultante, em qualquer ponto no

interior da barra, nula, graas ao cancelamento das correntes vizinhas. No entanto, em

virtude de no haver cancelamento na superfcie do material, o resultado destas espiras

equivale a uma corrente perifrica, denominada corrente superficial de Ampre. Esta

corrente superficial semelhante a uma corrente de conduo real em uma bobina (ou

solenide) de espiras justapostas, ou seja, uma bobina de espiras muito prximas umas

das outras. O campo magntico devido a uma corrente superficial o mesmo que o

provocado por uma corrente superficial em uma bobina.

Seja M a corrente superficial de Ampre por unidade de comprimento da

superfcie de um im linear cilndrico. A grandeza correspondente na bobina o produto

in , sendo n o nmero de espiras por unidade de comprimento ( lN / ) e i a

corrente que passa em cada espira.

Na regio interna de uma bobina, o campo magntico aproximadamente igual

a:

l

iNinB

== 000 mm (2.1)



Esta aproximao ser boa desde que o ponto considerado para o campo

magntico no esteja prximo das extremidades da barra.

Substituindo a corrente por unidade de comprimento da bobina, n.i, pela corrente

superficial de Ampre que lhe corresponde, por unidade de comprimento do im, M,

tem-se para o campo magntico no interior do im, longe das extremidades, que:

MBm = 0m (2.2)

Atravs deste modelo possvel fazer uma analogia entre o campo produzido no

interior de uma bobina, quando por ela circula uma corrente i, ou seja:

inB = 00 m

Com o campo magntico no interior de um im, produzido pela chamada

corrente superficial de Ampre,

MBm = 0m

Portanto, M, no caso do im natural, corresponde ao produto in , no caso

de uma bobina ou solenide. Assim, pode-se escrever que:

l

iNinM

== (2.3)

2.7 MAGNETISMO EM MEIOS MATERIAIS

Considere um material (por exemplo o ferro) em forma de barra cilndrica

introduzida em uma bobina de N espiras, confo rme ilustra a figura 2.11 a seguir.



Figura 2.11 - Material Dentro de Uma Bobina

Para uma corrente i injetado no ponto a, surgir um campo magntico total

B. Este campo magntico formado pela ao da corrente i que passa pelas N

espiras da bobina e pela ao da corrente superficial de Ampre, no material.

Desta forma, pode-se analisar o comportamento do dispositivo da figura 2.11

anterior (na verdade um eletrom) fazendo-se uma separao dos efeitos. Para tanto,

considere inicialmente apenas a bobina de N espiras, conforme apresentado figura

2.12 a seguir.

Figura 2.12 - Bobina de N Espiras com Corrente

A passagem da corrente pela bobina dar origem a um campo magntico B0,

no seu interior, que poder ser escrito como sendo:

l

iNinB

== 000 mm (2.4)



Onde:

l = Comprimento da bobina.

Portanto, o campo magntico B0 ser produzido apenas pela passagem da

corrente i na bobina.

Definindo agora o produto in como sendo a intensidade de campo

magntico (H), ou seja:

l

iNinH

== (2.5)

Tem-se em (2.4) que:

HB = 00 m (2.6)

Onde:

B0 = Campo magntico no interior da bobina ou solenide [ ]2/ mWb ; 0m = Permeabilidade magntica do vcuo, de valor igual a [ ]mH /104 7-p ;

H = Intensidade de campo magntico [ ]mEA / .

A expresso (2.6) apresenta o campo magntico causado apenas pela passagem

da corrente pela bobina.

Introduzindo o material cilndrico na bobina, conforme indicado figura 2.11

anterior, ir aparecer no interior deste material um campo magntico total B. Isto

ocorre porque agora os dipolos magnticos elementares estaro sujeitos ao do

campo externo B0, e desta forma proporcionaro o surgimento de uma corrente

superficial de Ampre por unidade de comprimento (M). Esta corrente superficial dar

origem a um campo magntico Bm, conforme visto anteriormente (observar expresso

2.2).



Portanto, o campo magntico total B ser formado pela ao conjunta dos

campos B0 e Bm, ou seja:

mBBB += 0 (2.7)

Das expresses (2.2) e (2.6), pode-se escrever que:

MHB += 00 mm (2.8)

Ou ainda,

( )MHB += 0m (2.9)

A equao (2.9) pode ser colocada ainda na seguinte forma vetorial:

( )MHB += 0m (2.10)

Onde:

B = Vetor densidade de campo magntico;

H = Vetor intensidade de campo magntico;

M = Vetor de magnetizao, sendo o seu mdulo igual corrente superficial

de Ampre por unidade de comprimento (M).

