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17/05/2017
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PEF2602 Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
EP-USP FAU-USP
Sistemas Reticulados
Professores Ruy Marcelo O. Pauletti , Leila Meneghetti Valverdes, Luís Bitencourt
1º Semestre 2017
PEF2603 Estruturas na Arquitetura III -
Sistemas Reticulados e Laminares
Placas/lajes
(08/05/2017)
2PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Placas/lajes
Elementos estruturais definidos por um plano médio e uma espessura muito menor que as dimensões laterais, carregada transversalmente ao plano médio.
Placa apoiada por colunas.
2( / )w N m
x
z
y
x
y
,x yh
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2
3PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Hipóteses: 0x yu u
z x yu
2P1P
3P4P
Condições de contorno:
1 2 3 4, , , , 0z P z P z P z Pu u u u
Placas são usualmente hiperestáticas!
4PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Condições de vinculação das bordas das lajes:
1L
4L
3L2L
6L5L
8L7L
9L
Bordo livre
Apoio
Engaste1L
4L
3L2L
6L5L
8L7L9L
AA
4L
Laje rebaixada
Corte AA5L
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5PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
1. Placa simplesmente apoiada nas bordas
y
x
x
y
2max
x
x
x
pm
xm
ym
Momentos máximos ocorrem no meio do vão:
x
2(N/ )p m
0zu
Na outra direção:
2 2
max
y
y
y y
p pm x
x Constante que depende da
geometria, mais especificamente
da razão /x y
(Note que se a razão entre os lados é definida, my
max também pode ser expresso em função de )
x
momentos por unidade de comprimento (em kN.m/m)
2( ) ~xm x pl
6PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
2. Placa simplesmente apoiada em duas bordas opostas e as outras duas bordas livres
y
x
x
y
1b m
(N/ )p m
ym
Pode ser calculada como uma
viga bi-apoiada com largura de
base
0zu
0zu
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7PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
3. Placa com duas bordas opostas engastadas e duas apoiadas
y
x
x
y
xm
ym'
xm
'
xm
0, 0z yu
0, 0z xu
xm'
xm '
xm
ym
'
xm
xm
'
xm
ym
x
y
8PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
y
1x
y
2x 3x 4x
1
x
3. Laje contínua: o vão é superior ao dobro dos demais vãos na direção , logo
todos os painéis são armados na direção . Neste caso, a laje pode ser calculada
como uma viga contínua de largura unitária.
y x
x
3x 4x1x 2x
'
xm'
xm
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9PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
ABORDAGEM SIMPLIFICADA PARA O CÁLCULO DAS LAJES – MÉTODO DE MARCUS
Supõe-se que as lajes trabalham, grosso modo, analogamente às grelhas, dividindo o
carregamento nas duas direções e impondo a compatibilidade de deslocamentos.
Por exemplo, seja a placa simplesmente apoiada nos quatro lados.
yp
yym
xp
x
xm
p
a) EQUILIBRIO
x yp p p (1)
xp
yp
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b) COMPATIBILIDADE
x y
44 55
384 384
y yx xpp
EI EI
4
y x
x y
p
p
(2)
AÇÃO BIDIMENSIONAL 2 3
3 2
y
x
Caso contrário, uma direção é fortemente preponderante, e a ação da laje é unidirecional!
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Exemplo Numérico:
xM
xp
4 46
5,06254
yx
y x
p
p
30x yp p (2)
(1)
(1) (2) 5,0625 30y yp p
304,95 / m
6,0625yp kN
30 4,95 25,05 /xp kN m
10h cm230 /p kN m
4x m
6y m
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Cálculo dos Momentos
2 225,05 4
8 8
x xx
pm
50,1 . /xm kN m m
2 24,95 6
8 8
y y
y
pm
22,3 . /ym kN m m
Vão menor “puxa” mais carga e, em consequência, é mais solicitado!
Este é um cálculo bastante grosseiro, mais adiante veremos um valor mais exato.
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Outros tipos de condições de contorno geram equações de compatibilidade análogas:
yp
ym
xp
xm
yp
ym
xp
1 2
xm
xmxm
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yp
ym3
'
ym
'
ym
xm
' 0x
m
xp
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6 7
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Na realidade, as deformações nas placas não são tão regulares, e o comportamento muda muito conforme o tipo de vinculação, geometria e carregamento!
O cálculo analítico é complicado!!
Para placas planas com deslocamentos exclusivamente transversais:
4 4 4
4 2 2 42
w w w p
x x y y D
Equação Sophie_Germain-Lagrange (1816)
3
212(1 )
EhD
Módulo de rigidez da placa
Solução Analítica Complicada
Métodos Numéricos
E=30GPa, nu=0, h=10cm, Lx=10m, Ly=15m
p=4kN/m2
Laje simplesmente apoiada no perímetro, modelada em Ansys
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Laje simplesmente apoiada no perímetro, modelada em Ansys
Deslocamentos verticais
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Uma laje simplesmente apoiada com vínculos unilaterais tem deslocamentos para cima nos cantos!
Uma laje retangular com vínculos bidirecional apresenta reações verticais para baixo, em correspondência aos quatro cantos!
Dependendo da intensidade do carregamento, lajes de concreto armado tendem a fissurar nos cantos, se não forem armadas para este esforço!
