Apresentação do PowerPointantigo.rioeduca.net/rioeduca/RECURSOS PEDAGÓGICOS/CADERNOS... · João...

MATEMÁTICA – 7.° ANO 1

MARCELO CRIVELLA

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

CÉSAR BENJAMIN

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS

SUBSECRETARIA DE ENSINO

MARIA DE FÁTIMA CUNHA

GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

SILVIA MARIA SOARES COUTO

ORGANIZAÇÃO

CLEBER RANGEL DO NASCIMENTO

ELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA

GIBRAN CASTRO DA SILVA

SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA

REVISÃO

FÁBIO DA SILVA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR

DESIGN GRÁFICO

EDIGRÁFICA

IMPRESSÃO

ESCOLA MUNICIPAL _________________________________________________________________________________________ TURMA ______________

NOME: ____________________________________________________________________________________________________________________________

AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA):

E.M. ALICE DO AMARAL PEIXOTO

E.M. ÁLVARO ALVIM

E.M. BÉLGICA

E.M. CÂNDIDO PORTINARI

E.M. DEODORO

CIEP ENG. WAGNER GASPAR EMERY

E.M. GASTÃO PENALVA

E.M. GUILHERME TELL

E.M. JOAQUIM NABUCO

CIEP MARGARET MEE

E.M PROF. HELTON A. VELOSO DE CASTRO

E.M. PROF.ª ZELIA CAROLINA DA SILVA PINHO

E.M. RIBEIRO COUTO

E.M. TATIANA CHAGAS MEMÓRIA

E.M. TENENTE RENATO CÉSAR


Os números naturais 0,1,2,3,4,5,6... surgiram da necessidade de contagem ou de ordenação.

Já as frações e os números decimais𝟏

𝟐;

𝟐

𝟑; 2,5 , 3,2... surgiram para representar quantidades não inteiras.

Com o desenvolvimento do comércio e o aparecimento das dívidas e dos prejuízos, houve a necessidade de se trabalhar com

quantidades negativas, fazendo surgir, assim, os números inteiros negativos.

0, 1, 2, 3, 4...

–4, –3, –2, –1....

Conjunto dos Números Naturais

Conjunto dos Números Inteiros

Os números inteiros são lidos da seguinte forma:

a) – 7 → sete negativo ou menos sete

b) + 9 → nove positivo ou mais nove

c) + 75 → setenta e cinco positivo ou mais setenta e cinco

d) – 100 → cem negativo ou menos cem

O conjunto 𝕫 é formado pelos números inteiros positivos, pelos números inteiros negativos e pelo zero:

ℤ = { ...–5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5...}

Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (–), enquanto os números

inteiros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+).

Isso mesmo! E o número zero é um número neutro, isto é, não é considerado nem positivo, nem negativo.

O conjunto dos números inteiros (ℤ ) envolve o conjunto dos números naturais (ℕ),

acrescentado dos números negativos.


Alguns exemplos:

– Quando falamos de temperatura...

No Rio de Janeiro, as temperaturas, geralmente, são positivas

(acima de 0º Celsius). Porém, em muitos outros lugares do mundo, é

comum os termômetros marcarem temperaturas negativas (abaixo

de 0 ºC ).

Leia a indicação dos termômetros:

a) Temperatura marcada no Rio de Janeiro - Brasil

b) Temperatura marcada no Alasca - USA

Lemos: 10º negativos ou 10º abaixo de zero, ou, ainda, menos 10 ºC.

Lemos: 39º positivos ou 39º acima de zero, ou, ainda, mais 39 ºC.

ww

w.p

ixa

ba

y.c

om

ww

w.p

ixa

ba

y.c

om

Há situações do cotidiano em que o número zero e os números

positivos não são suficientes para expressar determinadas informações.

Nesse caso, precisamos recorrer aos números inteiros negativos.

– Quando falamos de altitudes...

A referência utilizada é o nível do mar, onde a altitude é zero.

Qualquer altitude acima do nível do mar é positiva e qualquer

altitude (profundidade) abaixo do nível do mar é negativa.

Observe:

www.pixabay.com

0 m

+

-

– Para representarmos um submarino a 150 m de profundidade,

dizemos que esse submarino encontra-se a –150 m.

– Para representarmos um mergulhador que mergulha a 50 m de

profundidade, dizemos que esse mergulhador está a –50 m.

– Se fôssemos representar um alpinista, no cume de uma montanha

a 850 m de altitude, diríamos que esse alpinista está a +850 m.

A referência, quando falamos em altitudes, é dada em

relação ao nível do mar.

(nível do mar)

ww

w.p

ixa

ba

y.c

om


Lugar Temperatura

Rio de Janeiro 39 ºC

João Pessoa 30 ºC

Macapá 27 ºC

Belo Horizonte 21 ºC

Curitiba 12 ºC

Paris –3 °C

Estocolmo –7 °C

Alasca –10 ºC

AGORA,É COM VOCÊ!!! 1 – Leia a tabela e responda:

a) Qual a temperatura registrada em Belo Horizonte? _________

b) Qual a temperatura registrada em Paris? _________

c) Qual o lugar que registrou a menor temperatura? ___________

d) Qual o lugar que registrou a maior temperatura? ____________

e) Quais os lugares que registraram temperaturas negativas?

___________________________________________________

f) Quais os lugares que registraram temperaturas positivas?

___________________________________________________

___________________________________________________

2 – Leia a imagem:

Considerando que, na superfície do mar, a altitude é zero, utilize

números negativos para indicar altitudes abaixo da superfície do mar

e números positivos para indicar altitudes acima do nível do mar,

respondendo:

a) Qual a altitude do mergulhador? _________

b) Qual a altitude das gaivotas? _________

c) Qual a altitude do cardume? __________

d) Quais os seres vivos que se encontram em altitude negativa?

___________________________________________________

e) Qual a altitude do barco? ____________

superfície do mar

+5 m

–5 m

–12 m

0 m

ww

w.p

ixa

ba

y.c

om

( + )

( – )


1 – Complete a tabela:

Na final do Campeonato Brasileiro de Futebol de 2016, da série A,

o Palmeiras (SP) foi campeão com 62 gols marcados e 32 gols

sofridos. Já o Internacional (RS) foi rebaixado, com 35 gols

marcados e 41 gols sofridos.

Leia e complete a tabela:

Portanto, verificamos que o saldo de gols (diferença entre o

número de gols marcados e o número de gols sofridos) é de:

Palmeiras: 62 – 32 = 30

Internacional: 35 – 41 = – 6

Agora, responda:

a) Qual o time que ficou com saldo de gols positivo? ____________

b) Qual o time que ficou com saldo de gols negativo?____________

c) Quem sofreu mais gols? _________________

d) Quem marcou mais gols? ________________

Outros exemplos de utilização de números negativos:

- Quando falamos de saldo de gols...

Saldo de gols = gols marcados – gols sofridos

saldo de gols positivo → +

saldo de gols negativo → –

AGORA,É COM VOCÊ!!!

Agora, escreva como podemos representar essas situações:

a) Saldo positivo de 22 gols: ____________

b) Saldo negativo de 8 gols: _____________

c) Um saldo de 4 gols contra: ____________

d) Um saldo de 6 gols a favor: ____________

Quando a equipe marca mais gols do que

leva, fica com o saldo de gols positivo.

Quando a equipe leva mais gols do que

marca, o saldo de gols fica negativo.

