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DAFIS/DAQBI - PPGFCET
Sistemas Complexos
Prof. Mário Sérgio Freitas, Dr. - UTFPR/DAFIS
[ M.S
. Freitas / U
TF
PR
]
Ementa0 – INTRODUÇÃO 1 – REDES BOOLEANAS E AUTÔMATOS CELULARES2 – AUTOSSIMILARIDADE E GEOMETRIA FRACTAL3 – EQUAÇÕES A DIFERENÇAS FINITAS ( “MAPAS” )4 – MAPAS BIDIMENSIONAIS5 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS BIDIMENSIONAIS
texto-base: D.Kaplan, L.Glass Understanding Nonlinear Dynamics
(Springer, N.Y, 1995).
2.1. Fatores de Escala, Algoritmos Recursivos e Exemplos de Fractais
ex: descrição computacional de uma árvore
* diversas alternativas
a) conjunto completo dos elementos
x
yy
[ M.S
. Freitas / U
TF
PR
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b) forma aproximada da envoltória espacial
[ Guilmar Silva, Sem título – Litogravura, 50x70cm (1985) – Solar do Barão, Curitiba, Jun. 2009]
[ M.S
. Freitas / U
TF
PR
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c) relação recursiva (auto-similaridade)
pouca informação de entrada
modelo estruturalmente realista
[fig. 3.1] e [fig. 3.2]
[ M.S
. Freitas / U
TF
PR
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geometria auto-similar: uma parte se parece com o todo
* objetos reais auto-similares: engendrados por processos recursivos?
* exemplos na natureza:
samambaia
brócolis
sistema de brônquios...
[ http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/ ]
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap3/1Fractais/index.html
[ M.S
. Freitas / U
TF
PR
] ]
* mais exemplos na natureza:
contorno de nuvens, estrutura de pedras, vórtices em fluidos, litorais
[ M.S
. Freitas / U
TF
PR
]
* mais exemplos na natureza:
contorno de nuvens, estrutura de pedras, vórtices em fluidos, litorais
[ M.S
. Freitas / U
TF
PR
]
escavações alveolares devidas à erosão pela chuva
(Vila Velha, PR, 2008)
* exemplos na área tecnológica:
imagem com retro-alimentação num tubo de raios catódicos
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap3/3RetroAlimentacao/index.html
antenas para banda larga miniaturizadas
http://www.fractenna.com/
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap3/4Antenas/index.html
adesão de nanopartículas em substratos rugosos
[ T.S. Chow - J. Phys: Cond. Matter 15, n2 (2003) L83-L87 ]
modelos de tráfego de informação em servidores Web
[C.M. Pedroso - tese de doutorado, UTFPR/CPGEI, 2006]
* objetos com dimensão fracionária: fractais
* geometria fractal:
associada a tipos de comportamento dinâmico
* fractais exatos: objetos matemáticos
gerados por algoritmos recursivos
exemplos:
a) Conjunto de Cantor ( “poeira de pontos” ) [fig. 3.3]
* algoritmo recursivo:
t=0: segmento de reta de comprimento 1
t=1: 2 cópias com comprimento 1/3 cada
t=2: repete o processo para as 2 cópias
(resultam 4 cópias com comprimento 1/9 cada)
t=3: repete o processo para as 4 cópias ...
profundidade da recursão ( maior t usado )
fractal perfeito ( t ) [fig 3.4]
b) Cesta de Serpienski [fig. 3.5]
c) Curva de Koch [fig. 3.6]
d) Ilha de Koch (“snowflake”)
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap3/5Koch/index.html
* perímetro infinito delimitando uma área finita!
* seres vivos: otimização da razão área/volume
[ Peak & Frame, Chaos under Control, p 104]
Ilha de Koch:
faça você mesmo!
(arame moldado)
UTFPR, 2007
e) Esponja de Menger [fig. adicional]
[ Stewart, Does God Play Dice?, p 303]
Esponja de Menger
* faça você mesmo!
material:
cartões dobrados
(66048)
altura:
140 cm
peso:
70kgf
tempo de trabalho: 9 anos [ http://www.notio.com/2006/08/ ]
3.2. Dimensão Fracionária
* dimensão euclideana:
número de coordenadas necessárias
para posicionar um ponto no objeto
OBJETO DIMENSÃO EUCLIDEANA
PONTO 0
SEGMENTO DE RETA 1
RETÂNGULO PLANO 2
CUBO MACIÇO 3
... 4 ( inteiros )
* objeto auto-similar gerado recursivamente:
: aresta no passo n / aresta no passo n+1
N: número de cópias no passo n+1 / número de cópias no passo n
D: dimensão fractal
log
log ND
* definição de dimensão fractal:
abrange os objetos euclideanos!