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Laje simplesmente apoiada no perímetro, modelada em Ansys
Tensões normais Sigma_x na face superiorMáxima compressão: 17,1MPa
22PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Laje simplesmente apoiada no perímetro, modelada em Ansys
Tensões normais Sigma_y na face superiorMáxima compressão: 6,8MPa
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Solução Analítica Complicada
Métodos Numéricos
Tabelas
Tabelas para placas retangulares F. Czerny
y
x
Tipo de apoio
2 , , , ,x y x y
4
3
2
xp
Eh
2
( , )
( , )
xx y
x y
pm
( , )
2'
( , )x y
x
x y
pm
xLado menor y Lado maior
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Critérios para pré-dimensionamento de lajes maciças retangulares
• Espessuras típicas: 40
xh onde x y
• Espessuras mínimas de norma:
5h cm
7h cm
12h cm
Para lajes de forros
Para lajes de pisos
Para lajes de garagens
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27PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
CARGAS ATUANTES: Permanentes e Variáveis
• Cargas permanentes: peso próprio do elemento estrutural e peso de todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes
324 / mkN
a) Cargas fornecidas por peso específico:
• Concreto simples –
• Concreto armado -
• Argamassa -
• Alvenaria (tijolo maciço) –
• Alvenaria (tijolo furado-cerâmico) -
• Terra -b) Cargas fornecidas por unidade de área:
• Revestimento de pisos –
• Telhado com telhas de barro -
• Telhado com telhas de alumínio -
• Divisória de madeira –
325 / mkN319 / mkN318 / mkN313 / mkN318 / mkN
21 / mkN20,7 / mkN20,3 / mkN20,2 / mkN
28PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
CARGAS ATUANTES: Permanentes e Variáveis
• Cargas variáveis: podem atuar sobre as estruturas de edificações em função de seu uso (pessoas, móveis, veículos, etc). Estas cargas são fixadas pela norma NBR 6120 – Cargas para cálculo de estruturas em edificações
21,5 / mkN
a) Edifícios residenciais
• Dormitórios, salas, cozinhas, banheiros –
• Despensas, áreas de serviço e lavanderias -
• Forros sem acesso de pessoas -b) Edifícios de escritórios
• Salas de uso geral –
• Corredores com acesso ao público -
• Restaurantes -c) Escolas
• Salas de aula –
• Auditórios -
• Escadas e corredores -
22,0 / mkN20,5 / mkN
22,0 / mkN23,0 / mkN
23,0 / mkN
25,0 / mkN
24,0 / mkN
23,0 / mkN
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22,5 / mkN
d) Bibliotecas
• Salas de leitura –
• Salas com estantes de livros -e) Bancos
• Escritórios e banheiros –
• Salas de diretoria -f) Cinemas e teatros
• Palco –
• Plateia com assentos fixos -
• Plateia com assentos móveis -g) Clubes
• Salas de assembleias com assentos fixos–
• Salas de assembleias com assentos moveis -
• Salão de danças ou esportes –h) Hospitais
• Dormitórios, enfermarias, salas de cirurgia e banheiros -
• Corredores -
26,0 / mkN
23 / mkN
22,0 / mkN21,5 / mkN
25,0 / mkN23,0 / mkN24,0 / mkN
24,0 / mkN25,0 / mkN
22,0 / mkN23,0 / mkN
30PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Determinação das cargas atuantes nas lajes, em kN/m2:
x
y1
2
Piso
ContrapisoLAJE
Revestimento interno
1 cg h Peso próprio:
Revestimento
Enchimento
Alvenaria sobre a laje
Carga acidental q
3 ench enchg h
2 r rg h
1 2
4
( ) parede pav alv
x y
e hg
pavh
paredee
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4x m
Exemplo: Laje simplesmente apoiada nas bordas
6y m
Laje maciça em concreto armado
10h cm325 /c kN m
Revestimento em mármore
7reve cm328 /r kN m
Carga útil21,5 /q kN m
Carga total aplicada à laje:
Peso próprio:
Revestimento
Carga acidental
2
1 25 0,1 2,5 / mcg h m kN
2
2 28 0,07 2,0 / mr rg e m kN
21,5 /q kN m
Carga total :26 /p kN m
6 225 25 10 /cE GPa kN m
32PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Determinação dos esforços máximos (momentos fletores)
6y m
xm
ym
4x m
1,5y
x
Tabela Czerny
Laje A1
2 10,8
13,7x
34,7y
4 4
3 6 3
2
6 4
10,8 25 10 0,1
xp
Eh
2 26 4
13,7
xx
x
pm
2 26 4
34,7
xy
y
pm
Momentos
7 . /xm kN m m
2,8 . /ym kN m m
Flecha
0,006 0,6cm mm
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Para o exemplo anterior resolvido pelo método de Marcus com
6y m
xm
ym
4x m
1,5y
x
Tabela Czerny
Laje A1
2 10,8
13,7x
34,7y
2 230 4
13,7
xx
x
pm
2 230 4
34,7
xy
y
pm
Momentos
35,04 . /xm kN m m
14,09 . /ym kN m m
230 /p kN m
50,1 . /xm kN m m 22,3 . /ym kN m m
,Marcus
,Czerny
50,11,43
35,04
x
x
x
mm
m
y,Marcus
y,Czerny
22,31,58
14,09y
mm
m
Diferença entre os métodos