ApresentacaoAula9-EliminacaoOscilacoesNumericasATP-EMTP

7/25/2019 ApresentacaoAula9-EliminacaoOscilacoesNumericasATP-EMTP

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Anlise de Redes no Domnio do Tempo Clever Pereira

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ELIMINAO DE OSCILAES NUMRICAS NO EMPT/ATP

1. INTRODUO

Um dos fatores mais importantes para a grande difuso doprograma ATP/EMTP na simulao de transitrioseletromagnticos em SEP provavelmente sua regra deintegrao numrica das equaes diferenciais dos elementosdestas redes. No ATP/EMTP utilizada a regra de integraotrapezoidal, que converte as equaes diferenciais de cadaelemento da rede em simples equaes algbricas, envolvendotenso, corrente e termos passados.

A preciso da soluo do sistema discretizado depende dotamanho do intervalo (ou passo) de integrao t e da regra deintegrao utilizada. O tamanho do t determina a mximafreqncia que pode ser simulada e a regra de integraodetermina as possveis distores para cada freqncia deinteresse. A mxima freqncia que pode ser simulada independeda regra de integrao utilizada, sendo determinada apenas pelataxa de amostragem, dada pelo inverso de t. Seu valor ditadopelo teorema da amostragem e dado pela freqncia de Nyquist(fNyq), metade da freqncia de amostragem (fA), ou seja

max

1 1

2 2 2Amo

Nyq

f tf f

t

= = = =

(1)

A distoro apresentada pela regra de integrao utilizada setorna maior para freqncias prximas freqncia de Nyquist.

Vrios artigos na literatura tcnica tm mostrado que a regra deintegrao trapezoidal possui boas caractersticas em termos dedistoro e estabilidade numrica. No entanto, toda vez que elatrabalha como um diferenciador puro, como no caso de se calculara tenso aos terminais de um indutor devido variao abrupta de

sua corrente ou a corrente num capacitor devido variaoabrupta de sua tenso, ela pode apresentar oscilaes numricas


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esprias. A maneira inicial para se evitar este comportamentooscilatrio foi a introduo de um termo artificial deamortecimento no circuito (introduo de resistor fictcio emparalelo com o indutor ou em srie com o capacitor). No entanto,

ser mostrado mais tarde que o amortecimento pode serintroduzido pela prpria regra de integrao, como por exemplo, aregra de integrao Backward Euler. O maior problema em seadicionar o amortecimento artificial, seja pela introduo deresistores fictcios, seja pela regra de integrao, que a respostado resto do sistema pode ser distorcida, principalmente peloserros de fase introduzidos juntamente com o amortecimento.

2. SOLUO EXATA DE UMA EQUAO DIFERENCIALSeja a equao diferencial dada pela equao (2) a seguir

( )( )

dx ty t k

dt= (2)

Sua soluo entre os instantes t0e t obtida fazendo-se

0 0 0

01 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t t

x t t

dx t y t dt x t dx y t dt x t x y t dt k k k

= = = (3)

ou finalmente

0

0

1( ) ( )

t

t

x t x y t dtk

= + (4)

A soluo numrica desta equao obtida em instantes detempo discretos, dada por

( )

( )

1 1( ) ( ) ( ) ( )

x t t t

x t t t t t t

x dx y t dt x t x t t y t dtk k

= = + (5)

A soluo da equao (5) envolve a integrao numrica de umafuno discreta y(t), que deve ser executada em passos discretos

de tamanho t, cuja soluo a rea abaixo da curva, limitadapelos instantes te t-t, conforme mostra a Fig. 1 a seguir.


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3. REGRA DE INTEGRAO TRAPEZOIDAL (TR)

Resolvendo a equao (5) pela regra de integrao trapezoidal,que admite uma variao linear entre y(t-t) e y(t) da funointegrada, conforme mostra a Fig. 2, ou seja

1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2

t

t t

y t y t tx t x t t y t dt x t t t

k k

+ = + = + (6)

ou ainda que

( ) ( ) ( ) ( )2 2

t tx t y t x t t y t t

k k

= + + (7)

ou seja

(8)

onde

(9)

Pode-se notar que o termo histrico hTR(t-t)depende de x(t)e dey(t) em instantes passados t-t, ou seja, j conhecidos durante oprocesso de soluo.

