Apostila.pdftrans de calor
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ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA
SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS www.pme.poli.usp.br/sisea
PPMMEE –– 22336611 PPrroocceessssooss ddee TTrraannssffeerrêênncciiaa ddee CCaalloorr
Prof. Dr. José R Simões Moreira
2o semestre/2014 versão 1.4
primeira versão: 2005
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
____________________________ http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2014
2
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 2361 - Processos de Transferência de Calor ministrada aos alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Witt. Também foram utilizados outros livros-texto sobre o assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o caso do “Transferência de Calor” de Holman. O objetivo deste material é servir como um roteiro de estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De forma nenhuma substitui um livro texto, o qual é mais completo e deve ser consultado e estudado.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
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Prof. José R. Simões Moreira Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644
Breve Biografia
Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica - Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação interinstitucional do Instituto de Eletrotécnica e Energia (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq - nível 2, consultor ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, Avaliador in loco do Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica, atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos e sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor técnico de vários congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, Transitórios em Sistemas Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máquinas e Processos de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e extensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural, termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por meio do PECE da Poli desde 2011 em sua sexta edição. Tem sido professor de cursos de extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações indústriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem participado de projetos de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq, Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras e Ultragaz. Foi agraciado em 2006 com a medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - João Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suiça) dentro do programa ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`. Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliquées em Lyon (França) em junho e julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria (Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui uma patente com aplicação na área automobilística. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor de um livro intitulado "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (1999) e autor de um capítulo do livro "Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou 13 mestres e 4 doutores, além de cerca de 40 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de cursos de especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando um número superior a 80 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos tecnico-científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de pesquisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos.
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AULA 1 - APRESENTAÇÃO 1.1. INTRODUÇÃO Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a seguinte pergunta entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há diferença entre elas”? Para desfazer essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de aplicação de cada disciplina. Mas, antes vamos recordar um pouco das premissas da Termodinâmica. A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é baseada em três leis fundamentais:
- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura)
- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva) - Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de
conversão de uma forma de energia em outra”) Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: (a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT <
inicial final As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina: Termodinâmica: TmcUQT ∆=∆= - fornece o calor total necessário a ser transferido do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico médios – APENAS ISTO!
frasco
ambientef TT = Gf TT =
t∆
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Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto tempo ( )t∆ levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente (gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou aumentar) esse tempo?
Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t∆ para que o estado de equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja
atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência de Calor vai permitir estimar o tempo t∆ , bem como definir quais parâmetros podemos interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode ser interna a um corpo ou na superfície de contato entre uma superfície e outro corpo ou sistema (fluido).
(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor
TERMIDINÂMICA: cec qqw −= : não permite dimensionar os equipamentos
(tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, como o COP:
c
e
w
qCOP =
TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas: - Qual o tamanho do evaporador / condensador? - Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? - Como atingir maior / menor troca de calor? - Outras questões semelhantes.
cw
cq
eq
compressor válvula
condensador
evaporador
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Problema-chave da transferência de calor: O conhecimento do fluxo de calor. O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: - Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; - Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de circuitos de refrigeração; - Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, etc. 1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos.
(a) Condução de calor - Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para as menos energéticas. - Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822)
dx
dTAq
x α
onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq
T : temperatura A constante de proporcionalidade α é a condutividade ou condutibilidade térmica do material, k, ou seja:
2T1T . .
x
sólido
xq
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dx
dTkAqx =
As unidades no SI das grandezas envolvidas são:
[x
q ] = W ,
[ A ] = 2m ,
[T ] = K ou Co ,
[ x ] = m .
assim, as unidades de k são: [ k ] = Cm
Wo
⋅ ou
Km
W
⋅
A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção de apêndices dos livros-texto. Necessidade do valor de (-) na expressão Dada a seguinte distribuição de temperatura: Para 12 TT >
T2
T1
T∆
x∆
T
xx1 x2
0<xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está,
portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x)
Além disso, do esquema; 00
0>
∆
∆
>∆
>∆
x
T
x
T, daí tem-se que o gradiente também será
positivo, isto é:
0>dx
dT mas, como 0>k (sempre), e 0>A (sempre), concluí-se que,
então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de Fourier) para manter a convenção de que 0>xq
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Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT > , conforme próximo esquema, a equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)
De forma que a Lei da Condução de Calor é: Lei de Fourier (1822)
(b) Convecção de Calor A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)
)( ∞− TTAq Sα
Onde a proporcionalidade α é dada pelo coeficiente de transferência de calor por
convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que:
onde: A : Área de troca de calor;
ST : Temperatura da superfície;
∞T : Temperatura do fluido ao longe. - O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de muitos fatores, entre eles: geometria de contato (área da superfície, sua rugosidade e sua
dx
dTkAq
x−=
)( ∞−= TThAq S
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geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no seu valor. (c) Radiação Térmica A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e Boltzmann, de forma teórica (1884). Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica
(para um corpo negro)
−σ constante de Stefan – Boltzmann (5,669.10-8 W/m2 K4)
Corpos reais (cinzentos) 4ATq εσ= , onde ε é a emissividade que é sempre 1≤
Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas
ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de calor da irradiação solar que atinge nosso planeta.
4ATq σ=
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AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR
CONDUÇÃO DE CALOR Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k
Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão:
x
Tkq
, onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a
condutividade térmica do material.
As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são:
x
TA
qk
m
Cm
Wk
o2
Cm
Wk
o ou
Km
W
.
Sendo: k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de apêndice do livro texto. Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k
q A
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No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica enrolada em torno da haste do bastão. O calor gerado por efeito joule vai ser conduzido dentro da haste para fora do bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de temperatura (termopares, p. ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de temperaturas como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil temperatura é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo de calor fornecido
é a própria potência elétrica IUIRq 2 . Sendo a seção transversal A conhecida,
então, da lei de Fourier, determina-se a condutividade térmica do material da haste, k.
Neste caso,
x
TA
qk
.
Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico. Gases
O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica flui. Pode-se mostrar que.
Tk
Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão, desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico. Líquidos
Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos líquidos é o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais complexa devido à menor mobilidade das moléculas.
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Sólidos
Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos: vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente.
O gráfico abaixo ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutibilidade
térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutibilidade aumento de gases, para líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica.
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS Balanço de energia em um volume de controle elementar
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BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI)
Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de calor calor de variação calor que que entra no + gerada = da energia + deixa o que V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C. (I) (II) (III) (IV) Sejam os termos: (I) Fluxo de calor que entra no V.C. Direção x
x
TdAk
x
Tdzdykq xxx
-
Direção y
y
Tdzdxkq yy
ykqyy Direção zy
kqzz
(II) Taxa de calor gerado
dz q '''G dydxEG
onde: '''gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume. 3m
W
(III) Taxa temporal de variação da energia interna
t
Tcdzdydx
t
um
t
UEar
onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e a densidade. CkgkJ o/
(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor: Direção x
xxqqxxdxx )(0 2dxdx
x
qqq x
xdxx
Direção y
dy
y
qqq
y
ydyy
z
Tdydxkq zz
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Direção z
dz
z
qqq z
zdzz
Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:
dzz
qqdy
y
qqdx
x
t
Tcdxdydzdxdydzqqqq z
z
y
yx
xGzyx
'''
+ ordem superior
simplificando os termos zyx qqq e , , vem:
, ''' dzz
qdy
y
qdx
x
q
t
Tcdxdydzdxdydzq zyx
G
e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor,
dxdydzkz
dxdydzky
dxdydzkxt
Tcdxdydzdxdydzq zyxG
z
T
y
T
x
T '''
Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente: Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução geral analítica para a mesma porque se trata de um problema que depende das condições inicial e de contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que dependem da geometria do problema, do tipo (regime permanente) e das condições iniciais e de contorno. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: ),,,( tzyxTT . A seguir
são apresentados alguns casos básicos. Casos: A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe de T)
kkkk zyx
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T g
T
1'''
2
2
2
2
2
2
2
t
T
z
T
y
T
x
T "'
cqk
zk
yk
xGzyx
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onde, = c
k
é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no
SI é:
s
m
s
s
J
mW
Kkg
J
m
kg
Km
W
c
k ²²
3
Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma:
onde:
2
2
2
2
2
22
zyx
é o operador matemático chamado de Laplaciano no
sistema cartesiano de coordenadas. Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois,
embora ela tenha sido deduzida para o sistema cartesiano de coordenadas, ela é independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesse em usar outros sistemas de coordenadas, basta substituir o Laplaciano do sistema de interesse, como exemplificado abaixo,
- Cilíndrico: 2
2
2
2
2
2 11
zrrr
rr
- Esférico: 2
2
222
2
2
2 sen
1 sen
sen
11
rrrr
rr
B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq
(Eq. de Fourier)
C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0
t
T
(Eq. de Poisson) D) Regime permanente e k constante e uniforme (Eq. de Laplace)
t
T
k
qT G
1'''2
12
t
TT
0'''
2 k
qT G
02 T
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AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA
O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado na figura abaixo onde uma parede de espessura L, cuja face esquerda é mantida a uma temperatura T1 enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da parede é linear.
Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida na aula anterior, isto é:
t
T
k
qT G
1'''2
Introduzindo as simplificações do problema, vem:
i. Não há geração interna de calor: 0 Gq
ii. Regime permanente: 0
t
T
iii. Unidimensional: D1 2
22
x
Assim, com essas condições, vem que 02
2
x
Td, e a solução procurada é do tipo T(x).
Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis: dx
dT
Logo, substituindo na equação, vem que 0dx
d
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Integrando por separação de variáveis vem:
1Cd , ou seja: 1C
Mas, como foi definido dx
dT 1C
dx
dT
Integrando a equação mais uma vez, vem:
21)( CxCxT Que é a equação de uma reta, como já antecipado.
Para se obter as constantes, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos matemáticos isso quer dizer que
(A) em x = 0 1TT
(B) e em x = L 2TT
De (A): 12 TC
e de (B): 112 TLCT L
TTC 12
1
Assim, Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT , como mostrado na figura abaixo.
Cálculo do fluxo de calor transmitido através da parede . Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:
dx
dTkq
e, substituindo a distribuição de temperaturas, vem:
L
TTkT
L
xTT
dx
dkq 12
112
, ou,
em termos de fluxo de calor por unidade de área,
temos: mW 212''
L
TTk
Esquecendo o sinal de (-), vem
112 )()( TL
xTTxT
L
Tkq
''
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Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos: Aumentar o fluxo de calor q”:
. Com o uso de material bom condutor de calor, isto é com k
. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L Ou diminuir o fluxo de calor q”:
. Com o uso de material isolante térmico k
. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO. Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua aplicação é para tubos cilíndricos.
A equação geral é da forma t
T
k
qT G
1'''2
Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é:
t
T
k
q
z
TT
rr
Tr
rrG
111 '''
2
2
2
2
2
Introduzindo as simplificações:
i. Não há geração interna de calor: 0 Gq
ii. Regime permanente: 0
t
T
iii. Unidimensional: D1 , que é válido para um tubo muito longo, ou
seja, T não depende de z, logo 02
2
z
T
iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 02
2
T
As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em:
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0
dr
dTr
dr
d, onde a solução procurada é do tipo )(rTT
As condições de contorno para a ilustração indicada acima são:
A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr
A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é:
ee TTrr
Solução:
1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em:
10 Cdrdr
dr
dTrd 1C
dr
dTr
Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem:
21 Cr
drCdT
Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não linear como no caso da parede plana. Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação da condições de contorno:
(A) ii TTrr 21 )ln( CrCT ii
(B) ee TTrr 21 ) ln( CrCT ee
Fazendo-se (A) – (B), temos que e
i1
r
rln CTT ei , ou
e
i1
r
rln
ei TTC
Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas:
Distribuição de temperatura, supondo ei TT .
21 )ln( CrCrT
eei T
TTrT
e
e
i r
rln
r
rln
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20
Te
Ti
re ri raio
Lei logarítmica T
O fluxo de calor é obtido através da Lei de Fourier, isto é, dr
dTkq
Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área transversal da seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica ilustrada abaixo. rLA 2 (casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier,
21 )ln()( CrCrT , vem:
])ln([2 21 CrCdr
drLkq
ou, efetuando a derivação, temos:
r
kLrCq1
2 1
ou, ainda: 12 kLCq
Substituindo, 1C :
e
i
r
rln
2 ie TTkLq
(W)
O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas!
Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área ''q depende da posição radial
e
i
ie
r
r
TT
rL
kL
A
ln
)(
2
2''
e
i
ie
r
r
TT
r
kq
ln
)('' 2mW
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21
AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes compostas.
Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o
mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as seguintes equações:
- parede 1: 1
211
)(
L
TTAkq
Ak
qLTT
1
121
- parede 2: 2
322
)(
L
TTAkq
Ak
qLTT
2
232
- parede 3: 3
433
)(
L
TTAkq
Ak
qLTT
3
343
Assim, somando os termos _____________
de todas as paredes: Ak
LqTT
i
i 41
ou, simplesmente,
R
Tq
onde o T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a
resistência térmica da parede composta, dada por Ak
LR
i
i
ANALOGIA ELÉTRICA Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência:
qi
TU
TÉRMICOÔHMICORR
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22
Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas.
Circuito elétrico equivalente
Fluxo de calor que é:
T
total
R
Tq
5//1 RRRRT
com
432//
1111
RRRR
CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor
2RIP (W) Onde: P : potência elétrica transformada em calor por efeito joule(W)
R : resistência ôhmica ( ) I : corrente elétrica (A)
Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V)
UIP ou R
UP
2
q
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23
Em termos volumétricos, '''
Gq )/( 3mW , V
PqG
''' (W/m3), onde V : volume onde o
calor é gerado. 2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0(
'''Gq como, por
exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma
reação endotérmica, 0'''Gq .
3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc... Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). Lb
T1
T2
2b
i
Equação geral
t
T
k
qT G
1'''
2 sendo que 0
t
T (regime permanente.)
0'''
2 k
qT G )(xTT
Condições de contorno:
(1) Lx 1TT
(2) Lx 2TT
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24
Solução
Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): dx
dT ,
Então k
q
dx
d G
'''
Integrando essa equação por partes, vem:
1
'''
Cdxk
qd G , mas como
1
'''
então , Cxk
q
dx
dT
dx
dT G
Integrando novamente:
Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.
Como no caso da resistência elétrica '''
Gq (geração de calor) é positivo e,
claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é negativa parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''
Gq
for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.
Determinação das constantes 1C e 2C :
Condições de contorno
(1) 21
2'''
12
CLCk
LqT G - temperatura da face esquerda conhecida
(2) 21
2'''
22
CLCk
LqT G - temperatura da face direita conhecida
Somando (1)+(2), vem:
2
2'''
21 2Ck
LqTT G
k
LqTTC G
22
2'''
212
.
Substituindo em (1) ou (2), tem-se L
TTC
212
1
Então, a distribuição final de temperaturas é:
21
2'''
2)( CxC
k
xqxT G
22)(
2
)()( 21
12
22''' TT
L
xTT
k
xLqxT G
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25
CASOS: (A) Suponha que as duas faces estejam à mesma
temperatura: STTT 21 . Daí, resulta que:
É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco comum de uma reação endotérmica, ou '''
Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo
e, no plano central, haveria a mínima temperatura.
Também poderia se chegar a essa expressão usando 0dx
dT
S
GCMÁX
Tk
LqTT
2
2'''
O fluxo de calor (lei de Fourier)
dx
dTkAq ou
dx
dTk
A
qq '' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem:
S
G Tk
xLq
dx
dkq
2
)( 22'''
'' ,
ou, simplesmente: No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das condições de contorno.
Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0'' q
(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: 21 TT
SG T
k
xLqxT
2
)()(
22'''
'''''Gxqq
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26
Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx )
Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx :
0máxxdx
dTk ou
022
)()(2
2112
22
'''
TT
L
xTTxL
k
q
dx
d G , que resulta em:
02
)( 12
'''
L
TTx
k
qmáx
G
Cuja solução é: Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se
o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso!
PENSE: Suponha que você é um engenheiro perito e é chamado para dar um parecer sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico. Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não sobreaquecimento à luz da matéria exposta acima?
'''
12
2
)(
G
máxLq
kTTx
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27
AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS MACIÇOS EM REGIME PERMANENTE COM GERAÇÃO
INTERNA DE CALOR Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna de calor em cilindros maciços. Como exemplo de aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule devido à passagem de corrente elétrica em fios elétricos, como indicado na figura ao lado. Partindo da equação geral da condução de calor:
01
'''
2
t
T
k
qT G
(Regime permanente)
Onde é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
Tr
rrT
Hipóteses adicionais
- simetria radial: 02
2
(não há influência da posição angular numa seção
transversal)
- o tubo é muito longo: 02
2
z (não há efeitos de borda na direção axial)
Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou seja, )(rTT
Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:
01
'''
k
q
dr
dTr
dr
d
rG
Ou, integrando por partes:
1
'''
Crdrk
q
dr
dTrd G
, ou, ainda: 1
2'''
2C
k
rq
dr
dTr G
Integrando novamente por separação de variáveis:
2
1
'''
2Cdr
r
Cr
k
qdT G
21
2'''
ln4
)( CrCk
rqrT G
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28
* condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: (1) STrrT )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida
(2) 00
rdr
dT simetria radial na linha central
Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,
também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.
Da segunda condição de contorno, vem que:
02
lim 1
'''
0
r
C
k
rqG
r
Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula.
Da primeira condição de contorno.
2
2'''
4C
k
rqT G
S ou, k
rqTC G
S4
20
'''
2
Finalmente, a equação da condução de calor fica:
É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !
Sendo, SG
máx Tk
rqT
4
20
'''
SG Trrk
qT 22
0
'''
4
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29
EXEMPLO DE APLICAÇÃO Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado
externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .
Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''
Gq uniforme.
a) calcule a distribuição de temperaturas; b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); c) determine a temperatura da superfície externa.
Solução: Hipóteses: as mesmas que as anteriores.
Eq. 01
'''
k
q
dr
dTr
dr
d
rG
Condições de contorno:
(1) ii TrrT )( (temperatura interna constante)
(2) 0erdr
dT (fluxo de calor nulo na superfície)
A solução geral, como já visto, é:
21
2'''
ln4
)( CrCk
rqrT G
Onde 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:
k
rqC eG
2
2'''
1 ;
)ln(2
4
22'''
2 i
e
ieGi r
r
r
k
rqTC
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30
i
ie
ieG Tr
r
r
rr
k
rqrT
ln2
4)(
2
222'''
Assim,
O fluxo de calor é:
dr
dTkAq
)()2( rTdr
drLkq
Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:
22'''
ieG rrqL
q (W/m)
A temperatura máxima é:
emáx TT
i
i
e
e
eieGemáx T
r
r
r
rr
k
rqTT
ln2
4 2
222'''
OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada
uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a Co95 e o coeficiente de
transferência de calor vale CmkW o2/10 .
Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua
condutibilidade térmica vale CmW o/5,22
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31
CT oc 267
Solução:
Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.
R
URiP
22 ;
A
LR
m 81070
mL 3,0 , 26232
100425,84
)102,3(
4m
DA
2
6
8
106111,2100425,8
3,01070R
kWP 830,3106111,2
1002
3,0100425,8
1083,31083,36
33
LAV
PqG
3
910587,1m
WqG
hA
PTTTThAP PP )(
3,0)102,3(1010
1083,395
33
3
PT
CT oP 222
k
rqTT oG
Pc4
2
5,224
)106,1(10587,1222
239
cT
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32
RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações
- paredes planas
R
TTq 21
kA
LR
- circuito elétrico
- paredes compostas
- Circuito elétrico
Ainda,
onde
432//
1111
RRRR
5//1 RRRREQ
EQR
TTq 21
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33
- Tubo cilíndrico
R
TTq ei
; kL
rr
R i
e
2
ln
- Tubo cilíndrico composto
- Circuito elétrico
ieq RR
Para dois tubos:
Lk
r
r
R1
1
2
12
ln
Lk
r
r
R2
2
3
22
ln
Lk
r
r
Ri
i
i
eq 2
ln 1
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34
Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?
Lei de convecção (Newton)
)( TThAq p e
hA
TTq p
1
onde, hA
1 é a resistência térmica de convecção
- Circuito elétrico
Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes:
- Convecção em tubo cilíndrico
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35
Tabela resumo de Resistências Térmicas
Circuito Elétrico Fluxo de
Transferência de calor
Resistências Térmicas
Parede plana
R
TTq 21
kA
LR
Parede plana com convecção
R
TTq 21
321 RRRR
AhkA
L
AhR
21
11
Paredes compostas
EQR
TTq 21
5//1 RRRREQ
432//
1111
RRRR
Tubo cilíndrico
R
TTq ei
kL
rr
R i
e
2
ln
Tubo cilíndrico composto
EQ
ei
R
TTq
Lk
r
r
Ri
i
i
eq 2
ln 1
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36
Convecção em tubo cilíndrico
EQ
ei
R
TTq
hAkL
rr
R i
e
eq
1
2
ln
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U O coeficiente global de transferência de calor é definido por:
totalTUAq
Claramente, U está associado com a resistência térmica, - parede plana
AhkAAhR
21
111
TUAR
Tq
RUA
1 ou
RAU
1
Logo,
21
111
hk
L
h
U
- tubo cilíndrico
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37
Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à
área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são
intercambiáveis mediante a seguinte expressão:
totaliitotalee TAUTAU
Logo, iiee AUAU
U referido à área externa
e
rr
ee
hkL
AU
i
e 1
2
ln
1
U referido à área interna
ee
irr
ii
hA
A
kL
AU
i
e
2
ln
1
RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isolados do meio
ambiente a fim de restringir a perda de calor do fluido (ou frio), cuja geração implica
em custos. Aparentemente, alguém poderia supor que a colocação pura e simples de
camadas de isolamentos térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais
pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta
operação.
hLrkL
TTq
e
rr
i
i
e
2
1
2
ln
ou,
hrk
TTLq
e
rr
i
i
e 1ln
)(2
Note que no denominador dessa expressão que
o raio externo tem duas contribuições: um no
termo de condução e a outra no termo de
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38
h
krcrit
convecção. De forma que, se o raio externo do isolamento aumentar por um lado ele
diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que por outro lado a
resistência térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá
origem a um ponto de maximização. Do Cálculo, sabe-se que o máximo da
transferência de calor ocorre em:
2.
1
.
12
1ln
)(20
erhe
rk
hrk
TTL
dr
dq
e
rr
i
ei
e
Assim,
2
11
ee hrkr
critr é o chamado raio crítico de isolamento.
Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que h
k a transferência de calor
será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio
crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao
desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de
isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão
de fato diminuir a perda de calor.
Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por
convecção de h = Cm
Wo2
7 (convecção natural), teste de alguns valores da
condutividade de materiais isolantes.
material
CmW
ok critr (mm)
Teflon 0,350 50,0 Papel 0,180 25,7 Couro 0,159 22,7
Borracha macia 0,130 18,6 Silicato de cálcio 0,055 7,9
Lã de vidro 0,038 5,4 Poliestireno expandido 0,027 3,9
Folhas de papel e alumínio de vidro laminado
0,000017 0,0024
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39
Como se vê, o raio crítico é relevante para pequenos diâmetros, tais como, fios elétricos. Exercícios sugeridos do Incropera: 3.4; 3.5; 3.11; 3.32; 3.34; 3.38
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40
AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS Considere uma superfície aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido.
Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por,
TThAq s ,onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a
área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe).
Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por
exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso,
aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o
fluxo de calor trocado, como dado pela expressão anterior. Porém, há um preço a pagar
e este preço é o fato que vai se exigir a utilização de equipamentos de maior porte de
movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos).
Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste
em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como a ilustrada
abaixo.
Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo aumento da área exposta. Exemplos de aplicação de aletas: (1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar (velho fusca); (2) motores elétricos; (3) condensadores; (4) dissipadores de componentes eletrônicos.
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41
TIPOS DE ALETAS A figura abaixo indica uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem
centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao
processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc).
Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a) aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico truncado; (i) pino parabólico.
EQUAÇÃO GERAL DA ALETA
Volume de controle elementar, C
Hipóteses: - regime permanente; - temperatura uniforme na seção transversal; - propriedades constantes.
