ApresentacaoAula13-ModelosLTsPlanoZ

ART – LTs no Plano Z Clever Pereira

1

MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO NO PLANO Z

1. EQUAÇÕES DE ONDA DE LINHAS DE TRANSMISSÃO

Neste texto vão ser obtidas as equações para determinação do modelo matemático de linhas de transmissão no plano Z. Embora sejam consideradas somente linhas de transmissão trifásicas, nomeadamente os tipos de linhas que mais ocorrem nos SEE, a formulação adotada é de caráter geral, podendo ser estendida a linhas com um número qualquer de fases. Elas podem ainda possuir as mais diversas configurações, com cabos pára-raios, mais de um condutor por fase e retorno pelo solo. No entanto, após a redução de suas matrizes primitivas de impedâncias longitudinais e admitâncias transversais unitárias de fase, o sistema original se transforma num sistema equivalente de ordem três, com um condutor por fase e retorno pelo neutro, sendo que os efeitos da presença de mais de um condutor por fase, dos cabos pára-raios e do retorno pelo solo vão estar todos incluídos nas matrizes equivalentes de impedâncias longitudinais Zf(ω) e admitâncias transversais Yf(ω) unitárias de fase do sistema reduzido. Considere então o modelo equivalente incremental de linha de transmissão mostrado na figura (1) abaixo, onde os sentidos positivos para tensões e correntes estão definidos

Fig. 1 - Modelo equivalente incremental para linha de transmissão

Considerando os sentidos mostrados na figura anterior, as relações entre as

tensões e correntes ao longo de uma linha de transmissão são da forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ωω=∂

ω∂−

ωω=∂

ω∂−

,x.x

,x

,x.x

,x

fff

fff

VYI

IZV

(1)


2

onde o subscrito "f" indica grandezas em componentes de fase, Vf(x,ω) é o vetor das tensões de fase medidas em relação ao neutro, If(x,ω) é o vetor das correntes de linha e as matrizes Zf(ω) e Yf(ω) são matrizes complexas simétricas dadas por

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωω+ω=ω

ωω+ω=ω

fff

fff

CGY

LRZ

j

j (2)

sendo Rf(ω), Lf(ω), Gf(ω) e Cf(ω) respectivamente as matrizes das resistências e indutâncias, longitudinais e condutâncias e capacitâncias transversais unitárias de fase, todas reais, simétricas e de ordem três. Derivando-se novamente as equações (1) em relação a x obtém-se as equações de onda em componentes de fase para linhas de transmissão, no domínio da freqüência analógica ω, dadas por

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ωω=∂

ω∂

ωω=∂

ω∂

,x.x

,x

,x.x

,x

t2

2

2

2

ff

ff

IPI

VPV

(3)

onde, devido à simetria de Zf(ω) e Yf(ω), tem-se que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωω=ωω=ω

ωω=ω

ffff

ff

ZYYZP

YZP

..

.

tt

(4)

Cada uma das equações (3) constituem um sistema de três equações diferenciais

acopladas, uma vez que todas as grandezas são matriciais e P(ω) é uma matriz cheia. Em trabalhos independentes, Wedephol [09] e Hedman [14] mostraram ser possível desacoplar estas equações utilizando conceitos de transformações de similaridade. Considere então transformações lineares definidas por:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωω=ω

ωω=ω

,x.,x

,x.,x

mf

mf

IBI

VAV (5)


3

onde A(ω) e B(ω) são respectivamente as matrizes de transformação de tensão e corrente e o subscrito "m" indica grandezas em componentes modais. Aplicando estas transformações nas equações (3) tem-se que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ωω=∂

ω∂

ωω=∂

ω∂

,x.x

,x

,x.x

,x

2

2

2

2

mim

mvm

II

VV

λ

λ

(6)

denominadas equações de onda das linhas de transmissão em componentes modais, onde

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωωω=ω

ωωω=ω

−

−

B.P.B

A.P.A

t1i

1

λ

λ v

(7)

2. PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES DE ONDA

Pela teoria de matrizes, se A(ω) e B(ω) forem respectivamente as matrizes dos autovetores associados aos autovalores de P(ω) e Pt(ω), então as matrizes λλv(ω) e λλi(ω) vão ser diagonais, formadas respectivamente por estes autovalores. Para calcular os autovalores, basta resolver as equações (8) a seguir, ou seja

( ){ }

( ){ }⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−ω

=−ω

=

0.det;

0.det

)n(t

)n(

21,0n

ℑλ

ℑλ

i

v

P

P

, (8)

onde ℑ é a matriz identidade de ordem três e o subscrito "(n)" indica o n-ésimo autovalor. Ainda pela teoria de matrizes sabe-se que o determinante de uma matriz não se modifica quando ela é transposta. Desta forma, aplicando esta propriedade na segunda das equações (8), resulta que

( ){ } ( )[ ]{ } ( ){ }ℑλℑλℑλ .det.det.det )n(it

)n(it

)n(it −ω=−ω=−ω PPP (9)


4

Isto demonstra que as equações (8) são idênticas, indicando que os autovalores “λv(n)” de P(ω) e “λi(n)” de Pt(ω) são também idênticos, de tal maneira que

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ωγωγ

ωγ=ω=ω=ω=ω

22

21

20

2iv γλλλ (10)

Na equação (10) os termos "γi(ω)" são denominados funções modais de

propagação da linha de transmissão (Nota: neste texto serão utilizadas os símbolos λλ(ω) ou γ2(ω) indiferentemente para indicar as matrizes associadas às funções γi(ω)). Uma vez calculada λλ(ω), pode-se calcular A(ω) e B(ω) resolvendo-se

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=ωλ−ω

=ωλ−ω

=

0..;

0..

nnt

nn

21,0n

BP

AP,

ℑ

ℑ

(11)

onde A(n) e B(n) são respectivamente os n-ésimos autovetores de A(ω) e de B(ω) associados ao n-ésimo autovalor "λ(n)". O fato de λλvv(ω) e λλii(ω) serem idênticas resulta em uma interessante relação entre A(ω) e B(ω). Para se deduzir esta relação é necessário inicialmente transpor a primeira das equações (7). Assim procedendo pode-se escrever que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

. .t t t tω ω ω ω ω ω

−⎡ ⎤⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦v v A P Aλ λ λ (12)

Comparando este resultado com a segunda das equações (7) resulta em

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )ωωω=ωωω −− BPBAPA .... t11ttt (13)

cuja solução é ( ) ( )[ ] ( )[ ] cc DADAB .. t11t ω=ω=ω −− (14)

onde Dc é uma matriz diagonal, constante e arbitrária. A equação (14) mostra que, uma vez conhecidas A(ω) e A-1(ω), as matrizes B(ω) e B-1(ω) estarão automaticamente definidas.


5

3. SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ONDA EM COMPONENTES MODAIS

Aplicando as transformações dadas pelas equações (5) diretamente nas equações (1) obtém-se

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ωω=∂

ω∂−

ωω=∂

ω∂−

,x.x

,x

,x.x

,x

mmm

mmm

VYI

IZV

(15)

com

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωωω=ω

ωωω=ω

−

−

AYBY

BZAZ

fm

f1

m

..

..

1

(16)

Pode-se provar que as matrizes Zm(ω) e Ym(ω) são também matrizes diagonais

[09,10,14]. Elas são conhecidas como matrizes modais das impedâncias longitudinais e admitâncias transversais unitárias. Conclui-se então que as equações (15) representam cada uma, um conjunto de três equações diferenciais parciais desacopladas. Diferenciando novamente em relação a x, obtém-se novamente as equações de onda em componentes modais, já derivadas nas equações (6), expressas aqui de maneira um pouco diferente, por

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

ωωω∂

ω∂

ωωω∂

ω∂

,x..x

,x

,x..x

,x

2

2

2

2

mmmm

mmmm

IZYI

VYZV

(17)

Como Zm(ω) e Ym(ω) são matrizes diagonais, seu produto também o é, e

comparando com as equações (6) resulta que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωω=ωω=ω mmmm ZYYZ ..2γ (18)

