Apres Elem Aresta v5
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Transcript of Apres Elem Aresta v5
GRUCAD/2012
Introdução aos elementos de aresta
Universidade Federal de Santa CatarinaDepartamento de Engenharia Elétrica
Grupo de Concepção e Análise de Dispositivos Eletromagnéticos
GRUCAD
André Giovani Leal FurlanFilipe Nunes Resmini
Maycon Aurélio Maran
GRUCAD/2012
Estrutura da apresentação
Introdução
Conceitos básicos
Formulação
Aplicação magnetostática
Vantagens e desvantagens
Exemplo computacional
GRUCAD/2012
Introdução
O que são elementos de aresta?
v
p
3
4
85
1
2
6 7
u
v
p
2
3
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12
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9
7
u
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6
5
GRUCAD/2012
Introdução
Whitney (1957) (Fundamentação
matemática) Nedelec (1980)(Teorização)
Bossavit (1982)(Análise)
Nedelec (1986)(Correções)
Bossavit (1989)(Utilização – problemas
de espalhamento)
Webb (1983)(Problemas de
espalhamento de
onda)
Mur (1994)(Análise – custo
computacional e erros)
Bastos (1994)(Correntes parasitas)
Ahagon (1998)(Funções de forma)
Albanese
(1983)(Correntes
parasitas 3D)
Ahagon,
Kameari,
Perugia, NigamElementos de maior
ordem
GRUCAD/2012
Tipos de elementos de aresta
Elemento de aresta misto ou Whitney I
Possuem um número de incógnitas igual ao número de arestas do
elemento.
Implicam em campos livres de divergência;
Não são totalmente lineares;
Erros da ordem de ‘h’;
Menor custo computacional não compensa a falta de precisão.
GRUCAD/2012
Tipos de elementos de aresta
Elemento de aresta consistentemente linear
Possuem duas incógnitas por aresta;
Variação linear em todas as direções;
Erros da ordem de ‘h²’;
Melhor representação de campos próximos a cantos;
Maior demanda computacional – mais incógnitas por malha.
GRUCAD/2012
Formulação básica
3
1 2 u
v
(1)
(2)(3)
Elemento de referência Funções de mapeamento nodais
Funções de mapeamento de aresta e interpolação:
𝑁1=1−𝑢−𝑣𝑁 2=𝑢𝑁 3=𝑣
∅⃗ 𝑘=∅⃗ 𝑖𝑗=𝑁 𝑖𝛻𝑁 𝑗−𝑁 𝑗𝛻 𝑁 𝑖∅⃗ 1¿ ∅⃗ 1⃗2=𝑁1𝛻𝑁 2−𝑁 2𝛻𝑁1=(1−𝑣 ) a⃗𝑢+u a⃗𝑣∅⃗ 2 ¿ ∅⃗ 2⃗3=𝑁 2𝛻 𝑁3−𝑁 3𝛻𝑁 2=−𝑣 a⃗𝑢+𝑢 a⃗𝑣∅⃗ 3 ¿ ∅⃗ 3⃗1=𝑁 3𝛻𝑁1−𝑁1𝛻 𝑁3=−𝑣 a⃗𝑢+(1−𝑢) a⃗𝑣
GRUCAD/2012
Formulação básica
•
Propriedade das funções de interpolação:
𝑛𝑘=∫𝑖
𝑗
∅⃗ 𝑘 .𝑑�⃗�=1
Como é o campo na fronteira do elemento?
GRUCAD/2012
Formulação básica
Comportamento da função de interpolação da aresta 1.
GRUCAD/2012
Formulação básica
Obtenção do campo no elemento:
Soma das funções de interpolação no elemento:
�⃗�=∅⃗ 1 .𝑒1+∅⃗ 2 .𝑒2+∅⃗ 3.𝑒3=∑𝑖=1
𝑘
∅⃗ 𝑘 .𝑒𝑘
GRUCAD/2012
Suponha a variável definida no elemento retangular abaixo:
Onde a função de forma está associada à aresta “i” do elemento.
Note: As funções de forma são vetores, possuem direção e posição
(elementos nodais têm apenas posição)
Elementos de Aresta
x
ly
lx
y
�⃗�
�⃗�1
2
3
4
O
�⃗�(𝑥 , 𝑦 )
GRUCAD/2012
Funções de Forma (2D)
x
ly
lx
y
�⃗�
�⃗�1
2
3
4
O
�⃗�(𝑥 , 𝑦 )
GRUCAD/2012
Funções de Forma (2D)
�⃗� (𝑥 , 𝑦 )=∑𝑖=1
4
�⃑�𝑖 𝐴𝑖
x
ly
lx
y
�⃗�
�⃗�1
2
3
4
O
�⃗�(𝑥 , 𝑦 )
GRUCAD/2012
Funções de Interpolação (2D)
�⃗� (𝑥 , 𝑦 )=∑𝑖=1
4
�⃑�𝑖 𝐴𝑖
x
ly
lx
y
�⃗�
�⃗�1
2
3
4
O
�⃗�(𝑥 , 𝑦 )
GRUCAD/2012
Funções de Interpolação (2D)
As funções de interpolação são vetores, possuem direção e posição!
