Disciplina – Automação em Sistemas Industriais

Sistema de Primeira Ordem

Prof.° MSc. Fernando Fortunato

Email – fortunato@uninove.br

2013

Notas de Aula

Objetivos da Aula

• Demonstrar a importância do tema.

• Apresentar os sistemas de primeira ordem.

• Compreender como funciona a análise das Funções de Transferência.

Introdução Aos Sistemas de Primeira Ordem

• As industrias estão cada vez mais exigentes com relação ao controle de

seus processos (DORF; BISHOP, 2001).

• Neste contexto, a atividade de controle precisa ser realizada no menor

tempo possível. Por exemplo (OGATA, 1997):

controle de posição de robôs;

controle de nível;

controle de tempo e temperatura;

piloto automático e muitos outros.

Exemplo – Controle de Posição de Robôs

• Robôs são utilizados em industrias automobilísticas, para executar

operações de soldagem precisas no menor tempo possível (ROMANO,

2002).

Figura 1 – Robôs utilizados em industrias automobilísticas (UOL, 2012).

Exemplo – Controle de Nível

• O controle do nível de um determinador reservatório precisa ser

executado no menor tempo possível, para que não falte fluído no

processo (OGATA, 1997).

Sensor

Figura 2 – Controle do nível de um determinado reservatório (BANNER, 2012).

Exemplo – Controle de Tempo e Temperatura

• Um pasteurizador é um

equipamento que trata

produtos alimentícios (ex:

leite), para matar organismos

causadores de doenças

(BRANCO, 2012).

• O produto é aquecido a uma

determinada Temperatura,

por um período de tempo

(BRANCO, 2012).

Figura 3 – Pasteurizador (BRANCO, 2012).

Exemplo – Piloto Automático

• Piloto automático são dispositivos

que controlam aeronaves,

embarcações e outros sem a

constante intervenção humana

(OGATA, 1997).

• A utilização do piloto automático

permite uma navegação mais

precisa e econômica (DORF;

BISHOP, 2001).

Figura 4 – Aeronave (BBC

BRASIL.COM, 2012).

Figura 5 – Embarcação

(VIABRTURISMO, 2012).

Análise do Sistema de Controle

• Depois de:

analisar um sistema físico;

realizar a modelagem matemática; e

aplicar as transformadas de Laplace no modelo matemático, para

obter a Função de Transferência do sistema.

• O sistema deve ser analisado, para verificar se desempenha de forma

satisfatória, a atividade para qual foi projetado (DORF; BISHOP, 2001).

Análise do Sistema de Controle

• O primeiro passo da análise, consiste em identificar o valor da “ordem do

sistema”, isto é, o maior expoente (potência) da Função de

Transferência (DORF; BISHOP, 2001).

• Se o maior expoente da F.T for:

“1” – Primeira ordem

“2” – Segunda ordem

“3”...“n” – Ordem superior

2

6)(

s

ssG

53

4)(

2

ss

ssG

123

1)(

234

ssssG

Análise do Sistema de Controle

• Quando uma F.T é constituída por polinômios dotados de coeficientes

reais, temos (DORF; BISHOP, 2001).

)(

)()(

sp

sqsG

• Zeros - são os valores para “s” no numerador, que anulam a F.T de

G(s).

• Pólos – são os valores para “s” no denominador, que fazem a F.T G(s)

tender ao infinito.

• A análise de pólos permite verificar se o sistema é estável ou instável

(DORF; BISHOP, 2001).

Onde:

q (s) – zeros

p (s) – pólos

Análise do Sistema de Controle

jω

σ

Plano “s”

Exemplo 1: encontre os pólos e zeros da F.T G(s).

Pólos

)7.(

3)(

ss

ssG

Pólos de G(s)

s = 0 ; S = -7

-7

Zeros de G(s)

)7.(

0

)7.(

3)3()(

sssssG

A F.T é anulada!

Pólos de G(s)

0

3

)77.(0

3)(

sssG

A F.T tende ao infinito!

0 3

Zeros

Zero de G(s)

s = 3

(imaginário)

(Eixo real)

Análise de Estabilidade dos Sistemas de Primeira Ordem

jω

σ

Instável Estável

Plano “s” • Um sistema é estável se,

após uma entrada, a sua

saída varia e retorna para o

valor inicial (OGATA, 1997).

• Para um sistema ser estável,

todos os pólos da F.T devem

estar localizados no lado

esquerdo do plano complexo

“s” (DORF; BISHOP, 2001).