2.8 SUSCEPTIBILIDADE E PERMEABILIDADE MAGNTICAS

Nos materiais e substncias paramagnticas e diamagnticas, existe uma

proporcionalidade entre a corrente superficial de Ampre por unidade de comprimento

(M) e a intensidade de campo magntico (H). Esta relao de proporcionalidade pode

ser expressa por:

HxM m = (2.11)



Onde:

xm =

Constante de proporcionalidade entre M e H, definida como sendo

a susceptibilidade magntica do material ou substancia (grandeza

adimensional).


( )HxHB m += 0m

Ou ainda,

( ) HxB m += 10m (2.12)

Definindo agora,

( )mx+= 10mm (2.13)

De onde tiramos a relao,

HB = m (2.14)

Onde:

m = Permeabilidade magntica do material [ ]mH /

Da expresso (2.13), pode-se fazer a seguinte relao:

0

1mm=+ mx (2.15)

Como pode ser observado, o valor mx+1 corresponde a relao da

permeabilidade magntica do material pela permeabilidade magntica do vcuo. Assim



sendo, mx+1 pode ser chamada de permeabilidade magntica relativa do material, ou

seja:

0

1mmm =+= mr x (2.16)

Portanto, a expresso (2.12) pode ser escrita ainda sob a forma:

HHB r == mmm 0 (2.17)

Onde:

rm = Permeabilidade magntica relativa do material ou substancia (grandeza

adimensional)

Definidas as diversas caractersticas magnticas bsicas para os materiais e

substncias, pode-se passar agora a uma anlise do comportamento magntico dos

materiais paramagnticos, diamagnticos e ferromagnticos.

2.9 PARAMAGNETISMO

Este fenmeno est associado aos materiais e substncias paramagnticas. O

paramagnetismo apresenta as seguintes caractersticas bsicas:

a) Na ausncia de um campo magntico externo os dipolos magnticos

elementares se apresentam dispostos de forma aleatria, sem indicar

nenhuma orientao predominante. A figura 2.13 a seguir ilustra esta

condio.



Figura 2.13 Disposio Aleatria dos D.M.E.

b) Na presena de um campo magntico externo os dipolos magnticos

elementares se alinham fracamente e de forma paralela ao campo aplicado.

A figura 2.14 a seguir ilustra esta condio.

B

Figura 2.14 Disposio Fracamente Orientada dos D.M.E.

c) Retirando o campo externo os dipolos magnticos elementares voltam a

uma disposio aleatria. A figura 2.15 a seguir ilustra esta condio.




d) A disposio dos dipolos magnticos elementares sensvel s variaes de

temperatura. Para elevadas temperaturas a orientao dos d.m.e.

extremamente fraca, devido s vibraes trmicas.

e) Em temperaturas extremamente baixas, prximas do zero absoluto, os

d.m.e. tendem a apresentar uma forte orientao, caracterizando um

comportamento semelhante ao dos materiais ferromagnticos;

f) A susceptibilidade magntica positiva e bastante reduzida, ou seja:

10



a) Na ausncia de um campo magntico externo os dipolos magnticos

elementares se apresentam dispostos de forma aleatria, sem indicar

nenhuma orientao predominante. A figura 2.16 a seguir ilustra esta

condio.


b) Na presena de um campo magntico externo os dipolos magnticos

elementares se alinham fracamente e de forma antiparalela ao campo

aplicado. A figura 2.17 a seguir ilustra esta condio.

B

Figura 2.17 Disposio Fracamente Orientada dos D.M.E.

c) Retirando o campo externo os dipolos magnticos elementares voltam a

uma disposio aleatria. A figura 2.18 a seguir ilustra esta condio.




d) A disposio dos dipolos magnticos elementares pouco sensvel s

variaes normais de temperatura.

e) A susceptibilidade magntica negativa e bastante reduzida, ou seja:

10 ->>>> mx

Isto ocorre porque a orientao dos d.m.e. fraca e se apresenta de forma

antiparalela ao campo magntico externo;

f) A permeabilidade magntica pouca coisa inferior a permeabilidade

magntica do vcuo, podendo-se considerar at que:

0mm @

Desta forma, a permeabilidade magntica relativa praticamente unitria,

ou seja:

1@rm



Exemplos de Materiais Diamagnticos

Bismuto, cobre, diamante, ouro, prata, sdio, hidrognio, dixido de carbono, nitrognio, gua,

mercrio, etc.

