Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

amanda@fcav.unesp.br

MATEMÁTICA II

CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Considere a função 𝑓 𝑥 :ℝ → ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). Então:

Derivada: Mede a taxa de variação de 𝑓 em relação a variável

𝑥 que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 𝑓.

Notação: 𝑓′ 𝑥 , 𝑓 𝑥 ′ ou 𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥

A derivada 𝑓′ 𝑎 é o coeficiente angular da reta que melhor aproxima a

função no ponto (𝑎, 𝑓 𝑎 ).

Diferencial: 𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥= 𝑓′ 𝑥 ⇒ 𝑑𝑓 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥

Vamos usar o diferencial como na definição acima.

O uso da diferencial permite resolver problemas envolvendo mudança de

variáveis (como regra de cadeia e integração) com facilidade.

CONCEITO DE INTEGRAÇÃO

A integração é a operação que nos dá a função quando

conhecemos sua diferencial.

Considere:

Note que as funções acima:

Função Derivada Diferencial

𝑦 = 𝑥2 − 4 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥2 + 𝐶 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

diferem entre si apenas no termo constante;

possuem a mesma diferencial.

CONCEITO DE INTEGRAÇÃO

• Dada diferencial 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥 podemos encontrar as

infinitas funções que a produziram, através da relação

inversa.

• A integral indefinida de

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

é dada por:

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥2 + 𝐶

CONCEITO DE INTEGRAÇÃO

Considere:

𝑑 a relação que leva a função à sua derivada;

𝑑−1 a relação inversa de 𝑑.

então 𝑑−1 leva a derivada às infinitas funções correspondentes.

Constante de integração

(pode assumir infinitos

valores)

Integrando

INTEGRAL INDEFINIDA

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição

inicial.

𝐹 𝑥 + 𝐶 é a solução geral;

𝐹 𝑥 + 10 é uma solução particular

𝐶 = 10 é obtido pela fixação de uma condição inicial.

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C

Problema: Determine a equação da família de curvas sabendo-se

que o declive da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro

da abcissa do ponto considerado.

O declive 𝑎 da tangente à curva é a derivada da função (curva)

no ponto considerado, logo:

𝑎 =𝑑𝑦

𝑑𝑥

De acordo com o problema:

𝑎 = 2𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

Integrando:

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥.

Assim,

𝑦 = 𝑥2 + 𝐶.

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C

• Uma vez que

𝑦 = 𝑥2 + 𝐶

Para 𝐶 = −4, 𝑦 = 𝑥2 − 4.

Para 𝐶 = 0, 𝑦 = 𝑥2.

Para 𝐶 = 2, 𝑦 = 𝑥2 + 2.

Representação gráfica

A CONSTANTE C

A constante 𝐶 de integração é a altura onde a curva intercepta o

eixo das ordenadas.

Considerando o problema anterior, pede-se: Determine a

curva da família que passa pelo ponto 1, 3 .

A equação da família de curvas é: 𝑦 = 𝑥2 + 𝐶.

Da condição fixada, 𝑦 = 3 e 𝑥 = 1, então:

3 = 1 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 2.

Portanto a curva é a parábola:

𝑦 = 𝑥2 + 2.

PROPRIEDADES

P1: Considere 𝑎 uma constante, assim

𝑎 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Exemplo. Determine 4𝑥 𝑑𝑥.

4𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∙ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥2 + 𝐶

PROPRIEDADES

P2: A integral da soma é igual a soma das integrais.

𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑡.

Exemplo: Determine 3𝑥2 − 4𝑥3 − 6 𝑑𝑥

3𝑥2 − 4𝑥3 − 6 𝑑𝑥 = 3𝑥2 𝑑𝑥 − 4𝑥3𝑑𝑥 − 6𝑑𝑥

= 𝑥3 + 𝐶1 + −𝑥4 + 𝐶2 + −6𝑥 + 𝐶3

= −𝑥4 + 𝑥3 − 6𝑥 + 𝐶,

sendo 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3.