O saldo de gols é calculado

subtraindo-se o número de gols

sofridos do número de gols marcados. TIMESGOLS

MARCADOS

GOLS

SOFRIDOS

SALDO DE

GOLS

Palmeiras 62 32 +30

Internacional 35 41


- Os extratos bancários também podem apresentar valores

negativos.

Em linguagem matemática, observe as seguintes situações

bancárias:

a) Crédito de R$ 200,00 → + R$ 200,00

b) Débito de R$ 120,00 → – R$ 120,00

c) Dívida de R$ 580,00 → – R$ 580,00

d) Depósito de R$ 90,00 → + R$ 90,00

e) Saque de R$ 200,00 → – R$ 200,00

f) Retirada de R$ 50,00 → – R$ 50,00

Temos que ficar atentos!

Crédito e depósito são palavras

relacionadas à soma (ou adição).

Débito, retirada, saque e dívidas são

palavras relacionadas à subtração!

Os créditos e os depósitos são

representados por números positivos. E

os débitos, retiradas, saques e dívidas

são representados por números

negativos!

Leia, abaixo, um extrato de movimentação bancária, apresentando

créditos (depósitos) e débitos (saques ou pagamentos).

Note que, após serem efetuados os créditos e os débitos, o saldo da

conta ficou negativo em R$ 10,00, ou seja, saldo de –10,00 reais.

1 – Analisando o mesmo extrato bancário, responda:

a) Quais os valores positivos? _________________________________

b) Quais os valores negativos?

_________________________________________________________

c) O que o saldo final representa? ______________________________

_________________________________________________________



Os números negativos também podem ser associados a pontos de uma reta. Leia:

ℤ = { ..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ... }

Conjunto dos Números Inteiros

0 origem

Após desenharmos uma reta, escolhemos um ponto dela para representar o ponto 0 (zero), também chamado de origem.

unidade

sentido positivosentido negativo

0

A partir da origem, podemos marcar, na reta numérica, os números positivos e os números negativos dispostos em relação ao zero: os

números positivos ficam ao lado direito do zero, e os negativos, ao lado esquerdo do zero, mantendo sempre a mesma unidade:

Em seguida, adotamos o sentido positivo à direita da origem e o sentido negativo à esquerda da origem.

+

Como podemos observar, o número +4, por exemplo, está localizado a quatro unidades da origem (à direita) e o número +6 está

localizado a seis unidades da origem (também à direita). Já o número –3 está localizado a três unidades da origem (à esquerda), enquanto

o número –5 está localizado a cinco unidades da origem (também à esquerda).


1 – Considere o conjunto dos números inteiros e responda:

a) Qual o antecessor de –2? ___________

b) Qual o antecessor de 20? ___________

c) Qual o sucessor de –60? ___________

d) Qual o sucessor de –5? ___________

e) Qual o antecessor de zero ? ____________

2 – Leia os números apresentados a seguir:

–4 +5 +3,2 –1 0 +0,5 –200 + 31

Agora, responda:

a) Quais desses números são números inteiros (ℤ)?

__________________________________________________

b) Quais desses números são números naturais (ℕ)?

__________________________________________________

AGORA,É COM VOCÊ!!! 1 – Indique os números representados pelas letras

A, B, C, e D:

I I I I I I I I I I I I I -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 A B C D

A = ______ B = ______ C = ______ D = _______

2 – Trace uma reta numérica e marque os números –2, –1 , 0,

+1, +2 , +3, +4:

Leia a reta numérica:

✓ Podemos perceber que o sucessor do número + 1 é o número + 2, o

sucessor do número + 2 é o número + 3,... Logo, verificamos que o

sucessor de um número é o número que vem imediatamente após

esse número (à direita dele).

✓ O antecessor de um número é aquele que está imediatamente

antes desse número (à esquerda): +3 é antecessor de +4, +2 é

antecessor de +3 e assim por diante.


Acredita-se que a utilização da letra ℤ , para representar oconjunto dos Números Inteiros, está relacionada à palavra alemãZahl, que significa número.


A BO

3 unidades4 unidades

Chamamos de módulo ou valor absoluto a distância de um ponto qualquer da reta numérica até a origem.

O módulo é representado por duas barras verticais paralelas:

módulo de + 5 → | + 5 |

Lendo a reta numérica apresentada a seguir, podemos observar que o ponto A está localizado a 4 unidades do ponto O (origem). Logo, o

módulo de –4 é igual a 4. Já o ponto B está localizado a três unidades da origem. Logo, o módulo de +3 é igual a 3:

| –4 | = 4

| +3 | = 3

Outros exemplos:

a) O valor absoluto de –5 é 5 , ou seja , | –5 | = 5.

b) O módulo de +8 é 8 , ou seja , | +8 | = 8.

c) O módulo de 0 (zero) é 0 (zero) , ou seja , | 0 | = 0.

AGORA,É COM VOCÊ!!! 1 – Responda:

a) Qual o módulo de –10 ? _________________

b) Qual o módulo de +40 ? _______________

c) Qual o valor absoluto de –19 ? _________________

d) Quais os números inteiros que possuem valor absoluto 7? __________________

Para determinar o

módulo de um

número inteiro, basta

reescrevê-lo sem o

sinal.

O módulo de zero é zero.


Utilizando o mesmo conceito, chamamos de números opostos ou simétricos, os números cuja localização

está à mesma distância da origem. Números opostos ou simétricos possuem o mesmo módulo.

O oposto ou simétrico de +1 é –1 porque possuem a mesma distância em relação à origem, ou seja, possuem o mesmo módulo. O oposto

ou simétrico de –2 é + 2, que também possuem a mesma distância em relação à origem, ou seja, ambos possuem o mesmo módulo.

Leia como indicamos o oposto ou simétrico de um número:

O oposto de 6 é –6. O oposto de –11 é +11.

O simétrico de +21 é –21. O simétrico de –9 é +9.

Possuem a mesma distância em relação à origem (0)

www.pixabay.comwww.pixabay.com

EIXO DE SIMETRIA

EIXO DE SIMETRIA

EIXO DE SIMETRIA


g) Crédito de cinquenta reais.

______________________________________________________

h) Cinquenta metros abaixo do nível do mar.

______________________________________________________

i ) Dois andares acima do térreo.

______________________________________________________

j) Recuar oito metros.

______________________________________________________

k) Um prejuízo de R$ 120,00.

______________________________________________________

l) 50 metros à direita.

______________________________________________________


1 – Determine o oposto ou simétrico de cada número:

a) +61 _______ b) –32 ______ c) +23 ______

d) –120 _______ e) +206 ______ f) –8 ______

2 – Escreva o oposto de cada situação apresentada, conforme o

exemplo:

a) Três andares abaixo do térreo.

Três andares acima do térreo.

b) Cinco graus Celsius acima de zero.

______________________________________________________

c) Débito de R$ 25,00.

______________________________________________________

d) Ano 20 antes de Cristo.

______________________________________________________

e) 50 m acima do nível do mar.

______________________________________________________

f) Vinte graus Celsius abaixo de zero.

______________________________________________________


Comparando 3 e −4:

Comparar dois números significa dizer se um número é maior, menor ou igual a outro número. Para essa comparação, podemos utilizar,

também, uma reta numérica:

0–4 3

Numa reta numérica, o maior número é sempre o que está a direita do outro número.