Tabela 2.6 Exemplos de Materiais Diamagnticos

2.11 FERROMAGNETISMO

O ferromagnetismo um fenmeno que ocorre em materiais e substncias como:

Exemplos de Materiais Ferromagnticos

- Ferro

- Nquel

- Cobalto

- Ligas Metlicas Ao

Ao-Carbono (ao com maior teor de carbono);

Ferro-Silicio (96% Fe, 04% Si);

Mumetal (77% Ni, 16% Fe, 5% Cu, 2% Cr);

Alnico 5 (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3 Cu);

Permalloy (55% Fe, 45% Ni);

Etc.

Tabela 2.7 - Exemplos de Materiais Ferromagnticos

A caracterstica fundamental dos materiais ferromagnticos a de admitir com

facilidade elevadas magnetizaes.

De uma forma geral, o ferromagnetismo apresenta as seguintes propriedades

bsicas:

a) Os dipolos magnticos elementares so agrupados em diversos setores,

formando regies dentro do material, com orientao bem definida. Este



agrupamento de d.m.e. chamado de domnio magntico elementar e

uma propriedade bsica dos materiais ferromagnticos. A figura 2.19 ilustra

esta condio.

Figura 2.19 Domnios Magnticos Elementares

b) Para um material que no tenha sofrido qualquer imantao, os domnios

magnticos elementares se apresentam dispostos de forma aleatria,

conforme ilustra a figura 2.20 a seguir.

Figura 2.20 Disposio Aleatria dos Domnios Magnticos

Obs.: Uma exceo importante a dos ims naturais, que apresentam

orientao in natura dos domnios magnticos elementares.

c) Supondo que o material do item anterior seja submetido a um campo

magntico externo, haver uma tendnc ia de orientao rpida dos domnios

magnticos elementares, de forma paralela ao campo aplicado. A figura 2.21

ilustra esta condio.



B

Figura 2.21 Orientao dos Domnios Magnticos Elementares

d) Considerando agora a retirada do campo magntico externo, haver uma

perda da orientao dos domnios magnticos elementares que poder ser

pequena ou elevada, dependendo do tipo de material empregado. Esta

condio est retratada figura 2.22 a seguir.

Figura 2.22 Orientao Residual dos domnios Magnticos

Portanto os materiais ferromagnticos tendem a ficar com uma imantao

residual ou remanescente.

e) Os materiais ferromagnticos perdem as suas propriedades de orientao

dos domnios magnticos elementares, quando submetidos a elevadas

temperaturas. A temperatura limite para a perda de imantao destes

materiais chamada de ponto Curie ou temperatura de Curie. partir

desta temperatura os materiais ferromagnticos apresentam propriedades

magnticas semelhantes as dos materiais paramagnticos.



2.11.1 Curva de Saturao

Seja o dispositivo composto por uma bobina e um ncleo de material

ferromagntico, da figura 2.23 a seguir.

Figura 2.23 Bobina com Material Ferromagntico

Para uma corrente contnua i injetado no ponto a, obtm-se um campo

magntico B. Aumentando-se gradualmente o valor desta corrente, haver uma

elevao tambm gradual do campo magntico B. Na verdade, o que est ocorrendo,

uma orientao lenta dos domnios magnticos elementares do material. Quando

praticamente todos estes domnios estiverem orientados, mais difcil ficar o incremento

no campo magntico total que circunda o dispositivo. Neste ponto diz-se que o material

est chegando a saturao. Portanto, a saturao de um material corresponde condio

de quase totalidade de orientao dos domnios magnticos elementares.

A figura 2.24, a seguir, ilustra a condio de saturao ocorrida no material, com

o aumento do valor da corrente i.



