MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 1 VARIVEIS ALEATRIAS O que se entende por varivel aleatria? At agora nossos estudos estavam praticamente voltados mais paradefinirmos nosso EspaoAmostralU,semassociarmossuasrespectivasprobabilidadesaosexperimentos aleatrios. Existem,contudo,experimentoscujosresultadospodemserexpressospor quantidades numricas.Ou ainda, por vezes, desejamos atribuir um valor especfico a cada resultado do experimento aleatrio. Quandorealizamosaobservaodosresultadosdeumexperimentoquepodeser resultado repetidamentesob condies essencialmente inalteradas (experimento aleatrio), no poderemos, de antemo, dizer qual particular resultado ir ocorrer na prxima tentativa, muito embora sejamos capazes de descrever o conjunto de todos os possveis resultados do experimento.Assim,porexemplo,antesdelanarumdadopoderemosdescreverqueos possveisresultadosso:l,2,3,4,5,6,masqualdesses,emparticular,irocorrer,no prximo lanamento impossvel predizer com absoluta certeza. Varivel aleatria , pois o resultado da observao de experimentos no determinsticos. Entretantooresultadodeumexperimentononecessariamente,umnmero.De fato na observao das peas que saem de uma mquina poderemos, simplesmente, anotar ascategorias"defeituosas"ou"nodefeituosas".Contudo,emmuitassituaes experimentais, estamos interessados na mensurao de alguma coisa e no seu registro como umnmero.Mesmonoexemploacima,poderemosatribuirumnmeroacadaresultado (no numrico) do experimento. U: observao das peas (telhas) que saem de uma mquina X nmero de peas defeituosas X = 0, 1, 2, 3, .....................,n Portanto,chama-sevarivelaleatriaaumavarivelcujovalorumnmero determinadopeloresultadodeumexperimentoouatravsdaobservao,eaosquais podemos associar probabilidade. As variveis aleatrias podem ser classificadas em:1-VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETA Seja X uma varivel aleatria que assume os valores x1, x2, x3, ...........xn. Diremos que Xumavarivelaleatriadiscreta.SeonmerodevalorestomadosporXfinitoou infinito numervel. Exemplo: U: Lanamento de quatro moedas Seja, X: o nmero de caras observadas. X = 0, 1, 2, 3, 4 Demodogeralpodemosdizerqueasvariveisaleatriasdiscretassoasqueresultemde contagens.

2-VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS SejaXumavarivelaleatriaquepodeassumirqualquervalornumintervalo, diremos que X uma varivel aleatria contnua. Exemplos: a)Nmero de horas de durao de uma lmpada MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 2 b) b) A altura de um indivduo que pode ser: 1,65m, l,652m, 1,6524m, conformea preciso de medida. Demodogeralpodemosafirmarqueasvariveisaleatriascontnuassoaquelas queresultemde"medio",emespecial,detempo,temperatura,comprimento,peso, volume, etc. Umaspectointeressanteoqueomesmoexperimentopodedarmargem observaesdevriasvariveis,eaescolhadaquevaiserobservadaficaacritriodo observador.Comoexemplovejamosoexperimento"jogar4moedassimultaneamente". Comovarivelaleatriapoderemosescolher"onmerodecarasobtidasouadistncia mnima entre 2 moedas".A primeira seria uma varivel aleatria discreta e a Segunda seria uma varivel aleatria contnua. 1-VARIVEL ALEATRIA DISCRETA 1.1-FUNO DE PROBABILIDADE AprobabilidadedequeavarivelaleatriaassumaovalorX,afunode probabilidade de X que representamos por P(X = xi) ou simplesmente por P(X). f(x) = P(X = xi) f(x)= 0 se X = xi n E f(xi) =1 i = 1 Portantoafunoqueassociaprobabilidadeaospossveisvaloresdeumavarivel aleatria, denomina-se funo de probabilidade. A funo P(X) pode ser expressa por uma tabela ou grfico Exemplo Seja E: o espao amostralno lanamento de 2 moedas e X: o nmero de caras C obtidas. Isto : E = (K,K); (K,C); (C,K); (C,C)` X = 0, 1, 2 ` TABELA: X 0 1 2 P(X) 1/4 1/21/4 GRFICO: P(X) 1/2 1/4 0 1 2X MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 3 1.2-FUNO REPARTIO Define-sefunorepartiodavarivelaleatriaX,nopontox,comosendoa probabilidade de que x assuma um valor menor ou igual a X, isto : F(X)=P(X s x).No exemplo acima teremos: F(X)=1/4 sexs0 F(X)=1/2 se 1sx< 2 F(X)=1/4 se x > 2 2-VARIVEL ALEATRIA CONTNUA 2.1- FUNO DENSIDADE DE PROBABILIDADE Seja X uma varivel aleatria contnua.A funo densidade de probabilidade f(x) uma funo que satisfaz as seguintes condies. f(x)> 0 f(x).d(x)=1 b AssimP( a < x t) =e- PARMETROS DA DISTRIBUIO EXPONENCIAL E(t) = 1/ V(T) = 1/ EXEMPLOS 1- Um departamento deconserto de mquinas recebe em mdia, 5 chamadas por hora. Iniciando em um ponto do tempo aleatoriamente escolhido, qual a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de meia hora? Soluo /hora = 5 = 2,5 Logo P((T s ) = 1 e- =1 e-2,5 +1 0,0821 = 0,9179=91,79% MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 20 2-Emmdia,umnavioatracaumcertoportoacada2dias.Qualaprobabilidadede que,apartirdapartidadeumnavio,sepassem4diasantesdachegadadoprximo navio? Soluo Mdia a cada 2 dias = 1 = mdia p perodo de 4 dias = 1.2 = 2 LogoP(T > 4 ) = e- = e-2= 0,1353=13,53% EXERCCIO Em mdia seis pessoas por hora se utilizam de um caixa-automtico de um banco em uma grande loja de departamentos. a)Qualaprobabilidadedequesepassempelomenos10minutosentreachegadade dois clientes?R. 0,3678 b)Qual a probabilidade de que, depois da sada de um cliente, no se apresente outro em pelo menos 20 minutos R.0,1353 c)Qual a probabilidade de que chegue um segundo cliente dentro de 1 minuto aps a chegado do primeiro R0,0952 2-DISTRIBUIO NORMAL Adistribuionormaldeprobabilidadeumadistribuiodeprobabilidade contnua que simtrica ( X =Me=Mo) e mesocrticaK= Q3 - Q1 = 0,263 2(P90 - P10) Acurvaquerepresentaadistribuionormaldeprobabilidadefreqentemente descrita como tendo uma forma de sino, como segue o exemplo. F(X) X=Me= Mo X MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 21 A distribuio de probabilidade normal importante na inferncia estatstica por trs razes distintas. 1-As medidas produzidas em diversos processos aleatrios seguem esta distribuio 2-Probabilidadesnormaispodemserusadasfreqentementecomoaproximaesde outrasdistribuiesdeprobabilidades,taiscomoasdistribuiesBinomiaisede Poisson. 3-AsdistribuiesdeestatsticasdaamostrataiscomoaMdiaeaProporo freqentementeseguemadistribuionormalindependentementedadistribuioda populao. Como para qualquer distribuio contnua de probabilidade, o valor da probabilidade pode somente ser determinado para um intervalo de valores da varivel.A altura da funo densidade,oucurvadeprobabilidade,paraumavarivelnormalmentedistribuidadada por: -1/2( x - )2 f(x) = l .e o

\2t . o onde:t = 3,14159... e = 2,7183..... : a mdia da distribuio o: o desvio padro da distribuio Emparticular,adistribuionormaldeprobabilidadecom=0eo=1 conhecidacomodistribuionormalpadronizada(reduzida),naqualastabelasde probabilidades da normal so construdas. Qualquer conjunto de valores de X normalmente distribudos pode ser convertido em valores normais padronizados Z pelo uso da frmula. Z = x- o Logo -1/2.z2 -z2/2 f(x) =1 .e=1. e(-oo,+ oo) \2t.o\2t.o

MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 22 f(z) -3-2-1 01 2 3 z o Parmetros da distribuio N(, o) E(x)== 0 V(x)=o2=1 N ( 0 , 1) Exemplos 1-Asalturasdosalunosdeumadeterminadaescolasonormalmentedistribudascom mdia de 1,60 m e desvio padro 0,30 m.Encontre a probabilidade de um aluno aleatrio medir: a)entre 1,50m e 1,80m b)mais de 1,75 m c)menos de 1, 48m MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 23 d)qual deve ser a medida mnima para escolher 10% dos mais altos? e) abaixo de qual estatura esto os 20% mais baixos? 2-Sabe-sequeavidatildeumcomponenteeltricosegueumadistribuionormal com mdia = 2000 horas e desvio padro o = 200 horas, determine. a)a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 2000 e 2400 horas 47,72% b)aprobabilidadedequeumcomponentealeatoriamenteselecionadoduremaisdo que 2200 horas.15,87% c)a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 1500 e 2100 horas.68,53% d)A probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 2100 e 2500 horas.30,23% 2- APROXIMAO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES BINOMIAIS Quando o nmero de observaes ou tentativas forem relativamente grande, a distribuio de probabilidade normal pode ser utilizada para a aproximaes das probabilidades binomiais. Regra aceitvel n >30 "regra de bolso" n.p >5 n.(1 - p) > 5 MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 24 Parausodadistribuionormaldeprobabilidadecomoumaaproximaoda distribuiodeprobabilidadebinomial,amdiaeodesviopadrosebaseiamnovalor esperado e na varincia do nmero de sucessos de uma distribuio binomial, ou seja: E(x)= = n.p

o= n.p.(1 - p) Aplicaes 1-Paraumgrandenmerodeclientespotenciais,sabe-seque20%doscontactados pessoalmenteporagentesdevendasrealizaroumacompra.Seumrepresentantede vendas visita 30 clientes potenciais, podemos determinar a probabilidade de que 10 ou mais faro uma compra. a)utilizando as probabilidades binomiais. b)Utilizando a aproximao normal do valor de probabilidade binomial. Soluo a)P(x > 10)= .....6,11% b) =n.p= 30.2/10 = 6

