Apostilha Pre Calculo Diferencial Integral

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Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná/Campus Curitiba Departamento Acadêmico de Matemática (DAMAT) PRÉ-CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Conjuntos numéricos e funções reais - NOTAS DE AULA Profª: Silvana Heidemann Rocha Curitiba, 2007
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  • Ministrio da Educao Universidade Tecnolgica Federal do Paran/Campus Curitiba Departamento Acadmico de Matemtica (DAMAT)

    PR-CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Conjuntos numricos e funes reais - NOTAS DE AULA

    Prof: Silvana Heidemann Rocha

    Curitiba, 2007

  • 2

    Caro(a) estudante,

    Esta apostila tem o objetivo de auxili-lo(a) na reviso de contedos bsicos para o estudo do Clculo Diferencial e Integral.

    No entanto, este material no dispensa o estudo em livros, uma vez que no tem a riqueza de informaes de um bom livro.

    Caso voc encontre erros de quaisquer tipos ou tenha alguma sugesto a fazer, favor comunicar-me. Assim eu poderei aperfeioar o material e coloc-lo a disposio de outros estudantes.

    Pode ser usado o contedo desta apostila por qualquer pessoa. No entanto, pede-se que seja citada a fonte.

    Grata por sua colaborao e bom estudo.

    Prof Silvana Heidemann Rocha

  • 3

    NDICE

    1. Sistematizao dos conjuntos numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4 Noo de conjunto, conjuntos importantes (conjunto vazio, unitrio, universo, conjuntos iguais, subconjunto, conjunto das partes, conjuntos disjuntos, par ordenado), operaes com conjuntos (unio, interseo, diferena, complementar, produto cartesiano), propriedades das operaes com conjuntos, partio de um conjunto, conjuntos numricos (conjunto dos nmeros naturais, dos nmeros inteiros, dos nmeros racionais, dos nmeros irracionais, dos nmeros reais, dos nmeros complexos), estudo dos nmeros reais (mdulo de um nmero real, intervalos).

    2. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18 Sistema unidimensional ou linear (comprimento de segmento retilneo orientado, distncia entre dois pontos, ponto de acumulao e vizinhana na reta real), sistema bidimensional ou sistema cartesiano (distncia entre dois pontos no plano cartesiano, bola aberta ou vizinhana e ponto de acumulao no plano cartesiano).

    3. Relaes e funes no plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22 Relao binria (domnio, contradomnio, imagem, relao inversa), funo de varivel real (definio, notao, domnio, contra-domnio, imagem, funes iguais), grficos de funes (sinal e zeros de uma funo, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos e absolutos de uma funo, translao e reflexo de grficos), classificao de funes (funo injetora, sobrejetora, bijetora, funo par, mpar, funo peridica), operaes com funes (adio, subtrao, multiplicao e diviso de funes, multiplicao de uma funo por um escalar, composio de funes, inverso de funes), tipos de funes elementares (funes algbricas e funes transcendentes), formas de apresentao de funes (explcitas, implcitas, paramtricas), funes especiais.

    ahiperblic cossecante da argumento Funoahiperblic secante da argumento Funo

    ahiperblic cotangente da argumento Funoahiperblic tangenteda argumento Funoohiperblic cosseno do argumento Funo

    ohiperblic seno do argumento Funo

    inversas

    ahiperblic cossecante Funoahiperblic secante Funo

    ahiperblic cotangente Funoahiperblic tangenteFunoohiperblic cosseno Funo

    ohiperblic seno Funo

    diretas

    ashiperblic ricasTrigonomt1

    =

    etc

    integral Funoderivada Funosinal Funo

    inteiromenor Funointeiromaior Funo

    modulares Funes

    funes Outras

    inversasdiretas

    ashiperblic ricasTrigonomt

    cossecante arco Funosecante arco Funocotangente arco Funo tangentearco Funocosseno arco funoseno arco Funo

    inversas

    cossecante Funosecante Funocotangente Funo tangenteFunocosseno Funoseno Funo

    diretas

    circulares ricasTrigonomt

    aLogartmiclExponencia

    entes transcendFunes

    sIrracionaiQ(x)P(x))( asFracionri

    cbicasou grau 3squadrticaou grau 2

    AfimLinear

    grau 1

    Constante

    is)(polinomia Inteiras Racionais

    algbricas Funes

    selementare Funes

    1

    xf

  • 4 1) SISTEMATIZAO DOS CONJUNTOS NUMRICOS

    1.1) Noo de conjunto: Em Matemtica, existem vrias teorias de conjuntos e em geral no se define conjunto. Mas, intuitivamente, conjunto o mesmo que agrupamento, classe ou coleo de elementos. Geralmente, os conjuntos so nomeados por letras maisculas e os elementos por minsculas, entre chaves.

    Ex.: A = { r, s, t}.

    As representaes mais comuns de um conjunto atravs de uma propriedade de seus elementos, da enumerao desses elementos ou de diagramas. Um conjunto fica caracterizado pelos seus elementos e no pela sua representao ou ordem dos elementos.

    Ex1.: M = { x / x o nmero de erros na pgina de um livro} (por uma propriedade) M = {0, 1, 2, ..., n} (pela enumerao dos elementos) M

    (por diagrama)

    Ex2: S = {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0}

    Ex3: T = { 1, 3, 3, 5, 5, 5} = {1, 3, 5}

    Em geral, usa-se os smbolos e para relacionar elementos com conjuntos, ainda que os elementos possam ser tambm conjuntos.

    Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 2}, {{5}} }, tem-se:

    1 P; 2 P; {1, 2} P; {{5}} P; 5 P; {1} P; {5} P.

    1.2) Conjuntos importantes:

    Conjunto vazio ( ): aquele que no possui elemento algum. Ex: A = ou A = { }. O conjunto B = { } no vazio.

    Conjunto unitrio: aquele que possui um nico elemento. Ex1: {{5}} (L-se: O conjunto unitrio formado pelo unitrio 5). Ex2: { {6, 7} } (L-se: O conjunto unitrio formado pelo par no ordenado 6 e 7).

    0

    1 2

    n

    M

  • 5 Conjunto universo (U): um conjunto ao qual pertencem todos os elementos do assunto tratado.

    Ex1: A equao (x - 3).(x + 2).(x - )31

    .(x + 0)1).(2 2 =+x , tem os seguintes conjuntos solues:

    S={3} se U= N (conjunto dos nmeros naturais). S={-2, 3} se U = Z (conjunto dos nmeros inteiros).

    S={-2, 31

    ,3} se U =Q (conjunto dos nmeros racionais).

    S = {-2, 31

    ,3, - 2 } se U = R (conjunto dos nmeros reais).

    S = {-2, 31

    ,3, - 2 , j, -j} se U = C (conjunto dos nmeros complexos), com j = 1 .

    Ex2: Num problema de geometria plana, o conjunto universo um plano .

    Conjuntos iguais: Dois conjuntos A e B so iguais quando todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Em smbolos, tem-se: A=B BxAxx ,

    Ex.: {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0}

    Observao: = para todo, qualquer que seja. Quando se faz x quer-se dizer: Para todo x do universo em questo.

    Subconjunto )( : Um conjunto A subconjunto de um conjunto B se e somente se todo elemento de A pertence tambm a B. Em smbolos, tem-se:

    BxAxxBA , .

    Com a notao BA indicamos que A subconjunto de B ou que A est contido em B ou que A parte de B. O smbolo denominado sinal de incluso. Quando BA tambm podemos escrever B A que se l B contm A.

    Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 3}, {{5}} }, tem-se: {1} P, pois 1 P; {1, 2} P, pois 1 P e 2 P; {1, 3} P, pois 3 P;

    P, pois pode-se provar que A, qualquer que seja o conjunto A; { {{5}} } P, pois {{5}} P; {5} P , pois 5 P; P P.

    Observao: Sendo A, B e C trs conjuntos arbitrrios, tem-se: a) ( BA e BAAB = ) (propriedade anti-simtrica da incluso ) b) ( BA e CACB ) (propriedade transitiva da incluso)

  • 6 Conjunto das partes (PPPP (A)): Dado um conjunto A, define-se conjunto das partes de A ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Em smbolos, tem-se: P (A) = {X / X A }.

    Conjuntos disjuntos: Dois conjuntos A e B so denominados conjuntos disjuntos quando no possurem elemento comum.

    Par ordenado: O par ordenado (a, b) igual por definio ao par no ordenado {{a}, {a, b}}. Em smbolos, tem-se:

    }},{},{{) ,( baabadef= .

    Observaes:

    (a, b) = }}{},,{{}}{},,{{}},{},{{ aabababaa == (a, b) = }},{},{{),(}},{},{{ bababbaa = (a, a) = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}}={{a}} No par ordenado (a, b), a e b podem representar diversas estruturas matemticas como, por exemplo,

    podem ser conjuntos, nmeros, pares ordenados, matrizes, polinmios. Ex1: { {3}, { 3, {{4}, {4, 5} } } } = { {3}, { 3, (4, 5) } } = (3, (4, 5) ) Ex2: (a, b) , onde a { matrizes 2 x 2} e b { polinmios de grau 2}

    1.3) Operaes com conjuntos:

    Unio ( ): Dados dois conjuntos A e B, define-se a unio de A e B como o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Assim: AxxBA = /{ ou }Bx .

    Interseo ( :) Dados dois conjuntos A e B, define-se a interseo de A e B como o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. Assim: AxxBA = /{ e }Bx .

    Diferena (): Dados dois conjuntos A e B, define-se a diferena entre A e B como o conjunto formado pelos elementos de A que no pertencem a B. Assim: A B = { Axx / e }Bx

    Complementar de B em relao a A ( CAB ): Dados dois conjuntos A e B, tal que B A, define-se o complementar de B em relao a A como o conjunto A B, isto , o conjunto dos elementos de A que no pertencem a B. Assim: CAB = A B.

    A notao CB representa o complementar de B em relao ao conjunto universo U, ou seja, CB = U B . Alguns autores denotam o complementar de B em relao ao conjunto universo U por B .

  • 7 Produto cartesiano: Dados A e B dois conjuntos no vazios. Define-se o produto cartesiano de A por B como o conjunto A X B (l-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B) cujos elementos so todos pares ordenados (x, y), onde o primeiro elemento x pertence a A e o segundo elemento y pertence a B. Em smbolos:

    A X B = {(x, y) / xA e y B}.

    Ex.: Dados S = {a, 3, {1, 2}} e T = { 5, {6}}, tem-se: a) S X T = { (a, 5), (a, {6}), (3, 5), (3, {6}), ({1,2}, 5), ( {1,2}, {6} ) } b) T X S = { (5, a), (5, 3), (5, {1,2}), ({6}, a), ({6}, 3), ( {6}, {1,2} ) }

    Se A ou B for o conjunto vazio, define-se o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio. Ex.: A X = , X B = , X = .

    Observaes:

    ABA X B B X A.

    Se A e B so conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, ento A X B um conjunto finito com mn elementos.

    Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, ento A X B um conjunto infinito.1

    1.4) Propriedades das operaes com conjuntos:

    Sendo A, B e C trs conjuntos arbitrrios e U o conjunto universo, tem-se: i) AAA = ii) AA = iii) A UU = iv) AAA = v) A = vi) AUA = vii) ABBA = (comutativa em relao unio) viii) )()( CBACBA = = CBA (associativa em relao unio) ix) ABBA = (comutativa em relao interseo) x) CBACBA = )()( = CBA (associativa em relao interseo)

    1 Conjunto finito um conjunto que tem n elementos, sendo n um nmero natural. Um conjunto X dito infinito se admitir

    subconjunto Y, com YX , tal que X e Y possam ser colocados em correspondncia biunvoca, isto , YXf : uma bijeo. Um conjunto infinito pode ser enumervel ou no. Um conjunto dito contvel ou enumervel se puder ser colocado em correspondncia biunvoca com o conjunto dos nmeros naturais, caso contrrio, o conjunto no contvel ou no enumervel. O conjunto dos naturais N infinito, pois por exemplo considere o subconjunto {0,2,4,6,...} de N. (Cf. SANTANNA, Adonai S. O que um conjunto. Barueri: Manole (no prelo) ).

  • 8 xi) )()()( CABACBA = (distributiva da unio em relao interseo) xii) )()()( CABACBA = (distributiva da interseco em relao unio) xiii) )()()( CABACBA = (distributiva da interseo em relao diferena) xiv) = AAC , onde CA o complementar de A em relao ao conjunto universo U. xv) =CU e UC = xvi) AA CC =)( xvii) CBABA = xviii) CC ABBA = xix) CCC BABA = )( (Primeira Lei de Morgan)

    Generalizao: CnCC

    n

    i

    Ci

    Cn

    ii

    Cn AAAAAAAA ==

    =

    ==

    ...)...( 2111

    21 IU

    xx) CCC BABA = )( (Segunda Lei de Morgan)

    Generalizao: CnCC

    n

    i

    Ci

    Cn

    ii

    Cn AAAAAAAA ==

    =

    ==

    ...)...( 2111

    21 UI

    xxi) CCC BABA )( = xxii) )()(( BAABABABA C == xxiii) CCC BABA )( = xxiv) A= )( BAA xxv) A= )( BAA xxvi) )()( BABAA = xxvii) A= )()( CBABA xxviii) BA CC BA CC AB Obs.: = ou xxix) BA e DC ) X () X ( DBCA , onde X = produto cartesiano. xxx) ) X ( ) X ()( X CABACBA = (distributiva do produto cartesiano em relao unio) xxi) ) X ( ) X ()( X CABACBA = (distributiva do produto cartesiano em relao interseo) xxxii) CACBBA )()( . Obs.: = e

    Observaes: As propriedades das operaes com conjuntos, enunciadas anteriormente, so demonstrveis no

    contexto da teoria de conjuntos mais usual (aquela que faz uso do Clculo Proposicional Clssico L e do Clculo de Predicados). Para demonstrar uma dessas propriedades, deve-se ater s definies (por exemplo, simbologia, s frmulas, s regras de inferncia) da teoria em questo. Ex.: Prove a lei comutativa da unio de conjuntos ABBA = .

  • 9 Prova:

    BUAxAxBxBxAxBAxx

    sconjdoisdeuniodadefinioc

    Ll ClssicooposicionaClculo verdadestabelasconforme

    sconjdoisdeuniodadefinioc

    .'

    onformePr

    do .'

    onforme)()()()( , .

    Logo, ABBA = .

    Tabela verdade da disjuno (ou) do Clculo Proposicional Clssico L (Clculo L)

    A B

    V V V

    V V F

    F V V

    F F F

    1passo 3 passo 2 passo Notas: 1) V=verdade, F=falsidade. 2) A e B so frmulas do Clculo L. 3) A indicao 1, 2, 3 passos na ltima linha da tabela serve apenas para indicar a ordem em que a tabela deve ser preenchida. 4) Essa ltima linha no faz parte de uma tabela verdade do Clculo L.

    Em Matemtica, o processo de demonstrao de uma propriedade ou de um teorema no nico. Na

    prtica, muitos autores mesclam o uso da linguagem formal da teoria em questo com o uso da linguagem natural dos seus interlocutores, a fim de se fazerem compreender por aqueles que no esto

    habituados linguagem formal da teoria em questo (no exemplo acima, a teoria de conjuntos mais usual em matemtica no Brasil). Ao desenvolver um processo de demonstrao, deve-se estar atento para no corromper a idia que se deseja provar.

    Provar algo, mesmo em Matemtica, convencer o interlocutor a respeito de uma idia atravs do uso

    da razo.

    1.5) Partio de um conjunto: Definio: Os subconjuntos A1, A2, ..., An formam uma partio do conjunto U se: i) Ai , i = 1, 2, ..., n ii) Ai Aj = , para i j (ou seja, Ai e Aj so conjuntos disjuntos), com j = 1, 2, ..., n.

    iii) UAn

    ii =

    =

    U1

    Tabela verdade da bicondicional do Clculo Proposicional Clssico L (Clculo L)

    A B

    V V V

    V F F

    F F V

    F V F

    1 3 2

    Tabela verdade ) ( BA ) ( AB

    V V V V V V V

    V V F V F V V

    F V V V V V F

    F F F V F F F

    1 3 2 5 2 4 1 Nota: Comparam-se os passos 3 e 4 para compor o 5 (concluso). Como os resultados do 5 passo (concluso) foram todos V (verdadeiro), ento a frmula ((A B) (B A)) uma tautologia, ou seja, as frmula (A B) e (B A) so equivalentes.

  • 10 Ex:

    Em resumo, uma partio de um conjunto U uma coleo de subconjuntos no-vazios e disjuntos de U, cujas unies so iguais a U.

    1.6) Conjuntos numricos:

    1.6.1) Conjunto dos nmeros naturais (N):2

    N = {0, 1, 2, 3, ... } ou . . . . . ... 0 1 2 3 4

    No conjunto dos naturais so definidas duas operaes fundamentais: a adio e a multiplicao.

    Propriedades:

    Sendo a, b e c N , tem-se:

    (a + b) + c = a + (b + c) (associativa da adio) a + b = b + a (comutativa da adio) a + 0 = a (elemento neutro da adio) (ab)c = a(bc) (associativa da multiplicao) ab = ba (comutativa da multiplicao) a.1 = a (elemento neutro da multiplicao) a(b + c) = ab + ac (distributiva da multiplicao em relao adio)

    Observao: Sendo a e b nmeros naturais, o smbolo a - b no tem significado em N, pois o simtrico de b

    no existe em N (em smbolos, -b )N . Dessa forma, a subtrao no uma operao em N e os demais conjuntos numricos (Z, Q, R-Q , R e C) constituem ampliaes de N, a fim de solucionarem os problemas que motivaram essa ampliao.

    2 Historicamente, aceita-se que o nmero zero foi inventado aproximadamente 800 depois de Cristo, para representar a linha vazia do

    baco. Mas h evidncias de que outros povos alm dos hindus tinham um smbolo para representar o nada. (Cf. BOYER, Carl B. Histria da matemtica. 2 ed. So Paulo: Blcher, 1996). Aqui ser assumido que o zero pertence ao conjunto dos naturais, embora exista controvrsia a respeito. A criao dos nmeros naturais foi motivada pela necessidade de contagem e o ser humano efetua processos de contagem desde a idade antiga. Sobre a origem dos nmeros negativos, racionais, irracionais, reais e complexos, ver BOYER, 1996 ou GARBI, Gilberto. O romance das equaes algbricas. So Paulo: Makron Books, 1997.

    A1

    A3

    A2

    An

    ...

    An-1

    U

  • 11 1.6.2) Conjunto dos nmeros inteiros (Z):

    Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } ou ... . . . . . ... -2 -1 0 1 2

    Subconjuntos de Z: Z+ = {0, 1, 2, 3, ... } = N (conjunto dos inteiros no negativos) Z

    -

    = {..., -3, -2, -1, 0} (conjunto dos inteiros no positivos) Z* = Z - {0}= {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } (conjunto dos inteiros no nulos) =+

    *Z {1, 2, 3, ... } (conjunto dos inteiros positivos) =

    *Z {..., -3, -2, -1} (conjunto dos inteiros negativos)

    Propriedades: Sendo a, b e c Z , tem-se: (a + b) + c = a + (b + c) (associativa da adio) a + b = b + a (comutativa da adio) a + 0 = a (elemento neutro da adio) a + (-a) = 0 (simtrico ou oposto aditivo) (ab)c = a(bc) (associativa da multiplicao) ab = ba (comutativa da multiplicao) a.1 = a (elemento neutro da multiplicao) a(b + c) = ab + ac (distributiva da multiplicao em relao adio)

    Devido a existncia ( existe= ) em Z de elemento simtrico para a adio ( a Z , -a Z tal que 0)( =+ aa ) possvel definir em Z a operao de subtrao, estabelecendo que ZbZa , , tem-se

    ).( baba +=

    No entanto, o inverso de um nmero inteiro q, com q 1 e q 1, no existe em Z, isto , Zq

    1

    se

    }1,1{ Zq . Por isso no se define em Z a operao de diviso. O smbolo qp

    no tem significado em Z. O

    conjunto dos racionais supera esta dificuldade.

  • 12 1.6.3) Conjunto dos nmeros racionais (Q):

    Q =

    Z q e Z p com , *qp

    ou ... . . . . . . . . .. . ...

    -2 23

    -1 -0,1 0 0,25 1 1,333... 2 2,004

    No conjunto dos racionais valem as seguintes definies: (i) igualdade: bcad

    dc

    ba

    ==

    (ii) adio: bd

    bcaddc

    ba +

    =+

    (iii) multiplicao: bdac

    dc

    ba

    =.

    Propriedades:

    Sendo dc

    ba

    , e fe

    Q , tem-se:

    )()( fe

    dc

    ba

    fe

    dc

    ba

    ++=++ (associativa da adio)

    ba

    dc

    dc

    ba

    +=+ (comutativa da adio)

    ba

    ba

    =+ 0 (elemento neutro da adio)

    0)( =+ba

    ba

    (simtrico ou oposto aditivo)

    ).()..( fe

    dc

    ba

    fe

    dc

    ba

    = (associativa da multiplicao)

    ba

    dc

    dc

    ba

    .. = (comutativa da multiplicao)

    ba

    ba

    =1. (elemento neutro da multiplicao)

    fe

    ba

    dc

    ba

    fe

    dc

    ba

    ..)( +=+ (distributiva da multiplicao em relao adio)

    1. =a

    bba

    , com 0ba

    (simtrico ou inverso para a multiplicao)

    Devido propriedade do simtrico multiplicativo ( Qba

    e 0ba

    , Qa

    b tal que 1. =

    a

    bba ),

    define-se em Q* = Q {0} a operao de diviso, estabelecendo-se que c

    dba

    dc

    ba

    .: = para *Qba

    e *Qdc

    .

    Todo nmero racional ba

    pode ser representado por um nmero decimal. Para isso, basta dividir o

    numerador a pelo denominador b. O nmero decimal obtido pode ter uma quantidade finita de algarismo (decimal exata) ou ter uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente (dzima peridica).

  • 13 Todavia, os nmeros decimais com uma quantidade infinita de algarismos no peridicos (dzimas no peridicas) no podem ser obtidos atravs da diviso de dois nmeros inteiros. Por isso, as dzimas no peridicas no so consideradas nmeros racionais.

