TOPOGRAFIA IAPUNTES DEL PROFESOR: MILTON RIVERA PIONES DEFINICIN Y OBJETO DE LA TOPOGRAFA La topografa es una ciencia aplicada que se encarga de determinar las posiciones relativas o absolutas de los puntos sobre la Tierra, as como la representacin en un plano de una porcin (limitada) de la superficie terrestre. En otras palabras, la topografa estudia los mtodos y procedimientos para hacer mediciones sobre el terreno y su representacin grfica o analtica a una escala determinada. Ejecuta tambin replanteos sobre el terreno (trazos sobre el terreno) para la realizacin de diversas obras de ingeniera, a partir de las condiciones del proyecto establecidas sobre un plano. Realiza tambin trabajos de deslinde, divisin de tierras, catastro rural y urbano, as como levantamientos y replanteos o trazos en trabajos subterrneos.

Para practicar la topografa es necesario tener conocimientos de matemticas en general, as como un adiestramiento adecuado sobre el manejo de instrumentos para hacer mediciones. Para comprender mejor esta ciencia y para profundizar en ella, es necesario poseer tambin conocimientos de fsica, cosmografa, astronoma, geologa y otras ciencias.

La topografa est en estrecha relacin con dos ciencias en especial: la geodesia y la cartografa. La primera se encarga de determinar la forma y dimensiones de la Tierra y la segunda se encarga de la representacin grfica, sobre una carta o mapa, de una parte de la Tierra o de toda ella.

La diferencia entre la topografa y la geodesia est en los mtodos y procedimientos de medicin y clculo que emplean cada una de estas ciencias, pues la topografa realiza sus trabajos en porciones relativamente pequeas de la superficie terrestre, considerndola como plana, mientras que la geodesia toma en cuenta la curvatura terrestre, pues sus mediciones son sobre extensiones ms grandes: poblados, estados, pases, continentes o la Tierra misma.ASPECTO HISTRICO

En realidad se desconoce el origen de la topografa. Se cree que fue en Egipto donde se hicieron los primeros trabajos topogrficos de acuerdo con referencias por las escenas representadas en muros, tablillas.Los egipcios conocan como ciencia pura lo que despus los griegos bautizaron con el nombre de geometra (medida de la tierra) y su aplicacin en lo que pudiera considerarse como topografa o quiz, mejor dicho etimolgicamente, "topometra". Hace ms de 5000 aos exista la divisin de parcelas con fines fiscales, as como para la reinstalacin de linderos ante las avenidas del Nilo.

Posiblemente, a partir de que el hombre se hizo sedentario y comenz a cultivar la tierra naci la necesidad de hacer mediciones o, como seala el ingeniero gegrafo francs P. Merlin, la topografa "nace al mismo tiempo que la propiedad privada".

Las pruebas fehacientes que ubiquen la realidad histrica de la topografa se han encontrado en forma aislada como lo muestra una tablilla de barro encontrada en Ur, en Mesopotamia, que data de tres siglos antes de nuestra era y los testimonios encontrados en otros territorios, en diversas partes del mundo , pero es de Egipto de donde se han obtenido mayores y mejores referencia

Las mediciones hechas en Egipto por los primeros cadeneros o estira cables, como al parecer los llamaban, eran realizadas con cuerdas anudadas, o con marcas, que correspondan a unidades de longitud convencionales, como el denominado "codo". Cada nudo o marca estaba separada, en la cuerda, por el equivalente de 5 codos y esto daba una longitud aproximada de 2.5 m.

La necesidad de medir regiones ms o menos extensas gest conocimientos empricos, desconectados y rudimentarios que despus evolucionaron. Quiz en un principio el hombre us como patrones de medida las cosas que le eran familiares, particularmente su propio cuerpo; por ejemplo, la altura de un caballo era medida en palmos, es decir, tantas veces la anchura de la mano. La distancia entre la punta del dedo meique y la punta del dedo pulgar, con la mano totalmente extendida, era considerada como medio codo y sta era la distancia entre el codo y la punta de los dedos. El pie fue otra medida y se la consideraba como las tres cuartas partes del codo

La braza o altura del hombre era considerada de cuatro codos, pero todas estas unidades de medida presentaban dificultades, debido a las distintas tallas entre los individuos. Ello hizo en Egipto que se estableciera, hacia el ao 3000 antes de nuestra era, el codo real como patrn de medida convencional. Posiblemente basado en la medida del "codo" de algn faran, su dimensin era de 52.3 centmetros.

Los griegos, herederos de varias culturas (Mesopotamia, Asira, India y especialmente Egipto) buscaron explicaciones racionales del "porqu", y la lgica de las cosas y dieron forma a lo que designaron como geometra (medida de la Tierra) unos 500 aos A.C., aportando ms y mayores conocimientos al patrimonio de la humanidad. Son notables las aportaciones hechas entre otras ciencias, a la geometra por parte de Tales de Mileto, Pitgoras, y Euclides, el ms notable quiz. Todos ellos y posteriormente Arqumedes y Apolonio de Prgamo continuaron con el desarrollo de esta ciencia; se convirtieron en los legisladores de la geometra. Varios siglos permaneci un tanto estancado el avance de la geometra pues ni griegos, romanos, rabes o persas hicieron grandes aportaciones. Hern, Tolomeo y Papo aportan nueva savia ya en los albores de nuestra era. Hern, de quien es suficiente citar que encontr la frmula para la determinacin del rea de un tringulo, en funcin de sus lados: A = " P (P-a) (P-b) (P-c) en la que P es el semiperimetro y es igual a (a + b + c)/2, siendo a, b y c los lados de un tringulo. Hern adems fue una figura destacada y una autoridad entre los topgrafos de su poca. Escribi varias obras dedicadas a procedimientos y mtodos de medicin que fueron utilizados por ingenieros de esa poca, as de servir de base a otros tratados de topografa.

Para citar tambin un solo ejemplo, Tolomeo demostr la inscripcin de cuadrilteros a la circunferencia en donde el producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. Este teorema lo utiliz para el clculo de sus cuerdas. Papo es clebre por el clculo de superficies generadas por una lnea que gira sobre un eje situado en su plano, as como de volmenes producidos por rotacin de superficies alrededor de un eje.

Los romanos, con un sentido ms prctico, desarrollaron notablemente la arquitectura y la ingeniera.. haciendo una mayor aplicacin de los conocimientos heredados de los egipcios y griegos. Trazaron mapas con fines blicos y catastrales, construyeron caminos, ciudades, presas, puentes, canales, etc., debido a la expansin de su imperio; para ello era indispensable el desarrollo de mtodos e instrumental topogrfico. Fueron escritos varios libros que describan estos mtodos, as como la explicacin del uso y construccin de diversos e ingeniosos instrumentos.