Figura 2.24 Curva de Saturao (B x i) do Material

Da equao (2.5), tem-se que:

liN

inH==

Tomando o valor da corrente, vem:

NlH

i=

Como, o nmero de espiras (N) e o comprimento (l) da bobina, so constantes,

existe uma relao de proporcionalidade entre a corrente (i) e a intensidade de campo

magntico (H). Desta forma, a curva de saturao do material pode ser modificada,

simplesmente atravs de mudana de escala na sua abscissa. Esta condio

apresentada figura 2.25.

Figura 2.25 Curava de Saturao (B x H) do Material



Como pode ser observada, at a saturao do material, a permeabilidade

magntica permanece praticamente constante. A partir da seu comportamento passa a

ser eminentemente varivel, caracterizando uma no- linearidade entre B e H. Assim

sendo, pode-se dizer que: nos materiais ferromagnticos a permeabilidade magntica

( m ) varivel, devido a saturao.

Na figura 2.25, o valor HS corresponde a intensidade de campo magntico

saturante, ou seja, o valor de H para o qual o material comea a sofrer o efeito da

saturao. A densidade de campo magntico correspondente vale BS.

A tabela 2.8 a seguir apresenta valores das densidades de campo magntico

BS, bem como permeabilidades magnticas relativas ( rm ), para alguns materiais

ferromagnticos.

Material Ferromagntico

Campo Magntico Bs (Tesla)

Permeabilidade Relativa ( rm )

Ferro (temperado) 2.16 5500

Ferro-Silicio 1.95 7000

Permalloy 1.60 25000

Mumetal 0.65 100000

Tabela 2.8 Valores de BS e m para a Alguns Materiais

2.11.2 Ciclo de Histerese No dispositivo da figura 2.23, considere uma corrente alternada senoidal i (do

tipo apresentado figura 2.26 a seguir), sendo injetada no ponto a.



Figura 2.26 Corrente Alternada Senoidal

A passagem desta corrente pela bobina dar origem a um campo magntico

varivel B. A corrente i proporcional a intensidade de campo magntico H,

desta forma, medida que a corrente varia, a intensidade de campo magntico tambm

varia. Esta variao ir ocasionar uma alterao no campo magntico total do

dispositivo.

A figura 2.27, a seguir, mostra como ser o comportamento do campo magntico

B, para um ciclo completo da corrente alternada senoidal representada pela figura

2.26.

Figura 2.27 Curva B x H (Ciclo de Histerese)



O ponto (01) corresponde condio inicial, a corrente nula e o material no

apresenta qualquer imantao. O ponto (02) est associado condio de mxima

corrente no sentido positivo. Para este valor de corrente tem-se o valor mximo positivo

da densidade de campo magntico (Bmx). No ponto (03), a corrente se anula e o

material mantm um magnetismo residual ou remanescente (Br) positivo, ou seja,

permanece uma determinada orientao dos domnios magnticos elementares. A partir

deste ltimo ponto, at (04), a corrente cresce negativamente at atingir seu mximo

valor. No ponto (04) tem-se a correspondente densidade de campo magntico mxima

em sentido contrrio (ou negativa). Finalmente em (05), a corrente se anula novamente,

restando no material um magnetismo residual (Br) negativo.

Ao percurso fechado da figura 2.27 (curva B x H) d-se o nome de ciclo de

histerese. Portanto, a cada ciclo da corrente alternada i corresponde um ciclo da

curva B x H.

A figura 2.28 a seguir apresenta, com maiores detalhes, alguns valores

importantes de densidade de campo magntico (B) e de intensidade de campo

magntico (H), do ciclo de histerese.

Figura 2.28 Ciclo de Histerese



Na figura 2.28, podem ser observados os seguintes valores:

Br = Magnetismo Residual ou Remanescente a densidade de campo

magntico que permanece no material aps a retirada do campo magntico externo, ou

seja, quando a corrente i se anula. Corresponde a orientao remanescente dos

domnios magnticos elementares do material;

Bmx = Densidade de Campo Magntico Mxima corresponde ao mximo

valor de campo magntico no material. produzido pelo valor mximo da corrente i

na bobina;

Hc = Fora Coercitiva ou Coerciva a intensidade de campo magntico

necessria para eliminar o magnetismo residual ou remanescente do material.