    Se Qba

    e n um nmero natural tal que n 2 , nem sempre nba

    racional. Assim, a operao de

    radiciao no pode ser definida em Q. O conjunto dos reais supera este impedimento.

    1.6.4) Conjunto dos nmeros irracionais (R - Q): Os nmeros irracionais so dzimas no peridicas como, por exemplo, 2 =1,4142136...;

    =4 5 1,495348...; ...;141592,3=pi e = 2,718281...; 1,010010001...

    Se um nmero irracional e r um nmero racional, ento ,r+ ,.r r

    e

    r so nmeros

    irracionais.

    1.6.5) Conjunto dos nmeros reais (R): O conjunto dos nmeros reais formado por todos os nmeros decimais, sejam eles decimais exatos, dzimas peridicas ou dzimas no peridicas, isto , os nmeros reais so formados pelos racionais e pelos irracionais.

    Assim, R = Q (R - Q ) e geometricamente a reta dos nmeros reais a nica reta contnua dos conjuntos at aqui estudados. Os conjuntos N, Z, Q e (R Q) so representados geometricamente por um conjunto de pontos espaados entre si. Voc sabe dizer por qu?

    A reta dos reais representada pela figura e esto localizados sobre essa reta

    todos os nmeros racionais e irracionais.

    Propriedades: Sendo a, b e c R , tem-se:

    )()( cbacba ++=++ (associativa da adio) abba +=+ (comutativa da adio)

    aa =+ 0 (elemento neutro da adio) 0)( =+ aa (simtrico ou oposto aditivo)

    ).()..( cbacba = (associativa da multiplicao) abba .. = (comutativa da multiplicao)

    aa =1. (elemento neutro da multiplicao) acabcba +=+ )( (distributiva da multiplicao em relao adio)

    11. =a

    a , com 0a (simtrico ou inverso para a multiplicao)

    R

  • 14 Como a R , b R tem-se a - b = a + (-b) , ento a operao de subtrao est definida em R.

    Como a R , b *R tem-se a : b = a.b1

    , ento a operao de diviso est definida em R*.

    Como os conjuntos Q e (R Q) so subconjuntos de R, ento a radiciao pode ser definida em R+, isto , n a R para todo a + R . Desde que o ndice da raiz (n) seja mpar, os radicais da forma n a , com

    + Ra , tambm representam nmeros reais.

    No entanto, n a R se a *+ R . Por exemplo, R1 , pois 211 xx == e tal situao

    impossvel se x .R O conjunto dos nmeros complexos d conta desse impedimento.

    1.6.6) Conjunto dos nmeros complexos (C): Pode-se definir o conjunto dos nmeros complexos como o conjunto dos pares ordenados (x, y) de nmeros reais para os quais esto definidas a igualdade, a adio e a multiplicao conforme abaixo.

    Tomando dois elementos (a,b) e (c,d) 2R , com R2 = R X R, tem-se: (i) igualdade: (a, b) = (c, d) ca = e b = d (ii) adio: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (iii) multiplicao: (a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc)

    Todo nmero complexo z = (a,b) pode ser escrito sob a forma algbrica z = a + bi, onde a unidade imaginria i definida como i = 1 , obtendo-se 12 =i .

    isso que justifica a definio da multiplicao em C como (a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc), uma vez que essa igualdade equivale a

    ),()()).(( 2 bcadbdacibcadbdacbdibciadiacdicbia +=++=+++=++

    Nos livros de engenharia, usual denotar-se a unidade imaginria por j, obtendo-se por exemplo bjaz += .

    Observaes:

    O conjunto C dos nmeros complexos no igual ao conjunto R2, uma vez que pela definio de conjuntos iguais os elementos de C e de R2 no so os mesmos. Por exemplo: (a, b) C significa que a componente b est sendo multiplicada pela unidade imaginria, ou seja, (a, b) apenas uma forma de representar o nmero complexo a + bi.

    Um nmero complexo z = a + bi pode ser representado ainda na forma trigonomtrica ou polar ).(cos seniz += , bem como na forma exponencial iez .= . Geometricamente, os

    nmeros complexos so representados num plano denominado plano de Argand-Gauss.

  • 15 Propriedades:

    Sendo z1, z2 e z3 C , tem-se:

    (z1 + z2) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) (associativa aditiva) z1 + z2 = z2 + z1 (comutativa aditiva) z + (0,0) = z (elemento neutro aditivo) z + (-z) = (0,0) (elemento simtrico ou inverso aditivo) (z1 . z2) . z3 = z1 . ( z2 . z3 ) (associativa multiplicativa) z1 . z2 = z2 . z1 (comutativa multiplicativa) z.(1,0) = z (elemento neutro multiplicativo)

    z.( ), 2222 bab

    baa

    +

    += (1,0) (elemento inverso multiplicativo), com z = (a, b)

    z1. ( z2 + z3) = z1. z2 + z1 .z3 ) (distributiva da multiplicao em relao adio)

    1.7) Estudo dos nmeros reais:

    1.7.1) Valor absoluto ou mdulo de um nmero real:

    Definio:

    b e b > c, ento a > c b) Se a > b e c > 0, ento ac < bc. c) Se a > b e c < 0, ento ac > bc d) Se a> b, ento a + c > b +c para todo c real e) Se a > b e c > d, ento a + c > b + d f) Se a > b> 0 e c > d > 0, ento ac < bd g) ,axaax

  • 17 05) Mostre que: a) ,axaax ax x>a ou x < -a, onde a > 0.

    06) Determinar todos os intervalos de nmeros que satisfaam as desigualdades abaixo:

    a) 435

    x2 + x l) x3 x2 x 2 > 0 m) x3 3x + 2 0

    n) 8x3 4x2 < 2x 1 o) 23

    11

    + xx

    p) 122

    22

    + x

    x

    x

    q) x

    x

    x

    x

    ++

    ++

    xx

    xx

    x

    x

    13

    21

    52

    2 s) ( ) 0)3).(273(

    .299)52(32

    24

    ++

    +

    xxx

    xxx

    07) Resolva as equaes em R e esboce, se possvel, a interpretao grfica de cada uma delas: a) | 5x 3| = 12 b) | 2x 3| = | 7x 5| c) | 3x + 2| = 5 x d) | 9x| 11 = x e) 2x 7 = | x| + 1 f) | 3x 2| = 3x 2 g) | 4 3x| = 3x 4 h) | x +3| + | x| = 7 i) 5

    22

    =

    +

    x

    x

    08) Resolver as inequaes em R: a) | x + 12| < 7 b) | 2x 5| > 3 c) | 4x 7| 1 d) | 2x + 4| < 3 e) 1 < | x + 2| < 4 f)

    21

    125

    xx

    g) 3| x - 1| + | x| < 1 h) 51

    3.11

    + xx

    i) 12/12/1

    0 o raio do intervalo.

    Se a ponto de acumulao direita do conjunto X, ento todo intervalo [a, a+ ), com >0, contm algum ponto de X diferente de a. Analogamente, se a ponto de acumulao esquerda do conjunto X, ento todo intervalo (a - , a], com >0, contm algum ponto de X diferente de a.

    A condio a ponto de acumulao de X exprime-se simbolicamente por:

  • 20 Sobre o eixo das abscissas e direita de O, marca-se o ponto A, correspondente a unidade de

    comprimento do eixo x. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas e acima de O, marca-se o ponto B,

    correspondente a unidade de comprimento do eixo y. Os segmentos OBOA e , que representam as escalas

    utilizadas respectivamente no eixo x e no eixo y, no necessitam ter exatamente a mesma medida, uma vez que

    x e y geralmente representam grandezas distintas como, por exemplo, tempo e velocidade, tempo e deslocamento, lado e rea, etc. Como em Matemtica x e y so grandezas quaisquer, usual adotar a mesma

    escala para ambos os eixos coordenados. Essa escala denominada escala identidade.

    Cada ponto P pode ser inequivocadamente localizado no plano cartesiano mediante um par ordenado

    ),( yx , onde x a abscissa de P e y a sua ordenada. No par ordenado (x,y) x e y no podem ser trocados de lugar, pois h uma relao de ordem no par. Os nmeros reais x e y so denominados coordenadas retangulares de P. O mdulo da abscissa x representa a distncia que P est do eixo y e o mdulo da ordenada y representa a distncia que P est do eixo x.

    Para cada ponto distinto P no plano cartesiano h um e apenas um par de coordenadas (x, y). Inversamente, qualquer par de coordenadas (x, y) determina um e apenas um ponto no plano coordenado. Portanto, no sistema de coordenadas retangulares, h uma correspondncia biunvoca entre cada ponto

    geomtrico e um par ordenado de nmeros reais.

    A localizao de um ponto por meio de suas coordenadas denominada grfico do ponto. O grfico de pontos facilitado pelo uso de papel de coordenadas retangulares (papel quadriculado).

    Os pontos do plano cujas ordenadas so zero localizam-se sobre o eixo x e os pontos cujas abscissas so zero localizam-se sobre o eixo y.

    O x

    y

    P(x,y)

    Px

    Py xPxP eixo o sobre ponto do ortogonal projeo= yPyP eixo o sobre ponto do ortogonal projeo=

    1 A

    y

    x O

    I(+,+) II(-,+)

    III(-, -) IV (+,_)

    B 1

    Figura 1

  • 21 Distncia entre dois pontos no plano cartesiano: Exerccio: Localize num plano cartesiano dois pontos P1(x1, y1) e P2 (x2, y2), onde x1, x2, y1 e y2 so

    nmeros reais quaisquer, e determine a distncia entre P1 e P2. Soluo:

    No tringulo 21MPP tem-se: 121 yyMP = e 122 xxMP = .

    O estudante deve estar atento ao conceito de distncia entre dois pontos no sistema unidimensional, para

    no tomar, por exemplo, a distncia entre P1 e M, dada pelo valor absoluto do comprimento do segmento

    orientado MP1 , como negativa, uma vez que neste caso .012 0, um nmero real. Chama-se bola aberta ou vizinhana B(P0, ), de centro em P0 e raio , o conjunto de todos os pontos P(x,y) 2R cuja distncia at P0 menor que , isto , pelos pontos P(x,y) que satisfazem

  • 22 Ponto de acumulao no plano cartesiano:

    Seja 2RX . Um ponto P0 2R , com P0 no necessariamente pertencente a X, dito um ponto de acumulao de X se toda bola aberta de centro em P0 contiver pelo menos um ponto P X , com P P0.

    Dizer que (x0, y0) ponto de acumulao de X significa dizer que existem pontos de X, distintos de ),( 00 yx , to prximos de (x0, y0) quanto se queira.

    EXERCCIOS: 1) Dados os conjuntos A = {1, 3} e B = {2, 4, 5}, determine os seguintes produtos cartesianos: a) A X B b) B X A c) A2 = A X A d) B2

    2) Considere os conjuntos numricos N, Z, Q, Qe R. Esboce graficamente os produtos cartesianos abaixo: a) N2 b) Z2 c) Q2 d)Q2 e) R2 f) N X R g) Z X R

    3) Dados os conjuntos A = {x }31/

  • 23

    Potncia do chuveiro (em watts), Temperatura da gua (em C), Tempo que o chuveiro permanece ligado (em minuto), Vazo da gua (em m3/minuto), Volume de gua utilizada (em m3), Energia consumida (em kwh), Valor a ser pago pela energia consumida (em $), Valor a ser pago pela gua utilizada (em $).