Durante la Edad Media los rabes, portadores de toda cultura acumulada hasta entonces, lograron avances sobre todo en la astronoma y la geografa.

Debido a los grandes descubrimientos, se avanz en la elaboracin de mapas y cartas, con lo cual los trabajos de topografa y los geodsicos avanzaron en su tcnica e instrumental.

Con la aparicin del telescopio a fines del siglo XVI y principios del XVII, estas dos disciplinas tuvieron un gran avance, realizndose trabajos espectaculares en lo relativo a la determinacin de la forma y tamao de la Tierra. Nombres como los del abate Picard, Snellius y Casini fueron importantsimos para el conocimiento y desarrollo de la topografa y el establecimiento de los fundamentos de la geodesia y de la cartografa modernas.

El incremento de la poblacin mundial, las necesidades de comunicacin, de vivienda, de desarrollo de la produccin agrcola, la expansin territorial y otros factores hicieron que esta disciplina superara la poca de sus mtodos primitivos hasta ser considerada como un arte.

El aumento del costo de los terrenos y el progreso de la ltima parte del siglo XIX y sobre todo del siglo XX hizo que se inventaran instrumentos y mtodos en forma vertiginosa. En efecto, es bien sabido que, sobre todo en las ltimas dcadas, se han conseguido ms avances que en todos los siglos anteriores en lo relativo a las ciencias y a la tecnologa. As, hoy en da contamos para los trabajos topogrficos con teodolitos de alta precisin, tanto los pticos como los electrnicos, distancimetros electrnicos de fuente luminosa y de fuente electromagntica, colimadores lser, la percepcin remota por medio de fotografas areas, de satlites artificiales, el radar, aplicacin de la tecnologa georreferencial (GPS) y lo que an falta por ver.

ACTIVIDADES Y DIVISIONES PARA SU ESTUDIO

La topografa realiza sus actividades principales en el campo y el gabinete. En el campo se efectan las mediciones y recopilaciones de datos suficientes para dibujar en un plano una figura semejante al terreno que se desea representar. A estas operaciones se les denomina levantamientos topogrficos.Sobre los planos, se hacen proyectos cuyos datos y especificaciones deben replantearse sobre el terreno. A esta operacin se le conoce como trazado.Dentro de las actividades de gabinete se encuentran los mtodos y procedimientos para el clculo y el dibujo.Para su estudio la topografa se divide en: planimetra, altimetra, planimetra y altimetra simultneas, De todo lo dicho se deduce que el objeto de la Topografa es el estudio de los mtodos necesarios para llegar a representar un terreno con todos sus detalles naturales o creados por la mano del hombre, as como el conocimiento y manejo de los instrumentos que se precisan para tal fin.LATITUD Y LONGITUD.La latitud es la distancia de un lugar con relacin al paralelo del Ecuador 0. Como los paralelos estn en grados, la latitud tambin lo est. El polo norte tiene una latitud de 90 norte, mientras el polo sur est en la latitud 90 sur.

La longitud es la distancia que separa un punto determinado del globo del meridiano de Greenwich. Al igual que los meridianos, la longitud tambin se mide en grados, puede ser hasta de 180 este 180 oeste.

SISTEMAS DE MEDIDAS.

Medidas de distancias.-

Corresponden a unidades de medida que sirven para saber cun largo es un objeto.

La unidad que se utiliza internacionalmente para medir longitudes, es el metro (m). De esta unidad provienen otras ms pequeas (llamadas submltiplos) o ms grandes (llamadas mltiplos).

Equivalencias de longitud:A continuacin se indican algunas unidades ms pequeas (submltiplos) del metro, stas son el decmetro (dm) y el centmetro (cm).

1 metro (1m) = 100 centmetros (100 cm)

1 metro = 10 decmetros 10 (dm)

1 decmetro = 10 centmetro

Cuando se quiere transformar una unidad de longitud que va desde el metro al decmetro o al centmetro se debe multiplicar por 10 o por 100, respectivamente.

Ejemplos:

Cantidad metrosmultiplicar por 10 da decmetrosmultiplicar por 100 da centmetros1

10

100

3

30

300

40

400

4.000

89

890

8.900

95

950

9.500

100

1.000

10.000

Tambin se pueden convertir los decmetros a centmetros. Para hacerlo debemos multiplicar por 10 el nmero de decmetros.

Ejemplos.

Cantidad decmetrosmultiplicar por 10 da centmetros10

100

30

300

400

4.000

890

8.900

950

9.500

1.000

10.000

Si se quiere transformar al revs, es decir, desde centmetro a decmetro o a metro, se debe dividir el total de centmetros por 10 y por 100, respectivamente.

Ejemplos:

Cantidad centmetrosdividir por 10 da decmetrosdividir por 100 da metros100

10

1

300

30

3

4.000

400

40

8.900

890

89

9.500

950

95

10.000

1.000

100

Tambin se pueden convertir los decmetros a metros, dividiendo por 10 el nmero de decmetros.

Ejemplos:

Cantidad decmetrosdividir por 10 da metros10

1

30

3

400

40

890

89

950

95

1.000

100

Medidas de superficie.- El metro cuadrado.

El metro cuadrado es el rea de un cuadrado que tiene un metro de lado. Se escribe as: m2.

Mltiplos del metro cuadrado.

Son stos:

1 decmetro cuadrado es igual a 100 metros cuadrados: 1 dam2 = 100 m2 . 1 hectmetro cuadrado es igual a 10000 metros cuadrados: 1 hm2 = 100 00 m2. 1 kilmetro cuadrado es igual a 1000000 metros cuadrados.Se usan medidas agrarias para medir campos. Sus unidades son: 1 hectrea es igual al hm2: ha = hm2 = 10000 m2. 1 rea es igual al dam2: a = dam2 = 100 m2. 1 centirea igual al m2: ca = m2 = 1 m2.

Las unidades de superficie aumentan y disminuyen de 100 en 100. La unidad superior vale 100 ms que la inferior.Unidades de volumen.-La medida fundamental para medir volmenes es el metro cbico.

Otras unidades de volmenes son:

kilmetro cbico km31 000 000 000 m3

hectmetro cbicohm3 1 000 000m3

decmetro cbico dam3 1 000 m3

Metro cbicom3 1 m3

decmetro cbicodm30.001 m3

centmetro cbicocm3 0.000001 m3

milmetro cbicomm3 0.000000001 m3

Observamos que desde los submltiplos, en la parte inferior, hasta los mltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 1000 ms que la anterior. MEDIDAS ANGULARES.-

SISTEMA SEXAGESIMAL: Resulta de dividir el ngulo recto en noventa partes iguales, constituyendo cada parte, un grado sexagesimal. Por tanto, un crculo se divide en 360 partes iguales (4 ngulos rectos que tiene el crculo x 90 partes por cada ngulo recto = 360 partes), o lo que es lo mismo, tiene 360 grados. Este sistema de medidas de unidades angulares es el mas utilizado por todos nosotros y muchos an recordamos cuando en el colegio estudibamos trigonometra. Los submltiplos del grado sexagesimal (), el minuto sexagesimal () y el segundo sexagesimal ().