As equações (6) e (17) são pois duas “versões” idênticas das equações de onda

das linhas de transmissão em componentes modais, podendo-se trabalhar


6

indiferentemente com qualquer uma delas. Além disto, com o desacoplamento das equações, obtido com a utilização da teoria modal, a solução fica análoga ao caso escalar, já bem conhecida e da forma ( ) ( )[ ] ( )[ ] rmimm VVV .x.exp.x.exp,x ωγωγω +−= (19)

onde Vim e Vrm são vetores constantes, dependentes das condições de contorno. Substituindo na primeira das equações (15) tem-se ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }rmimcmm VVYI .x.exp.x.exp.,x ω−ω−ω=ω γγ (20)

sendo Ycm(ω) dada por ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] 212111 .. ωω=ωω=ω=ω −−−

mmmcmcm YZZZY γ

(21)

Na equação (21) acima, Ycm(ω) e Zcm(ω) são matrizes diagonais e recebem respectivamente os nomes de matrizes das admitâncias e impedâncias características modais. As equações (19) a (21) constituem a solução das equações de onda das linhas de transmissão no domínio da freqüência em componentes modais. 4. SOLUÇÃO FECHADA PARA AS EQUAÇÕES DE ONDA EM

COMPONENTES MODAIS

Considerando-se o extremo emissor (subscrito "S") em x=0, e omitindo-se a dependência com a freqüência ω para maior clareza, tem-se das equações (19) e (20) que

( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

+==

rmimcmSmm

rmimSmm

VVYII

VVVV

.0

0 (22)

ou, de maneira mais clara

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

+=

rmimSmcm

rmimSm

VVIZ

VVV

. (23)


7

Resolvendo as equações (23) para Vim e Vrm tem-se que

[ ]

[ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

+=

SmcmSmrm

SmcmSmim

IZVV

IZVV

.21

.21

(24)

Substituindo as equações (24) nas equações (19) e (20) chega-se a

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω−ωω=ω

ω−ω=ω

Smcmcmm

SmcmSmm

IZYI

IZVV

..x.coshV.x.senh.,x

..x.senh.x.cosh,x

Sm γγ

γγ (25)

conhecida como solução fechada para as equações de onda das linhas de transmissão em componentes modais no domínio da freqüência. Com ela pode-se obter o valor das tensões e correntes em qualquer ponto de uma linha de transmissão a partir do conhecimento das tensões e correntes em um dos seus extremos.

A passagem para componentes de fase é simples, bastando para isto a utilização das equações (5) nas equações (25) acima. 5. MODELOS DE LINHA DE TRANSMISSÃO NO PLANO Z 5.1. Introdução

Nas equações (19) e (20) aparecem dois termos com funções exponenciais, nomeadamente exp[-γ(ω). ] e exp[γ(ω). ]. Para evitar o aparecimento destes dois termos ao mesmo tempo e simplificar a formulação, é interessante considerar as funções (ou perturbações) viajantes progressivas e regressivas definidas inicialmente por Snelson [20], dadas por combinações lineares das ondas de tensão e corrente em um determinado ponto da linha. Assim, considerando-se ainda grandezas em componentes modais, mas reescrevendo as equações (19) e (20) sem o subscrito "m", para maior clareza, tem-se que

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω−ω−=ωω

ω+ω−=ω

riC

ri

VVIZ

VVV

.x.exp.x.exp,x.

.x.exp.x.exp,x

γγ

γγ (26)


8

Somando-se e subtraindo-se a segunda da primeira chega-se a

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω=ωω−ω

ω−=ωω+ω

rC

iC

VIZV

VIZV

.x.exp2,x.,x

.x.exp2,x.,x

γ

γ (27)

Tomando as equações acima no extremo emissor (subscrito "S") onde x=0, resulta em

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=ωω−ω

=ωω+ω

rSCS

iSCS

VIZV

VIZV

.2.

