Apresentação do PowerPoint - files.comunidades.net · MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO...

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MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO Função Quadrática PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA E.E. Dona Antônia Valadares http://donaantoniavaladares.comunidades.net

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MATEMAacuteTICA ENSINO MEacuteDIO - 1ordm ANO

Funccedilatildeo Quadraacutetica

PROFESSOR ALEXSANDRO DE SOUSA

EE Dona Antocircnia Valadares

httpdonaantoniavaladarescomunidadesnet

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Seja a b e c nuacutemeros reais e a ne 0 A funccedilatildeo f R rarr R

tal que para todo x Є R eacute chamada funccedilatildeo

polinomial do 2ordm grau ou funccedilatildeo quadraacutetica

c bx axsup2 f(x)

bull a) y = xsup2 + 3x + 2 ( a=1 b=3 c=2 )

bull b) y = xsup2 ( a=1 b=0 c=0 )

bull c) y = xsup2 - 4 ( a=1 b=0 c=-4 )

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Podemos visualizar

uma paraacutebola em um

parque de diversotildees

simplesmente olhando

para a montanha russa

O graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute uma paraacutebola

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a

funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia

Arquitetura

Fiacutesica

Biologia

Esporte

Induacutestria comeacutercio

Comunicaccedilotildees

Prof Alexsandro de Sousa

Natureza

Prof Alexsandro de Sousa

Esporte

Prof Alexsandro de Sousa

Nas Comunicaccedilotildees

Antena de Sateacutelite

Prof Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Franccedila

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Seja a b e c nuacutemeros reais e a ne 0 A funccedilatildeo f R rarr R

tal que para todo x Є R eacute chamada funccedilatildeo

polinomial do 2ordm grau ou funccedilatildeo quadraacutetica

c bx axsup2 f(x)

bull a) y = xsup2 + 3x + 2 ( a=1 b=3 c=2 )

bull b) y = xsup2 ( a=1 b=0 c=0 )

bull c) y = xsup2 - 4 ( a=1 b=0 c=-4 )

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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Podemos visualizar

uma paraacutebola em um

parque de diversotildees

simplesmente olhando

para a montanha russa

O graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute uma paraacutebola

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a

funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia

Arquitetura

Fiacutesica

Biologia

Esporte

Induacutestria comeacutercio

Comunicaccedilotildees

Prof Alexsandro de Sousa

Natureza

Prof Alexsandro de Sousa

Esporte

Prof Alexsandro de Sousa

Nas Comunicaccedilotildees

Antena de Sateacutelite

Prof Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Franccedila

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

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FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Seja a b e c nuacutemeros reais e a ne 0 A funccedilatildeo f R rarr R

tal que para todo x Є R eacute chamada funccedilatildeo

polinomial do 2ordm grau ou funccedilatildeo quadraacutetica

c bx axsup2 f(x)

bull a) y = xsup2 + 3x + 2 ( a=1 b=3 c=2 )

bull b) y = xsup2 ( a=1 b=0 c=0 )

bull c) y = xsup2 - 4 ( a=1 b=0 c=-4 )

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Podemos visualizar

uma paraacutebola em um

parque de diversotildees

simplesmente olhando

para a montanha russa

O graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute uma paraacutebola

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a

funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia

Arquitetura

Fiacutesica

Biologia

Esporte

Induacutestria comeacutercio

Comunicaccedilotildees

Prof Alexsandro de Sousa

Natureza

Prof Alexsandro de Sousa

Esporte

Prof Alexsandro de Sousa

Nas Comunicaccedilotildees

Antena de Sateacutelite

Prof Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Franccedila

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Podemos visualizar

uma paraacutebola em um

parque de diversotildees

simplesmente olhando

para a montanha russa

O graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute uma paraacutebola

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a

funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia

Arquitetura

Fiacutesica

Biologia

Esporte

Induacutestria comeacutercio

Comunicaccedilotildees

Prof Alexsandro de Sousa

Natureza

Prof Alexsandro de Sousa

Esporte

Prof Alexsandro de Sousa

Nas Comunicaccedilotildees

Antena de Sateacutelite

Prof Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Franccedila

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Podemos visualizar

uma paraacutebola em um

parque de diversotildees

simplesmente olhando

para a montanha russa

O graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica eacute uma paraacutebola