1 = 60 = 3600

1= 60

La notacin en este sistema es 48 12 36

SISTEMA CENTESIMAL: Resulta de dividir el ngulo recto en cien partes iguales, constituyendo cada parte un grado centesimal. Por tanto, un circulo se divide en 400 partes iguales (4 ngulos rectos que tiene el crculo x 100 partes por cada ngulo recto = 400 partes), o lo que es lo mismo, tiene 400 grados. Los submltiplos del grado centesimal (g), el minuto centesimal (c) y el segundo centesimal (cc).

1g = 100c = 10000cc

1c = 100cc

La notacin en este sistema es 177,3542gTEORIA DE ERRORES

Todas las medidas o cantidades observadas, contienen errores de magnitud desconocida, debidos a una variedad de causas y por tanto, una medida nunca es exacta, pero s debe tratarse de mantener las mediciones dentro de ciertos lmites de precisin, de acuerdo a la clase y finalidad de los trabajos a ejecutar-

La mejor forma de tratar un material en observacin es evidenciando y agrupando los errores, de manera que se pueda establecer un juicio sobre la precisin alcanzada, para luego por diversos mtodos de compensaciones, distribuirlos de la mejor forma.

Al hablar de mediciones, es conveniente definir algunos trminos que intervienen en ella, como:

Exactitud: Es el grado de conformidad con un patrn o modelo.

Precisin: Es el grado de perfeccin con que se realiza una operacin o se establece un resultado.

Tolerancia: Es un intervalo numrico, determinado a partir de la categora de un trabajo, escala, mtodos e instrumental utilizado.

Los errores pueden definirse en forma terica, como la discrepancia entre el valor exacto y el valor medio de una medida.

Como principales causas del error, pueden argumentarse las siguientes:

a) Limitacin de los sentidos, La visin humana tiene un lmite de percepcin del cual no se puede pasar, toda medicin realizada con intervencin de la vista, no ser nada ms que aproximada.

b) Instrumentales, los propios aparatos topogrficos han sido construdos con algunas limitaciones especficas, asi un instrumento que trabaja bajo condiciones distintas que lo diseado, causar errores.

c) Ambientales, las condiciones atmosfricas hacen cambiar las diferentes lecturas, ya sea por el viento, presin, humedad, temperatura, refraccin, etc.

TIPOS DE ERRORES.-

Se denomina error a la diferencia entre un valor obtenido y el real.

a) Sistemticos. Son aquellos que mientras que las condiciones se mantengan permanezcan invariables, siempre tendr la misma magnitud y el mismo signo. Si las condiciones no cambian durante una serie de medidas, el error recibe el nombre de sistemtico constante, en caso de que las condiciones cambien durante el proceso de medicin, el error ser sistemtico variable.

b) Accidental. Este tipo de error proviene de una combinacin de causas que no alcanza el observador a controlar. Para cada observacin la magnitud y signo del error ser producto del azar y no puede determinarse como ocurre con el sistemtico.

c) Groseros o equivocaciones. No son admisibles y por lo tanto se descartan.

Errores Sistemticos

Pendiente

Graduacin

Temperatura

Tensin

Catenaria

Errores Accidentales

Pendiente

Temperatura

Tensin

Catenaria

Alineacin

Verticalidad del marcado

Errores Groseros

Confundir marcas en el terreno

Error de lectura

Error de anotacin

Errores aritmticos al sumar distancias parciales

Ntese que los errores de pendiente, temperatura, tensin y catenaria aparecen tanto en los errores sistemticos como en los accidentales. Esto se debe a que, aunque sean corregidos sistemticamente, existe la posibilidad de error en la determinacin de los parmetros de correccin; por ejemplo, en la medicin de la pendiente o de la temperatura.

Correccin de Errores Sistemticos.

Correccin por Pendiente

Como se mencion previamente, las distancias topogrficas son distancias proyectadas sobre el plano horizontal.

En el proceso de medicin, dependiendo del tipo de terreno y de la longitudinal del tramo a medir, la distancia puede ser medida directamente en su proyeccin horizontal o inclinada

paralela a la superficie del terreno tal y como se muestra en la figura .

Para medir directamente la distancia horizontal, es necesario la utilizacin de un nivel de mano para chequear la horizontalidad de la cinta.

En el caso de que se mida la distancia inclinada, es necesario medir la inclinacin de la cinta o la distancia vertical (desnivel) entre los puntos para calcular la distancia horizontal.

Segn la figura., la distancia horizontal puede ser calculada:

DH = Di cosDH = Di senDH = Di Dven donde:

DH = distancia horizontal

Di = distancia inclinada

= ngulo de inclinacin de la cinta

= ngulo cenital

Dv = distancia vertical o desnivel

Ejemplo 1

Calcular la distancia horizontal entre los puntos A y B, conociendo:

= 320

Di = 28,427 m

Solucin:

DH = 28,427 x cos(320) = 28,379 m

DH= 28,379 m

Ejemplo 2

Para la determinacin de la distancia horizontal entre dos puntos, se midi una distancia inclinada Di = 24,871 m y con la ayuda de un eclmetro se determin que la pendiente de la cinta en el momento de la operacin fue del 3,4%. Calcule la distancia horizontal.

Solucin:

P= tg = 3,4/100 =1 56 50

DH= 24,871 x cos( ) = 24,857m

Ejemplo 3

Con los datos de la figura, calcule la distancia horizontal entre A y B

Solucin:

DH = 47,5312 2,8212 = 47,447

DH = 47,447 m

Lgicamente podra pensarse que lo descrito anteriormente es simplemente el proceso de convertir una distancia inclinada a una distancia horizontal; sin embargo, sera interesante preguntarse cul podra ser la magnitud del error en la determinacin de la distancia horizontal cuando el ngulo de inclinacin es medido con instrumentos de poca precisin (como el nivel de mano)

Para responder la interrogante planteada, supondremos operaciones de medicin con cintas inclinadas 2, 4, 6, 8 y 10, con errores de 10 minutos en la lectura.

Los clculos realizados, resumidos en la tabla , muestran que para mantenernos dentro de las precisiones requeridas al hacer mediciones con el empleo del nivel , el ngulo de inclinacin de la cinta no debe superar los cuatro grados.

