Apresentação do PowerPoint - files.comunidades.net · MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO...

MATEMTICA ENSINO MDIO - 1 ANO

Funo Quadrtica

PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

E.E. Dona Antnia Valadares

http://donaantoniavaladares.comunidades.net

Prof: Alexsandro de Sousa


FUNO QUADRTICA

Seja a, b e c nmeros reais e a 0. A funo f :R R

tal que para todo x R, chamada funo

polinomial do 2 grau ou funo quadrtica.

c bx ax f(x)

a) y = x + 3x + 2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y = x ( a=1; b=0; c=0 )

c) y = x - 4 ( a=1; b=0; c=-4 )


GRFICO DE UMA FUNO QUADRTICA



Podemos visualizar

uma parbola em um

parque de diverses,

simplesmente olhando

para a montanha russa.

O grfico de uma funo quadrtica uma parbola.


Funo Quadrtica H vrias situaes do dia-a-dia em que a

funo quadrtica est presente. Engenharia

Arquitetura

Fsica

Biologia

Esporte

Indstria/ comrcio

Comunicaes


Natureza

http://images.google.pt/imgres?imgurl=http://ipt.olhares.com/data/big/268/2680105.jpg&imgrefurl=http://olhares.aeiou.pt/repucho_de_agua_perto_da_biblioteca_em_almada_foto2680105.html&usg=__MschdQ7HsIN6qkANHU6lz-Ftfxo=&h=562&w=750&sz=164&hl=pt-PT&start=1&um=1&tbnid=EOrHGejyt1KJUM:&tbnh=106&tbnw=141&prev=/images?q=Repucho+de+%C3%A1gua&hl=pt-PT&rlz=1T4SKPB_enPT316PT318&sa=N&um=1


Esporte


Nas Comunicaes

Antena de Satlite


Na Arquitetura

Murphy Center at Asphalt Green - EUA

Forno Solar Frana

Ponte em concreto armado Ponte 25 de Abril - Portugal



- CONSTRUO

y = x2.

x

y

0 1 2 3 3 2 1

1

2

3

2

1

4 5 4 5

4

5

4 2

1 1

0 0

1 1

4 2

y = x2 x y = x2

Im = [0, +[ Mnimo = 0


y = x2.

x

y

0

1 2 3 3 2 1

2

1

4 5 4 5

4 2

1 1

0 0

1 1

4 2

y = x2 x

y = x2

3

4

Im = ] , 0] Mximo = 0


- CONSTRUO


Exemplo: f(x) = 2 2 3x x

X Y

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

2 -3

.


A anlise dos grficos anteriores nos sugere um caso geral em relao a todas as funes quadrticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c.

Os grficos de funes quadrticas so curvas chamadas

parbolas.

O ponto mais alto ou mais baixo da parbola chamado

de vrtice.

A reta vertical que passa pelo vrtice chamada de eixo

da parbola.

O grfico intercepta o eixo y no ponto (0, c)

O grfico intercepta o eixo x nas razes da funo

Se a > 0 a concavidade da parbola voltada para cima.

Se a < 0 a concavidade da parbola voltada para baixo.


y

x

x =0

f(0) = c

c

y =0

RAZES

TERMO

INDEPENDENTE

f(x)= a.x2 + b.x + c

yv

xv

VRTICE (xv; yv)

Eixo de simetria

x1 x2



Concavidade da parbola

Quando a > 0, a concavidade da parbola voltada para cima.

Quando a < 0, a concavidade da parbola voltada para baixo.


Razes da funo quadrtica Chama-se zeros ou razes da funo polinomial do 2 grau

, a 0, os nmeros reais x tais que f(x) = 0.

cbxaxxf )(

Ento as razes da funo as solues da equao

do 2 grau, as quais so dadas pela chamada frmula de

Bhaskara:

sendo:

2a

bx

4.a.cb 2

S = x1+x2 = -b a

P = x1.x2 = c a


Observao

A quantidade de razes reais de uma funo quadrtica

depende do valor obtido para o radicando , chamado

discriminante, a saber:

quando positivo, h duas razes reais e distintas;

quando zero, h s uma raiz real;

quando negativo, no h raiz real.


=0 >0 0 0

a


O vrtice um ponto muito importante na parbola, pois por meio dele

obtemos informaes significativas.

A ordenada do vrtice admite valor mnimo ou valor mximo.

Se a < 0, concavidade voltada

para baixo, ento a funo

admite valor MXIMO, .

yv

0

y

x

Valor mnimo

yv . 0

y

x

Valor mximo

yv.

Vrtice da parbola

Se a > 0, concavidade voltada

para cima, ento a funo admite

valor MNIMO, .

a

b

2

a4

y

x

a0


Coordenadas do vrtice da parbola

Quando a > 0, a parbola tem concavidade voltada para cima

e um ponto de mnimo V; quando a < 0, a parbola tem

concavidade voltada para baixo e um ponto de mximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V so . Veja os grficos: )4

,2

(aa

b


Exemplo:

O vrtice da parbola de equao dado por V ,

em que: 562 xxy VV YX ,

3

1.2

6

vx

4

1.4

5.1.462

vye

Portanto, o vrtice da parbola o

ponto v(3, -4).