Pólos

• A análise de pólos permite verificar se o sistema é estável ou instável (DORF;

BISHOP, 2001).

Análise de Estabilidade dos Sistemas de Primeira Ordem

jω

σ

Plano “s”

Exemplo 2: verifique se o

sistema é estável ou

instável.

Pólos

4

1)(

ssG

Pólo de G(s)

s = - 4

- 4

O sistema é estável, pois o pólo

está localizado no lado esquerdo

do plano complexo “s”.

Análise de Estabilidade dos Sistemas de Primeira Ordem

jω

σ

Plano “s”

Exemplo 3: verifique se o

sistema é estável ou

instável.

Pólos

ssG

5

7)(

Pólo de G(s)

s = 5

5

O sistema é instável, pois o pólo

está localizado no lado direito do

plano complexo “s”.

Análise de Estabilidade dos Sistemas de Primeira Ordem

jω

σ

Plano “s”

Exemplo 4: verifique se o

sistema é estável ou

instável.

Pólos

)9.(

5)(

sssG

Pólos de G(s)

s = 0 ; S = 9

9

O sistema é instável, pois

existe um pólo no lado direito

do plano complexo “s”.

Análise do Sistema de Controle

• Grande parte das F.T que representam os sistemas de controle na

industria, são classificadas como sistemas de (DORF; BISHOP, 2001;

OGATA,1997):

primeira ordem (no curso veremos apenas este);

segunda ordem.

• A análise dos sistemas de controle de ordem superior, é realizada

utilizando o método criado pelos pesquisadores Routh e Hurwitz. Para

obter mais detalhes sobre os sistemas de ordem superior; consulte

(OGATA,1997, p. 286).

Sistemas de Primeira Ordem

• Os sistemas de primeira ordem são representados de forma genérica

por (OGATA, 1997):

1

1

)(

)(

TssR

sC

1

1

Ts

C(s) R(s)

• Onde:

T – É a Constante de tempo do sistema (tempo necessário para que o

sistema alcance 63% do seu valor final).

(Utilizado para obter a velocidade da resposta)

Sistemas de Primeira Ordem

• Para testar o desempenho do sistema é introduzido na entrada um sinal

de teste, para avaliar a saída (DORF; BISHOP, 2011).

• É aplicado um degrau unitário.

1

1

)(

)(

TssR

sC)(.

1

1)( sR

TssC

Degrau unitário

)(.1

1)( sR

TssC

)()( T

t

AeAtc

s

AsR )(

Ts

AT

s

AsC

s

A

TssC

1)(

.1

1)(

• É aplicado o método

das Frações Parciais

para decompor as

funções racionais em

formas mais simples,

visando a obtenção de

transformadas inversas

de Laplace (OGATA.

1997).

• Onde:

t = Tempo de saída

A = Amplitude

Aplicando as transformadas inversas de

Laplace.

Degrau unitário

)(.1

1)( sR

TssC

)()( T

t

AeAtc

s

AsR )(

Saída do sistema para um

degrau unitário

Valor Final da Resposta

• É a resposta temporal no domínio da frequência complexa F(s), que

assume um valor limite no domínio do tempo (FRANÇA, 2007).

• Para encontrar o valor final da resposta, aplica-se o Teorema do Valor

final, representado por (FRANÇA, 2007):

)(.)(lim)(lim0

sFstftfst

Exemplo 1 (FRANÇA, 2007):

Um termopar (dispositivo utilizado para medir a temperatura) de um

forno tem como entrada a temperatura; a saída é um sinal de tensão [V]. A F.T

deste termopar é:

A) Qual é o tempo para a resposta de saída alcançar 95% do seu valor final ?

B) Qual o valor final da tensão quando aplicada uma entrada degrau

equivalente a 73°C ?

26

1020)(

6

ssG

Resolução do Exemplo:

A) Qual é o tempo para a resposta de saída alcançar 95% do seu valor final ?

26

1020)(

6

ssG

A constante T= 6 seg.

Para a resposta atingir 95% do

valor final para T= 6 seg.

(observar o gráfico para a

entrada degrau).

3.T= 3.(6 seg.)= 18 seg.

Para atingir 95% do valor final

da resposta, serão necessários

18 seg.

Resolução do Exemplo:

B) Qual o valor final quando aplicada uma entrada degrau equivalente a 73°C ?