Tabla: Error Relativo para Diferentes Angulos de Inclinacin con apreciacin de Ap10

2 4 6 8 10

Er1/100001/50001/30001/25001/2000

Correccin por Graduacin

Por diferentes razones, como por ejemplo la calidad de la cinta, errores de graduacin o separacin entre marcas, o simplemente variacin de la longitud original de la cinta debido al uso o reparaciones efectuadas a la cinta, la longitud original o nominal de la cinta no coincide con la longitud actual de la misma, generando por lo tanto errores en la medicin de distancias.

Para corregir estos errores, es necesario que la cinta sea comparada con una distancia patrn, medida con precisin sobre una base de longitud igual a la longitud de la cinta y bajo las condiciones normales especificadas por el fabricante.

La longitud actual de cinta puede ser mayor o menor que el valor nominal de la misma, por lo que en la operacin de medir una distancia en el campo la correccin puede ser positiva o

negativa respectivamente.

En operaciones de replanteo con cintas no estndar, las correcciones son de signo contrario a las de medicin.

La correccin por graduacin es lineal y se calcula por medio de la ecuacin:

Cg= ((La-Ln)/Ln)xD

Dc= D+/- Cg

En donde:

Cg = correccin por graduacin

La = longitud actual de la cinta

Ln = longitud nominal de la cinta

D = distancia medida

Dc = distancia corregida

Ejemplo 1:

En una operacin de campo se midi una distancia de 192,354 m con una cinta metlica de 30 m.

La cinta fue previamente comparada con una base, arrojando una longitud real de 30,005 m.

Calcule la correccin por graduacin (Cg) y distancia corregida.

Solucin:

Cg= ((30,005-30,000)/30,000)x192,354

Cg=+=0,032 m.

Dc= 192,354+0,032

Dc= 192,386 m.

Ejemplo 2:

Suponga que se requiere replantear una distancia de 27,854 m con la misma cinta del ejemplo 1.

Calcule la correccin por graduacin y la lectura en la cinta para eliminar el error de graduacin.

Solucin:

Cg=((30,005-30,000)/30,000)x27,854

Cg= +0,005 m.

Como se trata de una operacin de replanteo con una cinta con longitud mayor que la nominal, la coreccin debe ser negativa.

Dc = 27,854 0,005 = 27,849 m

Por lo tanto, para colocar la marca sobre el terreno debemos medir una distancia de 27,849 m.

Correccin por Temperatura

Recordemos, de los cursos de fsica, que los materiales al ser sometidos a cambios de temperatura, experimentan un cambio en sus dimensiones.

Se define como dilatacin lineal a la variacin de longitud que experimenta un cuerpo al ser sometido a una variacin de temperatura.

La variacin lineal es directamente proporcional a la longitud inicial y a la variacin de la temperatura.

l = . L . t Donde:

l = variacin lineal (correccin por temperatura)

L = longitud de la medida

t = variacin de la temperatura en C

= coeficiente de dilatacin lineal (variacin de la longitud por unidad de longitud para un t igual a un grado)

Para el acero = 0,000012 (1/C)

Como sabemos, las cintas de acero vienen normalizadas por los fabricantes para medir la longitud nominal a la temperatura de calibracin, generalmente de 20C.

Por lo general, en la medicin de distancias la temperatura a la cual se realiza la medicin es distinta a la temperatura de calibracin, siendo necesario hacer correcciones por temperatura.

La ecuacin puede ser escrita de la siguiente manera:

Ct = . (t tc). L Siendo:

Ct = correccin por temperatura en m

t = temperatura de la cinta en el momento de la medicin

tc = temperatura de calibracin en C

Ejemplo 1:

Cul debe ser la correccin por temperatura que debe aplicarse a una distancia de 47,825 m, si la temperatura de la cinta en el momento de la medicin fue de 29C?.

Calcule la distancia real.

Solucin:

Ct = 0,000012 x (29 20) x 47,825 = + 0,005 m

Ct = + 0,005 m

Dr = 47,825 + 0,005 = 47,830 m

Ejemplo 2:

En las especificaciones para el replanteo de un punto en una obra se indica que se debe medir una distancia de 40,00 m. Si la temperatura de la cinta durante la operacin es de 27C, calcule la correccin que debe aplicarse a la medida a replantear.

Solucin:

Ct = 1,2 x 10-5 (27-20) 40,00 = + 0,003

Ct = + 0,003 m

Como se trata de una operacin de replanteo, inversa a la operacin de medida, debemos cambiar el signo a la correccin por temperatura.

Dr = 40,000 0,003 = 39,997 m

Dr = 39,997 m

Correccin por Tensin

Cuando una cinta de acero es sometida a una tensin distinta a la tensin de calibracin sta se alarga o acorta segn la tensin sea mayor o menor a la tensin de calibracin.

El cambio de longitud de una cinta sometida a tensiones distintas a la tensin de calibracin se puede calcular mediante la aplicacin de la ley de Hooke, expresada por la siguiente ecuacin:

CT= ((T-Tc)xL)/(AxE)

En donde:

T = tensin aplicada a la cinta al momento de la medicin, en kg

Tc = tensin de calibracin en kg

L = longitud de la medida en m

A = rea de la seccin transversal en cm2

E = mdulo de elasticidad de Young. Para el acero E = 2100000 kg/cm2

Ejemplo 1:

Cul debe ser la correccin por tensin que debe aplicarse a una medida de longitud L = 43,786 m, tomada con una cinta calibrada para una tensin Tc = 4,5 kg, de seccin transversal A = 0,036 m2 si al momento de la medida se aplic una T = 9 kg?.

Solucin:

CT= ((9-4,5)x43,786)/(0,036x2100000)

CT= 0,003 m.

Luego la distancia real ser

DR = 43,786 + 0,003 = 43,789 m

DR = 43,789 m

El error por tensin slo se tiene en cuenta en mediciones de alta precisin ya que adems de ser de poca magnitud es difcil aplicar tensiones mucho mayores que la tensin de calibracin.

Correccin por Catenaria

Una cinta sostenida solamente en sus extremos describe, debido a su propio peso, una curva o catenaria que introduce un error positivo en la medicin de la distancia.

Observando la figura podemos darnos cuenta que medir una distancia con una cinta apoyada solamente en sus extremos, dar un valor errneo mayor que al medirla con una cinta apoyada en toda su extensin, debido a que la longitud de la cuerda es menor que la longitud del arco.

La correccin por catenaria se calcula mediante la siguiente ecuacin:

Cc=-(w2xL3)/(24T2)

en donde:

Cc = correccin por catenaria

w = peso de la cinta por unidad de longitud en kg/m

L = longitud de la medida en m

T = tensin aplicada a la cinta en el momento de la medida en Kg.

