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Guia e recursos didáticos

araribámatemática

matemáticaararibá Guia e recursos didáticos

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Elaboração de originais

Aline dos Reis MatheusLicenciada em Matemática pela USP

Cíntia Alessandra Valle Burkert MachadoMestre em Educação pela USP

Carlos Alberto Sassi JuniorLicenciado em Ciências pela Universidade Ibirapuera

Juliane Matsubara BarrosoBacharel e licenciada em Matemática pela PUC de São Paulo

Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz MouraMestre em Educação pela USP

Marcia Aparecida de Souza LadeiraBacharel e licenciada em Matemática pela Universidade Mackenzie

Oscar João AbdounurLivre-docente do Instituto de Matemática e Estatística da USP

© Editora Moderna, 2010

Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso

Edição de texto: Enrico Briese Casentini, Juliana Ikeda, Lucas Maduar Carvalho Mota, Marilu Maranho Tassetto, Thais Toldo Antonagi

Leitura técnica: Tizue Kondo Fukumoto

Preparação de texto: Anabel Ly Maduar, Renato da Rocha Carlos, Solange Gonçalves Guerra Martins

Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma

Projeto gráfico e capa: Aurélio Camilo

Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues

Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero

Revisão: Afonso N. Lopes, Ana Paula Luccisano, José Alessandre da Silva Neto

Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho

Edição de arte: Jordana de Lima Chaves

Edição de páginas especiais: William Hiroshi Taciro, Alexandre de Paula, Fernanda Fencz, Luiz Rubio, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto

Ilustrações: Adilson Secco, Adolar, Alexandre Affonso, Amilcar Pinna, André Diniz, Attílio, Cecília Iwashita, Claudio Chiyo, Eduardo Alejandro, Éber Evangelista, Eduardo Ferrara, Elisa Nievas Pereira, Estúdio Ampla Arena, Estudio Manga, Estúdio 22, Gabriel Silveira, Marco Cortez, Mário Kanno, Nelson Matsuda, Paulo Borges, Paulo César, Paulo Manzi, Priscila Sanson, Studio Argozino

Editoração eletrônica: Setup Bureau Editoração Eletrônica

Cartografia: Alessandro Passos da Costa, Anderson de Andrade Pimentel, Fernando José Ferreira

Coordenação de pesquisa iconográfica: Ana Lucia Soares

Pesquisa iconográfica: Camila D’Angelo, Fernanda Siwiec, Elaine Bueno, Eveline Duart, Monica de Souza

Coordenação de bureau: Américo Jesus

Tratamento de imagens: Fabio N. Precendo

Coordenação de produção editorial: Wilson Aparecido Troque

EDITORA MODERNA LTDA.Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho

São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510

Fax (0_ _11) 2790-1501www.moderna.com.br

2010


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como é o livro?

Partes e unidadesSão 14 unidades distribuídas em 6 partes. Cada parte refere-se

a um tema da Matemática.Na aba Quadro de conteúdos foram listados todos os con-

teúdos do 6o ano.Consultando-o, é possível conhecer detalhadamente como os

conteúdos são desenvolvidos em cada parte e também durante o ano letivo.

Nessa aba, além dos conteúdos do 6o ano, são apresentados os conteúdos das demais séries.

informaçãoCada conteúdo matemático é apresentado numa mesma

sequência: páginas de informação, em que são apresentados os conceitos e procedimentos de maneira clara e objetiva, seguidas por um bloco de atividades.

Na apresentação dos conceitos são usados alguns instrumen-tos, como:

• Apresentação de uma situação real em que o conteúdo estudado é utilizado.

• Recursos gráficos, esquemas, diagramas e quadro resumo.• Utilização de fotos e ilustrações que contribuem para o

entendimento do conteúdo, além de tornar a leitura mais agradável.

Seções especiaisAs seções especiais permitem aprofundar o tema da unidade

e explorar outras habilidades, afinadas com os grandes objetivos da área.

As principais seções são: Abertura, Exercícios resolvidos, Tratamento da informação, Compreender um texto, Esquema da unidade, Programa de resolução de problemas.

matemática: nossa proposta


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Em cada Parte deste Guia, selecionamos algumas palavras ou expressões que consideramos importantes para o estudo dos temas abordados no livro-texto. O objetivo desse trabalho com vocabulário é ajudar o aluno a entender melhor os conteúdos de Matemática e a ampliar as possibilidades de uso desse vocabulário. Ao fazer isso, o aluno vai perceber como uma mesma palavra pode ter significados diferentes dependendo do contexto em que é utilizada.

A palavra reta, por exemplo, um conceito muito importante para a Matemática, tem significados diferentes e vários usos no cotidiano, conforme a situação em que é empregada. Você pode dizer “o campeonato chegou à reta final”; “a casa do meu avô não é muito longe! É uma reta só até lá!”; “a parede da casa era irregular, não era reta”, e esses são apenas alguns significados. A diversidade é um traço marcante da nossa língua.

O trabalho com vocabulário é proposto em dois momentos: em Exploração inicial, no início de cada Parte deste Guia, com atividades para o registro das ideias preexistentes sobre os termos escolhidos e para o primeiro contato com os concei-tos apresentados no livro-texto; e, no final da Parte, em Conexões, com atividades que exploram as conexões dos termos estudados na Exploração inicial e oferecem mais explicações desses termos após o estudo da Parte, facilitando a incorporação desse vocabulário.

como é o Guia de estudo O objetivo do Guia de estudo é apresentar atividades que exploram a

compreensão de alguns conceitos e incentivam o treino e a fixação de alguns procedimentos.

