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Curso: Ciência da Computação
Disciplina: Matemática Discreta
3. CONJUNTOS
Prof.: Marcelo Maraschin de Souza
3. Conjuntos
Definição: Um conjunto é uma coleção desordenada
de zero ou mais objetos, denominados
elementos do conjunto. Dizemos que um
conjunto contém seus elementos.
• Em geral, trata-se de uma estrutura discreta,
usada para construir outras estruturas;
• O propósito fundamental é o de agrupar
elementos.
3. Conjuntos
3.1 Notação: Indicamos um conjunto, em geral, com
uma letra maiúscula e um elemento com letra
minúscula.
Se A é um conjunto e x pertence a A, esse fato é
denotado por: 𝑥 ∈ 𝐴.
Se, por outro lado, tivermos que x não pertence
ao conjunto A, escrevemos: 𝑥 ∉ 𝐴.
3. Conjuntos
Exemplos:
1. Se A={violeta, verde, marrom}
Então, verde ∈ 𝐴 e amarelo ∉ 𝐴
2. Seja A = {conjunto das vogais}={a,e,i,o,u}
a ∈ 𝐴
g ∉ 𝐴
3. Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos
elementos. Ou seja,
𝐴 = 𝐵 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 (∀𝑥)[ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 ^(𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)]
Conjunto finito: seja um conjunto com n elementos,
n ∈ ℤ+ , para representa-lo basta listar todos os
elementos.
Conjunto infinito: embora seja impossível representar
todos elementos de um conjunto infinito, para alguns
conjuntos podemos indicar a forma geral, indicando os
primeiros termos.
3. Conjuntos
Conjunto infinito: exemplos:
• A={2,4,6,...}
• B={0,1,2,3,4,...}
• C={2,4,8,16,..}
Ou podemos representar por uma relação de
recorrência.
• 2 ∈ 𝐴• se 𝑛 ∈ 𝐴, então 𝑛 + 2 ∈ 𝐴
Temos, A={2,4,6,...}
3. Conjuntos
Conjunto infinito: exemplos:
• 0 ∈ 𝐵• se 𝑛 ∈ 𝐵, então 𝑛 + 1 ∈ 𝐵
Temos, B={0,1,2,...}
• 2 ∈ 𝐶• se 𝑛 ∈ 𝐶, então 2𝑛 ∈ 𝐶
Temos, C={2,4,8,16...}
3. Conjuntos
A descrição um conjunto, pode ser feita de
várias maneiras, conforme segue.
a) Enumerando seus elementos, entre chaves:
Exemplos:
1) V = { a, e, i, o, u}
2) I = {1, 3, 5, 7, 9, …}
3) D = {0, 1, 2, 3, …, 9}
4) Q = {0, 1, 4, 9, 25, 36, …}
5) P = {2, 3, 5, 7, 11, ...}
3. Conjuntos
b) Quando conhecemos uma certa propriedade
característica de seus elementos:
Escrevemos A = {x|P(x)}, x tem um predicado P. Ou
seja,A = {x|P(x)} significa (∀𝑥)[(x ∈ S → P(x))^(P(x) → x ∈ S)]
Exemplo:
A={x|x é um inteiro positivo par}
“O conjunto de todos os x tais que x é um inteiro
positivo par”
3. Conjuntos
Exemplos
1) L = {x|x é aluno do 1º semestre do Curso de CC}
2) D = {x|x é inteiro positivo menor que 10}
3) N = {x|x é número natural e 4 < x < 3500}
4) M = {x|x é múltiplo de 5}
5) P = {x|x é um número real}
3. Conjuntos
c) Por uma relação de recorrência:
Exemplos:
1) Sequência de Fibonacci
F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2), para n > 2
2) 1 ∈ 𝑆Se 𝑥 ∈ 𝑆, então 𝑥 + 2 ∈ 𝑆
3. Conjuntos
Exercício 1: Julgue se os conjuntos são finitos ou
infinitos:
a) Conjunto das letras do alfabeto;
b) P = {y | y = 2x e x ∈ N}
c) M = {x ∈ N | x > 0 e x < 6}
d) O conjunto do números naturais.