Algunas personas prefieren calcular la tensin que debe aplicarse en el momento de tomar la medida para compensar los errores de tensin y catenaria. Esta tensin se conoce como tensin normal (Tn).

Ejemplo 1:

Calcular la tensin normal que hay que aplicar a una cinta de acero para medir una distancia L= 46,538 m, si la tensin de calibracin es Tc = 4,5 kg, w = 0,015 kg/ml, A = 0,020 cm2

Solucin

Como por definicin la tensin normal Tn es la tensin que hay que aplicar a la cinta en el momento de la medida para que las correcciones por tensin y catenaria se compensen, tenemos:

CT + Cc=0

(((T-Tc)xL)/(AxE))-((w2xL3)/(24xT2))

haciendo T = Tn y despejando

Tn=wxLx((AxE)/(24x(Tn-Tc)))

Sustituyendo valores y resolviendo por iteraciones, tenemos que:

Tn 11,245 kg

Errores Accidentales

Error de Alineacin

Cuando la longitud de la distancia a medir es mayor que la longitud de la cinta mtrica disponible, se hace necesario trazar en el campo un alineamiento con tramos parciales menores o iguales a la longitud de la cinta. Si este alineamiento es hecho a ojo, slo con la ayuda de jalones, se puede introducir un error en el alineamiento que afecte el valor final de la medida.

La figura representa el error de alineamiento en la medicin de la distancia AB en donde d1, d2 y d3 son las distancias parciales medidas y e1, e2 representan el desplazamiento de los puntos 1 y 2.

La distancia medida entre A y B ser DAB = d1 + d2 + d3La distancia real entre AB ser DAB = DA1 + D12 + D2BLuego, el error de alineamiento EA = DAB - DAB

Como se puede observar, el error de alineamiento siempre ser positivo por lo que la correccin debe ser negativa.

Ejemplo :

Supongamos que: d1 = d2 = 30 m e1 = 18 cm d3 = 26,542 m e2 = 15 cm

Solucin:

DAB = 30 + 30 + 26,542 m

por Pitgoras:

DA-1=(d12-e12)

DA-1=(302-0,182)

DA-1=29,999 m.

D1-2=(d2-(e1+e2)2)

D1-2=(302-0,332)

D1-2=29,998 m.

D2-B=(d32-e22)

D2-B=(26,5422-0,152)

D2-B=26,542 m.

DAB=86,539 m.

EA=0,003 m.

Obsrvese que el error por alineamiento es pequeo, y en operaciones de alta precisin se puede evitar trazando los alineamientos con la ayuda de un teodolito.

Error de Verticalidad

Es el error que se comete al no proyectar perpendicularmente el punto del terreno sobre la cinta en posicin horizontal.

Como se puede observar en la figura a y b , el error de verticalidad puede ser positivo o negativo, y dependiendo de la inclinacin de la seal y de la altura (h) a la cual se realiza la medida, la magnitud del error puede ser apreciable.

El error de verticalidad se elimina mediante el auxilio de una plomada y de un jaln como se muestra en la figura c.

Errores Groseros

Los errores groseros o equivocaciones son errores que se cometen por distraccin del operador o por otras causas y son totalmente impredecibles.

Las equivocaciones ms comunes en la medicin de distancias son las siguientes:

Identificacin errnea de un punto

Error de lectura por transposicin de nmeros como por ejemplo, leer 34,43 por 43,34.

Error de anotacin por transposicin de nmeros. Similar al anterior pero al momento de anotar.

Errores aritmticos al sumar mentalmente distancias en el campo.

La manera de minimizar la ocurrencia de los errores es estableciendo una rutina para el proceso de medicin, como por ejemplo, la medida de la distancia en ambos sentidos. Errores AccidentalesSon aquellos errores inevitables que el operador no puede detectar ni con equipos ni con mtodos determinados.

Los errores accidentales estn presentes en todas las mediciones, sus causas son mltiples y no conocidas por lo que obedecen a las leyes del azar y deben ser tratados de acuerdo con las leyes de probabilidad.

El estudio de los errores accidentales nos permite determinar la bondad de las mediciones, seleccionar el mtodo requerido para lograr una mayor precisin y establecer las tolerancias relativas.

Cuantificacin de los errores.-

Valor probable.-

El valor ms probable de una cantidad es un termino matemtico, que se usa para designar aquel valor calculado que, de acuerdo a los principios de los mnimos cuadrados, tenga ms probabilidad de ser correcto que cualquier otro.

Para una misma cantidad.- Para una serie de medidas de la misma cantidad hecha en idnticas condiciones, el valor ms probable es el promedio de las medidas o media aritmtica.

Ejemplo: Despus que se han eliminado todos los errores sistemticos, las diferentes medidas de la longitud de una lnea son: 1012,35 m., 1012,32 m., 1012,33 m., 1012,30 m., 1012,36 m., 1012,38 m. El valor ms probable es el promedio de las medidas : = 1012,34 m.

Para cantidades relacionadas.- Para las medidas relacionadas, tomadas bajo condiciones idnticas, la suma de las cuales debera ser igual a una cantidad matemticamente exacta, los valores ms probables sern los valores observados corregidos por una parte igual al error total. La correccin se hace de acuerdo al nmero de medidas realizadas y no respecto a la magnitud de cada medida.

Ejemplo: Los ngulos horizontales planos medidos alrededor de un punto, siempre en el sentido de los punteros del reloj, tienen los siguientes valores:

130 15 20

142 37 30

87 07 40

La suma de estos tres ngulos es 360 00 30 y la suma real debiera ser 360 , por lo tanto hay un excedente de 30 que debern repartirse entre los tres angulos, por que cada valor original deber quitarsele 10 a cada uno.

Por lo tanto, los valores ms probables son:

130 15 10

142 37 20

87 07 30

Error probable.-

El error probable es una cantidad ms o menos dentro de cuyos lmites puede caer o no el error accidental real.

El promedio aritmtico representa al valor ms probable en una serie de medidas, por lo que se deber comparar con cada medida y as obtener un valor o residuo.

Para obtener el error probable de una serie de medidas, se aplica la siguiente formula:

E = 0,6745 * (v2/n-1)

v2 = ( xi - ) 2

n= nmero de mediciones

Ejemplo: Determinar el error probable de las siguientes series de medidas:

Medidas (xi) v v2

2467

2465

0,002 0,000004

2460

2465

0,005

0,000025

2469

2465

0,004

0,000016

2465

2465

0,000

0,000000

2471

2465

0,006

0,000036

2461

2465

0,004

0,000016

2463

2465

0,002

0,000004

2466

2465

0,001

0,000001

2460

2465

0,005

0,000025

2468

2465

0,003

0,000009

v2= 0,000136

E=0,0026

Tolerancia mxima permitida.-

Es la relacin entre los errores que se cometen y aquellos que se encuentran dentro de los lmites permitidos, esto permite determinar el nivel de cada medida.