Vocabulário em contexto

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1 Parte

Números naturais e operações

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A Operações

1 No espaço abaixo, represente, por meio de um desenho, uma situação do dia a dia mostrando o que você entende por operação. A seguir, dê um título ao desenho que tenha a palavra operação.

2 A palavra operação pode ser usada com diferentes significados. Leia o trecho abaixo para conhecer um dos sentidos dessa palavra.

Arrastar um garoto para o banho é uma operação que exige a mobilização de toda a família, da comunidade, das forças vivas da nação, do exército, do Conselho de Segurança da ONU. Os gritos que então se produzem são de molde a fazer os vizinhos pensar que a crueldade de certos pais ultrapassa todo e qualquer limite.

Moacir Scliar. À prova d’água. In: Para gostar de ler – crônicas de Moacir Scliar. São Paulo: Ática, 1996.

Vocabulário em contexto — Exploração inicial

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a) Identifique entre as alternativas a seguir aquela que indica o sentido com que a palavra operação foi usada no texto anterior.

( ) Operação é um cálculo matemático. ( ) Operação é uma intervenção cirúrgica. ( ) Operação é qualquer transação comercial. ( ) Operação é uma manobra ou ação militar.b) Que elementos do texto de Moacir Scliar permitiram que você chegasse a essa

conclusão?

3 A palavra operação é usada na abertura da Parte 1 do livro-texto, nas páginas 10 e 11. Escreva, em forma de texto, o significado com que essa palavra foi usada nas páginas citadas.

B Algoritmo

1 Procure na unidade 2 do livro-texto uma frase que explique o significado da palavra algoritmo e escreva-a aqui.

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Vocabulário em contexto — Conexões

1 Analise as quatro tirinhas abaixo. Cada uma explora a ideia de uma operação. Associe cada tirinha a uma das operações estudadas na Parte 1.

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B)

C)

D)

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O que eu não entendi nesta unidade

1 Faça uma lista dos exercícios do livro-texto da unidade 7 que você não conseguiu resolver.

2 Relacione os exercícios que você listou na questão anterior com os conteúdos estudados na unidade 7.

3 Reúna-se com alguns colegas e resolvam juntos os exercícios listados por vocês. Se ainda tiverem dúvidas, perguntem ao professor a fim de esclarecê-las.

4 Invente um problema de comparação de frações. Passe a atividade para um colega resolver. Em seguida, resolva a atividade criada por ele.

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O que eu não entendi nesta unidadeEsse é o momento de avaliar

o aprendizado sobre os temas estudados em cada unidade.

Ao listar os exercícios do livro- -texto que não conseguiu resolver

e associá-los a conteúdos vistos na unidade, o aluno vai perceber o que precisa entender melhor. Para

isso, poderá elaborar perguntas ao professor ou conversar com os

colegas para estudarem juntos os conteúdos que devem ser

revistos e retrabalhados.

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Síntese dos conteúdos

Usando o esquema abaixo, escreva as informações que você achou mais importantesa respeito dos sistemas de numeração aprendidos nesta unidade.

Números naturais

Indo-arábico

Sistemas de numeração

Maia Babilônico Egípcio

Romano

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Síntese dos conteúdosApós as atividades de cada unidade deste Guia, o aluno vai sintetizar os

principais conteúdos da unidade. Por meio de esquemas, textos ou

imagens, ele vai estudar, rever assuntos e fazer conexões entre

os conteúdos que aprendeu, elaborando o próprio registro-

-síntese dos conceitos e assuntos essenciais da unidade.

exercícios de treino e de fixação

Neste Guia, são propostos mais exercícios de treino de um

procedimento apresentado no livro-texto. Esses exercícios são

organizados de acordo com os títulos numerados de cada unidade.

Sugerimos que eles sejam feitos antes de cada bloco de atividades do

livro-texto. A cada título numerado, há uma orientação sobre o conteúdo

a que se referem os exercícios.

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3. Frações equivalentes Este assunto é desenvolvido nas páginas 133 a 135 do livro-texto.

1 Escreva a condição para que duas frações sejam equivalentes.

Frações equivalentes

2 Descreva um processo para simplificar frações.

3 Leia a descrição e complete a frase com o nome do conceito. Quando o numerador e o denominador de uma fração são números primos entre si, dizemos

que a fração é .

4 Verifique se os pares de figuras representam frações equivalentes e, se possível, simplifique-as.

a)

b)

5 Resolva o problema.Em um campeonato de futebol, três jogadores do time campeão terminaram com o seguinte número de gols: Pedrinho, 80 gols; Roberto, 60 gols; e Rui, 40 gols. Esse time foi campeão marcando 200 gols nesse campeonato. Determine as frações que representam os números de gols marcados por cada um dos três e pelos demais jogadores em relação ao total de gols marcados pelo time, e escreva-as em forma de frações irredutíveis.

