UNIVERSIDADE FEDERAL DE SO CARLOS

Programa de Ps-Graduao em Estruturas e Construo CivilA EVOLUO DAS TEORIAS DO ARCO EM ALVENARIATrabalho apresentado disciplina CIV 274 Alvenaria Estrutural, como requisito parcial para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia de Estruturas e Construo Civil.

Prof. Dr. Guilherme A. Parsekian

Alunos: Marcella Caon Avilla Wanderson Luiz de Frana So Carlos 2014

RESUMO

O arco de alvenaria tem uma grande importncia na histria da arquitetura, quando ainda no existiam materiais como o ao e o concreto, era este tipo de sistema estrutural que era usado nas construes. Combina as melhores caractersticas da forma geomtrica e do material, pois o arco transmite os carregamentos aos apoios atravs de esforos normais simples de compresso, e os materiais de alvenaria trabalham potencialmente compresso, desta forma consegue vencer maiores vos com as menores quantidades de material. Inicialmente e durante sculos, os arcos de alvenaria eram dimensionados por meio de regras empricas, com o advento da cincia moderna passou ento a ser objeto de vrias pesquisas e no desenvolvimento de mtodos de base cientfica para o seu clculo. Este trabalho traz sucintamente os conceitos e o histrico das principais teorias cientficas do arco de alvenaria, de maneira que se possa observa o desenvolvimento do conhecimento deste tipo de estrutura de com o passar das pocas at culminar na teoria mais recente, que utilizada atualmente. E por fim, para exemplificar parte da teoria, feito um exerccio prtico do dimensionamento de um arco em alvenaria.Palavras-chave: Arco, Alvenaria, Teoria.ABSTRACT

The masonry arch is of great importance in the history of architecture, when not existed materials as the steel and concrete, was this type of system structural that was used in buildings. Combines the best features of the geometric shape and material, for the arch transmits the loads to the support through compressive stresses, and masonry work potentially to compression, then winning longer spans with smaller quantities of material. Initially and for centuries, the masonry arches were sized by means of empirical rules, with the advent of modern science then became the subject of several research and development of science-based methods for their calculation. This work succinctly brings the concepts and the history of the main scientific theories of masonry arch, so that they can observe the development of knowledge of this type of structure over the ages in the most recent theory, which is currently used. Finally, as an example of the theory, is made a practical exercise of designing a masonry arch.Keywords: Arch, Mansory, Theory.SUMRIO11INTRODUO

22OBJETIVOS

33METODOLOGIA

44TERMINOLOGIA

55TEORIAS CIENTFICAS DO ARCO DE ALVENARIA

55.1Regras Tradicionais

75.2Teoria das Cunhas

75.2.1Conceito

75.2.2Histrico

105.3Teoria de Rotao de Aduelas

105.3.1Conceito

105.3.2Histrico

125.4Teoria da Linha de Empuxo

125.4.1Conceito

135.4.2Histrico

195.5Teoria Elstica

195.5.1Conceito

205.5.2Histrico

215.6Teoria da Carga Limite

215.6.1Conceito

215.6.2Histrico

226MECANISMOS DE COLAPSO

247EXERCCO PRTICO

268CONCLUSO

28BIBLIOGRAFIA

1 INTRODUO

As formas curvas como os arcos, abbodas e cpulas estiveram sempre presentes na histria da civilizao. At as civilizaes mais primitivas intuitivamente entendiam que as peas curvas eram mais eficientes do que as retas ou planas, pois utilizavam as cavernas (coberturas abobadadas) como abrigo.

No que diz respeito produo de abrigo pode-se notar, ao longo da histria da arquitetura, uma tendncia de produo de vos cada vez maiores e de espaos cobertos cada vez mais amplos e com menor grau de obstculos. Neste contexto, as formas curvas tiveram um papel muito importante, pois as coberturas arqueadas apresentam economia de material e introduzem ganhos de resistncia. Tais vantagens se manifestaram de forma especialmente marcante na cpula (rotao do arco) e na abboda (translao do arco sobre uma reta). Alm de sua utilizao para a gerao de abrigos, os arcos foram amplamente usados em obra para transpor obstculos como os aquedutos e principalmente as pontes.

O arco estrutural surgiu na Antiguidade (3500 AC), sendo adotado pelos povos Egpcios, Assrios, Babilnicos e Gregos antigos, entre outros. Mais tarde os romanos do uma nfase especial aos arcos, fazendo deste o elemento central de projeto, tanto arquitetonicamente quanto estruturalmente, tornando-se referncia histrica no uso deste tipo de sistema estrutural, vindo a ser adotado como uma caracterstica arquitetnica de diversas outras culturas e monumentos histricos. O arco foi a base da arquitetura europeia, basta observar o desenvolvimento desta (bizantina, romntica, gtica, renascentista, barroca, neoclssica) para notar a utilizao potencial das estruturas de arco em alvenaria. At ento os arcos e seus derivados (cpulas e abbodas) eram construdos de tijolos e pedras, a partir da revoluo industrial, no sculo XIX, o ferro passou a ser utilizado, o que possibilitou a soluo estrutural para vos maiores a serem vencidos. No entanto foi neste perodo que o uso de estruturas em arco de alvenaria comeou a ser tornar obsoleto, passando a ser substitudo por pilares e vigas metlicos na execuo de coberturas e pavimentos. A partir da dcada de 1920, o sistema de arcos de alvenaria tornou-se rapidamente marginalizado, primeiramente pelo uso do ao e, posteriormente o do concreto armado, considerados materiais mais apropriados s necessidades da poca.