De acuerdo al registro anterior, podemos calcular la tolerancia mxima:

T = / E

T = 94807.692

Esto quiere decir que la precisin con que se trabaj es 1:94807.692

MEDICIN DE DISTANCIAS.-La medicin de la distancia entre dos puntos constituye una operacin comn en todos los trabajos de topografa. El mtodo y los instrumentos seleccionados en la medicin de distancias depender de la importancia y precisin requeridas.

En estudios de reconocimientos previos, en algunos trabajos geolgicos, de agricultura, en localizacin de puntos o marcas sobre el terreno para operaciones de replanteo, etc., es comn medir la distancia con telmetro o por conteo de pasos.

En el proceso de control de demarcaciones sobre el pavimento, determinacin de la longitud de una va construida, etc., es comn el uso del odmetro. En levantamientos que requieran mayor precisin, se emplean cintas de acero y distancimetros electrnicos. En algunos casos especiales, donde se requiere de cierta precisin y rapidez, se utilizan el teodolito y las miras verticales u horizontales como mtodos indirectos para la medida de distancias.

Distancia Topogrfica

Todos los levantamientos topogrficos son representados a escala sobre el plano horizontal, por lo que cuando se mide una distancia entre dos puntos sobre la superficie terrestre, sta debe ser en proyeccin horizontal.

Si como sabemos, la Tierra puede ser considerada como una esfera, hasta qu punto podemos admitir que la distancia proyectada sobre el plano horizontal es, sin apreciable error, igual a la distancia real? en otras palabras, hasta qu punto, la Tierra puede ser considerada plana?.

Para resolver el problema planteado, supongamos, con la ayuda de la figura , que conocemos la distancia real entre los puntos A y B ; la distancia en proyeccin sobre el plano horizontal tangente en el punto A es la distancia AB; la diferencia entre la distancia en proyeccin ( AB) y la distancia real AB es el error E que se comete al considerar la Tierra como plana.

De la figura tenemos:

AB' = R * tan

en donde:

R = radio de la Tierra = 6.367 km y = (180/Pi) * (AB/R)

E= AB ABTabla para los distintos valores de AB

AB(m) AB(m) E(m) Er

200000 10 4820000,06580,06581/300000

250000 13 3025000,12850,12851/200000

300000 16 1230000,22200,22201/135000

350000 18 5435000,35250,35251/100000

400000 21 3840000,52630,52631/76000

Considerando que los modernos instrumentos para la medicin de distancias nos pueden dar precisiones de hasta 5 mm/km, podramos tomar 25 km como lmite del campo topogrfico para la medicin de distancias, ya que el error relativo que se comete al considerar al Tierra como plana, es aproximadamente igual a la mxima precisin obtenida.

En la medicin de distancias con cinta mtrica, en donde la mxima precisin que se puede obtener el alrededor de 1/10.000, se podra aumentar el lmite de campo topogrfico hasta 30 km, ya que como veremos ms adelante, en el captulo correspondiente a mediciones angulares, el lmite del campo topogrfico angular es de 30 km.

Medicin de Distancias con Odmetro

El odmetro o rueda de medicin , es una rueda que al girar sobre la superficie del terreno, convierte el nmero de revoluciones obtenidas en distancia inclinada , la cual puede ser leda directamente sobre un contador o pantalla digital.

A pesar de ser un instrumento rpido y fcil de utilizar, su precisin es limitada, por lo que bsicamente se utiliza en el chequeo de distancias realizadas por otros mtodos, reconocimientos previos, inventarios viales etc.

La mxima precisin relativa que puede lograrse en la medicin de distancias con el odmetro es 1:200 sobre superficies lisas. Odmetro Medicin de Distancias con Telmetro

El telmetro , es un instrumento ptico que mide distancias inclinadas por simple colimacin, sin necesidad de colocar miras ni seales en el punto al cual se desea determinar la distancia.

Debido a su limitada precisin, su uso queda prcticamente restringido a operaciones de exploracin y reconocimiento, estudios de rutas, etc., siendo su mayor aplicacin en operaciones militares.

Telmetros SokkaiMedicin de Distancias con Cintas de Acero

Como se vio en captulo correspondiente a instrumentos simples, la precisin de la medicin de distancias con cintas mtricas depende de las condiciones de calibracin especificadas por el fabricante.

Difcilmente en campo podemos obtener las condiciones de calibracin; adems, en el proceso de medicin se introducen una serie de errores tanto sistemticos como aleatorios que son inevitables, pero que podemos corregir o reducir al mnimo mediante el empleo de tcnicas y equipos adecuados.

Medicin ptica de Distancias.

Con Visual Horizontal.En el proceso de levantamientos topogrficos de detalles en donde los puntos de relleno a levantar no requieren de una gran precisin, se utiliza, debido a su sencillez y rapidez, el mtodo ptico de medicin de distancias.

En la figura a se representa en forma idealizada el sistema ptico de un telescopio con sistema de enfoque interno.

En el retculo del telescopio vienen incorporados un par de hilos distanciomtricos horizontales, equidistantes del hilo horizontal central, tal y como se muestra en la figura b.

De la figura a, podemos obtener, por relacin de tringulos

D=(f/h)xHsiendo:

D = distancia entre el punto de estacin E y M el punto de mira

f = distancia focal (constante)

h = separacin entre el retculo superior y el inferior constante

H = distancia de mira interceptada por los retculos

H = Ls Li

La relacin f/h es la constante distanciomtrica K, con un valor generalmente de 100 para facilitar el clculo de la distancia.

K=(f/h)= (1/2xtg(w/2))x100

SustituyendoD = KH D = 100.H

Reemplazando el valor de H

D = 100 (ls-li) Estas ecuaciones se utilizan en el clculo de distancias con telescopios con sistema de enfoque interno y eje de colimacin horizontal.

Para telescopios ms antiguos, en donde el foco del objetivo no coincide con el centro del telescopio, es necesario tomar en cuenta la distancia constante entre el foco y el centro del instrumento, conocida como constante aditiva.

Con Visual Inclinada

En terrenos con pendiente, se hace necesario inclinar el telescopio un ngulo con respecto a la horizontal.