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a

funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia

Arquitetura

Fiacutesica

Biologia

Esporte

Induacutestria comeacutercio

Comunicaccedilotildees

Prof Alexsandro de Sousa

Natureza

Prof Alexsandro de Sousa

Esporte

Prof Alexsandro de Sousa

Nas Comunicaccedilotildees

Antena de Sateacutelite

Prof Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Franccedila

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

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Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

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f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

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Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Funccedilatildeo Quadraacutetica bull Haacute vaacuterias situaccedilotildees do dia-a-dia em que a

funccedilatildeo quadraacutetica estaacute presente Engenharia

Arquitetura

Fiacutesica

Biologia

Esporte

Induacutestria comeacutercio

Comunicaccedilotildees

Prof Alexsandro de Sousa

Natureza

Prof Alexsandro de Sousa

Esporte

Prof Alexsandro de Sousa

Nas Comunicaccedilotildees

Antena de Sateacutelite

Prof Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Franccedila

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

Natureza

Prof Alexsandro de Sousa

Esporte

Prof Alexsandro de Sousa

Nas Comunicaccedilotildees

Antena de Sateacutelite

Prof Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Franccedila

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

Esporte

Prof Alexsandro de Sousa

Nas Comunicaccedilotildees

Antena de Sateacutelite

Prof Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Franccedila

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

Nas Comunicaccedilotildees

Antena de Sateacutelite

Prof Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Franccedila

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Franccedila

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

bull y = x2

x

y

0 1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

1

2

3

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 ndash1

4 ndash2

y = x2 x y = x2

Im = [0 +infin[ Miacutenimo = 0

Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Prof Alexsandro de Sousa

bull y = ndash x2

x

y

0

1 2 3 ndash3 ndash2 ndash1

ndash2

ndash1

4 5 ndash4 ndash5

ndash 4 2

ndash 1 1

0 0

ndash 1 ndash1

ndash 4 ndash2

y = ndash x2 x

y = ndash x2

ndash3

ndash4

Im = ]ndash infin 0] Maacuteximo = 0

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

- CONSTRUCcedilAtildeO

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

A anaacutelise dos graacuteficos anteriores nos sugere um caso geral em relaccedilatildeo a todas as funccedilotildees quadraacuteticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c

bull Os graacuteficos de funccedilotildees quadraacuteticas satildeo curvas chamadas

paraacutebolas

bull O ponto mais alto ou mais baixo da paraacutebola eacute chamado

de veacutertice

bull A reta vertical que passa pelo veacutertice eacute chamada de eixo

da paraacutebola

bull O graacutefico intercepta o eixo y no ponto (0 c)

bull O graacutefico intercepta o eixo x nas raiacutezes da funccedilatildeo

bull Se a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

bull Se a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

Prof Alexsandro de Sousa

Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

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y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAIacuteZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= ax2 + bx + c

yv

xv

VEacuteRTICE (xv yv)

Eixo de simetria

x1 x2

GRAacuteFICO DE UMA FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

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Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

Prof Alexsandro de Sousa

Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

Prof Alexsandro de Sousa

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

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Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

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f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Concavidade da paraacutebola

Quando a gt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para cima

Quando a lt 0 a concavidade da paraacutebola eacute voltada para baixo

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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

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Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

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Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

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Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

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f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

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Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau

a 0 os nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

cbxaxxf sup2)(

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo

do 2ordm grau as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de

Bhaskara

sendo

2a

Δbx

4acbΔ 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1x2 = c a

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Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

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Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

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f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica

depende do valor obtido para o radicando chamado

discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

Prof Alexsandro de Sousa

Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

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Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

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f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

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Δ=0 Δgt0 Δlt0

Δ=0 Δgt0 Δlt0

agt0

alt0

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O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

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Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

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Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