A partir da II Guerra Mundial, mudou-se o foco de interesse pelas estruturas em arcos. O que antes era a necessidade de construir, agora a de preservar as estruturas existentes. Uma vez que os sistemas em arco de alvenaria foram to importantes na histria da arquitetura, existe uma parte significativa do patrimnio arquitetnico constituda destes sistemas.

Com o interesse pela preservao do patrimnio arquitetnico, surge a necessidade do aprimoramento da compreenso do funcionamento das estruturas em arco de alvenaria. Durante a evoluo deste sistema estrutural, houve tambm a evoluo dos modelos e mtodos tericos de previso do comportamento estrutural, partindo de regras baseadas na tradio e conhecimento emprico at mtodos de base cientfica para o dimensionamento dessas estruturas.

Neste trabalho ser apresentado o desenvolvimento em perspectiva histrica das teorias cientficas dos arcos de alvenaria, convergindo paras teorias usadas atualmente, sendo elas: Regras Tradicionais, Teoria das Cunhas, Teoria de Rotao de Aduelas, Teoria da Linha de Empuxo, Teoria Elstica e Teoria da Carga Limite.

2 OBJETIVOS

O presente trabalho tem por objetivo geral abordar a evoluo das principais teorias cientficas dos arcos de alvenaria, e por objetivos especficos tem-se:

Abordar as principais teorias clssicas e contemporneas;

Compar-las, evidenciando suas evolues;

Apresentar os mecanismos de colapso destas estruturas,

Apresentar um exemplo de dimensionamento evidenciando a evoluo de, pelo menos, uma das teorias.3 METODOLOGIA

A metodologia empregada neste trabalho apoia-se na anlise comparativa entre os principais autores e teorias contemporneas e os mtodos clssicos de analise e dimensionamento do arco em alvenaria. Ser desenvolvido de maneira a evidenciar e abordar as principais evolues ocorridas nos mtodos clssicos baseando-se nos mtodos atuais. Podemos dizer que essa evoluo ocorreu por durante um perodo que vai desde 3.500 a.C. at os dias atuais.

Sero utilizados como fontes livros textos, teses, dissertaes e artigos. Na maior parte, sempre que possvel essas fontes sero consultadas por meio da internet, utilizando os sites de pesquisa acadmica tais como:

Google Acadmico;

Scielo; Scirus;

Capes; Bibliotecas eletrnicas das principais universidades nacionais e internacionais.De acordo com Nunes (2007), entre os principais autores contemporneos, valido mencionar J. Heyman, K. E. Kurrer, S. Huerta, R. J. Mainstone, P. B., Ochsendorf, S. P. Timonshenko e G. Croci. Todos esses autores so reconhecidos internacionalmente na analise estrutural de arcos em alvenaria e serviro de base para o estudo e comparao com os mtodos clssicos.

Entre as principais teorias clssicas a serem abordadas neste trabalho, podemos citar:

Teoria das cunhas;

Teoria de Rotao das aduelas;

Teoria da linha de empuxo;

Teoria Elstica;

Teoria da carga limite;

4 TERMINOLOGIA

A fim de facilitar o entendimento das teorias a seguir, sero apresentados os principais elementos constituintes dos arcos de alvenaria So eles:

Figura 1 Terminologia do Arco de Alvenaria

Fonte: Nunes, 2009

Chave ou pedra de fecho: Bloco superior ou aduela de topo que fecha o arco; Aduela: Bloco em cunha que compe o arco e colocada em sentido radial; Extradorso: Face exterior e convexa do arco; Intradorso: Face interior e cncava do arco;

Imposta: Bloco do pilar sob a aduela de arranque do arco; Flecha: Dimenso que se prolonga desde a linha de arranque do arco at face interior da chave.

Vo: Largura do arco; Rim: seo transversal situada meia altura do bloco;

Espessura: distncia entre o intradorso e o extradorso;

Linha das Nascentes: onde se situam as nascentes (arestas inferiores das aduelas de arranque);

Junta: plano de contato entre duas aduelas;

Junta de Coroamento: seo transversal correspondente ao ponto mais elevado, posicionado no extradorso, sobre o eixo vertical da chave; P-direito ou apoio: estrutura em que o arco se apoia.