OBJETO N D
SEGMENTO DE RETA 2 2 1
QUADRADO PREENCHIDO 2 4 2
CONJUNTO DE CANTOR 3 2 0.631
CESTA DE SIERPIENSKI 2 3 1.585
FLOCO DE NEVE DE KOCH 3 4 1.262
ESPONJA DE MENGER 3 20 2.727
exemplo para aula prática: bolas de papel amassado
[ Peak & Frame, Chaos under Control, p 104]
* diâmetro de cada bola: d
* massa de cada bola: m
relação entre m e d (experimental): m = k . d 2,5
* k: constante de proporcionalidade
“lei de potência” : invariante de escala
DIMENSÃO POR CONTAGEM DE CAIXAS
dado um objeto pronto qual o valor de D?
procedimento geométrico:
* recobrir o objeto com “caixas” de aresta 0
(cubos, quadrados ou segmentos de reta)
* contar o número de caixas necessárias N = N (0)
* fazer 1 = ( 0 / 2 )
* contar N ( 1)
... recursivamente... função por pontos N = N ()
expressão teórica:DkN )(
procedimento prático:
1
1
log
)(
)(log
i
i
i
i
N
N
D
exemplo: atrator caótico de um mapa bidimensional (“mapa de Ikeda”)
x i +1 = 1 + 0.7 (x i cos t i – y i sen t i )
y i +1 = 0.7 (x i sen t i + y i cos t i )
atenção: t não é o tempo, é só uma variável auxiliar:
t i = 0.4 – [ 6 / ( 1 + x i2 + y i
2)]
* imagem do objeto auto-similar (para outro parâmetro):
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap3/6Ikeda/index.html
* sistema real: laser numa cavidade em anel
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap3/7IkedaLista/index.html
* auto-similaridade [fig. adicional]
caixas com 0 = 0.08 N ( 0 ) = 43 [fig. pg. 116 (esquerda)]
caixas com 1 = 0.04 N ( 1 ) = 110 [fig. pg. 116 (meio)]
caixas com 2 = 0.02 N ( 2 ) = 250 [fig. pg. 116 (direita)]
* levando na fórmula: tende para D 1,2
* menor valor de depende da resolução da figura
3.3. Auto-Similaridade Estatística
as partes são, em média, similares ao todo
exs:
* fractais na natureza ( costas litorâneas, árvores, etc )
* fractais matemáticos
( gerados por processo determinístico caótico )
( gerados com adição de números aleatórios )
AUTO-SIMILARIDADE NO TEMPO
* exemplo determinístico:
saída caótica de um mapa unidimensional
x t +1 = x t + xt2 (mod 1)
diagrama de 1o retorno: [fig. pg. 118]
série temporal: [fig. pg. 119]
mostra invariância de escala!
* exemplo estocástico:
saída de um gerador de números aleatórios
série temporal: [fig. pg. 120]
* exemplo observado na natureza:
registro dos batimentos cardíacos
série temporal [fig. pg. 121]
todos mostram invariância de escala!
espectro de um sinal auto-similar no tempo:
“ ruído 1/f ”
energias aproximadamente iguais nos intervalos
0.1 Hz < f < 1 Hz
1 Hz < f < 10 Hz
10 Hz < f < 100 Hz
100 Hz < f < 1 kHz . . .
fenômenos que respeitam esta distribuição:
* tempos de chegada de pacotes de informação (telefonia, Internet)
* ruído intrínseco em semicondutores
* densidade do tráfego de automóveis urbano
* nível de cheias em rios
* ritmos biológicos, etc.
3.4. Fractais e Comportamento Dinâmico
“fractal” objeto geométrico auto-similar
“caos” evolução temporal imprevisível de uma variável
os dois conceitos são intimamente relacionados
James Yorke (1941 - ...)* caracterização do termo ”Caos” c/ Tien-Yien Li (1975)
* método de controle ativo “OGY” c/ E. Ott e C. Grebogi (1990)
[ http://www-chaos.umd.edu/cooldudes/yorke.html ]
Benoit Mandelbrot (1924 - 2010)
* criação do termo ”fractal” (1975)
[ http://www.nndb.com/people/752/000022686/ ]
exemplos (em sistemas não-lineares):
* “jogo fractal” ou “jogo do caos”
* autômatos celulares
* passeio aleatório e movimento browniano
* escape para infinito
* fronteiras de bacia fractais
* agregação e percolação, etc
“JOGO FRACTAL”
dinâmica discreta com elemento aleatório
algoritmo (entrada aleatória: lance de um dado)
* triângulo equilátero ABC
* condição inicial: 0 (qualquer ponto tomado dentro do triângulo)
* lança-se o dado para selecionar um vértice
1 ou 2 A ; 3 ou 4 B ; 5 ou 6 C
* ponto 1:
ponto médio entre 0 e o vértice sorteado
* lança-se o dado novamente
* ponto 2:
ponto médio entre 1 e o novo vértice sorteado
. . .
resultados (ex 2; 6; 1; ...):
3 lances [fig. 3.7]
100, 1000, 5000 lances [fig. 3.8]
* para infinitos lances:
é construída uma cesta de Serpienski !
* uma regra simples gera um objeto complexo!
