Viagem Pelo Mundo dos

Fractais

I

Introdução

Evolução Histórica

Kepler / Galileu

Movimento dos planetas

Século XVII

Newton

Teoria dos sistemas dinâmicos

Hausdorff, em 1919, introduziu um conceito de dimensão não-inteira

Cantor (1870)

Poincaré (1880)

Paradigma dos três corpos

“Quais são os comportamentos possíveis

de um sistema constituído por 3 corpos

que interagem entre si através de uma força

gravitacional Newtoniana?”

Poincaré Equações

Diferenciais

Soluções Analíticas

Quantitativas Inútil

Teoria qualitativa ou geométrica das equações diferenciais

Sistemas dinâmicos

(séc. XX)

Mandelbrot

O chamado “Pai dos Fractais” ao longo dos anos 50 foi

criando uma imagem da realidade na sua mente e em

1975, começou um estudo sistemático dos fractais.

Mandelbrot fartou-se de dizer “nuvens não são esferas,

montanhas não são cones,continentes não são círculos ...”

(Gleick, 1994:132).

Fractal designa uma curva ou superfície

complexa, revelada pela sua estrutura

detalhada, visível em qualquer escala de

ampliação. Nas diferentes ampliações, as formas

complexas apresentam a qualidade de auto-

semelhança,isto é, a parte é igual ao todo.

Couve flor

Flora intestinal

Ramificação do sistema pulmonar

O Que É Um Fractal?

Objecto Fractal

Dimensão fractal

Permite medir o grau de irregula-ridade e de fragmentação de formas.

Fractais Clássicos

II

O Triângulo de Sierpinski

Os três primeiros passos da construção do triângulo de Sierpinski

Em cada passo o número total de triângulos

triplica 1, 3, 9, 27, 81 ao mesmo tempo que

o lado dos triângulos se reduz para

metade.

Triângulo de Sierpinski, é o conjunto dos

pontos do plano que restam se esta

operação for levada a cabo infinitas

vezes. É possível perceber que além dos

lados do triângulo original, que farão

parte do limite, os lados dos triângulos

que vão sendo produzidos também farão

parte do Triângulo de Sierpinski.

Área do Triângulo de Sierpinski

Suponha-se que a área do triângulo inicial é “x”

No passo 1 tem-se: A = 3x /4

No passo 2 tem-se: A = 9x / 16

No passo 3 tem-se: A = 27x/64

(...)

No passo n ter-se-á: A = (3 / 4)n .x

O Triângulo de Pascal trata-se de um

arranjo triangular de números compostos pelos

coeficientes do desenvolvimento do polinómio

(1+x)n (n0). O modo de obter os coeficientes

é simples. As margens direita e esquerda são

sempre iguais a 1, os outros coeficientes são a

soma dos dois coeficientes da linha superior.

Preto

Ímpar

Branco

Par

Qual a proporção de um Triângulo de Sierpinski que é branca?

Parte preta Área de superfície total de 0

Parte branca Área de superfície total de 1

Triângulo de Pascal muito grande os números impares ocorrem com uma probabilidade muito próxima de zero.

O Triângulo de Pascal

Padrões no triângulo de Pascal de módulos 3, 7, e 9

A Curva de Koch / Floco de Neve

Apresentado pelo matemático sueco Helge von Koch em 1904

Construção Do Floco de Neve

31

31 31

31 31 31 31 31

31 31 31 31 31 31

34 1n

Passo

Nº de Lados

Medida de comprimento

dos lados

Perímetro

N = 1

3

*

3

=

9cm

N = 2

4*3

*

*3

=

12cm

N = 3

4*4*3

*

**3

=

16cm

N = 4

4*4*4*3

*

***3

=

21,(3)cm

N=5

4*4*4*4*3

*

****3

=

28,(4)cm

N = 6

4*4*4*4*4*3

*

*****3

=

37,926cm

N = 7

4*4*4*4*4*4*3

*

******3

=

50,568cm

...

...

...

..

.

...

N = n

(4)*3

*

()*3

=

()*9

Passo

Nº de Lados

Medida de comprimento

dos lados

Perímetro

N = 1

3

*

3

=

9cm

N = 2

4*3

*

*3

=

12cm

N = 3

4*4*3

*

**3

=

16cm

N = 4

4*4*4*3

*

***3

=

21,(3)cm

N=5

4*4*4*4*3

*

****3

=

28,(4)cm

N = 6

4*4*4*4*4*3

*

Cada uma das transformações multiplicará o comprimento total por 4/3.