5 TEORIAS CIENTFICAS DO ARCO DE ALVENARIANeste captulo sero abordadas as principais teorias do arco de alvenaria desenvolvidas ao longo da histria, apresentando os conceitos e resumidamente o histrico de cada uma.5.1 Regras Tradicionais

Existem poucos documentos que registram as metodologias de dimensionamento e das tcnicas construtivas utilizadas na antiguidade, anterior ao perodo do imprio romano no se conservou nenhum documento que possa ser considerado como um tratado de construo. O nico texto de arquitetura datado da antiguidade greco-romana que se preservou at o presente o manual Dez Livros de Arquitetura, do engenheiro militar romano Vitrvio, escrito no sculo I a.c. Esta literatura trazia algumas recomendaes e comentrios sobre s estruturas de arco, mas no abordava as regras estruturais.

De acordo com Gago (2004), do ponto de vista do dimensionamento estrutural, o manual apenas se refere necessidade de aplicar regras de proporo adequadas como garantia da estabilidade da construo, desta maneira, o dimensionamento era baseado em regras de proporo geomtrica, sendo os projetos que apresentavam sucesso, reproduzidos escala por diversos pontos do imprio, como por exemplo, a cpula do Panteo de Roma.

Do perodo medieval, o documento mais importante que se tem o livro de apontamentos de Villard de Honnecourt datado de 1235, o qual abrangia uma gama de temas, no entanto, o texto no menciona regras concretas de projeto estrutural. Existem alguns registros das regras de dimensionamento gticas escritas em um perodo posterior ao gtico, as quais so relaes geomtricas para dimensionamento de colunas, interiores ou exteriores, arcos botantes e contrafortes.As regras de dimensionamento, at ento, eram baseadas apenas em relaes geomtricas, e o conceito de estabilidade estava intimamente ligado harmonia geomtrica. Estas regras, formuladas empiricamente atravs da experincia e, tambm pela disposio dos elementos construtivos levam a admitir que os mestres tivessem a noo intuitiva de fora e que perceberiam quais os elementos fundamentais no equilbrio das estruturas.Figura 2 - Pgina do livro de apontamentos de Villard de Honnecourt

Fonte: Gago, 2004

Figura 3 - Regras empricas de Rodrigo Gil de Hontan para o dimensionamento da espessura das

Colunas ou paredes que suportam um arco semi-circular

Fonte: Gago, 20045.2 Teoria das Cunhas

5.2.1 Conceito

De acordo com Nunes (2009), na teoria de cunhas, cada aduela modelada como uma cunha independente, de onde resulta que o arco modelado como um sistema de cunhas em equilbrio. Houve muitos autores importantes da teoria das cunhas, podendo-se citar entre ele o precursor Leonardo Da Vinci (1452-1519), Philippe de La Hire (1640-1718) e de Blidor (1697/98?-1761). O foco principal desta teoria esta em determinar as condies limites de estabilidade do arco.5.2.2 Histrico

Os primeiros estudos sobre o comportamento mecnico dos arcos de que se tem conhecimento so de Leonardo da Vinci e constam de um conjunto de ensaios experimentais. Nestes estudos, Leonardo elaborou um modelo terico do arco de aduelas como uma maquina composta por aduelas, cordas e roldas, no entanto este modelo satisfazia as condies de equilbrio de cada elemento e no da estrutura como um todo. Investigou tambm os mecanismos de ruptura do arco, antecipando a abordagem da teoria de rotao de aduelas.Figura 4 Desenho esquemtico do modelo do arco como sistema de cunha de Leonardo da Vinci

Fonte: Kurrer, 2008 apud Nunes, 2009

Figura 5 - Estudos sobre arcos e regra para a verificao da estabilidade de arcos de Leonardo da Vinci. Fonte: Leonardo Da Vinci, 1491 apud Gago, 2004Foi com Philippe de La Hire (1640-1718), artista plstico e cientista francs, que essa ideia consolidou-se na forma de uma teoria estruturada. La Hire estudou o comportamento mecnico de arcos e abbodas, aplicando pela primeira vez os conceitos da esttica. A teoria de La Hire pressupe a inexistncia de atrito entre as aduelas do arco, e considerava como mecanismo de colapso que um arco de cunha rua atravs de um mecanismo do tipo cunha deslizante, pela ao do seu peso, a parte superior cairia, deslizando sobre juntas fraturadas e empurrando os encontros para o exterior. Neste mecanismo, considerou que as juntas de escorregamento ocorriam aproximadamente meia distncia entre os encontros e o fecho do arco, e que as trs zonas entre as descontinuidades se mantinham coesas formando corpos rgidos.Figura 6 Mecanismos tipo cunha deslizante proposto por Philippe de La Hire.

Fonte: Gago, 2004No considerando o atrito nas juntas entre as aduelas do arco, La Hire admitiu que a presso entre aduelas consecutivas se fazia na perpendicular s respectivas juntas e que nas juntas crticas a fora P atuava no ponto interior. De acordo com Gago (2004), considerando este mecanismo de colapso e as correspondentes hipteses, seria possvel determinar, por equilbrio do corpo superior, a intensidade da fora atuante P e, pelo equilbrio de momentos das foras atuantes nos corpos inferiores em torno do ponto H, a equao quadrtica que define a espessura necessria para a estabilidade da coluna. La Hire apresentou os seus clculos sob forma grfica, porm com uma metodologia de difcil aplicao.Figura 7 Diagrama de Corpo Livre correspondente ao mecanismo proposto por La Hire.