INTEGRAIS IMEDIATAS

1. 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶, sendo 𝑘 uma constante real

2. 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1

3. 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

4. 𝑑𝑥

𝑥=

1

𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶

4.1. 𝑢′𝑑𝑥

𝑢=

𝑢′

𝑢𝑑𝑥 = ln 𝑢 + 𝐶, sendo u uma função de x

5. 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =𝑎𝑥

ln 𝑎+ C

6. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

INTEGRAIS IMEDIATAS

7. sen 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶

8. cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝐶

9. sec2(𝑥) = tg(𝑥) + 𝐶

10. cossec2 𝑥 = − cotg 𝑥 + 𝐶

11. sec 𝑥 ∙ tg 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶

12. cossec 𝑥 ∙ cotg 𝑥 𝑑𝑥 = −cossec 𝑥 + 𝐶

13. 1

𝑥2+1 𝑑𝑥 = tg−1 𝑥 + 𝐶

14. 1

1−𝑥2𝑑𝑥 = sen−1 𝑥 + 𝐶

EXERCÍCIOS

Determine:

a) 2𝑥 9 𝑑𝑥

b) 3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥

c) 8𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 −1

𝑥3+ 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥

d) 3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥

e) 2𝑥 𝑑𝑥

𝑥2+1

a) 2𝑥 9 𝑑𝑥

Note que

𝑑 2𝑥

𝑑𝑥= 2 ⇒ 𝑑 2𝑥 = 2𝑑𝑥

então

2𝑥 9 𝑑𝑥 = 2𝑥 9 𝑑𝑥2

2=

1

22𝑥 9 2𝑑𝑥

2𝑥 9 𝑑𝑥 =1

2 2𝑥 9 𝑑 2𝑥 =

1

2

2𝑥 9+1

(9 + 1)+ 𝐶

∴ 2𝑥 9 𝑑𝑥 =2𝑥 10

20+ 𝐶.

𝑑 2𝑥

SOLUÇÃO EXERCÍCIO A)

SOLUÇÃO EXERCÍCIO B)

b) 3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥

Note que

𝑑 3𝑥 + 1

𝑑𝑥= 3 ⇒ 𝑑 3𝑥 + 1 = 3𝑑𝑥

então

3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥3

3

3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥 = 1

3 3𝑥 + 1 7 3𝑑𝑥

3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥 =1

3 3𝑥 + 1 7 𝑑 3𝑥 + 1

3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥 =1

3

3𝑥 + 1 8

8+ 𝐶

∴ 3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥 =3𝑥 + 1 8

24+ 𝐶.

𝑑 3𝑥 + 1

SOLUÇÃO EXERCÍCIO C)

c) 8𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 −1

𝑥3+ 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥

8𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 −1

𝑥3+ 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥=

= 8𝑥3𝑑𝑥 − 6𝑥2 𝑑𝑥 + 5𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥−3𝑑𝑥 + 𝑥3 2 𝑑𝑥 − 2 𝑑𝑥 =

= 8 𝑥3𝑑𝑥 − 6 𝑥2 𝑑𝑥 + 5 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥−3𝑑𝑥 + 𝑥3 2 𝑑𝑥 − 2 𝑑𝑥 =

= 8𝑥3+1

3+1− 6

𝑥2+1

2+1+ 5

𝑥1+1

1+1−𝑥−3+1

−3+1+𝑥(3 2)+1

3

2+1

− 2𝑥0+1

0+1+ 𝐶 =

= 8𝑥4

4− 6

𝑥3

3+ 5

𝑥2

2−𝑥−2

−2+𝑥5 2

5

2

− 2𝑥 + 𝐶

∴ 8𝑥3 − 62+ 5𝑥 −

1

𝑥3+ 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 2𝑥4 − 2𝑥3 +

5

2𝑥2 +

1

2𝑥2+2𝑥2 𝑥

5− 2𝑥 + 𝐶.

SOLUÇÃO EXERCÍCIO D)

d) 3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥

3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 9𝑥 − 4 𝑑𝑥

= 9𝑥 𝑑𝑥 − 4𝑑𝑥

= 9 𝑥 𝑑𝑥 − 4 𝑑𝑥

= 9𝑥1+1

1 + 1 − 4

𝑥0+1

0 + 1+ 𝐶

∴ 3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =9

2𝑥2 − 4𝑥 + 𝐶.

SOLUÇÃO EXERCÍCIO E)

e) 2𝑥 𝑑𝑥

𝑥2+1

Considere

𝑢 = 𝑥2 + 1

logo

𝑢′ = 2𝑥

então de 4.1 temos que

∴ 2𝑥 𝑑𝑥

𝑥2 + 1= ln 𝑥2 + 1 + 𝐶 .