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Unidade Operações com números racionais na forma decimal12

1. Adição e subtração de números decimais Este assunto é desenvolvido nas páginas 218 e 219 do livro-texto.

1 Calcule.a) 0,15 + 0,1 e) 79,07 – 25,11

b) 0,35 + 1,12 f) 45,03 + 18,07

c) 1,23 – 1,2 g) 87,87 – 87,78

d) 12,33 – 7,55 h) 112,321 – 54,33

2 Resolva os problemas.a) Gabriel comprou no supermercado um vidro de azeitonas a R$ 2,55, um vidro de

cogumelos a R$ 3,31, uma lata de pêssegos a R$ 7,90 e uma garrafa de refrigerante a R$ 3,30. Quanto ele gastou nessa compra?

b) Zeca foi ao cinema com R$ 25,00. Comprou o ingresso por R$ 9,50 e gastou R$ 6,25 na compra da pipoca e R$ 5,10 para comprar o refrigerante.

Quanto Zeca gastou no cinema?

Quantos reais sobraram?

Araribá - Caderno de Atividades. – 6º ano – 3ª Prova FORMATO ( 2618-1009 3569-1878

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Princípios básicos do araribá matemática

1. amplo programa de atividades variadas

tipos de atividadeO programa de atividades é bastante variado, para que distin-

tas habilidades sejam trabalhadas. As atividades são apresentadas em três suportes:

1) Livro-texto 2) Guia de estudo 3) Site Araribá

1. As atividades do livro-textoCada bloco segue uma sequência teórica, organizada em:• Vamos praticar: são as primeiras atividades propostas, logo após um bloco

de teoria. São atividades para o aluno praticar os procedimentos aprendidos exigindo baixo grau de dificuldade.

• Vamos aplicar: logo após o Vamos praticar, há atividades um pouco mais complexas, nas quais o aluno irá aplicar os conteúdos em situações novas.

No bloco Vamos aplicar, há as atividades Desafio, para as quais é necessário refletir e mobilizar conhecimentos mais complexos. O Desafio também pode entrar na própria página de conteúdo, na margem lateral.

Para explorar outras habilidades de cálculo, há as atividades Cálculo mental e Calculadora, que apresentam, respectivamente, procedimentos de cálculo mental e calculadora como ferramenta de cálculo, além de ser usados como um recurso para auxiliar na investigação de um conteúdo matemático.

No final de cada unidade, há as Atividades integradas, que apresentam outra série de exercícios para consolidar os conhecimentos. As Atividades integradas estão classificadas de acordo com o grau de dificuldade:

Inicial Intermediário Avançado

Essa classificação permite a escolha das atividades mais apropriadas para cada momento do desenvolvimento do conteúdo.2. Além dessas, há as atividades do Guia de estudo, constituídas de:

• atividades que exploram os conceitos e ampliam a compreensão e o vocabu-lário do aluno;

• atividades de fixação para treino dos procedimentos principais de cada uni-dade;

• atividades de autoavaliação para checagem do aprendizado dos conteúdos da unidade;

• atividades de síntese.


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3. Há outras opções de atividades no site Araribá, na aba Material complementar, como:• Mais atividades – são oferecidas mais opções de problemas que exploram o

conteúdo de cada unidade para reforço ou estudo para prova.• Jogos – são atividades lúdicas, individuais e em grupo, para treino ou de-

senvolvimento de alguma habilidade específica. No livro do professor, há remissões aos momentos sugeridos para explorar cada jogo.

• Projetos – são atividades a serem desenvolvidas em grupo para estudo de algum tema que envolve procedimentos matemáticos.

• Mural – página com curiosidades, questões divertidas e construções para serem fixadas no mural da sala de aula.

2. Desenvolve um programa de resolução de problemas

importânciaNas práticas tradicionais, a resolução de problemas matemáticos é tratada, em

geral, como uma aplicação de técnicas que conduzem à resposta de uma questão ou exercício. Dessa maneira, o aluno automatiza alguns procedimentos e raramente percebe as estruturas que existem por trás dos problemas propostos.

O programa de estudo da resolução de problemas inserido na obra rompe com essa prática. Para desenvolvê-lo, propõe-se ao aluno conhecer diversos encami-nhamentos para a resolução e refletir sobre a própria resolução e a resposta.

conteúdoCada etapa do programa de resolução de problemas é apresentada em duas

páginas: na última página de cada parte e em uma ficha do caderno colada na última capa do livro.

Problemas para resolver Fichas de estratégias


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1o Resolver os problemas propostos

(Problemas para resolver).

1o Conhecer uma estratégia,

acompanhando a resolução de uma Ficha de estratégia.

1o Resolver os problemas propostos

(Problemas para resolver).

2o Acompanhar a resolução, em uma Ficha de estratégia.

2o Resolver os problemas da seção

Problemas para resolver, aplicando a

estratégia aprendida.

2o Enriquecer o repertório

de estratégias, acompanhando a resolução em uma Ficha de estratégia.

3o Resolver novamente os

problemas da seção Problemas para

resolver, aplicando a estratégia aprendida.

Procedimento didáticoAs abordagens são diversas. Por exemplo:

3. Destaque para o desenvolvimento da compreensão leitoraEsta coleção de Matemática destaca o desenvolvimento da

compreensão leitora em quatro seções:• Na Abertura, que apresenta diferentes tipos de texto

(escrito, foto, pintura, infográfico e outros), para estimular a leitura e motivar o aluno ao aprendizado do conteúdo.