Fonte: Gago, 2004A primeira aplicao prtica da teoria de La Hire atribuda a Bernard Forest Blidor (1697/98?-1761) no estudo dos ps-direitos de arcos e abbadas. Admitindo o mecanismo tipo cunha deslizante, considerou a junta crtica a um quarto do arco, isto , com uma inclinao de 45, e o ponto de aplicao da fora P no ponto mdio dessa junta, e no no vrtice interior como La Hire tinha admitido. Essas mudanas representam, em certos aspectos, um retrocesso em relao abordagem de La Hire (generalizao da junta de ruptura a 45 no corresponde realidade, e com a mudana do ponto de aplicao do empuxo para o centro do arco, se perde a noo da formao de articulao), no entanto, criou-se um mtodo de aplicao simples, que podia ser usado diretamente por qualquer engenheiro, se tornando rapidamente o mtodo padro de clculo.Com o surgimento das teorias que estudavam o comportamento do arco considerando o atrito entre as aduelas, mostrando que o pressuposto de que as aduelas atuam como cunhas umas contras as outras falho, fez com que a teoria de cunha passasse a declinar .5.3 Teoria de Rotao de Aduelas5.3.1 Conceito

A Teoria de Rotao de Aduelas defende que o arco tende a falhar pela rotao de partes da arcatura sobre suas arestas, e no por deslizamento de aduelas entre si, como propunhas a teoria de cunhas. Vrios estudos experimentais foram realizados no sculo XVII, mas o trabalho mais importante no desenvolvimento desta teoria foi o de Coulomb (1773) . A determinao das condies limite de equilbrio esttico do arco por meio da anlise se seus mecaniscos de colapso o foco principal desta teoria5.3.2 Histrico

Charles-Augustin de Coulomb retomou o problema do estudo do arco praticamente do zero, ignorando todo os trabalhos anteriores, referindo apenas as concluses de La Hire e de Belidor, desenvolvendo uma extensa base terica para a anlise de arcos, que lhe permitiu identificar o modo de colapso mais provvel e determinar os correspondentes valores limites dos impulsos.

Coulomb comeou primeiro por estudar o arco sem atrito, e depois considerou o atrito nas juntas entre as cunhas e constatou que era suficientemente alto para evitar qualquer deslizamento, verificando desta forma, que o nico processo de gerao do mecanismo de colapso era atravs da formao de charneiras de rotao. O contrrio do que sugeria La Hire, Coulomb admitiu que as presses apenas deveriam respeitar a condio de se manter no interior da espessura do arco, e no teriam de ser necessariamente perpendiculares s juntas entre elementos. Figura 8 Mtodo de Coulomb

Fonte: Nunes 2009, apud Timoshenko, 1953

Segundo Gago (2004), ao analisar o mecanismo de colapso por rotao das charneiras, Coulomb verificou que, se a carga horizontal P for suficientemente pequena, o corpo rgido do arco acima da junta crtica (AaMm) cair por rotao em torno do ponto M no intradorso do arco; no entanto, se a carga horizontal for suficientemente alta, o corpo rgido ter um movimento ascencional por rotao em torno do ponto m no extradorso do arco. Deste modo Coulomb estabeleceu os limites mximo e mnimo das cargas para um arco em equilbrio. Figura 9 Mecanismos limites considerados por Coulomb

Fonte: Gago, 2004A principal dificuldade da teoria de Coulomb identificar a localizao exata da junta de ruptura, pois para aplicao do mtodo, sendo dadas as dimenses do arco, a posio da junta deveria ser determinada por um processo de tentativa e erro (neste tempo o clculo era feito analiticamente), o que demanda muito tempo, que acabou fazendo com que o mtodo no fosse bem acolhido pelos engenheiros prticos da poca, que preferiam utilizar regras empricas .Devido essa dificuldade de utilizao a teoria de Coulomb ficou esquecida por quase cinquenta anos at que Audoy (1820) , realiza alguma modificaes e apresenta tabelas com valores pr-calculados do peso e do centro de gravidade do bloco central, para certos tipos de arco, de forma a facilitar os clculos.