3 é maior que –4 , isto é, 3 > –4 (3 está à direita de –4).

Logo:

–4 é menor que 3 , isto é, –4 < 3 (–4 está à esquerda de 3).

O zero é menor

que qualquer

número positivo e

maior que

qualquer número

negativo.

Vamos comparar outros números?

Observe a reta numérica:

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Exemplos: –4 < 0 5 > 1 2 > –2 0 > –4 1 > –3

Se compararmos o número 0 com o número –4, podemos dizer que –4 < 0. Observe que, na reta

numérica, o –4 está localizado à esquerda do 0.


1 – Faça a comparação, utilizando os sinais > , <:

a) –3 0 b) 5 3 c) 1 –2

d) –2 –6 e) 0 –8 f) 0 1

g) 8 –8 h) 3 –3 i) –4 –3

2 – Coloque os números em ordem crescente:

–8 –4 0 7 –3 9 –2

______________________________________________________

3 – Faça a comparação e responda qual é o maior número

a) entre um número positivo e o zero?

______________________________________________________

c) entre um número negativo e o zero?

______________________________________________________

4 – Responda:

a) Qual o menor número inteiro positivo? _____________________

b) Qual o maior número inteiro negativo?______________________

5 – Faça a comparação dos números que correspondem às

situações apresentadas:

a) 4 °C abaixo de zero e 2 °C acima de zero: _______________

b) 5 m abaixo do nível do mar e 1 m abaixo do nível do mar:

_______________

c) Saldo negativo de 3 gols e positivo de 5 gols: _______________

d) Saldo positivo de R$ 15,00 e negativo de R$ 20,00:__________

e) Temperatura entre –8 °C e 34 °C: ________________________

b) entre um número positivo e um número negativo?

_______________________________________________________


Utilizando a reta numérica, observe estes recursos:

a) Vamos efetuar a adição entre (–5) e (+10)?

Localizamos o 1.° número na reta numérica. Depois, andamos a quantidade de unidades do 2.° número: se o 2.° número é positivo, andamos

para a direita; se é negativo, andamos para a esquerda.

–5 0

+10 → como tínhamos que somar +10, e o +10 é positivo, andamos dez espaços

(ou dez unidades) para direita, chegando ao resultado +5.

+5Logo, –5 +10 = +5

b) Se em uma cidade, a temperatura de –5 °C, tivesse baixado 3 °C, ou seja –3 °C, teríamos:

adição entre (–5) e (–3) = (–5) + (–3) = –5 –3 = –8 °C

0Como temos que somar –3 °C, e –3 °C é negativo, andamos 3

unidades para a esquerda, chegando ao resultado –8 °C.

– 3


Quando os dois números são positivos, a soma é sempre um número

positivo.

Exemplos:

(+5) + (+3) = +8

(+11) + (+27) = +38

Quando os dois números têm sinais diferentes, efetuamos a

subtração dos módulos desses números e mantemos o sinal do

número de maior valor absoluto.

Exemplos:

(+3) + (–2) = +1

(–4) + (+12) = +8

(–20) + (+15) = –5

(+33) + (–35) = –2

Outros exemplos:

c) Adição de (+5) + (–4) = +1

d) Adição de (–2) + (–4) = –6

e) Adição de (–3) + (+6) = + 3

f) Adição de (+3) + (+ 0) = +3

Lembre–se de que o zero é o elemento neutro da adição, ou

seja, se umas das parcelas é zero, o resultado dessa adição

será igual ao valor da outra parcela.

Exemplo: 0 + 4 = 4

Quando umas das parcelas é zero, o resultado da soma será igual à

outra parcela.

Exemplos:

(+3) + (0) = +3

(0) + (+12) = +12

(–20) + (0) = –20

Quando as parcelas forem números opostos, o resultado da soma

será igual a zero.

Exemplos:

(+3) + (–3) = 0

(–5) + (+5) = 0

(–20) + (+20) = 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

Quando os dois números são negativos, a soma é sempre um

número negativo.

Exemplos:

(–6) + (–3) = –9(–36) + (–32) = –68


Para efetuar uma subtração, temos que utilizar a operação

inversa, que é a adição. Veja esse exemplo:

Pensando em movimentação bancária, como poderíamos passar

um saldo negativo de –R$ 10,00 para um saldo positivo de

+R$ 20,00?

Para responder a essa questão, é preciso realizar o seguinte

cálculo: o saldo final (+R$ 20,00) menos o saldo inicial (–R$ 10,00).

Observe:

( +20) – ( –10 ) = +20 +10 = +30

O resultado positivo (+30) indica que precisamos depositar

R$ 30,00 para que o saldo inicial passe de –R$ 10,00 para

+R$ 20,00 (saldo final).

A diferença entre dois

números inteiros é igual à

soma do primeiro número

com o oposto do segundo.

oposto

Outros exemplos:

( –5) – ( –10 ) = –5 + 10 = +5

( +9) – ( –6 ) = +9 + 6 = +15

( +7) – ( +10 ) = +7 – 10 = –3

( 0 ) – ( +11 ) = 0 – 11 = –11

AGORA,É COM VOCÊ!!! 1 – Efetue as adições:

a) (–15) + ( +4) =

b) (+22) + ( –6) =

c) (–10) + ( +24) =

d) (–8 ) + ( –5) =

e) (–6 ) + ( 0 ) =

f) (–1) + ( –3 ) =

g) ( –2) + ( –3) =

h) (–4 ) + ( +4) =

i) (–12 ) + ( –15) =

j) (+17) + ( +49 ) =

2 – Considerando a soma de números inteiros, responda:

a) Que resultado encontramos quando as parcelas são dois

números opostos?___________________________

b) Que resultado encontramos quando uma das parcelas é zero?

________________________________________________

c) Quando as duas parcelas são números negativos, que tipo de

resultado encontramos?__________________________________

_____________________________________________________

d) Quando as duas parcelas são números positivos, que tipo de

resultado encontramos? __________________________________

______________________________________________________Continua


– 2

– 1

0

– 3

+ 3

+ 2

+ 1

a) Imagine que uma temperatura passou de 2 °C para –3 °C. Nesse

caso, qual a variação de temperatura? Para responder a essa

questão, é preciso calcular a diferença entre –3 e +2 , ou seja,

efetuar a subtração: (–3) – (+2).

Utilizando a operação inversa, temos –3 –2 = –5.

Oposto de +2

Observe que subtrair

um número é o

mesmo que adicionar

a esse número

o seu oposto.

b) Imagine que uma pessoa está no 4.° andar (+ 4 ) de um edifício e

quer descer, de elevador, para a garagem que fica no subsolo ( – 1 ).

Qual será o deslocamento desse elevador?