    Numa situao ideal, algumas dessas grandezas podem ser consideradas constantes e outras variveis

    como, por exemplo:

    Grandezas constantes Grandezas variveis Potncia do chuveiro Volume de gua Temperatura da gua Tempo que o chuveiro permanece ligado Vazo da gua Energia consumida pelo chuveiro Valor pago pela energia consumida Valor pago pela gua utilizada

    possvel tambm determinar um modelo matemtico para representar essa situao. No modelo, podem ser relacionadas diversas grandezas ou, no caso mais simples, apenas duas delas. Em Clculo Diferencial e Integral I, geralmente so estudadas apenas as relaes entre duas grandezas que assumem valores

    reais (o universo considerado o conjunto dos nmeros reais).

    Dentre as grandezas variveis listadas anteriormente, pode-se relacionar duas delas como, por exemplo:

    a energia consumida e o tempo em que o chuveiro permanece ligado,

    a energia consumida e o valor pago por essa energia,

    o volume de gua e o tempo em que o chuveiro permanece ligado,

    o volume de gua e o valor pago pela gua utilizada.

    Em cada uma dessas relaes, preciso identificar qual a varivel dependente e qual a independente,

    perguntando-se qual grandeza depende de qual. Por exemplo: a energia consumida depende do tempo em que o chuveiro permanece ligado ou o tempo em que o chuveiro permanece ligado que depende da energia consumida?

    Na relao entre a energia consumida e o tempo em que o chuveiro permanece ligado, a energia consumida depende do tempo em que o chuveiro permanece ligado. Neste caso, o tempo arbitrrio (grandeza independente) e a energia consumida a grandeza dependente.

  • 24 Na relao entre a energia consumida e o valor pago por essa energia, o valor pago pela energia depende da quantidade de energia que consumida. Neste caso, a energia consumida a grandeza independente e o valor a ser pago a grandeza dependente.

    Analogamente, o volume de gua utilizada depende do tempo em que o chuveiro fica ligado e o valor a ser pago pela gua consumida depende do volume de gua que utilizado.

    Em Matemtica, no estudo das relaes entre duas grandezas quantitativas, usual representar genericamente a varivel dependente por y e a varivel independente por x, sem se preocupar com o que essas

    grandezas podem estar representando particularmente (se tempo, se volume, se rea, etc).

    Assim, na relao entre energia consumida e tempo, a energia ser representada por y e o tempo, por x. J na relao entre valor pago e energia consumida, o valor pago ser representado por y e a energia consumida, por x.

    Utilizando-se diagramas, pode-se resumir essas duas situaes, onde S e T representam duas relaes distintas:

    Se a cada valor da varivel independente x houver apenas um nico correspondente valor da varivel

    dependente y, ento a relao denominada funo.

    Exemplo:

    A lei matemtica y=x2, onde x R , y R , expressa que y uma funo de x, pois para cada valor real de x existe um nico y em correspondncia. No entanto, em y2=x, y no uma funo de x,

    mas x funo de y.

    Numa funo, a lei matemtica que associa y a x pode ser uma funo polinomial ou uma funo

    racional, ou irracional, ou trigonomtrica circular, ou exponencial, ou logartmica, ou modular, dentre outras, dependendo da natureza do problema analisado.

    A seguir, discutiremos esses conceitos de forma mais rigorosa do ponto de vista matemtico.

    Energia consumida (x)

    Valor pago (y)

    x1

    x2

    xn

    y1

    yn

    M M

    y2

    T Tempo (x)

    Energia consumida (y)

    x2

    xn

    M

    x1 y1

    y2

    M

    yn

    S

  • 25 3.1) Relao binria Definio: Dados dois conjuntos A e B, chama-se relao binria de A em B a todo subconjunto R de A X B. Em smbolos:

    R relao binria de A em B R A X B.

    Observao: R aqui no o conjunto dos nmeros reais, mas o nome de uma relao de A em B.

    Exemplo: Dados A = {2, 3, 4, 8} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, tem-se: A X B = {(2, 2),(2, 3),(2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3,7), (4, 2),(4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6), (8, 7)}. Seja R o conjunto de pares ordenados (x, y) A X B tal que x divisor de y. Assim: R = {(x, y) BA X / x y} = {(2, 2),(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)} uma relao binria de A em B.

    Observao: x y l-se: x divide y ou x divisor de y.

    Em diagramas tem-se:

    3.1.1) Domnio de uma relao R de A em B o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R.

    Em smbolos: x R ),/(, yxByyD . No diagrama anterior, D = {2, 3, 4}

    3.1.2) Contradomnio de uma relao R de A em B o conjunto de chegada B.

    3.1.3) Imagem de uma relao R de A em B o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R.

    Em smbolos: y Im R),/(, yxAxx . No diagrama anterior, Im={2, 3, 4, 6}. Decorre da definio que numa relao R de A em B, BAD Im e .

    onde A o conjunto de partida e B o conjunto de chegada da relao R.

    2.

    3.

    4.

    8.

    .2

    .3

    .4

    .5

    .6

    .7

    A B R

  • 26 3.1.4) Relao inversa Definio:

    Dada uma relao binria R de A em B, o conjunto { }R),/( X ),(R 1 = yxABxy uma relao binria de B em A denominada relao inversa de R.

    Note que se R uma relao de A em B, ento 1R um subconjunto de B X A.

    Em diagrama, tem-se:

    Propriedades: a) D(R-1) = Im(R) b) Im (R-1) = D (R) c) (R-1)-1 = R

    EXERCCIOS: 1) Enumerar os elementos de R-1, relao inversa de R, nos seguintes casos: a) R = {(1, -1), (2, -1), (3,-1), (-2, 1)} b) R = {(-3,-2), (1, 3), (-2,-3), (3,1)}

    2) Dadas as seguintes relaes binrias em A = {x 10/ xN }, enumerar os elementos e esboar os grficos de R e R-1:

    a) R = {(x, y) 2A / x + 2y =10} b) R = {(x, y) 2A / y = (x 3)2 + 1} c) R = {(x, y) 2A / y=2x}

    3) Sejam os conjuntos }61/{ = xRxA e }102/{ = yRyB e as relaes binrias a) R = {(x, y) BA X / y = x} b) S = {(x, y) BA X / y = x + 2} c) R = {(x, y) BA X / y + x = 7}. Em cada caso, determine num mesmo plano cartesiano o grfico da relao e da sua respectiva relao inversa.

    x1 .

    x2 .

    M xn .

    . y1

    . y2 M . yn

    A R B

    x1 .

    x2 .

    M xn .

    . y1

    . y2 M . yn

    A R-1

    B

  • 27 3.2) Funo de varivel real4: Definio: Dados dois conjuntos de nmeros reais A e B, no vazios, uma relao f de A em B recebe o nome de aplicao de A em B ou funo definida em A com imagens em B ou simplesmente funo definida de A em B se, e somente se, para todo x A existe um nico y B , tal que (x, y) f . Em smbolos:

    f funo definida de A em B /( Ax fyxBy ),/( }.

    Observaes:

    = existe um nico.

    Toda funo f definida de A em B uma relao binria de A em B, isto , f um subconjunto de A X B. Em geral, h uma sentena matemtica y = f(x) que determina y para um dado x A . Essa sentena

    matemtica denominada lei de correspondncia.

    Notao das funes: Denota-se uma funo f definida de A em B segundo a lei de correspondncia y = f(x), por:

    Bxfy

    Afx )(:

    =

    a

    ou f: Bxf

    Ax )( a

    ou Bxf

    Ax

    f

    )( a

    L-se: f uma funo que associa cada x de A a um y de B tal que y = f(x).

    3.2.1) Domnio: O domnio de uma funo f definida de A em B o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B , tal que (x,y) f . Como, pela definio de funo, todo elemento de A tem essa propriedade, ento D(f) = A. Em smbolos:

    D(f) = { x A , }),( / fyxBy .

    Se x )( fD , diz-se que f definida em x ou que f(x) existe. A expresso f no definida em x significa que x )( fD .

    3.2.2) Contra-domnio: O contradomnio de uma funo f definida de A em B o conjunto CD dos elementos y B . Assim:

    CD (f) = B.

    4 Em Clculo Diferencial e Integral I, geralmente estuda-se apenas as funes reais ou funo de varivel real, isto , aquelas

    funes que possuem apenas uma varivel livre (independente) e que tanto a varivel dependente (y) como a varivel independente (x) assumem apenas valores reais (o conjunto universo o conjunto dos nmeros reais). Essas funes so regidas por uma lei matemtica do tipo y=f(x) e o grfico uma curva plana contida do plano cartesiano. Em Clculo Diferencial e Integral II, so estudadas as funes de duas variveis livres, regidas por leis matemticas do tipo z=f(x,y) cujos grficos so superfcies do espao tridimensional e so estudadas tambm as funes de trs ou mais variveis livres, regidas por leis matemticas do tipo t=f(x,y,z), w=f(x,y,z,t) etc. Em Clculo Diferencial e Integral III, so estudadas as funes de variveis complexas (o conjunto universo o conjunto dos nmeros complexos).

  • 28 3.2.3) Imagem: A imagem de uma funo f definida de A em B o conjunto Im dos elementos y B para os quais existe x A tal que (x,y) f . Portanto, Im B . Em smbolos:

    Im(f) = { y B , }),( / fyxAx .

    Quando se trabalha com subconjuntos dos nmeros reais, usual a funo ser caracterizada apenas pela lei de correspondncia que a define. Neste caso, o domnio de f o conjunto de todos os nmeros reais para os quais a funo est definida. No entanto, a fim de evitar confuses prefervel usar a notao

    Bxfy

    RAfx )(

    :

    =

    a

    , ainda que no se explicite o domnio A.

    3.2.4) Funes iguais: Duas funes f e g, tais que f est definida de A em B e g est definida de C em D, so iguais se e somente se Ax , tem-se: i) A = C (domnios iguais) ii) B = D (contra-domnios iguais), iii) f(x) = g(x) (leis de correspondncias iguais)

    Exemplos:

    a) As funes Rxy

    Rfx 2:

    =

    a

    e Rxy

    Rgx =

    a

    :

    so iguais, pois Rxxx = ,2 .

    b) As funes R

    x

    xy

    Rhx

    24

    }2{:

    2

    +

    =

    a

    e Rxy

    Rjx 2

    }2{:

    =

    a

    so iguais, pois

    2242

    =

    +

    xx

    x, se 2x .

    3.2.5) Grficos de funes: Definio: Seja f uma funo de varivel real. O grfico de f o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) do plano cartesiano, onde x )( fD . Em smbolos, tem-se: )}(/),{()( 2 xfyRyxfGraf == . Em geral, utiliza-se uma representao geomtrica para descrever o grfico de uma funo de varivel real.

    Exemplo: Seja a funo real dada por f: Rxy

    Rx =+a

    . O grfico de f so todos os pontos do R2 que

    assumem a forma (x, x ). Geometricamente, tem-se:

  • 29

    No eixo horizontal ou eixo das abscissas so representados os valores da varivel independente, no importando a denominao que tal varivel recebe (se x ou y). Analogamente, no eixo vertical ou eixo das ordenadas, so representados os valores da varivel dependente, no importando a denominao que tal varivel recebe (y ou x).

    Exemplos:

    a) f: Rsenxy

    Rx =a

    .

    Neste caso, y dado em funo de x. Logo, x a varivel independente e seus valores so representados no eixo das abscissas (horizontal). Conseqentemente, y a varivel dependente e seus valores so representados no eixo das ordenadas (vertical).

    A varivel independente x pode assumir qualquer valor real. No entanto, para facilitar o esboo do

    grfico, os valores de x sero tomados em intervalos de 2pi

    radianos.

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    y = x

    x

    y

    x(rad)

    y

    O 2pi

    2pi

    pi

    -pi

  • 30

    Observaes:

    1 radiano o arco de medida igual ao raio da circunferncia. Numa circunferncia, cabem 28,6rad pi2

    arcos de comprimento igual ao raio da circunferncia.

    Quando o ngulo dado em radianos, no necessrio indicar a unidade. Ex.: 5rad 5 == ,

    4pi)rad

    4pi( tgtg = , sen (1 rad) = sen 1.

    Ao usar a calculadora, certifique-se de que ela esteja no modo radiano, caso os ngulos sejam dados em radianos.

    A funo real definida por x

    senxy = no tem sentido se x for medido em graus. Ao tratar-se de

    funes trigonomtricas circulares, os ngulos sero medidos em radianos, que so nmeros reais, a fim de que seja possvel localiz-los na reta real.

    b) g: Ryx

    Ry 23 2 +=a

    .

    Neste caso, x dado em funo de y. Logo, y a varivel independente e seus valores so representados

    no eixo das abscissas (horizontal). Conseqentemente, x a varivel dependente e seus valores so representados no eixo das ordenadas (vertical).

    x

    y

    y

    x

    O

    Observao: Os eixos x e y no foram rotacionados de sua posio tradicional. Apenas, foram trocados de posio.

  • 31

    c) h: Rx

    yR

    x 1 *

    =

    a

    .

    Como x no pode assumir o valor zero, necessrio estudar a vizinhana do x=0 a fim de perceber o

    comportamento de y.

    Representando, no eixo x, +0 por 0+ (l-se: zero pela direita) e 0 por 0 (l-se: zero pela esquerda), onde 0> o raio da vizinhana de x=0, tem-se:

    preciso analisar, ainda, o comportamento de y quando x cresce ou decresce infinitamente. Assim, representando, no eixo y, +0 por 0+ e 0 por 0 , onde 0> o raio da vizinhana de y=0, pois y

    tambm no assume o valor zero, tem-se:

    Reunindo todas essas informaes num mesmo grfico, tem-se o comportamento geral da funo dada:

    += +x

    yx 10 (l-se: se x tende a zero pela direita, ento y tende a infinito positivo)

    = x

    yx 10 (l-se: se x tende a zero pela esquerda, ento y tende a infinito negativo)

    ) x

    y

    0 +0

    0 (

    +=+ 01x

    yx (l-se: se x tende a infinito positivo, ento y tende a zero pela direita)

    = 01x

    yx (l-se: se x tende a infinito negativo, ento y tende a zero pela esquerda)

    x

    y

    0

    +0

    0

    x

    y

    xy 1=

    x

    y

  • 32 d) j: R

    xy

    Rx

    31

    } 3 ,3{

    2

    =

    a

    .

    Primeiramente, esboa-se no plano cartesiano as retas verticais 3=x e 3=x , de forma tracejada, pois x no pode assumir esses valores.

    No entanto, necessrio estudar a vizinhana de 3=x e de 3=x a fim de perceber o

    comportamento de y. preciso analisar, ainda, o comportamento de y quando x cresce ou decresce infinitamente. Assim, vem:

    e) m: R

    x

    xy

    Rx

    28

    } 2{

    3

    =

    a

    .

    Aqui, deve-se trabalhar com o conceito de funes iguais. A funo m igual a funo

    Rxxy

    Rnx 42

    } 2{:

    2 ++=

    a

    . Logo, o grfico de m dado por:

    Alguns grficos de funes mais complicadas sero esboados mediante o estudo do sinal da primeira e da segunda derivadas da funo dada.

    ( )

    =+

    313 2x

    yx

    ( ) +

    =

    313 2x

    yx

    +

    =+

    313 2x

    yx

    ( )

    =

    313 2x

    yx

    +

    =+ 03

    12x

    yx

    +

    = 03

    12x

    yx

    ) x

    y

    +3

    3 (

    3 3 ) (

    3 + 3 0

    31

    2

    12

    x

    y

  • 33 3.2.6) Sinal e zeros de uma funo:

    A observao do grfico de uma funo possibilita identificarmos os pontos do domnio nos quais a

    funo positiva, negativa ou nula.

    A funo f: Bxfy

    Ax )( =a

    positiva se a varivel dependente y assume valores reais maiores que zero.

    Neste caso, o grfico encontra-se acima do eixo das abscissas.

    A funo f negativa se a varivel dependente y assume valores reais menores que zero, ou seja, o grfico encontra-se abaixo do eixo das abscissas.

    Nos pontos em que o grfico da funo f intercepta o eixo das abscissas, a funo nula, ou seja, a varivel dependente y igual a zero. Os valores (ou o valor) da varivel independente x que tornam y=0 so denominados zeros da funo.

    Exemplo:

    Neste exemplo, os zeros da funo (y = 0) so x = -2, x = 0 e x = 1. A funo positiva (y > 0) nos intervalos -2 < x < 0 ou x > 1. A funo negativa (y < 0) nos intervalos x

  • 34 Funo decrescente: Uma funo f: R

    xfyRD

    x )( =

    a

    denominada funo decrescente num intervalo

    (a,b) do domnio de f quando )()( ,, 212121 xfxfxxDxx >

  • 35 fechado, baseados na existncia das derivadas laterais nos pontos extremos do intervalo [a,b], por exemplo ANTON, Howard. Clculo: um novo horizonte. V 1. 6 ed. Porto Alegre: Bookman, 2000, p. 186.

    Exemplo: Classifique a funo dada pelo grfico abaixo de acordo com seu crescimento ou

    decrescimento:

    Soluo:

    Neste exemplo, a funo :

    Crescente no intervalo x < 1; decrescente no intervalo x > 2; constante no intervalo 1

  • 36

    Exemplo:

    Mnimo local ou relativo: Uma funo real f: Rxfy

    Dx )( =a

    possui um mnimo local ou mnimo relativo no

    ponto Da quando existe um 0> tal que )()(),( afxfDaax + .

    Exemplo:

    Mximo absoluto: Uma funo real f: Rxfy

    Dx )( =a

    possui um mximo absoluto no ponto Da quando

    )()( afxfDx .

    Mnimo absoluto: Uma funo real f: Rxfy

    Dx )( =a

    possui um mnimo absoluto no ponto Da quando

    )()( afxfDx .

    y=f(x)

    x

    y

    a

    f(a) f(x)

    x

    Mximo relativo: y= f(a) Ponto de mximo relativo: x = a

    ) ( a

    +a

    y=f(x)

    x

    y

    a

    f(a) f(x)

    x

    Mnimo relativo: y = f(a) Ponto de mnimo relativo: x = a

    ) (

    a

    +a

  • 37 Exemplo: A funo f: R

    xsenyx pipi,[

    ]=

    a

    tem um mximo absoluto em y=1, pois nenhum outro ponto

    do domnio de f tem imagem maior que essa. Analogamente, f tem um mnimo absoluto em y= -1, pois nenhum outro ponto do domnio de f tem imagem menor que essa.

    3.2.9) Funo limitada:

    Seja RX . Dizer que uma funo f limitada em X significa que existem m, M R , tais que Mxfm )( , para todo Xx , ou seja, f(x) ],[ Mm .O menor desses intervalos contendo todos os valores f(x)

    dado por m =inf f e M=sup f, onde inf f o nfimo de f e sup f o supremo de f.

    Exemplos:

    A funo f: Rxy

    Rx )

    3 2cos( pi+=

    a

    limitada em todo seu domnio, pois [ ]1,1)(, xfRx . Neste caso,

    inf f = -1 e sup f = 1.

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    y=sen x

    pi

    pi-

    2

    pi

    2

    pi

    x (rad)

    Mnimo absoluto: y = -1

    Ponto de mnimo absoluto: x = rad2pi

    Mximo absoluto: y = 1

    Ponto de mximo absoluto: x = rad2pi

    x

    y

    y=-1

    y=1

    )3

    2cos( pi+= xy

    x

    y

    21x

    y =

  • 38 A funo g: R

    xy

    Rx

    21

    }0{

    =

    a

    limitada, por exemplo, no intervalo [1,4], pois

    1,

    161)(],4,1[ xgx . Neste caso, 16

    1inf ]4,1[ = gx e 1sup ]4,1[ = gx . No entanto, no intervalo (0, 2], a funo g

    no limitada, pois ),41[)(],2,0( + xgx . Aqui, 4

    1inf ]2,0( = gx e = gx ]2,0(sup no existe.

    Ainda que no tenhamos o grfico da funo h: R

    x

    xseny

    Rx

    12

    2

    +=

    a

    , possvel classific-la em limitada

    em todo seu domnio, pois [ ]1,0)(, xhRx , uma vez que 11x , 10 22 + xsen e, conseqentemente, 1

    1x0

    2

    2

    +

    xsen .

    3.2.10) Translao e reflexo de grficos: Translao vertical: Se somarmos uma constante k a cada valor y da funo y=f(x), o grfico de y=f(x), denominado grfico bsico, fica transladado verticalmente. Se k>0 o grfico sobe e se k

  • 39 Translao horizontal: Se somarmos uma constante k a cada valor x da funo y=f(x), o grfico bsico fica transladado horizontalmente. Se k>0 o grfico descola-se para esquerda e se k
  • 40 Ao esboar o grfico de uma funo elementar, deve-se estar atento ao grfico da funo bsica. Se

    esse grfico for conhecido, ento aplicando uma translao ou reflexo ao grfico bsico, o trabalho de esboo de grfico pode ser bastante facilitado.

    Exemplos: Esboce o grfico das funes reais regidas pelas seguintes leis matemticas:

    a) y= 2x + 3

    b) y = 2-x2

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    y=x

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    y=2x

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    y=2x+3

    Grfico bsico

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    Grfico bsico

    y=x2

    y=-x2

    y=2-x2

  • 41

    c) y = 13

    2

    +x

    d) )4

    (213 pi= xseny

    7 6 5 4 3 2 1 1 2

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    x

    y

    13

    2

    +=

    xy

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    6 5 4 3 2 1 1 2 3

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    6 5 4 3 2 1 1 2 3

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    Grfico bsico

    xy 1=

    31+

    =

    xy 3

    2+

    =

    xy

    x= -3

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    x

    y

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    x

    y

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    x

    y

    Grfico bsico

    xseny = )4pi( = xseny )4

    pi( = xseny

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    x

    y

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    )4pi

    (21

    = xseny )4pi(

    213 = xseny

    2pi

    43pi

    4pi

    y=1

    y=-1

    y=1 y=1

    y=-1

    y=1/2

    y=-1/2

    y=5/2

    y=7/2

    y= -1

  • 42 3.2.11) Classificao de uma funo de varivel real:

    a) Funo injetora: Definio: Uma funo f de A em B dada por funo f: B

    xfyAx )( =a

    injetora se, e somente se,

    x )( fD , x1 )()( 212 xfxfx ou 2121 )()( xxxfxf == .

