Campus de So J os do Rio Preto

REAS E VOLUMES HILTON JUNIOR GONALVES DE SOUZA RENAN JESUS SOUZA DE OLIVEIRA SAMANTHA MARIA MONTES

SO JOS DO RIO PRETO NOVEMBRO - 2009

REAS E VOLUMES

Trabalho apresentado Professora Dr. Rita de Cssia Pavani Lamas, da disciplina Matemtica do Ensino Mdio, turno Noturno, do curso de Licenciatura em Matemtica

INSTITUTO DE BIOCINCIAS, LETRAS E CINCIAS EXATAS IBILCE/UNESP

SO JOS DO RIO PRETO 05/11/2009

1- INTRODUOIntuitivamente, o volume de um slido a quantidade de espao por ele ocupado. Para exprimir essa quantidade de espao atravs de um nmero, devemos compar-la com uma unidade; e o resultado dessa comparao ser chamado de volume. Por exemplo, podemos medir o volume de uma panela tomando como unidade uma xcara. Enchendo a xcara de gua e vertendo na panela sucessivas vezes at que fique completamente cheia, estamos realizando uma medida de volume. possvel que o resultado dessa comparao seja um nmero inteiro digamos: 1 panela = 24 xcaras mas muito provvel que na ltima operao sobre ainda um pouco de gua na xcara. E como determinaremos essa frao? O exemplo mostra que esse processo pode ter alguma utilidade em casos simples onde se necessita apenas de um valor aproximado para o volume, mas no funciona, mesmo na prtica, para inmeros objetos. Ou porque so muitos pequenos, ou porque so grandes demais, ou simplesmente porque so completamente slidos. Ainda, a unidade xcara, que muito utilizada nas receitas da cozinha, no naturalmente adequada a um estudo mais geral. Vamos ento combinar que: a unidade de volume o cubo de aresta 1 Para cada unidade de comprimento, temos uma unidade correspondente de volume. Se, por exemplo, a unidade de comprimento for o centmetro (cm), ento a unidade correspondente de volume ser chamada de centmetro cbico (cm3). Assim, o volume de um slido S deve ser o nmero que exprima quantas vezes o slido S contm o cubo unitrio. Mas, com esse slido pode ter uma forma bastante irregular, no fica claro o que significa o nmero de vezes que um slido contm esse cubo. Vamos ento tratar de obter mtodos que nos permitem obter frmulas para o clculo de volumes dos slidos simples.

2- O PARALELEPPEDO RETNGULOO paraleleppedo retngulo um poliedro formado por seis retngulos. Ele fica perfeitamente determinado por trs medidas: o seu comprimento (a), a sua largura (b) a sua altura (c).

(figura 1)

2.1- rea da superfcie de um paraleleppedo retnguloConsideremos a planificao do paraleleppedo retngulo de dimenses a, b e c mostrada na figura

(figura 2)

Observe que a rea total do paraleleppedo retngulo igual soma das reas de: Dois retngulos de dimenses a e b: S1 = a.b Dois retngulos de dimenses a e c: S2 = a.c Dois retngulos de dimenses b e c: S3 = b.c

Ento: S t = 2 S1 + 2 S 2 + 2 S 3 S t = 2ab + 2ac + 2bc Portanto,S t = 2(ab + ac + bc )

No caso do cubo de lado a, que um paraleleppedo cujas dimenses so2 2 iguais, a rea lateral ser S t = 2(aa + aa + aa ) = 2(3a ) = 6a

Exemplo: Num paraleleppedo retngulo, o comprimento o dobro da largura, e a altura 15 cm. Sabendo que a rea total 424 cm 2, calcular as dimenses desconhecidas desse paraleleppedo. Resoluo: os lados desse paraleleppedo sero a=2x, b=x e c= 15. Ento

S t =2( a +a + c ) b c b 4 4 =2.( 2 x.x +2 x.1 +x.1 ) 2 5 5 4 4 =2( 2 x 2 + 0 x + 5 x ) 2 3 1 4 4 =4 x 2 + 0 x 2 9 2 x 2 4 x +2 2 =0 =3 2 5 1 71 4 6 5 1 x = 4Da: a=2x=2.4=8 cm b=x=4 cm As dimenses desconhecidas so 8 cm e 4 cm.