Para responder a essa pergunta, precisamos

calcular a diferença entre (+4) e (–1): (+4) – (–1) =

Utilizando a operação inversa, temos:

= +4 +1 = 5

Oposto de –1

AGORA,É COM VOCÊ!!! 1 – Efetue as subtrações:

a) ( –5) – ( –11 ) = ______________________________

b) ( –15) – ( –8 ) = _____________________________

c) ( –24) – ( +10 ) = ____________________________

d) ( + 33) – 0 = ________________________________

e) ( + 24) – ( –8 ) = ____________________________

f) 0 – ( – 25 ) = _______________________________

2 – No início do mês, o saldo bancário de Juliana era de R$ 550,00

positivos. No final do mês, seu saldo passou a ser de R$ 30,00

negativos. Qual foi a variação do saldo, nesse período?

ww

w.p

ixabay.c

om

Observe as situações apresentadas a seguir:


Para resolvermos as expressões numéricas, utilizaremos, agora, os

conceitos de adição e subtração que acabamos de aprender:

a) ( –8 ) + ( +5 ) – ( +3 ) + ( –2 ) – (–1 ) =

–8 + 5 –3 –2 + 1 = –7

b) 8 + ( +7 – 1 ) – (–3 +1 –5 ) =

8 + 7 – 1 + 3 – 1 +5 =

+23 – 2 = +21

Oposto de +3 Oposto de –1

Oposto de –3 +1 –5

Se antes dos parênteses houver um sinal negativo, trocamos o

sinal de todos os números que estão dentro desses parênteses.

Se antes dos parênteses houve um sinal positivo, os sinais não

são alterados.

2 - (Casa da Moeda 2005 – Agente de Segurança – Questão 20) O

quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre

Curitiba e Belém, com duas escalas: uma no Rio de Janeiro e outra

em Brasília. Os números positivos indicam a quantidade de

passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos

que desceram em cada cidade:

O número de passageiros que chegou a Belém foi

(A) 135. (B) 190. (C) 240. (D) 280. (E) 362.

CMB

Curitiba +240

Rio de Janeiro–194

+158

Brasília–108

+94


Exemplos: – (– 5 + 3) = +5 – 3 = 2

+ (+8 + 7) = 8 + 7 = 15

1 – Calcule o valor das expressões, de acordo com

o que acabamos de estudar:

a) ( –5 ) – ( –3 ) + ( +2 ) – ( +1 ) + ( –8 ) =

b) ( 12 – 2 ) – 3 + ( 8 + 7 – 5 ) =

c) 17 – ( 3 – 2 ) + ( 7 – 4 ) =


O produto de dois números de mesmo sinal é sempre

positivo.

Já o produto de dois números de sinais diferentes é sempre

negativo.

Exemplos:

a) (+2) . (+5) = +10

b) (+6) . (–6) = –36

c) (–9) . (–5) = +45

d) (–3) . (+6) = –18

Vejamos outros exemplos de multiplicação de números inteiros:

a) Carlos pediu à sua família que o ajudasse a comprar um celular

novo. Cada um de seus familiares pagou uma parcela de R$ 40,00.

Sabendo-se que Carlos foi ajudado por 6 familiares, qual foi a quantia

arrecadada por Carlos?

Vejamos:

6. (+ R$ 40,00) = 6. 40 = 40 +40 +40 + 40 +40 +40 = 240

Portanto, Carlos arrecadou R$ 240,00.

Repare que a multiplicação

equivale à soma de

parcelas iguais!

b) Luísa está treinando mergulho. Seu instrutor orientou que ela

mergulhasse fazendo pausas a cada 3 m de profundidade. Sabendo-

se que Luísa fez 5 paradas de 3 m, qual foi a profundidade alcançada

por Luísa, ao final desse mergulho?

5 x (–3 m) = (–3 m) + (–3 m) + (–3 m) + (–3 m) + (–3 m) =

= –3 –3 –3 –3 –3 = –15 m

CONTINUA


AGORA,

É COM VOCÊ!!!

1 – Efetue as multiplicações de números inteiros. Lembre-se: se os

números possuem sinais iguais, o resultado será positivo. Se

possuem sinais contrários, o resultado será negativo.

a) ( +10 ) . ( +5 ) = _____________

b) ( +15 ) . ( –8) = ______________

c) ( –9 ) . ( –11 ) = ____________

d) ( –1 ) . ( +6 ) = _____________

e) 0 . ( +5 ) = ________________

f) ( +7 ) . ( –5) = _______________

g) ( –1 ) . ( –12 ) = ____________

h) ( –1 ) . ( +6 ) = ______________

2 – Sr. João, para pagar seus funcionários, realizou 5 retiradas

consecutivas de R$ 250,00. Qual foi o valor total retirado?

- Se todos os fatores forem positivos, o resultado será positivo,

bastando multiplicar os módulos:

(+2) . (+1) . (+5) . (+2) = +20

(+1) . (+6) . (+3) . (+2) = +36

- Se, pelo menos, um dos fatores for zero, o resultado será zero:

(–2) . (0) . (+5) . (–2) = 0

(–1) . (+6) . (0) = 0

- Nos demais casos, contamos o número de fatores negativos. Se o

número de fatores for par, o resultado será positivo; se o número de

fatores for ímpar, o resultado será negativo:

(+2) . (–1) . (+5) . (+1) = –10 (um fator negativo)

(+3) . (+2) . (–1) . (–2) = +12 (dois fatores negativos)

(+2) . (–2) . (–5) . (–2) = –40 (três fatores negativos)

1 – Calcule as multiplicações:

a) (–3) . (–2) . (+5) . (–1) = ________

b) (+2) . (–4) . (+5) . (–2) = ________

c) (+2) . (+2) . (+5) . (+3) = ________



Vejamos outro exemplo de divisão de números inteiros:

Um mergulhador pretende descer a –30 metros de

profundidade para fotografar um navio naufragado. Em sua

primeira tentativa, só conseguiu descer até a metade da

profundidade. Quantos metros ele conseguiu descer?

Portanto, temos: (–30) : 2

Sabendo-se que a divisão é a operação inversa da multiplicação,

devemos descobrir qual o número que multiplicado por 2 resulta –30.

O número é –15. Logo, (–15) . 2 = –30

Resposta: O mergulhador desceu a –15 metros em sua primeira

tentativa.

e) (+15) : (+5) = +3 , pois (+3) . (+5) = +15

f) (–54) : (+9) = –6 , pois (–6) . (+9) = –54

g) 0 : (+6) = 0

h) (+5) : 0 = ?

Não existe divisão por zero:

não há sentido dividir em zero

partes.

O zero é uma indeterminação:

qualquer número vezes 0 resulta

em zero.

www.pixabay.com

Considerando-se que a divisão é a operação inversa da multiplicação,

teremos:

a) (–12) : (+2) =

Primeiro pensamos: Qual o

número que multiplicado por +2

resulta –12?

É o número –6!

Logo, (–12) : (+2) = –6, pois

(–6) . (+2) = –12.

b) (– 20) : (–4) = +5, pois (+5) . (–4) = –20

c) (+5) : (+5) = +1, pois (+1) . (+5) = +5

d) (–35) : (+7) = –5, pois (–5) . (+7) = –35

A regra dos sinais para a

divisão é a mesma da

multiplicação. Quando o

dividendo e o divisor possuem

sinais iguais, o quociente

será positivo; quando

possuírem sinais diferentes, o

quociente será negativo.

÷

÷

÷

÷

: 2

–30 –15

. 2


Multiplicamos o número de carros pelo número de rodas e pelo

número de parafusos.

4 . 4 . 4 = 4³ = 64

São 3 fatores iguais a 4. Logo, 4³.

Resposta: Sr. João terá que soltar 64 parafusos.

1 – Efetue as divisões, utilizando a ideia de operação inversa:

a) ( +2 ) : ( –1 ) = __________

b) ( +4 ) : ( +2 ) = __________

c) ( –10 ) : ( – 2 ) = __________

d) ( +3 ) : ( –3 ) = ___________

e) ( 0 ) : ( –6 ) = ____________

2 – A conta de luz da casa de Pedro, no valor de R$ 120,00, foi

descontada na sua conta bancária. Pedro terá que dividir a conta com

seus 5 irmãos. Quanto cada um dará para Pedro, sabendo-se que ele

também está incluído nessa divisão?

