Apresentação do PowerPoint - Juciene...

MATEMÁTICA – 8.° ANO 1

MARCELO CRIVELLA

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

TALMA ROMERO SUANE

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS

SUBSECRETARIA DE ENSINO

KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA

GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

SILVIA MARIA SOARES COUTO

ORGANIZAÇÃO

CLAYTON BOTAS

ELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA

NELSON GARCEZ LOURENÇO

SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA

REVISÃO

CLAUDIA ROSANIA

MOVIMENTO MATEMÁTICA

AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA)

MOANA MARTINS E EQUIPE

ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA

MULTIRIO

CONTATOS E/SUBE

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Telefones: 2976-2301 / 2976-2302

EDIGRÁFICA

IMPRESSÃO

FÁBIO DA SILVA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR

DESIGN GRÁFICO


Bem-vindos ao 4.º bimestre!

Vamos fazer uma revisão

antes de iniciar os novos

estudos?

1- Encontre a expressão que representa a área das figuras:

2𝑎 − 3

2𝑎 − 3

10 + 𝑥

10 − 𝑥

2- Utilizando produtos notáveis, resolva as operações:

a) 992

b) 2022

c) 303 ⋅ 297

3- Estas expressões podem ser escritas como produtos notáveis.

Complete de acordo com o exemplo:

a) 9𝑥2 − 12𝑥 + 4 = 3𝑥 − 2 2

b) 𝑎2 − 10𝑎 + 25 =

c) 100 + 20𝑤 + 𝑤2 =

O que são produtos

notáveis? Escreva aqui:

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________


4- Indique o nome do caso de fatoração de cada uma das

expressões apresentadas a seguir. Depois, encontre a forma

fatorada:

a) 4𝑥2 − 14𝑥

b) 6𝑥 − 3𝑎 + 10𝑏𝑥 − 5𝑎𝑏

c) 81 − 𝑑2

d) 𝑥2 + 2𝑥 + 1

e) 9 − 6𝑡 + 𝑡2

Se tiver dúvidas, consulte o caderno de

apoio pedagógico do 3.º bimestre ou peça

ajuda a seu(sua) Professor(a).

Mu

ltirio

5- Resolva a inequação:

3𝑥 + 2 > 5𝑥 − 12

6- Observe a balança. Em seguida, escreva a inequação que

pode representá-la, resolvendo-a:

𝒙

7 kg

2 kg

7-Encontre o valor do ângulo desconhecido em cada um dos

casos abaixo:

65°

𝑥

65°

18°

𝑦

Escreva aqui o que

sabe sobre inequação:

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________


EQUAÇÕES COM UMA INCÓGNITA

Vamos rever um tópico muito importante no estudo da Matemática,

que, aliás, já estudamos bastante.

Leia o exemplo:

Encontre o valor de 𝒙 na equação.

Multirio

Você lembra como

resolver equações?

Multirio

Precisamos isolar a

incógnita!

3𝑥 − 5 = 𝑥 + 13

Use o espaço abaixo para resolver essa equação:

Procure no dicionário, o significado da palavra incógnita.

Verifique se existe alguma relação com o estudo da Matemática.

𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝒙 + 𝟏𝟑

8- A figura geométrica a seguir é um heptágono regular, isto é,

um polígono com sete lados congruentes e sete ângulos internos

congruentes. Responda às perguntas sobre o heptágono regular:

AGORA,É COM VOCÊ!!!

a) Qual a medida da soma dos ângulos internos do heptágono?

b) Diga o valor aproximado de cada um dos ângulos do

heptágono regular.

c) Abaixo, podemos ver um ângulo externo, um ângulo formado

por um dos lados do polígono e por um prolongamento de

um lado adjacente. Qual a medida aproximada do ângulo

externo do heptágono regular?


Agora, vamos estudar algumas situações que podem ser resolvidas,

utilizando-se equações com uma incógnita. Em cada uma das situações,

apresentadas, escreva a equação, resolvendo-a:

André comprou bombons para todos os 27 alunos da sua turma.

Para o transporte, ele precisou de seis caixas iguais e, ainda, sobraram

três bombons. Sabendo-se que, em cada caixa, foi colocado o mesmo

número de bombons, determine quantos bombons foram colocados em

cada caixa:

1.ª situação

Pensei em um número. Esse número, somado a 13, é igual ao

seu dobro, menos 3. Qual é esse número?

2.ª situação

Sabendo-se que os ângulos, apresentados abaixo, são

suplementares, isto é, somam 180 °, encontre o valor de 𝑥:

3.ª situação

𝟑𝒙 − 𝟏𝟓°

𝟐𝒙

Escreva uma situação que pode representar a 𝟔𝒙 + 𝟐 = 𝟏𝟒.

Em seguida, resolva a equação.

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

4.ª situação

6𝑥 + 2 = 14


Vamos classificar as equações? Inicialmente, classificaremos

equações que possuem uma única solução. Veja:

Multirio

Esta equação

possui, apenas,

uma resposta!

Multirio

O número 2 é

solução!

𝟒𝒙 − 𝟑 = 𝟐𝒙 + 𝟐4𝑥 − 2𝑥 = 2 + 3

2𝑥 = 5

𝑥 =5

2𝑥 = 2,5

Chamamos de equações possíveis e determinadas

aquelas que possuem apenas uma resposta.

No entanto, existem equações que possuem todos os números

como solução. Observe este exemplo:

𝟑𝒙 + 𝟓 = 𝟑𝒙 + 𝟓3𝑥 − 3𝑥 = 5 − 5

0 = 0

A igualdade 0 = 0 é sempre verdadeira. Assim, a equação admite

infinitas soluções. Ou seja: todos os números reais podem ser

soluções dessa equação.

Podemos verificar isso, substituindo por alguns números.

Observe:

Substituindo pelo número 2:

𝟑𝒙 + 𝟓 = 𝟑𝒙 + 𝟓3 ⋅ 2 + 5 = 3 ⋅ 2 + 5

6 + 5 = 6 + 511 = 11

Substituindo pelo número −7:

𝟑𝒙 + 𝟓 = 𝟑𝒙 + 𝟓3 ⋅ (−7) + 5 = 3 ⋅ (−7) + 5

−21 + 5 = −21 + 5−16 = −16

Multirio

O número −7também é solução.

Na verdade,

existem infinitas

soluções!

Chamamos de equações possíveis e indeterminadas as

equações que possuem infinitas soluções.

Agora, veremos equações que não possuem nenhuma solução:

𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟑2𝑥 − 2𝑥 = 3 + 1

0 = 4

Neste caso, a igualdade 0 = 4 é falsa. Assim, não existe nenhum

número que torne a equação 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟑 verdadeira. Nenhum

número será um valor verdadeiro para 𝑥 nesta equação.M

ult

irio

Substituir o 𝑥 por qualquer

número, não vai gerar

resultado verdadeiro!

Quando uma equação não possui solução,

dizemos que é uma equação impossível.

CLASSIFICANDO EQUAÇÕES

COM UMA INCÓGNITA...