o = n,p.(1-p)= 30.0,2.0,8 = 2,19 P binomial (x > 10) =Pbin.( x > 9,5 / = 6,o = 2,19) = . =5,48% Obs.Supe-se que a classe de eventos "10 ou mais comea em 9,5 quando se utiliza aaproximaonormal.Estasubtraodemeiaunidadechamadacorreode continuidadeenecessriaporqueemboranoexistemeventospossveisnointervalo MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 25 entre9e10sucessos,areasobacurvanormaldeveserdistribudaentreduasclasses adjacentes.Senoexemplo,fossepedidaaprobabilidadede"maisde10"sucessos,a correoapropriadadecontinuidadeimplicariaadicionar0,5a10edeterminarareado intervalo comeando em 10,5. Acorreodecontinuidadetemumefeitomuitopequenoepode,portanto,ser omitida quando existir um grande nmero de valores da vivel X. Portanto Pbin(x > 10)=P(x > 9,5) =.... 2-Uma moeda lanada 12 vezes.Determinar a probabilidade de que o nmero de coroas ocorra entre 4 e 7 inclusive o 4 e o 7. a)pela distribuio binomial b)pela distribuio normal 3- APROXIMAO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES DE POISSON QuandoamdiadeumadistribuiodePoissonforrelativamentegrandea distribuionormaldeprobabilidadepodeserusadacomoumaaproximaodas probabilidadesdePoisson.Umaregraconvenientequetalaproximaoaceitvel quando > 10. Amdiaeodesviopadrodadistribuionormaldeprobabilidade,nocaso, baseiam-senovaloresperadoenavarinciadonmerodesucessosemumaprocessode Poisson, ou seja: = o =\ Aplicao Umdepartamentodeconsertodemquinasrecebeemmdia,10chamadasemcada perodode8horas.Podemosdeterminaraprobabilidadedequemaisde15chamadas sero recebidas em um perodo de 8 horas aleatoriamente escolhido. a)pela distribuio de Poisson b)pela distribuio normal MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 26 4- Mtodos de Amostragem e Distribuies Amostrais OBJETIVOS DO CAPTULO: -Explicarporqueemmuitassituaesumaamostraanicaformaplausvelde aprender alguma coisa sobre uma populao. -Explicar os mtodos de selecionar uma amostra -Distinguir entre amostragem probabilstica e amostragem no probabilstica -Definir e construir uma distribuio amostral de mdias amostrais -Explicar o Teorema do Limite Central e sua importncia para a Inferncia Estatstica -Calcular Intervalos de Confiana para Mdias e Propores -Determinar que tamanho uma amostra deve terpara estimar mdias e propores Porque amostrar uma populao -Natureza destrutiva de certos testes -A impossibilidade fsica de checar todos os itens na populao -O custo de estudar todos os itens em uma populao freqentemente proibitivo -Muitasvezesasestimativasbaseadasemumaamostrasomaisprecisasdoqueos resultados obtidos atravs de um levantamento censitrio -Tempo muito elevado para a apurao de resultados em censos 6.1 Amostragem Probabilstica -O que uma amostragem probabilstica ? - uma amostra selecionada de tal forma que cada item ou pessoa na populao estudada tm uma probabilidade (no nula) conhecida de ser includa na amostra. Mtodos de Amostragem Probabilstica: -Amostragem Aleatria Simples (AAS) MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 27 Umaamostraescolhidadetalformaquecadaitemoupessoanapopulaotemamesma probabilidade de ser includa. SeapopulaotemumtamanhoN,cadapessoadestapopulaotemamesma probabilidadeiguala1/Ndeentrarnaamostra.Utilizamosumatabeladenmeros aleatrios para sortear (com mesma probabilidade) os elementos da amostra. Tambm pode ser utilizada uma funo randmica: No Excel, por exemplo, temos a funo ALEATRIO ENTER. -Amostragem Aleatria Sistemtica Os itens ou indivduos da populao so ordenados de alguma forma alfabeticamente ou atravs de algum outromtodo. Um ponto de partida aleatrio sorteado, e ento cada k-simo membro da populao selecionado para a amostra. -Amostragem Aleatria Estratificada Apopulaoinicialmentedivididaemsubgrupos(estratos)eumasubamostra selecionada a partir de cada estrato da populao. -Amostragem aleatria Estratificada com Repartio Proporcional Suponhamos que a populao subdividida em k estratos. Sejam: N = o nmero de indivduos na populao n= o nmero de indivduos na amostra Ni= o nmero de indivduos contidos no i-simo estrato da populao ni= o nmero de indivduos contidos no i-simo estrato na amostra k 1,2,...., i = =NNn nii

osestratosdevemseromaishomogneospossveiscomrelaoscaractersticas relevantes da pesquisa (variveis que se correlacionam fortemente com a varivel estudada) paraummesmotamanhoamostral,aamostragemaleatriaestratificadacomrepartio proporcional mais precisa (menor varincia do estimador) do que a amostragem aleatria simples (AAS). -AmostragemAleatriaEstratificadacomRepartiodeNeyman(ourepartio tima) MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 28 Seconhecermosavarinciadecadaestratopopulacionalreferenteavarivelqueestamos desejandoestimaroseuparmetro,ummtodomaisadequadoodarepartiode Neyman. = = = =kii ii ikii ii iNNnWwn ni1 1oooo paraummesmotamanhoamostralaprecisomaiorparaamostraaleatriaestratificada com repartio de Neyman (repartio tima) do que para a amostra aleatria estratificada com repartio proporcional que por sua vez maior do que a amostra aleatria simples -Amostragem por Conglomerados Apopulaoinicialmentesubdivididainicialmenteemsubgrupos(estratos)euma amostradeestratosselecionada(porexemplo,comprobabilidadeproporcionalao tamanhodecadaestrato).Aseguir,amostrassoselecionadasdosestratosselecionados previamente. Aprincipalvantagemdaamostraporconglomeradosadepossibilitarconsidervel reduo de custos (em relao por exemplo a uma amostragem aleatria estratificada) para um mesmo tamanho amostral. Omtodocostumaserempregadoquandonodispomosdeumcadastrodapopulao (comonocasodaamostragemsistemtica)eoscustosdeserelaboradoumcadastropara toda a populao muito elevado. -Erro amostral: A diferena entre a estatstica amostral e seu correspondente parmetro. -Umadistribuiodeprobabilidadeconsistedeumalistadetodosospossveisvalores dasmdiasamostraisdeumdadotamanhoamostralconstanteselecionadoda populao e a probabilidade de ocorrncia associada a cada mdia amostral. -Exemplo1Umaempresatem5scios.Semanalmente,ossciosrelatamonmero de horas de atendimento a clientes ScioHoras 122 226 330 426 522

MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 29 -Dois scios so selecionados aleatoriamente. Quantas amostras distintas so possveis? -O nmero de amostras distintas de dois elementos tomados em 5 objetos corresponde a: 10) ! 3 )( ! 2 (! 52 5= = C SciosTotalMdia 1,24824 1,35226 1,44824 1,54422 2,35628 2,45226 2,54824 3,45628 3,55226 4,54824 -Organize as mdias amostrais em uma distribuio de freqncias. Mdia Amostral freqnciaFreqncia Relativa (Probabilidade) 2211/10 2444/10 2633/10 2822/10 -Calcule a mdia das mdias amostrais e compare-a com a mdia da populao. -A mdia da populao : 2 , 25522 26 30 26 22=+ + + += -A mdia das mdias amostrais : 2 , 2510) 2 )( 28 ( ) 3 )( 26 ( ) 4 )( 24 ( ) 1 )( 22 (=+ + + -Observe que a mdia das mdias amostrais igual a mdia populacional MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 30 6.2 Teorema do Limite Central -Paraumapopulaocommdia eumavarincia 2o ,adistribuioamostraldas mdias de todas as possveis amostras de tamanho n, geradas a partir da populao, ser aproximadamentenormalmentedistribudacomamdiadadistribuioamostral igual evarinciaigualn /2o -assumindoqueotamanhoamostral suficientemente grande, ou seja,30 > n . -Emoutraspalavras,seapopulaotemqualquerdistribuio(noprecisaser necessariamentenormal)commdiaiguala evarinciaiguala 2o ,entoa distribuio amostral dos valores mdios amostrais normalmente distribuda com a mdiadasmdias( X)igualamdiadapopulao( X)eoerro padro das mdias amostrais igual a no, desde que n 30 > . -Notequeoerropadrodasmdiasamostraismostraquoprximodamdiada populao a mdia amostral tende a ser. -O erro padro das mdias amostrais calculado por: nXXoo = Xo o smbolo parao erro padro das mdias amostrais Xo o desvio padro da populao n o tamanho da amostra Seo noconhecidoen>30(consideradaumaamostragrande),odesviopadroda amostra,designadopors,usadoparaaproximarodesviopadrodapopulao,o .A frmula para o erro padro torna-se: nssX =MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 31 onde 1) (12==nX Xsnii 6.3 Estimativa de Ponto -Estimativadepontoumvalor(chamadoumponto)queusadoparaestimarum parmetro populacional -Exemplosdeestimativasdepontosoamdiaamostral,odesviopadroamostral,a varincia amostral, a proporo populacional, etc. Exemplo:Onmerodeitensdefeituososproduzidosporumamquinafoiregistradoem cincohorasselecionadasaleatoriamenteduranteumasemanadetrabalhode40horas.O nmeroobservadodedefeituososfoi12,4,7,14e10.Portanto,amdiaamostral9,4. Assim a estimativa de ponto para a mdia semanal do nmero de defeituosos 9,4. 6.4 Estimativa de Intervalo -UmaEstimativadeIntervaloestabeleceumafaixadevaloresdentrodaqualum parmetro populacional provavelmente cai. -O intervalo dentro do qual um parmetro populacional esperado ocorrer chamado de intervalo de confiana. -Os intervalos de confiana que so extensivamente usados so os de 95 % e 99 %. - Umintervalodeconfianade95%significaquecercade95%dosintervalos construdos similarmente contero o parmetro que est sendo estimado.-Outra interpretao do intervalo de confiana de 95 % que 95 % das mdias amostrais paraumtamanhodeamostraespecificadocairoaumadistnciamximade1,96 desvios padres da mdia populacional. -Paraointervalodeconfianade99%,99%dasmdiasamostraisparaumtamanho amostral especificado cairo a uma distncia mxima de 2,58 desvios padres da mdia populacional. Os intervalos de confiana para 95 % e 99 % so construdos como segue, para n > 30: -O IC de 95 % para a mdia populacional dado por: nsX 96 , 1 -O IC de 99 % para a mdia populacional dado por: MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 32 nsX 58 , 2 -Em geral, um intervalo de confiana para a mdia, calculado por: nsZ X onde Z obtido da tabela de distribuio normal padro. Exemplo 2 Uma universidade quer estimar o nmero mdio de horas trabalhadas por semana por seus estudantes. Uma amostra de 49 estudantes mostrou uma mdia de 24 horas com um desvio padro de 4 horas. A estimativa de ponto do nmero mdio de horas trabalhadas por semana 24 horas (mdia amostral). Qualointervalodeconfianade95%paraonmeromdiodehorastrabalhadaspor semana ? Usando a frmula anterior ( nsX 96 , 1 ) temos 49496 , 1 24 ou 22,88 a 25,12.Olimitedeconfianainferior22,88.Olimitesuperiordeconfiana25,12.O grau de confiana (nvel de confiana) utilizado 0,95. Interprete os resultados -Se ns tivssemos tempo para selecionar aleatoriamente 100 amostras de tamanho 49 da populaodealunosdocampusecalcularasmdiasamostraiseosintervalosde confianaparacadaumadestas100amostras,amdiapopulacional(parmetro)do nmerodehorastrabalhadasestariacontidaemcercade95dos100intervalosde confiana.Cercade5dos100intervalosdeconfiananoconteriamamdia populacional. 6.5 Intervalo de Confiana para Uma Proporo Populacional Um intervalo de confiana para uma proporo populacional dado por: pZ o p onde: MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 33 p a proporo amostral po o erro padro da proporo amostral e dado por: np pp) 1 ( = o O intervalo de confiana construdo por: np pp) 1 ( Zonde: p a proporo amostral Z o valor da varivel normal padro para o grau de confiana adotado. n o tamanho amostral Exemplo 3 Um planejador financeiro est estudando os planos de mudana de jovens executivos. Uma amostrade500jovensexecutivosquepossuemsuasprpriascasasrevelouque175 planejamvend-laseretirarem-separaointeriordoPas.Construaumintervalode confianade98%paraoparmetroproporopopulacionaldeexecutivosqueplanejam mudar para o interior. -Aqui n = 500,35 , 0500175= = p eZ = 2,33(paraadotado confiana de nvel98 , 0 = o ) -O CI de 98 % 0,0497 0,35 ou500) 65 , 0 ( ) 35 , 0 (33 , 2 35 , 0 Interprete a resposta 6.6 Fator de Correo de Populao Finita -Umapopulaoquetemumlimitesuperiordefinidochamadadefinita.Em estatstica,considera-secomopopulaofinitaquando05 , 0 >Nn(ouseja,quandoa frao amostral maior do que 5 %). MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 34 -Para uma populao finita, onde o nmero total de objetos N e o tamanho da amostra n,oseguinteajustefeitoparaoserrospadresdamdiaamostraledaproporo amostral. -Erro padro da mdia amostral: 1 =Nn NnXoo-Erro padro da proporo amostral: 1) 1 ( =Nn Nnp ppo -Este ajuste chamado de Fator de Correo de Populao Finita (FCPF) Nota: se05 , 0 sNn, o fator de correo de populao finita ignorado. Exemplo 4 Auniversidadedoexemplo2querestimaronmeromdiodehorastrabalhadaspor semana pelos estudantes. Uma amostra de 49 estudantes mostrou uma mdia de 24 horas e um desvio padro de 4 horas. Construa um intervalo de confiana para o nmero mdio de horas trabalhadas se h somente 500 estudantes no campus. -Agora05 , 0 098 , 050049> = =Nn. Portanto, temos que usar o FCPF -| | 25,11 ; 93 , 221 50049 50049496 , 1 24 = 6.7 Selecionando uma Amostra -H 3 fatores que determinam o tamanho de uma amostra, nenhum dos quais tendo uma relao direta com o tamanho da populao. Eles so: 1.O grau de confiana adotado 2.O mximo erro permissvel 3.A variabilidade da populao Uma frmula de clculo conveniente para determinar o tamanho amostral n : MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 35 2|.|

\|=EZsn onde: E o erro permissvel Z o valor da varivel normal padro associado ao grau de confiana adotado s o desvio padro da amostra piloto Exemplo 5 Umgrupodeconsumidoresdesejaestimaramdiadegastomensalemeletricidadepara umdomicliofamiliarsimplesemJulho.Baseadoemestudossimilaresodesviopadro estimadocomosendoR$20,00.Deseja-seconstruirumintervalodeconfianade99% com um erro mximo admissvel de00 , 5 $ R . Qual deve ser o tamanho da amostra? ( )( )107 50 , 106520 58 , 22~ =|.|

\|= n 6.8 Tamanho Amostral para Estimativa de Propores A frmula para determinar o tamanho amostral no caso de estimativa de propores : 2) 1 (|.|

\| =EZp p nonde p a proporo estimada, baseada na experincia passada ou em uma amostra piloto Z o valor da varivel normal padro associado ao grau de confiana adotado. E o mximo erro permissvel que o pesquisador tolera. Exemplo 6 MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 36 -Umclubedesejaestimaraproporodecrianasquetemumcachorro.Seoclube desejaqueaestimativaestejanomximoafastada3%daproporopopulacional, quantas crianas devem conter a amostra? Assuma um intervalo de confiana de 95 % e que o clube estimou, com base em experincia anterior, que aproximadamente 30 % das crianas tm um cachorro. ( )( ) 893 4 , 89303 , 096 , 170 , 0 30 , 02~ =|.|