Exemplo:

Sr. João possui 4 carros na garagem. Cada carro tem 4 rodas e

cada roda tem 4 parafusos. Quantos parafusos ele terá que soltar

para trocar todas as rodas?

base

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

Lê-se:

“dois elevado ao cubo” ou “dois elevado

à terceira potência”.

fatores potência

expoente

A potenciação

é a

multiplicação

de fatores

iguais.

Na divisão, se os dois números tiverem

sinais iguais, o resultado será positivo.

Se os dois números tiverem sinais

diferentes, o resultado será negativo.

ww

w.p

ixabay.c

om

CONTINUA



Exemplos:

a) (+5 )² = ( +5 ) . ( +5 ) = +25

b) (+2 )³ = ( +2 ) . ( +2 ) . ( +2 ) = +8

Quando a base é um número positivo, a potência também é

um número positivo.

Quando a base é um número negativo e o expoente

• é par, a potência é positiva;

• é ímpar, a potência é negativa.

Exemplos:

a) ( –8 )0 = + 1

b) ( –4 )² = (–4 ) . ( –4 ) = +16

c) ( –9 )¹ = –9

d) ( –5 )³ = ( –5 ) . ( –5 ) . ( –5 ) = –125

expoente par

expoente ímpar

Quando escrevemos uma potência com

base negativa, sempre utilizamos os

parênteses.

( –5) ² = +25 e –5² = –25

Exemplos:

a) (348)0 = 1 b) (–23)0 = 1

Toda potência com base diferente de zero

e expoente igual a zero, tem, como resultado, +1.

Observe as sequências:

2² = 4 (–4) ² = 16

2¹ = 2 (–4) ¹ = –4

20 = 1 (–4) 0 = 1

2–1 = (–4) = –

2–2 = (–4) = +

Sequência A Sequência B

:2

:2

:2

:2

:–4

:–4

:–4

:–4

Na sequência A, enquanto o expoente diminui uma unidade, a

potência é dividida por 2 , e na B , é dividida por –4.

–1

–2

1

21

4

1

41

16

Um número diferente de zero elevado a um expoente

negativo é igual ao inverso desse número elevado ao oposto

desse expoente.

htt

p:/

/blo

gcre

3.b

logspot.

com

.br

O inverso de 2 é 1 .

2

e o inverso de 2 é 3 .

3 2

Vejamos:

a) 3–4 = ( 1

3)4 =

14

34=

1

81b) 6–2 = (

1

6)² =

1²

62=

1

36

Resolvendo as potências....



1 – Em um campeonato de boliche, a garotada foi dividida em 5 equipes.

Cada equipe ficou com 5 competidores e cada competidor poderia fazer 5

jogadas. Quantas jogadas foram realizadas no total?

Resposta: ______________________________

2 – Escreva a potência, de acordo com o exemplo:

a) −8 5 → menos oito elevado à quinta potência

b) 74 → ____________________________

c) −3 3 → ____________________________

3 – Indique se o resultado de cada potência é positivo ou negativo:

a) −2 2 positivo

b) −3 3

c) −8 4

4 – Efetue as potenciações correspondentes, de acordo com o exemplo:

a) 5 elevado ao quadrado - 52 = 5 . 5 = 25

b) 3 elevado à segunda potência - _________________________

c) Base é – 4 e o expoente é +3 - __________________________

d) 3 no expoente e 2 na base -_____________________________

e) 9 elevado ao quadrado - _______________________________

f ) 1 elevado à quinta potência - ____________________________

5 – Determine o resultado das potências:

a) (−2)3= ___________________________________________________________

b) (+2)3 = _________________________________________

c) (−2)5 = __________________________________________

d) (+2)5= __________________________________________

6 – Determine as potências dos números inteiros com expoentes

negativos:

Lembre-se de que

a potenciação

equivale ao

produto de

fatores iguais.

a) 3−3 = _________________

b) 7–2 = _______________

ww

w.p

ixabay.c

om


Leia, com atenção:

−64 é impossível em ℤ, pois 8² = 64 e (–8)² = 64

0 = 0, onde 0 é um número inteiro.

4 = 2, onde 2 é um número inteiro, porque 4 é um quadrado

perfeito.

5 = 2,2360... não é possível em ℤ, pois o número 5 não é um

quadrado perfeito.

Para determinar a 36 , por exemplo, precisamos

encontrar um número que, multiplicado por ele mesmo,

resulte em 36, ou seja, um número que, elevado ao

quadrado, seja igual a 36.

Temos 36 = 6 , pois 6 . 6 = 6 ² = 36

Logo, dizemos que 36 é um quadrado perfeito, pois sua raiz

quadrada é um número natural (positivo ou nulo).

Obs.: (–6)² também resulta em 36, onde

(–6)² = (–6) . (–6) = +36. No entanto, considera-se que o

símbolo 36 representa a raiz quadrada positiva de 36.

Exemplo: = 15 , pois 15² = 225𝟐𝟐𝟓

raiz índice² 36 = 6

Quando se tratar de raiz quadrada, você poderá deixar o espaço

destinado ao índice 2 em branco: ² 36 = 36 .

radical radicando

A raiz quadrada é a

operação inversa da

potenciação!

Sendo o conjunto 𝕫:𝕫 = {...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ...}

A raiz quadrada de um númeronegativo não é possível em ℤ, pois

todo número que é elevado aoquadrado resulta sempre em umnúmero positivo.

Isso mesmo! Somente o zero e

os quadrados perfeitos têm,

como raiz quadrada, um

número inteiro.


2 – Encontre a raiz quadrada do número inteiro, conforme o exemplo:

a) 144= 222232 = 2 . 2 . 3 = 12

144 2

72 2

36 2

18 2

9 3

3 3

1

2 . 2 .3

b) 625 = _____________________

625

Efetuamos a fatoração do radicando e

agrupamos, de dois em dois, os

fatores iguais.

1 – Determine as raízes, conforme o exemplo:

a) 9 = 3 b) 81 = _____ c) − 4 = __________

d) 1 = ______ e) – ( 81) =_______ f) – ( 49 ) = ______

3 – Resolva as expressões, lembrando que:

Devemos efetuar as operações na seguinte ordem:

– parênteses

– colchetes

– chaves

Lembramos, ainda, que as operações de potenciação e de raiz

quadrada devem ser calculadas primeiro. Em seguida, a

multiplicação e a divisão. Depois, efetuamos a adição e a

subtração.

a) 5² + 9 – [(+20) : (–4) + 3]

b) 64 : ( + 2 ) + (– 3)² . (–3)

c) 25 . ( – 2 ) + (4)² : (–2)

d) 3² + 16 – 2 { 3 – [(+10) : (–2) + 5 ] }


O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares: o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas (eixo 𝔁) e o eixo

vertical é chamado de eixo das ordenadas (eixo 𝐲).

Observe o plano cartesiano apresentado abaixo. Após colocarmos o eixo “𝔁” (horizontal) e o eixo “𝐲” (vertical), formamos 4 partes. Essas

partes são chamadas de quadrantes (quatro-quadrante).

