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ARCOS E

ÂNGULOS Aula 01

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário Arcos e Ângulos ....................................................................................................................................................... 1

RELEMBRANDO ....................................................................................................................................................... 1

O QUE É UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA? ......................................................................................................... 1

MEDIDA DE UM ARCO ......................................................................................................................................... 1

COMPRIMENTO DE UM ARCO ............................................................................................................................ 1

RADIANO ................................................................................................................................................................. 2

COMO CALCULAR O COMPRIMENTO DE UM ARCO ............................................................................................... 2

COM A MEDIDA DO ÂNGULO EM GRAUS ................................................................................................................. 2

COM A MEDIDA DO ÂNGULO EM RADIANOS ........................................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

AULA 01

Arcos e Ângulos

RELEMBRANDO

O QUE É UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA? Considere uma circunferência e dois pontos, A e B,

sobre . Os pontos A e B dividem essa circunferência

em dois conjuntos denominados arcos, aos quais A e B

pertencem. Os pontos A e B são as extremidades desses

arcos, os quais são denotados por AB .

MEDIDA DE UM ARCO Na primeira série do ensino médio aprendemos que a

medida de um arco de circunferência é igual à medida

do ângulo central correspondente a esse arco.

med AÔB med APB med CQD

COMPRIMENTO DE UM ARCO

Obs.1: Em geral, utiliza-se a mesma unidade de medida

do raio da circunferência.

É possível notar que o comprimento de um arco não

depende apenas da medida do ângulo central, apesar

de ter uma relação direta com essa medida, mas

depende também do raio da circunferência.

Por exemplo, observe a figura a seguir.

Note que o comprimento do arco CQD é maior que o

comprimento do arco APB , pois mesmo que os dois

arcos tenham o mesmo ângulo central, AOB , esses

arcos estão contidos em circunferência de raios

distintos.

O tamanho da “bordinha de uma fatia de pizza”

O comprimento de um arco refere-se ao

“tamanho da linha” que descreve o arco. É como se

"esticássemos" o arco, transformando ele em um

segmento de reta e verificássemos seu comprimento.

Por esse motivo, a unidade de medida do

comprimento de um arco será uma das unidades de

comprimento que já utilizamos, como o metro ou o

centímetro.

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

RADIANO Iremos aprender agora uma nova maneira de medir um

ângulo e, por consequência, de medir um arco.

Observe, na figura a seguir, a circunferência , de raio

R, e o arco APB , de comprimento .

A medida do ângulo central AOB , medido em

radianos, é, por definição, dado por

R

Obs.3: Observe que, ao medir um ângulo no sistema

radianos, a medida do ângulo não tem unidade, ou

seja, é um número puro, pois as unidades de medida do

comprimento do arco e do raio são iguais. Assim,

radiano não é, uma unidade de medida de ângulo.

Mesmo assim, algumas vezes quando nos referimos a

um ângulo medido em radianos podemos colocar "rad"

após a medida para mostrar que é a medida de um

ângulo, ou arco, no sistema radianos.

Visto que o comprimento de uma circunferência de

raio 𝑅 é igual a 2𝜋𝑅, temos que a medida do arco de

uma volta, em radianos é dado por

22

R

R

Assim, 2𝜋 rad correspondem a 360° e, daí, concluímos

que

𝝅 radianos correspondem a 180°

COMO CALCULAR O COMPRIMENTO DE UM ARCO

O cálculo do comprimento, , de um arco dada a

medida do seu ângulo central correspondente (ou a

medida do arco) pode ser feito de duas maneiras,

dependendo de se a medida está em graus ou radianos.

COM A MEDIDA DO ÂNGULO EM GRAUS

O comprimento de um arco de medida , dada em

graus, pode ser calculado usando que o comprimento

de um arco de circunferência é diretamente

proporcional a medida do seu ângulo central

correspondente. Tendo assim

2360 180

R ou R

COM A MEDIDA DO ÂNGULO EM RADIANOS

O comprimento de um arco de medida , dada em

radianos, pode ser calculado a partir da definição de

radianos. Assim

R

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Exercícios RESOLVIDOS 1, 2, 4 e 6.

TAREFA 1 – Leituras indicadas na aula e FAZER os

PROPOSTOS 1, 2, 3, 5 e 7.