5.4 Teoria da Linha de Empuxo

5.4.1 Conceito

Na Teoria da Linha de Empuxo a estabilidade do arco pode ser avaliada pelo posicionamento da linha de empuxo relativamente espessura do arco. Linha de empuxo o lugar geomtrico dos pontos por onde passam as resultantes dos esforos por um determinado plano de corte, desta forma, considerando que a estrutura fique totalmente comprimida, para que fique estvel a linha de empuxo tem de se localizar dentro do tero central das vrias sees transversais. Esta teoria prope determinar a configurao efetiva da linha de empuxo, entre as infinitas configuraes estaticamente possveir para o arco em condioes de servio.5.4.2 Histrico

O desenvolvimento desta teoria se tornou possivel no final do sculo XVII, quando foi descoberto que a esttica do arco rgido a mesma do fio flexvel , o primeiro compresso e o segundo trao, que possibilitou surgir a idia da existncia de uma linha de empuxo contida na espessura do arco. Quem realizou esta descoberta foi Robert Hooke (1635-1703), publicado em 1705, compreendia que a forma que um fio flexvel assume submetido a uma dada situao de carregamento, quando invertida, a forma do arco ideal (de alvenaria) para a mesma situao de carregamento.At as primeiras dcadas do sculo XIX, as regras e os mtodos desenvolvidos no consideravam a distribuio das tenses nas seces transversais dos arcos ou abbadas. Em 1823, Claude Navier (1785-1830), pela primeira teorizou as distribuio de tenses nas sees de peas lineares, que definiu o conceito de ncleo central e props adotar a medida de um tero da espessura do arco para identificar o ponto de aplicao das resultantes.De acordo com Gago (2004), por volta de 1830, foram introduzidas duas novas noes no estudo dos arcos: a linha de resistncia e a linha de presses. Segundo a definio de Timoshenko (1953, apud Gago, 2004): a linha de resistncia o polgono que une os centros de presses de cada junta; e a linha de presses o lugar geomtrico das consecutivas interseces entre as direes das resultantes das presses atuantes nas juntas.Henry Moseley (1801-1872) ao analisar com maior profundidade a linha de presses, em 1843,pode concluir que a linha de presses e a linha de resistncia eram lugares geomtricos distintos. Moseley afirmou que um arco est em equilbrio se a linha de resistncia estiver totalmente includa no interior do arco e que se cruzasse o extradorso ou o intradorso, o arco quebraria perto desse ponto de interseco.Figura 10 Linha de Empuxo e Linha de Presso

Fonte: Moseley, 1843 apud Nunes, 2009No intuito de localizar a "verdadeira" linha de resistncia instalada no arco, Moseley recorreu ao princpio da resistncia mnima, considerando que de todas as possveis configuraes para o equilbrio da estrutura, a "verdadeira" era a que correspondia a fora horizontal mnima no fecho do arco. Para isso, a linha de empuxo toca a superfcie do arco, pelo intradorso, em um ponto intermedirio entre a imposta e a chave, e pelo extradorso, na coroa.Figura 11 Linha de Resistncia Limite correspondente fora horizontal mnima

Fonte: Gago, 2004Essa soluo que no , evidentemente, a linha de resistncia real, mas apenas uma situao limite.Quase que simultaneamente a Moseley, douard Mry desenvolve precisamente o conceito de linha de empuxo, sua bordagem menos precisa do ponto de vista matemtico, no entanto, mais voltada para a aplicao prtica do que a de Moseley. Utlizando as teorias de Moseley e o trabalho de Navier, construiu um mtodo grfico prtico que seria muito usado para arcos de pequena dimenso. Mry, ao observar os resultados experimentais, admitiu que o mecanismo de colapso de um arco se iniciava atravs da formao de charneiras de rotao no fecho do arco e nos seus rins. Uma vez que o arco dimensionado para que este funcione totalmente comprimido, ou seja, que a linha de resistncia se encontre totalmente dentro do tero central da seo do arco, a situao correspondente ao incio da formao do mecanismo de colapso seria aquela em que a curva de presses passaria pelo ponto superior do tero central da seo no fecho do arco e no ponto inferior do tero central na junta em rotura nos rins do arco. Eliminou assim, a indeterminao do traado da curva de empuxo fixando-lhe dois pontos, um na junta do fecho, no tero externo e o outro na junta de ruptura, no tero interno.Mry props para a junta em rotura nos rins de arcos circulares sujeitos ao do seu peso uma inclinao de 30 com a horizontal, isto , de 60 com a vertical.Figura 12 Mtodo Grfico de Mry

Fonte: Gago, 2004

A espessura mnima do arco equivaleria quela para qual a linha de empuxo mximo equivale linha de empuxo mnimo, ou seja, uma nica linha de empuxo possvel.

Considerando a resitncia dos materiais, obtm que a espessura do arco, dividida em trs zonas (figura 12), as zonas perifricas (BBAA=bbaa) devem ser dimensionadas de modo que possam resistir, em cada junta, a dois teros da presso total a que a junta est sujeita, considerando como fator de segurana, que a tenso de cculo no deve ser superior a 1/10 da tenso de ruptura do material. Uma vez determinadas as espessuras perifricas, a zona central (BbaA) fica sendo o limite no qual a linha de empuxo deve estar contida inteiramente.Figura 13 Diviso da espessura do arco em funo da resistncia do material

Fonte: Mry, 1840 apud Nunes, 2009

Este mtodo foi amplamente difundido e utilizado, e posteriormente alterado. Atualmente consiste, no caso de um problema simtrico, em primeiramente determinar a linha de empuxo que passa pelos pontos na junta do fecho, no tero externo e o outro na junta de ruptura, no tero interno; verificar se essa curva recai no interior do tero central do arco; e por fim, verificar se a tenso normal s juntas, calculada pela hiptese de comportamento elstico linear, no ultrapassa 1/10 da resistncia compresso simples do material. Segundo Delbeq (1982 apud Nunes, 2009): Este mtodo foi posteriormente descatacterizado pela teoria da elasticidade, se transformou em uma regra dita do tero central e assim perdeu seu sentido profundo.

