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Caos
Caos
António Ornelas - 67900, Helena Marques - 67915, Joana
Duarte - 67918
Laboratório de Física Experimental Avançada
Instituto Superior Técnico
May 28, 2012
Caos
Introdução
Teoria de Feigenbaum
Figura: Mitchell Feigenbaum (1944 - )
Razões de convergência e constantes Universais de Feigenbaum
Bn − Bn−1
Bn+1 − Bn=
∆Bn
∆Bn+1
≡ δn em que δ = 4.6692... (1)
∆An
∆An+1
≡ αn em que α = 2.5029... (2)
Caos
Introdução
Iteração funcional
Iteração funcional
x1 = f (x0)x2 = f (x1) = f (f (x0)) = f 2(x0)
Para a função logística: f (x) = λx(1− x)
Partindo de um ponto �xo da função iteradora, x0 = x∗, oresultado das sucessivas iteradas é sempre x0 pois f (x∗) = x∗ -períodica e de período 1.Partindo de um ponto que não o ponto �xo, as iteradas irãoconvergir para um ponto �xo x∗
1- período 1
Alterando λ as iteradas tendem para dois pontos �xosalternados: x∗
1, x∗
2, x∗
1, x∗
2... - período 2
E assim sucessivamente...
Caos
Introdução
Iteração funcional
Figura: Convergência das iteradas para um e dois pontos �xos,respectivamente.
Caos
Actividade Experimental
Circuito RLC não-linear
Figura: Circuito experimental.
VIN = b + a cos(ωt) (3)
C (V ) =C0(
1 + Vl
)r . (4)
Caos
Actividade Experimental
Observação da tensão aos terminais do Díodo
Período V1 (V) V2 (V) V3 (V) V4 (V)
126.90
X X X27.0027.70
Média (V) 27.20 ± 0.33
212.50 20.70
X X12.30 21.2012.40 21.40
Média (V) 12.40 ± 0.27 21.10 ± 0.27
46.10 16.90 9.50 19.606.20 17 9.70 19.805.70 16.80 9.10 19.30
Média (V) 6.00 ± 0.20 16.90 ± 0.07 9.43 ± 0.22 19.57 ± 0.18
Tabela: Amplitude dos picos de tensão para cada duplicação de período evalores médios, com respectivos desvios médios, sobre os três ensaiosefectuados. As alturas dos picos de tensão estão registadas por ordem desucessão.
Caos
Actividade Experimental
Observação da tensão aos terminais do Díodo
Cálculo do valor médio e respectivo desvio médio:
Vn =3∑
i=1
Vni
3(5)
εVn =3∑
i=1
∣∣Vni − Vn
∣∣3
(6)
Caos
Actividade Experimental
Observação da tensão aos terminais do Díodo
Figura: Função de intervalo para o período 2 do sistema em estudo.
Padrão de resposta periódica: R̂LRLRL...
Caos
Actividade Experimental
Observação da tensão aos terminais do Díodo
Figura: Função de intervalo para o período 4 do sistema em estudo.
Padrão de resposta periódica: R̂LRR RLR...
Caos
Actividade Experimental
Estudo do diagrama de Bifurcações
Figura: Diagrama de bifurcações tipo que ilustra os intervalos εn e ∆n
que permitem a obtenção das primeiras razões de convergência dasconstantes Feigenbaum, α e δ.
Tem-se que, para as razões de convergência,
αn =εnεn+1
(7)
δn =∆n
∆n+1
. (8)
Caos
Actividade Experimental
Estudo do diagrama de Bifurcações
Ensaio 41 (µs) 42 (µs) ε1 (V) ε2 (V)
1 1232.5 210.0 20.5 12.8
2 1236.5 203.3 20.2 12.3
3 1246.0 227.0 20.4 12.6
Média 1238.3 ± 5.1 213.4 ± 9.0 20.37 ± 0.11 12.6 ± 2.2
Tabela: Resultados dos intervalos (tempo e tensão) medidos noosciloscópio nas duas primeiras regiões de duplicação de período
Caos
Actividade Experimental
Estudo do diagrama de Bifurcações
δ1 α1
Experimental 5.80 ± 0.27 1.62 ± 0.30
Tabelado 4.669... 2.503...
Desvio à exactidão (%) 24.2 35.3
Tabela: Primeiro termo das sucessões convergentes para o δ e o α deFeigenbaum. Comparação dos valores experimentais com os tabeladosatravés do cálculo do desvio à exactidão.
Caos
Actividade Experimental
Estudo do diagrama de Bifurcações
Cálculo dos erros e desvio à exactidão:
εδn =
∣∣∣∣ ∂δn∂∆n
∣∣∣∣ ε∆n +
∣∣∣∣ ∂δn∂∆n+1
∣∣∣∣ ε∆n+1 ⇔
⇔ εδn =
(1
∆n+1
)ε∆n +
(∆n
∆2n+1
)ε∆n+1
(9)
εαn =
∣∣∣∣∂αn
∂εn
∣∣∣∣ εεn +
∣∣∣∣ ∂αn
∂εn+1
∣∣∣∣ εεn+1 ⇔
⇔ εαn =
(1
εn+1
)εεn +
(εnε2n+1
)εεn+1
(10)
Desvio a exactidao =
∣∣∣∣xtabelado − xexperimental
xtabelado
∣∣∣∣ ∗ 100 (11)
Caos
Actividade Experimental
Simulação numérica em C++
Função Logística:
f (x) = 4rx(1− x) (12)
com r,x ∈ [0, 1]
Figura: Diagrama de bifurcação da função logística.
Caos
Actividade Experimental
Simulação numérica em C++
Figura: Ampliação do diagrama de bifurcação para r ∈ [0, 7; 1].
Caos
Actividade Experimental
Simulação numérica em C++
Figura: Ampliação do diagrama de bifurcação para r ∈ [0, 585; 0, 91]onde é possível identi�car janelas de estabilidade no meio do caos.
Caos
Actividade Experimental
Simulação numérica em C++
Resultados Computacionais:
Bifurcação Localização da Bifurcação ∆n δn
1 r = 0.625330.21181
- -
2 r = 0.837140.04353
4.8658
3 r = 0.880670.00928
4.6907
4 r = 0.889950.00206
4.5049
5 r = 0.892010.00045
4.5778
6 r = 0.89246 - -
Tabela: Determinação das primeiras razões de convergência da constanteδ de Feigenbaum para r ∈ [0, 1] .
Caos
Actividade Experimental
Estudo qualitativo do Pêndulo Caótico
Figura: Diagrama de espaço de fases de um pêndulo simples.
Caos
Actividade Experimental
Estudo qualitativo do Pêndulo Caótico
Figura: Regime periódico do pêndulo - Período 1.
Caos
Actividade Experimental
Estudo qualitativo do Pêndulo Caótico
Figura: Regime periódico do pêndulo - Período 2.
Caos
Actividade Experimental
Estudo qualitativo do Pêndulo Caótico
Figura: Janela de estabilidade de período 3.
Caos
Actividade Experimental
Estudo qualitativo do Pêndulo Caótico
Figura: Regime periódico do pêndulo - Período 4.
Caos
Actividade Experimental
Estudo qualitativo do Pêndulo Caótico
Figura: Janela de estabilidade de período 6.