O veacutertice eacute um ponto muito importante na paraacutebola pois por meio dele

obtemos informaccedilotildees significativas

A ordenada do veacutertice admite valor miacutenimo ou valor maacuteximo

Se a lt 0 concavidade voltada

para baixo entatildeo a funccedilatildeo

admite valor MAacuteXIMO

yv

0

y

x

Valor miacutenimo

yv 0

y

x

Valor maacuteximo

yv

Veacutertice da paraacutebola

Se a gt 0 concavidade voltada

para cima entatildeo a funccedilatildeo admite

valor MIacuteNIMO

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

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f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

a

b

2

a4

y

x

alt0

a

b

2

a4

x

y

agt0

Prof Alexsandro de Sousa

Coordenadas do veacutertice da paraacutebola

Quando a gt 0 a paraacutebola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de miacutenimo V quando a lt 0 a paraacutebola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de maacuteximo V

Em qualquer caso as coordenadas de V satildeo Veja os graacuteficos )4

2

(aa

b

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

O veacutertice da paraacutebola de equaccedilatildeo eacute dado por V

em que 562 xxy VV YX

3

12

6

vx

4

14

51462

vye

Portanto o veacutertice da paraacutebola eacute o

ponto v(3 -4)

5 1 3

-4

5

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= x2 ndash 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a gt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 12

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Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

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f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

Prof Alexsandro de Sousa

Prof Alexsandro de Sousa

Funccedilatildeo Quadraacutetica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a lt 0

RAIacuteZES

VEacuteRTICE

x =0

f(0) = 24

Prof Alexsandro de Sousa

f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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f(x) = x2 ndash 6x + 8

Termo

independente

Raiacutezes da funccedilatildeo

Veacutertice

Prof Alexsandro de Sousa

Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

Prof Alexsandro de Sousa

Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

Prof Alexsandro de Sousa

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

Prof Alexsandro de Sousa

Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

Prof Alexsandro de Sousa

Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

Prof Alexsandro de Sousa

bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

Prof Alexsandro de Sousa

Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo quadraacutetica

Prof Alexsandro de Sousa

Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

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Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

Prof Alexsandro de Sousa

1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Questotildees como essas em que se procura determinar o valor

maacuteximo ou o valor miacutenimo satildeo estudadas em matemaacutetica

pela aplicaccedilatildeo dos conceitos de maacuteximo e miacutenimo de

funccedilotildees Daremos iniacutecio ao estudo desses conceitos

tratando por enquanto apenas de funccedilotildees quadraacuteticas

Eacute bom saber tambeacutem que caacutelculos de maacuteximos e

miacutenimos em geral tecircm vaacuterias aplicaccedilotildees Como vocecirc pode

perceber o pai de Calvin natildeo sabia desse fato

Prof Alexsandro de Sousa

Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

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Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

Prof Alexsandro de Sousa

A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Nas questotildees em que eacute pedido ou se faz

referecircncia ao valor maacuteximo ou miacutenimo de

uma funccedilatildeo do 2ordm grau temos que descobrir

ldquoO que a questatildeo estaacute pedindo eacute Xv ou Yvrdquo

O valor de Yv = -Δ4a eacute o proacuteprio valor

maacuteximo se alt0 ou miacutenimo da funccedilatildeo se

agt0 Jaacute o valor de Xv = -b2a eacute o que torna o

valor de Yv maacuteximo ou miacutenimo

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Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

Prof Alexsandro de Sousa

Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

Prof Alexsandro de Sousa Prof Alexsandro de Sousa

bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Exemplo

bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A funccedilatildeo h(t) = ndash5t2 + 30t + 80 eacute quadraacutetica com a = ndash5 b = 30 e c = 80

Como a lt 0 a paraacutebola tem concavidade para baixo e a funccedilatildeo

admite um valor maacuteximo

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

A) O instante em que o objeto atinge a altura maacutexima eacute a abscissa do veacutertice

= 2(ndash5)

= 3 s t = ndashb

2a

ndash(30)

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

B) A altura maacutexima eacute o valor da funccedilatildeo em t = 3 s

h(3) = ndash532 + 303 + 80 = 125 m

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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bull Um objeto eacute atirado para cima da janela situada no alto de um preacutedio de