• Na seção Tratamento da informação, que propõe leitura, interpretação e utilização dos textos não contínuos (gráficos e tabelas), em várias situações. Essa seção explora também o significado e o uso de medidas estatísticas em situações reais.

• No Programa de resolução de problemas, que ensina a ler, interpretar e organizar os dados dos enunciados em diversos problemas.

• Na seção Compreender um texto são apresentados diversos tipos de texto, com um roteiro de questões para orientar a interpretação e, principalmente, explorar as relações matemáticas presentes no texto.

Na opção Páginas para projeção da aba Material complementar, há infográficos para o professor projetar e explorar o texto com a turma.


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O ensino de matemática hoje: alguns desafiosNos últimos anos, vem se acentuando a preocupação de desenvolver no aluno

dos ensinos fundamental e médio competências necessárias ao exercício pleno da cidadania. Essa preocupação vem se concretizando em diferentes propostas de ensino de diversos países e, no Brasil, com a publicação dos Parâmetros Cur-riculares Nacionais. Esse documento aponta como característica principal para o ensino de Matemática:1. Explorar a Matemática partindo de problemas encontrados no cotidiano e nas

demais áreas do conhecimento.2. Trabalhar com conteúdos variados, pela exploração de forma equilibrada e

articulada, de números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas e pelo tratamento da informação.

3. Usar, da melhor forma possível, recursos tecno lógicos disponíveis como ins-trumentos de aprendizagem.O exercício da cidadania pressupõe que as pessoas desenvolvam sua capa-

cidade de aprender, tendo como meios o domínio da leitura, da escrita e do conhecimento matemático, de tal forma que lhes seja permitido compreender o mundo, o ambiente natural, cultural e político à sua volta, as artes, a tecnolo-gia, os valores que fundamentam a sociedade, para nela atuar de forma crítica e participativa.

Nesse sentido, a Matemática traz grandes contribuições, pois tem relações estreitas com diversas áreas do conhecimento e da atividade humana. É um instru-mental importante para as ciências da natureza, as ciências sociais, a arte, a música, o esporte, e pode ser mais bem aprendida quando analisada dessa perspectiva de interação com outras áreas. Ela faz parte da vida de todos nós, sendo aplicada em diversas situações do dia a dia (contagens, cálculos, pagamentos, consumo, organização de atividades como agricultura e pesca).

A Matemática é fruto da criação humana, da qual fazem parte erros e acertos, imaginação e raciocínio lógico, contraexemplos, conjecturas e críticas. Pode aju-dar a potencializar capacidades como as de observação, projeção, generalização, abstração, entre outras, que favorecem o desenvolvimento do raciocínio lógico e da criatividade.

O desafio que se apresenta para uma proposta de trabalho com Matemática que vise a aprendizagem significativa é explorar uma grande variedade de ideias matemáticas — ideias não apenas numéricas, mas também relativas à Geometria, às medidas e à Estatística —, além de incorporar contextos do cotidiano, de forma que nossos jovens desenvolvam diferentes formas de compreensão da realidade. Com isso, há condições de que o estudo de diferentes conteúdos seja feito de modo significativo para o aluno, e não apenas justificado pela ideia de pré-requisito para o estudo de outro conteúdo. Esse procedimento abre perspectivas para uma abordagem interdisciplinar. À medida que se buscam relações de cada tema com outros assuntos, estejam eles no interior da própria Matemática ou em outra área do conhecimento, esse tipo de abordagem muito provavelmente ocorrerá.

aspectos sobre o ensino da matemática


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Ou seja, o ensino de Matemática deve ser pensado numa perspectiva mais ampla. É fundamental trabalhar com situações práticas relacio nadas com proble-mas do cotidiano, que forneçam contextos que possibilitem explorar, de modo significativo, conceitos e procedimentos matemáticos.

Finalidades da matemáticaEste item apresenta algumas finalidades da Matemática tendo em vista a cons-

trução da cidadania e a constituição do aluno como sujeito da aprendizagem.Uma das finalidades da Matemática é seu caráter prático, ou seja, ela permite

resolver problemas do cotidiano das pessoas, ajudá-las a não ser enganadas, a exercer, enfim, seu papel de cidadão. No entanto, a aprendizagem da Matemática não deve se reduzir aos problemas da vida prática. Deve também contribuir para o desenvolvimento do raciocínio, da lógica, da coerência, transcendendo assim os aspectos práticos dessa área do conhecimento.

Outra finalidade é o caráter instrumental da Matemática, precioso para o desenvolvimento de procedimentos sistemáticos de observação. Os diferentes campos da Matemática — aritmético, geo métrico, algébrico, métrico, estatístico, proba bilístico, combinatório — devem integrar, de forma articulada, as atividades e experiências mate máticas que serão desenvolvidas pelo aluno. Cabe destacar que, em termos de ensino, não são apenas as questões aritméticas e algébricas que devem merecer atenção do professor; também são fundamentais os trabalhos geo-métricos e métricos e os que envolvem o raciocínio combinatório, o probabilístico e as análises estatísticas. Fazer observações sistemáticas de aspectos qualitativos e quantitativos e estabelecer relações entre esses aspectos aplicando o conhecimento matemático são processos de fundamental importância na constituição de com-petências matemáticas basilares ao exercício da cidadania.