x ' =4 5 3 x ' ' = ( n o .. s r e ) ev 2

2.2- Volume de um paraleleppedo retnguloO volume desse paraleleppedo retngulo (figura 1) ser representado por V(a, b, c) e como o cubo unitrio um paraleleppedo retngulo cujo comprimento, largura e altura medem 1, ento V(1, 1, 1)=1. Para obter o volume do paraleleppedo retngulo, devemos observar que ele proporcional a cada uma de suas dimenses. Isto quer dizer que se mantivermos, por

exemplo, constantes a largura e a altura e se multiplicarmos o comprimento por um nmero natural n, o volume ficar tambm multiplicados por n, ou seja, V(na, b, c) =nV (a, b, c)

(figura 3)

A figura acima mostra 3 paraleleppedos retngulos iguais e justapostos, colocados em faces iguais. Naturalmente, o volume total 3 vezes maior que o volume de um deles. Este fato, constatado para nmeros naturais, tambm vale para qualquer real positivo e isto quer dizer que, mantidas constantes duas dimenses de um paraleleppedo retngulo, seu volume proporcional terceira dimenso. Logo, sendo a, b e c as dimenses de um paraleleppedo retngulo, temos: V(a, b, c) =V(a.1, b, c) =aV (1, b, c) =aV (1, b.1, c) =abV (1, 1, c) =abV (1, 1, 1.c) =abcV (1, 1, 1) =abc.1 =abc Portanto, o volume de um paraleleppedo retngulo o produto de suas dimenses. Em particular, se a face de dimenses a e b est contida em um plano horizontal, chamaremos essa face de base e a dimenso c de altura. Volume do paraleleppedo= (rea da base) x (altura) Obs: no caso do cubo temos Volume=a.a.a=a3 Exemplo: Um tanque em forma de paraleleppedo tem por base um retngulo, na posio horizontal, de lados 0,8 m e 1,2 m. Um objeto, ao ser imerso completamente no tanque, faz o nvel da gua subir 0,075 m. Qual o volume desse objeto? Resoluo:

O volume do objeto igual ao volume de gua deslocada, correspondente elevao de 0.075 m do nvel da gua do tanque. Logo:Vobjeto =1,2 0,8 0,075 objeto = 0,072 m 3 V

O volume do objeto igual a 0,072 m3.

3- O PRINCPIO DE CAVALIERIColoque em cima de uma mesa uma resma de papel. Estando ainda perfeitamente bem arrumada, ela um paraleleppedo retngulo e, portanto, tem volume que podemos calcular. Encostando uma rgua nas faces laterais, podemos transformar o paraleleppedo retngulo em um outro oblquo ou, usando as mos, poderemos moldar um slido bem diferente.

(figura 5)

Sabemos que esses trs slidos tm volumes iguais, mas ainda faltam argumentos para explicar esse fato que intuitivamente percebemos. De uma forma mais geral, suponha que dois slidos A e B esto apoiados em plano horizontal e que qualquer outro plano tambm horizontal corte ambos segundo sees de mesma rea. O Princpio de Cavalieri afirma que o volume de A igual ao volume de B.

(figura 6)

Se imaginarmos os dois slidos fatiados no mesmo nmero de fatias muito finas, todas com mesma altura, duas fatias correspondentes com mesma rea tero, aproximadamente, mesmo volume. Tanto mais aproximadamente quanto mais fina forem. Sendo o volume de cada slido a soma dos volumes de suas fatias, conclumos que o dois slidos tm volumes iguais.

4- O PRISMARelembrando: prisma um poliedro com duas faces congruentes e paralelas (localizadas em planos paralelos) e cujas outras faces so paralelogramos obtidos ligando-se os vrtices correspondentes das duas faces paralelas. Exemplos de prismas:

(figura 7)

4.1- rea da superfcie de um prismaUm prisma formado por duas bases que so congruentes e as faces laterais. Dessa maneira a rea da superfcie de um prisma fica assim determinada:S total = S base + S lateral

Num prisma regular (prisma reto em que as bases so polgonos regulares), se o polgono da base possui n lados, a rea lateral pode ser calculada multiplicando por n a rea de cada face lateral.