Calculando la distancia horizontal a partir de la figura , se tiene:D=ACxcos(-w/2)Del tringulo ABC:(AC)/sen(90-(+(w/2))=H/senw

AC=(H/senw)xcos(+w/2)

D=(H/senwxcos(+w/2)xcos(-w/2))D=Hx(cos2 /(2xtgw/2)-(sen xtgw/2)/2

K=0,5xtgw/2

D=KH xcos2-(H/4K)xsen2 La ecuacin nos da la distancia horizontal tomada con un telescopio inclinado un ngulo con respecto a la horizontal.

Analizando el ltimo trmino de la ecuacin para valores mximos de H y , y para K=100.

Hmax = 4 m (altura de la mira vertical)

K = 100 para la mayora de los instrumentos modernos

max = 45

tenemos:(4/(4x100))xsen2 45=0,005 m.valor despreciable que nos permite simplificar la ecuacinD = KHcos2 D = 100(ls li).cos2Para teodolitos que miden ngulos cenitales (), el valor de la distancia horizontal se calcula mediante la ecuacin.

D = KHsen2

D = 100(ls li).sen2 Ejemplo: Con los datos de la figura:

Determine la diferencia para calcular la distancia y calcule el error relativo.K=100 H=(3,853-1,432)=2,421

D=100x2,421xcos2(33 52 39) ((2,421/(4x100))xsen2(33 52 30))

D=166,883 m.

D=100x2,421xcos2(3352 30)

D=166,885 m.

Er= 1/(166,883/0,002)

Er=1/83500

Errores en la Determinacin ptica de DistanciasAdems del error por simplificacin de la ecuacin , en la determinacin ptica de distancias con mira vertical podemos observar los siguientes errores: Error de apreciacin en la lectura de la tercera cifra decimal a la mira vertical.

Salvo en mediciones de distancias con mira vertical de invar y micrmetro ptico, en la lectura a una mira vertical la tercera cifra decimal se determina a ojo con una apreciacin de hasta 1 mm que al ser multiplicado por la constante K introducir un error de 10 cm en la determinacin de la distancia.

Error de graduacin de la mira.

Error por temperatura.

Error inducido por las articulaciones para el pliegue de las miras.

Error por refraccin de la visual.

Error por la evaporacin del aire. Se detecta en la parte inferior de la mira por efecto de la humedad y el calor.

Error instrumental por inexactitud en la determinacin de K. Este error se considera despreciable debido a la precisin de las tcnicas de construccin de los instrumentos.

Error de inclinacin de la mira.

La mayora de los errores descritos se pueden reducir al mnimo siguiendo las reglas y procedimientos que se indican:

Mantener el ngulo de inclinacin de la visual lo ms horizontal posible.

Utilizar nivel esfrico de mano para la verticalizacin de la mira.

Tomar las lecturas a la mira a una altura del suelo donde no se afecten por el movimiento del aire por evaporacin.

No hacer lecturas en horas de mucho calor.

No tomar lecturas a distancias mayores de 100 a 120 m.

Ajustar peridicamente las articulaciones de la mira.

Medicin de Distancias con Distancimetros Electrnicos.

Como se mencion anteriormente, correspondiente a instrumentos topogrficos, los distancimetros electrnicos utilizan microondas u ondas luminosas para la determinacin de distancias.

Los distancimetros de microondas (ondas de radio) requieren en ambos extremos de emisores y receptores de onda, mientras que los distancimetros de ondas luminosas (rayos lser y rayos infrarrojos) requieren de un emisor en un extremo y un refractor o prisma en el extremo opuesto.

Los distancimetros electrnicos determinan la distancia en trminos del nmero de ondas, moduladas con frecuencia y longitud de onda conocida, que caben entre el emisor y el receptor en ambos sentidos.

Con la ayuda de las figuras describiremos los parmetros involucrados en la medicin electrnica de distancias.

Figura : Representacin de una onda luminosa

= V/f siendo:

= longitud de onda en m

V = velocidad en km/s

f = frecuencia o tiempo en completar una longitud de onda, en hertz (1 ciclo/s)

Como por lo general, el nmero de ondas entre el emisor y el receptor no es un nmero entero, la distancia D vendr dada por:

2 +

D = (n +)/2

donde:

D = distancia a medir, en m

n = nmero entero de ondas entre el emisor y el receptor medido en ambos sentidos

= longitud parcial de onda, o diferencia de fase, en m.

Figura : Medicin de distancias con distancimetro electrnico

A=Estacin del distancimetro.M=Estacin del prisma.

E=Plano interno de referencia del distancimetro, para la comparacin de fases, entre la onda trasmitida y la onda recibida.

R=Plano reflector de diferencia para la onda emitida por el distancimetro.

e=Excentricidad del plano de referencia, constante aditiva.

r=Excentricidad del plano del prisma refrector, constante aditiva.

L=Longitud de la onda modulada.

Desface de la onda modulada ()La diferencia de fase se determina midiendo el tiempo de demora de fase necesario para hacer coincidir exactamente las ondas en ambos recorridos.

Correcciones Atmosfricas

La velocidad de la onda (V) vara de acuerdo a las condiciones atmosfricas segn la siguiente ecuacin:

V = V0/nen donde:

V = velocidad de la luz en condiciones atmosfricas prevalecientes, en km/s

V0 = velocidad de la luz en el vaco (V0 = 299.792,5 km/s)

n = ndice de refraccin (n > 1)

Los valores del ndice de refraccin para condiciones normales (0C, 760 mmHg y 0,03 CO2) y para condiciones prevalecientes pueden ser calculados utilizando las ecuaciones de Barrel y Sears.Ns=l+(287,604+(4,8864/ 2)+(0,068/ 4)x10-6en donde:

ns = ndice de refraccin para condiciones normales

= longitud de onda de la onda luminosa transportadora en micrometros (m) y para condiciones prevalecientes, el valor del ndice de refraccin viene dado por la ecuacin:n=l+(0,35947x(ns-1)xp)/(273,2+t))siendo:

p = presin atmosfrica, en mmHg

t = temperatura, en C

En distancimetros de microondas, se debe tomar en cuenta el efecto de la presin de vapor (e).

(n-1)x10-6=(103,49/(273,2+t))x(p-e)+(86,26/(273,2+t))x(l+(5,748/(273,2+t))

Los distancimetros electrnicos modernos, con microprocesadores incorporados, automticamente calculan las correcciones atmosfricas tomando en cuenta la presin atmosfrica y la temperatura.

MEDIDAS DE ANGULOS Y DIRECCIONES

La direccin de una lnea definida por dos puntos, se determina por una medicin angular horizontal, entre la lnea y alguna otra de referencia. As el ngulo entre A y B es el ngulo horizontal AOB.

A OBLas direcciones relativas que unen puntos de un levantamiento, pueden ser materializadas en terreno o ser puramente imaginarias y se llama MERIDIANO.