\|= n 7. Teste de Hipteses Amostras Grandes OBJETIVOS: -Definir hipteses e Testes de Hipteses -Descrever os 5 passos do procedimento de Teste de Hipteses -Distinguir entre Teste de Hipteses Unicaudal e Bicaudal -Realizar um teste para a mdia populacional -Realizar um teste para a diferena entre duas mdias ou propores populacionais -Descrever os erros estatsticos associados aos testes de hipteses Nota: -Senadaconhecidoacercadapopulao,aestimaousadaparaforneceruma estimativa de ponto e de intervalo acerca da populao. -Sealgumainformaoacercadapopulaopropostaoususpeitada,oTestede Hipteses usado para determinar a plausibilidade desta informao. O que uma hiptese ? -Hiptese: uma sentena sobre o valor de um parmetro populacional desenvolvida para o propsito de teste. -Exemplos de hipteses, ou sentenas, feitas acerca de um parmetro populacional so: -A renda mdia mensal proveniente de todas as fontes para os analistas de sistemas de US 3625 -Vinte por cento de todos os transgressores juvenis so presos e sentenciados a priso. O que um Teste de Hipteses ? MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 37 -TestedeHipteses:umprocedimento,baseadonaevidnciaamostralenateoriada probabilidade, usado para determinar se a hiptese uma afirmao razovel e no seria rejeitada, ou no razovel e seria rejeitada. -A seguir so propostos 5 passos para um teste de hipteses: Passo 1: Estabelea a Hiptese Nula e a Hiptese Alternativa Passo 2: Selecione um nvel de significncia Passo 3: Identifique a Estatstica de teste Passo 4: Formule uma regra de deciso Passo5:Tomeumaamostraeobtenhaumadeciso:NorejeitarH0ourejeitarH0e aceitar H1 -HipteseNulaH0:Umaafirmao(sentena)sobreovalordeumparmetro populacional -Hiptese Alternativa H1: Uma afirmao (sentena) que aceita se os dados amostrais fornecem evidncia de que a hiptese nula falsa. -NveldeSignificncia:Aprobabilidadederejeitarahiptesenulaquandoela efetivamente verdadeira, ou seja, valor de o(alfa) -ErroTipoI:RejeitaraHipteseNula,H0,quandoelaefetivamenteverdadeira.A probabilidade do erro tipo I igual ao nvel de significncia,o(alfa). -ErroTipoII:AceitaraHipteseNula,H0,quandoefetivamentefalsa.A probabilidade do erro tipo II igual a| (beta) Tipos de Erros Aceita H0Rejeita H0 H0 verdadeiraDeciso CorretaErro Tipo I H0 falsaErro Tipo IIDeciso Correta Alfa= erro tipo IBeta = erro tipo II MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 38 EstatsticadeTeste(ouzefetivoouvalordet):Umvalor,determinadoapartirda informao amostral, usado para determinar se devemos ou no rejeitar a hiptese nula. -Valor Crtico (ou z crtico ou valor de t): O ponto divisor entre a regio onde a hiptese nularejeitadaearegioondeelanorejeitada.Estevalorobtidoapartirda tabela de z (normal padro) ou da tabela de t (t de Student). 7.1 Testes de Significncia Unicaudais -Umtesteunicaudalquandoahiptesealternativa,H1,estabeleceumadireotal como: -H0: A renda mdia das mulheres menor que ou igual a renda mdia dos homens. -H1: A renda mdia das mulheres maior que a renda mdia dos homens. -A regio de rejeio neste caso a cauda direita (superior) da curva. Figura com distribuio normal mostrando a regio de rejeio para um teste unicaudal 7.2 Testes de Significncia Bicaudais -Umtestebicaudalquandonoexisteumadireoespecificadaparaahiptese alternativa H1, tal com: -H0: A renda mdia das mulheres igual a renda mdia dos homens. -H1: A renda mdia das mulheres no igual a renda mdia dos homens. -A regio de rejeio neste caso dividida igualmente em duas caudas da curva. Figura com distribuio normal mostrando a regio de rejeio para um teste bicaudal (distribuioamostralparaaestatsticazparaumtestebicaudal,0.05denvelde significncia. TestandoaMdiaPopulacional:AmostraGrande,DesvioPadrodaPopulao conhecido. -Neste caso a estatstica de teste (z efetivo) dado por: MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 39 nXzo = Exemplo 1 -Osprocessadoresdeumaindstriaindicamoponto(marca)queagarrafacontem16 onas (medida inglesa de peso)do produto. O Departamento de Controle de Qualidade responsvelpelocontroledaquantidadeincludanagarrafa.Umaamostrade36 garrafas selecionada por hora e o seu contedo pesado.Na ltima horauma amostra de 36 garrafas apresentou um peso mdio de 16,12onas com um desvio padro de 0,5 onas. -Aonveldesignificnciade0,05podemosconcluirqueoprocessoestforade controle? Passo 1:Estabelecer a Hiptese Nula e a Hiptese Alternativa: 16 : H 16 :1 0= = H Passo 2: Estabelecer a regra de deciso: H0 rejeitado se o z (efetivo calculado com base nos valores amostrais) 1,96. Passo 3: calcule o valor da estatstica de teste ( z efetivo) 44 , 1]365 , 0[] 16 12 , 16 [== z Passo 4: Qual a deciso sobre H0? H0 no rejeitada, porque 1,44 menor que o valor crtico de 1,96. MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 40 7.3 P-value de um Teste de Hiptese -P-value:Estaaprobabilidade(considerandoqueahiptesenulaverdadeira)deter umvalorparaaestatsticadetestenomnimotoextremocomoovalorcalculado (efetivo) para o teste. -Se o p-value menor que o nvel de significncia (alfa), H0 rejeitada. -Se o p-value maior que o nvel de siginificncia (alfa), H0 no rejeitada. 7.4 Clculo do P-value -Teste Unicaudal (para a direita ou cauda superior): p-value = P{z> valor da estatstica de teste calculada} -Teste Unicaudal (para a esquerda ou cauda inferior): p-value = P{zs valor da estatstica de teste calculada} -Teste Estatstico Bicaudal p-value = 2P{z > valor absoluto do valor da estatstica de teste calculado} Para o exemplo anterior, z = 1,44, e desde que era um teste bicaudal, ento o p-value=1498 , 0 ) 4251 , 0 5 , 0 ( 2 } 44 , 1 { 2 = = > z P .Desdeque0,1498>0,05,no rejeitada H0. TestandoparaaMdiaPopulacional:GrandesAmostras,DesvioPadroPopulacional desconhecido -Aquio desconhecido, portanto o estimamos com o desvio padro amostral s. -Quanto maior for o tamanho amostral for n> 30, o z efetivo pode ser aproximado comnsXz = MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 41 Exemplo 2 -AcadeiadeLojasArjoemiteoseuprpriocartodecrdito.Oadministradorde crdito quer verificar se o saldo no pago mensal maior do que US$ 400. O nvel de significncia fixado em 0,05. Uma amostra aleatria de 172 saldos no pagos revelou uma mdia amostral de US$ 407 e o desvio padro amostral de US$ 38. O admistrador de crdito pode concluir que a mdia populacional maior que US$ 400, ou razovel assumirqueadiferenadeUS$7(US$407US$400devidoachance(variao aleatria)? -Etapa 1: Estabelea a Hiptese Nula e a Hiptese Alternativa. 0 1: 400 H : 400 H s > -Etapa 2: Estabelea a regra de deciso. H0 rejeitada se o z (efetivo) > 1,645. -Etapa 3: Calcule o valor da estatstica de teste. 42 , 217238400 407== z -Etapa 4: Qual a deciso sobre H0? H0 rejeitada. Oadministradorconclui que a mdia dos saldos no pagos maior do que US$ 400. Figura ilustrando a regio de rejeio do exemplo 7.5 Teste de Hipteses: Duas Mdias Populacionais -Assuma que os parmetros para duas populaes so: 2 1 2 1e , , o o . -Caso I: Quando 2 1,o o so conhecidos, a estatstica de teste (Z efetivo) : MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 42 2221212 1n nX Xzo o+= -Caso II: Quando 2 1,o o no so conhecidos mas os tamanhos amostrais n1 e n2 so maiores ou iguais a 30,a estatstica de teste (Z efetivo) : 2221212 1nsnsX Xz+= Exemplo 3 -NaindstriaXfoirealizadoumestudoparacompararonmeromdiodeanosde servio para aqueles que se aposentaram em 1975 com aqueles que se aposentaram no ltimo ano. Os seguintes dados amostrais foram obtidos. A um nvel de significncia de 0,01 podemos concluir que os trabalhadores que se aposentaram no ltimo ano tiveram mais anos de servio? Caracterstica1975ltimo ano Mdia Amostral25,630,4 Desvio Padro Amostral2,93,6 Tamanho amostral404,5

-Estabelea a Hiptese Nula e a Hiptese Alternativa Considere que a populao 2 aquela dos que se aposentaram no ltimo ano. 1 2 1 1 2 0: H: > s H -Estabelea a regra de deciso Rejeitar H0 se o z (efetivo) > 2,33. -Calcule o valor da estatstica de teste (valor de z efetivo): MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 43 80 , 6409 . 2456 , 36 , 25 4 , 302 2=+= z -Nota: Desde que neste problema estamos testando para: -H0 :