Com relao polarizao, pode-se observar na figura 2.28 as seguintes

caractersticas dos materiais ferromagnticos:

01o Quadrante B (+) e H (+) Mesmos Sentidos

02o Quadrante B (+) e H () Sentidos Opostos

03o Quadrante B () e H () Mesmos Sentidos

04o Quadrante B () e H (+) Sentidos Opostos

Tabela 2.9 Caractersticas dos Materiais Ferromagnticos

Os sentidos opostos, verificados nos quadrantes pares (02 e 04), ocorrem

devido ao processo de desimantao do material, ou seja, a eliminao do magnetismo

residual atravs da inverso no sentido da corrente i (e conseqentemente a inverso

da intensidade de campo magntico H).

2.11.3 Materiais Magnticos Duros e Moles

a) Materiais Magnticos Duros



Estes materiais apresentam as seguintes caractersticas bsicas:

- Ciclo de Histerese

Apresentam elevado magnetismo residual o que implica na necessidade de uma

elevada fora coercitiva. Conseqentemente a rea do ciclo de histerese grande, como

pode ser observado atravs da figura 2.29 a seguir.

Figura 2.29 Ciclo de Histerese dos Materiais Magnticos Duros

- Aplicao

So utilizados como ims permanentes e em dispositivos e equipamentos que

requerem elevado grau de magnetismo residual, como: alto-falantes, telefones,

medidores, etc.

A seguir esto listados alguns exemplos de materiais magnticos duros:



Exemplos de Materiais Magnticos Duros

Ao-Carbono (ao com maior teor de carbono)

Alnico 5 (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3% Cu)

Alcomax (24% Co, 14% Ni, 8% Al, 3% Cu, 1% Nb)

Bismanol (MnBi)

Tabela 2.10 Exemplos de Materiais Magnticos Duros

b) Materiais Magnticos Moles

Estes materiais apresentam as seguintes caractersticas bsicas:

- Ciclo de Histerese

Apresentam magnetismo residual bastante reduzido, o que implica na

necessidade de uma fora coercitiva de pequena intensidade. Conseqentemente a rea

do ciclo de histerese reduzida, como pode ser observado atravs da figura 2.30 a

seguir.

Figura 2.30 Ciclo de Histerese dos Materiais Magnticos Moles



- Aplicao

Por apresentarem reduzidas reas dos ciclos de histerese, os materiais

magnticos moles so utilizados na confeco de ncleos de transformadores e

mquinas eltricas rotativas. Como ser visto posteriormente, a rea do ciclo de

histerese est associada s perdas no ncleo, que so indesejveis em equipamentos de

alto rendimento (perdas reduzidas), como o caso dos transformadores e das mquinas

rotativas.

A seguir esto listados alguns exemplos de materiais magnticos moles:

Exemplos de Materiais Magnticos Moles

Ferro

Aos-Doces (aos com baixos teores de carbono)

Ferro-Silcio (96% Fe, 4% Si)

Mumetal (77% Ni, 16% Fe, 5% Cu, 2% Cr)

Permalloy

Tabela 2.11 Exemplos de Materiais Magnticos Moles

2.12 CORRENTES PARASITAS OU DE FOUCAULT

Seja o condutor com corrente i varivel, mostrado figura 2.31 a seguir.

Figura 2.31 Condutor com Corrente



A corrente i varivel d origem a um campo magntico varivel ao redor do

condutor.

Seja aproximar deste condutor uma determinada espira fechada. Atravs do

princpio da induo eletromagntica sabe-se que, um campo magntico varivel d

origem a uma f.e.m. induzida. Portanto, ir aparecer na espira uma f.e.m. induzida e

como a espira est fechada haver circulao de uma corrente. Este fato pode ser

verificado figura 2.32 a seguir.

Figura 2.32 Espira Fechada Prxima de um Condutor com Corrente

Seja agora aproximar do condutor uma determinada barra de ferro cilndrica.

Esta barra estar sujeita ao do campo magntico varivel (B), como pode ser

observado figura 2.33 a seguir.

Figura 2.33 Barra Cilndrica Prxima de um Condutor com Corrente



Nos ncleos magnticos macios, como aquele da figura 2.33, so encontradas

imperfeies. Algumas delas formam trajetrias fechadas, como espiras, e apresentam

uma determinada condutncia eltrica. A presena de um campo magntico variando

atravs destas pequenas espiras (ver figura 2.34) dar origem a correntes eltricas

induzidas.

Figura 2.34 Barra de Ferro Cilndrica com Imperfeies

Estas correntes induzidas, circulando no material, causam perdas por dissipao

de calor (efeito Joule). Portanto, quanto maior o nmero de trajetrias e quanto maiores

forem as suas condutncias (ou menores as suas resistncias), maiores sero as perdas

no ncleo, pelo efeito Joule.