* conjunto final:
quase independe da seqüência de lances
é o atrator do sistema dinâmico
explicação lógica:
* o sistema é, em parte, determinístico
* a cada lance t:
divide-se o triângulo em 3t regiões possíveis
ponto 0: 1 região (triângulo inteiro)
ponto 1: 3 regiões resultados: A, B ou C
ponto 2: 9 regiões resultados (1o e 2o lances)
AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC
ponto 3: 27 regiões 1o , 2o e 3o lances
AAA, AAB, AAC, ABA, etc... [fig. 3.9]
aplicação importante: pode revelar correlações!
(análise de séries temporais)
* séries totalmente aleatórias
* séries determinísticas caóticas
* séries mistas
.
ruído 1/f [fig. adicional a]
movimento browniano [fig. adicional b]
mapa logístico com a=3.999 [fig. adicional c]
seqüência de bases do DNA p/ amilase [fig. adicional d]
[ Peak & Frame, Chaos under Control, p 222]
Iniciação Científica na UTFPR (PIBIC-JR)
“Fractal Formation in the Circular Chaos Game: a topological investigation”
IJBC - artigo publicado em 2010, v20, n3 (A.L. Gama e M.S.T. Freitas)
PASSEIO ALEATÓRIO
difusão: processo físico em escala molecular
deslocamentos aleatórios devidos a colisões
não envolve gasto de energia
persiste enquanto há diferença de concentração
[ http://dspace.mit.edu/ ]
“movimento browniano” [R. Brown, 1827]
modelo:
* passos de mesmo comprimento
* direção e sentido aleatórios
investiga-se:
para a população de partículas:
* distribuição espacial em função do tempo
ex: distribuição gaussiana
para cada partícula
* deslocamento total médio em função do tempo
ex: 2 dimensões, 500 passos [fig. pg. 127]
* lei de potência observada:
d MED = k . t 1/2 ou dMED = k . t ( 4 - ) / 2 ; = 3
* para passos de comprimentos também aleatórios
continua auto-similar (expoente ½ , outro k)
“caminhada intencional”:
d MED = k . t = k . t ( 4 - ) / 2 ; = 2 [fig. pg. 127]
“passeio de Lévy”:
d MED = k . t ( 4 - ) / 2 ; 2 < < 3
* comprimento dos passos: lei de potência
* eventualmente, pode haver passos muito longos
* prazo longo ou curto: diferentes estimativas
ESCAPE PARA INFINITO
*para muitos sistemas dinâmicos: a variável diverge para infinito
*isso depende da condição inicial
*condições iniciais que não divergem: podem formar um fractal
(ex: conjunto de Cantor) [fig. 3.12]; [fig. 3.13]
FRONTEIRAS DE BACIA FRACTAIS
sistemas dinâmicos multiestáveis:
dois ou mais atratores coexistentes (periódicos ou caóticos)
* para cada atrator: conjunto de condições iniciais
“BACIA DE ATRAÇÃO”
* pontos de fronteira entre duas bacias formam um conjunto fractal
exemplos:
pêndulo amortecido e forçado
http://www-chaos.umd.edu/misc/basinpics.html
resolução de z4 – 1 = 0 pelo método de Newton
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap3/8MetodoNewton/index.html
sistema ótico de 4 esferas -
(“espalhamento caótico” – D. Sweet et al, Nature 399, 315 (1999)
http://www.andamooka.org/~dsweet/Spheres/makingof.jpeg
http://www.nature.com/nature/journal/v399/n6734/fig_tab/399315a0_F1.html
CONJUNTO DE MANDELBROT
variável complexa ( z t = a t + b t i )
equação a diferenças: z t +1 = z t2 + c
sendo c = x + y i
para cada par (x,y) no plano: inicia-se com z0 = 0
se z divergir para infinito ponto em preto
se z não divergir ponto em branco
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap3/9Mandelbrot/index.html
* estrutura de uma couve-flor: coincidência?
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/zcouve-flor%20fractal%2002.jpg
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/msergio/cap3/10CouveFlor/index.html
CRESCIMENTO FRACTAL, AGREGAÇÃO E PERCOLAÇÃO
exemplos:
deposição eletrolítica de metais
colônias de microorganismos
difusão em líquidos imiscíveis, etc
padrões podem ser simulados por algoritmos muito simples!
Modelo de Eden: [M. Eden, 1961]
rede quadrada
t = 0 inicia com uma primeira célula
t = 1 outra célula é acrescentada aleatoriamente (4 posições)
t = 2 uma terceira célula (6 posições), etc
[fig. pg. 137]; [fig. pg. 138]
* para grande t: a fronteira do conjunto é fractal!
Agregação limitada por difusão ( “D.L.A.” )
[Witten e Sander, 1981]
também supõe uma partícula-semente
outras partículas são distribuídas e sofrem difusão aleatória
quando tocam na semente, são agregadas
[figs. pg. 140]
[ http://www.kclee.de/clemens/java/dla/ ]
Percolação:
* transição de fase (ponto crítico perfeitamente definido)
* as ramificações se aglutinam formam uma massa única
[Stewart, Does God Play Dice?, p.308]