1 2 s Precisamos trocar as posies das variveis na equao do z efetivo (a seguinte equao). 2221212 1nsnsX Xz+= Z efetivo -Qual a deciso sobre a hiptese nula ? Interprete os resultados? Desde que o Z efetivo = 6,80 > Z crtico = 2,33, H0 rejeitada. Aqueles que se aposentaram no ltimo ano tiveram mais anos de servio. LISTA DE EXERCCIOS- ESTATSTICA II: ASSUNTO: INTERVALO DE CONFIANA E TESTE DE HIPTES. 1-Umaamostraaleatriasimplesde40itensresultouemumamdiaamostralde25.O desvio-padro da populao o = 5 a) Qual o erro-padro da mdia, o x?R. 0,79 b-Qual a margem de erro para uma probabilidade de 95%? R. 23,45 a 26,55 MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 44 2-Uma amostra aleatria simples de 50 itens resultou em uma mdiaamostral de 32e um desvio-padro da amostra de 6. a)Fornea um intervalo de confiana de 90% para a mdia da populao.R.30,60 a 33,40 b)Fornea um intervalo de confiana de 95% para a mdia da populao.R.30,34 a 33,66 c)Fornea um intervalo de confiana de 99% para a mdia da populao.R.29,81, a 34,19 3-Osganhosmdiossemanaisdosindivduosquetrabalhamemvriossetoresforam apresentados no The New York Times 1998 Amanac.Os ganhos mdios semanais para os indivduosdosetordeserviosforamUS$369.Considerequeesseresultadofoibaseado emumaamostradeserviode250indivduosequeodesvio-padrodaamostrafoide US$50.Calculeumintervalodeconfianade95%paraosganhosmdiossemanaisda populao para os indivduos que trabalham no setor de servios.R. 362,80 a 375,20 4Emumestudodesubsdiosdeemprstimosparaestudantes,oDepartamentode Educao relatou que aqueles que tomam emprstimos da Stanford Oan com quatro anos de prazo, tero uma dvida mdia de US$12.168 (USA Today, 5 abril de 1995). Considere que essa quantia mdia de endividamento est baseada em uma amostra de 480 emprstimos de estudantes,equenagraduaoodesvio-padrodapopulaoparaaquantiaemprestada seja de US$2.200. a)desenvolva uma estimativa por intervalo de confiana de 90% da quantia mdia devida pela populao R.12.003 a 12.333 b)Desenvolva uma estimativa por intervalo de confiana de 95%. da quantia mdia devida pela populao R.11.971 a 12.365 c)Desenvolva uma estimativapor intervalo de confiana de 99% da quantia mdia devida pela populao-R.11.909 a 12.427 d)Discutaoqueacontececomaamplitudedointervalodeconfianaquandoonvelde confiana aumentado. Isso parece ser razovel? Explique 5-OdepartamentodeHabitaoedeDesenvolvimentoUrbanodosEstadosUnidos publicadadossobreoaluguelmensaldemercadoparamoradiadeumaquartonarea metropolitana(TheFederalRegister,30deabrilde1997).Odesvio-padroparaoaluguel mensaldeaproximadamenteUS$80.Considerequeumaamostradasreas metropolitanas ser selecionada de modo a se estimar o aluguel mdio mensal da populao para a moradia de um quarto. Use uma confiana de 95% a)Qual o tamanho da amostra se a margem de erro desejada US$25?R. 40 b)Qual o tamanho da amostra se a margem de erro desejada US$15? R.110 6 - Os dados de perfil de audincia coletadas no Web site da ESPN Sportszone mostraram que 26% dos usurios eram mulheres (USA Today, 21 de janeiro de 1998). Considere que essa porcentagem foi baseada numa amostra de 400 usurios. a)Usandoumaconfianade95%,qualamargemdeerroassociadacomaproporo estimada de usurios que so mulheres? R. 0,0430 b)Qualointervalodeconfianade95%paraaproporodapopulaodosusuriosdo web site da ESPN Sportszone que so mulheres? R. 0,2170 a 0,3030 7-UmlevantamentodemulheresexecutivasrealizadoporLouisHarris&Associates mostrouque33%daspessoaspesquisadasavaliaramsuasprpriasempresascomoum MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 45 exelentelugarparaasexecutivastrabalharem(WolrkingWoman;novembrode1994), Suponha que a Wolking Woman queria realizar um levantamento anual para monitorar essa proporo,quantasexecutivasdeveroseramostradasparacadaumadasseguintes margens de erro? Assuma que todas as estimativas por intervalo so realizadas em um nvel de confiana de 95%. a)10%R. 85 b)5%R. 340 c)2%R. 2124 d)1%R8494 e)Em geral, o que acontece ao tamanho da amostra quando a margem de erro diminui? 8-DeacordocomaNationalAutomobileDealersAssociation,opreomdiodecarros usados nos Estados Unidos US$10.192 (USA Today, 12 de abril de 1995). Um gerente de umadistribuidoradecarrosusadosdeKansasCityreviuumaamostrade100recentes vendasdecarrosusadosnadistribuidora.OpreomdiodaamostrafoideUS$9.300eo desvio-padro da amostra foi de US$4.500. Se denota o preo mdio da populao para carros usados na distribuidora de Kansas City, faa um teste de hiptese Ho: > 10.192 e Ha: 18. R. Aceita-se Ho ao nvel de 10% 13- Uma populao normalmente distribuda forneceu a seguinte amostra aleatria 12; 16; 15; 14; 17; 10; 9; 15; 13; 16.Um estatstico afirma que a mdia populacional 15.Teste ao nvel de significncia de 5% a afirmao do estatstico.R. Aceita-se Ho ao nvel de 5%. MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 48 14-Comosdadosdoproblemaanteriortesteaonveldesignificnciade5%aafirmao do estatstico, considerando a hiptese alternativa Ha: < 15 R. Aceita-se Ho ao nvel de 5%. 15-Umapopulaonormalapresentahistoricamenteovalormdiode60unidades.Um analista,duvidandoqueestevalorpersistanaatualidade,levantouumaamostraaleatria de 20 elementos, obtendo o valor mdio de 55 unidades com desvio padro de 2 unidades.Testeaonveldesignificnciade5%ahiptesedequeamdiahistricaverdadeira R. Rejeita-se Ho ao nvel de 5%. MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 49 NMEROS-NDICE 1- INTRODUO Osnmeros-ndicesomedidasestatsticasfreqentementeusadosparacomparar gruposdevariveisrelacionadasentresieparaobterumquadrosimpleseresumidodas mudanas significativas ocorridas ao longo do tempo ou em diferentes lugares. Podemserusadosparamuitospropsitos:ndicedepreosparaoatacado,varejo (materiaisdeconstruo,produtosagrcolas,alimentos,serviosemgeraletc,ndicede volumefsico,ndicesdecustodevidaetc.Soparticularmenteteisparao acompanhamento da inflao, onde so usados para deflacionar sries de valores admitindo uma certa poca-base. Os nmeros-ndice so expressos em termos porcentuais.Os mais usados medem, em geral,variaesdepreosedequantidadeaolongodotempoesoexatamenteestes ndices que sero objetos de nosso estudo. 2- RELATIVOS: PREO, QUANTIDADE E VALOR Trata-sedonmero-ndicemaissimples,relacionandoopreoouaquantidadeou ainda o valor de um produto numa poca atual (t) com uma poca-base (0). Assim, para um produto: po = preo na poca-base pt = preo na poca atual qo = quantidade na poca-base qt = quantidade na poca atual vo = valor na poca-base vt = valor na poca atual teremos: Relativo de Preo : Relativo de Quantidade: Relativo de Valor: Exemplo: 0,ttopPp=0,ttoqqq=0,..t tto op qvp q=MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 50 Em 2004 um empresa vendeu 500 unidades de um produto ao preo unitrio de R$50,00.Em 2006, vendeu 800 unidade do mesmo produto ao preo unitrio de R$70,00. Determinar os relativos de preo, quantidade e valor para o produto, tomando como base 2004. Soluo: Relativo de Preo:04,06701, 4 140%50p = = = Relativo de Quantidade:04,068001, 6 160%500q = = = Relativo de Valor:,70.8002, 24 224%50.500o tv = = = Os resultados indicam que em 2006 houve um aumento de 40% no preo, que a quantidade aumentou em 60% e que o valor das vendas foi 124% superior ao de 2004. 3 - BASE FIXA E BASE MVEL Os relativos acima definidos podem ser avaliados usando uma base fixa para estudos quenoexigemcomparaoanoaano,mascomparaesentreumdeterminadoano consideradosignificativo(anoinicialdeumamudanaoudealgumameta)eosanos subseqentes. Para estudos em que se deseja interpretar crescimentos anuais, usa-se o nmero-ndice de base mvel ou ndices em cadeia.Assim,Base fixa: 0,1 0,2 0,3; ; ;... p p p Base mvel:0,1 1,2 2,3; ; ;... p p p Note que tal procedimento extensivo aos outros relativos. 4- NMEROS-NDICE SINTTICOS Na prtica, surgem problemas bem mais complexos que a comparao entre termos de uma srie atravs dos relativos.Esses problemas ocorrem quando o fenmeno em estudo resultantedacombinaodevriassries.Avariaodocustodaalimentaoum exemplo, pois h diversos itens a considerar: po, leite, carne, ovos, frutas, verduras etc. Torna-senecessriodeterminarparacadaperodoumniconmero-ndiceque representaoconjuntodospreos(ouquantidades)dositensnesseperodo,almde relaciona-locomoconjuntodepreos(ouquantidades)doperodo-base.Precisamos nestescasosconstruirosnmeros-ndiceglobaisousintticos.Paraelaboraodeum ndice sinttico deveremos preocupar-nos com: MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 51 4.1 Seleo dos itens Normalmente no trabalhamos com a totalidade dos itens componentes do fenmeno a ser estudado.A composio de base ou regime (conjunto de bens e/ou servios includos nosndices)deveserorientadaporumatcnicadeamostragem,etodocuidadodeveser tomado para que os itens de maior relevncia no sejam excludos. 4.2 Determinao das ponderaes Aoanalisarmosositenscomponentesdabase,notamosquecadaumparticipade maneiradiferentenacomposiodofenmeno.Torna-seentonecessriaaponderao dosdiversositens.Estaponderaogeralmenteumvalorrepresentativodeuma caracterstica.Assim,quantidadesconsumidassotomadascomopesosdepreosde consumo; volumes de produo como pesos de ndices de preos por atacado etc. Aatualizaodopesosbemcomorevisesdecaractersticasusadasparaa ponderao devem ser feitas periodicamente. 4.3 Escolha do perodo-base Comoonmero-ndicevisaestabelecercomparaesentrepocas,aescolhade perodo-baseoupoca-baseconstituiumpassoimportante.Narealidade,nohnormas fixasparaaescolha.Comoorientaogeral,fundamentalaescolhadeumapoca-base que influa o menos possvel na variao do ndice.Para tanto, deve-se observar: a)apoca-basedeveserumperodonormal,isto,umperodoemquea caracterstica que se estuda e a caracterstica que serve de ponderao no sofram variaes excepcionais. b)A abrangncia de vrias pocas, pois o valor (mdia dos valores) correspondente a essas pocas diminui a influncia de fatores acidentais. 4.4 Escolha da frmula Afrmulaaserescolhidadependeintrinsecamentedalgicadosistemadepesos escolhidono2passo,ouderepresentatividadeovalormdiooucentraldoconjunto, quando no so utilizados pesos. A seguir apresentaremos as principais frmulas de ndice sintticos no-ponderados e ponderados. 3-PRINCIPAIS NDICES Sejam MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 52 Bens 12345 .... n Preo poca-base:po popo po4 po5 .... pon Preo poca atual:pt pt ptpt4 pt5.... ptn Quantidade poca-base: qoqoqo qo4 qo5..... qon Quantidade poca atual qtqtqt qt4 qt5 .... qtn Relativos de preos: po,t po,tpo,t po4,t po5,t .... pon,t Relativos de quantidade: qo,tqo,tqo,tqo4,tqo5,t ....qon,t Onde poi =preo na poca-base do i-simo bem qoi =quantidade na poca-base do i-simo bem pti=preo na poca atual do i-simo bem qti =quantidade na poca atual do i-simo bem poi,t=relativo de preo do i-simo bem qoi,t=relativo de quantidade do i-simo bem. ndice agregativo simples De preos: De quantidades: Trata-se de um ndice de fcil aplicao, que apresenta as seguintes limitaes: a)No se leva em considerao a importncia relativa dos itens.Assim, por exemplo, no caso do clculo do ndice do custo de alimentao, seria atribuda ao feijo e ao caviar a mesma importncia. b)No h homogeneidade entre as unidades dos diversos bens.Assim, por exemplo, o feijo pode vir expresso em quilos e o azeite em litros. Exemplo: A tabela a seguir apresenta os preos mdios para o varejo e as quantidades vendidas dosprodutos:carnebovina,sunaeovinaduranteosanosde2003,2004e2005(dados fictcios). ipiptIpo= itqioqIq= MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 53 20032004 2005 Produtos Preo quant.Preo quant. Preo quant. Carne bovina37 1204515043170 Carne suna35 80 3310038 90 Carne ovina28 9030 10035 150 a)Calcular o ndice agregativo simples de preos de 2005, tomando com base 2003 Soluo: 050343 38 351,16 116%37 35 28ipipIp+ += = = =+ + Portanto, segundo esse ndice, houve um aumento de 16% no preo dos produtos de 2005 em relao a 2003. b)Calcular, segundo o ndice agregativo simples de quantidade para 2005, tomando como base 2004. Soluo: 0504170 90 1501,17 117%150 100 100iqiqIq+ += = = =+ + Portanto, houve um acrscimo de 17% na vendas de 1005 em relao a 2004. 5.2 ndices mdios dos relativos Paraoclculodosndicesmdiosdosrelativos,poderemosutilizaramdia aritmtica, harmnica e geomtrica. MDIA ARITMTICA Dos Preos: 00,,ip tP tn= MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 54 Das quantidades: MDIA GEOMTRICA Dos preos: Das quantidades: MDIA HARMNICA Dos preos: Das quantidades: Exemplo: A tabela a seguir apresenta os preos mdios para o varejo e as quantidades vendidas dosprodutos:carnebovina,sunaeovinaduranteosanosde2003,2004e2005(dados fictcios). 20032004 2005 Produtos Preo quant.Preo quant. Preo quant. Carne bovina37 1204515043170 Carne suna35 80 3310038 90 Carne ovina28 9030 10035 150 a)Calcular o ndice mdio aritmtico dos preos para 2005, tomando como base 2003 Soluo: 00,,iq tQ tn= 0,,00,1Htit itn nQqq= = 0,,00,1Htit itn nPpp= = , ,1nGino t o tiQ q t==,,1nGino to tiP p t== MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 55 03,0503,0543 38 3537 35 281,17 117%3ipPn+ += = = = Logo, segundo esse ndice, houve um acrscimo de 17% dos preos em 2005 em relao a 2003. b)Determinarndice mdio aritmtico da quantidades para 2004, tomando como base 2003; 03,0403,04150 100 100120 80 901, 20 120%3iqQn+ += = = = Logo, segundo esse ndice, houve um acrscimo de 20% das quantidades em 2004 em relao a 2003. c)Determinar o ndice mdio geomtrico dos preos de 2004 em relao a 2003. Soluo 3043303,041 0345 33 30. . .100 1, 071 107,1%37 35 28iGiipPp== = = =[ d)Qual seria a mdia geomtrica da quantidades de 2004 em relao a 2003? Soluo: 3043303,041 03150 100 100. . .100 1, 2019 120.19%120 80 90iGiiqQq== = = =[ e)Determinar o ndice mdio harmnico dos preos de 2005 em relao a 2003. Soluo:

03,053031 053 3.100 1,1621 116, 21%37 35 2843 38 35HiiiPpp== = = =+ + f)Qual seria a mdia harmnica da quantidades de 2005, sendo 2003 = 100? Soluo: MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 56 03,053031 053 3.100 1, 3669 136, 69%120 80 90170 90 150HiiiQqq== = = =+ + 5.3 ndices ponderados Devidosdesvantagensdosndicessimples,especialmentepelofatodano-existncia de diferentes pesos para cada um dos componentes, examinaremos os principais ndices ponderados, 5.3.1NDICE DE LASPEYRES Este ndice uma mdia aritmtica ponderada dos relativos, sendo que a ponderao feitautilizando-seospreosouasquantidadesdapoca-base.Dessaforma,ondicede preos de Laspeyres dado por: Quanto ao ndice de quantidades de Laspeyres, dado por: 5.3.2NDICE DE PAASCHE Este ndice uma mdia aritmtica ponderada dos relativos, sendo que a ponderao feita utilizando-se os preos ou quantidades da poca atual.Assim, o ndice de preos de Paasche dado Por: 000 0.,.i iti ip qL tp q= 0'0 0.,.i itoi iq pL tq p= MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 57 Quanto ao ndice de quantidade de Paasche, expresso por:

5.3.3INDICE DE FISHER (FRMULA IDEAL) Este ndice obtido pela raiz quadrada do produto dos respectivos ndices de Laspeyres e Paasche.Assim: ndice e preos: ndice de quantidades: EXEMPLO DE APLICAO A tabela a seguir apresenta os preos mdios para o varejo e as quantidades vendidas dosprodutos:carnebovina,sunaeovinaduranteosanosde2003,2004e2005(dados fictcios). 20032004 2005 Produtos Preo quant.Preo quant. Preo quant. Carne bovina37 1204515043170 Carne suna35 80 3310038 90 Carne ovina28 9030 10035 150 '0.,.i it toi itq pP tq p= 00.,.i it ti itp qP tp q= ' ' '. ., , . , .. .i i i it o t to o t o ti i i io o o tq p q pI t L Pq p q pE E= =E E 0. ., , . , .. .i i i it o t ti i i io o o tp q p qI t Lo t Po tp q p qE E= =E E MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 58

a)Calcular o ndice de preos de Laspeyres para 2005, admitindo como perodo base 2003. Soluo: 05 0303,0503 03.(43).120 (38).80 (35).901,16 116%(37).120 (35).80 (28).90.i ii ip qLp q+ += = = =+ + Assim, houve um acrscimo de 16% no preos de 2005 com relao a 2003. b)Calcular o ndice de quantidade de Laspeyres para2005, admitindo a base para 2003. Soluo: 05 03'03,0503 03.(170).37 (90).35 (150).281, 4 140%(120).37 (80).35 (90).28.i ii iq pLq p+ += = = =+ + Segundo esse ndice, houve um aumento de 40% das quantidades em 2005, tomando 2003 como base. c)Determinar o ndice de Paasche para o preo em 2005, tomando como base 2004. Soluo: 05 0504,0504 05.43.(170) 38.(90) 35.(150)1, 06 106%45.(170) 33.(90) 30.(150).i ii ip qPp q+ += = = =+ + d)Qual o ndice de quantidades de Paasche para 2005, sendo 2003 a ano base? Soluo: 05 05'03,0503 05.(170).43 (90).38 (150).351, 41 141%(120).43 (80).38 (90).35.i ii iq pPq p+ += = = =+ + MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 59 e)Determinar o ndice de preos de Fisher para 2005, tomando como 2003 como ano base. Soluo: 05 0305 0503,05 03,05 03,0503 03 03 0503,0503,05... .. .43.(120) 38.(80) 35.(90) 43.(170) 38.(90) 35.(150).37.(120) 35.(80) 28.(90) 37.(170) 35.(90) 28.(150)1,17 117%i ii ii i i ip qp qI L Pp q p qII= =+ + + +=+ + + += = Portanto,segundoafrmulaidealdeFisher,houveumaumentode17%nospreos de2005, tomando como base 2003. 7-Mudana de base na prtica Naprtica,amudanadebasedeumasriedenmeros-ndicefeitadividindo-se cada ndice da srie original pelo nmero-ndice correspondente nova poca bsica. Tal procedimentonocorretoemtermosmatemticos;todavia,seuusotemsidofreqente, com bons resultados. Exemplo: A tabela abaixo apresenta o ndice de produo industrial de 1997 a 2005, sendo o ano-base 1997.Obter uma nova srie de ndices, adotando 2001 como base. Anos199719981999200020012002200320042005 ndicede Produo Industrial (1997=100) 100 104 97 112 120 124 134 125 141 Soluo: O novo ndice ser obtido dividindo-se cada um dos valores da srie por 120, que o ndice correspondente ao novo ano-base.Assim: Anos19971998 1999 2000 2001200220032004 2005 ndicede Produo Industrial (2001=100) 83 87 81 93 100 103 112 104 118 MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 60 8-DEFLACIONAMENTO OU INFLACIONAMENTO DE DADOS Parainflacionaroudeflacionarsriesdevalores,podemosusarqualquerumdos seguintes deflatores, normalmente encontrados nas revistas especializadas: IGP ndice Geral de Preos ICV ndice de Custo de Vida IPA ndice de Preos ao Atacado IPC ndice de Preos ao Consumidor IPCA ndice de Preos de Consumo Amplo Para estudar a evoluo real dos salrios devemos usar o ndice de custo de vida ou ndice de preos ao consumidor.No caso de dados sobre as empresas, podemos utilizar o ndice geral de preos ou ndice de preos do atacado. Exemplo: Uma empresa possui os dados relativos a seu faturamento ao perodo de 2000 a 2005, apresentadosnatabelaabaixo.Dadoondicegeraldepreos(IGP)desseperodo, determinar: a)o faturamento real em termos de 2000; b)o faturamento real em termos de 2005; c)a variao porcentual do faturamento real ano a ano; d)a taxa mdia real do faturamento no perodo considerado. Ano 2000 2001 2002 20032004 2005 Faturamento (R$milhes) 50.00080.000 130.000 180.000 220.000 270.000 IGP 00 =100100137 208362 691 1.085 Soluo: a)para deflacionarmos ou inflacionarmos os dados deveremos tomar o inverso dos ndices com relao ao ano-base e multiplicar pelos valores que queremos atualizar.

No nosso caso, como queremos o faturamento real em termos de 2000, vamos deflacionar os dados: MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 61 Inverso dosTaxa de desvalo- ValoresValores Ano ndices rizao da moeda xcorrentesdeflacionados 2000(1/100).100 1 x 50.000=50.000 2001(1/137).100 0,729927x 80.000 = 58.394 2002(1/208).100 0,480769x 130.000 = 62.500

2003(1/362.1000,276243x180.000 = 49.724 2004(1/691).100 0,144718x220.000 =31.838 2005 (1/1.085).1000,092166 x 270.000 = 24.885 Observao: poderamos obter os valores deflacionados dividindo diretamente o valor corrente pelo ndice (80.000/137).100 ~ 58.394), porm perderamos o valor da taxa de desvalorizao da moeda. Assim, temos todos os valores a preos constantes de 2000 e, portanto, podem ser comparados, o que no ocorria anteriormente, quando os valores estavam mascarados pela inflao.Verifica-se que o faturamento realmente cresceu at o ano de 2002, a partir do qual passou a decrescer continuamente. b)Paracolocarmososdadosemtermosdofaturamentode2005,deveremos inflacionar os dados anteriores.Assim, inicialmente deveremos fazer uma mudana de base no IGP que foi dado com 2000 = 100 transformando-o em IGP 2005 = 100. Anos2000 2001 20022003 20042005 IGP 00 = 100 100137208362 691 1.085 IGP 05 = 1009,217 12,62719,171 33,36463,687 100 Em seguida, procede-se da maneira idntica ao caso anterior: MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 62 Inverso dosTaxa de valoriza- Valores ValoresAno ndicesco da moedaxcorrentes Inflacionados 2000(1/9,217).100 =10,850 x50.000 = 542.500 2001 (1/12,627).100 = 7,920x 80.000 = 633.600 2002 (1/19,171).100 = 5,216 x 130.000 =678.080 2003 (1/33,364).100 =2,997 x 180.000 =539.460 2004 (1/63,687).100 =1,570 x 220.000 =345.400 2005 (1/100).100 = 1,00 x 270.000 =270.000 Observao:Poderamos obter os valores inflacionados dividindo diretamente os valores correntespelondice(50.000/9,217.100~542.500),pormdesconheceramosataxade valorizao da moeda. Verifica-se ento que o faturamento real a preos constantes de 2005, que nos conduz mesmainterpretaoanterior,ouseja,ofaturamentocresceuatoanode2002,apartir do qual passou a diminuir. c)Avariaorealdofaturamentodeveserfeitasobreofaturamentoapreos constantes, podendo ter aqui usado tanto o encontrado no item a (2000 = 100) ou no item b (2005 = 100). Usando os resultados do item b, teremos: Anos Comparao Mvel Variao Mvel 2001633.600/542.500 = 1,1679 ou 116,79%+ 16,79% 2002 678.080/633.600 = 1,0702 ou 107,02%+7,02% 2003539.460/678.080 = 0,7956 ou79,56%- 20,44% 2004345.400/539.460 = 0,6403 ou64,03%- 35,97% 2005270.000/345.400 = 0,7817 ou78,17%- 21,83%

MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 63 d) Para calcularmos a taxa mdia real do faturamento usamos a mdia geomtrica dos ndices da comparao mvel. 51,1679.1, 0702.0, 7956.0, 6403.0, 7817 G =50, 4977 0,8698 G = =G = 0,8698 Logo 0,8698 1 =- 0,1302diminuio de 13,02% ao ano. Podemos obter tambm dividindo o ltimo valor pelo primeiros e extraindo a mdia geomtrica do resultado, Assim: 270.000/542.500=0,4977 50, 4977 0,8698 G = =Logo 0,8698 1= -0,1302 diminuio de 13,02% ao ano. LISTA DE EXERCCIOS 1 Dada a tabela abaixo: Anos 2001 20022003 20042005 2006 PQPQ PQP Q P Q P Q Artigos A3 103,5154,218 5,0255,1 235,5 28 B10 201125 1330153515 40 17 45 C55 5,58 6 187,5 108 30920 a)Determinar os relativos de preos para o artigo A, tomando 2001 = 100. b)Determinar os relativos de quantidades para o artigo B, tomando 2002 = 100. c)Determinar os relativos de valor para o artigo C, sendo 2001 a base. d)Usando base mvel, estudar as variaes de preos para o artigo A. e)Constate a igualdade q 01,02.q02,03.q03,01 = 1 para o artigo B. f)Constate a igualdade p03,04.p04,03 = 1 para o artigo C g)Qual o valor do ndice agregativo simples de preos para 2006, sendo 2001 = base? h)Qual a porcentagem de acrscimo ocorrida em 2006, em relao a 2001, das quantidades?Utilize o ndice agragativo simples de quantidades. i)Considerando 2003 como base, calcular a mdia aritmtica dos relativos de preos para 2005. MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 64 j)Calcule o ndice de preo de Laspeyres, sendo 2001 = 100 e 2006 a poca atual. k)Calcule L02,06. l)Avalie P03,06. m)Calcule P04,06. n)Calcule o ndice de preos de Fisher para 2006, considerando 2001 como base. o)Determine I02,04 2- Sendo: JAN. 06FEV. 06MAR. 06ABR. 06 Produtos P QP QP QP Q X100 10 120201352013525 Y 2005 220 6 23010250 15 Z60 3653 65265 2 a)Determinar o ndice de preo Laspeyres para ABRIL, sendo JAN. 06 a base. b)Constatar que: PJan/06;Fev/06 = LJan/06;Fev/06 c)Construir o ndice de quantidades usando a frmula de Fisher, sendo FEV.06 = 100, para ABRIL de 06 3- O preo de um artigo em 2002 era 32% maior que o de 2000, porm correspondia a 80% do preo de 2005.Determinar quanto o preo de 2000 era inferior ao de 2005. 4- Se o ICV (ndice de custo de vida) apresentar um acrscimo de 20%, qual ser a perda do poder aquisitivo dos assalariados? 5- Uma empresa apresentou os seguintes dados relativos ao seu faturamento no perodo de 2000 a 2004. Ano200020012002 20032004 Faturamento (Milhes R$) 50.000 60.000 140.000 200.000 250.000 O ndice Geral de Preos para o mesmo perodo indicou: Ano 2000 20012002 2003 2004 IGP(03 =100) 407 559848 1.473 2.811 Calcular: MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 65 a)o faturamento real da empresa a preos de 2000; b)a taxa anual de variao do faturamento; c)a taxa mdia anual de variao do faturamento. -7,76% REGRESSO LINEAR E CORRELAO 1- Introduo Um dos maiores problemas para o investigador de fenmenos humanos ou fsicos o estabelecimentodeummodelomatemticoquedescrevaeexpliqueofenmenoocorrido navidareal,comboaaproximao.Abuscadeumarelaofuncionalentreasvariveis observadasquedescrevemofatoumatarefademuitoscientistasemqualquerreade estudos.Assim, o pediatra tem interesse em estabelecer uma relao funcional entre o peso e a altura dos bebs;o economista busca o estabelecimento de uma funo que explique o comportamentodasvendas,emunidadesdeumproduto,emfunodopreo;o administradorprecisadeumafunoquedescrevaoscustosdeumproduto,quandoas quantidadesvariam;oengenheiroquersaberarelaofuncionalentrearesistnciado concretoearazogua/cimento;omdicoteminteresseemrelacionaratravsdeuma funo o volume do plasma sangneo e a superfcie dos corpos dos pacientes;o psiclogo deseja a funo que explique o QI (quociente de inteligncia) etc. SejaYumavarivelquenosinteressaestudarecujocomportamentofuturo desejamos prever. fcil identificarmos uma srie de variveis Xi (x1, X2, X3, ....,Xn) queinfluenciamocomportamentodeY,avariveldependentedomodelo.AEstatstica oferece meios de chegarmos relao funo entre a varivel dependente (Y) e as variveis independentesouexplicativas(X1,X2,X3,...,Xn)atravsdaanlisederegresso.Quanto maior o nmero de variveis explicativas, mais completo ser o modelo.Todavia, suasoluosertambmmaisdifcilecomplexa.Emrazodisso,limitaremosnossa exposiesaocasoemqueapenasduasvariveisintervmnomodelo;avarivel dependenteYeavarivelindependenteX.Apresentaremosapenasoestudodafuno linear (ajustamento de uma reta), isto , estudaremos o modelo:

Onde a e b so os parmetros da funo. Umamaneirabastanteprticaparaauxlionadeterminaodafunoentreas variveisdependenteeindependenteaconstruodogrficodenominadodiagramade disperso. Para desenharmos o diagrama de disperso devemos coletar uma amostra de valoresXeY:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),...,(xn,yn),marcandoessespontosnum sistema de coordenadas cartesianas.Assim: Y = b+aX MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 66 y yn y2 y3 y1 x1x2x3... xnx Diagrama de disperso. Pelaanlisedenuvemdepontosassinalados,teremosmelhorescondiesde especificar a funo que relaciona as variveis.No caso do ajustamento de uma linha reta, o diagrama de disperso apresentar uma nuvem de pontos que nos ir sugerir uma relao linear entre X e Y. tambm provvel que a nuvem de pontos nos indique outros tipos de funes ( exponencial, parbola etc.).Tais ajustamentos fogem aos objetivos desse curso. 2-Ajustamento da reta EstabelecidoomodeloY=b+aX,precisamosdosvaloresdeaebdeformaque nossaretapassetoprximoquantopossveldospontosassinaladonodiagramade disperso.Isto,queremosminimizaradiscrepnciatotalentreospontosmarcadosea retaqueiremosdeterminar.Omelhormtodoparaadeterminaodosparmetrosaebque minimize as discrepncias o mtodo dos Mnimos Quadrados.Segundo esse mtodo, poderemos avaliar as parmetros a e b pela aplicao da seguintes frmulas: 1221. . ..ni iiniix y n X Yax n X=== b = y ax onde n = tamanho da amostra 1niixXn== 1niiyYn== MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 67 3-Exemplo de aplicao Suponhamosquenumdeterminadoperodotenhamsidoregistradasasseguintes observaesrelativasapreoserespectivasquantidadesdemandadasdecertobem,no mercado. P1234 D8 541 a)Esboceospontosnumsistemacartesianoetraceumalinhaquemelhorajusteeste pontos. b)Faa a regresso linear para determinar a reta y = Ax + B, onde

n E xi.yi -n. X. Y a =i=1b= Y- AX n E ( xi)- n.(X)