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42
Balanço de energia
convecçãopCVdo
saiquequecalordefluxo
III
conduçãopCVo
deixaquequecalordefluxo
II
conduçãopCVno
entraquecalordefluxo
I
/../../..
(I) dx
dTkAq xx
(II) )( 2dxodxdx
dqqq x
xdxx expansão em serie de Taylor
(III) )( TThAqc
)( TThPdxqc
P : perímetro “molhado”, isto é, a superfície externa da aleta que se encontra em contato com o fluido. Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem:
dxTThPdxdxdx
dqqq x
xx )(
0)( TThPdx
dqx
Ou, substituindo a lei de Fourier da condução:
0)(
TThP
dx
dTA
dx
dk x
Sendo dTdTT
0
k
hP
dx
dA
dx
d Equação Geral da Aleta
)(x
)(xAA
ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR
Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de
seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta de seção retangular ou
circular. Assim, da equação geral para esse caso, com A = cte, vem:
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43
mxmx ececx 21)(
02
2
2
m
d
d,
kA
hPm 2
A solução é do tipo: ,
conforme solução indicada abaixo no “ lembrete de cálculo” , já que o polinômio
característico possui duas raízes reais e distintas (m e –m).
LEMBRETE DE CÁLCULO
Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constates
02
2
cydx
dyb
dx
yd
Assume nxey
Substituindo, vem
nxnxnx cebmeem 2 nxe
Obtém-se o polinômio característico
02 cbnn
Caso 1: 1n e 2n reais e distintos
xnxn ececy 21
21
Caso 2: 1n e 2n reais iguais
xnxn xececy 11
21
Caso 3: conjugados complexos qipn 1 ; qipn 2
)]()cos([ 21 qxsencqxcey px
Onde, 2
bp ;
2
4 2bcq
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44
x
kA
hP
b
mxb e
xex
)()(
Determinação das constantes 1c e 2c vêm das condições de contorno:
a1 Condição de Contorno
TT
TTxpara
bb
b
)0(
)0(0
0
20
1 ececb
A outra relação entre as condições de contorno, depende do tipo de aleta, conforme
os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados:
(a) aleta muito longa Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa que, do ponto de vista matemático, tem-se
0 ouTTx
Assim,
bmxmx
xccecec 2121 0lim0
De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é:
Ou, substituindo a definição de , vem:
bcc 21
xkA
hP
b
eTT
TxT )(
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45
O fluxo de calor total transferido pela aleta
O fluxo de calor total transferido pela aleta pode ser calculado por dois métodos:
(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total
transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta)
(2) dxTThPqaleta )(0
(o fluxo de calor total transferido é a integral do
fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta) Usando o método (1), vem:
00
x
bx
baletadx
dkA
dx
dTkAq
Mas, cteAAb
0
)(
x
mxb
mxbaleta emkAe
dx
dkAq
kA
hPkAq baleta
hPkAq baleta ou )( TThPkAq baleta
Pelo outro método (2):
dxhPqaleta
0
; cteP
dxehPq mxbaleta
0
bbmb
mx
bmx
baleta hPkAm
hPe
m
hP
m
ehPdxehPq
1limlimlim
00
ou, )( TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior!
(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática (finito) Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na
extremidade da aleta é muito pequeno. Portanto,
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46
mLmL
mL
bee
ec 1
admite-se que é adiabático:
LxLx dx
d
dx
dT
0 (extremidade adiabática), ou 021 mxmx ececdx
d
De onde, se obtém, mLmL
mLb
ee
ec
2
Mas como bcc 21 , então:
Logo, substituindo na equação, vem:
mx
c
mLmL
mLmx
c
mLmL
mL
b
eee
ee
ee
e
21
Ou
2/
2/)()(
mLmL
xLmxLm
b ee
ee
ou
mL
xLmx
b cosh
)(cosh)(
lembrete de funções hiperbólicas:
FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA senhx
2
xx ee
xcosh
xcosh
2
xx ee
senhx
tghx
x
senhx
cosh
xh2sec
O fluxo de calor total transferido pela aleta O mesmo resultado do caso anterior
00 cosh
)(cosh
x
b
x
aletamL
mxL
dx
dkA
dx
dkAq
)()cosh(
)(m
mL
mLsenhkA b
)(mLtghmkA b
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)(cosh
)()(cosh)(
mLsenhmk
hmL
xLmsenhmk
hxLmx
b
)()cosh(
)()(
mLsenhmk
hmL
mLconhmk
hmLsenhhPkAq b
)(mLtghhPkAq b
(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade Caso realista. Condição de contorno na extremidade:
em
)( TThdx
dTkLx L
Lx
condução na extremidade = convecção
Distribuição de temperaturas
Fluxo de calor Comprimento Corrigido de Aleta Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática –
mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da
espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta,
LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples.
b t
L t/2
Lc=L+t/2
2/tLLc
O erro introduzido por essa aproximação será menor que 8% desde que
5,0k
ht
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48
AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS Eficiência de Aleta A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples, existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal constante. Situações geométricas ou que envolvem condições de contorno mais complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial geral que governa o processo de transferência de calor na aleta. Na prática, a seleção de aletas para um caso específico, no entanto, geralmente usa o método da eficiência da aleta. Sendo que a eficiência de aleta, A , é definida por
idealcasobasetempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo
realcasoaletapotransmitidcalordefluxoA
.
/
Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2
Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a
aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em:
c
c
bc
cbA
mL
mLtgh
hPL
mLtghhPkA )()(
, com
kA
hPm
Por outro lado, o perímetro molhado é dado por
btbP 2)(2 (para t << b, aleta fina), sendo btA , de onde se obtém:
cc Lkt
hmL
2
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Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode
ser obtido por meio de maxqq AA , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é
aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é:
bahAq max ,
onde Aa é a área total exposta da aleta e TTbb
Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é:
baaA hAq
Note que a eficiência da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação.
Na página seguinte há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. Deve-se usar aleta quando:
(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) (2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e
alumínio, por razões que veremos adiante. O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. Exemplo de Aplicação Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são instaladas aletas circulares de alumínio por um processo de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de 0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm, como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100 oC e o coeficiente de transferência de calor for de 65 W/m2 K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta.
Solução Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de aproximadamente 240 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades termofísicas dos sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado na página 50 à frente.
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50
mt
LLmL
mt
c 0155,02
015,001,02
)5,25,5(
001,0
255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,05,055,12123
c25
PcP kAhLmtLA
Para o uso do gráfico, precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio interno da aleta.
24,225,1
2/1,075,22/
1
2
1
2
r
tr
r
r c Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos
%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é:
, 5,177500394,06591,0 WhAq baaA Já que a área exposta da aleta,
vale, . 00394,02 221
22 mrrA ca
Exemplo de Aplicação (cont...) Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor
total transferido pelo tubo, se o mesmo tiver 1 m de comprimento.
Solução O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será:
aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq
221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa
Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065
O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100
Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será
Wqqq casaT 5,209417506,344 e %6,83%1002095
1750%
Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor.
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51
Ap – área de seção transversal de aleta
Tipo Aa área total exposta da aleta
b – largura da aleta Lc = L-corrigido t = espessura
Retangular cbL2
Triangular 2/122 )2/(2 LLb
Parabólica 2/122 )2/(05,2 LLb
Anular 2/121
222 rrb c
Fluxo de calor transmitido pela aleta:
baahAq
TTbb
Aa é a área total exposta da
aleta Para obter a eficiência da aleta, use os dados geométricos disponíveis e os indicados nos gráficos. Uma vez obtida a eficiência da aleta, calcule o fluxo real de calor através da simples expressão acima. Comentários: Aleta triangular (y ~ x) requer menos material (volume) para uma mesma dissipação de calor do que a aleta retangular. Contudo, a aleta de perfil parabólico é a que tem melhor índice de dissipação de calor por unidade de volume (q/V), mais é apenas um pouco superior ao perfil triangular e seu uso é raramente justificado em função de maior custo de produção. A aleta anular é usada em tubos.
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Efetividade da Aleta
Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de cálculo, mas não
indica se a transferência de calor realmente aumenta ou não com a instalação de aletas.
Claro que está informação é crucial se o engenheiro pretende decidir pela instalação de
aletas para incrementar a transferência de calor.Tal análise só pode ser feita através da
análise da efetividade. Para que se possa efetivamente tomar uma decisão sobre o uso
ou não de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade de aleta, .
Nesse método, compara-se o fluxo de calor devido à presença da aleta com o fluxo
de calor caso ela não tivesse sido instalada, ou seja:
bb
aleta
aletas
aleta
hA
q
q
q
/
Note que o fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta,
conforme ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2.
Para aleta retangular da extremidade adiabática
bb
cb
hA
mLtghhPkA
)(
Nesse caso: A = Ab e, portanto, kPhA
mLtgh c
/
)(
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Exemplos de Aplicação Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L
= 5 cm e r = 1 cm é submetida a três condições de resfriamento, quais sejam:
A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados - k aço inox = 19 W/m K - Comprimento corrigido: Formula
Solução:
kPhA
mLtgh c
/
)( , com
hh
kr
h
rk
rh
kA
hPm 24,3
01,0.19
2222
e 2/01,005,024,3 hmLc , ou
seja: hmLc 178,0 .
No denominador tem-se: hh
k
hr
rk
rh
kP
hA0162,0
19.2
01,0.
22
2
.
Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem:
h
htgh
0162,0
)178,0(
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54
Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h)
Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0145,1
1
50000162,0
)5000178,0(
tgh
Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5162,0
945,0
1000162,0
)100178,0(
tgh
Caso C : h = 10 W/m2K 0,10051,0
510,0
100162,0
)10178,0(
tgh
Comentário - Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No
caso A, por exemplo, a instalação de aletas pioraria a transferência de calor. Um critério
básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso de aletas.
Caso (A) 31,1kP
hA
Caso (B) 026,0kP
hA
Caso (C) 00262,0kP
hA
- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor coeficiente de transferência de calor que é também o de maior resistência térmica. Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja
constituída de três materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h
= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade.
Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: A – Cobre k = 368 W/m K B – Aço inox k = 19 W/m K C – Alumínio k = 240 W/m K Solução:
kkkr
hm
4,141
01,0.
100.22 e, portanto,
kkmLc
76,72/01,005,0
4,141
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No denominador, agora temos: kkk
hr
kP
hA
2
1
2
01,0.100
2
Substituindo ambos resultados, obtém-se:
)/76,7(2 ktghk
Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7 Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8 Caso (C): k = 240 W/m K (alumínio) ε = 10,1 Comentário: O material da aleta é bastante importante no que toca a efetividade de uma aleta. Deve-
se procurar usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio).
Geralmente, o material empregado é o alumínio por apresentar várias vantagens, tais
como:
(1) É fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado;
(2) Tem custo relativamente baixo;
(3) Possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do
equipamento;
(4) Tem excelente condutividade térmica.
Claro, que cada caso é um caso. Em algumas situações as aletas podem ser parte do
projeto original do equipamento e serem fundidas juntamente com a peça, como ocorre
com as carcaças de motores elétricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por
exemplo. Nesse caso, as aletas são feitas do mesmo material da carcaça do motor.
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AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO
Introdução
Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas
condições de temperatura no seu contorno como, por exemplo, pela sua exposição a um
novo ambiente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio térmico.
Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais, tratamento
térmico, entre outros.
No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma
temperatura uniforme T0. Subitamente, ele é exposto a um ambiente que está a uma
temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está
indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de
certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência
pessoal.
1∞T
10 ∞= TT
2∞T
2∞T
t∆
Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo
ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo não ocorre de forma
uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma indicativa a
temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas
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57
de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é
uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da
difusão interna do calor, é um pouco complexa do ponto de vista matemático, mas pode ser
resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simplificadas. Casos
mais complexos podem ser resolvidas de forma numérica. Entretanto, o interesse da aula de
hoje é numa hipótese simplificadora que funciona para um grande número de casos
práticos. A ideia consiste em assumir que todo o corpo tenha uma única temperatura
uniforme a cada instante, como foi ilustrado anteriormente, de forma que se despreze a não
uniformidade da temperatura interna. Esta hipótese é chamada de sistema concentrado,
como discutido na sequência.
2∞T2∞T
Sistema Concentrado A hipótese é que a cada instante de tempo t, o sistema tenha uma só temperatura
uniforme T(t). Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua
resistência interna à condução desprezível face à resistência externa à troca de calor
(geralmente convecção).
Para conduzir essa análise, será lançado mão do esquema abaixo para o qual se realiza
um balanço de energia, indicado a seguir.
T0
∞T
q convecção
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58
Balança de energia
= Termo (I):
dt
dTc
dt
du
dt
dum
dt
dU∀=∀== ρρ
m = massa do corpo; U = energia interna do corpo; u = energia interna específica do corpo; ρ = densidade do corpo; ∀= volume do corpo; c = calor específico do corpo. Termo (II):
)( ∞−−= TThAqconv
h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho; A = área da superfície do corpo em contato com o fluido; T = temperatura instantânea do corpo T = T (t); T∞ = temperatura ao longe do fluido. Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem:
)( ∞−−=∀ TThAdt
dTcρ
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0
Separando as variáveis para se realizar uma integração por partes, vem:
dtc
hA
TT
dT
∀−
=− ∞ ρ
Por simplicidade, seja dTdTT =⇒−= ∞ θθ , então:
Taxa temporal de variação de energia
interna do corpo (I)
Fluxo de calor Trocado por convecção (II)
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59
dtc
hAd
∀−=ρθ
θ , ou ∫∫
= ∀−=
t
t
dtc
hAd
00ρθ
θθ
θ
, do que resulta em:
tc
hA
∀−=
ρθθ
0
ln .
Finalmente,
tc
hA
e ∀−
= ρ
θθ
0
ou t
c
hA
eTT
TT ∀−
∞
∞ =−− ρ
0
Analogia Elétrica
Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo
ocorrem em diversas situações, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia
perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor,
como ilustrado no esquema abaixo.
Inicialmente o capacitor C é carregado até uma tenção elétrica V0 (chave ligada).
Depois, a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R.
A solução desse circuito RC paralelo é
RC
t
eV
V −=
0
Note a Analogia
Elétrica Térmica Tensão, V
∞−TT Capacitância, C ∀cρ Resistência, R hA/1
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60
Circuito térmico equivalente
∀cρ hA/1
τ
∞T Constante de tempo do circuito elétrico, τ
RC=τ
A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rápido o capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de τ=t é o instante em que a tensão do sistema atingiu o valor de e-1 ~ 0,368
368,011
0
==== −−
eee
V
V ττ
Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico
abaixo que indica a influência da tensão no capacitor para diferentes constantes de tempo. Quanto maior a constante de tempo, mais o sistema demora para atingir o valor de 0,368V0.
τ
1τ 2τ 3τ 4τ Por analogia, a constante de tempo térmica é tudo o que “sobrar” no denominador do valor
da exponencial, isto é:
t
tt
c
hA
eeTT
TT τρ−
∀−
∞
∞ ==−−
0
→ hA
ct
∀=ρ
τ
Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica.
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61
tτ
∞−TT
∞−TT0
)(368,0 0 ∞−TT
Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da
medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem
de dois fios fundidos em uma extremidade que formam uma pequena “bolinha” a qual é
exposta a um ambiente em que se deseja mediar sua temperatura. Suponha de forma
ilustrativa, um ambiente que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado
pela linha cheia no esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de
período em período (onda quadrada). Agora deseja-se selecionar um sensor que acompanhe
o mais próximo possível o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas
diferentes são mostrados. Note que o sensor de maior constante térmica, 3τ , praticamente
não “sente” as variações de temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica
acompanha melhor as variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um
motor de combustão interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e
combustão dos gases. Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante
térmica.
10 ∞−TT
∞−TT
20 ∞−TT
12 ττ <1τ
13 ττ >
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62
A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter
a seguinte forma
FoBieTT
TT
0
−
∞
∞ =−−
Onde, Bi é o número de Biot, definido por k
hLBi = , e Fo é o número de Fourier, definido
por 2
L
tFo
α= (trata-se de um “tempo” adimensional)
h = coeficiente transferência de calor por convecção;
α = difusividade térmica;
k = condutividade térmica;
L = comprimento característico do corpo;
O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência
externa à convecção.
Pode-se adotar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca
de calor.
expostaárea
corpodoolume
→
→=
v
A
VL
Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema
concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável
desde que:
1,0<Bi
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 (adaptado de Incropera, ex. 5.1)
Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são
formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas
extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise,
ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para
medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K,
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63
c = 400 J/kg K e ρ = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25 oC e é
inserido na corrente de gás quente a 200 oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o
sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9 oC seja indicada pelo
instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K.
SOLUÇÃO
Comprimento característico: mD
A
VL
43
10167,16
107,0
6−
−
×=×
===
Número de Biot: 34
10333,220
10167,1400 −−
×=××
==k
hLBi
Da expressão da temperatura, vem 76,320020025
2009,199ln
10333,2
1ln
13
0
=
−−
×−=
−
−−=
−∞
∞
TT
TT
BiFo
Dado que 610883,54008500
20
−×=
×==
c
k
ρα e
2L
tFo
α= , vem:
( )s
LFot 4,7
10883,5
10167,176,32006
242
=×
××=
×=
−
−
α
Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0<Bi . Um tempo relativamente longo é necessário para obter uma leitura precisa de temperatura. O que aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade? EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2
Melancias são frutas muito suculentas e refrescantes no calor. Considere o caso de uma melancia a 25 oC que é colocada na geladeira, cujo compartimento interno está a 5 oC. Você acredita que o resfriamento da melancia vai ocorrer de forma uniforme, ou se, depois de alguns minutos, você partir a melancia, a fatia da mesma estará a temperaturas diferentes?
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64
Para efeito de estimativas, considere que a melancia tenha 30 cm de diâmetro e suas propriedades termofísicas sejam as da água. Considere, também, que o coeficiente de transferência de calor interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m2 oC. Solução: �á��� � 0,025�/�°�
Cálculo do Nº de Biot
�� ���
� , sendo � �
�
�
� �0,3
6� 0,05�
D= 0,3 m
�� ��,����
�,���� 10
Conclusão, a melancia não vai resfriar de forma uniforme. Isto está de acordo com sua experiência?
D = 0,3 m
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65
AULA 9 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO
Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito
Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas
concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui
dimensões maiores de forma que a resistência interna à condução não podem ser
desprezadas (Bi > 0,1). Soluções analíticas existem para casos em que uma das
dimensões é predominante e muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito.
Considere o esquema abaixo de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor
(à esquerda) e sua dimensão se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-
infinito). A face exposta sobre bruscas mudanças de condição de contorno, como se
verá.
Condições de contorno
(A) Temperatura constante na face exposta:
Solução: T(x, t)
Equação geral condução de calor
t
T
k
qT
1'''2
Por não haver geração interna de calor, vem que t
T
x
T
12
2
, a qual é submetida as
seguintes condições:
- Condição inicial: iTxT )0,(
- Condição de contorno: 0),0( TtT
Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de temperaturas é dada por:
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66
t
xerf
TT
TT
i 20
0, onde
erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por:
t
x
det
xerf
2
0
22
2
Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento.
Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera
e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”.
Tabela B-2 do Incropera
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67
Fluxo de calor numa posição x e tempo t
Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a
lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas
acima, na equação de Fourier, isto é:
t
x
iix dex
TTkAt
xerfTTT
xkA
x
TkAq
2
0
000
22)()
2()(
t
x
xe
TTkAt
x
i
2
)(240
2
, do que, finalmente, resulta em:
t
x
ix e
t
TTkAq
40
2
)(
(B) Fluxo de calor constante na face exposta:
Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor
constante,
Partindo da equação da condução de calor t
T
x
T
12
2
, submetida as seguintes
condições:
- Condição inicial: iTxT )0,(
- Condição de contorno: 0
0
qx
TkA
x
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68
A solução é:
t
xerf
kA
xq
kA
et
q
TT
t
x
i
21
20
40
2
NOTA: Obtenha o fluxo de calor!!
(C) Convecção de calor na face exposta
Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face
exposta à esquerda.
T
Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem:
t
T
x
T
12
2
, a qual é submetida às seguintes condições:
- Condição inicial: T (x,o) = Ti
- Condição de contorno:
TtThA
x
TkA
x
),0(0
(condução interna =
Convecção) A solução é:
k
th
t
xerfe
t
xerf
TiT
TT k
th
k
hx
i
21
21
2
2
NOTA: Obtenha o fluxo de calor! – use a Lei de Fourier!
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69
Outros casos de condução transitória de interesse
Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças
mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de
sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação
geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler
desenvolveu soluções gráficas, como mostrado na tabela abaixo.
Tabela – convenção para uso dos diagramas de Heisler
Placas cuja espessura é pequena em relação as outras
dimensões
Cilindros cujos diâmetros são pequenos quando comparados
com o comprimento
Esferas
T
T
T
TtrTouTtxT ),(),(
TTii
TT00
TTee
Número de Biot: k
hLBi
L – dimensão características (dada no gráfico) Número de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por
22 cs
kt
L
tFo
Calor total trocado pelo corpo Qi
iii cTTcQ )(
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70
Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias (esfera e
cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt
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71
Exemplo: Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de 425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente, T = 65 ºC com hmédio = 500 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da placa e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min. Dados:
k = 43,2 W/mK α = 1,19 x 10-5 m2/s
x
5 cm
h
Solução: 2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m
1,0289,02,43
025,0500
k
hLBi
Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são:
45,3289,0
11
Bi e 43,3
025,0
1801019,12
5
20
L
tF
Do diagrama de Heisler (página anterior), vem: e 22745,0).65425(65 . Assim,
CT o2270 Na linha de centro após 3 mim
Do gráfico para uma posição qualquer x:
45,3/1 iB
5,005,0
0125,0/ Lx
95,00
95,0)65281(6595,0)( 0 TTTT
CT o2,270 p/ min3,5,0 tL
x
45,3165,0
11
iB
43,30 F
45,00 i
72
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AULA 10 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE BIDIMENSIONAL
Condução Bidimensional
Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor
unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição
espacial da temperatura para além de uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas
reais são bi ou tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de
problemas. Os casos mais realistas devem ser resolvidos de forma numérica. Entretanto,
neste curso introdutório é importante que o estudante tenha uma visão das soluções
analíticas existentes e, para isso, é resolvido um problema clássico que é o método da
separação das variáveis para uma placa retangular bidimensional.
O Método da Separação de Variáveis Seja uma placa retangular, submetida às condições de contorno ilustrados, isto é, todos os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2.
Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y) Equação da condução de calor
t
T
k
qT
1'''2
Hipóteses:
(1) Regime permanente (2) Sem geração interna de calor (3) Bidimensional
73
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As hipóteses resultam em: 02 T ou 02
2
2
2
y
T
x
T
Condição de contorno – temperaturas dos quatro lados
(1) T(0,y) = T1 (2) T(L,y) = T1 (3) T(x,0) = T1 (4) T(x,b) = T2
É conveniente realizar uma mudança de variáveis
12
1
TT
TT
Condições de contorno na nova variável θ são:
(1) θ(0,y) = 0 (2) θ(L,y) = 0 (3) θ(x,0) = 0 (4) θ(x,b) = 1
De onde se tem também que a variação elementar de temp. é dTT
dT
12
Então, 02
2
2
2
yx
Esta é a equação da condução na nova variável.
A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas
θ(x,y), é o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções
exclusivas apenas das variáveis do problema x e y, respectivamente, isto é:
yYxXyx ),(
Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são:
Primeira derivada: dx
dXY
x
Segunda derivada: 2
2
2
2
dx
XdY
x
Analogamente em relação à y:
Segunda derivada: 2
2
2
2
dy
YdX
y
74
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Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da condução, vem:
02
2
2
2
dy
YdX
dx
XdY
ou, dividindo pelo produto XY, vem:
2
2
2
2 11
dx
Xd
Xdy
Yd
Y
É digna de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y
e o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da igualdade são
sempre iguais. Isto implica dizer que a igualdade não pode ser nem função de x, nem de
y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida. De forma
que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se usa o
símbolo 2 . Dessa forma, tem se:
2
2
21
dx
Xd
X e
2
2
21
dy
Yd
Y
Note que a equação diferencial parcial original deu origem às duas outras equações
diferenciais comuns ou ordinárias, mostradas acima. As soluções dessas duas novas
equações são bem conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são:
xsenCxCxX 21 cos , e
yy eCeCyY 43
De forma que, voltando à variável original, yYxXyx ),( , a solução global é:
yy eCeCxsenCxCyx 4321 .cos,
Nesse ponto, a análise se volta para cada caso especifico dado pelas condições de
contorno. É preciso fazer isso com critério. Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0
0.0.0.cos,0 4321 yy eCeCsenCCy
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De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 C
Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0
432 .0 CCxsenC
de onde se obtém que 043 CC 43 CC
Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0
)(.0 42yy eeCLsenC
mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é:
042 CeC , logo, deduz-se que 0)( Lsen
Os possíveis λ que satisfazem essa condição são: nL
ou, seja L
n n = 1,2,3, .....
nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada.
Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é:
)(
422
2,
L
ynsenh
L
yn
L
yn
C
n
ee
L
xnsenCCyx
n
ou, seja )()(,L
ynsenh
L
xnsenCyx nn
Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as
constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n.
Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções.
L
ynsenh
L
xnsenCyx
nn
1
,
Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é:
L
bnsenh
L
xnsenC
nn
1
1
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A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para
obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das
funções ortogonais, revista abaixo.
REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS
Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa , se
b
a
nm nmpdxxgxg /0)()(
(dica: note que se parece com produto escalar de vetores: dois vetores ortogonais tem o produto escalar nulo)
Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(L
xnsen e )cos(
L
xn em
Lx 0 Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções ortogonais, ou seja:
1
)()(m
mm xgAxf
Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma:
(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade:
1
)()()()(m
mmnn xgAxgxfxg
(2) Integra-se no intervalo de interesse:
dxxgAxgdxxfxgb
am
mmn
b
an
1
)()()()(
Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja
nmsedxxgxgb
anm 0)()(
Pode-se eliminar a somatória, então:
dxxgAdxxfxgb
amm
b
am )()()(
2
Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas:
dxxg
dxxfxgA
b
am
b
am
m
)(
)()(
2
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Voltando ao problema, tem-se:
1
1n
nL
bnsenh
L
xnsenC
(A)
Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que
,....2,1;)(
n
L
xnsenxg
ortogonalfuncão
n
Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem
1
1n
nL
xnsenA
Assim, pode-se obter os coeficientes da série do já visto na revisão acima:
ndx
L
xnsen
dxL
xnsen
An
L
L
n
1)1(2 1
0
2
0
Então,
1
1 1)1(21
n
n
L
xnsen
n
(B)
Comparando (A) com (B), vem:
1
1
1
1)1(2
n
n
nn
L
xnsen
nL
bnsenh
L
xnsenC
Então, da igualdade das séries:
,....3,2,1;
1)1(2 1
n
L
bnsenhn
Cn
n
De forma que a solução final do problema é:
1
1 1)1(2),(
n
n
L
bnsenh
L
ynsenh
L
xnsen
nyx
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É interessante ver o gráfico desta função
1
75.0
50.0
25.0
10.0
0
00
Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é:
ix
Tkqx
e j
y
Tkqy
. Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq
e o
módulo do fluxo de calor será 22
yx qqq em W/m2
Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt Método Gráfico O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições de contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante. Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície interna é mantida a T1 e a externa T2.
(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas.
79
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(2) As linhas de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção perpendicular a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor constante.
(3) Traças algumas linhas de temperatura constante. Lembre-se que elas são perpendiculares às linhas de fluxo constante.
(4) As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados curvilíneos. Isto é feito fazendo como que as linhas de fluxo cruzem as linhas de temperatura constantes em ângulo reto e impondo que todos os quadrados tenham aproximadamente, o mesmo comprimento.
(5) Quando houver um “canto” isotérmico”, a linha de fluxo cte. Deve bissectar o ângulo formado pelas duas superfícies
O fluxo de calor, por unidade de espessura de material, que atravessa o quadro curvilíneo ilustrado é:
l
Tlkqi (1)
80
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O fluxo de calor acima é o mesmo que atravessa qualquer região que esteja limitada pelas mesmas linhas de fluxo constantes desde T1 até T2. Então, pode-se escrever que.
N
TTT 12
(2)
Onde N é o numero de incrementos de temperatura entre T1 e T2. (no exemplo N = 5). Assim, de (1)
N
TTkqi
)( 12 (3)
O fluxo de calor total, q, é a soma de todos os M “Faixas” formadas por duas linhas adjacentes de fluxo de calor (no exercício M = 5)
)( 121
TTkN
Mqq
M
ii
Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim:
)(5 12 TTkq
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81
AULA 11 – SOLUÇÃO NUMÉRICA DEFERENÇAS FINITAS
Como se viu, a solução da equação da condução de calor em muitas situações é bastante
complexa e, verdadeiramente, na maioria dos casos práticos não existe nem solução
analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos numéricos. Há uma grande variedade de
métodos disponíveis na literatura, mas vamos nos ater a apenas um dos métodos: o das
diferenças finitas.
A idéia consiste em dividir a região que está sendo examinadas em pontos discretos ou
pontos nodais, e aplicar um balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilustrado
abaixo. Assim, transforma-se o meio contínuo em que se dá a transferência de calor em um
meio discreto formado por uma matriz de pontos com propriedades que “concentram” as
informações do meio contínuo original. Veja a figura abaixo. Após a discretização do meio
contínuo, considere o ponto nodal (m,n) indicado na figura abaixo, tendo como vizinhos os
pontos nodais (m-1,n) à esquerda, (m+1,n) à direita, (m,n-1) abaixo e (m,n+1) acima. A
distância entre os pontos nodais é x e y, nas duas direções principais.
m,n
x
m,nm+1,nm-1,n
m,n+1
m,n-1
y,n
x,m
Pontos Nodais
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82
A equação da condução de calor 02
2
2
2
y
T
x
T pode assim ser discretizada:
x
TT
x
T nmnm
nm
)( ,1,
,2
1 (Primeira derivada na direção x – face esquerda)
x
TT
x
T nmnm
nm
)( ,,1
,2
1 (Primeira derivada na direção x – face direita)
Assim,
x
x
T
x
T
x
T nmnm
,2
1,
2
1
2
2
(Segunda derivada na direção x – centro)
Ou, ainda, após substituição das primeiras derivadas: 2
,,1,1
,
2
2
)(
2
x
TTT
x
T nmnmnm
nm
Analogamente, na direção y: 2
,1,1,
,
2
2
)(
2
y
TTT
y
T nmnmnm
nm
Assim, a equação da condução de calor diferencial pode ser aproximada por uma equação algébrica,
2
2
2
2
y
T
x
T04 ,1,1,,1,1 nmnmnmnmnm TTTTT se Δx = Δy
A equação acima é a forma da equação do calor em diferenças finitas. Note que a
temperatura nodal Tm,n representa a média aritmética das quatro temperaturas da sua
redondeza.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
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83
O que acontece nas regiões de contorno do problema?
Suponhamos que haja convecção, conforme ilustrado. Um nó (à direita) se situa sobre a superfície ou contorno do meio.
T
Procede-se a um balanço de energia para o ponto (m,n) em questão
)()(
2
)(
2
)(,
1,,1,,,1,
TTyh
y
TTxk
y
TTxk
x
TTyk nm
nmnmnmnmnmnm
se Δx = Δy
0)2(2
12 1,1,,1,
nmnmnmnm TTTT
k
xh
k
xhT
Para outras condições de contorno, equações semelhantes podem ser escritas. Por exemplo, um canto superior à direita:
T
0)(212 1,,1,
nmnmnm TTT
k
xh
k
xhT
Ver tabela 4.2 (Incropera) ou Tabela 3.2 Holman para outras condições e geometrias.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
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84
Tabela 4.2 do Incropera.
Uma vez que as equações de todos os pontos nodais foram estabelecidas, obtém-se um
sistema de N equações por N incógnitas do tipo (N=m.n):
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
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85
NNNNNN
NN
NN
cTaTaTa
cTaTaTa
cTaTaTa
...
....
....
....
...
...
2211
22222121
11212111
Ou, em notação simplificada, vem:
][]].[[ CTA
Estudar exemplo resolvido 4.3 (Incropera)
Uma técnica antiga de solução manual de sistemas lineares de equações é o chamado
método da relação. Nesta técnica, a equação nodal é, primeiramente, igualada a zero:
0...2211 nnmnmm cTaTaTa
Em seguida é igualada a um resíduo e depois segue-se o procedimento de solução:
1 – Admite-se uma distribuição inicial de temperatura;
2 – O valor do resíduo em cada ponto nodal é calculado;
3 – “Relaxar” o maior resíduo encontrado para zero (ou próximo) mudando a temperatura
do ponto nodal correspondente;
4 – Recalcular os resíduos para esta nova temperatura;
5 – Continuar o processo 3 – 4 até que todos os resíduos sejam nulos ou próximos de zero.
Hoje em dia, há muitos programas de computador e até de calculadoras que resolvem um
sistema linear de equações por diversas técnicas. Basta selecionar um deles. Por exemplo, o
método de eliminação gaussiana.
Exemplo Resolvido Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Pede-se calcular a distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que: h = 200 W/m2 ºC
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T = 20 ºC k = 10 W/m ºC x = y = 10 cm
20T C
OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número) Solução: Pontos nodais interiores (1-4) - vale a seguinte equação:
04 ,1,1,,1,1 NMNMNMNMNM TTTTT
Portanto,
042:4
01004:3
010042:2
0)100(24:1
7432
6431
421
321
TTTTnó
TTTTnó
TTTnó
TTTnó
Ponto nodal 5 (canto) – vale a seguinte equação
0)(2 ,1,
fixonmnm TTT
k
xh
k
xhT
nó 5: 0)100(2010
1,02002
10
1,020065
TT , ou
01404 65 TT
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Pontos nodais com convecção (6 – 7) – vale a seguinte equação:
022
12 ,1,11,,
nmnmnmnm TTTT
k
xh
k
xhT
nó 6: 022
120
10
1,02002
10
1,02007536
TTTT , ou
022
120
10
1,02002
10
1,02007536
TTTT , ou ainda,
0402
14
2
17653 TTTT
nó 7: 0)22(2
1404 647 TTT , ou
0404 764 TTT
Em forma de Matriz temos:
40
40
140
0
100
100
200
41010002
14
2
10100
0140000
1004210
0101401
0001042
0000114
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
Solução do sistema pelo método de eliminação gaussiana
CT
CT
CT
CT
CT
CT
CT
7,36
8,38
7,44
2,68
3,74
2,87
4,90
7
6
5
4
3
2
1
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AULA 12 – INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONVECTIVA
Lei de Resfriamento de Newton Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de
resfriamento de Newton, dada por:
)( TTAhq S
onde, Ts, T∞ – temperatura da superfície aquecida e do fluido ao longe; A – área de troca de calor, isto é, a área de contato do fluido com a superfície; h = coeficiente de transferência de calor por convecção. O problema fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do
valor d h para o problema em análise. Nota-se que a expressão da transferência de calor
é consideravelmente mais simples que a da condução. No presente caso, basta resolver
uma equação algébrica simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se
conheça o valor de h, enquanto que no segundo caso, exige-se a solução da equação
diferencial da condução de calor. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa,
pois na verdade, em geral, h é função de um grande número de variáveis, tais como as
propriedades de transporte do fluido (viscosidade, densidade, condutividade térmica),
velocidade do fluido, geometria de contato, entre outras. Nessa e nas demais aulas,
serão apresentados expressões e métodos de obtenção daquela grandeza para diversas
condições de interesse prático. Mas, antes, vamos apresentar os números adimensionais
que controlam a transferência de calor convectiva.
Análise Dimensional
A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema
para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto,
tratam-se de números adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar
familiarizado a essa altura são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, os
números de Biot e de Fourier.
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A maior limitação da análise dimensional é que ela não fornece qualquer informação
sobre a natureza do fenômeno. Todas as variações que influenciam devem ser
conhecidas de antemão. Por isso deve se ter uma compreensão física preliminar correta
do problema em análise.
O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões
primárias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em
função destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primário de grandezas
MLtT, onde:
Comprimento L Tempo t Massa M Temperatura T
Nesse sistema de grandezas primárias, por exemplo, a grandeza força tem as seguintes
dimensões:
Força ML/t2 O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse:
Condutividade térmica ML/t3T Calor ML2/t2 Velocidade L/t Densidade M/L3 Velocidade M/Lt Calor específico a pressão constante L2/t2T Coeficiente De transmissão de calor M/t3T
Teorema dos Πou de Buckingham Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de um problema.
É dado por:
M = N – P
Onde,
M – número de grupos adimensionais independentes;
N – número de variáveis físicas dos problemas;
P – número de dimensões primárias;
Sendo um adimensional genérico, pode-se escrever, então:
0),...,( 21 mF
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Para exemplificar, considere um fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões
primarias. Logo,
M = 5-3 = 2, de onde se obtém:
0),( 21 F ou
pode-se escrever um adimensional como função do outro da seguinte forma.
)( 21 f
Essa relação funcional pode ser teórica ou experimental, obtida em laboratório, como
indicado no gráfico abaixo. Note que seria necessário se realizar experimentos com
apenas uma variável (grupo adimensional 2) e observar a dependência de 1. Com isso,
reduz-se drasticamente o número de experimentos. Caso contrário, seria necessário
fazer experimentos envolvendo as 5 variáveis originais do problema.
1
2
erimentalcurvaf exp)( 2
Outro exemplo, seria o caso de um fenômeno descrito por 3 grupos adimensionais. Nesse caso, tem-se:
0),,( 321 F , ou ),( 321 f
Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo 3 constantes, e variando 2, observando como 1 varia, como ilustrado no gráfico abaixo.
2
tesconsdecurvas tan31
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Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura abaixo.
D
Sabe-se de antemão que as grandezas que interferem na transferência de calor são: Variáveis Eq. Dimensional D Diâmetro do Tubo L k Condutividade térmica do fluido ML/t3T V Velocidade do fluido L/t ρ Densidade do fluido M/L3 μ Viscosidade do fluido M/Lt CP Calor especifico a pressão constante L2/t2T h Coef. de transferência de calor M/t3T Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do que resulta em:
M = 7 – 4 = 3 (3 grupos adimensionais) Seja um grupo adimensional genérico do tipo:
gf
pedcba hcVKD
Substituindo as equações dimensionais de cada grandeza, vem:
gfedcb
a
Tt
M
Tt
L
Lt
M
L
M
t
L
Tt
MLL
32
2
33
ou, após rearranjo, vem:
gfbgfecbfedcbagedb TtLM 32323
Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto é:
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92
0
0323
023
0
gfb
gfecb
fedcba
gedb
Há um sistema de 7 incógnitas e 4 equações. Portanto, o sistema está indefinido. O
método pressupõe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui é um ponto
crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por exemplo,
(A) – Como h é uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de
valores
0
1
dc
g
Assim, pode-se resolver a equação do grupo adimensional, resultando em: a = 1 b = -1 e = f = 0 Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de número de Nusselt, definido por:
Nuk
Dh1
(B) – Agora vamos eliminar h e assumir outros valores
0
1
0
f
a
g
(para não aparecer h)
A solução do sistema fornece: b = 0 c = d = 1 e = -1 De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que é o número de Reynolds, dado por:
D
VDRe2
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(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores e = f =1 b = -1 Daí resulta, o terceiro e último número adimensional que recebe o nome de número de Prandtl.
Pr3 k
cp
Então, há uma função do tipo
0),,( 321 F ou 0),,( PrReDNuF .
Isolando o número de Nusselt, vem:
),( PrReDfNu
Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os
grupos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas que interferem no fenômeno).
Vimos, então, que:
),( PrRe DfNu
Diversos experimentos realizados com ar, óleo e água mostraram que existe uma ótima
correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilustrado no gráfico abaixo.
Note que, ar, água e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no
entanto, os coeficientes de transferência de calor nesses três fluidos podem ser
correlacionados por meio dos números adimensionais. Isto também indica que, uma vez
obtida a expressão que rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para usar
com outros fluidos, caso não existam dados experimentais de laboratório disponíveis.
10 1001
1
3,0Pr
Nu
4,03,0 RePr82,0Nu
água
óleoar
3<ReD<100
10
0,01
Re
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AULA 13 – CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA
PLACA OU SUPERFICIE PLANA
Na aula passada vimos que a transferência de calor no escoamento externo sobre uma
superfície resulta na existência de 3 números adimensionais que controlam o fenômeno.
Essas grandezas são o número de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De
forma que existe uma relação do tipo Nu = f(Re, Pr), a qual pode ser obtida de forma
experimental ou analítica em algumas poucas situações.
Na aula de hoje apresentar-se-á uma situação particular em que esta relação pode ser
obtida de forma analítica e exata. Para isso, serão apresentadas as equações diferenciais
que regem a transferência de calor em escoamento sobre uma superfície plana em
regime laminar. Depois será indicada a solução dessas equações. Para começar o estudo,
considere o escoamento de um fluido sobre uma superfície ou placa plana, conforme
ilustrado. Admita que o fluido tenha um perfil uniforme de velocidades (retangular)
antes de atingir a placa. Quando o mesmo atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai
desacelerar as porções de fluido adjacentes à placa, dando início a uma camada limite
laminar que cresce em espessura à medida que o fluido escoa ao longo da superfície.
Note que esta camada limite laminar vai crescer continuamente até que instabilidades
vão induzir a uma transição de regime para dar início ao regime turbulento, se a
extremidade da placa (borda de fuga) não for antes atingida. Admite que a transição
ocorra para a seguinte condição 5105Re ×>= ∞
µρxu
xtransição (às vezes também se usa
3 ×105), onde x é a distância a partir do início da placa (borda de ataque).
∞u
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No regime laminar, o fluido escoa como se fossem “lâminas” deslizantes, sendo que a
tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por dy
duµτ =
para um fluido newtoniano (como o ar, água e óleo). Essa condição e geometria de
escoamento permitem uma solução exata, como se verá a seguir.
Equações da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar
Hipóteses principais:
- Fluido incompressível
- Regime permanente
- Pressão constante na direção perpendicular à placa
- Propriedades constantes
- Força de cisalhamento na direção y constante
Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL),
como indicado.
Equação da continuidade ou da conservação de massa.
dydxx
uu )(
∂∂
+ρ
dxdyy
vv )(
∂∂
+ρ
vdxρ
udyρ
Como entrasai mm && = , então substituindo os termos, vem:
dydxx
uudxdy
y
vvvdxudy )()(
∂∂
++∂∂
+=+ ρρρρ . Simplificando, tem-se
0=∂∂
+∂∂
y
v
x
u ou 0=VDiv
v
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96
Onde Div é o gradiente, y
jx
iDiv∂
∂+
∂
∂=
rr.
Equação da conservação da quantidade de movimento
Da 2ª lei de Newton, tem-se que
=∑ extF Variação do fluxo da quantidade de movimento
Balanço de forças na direção x.
Forças externas (pressão e atrito – gravidade desprezível)
dxdyy
)(∂∂
+τ
τ
dxτ
pdydydx
x
pp )(
∂∂
+
dydxx
ppdxdxdy
ypdyFx )()(
∂∂
+−−∂∂
++=∑ ττ
τ
ou, simplificando, dxdyx
pdxdy
yFx ∂
∂−
∂∂
=∑τ
Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se y
u
∂
∂= µτ que, substituindo, em.
dxdyx
pdxdy
y
uFx ∂
∂−
∂∂
=∑ 2
2
µ
Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direção x)
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dxdyy
uudy
y
vv ))((
∂∂
+∂∂
+ρ
vudxρ
dydxx
uu 2)(
∂∂
+ρdyu2ρ
Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expressão:
superior ordem de termos2
)(
)(2
))(()(
2
222
22
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
=−∂∂
∂∂
+
+∂∂
+∂∂
++−∂∂
+∂∂
+=
=−∂∂
+∂∂
++−∂∂
+
dxdyy
vudxdy
y
uvdxdy
x
uu
uvdxdxdyy
u
y
v
dxdyy
vudxdy
y
uvvudxdyudydx
x
udxdy
x
uudyu
uvdxdxdyy
uudy
y
vvdyudydx
x
uu
ρρρ
ρρ
ρρρρρρρ
ρρρρ
Ainda é possível simplificar esta equação para obter
dxdyy
v
x
uudxdy
y
uv
x
uu
decontinuida
434210
)()(
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= ρρ dxdy
x
uv
x
uu )(
∂∂
+∂∂
= ρ
Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das forças externas com a
variação do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equação:
x
p
y
u
y
uv
x
uu
∂∂
−∂
∂=
∂∂
+∂∂
2
2
)( µρ
Equação da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica
- Condução na direção x desprezível
- Energia cinética desprezível face à entalpia
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dxdyy
uudy
y
vv ))((
∂∂
+∂∂
+ρ
dydxx
uu 2)(
∂∂
+ρ
dxdyy
uu )
)((
∂∂
+τ
τ )(2
2
dyy
T
y
Tkdx
∂
∂+
∂∂
−
dx
dy
y
Tkdx
∂∂
−dxuτvhdxρ
uhdyρ
Potência (térmica) líquida das forças viscosas
dydxy
uuu
ydydx
y
udxudxdy
y
uu
∂∂
∂∂
=∂
∂=−
∂∂
+)()( τ
ττ
τ
Conservação de energia:
=
+
tempode unidade na
ldiferencia controle
de volumeo deixa
que energia de fluxo
tempode unidade
na realizado
líquido trabalho
tempode unidade na
ldiferencia controle
de volumeno entra
que energia de fluxo
Agora, vamos tratar cada termo em particular
Fluxo de energia que entra
Entalpia + Condução de calor (note que a condução na direção x é desprezível)
y
Tkdxuhdyvhdx
∂∂
−+ ρρ
Trabalho na unidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas)
dxdyy
uu
y
∂∂
∂∂
µ
Fluxo de energia que entra
)())(())((2
2
dyy
T
y
Tkdxdydx
x
hhdx
x
uudxdy
y
hhdy
y
vv
∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
++∂∂
+∂∂
+ ρρ
Desprezado os termos de ordem superior
dydyx
hhdy
x
uu ))((
∂∂
+∂∂
+ρ
dydyy
hhdy
y
uu ))((
∂∂
+∂∂
+ρ
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99
dxdyx
ukdxdy
y
vhdxdy
y
hvdxdy
x
uhdxdy
x
hudydx
y
uu
y 2
2
00∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
∂∂
+− ρρρρµ
2
2
0
)(x
uk
y
v
x
uh
x
hv
x
hu
y
uu
y
decontinuida
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
∂∂
=43421
ρρρµ
Com Tch p∂=∂ e substituindo todos os termos na equação de balanço, resulta na forma
diferencial da equação da energia para a camada limite laminar, dada abaixo:
∂∂
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
y
uu
yy
Tk
y
Tvc
x
Tuc pp µρρ
2
2
Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível
face ao termo da condução de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia).
Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equação da energia pode ser simplificada
para:
2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
∂
∂=
∂∂
+∂∂
α
Retornando agora à equação da conservação da quantidade de movimento. Se o
escoamento se der à pressão constante, aquela equação pode ainda ser reescrita como:
2
2
y
u
y
uv
x
uu
∂
∂=
∂∂
+∂∂
υ
onde, ρµ
υ = é a viscosidade cinemática
Comparando as duas equações acima, nota-se que quando αυ = , ou seja, 1Pr ==αυ
corresponde ao caso em que a distribuição da temperatura é idêntica a distribuição de
velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, já que 1Pr65,0 << .
Em resumo, as três equações diferenciais que regem a transferência de calor na camada
limite laminar são:
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100
Conservação de massa 0=
∂∂
+∂∂
y
v
x
u
Conservação da quantidade de movimento
direção x
x
p
y
u
y
uv
x
uu
∂∂
−∂∂
=∂∂
+∂∂
2
2
)( µρ
2
2
y
u
y
uv
x
uu
∂∂
=∂∂
+∂∂
υ Pressão constante
Conservação de energia 2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
∂
∂=
∂∂
+∂∂
α
Ver solução das camadas limites laminares hidrodinâmica e térmico no apêndice B do
Holman e item 7.2 do Incropera. Solução de Blasius.