.2. (28)

e substituindo este resultado nas equações (27), chega-se a

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωω−ωω=ωω−ω

ωω+ωω−=ωω+ω

SCSC

SCSC

IZVIZV

IZVIZV

..x.exp,x.,x

..x.exp,x.,x

γ

γ (29)

Considere então valores de tensão e corrente para o extremo receptor da linha, onde x = , indicados pelo índice "R", sendo o comprimento total da linha de transmissão. Até aqui, os sentidos positivos de correntes na linha de transmissão eram os indicados na figura (1), ou seja, da esquerda para direita. No entanto, para a corrente IR faz-se conveniente considerar ao contrário o sentido positivo, conforme mostra a figura (2) a seguir.

Desta maneira tem-se que

( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω=−=ω

ω==ω

,xII

,xVV

R

R

(30)

Fig. 2 - Quadripolo associado à linha de transmissão mostrando os sentidos das grandezas terminais.


9

Assim, considerando x= nas equações (29), substituindo as equações (30) e

rearranjando os termos, resulta que

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

ωω+ωω−=ωω−ω

ωω+ωω−=ωω−ω

ScSRcR

RcRScS

IZVIZV

I.ZVIZV

...exp.

..exp.

γ

γ (31)

Pode-se notar que com este procedimento foram eliminados das equações os

termos "exp[γ(ω). ]". Definindo então as grandezas

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ω−=ω

ωω−ω=ω

ωω+ω=ω

=

.exp

.;

.

γF

IZVB

IZVF

NNN

RS,N

NNN

c

c

(32)

as equações (31) podem ser escritas numa forma matricial mais elegante por

( )

( )

( )

( )

( )

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω

ω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω

ω=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ω

ω

R

S

R

S

F

F

F

F

B

B.

0

0 (33)

Nestas equações, FN(ω) e BN(ω) são respectivamente os vetores modais das

funções (ou perturbações) viajantes progressivas e regressivas, referidas ao terminal genérico "N" e F (ω) é a matriz diagonal das funções modais de propagação (respostas

diretas ao impulso). As equações (25) e (31) são, via de regra, o ponto de partida para a solução de

transitórios em linhas de transmissão [16 a 25]. Tomando-se por exemplo a Transformada Inversa de Fourier em ambos os lados em (31) resultaria na já conhecida formulação por convolução no tempo. O caminho sugerido pelo Prof. Humpage [01 a 08] foi utilizar o plano Z como uma etapa intermediária para se chegar ao domínio do tempo. Assim, passando para o plano Z as equações (31) chega-se a

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=−

+−=−

z.zz..zexpz.zz

z.zz..zexpz.zz

SCSRCR

RCRSCS

IZVIZV

IZVIZV

γ

γ (34)


10

ou seja

( )

( )

( )

( )

( )

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

z.

0z

z0

z

z

R

S

R

S

F

F

F

F

B

B (35)

Nestas equações F (z) e Zc(z) são respectivamente as matrizes modais das

funções de propagação e das impedâncias características, no plano Z, dadas por

( ) ( ){ }

( ) ( ){ }⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω=

ω=

CC ZZ

FF

t

t

Z

Z

z

z (36)

onde Zt indica a Transformada Z.

As matrizes das funções de linha F (ω) e Zc(ω) são calculadas por programas de

computador através das equações (7), (32) e (21) e avaliadas dentro de uma faixa de freqüência de interesse, de acordo com o fenômeno transitório em estudo. 5.2. Linha sem Perdas e Parâmetros Constantes

Para se avaliar a importância do método que utiliza a Transformada Z na modelagem de linhas de transmissão, é interessante considerar inicialmente linhas sem perdas e parâmetros constantes com a freqüência. Neste caso, a matriz das funções modais de propagação γγ(ω), conforme a equação (18), é da forma ( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] 2121212121 jj.j. mmmmmm CLCLYZ ω=ωω=ωω=ωγ (37)

de maneira que a matriz das funções modais de propagação se torna igual a ( ) ( )[ ] ( )[ ]..jexp.exp 21

mmCLF ω−=ω−=ω γ (38)

Desta forma, F (ω) é uma matriz diagonal onde cada um de seus termos é dado

por ( ) . .

i 0,1 2;i ij L CiF e ωω −== , (39)

onde o subscrito "i" se refere aos modos naturais, cujas velocidades de propagação podem ser expressas por


11

a

L Cii i

= 1.