Um dos aspectos mais atuais que o ensino de Matemática deve contemplar é a decodificação, seleção e a organização de informações em linguagens diversas relevantes. Num mundo com uma grande massa de informações, algumas contradi-tórias, outras pouco relevantes, é necessário que o cidadão consiga constantemente selecioná-las e avaliá-las. A Matemática oferece inúmeras ferramentas para isso, que devem ser privilegiadas no trabalho planejado pelo professor.

Cabe destacar que frequentemente a Matemática vem sendo trabalhada em sala de aula de forma bastante pobre, à medida que resultados, fórmulas, regras são apresentados pelo professor para ser mecanicamente usados em exercícios que seguem um modelo. Assim, a potencialidade que a Matemática tem para estimular o desenvolvimento de capacidades importantes, como a de resolver problemas, acaba também não sendo utilizada. É necessário des mistificar a ideia de que, diante da Matemática, o aluno deve assumir uma atitude passiva e de mera repro dução de conhecimentos. Precisa-se desenvolver a capacidade de resolver problemas, validando estra tégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedu ção, analogia e estimativa, empregando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como os instru mentos tecnológicos disponíveis.

O conceito que cada pessoa faz de sua própria “capacidade matemática” é um dos fatores mais importantes do sucesso ou fracasso de sua aprendizagem. Por


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esse motivo, é importante que o trabalho em sala de aula possibilite ao aluno per-ceber que é capaz de resolver problemas, de raciocinar, como faz em situações do cotidiano. Esse estímulo não deve ser confundido com “facilitação” no processo de ensino e aprendizagem.

Aprender Matemática ocorre num contexto de interações, de troca de ideias, de saberes, de construção coletiva de novos conhecimentos. Evidentemente, o professor tem um papel muito importante como mediador e orientador dessas interações. No entanto, é fundamental que o aluno perceba que pode aprender com seus colegas e também ensiná-los. A cooperação na busca de soluções de problemas é um objetivo da mais alta relevância; ela permite ao aluno sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, levando-o a desenvolver a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

A Matemática também tem a finalidade de comunicação. Raramente se faz um bom uso da linguagem oral ou se buscam relações entre ela e as representações matemáticas. Os textos matemáticos são, em geral, os grandes ausentes nas aulas dessa disciplina. É importante que o aluno seja estimulado a escrever pequenos textos relatando conclusões, justificando as hipóteses que levanta — não importa se corretas ou não. Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, repre-sentar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas, é uma das capacidades essenciais a desenvolver nas aulas de Matemática.

Considerar a Matemática uma linguagem implica os estudantes tomarem co-nhecimento de aspectos estruturais do discurso matemático: termos, fatos, sinais, símbolos, procedimentos para o desempenho de certas operações; precisam ainda aprender a utilizar essas ideias para resolver problemas não rotineiros e uma di-versidade de situações que ocorrem na sociedade.

É preciso lembrar que o conhecimento mate mático pode e deve ser apresen-tado em relação com os contextos que lhe deram origem ou que demandam sua aplicação. Trata-se de um conhe cimento histo ricamente construído, em estreita conexão com a realidade das comunidades que o produziram e com as outras ciên-cias que nela se embasam, ou que lhe propõem novos proble mas, ou que utilizam seus instrumentos. Da mesma forma, internamente, também devem ser realizadas conexões entre os diferentes campos da Matemática (a Aritmética, a Geo metria, a Álgebra etc.). Organizar o trabalho para favorecer diferentes relações, além de muito importante, é uma possibilidade de otimizar o tempo.

É importante destacar que os aspectos estruturais da Matemática incluem conhecimento de termos, procedimentos e conceitos usualmente ensinados nas escolas, mas também incluem saber de que forma esses aspectos são estruturados e empregados. Muitas vezes, o aluno está familia rizado com os aspectos estruturais da Matemática, mas não conhece a natureza desse conhecimento ou a maneira de utilizá-lo na resolução de um problema. O aluno deve ser capaz de aplicar a Mate-mática aprendida na escola — em problemas de livros didáticos — na vida diária, em contextos menos estruturados, nos quais as instruções não são tão claras. Ele deve assim tomar decisões quanto à relevância de certo conhecimento naquela situação e à maneira de aplicá-lo da forma mais útil, ou seja, ele deve aprender a utilizar a Matemática em uma série de situações.


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resolução de problemas Este tópico discute algumas ideias atuais sobre resolução de problemas, desta-

cando o contexto, o processo de modelagem matemática de uma situa ção, a validação do resultado.

Nos últimos anos, o papel da resolução de problemas nas aulas de Matemática tem sido discutido: ponto de partida ou de chegada? Muitas vezes, os problemas são apresentados ao aluno como aplicação de conteúdos já aprendidos. Mas al-guns estudos atuais mostram que essa situação não é exatamente um problema.

Uma situação só pode ser concebida como problema se não dispomos de procedimentos automáticos que permitam solucioná-la de forma mais ou menos imediata, sem exigir um processo de reflexão ou de tomada de decisões sobre a sequência de passos a ser seguidos. Essa característica diferencia um verdadeiro problema dos chamados exercícios. Um problema se distingue de um exercício à medida que, no último caso, dispomos de mecanismos que levam, de forma imediata, à solução.

No entanto, cabe ressaltar que uma mesma situa ção pode representar um problema para certa pessoa, enquanto não o representa para outra, seja por que ela não se interessa pela situação, seja porque possui mecanismos para resolvê--la com um inves timento mínimo de recursos cognitivos e pode reduzi-la a um simples exercício.