Os principais resultados da solução dessas equações diferenciais são os seguintes:
Espessura da camada limite hidrodinâmica (CLH): x
x
Re
5=δ ;
Coeficiente local de atrito local: 2/1
, Re664,0−= xxfc ;
Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataque:
2/1
0
,, Re328,1*21 −===
=∫ Lf
L
xfLf LxCdxC
Lc ;
Razão entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CLT):
3/1Pr=tδδ
;
Número de Nusselt local: ≤≤= Pr6,0PrRe332,0 3/12/1
xxNu 50
Número de Nusselt médio: 3/12/1
0
PrRe664,0*21
L
L
LxxL NudxNuL
uN ∫ === = .
Definição do coeficiente de atrito: 2/
2
∞
=u
c s
fρ
τ, sτ tensão de cisalhamento na parede
Os gráficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o número
de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH.
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101
∞∞ Tu ,
)1(Pr <Tδ
)1(Pr == Tδδ
)1(Pr >Tδ
C.L.T C.L.H
Temos as seguintes relações: x
C xf
1, ∝ , e
xh xf
1, ∝ .
TS
T∞ u∞
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102
AULA 14 – CAMADA LIMITE LAMINAR – SOLUÇÃO INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN
Na aula passada, vimos as equações diferenciais da camada limite laminar. Os
resultados da solução clássica de Blasius foram apresentados. A solução per si não foi
discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de solução
para o aluno mais interessado. Nesta aula, vamos ver uma solução aproximada baseada
no método integral, também conhecida como solução de von Karman.
Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direção x do
escoamento, enquanto que a altura H do mesmo se estende para além da camada limite,
isto é, δ>H , conforme ilustrado na figura abaixo.
Leis de conservação na camada limite laminar no elemento diferencial acima:
Balanço de massa
Fluxo mássico na face 1 – A: ∫H
udy0
ρ
Fluxo mássico na face 2 – A: dxudydx
dudy
HH
+ ∫∫
00
ρρ
Fluxo mássico na face A – A: dxudydx
dH
∫0
ρ
Balanço de fluxo de quantidade de movimento na direção x
Fluxo de Q. M. na Face 1 – A: ∫H
dyu0
2ρ
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103
Fluxo de Q. M. na Face 2 – A: dxdyudx
ddyu
HH
+ ∫∫
0
2
0
2 ρρ
Fluxo de Q. M. na Face A – A: dxudydx
du
H
∫∞
0
ρ
Fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle
(face 2-A) – (face A – A) – (face 1 – A) =
Fluxo liquido de Q. M. = dxudydx
dudxdyu
dx
dHH
−
∫∫ ∞
00
2 ρρ
Lembrando da regra do produto de diferenciação que:
)()()( αββααβ ddd += ou
)()()( αβαββα ddd −=
Fazendo ∞= uα
∫=H
udy0
ρβ , vem
dxdx
duudydxudyu
dx
ddxudy
dx
du
HHH
∞∞∞
−
=
∫∫∫000
ρρρ
dxudydx
dudxudyu
dx
dHH
−
= ∫∫ ∞
∞
00
ρρ
Agora, substituindo na expressão do fluxo líquido de Q. M, vem:
dxudydx
dudxudyu
dx
ddxdyu
dx
dMQfluxo
HHH
+
−
= ∫∫∫ ∞
∞
000
2.. ρρρ
Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma
mais compacta:
dxudydx
dudxudyuu
dx
dMQfluxo
HH
+
−= ∫∫ ∞
∞
00
)(.. ρρ
Agora, vamos obter a resultante das forças externas. No presente caso, só vamos
considerar as forças de pressão e de atrito.
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104
- força resultante da pressão: dxdx
dPH−
- força de cisalhamento na parede: -dx0=
∂∂
−=y
py
udxµτ
Finalmente, a equação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser
escrita (2ª lei de Newton):
dxudydx
dudxudyuudx
dx
dPH
y
udx
HH
y
+
−=−
∂∂
− ∫∫ ∞∞
= 000
)( ρρµ
Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento
sobre uma superfície plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa
hipótese não vale): 0=dx
dP
Essa hipótese de P = cte. Também implica em que a velocidade ao longe também seja
constante, já que, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernoulli, ou
cteuP
=+ ∞
2ρ
De forma que, na forma diferencial: 002
2=⇒=+ ∞
∞∞ duduudP
ρ
Assim, a equação da conservação da Q. M. se resume a:
−=
∂∂
− ∫ ∞
=
H
y
udyuudx
dp
y
u
00
)(ρµ
Mas como H > δ a velocidade é constante u = u∞, então:
00
)(=
∞ ∂∂
=
−∫
yy
uudyuu
dx
dµρ
δ
Esta é a forma final da equação da conservação da Q.M., válida para o escoamento
laminar sobre uma superfície ou placa plana. Até o presente momento, o
equacionamento é exato, pois nenhuma aproximação foi empregada. A questão é: se
conhecermos o perfil de velocidades u(y), então, a equação acima pode ser integrada.
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105
Daí, pode se obter, entre outras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar
hidrodinâmica, isto é, a espessura da camada limite laminar numa posição x a partir da
borda de ataque. δ(x).
A solução aproximada, objeto desta análise, começa quando se admite um perfil de
velocidades na direção perpendicular ao escoamento, isto é, u(y). Claro que a adoção
desse perfil deve seguir certos critérios. Pense: Se você tivesse que admitir tal perfil de
velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto é, você imporia
um polinômio de grau tal que as condições de contorno do perfil de velocidades fossem
satisfeitas. Certo? Pois é exatamente isso é que é feito. Então, primeiro passemos a
analisar as condições de contorno do problema, que são:
0/0
/0
/
0/0
2
2
==∂
∂
==∂∂
==
==
∞
ypy
u
ypy
u
ypuu
ypu
δ
δ
As três primeiras condições de contorno são simples e de dedução direta. A primeira
informa que a velocidade na superfície da placa é nula (princípio de não-
escorregamento); a segundo diz que fora da CL a velocidade é a da corrente fluida e a
terceira diz que a transição entre a CL e a corrente livre é “suave”, daí a derivada ser
nula. A última c.c. é um pouco mais difícil de perceber. Há de se analisar a equação
diferencial da conservação da quantidade de movimento da camada limite laminar (aula
anterior que requer que essa condição seja nula sobre a superfície da placa). Como são
quatro as condições de contorno, uma distribuição que satisfaz estas condições de
contorno é um polinômio do 3º grau, dado por:
3
4
2
321)( yCyCyCCyu +++=
Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado
de velocidades: 3
2
1
2
3)(
−=∞ δδ
yy
u
yu
Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem:
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106
00
33
2
2
1
2
3
2
1
2
31
=
∞ ∂∂
=
−
+−∫y
y
udy
yyyy
dx
du µ
δδδδρ
δ
Do que resulta, após algum trabalho:
δµ
δρ ∞∞ =
uu
dx
d
2
3
280
39 2
Integrado essa equação, lembrando que para x = 0 � δ = 0 (a CL começa na borda de
ataque):
∞
=u
vxx 64,4)(δ , ou
xx
x
Re
64,4)(=
δ
Lembrando da aula anterior que solução exata (Blasius) fornecia: x
x
x
Re
5)(=
δ
Ver Holman Apêndice B ou Incropera
Considerando as aproximações realizadas, o resultado aproximado é bastante razoável.
Camada Limite Térmica Laminar
Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora pode-se resolver o problema
térmico. O objetivo é o cálculo do coeficiente de transferência de calor, h. Note que
junto à superfície todo calor transferido da mesma para o fluido se dá por condução de
calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que pode-se igualar os
dois termos da seguinte maneira:
0
)(=
∞ ∂∂
−=−y
py
TkTTh , ou
∞
=
−
∂∂
−
=TT
y
Tk
hp
y 0
Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a
distribuição de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso
hidrodinâmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuição de temperaturas:
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107
Condições de contorno
0/0
/
/0
0/
2
2
==∂∂
==
==∂∂
==
∞
ypy
T
ypTT
ypy
T
ypTT
t
t
p
δ
δ
Método integral (aproximado)
tδ δ∞u
∞T
cteTp =
Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfície começa a partir de um
ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma análoga ao caso hidrodinâmico,
desenvolvendo um balanço de energia num V.C. de espessura maior que δ, vem:
(ver Holmam)
00
2
0
)(=
∞ ∂∂
=
+
− ∫∫
y
H
p
H
y
Tdy
dy
du
cudyTT
dx
dα
ρµ
Admitindo uma distribuição polinomial de grau 3 para a distribuição de temperaturas e
aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 3
2
1
2
3)()(
−=
−
−=
∞∞ ttp
p yy
TT
TyTy
δδθθ
(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas)
Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seguinte relação entre as
espessuras de camadas limites:
3/1
4/3
03/1 1Pr026,1
1
−= −
x
xt
δδ
Se a placa for aquecida ou resfriada desde a borda, x0 = 0, temos
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108
3/1Pr026,1
1 −=δδ t
No desenvolvimento admitiu-se δt < δ o que é razoável para gases e líquidos
11
11
/Pr
<>
≈≈
δδ t
Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituição da distribuição de
velocidades, calculada junto à parede
==
−
−−=
−
∂∂
−
=∞
∞
∞
=
tttp
p
p
y
x
kk
TT
TTk
TT
y
Tk
hδδ
δδδ 2
3
2
3
2
3
)(
)(0, ou
3/14/3
03/1
1Pr026,1
2
3−
−=
x
xkhx δ
, ou ainda
3/1
4/3
0
2/1
3/1 1Pr332,0
−
∞
−
=
x
x
x
ukhx ν
Lembrando da definição do número de Nusselt, k
xhNu x
x = , vem:
3/14/3
02/13/1 1RePr332,0
−
−=x
xNu xx
As equações anteriores são para valores locais.
O coeficiente médio de transferência de calor será, se x0 = 0:
L
x
dxu
L
dxh
h
LL
x
L
∫∫
==
∞
0
2/1
2/1
3/1
0
Pr332,0ν
, ou
2/
Pr332,0 2/1
2/1
3/1
L
Lu
hL
=
∞
ν, ou finamente:
LxL hL
uh =
∞ =
×= 2Pr332,02
2/1
3/1
ν
Analogamente, para esse caso:
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109
LxL Nuk
LhuN === 2
Quando a diferença de temperatura do fluido e da placa for substancial, as
propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas á temperatura de película, Tf
2
∞+=
TTT
p
f
E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se:
3/12/1PrRe453,0 LL
k
hLNu ==
Ver exercícios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5
Exemplo resolvido (extraído do livro de Pitts e Sissom)
Num processo farmacêutico, óleo de rícino (mamona) a 40ºC escoa sobre uma placa
aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma
temperatura de 90ºC. Determine:
(a) a espessura da camada limite hidrodinâmica δ ao final da placa
(b) a espessura da camada limite térmica δt no final da placa
(c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa
(d) o fluxo de calor total transferido da superfície aquecida.
São dados:
Propriedades calculadas a CT f
0652
9040=
+=
α = 7,38×10-8 ms/s
fk = 0,213 W/moC
ν = 6,5×10-5 m2/s
ρ = 9,57×102 kg/m3
µ = 6,22×10-2 N.s/m2
pC = 3016 Ck
J
g
o
CTp °= 90
∞u
∞T
Solução
Verificação se o escoamento é laminar ai final da placa
)105(Re5538105,6
606,0Re 5
5×<=
××
==−
∞transiçãoL
Lu
ν
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110
Método Exato Método Aproximado
a)
xx Re
5=
δ; x = L = 6m
m40,05538
65=
×=δ
xx Re
64,4=
δ; x = L = 6m
m37,05538
664,4=
×=δ
b) 3/1
8
53/13/1 881
1038,7
105,6)/(Pr −
−
−−− =
××
=== ανδδ t
mt 042,0881
4,03/1==δ
3/1Pr026,1
1 −=δδ t
mt 037,0881
37,0
026,1
13/1==δ
c) 2/1
3/1Pr332,0
= ∞
L
ukhx ν
Cm
W
hx
°=
××××=
−
2
2/1
5
3/1
4,8
6105,6
06,0)881(213,0332,0
Cm
Whh LxL °
=×== = 28,164,822
2/1
3/1Pr332,0
= ∞
L
ukhx ν
Obs*: Tanto a solução exata como a aproximada leva a constante ao mesmo valor de 0,332
Cm
Whx °
=2
4,8
Cm
Whh LxL °
=×== = 28,164,822
d) )( ∞−= TThAq s
⇒
m
W
TTLhL
qs
p
5040
)4090(68,16)(
=
−××=−= ∞
)( ∞−= TThAq s
⇒
m
W
TTLhL
qs
p
5040
)4090(68,16)(
=
−××=−= ∞
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111
AULA 15 – ANALOGIA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR E DE ATRITO – REYNOLDS-COLBURN E
CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM ESCOAMENTO EXTERNO
2.5 – Analogia de Reynolds – Colburn
Como visto nas aulas anteriores, a transferência de calor e de quantidade de movimento
(atrito superficial) são regidas por equações diferenciais análogas. Na verdade, esta
analogia entre os dois fenômenos é muito útil e será explorada nesta aula. Essa é a
chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com
a transferência de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medição
laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente
de transferência de calor. Isto é uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os
dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferência de calor.
Por definição, o coeficiente de atrito é dado por:
2
2
∞
=u
Cp
fρ
τ
Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso),
a tensão de cisalhamento na parede é:
0=∂∂
=y
py
uµτ
Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja:
3
2
1
2
3
−=∞ δδ
yy
u
u,
temos que a derivada junto à parede resulta em:
δ∞
=
=∂∂ u
y
u
y2
3
0
Por outro lado, usando o resultado da solução integral ou aproximada da espessura da
camada limite, isto é, x
x Re
64,4=
δ que, mediante substituição na definição da tensão de
cisalhamento na parede, resulta em:
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112
x
uu x
p
Re323,0
2
3 ∞∞ ==µ
δµτ
Substituindo este resultado na equação da definição do coeficiente de atrito, vem:
x
xfx
xu
uC
Re
323,0Re323,0
2 2==
∞
∞
ρ
µ
Por outro lado, da aula anterior, chegou-se à seguinte expressão para o número de
Nusselt,2/13/1 RePr332,0 xxNu = que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como:
2/13/2 RePr332,0PrRe
−−= x
St
x
x
x
Nu
321
, onde Stx ∞
=uc
h
p
x
ρ é o número de Stanton. Então,
reescrevendo de forma compacta:
x
xStRe
332,0Pr 3/2 =
Comparando as duas equações anteriores em destaque, notamos que eles são iguais a
menos de uma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esquecendo desta
pequena diferença podemos igualar as duas expressões para obter:
2Pr 3/2 fx
x
cSt =
Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito
com a transferência de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa
forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de
arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime turbulento (que será
visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no
interior de tubos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios.
______________________________________________________________________
Exemplo resolvido – continuação do anterior Calcule a força de arrasto sobre a placa do exemplo anterior (aula 14).
Sabe-se que 3/2Pr2
tSC f =
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113
Por outro lado, 5
21070,9
06,030161057,9
8,16 −
∞
×=×××
==uc
htS
p
L
ρ
Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92 −− ×=×××=fC , de forma
que a tensão de cisalhamento na superfície é:
2
2222
1007,32
)06,0(9571078,1
2 m
NuC fp
−−
∞ ×=×××
==ρ
τ
Finalmente, a força de atrito por unidade de comprimento é:
m
NL
L
Fp
p
184,061007,3 2 =××=×= −τ
______________________________________________________________________
Camada Limite Turbulenta
A transferência de calor convectiva na camada limite turbulenta é fenomenologicamente
diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da
transferência de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui três
subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo:
A CLT é subdividida em:
- Subcamada laminar – semelhante ao escoamento laminar – ação molecular
- Camada amortecedora – efeitos moleculares ainda são sentidas
- Turbulento – misturas macroscópicas de fluido
Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exercício de observar o
comportamento da velocidade local, o que é ilustrado no gráfico temporal abaixo.
u
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114
Do gráfico ilustrado, depreende -se que a velocidade instantânea, u, flutua
consideravelmente em torno de um valor médio, u . Este fato de flutuação da
velocidade local em conjunção com a flutuação de outras grandezas, embora possa
parecer irrelevante, é o que introduz as maiores dificuldades do perfeito
equacionamento do problema turbulento. Para analisar o problema, costuma-se dividir a
velocidade instantânea em dois componentes: um valor médio e outro de flutuação,
como indicado:
velocidade na direção paralela: 'uuu +=
velocidade na direção transversal: 'vvv +=
pressão: { { {fluctuacàomedio
táneoinsvalor
PPP '
tan
+=
Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor médio e uma apóstrofe,
valor de flutuação. Os termos de flutuação são responsáveis pelo surgimento de forças
aparentes que são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as quais devem ser
consideradas na análise.
Para se ter uma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilustração da
camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar em que o fluido se
“desliza” sobre a superfície, no caso turbulento há misturas macroscópicas de “porções”
de fluido. No exemplo ilustrado, uma “porção” de fluido (1) está se movimentando para
cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna
(transferência de calor). Evidentemente, uma “porção” correspondente (2) desce para
ocupar o lugar da outra. Isso é o que dá origem às flutuações. Do ponto de vista de
modelagem matemática, essas “simples” movimentações do fluido dentro da camada
limite dão origem às maiores dificuldades de modelagem.
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115
Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor turbulenta foge do
escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais específica para uma análise
mais profunda. No entanto, abaixo se mostra os passos principais da modelagem.
O primeiro passo é escrever as equações de conservação (massa e quantidade de
movimento) – aula 13. Em seguida, substituem-se os valores instantâneos pelos termos
correspondentes de média e flutuação, isto é, 'uuu += , 'vvv += e 'PPP += . Em
seguida, realiza-se uma integral sobre um período de tempo longo o suficiente, isto é,
realiza-se uma média temporal. Ao final, vai se obter a seguinte equação diferencial:
−
∂
∂∂∂+
∂∂
−=∂∂
+∂∂
''1
uvy
u
yx
P
y
uv
x
uu υ
ρ
No processo de obtenção desta equação, admitiu-se que a média temporal das flutuações
e suas derivadas são nulas. Com isso surgiram termos que envolvem a média temporal
do produto das flutuações (últimos dois termos à direita). Aqui reside grande parte do
problema da turbulência que é justamente se estabelecer modelos para estimar estes
valores não desprezíveis. Estes termos dão origem às chamadas tensões aparentes de
Reynolds que têm um tratamento à parte e não vamos nos preocupar aqui.
O importante é saber que existem dois regimes de transferência de calor: laminar e
turbulento. Também existe uma região de transição entre os dois regimes. Expressões
apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela
7.9 do Incropera e Witt.
Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu = 60Pr6,010Re 8 ≤≤≤x
Médio : ( ) 318,0 Pr871Re037,0 −= LLNu 810Re ≤L
2,0Re37,0 −= xx
δ 810Re ≤L
Nota: outras expressões ver livro-texto – ou tabela ao final desta aula.
As propriedades de transporte são avaliadas à temperatura de mistura (média
entre superfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 ×105
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116
______________________________________________________________________ Exemplo resolvido (Holman 5-7)
Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de
comprimento e é mantida a 60ºC. Calcule o fluxo de calor transferido da placa.
Propriedades avaliadas à CT °=+
= 402
6020
Ckg
kJc p °
= 007,1 3
128,1m
kg=ρ 7,0Pr =
Cm
Wk
°= 02723,0
ms
kgx 510007,2 −=µ
610475,1Re xVL
L ==µ
ρ
2055)871Re037,0(Pr8,03/1 =−== LL
k
LhNu
CmWNuL
kh L °== 2/6,74
WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)( =−=−= ∞
______________________________________________________________________
Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos
No caso do escoamento externo cruzado sobre cilindros e tubos, análise se torna mais
complexa. O número de Nusselt local, dado em função do ângulo de incidência θ, isto é,
Nu(θ), é fortemente influenciado pelo efeito do descolamento da camada limite.
A figura ao lado indica o que acontece com o
número local de Nusselt. Para ReD ≤ 105, o
número de Nusselt decresce como conseqüência
do crescimento da camada limite laminar (CLL)
até cerca de 80o. Após este ponto, o escoamento
se descola da superfície destruindo a CLL e
gerando um sistema de vórtices e mistura que
melhora a transferência de calor (aumento de
Nu(θ). Para ReD > 105, ocorre a transição e
formação da camada limite turbulenta (CLT). Na
fase de transição (80o a 100o) ocorre a melhora
da transferência de calor. Uma vez iniciada a
CLT, novamente se verifica a diminuição do
coeficiente local de transferência de calor devido
ao crescimento da CLT para, em torno de 140o,
descolar o escoamento da superfície que destrói
a CLT para, então, gerar o sistema de vórtices e
mistura que volta a melhorar a transferência de
calor. No caso turbulento há, portanto, dois
mínimos.
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117
Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante
analisar os efeitos locais do número de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de
outros usuários é mais proveitoso que se tenha uma expressão para a transferência de
calor média. Assim, uma expressão bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da
correlação empírica de Hilpert, dada por:
3
1
PrRem
DD Ck
DhNu ==
onde, D é o diâmetro do tubo. As constantes C e m são dadas na tabela abaixo como
função do número de Reynolds.
ReD C m
0,4 – 4 0,989 0,330
4 – 40 0,911 0,385
40 – 4.000 0,683 0,466
4.000 – 40000 0,193 0,618
40.000 – 400.000 0,027 0,805
No caso de escoamento cruzado de um gás sobre outras seções transversais, a mesma
expresssão de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na
próxima tabela (Jakob, 1949).
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118
Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expressão
mais atual bastante usada é devida a Zhukauskas, dada por
4/1
Pr
PrPrRe
=
s
nm
DD CNu válida para
<<
<<610Re1
500Pr7,0
D
,
onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaixo. Todas às propriedades são
avaliadas à T∞, exceto Prs que é avaliado na temperatura de superfície (parede). Se
Pr ≤ 10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36.
ReD C m 1 – 40 0,75 0,4
40 – 1.000 0,51 0,5
1.000 – 2×105 0,26 0,6
2×105 – 106 0,076 0,7
____________________________________________________________
Escoamento sobre Banco de Tubos
Escoamento cruzado sobre um banco de tubos é muito comum em trocadores de calor.
Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula
internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é
chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicôncio.
Arranjos em linha ou quicôncio
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119
Existem várias expressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tubos.
Para o ar, pode se usar a expressão de Grimison, que também pode ser modificada para
outros fluidos, como discutido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente,
Zhukauskas apresentou a seguinte expressão:
4/1
36,0
max,Pr
PrPrRe
=
s
m
DD CNu
válida para
<<
<<
≥
6
max, 10.2Re1000
500Pr7,0
20
D
LN
onde, NL é o número de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que é
avaliada à temperatura da superfície dos tubos) são avaliadas à temperatura média entre
a entrada e a saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaixo.
Configuração ReD,max C m
Alinhada 10-102 0,80 0,40
Em quicôncio 10-102 0,90 0,40
Alinhada
Em quicôncio
102-103 Aproximado como um único
102-103 cilíndro (isolado)
Alinhada
(ST/SL>0,7)a 103-2×105 0,27 0,63
Em quicôncio
(ST/SL<2) 103-2×105 0,35(ST/SL)1/5 0,60
Em quicôncio
(ST/SL>2) 103-2×105 0,40 0,60
Alinhada 2x105-2×106 0,021 0,84
Em quicôncio 2x105-2×106 0,022 0,84
a Para ST/SL>0,7 a transferência de calor é ineficiente, e tubos alinhados não deveriam ser utilizados.
Se o número de fileiras de tubos for inferior a 20, isto é, NL < 20, então deve-se corrigir
a expressão acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme
expressão abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo.
202
20 ≥<=
LL ND
ND NuCNu
Tabela com o fator de correção C2 para NL<20 (ReD>103)
NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16
Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
Em quicôncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
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120
O número de Reynolds ReD,max é calculado para a velocidade máxima do fluido que
percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre em
VDS
SV
T
T
−=max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em
quicôncio ou desalinhado, a velocidade máxima pode ocorrer em duas regiões,
conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrerá na seção A2 se a seguinte condição
for satisfeita )()(2 DSDS TD −<− que, após uma análise trigonométrica simples, se
obtém a seguinte condição equivalente 22
212
2 DSSSS TT
LD
+<
+= . Se isso
acontecer, então: VDS
SV
D
T
)(2max −
= . Caso essa condição não seja satisfeita, então, a
velocidade máxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente VDS
SV
T
T
−=max .