PASSO Nº LADOS MEDIDA DOS LADOS PERÍME-

TRO

N =1 3 3 9 cm

N = 2 4*3 1/3*3 12 cm

N = 3 4*4*3 1/3*1/3*3 16 cm

N = 4 4*4*4*3 1/3*1/3*1/3*3 21,(3) cm

N = 5 4*4*4*4*3 1/3*1/3*1/3*1/3*3 28,(4) cm

N = 6 4*4*4*4*4*3 1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*3 37,926 cm

N = 7 4*4*4*4*4*4*3 1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*3 50,568 cm

.... ... ... ...

N = n (4)n-1*3 (1/3)n-1*3=3-n+2 (4/3)n-1*9

Perímetro do Floco de Neve

Área do Floco de Neve

Para calcular a área do Floco de Neve tenta-se, em cada passo, calcular a parte que foi acrescentada à anterior, pois a área do “Floco de Neve” pode ser vista como a soma das áreas dos triângulos em que este pode ser subdividido.

h

A B

C A altura dos triângulos

acrescentados em cada passo é

dada pela expressão hn=

No primeiro passo, partindo de um triângulo

equilátero de comprimento igual a 3 cm; cuja

altura h = cm, a área do triângulo

[ABC é: A= cm2.

A medida do comprimento dos lados no passo n

é dada pela expressão: ln=(1/3)n-1*3=3-n+2

32323322

439

nl23

Deste modo, a área de cada triângulo

acrescentado em cada passo é dada pela

expressão: An= . . Como ln=3-n+2

vem que An= 4

3l

2

ll

2

3 2

nn

n

2n94

3

O número de triângulos acrescentados em cada passo é dado pela expressão 3*4n-2.

Assim, a área total dos triângulos acrescentados no passo n é dada pela expressão :

2n

2n

2n

nT9

4

4

3343

9

1

4

3AtriângulosºNA

n

2n

2n2n

T1T9

4

4

33

4

39AAA

N

A área total do Floco

de Neve é dada pela

série:

Passo Área do “Floco de Neve”

N= 1 AT

= 439 cm2 .

N=2 AT

= 439 + 433 cm2

N=3 AT

= 439 + 433 + 36312 cm2

N=4 AT

= 439 + 433 + 36312 + 324348 cm2

N=5 AT

= 439 + 433 + 36312 + 324348 +

29163192cm

2

... ...

N= n

AT

=

2

294433439

n

n* cm

2

Esta curva apresenta uma

particularidade curiosa, pois tem

comprimento infinito e área finita.

2

2n

2nn

cm20

327

4

39

9

4

4

33

4

39lim

9

3

4lim

1n

n

A área do Floco de Neve é sempre menor que a área do círculo que contém o triângulo inicial!

AF = 6,24cm2 AO= 9,42cm

2

A Curva de Peano

A Curva de Peano foi

apresentada pelo matemático

Giuseppe Peano em 1890.

A curva de Peano passa por todos os pontos de

um quadrado unitário, é portanto, um exemplo

de curvas que preenchem o espaço.

No nosso organismo: um rim é composto por 3

sistemas de veias em forma de árvores

interligadas, o sistema arterial, o sistema

venoso e o sistema urinário. Cada um deles tem

acesso a todas as partes do rim, á semelhança

do que acontece com a curva de Peano e os

pontos do quadrado.

Como obter a Curva de Peano

A curva de Peano obtém-se partindo de

um segmento de recta. No passo 1 o

segmento é substituído por 9 segmentos

de comprimento igual a 1/3 do segmento

inicial, e colocados de forma a poder-se

percorrer a linha poligonal sem

descontinuidades.

???

Passos da construção da Curva de Peano

Como em cada passo cada segmento de recta é

substituído por nove segmentos de recta com

1/3 do comprimento dos segmentos de recta

anteriores, pode-se facilmente calcular o

comprimento das curvas em cada passo.