Agora, escreva,

no seu caderno,

para relembrar

as definições de

equação

possível e

determinada,

possível e

indeterminada,

impossível.


1- Classifique as equações como POSSÍVEIS e DETERMINADAS,

POSSÍVEIS e INDETERMINADAS ou IMPOSSÍVEIS. Para isso, organize

a equação, e as resolva isolando as incógnitas. Veja o exemplo:

𝟑 ⋅ 𝟐𝒙 − 𝟒 + 𝟓 = 𝟔𝒙 − 𝟕

6𝑥 − 12 + 5 = 6𝑥 − 76𝑥 − 6𝑥 = −7 + 12 − 5

0 = 0

Equação possível e indeterminada

Mu

ltirio

Vamos isolar a incógnita 𝑥 e

encontrar o resultado!

𝟓𝒙 − 𝟐 = 𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟑𝒙 − 𝟒

𝟐𝒚 + 𝟑 − 𝒚 = +𝟑

𝟐 ⋅ 𝒙 − 𝟒 + 𝟏 = 𝟐𝒙 − 𝟕

Trabalhando com frações...

𝟕𝒙

𝟐− 𝟓 =

𝒙

𝟐+ 𝟐


Você conhece o jogo denominado Batalha Naval? Abaixo, temos

um tabuleiro semelhante ao jogo Batalha Naval. Observe:

PLANO CARTESIANO

Neste jogo, os jogadores tentam acertar as embarcações,

representadas pelos retângulos cinzas do outro jogador. Para isso,

cada jogador escolhe uma coordenada, composta de uma letra e um

número. Responda às perguntas sobre esse tabuleiro de Batalha

Naval:

Se o jogador, que quer acertar as embarcações nesse tabuleiro,

escolhe a coordenada F4, ele acertará algum navio?

_________________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

O que acontecerá se este jogador escolher a coordenada J8?

_________________________________________________________

_________________________________________________________

Observe, no tabuleiro, a coordenada marcada com X . Qual

a coordenada deste quadradinho do tabuleiro?

_________________________________________________________

Na Matemática, usamos o PLANO CARTESIANO como uma

representação de pontos (semelhante ao jogo de Batalha Naval). As

coordenadas de um ponto são escritas da forma 𝑥, 𝑦 , onde 𝑥 é a

coordenada horizontal, do eixo das abscissas, e 𝑦 é a coordenada

vertical, do eixo das ordenadas. Observe:

𝒙

Eixo das abscissas

𝒚Eixo das ordenadas

Coordenadas do

ponto A: (−𝟏, 𝟑)Coordenadas do

ponto B: (𝟐, 𝟏)

Ela

bora

ção

A

B

A B C D E F G H I J

1

2

3

4 X

5 X X

6 X X X

7 X X

8 X X X

9

10


Um ponto, no plano cartesiano, é o encontro entre a reta

vertical que passa, perpendicularmente, pelo eixo das abscissas

e a reta horizontal que passa, perpendicularmente, pelo eixo das

ordenadas.

Como exemplo, vamos marcar o ponto C(−𝟐, 𝟒):

C(−𝟐, 𝟒)

Reta vertical que passa

pelo ponto −𝟐

Reta horizontal que

passa pelo ponto 𝟒

Multirio

O ponto C está localizado na

interseção entre as duas retas.

Agora, vamos realizar algumas atividades

sobre plano cartesiano.

1- Faça como no exemplo: indique as coordenadas dos pontos

representados neste plano cartesiano:

A(−1,−2)

B _______

C _______

D _______

E _______

F _______

G _______A

C

D

EF

G

2- No plano cartesiano, localize os pontos indicados a seguir:

H(−4 , 2), I(0 , 3), J(1 , 1), K(1 , −1) e L(−4 , 0).

B

Ela

bora

ção

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJklXpXAbWdXwUJPOX


Observe esta situação em que temos duas quantidades

desconhecidas. Leia o problema:

Marcela foi ao armarinho comprar fitas para enfeitar seu vestido

de aniversário. A menina precisava comprar fitas rosas e vermelhas.

De acordo com a tabela de preços, o metro custa:

EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS

Fita rosa.......................R$ 1,00

Fita vermelha................R$ 2,00

Mu

ltirio

Como posso gastar os 11

reais que eu tenho?

Sabendo-se que a menina possui R$ 11,00,

o que ela pode comprar usando todo o seu

dinheiro? Para isso, vamos criar uma tabela com

algumas possibilidades.

Ajude Marcela e complete a tabela como no

exemplo:

Fita rosa

(metros)

Fita vermelha

(metros)

Preço total

3 4 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 = 11

7 2

5

9

Além da tabela, podemos organizar as possibilidades em um

gráfico no plano cartesiano. Para isso, vamos escrever uma equação

de acordo com os dados do problema. Veja:

𝑥 ⋅ 1 + 𝑦 ⋅ 2 = 11Metragem

de fita rosa

Preço do metro

da fita rosa

Metragem da

fita vermelha

Preço do metro

da fita vermelha

Total que Marcela

vai gastar

Organizando essa equação, temos: 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟏. Assim, vamos

representar os pares ordenados da forma (𝑥, 𝑦), onde 𝑥 é a metragem

da fita rosa comprada e 𝑦 é a metragem da fita vermelha comprada.

Forme os pontos da tabela, marcando-os no plano cartesiano

apresentado a seguir:

3 m (rosa), 4 m (vermelha)

(𝟑, 𝟒)

O que você pode perceber em relação aos pontos representados acima?

_________________________________________________________

Esta reta é a representação da equação formada a partir do

problema.

𝒙

𝒚


Equações, como a da situação anterior, são chamadas de

equações com duas variáveis:

𝑥 + 2𝑦 = 11Esse tipo de equação possui infinitas soluções nas variáveis 𝑥 e 𝑦

que são os pares ordenados (𝑥, 𝑦). Como vimos, podemos representar

as soluções de uma equação semelhante a esta no plano cartesiano.

O conjunto das soluções encontradas formam uma linha reta.

Observe esta outra situação:

A Professora escreveu no quadro:

“Pensei em dois números reais: o triplo do primeiro número, menos o

dobro do segundo, é igual a 1. Quais são esses números?”

Leia as respostas de alguns alunos e responda:

Mu

ltirio

Podemos escolher −1 e −2.

Mu

ltirio

O primeiro número pode ser 3 e o segundo 4.

Mu

ltirio

Se escolho 5 como primeiro número, posso

escolher 8 como o segundo também.

A resposta de Pedro está certa?

________________________________________

________________________________________Pedro

A resposta de Rafael está correta?

____________________________________

____________________________________ Rafael

Taís

Taís acertou?

_____________________

_____________________

_____________________

Mu

ltirio

Ficaria mais simples se

escrevêssemos essa situação a partir

de uma equação!

Vítor

Use a equação apresentada por Vítor para encontrar mais

soluções verdadeiras. Em seguida, represente os pares na tabela e

marque os pontos no plano cartesiano, formando uma linha reta.