Exemplo: Um fabricante de embalagens de papelo quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa 20 cm e que o lado do polgono da base mede 16 cm, calcule a rea de papelo necessria para construir essa embalagem. Admita que se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado, devido s sobras de papelo e para que seja possvel fazer colagens necessrias confeco da caixa. (Use Resoluo: Sejam a o lado do polgono da base e h a altura da caixa, temos A=16 cm e h=20 cm Clculo da rea da base (Sb): A base um hexgono regular que pode ser decomposto em seis tringulos cujos lados medem 16 cm.S tringulo = Logo : S b = 6.S tringulo = 664 ,32 cm 2 a 2 3 16 2. 3 = = 110 ,72 cm 2 4 43 =1,7 3

)

Clculo da rea lateral (Sl): Num prisma regular, sabemos que as faces laterais so retngulos.S retngulo S retngulo Logo : S b = 6.S tringulo = 664 ,32 cm 2 =16 20 = 320 cm 2

Como so 6 retngulos, vem:S l = 6 S retngulo = 6 320 = 1920 cm 2

Clculo da rea total ( S t ) :S t = S l + S b = 1920 + 2 664 ,32 = 3248 ,64cm 2

Devemos usar 25% a mais de papelo do que o calculado Ento,

rea = 3248 ,64 + 0,25 3248 ,64 = 4060 ,80 cm 2

4.2- O volume de um prismaConsideremos um prisma e um paraleleppedo retngulo de mesma altura h e bases iguais a Sb contidas no plano

.

(figura 8)

Como as seces transversais determinadas no prisma e no paraleleppedo pelo plano , paralelo a

, tm reas iguais, conclumos pelo Princpio de Cavalieri que o volume doMas o volume desse paraleleppedo dado pelo produto de suas trs

prisma igual ao volume do paraleleppedo retngulo. dimenses. Logo: V = xyh ou V = Sbh Assim, podemos obter o volume do prisma: Vprisma = Sbh O volume de um prisma qualquer igual ao produto da rea de sua base pela medida da altura. Exemplo: Uma piscina tem a forma e as dimenses indicadas na figura. As arestas que convergem em cada um dos pontos A, B, E, A, B e E so mutuamente perpendiculares, e as arestasA , B , B' C ' E C

e A' E ' so verticais.

Qual a capacidade da piscina, em litros?

Dado: 1 m3=1000 l

Resoluo: Trocando a posio do prisma que representa a piscina temos: A base do prisma o seguinte polgono: A rea desse polgono dada pela soma das reas do retngulo ABCF e do trapzio FCDE. Logo:S retngulo = 25 1S = 25 m 2 S trapzio = ( 25 + 9) 3,5 = 59 ,5m 2 2

Ento, a rea da base igual a S b = 25 + 59 ,5 = 84 ,5m 2 . Portanto, a capacidade da piscina igual a: V = 845 1000 = 845 .000 l

5- A PIRMIDERelembrando: dados um plano V que no pertence a

, um polgono P contido em e um ponto

temos:

A figura geomtrica formada pela reunio de todos os segmentos de reta que tm uma extremidade no ponto V e a outra num ponto do polgono P denomina-se pirmide.

Exemplos:

(figura 9)

5.1- rea da superfcie de uma pirmideUma pirmide formada por uma base e suas faces laterais. Dessa maneira a rea da superfcie de uma pirmide fica assim determinada:S total = S base + S lateral

Numa pirmide regular (pirmide em que a base um polgono regular e a projeo ortogonal do vrtice sobre o plano da base o centro da base), se o polgono da base possui n lados, a rea lateral pode ser calculada multiplicando por n a rea de cada face lateral.