2.ºquadrante 1.ºquadrante

3.ºquadrante 4.ºquadrante

O ponto E (0,0) é

a origem do

plano cartesiano.

Observe este exemplo: os pontos A, B e C foram marcados em um plano cartesiano. O ponto A

apresenta abscissa 4 e ordenada 3; o ponto B apresenta abscissa 1 e ordenada 2 e o ponto C

apresenta abscissa –2 e ordenada 4.

A ( 4, 3 )

B ( 1, 2 )

C (–2,4 )

abscissas

(eixo “𝔁”)

ordenadas

(eixo “𝐲”)

𝔁

𝐲

1 2 3 4 5 6–1 0–2–3–4–5

–1

–2

–3

6

5

4

3

2

1


B

C0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

4

3

2

1

–4 –3 –2 –1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

A

D

E

FG

H

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

8

7

6

5

4

3

2

1

A

D

CE

F G

H

A (....., .....) D (....., .....) G (....., .....)

B (....., .....) E (....., .....) H (....., .....)

C (....., .....) F (....., .....)

A (....., .....) D (....., .....) G (....., .....)

B (....., .....) E (....., .....) H (....., .....)

C (....., .....) F (....., .....)

1 – Leia a figura e escreva os pares ordenados dos pontos

correspondentes:

2 – Dê os pares ordenados dos pontos correspondentes à posição

das bolas de futebol:

B𝔁

𝐲

𝔁

𝐲

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkg7w44TPGokh9Kxu


4 – Elabore um plano cartesiano que forme uma palavra semelhante à da

atividade anterior. Em seguida, apresente para os seus colegas e para

o(a) seu(sua) Professor(a).

5 – Responda:

a) Quando um ponto apresenta abscissa e ordenada positivas, ele está

situado em que quadrante? _________________________________

b) Quando um ponto apresenta abscissa e ordenada negativas, ele está

situado em que quadrante? _________________________________

Há uma história curiosa sobre o filósofo e matemático francês

Rene Descartes (1599-1650). Dizem que ele estava descansando

na cama, quando viu a mosca pousada na parede. A mosca voou,

e Descartes ficou pensando em como poderia explicar a uma outra

pessoa qual era a posição exata da mosca na parede.

Descartes imaginou, então, 2 retas perpendiculares na parede:

uma horizontal e outra vertical. Ele percebeu que, marcando os

números nessas retas, eles serviriam para localizar a mosca.

Assim, foi “descoberto” como localizar pontos no plano. É o

conhecido plano cartesiano.Fonte: http://misamatematica.blogspot.com.br/2009/08/plano-cartesiano.html

(adaptado)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A (1,4)

B (1,8)

C (3,7)

D (1,6)

E (3,4)

F (4,8)

G (5,4)

H (6,8)

I (8,8)

J (6,4)

K (8,4)

8

7

6

5

4

3

2

1

3 – Marque, no plano cartesiano, os pares ordenados. Depois, trace

linhas, unindo os pontos A a B, B a C e C a D. Depois, trace outras

linhas, unindo os pontos E a F, F a G. Em seguida, trace outras linhas,

unindo os pontos H a I, I a J e J a K. Leia a palavra formada:

6 – Localize, no plano cartesiano, os pares ordenados:

A (–4, 4)

B ( 0, 3)

C ( 3, 0)

D (–4, 1)

E (–1, –2)

F ( 1, 2 )

G ( 2, –1)

𝔁

𝐲

𝐲

http://misamatematica.blogspot.com.br/2009/08/plano-cartesiano.html


1 – Leia a tabela. Ela demonstra a quantidade de cestas marcadas pelos quatro times de basquete de uma escola, em uma competição de

arremessos:

TIMES QUANTIDADE DE CESTAS MARCADAS

Time 1

Time 2

Time 3

Time 4

Com base nos dados da tabela, responda:

a) Que time marcou mais cestas? _________________

b) Que time marcou a menor quantidade de cestas? _______________

c) Quantas cestas marcou o time 1? _______________

d) Qual a diferença de cestas marcadas pelo time 1 e pelo time 4? _______________

e) Se cada cesta vale 2 pontos, quantos pontos marcou o time 1? _______________

http://escolovar.org/mat_grafico_veiculos.swf


2 – Uma rede de supermercados contratou uma pesquisa para saber

em que horários as pessoas preferiam fazer suas compras. O gráfico

abaixo mostra os resultados da pesquisa:

9% fazem compras após as 20 h.

17% fazem

compras entre 16 h e

20 h.

25% fazem

compras entre 12 …

49% fazem compras entre

9 h e 12 h.

HORÁRIO PREFERIDO PARA COMPRAS

Com base nos dados do gráfico, responda:

a) Em que horário a maioria das pessoas prefere fazer compras?

_______________________________________________________

b) Em qual horário o supermercado apresenta menor movimento?

_______________________________________________________

c) Qual a porcentagem que representa o horário de maior

movimento?

_______________________________________________________

d) Quanto somam as porcentagens dos dois horários de maior

movimento?

_______________________________________________________

e) Quanto somam as porcentagens dos dois horários de menor movimento?

_______________________________________________________

Primavera Verão Outono Inverno

VOLUME DE VENDAS

Empresa 1 Empresa 2 Empresa 3

3 – Três empresas de tecido publicaram o volume de suas vendas

nas quatro estações do ano. Leia o gráfico:

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

Com base nos dados desse gráfico, responda:

a) Em quais estações do ano as vendas foram melhores?

______________________________________________________

b) Quais as estações do ano que apresentaram os piores índices de

venda?

______________________________________________________

c) Que empresa obteve maior índice de vendas no verão?

_______________________________________________________

d) Qual das empresas obteve o menor índice de vendas no inverno?

_______________________________________________________



4 – Leia este outro tipo de gráfico.

Ele mostra os esportes preferidos em uma turma de 6.º Ano:

812

23

51

0

10

20

30

40

Basquete Voleibol Futebol Handebol Tênis

ESPORTES PREFERIDOS

Núm

ero

de

alu

no

s

Sabendo-se que todos os alunos da turma escolheram apenas o

esporte de sua preferência, responda:

a) Qual o esporte preferido da turma? _____________________

b) Quantos alunos preferiram o voleibol? _________________

c) Quantos alunos representam a preferência por voleibol e futebol?

__________________

d) Qual o total de alunos dessa turma?

_____________________________________________________

e) Qual o esporte que obteve menor preferência? _______________

5 – Leia a tabela apresentada a seguir. Ela nos mostra a quantidade

de estudantes de uma determinada escola, distribuídos do 6.º ao 9.º

Ano, nos dois turnos (manhã e tarde):

Após a leitura da tabela, responda:

a) Quantas meninas estudam no 8.º Ano, no período da tarde?

____________________________________________________

b) Quantos meninos estudam no 7.º Ano, nos dois períodos?

____________________________________________________

c) Quantos meninos e meninas estudam no 9.º Ano, no período da

tarde? ______________________________________________

d) Quantas meninas estudam, nessa escola, no período da manhã?

____________________________________________________

e) Quantos meninos estudam, nessa escola, no período da tarde?

____________________________________________________

f) Quantos alunos estudam no período da tarde?