Aplicando a entrada degrau, temos:

26

1020

)(

)()(

6

ssR

sCsG )(.

26

1020)(

6

sRs

sC

s

AsR )( A = 73 ºC

ssR

73)(

sssC

73.

26

1020)(

6

)26.(

00146,0)(

sssC

Resolução do Exemplo:

B) Continuação...

Para encontrar o valor final da resposta, aplica-se o Teorema do Valor

final.

)(.)(lim)(lim0

sFstftfst

)26.(

00146,0)(

sssC

Vss

stftfst

00073,02)0.(6

00146,0

)2.6.(

00146,0.)(lim)(lim

0

Exemplo 2 (FRANÇA, 2007):

Um termopar (dispositivo utilizado para medir a temperatura) de um

forno tem como entrada a temperatura; a saída é um sinal de tensão [V]. A F.T

deste termopar é:

A) Qual é o tempo para a resposta de saída alcançar 86,5% do seu valor final

?

B) Qual o valor final da tensão quando aplicada uma entrada degrau

equivalente a 57°C ?

s

AsR )(

)(.)(lim)(lim0

sFstftfst

48

1025)(

6

ssG

Resolução do Exemplo 2:

A) Qual é o tempo para a resposta de saída alcançar 95% do seu valor final ?

A constante T= 8 seg.

Para a resposta atingir 86,5%

do valor final para T= 8 seg.

(observar o gráfico para a

entrada degrau).

2.T= 2.(8 seg.)= 16 seg.

Para atingir 86,5% do valor final

da resposta, serão necessários

16 seg.

48

1025)(

6

ssG

Resolução do Exemplo:

B) Qual o valor final quando aplicada uma entrada degrau equivalente a 57 °C?

Aplicando a entrada degrau, temos:

)(.48

1025)(

6

sRs

sC

s

AsR )( A = 57 ºC

ssR

57)(

sssC

57.

48

1025)(

6

)48.(

001425,0)(

sssC

48

1025

)(

)()(

6

ssR

sCsG

Resolução do Exemplo:

B) Continuação...

Para encontrar o valor final da resposta, aplica-se o Teorema do Valor

final.

)(.)(lim)(lim0

sFstftfst

)48.(

001425,0)(

sssC

Vss

stftfst

00035,04)0.(8

001425,0

)4.8.(

001425,0.)(lim)(lim

0

Referências Bibliográficas

BANNER. Monitoramento de Nível de Líquido com Sensor de Saída Analógica QT50U.

In: site da empresa BANNER. 2012. Disponível em:

<http://www.bannerengineering.com/pt-BR/products/application/87/443/1416>. Acesso

em: 22 set. 2012.

BBC BRASIL.COM. O 1º vôo do maior avião comercial do mundo. In: site – BBC

BRASIL.com. 2012. Disponível em:

<http://www.bbc.co.uk/portuguese/especial/1028_aviaodecolou/page3.shtml>. Acesso

em: 22 set. 2012.

BRANCO, R. Como funciona um pasteurizador. In: site – Manutenção & Suprimentos.

2011. Disponível em: <http://www.manutencaoesuprimentos.com.br/conteudo/4912-

como-funciona-um-pasteurizador/>. Acesso em: 22 set.2012.

DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle modernos. 8. ed. RJ: LTC, 2001.

FRANÇA, C. Controle e Servomecanismo – Modulo 5 – Sistemas de 1ª e 2ª ordem.

8., 2007.

Referências Bibliográficas

OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3 ed. SP: Pearson Education, 1997.

ROMANO, V. F. Robótica industrial – Aplicação na industria de manufatura e de

processos. SP: Editora Edgard Blücher LTDA, 2002.

ROSARIO, J. M. Princípios de mecatrônica. SP: Pearson Education, 2005.

VIABRTURISMO. costabrasileira_fortuna.jpg. Altura: 800 pixels. Largura:469 pixels.

UTF-8. 91,51 kb. Formato jpeg. Compactado. Disponível em:

<http://www.viabrturismo.com.br/cruzeiro/costabrasileira/costabrasileira_fortuna.jpg>.

2009. Acesso em: 22 set. 2012.

UOL. Conheça as principais etapas da fabricação de um carro. In: site – UOL – Notícias

– Economia. 2012. Disponível em:

<http://economia.uol.com.br/album/110825_conheca_fabrica_carro_album.jhtm#fotoNav

=15>. Acesso em: 22 set. 2012.

Fim