3. Conjuntos
Exercício 2: Descreva cada um dos conjuntos a seguir
listando seus elementos:
a) A={x|x é um inteiro e 3 < x < 8}
b) B={x|x é um mês com exatamente 30 dias}
c) C={x|x é a capital do Brasil}
d) D={x|(∃𝑦)(𝑦 ∈ 0,1,2 𝑒 𝑥 = 𝑦³)}e) E={𝑥|𝑥 ∈ ℕ 𝑒 (∃𝑦)(𝑦 ∈ ℕ 𝑒 𝑥 ≤ 𝑦)}f) F={𝑥|𝑥 ∈ ℕ 𝑒 (∀𝑦)(𝑦 ∈ ℕ 𝑒 𝑥 ≤ 𝑦)}
3. Conjuntos
Exercício 3: Descreva cada um dos conjuntos a seguir
através de uma relação de recorrência.
a) A={2,4,16,256,...}
b) B={1,3,9,27,...}
c) C={2,3,5,7,11,...}
3. Conjuntos
Conjuntos importantes:
1) Conjunto Unitário: é um conjunto que possui um
único elemento.
Exemplos:
i) Conjunto das soluções da equação 5x + 4 = 19.
ii) Conjunto de todos os números que são pares e
primos simultaneamente.
Exercício:
Dê um exemplo de conjunto unitário.
3. Conjuntos
2) Conjunto vazio: é um conjunto que não possui
elemento algum. Notação: A = { } = ∅
Exemplos:
i) Conjunto dos brasileiros com mais de 400 anos.
ii) {x|x é ímpar e múltiplo de 2}
Exercício:
Dê um exemplo de conjunto vazio.
3. Conjuntos
3) Conjuntos Numéricos:
a) Naturais: ℕ = {0,1,2,3,… }
b) Inteiros:
c) Racionais:
d) Irracionais: {x|x não pode ser escrito na forma de
fração, com p e q inteiros}
e) Reais(ℝ): é a reunião dos racionais com irracionais.
f) Complexos (ℂ): tem a forma a + bi, com 𝑖²=-1
3.2 Subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e
somente se, todo elemento de A também é
elemento de B.
Dizemos neste caso que A está contido em B, ou
ainda, que B contém A.
Se existe
𝑏 ∈ 𝐵 𝑒 𝑏 ∉ 𝐴, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 ⊂ 𝐵
Neste caso A é um subconjunto próprio de B.
OBS.: 𝐴 ⊆ 𝐴 𝑒 ∅ ⊆ 𝐴
A ⊆ B ↔ (∀x)(x ∈ A → x ∈ B)
3.2 Subconjuntos
Exercício 1: Sabendo que
𝐴 = 𝑥 𝑥 ∈ ℕ 𝑒 𝑥 ≥ 5𝐵 = {10, 12, 16, 20}
𝐶 é dado pela relação de recorrência:
1 ∈ 𝐶 𝑒 𝑠𝑒 𝑛 ∈ 𝐶, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 2𝑛 ∈ 𝐶
Quais proposições são verdadeiras?
a) 𝐵 ⊂ 𝐶b) 𝐵 ⊄ Ac) 𝐶 ⊂ 𝐴d) ∅ ⊄ Ae) 𝐵 ⊆ 𝐵f) 𝐴 ⊆ 𝐵g) 𝐵 ⊆ 𝐴h) 5 ⊂ 𝐴i) {10} ⊂ 𝐶
3.2 Subconjuntos
Exercício 2: Sejam
𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0}e
𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ ℕ 𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 4}
Prove que 𝐴 ⊂ 𝐵.
3.2 Subconjuntos
Conjuntos iguais: dois conjuntos são iguais se todo
elemento de A pertence a B e vice-versa, ou
seja eles possuem os mesmos elementos.
Formalmente,
Exemplos
A = B ↔ ∀ x (x ∈A ↔ x ∈B)
3.2 Subconjuntos
Conjuntos de conjuntos: para um conjunto S,
podemos formar um novo conjunto cujos
elementos são os subconjunto de S. Esse
conjunto é chamado conjunto das partes de S,
denotamos por ℘ 𝑆 .
Exemplo: S={0,1}, então o conjunto das partes é dado
por:
℘ 𝑆 = {∅, 0 , 1 , {0,1}}
Exercício: Para A={1,2,3}, qual é o ℘ 𝐴 ?
Exercício: Se S tem n elementos, então ℘ 𝑆 tem
quantos elementos?
3.2 Subconjuntos
Definição(Cardinalidade): Seja A um conjunto. Se
existem exatamente n elementos distintos em A,
com n ≥ 0, então dizemos que A é um conjunto
finito e que n é a cardinalidade de A.
OBS.: A cardinalidade de A é denotada por |𝐴|.