2

( ) ( ) ( )2

TR

TR

tC

k

th t t x t t y t t

k

=

= +

( ) ( ) ( )TR TRx t C y t h t t= +

t-t t

y(t-t)

y(t)

y(.)

Fig. 1 Funo y(t) discreta a ser integrada

t-t t

y(t-t)

y(t)

y(.)

Fig. 2 Regra de integrao trapezoidal


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5. SOLUO NUMRICA DE CIRCUITO RL SRIE

Seja o circuito RLsrie mostrado na Fig. 4 a seguir, onde se aplicaum degrau de corrente em t0= t, como na fig. 5.

A equao diferencial para este circuito da forma

( )( ) ( ) ( ) ( )

R L

di tv t v t v t R i t L

dt= + = + (14)

ou seja

( ) ( ) ( )v t dt R i t dt L di t = + (15)

cuja soluo da forma

0 0 0

( ) ( ) ( )

t t i

t t i

v t dt R i t dt L di t = + (16)

A soluo em instantes discretos fica da forma

( )

( )

( ) ( ) ( )

i tt t

t t t t i t t

v t dt R i t dt L di t

= +

(17)

ou ainda

[ ]( ) ( ) ( ) ( )t t

t t t t

v t dt R i t dt L i t i t t

= + (18)

Utilizando a regra de integrao trapezoidal a equao (18) fica

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

v t v t t i t i t t t R t L i t i t t + + = + (19)

Fig. 4 Circuito RL Srie

+vR(t) +vL(t)

v(t)

+

i(t)

t0

i(t)

1

Fig. 5 Degrau unitrio de corrente aplicado em t0.

t0+tt0-t

i(t)

R L


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Multiplicando por 2/tem ambos os lados resulta em

[ ] [ ]2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L

v t v t t R i t i t t i t i t t t

+ = + +

(20)

Resolvendo para v(t), resulta finalmente que

(21)

onde

2TR

LRt

=

(22)

O leitor pode perceber que a expresso em (21) da formasemelhante apresentada em (8).

Considerando, para exemplificao, queR = 1 ,L = 1 H, t = 1 set0= 1 s, a equao (21) fica como

[ ]( ) 3 ( ) ( ) ( )v t i t i t t v t t = + (23)

A tabela 1 a seguir apresenta a soluo do circuito passo a passoat o instante t = 5s.

Os grficos da Fig. 6 a seguir mostram as curvas para as funesv(t), vR(t) =R. i(t)evL(t) =v(t) -vR(t).

t i(t) i(t-t) v(t-t) v(t)

0 0 0 0 01 1 0 0 3

2 1 1 3 -1

3 1 1 -1 3

4 1 1 3 -1

5 1 1 -1 3

( ) [ ]{ }( ) ( ) ( ) ( )TR TRv t R R i t R R i t t v t t = + +

Tabela 1 Soluo passo a passo do circuito RL srie da fig. 4


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Nota-se claramente o comportamento oscilatrio tanto para v(t),quanto para vL(t), que na realidade no ocorre, pois a tenso aosterminais do indutor nula aps a subida da corrente, enquanto atenso v(t)nos terminais da fonte de corrente igual a vR(t)quandoa tenso no indutor vai a zero. Percebe-se no entanto que as

tenses obtidas pela regra de integrao trapezoidal, embora decarter oscilatrio, esta oscilao se d em torno dos valorescorretos, mostrando a robustez da regra de integrao utilizada.

5.UTILIZAO DE RESISTOR FICTCIO DE AMORTECIMENTOPARA ELIMINAR OSCILAES NO ATP/EMTP

O problema das oscilaes devido a chaveamentos de circuitos

indutivos ou capacitivos foi inicialmente contornado, tanto noATP, quanto no EMTP, atravs da incluso de um resistor deamortecimento f ictcio, em paralelo com o indutor, e em srie como capacitor. O dimensionamento deste resistor fictcio foi tratadopor V. Brandwajn no artigo Damping of numerical noise in the EMTPsolution, EMTP Newsletter, Vol. 2, no. 3, pp 10-19, 02/1982.

