ÁREA DE ALGUMAS FIGURAS PLANAS

RetânguloA área A de um retângulo é o produto da medida da base

pela medida da altura.

b

h

A = b.h

QuadradoO quadrado é um retângulo de lados iguais. Logo, sua área A

é o produto da medida da base pela medida da altura.

a

a

A = a2

ParalelogramoA área de um paralelogramo de base b e altura h é igual

à área de um retângulo de base b e altura h. Observe:

b

h

b

h

A = b.h

TriânguloConsideremos um triângulo ABC, cuja base AB mede b

e a altura relativa a essa base mede h. Traçando por C a reta r paralela à base, e por B a reta s paralela ao lado AC, obtemos o paralelogramo ABDC a seguir:

h

A B

DC

s

b

r

Como o triângulo BCD é congruente ao triângulo ABC e a área A do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo, então, temos:

A = bh.

2

Ou seja, a área do triângulo é metade do produto da medida da base pela medida da altura.

Triângulo equiláteroPelo Teorema de Pitágoras, calcula-se facilmente a medida h

da altura de um triângulo equilátero de lado , obtendo:

��

�2

�2

h

h = 3

2

Logo, a área A desse triângulo é:

A =

..

32

23

212

2

⇒ = ⇒A

A =

2 3

4

Áreas de polígonosMATEMÁTICA

Hexágono regularAs diagonais de um hexágono regular dividem-no em seis

triângulos equiláteros. Assim, a área A de um hexágono

regular de lado é igual à seis vezes a área de um triângulo

equilátero de lado .

�

�

��

�

�

A= 6.

2 34

⇒ A = 3 3

2

2

TrapézioTraçando uma diagonal de um trapézio de altura h e bases

b e B, dividimo-lo em dois triângulos de altura h e bases de

medidas b e B. Observe a figura.

b

B

h

A área A do trapézio é a soma das áreas desses dois

triângulos. Assim, temos:

A = B h b h. .2 2

+ ⇒ A = ( ).B b h+

2

Portanto, a área A do trapézio é igual à metade do produto

da altura pela soma das bases.

LosangoConsideremos um losango cujas diagonais medem

D e d. Sabemos que as diagonais de um losango são

perpendiculares entre si e o ponto em que elas concorrem

é o ponto médio de cada uma.

Observe, portanto, que a área A do losango é o dobro da

área do triângulo de base d e altura D2

.

Q N D

P

d

M

A = 2.d

D.2

2 ⇒ A =

d D.

2

Portanto, a área A do losango é metade do produto das medidas das diagonais.

OBSERVAÇÃO

O losango também é paralelogramo. Logo, sua área pode ser calculada como a área de um paralelogramo.

EXPRESSÕES DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Em função das medidas dos lados – Teorema de Herão

Dado um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e c,

sendo o semiperímetro p = a b c+ +

2,

A

c

B

b

a C

temos que a área do triângulo ABC é:

A = p p a p b p c.( ).( ).( )− − −

Em função do semiperímetro e do raio da circunferência inscrita

Dado um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e c,

com semiperímetro p = a b c+ +

2, e a circunferência inscrita

de raio r, então a área do triângulo ABC é:

A = p.r

MA

TEM

ÁTI

CA

Demonstração:

A

c

B

b

a C

rr

r o

A∆ ABC = A∆ BCO + A∆ ACO + A∆ ABO ⇒

A∆ ABC = a r b r c r. . .2 2 2

+ + ⇒

A∆ ABC = a b c r+ +

2. ⇒

A∆ ABC = p.r

Em função da medida de dois lados e do ângulo compreendido entre eles

Dado um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e

c e ângulo de medida A, compreendido pelos lados b e c,

temos que a área desse triângulo é:

A = 1

2.b.c.sen A

Demonstração:

AA

b

c

a

B

C

h

Ac h

hb

h b

Ab cABC

ABC

∆

∆

=

= ⇒ =

⇒ =

.

sen sen

. .sen2

A A

A22

Em função das medidas dos lados e do raio da circunferência circunscrita

Dado um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e c, inscrito em uma circunferência de raio R.

C

A BR

O

c

a

A

b

A área do triângulo ABC inscrito na circunferência é:

A = ab c

R

. .

4

Demonstração:

A b c

a

senR

aR

AABC

AB

∆

∆

=

= ⇒ =

⇒

12

22

. . .sen

sen

A

AA

CC

a b cR

= . .4

ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES

Considere um polígono regular A1A2A3A4...An, de n lados

de medida e semiperímetro p = n

2, inscrito em uma

circunferência de centro O e raio R. O polígono pode ser

dividido em n triângulos isósceles congruentes.

�

�

�

�

�

� O

RR

R

A1 A4

A2 A3

A6

An A5

RR

R

R

Traça-se, em um dos triângulos, o apótema a do polígono.

�

R R

O

A2 A1

a

A área AT desse triângulo é dada por AT = .a2

.

Como o polígono possui n triângulos, então sua área

AP é dada por:

AP = n.AT ⇒ AP = n..a2

⇒ AP = n.2

.a ⇒

AP = p.a

Áreas de polígonos