Apresentação do PowerPoint · Método de Gauss-Jacobi Exemplo 1: Analise a convergência do...
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Métodos Iterativos
A ideia desses métodos é generalizar o método
do ponto fixo utilizado na busca de raízes de
uma equação.
Um sistema linear 𝐴𝑥 = 𝑏 pode ser convertido
num sistema do tipo 𝑥 = 𝐶𝑥 + 𝑔, onde C é uma
matriz de ordem n e g um vetor coluna.
Observe que, 𝜙 𝑥 = 𝐶𝑥 + 𝑔 é uma função de
iteração na forma matricial.
Métodos Iterativos
Ou seja,
𝑥1 = 𝜙 𝑥0 = 𝐶𝑥0 + 𝑔
𝑥2 = 𝜙 𝑥1 = 𝐶𝑥1 + 𝑔
Logo,
𝑥𝑘+1 = 𝜙 𝑥𝑘 = 𝐶𝑥𝑘 + 𝑔
Observe que,
lim𝑘→∞
𝑥𝑘 = 𝛼
Então, 𝛼 = 𝐶𝛼 + 𝑔, ou seja, 𝛼 é solução de 𝐴𝑥 = 𝑏.
Critério de Parada
O processo iterativo é repetido até que o vetor 𝑥𝑘
esteja suficientemente próximo do vetor 𝑥𝑘−1.
Mede-se a distância:
𝑑𝑘 = max1≤𝑖≤𝑛
|𝑥𝑖𝑘 − 𝑥𝑖
𝑘−1|
Assim, para dada tolerância 𝜖, o vetor 𝑥𝑘 é solução
aproximada da solução exata se
𝑑𝑘 < 𝜖
Também podemos usar o teste do erro relativo:
𝑑𝑟𝑘 =
𝑑𝑘
max1≤𝑖≤𝑛
|𝑥𝑖𝑘|
Método de Gauss-Jacobi
Suponha o sistema linear:
e que 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,… , 𝑛.
Isola-se o vetor 𝑥 mediante separação da
diagonal:
Método de Gauss-Jacobi
Imagens: Ruggiero, Cálculo Numérico
Método de Gauss-Jacobi
Assim, transformando o sistema Ax=b em
x=Cx+g, temos a matriz C:
E o vetor g:
Método de Gauss-Jacobi
O método de Gauss-Jacobi consiste em obter a
solução através da relação recursiva:
𝑥𝑘+1 = 𝐶𝑥𝑘 + 𝑔
Ou seja,
Método de Gauss-Jacobi
Exemplo: Resolva o sistema linear
10𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 7𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 = −82𝑥1 + 3𝑥2 + 10𝑥3 = 6
pelo método de Gauss-Jacobi com
𝑥0 =0,7−1,60,6
e tolerância 𝜖 = 0,05.
Método de Gauss-Jacobi
Critério das linhas: seja o sistema linear 𝐴𝑥 =𝑏 e seja
𝛼𝑘 =
𝑗=1𝑗≠𝑘
𝑛 |𝑎𝑗𝑘|
|𝑎𝑘𝑘|.
Se 𝛼 = max1≤𝑘≤𝑛
𝛼𝑘 < 1, então o método de Gauss-
Jacobi gera uma sequência {𝑥𝑘} convergente
para a solução do sistema dado,
independentemente da escolha da aproximação
inicial 𝑥0.
Método de Gauss-Jacobi
Exemplo 1: Analise a convergência do método
de Gauss-Jacobi do exemplo feito
anteriormente.
Exemplo 2: seja o sistema
𝑥1 + 𝑥2 = 3
𝑥1 − 3𝑥2 = −3
através do método de Gauss-Jacobi, observa-se
que a solução aproximada converge para a
solução exata 𝑥 = 1,5 1,5 𝑡 . No entanto, o
critério das linhas não é satisfeito. Isso mostra
que o critério das linhas é apenas suficiente.
Método de Gauss-Jacobi
Exemplo 3: verifique que o sistema linear não
satisfaz o critério das linhas
𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = −25𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 36𝑥2 + 8𝑥3 = −6
Através da permutação de linhas encontre um
sistema linear equivalente que satisfaça o
critério das linhas.
Método de Gauss-Seidel
O método de Gauss-Seidel é semelhante ao
método de Gauss-Jacobi, mas no processo
iterativa, no momento do cálculo de 𝑥𝑗𝑘+1
usamos todos os valores 𝑥1𝑘+1, … , 𝑥𝑗−1
𝑘+1 que já
foram calculados. Segue:
Método de Gauss-Seidel
Exemplo: resolva o sistema linear
5𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 53𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 63𝑥1 + 3𝑥2 + 6𝑥3 = 0
utilizando o método de Gauss-Seidel com
𝑥0 =000
e tolerância 𝜖 = 5.10−2.
Método de Gauss-Seidel
Como todo processo iterativo, precisamos de
critérios que nos forneçam a garantia de
convergência (condição suficiente de
convergência).
Critério de Sassenfeld: sejam
𝛽1 =𝑎12 + 𝑎13 +⋯+ |𝑎1𝑛|
𝑎11
𝛽𝑗 =𝑎𝑗1 𝛽1 +⋯+ 𝑎𝑗𝑗−1 𝛽𝑗−1 + 𝑎𝑗𝑗+1 +⋯+ |𝑎𝑗𝑛|
|𝑎𝑗𝑗|
Seja 𝛽 = max1≤j≤n 𝛽𝑗Se 𝛽 < 1, então o método de Gauss-Seidel gera
uma sequência convergente qualquer que seja 𝑥0.
Método de Gauss-Seidel
Além disso, quanto menor for 𝛽, mais rápida
será a convergência.
Exemplo: verifique a convergência do método
de Gauss-Seidel para a resolução do seguinte
sistema
𝑥1 + 0,5𝑥2 − 0,1𝑥3 + 0,1𝑥4 = 0,20,2𝑥1 + 𝑥2 − 0,2𝑥3 − 0,1𝑥4 = −2,6−0,1𝑥1 − 0,2𝑥2 + 𝑥3 + 0,2𝑥4 = 1,00,1𝑥1 + 0,3𝑥2 + 0,2𝑥3 + 𝑥4 = −2,5
Exemplo: faça o mesmo para o sistema
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 9−𝑥2 + 𝑥3 = 1𝑥1 + 3𝑥3 = 3
Método Diretos x Indiretos
• Convergência
• Matrizes esparsas
• Erros de arredondamento