N

OADe acuerdo a esto y teniendo en cuenta el origen del Meridiano, este puede ser:

Meridiano Supuesto, cuyo origen es tomado arbitrariamente.

Meridiano Magntico, su direccin es determinada por la posicin de la aguja magntica de la brjula.

Meridiano Geogrfico, determinado por observaciones astronmicas(observaciones al sol o a las estrellas).

Meridiano Cartogrfico, determinado por las coordenadas UTM (Universal Transversal de Mercator)

RUMBO

La direccin de una lnea con respecto a un meridiano dado, puede definirse por el ngulo agudo que la lnea forma con el meridiano.

Caractersticas principales:

a) Su valor angular mximo es un recto (90 o 100g)

b) Pueden medirse desde el Norte o desde el Sur.

c) El valor angular va flanqueado por dos letras.

Rumbo OA= N-30-E

Rumbo OB= S -30-E

Rumbo OC= S -60-W

Rumbo OD= N-45-W

AZIMUT

El azimut de una lnea es su direccin dada por el ngulo entre el meridiano (Norte) y la lnea siempre medida en el sentido de los punteros del reloj.Caractersticas principales:

a) Se miden generalmente desde el Norte, aunque algunas observaciones pueden orientarlas hacia el Sur.

b) Su valor mximo es de 4 rectos (360 o 400g)

c) Se miden siempre hacia la derecha y solamente poseen valor angular.

Azimut OA= 30Azimut OB= 150Azimut OC= 240Azimut OD= 315

Ejercicio de transformar Rumbo a Azimut o viceversa.

a) N-34,5643g-W = 365,4357b) 118,5555= S- 81,4445-E

LA BRJULA.-Generalmente un instrumento de mano que se utiliza fundamentalmente en la determinacin del norte magntico, direcciones y ngulos horizontales. Su aplicacin es frecuente en diversas ramas de la ingeniera. Se emplea en reconocimientos preliminares para el trazado de carreteras, levantamientos topogrficos, elaboracin de mapas geolgicos, etc.

La figura muestra el corte esquemtico de una brjula. La brjula consiste de una aguja magntica [A] que gira sobre un pivote agudo de acero duro [B] apoyado sobre un soporte cnico ubicado en el centro de la aguja. La aguja magntica esta ubicada dentro de una caja [C], la cual, para medir el rumbo, contiene un circulo graduado [D] generalmente dividido en cuadrantes de 0 a 90 , marcando los cuatro puntos cardinales; teniendo en cuenta que debido al movimiento aparente de la aguja los puntos Este y Oeste estn intercambiados.

Algunas brjulas llamadas brjulas azimutales, tienen el circulo horizontal dividido en 360 .

Coincidiendo con la alineacin norte sur poseen un dispositivo de colimacin.A objeto de contrarrestar los efectos de la inclinacin magntica, la aguja posee un pequeo contrapeso de bronce [E] y su ubicacin depende de la latitud del lugar. En zonas localizadas al norte del ecuador, el contrapeso estar ubicada en el lado sur de la aguja, y en zonas localizadas al sur del ecuador el contrapeso estar ubicado en el lado norte de la aguja.

Para proteger el pivote sobre el cual gira la aguja, las brjulas poseen un dispositivo elevador [F] que separa la aguja del pivote cuando las brjulas no estn siendo utilizadas. En el interior se ubica un pequeo nivel esfrico de burbuja [G]. Un vidrio ubicado en la parte superior de la caja [H] sirve para proteger la aguja, el circulo y el nivel esfrico. Para hacer coincidir el eje de rotacin de la aguja con la vertical del vrtice donde se esta efectuando la medida, algunas brjulas se utilizan con plomada [I] y otras se apoyan sobre un bastn de madera.

A fin de corregir la declinacin magntica del lugar, algunas brjulas poseen un arco de declinacin [J] graduado en grados, cuyo cero coincide con la alineacin norte, de manera que conociendo la declinacin del lugar, mediante un dispositivo especial, se puede hacer girar el circulo horizontal hasta hacer coincidir la lectura con el valor de la declinacin del lugar; de esta manera, el rumbo medido con la brjula es el rumbo real.

METODOS DE LEVANTAMIENTOLa determinacin de la posicin de un punto en un plano horizontal, queda resuelto de las siguientes maneras:

a) Conocida la direccin y distancia desde un punto

b) Conocidas las direcciones desde dos puntos

c) Conocidas las distancias desde dos puntos

d) Conocida la direccin desde un punto y la distancia desde otro

e) Conocidas sus coordenadas rectangulares, respecto de un sistema ortogonal

f) Conocidos los ngulos formados por las visuales a tres puntos conocidos

La aplicacin simple o combinadas de uno o varios de estos procedimientos, d origen a los siguientes mtodos de levantamiento:a) Mtodo de radiacin. Cuando en torno de una estacin de instrumento, es necesario tomar un gran nmero de puntos de detalle, distribudos en direcciones y distancias diferentes, es ventajoso el procedimiento de determinar el azimut de cada punto y la distancia desde la estacin, este es el mtodo de Radiacin.

b) Mtodo de poligonacin. Cuando desde una sola estacin no es posible abarcar todos los puntos de un levantamiento, ser necesario colocar otras estaciones ligadas entre ellas, formando una serie de lneas quebradas o poligonal, este es el mtodo de Poligonacin.

c) Mtodo de interseccin. Cuando no es posible el empleo del mtodo de radiacin, por ser imposible la medida de distancias, se hace uso de este mtodo, que consiste en determinar las direcciones desde dos estaciones a los puntos caractersticos.

d) Mtodo de triangulacin. Cuando el mtodo de interseccin es empleado con el objeto de determinar otra estacin y luego despus otra y as sucesivamente, se logra una figura formada por una sucesin de tringulos que tienen a lo menos un lado en comn. Este mtodo es apropiado para relacionar puntos bastante alejados entre s y tambin para formar una red de apoyo a trabajos topogrfico de orden menor.

NFD

E

B

A

Ce) Mtodo de coordenadas. Consiste en determinar las coordenadas rectangulares de los puntos, referidos a un sistema ortogonal. Este mtodo es muy usado actualmente en dibujo computacional.

X

Y

f) Mtodo de reseccin sobre tres puntos conocidos. Es un mtodo que consiste en medir ngulos desde una estacin desconocida, referida a tres estaciones conocidas. Se utiliza bastante en el traslado de coordenadas al lugar de la obra.

Mtodos combinados.

Como se puede apreciar, cada uno de estos mtodos tiene su empleo limitado, por lo que es necesario realizar una serie de combinaciones para lograr un mejor trabajo. Las ms comunes son:

a) Poligonacin y radiacin.

b) Poligonacin e interseccin.

c) Triangulacin, poligonacin y otro.

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