3𝑥 − 2𝑦 = 1

𝒙 𝒚

𝒙

𝒚


1- Encontre as possibilidades de respostas para a situação

apresentada a seguir. Represente essas possibilidades no plano

cartesiano:

A soma de dois números é 2. Quais são esses números?

𝒙 𝒚

2- Ana juntou, em seu cofre, moedas de um real e de cinquenta

centavos. Sabendo-se que ela conseguiu juntar 4 reais em uma semana,

• escreva a equação que pode representar esta situação:

Agora, responda:

• os valores relacionados às quantidades de moedas podem ser

números negativos ou decimais? Justifique a sua resposta.

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

c) Complete a tabela com algumas soluções para a equação que

encontrou:

d) Marque os pontos que encontrou no plano cartesiano e diga o

que se pode notar sobre estes pontos:

𝑥 𝑦 Equação:______________

𝒚

𝒙


Mu

ltir

io

Entre metros de fita rosa e fita

vermelha, comprei 8 metros!

Vamos voltar à situação da página 11: Marcela foi a uma papelaria

comprar fitas rosa e vermelha. De acordo com os preços, encontramos

uma equação com duas variáveis e várias soluções, ou seja, vários

modos de a menina fazer as suas compras:

SISTEMAS COM DUAS EQUAÇÕES

Mu

ltirio

Tenho várias formas de gastar

os 11 reais que possuo!

𝑥 + 2𝑦 = 11

Fita rosa (o metro).............R$ 1,00

Fita vermelha (o metro).....R$ 2,00

Fita rosa

(metros)

Fita

vermelha

(metros)

3 4

7 2

1 5

9 1

Como já vimos, podemos escrever estas soluções no plano

cartesiano, representando a equação por uma reta que liga os pontos

das soluções.

Agora, vamos acrescentar uma nova informação a essa situação.

Leia:

Vamos fazer o mesmo que fizemos anteriormente: encontrar uma

equação e as possíveis soluções para representá-las no plano

cartesiano:

𝑥 + 𝑦 = 8

Metragem

de fita rosa Metragem de

fita vermelha

Total de

metros

Fita rosa

(metros)

Fita

vermelha

(metros)

3 5

Complete a tabela com as soluções que somem um total de

8 metros:

Continua


De acordo com o gráfico que você construiu, responda:

As soluções da nova equação formaram uma linha reta?

_____________________________________________________

_____________________________________________________

O que podemos dizer sobre as duas linhas retas de cada

uma das equações no mesmo plano cartesiano?

_____________________________________________________

_____________________________________________________

A partir das respostas anteriores, você consegue dizer se o

sistema possui alguma solução? Qual ou quais são?

_____________________________________________________

_____________________________________________________

Quantos metros de fita rosa e de fita vermelha Marcela comprou?

_____________________________________________________

Mu

ltirio

Lembre-se: o ponto

de interseção entre

as duas retas é a

solução do sistema!

Nesta situação, 𝑥 é a quantidade de metros

de fita rosa e 𝑦 é a quantidade de metros de

fita vermelha compradas por Marcela.

Nas próximas páginas,

vamos continuar a

estudar os gráficos de

sistemas de equações.

As duas equações, com duas variáveis, formam um sistema de

equações. Representaremos, agora, esse sistema:

𝑥 + 2𝑦 = 11

ቊ𝑥 + 2𝑦 = 11𝑥 + 𝑦 = 8

As soluções do sistema serão os pares ordenados que são

soluções de ambas as equações.

Vamos encontrar a solução do sistema apresentado acima, através

do método gráfico.

No plano cartesiano, temos a reta que representa as soluções da

equação 𝑥 + 2𝑦 = 11. Faça o mesmo e represente as soluções da

equação 𝒙 + 𝒚 = 𝟖, formando outra linha reta:

𝑥 + 𝑦 = 8

𝒚

𝒙

O que são retas concorrentes? Escreva aqui:

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________


Nos exemplos apresentados abaixo, vamos encontrar e

representar três pontos no plano cartesiano, para desenhar as retas de

cada equação. Em seguida, vamos classificar os sistemas:

Exemplo 1 – Encontre as soluções do sistema:

ቊ2𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 − 𝑦 = 1

Quando as retas que representam as equações se encontram em

um único ponto, o sistema é possível e determinado. Ele possui

uma única solução. Neste caso, a solução é o par ordenado (2,1).

𝑥 𝑦 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟓

1 3 (1 , 3)

2 1 (2 , 1)

3 −1 (3 ,−1)

𝑥 𝑦 𝒙 − 𝒚 = 𝟏

1 0 (1 , 0)

3 2 (3 , 2)

0 −1 (0 ,−1)

Exemplo 2 - Determine as soluções do sistema:

ቊ3𝑥 + 2𝑦 = 63𝑥 + 2𝑦 = −1

𝑥 𝑦 𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 = 𝟔

0 3 (0,3)

2 0 (2,0)

4 −3 (4,−3)

𝑥 𝑦 𝟑𝒙 + 𝟐𝐲 = −𝟏

−3 4 (−3,4)

−1 1 (−1,1)

1 −2 (1,−2)

Duas retas paralelas não possuem pontos em comum. Portanto,

o sistema de equações, representado por elas, é impossível.

Logo, não possui solução.

𝒚

𝒙

𝒚

𝒙


Exemplo 3 - Analisar, graficamente, o sistema:

ቊ2𝑥 + 𝑦 = 34𝑥 + 2𝑦 = 6

Quando as retas possuem todos os pontos em comum, são chamadas de

retas coincidentes. O sistema é chamado de possível e indeterminado.𝒙 𝒚 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟑

0 3 (0,3)

1 1 (1,1)

2 −1 (2,−1)

𝒙 𝒚 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔

2 −1 (2,−1)

3 −3 (3,−3)

1 1 (1,1)

Observe que as retas que representam as equações estão sobrepostas.

Elas possuem os mesmos pontos e são chamadas de retas coincidentes.

1- Represente, em tabelas e no plano cartesiano, as retas dos sistemas

apresentados a seguir. Depois, classifique-os:

a) ቊ𝑥 + 2𝑦 = 3

3𝑥 − 2𝑦 = −3

𝒚

𝒙

𝒚

𝒙


b) ቊ𝑥 + 2𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦 = 7

c) ቊ𝑥 + 2𝑦 = 53𝑥 − 2𝑦 = 3

𝒚

𝒙

𝒚

𝒙


Vamos relembrar a situação anterior. Nós a resolvemos, utilizando

as representações gráficas das retas. Observe:

Marcela gastou 11 reais comprando fita rosa que custava 1 real, o

metro e fita vermelha que custava 2 reais, o metro. Entre esses

produtos, ela comprou 8 metros de fita, no total. Quantos foram os

metros de fitas comprados?

SOLUÇÃO ALGÉBRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES As coordenadas do ponto (5,3) indicam as soluções para 𝑥 = 5e 𝑦 = 3, isto é, a menina comprou 5 m de fita rosa e 3 m de fita

vermelha.

Agora, vamos ver formas mais rápidas para a resolução de

sistemas de equações como os dessa situação-problema: resolução

pelos métodos algébricos:

Mu

ltirio

𝑥 representa a metragem de fita

rosa e 𝑦 representa a metragem

de fita vermelha que comprei.