Note que para aresta 1, a direção é î e a posição é:
Para aresta 3, temos:
(aresta 1)
(metade do caminho)
(aresta 3)
(aresta 1)
(metade do caminho)
(aresta 3)
GRUCAD/2012
Vetor Potencial
O que são as variáveis em
????
GRUCAD/2012
Vetor Potencial
O que são as variáveis em
????
Note que:
x
ly
lx
y
�⃗�
�⃗�1
2
3
4
O
�⃗�(𝑥 , 𝑦 )
GRUCAD/2012
Vetor Potencial
O que são as variáveis em
????
Note que:
x
ly
lx
y
�⃗�
�⃗�1
2
3
4
O
�⃗�(𝑥 , 𝑦 )
é a projeção do vetor sobre a
aresta “i” !
GRUCAD/2012
Hexaedro (3D)
Um hexaedro possui 6 faces, 8 nós e 12 arrestas.
v
p
3
4
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1
2
6 7
u
v
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2
3
8
12
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9
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6
5
Numeração dos nós Numeração das aresta
GRUCAD/2012
Hexaedro (3D)
Um hexaedro possui 6 faces, 8 nós e 12 arrestas.
�⃗� (𝑥 , 𝑦 )=∑𝑖=1
12
�⃑�𝑖 𝐴𝑖
v
p
3
4
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1
2
6 7
u
v
p
2
3
8
12
41
9
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5
Numeração dos nós Numeração das aresta
GRUCAD/2012
Funções de Forma (3D)
(
Depende das coordenadas:
Depende das coordenadas:
Pois:
Responsável pela direção da aresta em coordenadas
reais.
5
v
p
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3
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GRUCAD/2012
Funções de Forma (3D)
Aresta i φi
1 (1-v)(1-p)
2 u(1-p)
3 v(1-p)
4 (1-u)(1-p)
5 (1-u)(1-v)
6 u(1-v)
7 uv
8 (1-u)v
9 (1-v)p
10 up
11 vp
12 (1-u)p
(
Depende das coordenadas:
Depende das coordenadas:
Pois:
Responsável pela direção da aresta em coordenadas
reais.
5
v
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3
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GRUCAD/2012
Como determinar as funções (???
Funções de Forma (3D)
5
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GRUCAD/2012
Funções de Forma (3D)
Como determinar as funções (???
Exemplo:
(
pois indica a direção da aresta 11
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2
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GRUCAD/2012
Funções de Forma (3D)
Como determinar as funções (???
Exemplo:
(
pois indica a direção da aresta 11
Mas como calcular (assim como: e ) nas coordenadas ????
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3
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GRUCAD/2012
Funções de Forma (3D)
Como determinar as funções (???
Exemplo:
(
pois indica a direção da aresta 11
Mas como calcular (assim como: e ) nas coordenadas ????
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p
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3
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GRUCAD/2012
Funções de Forma (3D)
Como determinar as funções (???
Exemplo:
(
pois indica a direção da aresta 11
Mas como calcular (assim como: e ) nas coordenadas ????
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v
p
2
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GRUCAD/2012
Funções de Forma Nodais (3D)
Aresta
123
56
8Onde:
vc
pc
3
4
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1
2
6 7
uc
GRUCAD/2012
Funções de Forma Nodais (3D)
Aresta
123
56
8Onde:
vc
pc
3
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1
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uc
vc
pc
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1
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uc
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0ൌ��ሺ0 ሻȀ�
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Funções de Forma Nodais (3D)
vc
pc
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ൌ��ሺ ሻȀ�
GRUCAD/2012
Funções de Forma Nodais (3D)
vc
pc
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uc
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ൌ��ሺ ሻȀ�
GRUCAD/2012
Funções de Forma Nodal (3D)
vc
pc
3
4
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uc
v
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3
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1
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ൌ��ሺ ሻȀ�
GRUCAD/2012
Funções de Forma Nodais (3D)
vc
pc
3
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uc
v
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3
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1
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u
ൌ��ሺ ሻȀ�
Como exemplo, seja a função N1, através da tabela do slide anterior, obtém-se:
GRUCAD/2012
Funções de Forma (3D)
Eq. de Maxwell → Cálculo de 5
v
p
2
3
8
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u
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GRUCAD/2012
Funções de Forma (3D)
Eq. de Maxwell → Cálculo de
Arestas1,3,9,11
Paralelas ao eixo u
2,4,10,12Paralelas ao eixo v
5,6,7,8Paralelas ao eixo p