Tabelas- resumo com as equações (Incropera & Witt)
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121
______________________________________________________________________
Exercício de Aplicação
Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30°C.
Neste escoamento de ar é colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de
25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa é de 60°C.
Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro
sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais
condições são mantidas. Pede-se:
(a) Em qual caso a troca de calor é maior.
(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos.
(c) Analisar se sempre há maior troca de calor numa dada configuração do que na
outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua
resposta através de um memorial de cálculo.
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122
Solução
Propriedades do ar à CTT
Tp °=
+= ∞
452
ν = 1,68 x 10-5 m2/s
k = 2,69 x 10-2 W/mK
Pr = 0,706
Placa
CTp °= 60
smu /4=∞
CT °=∞ 30
critL xLu
Re1095,51068,1
25,04Re 4
5<≅
××
==−
∞
ν 5105×=
2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/12/1 =××== xNu LL
Assim CmWL
kNuh L °=
×== 2/56,15
25,0
02697,02,144
Cilindro
CTs °= 60
∞∞ Tu ,
πD = L � D = 0,25/π = 0,0796 m
Assim, 4
510895,1
1068,1
0796,04Re ×=
×
×=
−D
Usando a expressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b)
3/1PrRe m
DD CNu = p/ReD=1,895×104 C = 0,193
m = 0,618
Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 =×××=DNu
de forma que: KmWD
kNuh
DD
2/63,250796,0
02697,063,75=
×==
a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois LD hh > e a área de troca de
calor é a mesma.
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123
b)
Placa
WQ
TTAhQ
placa
ppplaca
7,116
3025,056,15
)(
=
××
−= ∞
Cilindro
WQ
TTAhQ
cil
pccil
2,192
3025,063,25
)(
=
××
−= ∞
c) Porção laminar 5
, 105Re ×=Lcrit
Note que 51059,1Re/ReRe ×=⇒= DLD π sendo equivalente ao crítico.
3/12/1PrRe
664,0LL
L
kh
×= (A)
m
D
m
DD CL
kC
D
kh Re
PrRePr
3/13/1 π== (B)
Portanto de (A), 2/1
3/1
Re664,0
Pr
L
Lh
L
k= , que, pode ser subst. em (B), para obter
Lm
D
D
Lm
DD hC
hCh 5,0
2/1Re669,2
Re664,0
Re −==π
π
Ou 5,0Re669,2 −= m
D
L
DC
h
h para o caso laminar na placa
Porção laminar-turbulenta ReL> Recrit =5×105
3/18,0 Pr)871Re037,0( −×= LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista)
De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0( −×= L
L
k
Lh e
871Re037,0
Pr8,0
3/1
−=
L
Lh
L
k (C)
sub. em (B), vem 871Re037,0
Re8,0 −
=L
Lm
DD
hCh
π
Subs. ReL = πReD, vem: 871Re037,0
Re8,0 −
=L
m
D
L
D C
h
h π
Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa
871Re037,0
Re8,0 −
=L
m
D
L
D C
h
h π
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124
Os diversos valores de C e m da expressão de Hilpert foram substituídos nas expressões
das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaixo e,
em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do
cilindro (na faixa de validade das expressões)
ReD C m hD/hL regime
4 0,898 0,33 2,09 laminar
40 0,911 0,385 1,59 “
4000 0,683 0,466 1,38 “
40000 0,193 0,618 1,8 “
159000 0,027 0,805 2,78 “
200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb
400000 0,027 0,805 1,43 “
L
D
h
h
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
ReD
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AULA 16 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR DE TUBOS E DUTOS - LAMINAR
Considerações hidrodinâmicas do Escoamento Desenvolvimento da camada limite laminar
xe – comprimento de entrada x > xe – escoamento plenamente desenvolvido O número de Reynolds agora deve ser baseado no diâmetro do tubo (ou duto), isto é:
µρ Du
D =Re
Onde, u – velocidade média O caso laminar vai ocorrer para 2300Re <D e, nesse caso, o comprimento de entrada
se estende até De
D
xRe05,0≈
No caso turbulento, dá-se início ao desenvolvimento da camada limite laminar, porém, essa camada limite sofre uma transição para camada limite turbulenta, como indicado na figura abaixo.
Nesse caso, Dxe 10≈ . O número de Reynolds vai indicar se o escoamento é turbulento.
Isto vai ocorrer para 4000Re >D . Entre 2300 e 4000 ocorre transição laminar-
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turbulento. Para efeitos práticos, porém, pode-se assumir escoamento turbulento a partir
de 2300.
TEMPERATURA MEDIA DE MISTURA No caso do escoamento interno, existe um problema de referenciar a transferência de
calor. Para exemplificar essa dificuldade, considere os escoamentos externos e internos
ilustrados abaixo. No primeiro caso, o cálculo da transferência de calor se dá levando
em consideração a temperatura da superfície, Ts, de do fluido ao longe, T∞, a qual é
constante. Isso já não ocorre no caso do escoamento no interior. Não existe uma
temperatura ao longe, T∞, para efetuar o cálculo da troca térmica. O que se usa é uma
temperatura média Tm. Só que não pode ser uma temperatura média aritmética simples,
pelos motivos expostos abaixo. Há de ser uma temperatura efetiva que represente a
temperatura do fluido na seção. Esta é a chamada temperatura média de mistura ou de
copo.
{)(
cte
s TThAq ∞−=
∞T
sT
)( ms TThAq −=
sT
Para entender como se obter a temperatura média de mistura, considere os seguintes
perfis de temperatura e velocidade em um fluido sendo aquecido:
sT
cT
Note que as maiores temperaturas ocorrem junto à parede porém, nessa região é onde
ocorrem as menores velocidades. Assim, a média aritmética simples ∫= TdAA
Tm
1 não
representa a temperatura efetiva da seção. Para obter a temperatura efetiva da seção,
considere um exercício mental em que uma porção do fluido é colocado dentro de um
copo. Há de se concordar que a temperatura efetiva é a temperatura de equilíbrio
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 127
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daquela porção de fluido. Certo? Sim, isto está correto e daí o nome alternativo de
temperatura de copo “cup” que significa literalmente “caneca” no vernáculo original).
mequilibrio TT =
Para determinar essa temperatura, considere o fluxo entálpico, hE& , na seção transversal
dado por: ∫∫ ==A
h uhdAmhdE0
ρ&& .
Assim, pode-se definir a entalpia média, hm, na seção transversal por:
mh
A
m hmEuhdAm
h &&&
=⇒= ∫0
1ρ
Mas, sabendo que mpm Tch = , então: ∫=A
P
P
m TdAuCmC
T0
1ρ
&
Se CP= cte., vem que ∫=A
m uTdAm
T0
1ρ
&
Mas, por definição a vazão mássica na seção transversal é dada por ∫=A
udAm0
ρ&
Assim, chega-se na expressão da definição da temperatura média de mistura ou
temperatura de copo, qual seja:
∫
∫=
A
A
m
udA
uTdA
T
0
0
ρ
ρ
Para o caso do duto circular a área da seção transversal é dada por
rdrdArA ππ 22 =⇒= que, substituindo na expressão acima, resulta em:
∫
∫=
r
r
m
urdr
uTrdr
T
0
0
ρ
ρ
(Válida para tubo circular)
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Além do mais, se ρ= cte, vem
∫
∫=
R
R
m
urdr
uTrdr
T
0
0 (válida para tubo circular)
Transferência de Calor no Escoamento Laminar no Interior de Duto Conhecida a expressão para o cálculo da temperatura média de mistura, pode-se
determinar a transferência de calor, caso sejam conhecidas as distribuições de
velocidade e temperatura na seção transversal, isto é, u(r) e T(r). O caso laminar fornece
tais expressões, como veremos a seguir. Considere o perfil laminar de velocidades
ilustrado abaixo. No diagrama à direita, tem-se um balanço de forças para o elemento de
fluido.
)2( rdxπτ
2)( rdpp π+)( 2rp π
Um balanço de força, resulta em: )2(2 rdxdpr πτπ −= , ou dxdr
durdp µ2−= ou ainda:
drdx
dprdu
µ2−=
Integrando na direção radial. Note que a pressão estática é a mesma na seção
transversal, isto é, p≠ p(r), vem que Cdx
dpru +−=
µ4
2
A constante C é determinada da condição de parede, isto é,
u = 0 r = r0
dx
dprC
µ4. 2
0=
Assim, )(4
1)( 22
0 rrdx
dpru −=
µ
Velocidade no centro do tubo, u0: dx
dpru
µ4
20
0 −=
Finalmente, dividindo uma expressão pela outra, tem-se:
20
2
0
1)(
r
r
u
ru−= O perfil de velocidade é parabólico (2º grau)!!
r0
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 129
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Admitindo-se fluxo de calor constante na parede do tubo: 0=dx
dq p
Um balanço de energia para o elemento de fluido anterior resulta em:
x
T
r
Tr
rr ∂∂
=
∂∂
∂∂
αµ11
Como o fluxo de calor e constante ao longo do tubo, então: ctex
T=
∂∂
Por outro lado, por simetria no centro do tubo, sabe-se que 00
=∂∂
=rr
T e, na parede do
tubo cteqr
Tk p
rr
==∂∂
= 0
Entrando com estas c.c na equação acima e integrando, resulta no seguinte perfil laminar de temperaturas:
−
∂∂
+=4
0
2
0
200
0 4
1
4
1)(
r
r
r
rru
x
TTrT
α
Finalmente, pode-se agora introduzir os perfis de velocidade, u(r) e temperatura, T(r),
na equação da definição da temperatura média de mistura ∫∫=00
00
rr
m urdruTrdrT
Após algum esforço, se obtém x
TruTTm ∂
∂+=
α
200
0 96
7 (para fluxo de calor constante na
parede).
Para se poder calcular a transferência de calor, ainda é preciso obter a temperatura de
parede (r = r0). Isto é prontamente obtido da expressão de T(r), que resulta em:
x
TruTTp ∂
∂+= 2
000 16
31
α (fluxo de calor constante)
Agora, finalmente, o coeficiente de transferência de calor laminar em tubo circular com
propriedades constantes e escoamento plenamente desenvolvido pode ser calculado, a
partir da sua própria definição:
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0
)(rr
mpr
TkATThAq
=∂∂
=−= , ou ( )mp
rr
TT
r
Tk
h−
∂∂
= = 0
Substituindo as expressões, vem:
∂∂
−−∂∂
+
−
∂∂
+∂∂
= =
44 344 21444 3444 21mP TT
rr
x
TruT
x
TruT
r
r
r
rru
x
TT
rk
h
αα
α
200
02
000
4
0
2
0
200
0
96
7
16
31
4
1
4
1
0
Após se efetuar os cálculos, vai-se chegar a D
kh 364,4= ou, 364,4=DNu . Este é um
resultado notável, pois o número de Nusselt para escoamento laminar plenamente
desenvolvido, propriedades constantes, submetido a um fluxo de calor constante não
depende do número de Reynolds ou de qualquer outro parâmetro! Se os cálculos forem
efetuados para temperatura de parede constante, vai-se obter 66,3=DNu .
Trabalhos teóricos também foram realizados para outras geometrias e seus valores são apresentados na tabela abaixo. O fator de atrito também é apresentado.
Nos problemas práticos, as propriedades devem ser calculadas à média entre as
temperaturas médias de saída e entrada, isto é: 2
msmem
TTT
−= quando as diferenças de
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temperatura não são significativas. Em caso diferenças significativas, deve-se empregar o conceito de diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, visto adiante. Quando os tubos são curtos, deve-se considerar que o escoamento ainda não está
plenamente desenvolvido e deve-se usar a expressão corrigida. O gráfico abaixo ilustra
como o número de Nusselt varia, começando da entrada, até que o escoamento se torne
plenamente desenvolvido.
Relação para tubo curto:
[ ] 3/2PrRe)/(04,01
PrRe)/(0668,066,3
D
DD
LD
LDNu
++=
Veja livro para correlações que consideram o comprimento de entrada.
DETERMINAÇÃO DE Tm AO LONGO DO COMPRIMENTO DO TUBO
Em muitas situações, estamos mais interessados em determinar como a temperatura
média de mistura varia não na seção transversal, mas sim ao longo do tubo. Isto é
obtido, mediante um balanço de energia, conforme ilustrado na figura abaixo. É válida
para qualquer regime de escoamento, pois decorre de uma análise da Primeira Lei da
Termodinâmica. Note que, nesta seção, h refere-se à entalpia específica e não ao
coeficiente convectivo de calor.
dx
dxxhm +&xhm&
pdAq"
Expansão em serie de Taylor da entalpia, vem ...++=+ dxdx
dhhh x
xdxx
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Mas, pela 1ª lei, temos: pxdxx dAqhmhm "+=+ && , que substituindo a expansão, já
desprezando os termos de ordem superior, tem-se
pxx
dxx dAqhmdxdx
dhhm "+=
++ &&
ou, simplesmente px dAq
dx
dhm "=& : Ap = área em contato com o fluido.
Mas, por outro lado PdxdA = ;onde P é o chamado perímetro molhado.
De forma que Pdxqdxdx
dhm x "=&
Ou, ainda, Pqdx
dhm x "=& . Assumindo cteCpdTCdhouTch PPmp === / , , tem-se
dx
dTCm
dx
dTAuCPq m
Pm
P&== ρ"
Dois casos podem ser analisados para ser determinar Tm que dependem da condição de
contorno na parede.
(I) Fluxo de calor constante na parede. cteq" =
Integrando a equação, vem ctexAuC
PqxT
P
m +=ρ
")(
Para x = 0, Tm = Te, de forma que e
P
m TxAuC
PqxT +=
ρ"
)(
(II) Temperatura de parede constante Tp = cte Nesse caso, )(" mpxx TThq −= que, substituindo na expressão Tm, vem
dx
dTCmTTPh m
Pmpx&=− )(
Ou, dxcm
Ph
TT
dT
p
x
mp
m
&=
−, cuja integração resulta em ctex
Cm
PhTT
P
c
mp +=−&
)ln(
Para x = 0, Tm = Te, de forma que
−=
−
−
P
c
ep
mp
Cm
Pxh
TT
xTT
&exp
)(
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T Tp
Te
Tmh
h
Fluxo de calor constante na superfície
T
x
Tp
Te
Temperatura de parede constante
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134
AULA 17 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR DE DUTOS - TURBULENTO
Transferência de Calor no Escoamento Turbulento em Dutos – Analogia de Reynolds-Colburn
No caso laminar, a condução de calor é dada por dr
dTk
A
q−= , ou
dr
dT
cA
q
p
αρ
−=
No caso de escoamento turbulento, define-se uma expressão semelhante do tipo
( )dr
dT
cA
qH
p
εαρ
+−=
εH - é a chamada difusividade térmica turbilhonar Analogamente à tensão de cisalhamento, pode-se escrever
dr
du
dr
dum )( εν
ρτ
µτ +=⇒=
onde, εm - viscosidade turbilhonar Hipótese: Admitindo que o calor e quantidade de movimento sejam transportado numa
mesma taxa, ou εH = εm e ν = α, o que significa que Pr = 1. Então, dividindo as
equações anteriores, vem:
du
dT
Ac
q
p
−=τ
ou dTduAc
q
p
−=τ
Outra hipótese a ser adotada é que a razão entre o fluxo de calor por unidade de área e o
cisalhamento seja constante na seção transversal, o que permite escrever que o que
ocorre na parede, também ocorre dentro do escoamento, isto é:
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135
ppP
p
P AC
q
AC
q
ττ= ou dTdu
AC
q
ppP
p −=τ
As condições de contorno do problema são: u = 0 , T = Tp u = um , T = Tm
De forma, que é possível integrar a equação: ∫∫ −=m
p
m T
T
u
pPp
pdTdu
CA
q
0τ
que resulta em mpm
pPp
pTTu
CA
q−=
τ
mas, por outro lado, o fluxo de calor convectivo é dado por )( mppp TThAq −= . Agora
igualando as duas expressões, tem-se:
mpm
ppp
mppTTu
cA
TThA−=
−
τ
)( que resulta em p
p
m
c
huτ= (A)
Por outro lado, o equilíbrio de forças no elemento de fluido, resulta em:
LrrP p 02
0 2πτπ =∆ , ou PL
rp ∆=
20τ
Lrp 02πτ
pτ
20)( rPP π∆+
20rPπ
Mas da mecânica dos fluidos, 2
2
0
mu
d
LfP ρ=∆ , onde f = fator de atrito (sai do
diagrama de Moody ou expressão de ajuste – Colebrook, Churchil, entre outras)
Assim, comparando as duas expressões, vem 2
8 mp ufρτ = (B)
Finalmente, pode-se concluir a analogia igualando as equações (A) e (B). Assim:
2
8 m
p
m uf
C
huρ=
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136
Agora é de interesse que se façam aparecer os adimensionais que controlam o
fenômeno. Para isso, algumas manipulações serão necessárias, começando por
rearranjar a equação acima, para obter:
ρρ 8
f
uC
h
mp
=
Agora, conveniente, esta expressão é multiplicada e dividida por algumas grandezas,
conforme indicado abaixo:
8
1
0
0 f
udC
k
k
hd
mp
=
ννρ
que, pode ainda ser manipulada para obter: 8/
1
/
1
0
0 f
udk
hd
m
=
ναν
Finalmente, os grupos adimensionais são substituídos:
8RePr
fNu
D
D = , ou 8
fSt =
Esta é a analogia de Reynolds para escoamento turbulento em tubos. Ela está de acordo
com dados experimentais para gases ( Pr ~ 1). Com base em dados experimentais
Colburn recomenda que a relação acima seja multiplicada por Pr2/3 para Pr > 0,5 (até
100)
8RePr 31
fNu
D
D = , ou 8
Pr 32 fSt =
Na faixa de Reynolds entre 2 ×104, para tubos lisos, f pode ser relacionado da seguinte
forma 2,0Re184,0 −= Df .
Então, obtém-se a famosa expressão de Dittus-Bolter (ligeiramente modificada)
3/18,0 PrRe023,0 DDNu =
Na prática, sugere-se que o expoente do número de Prandtl seja do tipo
n
DDNu PrRe023,0 8,0= onde, n = 0,3 se o fluido estiver sendo resfriado n = 0,4 se o fluido estiver sendo aquecido
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137
Para tubos rugosos, usar o diagrama de Moody, como mostrado abaixo, para obter f.
Ou uma expressão de correlação, como por exemplo a expressão de Churchill ou Colebrook:
Expressão de Churchill: ( )
121
5,1
121
Re
88
++
=
BAf
D
onde
( ) ( )
16
9,0 27,0Re7
1ln457,2
+=
DA
D ε
e 16
Re
530.37
=
D
B
Esta expressão tem a vantagem de ajustar de forma suave a transição laminar-turbulento
Expressão de Colebrook:
+−=
2/12/1 Re
51,2
7,3
/log0,2
1
f
D
f D
ε
Ver tabela de correlações para outras configurações
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138
Outras correlações (tubo liso),válidas para a região de entrada 0,5 < Pr < 1,5
+−=3/2
5/25/4 1Pr)100(Re0214,0L
DNu DD
0,5 < Pr < 1,5
+−=3/2
5/287,0 1Pr)280(Re012,0L
DNu DD
CORREÇÃO DEVIDO A PROPRIEDADES VARIAVEIS (A) Laminar
As propriedades são calculadas a temperatura de mistura. Acontece que algumas propriedades dependem fortemente da temperatura como, por exemplo, a viscosidade da água: µ (T = 25°C) ~ 8,90 x 10-4 kg/ms
µ (T = 30°C) ~ 7,98 x 10-4 kg/ms
Em 5ºC ocorre uma variação em torno de 10%. Assim, segue-se que a seguinte expressão seja utilizada para levar este efeito em consideração.
n
p
mcor NuNu
=
µµ
µm = viscosidade à temperatura da mistura.
µp = viscosidade à temperatura da parede Se o fluido for em gás n = 0 (sem correções) Para 0,5 < Tm / Tp < 2,0 (B) Turbulento
n
p
mcor
T
TNuNu
=
T – temperatura absoluta n = 0 (resfriamento de gases) n = 0,45 para fases sendo aquecidos (n = 0,15 p/ Co2) se 0,5 < Tm / Tp < 2,0
Líquidos
11,0
Pr
Pr
=
p
mcor NuNu
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139
Exemplos resolvidos (1) Ar escoa pelo interior de um duto de 5cm de diâmetro. A velocidade do ar é 30m/s e sua temperatura é 15ºC. O comprimento aquecido do tubo é 0,6m com temperatura de parede, Tp = 38ºC. Suponha que o escoamento seja plenamente desenvolvido. Obtenha a transferência de calor e a temperatura de saída do ar.
CTp °= 38
Calcule as propriedades à temperatura média 2
sem
TTT
+=
Dittus Boelter: 4,08,0 PrRe023,0 DDNu = (1)
Balanço de energia: )()( espmp TTCmTTAh −=− & (2)
Note que há duas equações e duas incógnitas (Ts e h) Esses tipos de problema devem normalmente serem resolvidos de forma iterativa, conforme esquema abaixo. Primeiro admite-se uma temperatura de saída, calculam-se todas as grandezas envolvidas e depois faz-se a verificação se corresponde ao resultado da segunda equação. Caso contrário, admite-se uma nova temp. de saída.
h
Ts = 21ºC ⇒ Tm = 18ºC Tabela A.5 (Holman) A.4 (Incropera) – Interpolação ρ = 1,2191 kg/m3 γ = 14,58 x 10-6 m2/s Pr = 0,72
cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02554 W/m°C
56
10029,11058,14
05,030Re x
x
xVDD === −ν
turbulento !!!!
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140
34,206)72,0()5^10029,1(023,0PrRe023,0 4,08,04,08,0 === xNu DD
Cm
W
D
kNuh
D
°===
24,105
05,0
02554,0*34,206
De (2)
( ) ( ) Cx
TTmc
hATT mp
p
es °=−×
×××+=−+= 7,171838
100056,1072,0
6,005,04,10515
3
π
Não confere!! Portanto, nova iteração é necessária Assumindo agora Ts = 18ºC Logo, Tm = 16,5ºC, assim: ρ = 1,2262 kg/m3 µ = 14,40 x 10-6 m2/s Pr = 0,711
cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02542 W/m°C
51004,1Re xD = skgm /072,0=& CmWh °= 2/27,105
CTs °≅ 95,17 OK! Agora, confere
Realizando os cálculos pedidos. Pela lei de resfriamento
WTTAhq mps 3,213)5,1638(6,005,027,105)( =−××××=−= π
Pela 1ª. Lei
WTTcmq esp 2,217)1518(6,1005072,0)( =−××=−= &
As diferenças se justificam em função das aproximações usadas e no cálculo das propriedades. (2) Água passa em tubo de 2cm de diâmetro dotado de uma velocidade média de 1 m/s. A água entra no tubo a 20ºC e o deixa a 60ºC. A superfície interna do tubo é mantida a 90ºC. Determine o coeficiente médio de convecção de calor, sabendo que o tubo é longo. Calcule, também, o fluxo de calor transferido por unidade de área de tubo. Solução
As propriedades termofísicas da água serão calculadas à média das temperaturas de misturas da entrada e saída, isto é, a 40ºC. ρ = 992,3 kg/m3 k = 0,6286 W/m°C cp = 4,174 kJ/kg°C
µ = 6,531 x 10-4 kg/ms Pr = 4,34
O número de Reynolds do escoamento é
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141
44
10039,310531,6
3,99202,01Re ×=
×××
== −µρVD
D
O escoamento é turbulento e o número médio de Nusselt é obtido usando a equação de Dittus-Bolter, vem.
4,08,0 PrRe023,0D
DNu =
Assim, ( ) 5,15934,410039,3023,0 4,08,04 =×=DNu As propriedades termofísicas da água são dependentes da temperatura, e uma correção deveria ser realizada para o número de Nusselt obtido com a hipótese de propriedades constantes. O número de Prandtl da água a 90oC vale 1,97.