No passo 1 tem-se: 9*1/3 = 3cm

No passo 2 tem-se: 9*9*1/3*1/3 = 32

No passo 3 tem-se: 9*9*9*1/3*1/3*1/3 = 27 = 33

No passo n ter-se á: 3n

Foram estes e outros exemplos que puseram em causa certos conceitos da matemática da época:

As funções sem derivadas

As curvas de comprimento infinito que contêm área finita

Curvas que passam por todos os pontos de um quadrado

Dimensão Fractal e

Auto-Semelhança

III

Dimensão Fractal

Dimensão fractal ou Dimensão de Hausdorff – Besicovitch, mas os conceitos originais têm as suas raízes no desenvolvimento inicial da topologia.

Esta caracterização está associada à ideia

intuitiva de que a dimensão de um objecto é o

número de parâmetros independentes

(coordenadas) que são necessários para a

descrição dos seus pontos.

OBJECTO DIMENSÃO

PONTO 0

RECTA 1

PLANO 2

SÓLIDO 3

Poincaré Conjunto vazio tem dimensão –1.

Seguidamente, define espaços de dimensão

0 em termos de espaços de dimensão –1;

espaços de dimensão 1 em termos de

espaços de dimensão 0; espaços de dimensão

2 em termos de espaços de dimensão 1;

espaços de dimensão 3 em função de

espaços de dimensão 2. A este resultado dá-

se o nome de dimensão topológica.

Como obter a dimensão de um

objecto?

OBJECTO TAMANHO CÓPIAS

RECTA Dobro 1

QUADRADO Dobro 4=22

CUBO Dobro 8=23

Mais geralmente, para uma figura de

dimensão Euclidiana d são necessárias

c= 2d cópias para dobrar o tamanho da

figura

d =ln c/ln 2

No caso em que o factor de ampliação

seja diferente de 2

d=ln c/ln a

Assim:

A curva Floco de Neve é feita de quatro cópias de si

própria, cada uma com um terço do tamanho. Logo, a =

3, c = 4 e d = ln 4/ln 3 = 1,2618....

No triângulo de Sierpinski, para a redução 1/2 obteve-

se uma divisão da figura em 3 partes congruentes.

Logo, a = 2, c = 3 e d = ln 3/ln 2=1,58 .

Na curva de Peano, nos primeiros passos, quando a

redução é 1/3 , o numero de partes congruentes é 9

logo, a = 3, c = 9 e d = ln 9/ln 3 = 2.

Afinal, nem todos os fractais têm dimensão não inteira!

A dimensão assim definida, demonstra todo um

processo de auto-semelhança. Um conjunto ao

qual ela se possa aplicar é dito auto-

semelhante, como é o caso das curvas fractais

abordadas, e das figuras não fractais como o

segmento de recta, o quadrado e o cubo.

Dimensão de Hausdorff – Besicovitch, ou

simplesmente, dimensão fractal.

Teoria dos Conjuntos de Julia

IV

Iteração de Funções Complexas

Jonh

Hubbar Método de

Newton

Resolução

de equações

Aproximações

sucessivas

Fornece em geral mais do que uma solução

particularmente quando se estudam

equações no plano complexo.

Hubbard explorou vários exemplos através do

computador e apercebeu-se que o gráfico que

resultava da aplicação do método de Newton era

apenas uma de toda uma família de figuras

inexploradas.

Contudo, foi Mandelbrot quem

descobriu o cerne de todas estas

formas!!!

“Catálogo” dos Conjuntos de Julia

Apareceu quando Mandelbrot estava a tentar

descobrir uma maneira de generalizar uma classe de

formas conhecidas por conjuntos de Julia, as quais

foram estudadas durante a Segunda Guerra Mundial

pelos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre

Fatou.

CONJUNTO DE MANDELBROT

Preliminares:

Considere-se como sendo um polinómio de grau n 2 com coeficientes complexos . Usualmente escreve-se para indicar a composição da késima da função , de forma que é a késima iteração de . Se chama-se a um ponto fixo de , e se para algum inteiro p 1 diz-se que é um ponto periódico de ; o menor p tal que é chamado o período de ; chama-se a uma órbita de período p. Seja um ponto periódico de período p, com . O ponto é chamado de superatractivo se =0, atractivo ou de atracção se , neutro se e de repulsão se

Cf:Cn

zn

azaazf ...10

)(

Kf

ff ... f )(Kf

fff ... f

f Pf

Pff ,...,,

'P

f

10 1

1

f

Pf

CONJUNTO DE MANDELBROT

O Conjunto de Mandelbrot é uma colecção de pontos

do plano complexo obtido submetendo os números do

plano complexo ao processo iterativo. Este baseia-se

na função . czzf 2

• Sequência ou para um ponto fixo

•Fazendo-se e iterando a função para

valores de c obtém-se o Conjunto de Mandelbrot.

zfK

0z czzf 2

COMO É QUE O CONJUNTO DE MANDELBROT

CONTÉM EM SI UMA INFINIDADE DE

FRACTAIS???