ቊ𝑥 + 2𝑦 = 11𝑥 + 𝑦 = 8

Construindo e lendo os gráficos, notamos uma interseção entre

as duas retas que representa a solução do sistema e a resposta

do problema:

𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟏

𝒙 + 𝒚 = 𝟖

Neste método, vamos isolar uma das variáveis e, em seguida,

substituir a expressão encontrada na outra equação. Como exemplo,

vamos utilizar o sistema da situação-problema anterior:

Método de substituição

ቊ𝑥 + 2𝑦 = 11𝑥 + 𝑦 = 8

𝑥 + 2𝑦 = 11𝑥 = 11 − 2𝑦

1.º - Escolhemos e isolamos uma incógnita em uma das equações:

2.º - Substituímos a expressão encontrada na outra equação:

𝑥

𝑥 + 𝑦 = 8

11 − 2𝑦 + 𝑦 = 8

3.º - Resolvemos a nova equação que só possui uma incógnita:

11 − 2𝑦 + 𝑦 = 8

−2𝑦 + 𝑦 = 8 − 11−𝑦 = −3

𝑦 =−3

−1𝑦 = 3 Continua

As retas representam as equações encontradas para

a situação-problema.

𝒚

𝒙


4.º - Em seguida, substituímos o valor encontrado anteriormente em

uma das equações para achar a outra incógnita:

𝑦 = 3 𝑥 + 2𝑦 = 11𝑥 + 2 ⋅ 3 = 11𝑥 + 6 = 11𝑥 = 11 − 6

𝑥 = 5

Assim, temos a solução para o sistema (5,3 ), ou ainda, a

resposta: Marcela comprou 5 m de fita rosa e 3 m de fita vermelha.

Sim! Existem outros métodos. Vamos ver mais um

deles. Mas, antes, leia esta situação-problema:

No aquário de Marcos, há peixes laranjas e azuis. Se, no total,

existem 7 peixes e a diferença entre os peixes laranjas e os azuis é de

3, quantos peixes, de cada cor, o menino possui?

ቊ𝑙 + 𝑎 = 7𝑙 − 𝑎 = 3

𝑎 → número de peixes azuis

𝑙 → número de peixes laranjas

Existem 7 peixes no total: 𝑙 + 𝑎 = 7

A diferença entre os peixes laranjas e os peixes azuis é de 3: 𝑙 − 𝑎 = 3

1.º - Quando as equações possuem termos semelhantes e opostos,

somamos cada um dos termos semelhantes de cada equação para

zerar o coeficiente de uma das incógnitas:

2.º - Resolvemos a nova equação:

3.º - Substituímos o valor encontrado em uma equação para encontrar

a outra incógnita:

Método de adição

Encontrando o sistema:

Agora, vamos resolver este novo sistema, usando o método de

adição. Observe:

ቊ𝑙 + 𝑎 = 7𝑙 − 𝑎 = 3

Mu

ltirio

Será que existem outras maneiras de

resolver sistemas de equações?

Mu

ltir

io

+𝑎 e −𝑎 são opostos.

A soma deles é zero!+

2𝑙 + 0 = 10

2𝑙 + 0 = 102𝑙 = 10

𝑙 =10

2𝑙 = 5

𝑙 = 5 𝑙 + 𝑎 = 75 + 𝑎 = 7𝑎 = 7 − 5𝑎 = 2

Logo, temos a resposta: 𝑙 = 5 e 𝑎 = 2. Portanto, Marcos tem 5

peixes laranjas e 2 peixes azuis.


1- Resolva os sistemas, utilizando o método de substituição: 2- Resolva os sistemas, utilizando o método de adição:

a) ቊ𝑥 + 3𝑦 = 19𝑥 − 𝑦 = 3

b) ቊ3𝑥 + 𝑦 = 4𝑥 − 𝑦 = 2

a) ቊ𝑥 + 2𝑦 = 32𝑥 − 2𝑦 = 12

b) ቊ−5𝑥 + 2𝑦 = 155𝑥 + 2𝑦 = 1


Vamos, agora, fazer algumas observações sobre os métodos

algébricos de resolução de sistemas de equações:

Abaixo, temos um exemplo em que as duas equações

precisaram ser multiplicadas para encontrarmos os termos opostos.

Observe:

Alguns sistemas não estão prontos para serem resolvidos pelo

método de adição, pois não possuem termos opostos. Observe

este exemplo:

ቊ𝑥 − 3𝑦 = 64𝑥 + 𝑦 = 11

Para resolver esse tipo de sistema de equações, vamos

multiplicar a segunda equação por 𝟑 para que os coeficientes de

𝑦 nas equações se tornem opostos:

ቊ𝑥 − 3𝑦 = 64𝑥 + 𝑦 = 11 ⋅ 3

ቊ𝑥 − 3𝑦 = 6

12𝑥 + 3𝑦 = 33

Agora, calculamos através do método de adição, normalmente:

ቊ𝑥 − 3𝑦 = 6

12𝑥 + 3𝑦 = 33+

13𝑥 + 0 = 39

13𝑥 = 39

𝑥 =39

13= 3

𝑥 = 3 4𝑥 + 𝑦 = 114 ⋅ 3 + 𝑦 = 1112 + 𝑦 = 11𝑦 = 11 − 12𝑦 = −1

Para encontrar o valor da outra variável, substituímos este valor

em qualquer uma das equações:

ቊ2𝑥 + 3𝑦 = 13− 3𝑥 + 2𝑦 = 0

⋅ 3ቊ6𝑥 + 9𝑦 = 39− 6𝑥 + 4𝑦 = 0⋅ 2

Mu

ltir

ioOs termos opostos nesse

exemplo são 6𝑥 e − 6𝑥.

Utilize o espaço para encontrar a

solução do sistema apresentado acima:

ቊ6𝑥 + 9𝑦 = 39−6𝑥 + 4𝑦 = 0


Resposta (𝟑,−𝟏)

O que são termos

opostos? Escreva aqui:

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________


Mu

ltirio

Nesta atividade, você deve decidir quais são os

números que precisam multiplicar as equações. Se

tiver dúvidas, converse com seu(sua) Professor(a).

1- Organize os sistemas. Depois, aplique o método de adição:

a) ቊ𝑥 + 3𝑦 = 19𝑥 − 𝑦 = 3

b) ቊ2𝑥 − 𝑦 = −5−𝑥 + 3𝑦 = 10

Algumas vezes, quando tentamos encontrar as soluções de um

sistema de equações, algebricamente, como já estudamos,

encontramos equações impossíveis, possíveis e determinadas ou

possíveis e indeterminadas. Nos exemplos apresentados a seguir, o

1.° exemplo é um sistema impossível e no 2.° exemplo, encontramos

um sistema possível e indeterminado. Observe:

ቊ𝑥 − 2𝑦 = 3𝑥 − 2𝑦 = −2

Vamos utilizar o método de substituição:

𝑥 − 2𝑦 = 3𝑥 = 3 + 2𝑦

𝑥 − 2𝑦 = −23 + 2𝑦 − 2𝑦 = −2

𝑥

3 + 2𝑦 − 2𝑦 = −2

2𝑦 − 2𝑦 = −2 − 30 = −5

Substituímos

e resolvemos

Isolamos a

incógnita 𝒙

O resultado é uma equação

impossível. Então, classificamos o sistema

como sistema impossível: aquele que não

possui nenhuma solução.