Da hiptese de Bernoulli sabe-se que as tenses normais em equilbrio com os esforos atuantes (figura 14) numa seo transversal de uma pea linear podem ser determinadas a partir da seguinte expresso:Em que:

A rea da seo transversalI Momento de inercia

Figura 14 - Tenses normais e esforos atuantes na seo transversal de uma pea linear.

Fonte: Gago, 2004Para a seo transversal ser retangular de largura b e altura t, a expresso fica:A tenso normal mnima correspondente dada por:Para que a seo esteja totalmente comprimida, a tenso mnima dever ser de compresso. Assim:Dessa forma, conclui-se que uma seo transversal retangular estar totalmente comprimida se a resultante das tenses normais tiver o seu ponto de aplicao no interior do tero (ou ncleo de inercia) central da seo (Figura 15).

Figura 15 Distribuio das tenses internas numa seo em funo da posio da sua resultante.

Fonte: Gago, 2004Aumentando a excentricidade da resultante das tenses normais surgem tenses de trao numa das extremidades da seco. No sendo possvel a ocorrncia de tenses de trao a seo fissura nessa regio, aumentando a intensidade da tenso normal mxima de compresso na extremidade oposta (Figura 16). Para uma excentricidade da resultante igual a metade da altura da seo a tenso normal mxima de compresso toma um valor infinitamente grande, provocando o esmagamento, por compresso, desse vrtice. Para uma maior excentricidade da resultante, isto , para uma localizao exterior aos limites da seco, o equilbrio no possvel apenas com tenses normais de compresso.

Nas situaes anteriores fissurao da seo a expresso (1) permanece vlida, obtendo-se a partir dela a seguinte relao entre os esforos atuantes M e N e a tenso normal mxima de compresso na seco (mx.:Figura 16 Distribuio das tenses internas numa seco em funo da posio da sua resultante.Fonte: Gago, 2004Levando em conta que a resistncia compresso da alvenaria limitada, a tenso mxima de compresso no poder ultrapassar o valor admissvel (c adm. Assim, para um dado valor do esforo normal atuante N, o momento mximo Mmax que possvel mobilizar na seo no fissurada ser:

Ou seja, a excentricidade mxima (emax) que o esforo normal atuante N poder ter :

Para que no ocorra fissuras o esforo normal limitado:

5.5 Teoria Elstica

5.5.1 Conceito

Nesta teoria, o arco de alvenaria modelado como um slido elstico. A teoria da elasticidade consiste, resumidamente, nos seguintes conceitos:

a) Mantm-se vlidas as imposies da Resistncia dos Materiais

- Lei de Hooke: material considerando elstico linear, as tenses so diretamente proporcionais s deformaes especficas;

- Lei de Navier-Bernouilli: As sees transversais planas permanecem planas na deformao. As tenses so diretamente proporcionais aos esforos internos.

b) Continuidade da estrutura com a deformao- Em um ponto qualquer, a tangente sua esquerda coincide com a tangente sua direita;

- Os ns contnuos so supostos indeformveis; os ngulos entre as barras se mantm na estrutura deformada.

c) As condies de equilbrio so computadas na posio indeformada- Os deslocamentos so pequenos o suficiente para se escrever as equaes de equilbrio na posio original (as equaes de Equilbrio independem da posio deformada final da estrutura).d) Superposio De Efeitos- Os esforos internos so sempre diretamente proporcionais s aes externas, consequencia da linearidade impliscita nas hipoteses anteriores.5.5.2 Histrico