A ideia, agora, consiste em fixar um valor de c e

verificar o que acontece a qualquer valor inicial

de quando a função é iterada.

Obtém-se para cada valor de c figuras que são o

conjunto dos valores de que convergem no processo

da iteração sucessiva da função . A fronteira

dessas figuras é um Conjunto de Julia.

z

z

czzf 2

Conjuntos de Julia para vários valores de c do Conjunto de Mandelbrot.

Conjuntos de Julia Os Conjuntos de Julia surgem em ligação com a

iteração de uma função de variável complexa .

O Conjunto de Julia de pode ser

definido como o “fecho” do conjunto dos

pontos periódicos de repulsão de .

f

fJ f

f

Desde os tempos de Fatou e Julia, tomou-se

como estandardizado definir este conjunto

como o conjunto de pontos nos quais a família

de iterações de deixa de ser normal, ou

seja,

f

:CzfJ

a família 0KKf não é

normal em z .

Algumas propriedades dos

Conjuntos de Julia

Se f é um polinómio, então fJ

é compacto.

fJ

é não vazio.

fJ

é invariante no sentido directo e indirecto, isto é,

JfJfJ 1

.

fJPfJ

para todo o inteiro positivo p.

Se f é um polinómio, fJ

tem interior vazio.

fJ

é um conjunto perfeito (isto é, fechado e sem pontos

isolados ) e é portanto não numerável.

Teorema :

Se f é um polinómio, fJfJ

.

O Conjunto de Julia é o fecho dos pontos periódicos de repulsão do polinómio . É um conjunto compacto não numerável contendo pontos não isolados e é invariante em e . O Conjunto de Julia é a fronteira do fosso de atracção de cada ponto fixo de atracção de , incluindo , e para cada inteiro positivo p.

Agora, poder-se-á definir o Conjunto de Mandelbrot, M, como sendo o conjunto de parâmetros c para os quais o Conjunto de Julia é conexo:

fJ

f

f 1f

f PfJfJ

cfJ:CcM conexo

Imagens de Conjuntos de Julia para diferentes valores de c

Conclusão

A visão da natureza dada pela geometria Euclidiana, onde tudo eram linhas e planos, círculos, quadrados, rectângulos, triângulos e os correspondentes sólidos, deixa de fazer sentido. Tenta-se cada vez mais compreender a realidade pela sua complexidade, pelas suas particularidades, pelo seu fascínio.

Linha Costeira

Fractais e a Realidade

Ao olhar para a economia e para as

finanças, Mandelbrot tem vindo a acentuar,

desde há mais de 30 anos, que fenómenos de

escala e de auto semelhança também estão

aí presentes.

Ruído dos fios telefónicos

Erros de transmissão como um Conjunto de Cantor disposto no tempo

Preços do Algodão Flocos de Neve transportados para a Economia

Posteriormente, Mandelbrot, dedicou-se ao estudo dos registos das cheias do rio Nilo, classificando a sua variação em dois tipos de efeitos, comuns à economia, a que chamou “Efeito de Noé” e “Efeito de José”.

O Efeito de Noé Descontinuidade

O Efeito de José Persistência

“MEMÓRIA LONGA”

Apesar de desprezada inicialmente, a teoria dos fractais, está em constante progressão. Fornece instrumentos utilizáveis por físicos, químicos, sismólogos, metalúrgicos, teóricos das probabilidades e fisiologistas.

Muitas das aplicações directas dos fractais estão relacionadas com a física de superfícies. Por exemplo, a superfície dos poliovírus é fractal.

Indiscutivelmente, um dos aspectos que mais se evidência nos objectos fractais é a sua componente estética.

Arte e ciência encontram-se cada vez mais ligadas, e é agora possível ver beleza em variadissimos objectos científicos.

FIM