Como já estudamos, esse tipo de

sistema pode ser representado, no plano

cartesiano, com retas paralelas.

1.º exemplo


ቊ2𝑥 − 3𝑦 = −5−4𝑥 + 6𝑦 = 10

Neste caso, precisamos organizar as equações para utilizar o

método de adição.

Organizamos o sistema:

A equação 0 = 0 é sempre verdadeira. Portanto, temos uma

equação possível e indeterminada, quando temos infinitas

soluções. Assim, classificamos o sistema como possível e

indeterminado. Nesse sistema, as retas que representam as

equações são coincidentes, ou seja, uma reta sobreposta à outra.

2.º exemplo

ቊ2𝑥 − 3𝑦 = −5−4𝑥 + 6𝑦 = 10

⋅ 2ቊ4𝑥 − 6𝑦 = −10−4𝑥 + 6𝑦 = 10

Efetuamos os semelhantes:

ቊ4𝑥 − 6𝑦 = −10−4𝑥 + 6𝑦 = 10+

0 + 0 = 00 = 0

Multirio

Nas próximas

atividades, você pode

utilizar o método de

resolução que preferir.

1- Encontre as soluções dos sistemas (se existirem):

a) ቊ𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 − 𝑦 = 9

b) ቊ𝑥 − 2𝑦 = −5−2𝑥 + 4𝑦 = 10

c) ቊ5𝑥 − 2𝑦 = −83𝑥 + 𝑦 = −7

Glossário: sobreposta - sobrepor, pôr em cima de ou acima de.

Fonte: Dicionário Escolar da Língua Portuguesa


d) ቊ3𝑥 + 𝑦 = 82𝑥 − 2𝑦 = 0

e) ቊ𝑥 − 𝑦 = 3

−2𝑥 + 2𝑦 = −4

2- Maria juntou, em seu cofre, notas de 2 e de 5 reais. No total, a

menina tinha, exatamente, 35 reais. Além disso, ela notou que a

quantidade de notas de 2 e de 5 era a mesma. Quantas notas de

cada valor Maria possuía?

3- Em um estacionamento, há motos e carros. Sabendo-se que o

total de veículos é 5 e que o total de rodas é 14 (desconsiderando

os estepes), quantos carros e motos estão estacionados?

Trabalhando com frações...

e) ቐ

𝑥

3− 2𝑦 = −3

−𝑥

3+ 5𝑦 = 5


6- Leia o gráfico:4- A Professora Miriam escreveu o seguinte texto no quadro:

Pensei em dois números inteiros. O dobro do menor número

mais o maior número é igual a 8. Além disso, a diferença

entre o maior e o menor é igual a 2.

Quais foram os números que a Professora Miriam pensou?

5- No plano cartesiano, apresentado a seguir, temos a

representação de um sistema de equações de primeiro grau:

Podemos afirmar que o

sistema é

(A) impossível.

(B) possível e determinado.

(C) possível e indeterminado.

(D) também de 2.º grau.

(A) ቊ𝑥 + 𝑦 = 4𝑥 − 𝑦 = 2

(B) ቊ𝑥 + 𝑦 = 42𝑥 − 𝑦 = 2

(C) ቊ𝑥 + 𝑦 = 4𝑥 − 𝑦 = −2

(D) ቊ𝑥 − 𝑦 = 4𝑥 + 𝑦 = 2

7- Observe este sistema:

ቊ𝑥 + 𝑦 = 20𝑥 − 𝑦 = 6

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

Qual desses sistemas pode ser representado por este gráfico?

Crie uma situação-problema que represente esse sistema. Em

seguida, resolva o sistema e encontre a solução.

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚


CÍRCULOS, CIRCUNFERÊNCIAS E ARCOS

A circunferência é o conjunto de pontos que se encontra a

uma mesma distância de um ponto chamado centro.

raios

centro

htt

p:/

/co

mm

on

s.w

ikim

ed

ia.o

rg/w

iki/F

ile:T

wo

_ri

ng

s.J

PG

O formato de uma aliança pode

representar uma circunferência.

Um círculo é toda a superfície que é delimitada pela

circunferência, isto é, todo o seu preenchimento.

círculo

htt

p:/

/ww

w.b

cb

.go

v.b

r/h

tms/m

ecir

/mco

mem

or/

MC

fao

25.a

sp

?id

pai=

MO

ED

AR

EL

Assim, podemos dizer que a circunferência é o contorno

do círculo.

Pesquise sobre os significados das palavras círculo e

circunferência. Depois, converse com seu(sua) Professor(a).

https://www.dicio.com.br/circulo/

https://www.dicio.com.br/circunferencia/

Observe alguns elementos dos círculos e das

circunferências:

Raio – segmento de reta entre um ponto da circunferência e

seu centro.

circunferência

centro

Corda – segmento de reta que liga dois pontos distintos de

uma circunferência.

cordas

Diâmetro – é a maior corda de uma circunferência. Ele

sempre passa pelo centro. Sua medida é o dobro do raio.

Podemos dizer também que o raio é a metade de um diâmetro

(Vide exemplo).

diâmetros

centro

centro


Arco – é a parte da circunferência delimitada por dois de

seus pontos. Vamos observar, abaixo, os dois arcos definidos

pelos pontos A e B:

A

B

centro

A

B

A

B

centro

centro

Arco maior Arco menor

htt

ps:/

/com

mons.w

ikim

edia

.org

/wik

i/F

ile:L

ua_deitada.jpg

O contorno de uma lua minguante pode

representar um arco da circunferência.

Arco de circunferência

1 - Nos objetos apresentados a seguir, indique quais deles podem

representar a ideia de círculo ou de circunferência:

http

s://c

om

mons.w

ikim

edia

.org

/wik

i/File

:Chain

_basketb

all_

hoop.jp

g

htt

p:/

/slv

estr

ei.eng.b

r/astr

onom

ia/e

ducacao/r

osas/m

eto

do/

_____________________

http

s://c

om

mons.w

ikim

edia

.org

/wik

i/File

:Stre

et_

iron_w

ork

_clo

ck.jp

g

_____________________ _____________________

htt

ps:/

/com

mons.w

ikim

edia

.org

/wik

i/F

ile:T

able

,_R

ound_T

able

,_%

E0%

B4%

AE

%E

0%

B5%

87%

E0%

B4%

B6,_

%E

0%

B4%

B5%

E0%

B4%

9F

%E

0%

B5%

8D

%E

0%

B4%

9F

%E

0%

B4%

AE

%E

0%

B5

%87%

E0

%B

4%

B6.J

PG

_____________________

_____________________

http

s://c

om

mons.w

ikim

edia

.org

/

_____________________

htt

ps:/

/com

mons.w

ikim

edia

.org

/wik

i/F

ile:F

reili

chtm

useum

_H

agen_B

eig

e_A

lert

_81.jpg

C

D

E

D

E

Aro de uma cesta de

basqueteTampo de mesa redonda

Superfície deste vitral Aro desta roda

Mostrador deste relógioBorda externa de um

prato redondo

Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.