5 1 3

-4

5


Funo Quadrtica

f(x)= x2 8 x + 12

y

x

12

- 4

4

2 6

a > 0

RAZES

VRTICE

x =0

f(0) = 12


Funo Quadrtica

f(x)= -2x2 - 8x + 24

y

x

24

2

32

-2 -6

a < 0

RAZES

VRTICE

x =0

f(0) = 24


f(x) = x2 6x + 8

Termo

independente

Razes da funo

Vrtice


Mximo e mnimo da funo quadrtica


Questes como essas, em que se procura determinar o valor

mximo ou o valor mnimo, so estudadas em matemtica

pela aplicao dos conceitos de mximo e mnimo de

funes. Daremos incio ao estudo desses conceitos,

tratando, por enquanto, apenas de funes quadrticas.

bom saber tambm que clculos de mximos e

mnimos, em geral, tm vrias aplicaes. Como voc pode

perceber, o pai de Calvin no sabia desse fato.


Nas questes em que pedido ou se faz

referncia ao valor mximo ou mnimo de

uma funo do 2 grau, temos que descobrir

O que a questo est pedindo Xv ou Yv?

O valor de Yv = -/4a, o prprio valor

mximo, se a0. J o valor de Xv = -b/2a, o que torna o

valor de Yv mximo ou mnimo.


Exemplo

Um objeto atirado para cima, da janela situada no alto de um prdio de

80 m de altura. Sua velocidade inicial de 30 m/s. A altura h do objeto

em relao ao solo, em metros, t segundos aps o lanamento,

h(t) = 80 + 30t 5t2. Obter:

A) o instante em que o objeto atinge a altura mxima;

B) a altura mxima que ele atinge;

C) o instante em que ele atinge o solo.

A funo h(t) = 5t2 + 30t + 80 quadrtica, com a = 5, b = 30 e c = 80.

Como a < 0, a parbola tem concavidade para baixo e a funo

admite um valor mximo.





h(t) = 80 + 30t 5t2. Obter:




A) O instante em que o objeto atinge a altura mxima a abscissa do vrtice:

= 2.(5)

= 3 s t = b

2a

(30)





h(t) = 80 + 30t 5t2. Obter:




B) A altura mxima o valor da funo em t = 3 s.

h(3) = 5.32 + 30.3 + 80 = 125 m





h(t) = 80 + 30t 5t2. Obter:




C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0.

h(t) = 0 5t2 + 30t + 80 = 0 t2 + 6t 16 = 0

t = 2 ou t = 8

t = 8 s


Veja o grfico da funo

h(t) = 5t2 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80


Vejamos em dois exemplos:

1. Uma pedra atirada para cima, com velocidade inicial de 40 m/s, do alto de um edifcio de 100m de altura. A altura (h) atingida pela pedra em relao ao solo, em funo do tempo (t) dada pela expresso: . Qual a altura mxima alcanada pela bola?

Como pedido o valor mximo de h, que representa y na funo dada, calculamos Yv. Perceba que a pergunta direta: qual a altura mxima.

R. 180m

2. O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto dado

por: C = 2510 - 100n + n2. Quantas unidades devero ser produzidas para se obter o custo mnimo ?

Como pedido o que torna o valor da funo mnimo, calculamos Xv. Perceba tambm que a pergunta mais explicada e longa: Quantas unidades

devero ser produzidas para... R. 50 unidades

100405)( 2 ttth


A representao cartesiana da funo a parbola abaixo. Tendo em vista esse grfico, podemos afirmar que:

a) a0, b>0 e c0, b>0 e c>0

d) a0 e c0


A funo y = x2 + 4x + k, tem duas razes reais iguais. Calcular a constante k, obter a raiz dupla e esboar o grfico da funo.


Estudo da Variao do Sinal de uma

Funo Quadrtica

Para estudar a variao do sinal de uma funo quadrtica

precisamos conhecer as suas razes e tambm se a parbola

tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo .

Vamos analisar o grfico da funo : 34)( 2 xxxf

Prof: Alexsandro de Sousa Prof: Alexsandro de Sousa

Para x < 1 ou x > 3, vemos no grfico que f(x) > 0, j que estes pontos esto acima

do eixo das abscissas.

Para x = 1 ou x = 3 temos que a funo nula, isto , f(x) = 0.

Para 1 < x < 3 vemos no grfico que f(x) < 0, visto que estes pontos esto abaixo

do eixo das abscissas.

0)( }3 1/{ xfxouxRx

0)(}31/{ xfxRx

0)( }3 1/{ xfxouxRx


Inequaes polinomiais do 2 grau

Uma inequao do 2 grau pode ser escrita numa das seguintes formas:

ax + bx + c > 0; ax + bx + c < 0; ax + bx + c 0;

ax + bx + c 0.

Para resolvermos uma inequao do Segundo Grau devemos estudar o sinal da funo correspondente a equao:

1. Igualar a sentena do 2 grau a zero;

2. Localizar (se existir) as razes da equao no eixo x.

3. Estudar o sinal da funo correspondente.

A resoluo de uma inequao polinomial de 2 grau fundamentada no estudo da variao de sinal de uma funo quadrtica, conforme mostra os exerccios resolvidos a seguir:


1. Resolva a inequao -x + 4 0.

Soluo: -x + 4 = 0. x 4 = 0. x = 2 x = -2

}22|{ xRxS

- - . x

Pal518444198hw.hwShow(event, this, "Soluo"); this.style.cursor="hand"; this.style.textDecoration="underline"; this.style.borderBottom="solid";Pal518444198hw.hwShow(event, this, "Soluo"); this.style.cursor="hand"; this.style.textDecoration="underline"; this.style.borderBottom="solid";


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