(40)

Chamando de "τi" o tempo de trânsito das ondas relativas ao modo "i" numa

linha genérica de comprimento " ", tem-se que

. .i i i

iL Caτ = = (41)

Substituindo a equação (41) na equação (39) percebe-se que cada um dos

elementos da matriz diagonal F (ω) vai ser dado por

( ) . ij

iF e ω τω −= (42)

A expressão que estabelece a relação entre a freqüência analógica ω e a freqüência digital z é da forma: .j tz e ω ∆= (43) onde "∆t" é o intervalo de amostragem. Escolhendo "∆t" para cada um dos modos de tal maneira que seja um submúltiplo inteiro de "τi", ou seja, .i im t τ∆ = (44) onde "mi"é um número inteiro maior ou igual a um, tem-se então que ( ) ( ) ( ). . . ii

mj m t j tiF e eω ωω

−− ∆ ∆= = (45)

Substituindo a equação (43) na equação (45) acima obtém-se a função modal resposta direta ao impulso no plano Z, dada por ( ) im

iF z z−= (46)

Considerando-se ainda parâmetros constantes e linha sem perdas, e tomando-se

o inverso da equação (21), tem-se que ( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] 21212121 j.j. −− ωω=ωω=ω mmmmcm CLYZZ (47)

ou seja, Zcm é uma matriz diagonal cujos elementos são da forma


12

( ) ( )mi micmi oi cmi

mimi

j L LZ Z Z zCj Cω

ωω

= = = = (48)

Nesta equação, Zoi é a impedância de onda ou de surto da linha de transmissão

para um dos modos naturais de propagação "i". Substituindo as equações (46) e (48) nas equações (35) obtém-se as equações

que descrevem o comportamento de uma linha de transmissão sem perdas e a parâmetros constantes no plano Z, para cada um dos modos, dadas por duas equações escalares da forma

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−

+=−

−

−

zI.ZzV.zzI.ZzV

zI.ZzV.zzI.ZzV

SoSm

RoR

RoRm

SoS

(49)

onde novamente foram omitidos os índices "i", referentes aos modos, para maior clareza. Considerando-se estas equações, percebe-se que, do ponto de vista das funções viajantes progressivas e regressivas, a linha sem perdas nada mais é que um conjunto de "mi" atrasos iguais ao intervalo de amostragem considerado.

Tomando-se a Transformada Z Inversa, chega-se às equações escalares a diferenças que vão descrever o comportamento da linha de transmissão no tempo, para cada um dos modos. Assim

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−=−

−+−=−

mnmnnn

mnmnnn

SoSRoR

RoRSoS

i.Zvi.Zv

i.Zvi.Zv (50)

Estas equações mostram ser possível calcular as tensões nos extremos de uma

linha de transmissão em um certo instante "n", de posse das correntes nestes extremos no mesmo instante e das tensões e correntes no outro extremo, num instante passado "(n-m)", onde "m.∆t " é o tempo de trânsito de um determinado modo de propagação. Assim, separando-se os termos atuais dos termos históricos, tem-se para cada um dos modos que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=

−+=

mnnn

mnnn

ShRoR

RhSoS

vi.Zv

vi.Zv (51)


13

onde

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−=−

−+−=−

mnmnmn

mnmnmn

SoSSh

RoRRh

i.Zvv

i.Zvv (52)

5.3. Linha com Perdas e Parâmetros Variáveis com a Freqüência

As equações (34), ou (35), estabelecem as relações entre as funções (ou perturbações) viajantes progressivas e regressivas dos dois extremos de uma linha de transmissão, no plano Z. Nestas equações, as matrizes F (z) e Zc(z) são diagonais e seus elementos são obtidos respectivamente a partir dos elementos das matrizes F (ω) e

Zc(ω), também diagonais. No entanto, a obtenção delas é feita de forma escalar, pois cada um dos elementos de cada uma das matrizes se refere apenas a um determinado modo de propagação, uma vez que as equações foram desacopladas utilizando-se a teoria dos modos naturais de propagação.