5.1.1- rea do tetraedro regularComo as faces do tetraedro regular so tringulos equilteros de lado a, a rea total do tetraedro regular igual a quatro vezes a rea de uma faceS t = 4.S tringulo = 4. a2 3 = a2 3 4

Exemplo: Uma folha de papel colorido, com forma de um retngulo de 12 cm de largura e 15 cm de comprimento, ser usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 8 cm e cuja altura mede 3 cm. Levando em conta que no deve haver desperdcio de papel, quanto sobrar de papel colorido?

Resoluo: Desenhando a pirmide temos: m =l 8 m = = 4 Clculo do aptema da pirmide (g): 2 2

Como o VOM retngulo, aplicando Pitgoras, temos;g 2 = h 2 + m 2 g 2 = 3 2 + 4 2 = 25 g = 5

Clculo da reas da base:S b = l 2 S b = 8 2 S b = 64cm 2

Clculo da rea lateral:l g 85 = S face = 20 cm 2 2 2 S l = 4 S face = 4 20 = 80 cm 2 S face =

Clculo da rea total:S t = S l + S b S t = 80 + 64 = 144cm 2

Clculo da rea da folha de papel:S = 15 12 S = 180 cm 2

Sobra de papel:P = S S t = 180 144 P = 36 cm 2

Portanto, sobraro 36cm2 de papel.

5.2- O volume da pirmidePara obter o volume da pirmide, precisamos de resultados adicionais. Em particular, o que realmente importa ter a certeza que se o vrtice de uma pirmide se move em um plano paralelo base, o volume de uma pirmide no se altera. Para isso, vamos examinar o que ocorre quando uma pirmide seccionada por um plano paralelo sua base. A figura a seguir mostra uma pirmide de vrtice V, base ABC (triangular apenas para simplificar o desenho) e altura H. Um plano paralelo a ABC, distando h do vrtice V, produziu nessa pirmide uma seo DEF.

(figura 10)

Vamos agora citar dois fatos importantes com respeito situao acima: A seo e a base da pirmide so figuras semelhantes e a razo de semelhana A razo entre reas de figuras semelhantes o quadrado da razo de semelhana.h . H

Teorema: duas pirmides de mesma base e mesma altura tm mesmo volume.A figura a seguir mostra duas pirmides de mesma base ABC, vrtices V1 e V2 e com mesma altura H. Um plano paralelo ao plano ABC e distando h dos vrtices das pirmides, produziu sees S1 e S2 nas duas pirmides.

(figura 11)

Seja A a rea da base ABC e sejam A1 e A2 as reas das sees

S1 e S2, respectivamente. Pelos argumentos que citamos, temos que:A1 h A = = 2 A H A2

de onde se conclui que A1= A2. Pelo Princpio de Cavalieri, as duas pirmides tm mesmo volume, como queramos demonstrar. O fato que podemos mover o vrtice de uma pirmide em um plano paralelo sua base sem alterar o seu volume a chave para a demonstrao do volume da pirmide de base triangular.

Teorema: O volume de uma pirmide triangular igual a um tero do produto da rea da base pela altura.Consideremos ento um prisma triangular cujas bases so os tringulos ABC e ABC, como mostra a figura a seguir.

(figura 12)

Seja A a rea de ABC e seja h a altura do prisma. Como sabemos, seu volume Ah. Vamos agora, dividir esse prisma em trs tetraedros: A-ABC, B-ACC e B-ABC, como mostra a figura a seguir.

(figura 13)

Sejam V1, V2 e V3 os volumes respectivos dos trs tetraedros citados e seja V o volume do prisma. Pelo teorema anterior, sabemos que o volume de uma pirmide no se modifica quando, mantendo a base fixa, movemos o vrtice em um plano paralelo a essa base. Tendo isto em mente podemos concluir:V1 = V ( A A' B ' C ' ) = V ( A' ABC ) V2 = V ( B ' ACC ' ) = V ( B ACC ' ) = V (C ' ABC ) V3 = V ( B ' ABC )( 2) (1)

(1) bases congruentes e mesma altura (2) O vrtice se move paralelo base, ou seja, pelo teorema anterior o volume permanece inalterado

Conclumos ento que o volume do prisma igual soma dos volumes de trs tetraedros: A-ABC, B-ABC e C-ABC Com a mesma base do prisma e com alturas iguais a do prisma. Logo, cada um deles tem volume igual a um tero do volume do prisma. Demonstramos ento que o volume de uma pirmide de base triangular igual a um tero do produto da rea da base pela altura.

