Areas Genesis

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    04-Dec-2015
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Exercicios de Areas

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  • REA DE ALGUMAS FIGURAS PLANAS

    RetnguloA rea A de um retngulo o produto da medida da base

    pela medida da altura.

    b

    h

    A = b.h

    QuadradoO quadrado um retngulo de lados iguais. Logo, sua rea A

    o produto da medida da base pela medida da altura.

    a

    a

    A = a2

    ParalelogramoA rea de um paralelogramo de base b e altura h igual

    rea de um retngulo de base b e altura h. Observe:

    b

    h

    b

    h

    A = b.h

    TringuloConsideremos um tringulo ABC, cuja base AB mede b

    e a altura relativa a essa base mede h. Traando por C a reta r paralela base, e por B a reta s paralela ao lado AC, obtemos o paralelogramo ABDC a seguir:

    h

    A B

    DC

    s

    b

    r

    Como o tringulo BCD congruente ao tringulo ABC e a rea A do tringulo ABC metade da rea do paralelogramo, ento, temos:

    A = bh.

    2

    Ou seja, a rea do tringulo metade do produto da medida da base pela medida da altura.

    Tringulo equilteroPelo Teorema de Pitgoras, calcula-se facilmente a medida h

    da altura de um tringulo equiltero de lado , obtendo:

    2

    2

    h

    h = 3

    2

    Logo, a rea A desse tringulo :

    A =

    ..

    322

    32

    12

    2

    = A

    A =

    2 3

    4

    reas de polgonosMATEMTICA

  • Hexgono regularAs diagonais de um hexgono regular dividem-no em seis

    tringulos equilteros. Assim, a rea A de um hexgono

    regular de lado igual seis vezes a rea de um tringulo

    equiltero de lado .

    A= 6.

    2 34

    A = 3 3

    2

    2

    TrapzioTraando uma diagonal de um trapzio de altura h e bases

    b e B, dividimo-lo em dois tringulos de altura h e bases de

    medidas b e B. Observe a figura.

    b

    B

    h

    A rea A do trapzio a soma das reas desses dois

    tringulos. Assim, temos:

    A = B h b h. .2 2

    + A = ( ).B b h+

    2

    Portanto, a rea A do trapzio igual metade do produto

    da altura pela soma das bases.

    LosangoConsideremos um losango cujas diagonais medem

    D e d. Sabemos que as diagonais de um losango so

    perpendiculares entre si e o ponto em que elas concorrem

    o ponto mdio de cada uma.

    Observe, portanto, que a rea A do losango o dobro da

    rea do tringulo de base d e altura D2

    .

    Q N D

    P

    d

    M

    A = 2.dD.22

    A = d D.

    2

    Portanto, a rea A do losango metade do produto das medidas das diagonais.

    OBSERVAO

    O losango tambm paralelogramo. Logo, sua rea pode ser calculada como a rea de um paralelogramo.

    EXPRESSES DA REA DE UM TRINGULO

    Em funo das medidas dos lados Teorema de Hero

    Dado um tringulo ABC, com lados de medidas a, b e c,

    sendo o semipermetro p = a b c+ +

    2,

    A

    c

    B

    b

    a C

    temos que a rea do tringulo ABC :

    A = p p a p b p c.( ).( ).( )

    Em funo do semipermetro e do raio da circunferncia inscrita

    Dado um tringulo ABC, com lados de medidas a, b e c,

    com semipermetro p = a b c+ +

    2, e a circunferncia inscrita

    de raio r, ento a rea do tringulo ABC :

    A = p.r

  • MA

    TEM

    TI

    CA

    Demonstrao:

    A

    c

    B

    b

    a C

    rr

    r o

    A ABC = A BCO + A ACO + A ABO

    A ABC = a r b r c r. . .2 2 2

    + +

    A ABC = a b c r+ +

    2 .

    A ABC = p.r

    Em funo da medida de dois lados e do ngulo compreendido entre eles

    Dado um tringulo ABC, com lados de medidas a, b e

    c e ngulo de medida A^, compreendido pelos lados b e c,

    temos que a rea desse tringulo :

    A = 1

    2.b.c.sen A

    Demonstrao:

    AA

    b

    c

    a

    B

    C

    h

    Ac h

    hb

    h b

    Ab cABC

    ABC

    =

    = =

    =

    .

    sen sen

    . .sen2

    A A

    A22

    Em funo das medidas dos lados e do raio da circunferncia circunscrita

    Dado um tringulo ABC, com lados de medidas a, b e c, inscrito em uma circunferncia de raio R.

    C

    A BR

    O

    c

    a

    A

    b

    A rea do tringulo ABC inscrito na circunferncia :

    A = ab c

    R

    . .

    4

    Demonstrao:

    A b c

    a

    senR

    aR

    AABC

    AB

    =

    = =

    12

    22

    . . .sen

    sen

    A

    AA

    CC

    a b cR

    =

    . .4

    REAS DE POLGONOS REGULARES

    Considere um polgono regular A1A2A3A4...An, de n lados

    de medida e semipermetro p = n2

    , inscrito em uma

    circunferncia de centro O e raio R. O polgono pode ser

    dividido em n tringulos issceles congruentes.

    O

    RR

    R

    A1 A4

    A2 A3

    A6

    An A5

    RR

    R

    R

    Traa-se, em um dos tringulos, o aptema a do polgono.

    R R

    O

    A2 A1

    a

    A rea AT desse tringulo dada por AT = .a2

    .

    Como o polgono possui n tringulos, ento sua rea

    AP dada por:

    AP = n.AT AP = n..a2

    AP = n.2

    .a

    AP = p.a

    reas de polgonos