_______

________

________

________

________

________

________

_______

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA

A partir de agora, vamos estudar os casos de posições de

pontos relativos a uma circunferência. Um ponto pode estar fora,

dentro ou pertencer à circunferência. Veja:

raio

Quando o ponto se encontra

fora da circunferência, dizemos

que ele é externo a ela. Nesse

caso, a distância do ponto ao

centro da circunferência é maior

que o raio.

raio

raio

Sabemos que a distância de

qualquer ponto da circunferência até o

centro dessa mesma circunferência é

chamado de raio. Assim, dizemos que

esse ponto pertence à circunferência.

Um ponto que está dentro da região

delimitada pela circunferência é chamado

de interno. Um ponto interno tem a

distância em relação ao centro menor que

o raio da circunferência. Ver exemplo

ao lado.

P

P

P

C

C

C

2 - Observe os esquemas apresentados a seguir. Complete com

o nome dos elementos presentes na circunferência:

Procure, no dicionário, o significado das seguintes palavras:

externo - _________________________________________________________

interno - __________________________________________________________

pertencer - ________________________________________________________


POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA

A seguir, vamos estudar as posições relativas entre reta e

circunferência. Existem três casos possíveis. Leia cada um deles

atentamente:

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS

Agora, vamos estudar as posições relativas entre duas

circunferências. Mais uma vez, observaremos a quantidade de

interseções (pontos em comum).

Quando duas circunferências não possuem ponto em comum,

podem ser denominadas internas ou externas:

Uma reta é exterior a

uma circunferência quando ela

não possui nenhum ponto em

comum com a circunferência.

Quando uma reta e uma

circunferência possuem apenas

um ponto em sua interseção

(ponto em comum), a reta é dita

tangente à circunferência.

Dizemos que uma reta

é secante à circunferência

quando a reta e a

circunferência possuem dois

pontos em comum.

São internas quando todos os pontos

de uma delas são internos à outra.

Externas são circunferências

em que todos os pontos de

uma são externos à outra.

Quando as circunferências internas possuem o mesmo ponto como

centro, são chamadas de internas concêntricas. Veja:

P

P

Q

r

r

r

Procure, no dicionário, o significado da palavra concêntrica e

escreva aqui: ___________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________


Quando duas circunferências possuem apenas um ponto

em comum, são chamadas de tangentes. As tangentes podem

ser interiores ou exteriores.

Tangentes exteriores

são circunferências que

possuem apenas um ponto

em comum, e todos os

outros pontos são externos.

Duas circunferências são secantes quando possuem, apenas,

dois pontos distintos em comum, isto é, dois pontos que pertencem às

duas circunferências.

Já nas tangentes interiores,

uma delas tem todos os seus

pontos internos à outra. No

entanto, há um ponto que

pertence a ambas.

1 - Neste esquema, indique a posição dos pontos relativa à

circunferência.

A

B

C

D

A

B

C

D

________

________

___________

________

2 - Desenhe em relação à circunferência:

• um ponto E interno à circunferência.

• um ponto F externo à circunferência.

• um ponto H pertencente à circunferência.

Procure, no dicionário, o significado da palavra tangente e

escreva aqui: _________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________


4 – Utilizando a régua e um lápis colorido, desenhe o que se pede

em cada um dos casos:

a) uma reta tangente na cor azul

b) uma reta secante na cor vermelha

c) uma reta exterior na cor amarela

3 - Em cada um dos casos, escreva a posição relativa de cada

uma das retas em relação às circunferências:

___________

___________

______________________

___________

___________

___________

5 - Leia as figuras a seguir. Indique a posição relativa das

circunferências identificadas em cada caso:

Continua

________

http

s://c

om

mons.w

ikim

edia

.org

P

Q

T

____________

rs

r

r s

t

MATEMÁTICA – 8.° ANO 32htt

ps:/

/com

mons.w

ikim

edia

.org

________

htt

ps:/

/com

mons.w

ikim

edia

.org

________

htt

ps:/

/ww

w.b

cb.g

ov.b

r

________

________

7 - Leia a ilustração desta roda-gigante. O segmento 𝑨𝑩 liga dois

extremos da circunferência da roda, passando pelo eixo que fica

no centro. Assim, o que podemos dizer do segmento 𝑨𝑩?

𝑨 𝑩

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riesenrad_centr

o_park_oberhausen.jpg

6 - Na figura a seguir, as duas circunferências são tangentes no

ponto C, o raio da circunferência de centro B é de 3 centímetros

e o da circunferência de centro D é igual a 2 centímetros.

Encontre a distância entre o ponto A e o ponto D.

A BC

D

_________________________________________________

___________________________________________________________

____________

O

Observe as circunferências que contornam os

círculos nas figuras presentes nesta página.


ÂNGULO CENTRAL E ÂNGULO INSCRITO DE UM

ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

Já estudamos que um arco de circunferência é uma parte

da circunferência entre dois pontos A e B. Veja:

Se ligarmos os pontos A e B ao centro da circunferência, os

segmentos, que são raios da circunferência, determinam um

ângulo que chamaremos de ângulo central.

Dois pontos determinam dois arcos e os ângulos centrais

desses dois arcos são replementares, isto é, são ângulos que,

juntos, somam 𝟑𝟔𝟎°. Observe o exemplo:

𝟑𝟔𝟎° representam uma circunferência completa.

A

B

Centro

Arco de

circunferência

A

B

Centro

A

B

Centro

A

B

Centro 130°230°

+130° = 360°230°

A

B

130°230°

ÂNGULO CENTRAL

ÂNGULO CENTRAL

raio

raio

Observe:

centro - central


1 - Complete o esquema, identificando o ângulo que falta:

160°

2) Foi realizada uma pesquisa, com os

alunos de uma escola, sobre o que eles

gostavam de fazer nas horas vagas: praticar

esportes, jogar videogame, ir à praia ou ler

livros. Cada aluno escolheu apenas uma

opção e o resultado da pesquisa foi exposto

em um gráfico de pizza. Leia esse gráfico e

responda:

Livro

Praia

𝟏𝟐𝟎°

Esporte

a) O que podemos afirmar dos ângulos relativos aos setores de Esporte

e de Livro?

___________________________________________________________

b) Quais as medidas dos ângulos de cada um dos setores do gráfico?

___________________________________________________________

c) Se foram entrevistados 60 alunos, quantos escolheram “Esporte”

como resposta?