0,17497,1
34,45,159
Pr
Pr11,011,0
=
=
=
P
mcor NuNu
O coeficiente médio de transferência de calor é
Cm
W
D
kNuh
cor
°=
×==
21,5468
02,0
6286,00,174
( ) 2/4,27340901,5468)(" mkWTThq p =−=−=
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142
DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE TEMPERATURA – DMLT
No exemplo anterior de parede de tubo constante, a temperatura de mistura do fluido
varia de forma exponencial entre a entrada e saída. Assim, os cálculos realizados acima
foram aproximados apenas, pois usamos uma temperatura média representativa do
fluido que foi simplesmente a média aritmética entre a temp. de mistura de entrada e
saída. No entanto, prova-se (veja Incropera 8.3.3) que nestes casos deve-se usar a
diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, definida por:
( )es
es
TT
TTDMLT
∆∆∆−∆
=ln
onde, sps TTT −=∆ e epe TTT −=∆
T
x
Tp
Te
Assim, a lei de resfriamento de Newton adequadamente aplicada é DMLTAhq ××=
Refazendo o exercício, vem: ( )
CDMLT o2,477030ln
7030=
−= - compare com CT o50=
Assim, 2/1,2582,471,5468)(" mkWDMLThq =×==
Como última informação, perceba que se as diferenças de temperatura entre a entrada e
saída não forem muito grandes, a DMLT vai tender a diferença entre a temperatura de
parede e a média entre as temperaturas de mistura de entrada e saída. A DMTL será
estudada detalhadamente na próxima aula.
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143
Outro exemplo de Aplicação Um tubo de um aquecedor solar é exposto a uma radiação térmica uniforme e constante de 1000 W/m por meio de um concentrador. O diâmetro do tubo é de 60mm.
1) se a água entra no tubo a skgm /01,0=& e Tm,1 = 20°C. Qual o
comprimento do tubo necessário para a temperatura de saída alcançar Tm,2
= 80°C? 2) Qual a temperatura superficial do tubo na saída?
Solução
skgm /01,0=
CTm °= 201
CTm °= 802
1) 1º Lei TCmQ p∆= && , com DLqQ π"&& = e, portanto, TCmDLq p∆= && π"
De forma que: Dq
TCmL
p
π"&
& ∆= , ou m
x
xxL 31,13
06,0100
60418101,0==
π
2) )(" 2,2, mps TThq −=& ou 2,2,
"m
sp T
h
qT +=
&
Precisamos, agora, fazer uma estimativa de h Regime de escoamento – cálculo do número de Reynolds:
µπρνπν D
m
D
DmDumD
&& 44Re
2===
da tabela 2680 /10352 mNsC
−° ×=µ , então
23006031035206,0
01,04Re
6<=
××××
= −πD - Laminar !!
Como se trata de fluxo de calor constante na parede, tem-se 364,4==k
DhNuD
Assim, D
kh
364,4= mas CmWk C °=° /670,080
Logo, CmWx
h °== 2/73,4806,0
67,0364,4
Finalmente, CTp °=+= 5,1008073,48
10002,
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AULA 18 – TROCADORES DE CALOR – MÉTODO DA DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE
TEMPERATURA – DMLT
O principal objetivo no projeto térmico de trocadores de calor é a determinação da área
superficial necessária para transferir o calor numa determinada razão, conhecidas as
vazões e as temperaturas dos fluidos. Este trabalho é facilitado pelo uso do coeficiente
global de transmissão de calor, U.
TAUq ∆⋅⋅=
Onde T∆ é uma diferença média efetiva da temperatura para todo o trocador de calor
que será discutida adiante. Onde U pode ser definido em função da soma das
resistências térmicas. Para as configurações usuais mais encontradas, temos:
Paredes plana:
1
1/ / 1/i o
Uq L k q
=+ +
Parede cilíndrica:
1
/ [ ln( / ) / ] 1/o
o i i o o i o
Ur rq r r r k q
=+ +
, ( TAUq oo ∆⋅⋅= )
1
1/ [ ln( / ) / ] / /i
i i i o i o o
Uq r r r k r r q
=+ +
, TAUq ii ∆⋅⋅=
Onde os índices i e o representam as superfícies interna e externa, respectivamente.
A tabela a seguir fornece valores aproximados de U para alguns fluidos utilizados em
trocadores de calor. As faixas relativamente largas de U resultam da diversidade dos
materiais empregados e das condições do escoamento, bem como da configuração
geométrica.
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Fluido (U – W/m²K) Óleo para óleo 170-312 Orgânico para orgânico 57-340 Vapor para Soluções aquosas 567-3400 Óleo combustível, pesado 57-170 Óleo combustível, leve 170-340 Gases 28-284 Água 993-3.400 Água para Álcool 284-850 Salmoura 567-1.135 Ar comprimido 57-170 Álcool condensado 255-680 Amônia condensado 850-1.420 Freon 12 condensado 454-850 Óleo condensado 227-567 Gasolina 340-510 Óleo lubrificante 113-340
As figuras abaixo mostram alguns tipos de trocadores de calor.
Corrente paralela Contra-corrente
Corrente cruzada Corrente cruzada
Casco e tubo
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Trocador de placas
O TROCADOR DE CALOR DE CORRENTES PARALELAS
Antes de serem efetuados os cálculos da transferência de calor, é necessário definir o
termo T∆ . Seja, por exemplo, um trocador de calor de correntes paralelas, cujos perfis
de temperatura estão mostrados na seguinte figura.
Para a figura acima considerar que:
1. U é constante ao longo de todo o trocador.
2. O sistema é adiabático; ocorre troca de calor somente entre os dois fluidos.
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3. As temperaturas de ambos os fluidos são constantes numa dada seção transversal e
podem ser representadas pela temperatura de mistura.
4. Os calores específicos dos fluidos são constantes.
Com base nestas hipóteses, a troca de calor entre os fluidos quente (q) e frio (f) para
uma espessura infinitesimal dx é:
( )q fdq U T T dA= −
onde dA é a área elementar de troca de calor. O fluxo de energia recebida pelo fluido
frio é igual à fornecida pelo fluido quente, isto é,
qqqfff dTcmdTcmdq && −==
onde m& é o fluxo mássico e c é o calor específico. Da equação anterior resulta:
1 1( )q f
q q f f
d T T dqm c m c
− = − +
& &
Substituindo dq da equação de conservação, resulta:
( ) 1 1
( )q f
q f q q f f
d T TU dA
T T m c m c
−= − + − & &
Cuja integração é igual a
2
1
1 1ln
q q f f
TUA
T m c m c
∆= − + ∆ & &
onde, 1 qe feT T T∆ = − e 2 qs fsT T T∆ = − , como indicado no gráfico de distribuição de
temperaturas anterior. Por meio de um balanço de energia em cada fluido,
( ) ( )q q f f
qe qs fs fe
q qm c m c
T T T T= =
− −& &
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Substituindo-se estas expressões na equação anterior:
2
1
( ) ( )ln qe qs fs feT T T TT
UAT q
− + −∆= −
∆
Ou:
( )12
12
ln TT
TTUAq
∆∆∆−∆
=
Comparando-se este resultado com a primeira equação, nota-se que
( )DMLT
TT
TTT ≡
∆∆∆−∆
=∆12
12
ln
Esta diferença média efetiva de temperatura é chamada de diferença média logarítmica
de temperatura (DMLT).
O TROCADOR DE CALOR EM CONTRA-CORRENTE
As distribuições de temperaturas nos fluidos quente e frio associadas a um trocador de
calor com escoamento em contracorrente estão mostradas na figura acima.
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Note que a temperatura de saída de fluido frio (Tfs) pode ser maior que a temperatura de
saída de fluido quente (Tqs).
De forma similar que para o caso de correntes paralelas pode-se demonstrar o DMLT
para o caso contra-corrente a taxa de transferência por conservação de energia
infinitesimal e convectivo são respectivamente:
q q q f f fdq m c dT m c dT= − = −& & e ( )q fdq U T T dA= −
Subtraindo o segundo e terceiro termos da equação de conservação infinitesimal e
substituindo a segunda equação juntamente com a equação de conservação, tem-se
1 2 1 21 1( ) ( ) q q f f
q f q f
q q f f
T T T Td T T dq U T T dA
m c m c q q
− − − = − − = − − − & &
ou
1 1 2 2
( )( ) ( )
( )q f
q f q f
q f
d T T UT T T T dA
T T q
− = − − − − −
Substituindo a equação anterior em termos das seções 1 e 2 do gráfico acima:
( )1 2
( )
( )q f
q f
d T UT T dA
T q
−
−
∆= − ∆ −∆
∆
Integrando a equação acima, obtém-se:
ATTq
U
T
T)(ln 21
1
2 ∆−∆−=
∆
∆
ou
DMLTAUq ⋅⋅= onde ( )12
12
ln TT
TTDMLT
∆∆∆−∆
=
Onde 1 qe fsT T T∆ = − e 2 qs feT T T∆ = −
Para as mesmas temperaturas de entrada e saída, a DMLT em contra-corrente é maior
que para corrente paralela, dessa forma, admitindo o mesmo U, a área necessária para
uma determinada taxa de transferência de calor é menor para um trocador em
contracorrente.
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Exemplo resolvido (do Incropera):
Um trocador de calor bitubular (tubos concêntricos) com configuração em
contracorrente é utilizado para resfriar o óleo lubrificante do motor de uma grande
turbina a gás industrial. A vazão da água de resfriamento do tubo interno (Di = 25 mm) é
de 0,2 kg/s, enquanto a vazão do óleo através da região anular (De = 45 mm) é de
0,1 kg/s. O óleo e a água entram a temperaturas de 100 °C e 30 °C, respectivamente. O
coeficiente de transferência de calor por convecção na região anular (do óleo) é de
38,4 W/m²K. Qual deve ser o comprimento do trocador se a temperatura de saída do
óleo deve ser de 60°C?
Solução
Considerações:
• Perda de calor para a vizinhança desprezível.
• Mudanças nas energias cinética e potencial desprezíveis.
• Propriedades constantes.
• Resistência térmica na parede do tubo e efeitos da deposição desprezíveis.
• Condições de escoamento completamente desenvolvidas na água e no óleo (U
independente de x).
Propriedades do óleo de motor novo ( qT = 80 °C)
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 151
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cp = 2.131 J/kg-K; µ = 0,0325 N.s/m²; k = 0,138 W/m K.
Propriedades da água ( ≈cT 35 °C) , primeira aproximação!
cp = 4.178 J/kg K; µ = 0,000725 N.s/m²; k = 0,625 W/m K; Pr = 4,85.
, ( )q p q qe qsq m c T T= −&
0,1 2131 (100 60) 8.524q W= × × − =
A temperatura de saída da água é:
,fs fe
f p f
qT T
m c= +
&
852430 40,2
0, 2 4178fsT = + =×
°C
Por tanto a primeira aproximação de fT = 35 °C foi uma boa escolha.
A DMLT é igual a:
( )( )
C
TT
TT
TTTTDMLT
feqs
fsqe
feqsfsqe °=
−
=
−
−
−−−= 2,43
30
98,5ln
308,59
ln
)()(
O coeficiente de transferência global é dado por:
1/U= 1/hi + 1/he
Para o escoamento da água através do tubo,
4 4 0,2Re 14.050
0,025 0,000725c
D
e
m
Dπ µ π×
= = =× ×
& (Turbulento)
9085,414050023,0PrRe023,0 4,05/44,05/4 =⋅⋅== DDNu
Assim:
KmWD
kNuh
i
Di ²/250.2025,0
625,090 ===
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Por tanto o coeficiente global de transferência de calor é:
KmWU ²/8,374,38/1250.2/1
1=
+=
A área necessária para a troca de calor é de:
DMLTU
qA
⋅=
E o comprimento será de:
mDMLTUD
qL
i
5,662,438,37025,0
524.8=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
ππ
O MÉTODO F
Para trocadores de calor mais complexos, como os multitubulares, diversos passes na
carcaça ou correntes cruzadas, a determinação da diferença média efetiva de
temperatura é tão difícil que o procedimento usual é modificar a equação acima através
de um fator de correção F, resultando em:
DMLTFAUq ⋅⋅⋅=
Onde DMLT é aquela para um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente com
as mesmas temperaturas de entrada e saída da configuração mais complicada. As figuras
a seguir fornecem os fatores de correção para diversas configurações. Nestas figuras, a
notação (T, t) representa as temperaturas das duas correntes de fluido, pois não importa
se o fluido quente escoa nos tubos ou na carcaça.
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AULA 19 – TROCADORES DE CALOR – MÉTODO DA EFETIVIDADE - NUT
Se mais de uma das temperaturas de entrada ou saída do trocador de calor for
desconhecida, o método DMLT é muito trabalhoso, necessitando de um método
iterativo de tentativa e erro. Um outro método introduz uma definição da efetividade de
um trocador de calor:
máx
real
q
q
possívelcalordetrocamáxima
realcalordetroca=≡ε
Onde a máxima troca de calor possível é aquela que resultaria se um dos fluidos
sofresse uma variação de temperatura igual à máxima diferença de temperatura possível
(a temperatura de entrada do fluido quente menos a temperatura de entrada do fluido
frio). Este método emprega a efetividade ε para eliminar a temperatura de descarga
desconhecida e fornece a solução para a efetividade em termos de outros parâmetros
conhecidos (m& , c, A e U).
Fazendo cmC &= ,
( ) ( )real q qe qs f fs feq C T T C T T= − = −
Que indica que a energia térmica perdida pelo fluido quente é a energia térmica recebida
pelo fluido frio. A máxima troca de calor ocorre quando o fluido de menor C sofre a
maior variação de temperatura possível, isto é,
min ( )máx qe feq C T T= −
Esta troca de calor seria conseguida num trocador de calor de contracorrente de área
infinita, Combinando as equações acima obtém-se:
min ( )real qe feq C T Tε= −
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Trocador de Calor de Correntes Paralelas
Considerar o trocador de calor simples de correntes paralelas como a figura abaixo com
as seguintes hipóteses:
1. U é constante ao longo de todo o trocador.
2. O sistema é adiabático; ocorre troca de calor somente entre os dois fluidos.
3. As temperaturas de ambos os fluidos são constantes numa dada seção transversal e
podem ser representadas pela temperatura de mistura.
4. Os calores específicos dos fluidos são constantes.
Notar que são as mesmas hipóteses adoptadas para o cálculo de DMLT.
Combinando as equações acima, são obtidas duas expressões para a efetividade:
min min
( ) ( )
( ) ( )
q qe qs f fs fe
qe fe qe fe
C T T C T T
C T T C T Tε
− −= =
− −
Como o valor mínimo de C pode ocorrer tanto para o fluido quente quanto para o fluido
frio, existem dois valores possíveis para a efetividade:
:qe qs
q f q
qe fe
T TC C
T Tε
−< =
−
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:fs fe
q f f
qe fe
T TC C
T Tε
−> =
−
Onde os índices em ε indicam o fluido que tem o valor mínimo de C. Para um TC
muito grande ( ∞→A )
Retomando a equação da DMLT, esta pode ser escrita em função de C da seguinte
maneira:
2
1
1 1ln
q q f f
TUA
T m c m c
∆= − + ∆ & &
, (eq. da DMLT)
1 1ln
qs fs
qe fe q f
T TUA
T T C C
−= − + −
Ou
1q
q f
CUA
C Cqs fs
qe fe
T Te
T T
− +
−=
−
Se considerado que o fluido quente tem o valor mínimo de C, a partir da equação da
efetividade:
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feqe
fefs
feqe
fsqs
feqe
feqe
feqe
qsfsfsfefeqe
esqe
qsqe
qTT
TT
TT
TT
TT
TT
TT
TTTTTT
TT
TT
−
−−
−
−−
−
−=
−
−−++−=
−
−=ε
real
f
real
feqe
fsqs
feqe
fefs
feqe
fsqs
q
C
q
C
q
TT
TT
TT
TT
TT
TT
ε
ε −−
−−=
−
−−
−
−−= 11
Rearranjando,
feqe
fsqs
f
q
qTT
TT
C
C
−
−−=
+ 11ε
ou
1
1
1 /
q
q f
CUA
C C
q
q f
e
C Cε
− +
−=
+
Se o fluido frio tem o valor mínimo de C:
qf
C
C
C
UA
cCC
e q
f
f
/1
11
+−
=
+−
ε
Ou generalizando:
máx
C
C
C
UA
CC
e máx
/1
1
min
1 min
min
+−
=
+−
ε
Denomina-se Número de Unidades de Transferência (NUT), ao agrupamento:
minC
AUNUT
⋅=
Então temos para um T.C de corrente paralela:
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máx
C
CNUT
CC
e máx
/1
1
min
1 min
+
−=
+−
ε
Notar que, para um evaporador ou condensador, C = Cmin/Cmáx=0, porque um dos
fluidos permanece numa temperatura constante, tornando seu calor específico efetivo
infinito.
Outras Configurações
Expressões para a efetividade de outras configurações estão na seguinte tabela, onde
C = Cmin/Cmáx.
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Exemplo
Uma fluxo de água de 0,75 kg/s entra num TC de tubo duplo, em contra-corrente, numa
temperatura de 38 °C. A água é aquecida por um fluxo de óleo de 1,51 kg/s (cp=1,88
kJ/kgK) que entra no TC a 116 °C. Para uma área de 13 m² e U=340 W/m²K determinar
o calor total transferido.
Solução:
Cágua = 0,75 . 4184 = 3138 J/sK
Cóleo = 1,51 . 1880 = 2838,8 J/sK
Cmin = Cóleo
logo,
NUT = UA/Cmin = 340 (13)/2838,8 = 1,56
C = Cmin/Cmax = 2838,8/3138 = 0,905
Da expressão ou do gráfico do TC em tubo duplo, em contra-corrente:
(1 ) 1,56(0,89 1)
(1 ) 1,56(0,89 1)
1 10,63
1 1 0,89
NUT C
NUT C
e e
C e eε
− − −
− − −
− −= = =
− × − ×
kWqqreal 5,139)38116(8,283863,0max =−⋅== ε
As temperaturas de saída das correntes quente e fria são obtidas da equação de
conservação de energia:
CC
qTT
óleo
realqeqs °=−=−= 8,66
8,2838
139500116
CC
qTT
água
realfefs °=+=+= 4,82
3138
13950038
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Correntes paralelas
Considere o mesmo TC mas as correntes são paralelas.
( )
( )fq
CCNUT
qCC
e fq
/1
1/1
+−
=+−
ε =0,50
kWqreal 3,110=
CC
qTT
óleo
realqeqs °=−= 1,77
CT fs °= 3,73
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163
AULA 20 – CONVECÇÃO NATURAL OU LIVRE
Nos dois casos anteriormente estudados, convecção interna e externa, havia o
movimento forçado do fluido em relação à superfície de troca de calor. Esse movimento
forçado poderia ser causado por um agente externo como uma bomba, um ventilador, ou
outra máquina de fluxo. A gravidade desempenhava pouco ou nenhum efeito sobre a
transferência de calor nesses casos. No entanto, quando o fluido se encontra em repouso
e em contato com uma superfície aquecida é fato conhecido que haverá transferência de
calor da superfície para o fluido. O raciocínio recíproco também é verdadeiro no
resfriamento da superfície. Nesse caso o número de Reynolds é nulo e a maioria das
correlações desenvolvidas não se aplicariam. Assim, o movimento do fluido vai ocorrer
como resultado de outro fenômeno, originário da diferença de densidade resultante de
gradientes de temperatura. Para se entender melhor esse aspecto, considere uma
superfície vertical em contato com um fluido em repouso. As camadas em contato com
a superfície aquecida também vão se aquecer e, como conseqüência, haverá uma
diferença de empuxo gravitacional entre as porções aquecidas e as adjacentes menos
aquecidas. Assim, as porções aquecidas sobem, enquanto que as menos aquecidas
tomam seu lugar dando origem às correntes de convecção. Camadas limites térmicas e
hidrodinâmicas também são estabelecidas, como ilustrado abaixo. No caso da C L H, as
condições de contorno do problema exigem que a velocidade seja nula junto à superfície
e na camada limite, como ilustrado.
Equações diferenciais
Quantidade de movimento
2
2
y
ug
x
p
y
uv
x
uu
∂∂
+−∂∂
−=
∂∂
+∂∂
µρρ
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164
Mas, gx
p∞−=
∂∂
ρ , de forma que substituindo na equação da QM, vem
2
2
)(y
ug
y
uv
x
uu
∂
∂+−=
∂∂
+∂∂
∞ µρρρ
Mas o coeficiente de expansão voluntária, β , pode ser escrito como:
−−
≅
∂∂
−=∞
∞
TTT p
ρρρ
ρρ
β11
, ou )( ∞∞ −≅− TTβρρρ (aproximação de
Boussinesq), logo,
2
2
)(y
uTTg
y
uv
x
uu
∂∂
+−=∂∂
+∂∂
∞ υβ
Note que para gás perfeito, ][K 11 1-
TRT
P
TP
RT
T pp
GP =
∂∂
−=
∂∂
−=ρ
ρβ
A equação da Energia: 2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
∂∂
=
∂∂
+∂∂
α
Contrariamente à solução das camadas limites hidrodinâmicas e térmicas laminares da
convecção forçada, as equações da conservação da quantidade de movimento e da
energia não podem ser resolvidas separadamente, pois o termo de empuxo
( )∞−TTgβ acopla estas duas equações. Não se pretende avançar na discussão da
solução dessas camadas limites e sugere-se a leitura da Seção 9,4 do livro do Incropera,
como ponto de partida para aquele aluno mais interessado. A partir desse ponto, lança-
se mão de correlações empíricas, obtidas em experimentos de laboratório.
O primeiro passo para a análise empírica é a definição de um novo grupo adimensional
chamado número de Grashof, Gr, por
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165
2
3)(
νβ
xTTgGr s
x∞−
=
Este adimensional representa a relação entre as forças de empuxo e as forças viscosas na
convecção natural. Ele desempenha papel semelhante ao do número de Reynolds na
convecção forçada. Assim, a solução das equações da quantidade de movimento e
energia podem ser escritas da forma
Pr),(GrfNu =
A solução aproximada para a placa vertical isotérmica em convecção natural laminar,
resulta em:
4/14/12/1 Pr)952,0(Pr508,0 xx GrNu −+=
e o valor médio de Nusselt
Lxx
L
xL NuGrdxNuL
uN =− =+== ∫ 3
4Pr)952,0(Pr677,0
1 4/14/12/1
0
Assim, como ocorre com a convecção forçada, também existe a transição de camadas
limites de laminar para turbulenta na placa vertical, o valor normalmente aceito é
910Pr ≅critGr
Relações Empíricas
Diversas condições de transferência de calor por convecção natural podem ser
relacionada da seguinte forma.
,Pr)( mm CRaGrCuN =×=
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166
sendo as propriedades calculadas a temperatura de película, Tf, que é a média entre a
temperatura da superfície e do fluido. O produto Gr.Pr é chamada de número de
Rayleigh ( )
αβ
v
LTTgGrRa s
3
Pr. ∞−==
a) Superfícies Isotérmicas - Convecção natural em cilindros e placas
Geometria Ra C m obs
4/1
35
LGrL
D> Cilindros e placas verticais 104 – 109 0,59 ¼ Laminar
109 – 1013 0,10 1/3 Turbulento
Cilindros horizontais 104 – 109 0,53 ¼ Laminar
109 – 1012 0,13 1/3 Turbulento
b) Fluxo de calor constante
Grashof modificado: Gr* 2
4* .
νβk
xqgNuGrGr B
xx ==
Laminar, placa vertical: ( ) 5/1* Pr.60,0 xx GrNu = 11*5 1010 << xGr
Turbulento, placa vertical: ( ) 4/1* Pr.17,0 xx GrNu = 16*13 10Pr10.2 << xGr
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167
Sumário de correlações (Incropera)
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168
____________________________________________________________________
Exemplo sugerido
Com base em muitos dados experimentais indicados no gráfico abaixo (extraído de
Kreith & Bohn), estabeleça sua própria correlação experimental de )(RafNuD = para
cilindros horizontais.
