Aula 18

Indutores

Introdução

Conceito

Resistores: Elemento linear passivo que exclusivamentedissipa energia

Capacitores e indutores: Elementos lineares passivosque armazenam energia que posteriormente pode serrecuperada

Capacitor

Indutor

ResistoresInvariantes no tempo

Capacitores e IndutoresVariantes no tempo

Revisão Capacitores

Aponte o gráfico que representa a tensãoentre os terminais do capacitor e o gráficoque representa a corrente no capacitor.

Revisão Capacitores

Capacitores - Conceitos

Placas condutivas

Dielétrico(isolante)

• O capacitor armazena cargas em forma de um campo elétrico• A quantidade de carga armazenada é diretamente proporcional a tensão v aplicada.• Bloqueia CC• Comporta-se como um circuito aberto quando saturado

𝑞 = 𝐶𝑣Onde C é a capacitância medida em Farad (F)q é a carga medida em Columb (C)

Capacitores – revisão

𝒊 = 𝑪𝒅𝒗

𝒅𝒕𝒗 𝒕 =

𝟏

𝑪 𝟎

𝒕

𝒊𝒅𝝉 + 𝒗(𝒕𝟎) 𝒘 =𝟏

𝟐𝑪𝒗𝟐

𝐶𝑒𝑞 =1

𝐶1+

1

𝐶2+ ⋯+

1

𝐶𝑛

−1

; 𝑣𝑒𝑞 𝑡0 = 𝑣1 𝑡0 + 𝑣2 𝑡0 + ⋯+ 𝑣𝑛 𝑡0

Associação de capacitores em série

Corrente Tensão Energia

𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯+ 𝐶𝑛

Associação de capacitores em paralelo

Principais Relações

Indutores – Tipos de indutores

Principais tiposEsquema

Símbolos

Indutores

• Indutores são elementos passivos que armazém energia em seu campomagnético

• Consiste em uma bobina de fio condutor• Entre suas principais aplicações podemos citar: fontes, filtros,

transformadores, rádios, estabilizadores e motores elétricos

𝒗 = 𝑳 ⋅𝒅𝒊

𝒅𝒕

A tensão entre os terminais diretamente proporcional a variação de corrente

Indutores

• L é a constante de proporcionalidade, denominada de indutância emedida em Henrys (H)

𝒗 = 𝑳 ⋅𝒅𝒊

𝒅𝒕𝑳 =

𝑵𝟐𝝁𝑨

𝒍

Indutores

• Diferenciando em relação o tempo e integrando ambos os labos daexpressão obtemos a relação de corrente do indutor

• Um indutor atua como um curto-circuito em CC• A corrente que flui através de um indutor não pode variar

abruptamente

𝑣 = 𝐿 ⋅𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑑𝑖 =1

𝐿𝑣𝑑𝑡

𝒊 =𝟏

𝑳 𝒕𝟎

𝒕

𝒗(𝝉)𝒅𝝉 + 𝒊(𝒕𝟎)

Indutores

𝑃 = 𝑣 ⋅ 𝑖

𝑃(𝑡) = 𝑖(𝑡) ⋅ 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡 𝑃(𝑡) =1

𝐿 0

𝑡

𝑣𝑑𝜏 + 𝑖 𝑡0 ⋅ 𝑣(𝑡)

A potência instantânea de um indutor pode ser calculada pelo produto entre tensão e corrente

A energia armazenada em um indutor, pode ser calcula através da integral da potência, então:

𝑤 = −∞

𝑡

𝑝𝑑𝑡 = 𝐿 −∞

𝑡

𝑖𝑑𝑖

𝑑𝑡𝑑𝑡 = 𝐿

−∞

𝑡

𝑖𝑑𝑖 =1

2𝐿𝑖2

𝑡

𝑡 = −∞ 𝒘 =𝟏

𝟐𝑳𝒊𝟐

** Consideramos que em t=-∞ o indutor está descarregado

Associação de Indutores

Associação em série de indutores

𝑣𝑒𝑞 𝑡 = 𝑣1 𝑡 + 𝑣2 𝑡 + ⋯+ 𝑣𝑁(𝑡)

𝐿𝑒𝑞

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 𝐿1

𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝐿2

𝑑𝑖

𝑑𝑡+ ⋯+ 𝐿𝑁

𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 + ⋯+ 𝐿𝑛

Associação de Indutores

Associação em paralelo de indutores

Associação de Indutores

Associação em paralelo de indutores

𝑖𝑒𝑞 𝑡 = 𝑖1 𝑡 + 𝑖2(𝑡)

1

𝐿𝑒𝑞 0

𝑡

𝑣𝑑𝜏 + 𝑖𝑒𝑞 𝑡0 =1

𝐿1 0

𝑡

𝑣𝑑𝜏 + 𝑖1 𝑡0 +1

𝐿2 0

𝑡

𝑣𝑑𝜏 + 𝑖2 𝑡0

1

𝐿𝑒𝑞=

1

𝐿1+

1

𝐿2; 𝑖𝑒𝑞 𝑡0 = 𝑖1 𝑡0 + 𝑖2 𝑡0 𝐿𝑒𝑞 =

𝐿1 ⋅ 𝐿2

𝐿1 + 𝐿2

𝐿𝑒𝑞 =1

𝐿1+

1

𝐿2+ ⋯+

1

𝐿𝑛

−1

; 𝑖𝑒𝑞 𝑡0 = 𝑖1 𝑡0 + 𝑖2 𝑡0 + ⋯+ 𝑖𝑛 𝑡0

Generalizando2 indutores

Indutores

Exercício: Sob as condições de CC, calcule as energias armazenadas no indutor e no capacitor

𝑤𝐶 = 50𝐽

𝑤𝐿 = 4𝐽

Indutores

Exercício: Sob as condições de CC, calcule as energias armazenadas no indutor e no capacitor

Indutores

Exercício: Calcule as energias armazenadas no indutor e no capacitor

Resposta: 1,125𝐽 𝑒 9𝐽

Indutores

Exercício:

𝑖𝐿 = 4 ⋅3

3 + 1= 3𝐴

𝑣𝐶 = 3 ⋅ 1 = 3𝑉

𝑤𝐿 = 0,25 ⋅32

2= 1,125𝐽 𝑤𝐶 = 2 ⋅

32

2= 9𝐽

Indutores

Exercício: Sob as condições de CC, calcule o valor de R para que a energia armazenada no capacitor seja a mesma armazenada no indutor

Resposta: 𝑅 = 5Ω

Indutores

Exercício: Sob as condições de CC, calcule o valor de R para que a energia armazenada no capacitor seja a mesma armazenada no indutor

𝑉𝑠 = 10𝑉

𝑤𝐶 = 𝑤𝐿

𝑉𝑐 = 10 ⋅𝑅

𝑅 + 2

𝐼𝐿 = 5 ⋅2

𝑅 + 2

160 ⋅ 10−6 ⋅ 𝑣2 = 4 ⋅ 10−3 ⋅ 𝑖2

160 ⋅ 10−6 ⋅ 10 ⋅𝑅

𝑅 + 2

2

= 4 ⋅ 10−3 ⋅ 5 ⋅2

𝑅 + 2

2

𝑹 =𝟒 ⋅ 𝟏𝟎−𝟑

𝟏𝟔𝟎 ⋅ 𝟏𝟎−𝟔= 𝟓𝛀

R-L-C Resumão

Michael Faraday (1791–1867)

Joseph Henry (1797–1878)