    Exemplo:

    b) Funo sobrejetora: Definio: Uma funo f de A em B sobrejetora se, para todo By existe um elemento Ax , tal que y=f(x), ou seja, uma funo sobrejetora se Im (f) = B.

    Em smbolos: Seja a funo f: Bxfy

    Ax )( =a

    . f sobrejetora yxfAxBy = )(/,

    Exemplo:

    c) Funo bijetora: Definio: Uma funo f(x) bijetora se for injetora e sobrejetora simultaneamente, ou seja, para todo By existe um nico Ax , tal que y=f(x).

    Seja a funo f: Bxfy

    Ax )( =a

    . f bijetora )(/ , xfyAxBy =

    1x

    2x

    M

    nx

    1y

    2y

    3yM

    my

    A B f

    1x

    2x

    M

    1nx

    nx

    1y

    2y

    M

    my

    A B f

  • 43 Exemplo:

    Observao:

    Existem funes que no so sobrejetoras nem injetoras. Ex.: Rxy

    Rx

    f

    :=

    a

    .

    d) Funo par: Definio: Uma funo f(x) par se, para todo x no domnio de f, tem-se f(-x) = f(x).

    O grfico de uma funo par simtrico em relao ao eixo dos y.

    Exemplos:

    1x

    2x

    M

    1nx

    nx

    1y

    2y

    3yM

    my

    A B f

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    12 += xy

    x -x

    f(x)=f(-x)

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    y=cos x

    2

    pi

    2

    pi

  • 44 e) Funo mpar: Definio: Uma funo f(x) mpar se, para todo x no domnio de f, tem-se f(-x) = -f(x).

    O grfico de uma funo mpar simtrico em relao origem.

    Exemplos:

    f) Funo peridica: Uma funo f(x) peridica se existe um nmero real T >0 tal que f(x + T) = f(x) para todo x )( fD . O menor nmero real positivo de T chamado perodo da funo f(x). O grfico de uma funo peridica se repete a cada intervalo de comprimento T .

    Exemplos:

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    3xy =

    x

    -x

    f(x)

    f(-x)

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    y=sen x

    2pi

    2pi

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    xseny 2=4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    y=tg x

  • 45 3.2.12) Operaes com funes de uma varivel real:

    a) Adio, subtrao, multiplicao e diviso: Definio: Dadas as funes de uma varivel real f e g, sua soma f + g, diferena f g, produto f.g e quociente f/g, so definidas por:

    i) (f+g)(x) = f(x) + g(x) ii) (f-g)(x) = f(x) g(x) iii) (f.g)(x) = f(x).g(x) iv) )()())((

    xgxf

    xgf

    =

    O domnio das funes f + g, f g e f.g a interseco dos domnios de f e g. O domnio de f/g a interseco dos domnios de f e g, excluindo-se os pontos x onde g(x) = 0.

    Exemplos:

    a) f: Rxxy

    RDx +=

    a

    . Como D( xy =1 ) = R, D( )2 xy = = +R e ++ = RRR , ento D( xxy += ) = +R .

    Portanto, a funo f fica assim definida: f: Rxxy

    Rx +=+a

    b) g: Rexy

    RDx x. 2=

    a

    . Como D( 21 xy = ) = R, D( )2 xey = = R e RRR = , ento D(y = xex .2 )= R .

    Portanto, a funo g fica assim definida: g: Rexy

    Rx x. 2=a

    .

    c) h: R

    x

    xsenyRD

    x =

    a

    . Como D( xseny 1 = )=R, D( )12x

    y = = *R e ** RRR = , ento

    D(x

    xsenx

    xseny 1. == )= }0{* = RR . Portanto, a funo h fica assim definida: h: Rx

    xseny

    Rx

    }0{

    =

    a

    .

    b) Produto de uma funo por um escalar: Se f uma funo e k um nmero real, definimos a funo kf por (kf)(x) = kf(x).

    O domnio de kf coincide com o domnio de f.

    Exemplo: Seja a funo f: Rxy

    RDx )2ln(3 +=

    a

    . Como D( )2ln(1 += xy ) = ),2( + , ento

    D( )2ln(3 += xy ) = ),2( + . Portanto, a funo f fica assim definida: f: Rxyx )2ln(3

    ),2(

    +=+

    a

    .

  • 46 c) Composio de funes: Dadas duas funes f e g, a funo composta de g com f, denotada por g 0 f definida por (g 0 f)(x) = g(f(x)). O smbolo g 0 f l-se g composta com f ou g bola f .

    O domnio de g 0 f o conjunto de todos os pontos x no domnio de f tais que f(x) est no domnio de g.

    Em smbolos: D(g 0 f ) = {x )}()(/)( gDxffD

    Em diagrama, tem-se:

    Exemplo: Sejam as funes f: Rxyx 3

    ),3[ +=+

    a

    e g: Rxy

    Rx ln *

    =

    +a

    . Determine o domnio e a lei de

    composio das funes g 0 f e f 0 g.

    Soluo:

    a) g 0 f = g(f(x)). Lei de composio:

    O domnio de g 0 f ser dado por:

    Como f(-3)=0 e zero no pertence ao domnio de g(x)=lnx, ento o domnio de g 0 f ),3( + , pois neste intervalo as imagens f(x) pertencem ao intervalo ),0( + que igual ao domnio da funo g. Em diagrama, vem:

    Verificao: g 0 f = 3ln +x 30303 >>+>+ xxx

    x

    f(x)

    g(f(x))

    f g

    g 0 f

    x

    3ln +x

    f g

    g 0 f

    3+x

    ),3[ +

    3+= xf g=lnx ),0[ +

    ?

    g 0 f = 3ln +x

    g 0 f = 3ln +x ),3( +

    3+= xf g=lnx ),0( +

    R

  • 47

    b) f 0 g = f(g(x)). Lei de composio:

    O domnio de f 0 g ser dado por:

    Existe um intervalo (0

  • 48 Os grficos de uma funo f: B

    xfyAx )( =a

    e da sua inversa g= f 1: Aygx

    By )( =a

    so simtricos

    em relao bissetriz dos quadrantes mpares. Isso porque a composio g(f(x))=x. Veja:

    Exemplo: Defina a funo y = x2 4x + 3 no maior intervalo real tal que ela admita funo inversa. D o domnio, o contradomnio e a frmula da funo inversa. Esboce o grfico da funo dada e da sua inversa.

    Soluo: A funo y = x2 4x + 3 no bijetora em seu todo seu domnio (D(y)=R). No entanto, se restringirmos a funo aos intervalos 2x ou 2x ela ser bijetora e, portanto, admitir funo inversa.

    A lei matemtica que define a funo inversa dada por:

    y = x2 4x + 3 yxyxyxyxx +=+===+ 122

    )1(442

    )3(41640342 . Da, vem:

    a) Se f: ),1[34

    ),2[

    2+

    +=+

    xxyx a, ento b) Se f: ),1[

    34]2,(

    2+

    +=

    xxyx a, ento

    ),2[12

    ),1[:

    1 +

    ++=

    += yx

    g y

    fa

    . ]2,(12

    ),1[:

    1

    +=

    += yx

    h y

    fa

    .

    x

    y=f(x)

    g(f(x))=g(y)=x

    f g

    g 0 f

    A

    B

    A

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    y

    y

    y=f(x)

    x=g(y) x

    x 4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    x

    y

    x y

    x=h(y)

    y=f(x)

  • 49 Grficos auxiliares:

    Observao:

    O grfico de yx += 12 , onde x o eixo das ordenadas (varivel dependente) e y o eixo das abscissas

    (varivel independente), equivalente ao grfico de yxx =+ 342 , basta elevar ambos os membros ao quadrado

    e isolar y. No entanto, na equao yxx =+ 342 , obtida de yx += 12 , x continua sendo a varivel dependente e

    y continua sendo a varivel independente. Como em Matemtica, usualmente representamos a varivel

    independente no eixo horizontal e a denominamos por x, bem como representamos a varivel dependente no

    eixo vertical e a denominamos de y, ento o grfico de yx += 12 equivalente ao grfico de x = y2-4y+3.

    Veja:

    3.2.13) Tipos de funes elementares: Funes elementares so funes regidas por leis matemticas que contm um nmero finito de operaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao, radiciao, exponenciao, logaritmao ou trigonomtrica (direta ou inversa)). As funes elementares dividem-se em algbricas e em transcendentes.

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    342

    y += yx

    x

    y

    yx += 12

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    yxx =+ 342

    x

    y

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    342

    y += yx

    y

    x

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    yx += 12

    y

    x

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    x

    y

    342 += xxy

  • 50

    a) Funo algbrica: uma funo que pode ser obtida atravs de um nmero finito de operaes algbricas de polinmios. As operaes algbricas so a adio, a subtrao, a multiplicao, a diviso, a potenciao e a radiciao com

    ndice inteiro positivo. Exemplos: Funo racional inteira ou polinomiais, funo racional fracionria, funo irracional.

    b) Funo transcendente: uma funo que transcende as operaes algbricas, ou seja, aquela que no algbrica. Exemplos: Funes exponenciais, logartmicas, trigonomtricas circulares (diretas e inversas), trigonomtricas hiperblicas (diretas e inversas).

    3.2.14) Outros tipos de funes: Funo modular, funo maior inteiro, menor inteiro, funo sinal, funo derivada, funo integral, etc.

    3.2.15) Formas de apresentao de funes de uma varivel real: Forma explcita: Uma funo de varivel real est representada na forma explcita se a varivel dependente dada em funo da varivel independente, ou seja, a varivel dependente est isolada. Genericamente escreve-se y=f(x).

    Exemplos:

    a) f: Rxxy

    RDx 34 2 +=

    a

    b) g: Rxsenxy

    RDx

    =

    a

    c) h: Rtts

    RDt 45 2 +=

    a

    d) j: Ryyx

    RDy 43 2 =

    a

    (neste caso, a varivel dependente x e a independente y).

    Forma implcita: A equao F(x,y)=k define implicitamente as funes y=f(x) ou x=g(y) se ao substituirmos y por f(x) ou x = g(y) na equao F(x,y)=k, esta equao se transforma numa identidade. No entanto, nem sempre uma equao F(x,y)=k define uma funo y=f(x) ou x=g(y) como, por exemplo:

    a) x2 + y2 +1=0 122 =+ yx . No existe par ordenado (x,y), com x e y reais, que satisfaa essa equao.

    b) x2 + y2 =0 0== yx .

    Ainda que a equao F(x,y)=k admita solues, ou seja, ainda que existam pares ordenados de nmeros reais que satisfaam a equao, por si s ela no representa y como funo de x e nem x como funo de y.

  • 51

    Exemplo: A equao x2 + y2 = 4 possui infinitas solues. Ela representa uma circunferncia de centro na origem e raio igual a 2. No entanto, x2 + y2 = 4 no representa y como funo de x, pois para x pertencente

    ao intervalo [ ]2 ,2 existem dois valores de y em correspondncia. Analogamente, a equao x2 + y2 = 4 tambm no representa x como funo de y.