___________________________________________________________

___________________________________________________________

A

B

Centro

P

Em seguida, traçamos duas semirretas com origem no

ponto P, passando uma pelo ponto A e outra pelo ponto B. Essas

semirretas formam, no ponto P, um ângulo que chamaremos de

ângulo inscrito na circunferência:

ÂNGULO INSCRITO

A

B

Centro

P

ÂNGULO INSCRITO

Vamos definir o ângulo inscrito no arco da circunferência

(AB). Para isso, vamos observar um ponto P na circunferência:


E

F

Considerando o arco EF, marque

um ponto P, onde quiser, na parte

pontilhada da circunferência. Em

seguida, ligue, com uma régua, esse

ponto aos pontos E e F. Finalmente,

com um transferidor, meça o ângulo

formado por esses segmentos.

_______________________________

Através dessas imagens, podemos observar que o ângulo

inscrito não depende do local em que esteja o ponto P na

circunferência, caso este ponto esteja associado ao mesmo arco.

Veja que, mesmo mudando este ponto de lugar, o ângulo sempre

é o mesmo. Leia o esquema abaixo:

E

P

F32°

E

P

F

32°

E

P

F32°

Agora, vamos conhecer uma propriedade muito importante,

que relaciona o ângulo central ao ângulo inscrito de um mesmo

arco. Para isso, vamos representar o ângulo central 𝜶 e o ângulo

inscrito 𝜷 em um mesmo esquema. Observe:

𝜶𝜷

A medida do ângulo central, em um arco da

circunferência, é igual ao dobro da medida

do ângulo inscrito no mesmo arco. Veja:

𝜶 = 𝟐𝜷

Observe o exemplo:

Qual a medida do ângulo central?A

BP

O?

𝟓𝟓°

O ângulo inscrito mede 𝟓𝟓°.

Então, o ângulo central mede

o dobro, ou seja:

𝟓𝟓° ⋅ 𝟐 = 𝟏𝟏𝟎°



Já para encontrar o ângulo inscrito, quando temos o ângulo

central, basta calcular a metade desse ângulo central. Operação

inversa da apresentada na página anterior:

74°

𝒙

1 - Indique quais são os ângulos inscritos e

quais são os ângulos centrais:

______________

______________

______________

______________

2 - Encontre o valor dos ângulos:

40°𝑥

150°

𝑦

H𝒂

120°

𝒃

67°


𝑥 𝟐𝑥

𝒚𝟐𝒚


Vamos relembrar os elementos básicos dos triângulos?

Observe o exemplo:

OS SEGMENTOS (MEDIANA, BISSETRIZ, ALTURA ) E OS

PONTOS (BARICENTRO, INCENTRO e ORTOCENTRO)

NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO

O triângulo ABC possui vértices

𝐀, 𝐁 e 𝐂.

Ligando os vértices, encontramos

os três lados: 𝐀𝐁, 𝐁𝐂 e 𝐂𝐀.

Além disso, temos três ângulos:

𝐁𝐀𝐂, 𝐀 𝐂𝐁 e 𝐂𝐁𝐀.

O triângulo DEF possui três vértices:____, ____ e ____.

Seus três lados são :______, ______ e ______.

Além disso, possui três ângulos:_______, _______ e _______.

𝐀

𝐁𝐂

𝐃

𝐄𝐅

Mediana é o segmento que liga um vértice do triângulo ao ponto

médio do lado oposto a esse vértice.

Veja a figura:

MEDIANAS E BARICENTRO

Multirio

Lembre-se: o ponto médio é o

ponto que divide um segmento

ao meio.

𝐅 é o ponto médio

do lado 𝐀𝐁. Assim,

o segmento 𝐂𝐅 é

uma mediana.

Como podemos criar um ponto médio para cada um dos lados,

verificamos que, em um triângulo, podemos desenhar 3 medianas.

Observe na próxima página.

Agora, complete:

Observe:

mediana – médio – meio.

Agora, vamos estudar alguns novos conceitos:


Podemos desenhar as 3 medianas em um único triângulo. Veja as

imagens abaixo. É um resultado importante, na Matemática, as três

medianas se encontrarem em um único ponto denominado

BARICENTRO.

O ponto 𝐆 é o encontro das

medianas. Ele é chamado de

baricentro.

BARICENTRO

Em um triângulo qualquer, podemos traçar uma mediana. Para

isto, precisamos encontrar o ponto médio do lado, medindo-o com

uma régua e marcando o seu meio. Leia a ilustração:

Encontramos o ponto médio.

Traçamos a mediana.

O lado AB do triângulo possui

6 cm. Então, o ponto médio

está a 3 cm de cada um dos

vértices: A e B.

Depois de marcarmos o

ponto médio F, ligamos este

ao ponto C para formarmos a

mediana CF.

Multirio

Na próxima página, veremos outro

segmento notável do triângulo: a bissetriz.

G

Mediana 1 Mediana 2 Mediana 3


I

BISSETRIZES E INCENTRO

O segmento que liga um vértice ao lado oposto, dividindo o

ângulo ao meio, chama-se BISSETRIZ.

Multirio

Esses ângulos são

congruentes, isto é,

possuem a mesma medida.

O segmento 𝐄𝐁 é uma bissetriz pois

divide o ângulo 𝐀𝐁𝐂 ao meio.

Podemos traçar, em um mesmo triângulo, 3 bissetrizes. Cada

uma em um dos ângulos do triângulo. Como podemos observar no

esquema a seguir, as três bissetrizes se encontram em um único

ponto, chamado de INCENTRO.

INCENTRO

O ponto 𝐈 é o INCENTRO do

triângulo. Este ponto é o

encontro das três bissetrizes.


Para traçar uma bissetriz de um triângulo, precisamos dividir o

ângulo ao meio e, para isso, usamos o transferidor. Observe o

exemplo:

Dividimos o ângulo ao meio.

Traçamos a bissetriz.

A medida do ângulo

𝐀 𝐂𝐁 é de 60°. Assim, a

bissetriz passa pelo

ponto que marca os 30°. (60 ÷ 2 = 30°)

Ligamos este ponto ao

vértice 𝐂 e temos uma

bissetriz do triângulo.

Transferidores servem para medir a abertura

dos ângulos. Existem três tipos de

transferidores diferentes. Veja:

Multirio

Já estudamos a área de triângulos nos bimestres anteriores.

Leia a expressão e os exemplos:

ALTURAS E ORTOCENTRO

𝑏

ℎ 𝑨𝚫 =𝒃 ⋅ 𝒉

𝟐

A área do triângulo é a metade do produto da base pela

altura. Exemplos:

3 𝑚 24 𝑐𝑚

B

A

C D

F

E4 𝑚 20 𝑐𝑚

3 ⋅ 4

2=12

2= 6 𝑚2

20 ⋅ 24

2=480

2= 240 𝑐𝑚2

Neste caso, a altura do

triângulo é um de seus lados.

G

Já, neste exemplo, a altura

está exterior ao triângulo.

http

s://u

plo

ad.w

ikim

edia

.org

/wik

ipedia

/com

mons/4

/4f/P

ostit_

larg

e.jp

g

htt

ps:/

/uplo

ad.w

ikim

edia

.org

/wik

ipedia

/com

mons/9

/99/R

apport

eur_

180deg.s

vg

http

s://u

plo

ad.w

ikim

edia

.org

/wik

ipedia

/com

mons/f/f1

/Tra

nsfe

ridor.P

NG

Baricentro é ______________________________________________________

Ortocentro é ______________________________________________________

Incentro é ________________________________________________________


Altura é o segmento que liga um vértice ao seu lado oposto,

formando um ângulo reto com esse lado. Veja:

Multirio

Essa marca significa que este

ângulo mede 90°.

O segmento 𝐁𝐄 é uma

altura pois o ângulo 𝐀 𝐄𝐁 é

um ângulo reto (mede 90°).

Assim como as bissetrizes e as medianas, também temos, em

um mesmo triângulo, 3 alturas, dependendo do lado do triângulo

que é tomado como base.

Porém, diferentemente das bissetrizes e das medianas, a

altura pode estar do lado de fora de um triângulo como acontece

nos obtusângulos. Veja a seguir:

Multirio

Esse triângulo é um obtusângulo: possui

um ângulo maior que 90°.

Neste caso, o ângulo de 90° é

formado pelo prolongamento do

lado oposto ao vértice de onde

parte a altura.

𝐁𝑫 é o

prolongamento do

lado 𝐂𝐁.

TRAÇANDO ALTURAS DE TRIÂNGULOS...

Para desenhar a altura de um triângulo, precisamos de um

segmento perpendicular a um lado que passa pelo vértice oposto. Para

isso, podemos usar uma régua e um esquadro.

http

s://u

plo

ad.w

ikim

edia

.org

/wik

ipedia

/com

mons/1

/1d/T

riangle

30

-60.jp

ghttp

s://u

plo

ad.w

ikim

edia

.org

/wik

ipedia

/com

mons/5

/5d/R

ighello

.jpg

http

s://u

plo

ad.w

ikim

edia

.org

/wik

ipedia

/com

mons/4

/4f/P

ostit_

larg

e.jp

g

Ângulo reto - formado pelo

encontro do esquadro e da régua.

Este ângulo mede 90°.

h


Abaixo, desenhamos as três alturas de um mesmo triângulo para

marcar o ponto de encontro entre elas: o ORTOCENTRO.

O ortocentro é o encontro das alturas de um triângulo.

ORTOCENTRO

Multirio

Em um triângulo obtusângulo, o

ortocentro é exterior ao triângulo.

Observe!

ORTOCENTRO


1- Para dividir um triângulo da maneira como desejava, Pedro

mediu um de seus lados e marcou um ponto no meio deste lado

(veja a figura abaixo). Em seguida, traçou uma linha pontilhada

do ponto médio até o vértice oposto. A linha pontilhada pode

representar a

(A) altura.

(B) bissetriz.

(C)mediana.

(D) tangente.

𝟐𝟎𝒄𝒎 𝟐𝟎𝒄𝒎

2- Na figura apresentada a seguir, o ponto P é o encontro das

bissetrizes do triângulo ABC. Assim, podemos dizer que o ponto

P é o

(A) vértice.

(B) incentro.

(C) baricentro.

(D) ortocentro.

3- Classifique os segmentos destacados no triângulo abaixo:

__________ _____________

Dois triângulos são congruentes quando possuem lados

correspondentes de mesma medida e seus ângulos correspondentes

também são congruentes, com mesma medida angular.

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Existem 4 casos que podemos utilizar para afirmar que um par

de triângulos é congruente. No primeiro caso, apenas os lados

correspondentes sendo congruentes garantem a congruência dos

triângulos. Observe:

Esses pares de

triângulos são

congruentes.

Mu

ltir

io

A D

E

F

B

C


Indicam congruência

dos lados

Procure, no dicionário, o significado da palavra congruente e

escreva aqui: _________________________________________

_____________________________________________________

Caso LLL

Lado, lado, lado


Os triângulos são congruentes se os dois

lados consecutivos são, respectivamente,

congruentes, assim como o ângulo entre eles.

Caso LAL

Lado, ângulo, lado

B

C

A

E

F

D

Os triângulos são congruentes quando possuem

dois ângulos correspondentes também congruentes e

o lado entre esses ângulos possui a mesma medida.

Caso ALA

Ângulo, lado,

ângulo

A D

E FB

C

Lado, ângulo e ângulo oposto ao lado

congruente indicam que os triângulos são

congruentes.

Caso LAAo

Lado, ângulo,

ângulo oposto

B

C

A E

F

D

1- Qual o caso de congruência dos triângulos apresentados a seguir?

(A) LLL.

(B) ALA.

(C) LAL.

(D) LAAo.

2- Observe quais dos elementos dos triângulos são congruentes.

Em seguida, indique o caso de congruência de cada um deles:

___________

L

M

N O

_____________

_____________



1 - A Professora Maria escreveu, no quadro, a seguinte frase

como um desafio para seus alunos:

“Pensei em um número 𝑥. O triplo desse número

menos 4 é igual a 5.”

Qual das opções abaixo representa uma equação que pode estar

relacionada à frase da professora?

(A) 3𝑥 − 4𝑥 = 5

(B) 3 − 4 = 5𝑥

(C) 3𝑥 − 4 = 5

(D) 3 − 4x = 5

2 - Leia a equação:

3𝑥 − 2 = 5 + 3𝑥

Podemos afirmar que esta é uma equação

(A) impossível.

(B) possível e determinada.

(C) possível e indeterminada.

(D) que não atende a nenhuma das alternativas anteriores.

3 - Qual das alternativas apresentadas abaixo é a solução para a

equação 5𝑥 − 2 = 3𝑥 + 3?

(A)2

5

(B)5

2

(C) 3

(D) 5

4 - Leia as representações geométricas dos sistemas de equações de

1.º grau apresentadas a seguir. Marque a opção que representa um

sistema impossível:

(A)

(B)

(C)

(D)

5 - Encontre o valor da incógnita 𝑥 no esquema abaixo:

(A) 5°.

(B) 10°.

(C) 20°.

(D) 40°.

𝑥 + 15°

6𝑥 − 10°


𝒚

𝒙

6 - Leia a representação geométrica de um sistema de duas

equações:

Agora, responda:

Podemos relacionar este gráfico, corretamente, com o sistema

(A) ቊ𝑥 + 𝑦 = 3𝑥 − 𝑦 = 0

(B) ቊ2𝑥 + 𝑦 = 52𝑥 − 2𝑦 = 2

(C) ቊ𝑥 = 2𝑦

𝑥 + 𝑦 = 4

(D) ቊ𝑥 + 𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦 = 5

7- Abaixo, podemos ver as três bissetrizes de um triângulo.

Observe que esses três segmentos se encontram no ponto A.

Podemos afirmar que o ponto A é um

A

(A) ortocentro. (B) baricentro. (C) incentro. (D) vértice.

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8- A seguir, temos o logotipo das Olimpíadas de Tóquio que

acontecerá em 2020. Podemos notar, na imagem, a ideia do

contorno de dois círculos. Veja:

Podemos afirmar que estes dois círculos são

(A) internos.

(B) externos.

(C) secantes.

(D) tangentes.

Apresentação do PowerPoint - Juciene...

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