___________________________________________________

Ano Manhã Tarde

Meninos Meninas Meninos Meninas

6.º Ano 98 104 137 98

7.º Ano 84 111 86 93

8.º Ano 70 85 54 39

9.º Ano 65 71 28 18



Porcentagem é uma razão que compara grandezas de mesma natureza. Nela, o 1.º termo é o numerador e o 2.º termo, o denominador,

é igual a 100. Observe:

por (porção) cento (cem unidades). Logo, por cento significa dividir por cem.

A porcentagem pode ser representada de três maneiras diferentes:

• número acompanhado do símbolo % → 10%

• número, em forma de fração, com denominador 100 → 10

100

• número na forma decimal → 0,10

Exemplo: 10% = 10

100(lê-se dez por cento)

Observe:

100% = 100

100= 1 (equivale ao todo)

50% = 50

100= 1

𝟐(equivale à metade do todo)

25% = 25

100= 1

𝟒(equivale à quarta parte do todo)

10% = 10

100=

1

𝟏𝟎(equivale à décima parte do todo)

1% = 1

100=

1

𝟏𝟎𝟎(equivale à centésima parte do todo)

Seu livro didático é muito

importante neste

momento!


Agora, leia alguns exemplos:

a) Calcule 50% de 400. Sendo 400 o todo, temos:

50% de 400 = metade de 400 = 200

b) Calcule 25% de 400. Sendo 400 o todo, temos:

25% de 400 = metade da metade de 400 = 100

c) Calcule 10% de 400. Sendo 400 o nosso todo, temos:

10% de 400 = um décimo de 400 (Nesse caso, já

aprendemos que dividir por dez é o mesmo que andar com a vírgula

uma casa para a esquerda.)

4 0 0 ÷ 10 = 40,0 = 40

d) Calcule 5% de 400. Sendo 400 o todo, temos:

5% de 400 = metade de 10% (Nesse caso, já encontramos

10% = 40. Logo, a metade de 40 = 40 : 2 = 20.

e) Calcule 15% de 400. Sendo 400 o todo, temos:

15% de 400 = 10% + 5% de 400 (Nesse caso, já encontramos

10% = 40 e já encontramos 5% = 20. Logo, 40 + 20 = 60.


1 – Calcule 75% de 400:

2 – Calcule as porcentagens:

a) 50% de 150. (Sendo 150 o todo.)

b) 25% de 80. (Sendo 80 o todo.)

Outra maneira de se calcular a

porcentagem é multiplicando a

fração pelo todo.

20% de 500 →20

100. 500

20 . 500

100= 100

fração

todo

Leia, atentamente, estes exemplos:

a) 20% de 350 →20

100. 350 →

20 . 350

100= 70

b) 10% de 300 →10

100. 300 →

10 . 300

100= 30


4 – Paulo obteve 15% de desconto na compra de um aparelho

celular, pago à vista. Qual o valor do desconto, se o aparelho

custava R$ 250,00?

5 – Uma olimpíada reuniu 420 atletas de vários países. Sabendo-se

que 20% desses atletas pertencem à delegação brasileira, calcule

o numero de atletas brasileiros.

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7 – Em uma turma de 30 meninos, 12 jogam futebol. Encontre a

porcentagem que representa essa afirmação.

www.pixabay.com

6 – Um concurso para bailarinos mirins, recebeu 550 inscrições. Desse

total, 12% dos candidatos foram selecionados. Quantos candidatos

foram selecionados?3 – (IESES* 2017- Técnico de Operação Júnior / Questão 19)

Uma obra de arte foi comprada por R$ 5.000,00 e vendida por

R$ 6.500,00. Qual foi o lucro percentual obtido nessa

operação?

(A) 22,5%.

(B) 25 %.

(C) 25,5 %.

(D) 30 %.

IESES*

*IESES – Instituto de Estudos Superiores do Extremo Sul


Chamamos de ângulo à região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. A medida de um ângulo é expressa

em graus(°).

OA

OB

semirretas demesma origem

(lados do ângulo)

AOB → lê-se ângulo AOB, ou ângulo O.^ ^

• Se os lados do ângulo forem formados por semirretas opostas de mesma origem, teremos um ângulo de meia volta chamado de ângulo raso.

• Se os lados do ângulo forem formados por semirretas que coincidem, teremos:

O BA

ângulo nulo

ângulo de uma volta

ouÂngulo

formado por

1/4 da

circunferência

Ângulo

formado por

1/8 da

circunferência

Dividindo a circunferência em 360

partes iguais, teremos um ângulo

formado por

1/360 da circunferência, em que a

medida de abertura desse ângulo é

de um grau (1º).

1.°1.°


Um ângulo pode ser classificado em agudo, obtuso, reto e raso:

RETO - quando sua medida vale 90°.

AGUDO - quando sua medida se encontra entre 0° e 90°.

OBTUSO - quando sua medida se encontra entre 90° e 180°

RASO - quando sua medida é igual a 180°.

MEDINDO OS ÂNGULOS....

Os ângulos podem ser medidos através de um instrumento chamado

transferidor. Utilizando um transferidor, podemos medir qualquer

ângulo. Basta posicionar o centro do transferidor na origem do

ângulo. Observe a figura:

AOB = 120°^

B

AO


1 – Classifique, nos relógios apresentados, os ângulos indicados

em azul, formados pelos ponteiros:

a) b)

____________________ _____________________

c) d)

____________________ _____________________

e) f)

____________________ _____________________

Imagens -

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w.p

ixabay.c

om


Existem ângulos cujas medidas não correspondem a um número inteiro de graus. Existem, também, ângulos cujas medidas são menores

que 1 grau. Sendo assim, para medir ângulos menores que 1 grau, utilizamos os submúltiplos do grau: minutos (’) e segundos (”).

• Se dividimos 1° em 60 partes iguais, cada

parte é chamada de minuto ( ’ ).

1º = 60’

• Se dividimos 1’ em 60 partes iguais, cada

parte é chamada de segundo ( '' ).

1’ = 60”

Exemplos:

❖ Transformar graus em minutos:

a) 2° = 2 x 60 = 120’

b) 12° = 12 x 60 = 720’

❖ Transformar graus em segundos:

Se 1° = 60’ e 1’ = 60” Logo: 1° = 60 x 60 = 3 600”

a) 3° = 3 x 3 600 = 10 800”

b) 10°= 10 x 3 600 = 36 000”

❖ Para transformar em graus, minutos ou segundos utilizamos a operação inversa da multiplicação, que é a divisão. Leia:

a) 30’ em graus = 30 : 60 = 0,5°

b) 720’ em graus = 720 : 60 = 12°

1 – Responda:

a) Quantos minutos há em 5°? _______________

b) Quantos segundos há em 7º? _______________

c) Quantos graus há em 720’?

_____________________


1 – Realize as transformações solicitadas:

a) 12° em segundos – _____________________

b) 8,5° em minutos – _____________________

c) 3° 6’ 8” em segundos – __________________

d) 5° 10’ 35” em segundos - _________________

24° 12’ 8”

+ 25° 55’ 57”

49° 67’ 65” trocamos 60” por 1’

49° 68’ 5”

50° 8’ 5” trocamos 60 ’ por 1º

Medida de RSU = medida RST + medida TSU = 50º 8’ 5”^ ^^

U

20° 59’ 60”

– 1° 10’ 20”

18° 49’ 40”

19°Às vezes, é preciso transformar as

unidades antes de realizar a subtração.

23° 32’ 17”

x 5

115° 160’ 85”

115° 161’ 25”

117° 41’ 25”

trocamos 60” por 1’

trocamos 120’ por 2º

72’

6° 8’ 1”

Às vezes, é preciso

transformar as

unidades antes de

realizar a divisão.