Exemplos:
1) A = {x | x é inteiro ímpar e x < 10}. Logo, |A| = 5.
2) B = {x | x é uma letra do alfabeto}. Logo, |B|= 26.
3) P = {x | x é primo e x < 30}. Logo, |P| = 10.
4) C = ∅ . Como o conjunto vazio não possui elementos,
Então |∅ | = 0.
Questão POSCOMP 1
a) Somente as afirmativas I e II são corretas;
b) Somente as afirmativas I e IV são corretas;
c) Somente as afirmativas III e IV são corretas;
d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas;
e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas;
3.3 Operações em conjuntos
União: Dados os conjuntos A e B chama-se união ou
reunião de A e B, denotada por A ∪ B, ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Formalmente:
Exemplos:
1) Sejam A = {1, 2, 4} e B = {1, 3, 5}.
A ∪ B = {1, 2, 4} ∪ {1, 3, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
2)
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
3.3 Operações em conjuntos
Interseção: Dados os conjuntos A e B a interseção de A e
B, denotada por A ∩ B, é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A e a B.
Formalmente:
Exemplos:
1) Sejam A = {1, 2, 4} e B = {1, 3, 5}.
A ∩ B = {1, 2, 4} ∩ {1, 3, 5}
A ∩ B = {1}
2)
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
3.3 Operações em conjuntos
Conjuntos Disjuntos: Dois conjuntos A e B são disjuntos
se A ∩ B = ∅ .
Exemplos:
1) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8}.
A ∩ B = elementos em comum entre A e B
A ∩ B = ∅Logo, A e B são disjuntos.
2)
1 3 7
9 613 2
4
AB
3.3 Operações em conjuntos
Diferença: Dados os conjuntos A e B. A diferença A − B
ou A \ B contém os elementos que estão em A mas não
estão em B.
Formalmente:
Exemplos:
1) Sejam A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f, g}.
A \ B = {a, b}
2)
3.3 Operações em conjuntos
Complementar: Dados os conjuntos A e U(universo). O
complementar de A em relação a U é o conjunto
formado pela diferença U − A.
Formalmente:
Exemplos:
1) Seja A = {a, e, i, o, u}, onde o conjunto U são as
letras do alfabeto.
2)
Exercícios
Sejam
𝐴 = 𝑥 𝑥 é 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑛ã𝑜 − 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑟𝐵 = 𝑥 ∃𝑦 𝑦 ∈ ℕ 𝑒 𝑥 = 2𝑦 + 1𝐶 = {𝑥|(∃𝑦)(𝑦 ∈ ℕ 𝑒 𝑥 = 4𝑦)}
Julgue a veracidade de cada alternativa:
a) 𝐴 ∪ 𝐵b) 𝐴 = 𝐵c) 𝐶 ⊂ 𝐴d) 𝐴 ∪ 𝐶e) 𝐴 − C = {x|(∃𝑦)(y ∈ ℕ 𝑒 x = 4y + 2)}
Exercícios
Sejam
𝐴 = {1,2,3,5,10}𝐵 = {2,4,7,8,9}𝐶 = {5,8,10}
Se S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, encontre:
a) 𝐴 + 𝐶b) 𝐴 ∪ 𝐵c) 𝐴 − 𝐶d) 𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)e) 𝐶
3.3 Exemplos
Podemos utilizar as identidades básicas envolvendo
conjuntos para provar que
𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅
1. { 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 } ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (associat.)
2. { 𝐵 ∩ 𝐶 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∪ 𝐴 } ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (comutat.)
3. [ 𝐵 ∩ 𝐶 ∪ 𝐴 ∩ 𝐴 ] ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (distributividade)
4. [ 𝐵 ∩ 𝐶 ∪ ∅] ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (complemento)
5. 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 (elemento neutro)
6. ∅ (complemento)
3.3 Exercício
Podemos utilizar as identidades básicas envolvendo
conjuntos para provar que
𝐶 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ [ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶] = 𝐴 ∪ 𝐵
3.3 Exercício
Podemos utilizar as identidades básicas envolvendo
conjuntos para provar que
𝐶 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ [ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶] = 𝐴 ∪ 𝐵
1. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ∪ [ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶] (comut.)
2. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ (𝐶 ∪ 𝐶) (distrib.)