    Todavia, se tomarmos por exemplo 0 e ]2,2[ yx , a equao 222 44 xyyx ==+ representar

    implicitamente a funo f: [ ] +=

    Rxyx 24

    2 ,2

    a

    .

    x

    y

    f: [ ] +=

    Rxyx 24

    2 ,2

    a

    .

    x

    y

    x

    y

    x2+y2=4

    x

    y

  • 52

    De forma anloga, a equao 422 =+ yx tambm representa implicitamente as funes:

    Assim, a equao F(x,y)=k, quando define alguma funo, pode representar implicitamente diversas funes dos tipos y=f(x) ou x=g(y).

    Usualmente, a forma implcita utilizada para representar uma funo quando no possvel utilizar a forma explcita y=f(x) ou x=g(y). Exemplo: 3x2y +2 ln (xy)=0.

    Forma paramtrica: Sejam

    =

    =

    )()(tyytxx

    duas funes da mesma varivel real t, com ],[ bat . A cada valor de t

    correspondem dois valores x e y. Conseqentemente, a cada valor de t corresponde um ponto P(x(t),y(t)) do plano cartesiano xOy. Se as funes x=x(t) e y=y(t) so contnuas, quando t varia de a at b, o ponto P(x(t), y(t)) descreve uma curva no plano. As equaes x=x(t) e y=y(t) so denominadas equaes paramtricas da curva e t denominado parmetro.

    x

    y

    g: [ ]

    =

    Rxyx 24

    2 ,2

    a

    x

    y

    x

    y

    h: [ ] +=

    Rxyx 24

    2 ,0

    a

    x

    y

    x

    y

    j: [ ] ]2,0[4

    2 ,2

    2yxy =

    a

    y

    x

    x

    y

  • 53 Exemplo:

    a)

    =

    =

    sen

    cos

    ryrx

    , onde 2pi0 e 0 >r , so as equaes paramtricas de uma circunferncia com centro na

    origem do sistema de coordenas cartesianas e raio igual a r. Demonstrao:

    b)

    =

    =

    sen

    cos

    byax

    , onde 2pi0 e 0, >ba , so as equaes paramtricas de uma elipse com centro na origem,

    semi-eixo maior a e semi-eixo menor b. Demonstrao:

    x

    y

    x

    y

    x2+y2=r2

    x

    y

    P

    Como sen e cos ryrx == , vem:

    =

    =

    =+

    sen

    cos222

    ryrx

    ryx ,

    onde 2pi0 e 0 >r . r

    Toma-se um ponto P(x,y) qualquer sobre a elipse e ergue-se uma perpendicular ao eixo x, passando por P(x,y). Seja A o ponto de interseo entre essa perpendicular e a circunferncia de centro na origem e raio igual ao semi-eixo maior da elipse. Da, tem-se:

    aOAOM == .

    No tringulo OAA tem-se: cosax = .

    Como a equao cannica da elipse com centro

    na origem dada por 122

    2

    2

    =+by

    a

    x e cosax = a

    abscissa do ponto P da elipse, vem que a ordenada de P dada por:

    sen sen1cos 22222

    2

    22

    bybyby

    a

    a===+ , pois

    b>0 e y ter o sinal do sen .

    x

    y

    O A

    A

    P

    M

    N

    Semi-eixo maior: aOM = Semi-eixo menor: bON =

  • 54

    c)

    =

    =

    btgyax sec

    , onde [ ] }2

    3,

    2{0,2 e 0, pipipi >ba , so as equaes paramtricas de uma hiprbole com

    centro na origem, semi-eixo real a e semi-eixo imaginrio b, com eixo real sobre Ox.

    Demonstrao:

    No caso da hiprbole ter o eixo real sobre Oy, sua equao cannica dada por 122

    2

    2

    =

    bx

    a

    y, de onde vm

    suas equaes paramtricas

    =

    =

    sec

    aybtgx

    .

    d)

    =

    =

    )cos1()(

    aysenax

    , onde 0>a , so as equaes paramtricas de uma ciclide. Uma ciclide o lugar

    geomtrico descrito por um ponto fixo da circunferncia de um crculo que roda sem deslizar sobre uma reta

    fixa.

    Demonstrao:

    Seja CB=CM=a o raio do crculo rolante de centro em C, P(x,y) um ponto fixo da circunferncia e M o ponto de contato do crculo com a reta fixa Ox, denominada base. Se o arco PM=OM em comprimento, ento P tocar O se o crculo roda para a esquerda.

    Seja o ngulo MCP^

    . Da, vem:

    x=ON=OM NM==a -asen =a(1-sen ) y=NP=MC-AC=a - acos =a(1-cos ).

    Toma-se um ponto P(x,y) qualquer sobre a hiprbole. Quando percorre o intervalo

    2,

    2pipi

    descrito o ramo direito da hiprbole ( ax ) e quando percorre o intervalo

    23

    ,

    2pipi

    descrito o ramo esquerdo

    da hiprbole ( ax ).

    Como a equao cannica da hiprbole com

    centro na origem dada por 122

    2

    2

    =

    by

    a

    x e

    1sec 22 = tg (relao trigonomtrica), pode-se fazer: e sec tg

    by

    a

    x== , de onde se tem as equaes

    paramtricas

    =

    =

    sec

    btgyax

    .

    B1

    B2

    P(x,y)

    Semi-eixo real: 2 aOA = Semi-eixo imaginrio: bOB =2

    x

    y

    O A1 A2

  • 55

    Logo, as equaes paramtricas da ciclide so

    =

    =

    )cos1()1(

    aysenax

    . O ponto V denominado vrtice.

    EXERCCIOS: 01) Esboce o grfico das relaes abaixo e verifique se elas representam funo: a) A = {(x,y) 2R / y2 = x} b) S = {(x,y) 2R / x2 + y2 = 4}

    c) T = {(x,y) 2R / x2 + y2 = 4 e 0 2 x } d) V = {(x,y) 2R / y = x2}

    e) X: Ry

    Rxa

    , com y =

    >

  • 56 3.2.16) Funes especiais: a) Funo polinomial: toda funo do tipo f: R

    xayRx n

    p

    pp

    =

    =

    0

    a

    , onde a0, a1, a2, ..., an so nmeros reais

    no nulos chamados coeficientes e n, inteiro no negativo, determina o grau da funo. Explicitamente, temos

    f(x) = =

    n

    p

    pp xa

    0 = anx

    n + an-1x

    n-1 + ... + a2x

    2 + a1x + a0 .

    Vejamos alguns tipos especiais de funo polinomial:

    a.1) Funo constante: uma funo polinomial de grau zero, do tipo f: Rky

    Rx =a

    . O domnio da

    funo f(x) = k D(f) = R e o conjunto imagem Im(f) = {k}. O grfico uma reta paralela ao eixo x, passando por y = k.

    Exemplos:

    a) f(x) = 3 b) f(x) = -1 c) f(x) = 0

    a.2) Funo do 1 grau: Funo polinomial do 1 grau ou simplesmente funo do 1 grau uma funo do tipo f: R

    baxyRx +=a

    , com 0a . Os nmeros reais a e b so chamados, respectivamente,

    coeficiente angular e coeficiente linear. O domnio de f(x) D(f) = R e a imagem Im(f) = R.

    O grfico de uma funo f(x) = ax + b, com 0a , uma reta no paralela aos eixos coordenados. Se a > 0, a funo f(x) crescente e se a < 0 f(x) decrescente.

    x

    y

    x

    y

    x

    y

  • 57 Exemplos:

    a) b)

    a.3) Funo identidade: uma funo do 1 grau, do tipo f: Rxy

    Rx =

    a

    . O domnio de f(x)

    D(f) = R e a imagem Im(f) = R.

    O grfico da funo f(x) = x a reta bissetriz dos quadrantes mpares.

    Exemplo:

    a.4) Funo quadrtica ou funo do 2 grau: uma funo polinomial do 2 grau, do tipo f: R

    cbxaxyRx ++= 2

    a

    , com 0a . O grfico de uma funo quadrtica uma parbola com eixo de simetria

    paralelo ao eixo dos y.

    Na funo f(x) = ax2 + bx + c se a > 0 , ento a parbola tem concavidade voltada para cima e se a < 0 a parbola tem concavidade voltada para baixo.

    A interseco do eixo de simetria com a parbola um ponto denominado vrtice.

    b

    a

    b

    a 0 y=ax +b

    x

    y

    x

    y

  • 58 O domnio de f(x) = ax2 + bx + c, com 0a , D(f) = R e o conjunto imagem Im(f) = [ )+,vy se a > 0 , ou Im(f) = ( ]vy, se a < 0, onde yv a ordenada do vrtice.

    Fazendo f(x) = ax2 + bx + c = 0, tem-se os zeros da funo dados por a

    acbbx

    242

    = , onde o

    radicando acb 42 = denominado discriminante.

    De acordo com os valores de a e de , pode-se ter seis possibilidades para y = ax2 + bx + c:

    Interseco com o eixo dos x Concavidade

    210 xx > 210 xx == Rxx 0

    a

  • 59 d) Funo modular: toda funo do tipo f: R

    xyRx =a

    .

    O domnio de f(x) = x D(f) = R e a imagem Im(f) = R+. O grfico de f(x) = x dado por:

    e) Funo exponencial: toda funo do tipo f: R

    ayRx x=a

    , com 0 < a 1 .

    O domnio de f(x) = ax, com 0 < a 1 , D(f) = R e a imagem Im(f) = *+R .

    Com relao ao grfico da funo f(x) = ax , pode-se afirmar: i) a curva exponencial est toda acima do eixo das abscissas, pois y = ax > 0 para todo x .R ; ii) corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1); iii) f(x) = ax crescente se a >1 e decrescente se 0< a 1

    0< a < 1

    x

    y

    x

    y

    x

    y

  • 60 f) Funo logartmica: toda funo do tipo f: R

    xyR

    x alog *

    =

    +a

    , com 0 < a 1 .

    O domnio de f(x) = loga x D(f) = *+R e a imagem Im(f) = R.

    Com relao ao grfico da funo f(x) = loga x, pode-se afirmar: i) est todo direita do eixo y; ii) corta o eixo das abscissas no ponto (1,0); iii) f(x) = loga x crescente s a > 1 e decrescente se 0 < a < 1; iv) simtrico ao grfico da funo g(x) = ax em relao a reta y=x.

    Exemplo: Valor de a f(x) = loga x

    a > 1

    0< a < 1

    g) Funes trigonomtricas circulares: Seno e cosseno: Seja t um nmero real. Marca-se um ngulo com medida t radianos na circunferncia de raio unitrio e centro na origem do sistema de coordenadas cartesiano. Seja P o ponto de interseco do lado terminal do ngulo t, com essa circunferncia. Denomina-se seno de t, denotado por sen t, a ordenada 1OP do ponto P e

    cosseno de t, denotado por cos t, a abscissa 2OP do ponto P.

    Exemplo:

    x

    y

    x

    y

    (1,0)

    (0,1)

    O

    P P1

    P2 t

    x

    y

  • 61 g.1) Funo seno: toda funo do tipo f: R

    xyRx sen =a

    .

    O domnio de f(x) = sen x D(f) = R e a imagem Im(f) = [-1, 1]. A funo f(x) = sen x peridica de perodo 2pi radianos, j que sen (x + 2pi ) = sen x. O grfico da funo f(x) = sen x denominado senide. Exemplo:

    g.2) Funo cosseno: toda funo do tipo f: R

    xyRx cos =a

    .