80 m de altura Sua velocidade inicial eacute de 30 ms A altura h do objeto

em relaccedilatildeo ao solo em metros t segundos apoacutes o lanccedilamento eacute

h(t) = 80 + 30t ndash 5t2 Obter

A) o instante em que o objeto atinge a altura maacutexima

B) a altura maacutexima que ele atinge

C) o instante em que ele atinge o solo

C) No instante em que o objeto atinge o solo deve ser h(t) = 0

h(t) = 0 rArr ndash5t2 + 30t + 80 = 0 rArr t2 + 6t ndash 16 = 0

rArr t = ndash2 ou t = 8

rArr t = 8 s

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Veja o graacutefico da funccedilatildeo

h(t) = ndash5t2 ndash 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Vejamos em dois exemplos

1 Uma pedra eacute atirada para cima com velocidade inicial de 40 ms do alto de um edifiacutecio de 100m de altura A altura (h) atingida pela pedra em relaccedilatildeo ao solo em funccedilatildeo do tempo (t) eacute dada pela expressatildeo Qual a altura maacutexima alcanccedilada pela bola

Como eacute pedido o valor maacuteximo de h que representa y na funccedilatildeo dada calculamos Yv Perceba que a pergunta eacute direta qual a altura maacutexima

R 180m

2 O custo C em reais para se produzir n unidades de determinado produto eacute dado

por C = 2510 - 100n + n2 Quantas unidades deveratildeo ser produzidas para se obter o custo miacutenimo

Como eacute pedido o que torna o valor da funccedilatildeo miacutenimo calculamos Xv Perceba tambeacutem que a pergunta eacute mais explicada e longa Quantas unidades

deveratildeo ser produzidas para R 50 unidades

100405)( 2 ttth

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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A representaccedilatildeo cartesiana da funccedilatildeo eacute a paraacutebola abaixo Tendo em vista esse graacutefico podemos afirmar que

a) alt0 blt0 e cgt0

b) agt0 bgt0 e clt0

c) agt0 bgt0 e cgt0

d) alt0 bgt0 e clt0

e) alt0 bgt0 e cgt0

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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bull A funccedilatildeo y = ndashx2 + 4x + k tem duas raiacutezes reais iguais Calcular a constante k obter a raiz dupla e esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Estudo da Variaccedilatildeo do Sinal de uma

Funccedilatildeo Quadraacutetica

Para estudar a variaccedilatildeo do sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica

precisamos conhecer as suas raiacutezes e tambeacutem se a paraacutebola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo

Vamos analisar o graacutefico da funccedilatildeo 34)( 2 xxxf

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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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bullPara x lt 1 ou x gt 3 vemos no graacutefico que f(x) gt 0 jaacute que estes pontos estatildeo acima

do eixo das abscissas

bull Para x = 1 ou x = 3 temos que a funccedilatildeo eacute nula isto eacute f(x) = 0

bull Para 1 lt x lt 3 vemos no graacutefico que f(x) lt 0 visto que estes pontos estatildeo abaixo

do eixo das abscissas

0)( 3 1 xfxouxRx

0)(31 xfxRx

0)( 3 1 xfxouxRx

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Inequaccedilotildees polinomiais do 2ordm grau

Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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Uma inequaccedilatildeo do 2deg grau pode ser escrita numa das seguintes formas

axsup2 + bx + c gt 0 axsup2 + bx + c lt 0 axsup2 + bx + c ge 0

axsup2 + bx + c le 0

Para resolvermos uma inequaccedilatildeo do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente a equaccedilatildeo

1 Igualar a sentenccedila do 2deg grau a zero

2 Localizar (se existir) as raiacutezes da equaccedilatildeo no eixo x

3 Estudar o sinal da funccedilatildeo correspondente

A resoluccedilatildeo de uma inequaccedilatildeo polinomial de 2ordm grau eacute fundamentada no estudo da variaccedilatildeo de sinal de uma funccedilatildeo quadraacutetica conforme mostra os exerciacutecios resolvidos a seguir

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

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1 Resolva a inequaccedilatildeo -xsup2 + 4 ge 0

bull Soluccedilatildeo -xsup2 + 4 = 0 xsup2 ndash 4 = 0 x = 2 x = -2

22| xRxS

- - x

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