Para uma determinada trajetria fechada (espira), tem-se que:

re

i = (2.10)

Onde:

I = Corrente induzida na espira;

e = F.e.m. induzida na espira;

r = Resistncia da trajetria fechada (espira).

Estas correntes induzidas no material (i) so chamadas de correntes

parasitas ou correntes de Foucault e provocam:



- Perdas por efeito Joule;

- Aquecimento do material (ncleo magntico);

- Reduo na orientao dos domnios magnticos elementares.

Na maioria das aplicaes, as correntes de Foucault so indesejveis. Desta

forma, importante desenvolver um procedimento para evit- las.

As correntes parasitas (ou de Foucault) podem ser reduzidas atravs da

laminao do ncleo magntico. O efeito deste processo pode ser verificado figura

2.35 a seguir.

Figura 2.35 Laminao do Ncleo Magntico

Da figura 2.35, v-se que atravs da laminao do ncleo magntico possvel

aumentar as resistncias eltricas das trajetrias fechadas (r) e conseqentemente

reduzir a intensidade das correntes parasitas (i). Notar que entre cada lmina ou chapa

existe uma pelcula isolante, que causa a elevao das resistncias das espiras.

2.13 PERGUNTAS PROPOSTAS

Responda as seguintes perguntas:

01) Por qu no se consegue isolar o plo norte do plo sul, em um im natural?

02) O que so os dipolos magnticos elementares?



03) Como so classificados os corpos quanto imantao?

04) Qual o significado de imantao?

05) Como so classificados magneticamente os materiais e substncias?

06) O que um im natural?

07) Quais so os tipos de ims artificiais?

08) Qual a diferena bsica entre um im artificial permanente e um im

artificial transitrio?

09) Qual o significado do ponto Curie?

10) Como surge o campo magntico em um im natural?

11) O que a corrente superficial de Ampre? Qual o seu efeito?

12) Determine o campo magntico no interior de um solenide ou bobina.

13) Qual o significado da intensidade de campo magntico? Como determin-

la?

14) O que acontece quando se introduz um material ferromagntico dentro de

uma bobina com corrente?

15) Qual a diferena entre densidade de campo magntico e intensidade de

campo magntico? Como so representadas? Quais as suas unidades usuais?

16) Qual o valor da permeabilidade magntica do vcuo? Como

representada?



17) Qual o significado do vetor de magnetizao?

18) O que a susceptibilidade magn tica de um material? Como

representada? Qual a sua unidade?

19) A susceptibilidade magntica definida para todos os materiais? Por qu?

20) O que a permeabilidade magntica? Como representada? Qual a sua

unidade usual?

21) O que a permeabilidade magntica relativa? Como representada? Qual

a sua unidade usual?

22) Qual a diferena entre a permeabilidade magntica e a susceptibilidade

magntica? Faa uma demonstrao matemtica.

23) Quais so as principais caractersticas dos materiais paramagnticos?

24) Quais so as principais caractersticas dos materiais diamagnticos?

25) Cite exemplos de substncias e materiais paramagnticos?

26) Cite exemplos de substncias e materiais diamagnticos?

27) Por qu as substncias diamagnticas possuem 10 ->>>> mx ?

28) Por qu as substncias paramagnticas possuem 10



31) Por qu os materiais ferromagnticos so facilmente imantados?

32) Cite exemplos de materiais ferromagnticos.

33) O que so as ligas metlicas?

34) Como a influncia da temperatura nos materiais ferromagnticos?

35) Por qu ocorre a saturao do campo magntico em um material

ferromagntico?

36) Qual o significado da curva de saturao de um material

ferromagntico? Como pode ser obtida?

37) A permeabilidade magntica de um material ferromagntico

constante? Explique.

38) Qual o significado de no-linearidade?

39) O que uma curva de magnetizao?

40) Qual o significado do ciclo de histerese? Como pode ser obtido? Explique.

41) O que magnetismo residual ou remanescente?

42) O que fora coerciva ou coercitiva?

43) O que pode ser feito para eliminar o magnetismo residual de um material?

Explique!

44) Qual a importncia do magnetismo remanescente? Cite exemplos.