55° 12’ 9” 9

54º’ –72

1º 0’ 9”

– 9”

0

+60


a) 28° 55’ – 15° 10’ =

b) 12° 30’ 32” + 55° 15’ 52” =

2 – Arme e efetue as operações. Lembre-se de colocar as respostas

nos espaços disponíveis:

c) 2 x ( 18° 30’ 23”) =

d) 20° 32” + 15° 30’ 30” =

e) (28° 16’ 8”) : 4 =

f) 55º – 50° 16’ =

g) 75° 40’ 12” – 35° 28’ 52” =

h) (36° 42’ 12”) : 6 =

i) 12º 30’ 32” – 7º 15’ 20” =

Seu livro didático

é muito importante

neste momento!

MU

LT

IRIO


4 – Transforme as medidas em graus e minutos, conforme o exemplo:

Exemplo: 12,25°

12° + 0,25° = 12° + 1

460’ = 12° 15’

a) 4,5º

b) 15,75º

3 – Um foguete é lançado para o espaço, formando um ângulo de

90º com a superfície. Um avião decola, formando um ângulo de 45º

30’ com a superfície. Qual a diferença entre o ângulo formado pelo

foguete e o ângulo formado pelo avião?

45º 30’

5 – (ENEM 2017 – Questão 150 – Prova Azul) A imagem

apresentada na figura é uma cópia, em preto e branco, da tela

quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto. Esta tela foi colocada

em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B.

Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se

desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou

posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45º

com a linha do horizonte.

Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à

parede, no menor ângulo possível inferior a 360º.

A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que

foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de

(A) 90º no sentido horário.

(B) 135º no sentido horário.

(C) 180º no sentido anti-horário.

(D) 270º no sentido anti-horário.

(E) 315º no sentido horário.

ENEM


• Quando temos dois ângulos de mesma medida, chamamos de ângulos congruentes:

Escrevemos POQ ≡ RST^ ^

• Quando temos dois ângulos com o mesmo vértice e um lado em comum que os separa, chamamos de ângulos adjacentes:

RSU = medida RST + medida TSU^ ^

congruentes

^

RST

TSU^

^ângulosadjacentes

Observe que o ângulo RSU é formado pela soma dos ângulos adjacentes:^

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkg2cLh4OC6wUxmEP


2 – Observe o modelo e calcule o valor do ângulo assinalado nas

figuras:

a)

b)

c)

• Quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 90°,

chamamos de ângulos complementares:

• Quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 180°,

chamamos de ângulos suplementares:

MON + NOL = 90°

^

^ ^

MOL = 90°

EOF + FOG = 180°

^

^ ^

EOG = 180°

1 – Responda:

a) Dois ângulos de mesma medida são ângulos _________________

b) Dois ângulos cuja soma é igual a 180° são ângulos _____________

c) Dois ângulos de mesmo vértice e um lado em comum que os

separa são ângulos ___________________

d) Dois ângulos cuja soma é igual a 90° são ângulos ______________

•

C

B

A

O

35°

?

O G

F

E

145°

?

? + 35 = 90

? = 90 – 35

? = 55°

•

R

Q

P

O

?

60°

O KI

132°

?

J


Observando as figuras acima, podemos notar que o carro estava

andando em linha reta. Após uma mudança de direção, virando para

a direita, o carro cria um ângulo entre essas duas trajetórias. Logo,

podemos concluir que um ângulo pode representar, também,

mudança de direção.

1 – Em um jogo de pontinhos, observe as trajetórias.

Em qual delas há três mudanças de direção em sua

trajetória, formando três ângulos de 90º?

(C)(B) (D)(A)

3 – Pedro ganhou um carrinho de controle remoto e quer fazê-lo

chegar ao final de um corredor, sem que ele bata nas paredes. Para

isso, é possível acionar 3 comandos: avançar, virar à direita e virar à

esquerda. Qual a opção que corresponde acertadamente a essa

trajetória?

(A) Avançar 4 casas, virar 90º à direita, avançar 3 casas, virar 90º à

direita, avançar 2 casas.

(B) Avançar 4 casas, virar 90º à esquerda, avançar 3 casas, virar 90º à

esquerda, avançar 2 casas.

(C) Avançar 4 casas, virar 90º à direita, avançar 3 casas, virar 90º à

esquerda, avançar 2 casas.

(D) Avançar 4 casas, virar 90º à esquerda, avançar 3 casas, virar 90º à

direita, avançar 2 casas.

Ângulo

Continua

2 – (Banco de Questões OBMEP 2010 - Questão 216 - nível 1) Uma

formiga sai de um ponto A, anda 7 cm para a esquerda, 5 cm para

cima, 3 cm para a direita, 2 cm para baixo, 9 cm para a direita, 2 cm

para baixo, 1 cm para a esquerda e 1 cm para baixo, chegando até

o ponto B. Qual é a distância, em cm, entre A e B?

(A) 0. (B) 1. (C) 4. (D) 5. (E) 7.

OBMEP

ENTRADA

FINAL


4 – Em uma estrada, um carro se movimenta no sentido leste–oeste,

enquanto uma bicicleta se movimenta no sentido contrário, conforme

a figura abaixo. Leia a figura e responda:

Qual o ângulo que o ciclista deve girar para seguir na mesma

direção do carro?

___________________________________________________

5 – Leia a figura:

Agora, responda:

a) Quais as mudanças de direção que formam ângulos obtusos?

_________________________________________________

_________________________________________________

b) Quais as mudanças de direção que formam ângulos retos?

___________________________________________________

c) Qual a mudança de direção que forma um ângulo agudo?

___________________________________________________

QUESTÃO 1

Utilizando os sinais > e < , compare os números:

a) 3 –3 b) –7 4 c) –1 0

d) 5 –2 e) 2 –4 f) 0 5

ℒeste𝒪este

20° 90°90°A

D

E F

G

H

B

CI

imagens: https://pixabay.com

QUESTÃO 2

Efetue as operações com números inteiros:

a) + 10 – 13 =

b) – 8 – 4 =

c) ( + 5 ) . (– 4 ) =

d) (– 21 ) : ( + 7 ) =

QUESTÃO 3

Resolva a expressão numérica:

{ ( 36 ) + [ (– 8 + 4 ) – (– 3 + 5² ) . (– 1)² ] }


Agora, identifique as coordenadas dos pontos marcados:

A (.....,.....) B (.....,.....) C (.....,.....) D (.....,.....) E (.....,.....)

QUESTÃO 4

Para participar de uma expedição, um submarino precisa

descer a uma profundidade de 150 m. A sua primeira parada

será realizada na terça parte do percurso. A que profundidade

será realizada a primeira parada?

QUESTÃO 5

Leia o plano cartesiano:

QUESTÃO 6

Helena investiu R$ 500,00 em uma caderneta de poupança.

Ao fim do período de investimento, ela ganhou 2% do total

investido. Quanto representa esse valor?

QUESTÃO 7

Calcule o valor do ângulo:

O G

F

E

140°

?

QUESTÃO 8

Efetue as operações com ângulos:

28° 42’ 48”

a) + 35° 18’ 13”18°

b) – 15° 42’ 57”

c) 79º 53’ 6” : 2 = d) 71º 8’ 46” . 2 =

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