A realização de exercícios baseia-se no uso de habilidades ou técnicas transfor-madas em rotinas automatizadas como consequência de uma prática contínua.

Muitos estudos discutem as etapas da resolução de um problema, como os de George Polya, e o documento Estrutura de avaliação do Pisa (Programa Interna-cional de Avaliação de Estudantes) – 2003, que abordam a resolução de problemas de forma bastante interessante.

temas matemáticos fundamentais Este item apresenta os temas matemáticos fundamentais em que são organizados

os conteúdos matemáticos.

1. Números e operaçõesEsse tema aborda a necessidade de quantificação para organizar o mundo.

Durante o ensino fundamental, os conhecimentos numéricos devem ser construídos pelo aluno num processo dialético, em que intervêm como instrumentos eficazes para resolver determinados problemas e como objetos que serão estudados, conside-rando suas propriedades, relações e o modo como se configuram historicamente.

Um aspecto importante ao tratar de quantidades é o raciocínio quantitativo. São componentes essenciais aqui o senso numérico, a compreensão da magnitude do número, o significado das operações, a representação dos números de várias formas. Ainda em relação ao raciocínio quantitativo, é preciso destacar a existência de diversas categorias numéricas criadas em função de diferentes problemas que a humanidade teve de enfrentar — números naturais, números inteiros positivos e negativos, números racionais (com representações fracionárias e decimais) e números irracionais. À medida que se depara com novas situações-problema envolvendo as operações, o aluno amplia seu conceito de número.


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O trabalho a ser realizado com as operações deve ser ampliado nas últimas séries do ensino fundamental e se concentrará na compreensão dos diferentes significados de cada uma, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando diferentes tipos — exato e aproximado, mental e escrito —, e ainda no uso de diferentes campos numéricos.

O trabalho deve ter continuidade no ensino médio, principalmente com a ampliação do estudo dos campos numéricos.

2. espaço e formaO trabalho com Geometria implica o desenvolvimento de um tipo especial de

pensamento, que permite compreender, descrever e representar, de forma orga-nizada, o mundo onde vivemos. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. Além disso, esse trabalho é feito a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato; ele permite ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento.

O estudo das formas requer a busca de semelhanças e diferenças na análise dos componentes de uma forma e no reconhecimento de formas em diferentes repre-sentações e dimensões. Esse estudo também está estreitamente ligado à apreen são do espaço. Isso significa conhecer e explorar o espaço e nele se deslocar.

É preciso compreender as propriedades dos objetos, suas posições relativas, representações no plano, perspectivas etc.

O trabalho com o espaço e as figuras geométri cas vem sendo negligenciado no ensino funda mental e pouco explorado no ensino médio. Ele pode ser iniciado nos primeiros anos do ensino fundamental, com exploração de macroespaços e de figuras tridimensionais. Deve ser continuamente desenvolvido e ampliado com estudo de pro priedades de figuras geométricas, pequenos estu dos axiomáticos.

No ensino médio, os estudos devem ser ampliados, incluindo noções de Geo-metria Analítica.

3. Grandezas e medidasEste bloco caracteriza-se por sua forte relevância social, com evidente caráter

prático. Os temas desempenham papel importante no currículo, por mostrarem claramente ao aluno a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano. Para isso, ele deve viven ciar, na sala de aula, a dimensão real de unidades de medida e os processos de medição.

Vale a pena explorar as noções de grandeza e medida relacionando-as com conceitos relativos ao espaço e às formas. São contextos muito ricos para o trabalho com os significados dos números e das operações e com a ideia de proporcio-nalidade e escala, e um campo fértil para uma abordagem histórica.

A complexidade dos fenômenos associados a grandezas e medidas exige múlti-plas abordagens. Comparar superfícies para avaliar qual delas ocupa maior lugar é uma atividade humana desenvolvida desde a Antiguidade. O aperfeiçoamento dessa operação levou o homem a desenvolver um processo de medição da área de uma superfície. Na medição da área, atribui-se um número a cada superfície plana, ou seja, constrói-se uma função real (função área) com valores numéricos,


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de modo que comparar superfícies planas reduz-se a comparar números que são as medidas de área. Esse processo não é simples de ser com preendido pelo alu-no, e o trabalho com cálculo de perímetros, áreas e volumes deve se estender ao ensino médio.

4. tratamento da informação Integrarão este bloco estudos relativos a noções de Estatística, de probabilidade

e de combinatória. Esse bloco de conteúdos foi incorporado apenas recentemente nos currículos brasileiros e deve ser trabalhado desde os anos iniciais do ensino fundamental até o ensino médio, sempre aprofundando as noções matemáticas envolvidas.

Com relação à Estatística, a finalidade é construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e represen-tações que aparecem frequentemente no dia a dia. A Estatística não se restringe ao uso de fórmulas e à realização de cálculos matemáticos; ela requer certa sen-sibilidade do indivíduo que se aproxima de dados que envolvem a incerteza e a variabilidade. Incorporá-la às aulas de Matemática, com o objetivo de promover a formação crítica, exige uma abordagem dos conhecimentos estatísticos na perspectiva da análise de dados coletados de um problema significativo para um grupo de alunos.