No final da primeira metada do sculo XIX, a questo que se colocava era qual a lei fsica que deveria ser introduzida para resolver a indeterminao do arco estatico, pois at ento a estratgia era utilizar hipteses simplificadas, sem considerar o comportamento do material, de modo a torna o problema determinado. No entanto, alguns autores concluram na poca que, que no era possvel determinar a linha de empuxo verdadeira apenas atravs das equaes de equilbrio, era necessrio tcnicas de resoluo de estruturas hiperstticas.Desde o incio deste sculo vinha se desenvolvendo uma teoria do arco elstico, mas voltado para arcos metlicos e de madeira, enquanto o de alvenaria seguia por um outro campo de investigao. No incio se teve dvidas se o arco de alvenaria poderia ser considerado um corpo elstico, no s pela indeterminao do problema decorrente do grau de estaticidade, mas tambm porque as caractersticas fsicas da alvenaria so opostas s caractersticas do material assumodas pela teoria da elasticidade (homogeneidade, isotropia e propriedades elsticas bem definidas). No entanto, vrios pesquisadores executaram um conjunto de ensaios que mostravam que a teoria elstica podia ser aplicada com adequada exatido a arcos, em especial Winkler, que foi um dos responsveis pela introduo, na prtica, da teoria elstica do arco de alvenaria.Em 1867, Emil Winkler (1835-88), considerando o arco como uma estrutura elstica, afirmava, justificando pela aplicao do princpio do trabalho mnimo arco do alvenaria, que a linha de empuxo verdadeira aquela que desvia o mnimo possvel da linha central do arco. A teoria de Winkler pressupe a cura perfeita da argamassa e a inexistncia de movimentos ou fissuras na alvenaria.A Associao Austraca de Engenheiros e Arquitetos (OIAV), a partir de 1890, realizou uma srie de ensaios com arcos em alvenaria estrutural, construdos com pedregulho irregular, tijolos cermicos, concreto e concreto armado.Atravs dos resultados, constatou-se a existncia de uma fase elstica linear para os arcos de alvenaria e uma discrepncia significativa entre o mdulo de elasticidade dos arcos e os materiais constituintes, concluindo ento, que a aplicao da teoria elstica permite o clculo de arcos de alvenaria desde que os pr-requisitos da teoria sejam atendidos no decorrer da construo da estrutura.

De acordo com Huerta (2004, apud Nunes, 2009), depois de 1990, a teoria elstica foi definitivamente considerada a mais adequada para o clculo de arcos de alvenaria, de modo que a partir de ento todas as contribuies tericas foram no sentido de simplificas os mtodos de clculo elstico.5.6 Teoria da Carga Limite

5.6.1 Conceito

A anlise limite que admite para o material um comportamento rgido-perfeitamente plstico surge ento como um mtodo disponvel para avaliar a segurana de uma estrutura em alvenaria submetida ao de cargas estticas. O Teorema Esttico diz que se para um dado carregamento for possvel encontrar um campo de tenses esttica e plasticamente admissvel, ento a estrutura ser capaz de suportar esse carregamento.

5.6.2 Histrico

O principal estudioso dessa teoria foi Jacques Heyman, que aprofundou a sua pesquisa na aplicao do mtodo da anlise limite s estruturas de alvenaria, relegando para segundo plano a determinao da linha de empuxo verdadeira, uma vez que a forma e a posio da linha de empuxo so muito sensveis s movimentaes (fissuras, recalques, cura heterognea da argamassa, etc.), determinar a linha de empuxo para uma dada situao especfica, ainda que possvel, no teria sentido prtico.

Heyman, na teoria da carga limite, prope determinar as condies de estabilidade e de segurana da estrutura, assumindo as seguintes hipteses:

1) A alvenaria tenha resistncia compresso infinita;2) Os elementos apresentam resistncia trao nula;

3) No haja possibilidade de deslizamento de aduelas; O teorema esttico da teoria da anlise limite considera que o arco de alvenaria esta sujeito movimentaes, mas por ser um corpo rgido, formam-se fissuras, que atuam como articulaes, criando mecanismos de acomodao da estrutura. Desta forma, garante que se for possvel encontrar um estado de tenso em equilbrio com as solicitaes exteriores, que verifique em simultneo o critrio de resistncia em todas as sees, a estrutura no colapsar sob a ao dessas solicitaes, que no caso da alvenaria uma distribuio de esforos admissvel corresponde a uma linha de presses totalmente includa no interior da espessura da estrutura. De todas as distribuies de esforos adimissveis, a que corresponde ao colapso a com maior parmetro de carga.

A importncia deste teorema que o estado de equilbrio a ser analisado no necessita ser o estado de tenso real, bastando identificar um possvel estado de equilbrio para garantir a segurana da estrutura.6 MECANISMOS DE COLAPSO

Depois de vrios estudos de diversas teorias, a concluso de que os mecanismos de colapso do arco de alvenaria tem trs origens , sendo:1 Rotao de uma de suas arestas, seja intradorso ou extradorso;

2 Deslizamento de uma das aduelas sobre a outra;

3 Aps deformao seguida de esmagamento do material.

Essas trs causas principais de colapso correspondem a trs condies necessrias de estabilidade do arco, sendo:

Condio de equilbrio esttico: necessria para se evitar a rotao de aduelas, impe que a linha de empuxo seja contida inteiramente entre a curva do intradorso e do extradorso;

Condio de atrito: necessria para evitar o deslizamento de aduelas, impe que a resultante das foras atuantes em uma junta faa com o plano da normal um ngulo inferior ao de atrito entre as duas aduelas consecutivas;

Condio de resistncia: necessria para se evitar o esmagamento do material, impe que a resistncia de segurana do material compresso no deve ser inferior da carga solicitante.