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169
Espaços Confinados
Um caso comum de convecção natural é o de duas paredes
verticais isotérmicas, conforme ilustrado ao lado, separadas
por uma distância δ. A figura seguinte mostra os perfis de
velocidade e temperatura que podem ocorrer, de acordo com
MacGregor e Emery. Na figura, o número de Grashof é baseado
na distância δ entre as placas:
2
321 )(
νδ
βδTT
gGr−
=
Os regimes de escoamento estão indicados no gráfico acima. As correntes de convecção
dimimuen com o número de Grashof e, para números de Grashof muito baixos, o calor é
transferido sobretudo por condução de calor. Outros regimes de convecção também
existem, dependendo do número de Grashof, como ilustrado. O número de Nusselt é
L
δ
T1 T2
21 TT >
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170
expresso em função da distância das placas, isto é: k
hNu
δδ = . Conforme indicado por
Kreith, algumas correlações empíricas podem ser empregadas:
Grδ - número de Grashof baseado na distância δ entre as placas.
No caso de espaço confinado horizontal há duas situações a serem consideradas. Não
haverá convecção se a temperatura da placa superior for maior que a da placa inferior e
a transferência de calor se dará por condução. Já no caso recíproco, isto é, temperatura
da placa inferior maior que a da placa superior, haverá convecção. Para número de
Grashof baseado na distância δ entre as placas, Grδ, inferior a 1700 haverá a formação
de células hexagonais de convecção conhecidas como células de Bernard, como
ilustrado. O padrão das células é destruído pela turbulência para Grδ ∼ 50000.
Segundo Holman há uma certa discordância entre autores, mas a convecção em espaços
confinados podem ser expressas através de uma expressão geral do tipo:
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171
( )m
n LGrC
k
hNu
==δ
δδδ Pr
C, m e n são dadas na tabela a seguir. L é a dimensão característica da placa. Holman
adverte que deve-se usar essa expressão na ausência de uma expressão mais específica.
CONVECÇÃO MISTA
Até o presente os casos de convecção natural e forçada foram tratados separadamente.
Claro que a natureza não está preocupada com nossas classificações. De forma que
existem determinadas situações em que os dois efeitos são significativos que é chamada
de convecção mista. Considera-se que a convecção mista ocorra quando 1Re/ 2 ≈LLGr .
As duas formas de convecção podem ser agrupadas em três categorias gerais: (a)
escoamento paralelo se dá quando os movimentos induzidos pelas duas formas de
convecção estão na mesma direção (exemplo de uma placa aquecida com movimento
forçado ascendente de ar); : (b) escoamento oposto se dá quando os movimentos
induzidos pelas duas formas de convecção estão em direções opostas (exemplo de uma
placa aquecida com movimento forçado descendente de ar); : (c) escoamento
transversal é exemplificado pelo movimento forçado cruzado sobre um cilindro
aquecido, por exemplo. É padrão considerar que o número de Nusselt misto seja
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172
resultante da combinação dos números de Nusselt da convecção forçada, NuF, e natural,
NuN, segundo a seguinte expressão:
n
N
n
F
n NuNuNu ±=
onde o expoente n é adotado como 3, embora 3,5 e 4 também sejam adotados para
escoamentos transversais sobre placas horizontais e cilindros (e esferas),
respectivamente. O sinal de (+) se aplica para escoamentos paralelos e transversais,
enquanto que o sinal de (-), para escoamentos opostos.
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173
Exemplo
Em um determinado experimento de laboratório, uma pequena esfera de cobre de 1 cm
de diâmetro é mantida aquecida atingindo uma temperatura de superfície constante de
TS = 69 oC e é circundada por água a T∞ = 25 oC. Determine o fluxo de calor total em
watts transferido da pequena esfera para a água sob duas situações:
(a) a água está em repouso;
(b) a água se movimenta com uma velocidade U∞ = 0,04 m/s;
(c) a partir de que velocidade da água a convecção natural poderia ser desprezada?
Obs.: para o item (b) considere a transferência de calor combinada de convecção natural (livre) e
forçada. Para isso, verifique se a condição em que os dois efeitos são significativos dado por GrD ≈ReD2 e
use a expressão Nu3 = NuF3 + NuN
3, onde, NuN é o número de Nusselt calculado como se houvesse apenas
convecção natural e NuF se houvesse apenas convecção forçada. Todos os números de Nusselt são
baseados no diâmetro da esfera.
Solução
(a) Propriedades da água a CTT
T sf °=
+=
+= ∞ 47
2
2569
2
mKWksmxK /627,0/1082,5/0004366,0 27 === −νβ
smxKkgJcp /10515,1)7,0(84,3Pr/4182 27−=>== α
( ) 11677
33
101014,21051,11082,5
01,0)2569(0004366,081,9<=
⋅−⋅⋅
=−
= −−∞ x
xxv
DTTgRa s
αβ
22
84,3
469,01
)1014,2(589,02
Pr
469,01
589,02
9/416/9
4/16
9/416/9
4/1
=
+
⋅+=
+
+=xRa
NuN
KmWD
kNuh NN
2/137901,0
627,022 ===
222
0000785,04
01,0
4m
DAs =
⋅==
ππ
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174
( ) ( ) WTTAhq ssNN 76,425690000785,01379 =−⋅⋅=−= ∞
(b)
( )556398
)1082,5(
01,0)2569(0004366,081,927
3
2
3
=−⋅⋅
=−
= −∞
xv
DTTgGr s
D
β
6871082,5
01,004,0Re
7=
⋅== −
∞
xv
DUD
121,1687
556398
Re 22≈==
D
DGr
mskgxmskgx s /10400/10557 66 −− == µµ
( ) ( )25,0
4,05,05,0
25,0
4,03/25,0
400
55784,368706,06874,02PrRe06,0Re4,02
⋅+⋅+=
++=
s
DDFNuµµ
28,30=FNu
74,33333
=⇒+= NuNuNuNu NF
KmWD
kNuh 2/2115
01,0
627,074,33 ===
( ) ( ) WTThAq ss 308,725690000785,02115 =−⋅⋅=−= ∞
(c)
1Re2
<<D
DGr � 001,0
Re2=
D
DGr(critério)
001,0Re 1 D
D
GrDU== ∞
ν
smxGr
DU D /434,0
01,0
556398
01,0
1082,5
01,0
7
1 ===−
∞
ν (ou maior)
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175
AULA 21 – INTRODUÇÃO À RADIAÇÃO TÉRMICA
A radiação térmica é a terceira e última forma de transferência de calor existente. Das
três formas, é a mais interessante e intrigante, pois é por causa da radiação térmica que o
planeta Terra é aquecido pelo Sol e, como conseqüência, vida existe em nosso planeta.
Mais intrigante ainda, é que todos os corpos emitem radiação térmica, pois a ocorrência
da mesma depende tão somente da temperatura absoluta do corpo, mais precisamente de
sua temperatura absoluta elevada à quarta potência. Assim, tudo que está em volta de
nós nesse exato momento está emitindo radiação térmica. Finalmente, diferentemente
dos outros dois modos de transferência de calor, a radiação térmica não precisa de um
meio material para ocorrer. Assim, é como o calor chega do Sol ao planeta Terra
atravessando o vácuo.
Não se conhece completamente o mecanismo físico do transporte de energia pela
radiação térmica (e por radiação, de uma forma mais ampla). Em determinadas
experiências de laboratório, a energia radiante é considerada como transportada por
ondas eletromagnéticas e, em outros experimentos, como sendo transportada por fótons.
É a chamada dualidade onda-partícula. No entanto, sabe-se que ela viaja a velocidade
constante da luz independente do modelo físico considerado. A energia associada a cada
fóton é hν, onde h é a constante de Planck, que vale h = 6,625.10-34 Js. E a freqüência,
ν, está relacionado com o comprimento de onda, λ, por:
c = λ ν,
onde c é a velocidade da luz que vale c = 3×108 m/s. Uma unidade corrente do
comprimento de onda é o Angstron que vale mA 10o
10 1 −= . Um submúltiplo de λ é o
micrômetro, ou µm que vale 1 µm = 10-6 m.
Classificam-se os fenômenos de radiação pelo seu comprimento de onda (ou
freqüência). Claro que a radiação e seu comprimento de onda característico, ou
comprimentos de onda, dependem de como a radiação foi produzida. Como nos informa
Kreith, por exemplo, elétrons de alta freqüência quando bombardeiam uma superfície
metálica produzem raios X, enquanto que certos cristais podem ser excitados para
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
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176
produzirem ondas de rádio em grandes comprimentos de onda. Entretanto, a radiação
térmica é aquela que é produzida por um corpo em virtude tão somente da sua
temperatura absoluta. O esquema a seguir ilustra os diversos tipos de radiação.
(a) espectro de radiação eletromagnética e as diversas denominações de
acordo com sua faixa; (b) detalhe da radiação térmica na faixa de
comprimento de ondas mais relevante, com detalhe para a região visível.
(Kreith e Bohn, 2003).
Radiação gama – é uma forma de radiação de alta freqüência (baixos comprimentos
de onda) que é emitida por materiais radioativos e pelo Sol. Encontra aplicações na
medicina (tratamento de radioterapia) e na conservação de alimentos.
Raios X – sua origem se dá no movimento dos elétrons e seus arranjos eletrônicos.
Essa forma de radiação é empregada para obtenção de radiografia e análise de estrutura
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177
cristalina dos materiais. Gases da alta atmosfera absorvem os raios produzidos pelo Sol.
Radiação ultravioleta – faixa de radiação compreendida entre 0,01 e 0,4 µm e que é
produzida pelas reações nucleares do sol. A camada de ozônio da atmosfera terrestre
absorve esse tipo de radiação nociva aos seres vivos (câncer de pele).
Radiação visível (luz): é a faixa da radiação que somos capazes de “enxergar” e está
compreendida entre os comprimentos de onda 0,4 e 0,70 µm.
A luz “branca” do sol é a combinação de várias “cores” (ilustração do Wikipedia).
Radiação infravermelha - faixa de radiação compreendida entre 0,7 e 1000 µm.
Também pode ser chamada de radiação térmica. Entretanto, como será visto, a radiação
térmica é contínua para todos os comprimentos e de e não se situa em uma faixa
específica apenas.
Microondas – faixa de radiação de se estende para além dos 1000 µm.
Ondas de rádio – faixa de freqüência usada para radio e telecomunicações de
comprimento de onda superiores a 1 m.
Corpo Negro
Já foi informado que a radiação térmica é a radiação emitida por um corpo em virtude
tão somente da sua temperatura. A pergunta natural seguinte é: dois corpos à mesma
temperatura (digamos 300 K) emitem a mesma quantidade de radiação? A resposta é:
não! Então, a outra pergunta que deveria vir a seguir é: Existe, então, algum corpo que
naquela temperatura (suponhamos ainda os 300 K) emita a maior quantidade possível
de radiação térmica? A resposta é: sim! Esse corpo idealizado é chamado de corpo
negro. O adjetivo negro não tem nada a ver com a cor que percebemos do corpo (ou a
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178
ausência de cor). O brilhante sol, por exemplo, é um corpo com características próximas
de um corpo negro. Assim, um corpo negro, ou irradiador ideal, é um corpo que emite
e também absorve, a uma dada temperatura, a máxima quantidade possível de radiação
térmica em qualquer comprimento de onda. Assim, o corpo negro se torna uma
idealização para efeito de cálculos, pois que, dada uma temperatura, sabe-se que ele vai
emitir (e também absorver) a maior quantidade de radiação térmica. De forma que os
corpos reais podem ser comparados com o corpo negro para saber o quanto eles emitem
(e absorvem) radiação térmica. Isso pelo fato de que é possível calcular a radiação
térmica emitida pelo corpo negro, como se verá a seguir.
É possível calcular o quanto um corpo negro emite de radiação térmica para uma dada
temperatura e comprimento de onda por unidade de área de superfície do corpo. Essa
quantidade é definida como poder emissivo espectral ou monocromático, Enλ, onde o
índice “n” se refere ao corpo negro e, “λ”, ao fato de ser espectral (para um
comprimento de onda do espectro). As unidades de Enλ são W/m2µm. Planck mostrou
que o poder emissivo espectral do corpo negro se distribui seguindo a seguinte
expressão:
,)1( /5
1
2 −=
TCne
CE λλ λ
onde: C1 = 3,7415×108 W(µm)4/m2 = 3,7415×10-16 W.m2
C2 = 1,4388×104 µm.K = 1,4388×10-2 m.K
A expressão da lei de Planck permite extrair algumas informações bastante relevantes
sobre a radiação térmica, destacando-se:
(1) – A radiação térmica de corpo negro (poder emissivo espectral, Enλ) é
contínua no comprimento de onda. Isto é, trata-se de uma grandeza que se
distribui desde λ = 0 até o maior comprimento de onda possível (∞);
(2) – A um dado comprimento de onda, λ, Enλ aumenta com a temperatura;
(3) – A região espectral na qual a radiação se concentra depende da
temperatura, sendo que comparativamente a radiação se concentra em
menores comprimentos de onda;
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179
(4) – Uma fração significativa da radiação emitida pelo sol, do qual pode ser
aproximado por um corpo negro a 5800 K, se encontra na região visível
(0,35 a 0,75 µm).
As observações acima podem ser melhor compreendidas observando a expressão de
Planck no gráfico di-log a seguir que tem o poder emissivo espectral no eixo das
coordenadas e o comprimento de onda no eixo das abscissas. Os pontos de máximo
poder emissivo espectral estão unidos por uma linha pontilhada, chamada de lei de
deslocamento de Wien, dada por:
⇒=
−∂∂
=
∂∂
0)1( /5
1
2
T
TC
T
n
e
CEλ
λ
λλλ
KmT .10898,2 3max
−×=λ lei de deslocamento de Wien
Uma vez que se conhece a distribuição espectral da radiação de corpo negro (poder
emissivo espectral), é possível calcular o poder emissivo total de corpo negro, En, isto é,
a radiação térmica total emitida em todos os comprimentos de onda para uma dada
temperatura. Para isso, basta integrar o poder emissivo espectral. Assim:
pode
r em
issi
vo e
spec
tral
, E
nλ W
/m2 µ
m
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180
⇒−
== ∫∫∞∞
λλ
λ λλ de
CdEE
TCnn
0/51
0 )1( 2
4TEn σ=
Esta é a chamada lei de Stefan-Boltzmann da radiação e σ = 5,669×10-8 W/m2K4 é a
constante de Stefan-Boltzamann.
Supondo que o Sol seja um corpo negro a 5800 K, qual é o seu poder emissivo total? De
acordo com a lei de S-B, o seu poder emissivo é:
./64/104,6580010669,55800 227484 mMWmWEsol =×=××=×= −σ Então, o Sol
lança no espaço a inimaginável quantia de 64 MW por metro quadrado da sua
superfície! Isto significa que em cerca de 15 m2 de superfície solar há uma emissão
energética equivalente a uma usina termelétrica de 1 GW. A pergunta seguinte é: quanto
de radiação térmica solar atinge o planeta Terra? Nesse caso, a emissão total do sol é
solsolsol AEQ ×= . Esta quantia é irradiada para todo o espaço e deverá atingir a
superfície que contém a órbita da Terra, Aterra. Nota: não se trata da área da superfície da
Terra, mas da superfície esférica (aproximada) que engloba a órbita do movimento da
Terra. Assim,
onde ,.
2
×=⇒××==
terra
solsolterraterraterrasolsolsol
R
REqAqAEconstQ
Rsol é o raio do sol (7×105 km); Rsol é o raio da esfera aproximada que contém a órbita
da Terra (150×106 km) e qterra é o fluxo de calor que chega por unidade de área na esfera
que contém a órbita da terra. Assim,
./ 1400150
7,0000.000.64 2
22
mWR
REq
terra
solsolterra ≈
×=
×=
Então, chega-se cerca de 1400 W/m2 de fluxo de calor solar irradiante na região do
espaço onde se encontra a Terra. Claro que a parte que chega na superfície da Terra é
menor que essa quantia, pois depende da latitude da região e da época do ano, além
desse valor também ser atenuado devido às absorções de radiação da atmosfera.
A fração de radiação térmica emitida por um corpo negro no intervalo de comprimento
de onda [0-λ1], isto é,F[0-λ1], vale
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181
40
/51
0
]0[
)()1( 2
,1
1 T
de
c
E
EF
TC
n
n
⋅
−==∫
−
− σ
λλ
λ
λλ
λ
Os valores de F[0-λ1], são mostrados na tabela seguinte. Se for preciso calcular a fração
de radiação emitida no intervalo λ1 - λ2, ou seja, dentro de uma janela espectral, então:
-
F[λ1-λ2] = F[0-λ2] - F[0-λ1]
.103×Kµ
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182
Exemplo:
A radiação solar tem aproximadamente a mesma distribuição espectral que um corpo
negro irradiante ideal a uma temperatura de 5800 K. Determine a quantidade de
radiação solar que está na região visível (use 0,4 a 0,7 µm)
Usando a tabela acima, vem
4919,0406058007,07,00
1245,0232058004,04,00
]7,00[2
]4,00[1
=⇒=×=→≤≤
=⇒=×=→≤≤
−
−
FT
FT
λλ
λλ
A fração de radiação no faixa visível é F[0,4-0,7] = 0,4919 – 0,1245 = 0,3674
En = 0,3674×64,16×10-6 = 23,57×106 W/m2
36,74 % da radiação térmica solar é emitida na faixa do visível!
Outro exemplo (extraído de Kreith e Bohn, 2003):
Vidro de sílica transmite 92% da radiação solar incidente na faixa de comprimentos de
onda compreendida entre 0,35 e 2,7 µm (portanto, engloba todo o espectro visível) e é
opaco para comprimentos de onda fora dessa faixa. Calcule a porcentagem de radiação
solar que o vidro vai transmitir.
Pra a faixa de comprimentos de onda indicada, tem-se
( )
( )97,01566058007,270,20
067,02320580035,035,00
]7,20[2
]35,00[1
=⇒=×=→≤≤
=⇒=×=→≤≤
−
−
FmKT
FmKT
tabela
tabela
µλλ
µλλ
Assim, F[0,35-2,7] = 0,97 – 0,067 = 0,903. Isto significa que 90,3% da radiação solar
incidente atinge o vidro e 0,903×0,92=0,83, ou 83% dessa radiação incidente será
transmitida pelo vidro.
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AULA 22 – PROPRIEDADES DA RADIAÇÃO TÉRMICA
Propriedades da Radiação
Quando energia radiante incide a superfície de um material, parte da radiação térmica
vai ser refletida, parte absorvida e parte será transmitida, conforme diagrama ilustrativo
abaixo.
Sendo,
ρ – refletividade ou fração de energia radiante que é refletida da superfície;
α – absortividade ou fração de energia radiante que é absorvida pela superfície;
τ – transmissividade ou fração de energia radiante que é transmitida através da superfície;
De forma que: ρ + α + τ = 1
Essas propriedades também podem ser espectrais, ou seja:
1=++ λλλ τρα
Ex: na aula passada
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Muitos corpos sólidos não transmitem radiação térmica, ou seja τ = 0. Para estes casos
de corpos opacos à radiação térmica, tem-se:
ρ + α = 1
A radiação térmica emitida por uma superfície varia em função da natureza da
superfície e da direção. Entretanto, é uma boa hipótese assumir que a radiação térmica é
difusa, ou seja, a emissão da radiação se dá uniformemente em todas as direções.
Irradiação
A taxa de radiação que atinge uma dada superfície, G. Ela pode ser monocromática Gλ,
ou total, G. De forma que:
∫∞
=0
λλdGG
Lei de Kirchoff – Relação entre Emissividade e Absortividade
Considere um grande recipiente isotérmico com temperatura superficial Tsup, que se
comporta como uma cavidade negra com poder emissivo En (que é função da
temperatura Tsup). Agora, coloca-se um corpo no seu interior que está em equilíbrio
térmico com a cavidade. Esse corpo recebe uma irradiação G = En
No equilíbrio, tem-se que a radiação térmica total emitida pelo corpo, isto é, o produto
do seu poder emissivo total pela sua área, EA, deve ser igual à irradiação, G, absorvida
pelo corpo, isto é:
EA = αGA
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ou
EA = αEnA
Agora dividindo uma expressão pela outra, obtém-se:
E/En = α
O que significa dizer que a relação entre o poder emissivo do corpo, E, e o poder de um
corpo negro idêntico, En, é igual à absortividade do corpo, α. Mas, por outro lado esta é
a própria definição da emissividade do corpo, ε:
ε = E/En
então α = ε
A igualdade acima é a chamada lei de Kirchoff.
As emissividades e absortividades são propriedades medidas dos materiais. Na
realidade, a emissividade de um corpo varia com a temperatura e o comprimento de
onda. Pode-se definir a emissividade monocromática como sendo a razão entre os
poderes emissivos monocromáticos do corpo e do corpo negro, à mesma temperatura.
ελ = Eλ/Enλ
De forma que pode-se definir a emissividade total, da seguinte forma:
4
0
0
0
..
T
dE
dE
dE
E
En
n
n
n σ
λε
λ
λεε
λλ
λ
λλ ∫
∫
∫∞
∞
∞
===
A emissividade é uma propriedade do material e do seu acabamento superficial, além da
temperatura. Como exemplo, veja a emissividade do alumínio. A emissividade de
superfícies de alumínio altamente polido varia de 0,04 a 300K a 0,06 a 600K. No
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entanto, é mais sentida a variação da emissividade para o caso do acabamento
superficial. A título de exemplo, a 300K, a emissividade vale 0,03 para alumínio
altamente polido, vale 0,05 para folhas brilhantes e 0,84 para superfície anodizada.
Dados mais completos de emissividade encontram-se na seção de apêndices do livro-
texto. Na figura seguinte mostra-se a variação da emissividade em função da
temperatura.
Corpo Cinzento
Um corpo cuja emissividade e absortividade da sua superfície são independentes do
comprimento de onda e direção é chamado de corpo cinzento. Na prática, os corpos
reais são aproximados por corpos cinzentos. Exceto em caso de estudos mais
detalhados. De forma que, para o corpo cinzento, é válida a seguinte relação:
ε = ελ = constante e α = αλ = constante
O gráfico abaixo ilustra os poderes emissivos de três corpos. Lembrando que a
emissividade é a razão entre o poder emissivo do corpo e a do corpo negro à mesma
temperatura, pode ver que o corpo real tem um espectro de emissividade
monocromática que depende de vários fatores como natureza da superfície, incluindo o
material e acabamento e tem um padrão geral como ilustrado (em azul). O corpo negro é
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 187
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aquele que possui emissividade unitária (total e monocromática) e seu poder emissivo
espectral segue a lei de Stefan-Boltzmann. O corpo cinzento nada mais que é o corpo
que possui emissividade constante para todos os comprimentos de onda (ilustrado em
vermelho), sendo menor que a unidade.
)( mµλ
Mostra-se na figura seguinte a variação da absortância ou emissividade monocromática,
com o comprimento de onda para isolantes elétricos. A emissividade espectral pode ser
medida em laboratório.
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 188
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Radiosidade – Quantidade de radiação que deixa um corpo
refletida
G
radiosidades
G
Eb
G G
A radiosidade consiste nas parcelas de reflexão da radiação Gρ e da radiação própria
emitida nEε . Trata-se, portanto, do fluxo total de radiação que deixa a superfície de um
corpo, ou seja:
GEJ n ρε += [W/m2]
Exemplo 1
Uma rodovia asfaltada recebe 600 W/m2 de irradiação solar num certo dia de verão. A
temperatura efetiva do céu vale 270 K. Uma brisa leve do ar a 30ºC passa pela rodovia
com um coeficiente de transferência de calor h = 5 W/m2 ºC. Assuma que nenhum calor
seja transmitido para o solo. A absortividade do asfalto para a radiação solar vale 0,93,
enquanto que a emissividade média da superfície asfáltica vale 0,13. Determine a
temperatura de equilíbrio do asfalto.
Solução
"convq
"soloq
1º Lei:
εEn
εEn
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 189
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=
nasoloconvcéucéusolsolceúsol EqqGGGG ερρ ++++=+ "" &&
{ na
nulo
soloconvceúceúsolsol EqqGG
ceúsol
ερραα
++=−+− "")1()1( &&4342143421
( ) 044 =−−−+ ∞ aaacéuceúsolsol TTThTG σεσαα
( ) 01067,513,015,30352701067,513,060093,0 4848 =×××−−−×××+× −−aa TT
após solução dessa equação polinomial do quarto grau, obtém-se a temperatura do
asfalto igual a 389 K ou 115,8 oC.