45) Que valor define a densidade de campo magntico mxima, no ciclo de

histerese?

46) Quando submetidos a um campo magntico externo, os materiais

ferromagnticos sempre orientam os seus domnios magnticos elementares de forma

paralela ao mesmo? Explique detalhadamente.

47) Em termos de magnetizao, qual o efeito de uma corrente alternada

senoidal?

48) Quais so as caractersticas bsicas de um material magntico duro? Onde

so usados?

49) Quais so as caractersticas bsicas de um material magntico mole? Onde

so usados?

50) O que so as correntes de Foucault?

51) Como surgem as correntes de Foucault?

52) Como reduzir as correntes de Foucault?

53) Quais so os feitos das correntes de Foucault?

54) Qual a diferena entre correntes de Foucault e correntes parasitas?

55) Qual o significado de cada um dos smbolos a seguir:

B, H, n, N, m , 0m , rm , mx , L, l ?

56) Quais so as dimenses usuais dos seguintes parmetros e variveis:



B, H, n, N, m , 0m , rm , mx , L, l ?

2.14 BIBLIOGRAFIA

[1] Milton Gussow, Eletricidade Bsica, Coleo Schaum, Editora McGraw-



[2] Paul A. Tipler, Fsica, Volume 02a, Editora Guanabara Dois S.A.,

Segunda Edio, 1986.


[3] David Halliday e Robert Resnick, Fundamentos de Fsica , Parte 03 -

Eletromagnetismo, LTC - Livros Tcnicos e Cientficos Editora Ltda, 1991.


[4] L. Bessonov, Applied Electricity for Engineers, MIR Publishers -

Moscow, 1973.


[5] Syed A. Nasar, Mquinas Eltricas, Coleo Schaum, Editora McGraw-



[6] Encyclopedia Britannica, Magnetism.



CAPTUL0 03 CIRCUITOS MAGNTICOS

______________________________________________________________________

3.1 INTRODUO

Os circuitos magnticos utilizam materiais ferromagnticos no sentido de

direcionar e elevar a induo magntica (e conseqentemente o fluxo magntico). Isto

possvel uma vez que os materiais ferromagnticos possuem altas permeabilidades.

A figura 3.1, a seguir, apresenta um exemplo tpico de circuito magntico. Nesta

configurao, pode-se notar o direcionamento do fluxo magntico proporcionado pela

forma do ncleo.

Figura 3.1 Ncleo Magntico

3.2 EFEITO DA DISPERSO

Os circuitos magnticos tambm so sujeitos aos efeitos da disperso. Assim,

considere inicialmente a bobina ou solenide da figura 3.2 a seguir.



i

N

a b

B

dispersodisperso

Figura 3.2 Efeito da Disperso em um Solenide

Como pode ser observado, ocorre nas extremidades da bobina uma determinada

disperso do campo magntico atravs do ar (pode-se ver, na figura, uma reduo da

densidade de campo magntico B, nas extremidades). Este fenmeno conhecido

como efeito das extremidades ou disperso.

Considere agora o circuito magntico apresentado de forma esquemtica figura

3.3 a seguir.

Figura 3.3 Efeito da Disperso em um Ncleo Magntico

Neste caso, o efeito da disperso tambm ocorre nas extremidades da bobina.

Entretanto, devido alta permeabilidade proporcionada pelo material ferromagntico

que constitui o ncleo, este efeito de disperso ser bastante reduzido. Observar que a

alta permeabilidade oferece um caminho mais adequado circulao do fluxo

magntico. Portanto, quanto maior for a permeabilidade do ncleo, menor ser o efeito

da disperso de fluxo magntico pelo ar.



Da figura 3.3 tem-se que:

dt fff +=

Onde:

tf = Fluxo magntico total produzido pela corrente;

f = Fluxo magntico que circula pelo ncleo;

df = Fluxo magntico de disperso pelo ar.

Para materiais de alta permeabilidade tem-se que:

dff >>>

3.3 EQUACIONAMENTO

3.3.1 Determinao de B e H

Considere o circuito magntico da figura 3.4 a seguir. Para a linha mdia do

mesmo pose-se escrever que:

[ ]2/ mWbA

Bf= (3.1)

Onde:

B = Densidade de campo magntico de cada uma das pernas do ncleo

magntico;

f = Fluxo magntico que circula atravs de cada uma das pernas do

ncleo magntico;

A = rea da seo reta transversal de cada uma das pernas do ncleo

magntico.