    O domnio de f(x) = cos x D(f) = R e a imagem Im(f) = [-1, 1]. A funo f(x) = cos x peridica de perodo 2pi radianos, j que cos (x + 2pi ) = cos x. O grfico da funo f(x) = cos x denominado cossenide. Exemplo:

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

  • 62 g.3) Funo tangente: toda funo do tipo f: R

    x

    xyRD

    x

    cos

    sen

    =

    a

    , com cos x 0.

    O domnio de f(x) = tg x D(f) =

    + ZkkxRx ,2

    / pipi e a imagem Im(f) = R.

    A funo f(x) = tg x peridica de perodo pi radianos, j que tg (x +pi ) =tg x. O grfico da funo f(x) = tg x denominado tangentide. Exemplo:

    g.4) Funo cotangente: toda funo do tipo f: R

    x

    xyRD

    x

    sen

    cos

    =

    a

    , com sen x 0.

    O domnio de f(x) = cotg x D(f) = { }ZkkxRx ,/ pi e a imagem Im(f) = R. A funo f(x) = cotg x peridica de perodo pi radianos, j que cotg (x +pi ) = cotg x. O grfico da funo f(x) =cotg x dado por:

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

  • 63 g.5) Funo secante: toda funo do tipo f: R

    xy

    RDx

    cos

    1

    =

    a

    , com cos x 0.

    O domnio de f(x) = sec x D(f) =

    + ZkkxRx ,2

    / pipi e a imagem Im(f) = ( ] [ )+ ,11, . A funo f(x) = sec x peridica de perodo 2pi radianos, j que sec (x +2pi ) =sec x.

    O grfico da funo f(x) =sec x dado por:

    g.6) Funo cossecante: toda funo do tipo f: R

    xy

    RDx

    sen

    1

    =

    a

    , com sen x 0.

    O domnio de f(x) = cossec x D(f) = { }ZkkxRx ,/ pi e a imagem Im(f) = ( ] [ )+ ,11, . A funo f(x) = cossec x peridica de perodo 2pi radianos, j que cossec (x +2pi ) = cossec x. O grfico da funo f(x) =cossec x dado por:

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    4 3 2 1 1 2 3 4 5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

  • 64 h) Funes trigonomtricas inversas: h.1) Funo arco seno:

    Se f: [ ]xy

    xsen

    1,12

    ,

    2

    =

    a

    pipi, ento a inversa de f, denominada funo arco seno, dada por

    [ ]senyxy

    fgarc

    1

    2,

    21,1:

    =

    =

    pipi

    a

    .

    Note que foi necessrio restringir o domnio da funo f(x) = sen x num intervalo em que f(x) fosse bijetora. Poderamos ter escolhido outros intervalos como, por exemplo,

    ,...

    25

    ,

    23

    ou 2

    3,

    2ou

    2,

    23

    ou 2

    3,

    25

    ...,

    pipipipipipipipi No entanto, o intervalo

    2,

    2

    pipi facilita clculos, uma

    vez que zero pertence a ele.

    Na funo g=f -1:[ ]yxy senarc

    2,

    21,1

    =

    pipi

    a

    , em que x = arc sen y, x varivel dependente e, portanto, seus

    valores devem ser marcados sobre o eixo das ordenadas. Analogamente, y a varivel independente e, portanto, seus valores devem ser marcados sobre o eixo das abscissas.

    No entanto, para evitar confuses, vamos apenas fazer o grfico de g:[ ]xyx senarc

    2,

    21,1

    =

    pipi

    a

    , uma vez que

    estamos acostumados a relacionar o eixo das ordenadas com os valores de y e o eixo das abscissas com os valores de x. Assim:

    x

    y

    2pi

    1

    2pi

    -1 x

    y

  • 65 h.2) Funo arco cosseno: Se f: [ ] [ ]

    xsyx co 1,1,0

    =

    a

    pi , ento a inversa de f, denominada funo arco cosseno, dada por

    g=f -1: [ ] [ ]ysxy co arc

    ,01,1=

    pia

    .

    Note que foi necessrio restringir o domnio da funo f(x) =cos x num intervalo em que f(x) fosse bijetora. Poderamos ter escolhido outros intervalos.

    De modo anlogo ao que fizemos na funo arco seno, vamos apenas fazer o grfico de

    g: [ ] [ ]xyx cos arc

    ,01,1=

    pia

    :

    Observao: Considerando o tringulo retngulo , tem-se:

    2

    pi =+ e x = sen =cos . Portanto, =arc sen x e = arc cos x. Assim, arc cos x = xarcsen

    2

    pi

    x

    y

    x 1 -1

    pi

    2

    pi

    x 1

  • 66 h.3) Funo arco tangente: Se f:

    xtgyx

    R

    2,

    2=

    a

    pipi, ento a inversa de f, denominada funo arco tangente, dada por

    g=f -1:yxy

    R

    tgarc 2

    ,

    2=

    pipi

    a

    .

    Note que foi necessrio restringir o domnio da funo f(x) =tg x num intervalo em que f(x) fosse bijetora. Poderamos ter escolhido outros intervalos.

    De modo anlogo ao que fizemos na funo arco seno, vamos apenas fazer o grfico de g:xyx

    R

    tgarc 2

    ,

    2=

    pipi

    a

    :

    h.4) Funo arco cotangente: Se f: ] [

    xgyx

    R cot

    ,0=

    a

    pi , ento a inversa de f, denominada funo arco cotangente, dada por

    ] [yxy

    Rfg cotg arc

    1,0:

    =

    = pia

    .

    Faa o grfico de g: ] [ xcotg arc

    ,0=

    yxR pia

    :

    Observao: Do tringulo retngulo , tem-se:

    2

    pi =+ e x = tg =cotg . Portanto, =arc tg x e = arc cotg x.

    Assim, arc cotg x = arctgx2pi

    x

    y

    2pi

    2pi

    x

    1

  • 67 h.5) Funo arco secante: Se f: ] [ ] ] [ [

    xyx sec

    ,11,2

    ,0

    =

    +

    a

    pipi , ento a inversa de f, denominada funo arco secante, dada por

    g=f -1: ] ] [ [ ] [yxy sec arc

    2,0,11,

    =

    + pi

    pi

    a

    .

    O grfico de g=f -1: ] ] [ [ ] [ xsec arc

    2,0,11,

    =

    + yx

    pipi

    a

    dado por:

    Se y = arcsec x , ento x = sec y = ycos

    1. Da, vem: cos y =

    =

    xarcy

    x

    1cos

    1 , se 1x .

    Logo, arc sec x =

    xarc

    1cos

    h.6) Funo arco cossecante: Se f: { } ] ] [ [

    xyx seccos

    ,11,02

    ,

    2=

    +

    a

    pipi, ento a inversa de f, denominada funo arco cossecante, dada por

    g=f -1: ] ] [ [ { }yxy cossec arc

    02

    ,

    2,11,

    =

    +

    pipi

    a

    .

    O grfico de g: ] ] [ [ { }xyx cossec arc

    02

    ,

    2,11,

    =

    +

    pipi

    a

    dado por:

    Se y = arc cossec x , ento x = cossec y = ysen

    1. Da, vem: sen y =

    =

    xsarcy

    x

    1en

    1 , se 1x .

    Logo, arc cossec x =

    xarc

    1sen .

    x

    y

    2pi

    pi

    -1 1 x

    y

    x

    y

    2pi

    2pi

    1 -1

    y

    x

  • 68 i) Funes trigonomtricas hiperblicas: Seno hiperblico e cosseno hiperblico: Seja t um nmero real tal que t = 2Ah, onde Ah a rea do setor hiperblico POQ no sistema de coordenadas cartesiano abaixo e Q tem coordenadas (1,0). Seja P um ponto que descreve o ramo direito de uma hiprbole unitria. Denomina-se seno hiperblico de t, denotado por senh t, a ordenada 1OP , onde P1 a

    projeo ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas, e cosseno hiperblico de t, denotado por cosh t, a abscissa 2OP , onde P2 a projeo ortogonal de P sobre o eixo das abscissas.

    Exemplo:

    O seno hiperblico de um nmero real x definido por senh x = 2

    xx ee , onde x denominado

    argumento do seno hiperblico e o cosseno hiperblico de um nmero real x definido por

    cosh x = 2

    xx ee +, onde x denominado argumento do cosseno hiperblico.

    De forma anloga s relaes trigonomtricas circulares, define-se:

    tgh x = xx

    xx

    ee

    eextgh

    x

    x

    +

    = coshsenh

    cotgh x = xx

    xx

    ee

    eexgh

    x

    x

    xtgh

    +== cot

    senhcosh

    1

    xx eexh

    xxh

    +==

    2 sec

    cosh 1

    sec

    xx eexxh

    ==

    2 senh

    1 seccos

    Dessas definies, resultam as seguintes identidades: cosh2 x senh2 x = 1

    1 tgh2 x = sech2x (basta dividir ambos os membros de cosh2 x senh2 x = 1 por cosh2x) 1 cotgh2 x = -cossech2x (basta dividir ambos os membros de cosh2 x senh2 x = 1 por -senh2x)

    Devido a esse comportamento semelhante s funes trigonomtricas circulares que as funes

    exponenciais f(x)=senh x, g(x)=cosh x, h(x)=tgh x, j(x)= cotgh x, l(x)= sec xh e m(x)= xh seccos recebem o adjetivo trigonomtricas. O adjetivo hiperblicas deve-se ao fato do ponto P de coordenadas (cosh t, senh t) estar sobre a hiprbole unitria x2 - y2 = 1, uma vez que cosh2 t senh2 t = 1.

    1

    P

    P2

    P1

    O Q x

    y

  • 69 i.1) Funo seno hiperblico: toda funo do tipo f: R

    xyRx senh =a

    .

    O domnio de f(x) = senh x= 2

    xx ee D(f) = R e a imagem Im(f) = R

    O grfico da funo f(x) = senh x pode ser obtido adicionando-se as ordenadas das funes auxiliares

    g(x)= xe21

    e h(x)= xe21

    . Primeiramente, esboa-se os grficos de g(x)= xe21

    e h(x) = xe21 (pode ser

    tracejado) e posteriormente soma-se as ordenadas obtendo-se f(x) = g(x) + h(x).

    i.2) Funo cosseno hiperblico: toda funo do tipo f: R

    xyRx cosh =a

    .

    O domnio de f(x) = cosh x= 2

    xx ee + D(f) = R e a imagem Im(f) = [ [+,1 .

    O grfico da funo f(x) = cosh x pode ser obtido adicionando-se as ordenadas das funes auxiliares

    g(x)= xe21

    e h(x)= xe21

    . Primeiramente, esboa-se os grficos de g(x)= xe21

    e h(x) = xe21 (pode ser

    tracejado) e posteriormente soma-se as ordenadas obtendo-se f(x) = g(x) + h(x).

    x

    y

    f(x)=senh x

    h(x) = xe21

    g(x) = xe21

    x

    y

    g(x) = xe21

    h(x) = xe21

    f(x) = coshx

  • 70 A funo cosseno hiperblico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou corrente flexvel, uniforme, cujas extremidades es