i=1 Soluo a) D 8 5 4 1

01234 P MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 68 b) x = P y = D x = Px.y = P.D 1 81 8 2 5410 3 4912 4 1 16 4 1018 3034 a =34 4.2,5.4,5 = -11b =4,5 (-11).2,5 = 10 30 4.2,5 55 Portanto:D = -(11/5).P+10, a reta que melhor ajusta a distribuio (P, D) dada. Exerccios 1-Determinaraequaodeumaretaquemelhorajustecadaumadasdemandasdadas pelas tabelas abaixo: a) Pi 2 3 456b)Pi6 8 9 10 11 Di128 763 Di 18 1312 63 D = -2P + 15,2D = -3P + 36,8 2-Aproximar,pelaretaderegressolinear,adistribuiodepontosatabelaabaixoque representa as quantidades oferecidas e os preos de um bem num determinado perodo. P 67 89 10 S 12 48 15S = 3,4P 21,2 Outro exemplo Sendo: Ano 2000200120022003 2004 Produo de ferro (t) 17,519 23,328,7 35 ( em toneladas) a)Ajustar uma reta aos dados. b)Estimar a produo para 2005. Soluo: MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 69 Observamos que avarivel dependente a produo de ferro(y) eque a varivel independente o tempo(t).O uso dos valores 2000, 2001, ... no conveniente, pois acarretariaumnmerodeclculosmuitogrande.Assim,parasriestemporaisou cronolgicas (a varivel observada no tempo), comum a mudana da varivel t para x.Assim, no exemplo, xi = ti 2002 uma interessante transformao.A mudana para o caso de n (nmero de observaes) mpar dada por xi = ti to, onde to o elemento centraldasrie.Noexemploto=2002.Paranpar,toseramdiaentreos elementos centrais de ordem n/2 e n/2 + 1. Isto se n = 4, ento n/2 = 2 elementoe n/2 + 1 = 3 elemento, logo to = ( 2 elemento + 3 elemento) / 2. Paraobtermososvaloresdexiinteiros,convmnestecasomultiplicarmos(tito) por 2 e prosseguir naturalmente. Voltando ao exemplo, teremos: ti xi =(ti 2002)Y X.YX 2000-2 17,5 -35 4 2001-1 19,0 -19 1 2002 0 23,30 0 2003 1 28,728,7 1 2004 2 35,070 4 E 0 123,544,7 10 a)Ajusteda reta 1221. . ..ni iiniix y n X Yax n X=== =(44,7 5.0.24,7)/(10 5.0)=4,47 b = y ax = 24,7 4,47.0=24,7 Logo y=24,7+4,47x a reta pedida. b)Paradeterminaodaproduopara2005teremos:quandoti=2005,xi=(2005 2002) = 3,logo, y = 24,7 + 4,47.(3) = 24,7 + 13,41=38,11 toneladas a quantidade prevista para 2005. EXERCCIOS 1- Os lucros de uma companhia no perodo de 2002 a 2006 so dados abaixo: Ano 2002 2003 200420052006 Lucro(milhes) 2,33,5 5,86,5 7,0 MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 70 a)Mudar a varivele determinar a equao da reta que melhor ajusta a tabela. b)Estimar os lucros para 2007. 2- As importaes de determinada matria-prima no perodo de 2001 a 2006 encontram-se na tabela abaixo: Ano2001 20022003 200420052006 Quantidade (t) em ton. 50 47 35 302410 a)Mudar a varivel t para x. b)Determinar a reta que melhor ajuste os pontos c)Fazer uma estimativa da importao para 2007. 4-CORRELAO LINEAR No tpico anterior aprendemos a determinao de uma funo linear que relacionava as variveis derivadas de uma experimentao da vida real.Aqui, nosso interesse medir o grau de relao existente entre duas variveis aleatrias. Assim, por exemplo, poderamos quererograuderelacionamentoentreopesoeaalturadeumgrupodepessoas;entreo cigarro e a doena do corao; entre sensibilidade para a msica e vocao para a cincia; entre inteligncia e beleza etc. Para avaliar o grau de correlao linear entre duas variveis, ou seja, medir o grau de ajustamentodosvaloresemtornodeumareta,usaremosocoeficientedecorrelaode Pearson, que dado por: 1 1 12 21 1 1 1. . ( ).( )[ . ( )].[ . ( )]n n ni i i ii i in n n ni i i ii i i in x y x yrn x x n y y= = == = = == onde n o nmero de observaes. Pode-sedemonstrarqueovalordocoeficientedecorrelaorsempredeverestar entre1e+1.Geralmentemultiplicamosovalorencontradorpor100,dandoaresposta em porcentagem. Observem abaixo a configurao do diagrama de disperso para diversos valores de r. -r = 1(correlao linear perfeita positiva) -r = -1 (correlao linear perfeita negativa). -r > 0 (forte correlao positiva) pontos prximos da reta no sentido positivo. -r < 0 (forte correlao negativa) pontos prximos da reta no sentido negativo MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 71 -r > 0 (fraca correlao positiva) pontos mais afastados da reta no sentido positivo. -r < 0 (fraca correlao negativa) pontos mais afastados da reta no sentido negativo -r = 0 (ausncia de correlao linear) Exemplo de aplicao: DezalunosforamsubmetidosaumtestedeEstatsticaedeMatemtica,obtendoas seguintes notas: Aluno AB C DEF G HI J Matemtica (x) 7 6 9 1034 87 6 2 Estatstica (y) 6 5 109 23 95 6 3 Determinar o coeficiente de correlao entre as notas. Soluo conveniente a construo da tabela: XYX.YXY 76424936 65303625 9109081100 1099010081 32 69 4 431216 9 89726481 75354925 66363636 23 6 4 9 6258419 444406 1 1 12 21 1 1 1. . ( ).( )[ . ( )].[ . ( )]n n ni i i ii i in n n ni i i ii i i in x y x yrn x x n y y= = == = = == 10.419 62.58[10.444 62].[10.406 58]r= = 0,9.... r = 94%.Este resultado indica uma forte correlao entre as notas de Matemtica e Estatstica para esse grupo de 10 alunos. MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 72 EXERCCIOS 1-Sendo X0 1 2 3 4 5 Y102030405060 Calcular o coeficiente de correlao. 2- Calcular o coeficiente de correlao para: X 10 20 30 40 50 Y68786 3- A tabela abaixo apresenta uma amostra com os pesos de 10 pais e de seus filhos mais velhos. Peso dos pais (X)6065 70 6863 69 71 64 66 64 Peso dos filhos(Y) 63 64 71 69 63 68 73 63 64 62 Calcular o coeficiente da correlao entre os pesos dos pais e dos filhos, utilizando as seguintes transformaes da variveis. Z= (X 66)eW=(Y 67). A mudana de varivel conveniente pois abrevia o nmero de clculos. MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 73 CONTEDO PROGRAMTICO: 1- DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE 1.1 Variveis Aleatrias 1.2 Variveis Aleatrias Discretas 1.3 Variveis Aleatrias Contnuas 1.4 Distribuies Discreta de Probabilidades 1.5 Valor Esperado 1.6 Varincia 2.DISTRIBUIO CONTNUA DE PROBABILIDADE 2.1 Distribuio Uniforme de Probabilidade 2.2 rea como uma medida de Probabilidade 2.3 Distribuio Normal de Probabilidade 2.4 Curva Normal 2.5 Distribuio Normal-Padro de Probabilidade 2.6 Calculando Probabilidade de qualquer Distribuio Normal de Probabilidade 2.7 Aproximao da Normal das Probabilidades Binomiais. 3 -DISTRIBUIES AMOSTRAIS

3.1 Amostragem Aleatria Simples 3.2 Amostragem de Populao Finita 3.3 Amostragem de Populao Infinita 3.4 Estimativa por Ponto 3.5 Introduo s Distribuies Amostrais 3.6 Distribuio Amostral da Mdia 3.7 Valor Esperado da Mdia 3.8 Desvio-Padro da Mdia 3.9 Teorema do Limite Central. 4- INTERVALOS DE CONFIANA 4.1 Estimativa de Intervalo de confiana das mdias amostrais 4.2 Estimativa de Intervalo de Confiana de uma proporo populacional 4.3 Clculo do tamanho amostral para estimativa das mdias amostrais 4.4 Clculo do tamanho amostral para estimativa de propores. 5- TESTE DE HIPTESES 5.1 Desenvolver as Hipteses Nula e Alternativa 5.2 Teste das Hipteses de Pesquisa MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 74 5.3 Erros do Tipo I e do tipo II 5.4 Testes Unicaudais e Bicaudais da Mdia e da Proporo de uma Populao 5.5 Etapas do Teste de Hiptese. 6- REGRESSO LINEAR E CORRELAO 6.1 Ajustamento de uma reta que relaciona duas variveis 6.2 Avaliar o grau de correlao linear entre duas variveis 6.3 Medir o grau de ajustamento dos valores em torno de uma reta. 7- NMEROS NDICES 7.1 Clculo dos relativos: preo, quantidade e valor 7.2 Base fixa e base mvel 7.3 Nmeros-ndice simtricos 7.4 Principais ndices 7.4.1 ndice agregativo simples 7.4.2 ndices mdio dos relativos 7.4.3 ndices ponderados 7.4.3.1 ndice de Laspeyres 7.4.3.2 ndice de Paache 7.4.3.3 ndice de Fisher (frmula ideal) 7.5 Mudana de base 7.6 Deflacionamento ou inflacionamento de dados. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS: BSICA: SPIEGEL, Murraay R. Estatstica. 3 ed. Pearson, So Paulo, 2006. STEVENSON,WilliamJ.Estatsticaaplicadaaadministrao.1ed.Harbra,SoPaulo, 2001. ANDERSON,DavidR.Estatsticaaplicadaadministraoeeconomia.2ed.Thomson,So Paulo, 2005. VIEIRA, Sonia Vieira. Elementos de estatstica. 4 ed., So Paulo: Atlas, 2003. COMPLEMENTAR: KAZMIER,LeonardJ.Estatsticaaplicadaadministraoeeconomia.RiodeJaneiro, McGraw Hill, 1982. NAZARETH, F. E. M. de. Cursobsico de estatstica. So Paulo: tica, 1987. MATERIAL DE ESTATSTICA II PROF. MRIO ROBERTO ESTATSTICA II - Mrio 75 ESTATSTICA II Estudo de caso. 1- OBJETIVO: Aplicareinterpretarosconceitosbsicosdeestatstica indutiva (inferencial) em situaes prticas do cotidiano. 2-PROCEDIMENTOS 2.1- Elege-se uma populao alvo para o estudo. 2.2- Elaborar um resumo sobre a parte terica de varivel aleatria contnua normal (padronizada), intervalos de confiana e teste de hiptese. 2.3- Destacar uma amostra da populao com seus parmetros (mdia e desvio padro),emseguidafazeraestatsticapopulacionalreferenteosparmetros (mdia de o desvio padro) com o IC de 95%, 99%. 2.4 Destaque uma amostra da populao e elabore oteste de hiptese quanto aosparmetros:mdiaedesvio-padro.Porex.Sehdesconfianaem relaoaopesodospacotesdearrozdeumadeterminadamarca,pegueuma amostra e faz o teste de hiptese. OBS. Nem sempre uma determinada varivel vivel fazer uma estatstica por IC e ao mesmo tempo um teste de hiptese. Pense nisso.... 2.5- Interpretar os resultados da estatstica sobre a populao.