3. 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝑆 (complemento)
4. 𝐴 ∪ 𝐵 (elemento neutro)
3.3 Operações em conjuntos
Produto cartesiano: Sejam A e B subconjuntos de S. O
produto cartesiano de A e B, denotado por 𝐴 × 𝐵, édefinido por
𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 ^ 𝑦 ∈ 𝐵}
Exemplo: sejam A={1,2} e B={3,4}
a) Encontre A x B
b) Encontre B x A
c) Encontre A²
3.3 Operações em conjuntos
Produto cartesiano de n conjuntos: Sejam A
subconjunto de S. O produto cartesiano de A, ..., A,
é o conjunto das n-uplas ordenadas
𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 , onde 𝑎𝑖 ∈ 𝐴,
𝐴 × 𝐴 ×⋯× 𝐴 = {(𝑎1, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ 𝐴 }
Exemplo:
Sejam A = {0, 1}, B = {1, 2} e C = {0, 1, 2}. Apresente:
𝐴 × 𝐵 × 𝐶 𝐴2 × 𝐵 A³
3.4 Conjuntos enumeráveis e não-
enumeráveis
Um conjunto é dito contável, quando podemos contar,
ou enumerar, todos os seus elementos. Ser contável não
significa que podemos dizer qual o número total de
elementos do conjunto; significa que podemos dizer
“aqui está o primeiro elemento”, “aqui está o segundo
elemento”, e assim por diante.
Todo conjunto finito é contável pois podemos ordenar
seus elementos em uma lista como a seguinte, onde
cada elemento da lista representa um elemento do
conjunto:
s1, s2, s3, ..., sn
3.4 Conjuntos enumeráveis e não-
enumeráveis
Um conjunto infinito também pode ser contável, desde
que tenhamos uma relação biunívoca com o números
naturais. Ou seja, podemos relacionar cada elemento
desse conjunto infinito com um elemento dos números
naturais.
Um conjunto é dito enumerável, quando for infinito e
contável.
3.4 Conjuntos enumeráveis e não-
enumeráveis
Para verificar se um conjunto é enumerável precisamos
organizar uma lista de seus elementos.
Exemplos:
Verifique que os conjuntos a seguir são enumeráveis:
1) Conjunto dos números ímpares positivos.
2) Conjunto dos múltiplos de 5.
3) Conjunto dos números naturais.
4) Conjuntos dos números inteiros.
3.4 Conjuntos enumeráveis e não-
enumeráveis
Os conjuntos infinitos que não podem ser enumerados
são não-enumeráveis.
Exemplos:
1) O conjunto de todos os reais entre 0 e 1.
2) Um intervalo de números reais.
3) O conjunto dos números reais.
3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão
Sejam A e B subconjuntos de um conjunto
universo S, então A-B, B-A e A∩B são disjuntos
dois a dois. Observe que
𝐴 ∪ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)
Assim, da cardinalidade de conjuntos disjuntos
temos,
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 − 𝐵 ∪ 𝐵 − 𝐴 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 − 𝐵 | + 𝐵 − 𝐴 + | 𝐴 ∩ 𝐵
3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão
Mas,
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 − 𝐴 ∩ 𝐵e
𝐵 − 𝐴 = 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐵
Assim,
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨 + 𝑩 − 𝑨 ∩ 𝑩
Este é o princípio da inclusão e exclusão para
dois conjuntos
3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão
Exemplo: Um pesquisador de opinião pública
entrevistou 35 eleitores, todos apoiando o
referendo 1, o referendo 2 ou ambos, e
descobriu que 14 eleitores apoiam o referendo 1
e 26 apoiam o referendo 2. Quantos eleitores
apoiam ambos?
3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão
O princípio da inclusão e exclusão para três
conjuntos finitos é dado por
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 − 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐶 − 𝐵 ∩ 𝐶+ |𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶|
Demonstre.
3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão
Exemplo: Um grupo de estudantes está
planejando encomendar pizzas. Se 13 comem
calabresa, 10 comem portuguesa, 12 comem 4
queijos, 4 comem calabresa e portuguesa, 5
comem 4 queijos e portuguesa, 7 comem
calabresa e 4 queijos e 3 comem de tudo.
Quantos estudantes há no grupo?
3.5 Princípio da Inclusão e Exclusão
Exemplo: Um feirante vende apenas brócolis,
cenoura e quiabo. Em um dia, o feirante atendeu
207 pessoas. Se 114 pessoas compraram
brócolis, 152 compraram cenoura, 25
compraram quiabo, 64 compraram brócolis e
cenoura, 12 compraram cenoura e quiabo e 9
compraram os três produtos. Quantas pessoas
compraram brócolis e quiabo?