Figura 3.4 Circuito Magntico

A densidade de campo magntico B pode ser expressa por:

( ) HxB m += 10m

Ou ainda,

HB = m

Portanto, determinado o valor de B (conforme expresso 3.1), e de posse da

curva de saturao do material, pode-se calcular o valor da intensidade de campo

magntico H correspondente, para cada uma das pernas do ncleo magntico.

Desta forma, considere a curva de saturao apresentada figura 3.5 a seguir.

Figura 3.5 Curva de Saturao do Material



Para cada valor de B haver um valor de H correspondente. Assim, pode-se

escrever tambm que:

[ ]mAEBH /m

= (3.2)

3.3.2 Definio de Fora Magnetomotriz

Foi visto anteriormente que:

liN

inH==

Desta forma, pode-se escrever tambm que:

iNlH =

Define-se como fora magnetomotriz, o produto lH ou o produto iN ,

ento:

[ ]AEiNlHF == (3.3)

Onde:

F = Fora magnetomotriz (ou simplesmente f.m.m.).

Esta definio realizada como uma analogia fora eletromotriz nos circuitos

eltricos. Tal correspondncia ser analisada no item seguinte.

3.4 ANALOGIA ELETROMAGNTICA

3.4.1 Introduo

Seja o circuito eltrico da figura 3.6 a seguir.



Figura 3.6 Circuito Eltrico

Para este circuito eltrico podem ser escritas as seguintes equaes:

iRe =

Sendo:

Al

Al

R

==s

r

E ainda,

lA

G = s

Onde:

e = Fora eletromotriz (f.e.m.);

R = Resistncia eltrica total do circuito;

G = Condutncia eltrica total do circuito;

i = Corrente eltrica que passa pelo circuito eltrico;

l = Comprimento total do condutor;

A = rea da seo reta transversal do condutor;

r = Resistncia eltrica do material utilizado como condutor;

s = Condutividade eltrica do material utilizado como condutor.



Seja agora o circuito magntico apresentado figura 3.7:

Figura 3.7 Circuito Magntico

Na figura 3.7, tem-se que:

F = Fora magnetomotriz (f.m.m.);

N = Nmero de espiras da bobina;

I = Corrente que circula na bobina;

f = Fluxo magntico que circula pelo ncleo.

Observando as figuras 3.6 e 3.7, pode-se concluir que: enquanto no circuito

eltrico circula uma corrente eltrica i, no circuito magntico circula um fluxo

magntico f . Por outro lado, no circuito eltrico existe uma fonte de fora

eletromotriz e e no circuito magntico existe uma fonte de fora magnetomotriz F.

Portanto, pode-se fazer a seguinte analogia entre os dois circuitos:

i f e F

Para o circuito eltrico, pode-se escrever que:

iNlHF ==



l

Al

BlHF

===

mf

m

f

m

=

Al

F (3.4)

No circuito eltrico, pose-se escrever que:

iRe =

Al

Al

R

==s

r

i

Al

e

=s (3.5)

Comparando as equaes (3.4) e (3.5), pode-se observar uma analogia entre os

seguintes termos:

Al

R

=s

e Am

1

A primeira relao corresponde resistncia (R) do circuito eltrico. A segunda,

portanto, corresponderia a uma certa resistncia do circuito magntico. Atravs desta

analogia, define-se:

[ ]1-

= HA

lRe m

(3.6)

Onde:

Re = Relutncia magntica do ncleo ou do circuito magntico.

Desta forma pode-se escrever que:



f= eRF (3.7)

Onde (3.7) uma equao anloga lei de Ohm no circuito eltrico.

Por outro lado, o inverso da relutncia magntica definido como sendo a

permencia magntica (Pe), de forma anloga a condutncia (G) no circuito eltrico.

Desta forma, pode-se escrever que:

[ ]HlA

RP

ee

== m1 (3.8)

3.4.2 Clculo da Indutncia do Circuito Magntico

Sabe-se que:

iLN == fl

Onde:

l = Fluxo enlaado ou concatenado;

L = Indutncia da bobina.

Portanto,

lN

iL

fl ==

Mas como,

NlH

iiNlH==

E ainda,

Apostila_EEL521 - Eletrotécnica Geral II - MATERIAIS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS

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