Neste texto ser mencionado apenas o dimensionamento para o

resistor em paralelo Rpcom o indutor. Para maiores referncias, oleitor deve se reportar ao artigo acima indicado.

vR(t)= R.i(t)

v(t)

v(t)

1

Fig. 6 Tenses v(t), vR(t) e vL(t) em um circuito RL srie para i(t) um degrau unitrio, obtidas utilizando a regra deintegrao trapezoidal.

t

2

3

-1

v(t)

1

t

1

2

-2

vL(t) = v(t) vR(t)

Soluo exata

(t-1)


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Para o dimensionamento deste resistor fict cio de amortecimento,o autor sugere, a partir de diversos testes realizados, limitesmximo e mnimo. Assim, o limite mximo adotado de tal formaque

max

62

pRf L

(24)

onde

max

1

2 2amo

Nyq

ff f

t= = =

(25)

Substituindo a equao (25) na equao (24) resulta que

1 26 2 32

p pLR L R

t t

(26)

ou finalmente que

29,4p

LR

t

(27)

O limite mnimo tal que se admite um erro mximo max para afase de 0,2, freqncia sncrona, ou seja, se o erro de fase,ento

max2

p

s

Rarctg

L

=

(28)

Resolvendo a equao (28) paraRvem que

max2

p

s

Rarctg

L

(29)

ou ainda

max2

p

s

Rtg

L

(30)

ou seja

max max max

22

2 2 2p s s s

LR L tg f L tg tg

T

= =

(31)

onde Ts o perodo da onda da fonte.


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Substi tuindo em (31)max= 0,2 = 0,2/180 rad, vem que

2286,4777

p

s

LR

T

(32)

Para t = 100 s (muito comum em simulaes de transitrioseletromagnticos lentos: energizaes e curtos-circuitos em LTs)e fonte em 60 Hz, vem que

0,016667166,67 166,67

0,000100s

s

TT t

t= = =

(33)

Substituindo a equao (33) na equao (32) vem que

2 286,4777 2 2286,4777 5,4

166,67 166,67p

L L LR

t t t

= =

(34)

Assim, para t = 100 s, tem-se que

(35)

Generalizando, pode-se dizer que, se

sT s T

Tk T k t

t= =

(36)

e desta forma, substi tuindo (36) em (32) vem que

2 2 286,4777 2 900 2286,4777

p

T T T

L L LR

k t k t k t

=

(37)

Assim sendo, a equao (35), para um intervalo de simulaogenrico tqualquer, fica como

(38)

sendo kTdefinido em (36).

900 2 29,4

T

L LR

k t t

2 25,4 9,4p

L LR

t t


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5.UTILIZAO DO CDA (CRITICAL DAMPING ADJUSTMENT)PARA ELIMINAR OSCILAES NO EMTP

Enquanto no mbito ATP deu-se por encerrado os problemasrelativos s oscilaes devido a chaveamentos com a utilizaodo resistor fictcio de amortecimento, no EMTP foi introduzido ummtodo alternativo denominado Critical Damping Adjustment(CDA).

Este mtodo consiste em mudar da regra de integraotrapezoidal para a regra de integrao Backward Euler por doispassos de integrao, a saber, no primeiro e segundo passossubseqentes aps a introduo de descontinuidade na rede.Tambm o intervalo de integrao para a nova regra de integrao

utilizada considerado a metade do intervalo de integraoutilizado para a regra de integrao trapezoidal, de forma que asconstantes CTRe CBEnas equaes (9) e (13) sejam idnticas.

Esquema CDA (descontinuidade em t0)1. Calcular resposta da rede em t = t0 tutil izando TR;2. Calcular resposta da rede em t = t0util izando TR;3. Calcular resposta da rede em t = t0+ t/2util izando BE;4. Calcular resposta da rede em t = t

0+ tutil izando BE;

5. Calcular resposta da rede em t = t0+ 2tutil izando TR;6. Continuar clculos uti lizando TR at nova descontinuidade.

A apresentao deste mtodo, bem como a anl ise dos errosintroduzidos podem ser encontrados no artigo tcnico de Jos R.Marti & Jiming Lindenominado Suppression of numerical oscillations inthe EMTP, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 4, no. 2, pp 739-747,

05/1989.

interessante notar que o autor define descontinuidade no s aatuao de uma chave, abrindo ou fechando circuitos eltricos. Naverdade o mtodo CDA aplicado nos seguintes eventos:1. Chaves, incluindo tambm neste grupo outros componentes que

abrem e fecham circui tos, tais como diodos;2. Pra-raios com gapde disrupo;3. Fontes que iniciam ou param durante a soluo transitria do

circuito;

4. Durante o movimento de uma regio para a outra na caractersticade uma indutncia no linear, linearizada por partes.

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