Teorema: o volume de qualquer pirmide igual a um tero do produto da rea da base pela altura.Para justificar, observe que qualquer pirmide pode ser dividida em pirmides de base triangular. Essa diviso feita dividindo-se a base em tringulos justapostos por meio de diagonais e definindo cada plano de diviso da pirmide por uma dessas diagonais da base e pelo vrtice da pirmide.

(figura 14)

Suponha agora que a pirmide tenha altura h e que sua base, de rea A, tenha sido dividida em n tringulos de reas.A1 , A2 ,..., An

Como o volume da pirmide a soma dos volumes das pirmides triangulares, temos que seu volume :1 1 1 A1 h + A2 h + ... + An h 3 3 3 1 V = ( A1 + A2 + ... + An ) h 3 1 V = Ah 3 V =

como queramos demonstrar. Fica ento estabelecido que: Volume da pirmide=1 (rea da base) x (altura) 3

Exemplo: A base de uma pirmide um quadrado de lado 3 cm. Sabendo-se que a altura da pirmide

mede 10 cm, calcular o volume dessa pirmide. Resoluo: Como V = S b h , temos: Clculo da rea da base: A base quadrado; logo:S b = l 2 S b = 3 2 = 9 S b = 9cm 21 3

Clculo do volume:V = 1 1 S b h V = 9 10 V = 30cm 3 3 3

6- EXERCCIOS6.1 Um prisma reto com 1,5 m de altura tem seo transversal como mostra a figura. Determine a rea total desse prisma.

6.2 Calcule o volume de ar contido em um galpo com a forma e as dimenses dadas pela figura.

6.3 Calcule a rea total do solido indicado na figura.

6.4 Um caminho basculante tem a carroceria com as dimenses indicadas na figura.

Calcule quantas viagens dever fazer para transportar 136 m3 de areia.

6.5 A figura abaixo mostra duas pirmides regulares cujas bases coincidem com duas faces de um cubo de aresta a. Sabe-se que as alturas das pirmides so iguais diagonal do cubo. Determine a rea total do slido formado pelas pirmides.

6.6 A figura abaixo ilustra a planificao de uma pirmide de base quadrada com lado medindo b e faces laterais formadas por tringulos

issceles com um lado medindo b e os outros dois medindo a.

Analise as afirmaes: a) A rea da superfcie da pirmide b 2 + 2b a 2 b) O volume da pirmide 1 2 b a 3 b2 4

7- ANLISE DO LIVROO livro no apresenta nenhum erro conceitual. H uma quantidade considervel de figuras nos captulos que trabalham o tema e os exerccios do livro so excelentes, pois alm de trabalharem bem o contedo, ele procura associ-los com o cotidiano do aluno. Porm, em nenhum momento sugerido o uso de calculadora, ou qualquer outro material. No livro apresentado o Princpio de Cavalieri logo no incio do captulo de prismas, e ele usado diversas vezes para concluir quanto ao volume dos demais poliedros. Julgamos tal atitude do autor extremamente eficiente e conveniente, pois o Princpio de Cavalieri de suma importncia no estudo da Geometria. Porm, na parte em que apresenta o volume da pirmide, fazendo a diviso de um prima triangular em trs tetraedros, ele no cita o Princpio de Cavalieri para justificar que o volume das pirmides so iguais. Ele fala: A pirmide 1 tem o mesmo volume que a pirmide 2 1 e 2 tm bases congruentes ( ABC DEF , pois cada tringulo uma 1 e 2 tm mesma altura (altura do prisma) base do prisma)

Faltou ele citar que tal fato se justifica pelo Princpio de Cavalieri. Esta a nica falha que encontramos no livro. De resto, o livro excelente.