O trabalho com gráficos exige a aprendizagem de uma linguagem gráfica. Apresenta-se aqui uma série de dificuldades que requerem atenção, pois é preciso um tratamento qualitativo paralelo ao quantitativo, já que a linguagem gráfica deve revelar seu valor instrumental e atribuir significado à informação a ser co-municada.

Com relação à probabilidade, a principal finalidade é levar a compreender que grande parte dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e que é possível identificar prováveis resultados desses acontecimentos. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações nas quais o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis).

competências matemáticas O que se considera como competência matemática é a capacidade de mobili-

zação de conhecimentos associados à quantificação, à compa ração e ordenação numérica, à orientação e suas relações, à realização de operações, à identi ficação de relações de proporcionalidade, ao uso de diferentes representações e às conversões entre elas, na realização de tarefas ou na reso lu ção de situações-problema, tendo como refe rên cia problemas da vida real ou da própria Matemática.

Segundo Paulo Abrantes (1999), as competências matemáticas que todos devem desenvolver em seu percurso ao longo da educação básica incluem:

• predisposição e aptidão para raciocinar matematicamente, ou seja, para explorar as situações problemáticas, procurar regularidades, fazer e testar conjecturas, formular generalizações, pensar de maneira lógica;

• gosto e confiança pessoal em desenvolver atividades intelectuais que envolvam


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raciocínio matemático, assim como a concepção de que a validade de uma afirmação está relacionada com a consistência da argumentação lógica;

• aptidão para comunicar descobertas e ideias matemáticas por meio de lin-guagem escrita e oral adequadas à situação;

• compreensão de noções como conjectura, teorema e demonstração, assim como capacidade de examinar consequências do uso de diferentes defi-nições;

• predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e capaci-dade de desenvolver processos de resolução, assim como para analisar erros e ensaiar estratégias alternativas;

• capacidade de decidir sobre a razoabilidade de um resultado e de usar, confor-me o caso, o cálculo mental, os algoritmos de papel e lápis e os instrumentos tecnológicos;

• tendência a procurar ver e apreciar a estrutura abstrata presente numa situa-ção, seja ela relativa a problemas da realidade, à natureza, à arte ou a outras áreas do conhecimento, envolva ela elementos numéricos, geométricos ou ambos.

Níveis de conhecimentoEste item descreve os três níveis de conhecimento que podem ser acionados

numa atividade matemática. Para promover uma diversidade de possibi lidades, é fundamental considerar

o nível de conhecimento ativado na resolução de uma questão. Sugere-se como referência a classificação de Aline Robert, que, em seu artigo “Ferramentas de análise de conteúdos a ensinar” (1998), classifica o tipo de conheci mento acionado pelo aluno em três níveis: técnico, mobi lizável e disponível.

O aluno põe em funcionamento um conhecimento de nível técnico quando resolve uma atividade simples que corresponde a uma aplicação imediata de um conhecimento. Em geral, há indicação do método a adotar.

Os descritores principais são: reproduzir atividades já praticadas e realizar operações de rotina, como “resolva a equação”, “calcule a média aritmética”, “iden-tifique as arestas do cubo”.

No nível de funcionamento mobilizável, os conhecimentos a ser utilizados estão bem identificados no enunciado da atividade, mas necessitam de alguma adaptação ou de alguma reflexão antes de ser colocados em funcionamento.

Os itens associados a este nível de conhecimento requerem alguma evidência do conteúdo utilizado na tarefa, por exemplo: “Uma porção de alimento de 500 g custa R$ 12,00, e uma porção do mesmo alimento de 800 g custa R$ 15,00. Qual das duas porções de alimento tem o melhor preço proporcionalmente?”

O nível de funcionamento disponível corresponde a resolver uma situação proposta sem nenhuma indicação ou sugestão em seu enunciado. É preciso achar os conhecimentos que favorecem a resolução, como: “Num campo de futebol de 100 m por 50 m, foi realizado um show em que todos os lugares cobertos haviam sido vendidos e havia muitos espectadores na parte descoberta. Pode-se estimar o número de pessoas que havia nesse show?”


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avaliação em matemáticaA função da avaliação está ligada ao conceito de melhoria. Melhoria não apenas

das aprendizagens do aluno, mas também da própria ação do ensinar. A avaliação é uma atividade valorativa e investigativa, facilitadora da mudança educativa e do desenvolvimento profissional do professor. Mas não podemos esquecer que o objeto da avaliação é o conhecimento do aluno e não propriamente o aluno — sobretudo num tempo em que a função da escola vem se modificando. Hoje, a escola deve desenvolver capacidades de lidar com situações novas, argumentar, sintetizar, pla-nejar e organizar situações de aprendizagem. Essa nova função traz consequências diretas para a avaliação e é uma nova preocupação dos professores.

Nesse novo contexto de escola, as propostas de trabalho nas aulas de Matemática vêm sendo modificadas. Uma das mais recentes inquietações dos professores dessa área está na dificuldade de encontrar a melhor forma de avaliar questões como resolução de problemas, trabalhos em grupos, atividades com uso das tecnologias, de jogos, questões contextualizadas etc.