5
v
p
2
3
8
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GRUCAD/2012
Caso Magnetostático
Equações Fundamentais
GRUCAD/2012
Caso Magnetostático
Equações Fundamentais
𝛻×1μ
(𝛻× A⃗ )=J⃗
GRUCAD/2012
Caso Magnetostático
Equações Fundamentais
𝛻×1μ
(𝛻× A⃗ )=J⃗
∫Ω
❑ 1μ
(𝛻× A⃗ ) . (𝛻×w⃗m ) dΩ−∫Ω
❑
J⃗ . w⃗mdΩ=0
Galerkin
GRUCAD/2012
Caso Magnetostático
Equações Fundamentais
𝛻×1μ
(𝛻× A⃗ )=J⃗
∫Ω
❑ 1μ
(𝛻× A⃗ ) . (𝛻×w⃗m ) dΩ−∫Ω
❑
J⃗ . w⃗mdΩ=0
Galerkin
a (n ,m )=∑i=1
8
W i1μ
[𝛻×w⃗n(ui , v i , pi) ] . [𝛻×w⃗m(u i , v i , pi)] det [ J (ui , v i , pi) ] Matriz de contribuição elementar
Onde e são oito combinações de ,
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Vantagens e Desvantagens
Nodal Aresta
Whitney I Cons. Lineares
HeterogenidadesNão apresenta
boas caracteterísticas
Apresenta bons resultados
Cantos e reentrâncias
Dificuldade de convergência
Melhor convergência, mas sem precisão garantida
Precisão O(h2) O(h) O(h2)
Problema: Custo computacional
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Vantagens e Desvantagens
Mesma ordem de grandeza aproximadamente dobro ou mais
FLOPS por inversão pelo método de gradiente conjugado;
Custo Computacional:
Tipo Nodal Aresta Whitney 1Aresta
Consistentemente linear
Geometria do
elemento
Tetraedro ou
hexaedroO(h2)
Hexaedro dividido
em 6 tetraedros
O(h)
Hexaedro divido em
5 tetraedros
O(h)
Hexaedro dividido
em 6 tetraedros
O(h2)
Hexaedro dividido
em 5 tetraedros
O(h2)
FLOPS 256 150 126 600 504
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Vantagens e Desvantagens
Ortogonalidade dos eixos do sistema nodal gera mais
elementos nulos nas matrizes;
Imposição de continuidade entre elementos de aresta gera
aumento da conectividade entre matrizes;
O armazenamento de dados é similar ao custo computacional
para elementos nodais e de aresta.
Custo Computacional:
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Vantagens e Desvantagens
Campo vetorial – melhor
representação por eixos
ortogonais;
Elementos nodais garantem
tal vantagem;
Elementos de aresta de
dimensões muito diferentes
geram representação pobre
dos campos.
Condições de Representação de Campos:
Elemento de aresta
Elemento nodal
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Vantagens e Desvantagens
Soluções puramente matemáticas – sem significado físico;
Soluções espúrias dependem da formulação e do problema;
Elementos de aresta não garantem eliminação de modos
espúrios – apenas de uma de suas causas;
Soluções Espúrias
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Exemplo de Aplicação
Problema magnetostático
10μ0
μ0
• .J
y
x
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Exemplo de Aplicação
Pontos de comparação:
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Exemplo de Aplicação
Resultados EFCAD – Linhas de Fluxo e Distribuição de Potencial:
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Exemplo de Aplicação
Resultados FEECS – Vetores Indução:
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Exemplo de Aplicação
Resultados FEECSN – Vetores Indução:
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Exemplo de Aplicação
Comparação de Resultados:
FEECS
Elemento Bx By
19 4,37E-02 1,10E-02
25 5,51E-03 3,39E-02
46 1,18E-02 5,46E-02
66 3,18E-02 2,29E-03
EFCAD
Elemento Bx By
19 4,09E-02 1,32E-02
25 5,35E-03 3,32E-02
46 1,21E-02 5,13E-02
66 3,18E-02 1,76E-03
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Exemplo de Aplicação
Comparação de Resultados:
FEECSN
Elemento Bx By
19 4,37E-02 1,10E-02
25 5,01E-03 3,34E-02
46 1,18E-02 5,46E-02
66 3,18E-02 2,29E-03
EFCAD
Elemento Bx By
19 4,09E-02 1,32E-02
25 5,35E-03 3,32E-02
46 1,21E-02 5,13E-02
66 3,18E-02 1,76E-03
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Exemplo de Aplicação
Erros em relação ao EFCAD:
FEECS FEECSN
Elemento Erro Bx Erro By Erro Bx Erro By
19 6,80% -16,52% 6,82% -16,50%
25 2,99% 2,02% -6,35% 0,65%
46 -2,31% 6,39% -2,31% 6,39%
66 -0,09% 30,17% -0,08% 30,19%
MSE: 3,89% 17,52% 4,80% 17,50%
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Vantagens e Desvantagens
Grande Vantagem: possibilidade de salto entre interfaces de
um meio para o outro, facilitando o cálculo em meios com
propriedades diferentes.
Podem ser utilizados em meios homogêneos e heterogêneos;
Elementos nodais são mais eficientes, mas podem apresentar
problemas ao serem utilizados apenas em (sub)domínios
homogêneos;
Nenhum dos dois garantem eliminação de modos espúrios.
Conclusões:
GRUCAD/2012
Elementos de Aresta - Vantagens e Desvantagens
A utilização de elementos de aresta é restrita e depende
fortemente da formulação utilizada;
Muitos problemas de representação de campo podem ocorrer
e a precisão dos resultados depende do uso de elementos de
maior ordem e, consequentemente, um maior custo
computacional.
Conclusões:
