Aprendendo

Raciocínio

Lógico

Sentenças Abertas

Sentenças matemáticas abertas ou simplesmente sentenças abertas são expressões que não podemos identificar como verdadeiras ou falsas. Exemplos: x + 4 = 12. Essa expressão pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor da incógnita x. Ele esta estudando. Nessa outra , precisaríamos saber de quem está se falando para poder atribuir valor lógico à sentença.

Raciocínio Lógico

Sentenças Fechadas ou Proposições

Sentenças matemáticas fechadas ou proposições são expressões que podemos identificar como verdadeiras ou falsas. Exemplos: 5 + 4 = 12. Essa expressão é falsa, logo uma proposição Dudan está estudando para preparar suas aulas. Essa outra também pois sabemos ser uma “eterna” verdade.

Raciocínio Lógico

Proposições Compostas

Proposição composta é a união de proposições simples por meio de um conector lógico. Esse conector irá ser decisivo para o valor lógico da expressão. Proposições podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lógicos. Conectores que criam novas sentenças mudando ou não seu valor lógico (Verdadeiro ou Falso).

Raciocínio Lógico

Proposições Compostas

• Uma proposição simples possui apenas dois valores lógicos, verdadeiro ou falso.

• Já proposições compostas terão mais do que duas possibilidades distintas de combinações dos seus valores lógicos.

• Portanto , de acordo com o número de proposições simples que compõem uma proposição composta, montamos a tabela verdade com um número de linhas que pode ser calculado elevando o algarismo 2 ao numero de proposiçoes simples que usaremos.

• Exemplo: Uma proposição compsta construída com duas simples terá 4 linhas na sua tabela verdade. Isso porque 2² = 4;

• Caso tenhamos 3 proposições simples compondo a composta, teremos 2³ = 8 linhas na tabela verdade e assim por diante.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “e” / “^” Tabela Verdade: V V = V Exemplo: Dudan viaja e ensina Matemática.

Conjunção

Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Dudan viaja e ensina Matemática. p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Se usarmos Teoria dos Conjuntos , basta lembrar que “p ^ q” é a intersecção, logo a região que pertence a ambos, portanto é onde ambos se confirmam Verdadeiros.

Raciocínio Lógico

Mais Exemplos: • Adoro Matemática e passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado e agradecerei aos professores.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “ou” / “v” Tabela Verdade: F F = F Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática.

Disjunção Inclusiva

Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Dudan viaja ou ensina Matemática. p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Se usarmos Teoria dos Conjuntos , basta lembrar que “p v q” é a união, logo toda a região que é limitada pelos conjuntos, portanto é onde algum deles se confirma Verdadeiro.

Raciocínio Lógico

Mais Exemplos:

• Adoro Matemática ou passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “Se...então” / “” Tabela Verdade: V F = F “Vera Fischer Falsa” Exemplo: Se Dudan viaja então ensina Matemática.

Condicional

Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Na Condicional temos uma ideia de “causa e efeito”. Assim a proposição inicial é a condição necessária e a outra , a condição suficiente.

Raciocínio Lógico

Mais Exemplos:

• Se adoro Matemática então passarei nesse concurso.

• Se vou ser nomeado então agradecerei aos professores.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “Ou...ou...” / “v” Tabela Verdade: V V = F e F F = F Exemplo: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática.

Disjunção Exclusiva

Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. p v q

V V F

V F V

F V V

F F F

Se usarmos Teoria dos Conjuntos , basta lembrar que “p v q” a região de exclusividade dos conjuntos, portanto é onde somente um deles se confirma Verdadeiro.

Raciocínio Lógico

Mais Exemplos:

• Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso.

• Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “Se e somente se...” / “” Tabela Verdade: F F = V e V V = V Exemplo: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática.

Bicondicional

Dudan viaja p Dudan ensina Matemática q Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Podemos entender a bicondicional como uma condicional de ida e outra de volta.

Raciocínio Lógico

Mais Exemplos:

• Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores.

Raciocínio Lógico

Negação Simples

Para negar uma sentença acrescentamos o não ou o retiramos, sem mudar a estrutura da frase, mas mudando seu valor lógico. Exemplo: Dudan adora Matemática. Negação: Dudan não adora Matemática. Exemplo: Amanha não vai chover. Negação: Amanha vai chover.

Raciocínio Lógico

Negação de Proposições Compostas

Negar uma proposição composta não é tão simples como negar uma proposição simples mas a ideia de mudar seu valor lógico permanece. Sendo assim uma proposição composta será negada de acordo com o conectivo . As regras são específicas e devem ser decoradas.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “e” / “^” Tabela Verdade: V V = V Negação: nega ambas as proposições e troca “e”por “ou”. ~(p^q) = ~p V ~q Exemplo: Dudan viaja e ensina Matemática. Negação: Dudan não viaja ou não ensina Matemática.

Conjunção

p q p ^ q ~p ~q ~p v ~q

V V V F F F

V F F F V V

F V F V F V

F F F V V V

Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela verdade.

Raciocínio Lógico

Mais Exemplos: • Adoro Matemática e passarei nesse concurso.

Negando, temos:

• Não adoro Matemática ou não passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado e agradecerei aos professores.

Negando , temos:

• Não vou ser nomeado ou não agradecerei aos professores.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “ou” / “V” Tabela Verdade: F F = F Negação: nega ambas as proposições e troca “ou”por “e”. ~(pVq) = ~p ^ ~q Exemplo: Dudan viaja ou ensina Matemática. Negação: Dudan não viaja e não ensina Matemática.

Disjunção Inclusiva

p q p v q ~p ~q ~p ^ ~q

V V V F F F

V F V F V F

F V V V F F

F F F V V V

Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela verdade.

Raciocínio Lógico

Mais Exemplos: • Adoro Matemática ou passarei nesse concurso.

Negando, temos:

• Não adoro Matemática e não passarei nesse concurso.

• Vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

Negando , temos:

• Não vou ser nomeado e não agradecerei aos professores.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “Se ...então ” / “” Tabela Verdade: V F = F Negação : Confirma a causa “e” nega a consequencia ~(p q ) = p ^ ~q Exemplo: Se Dudan viaja, então ensina Matemática. Negação : Dudan viaja e não ensina Matemática.

Condicional

p q p q p ~q ~p ^ ~q

V V V V F F

V F F V V V

F V V F F F

F F V F V F

Observe que de fato, o valor lógico da proposição composta mudou em todas as linhas da tabela verdade.

Raciocínio Lógico

Mais Exemplos: • Se adoro Matemática então passarei nesse concurso.

Negando, temos:

• Adoro Matemática e não passarei nesse concurso.

• Se vou ser nomeado então agradecerei aos professores.

Negando , temos:

• Vou ser nomeado e não agradecerei aos professores.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “Ou...ou...” / “V” Tabela Verdade: F F = F e V V = F Negação: ~(p V q) = p ↔ q Exemplo: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática. Negação :Dudan viaja se e somente se ensina Matemática.

Disjunção Exclusiva

Raciocínio Lógico

Mais Exemplos: • Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso.

Negando, temos:

• Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso.

• Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

Negando , temos:

• Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores.

Raciocínio Lógico

Conectivos : “Se e somente se” / “↔” Tabela Verdade: F F = V e V V = V Negação: ~(p ↔ q) = (q v p) Exemplo: Dudan viaja se e somente se ensina Matemática. Negação: Ou Dudan viaja ou ensina Matemática.

Bicondicional

Raciocínio Lógico

Mais Exemplos:

Adoro Matemática se e somente se passarei nesse concurso.

Negando, temos:

• Ou adoro Matemática ou passarei nesse concurso.

Vou ser nomeado se e somente se agradecerei aos professores.

Negando , temos:

• Ou vou ser nomeado ou agradecerei aos professores.

Raciocínio Lógico

COMO A FUNDATEC

COBRA ISSO?

Qual operação lógica descreve a tabela verdade da função Z abaixo cujo operandos são A e B? Considere que V significa Verdadeiro, e F, Falso. A B Z F F V F V V V F F V V V a) Ou. b) E. c) Ou exclusivo. d) Implicação (se...então). e) Bicondicional (se e somente se).

BRDE - 2015

Considere as seguintes premissas de um argumento: 1. “Se eu chego cedo ou está chovendo, então eu consigo passar na prova.” 2. “Se eu consigo passar na prova, então farei uma viagem.” 3. “Eu não farei uma viagem.” Para que o argumento acima seja válido, sua conclusão deve ser : a) Eu não chego cedo, não está chovendo e não consigo passar na prova. b) Eu chego tarde e não consigo passar na prova, porque está chovendo. c) Eu não chego cedo, está chovendo e não fiz a prova. d) Não está chovendo, mas eu cheguei cedo e não fiz a prova. e) Eu não fiz a prova porque estava chovendo.

PROCERGS - 2012

Dado que as proposições “Eu fiz o curso.” e “Eu estudei muito.” são verdadeiras e que “Estive presente em todas as aulas.” é falsa, qual das alternativas a seguir representa uma proposição verdadeira? a) Se estudei muito, então não fiz o curso. b) Se eu fiz o curso, então estive presente em todas as aulas. c) Eu fiz o curso ou estudei muito, mas estive presente em todas as aulas. d) Se estudei muito e fiz o curso, então estive presente em todas as aulas. e) Se estive presente em todas as aulas, então eu fiz o curso e estudei muito.

PROCERGS - 2012

Sejam dadas as seguintes proposições: I. Se 2 é um número primo, então 3 é um número par. II. Se 2 não é um número primo, então 3 é um número par. III. Se 3 é um número primo, então 2 não é um número par. A sequência dos valores lógicos V, se verdadeiro, F, se falso, de cada uma das três proposições compostas acima, ordenados de cima para baixo, é: a) F – F – F. b) F – V – F. c) F – V – V. d) V – V – F. e) V – F – V.

PROCERGS - 2012

Se está chovendo, então a TV não está ligada. Ou a TV está ligada, ou João não gosta de TV. Ora, João gosta de TV. Logo, a) está chovendo e a TV está ligada. b) está chovendo e a TV não está ligada. c) não está chovendo e a TV está ligada. d) não está chovendo e a TV não está ligada. e) está chovendo, a TV está ligada e João não gosta de TV.

SEFAZ - 2014

Uma vidraça de uma escola foi quebrada no momento em que três amigos, Cláudio, Gérson e Marcos, brincavam no pátio. Sabe-se que o delito foi cometido por um ou por mais de um deles. Sabe-se, também, que I. Se Cláudio é inocente, então Gérson é culpado. II. Ou Marcos é culpado ou Gérson é culpado, mas não os dois. III. Marcos não é inocente. Logo, a) Gérson e Marcos são culpados. b) Somente Cláudio é inocente. c) Somente Gérson é culpado. d) Somente Marcos é culpado. e) Cláudio e Marcos são culpados.

SEFAZ - 2014

Cinco amigos, André, Bernardo, Carlos, Danilo e Eduardo, prestaram um concurso público. Sabe-se que, se André estudou, Bernardo foi aprovado; se Carlos foi aprovado, André estudou; se Danilo não estudou, Eduardo também não estudou; se Danilo estudou, Carlos foi aprovado. Sabe-se que Eduardo estudou. Então a) Carlos não foi aprovado. b) Danilo não foi aprovado. c) Eduardo foi aprovado. d) André foi aprovado. e) Bernardo foi aprovado

SEFAZ - 2014

Supondo verdadeiro que: Nego que Mário ou João são engenheiros. Se Mário não é engenheiro então Mário é agrônomo.Se João trabalha na construção civil então João é engenheiro. Deduzimos que é verdadeiro: a) Mário é agrônomo e João é engenheiro. b) Mário não é agrônomo e João é engenheiro. c) Mário é agrônomo e João não trabalha na construção civil. d) Mário é agrônomo e João trabalha na construção civil. e) Mário é engenheiro e João trabalha na construção civil.

SEFAZ - 2014

Considere que o início da tabela-verdade da fórmula (P ∨ ~ Q → ~ P ∧ Q) é: A alternativa correta para as respectivas linhas da avaliação do último conetivo dessa fórmula é: a) V – V – V – V. b) F – V – F – F. c) F – F – V – V. d) F – F – V – F. e) V – F – F – V.

PREF DE PORTO ALEGRE-RS - 2016

Considere as seguintes proposições: I. Sete é menor ou igual a dez. II. Quinze não é número ímpar, mas é múltiplo de três. III. Quatro dividido por dois tem resto igual a zero, portanto quatro é número par. IV. Se sete é número ímpar então sete é divisível por três. V. Quinze é divisível por três, porém quinze não é divisível por cinco. Em relação aos valores-lógicos, quais são verdadeiros? a) Apenas I e II. b) Apenas I e III. c) Apenas II e III. d) Apenas III e IV. e) Apenas II, III e V.

PREF DE PORTO ALEGRE-RS - 2016

Na lógica formal, temos os operadores lógicos do condicional (→),negação (~) e conjunção (∧ ), representados na fórmula proposicional: (P ∧ Q→~R). Supondo que: P representa a sentença declarativa: Maria tem salário líquido maior que R$ 2.500,00. Q representa a sentença declarativa: Maria desconta imposto de renda na fonte. R representa a sentença declarativa: Maria recebe auxílio refeição. A alternativa que representa, em linguagem natural, a fórmula acima para as respectivas sentenças declarativas é: a) Se Maria tem salário líquido maior que R$ 2.500,00 e desconta imposto de renda na fonte, então Maria recebe auxílio refeição. b) Maria tem salário líquido maior que R$ 2.500,00. E, se desconta imposto de renda na fonte, então Maria não recebe auxílio refeição. c) Maria tem salário líquido maior que R$ 2.500,00. E, se desconta imposto de renda na fonte, então Maria recebe auxílio refeição. d) Se Maria tem salário líquido maior que R$ 2.500,00 e não desconta imposto de renda na fonte, então Maria não recebe auxílio refeição. e) Se Maria tem salário líquido maior que R$ 2.500,00 e desconta imposto de renda na fonte, então Maria não recebe auxílio refeição.

BRDE- 2015

• Gabarito: D-A-C-B-C-E-E-C-D-B-E