No entanto, em que pesem essas preocupações, a avaliação em Matemática pouco se modifi cou nos últimos anos. Ainda hoje, é centrada em provas que abordam exercícios e problemas. Há necessidade de refletir sobre o modo de avaliar atividades em que o aluno participa de forma mais ativa do processo de aprendizagem. Algumas atividades matemáticas levam o aluno a produzir relatórios escritos ou a fazer apresentações orais dos trabalhos. Em geral, na avaliação dessas atividades, leva-se muito mais em conta o bom senso que critérios mais detalhados que devem ser discutidos com os alunos. Essa é a discussão que faremos a seguir, apresentando algumas sugestões de avaliação.

Um trabalho em grupo, por exemplo, pode ser avaliado sob três aspectos:

1. avaliação de trabalhos em grupos

Relatório em grupo

Relatório individual

Apresentaçãooral

trabalho em grupo

Os três aspectos devem ser avaliados de forma equilibrada e merecem especial atenção do professor. Apresentamos, em seguida, uma sugestão de avaliação de relatórios escritos.

2. avaliação de relatórios escritosOs relatórios podem ser avaliados sob diferentes aspectos: com relação aos

conteúdos desenvolvidos nas aulas de Matemática, com relação ao relato dos processos vividos e com relação à comunicação de resultados. Alguns descritores podem servir para análise dos relatórios em cada uma dessas variáveis. Eles podem ainda ser agrupados em uma tabela por nível, do mais simples ao mais complexo. Essa tabela pode ajudar o professor a analisar com critérios mais científicos os relatórios de seus alunos.


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Tabela de descritores para análise da escrita de relatóriosNível 0 1 2 3 4

Conteúdos matemáticos desenvolvidos

O trabalho relatado é inadequado, irrelevante.

Mostra compreender limitadamente os conceitos e princípios; usa termos inadequados; incorre em erros conceituais.

Mostra compreen-der alguns conceitos; a resposta apresenta alguns erros; utiliza representações com algumas incorreções.

Mostracompreender conceitos; usa a terminologia corretamente; usa representações corretas, mas nem sempre adequadas; os cálculos estão corretos, mas apresentam alguns erros.

Mostra compreen-der conceitos e procedimentos; usa terminologia e notação apropriadas; utiliza representações adequadas; executa completamente a tarefa.

Processos Desenvolve as ideias de forma ineficaz; às vezes as ilustrações não representam de todo a situação.

Não identifica elementos importantes; o processo de procura de soluções é incompleto ou difícil de identificar.

Identifica alguns elementos importantes, mas mostra poucas relações entre eles; a busca de soluções ainda é pouco sistematizada.

Mostra compreen-der relações entre elementos importantes; formula questões que permitem investigação; formula conjecturas; a procura de soluções é sistemática.

Formula questões que orientam estratégias de validação; a procura de soluções é feita de forma organizada e sistemática.

Comunicação Mostra não compreender os conceitos e princípios da situação abordada.

Apresenta elementos satisfatórios, mas omite partes significativas da resolução; os diagramas apresentam-se pouco claros ou de difícil interpretação; a descrição do processo não é clara.

Apresenta resposta satisfatória, mas a descrição é pouco clara; os argumentos estão incompletos ou baseados em premissas pouco importantes.

Apresenta resposta correta e explicação adequada; comunica eficazmente; apresenta argumentos contendo pequenas imperfeições.

Apresenta resposta correta; comunica eficazmente; apresenta argumentos fortes e consistentes; inclui exemplos e contraexemplos.

3. autoavaliaçãoAlém da avaliação realizada pelo professor, os alunos e o próprio professor podem elaborar e preen-

cher fichas de autoavaliação. Em seguida, apresentamos sugestão de uma ficha organizada com base em um contrato didático específico para o trabalho em equipe. A ficha foi pensada para que o grupo todo a complete. Partindo dela, cada aluno do grupo fará posteriormente a autoavaliação.

Contrato didático de trabalho em equipe

Trabalho sobre:

Grupo:

Data de início:

Previsão de término:

Onde vamos procurar a informação? O que temos? O que queremos saber? Quem vai procurar?

O que já sabemos sobre o assunto? Como vamos organizar a informação recolhida?

Como vamos comunicar o trabalho à classe? Quando apresentaremos? Quem apresentará?


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meu aluno é capaz de:• explicitar o problema com suas palavras;• “enfrentar” a resolução do problema;• resolver o problema;• verificar se a solução é adequada.

meu aluno é capaz de:• entender o contexto;• compreender o texto;• selecionar dados da questão;• fazer uso de calculadora;• esperar sua vez de jogar;• trabalhar em grupo.

4. Ficha para acompanhamento da resolução de problemasA terceira sugestão é com relação à resolução de problemas. O professor pode

fazer uma ficha de acompanhamento que vai preenchendo durante as aulas em que desenvolve o estudo da resolução de problemas. Veja duas sugestões de ficha:

5. Desenvolvimento de atitudesUma ficha de acompanhamento do desenvol vimento de atitudes também pode

ser feita. Veja um modelo:

Sobre o aluno , posso afirmar que:

Sim Não Às vezes

Gosta de resolver problemas.

Ao enfrentar desafios, desiste rapidamente.

Usa estratégias criativas.

Demonstra autoconfiança.

Espera ajuda do professor.

Dessa forma, esperamos contribuir para uma discussão mais profunda sobre as perspectivas do ensino de Matemática voltado à construção da cidadania e para reflexão sobre a avaliação em Matemática.

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