Troca de Calor por Radiação Térmica entre duas Superfícies Paralelas Infinitas
T1
J1 J2
T2
Fluxo líquido de calor trocado entre as duas superfícies:
A
JJAJAJQ
/1
21221121
−=−=− já que A1 = A2 = A
No caso de superfícies negras, tem-se que: ε1 = ε2 = 1 e α1 = α2 = 1 (corpo negro),
já que τ1 = ρ1 = 0. De forma que
)( 4
2
4
121 TT
A
Q−=− σ
taxa de energia
que entra no V.C.
taxa de energia
que deixa o V.C
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 190
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Se o corpo for cinzento e opaco, G sendo a irradiação, pode-se obter a radiosidade J da
superfície de acordo com:
J = εEn + ρG = εEn + (1-ε)G
onde foi usado o fato de que ρ = 1-ε = 1- α
De forma que isolando a irradiação, a mesma pode ser escrita como εε−−
=1
nEJG
Olhando somente para uma superfície, pode-se estabelecer que a taxa líquida de calor
transferido da superfície é dada pela diferença entre a radiosidade, J e a irradiação, G da
mesma, isto é:
A
JEJE
AEJJAGJAQ n
nn
εεεε
εε
/)1()(
11)(
−−
=−−
=
−−
−=−= (a)
Mas, a taxa de calor cedida por uma superfície deve ser igual à recebida pela outra que,
no caso de placas paralelas e infinitas, é:
A
JE
A
JEQ nn
22
22
11
11
/)1(/)1( εεεε −−
−=−
−= (b)
As equações (a) e (b) apresentam duas incógnitas, quais sejam J1 e J2, uma vez que as
temperaturas das superfícies e, portanto, seus poderes emissivos de corpo negro,
juntamente com as emissividades e área são dados conhecidos. As duas radiosidades
podem ser obtidas por meio das soluções simultâneas destas equações. Entretanto, antes
de prosseguir nessa linha, note a analogia elétrica:
1
1
1
A
εε− 1
A
2
2
1
A
εε−
De forma que o fluxo de calor total, Q, que “circula” pelo circuito é dado por:
( )2211
4
2
4
1
2
2
1
1
21
111 RRR
TT
AAA
EEQ nn
++−
=−
++−
−=
−
σ
εε
εε
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Onde existem “resistências” entre os potenciais J e En. Têm-se as resistências
“superficiais”, ou seja, aquelas que contêm apenas propriedades das superfícies
(emissividade e área) que, no exemplo, são R1 e R2, dadas por:
1
geral forma deou 1
1
2
21
1
11
ii
ii
AR
ARe
AR
εε
εε
εε −
=−
=−
=
Note que essas resistências superficiais são localizadas entre o poder emissivo de corpo
negro, En, e a radiosidade da superfície de interesse, J. A outra resistência é a
resistência “espacial” que indica a posição relativa das superfícies. Mais será dito sobre
essa resistência quando for incluído o conceito de fator de forma a frente. Para esse
caso, trata-se apenas do inverso da área das superfícies. (Nota: claro que a área infinita é
só uma aproximação, caso contrário não há sentido.)
1
21A
R =−
Exemplo 2
Determine as radiosidades e o fluxo de calor trocado entre duas superfícies cinzentas e
opacas mantidas a 400 K e 300 K, respectivamente. As emissividades valem 0,5 e há
vácuo entre elas.
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Solução
15,0
5,0
1
1
11 ==
−=
εε
AR
12 =AR
3
111
AAAART =++=
/3
)( 4
2
4
12121
A
TT
R
EEQ
T
nn −=
−=
σ
3
)300400(1067,5 448
21 −⋅=
−
A
Q
/75,330 22121 mW
A
Qq ==
2
1
2
21111
1
1121 /77,1120 75,330400 mWJqRAEJ
AR
JEq n
n =⇒−=⋅⋅−=⇒−
= σ
2
2
2
21222 /62,790 75,330300 mWJqRAEJ n =⇒+=⋅⋅−= σ
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193
AULA 23 – FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO
TÉRMICA
Considere o caso de duas superfícies negras quaisquer que trocam calor por radiação
térmica entre si. Suponha que as mesmas possuam orientação espacial qualquer como
indicado na figura abaixo
1 1cosdA φ
1,2 1 1F J A
1φ
2φ
Primeiramente considere a troca térmica de calor por radiação entre os dois elementos
de área indicados, dA1 e dA2. Os elementos são unidos por um raio vetor r que formam
ângulos φ1 e φ2 com as respectivas normais.
Define-se a Intensidade de radiação do corpo negro, In, como sendo a energia de
radiação térmica emitida por unidade de área, na unidade de tempo, para um ângulo
sólido unitário numa dada direção especificada, como indicado na figura abaixo.
ndA
Direção da intensidade
de radiação
2r
dAdw n=
1φ
1dA
normal
Energia que deixa dA1na direção do ângulo
1=IbdA1cos 1
projecção
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194
Assim, a energia que deixa dA1 na direção φ1, é dwdAIdAE nn ⋅⋅⋅= 111 cosφ que
representa a radiação térmica que chega em algum elemento de área dAn a uma distancia
r de A1. Mas, 2r
dAdw n= , onde, dAn é o elemento de área projetada sobre o raio vetor.
Então: 211111 coscos
r
dAdAIdwdAIdAE n
nnn ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= φφ
ndAφrd
φrsenψ
1φφd
1dA
Por outro lado, tendo a figura acima em mente pode se escrever a seguinte relação
trigonométrica: φψφ rddsenrdAn ⋅⋅⋅= . De forma que, substituindo-a na expressão
anterior, vem:
ψφφ
φ ddr
senrdAIdAE nn 2
2
11 cos ⋅⋅⋅=
Integrando em todas as direções, vem
ψφφφπ π
ddsendAIdAE nn ∫ ∫ ⋅⋅⋅=2
0
2/
0
11 cos , ou nn IE π=
Voltando ao problema, projetando dA2 na direção radial, vem:
22 cosφ⋅= dAdAn
Assim o fluxo de energia radiante que deixa A1, atinge A2 é dado por:
1222
1
1 2
121
coscos dAdA
r
EdQ
A A
n ⋅⋅= ∫ ∫∫ −
φφ
π
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195
E o fluxo de energia radiante que deixa A2 e atinge A1, é:
2121
2
2 1
212
coscos dAdA
r
EdQ
A A
n ⋅⋅⋅= ∫ ∫∫ −
φφ
π
e o fluxo liquido de energia radiante trocado entre as duas superfícies é:
4444 34444 21212121
2
2
1
12
2121)(21
coscos)(
FAFA
A A
nnliq dAdAr
EEQ
=
− ∫ ∫ ⋅⋅
−=π
φφ
Note que a integral dupla se refere à tão somente um problema trigonométrico que
considera a posição relativa entre as duas superfícies, bem como as suas dimensões.
Trata-se, portanto, de um problema de “forma geométrica”. O cálculo dessas integrais
foi realizado para uma série de condições e são os chamados “fatores de forma de
radiação”. Os fatores de forma estão tabelados ou dispostos em forma gráfica para
diversas situações. O fator de forma Fij deve ser entendido como a fração de energia
radiante que deixa a superfície i e atinge a superfície j. Claro que o fator de forma é
sempre menor ou igual à unidade.
Também como a ordem de integração não importa, pode-se estabelecer a chamada “lei
da reciprocidade” entre os fatores de forma, ou seja:
212121FAFA =
A transferência liquida de calor por radiação entre as duas superfícies é
)()( 2121221121)(21 nnnnliq EEFAEEFAQ −=−=−
A lei da reciprocidade, portanto, pode ser escrita para duas superfícies m e n quaisquer
como
nmnmnm FAFA =
Fatores de Forma para alguma situações (outras situações – ver livro-texto)
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196
Quando as superfícies formam um invólucro fechado, então:
0≠−iiF 11
=∑=
−
N
j
jiF
1... ,13,12,11,1 =++++ nFFFF
Essa é a chamada “Lei de Fechamento”. Se a superfície de interesse i for plana ou
convexa, então Fii =0.
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197
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198
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199
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200
EXEMPLO: Determine o Fator de forma F1,2 e F2,2 para a configuração mostrada na
figura abaixo de dois tubos concentricos.
Em particular, como toda radiação que deixa a superfície interna 1 atinge
necessariamente a superfície externa 2, temos que F1,2 =1. O mesmo não pode ser dito a
respeito da radiação que deixa a superfície 2. A partir da lei de fechamento temos:
12221 =+ FF então:
212,2 1 FF −=
Mas, pela lei da reciprocidade
2
1
2
121
2
112122211 1
D
D
LD
LDF
A
AFFAFA =∝==⇒= −−−− π
π
Assim, 2
12,2 1
D
DF −=
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201
EXEMPLO: Determine o fator de forma F1,2 para a configuração mostrada na figura
abaixo.
Solução:
31213,21 −−− += FFF � 43421
gráfico
FFF 313,2121 −−− −=
15,025,0
1;2
5,0
1: 3,213,21 =⇒==== −− F
X
Y
X
ZF
12,025,0
1;1
5,0
5,0: 2121 =⇒==== −− F
X
Y
X
ZF
%)3(03,012,015,031 ouF =−=−
Isto significa que apenas 3% da radiação que deixa a superfície 1 atinge a
superfície 3.
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202
Taxa liquida de calor trocada entre duas superfícies negras:
221,2112,1)(21 AEFAEFQ nnliq −=−
Estudar exercícios 9.6 e 9.7
Troca de Calor Entre duas Superfícies Cinzentas
1 1J A
2 2J A
1,2 1 1F J A
2,1 2 2F J A
221,2112,1)(21 JAFJAFQ liq −=−
Pela lei de reciprocidade 1,222,11 FAFA =
122
21
211
21)(21 /1/1 −−
−
−=
−=
FA
JJ
FA
JJQ liq
O termo jii FA ,/1 forma uma resistência espacial entre as superfícies. Mas, tem-se
também que
11
1
111 1
A
JEQ n
εε−−
= é a taxa líquida de transferência de calor que deixa a sup. 1.
11
11
1
AR
εε−
= é a resistência da superfície 1.
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203
22
2
222 1
A
JEQ n
εε−−
= é a taxa líquida de transferência de calor que deixa a sup. 2.
22
22
1
AR
εε−
= é a resistência da superfície 2.
De forma que:
22
2
21111
1
42
4121
)(21 111)(
AFAA
TT
R
EEQ nn
liq
εε
εεσ
−++
−−
=−
=
−
− ∑
1
1
1
A
εε− 1
A
2
2
1
A
εε−
41Tσ 4
2Tσ
EXEMPLO
Uma pequena lata é formada por dois discos paralelos que são conectados por uma
superfície cilíndrica como mostra na figura abaixo. Determine a fração de energia
radiante que deixa a superfície cilíndrica e atinge a sua própria.
Solução:
Áreas
2322
21 10854.74
1,0
4m
DAA −⋅==== ππ
121
1
FA
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204
233 1071,1505,01,0 mDLA −⋅=⋅⋅== ππ
2,31,33,33,32,31,3 11 FFFFFF −−=⇒=++
Vamos avaliar 2,31,3 FeF
F3,1:
3,111,33 FAFA = , também 12,13,1 =+ FF
mas da figura 15
5
1
==r
L e 12 =
L
r � 38,02,1 ≅F
logo 62,038,013,1 =−=F � 31,062,01071,15
1085,73
3
3,13
11,3 =
⋅⋅
==−
−
FA
AF
F3,2:
11,23,2 =+ FF e 1,22,1 FF =
logo 62,038,0111 2,11,23,2 =−=−=−= FFF
31,062,01071,15
1085,73
3
3,23
22,3 =
⋅⋅
==−
−
FA
AF
38,031,031,01 3,33,3 =⇒−−= FF
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205
Transferência de calor por radiação térmica entre três superfícies que formam um
involucro fechado
Analise elétrica:
33
33
22
22
11
11
1;
1;
1
AR
AR
AR
εε
εε
εε −
=−
=−
=
31131
32232
21121
1;
1;
1
−−
−−
−− ===
FAR
FAR
FAR
Nó 1: 31121 −− += QQQ
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206
Nó 2: 032212 =++ −− QQQ
Nó 3: 32313 −− += QQQ
mas,
1
111
R
EJQ n−
= , 2
222
R
EJQ n−
= , 3
333
R
EJQ n−
=
e
31
3131
−−
−=
R
JJQ ,
32
3232
−−
−=
R
JJQ ,
21
1221
−−
−=
R
JJQ
O sistema acima tem 9 equações e 9 incógnitas.
Comentário:
Define-se uma superfície não-condutora reirradiante como uma superfície adiabática, ou
seja, não transporta calor com o meio. Por exemplo no esquema anterior se a superfície
2 é não condutora reirradiante, então Q2 = 0 � J2 = En2.
EXEMPLO
A tampa do invólucro descrito no exemplo anterior é mantida a uma temperatura
uniforme de 250°C (523,2 K), enquanto que a superfície inferior é mantida a uma
temperatura de 60°C (332,2 K). A superfície que junta os dois discos é não condutora –
reirradiante. A emissividade das três superfícies vale 0,6. Determine a taxa de calor
transferido por radiação entre a tampa e o fundo e estime a temperatura da superfície
não condutora – reirradiante.
Solução.
O circuito de radiação para a determinação do calor transferido por radiação entre as
superfícies do invólucro esta mostrado na Fig. E9-9a. Os valores dos fatores de forma
podem ser obtidos do cálculo já realizado acima. Os valores da resistência para o
circuito são
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207
23
11
1 /188,84)10854,7(6,0
6,011m
A=
⋅−
=−
−εε
23
22
2 /188,84)10854,7(6,0
6,011m
A=
⋅−
=−
−εε
23
3,223,11
/14,205)62,0)(10854,7(
111m
FAFA=
⋅== −
411 TEn σ=
1J
2J
11
11
Aεε−
211
1
−⋅FA
22
21
Aεε−
422 TEn σ=
322
1
−⋅FA
311
1
−⋅FA 1J
2J
88,84
4)2,333(σ
4)2,523(σ
4,205
1,335
4,205
88,84
1J
2J
88,84
4)2,333(σ
4)2,523(σ
6,184
88,84
Os valores das resistências estão mostrados na figura E9-9b. o circuito obtido usando
uma resistência equivalente para as resistências conectadas em paralelo esta mostrado
na Fig. E9-9c. A resistência equivalente é
2/16,1841,3358,410
)1,335(8,410mRe =
+=
A taxa de calor transferido entre as superfícies da tampa e o fundo é determinado
usando
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208
∑−
=−R
EEQ nn
liq21
)(21
A soma das resistências entre as duas superfícies é
2/14,35488,846,18488,84 mR =++=∑
A taxa de calor transferido é
[ ]WQ liq 02,10
4,354
2,3332,5231067,5 448
)(21 =−⋅
=−
−
As radiosidades, J1 e J2, podem ser determinadas por
[ ]111
11)(21 /)1( A
JEQ n
liq εε−−
=−
ou
88,84
)2,523(1067,52,10 1
48 J−⋅=
−
421 /398.3 KmWJ =
e
[ ]222
22)(21 /)1( A
EJQ n
liq εε−−
=−
O que dá J2 = 1.549 W/m2K4. O valor de J3, que é igual a 43Tσ , é obtido usando
42
3132
3123213
31
31
32
23 /5,2473 KmWRR
RJRJJ
R
JJ
R
JJ=
+
+=⇒
−=
−
−−
−−
−−
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209
433 TJ σ= � T3 = 457,0 K (183,8°C)
Comentário
Uma parte da taxa total de calor transferido entre a tampa e o fundo acontece
diretamente entre as duas superfícies, enquanto que o restante do calor é trocado com a
superfície não condutora – reirradiante antes de alcançar a tampa ou o fundo.
A taxa de transferência direta é
WFA
JJQD 5,5
1,335
14593398
)/1( 2,11
21 =−
=−
=
E a indireta é
WFAFA
JJQID 5,4
4,2054,205
15493398
)/1()/1( 3,223,11
21 =+−
=+−
=
EXEMPLO
Determine a taxa de transferência de calor de uma esfera pequena aquecida instalada em
um cilindro fechado em vácuo, como indicado na figura abaixo. A esfera tem 10cm de
diâmetro com uma emissividade de 0,8 e é mantida a uma temperatura uniforme de
300°C (572,2 K). A superfície interna do cilindro, cuja área é de 0,5m2, tem uma
emissividade de 0,2 e é mantida a uma temperatura uniforme de 20°C (293,2 K).
1
2
1nE 1J2J
11
11
Aεε−
211
1
−⋅FA 22
21
Aεε−
2,05,0
8,0031,0
22
2
12
1
==
==
ε
ε
mA
mA
2nE
Esfera inserida em uma cavidade cilíndrica fechada.
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210
Solução
O circuito de radiação equivalente está mostrada na figura anterior. A área da esfera
pode ser rapidamente calculada e vale 0,031m2. O fator de forma de radiação é F1,2 = 1,
já que toda a radiação emitida pela esfera vai atingir a superfície interna do cilindro. A
taxa de transferência de calor é obtida através de
[ ]
[ ]W
AFAA
TT
R
EEQ nn
liq
0,11832,48
2,2932,5731067,5
)5,0(2,0/)2,01()1(031,0/1)031,0(8,0/)8,01(
2,2932,5731067,5
/)1(/1/)1(
)(
448
448
222121111
42
4121
)(21
=−⋅
=
−++−−⋅
=
−++−−
=−
=
−
−
− ∑ εεεεσ
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211
COEFICIENTE COMBINADO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Na maioria dos problemas de engenharia e da natureza, os fenômenos de transferência
de calor por radiação e convecção ocorrem simultaneamente, razão pela qual torna-se
interessante determinar um coeficiente de transferência de calor por radiação baseado na
condutância térmica, ou seja no coeficiente global de transferência de calor por radiação
ζ. Assim definindo-se uma equação equivalente à transferência de calor por convecção,
tem-se:
TAhq rr ∆⋅⋅=
onde
T
TT
T
EEh nn
r ∆−
=∆−
=)()( 4
24
121 ζσζ (25)
TAhq rr ∆⋅⋅=
TAhR
TT
R
EEq r
totaltotal
nnr ∆⋅⋅=
−=
−=
)( 42
4121 σ
total
rRA
TTh
⋅−
=)( 4
24
1σ
fluxos de calor total q combinado que radiação qr e convecção qc
TAhhqqq crcr ∆⋅+=+= )(
ou
TAhq ∆⋅⋅=
onde cr hhh += é o coeficiente combinado de transferência de calor.
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212
Blindagem de radiação
Uma maneira de reduzir a transferência de calor por radiação entre duas superfícies é
meio do emprego de materiais altamente refletivos, isto é de baixa emissividade ε. Um
método alternativo é a utilização de blindagens de radiação entre as superfícies de
transferência de calor. Estas blindagens não fornecem ou removem calor do sistema,
mas apenas introduzem uma resistência no circuito térmico.
Considere dois planos paralelos e infinitos para ε1= ε2= ε, temos:
1)1(
2
)( 42
41
+−−
=
εε
σ TT
A
q
Aq / Aq /
Radiação entre planos paralelos infinitos com e sem blindagem de radiação
Agora, considere a introdução de um terceiro plano 3entre os planos originais. Assim o
calor transferido neste caso será calculado a considerando a entrada dessas nova
resistências.
1nE 1J 3J
1
11
εε−
31
1
−F 3
31
εε−
2nE'3J
2J
32
1
−F 2
21
εε−
3nE
3
31
εε−
Circuito elétrico analógico da radiação para dois planos paralelos separados por
uma blindagem de radiação formada por um terceiro plano 3
Como a blindagem não fornece ou retira calor do sistema. O calor transferido entre a
placa 1, a blindagem e a placa 2 será:
Plano de blindagem
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213
A
q
A
q
A
q==
−− 2331
1)1(
2
)(
1)1(
2
)( 42
43
43
41
+−−
=+
−−
=
εε
σ
εε
σ TTTT
A
q
Obtendo-se
2/)( 42
41
43 TTT +=
( )1
)1(2
)(2/1 43
41
+−
−=
εε
σ TT
A
q
Portanto, tem-se que a blindagem reduz à metade o fluxo de calor inicial (desde que
todas as superfícies tenham a mesma emissividade ε).
blindagemsblindagemc A
q
A
q
// 2
1=
No caso da introdução do n planos de blindagem entre as duas superfícies ou sinais 1 e
2, tem-se que a redução do fluxo de calor será:
""/""/ 1
1
nblindagnsnblindaenc A
q
nA
q
+=
Efeito da radiação na medida da temperatura
Quando um termômetro é colocado em uma corrente do gás para medir a temperatura
do escoamento, a temperatura indicada pelo sensor é determinada pelo balanço global
de energia neste elemento.
Considere o sensor mostrado na figura abaixo. A temperatura do gás é T∞, a temperatura
de radiação da superfície envolvente é Ts e a temperatura indicada pelo termômetro é Tt.
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214
∞Th, ATsT
Elemento sensor da temperatura de um escoamento
Admitindo que Tt seja maior que Ts, então a energia será transferida por convecção para
o termômetro e então dissipada por radiação para a superfície envolvente. Portanto, o
balanço de energia pode ser escrito como:
)()( 44stt TTATThA −=−∞ σε
onde A é a área superficial do sensor e ε a sua emissividade. A equação anterior foi
obtida considerando-se que a superfície envolvente seja muito grande.
Supondo que a parede esteja a 200 °C e a temperatura indicada pelo elemento sensor é
de 450 °C. sendo o coeficiente de transmissão de calor por convecção entre o gás e o
termopar igual a 150 W/m2 °C, calcular a temperatura real do gás.
)()( 44parTTTTc TTATTAhq −⋅⋅=−⋅⋅= ∞ σε
)( 44parT
c
T TTh
TT −⋅
+=∞
σε
)473723(150
1067,58,0723 44
8
−⋅⋅
+=−
∞T
CouKT °=∞ 3,5175,790
Tt
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215
EXEMPLO
Um tubo de diâmetro D1 = 20 cm transporta um líquido criogênico que está a 77 K.
Para evitar perdas de calor, este tubo está inserido dentro de um tubo maior com
D2 = 50 cm e T2 = 300 K, o espaço entre eles está evacuado. Pede-se o ganho de calor
pelo tubo criogênico. Dados ε1 = 0,02 e ε2 = 0,02.
Após a aula de transf. de calor, um aluno sugeriu inserir um terceiro tubo com D3 = 35
cm entre os dois anteriores afirmando que haveria uma diminuição do ganho de calor.
Sendo ε3 = 0,03. Verifique se isto é verdade e, em caso positivo, qual seria a
diminuição.
Solução:
a) circuito analógico com os dois tubos ou alguns.
1nE 1J2J
11
11
Aεε−
211
1
−⋅FA 22
21
Aεε−
2nE
121 =−F
eq
nn
R
EEq 21 −=
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216
L
L
D
D
LD
D
D
A
AFAAReq
6,948
50
20
04,0
04,011
02,0
02,01
02,0
1
11
11
1
1
111
111
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
1
22
2
21111
1
=
−++
−⋅⋅
=
−++
−⋅⋅
=
−++
−=
−++
−=
−
π
εε
εε
π
εε
εε
εε
εε
[ ]mW
L
q/482,0
7,536.1
773001067,5 448
=−⋅
=−
b) circuito analógico com a introdução do terceiro tubo de blindagem.
1bE1J 3J
11
11
Aεε−
311
1
−FA33
31
εε
A
−
2bE'3J
2J
323
1
−FA 22
21
εε
A
−
3bE
33
31
εε
A
−
131 =−F
123 =−F
eq
nn
R
EEq 21 −=
1nE 2nE 3nE
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217
L
L
D
D
D
D
LD
D
D
D
D
D
D
AReq
7,536.1
50
20
04,0
04,01
35
20
03,0
)03,01(2
02,0
02,01
02,0
1
1)1(21
11
11
)1(2
1
111
2
1
2
2
3
1
3
3
1
1
1
2
1
2
2
3
1
3
1
3
3
1
1
1
=
−+
−+
−⋅⋅
=
−+
−++
−⋅⋅
=
−++
−++
−=
π
εε
εε
εε
π
εε
εε
εε
[ ]mW
L
q/298,0
7,536.1
773001067,5 448
=−⋅
=−
o ganho diminui em torno de 482,0
298,0482,0 −
38,3 %