Figura 17 Mecanismos de Colapso em arcos circulares

Fonte: Kurrer, 2008 apud Nunes, 2009

7 EXERCCO PRTICO

Nesta captulo ser realizado o dimensionamento de um arco de ponte em alvenaria utilizando regras empricasJesus, 2013 menciona os principais autores e suas teorias empricas para o dimensionamento de arcos e pilares de pontes em alvenaria (tabela 01 e tabela 02, respectivamente).Tabela 1 - Principais teorias empiricas para o dimensionamento de arcos

Fonte Jesus, 2013Em que:

t espessura do arco

s o comprimento do vo

R o raio do crculo que passa no intradorso do arco

o raio de curvatura do arcoTabela 2 Principais teorias empiricas para o dimensionamento de arcos

Fonte Jesus, 2013Em que:

W a largura do pilar

S o comprimento do vo

Dados: Vo: 9m (adotado)

Teoria adotada Sjouni

Calculo da espessura do arco:

Calculo da espessura do pilar:

Verificao da espessura mnima da chave (critrio de Dubosque):

Detalhamento do Arco:Figura 17 - Detalhamaneto do Arco

8 CONCLUSO

O arco, como elemento estrutural, utilizado desde os primrdios pelo homem e suas dimenses e maneiras de utilizao fundamentou-se em teorias estruturais baseada de forma emprica onde era transmitida atravs das geraes. Entretanto, observou-se atravs do desenvolvimento da cincia moderna, que o dimensionamento baseado no empirismo no suficiente para compreender as estruturas bem como o arco estrutural.

Nota-se que o desenvolvimento das teorias do arco em alvenaria ocorre basicamente na Europa, um dos locais pioneiros em sua utilizao, e podem ser divididos em duas reas de estudo: As teorias baseadas na linha de empuxo as teorias baseadas no mecanismo de colapso do arco. Atravs das pesquisas para o desenvolvimento deste trabalho, observamos tambm, poucos trabalhos nacionais para este enfoque.Observamos que no existe apenas um mtodo de compreenso do arco em alvenaria. Como vimos, existem vrias teorias sendo que muitas dessas abordagens so subdivididas ou contm mais de uma interpretao.Dentre as teorias observadas, conclumos que:A teoria das cunhas foram as primeiras a serem desenvolvidas e representava o arco como um sistema de cunhas em equilbrio, inicialmente consideradas como perfeitamente polidas e posteriormente introduziu-se a influncia do atrito. Acabaram sendo superadas, pois estudos experimentais apontavam falhas no modelo.A teoria de rotao das aduelas desenvolveu-se a partir do estudo do mecanismo de colapso do arco. Seu fundamento est condicionado na determinao das condies de estabilidade do arco. Seu fundamento e aplicao s foram compreendidos atravs do desenvolvimento da teoria da linha de empuxo e serviu de base para o desenvolvimento da teoria plstica.

A teoria da linha de empuxo prope descrever a posio exata da linha de empuxo desenvolvida atravs do arco para qualquer configurao esttica do mesmo. Sua adoo exige a tomada de alguns critrios como princpio da resistncia mnima o princpio das presses mximas.A teoria elstica considera o arco como sendo um solido elstico a partir das condies de contorno e propriedades fsicas do material, possvel determinar a posio da linha de empuxo. Entretanto o modelo no prev pequenas mudanas nas condies de contorno resultando em grandes mudanas na posio da linha de empuxo.Atualmente a anlise e dimensionamento dos arcos em alvenaria podem ser feitos atravs de outras teorias e mtodos, entre algumas, podemos citar:

Anlise Geomtrica pelo Polgono Funicular; Anlise Geomtrica pelo Mtodo de Fuller; Mtodo Elstico de Pippard; Anlise Numrica em Estruturas de Alvenaria; Elementos Estruturais e Macro-Elementos; Modelos Contnuos de Elementos Finitos; Modelos Descontnuos de Elementos Finitos; Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise No Linear; Algoritmos de Soluo No Linear em Problemas Estticos;BIBLIOGRAFIA

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CANHO, R. G. A Anlise Dinmica do Arco em Alvenaria O Efeito do Enchimento do Extradorso. Dissertao de Mestrado Universidade Tcnica de Lisboa. Lisboa, 2010.GAGO, A. M.C. S. Anlise estrutural de Arcos, Abbodas e Cpulas. Tese de Doutorado - Universidade Tcnica de Lisboa. Lisboa, 2004.JESUS, J.J.C. Caraterizao Geomtrico-Estrutural de Pontes em Arco de Alvenaria na Regio de Bragana. Dissertao de Mestrado Escola Superior de Tecnologia e Gesto de Viseu. Lisboa, 2013.MORAIS, M.J.C. Pontes em Arco de Alvenaria - Estudo de um Caso Prtico. Dissertao de Mestrado Escola Superior de Tecnologia e Gesto de Viseu. Lisboa, 2012.NUNES, P. C. C. Teoria do Arco de Alvenaria: Uma Perspectiva Histrica. Dissertao de Mestrado Universidade de Braslia. Braslia, 2009.

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