Desta forma, para o caso geral de linhas de transmissão com perdas e parâmetros variáveis com a freqüência, vão ser consideradas para cada um dos modos de propagação, funções escalares F (z) e Zc(z) genéricas da forma

( )∑

∑

=

−

=

−

−

+

+= N

1k

kk

N

1k

kk0

m

zB1

zAAzzF (53a)

e

( )∑

∑

=

−

=

−

+

+= M

1k

kk

M

1k

kk0

C

zD1

zCCzZ (53b)

Pode-se ver que nas equações (53b), C0 se confunde com a impedância de onda ou de surto modal da linha de transmissão, uma vez que

( ) 00CzZCzZlim ==

∞→ (54)

Substituindo a equação (53a) em (34), tem-se que

( ) ( )zFzB1

zAAzzB RN

1k

kk

N

1k

kk0

mS

∑

∑

=

−

=

−

−

+

+= (55a)


14

e

( ) ( )zFzB1

zAAzzB SN

1k

kk

N

1k

kk0

mR

∑

∑

=

−

=

−

−

+

+= (55b)

ou seja

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

∑∑

∑∑

=

−

=

−−

=

−

=

−−

zBzBzFzAAzzB

zBzBzFzAAzzB

R

N

1k

kkS

N

1k

kk0

mR

S

N

1k

kkR

N

1k

kk0

mS

(56)

Tomando-se a Transformada Z Inversa em cada um dos lados da equação acima, tem-se que

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−+−+−=

−−+−+−=

∑∑

∑∑

==

==

knkmnmnn

knkmnmnn

R

N

1kkS

N

1kkS0R

S

N

1kkR

N

1kkR0S

BBFAFAB

BBFAFAB

(57)

As equações acima descrevem num certo instante "n" o comportamento das

funções (ou perturbações) regressivas nos extremos de uma linha de transmissão, em função das funções regressivas e progressivas em instantes anteriores. Elas podem ainda ser colocadas de uma maneira mais adequada, em função das correntes e tensões nos dois extremos da linha. Para isto, deve-se considerar a equação (53b) e substituí-la na segunda das equações (32), ou seja

( ) ( ) ( )zIzD1

zCZzVzB SM

1k

kk

M

1k

kk0

SS

∑

∑

=

−

=

−

+

+−= (58)

ou ainda

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]zVzBzDzIzCzIZzVzB SS

M

1k

kkS

M

1k

kkS0SS −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−= ∑∑

=

−

=

− (59)


15

Tomando-se novamente a Transformada Z Inversa, tem-se que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]knknknnnn −−−−−−−= ∑∑

==SS

M

1kk

M

1kSkS0SS vBDiCiZvB (60)

De maneira análoga, para o extremo receptor, indicado pelo subscrito "R", a

relação será ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]knknknnnn −−−−−−−= ∑∑

==RR

M

1kk

M

1kRkR0RR vBDiCiZvB (61)

Substituindo as equações (60) e (61) em (57) tem-se finalmente que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=

−+=

mnnn

mnnn

RhR0R

ShS0S

viZv

viZv (62)

onde

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−+−+

−−+−+−=−

∑∑

∑∑

==

==

knknkn

knkmnmnmn

SS

M

1kk

M

1kSk

S

N

1kkR

N

1kkR0Sh

vBDiC

BBFAFAv (63a)

e

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−+−+

−−+−+−=−

∑∑

∑∑

==

==

knknkn

knkmnmnmn

RR

M

1kk

M

1kRk

R

N

1kkS

N

1kkS0Rh

vBDiC

BBFAFAv (63b)

As três últimas equações estabelecem uma maneira para se calcular tensões e

correntes nos extremos de uma linha de transmissão, a partir de tensões e correntes em instantes passados.


16

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